BS02, Sommer 2013

BS02: Statistische Methoden II
Prof. Dr. F. Heiÿ
Wintersemester 2013
Gliederung
1 Einführung
1.1
1.2
1.3
1.4
I
Wozu Statistik? . . . . . . . . . .
Was ist Statistik? . . . . . . . . .
Anwendungsbezug und Software .
Literatur . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
. 5
. 7
. 8
. 10
Wahrscheinlichkeitsrechnung
11
2 Diskrete Zufallsvariablen
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Erinnerung: Zufallsexperimente und Zufallsvariablen . . . . . .
Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erwartungswert von diskreten ZV . . . . . . . . . . . . . . . . .
Varianz einer diskreten ZV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Gleichförmige Verteilung bzw. diskrete Gleichverteilung
2.5.2 Bernoulli-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Umsetzung in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Stetige Zufallsvariablen
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . .
Erwartungswert und Varianz stetiger ZV
Allgemeine Momente von ZV . . . . . .
Wölbung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
13
17
24
30
32
32
35
38
48
56
64
70
71
76
77
78
94
100
104
3.6 Quantile und Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Spezielle stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Rechtecksverteilung bzw. stetige Gleichverteilung
3.7.2 Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Allgemeine Normalverteilung . . . . . . . . . . .
3.7.5 Logarithmische Normalverteilung . . . . . . . . .
3.7.6 Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . .
3.7.7 Student-t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.8 F-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.9 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Umsetzung in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Mehrdimensionale Zufallsvariablen
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
II
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gemeinsame Verteilung diskreter Zufallsvariablen . .
Randverteilungen diskreter Zufallsvariablen . . . . .
Gemeinsame Dichtefunktion stetiger Zufallsvariablen
Randdichten stetiger Zufallsvariablen . . . . . . . . .
Gemeinsame Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . .
Bedingte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stochastische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . .
Erwartungswerte von Funktionen von X und Y . . .
Kovarianz und Korrelation . . . . . . . . . . . . . . .
Summen von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . .
Bedingte Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Induktive Statistik
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stichprobenmittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stichprobenvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stichprobenanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erzeugen von Stichproben per Computer . . . . . . . .
Wiederholte Stichproben und Monte Carlo-Simulation
6 Asymptotische Analysen
6.1
6.2
6.3
6.4
Einführung . . . . . . . .
Hauptsatz der Statistik . .
Gesetz der groÿen Zahlen
Zentraler Grenzwertsatz .
162
163
165
166
171
175
176
178
180
182
184
188
189
192
5 Stichproben
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
107
114
114
118
123
128
134
140
143
147
152
154
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
193
194
196
198
208
214
219
226
233
234
235
237
241
7 Punktschätzung
7.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Eigenschaften von Schätzern . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Erwartungstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Asymptotische Erwartungstreue . . . . . . . . . . .
7.2.3 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Ezienz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5 Mean Squared Error (MSE) . . . . . . . . . . . . .
7.3 Punktschätzung für Erwartungswert, Anteile und Varianz
7.4 Punktschätzer für allgemeine Parameter . . . . . . . . . .
7.5 Standardfehler von Punktschätzern . . . . . . . . . . . . .
8 Kondenzintervalle
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelwerte bei groÿen Stichproben . . . . . . . . .
Mittelwerte bei normalverteilter Grundgesamtheit .
Varianz bei normalverteilter Grundgesamtheit . . .
Varianz bei groÿen Stichproben . . . . . . . . . . .
Monotone Transformationen . . . . . . . . . . . . .
Beispiel in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10.1 Tests bezüglich des Mittelwertes . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Normalverteilung mit bekannter Varianz . . . . . .
10.1.2 Groÿe Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Normalverteilung in der Grundgesamtheit . . . . .
10.1.4 Anteilswerte in groÿen Stichproben . . . . . . . . .
10.1.5 Anteilswerte in kleinen Stichproben (Binomialtest)
10.2 Tests für Varianzen bei Normalverteilung . . . . . . . . .
10.3 Vergleiche zwischen zwei Stichproben . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Mittelwerte bei groÿen Stichproben . . . . . . . . .
10.3.2 Anteilswerte in groÿen Stichproben . . . . . . . . .
10.3.3 Varianzen bei Normalverteilung . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9 Statistisches Testen
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nullhypothese und Gegenhypothese . . . . . . . . .
Beispiel: Normalverteilung mit bekannter Varianz .
Fehler 1. und 2. Art, Signikanzniveau und Macht
Vorgehen beim Testen . . . . . . . . . . . . . . . .
Falsche Nullhypothesen und die Macht eines Tests
p-Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hypothesentests und Kondenzintervalle . . . . . .
Monte-Carlo Simulation von Tests . . . . . . . . .
10 Die wichtigsten Tests
3
250
251
254
254
258
259
261
265
267
269
275
277
278
279
287
292
297
301
303
312
313
314
318
321
323
327
335
339
342
346
347
347
350
354
362
364
369
372
373
376
379
11 Weitere Tests
11.1 Test für den Median . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Test für allgemeine Quantile . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Anpassungstests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Anpassungstests: Diskrete ZV . . . . . . . . .
11.3.2 Anpassungstests: Stetige ZV . . . . . . . . . .
11.3.3 Anpassungstests bei geschätzten Parametern
11.4 Shapiro-Wilk-Test der Normalverteilung . . . . . . .
11.5 Unabhängigkeitstest diskreter ZV . . . . . . . . . . .
11.6 Homogenitätstests . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Test auf Korrelation bei Normalverteilung . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
384
385
389
392
392
396
400
401
403
408
414