Zusammenfassung: Gauß-Test für den Mittelwert Zusammenfassung

7 Tests für Mittelwert und Varianz
Gauß-Test für den Mittelwert 7.1
Zusammenfassung: Gauß-Test für den Mittelwert
7 Tests für Mittelwert und Varianz
Gauß-Test für Anteilswert p 7.2
Zusammenfassung: (Approx.) Gauß-Test für Anteilswert p
bei bekannter Varianz
Anwendungsvoraussetzungen
exakt: Y ∼ N(µ, σ 2 ) mit µ ∈ R unbekannt, σ 2 bekannt
approximativ: E (Y ) = µ ∈ R unbekannt, Var(Y ) = σ 2 bekannt
X1 , . . . , Xn einfache Stichprobe zu Y
Nullhypothese
Gegenhypothese
H0 : µ ≤ µ0
H1 : µ > µ0
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
Teststatistik
Verteilung (H0 )
Benötigte Größen
Kritischer Bereich
zum Niveau α
N=
H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ < µ0
Verteilung (H0 )
(N1−α , ∞)
2 · (1 − Φ(|N|))
p-Wert
Benötigte Größen
(−∞, −N1−α )
1 − Φ(N)
Kritischer Bereich
zum Niveau α
H0 : p ≤ p0
H1 : p > p0
H0 : p = p0
H1 : p 6= p0
H0 : p ≥ p0
H1 : p < p0
2 · (1 − Φ(|N|))
p-Wert
Φ(N)
einer normalverteilten Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert
exakt: Y ∼ N(µ, σ 2 ) mit µ ∈ R, σ 2 ∈ R++ unbekannt
approximativ: E (Y ) = µ ∈ R, Var(Y ) = σ 2 ∈ R++ unbekannt
X1 , . . . , Xn einfache Stichprobe zu Y
t=
Benötigte Größen
1 − Φ(N)
Φ(N)
(−∞, −tn−1;1− α2 )
∪(tn−1;1− α2 , ∞)
Kritischer Bereich
zum Niveau α
Folie 132
Chi-Quadrat-Test für die Varianz 7.4
Schließende Statistik (WS 2013/14)
Folie 134
8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests
Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1
X − µ0 √
n
S
(tn−1;1−α , ∞)
2 · (1 − Ft(n−1) (|t|))
1 − Ft(n−1) (t)
Folie 138
Zusammenfassung: Chi-Quadrat-Anpassungstest
zur Anpassung an eine vorgegebene Verteilung
zur Anpassung an parametrische Verteilungsfamilie
H0 : σ 2 = σ02
H1 : σ 2 6= σ02
Nullhypothese
Gegenhypothese
H0 : σ 2 ≤ σ02
H1 : σ 2 > σ02
χ2 =
Teststatistik
Verteilung (H0 )
Benötigte Größen
v
u
u
S =t
p-Wert
Schließende Statistik (WS 2013/14)
n
1X
Xi
n i=1
[0, χ2n−1; α )
2
∪(χ2n−1;1− α , ∞)
2
2 · min Fχ2 (n−1) (χ2 ),
1 − Fχ2 (n−1) (χ2 )
Benötigte Größen
[0, χ2n−1;α )
1 − Fχ2 (n−1) (χ2 )
Fχ2 (n−1) (χ2 )
H0 : µA ≤ µB
H1 : µA > µB
Teststatistik
Verteilung (H0 )
Benötigte Größen
Kritischer Bereich
zum Niveau α
p-Wert
Schließende Statistik (WS 2013/14)
t=
H0 : µA ≥ µB
H1 : µA < µB
2 · (1 − Ft(n−1) (|t|))
X√
n
S
Schließende Statistik (WS 2013/14)
Folie 157
9 Mittelwert- und Varianzvergleiche
Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9.2
(−∞, −tn−1;1−α )
1 − Ft(n−1) (t)
Ft(n−1) (t)
Folie 183
Anwendungsvoraussetzungen
Kritischer Bereich
zum Niveau α
p-Wert
Anwendungsvoraussetzungen
exakt: Y A ∼ N(µA , σA2 ), Y B ∼ N(µB , σB2 ), σA2 , σB2 bekannt
X1A , . . . , XnAA einfache Stichprobe zu Y A , unabhängig von
einfacher Stichprobe X1B , . . . , XnBB zu Y B .
