Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht

Trigonometrie aus geometrischer und
funktionaler Sicht
Der Kosinussatz und der Sinussatz:
Wenn in einem Dreieck nur zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben
sind, oder nur die drei Seiten bekannt sind, dann benötigt man den Kosinussatz (den
Zusammenhang zwischen den drei Seiten und einem Winkel).
Bei spitzwinkligen Dreiecken gilt:
C
γ
γ
u
b
D
ℎₐ
A
cos(𝛾) ∙ 𝑏 = 𝑢
˙
a-u
B
c
und sin(𝛾) ∙ 𝑏 = ℎₐ
Der Satz des Pythagoras besagt für das Dreieck ABD: 𝑐 2 = (𝑎 − 𝑢)2 + (ℎ𝑎 )2
 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos(𝛾) (Nach Einsetzen und Umformungen)
Bei stumpfwinkligen Dreiecken gilt:
D
∙
 ℎ𝑎

A
v
γ‘
γ
C
a
B
𝑣 = 𝑏 ∙ cos(𝛾′) und ℎ𝑎 = 𝑏 ∙ sin(𝛾 ′ )
Der Satz des Pythagoras besagt für das Dreieck ABD:
𝑐 2 = (𝑎 + 𝑣)2 + ℎ𝑎 2  𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 ∙ cos(𝛾)
(Nach Einsetzen und
Umformungen)
Die folgenden Gleichungen gelten, wenn α und β die eingeschlossenen Winkel sind:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∙ cos(𝛼)
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 ∙ cos(𝛽)
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 ∙ cos(𝛾)
Sobald α,β oder γ = 90° gilt, muss der Satz des Pythagoras angewendet werden.
Sinussatz sieht wie folgt aus:
(Bildquelle: http://www.matheretter.de/trigonometrie/sinussatz-kosinussatz)
Der Sinussatz bezeichnet eine Beziehung zwischen zwei Seiten und dem jeweiligen
Gegenwinkel  Anwendung bei zwei gegebenen Winkeln und einer Seite oder zwei
gegebenen Seiten und einem Gegenwinkel
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 40f
Trigonometrische Funktionen
1. Die Sinusfunktion 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) ; sin(𝑥) = sin(𝑥 + 𝑘 ∙ 2𝜋)
k є ; 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋
Wertetabelle:
𝜋
x
6
𝜋
4
𝜋
3
1
2
√2
2
√3
2
5
𝜋
4
4
𝜋
3
3
𝜋
2
sin(x)
x
sin(x)
−
√2
2
−
√3
2
-1
𝜋
2
1
5
𝜋
3
−
√3
2
2
𝜋
3
3
𝜋
4
5
𝜋
6
π
√3
2
√2
2
1
2
0
7
𝜋
4
11
𝜋
6
−
√2
2
−
1
2
2π
0
Die Sinusfunktion 𝑦 = sin(𝑥) ist:
1. punktsymmetrisch zum Ursprung −𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
2. periodisch mit der Periode 2π
Die Nullstellen der Sinusfunktion sind das Vielfache von π. (kurz: sin(x) = 0
= {kπ; k ∈ } )
Wertemenge: IW = [-1;1]
7
𝜋
6
−
√3
2
2. Die Kosinusfunktion
Wertetabelle: 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) ; cos(𝑥) = cos(𝑥 + 𝑘 ∙ 2𝜋)
kє
; 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋
X
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
cos(x)
1
√3
2
√2
2
1
2
5
𝜋
4
4
𝜋
3
3
𝜋
2
X
cos(x)
−
√2
2
−
1
2
𝜋
2
2
𝜋
3
0
−
1
2
3
𝜋
4
−
√2
2
5
𝜋
3
7
𝜋
4
11
𝜋
6
1
2
√2
2
√3
2
0
5
𝜋
6
−
√3
2
π
-1
2π
1
Die Kosinusfunktion 𝑦 = cos(𝑥) ist:
1. achsensymmetrisch zur y-Achse; f(−𝑥) = f(𝑥)
2. periodisch mit der Periode 2π
Die Nullstellen der Kosinusfunktion: cos(x) = 0 
𝜋
= {2 + 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ }
Wertemenge: IW = [-1;1]
Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion werden als Sinus – bzw. Kosinuskurve
bezeichnet.
