Elemente der Analysis I Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik

Notizen
Elemente der Analysis I
Kapitel 3: Einführung III, Summen, Logik, Mengen,
Beweise
Prof. Dr. Volker Schulz
Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik
15. November 2010
http://www.mathematik.uni-trier.de/∼schulz/elan-ws1011.html
Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik)
Kapitel 3: Verschiedenes
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1. Summennotation
Wir wollen lange Summen der Form
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + . . . + x235
kompakter schreiben können und führen dafür folgende Notation ein:
Summennotation
R
Es sei für jedes k ∈ {m, m + 1, . . . , n} eine Zahl xk ∈ gegeben.Dann
schreiben wir
n
X
xk = xm + xm+1 + . . . + xn .
k =m
Beispiele:
5
X
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ,
n
X
k =1
k =1
2
X
9
X
(2k + 1) = 100
(2k + 1) = 9 ,
k =0
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k=
n(n + 1)
2
k =0
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Beispiel Preisindex
Notizen
Der Preisindex des Jahres t verglichen mit dem Jahr 0 ist der Quotient aus
den Kosten im Jahr t für einen Warenkorb, der n Güter mit Mengen q (i)
enthält mit denen des Jahres 0, also kurz als Formel
n
P
i=1
n
P
Preisindex = 100 ·
i=1
(i)
pt q (i)
(i)
p0 q (i)
Satz 3.1
Es gelten die folgenden Rechenregeln:
n
X
n
X
axk = a
k =m
und
n
X
xk
(Homogenität)
k =m
(xk + yk ) =
k =m
n
X
xk +
k =m
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n
X
yk
(Additivität)
k =m
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Anwendung der Rechenregeln
Teleskopsumme:
n X
m=2
allgemeiner:
n
X
1
1
−
m−1 m
=1−
1
n
(xk +1 − xk ) = xn+1 − x1
k =1
Geometrische Summenformel:
n
X
xk =
k =0
1 − x n+1
1−x
Denn aus den Rechenregeln ergibt sich
(1 − x)
n
X
k =0
xk
=
n
X
xk −
k =0
= 1+
x k +1
k =0
n
X
xk −
k =1
n+1
= 1−x
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n
X
n
X
x k − x n+1
k =1
.
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Weitere Anwendungen
Notizen
Sei µx :=
Pn
1
n
i=1
xi der Durchschnitt der Zahlen xq , . . . , xn . Dann gilt
n
1X
(xi − µx ) = 0
n
i=1
n
1X
n
n
(xi − µx )2 =
i=1
1X 2
xi − µ2x
n
i=1
Newtonsche Binomische Formel: (a + b)n =
n X
n
k =0
k
ak bn−k
n
n!
:=
die Anzahl der Möglichkeiten angibt, ohne
k
(n − k )!k !
Beachtung der Anordnung k verschiedene Objekte aus n verschiedenen
auszuwählen; und n! rekursiv definiert ist durch n! := n · (n − 1)! und 0! := 1
wobei
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Doppelsummen
Aus dem Kommutativgesetz der Addition schließen wir, dass die Reihenfolge
bei der Summation keine Rolle spielt, also insbesondere gilt
n X
n
X
i=1 j=1
aij =
n X
n
X
aij =
j=1 i=1
n
X
aij
i,j=1
Desweiteren können wir beispielsweise auch schreiben
m X
n−1
X
n=1 k =0
(2k + 1) =
1
m(m + 1)(2m + 1)
6
Beweis in zwei Schritten über die später noch mit vollständiger Induktion zu
Pn−1
beweisenden Aussagen k =0 (2k + 1) = n2 und
Pm
1
2
n=1 n = 6 m(m + 1)(2m + 1)
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2. Aspekte der Logik
Notizen
Mathematische Aussagen sind entweder wahr oder falsch
– tertium non datur.