H0 : µA ≤ µB
H1 : µA > µB
H0 : µA = µB
H1 : µA 6= µB
Nullhypothese
Gegenhypothese
H0 : µA ≥ µB
H1 : µA < µB
XA − XB
N= q 2
σA
σ2
+ nBB
nA
Teststatistik
Verteilung (H0 )
N für µA = µB N(0, 1)-verteilt
XA =
1
nA
PnA
i=1
XiA ,
XB =
1
nB
(−∞, −N1− α2 )
∪(N1− α2 , ∞)
2 · (1 − Φ(|N|))
PnB
i=1
Benötigte Größen
XiB
(N1−α , ∞)
(−∞, −N1−α )
1 − Φ(N)
Φ(N)
zum Niveau α
p-Wert
Folie 187
9 Mittelwert- und Varianzvergleiche
Nullhypothese
Gegenhypothese
H0 :
H1 :
=
6
=
H0 :
H1 :
Benötigte Größen
SY2 B
Kritischer Bereich
zum Niveau α
p-Wert
Schließende Statistik (WS 2013/14)
≥
<
σB2
σB2
Mittelwertvergleiche bei k > 2 unabhängigen Stichproben 9.4
[0, FnA −1,nB −1; α )
2
nA −1,nB −1;1− α
2
∪(F
, ∞)
2·min FF (nA −1,nB −1) (F ),
1 − FF (nA −1,nB −1) (F )
(FnA −1,nB −1;1−α , ∞)
1−FF (nA −1,nB −1) (F )
Nullhypothese
Gegenhypothese
exakt: Yj ∼ N(µj , σ 2 ) für j ∈ {1, . . . , k}
approximativ: Yj beliebig verteilt mit E(Yj ) = µj , Var(Yj ) = σ 2
k unabhängige einfache Stichproben Xj,1 , . . . , Xj,nj vom Umfang
P
nj zu Yj für j ∈ {1, . . . , k}, n = kj=1 nj
H0 : µ1 = µj für alle j ∈ {2, . . . , k}
H1 : µ1 6= µj für (mindestens) ein j ∈ {2, . . . , k}
SB/(k − 1)
F =
SW /(n − k)
Teststatistik
F unter H0 für σA2 = σB2 F (nA − 1, nB − 1)-verteilt
PnA A
PB B
X B = n1B ni=1
Xi ,
i=1 Xi ,
P
PA
2
nA
= nA1−1 ni=1
(XiA − X A )2 = nA1−1
(X A )2 − nA X A
Pi=1 i
PnB
2
nB
B
2
B 2
1
1
B
B
− nB X
= nB −1 i=1 (Xi − X ) = nB −1
i=1 (Xi )
1
nA
XA =
SY2 A
H0 :
H1 :
σA2
σA2
S2 A
F = Y2
SY B
Teststatistik
Verteilung (H0 )
≤
>
σB2
σB2
Verteilung (H0 )
Benötigte Größen
FF (nA −1,nB −1) (F )
j=1
Kritischer Bereich
zum Niveau α
p-Wert
Folie 203
k
X
Schließende Statistik (WS 2013/14)
nj · (x j − x)2 , SW =
H0 : µA ≤ µB
H1 : µA > µB
H0 : µA = µB
H1 : µA 6= µB
Y
nA +nB −2
(−∞, −tnA +nB −2;1− α )
2
∪(tnA +nB −2;1− α , ∞)
i=1
1 − Ft(nA +nB −2) (t)
[0, χ2n;α )
Fχ2 (n) (χ2 )
1 − Fχ2 (n) (χ )
Folie 147
8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests
Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest 8.2
Anwendungsvoraussetzungen
approximativ: (Y A , Y B ) beliebig verteilt
(X1A , X1B ), . . . , (XnA , XnB ) einfache Stichprobe zu (Y A , Y B )
Ausprägungen {a1 , . . . , ak } von Y A , {b1 , . . . , bl } von Y B oder
Klassengrenzen a1 < . . . < ak−1 zu Y A , b1 < . . . < bl−1 zu Y B
Nullhypothese
Gegenhypothese