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 48ff
7
𝜋
6
−
√3
2
3. Die allgemeine Sinusfunktion:
1) f(x) = a ∙ sin(x) mit 𝑎 ∈ \ {0}
Beispiel: Blau: 𝑓1 (𝑥) = 2 sin(𝑥) orange: 𝑓2 (𝑥) = −0,5sin(𝑥)
Grün: 𝐹(𝑥) = sin(𝑥)
=
; IW = [-a; a] ; Periode: 2π
Beschreibung: Dehnung bzw. Stauchung in y-Richtung
|a| ist die Amplitude, welche den größten y-Wert angibt.
𝑎 < 0: Funktion wird an der x-Achse gespiegelt
2) 𝑓(𝑥) = sin(𝑏 ∙ 𝑥); 𝑥 ∈ ; b > 0
Beispiel: Lila:𝑓1 (𝑥) = sin(2𝑥) schwarz: 𝑓2 (𝑥) = sin(0,5𝑥)
=
; IW= [-1; 1]
Periode:
𝟐𝝅
𝒃
Beschreibung: Dehnung bzw. Stauchung in x-Richtung
3) f(x) = sin(x+c) mit x ∈
𝜋
Beispiel: Lila: 𝑓1 (𝑥) = sin (𝑥 + 2 )
=
𝜋
blau: 𝑓2 (𝑥) = sin (𝑥 − 2 )
; IW = [-1; 1] ; Periode: 2π
Beschreibung: Verschiebung in x-Richtung um – c (Phasenverschiebung)
4) f(x) = sin(x) + d; d ∈
Beispiel: Grün: 𝑓1 (𝑥) = sin(𝑥) + 2
=
; IW = [d-1; d+1] ; Periode: 2π
Beschreibung: Verschiebung in y-Richtung um d
𝒙 ↦ 𝐚 ∙ 𝐬𝐢𝐧(𝒃𝒙 + 𝒄)
ist die allgemeine Sinusfunktion.
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 53ff, Graphen selbst erstellt mit GeoGebra
Potenzfunktionen
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 ;
= ;n∈
Der Graph ist eine Parabel n-ter Ordnung.
Eigenschaften für gerade Exponenten: 𝐺𝑓 ist achsensymmetrisch zur yAchse
für 𝑥 ≤ 0 streng monoton fallend und 𝑥 ≥ 0 streng monoton fallend.
Eigenschaften für ungerade Exponenten: 𝐺𝑓 ist punktsymmetrisch zum
Ursprung; Streng monoton steigend
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 −𝑛 ; = \ {0} ; n ∈
Der Graph ist eine Hyperbel
Die x- und y- Achse sind Aysmptoten.
Schreibweise für negative Exponenten: 𝑥 −𝑛 =
1
𝑥𝑛
„Negative gerade Funktion“: 𝑓(𝑥) = 𝑥 −2
„Negative ungerade Funktion“: 𝑓(𝑥) = 𝑥 −3
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 108ff, Graphen selbst erstellt mit GeoGebra
Exponentialfunktion
1. Einschub: Linearer Zuwachs:
konstanter Anstieg in gleichen Abschnitten
Um 𝑓(0) zu bestimmen gilt: 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟎) + 𝒙 ∙ 𝒅 wobei d der Zuwachs ist und
𝑓(0) der y-Achsenabschnitt. 𝒅 = 𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙 − 𝟏)
f(x)
x
 Absolute Zunahme
2. Exponentielles Wachstum: konstanter Wachstumsfaktor 𝒂 =
𝒈(𝒙)
𝒈(𝒙−𝟏)
Um 𝑔(0) zu bestimmen gilt: 𝒈(𝒙) = 𝒈(𝟎) ∙ 𝒂𝒙
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 64f
3. Weitere Verallgemeinerung der Expontionalfunktion:
𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎 𝑥
Mit a > 0 und a ≠ 1
Wobei b der Anfangswert 𝑓(0) und a der Wachstumsfaktor (0 < a < 1: Abnahme
bzw. negatives Wachstum und 1 < a: Zunahme bzw. positives Wachstum) ist.
Eigenschaften der Exponentialfunktion:
1.
