Den Sinus eines Winkels untersuchen

Trigonometrische Beziehungen untersuchen
Den Sinus eines Winkels untersuchen
Am Einheitskreis mit einem Radius r = 1 cm gilt:
a1
a2
= a1 ≈ 0,71
sin 55° = }
= a2 ≈ 0,82
sin 45° = }
1
1
Der mobile Kran kann seinen Ausleger
bis zu 30 m ausfahren. Er hat eine
maximale Traglast von 20 t.
Erläutere, von welchen Größen
seine maximale Hubhöhe abhängt.
sin α
gesprochen:
sinus Alpha
at
nk
ge
Ge
Im Dreieck ABC liegt die Seite
}
a = BC dem Winkel α und
}
die Seite b = AC dem Winkel β
gegenüber.
he
te
vo
Der Sinus eines Winkels
A
b
C
Ge
ge
nk
n
α
β
α
B
c
Hypotenuse
Gegenkathete von α
a
Gegenkathete von β
b
sin β = }}
= }c
Hypotenuse
Somit gehört zu jedem Winkel zwischen 0° und 90° genau ein Sinuswert.
Näherungsweises Bestimmen von Sinuswerten
Ein Einheitskreis hat einen
Radius von
einer Längeneinheit (LE).
Du kannst den Sinuswert eines Winkels α zeichnerisch am Einheitskreis
ermitteln. Zeichne dazu einen Viertelkreis im I. Quadranten eines rechtwinkligen Koordinatensystems und trage den Winkel α mit dem Scheitelpunkt im
Koordinatenursprung an die x-Achse an. Kennzeichne den Schnittpunkt des
freien Schenkels von α mit dem Viertelkreis und zeichne durch diesen Schnittpunkt eine Senkrechte zur x-Achse. Lies den Sinuswert auf der y-Achse ab.
44
a1
1
Manche
Taschenrechner
haben statt der
Taste <Shift>
die Taste <2nd>
und statt der
Taste <ENTER>
die Taste <=>.
Kennzeichne gesuchte und gegebene Größen immer in einer Planfigur.
Beispiele
}
In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC ist das Verhältnis aus der Länge der
Gegenkathete eines (spitzen) Winkels und der Länge der Hypotenuse gleich
dem Sinuswert dieses Winkels. Es gilt:
= }c
sin α = }}
Hypotenuse
DEGREE
heißt
Gradmaß.
Bestimmungsstücke von Dreiecken berechnen
at
h
a ete
vo
Berechne vom rechtwinkligen Dreieck ABC mit AB = 12 cm
}
und α = 30° die Länge der Seite BC.
Gesucht:
Gegeben:
Lösung:
a
c = 12 cm, α = 30°
|·c
sin α = }ac
a = c · sin α
a = 12 cm · 0,5 = 6 cm
C
a
b
A
β
30°
12 cm
B
Berechne die Größen der beiden fehlenden Innenwinkel des
}
}
rechtwinkligen Dreiecks ABC mit AC = 4,5 cm und AB = 10,6 cm.
Gesucht:
Gegeben:
Lösung:
α, β
b = 4,5 cm, c = 10,6 cm
4,5 cm
≈ 0,42453 | sin–1
sin β = }bc = }
10,6 cm
C
cm
n
β
α + β + γ = 180°
Bei Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken kannst du den Satz des
Pythagoras und den Satz über die Innenwinkelsumme nutzen.
Für rechtwinklige Dreiecke legen die Kathete, die einem Innenwinkel
gegenüberliegt, und die Hypotenuse einen weiteren Zusammenhang fest.
a2
Du kannst mit einem Taschenrechner auch umgekehrt einen Winkel
von 0° bis 90° berechnen, der zu einem Sinuswert gehört:
Tastenfolge:
<Shift> <sin> <0.82> <Enter> oder
Ausgewählte
<0.82> <Shift> <sin> <Enter>
Sinuswerte:
Anzeige:
55,08479375
Ergebnis:
55,1° (auf eine Dezimalstelle gerundet)
sin 0° = 0
sin 30° = 0,5
Die Sinuswerte von Winkeln nahe 0° sind fast 0.
sin 90° = 1
Die Sinuswerte von Winkeln nahe 90° sind fast 1.
4,5
mit γ = 90°
≈ 0,82
Einen genaueren Sinuswert liefern Taschenrechner. ≈ 0,71
Achte darauf, dass dabei der Winkelmodus DEG
eingestellt ist.
Tastenfolge:
<sin> <45> <Enter> oder
55°
45°
<45> <sin> <Enter>
0
Anzeige:
0.7071067812
Ergebnis:
0,707 (auf drei Dezimalstellen gerundet)
Den Sinus eines Winkels
untersuchen
c2 = a2 + b2
1
α
β = 25,1°
A
α + β = 90°
| –β
α = 90° – β → α = 90° – 25,1° = 64,9°
a
β
10,6 cm
Tipp:
Nutze den TR.
B
45