H0 : Y A ,Y B stochastisch unabhängig
H1 : Y A ,Y B nicht stochastisch unabhängig


k X
l
k X
l
X
X
nij2
(nij − e
nij )2
−n
χ2 =
=
e
e
nij
nij
i=1 j=1
i=1 j=1
Teststatistik
Verteilung (H0 )
Benötigte Größen
χ2 ist näherungsweise χ2 ((k − 1) · (l − 1))-verteilt, falls H0 gilt
(Näherung nur vernünftig, falls e
nij ≥ 5 für alle i, j)
nij = #{m ∈ {1, . . . , n} | (xm , ym ) ∈ Ai × Bj } für alle i, j mit
Ai = {ai }, Bj = {bj } bzw. Klassen Ai , Bj nach vorg. Grenzen,
P
P
n ·n
e
nij = i·n ·j mit ni· = lj=1 nij , n·j = ki=1 nij ,
(χ2(k−1)·(l−1);1−α , ∞)
1 − Fχ2 ((k−1)·(l−1)) (χ2 )
Schließende Statistik (WS 2013/14)
Folie 177
9 Mittelwert- und Varianzvergleiche
Anwendungsvoraussetzungen
Nullhypothese
Gegenhypothese
Verteilung (H0 )
Benötigte Größen
(−∞, −tnA +nB −2;1−α )
2
2 · (1 − Ft(nA +nB −2) (|t|))
2
Schließende Statistik (WS 2013/14)
Teststatistik
PnB
(XiA −X A )2 + i=1
(XiB −X B )2
nA +nB −2
(tnA +nB −2;1−α , ∞)
(χ2n;1−α , ∞)
Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9.2
Ft(nA +nB −2) (t)
Folie 189
Konfidenzintervalle und Tests 10.4
Kritischer Bereich
zum Niveau α
p-Wert
approx.: Y A ∼ B(1, pA ), Y B ∼ B(1, pB ), pA , pB unbekannt
X1A , . . . , XnAA einfache Stichprobe zu Y A , unabhängig von
einfacher Stichprobe X1B , . . . , XnBB zu Y B .
H0 : pA ≤ pB
H1 : pA > pB
H0 : pA = pB
H1 : pA 6= pB
H0 : pA ≥ pB
H1 : pA < pB
r
b
b
pA − b
pB
pA − b
pB
nA · nB
t= q
=
2
S
nA + nB
S2
+ nSB
nA
t für pA = pB näherungsweise t(nA + nB − 2)-verteilt
(Näherung ok, falls 5 ≤ nA b
pA ≤ nA − 5 und 5 ≤ nB b
pB ≤ nB − 5)
PnA A
PnB B
b
pA = n1A i=1
Xi , b
pB = n1B i=1
Xi ,
q
pA )+nB ·b
pB ·(1−b
pB )
S = nA ·bpA ·(1−b
nA +nB −2
(−∞, −tnA +nB −2;1− α )
2
∪(tnA +nB −2;1− α , ∞)
(tnA +nB −2;1−α , ∞)
(−∞, −tnA +nB −2;1−α )
1 − Ft(nA +nB −2) (t)
Ft(nA +nB −2) (t)
2
2 · (1 − Ft(nA +nB −2) (|t|))
Schließende Statistik (WS 2013/14)
Folie 193
10 Lineare Regression
Konfidenzintervalle und Tests 10.4
Zusammenfassung: t-Test für den Parameter β1
Zusammenfassung: t-Test für den Parameter β2
im einfachen linearen Regressionsmodell mit Normalverteilungsannahme
im einfachen linearen Regressionsmodell mit Normalverteilungsannahme
Anwendungsvoraussetzungen
Nullhypothese
Gegenhypothese
Kritischer Bereich
zum Niveau α
j=1 i=1
PnA
=
10 Lineare Regression
Benötigte Größen
(Fk−1,n−k;1−α , ∞)
Y