=
+
2. Die Wertemenge ist
3. Alle Expontentialkurven verlaufen im I. und II. Quadranten
4. a > 1: Kurven sind streng monoton steigend (grüne Kurve 𝑓(𝑥) = 2𝑥 )
0 < a < 1: Kurven sind streng monoton fallend (rote Kurve 𝑔(𝑥) = 0,5𝑥 )
5. Jede Exponentialkurve schneidet den Punkt P (0|1)
6. a > 1  Der negative Teil der x – Achse ist die Asymptote
0 < a < 1  Der positive Teil der x – Achse ist die Asymptote
1
7. Die Kurve mit (𝑎) 𝑥 ist die Spiegelung der Kurve mit 𝑎 𝑥 an der y – Achse
4. Verdopplungs- und Halbwertszeit:
Die Zeit, in der sich die y- Werte einer Funktion verdoppeln, bezeichnet man als
Verdopplungszeit 𝑇𝐷 .
Es gilt: 𝑓(𝑡 + 𝑇𝐷 ) = 2 ∙ 𝑓(𝑡)
und (hier) 𝑓(𝑡) = 2𝑥
Die Halbwertszeit 𝑇𝐻 bezeichnet die Zeit, in der sich die Funktionswerte halbieren.
1
Es gilt: 𝑔(𝑡 + 𝑇𝐻 ) = 2 ∙ 𝑔(𝑡)
und (hier) 𝑔(𝑡) = 0,5𝑥
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 69f, Graphen selbst erstellt mit GeoGebra
Exponentialgleichungen
Definition: Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung mit einer Variablen im
Exponenten.
Exponentialgleichungen lassen sich durch Substitution und Logarithmieren lösen.
Beispiel: 16𝑎 −6 ∙ 4𝑎 + 8 = 0
4𝑎 ∙ 4𝑎 −6 ∙ 4𝑎 + 8 = 0
Substitution: 4𝑎 = 𝑢
𝑢 ∙ 𝑢 − 6𝑢 + 8 = 0
𝑢2 − 6𝑢 + 8 = 0
𝑢1/2 =
𝑢1 =
𝑢2 =
−(6)±√(−6)2 −4∙1∙8
2∙1
6+2
2
6−2
2
=
6±√36−32
2
=
6±√4
=4
=2
Rücksubstitution: 𝑢1 : 4𝑎 = 4 ⇔ 𝑎 = 1
𝑢2 : 4𝑎 = 2
log 4 (2) = 𝑎
𝑎 = 0,5
= {0,5; 1}
Quelle: Lambacher Schweizer 10 Mathematik Seite 83ff
2
=
6±2
2
Der Logarithmus
Anmerkung: Eine Umkehrfunktion entsteht, wenn man y mit x vertauscht.
𝑓: 𝑦 = 𝑥 („normale“ Funktion)
𝑓 −1 : 𝑥 = 𝑦 (Umkehrfunktion)
Geometrisch gesehen wird die „normale“ Funktion an der Winkelhalbierenden des
ersten und dritten Quadranten 𝑦 = 𝑥 gespiegelt.
Gesucht wird die Umkehrung des Potenzieren mit x und da die Exponentialfunktion
streng monoton ist, ist diese Funktion umkehrbar.
Die Lösung der Exponentialgleichung 𝑎 𝑥 = 𝑏, wobei a > 0 und a ≠ 1 und b > 0, wird
der Logarithmus von b zur Basis a genannt und wird wie folgt verschriftlicht: 𝑥 =
log 𝑎 𝑏
Beispiel: 28 = 256 ⇔ 8 = log 2 256
log 𝑎 𝑏 ist die eindeutig bestimmte Zahl, mit der a potenziert werden muss, sodass
man b erhält.
𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒃
Rechenregeln:
log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 (𝑥 ∙ 𝑦)
log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 (𝑥 ∶ 𝑦)
log 𝑎 𝑥 𝑡 = 𝑡 ∙ log 𝑎 𝑥
log 𝑎 (𝑎)𝑥 = 𝑥
log 𝑎 (𝑎) = 1
log 𝑎 (1) = 0
Wie sieht die Logarithmusfunktion graphisch aus?
