3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen

Geometrie
Trigonometrie
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen
3.1. Polarkoordinaten
1) Rechtwinklige und Polarkoordinaten
Üblicherweise gibt man die Koordinaten eines Punktes in
der Ebene durch ein Zahlenpaar vor: P(x | y).
Die erste Zahl ist dabei die x-Koordinate, die zweite Zahl
die y-Koordinate.
Man spricht dann von rechtwinkligen Koordinaten (weil die
Koordinatenachsen zueinander senkrecht stehen) oder auch
von kartesischen Koordinaten (benannt nach dem
französischen Mathematiker René Descartes).
Es gibt aber auch noch eine andere Möglichkeit, einen
Punkt in der Ebene eindeutig festzulegen, indem man den
Abstand des Punktes zum Ursprung sowie den Winkel α (immer von der positiven x-Achse
aus im Gegenuhrzeigersinn gemessen) angibt.
Man nennt diese Form Polarform und somit ist P (r ; α) in Polarkoordinaten dargestellt.
2) Zusammenhänge
Für einen Punkt im I. Quadranten gelten zwischen den
Polarkoordinaten P (r ; α) und den rechtwinkligen Koordinaten P(x | y) folgende Zusammenhänge:
.............................................................................................
.............................................................................................
3) Einfache Umwandlungen
Wandle in die andere Koordinatenform um:
a) A(4 | 3)
b) B(–2 | –2)
c) C(4 ; 120°)
d) D(6 ; 270°)
4) Freiwillige Übung
Bestimme die andere Koordinatenform:
a) A(–4 | 0)
b) B(–5 | 12)
c) C( 2 ; 135°)
d) D(5 ; 77°)
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Trigonometrie
3.2. Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel
1) Punkte auf dem Einheitskreis
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1, dessen
Zentrum im Koordinatenursprung liegt.
Wenn der Punkt P im I. Quadranten auf dem Einheitskreis
liegt, dann bestehen zwischen den rechtwinkligen und den
Polarkoordinaten folgende Zusammenhänge:
P(x | y) = P(1 ; α)
.............................................................................................
.............................................................................................
Es liegt nahe, diese Eigenschaft für jeden Punkt auf dem
Einheitskreis zu übernehmen.
2) Definition
Für jeden Winkel α gilt:
...............................................................................................................................................
Somit sind die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel festgelegt.
3) Beispiele
Wir betrachten die Punkte A, B, C, D auf dem Einheitskreis
mit den angegebenen Winkeln.
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
4) Übung
Berechne
a) sin(234.56°) =
b) sin(123.45°) =
cos(234.56°) =
cos(123.45°) =
tan(234.56°) =
tan(123.45°) =
5) Die Quadrantenrelationen
Aufgrund der Betrachtungen am Einheitskreis ist die folgende Tabelle wichtig:
Winkel
α = 0°
Quadrant
90°
I
180°
II
sin α
cos α
tan α
2
270°
III
360°
IV
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Trigonometrie
6) Negative Winkel, Supplementwinkel und Komplementwinkel
Zum Ausfüllen der Tabelle sollte uns auch wieder die Einheitskreisfigur helfen:
sin
cos
tan
Supplementwinkel
negativer Winkel
Komplementwinkel
7) Übung
Berechne die folgenden Werte ohne Taschenrechner
a) sin(150°) =
b) cos(120°) =
d) cos(225°) =
e) tan(135°) =
c) sin(270°) =
f) tan(300°) =
8) Übung
a) Man kennt sin(α) = 0.1 und weiss, dass cos(α) < 0 ist. Wie gross ist α?
b) Wie gross kann β sein, wenn man weiss, dass cos(β) = –0.2 beträgt?
9) Tangens
Für die Tangensfunktion gibt es eine schöne geometrische
Deutung.
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
10) Beispiel
Man kennt sin(α) = 0.6. Berechne cos(α), ohne den Winkel zu bestimmen.
...............................................................................................................................................
11) Satz
Für jeden Winkel α gilt: ........................................................................................................
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Trigonometrie
12) Beziehungen
Nun können wir die trigonometrischen Funktionen untereinander ausdrücken.
sin(α) durch cos(α) ................................................................................................................
cos(α) durch sin(α) .................................................................................................................
tan(α) durch sin(α) .................................................................................................................
tan(α) durch cos(α) ................................................................................................................
sin(α) durch tan(α) .................................................................................................................
cos(α) durch tan(α) ................................................................................................................
Für die letzten beiden Umformungen benötigt man die
Figur der geometrischen Deutung der Tangens-Funktion.
13) Übung
a) Man kennt cos(α) = –0.6. Berechne alle möglichen
Lösungen für α, sin(α), tan(α)
b) Berechne sin(α), wenn tan(α) = 2 gegeben ist.
14) Anwendung
a) Wie gross ist der Steigungswinkel einer Geraden mit
Steigung m = –1.3?
b) Bestimme den spitzen Schnittwinkel zwischen den
Geraden y = 2x – 7 und y = –3x + 22.
15) Freiwillige Übung
a) Berechne ohne Taschenrechner: cos(150°) =
b) Für welche Winkel gilt sin(α) = 0.4. Bestimme alle Lösungen.
c) Für welche Winkel ist cos(α) < 0 und (gleichzeitig) tan(α) > 0?
d) Wie gross ist der Winkel zwischen den Geraden y = 4x – 6 und y = 2x + 6?
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Trigonometrie
3.3. Bogenmass
1) Gradmass und Bogenmass
Wenn man die Graphen der trigonometrischen Funktionen aufzeichnet, dann verwendet
man auf der x-Achse zunächst das Gradmass, was aber mathematisch nicht präzise ist, denn
auf der x-Achse sollte man eine Länge abtragen können und nicht einen Winkel.
Zu jedem Winkel gehört aber auch ein Bogen. Dieser Bogen beginnt im Punkt (1 | 0) und
wird auf dem Einheitskreis gemessen.
Zum Winkel α = 360° gehört also der ganze Kreis, somit ist der Bogen b = 2π .
2) Umrechnung
Rechne um vom Gradmass ins Bogenmass und fülle die Tabelle aus.
Winkel α
180°
60°
15°
300°
2π
5
π
2
Bogen b
3π
2
108°
7π
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3) Umrechnungsformel
Es gilt folgender Zusammenhang: ........................................................................................
4) Beispiele
Fülle die Tabelle aus.
Winkel α
Bogen b
sin
cos
tan
sin
cos
tan
2π
3
7π
4
a)
b)
5) Freiwillige Übung
Fülle die Tabelle aus.
Winkel α
a)
b)
Bogen b
36°
5π
4
0.8
c) (α > 90°)
–0.96
d) (α > 180°)
2.5
e) (α < 90°)
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Trigonometrie
3.4. Funktionsgraphen
1) Sinus
2) Cosinus
3) Tangens
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