Schließende Statistik (WS 2013/14)
Verteilung (H0 )
nj
k X
X
(xj,i − x j )2
H0 : µA ≥ µB
H1 : µA < µB
r
XA − XB
XA − XB
nA · nB
t= q
=
2
S
nA + nB
S2
+ nSB
nA
t für µA = µB (näherungsweise) t(nA + nB − 2)-verteilt
PA A
PB B
X A = n1A ni=1
Xi , X B = n1B ni=1
Xi ,
r
r
(nA −1)S 2 A +(nB −1)S 2 B
[0, χ2n; α )
2
∪(χ2n;1− α , ∞)
2
2 · min Fχ2 (n) (χ2 ),
1 − Fχ2 (n) (χ2 )
Zusammenfassung: 2-Stichproben-t-Test für Anteilswerte
exakt: Y A ∼ N(µA , σA2 ), Y B ∼ N(µB , σB2 ), µA , µB , σA2 = σB2 unbek.
approx.: E(Y A ) = µA , E(Y B ) = µB , Var(Y A ) = Var(Y B ) unbekannt
X1A , . . . , XnAA einfache Stichprobe zu Y A , unabhängig von
einfacher Stichprobe X1B , . . . , XnBB zu Y B .
iid
exakt: yi = β1 + β2 · xi + ui mit ui ∼ N(0, σ 2 ) für i ∈ {1, . . . , n},
σ 2 unbekannt, x1 , . . . , xn deterministisch und bekannt,
Realisation y1 , . . . , yn beobachtet
H0 : β1 = β10
H1 : β1 6= β10
H0 : β1 ≤ β10
H1 : β1 > β10
Teststatistik
F ist (approx.) F (k − 1, n − k)-verteilt, falls µ1 = . . . = µk
nj
k
1 X
1X
xj =
xj,i für j ∈ {1, . . . , k}, x =
nj · x j ,
nj i=1
n j=1
SB =
[0, FnA −1,nB −1;α )
Kritischer Bereich
Folie 168
Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9.2
S=
Schließende Statistik (WS 2013/14)
Anwendungsvoraussetzungen
exakt: Y ∼ N(µA , σA2 ), Y B ∼ N(µB , σB2 ), µA , µB , σA2 , σB2 unbek.
X1A , . . . , XnAA einfache Stichprobe zu Y A , unabhängig von
einfacher Stichprobe X1B , . . . , XnBB zu Y B .
9 Mittelwert- und Varianzvergleiche
H0 : σ 2 ≥ σ02
H1 : σ 2 < σ02
e2
n·S
χ2 =
σ02
χ2 (für σ 2 = σ02 ) χ2 (n)-verteilt
v
u
n
u1 X
e=t
S
(Xi − µ)2
n i=1
p-Wert
1 − Fχ2 (k−r −1) (χ2 )
Schließende Statistik (WS 2013/14)
p-Wert
Kritischer Bereich
zum Niveau α
(χ2k−r −1;1−α , ∞)
bei unbekannten, aber übereinstimmenden Varianzen
Zusammenfassung: Einfache Varianzanalyse
A
σA2
σA2
pi0 = Fθb(ak ) − Fθb(ak−1 ) mit a0 := −∞, ak := ∞,
ni = #{j ∈ {1, . . . , n} | xj ∈ (ai−1 , ai ]}, i ∈ {1, . . . , k}
Zusammenfassung: 2-Stichproben-t-Test
zweier normalverteilter Zufallsvariablen
σB2
σB2
i=1
bei bekannten Varianzen
Benötigte Größen
Varianzvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9.3
σA2
σA2
χ2 ist unter H0 näherungsweise χ2 (k − r − 1)-verteilt,
wenn θb ML-Schätzer des r -dim. Verteilungsparameters θ auf
Basis klassierter Daten ist (Verwendung von θb siehe unten).
