2.Probetest Angabe+Lösung
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2. Probetest M3 ET 7. April 2009 1 Anmerkung 1 Zweck des Tests ist es, sich mit den Begriffen an und für sich auseinanderzusetzen. Versuchen Sie, unter Benützung der Vorlesungsunterlagen den Test durchzuarbeiten. Beste Wünsche für 2009, WH 1) Die Funktion f (x) = 1 ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf R R∞ Antw.: N. Es ist −∞ f (x) dx = ∞, sollte jedoch 1 sein. 2) Zu jeder Verteilungsfunktion F auf R gibt es eine Verteilungsdichte Antw.: N. Die Funktion F (x) := 0 für x ≤ 1 (korrigiert am 14.1.08) und F (x) := 1 für x > 1 besitzt keine Verteilungsdichte, weil diese in den offenen Intervallen (−∞, 0) und (0, ∞) gleich Null sein müßte. 3) Ist f (x) eine stetige Verteilungsdichte auf R, R x für welche f (x) = 0 für x < 0 gilt, so ist die zugehörige Verteilungsfunktion durch F (x) = 0 f (t) dt gegeben Rx Rx R0 Rx Antw.: J. Es ist F (x) = −∞ f (t) dt = −∞ f (t) dt + 0 f (t) dt = 0 f (t) dt, weil ja der Integrand im Intervall (−∞, 0) laut Voraussetzung verschwindet 4) Das α-Quantil zα einer durch die Dichte f (x) definierten Verteilung ist als Lösung der R zα Gleichung −∞ f (x) dx = α bestimmt. Antw.: J. Es ist zα genau jene Abszisse, für welche die bis dorthin aufintegrierte Fläche unter der Dichtefunktion f den Wert α hat 5) Ist F eine streng monotone stetige Verteilungsfunktion auf R, so ist das α-Quantil zα durch die Gleichung F (zα ) = α bestimmt Antw.: J 6) Die R-wertigen Zufallsvariablen X, Y sind genau dann unabhängig, wenn E(XY ) = E(X)E(Y ). Antw.: N. Hiefür wird im Skriptum ein Gegenbeispiel gegeben. 7) Die Exponentialverteilung hat Dichtefunktion λe−λx , wobei λ > 0 ist Antw.: N. Ihr Wert für negative x hat Null zu sein 8) Für zwei gaußverteilte Zufallsvariable X, Y folgt aus E(XY ) = E(X)E(Y ) ihre Unabhängigkeit Antw.: J. Für Gaußverteilungen stimmt diese Aussage 9) Durch 1 5 δ0 + 45 δ1 ist eine Punktverteilung F gegeben, für welche F (x) = 0 falls x ≤ 0, 2. Probetest M3 ET F (x) = 1 5 2 7. April 2009 für x ∈ (0, 1] und F (x) = 4 5 für x ∈ [0, ∞) gilt. Antw.: N. Es ist alles i.O., allerdings sollte F (x) = 1 im Intervall [1, ∞) gelten. 10) Es sei X das Ereignis, welches besagt, daß ein gewisses Ereignis A eingetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A sei p. EsP seien Xi reellwertige, identische wie X verteilte, unabhängige Zufallsvariable. Dann ist Z := i Xi Bernoulliverteilt und E(Z) = np, sowie V (Z) = npq Antw.: J 11) Das Additionstheorem für Gaussverteilungen besagt, daß die Summe zweier gaussverteilter Zufallsvariabler X und Y wieder gaußverteilt ist, genauer, X + Y hat als Erwartungswert die Summe der beiden Erwartungswerte und als Streuung die Wurzel aus der Summe der Varianzen der beiden Variablen. Antw.: N. Grundsätzlich gilt das nur, wenn die Variablen X und Y stochastisch unabhängig sind. 12) Die Tschebischeffsche Ungleichung lautet P (|X − E(X)| ≥ ) ≤ V (X) 2 Antw.: J 13) Die Tschebischeffsche Ungleichung kann zur Konstruktion von Konfidenzintervallen benützt werden Antw.: J 14) Der zentrale Grenzwertsatz besagt (in seiner einfachsten Form), daß für identisch wie X P √ i (Xi −µ) verteilte unabhängige Zufallsvariable Xi , die standardisierte Zufallsvariable Z = n σ approximativ N (0, 1) verteilt ist. 1 P X −µ √ Antw.: N. Die korrekte Formel wäre Z = n iσ i n. Korrektur am 14.1.08 15) Der zentrale Grenzwertsatz kann zur Erklärung dienen, warum man erwarten darf, daß sich bei immer öfterem unabhängig geführtem Messen die Streuung um den Mittelwert verringert Antw.: J. Korrekt 16) Ein Punktschätzer θ(X1 , . . . , Xn ) für den Parameter λ einer Verteilung ist erwartungstreu, wenn E(θ) = λ gilt. Antw.: J 17) Der Punktschätzer Z(X1 , . . . , Xn ) := Schätzung von µ 1 n P i Xi ist konsistent und erwartungstreu für die 2. Probetest M3 ET Antw.: J. Es ist E( n1 3 7. April 2009 P i Xi ) = 1 n P i E(Xi ) 18) Der Punktschätzer Z(X1 , . . . , Xn ) = = 1 n−1 1 n P i E(X) = µ. P Xi ist erwartungstreu und konsistent 1 P n Antw.: N. Es ist µ = E(X) und E(Z) = n−1 i E(Xi ) = n−1 µ 6= µ, somit Z nicht erwartungstreu. Hingegen ist der Schätzer konsistent, wie man durch die zur im Skriptum analogen Rechnung (Tschebischeffsche Ungleichung) sich überlegt. 19) Der Punktschätzer Z(X1 , . . . , Xn ) := rianz von X 1 n 2 i Xi P ist erwartungstreuer Schätzer für die Va- Antw.: N. Dazu reicht es, n = 1 zu wählen. Es sollte E(X12 ) = V (X) = E(X 2 ) − µ2 gelten. Die linke Seite ergibt sich zu E(X12 ) = E(X 2 ), weil ja X1 wie X verteilt ist. Wenn demnach µ 6= 0 ist, kann die Formel nicht stimmen. 20) Intervallschätzung geht davon aus, bei gegebener Irrtumswahrscheinlichkeit α 2 Schätzer θ(X1 , . . . , Xn ) und θ̄(X1 , . . . , Xn ) anzugeben, derart, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei vorliegender Stichprobe (x1 , . . . , xn ) der Wert des zu schätzenden Parameters im Intervall (θ(x1 , . . . , xn ), θ̄(x1 , . . . , xn )) nicht kleiner als 1 − α ist. Antw.: J