Bildquelle:
www.schulminator.com/mathematik/logarit
hmusfunktion
Eigenschaften der Logarithmusfunktion:
+
=
Die Wertemenge ist
Jede Logarithmuskurve verläuft durch den I. und IV. Quadranten
Alle Logarithmuskurven haben die NST (1|0)
a > 1  Kurve ist streng monoton steigend
0 < a < 1  Kurve ist streng monoton fallend
6. a > 1  Asymptote: negativer Teil der y – Achse
0 < a < 1  Asymptote: positiver Teil der y – Achse
1.
2.
3.
4.
5.
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 76
Lösen von Logarithmusgleichungen:
1. Berechnen der Definitionsmenge
2. Lösen durch Umkehrung des Logarithmus
lg 𝑥
Umrechnungsformel: log 𝑎 𝑥 = lg 𝑎 ; wobei lg der Zehnerlogarithmus (𝑙𝑜𝑔10 ) ist.
z.B. log 3 15 =
𝑙𝑔15
𝑙𝑔3
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 79
Der Kreis
Wiederholung: Kreisumfang und Kreisfläche:
Das Rote ist der Kreisumfang und lässt sich durch
𝑈𝑘 = 2𝜋𝑟 berechnen, wobei 𝜋 ≈ 3,14 ist
Das Blaue ist die Kreisfläche und lässt sich durch 𝐴𝐾 =
𝜋𝑟 2 berechnen.
Kreisbogen und Kreissektor:
In einem Kreis gehören zu gleichgroßen Mittelpunktswinkeln μ gleichlange Bögen b.
Kreissektor
𝜇
b
𝝁
Allgemein gilt: 𝒃 = 𝟑𝟔𝟎° ∙ 𝟐𝒓𝝅
𝝁
Der Flächeninhalt des Kreissektors lässt sich durch 𝑨𝒔 = 𝟑𝟔𝟎° ∙ 𝒓𝟐 𝝅 berechnen.
𝜇
360°
ist der Anteil am Kreis.
Zusammenhang zwischen 𝐴𝑠 und b:
𝜇
𝑏 = 360° ∙ 2𝑟𝜋 nach 𝜇 auflösen  𝜇 =
𝜇 in 𝐴𝑠 einsetzen 𝑨𝑺 =
𝑟 2 𝜋∙360°∙𝑏
360°∙2𝑟𝜋
=
𝟏
𝟐
𝑏
2𝑟𝜋
∙ 360°
𝒓∙𝒃
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 12
Das Bogen- und Gradmaß:
𝑏
𝜇
=
∙ 2𝜋
𝑟
360°
𝑏1
𝑏2
𝑟1
𝜇
𝑟2
𝑏
Der Quotient 𝑟 aus Bogenlänge b und des jeweiligen Radius r ist für einen
bestimmten Winkel immer derselbe und hängt somit nur von diesem Winkel ab. Man
bezeichnet es als Bogenmaß x des Winkels 𝝁 . ( x є )
𝜋
Deshalb gilt: 𝑥 = 𝜇 ∙ 180° und 𝜇 = 𝑥 ∙
180°
𝜋
Veranschaulichung:
r soll gleich 1LE sein  𝑥 ≙ 𝑏
Einheitskreis 𝑟 = 1LE
μ im
Gradmaß
μ im
Bogenmaß
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 12f
Die Kugel
Kugeln entstehen durch Rotation einer Kreisfläche um eine ihrer vielen
Spiegelachsen. Der Radius der Kreisfläche ist ebenso der Radius der Kugel. Der
Mittelpunkt bleibt auch erhalten.
Volumen der Kugel: 𝑽𝑲 =
𝟒
𝟑
𝝅 ∙ 𝒓𝟑
Oberflächeninhalt der Kugel: 𝑶𝑲 = 𝟒𝝅 ∙ 𝒓𝟐
Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugel
Quelle: Lambacher Schweizer Mathematik 10 Klett Verlag Seite 17ff
Quellen: Lambacher Schweizer 10 Mathematik für Gymnasien Bayern – Ernst Klett Verlag,
Bildquellen (siehe Bild oder selbst erstellt mit GeoGebra bzw. Paint); Koordinatensysteme
mit Graphen erstellt mit GeoGebra