(Näherung nur vernünftig, falls npi0 ≥ 5 für i ∈ {1, . . . , k})
Zusammenfassung: 2-Stichproben-Gauß-Test
Verteilung (H0 )
Zusammenfassung: F -Test zum Vergleich der Varianzen
Anwendungsvoraussetzungen
χ2 =
Verteilung (H0 )
Kritischer Bereich
zum Niveau α
1 − Fχ2 (k−1) (χ2 )
Teststatistik
(tn−1;1−α , ∞)
9 Mittelwert- und Varianzvergleiche
Teststatistik
Benötigte Größen
(χ2k−1;1−α , ∞)
Nullhypothese
Gegenhypothese
t für µA = µB (näherungsweise) t(n − 1)-verteilt
n
1X
Xi = XiA − XiB für i ∈ {1, . . . , n}, X =
Xi
n i=1
v
v
!
u
u
n
n
X
u 1
u 1 X
2
S =t
(Xi − X )2 = t
X 2 − nX
n − 1 i=1
n − 1 i=1 i
(−∞, −tn−1;1− α2 )
∪(tn−1;1− α2 , ∞)
−n
H0 : FY = Fθ für ein θ ∈ Θ
H1 : FY 6= Fθ (für alle θ ∈ Θ)
!
2
k
k
ni
X
− pi0
(ni − npi0 )2
1 X ni2
n
=n
=
−n
n i=1 pi0
npi0
pi0
i=1
p-Wert
Folie 150
exakt: (Y A , Y B ) gemeinsam (zweidimensional) normalverteilt,
E(Y A ) = µA , E(Y B ) = µB sowie Varianzen/Kovarianz unbekannt
approx.: E(Y A ) = µA , E(Y B ) = µB , Var(Y A ), Var(Y B ) unbek.
(X1A , X1B ), . . . , (XnA , XnB ) einfache Stichprobe zu (Y A , Y B )
H0 : µA = µB
H1 : µA 6= µB
!
k
X
H0 : σ 2 ≤ σ02
H1 : σ 2 > σ02
Zusammenfassung: Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest
approx.: Y beliebig verteilt, X1 , . . . , Xn einf. Stichprobe zu Y
Familie von Verteilungsfunktionen Fθ für θ ∈ Θ vorgegeben
k − 1 Klassengrenzen a1 < a2 < . . . < ak−1 vorgegeben
Nullhypothese
Gegenhypothese
pi0 = F0 (ai ) − F0 (ai−1 ) mit a0 := −∞, ak := ∞,
ni = #{j ∈ {1, . . . , n} | xj ∈ (ai−1 , ai ]}, i ∈ {1, . . . , k}
p-Wert
Mittelwertvergleiche bei verbundenen Stichproben 9.1
Nullhypothese
Gegenhypothese
k
1 X ni2
n i=1 pi0
Anwendungsvoraussetzungen
χ2 ist näherungsweise χ2 (k − 1)-verteilt, falls FY = F0
(Näherung nur vernünftig, falls npi0 ≥ 5 für i ∈ {1, . . . , k})
Kritischer Bereich
zum Niveau α
Zusammenfassung: t-Differenzentest
Anwendungsvoraussetzungen
H0 : FY = F0
H1 : FY 6= F0
2
k
k
ni
0
2
X (ni − np )
X
− pi0
i
n
χ2 =
=n
=
0
np
pi0
i
i=1
i=1
Verteilung (H0 )
(χ2n−1;1−α , ∞)
9 Mittelwert- und Varianzvergleiche
Nullhypothese
Gegenhypothese
Teststatistik
χ2 (für σ 2 = σ02 ) χ2 (n − 1)-verteilt
v
!