Aussagen werden zu neuen Aussagen verknüpft durch Operatoren
Definition 3.2 (Verknüpfungen von Aussagen)
A ∨ B : „oder“: mindestens eine von beiden Aussagen A oder B ist wahr
A ∧ B : „und“: beide Aussagen A und B sind wahr
¬A : „nicht“: das Gegenteil von Aussage A ist wahr
A ⇒ B : Implikation: aus Aussage A folgt Aussage B
Aussage A ist hinreichend für Aussage B
Aussage B ist notwendig für Aussage A (vgl. Satz 3.3(iii))
A ⇔ B : Äquivalenz: Aussage A ist äquivalent zu Aussage B
Aus A folgt B und aus B folgt A
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Satz 3.3 (Zentrale logische Rechenregeln)
(i) ¬(A ∨ B) = (¬A ∧ ¬B)
(ii) ¬(A ∧ B) = (¬A ∨ ¬B)
(iii) (A ⇒ B) = (¬B ⇒ ¬A)
Beispiele:
(i) ¬(„Die Autos auf dem Studentenparkplatz sind rot, grün oder blau“) =
(„Die Autos auf dem Studentenparkplatz sind weder rot noch grün noch
blau“)
(ii) ¬(„Das Bruttosozialprodukt steigt und die Arbeitslosigkeit fällt“) =
(„Das Bruttosozialprodukt steigt nicht oder die Arbeitslosigkeit fällt nicht“)
(iii) („Wenn die Steuern steigen, dann sinkt der Konsum“) =
(„Wenn der Konsum nicht sinkt, steigen die Steuern nicht“)
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Vorsicht bei Argumentationsketten mit einfachen
Implikationen!
Notizen
Beobachtung
R gilt a = b ⇒6⇐ a2 = b2, denn a2 = b2 ⇔ a = b ∨ a = −b
Beispiel: wir suchen x ∈ R so, dass gilt
Für a, b ∈
x +2=
√
4−x
2
⇒ (x + 2) = 4 − x
(Achtung: keine Äquivalenz!)
2
⇔ x + 5x = 0
⇔ x(x + 5) = 0
⇔ x = 0 ∨ x = −5
Insgesamt erhalten wir die Folgerung:
√
(x ist eine Lösung von x + 2 = 4 − x) ⇒ (x = 0 ∨ x = −5)
Erst das Einsetzen dieser beiden Lösungskandidaten („die Probe“) liefert die
Aussage, dass nur x = 0 eine Lösung der Gleichung ist.
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3. Mengen
Definition 3.4
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten,
wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
zu einem Ganzen.
Die Objekte, die zu einer Menge M zusammengefaßt werden, nennt man die
Elemente von M. Wir schreiben
x ∈M
für
„x ist ein Element von M“
Beispiel:
1
2
6∈
N, aber 12 ∈ Q
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Notizen
Für die Beschreibung einer Menge gibt es verschiedene Möglichkeiten:
Durch Auflisten ihrer Elemente, etwa A = {a, b, c, . . .}
Durch eine Eigenschaft: B = {x : x hat Eigenschaft E}.
Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente enthält, die leere Menge ∅
(oder auch { }).
Eine Menge N heißt eine Teilmenge der Menge M, wenn jedes Element von
N auch Element von M ist. Man schreibt dann N ⊂ M oder M ⊃ N.
Beispiel:
N⊂Z⊂Q⊂R
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Operationen auf Mengen
Man kann aus gegebenen Mengen neue erzeugen:
durch Aussonderung, das heißt durch Angabe einer Bedingung. Ist
z.B. F die Menge aller Fahrräder, so ist
{f ∈ F : f ist grün}
wieder eine Menge (nämlich die Teilmenge aller grünen Fahrräder);
die Vereinigung zweier Mengen A, B ist die Menge
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
(beachten Sie, dass das hier „oder“ (∨) wieder, wie immer in der Logik,
im nicht ausschließenden Sinn gebraucht wird!)
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Notizen
der Durchschnitt oder Schnitt zweier Mengen A, B ist die Menge
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} ;
die Differenz zweier Mengen A, B ist die Menge
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B} ;
Ist B eine Teilmenge von A, so nennt man A \ B auch das Komplement
von B in A.
Komplementbildung: Falls die Menge A ⊂ Ω als Teilmenge einer
Grundmenge Ω gedacht wird, die auch alle anderen momentan
interessierenden Mengen enthält, definieren wir
AC := {x ∈ Ω : x 6∈ A} = Ω \ A
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das kartesische oder Kreuzprodukt der Mengen A, B ist die Menge
A × B = {(x, y ) : x ∈ A und y ∈ B} .
Sie ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen von A bzw. B.
Sind A1 , . . . , An Mengen, so ist
A1 × . . . × An = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ Ai für i = 1, 2, . . . , n}
die Menge aller sogenannten n-Tupel.
