I. Lehrsatz von Pythagoras

Übungen für die 2. Schularbeit
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I. Lehrsatz von Pythagoras
1. In einem rechtwinkligen Dreieck sind: a, b die Längen der Katheten, c die Länge
der Hypotenuse, p, q die Längen der Hypotenusenabschnitte, h die Länge der
Höhe auf c und A der Flächeninhalt. Berechne die jeweils fehlenden Größen:
2.
a) a = 24 cm, p = 14,4 cm
b) a = 28 cm, b = 45 cm
c) A = 924 cm², b = 65 cm
d) p = 48 cm, q = 23 cm
e) A = 2166 cm², a = 57 cm
f)
q = 48 cm, h = 36 cm
Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Rechtecks. Entnimm die Angaben in cm der Skizze:
.
6
10
3.
Von einem Rechteck sind b und A gegeben, drücke a, u und d aus.
4.
Von einem gleichschenkligen Dreick kennst du A = 1728 cm² und c = 72 cm.
Berechne die Höhe auf c und den Umfang des Dreiecks.
5.
Von einem gleichseitigen Dreieck ist der Flächeninhalt A = 120 cm² gegeben.
Berechne die Seitenlänge a, indem du zuvor umformst.
6.
Drei Häuser liegen so, dass jedes Haus von den beiden anderen 360 m entfernt
ist. Ein Telefonhäuschen soll so errichtet werden, dass die Entfernung von jedem
Haus gleich groß ist. An welcher Stelle muss das Telefonhäuschen errichtet werden und wie weit ist es von jedem Haus entfernt? (Skizze!!!)
7.
Stelle die Näherungsformel für die theoretische Sichtweite auf und berechne die
theoretische Sichtweite, die man vom Hohen Göll (2522 m) aus genießen kann.
Erdradius: 6370 km.
8.
Berechne den Umfang des Dreiecks A(0|3), B(11|1), C(5|9).
9.
Vom rechteckigen Monitor eines Computers kennt man die Länge der Diagonale
d=45 cm. Berechne den Umfang des Monitors, wenn sich die Breite zur Höhe wie
4:3 verhalten.
10. Ein Punkt hat vom Mittelpunkt M eines Kreises den Zentralabstand z = 60 mm.
Welchen Radius muss der Kreis haben, wenn die Tangentenstrecke die Länge x
= 50 mm haben soll. Löse dieses Beispiel rechnerisch und zeichnerisch.
11. In einem rechtwinkligen Dreieck verhalten sich die Längen der Katheten wie 15:8.
Der Flächeninhalt beträgt 2940 cm². Berechne die drei Seitenlängen, die Höhe,
den Umkreisradius und den Inkreisradius.
12. Gegeben ein Deltoid ABCD: a = 60 mm, b = 73 mm, f = 96 mm. Berechne den
Flächeninhalt und die zweite Diagonale.
13. Beweise den Satz von Pythagoras auf zwei Arten.
4E 08/09, Akademisches Gymnasium
Mag. Petra Wagenknecht
Übungen für die 2. Schularbeit
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14. Der Flächeninhalt eines Trapezes ist 144 cm².
Wie groß ist der Umfang? Entnimm die Maße in
cm der Abbildung.
15. Sechseckige Fliesen lassen sich lückenlos
aneinanderlegen. Welche Fläche lässt sich mit
500 Fliesen belegen, wenn ein Sechseck eine
Seitenlänge von 4 cm hat?
12
3
14
16. Beweise den Höhensatz.
a⋅b
17. Beweise, dass für den Inkreisradius eines rechtwinkeligen Dreiecks gilt: ρ = ---------u
II. Algebra
1.
Beweise: Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen
Zahlen ist gleich der Summe dieser Zahlen.
2.
Beweise: Eine ungerade Quadratzahl ergibt bei Division durch 4 den Rest 1.
3.
Ergänze in den folgenden Gleichungen die Leerstellen:
4.
a) x²+6x+ F = (x + F )²
b) 4a² - F = ( F + 3b).( F - F )
c) 16y² - 8yz + F =(F - F )²
d) x² - 9x + F = (x - F )²
e) u² + u + F = ( F +F )²
f) ( F + F)³ = c³ + F + F + 8d³
g) (F - F)³=F- 48a²b + 12ab²- F
h) (F + F)³= F + 36x²y + F+ 27y³
i) x² + 3x + F = (F + F)²
j) (2a + F)³ = F+ 24a²b + F +F
Berechne und überprüfe das Ergebnis durch Ausmultiplizieren:
a) (4a + b + 3c)²
b) (-2a + 3b - c)²
c) (-5a + 3b)³
d) ( -3u - 4v)³
5.
Ein Gewinn von 1 850 € wird unter drei Personen so verteilt, dass die zweite Person um 50 € weniger als die erste bekommt; die dritte erhält das Doppelte der
zweiten Person. Wie viel erhält jede?
6.
In einem Deltoid ist die Diagonale e um 5 cm länger als die Diagonale f. Verlängert man e um 3 cm und verkürzt f um 2 cm, so erhält man ein Deltoid mit demselben Flächeninhalt. Berechne die Längen der beiden Diagonalen.
7.
Herr Nader ist Firmenvertreter und hat ein Grundgehalt von 1650 €, weiters erhält
er 8 % des von ihm erzielten Umsatzes als Provision. Im letzten Monat kam er auf
ein Gehalt von 2430 €. Wie hoch war sein Umsatz in diesem Monat?
8.
Die Zehnerziffer einer dreiziffrigen Zahl ist 5, Einer- und Hunderterziffer sind einander gleich. Vertauscht man die Zehner- und die Einerziffer, so entsteht eine um
18 größere Zahl. Wie lautet die ursprüngliche Zahl?
4E 08/09, Akademisches Gymnasium
Mag. Petra Wagenknecht