Man nennt zwei Mengen A, B disjunkt, wenn ihr Schnitt die leere Menge ist,
also gilt
A∩B =∅
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Rechenregeln für Mengen
Notizen
Satz 3.5
Seien A, B und C Mengen. Dann gilt
1
A∪B
A∩B
= B∪A
(Kommutativgesetz)
= B∩A
2
(A ∪ B) ∪ C
(A ∩ B) ∩ C
3
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(Distributivgesetz)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4
(A ∪ B)C
(A ∩ B)C
= A ∪ (B ∪ C)
(Assoziativgesetz)
= A ∩ (B ∩ C)
= AC ∩ B C
(Komplementbildung)
= AC ∪ B C
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Venn-Diagramme
Anders als in der formal strengen professionellen Mathematik sind im
Rahmen dieser Vorlesung sog. Venn-Diagramme als Beweismittel für
Aussagen über Mengen zugelassen.
C⊂A
A∪B
A∩B
A\B
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Dies ist hier als exemplarischer Beweis für
Satz 3.5(3b) zu betrachten.
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Mächtigkeit von endlichen Mengen
Notizen
Mächtigkeit einer endlichen Menge
Ist n(M) die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M, so nennt man
n(M) die Mächtigkeit von M. Andere Bezeichnungen sind #M oder |M|.
Satz 3.6
Seien A, B endliche Mengen. Dann gilt
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| .
Satz 3.7
Es sei M eine endliche Menge. Dann ist
|P(M)| = 2|M| .
In Worten: Ist n die Anzahl der Elemente von M, so ist 2n die Anzahl aller
Teilmengen von M.
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4. Induktionsprinzip – oder die Domino-Methode
Um z.B. die oben genannten Aussagen über die Summen von Zahlen, die
Newtonsche binomische Formel oder die sogenannte Bernoullische
Ungleichung zu zeigen, verwenden wir das nachfolgende Induktionsprinzip,
welches eigentlich ein Axiom ist.
Induktionsprinzip
Sei p ∈
N0 und A eine Aussage über natürliche Zahlen, so dass gilt:
(i) Die Aussage A(p) ist wahr.
(ii) Ist n ∈
wahr.
N mit n ≥ p und ist die Aussage A(n) wahr, so ist auch A(n + 1)
Dann ist die Aussage A(n) für alle n ∈
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N0 mit n ≥ p wahr.
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Induktionsbeweise
Notizen
Vorgehen beim Induktionsbeweis
Nachweis der Aussage A(p) für ein p ∈
1. Induktionsanfang:
N0.
Nachweis der Implikation A(n) =⇒ A(n + 1)
für n ≥ p; hierbei nennt man die Aussage
A(n) die Induktionsvoraussetzung oder Induktionsannahme.
2. Induktionsschluß:
Beispiel
N0 gilt
n
X
n(n + 1)
.
2
k =0
Sei A(n) die Behauptung für die Zahl n.
I.A.:
Es gilt A(0) (klar!)
X
n+1
n
X
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
+ (n + 1) =
.
I.S.:
k=
k + (n + 1) =
2
2
Für jedes n ∈
k =0
k=
k =0
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Satz 3.8 (Bernoullische Ungleichung)
Für x ≥ −1 und n ∈
N0 gilt 1 + nx ≤ (1 + x)n .
Beweis:
Für n ∈
N0 sei A(n) die Aussage
für alle x ∈ R mit x ≥ −1 gilt die Ungleichung 1 + nx ≤ (1 + x)n .
Offenbar ist A(0) wahr.Sei nun A(n) als wahr angenommen (Induktionsvoraussetzung). Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt aus der I.V.
(1 + x)(1 + nx) ≤ (1 + x)(1 + x)n = (1 + x)n+1 .
Andererseits gilt immer nx 2 ≥ 0, folglich
1 + (n + 1)x ≤ 1 + (n + 1)x + nx 2 = 1 + x + nx + nx 2 = (1 + nx)(1 + x) ,
also zusammengenommen A(n + 1).
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Notizen
Anwendung Effektivzins
Angenommen ein Kapital K wird mit dem Zinssatz p% angelegt. Der
Aufzinsungsfaktor einer Zinsperiode ist der Faktor, mit dem ein
vorhandenes Kapital multipliziert wird, um das um die für eine Zinsperiode
fälligen Zinsen erhöhte Kapital zu erhalten. Demnach ist, mit mit der Zinsrate
p
r = 100
, der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Zinsgutschrift 1 + r und bei
r
.
monatlicher Zinsgutschrift 1 + 12
Bei jährlicher Zinsgutschrift ist also das Kapital nach einem Jahr auf
(1 + r ) · K angewachsen, bei monatlicher Zinszahlung hingegen auf
1+
r r 12
· K ≥ 1 + 12 ·
· K = (1 + r ) · K .
12
12
Das ist die Ungleichung zwischen Effektivzins links (→ Kap. 10) und
Nominalzins rechts.
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