u
n
n
X
u 1
1 X
2
(Xi − X )2 = t
X 2 − nX
n − 1 i=1
n − 1 i=1 i
mit X =
Kritischer Bereich
zum Niveau α
(n − 1)S
σ02
H0 : σ 2 ≥ σ02
H1 : σ 2 < σ02
2
approximativ: Y beliebig verteilt
X1 , . . . , Xn einfache Stichprobe zu Y
k − 1 Klassengrenzen a1 < a2 < . . . < ak−1 vorgegeben
Kritischer Bereich
zum Niveau α
Ft(n−1) (t)
Zusammenfassung: Chi-Quadrat-Anpassungstest
Anwendungsvoraussetzungen
Benötigte Größen
Chi-Quadrat-Anpassungstest 8.1
einer normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekanntem Erwartungswert
exakt: Y ∼ N(µ, σ 2 ), µ ∈ R unbekannt, σ 2 ∈ R++ unbekannt
X1 , . . . , Xn einfache Stichprobe zu Y
Verteilung (H0 )
(−∞, −tn−1;1−α )
Zusammenfassung: χ2 -Test für die Varianz
Anwendungsvoraussetzungen
H0 : σ 2 = σ02
H1 : σ 2 6= σ02
Teststatistik
Schließende Statistik (WS 2013/14)
8 Anpassungs- und Unabhängigkeitstests
exakt: Y ∼ N(µ, σ 2 ), µ ∈ R bekannt, σ 2 ∈ R++ unbekannt
X1 , . . . , Xn einfache Stichprobe zu Y
Anwendungsvoraussetzungen
Nullhypothese
Gegenhypothese
H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ < µ0
t für µ = µ0 (näherungsweise) t(n − 1)-verteilt
n
1X
X =
Xi
n
v
v i=1
!
u
u
n
n
X
u 1
u 1 X
2
S =t
(Xi − X )2 = t
X 2 − nX
n − 1 i=1
n − 1 i=1 i
p-Wert
Schließende Statistik (WS 2013/14)
7 Tests für Mittelwert und Varianz
H0 : µ ≤ µ0
H1 : µ > µ0
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
Verteilung (H0 )
(−∞, −N1−α )
Chi-Quadrat-Test für die Varianz 7.4
bei unbekannter Varianz
Teststatistik
(N1−α , ∞)
7 Tests für Mittelwert und Varianz
Zusammenfassung: χ2 -Test für die Varianz
Nullhypothese
Gegenhypothese
√
b
p − p0
N= p
n
p0 · (1 − p0 )
N für p = p0 näherungsweise N(0, 1)-verteilt
n
1X
b
p=
Xi
n i=1
(−∞, −N1− α2 )
∪(N1− α2 , ∞)
t-Test für den Mittelwert 7.3
Zusammenfassung: t-Test für den Mittelwert
Anwendungsvoraussetzungen
approximativ: Y ∼ B(1, p) mit p ∈ [0, 1] unbekannt
X1 , . . . , Xn einfache Stichprobe zu Y
Nullhypothese
Gegenhypothese
Teststatistik
X − µ0 √
n
σ
N für µ = µ0 (näherungsweise) N(0, 1)-verteilt
n
1X
Xi
X =
n i=1
(−∞, −N1− α2 )
∪(N1− α2 , ∞)
Anwendungsvoraussetzungen
7 Tests für Mittelwert und Varianz
p-Wert
t=
t für β1 =
β10
2 · (1 − Ft(n−2) (|t|))
Nullhypothese
Gegenhypothese
βb1 − β10
σ
bβb1
iid
exakt: yi = β1 + β2 · xi + ui mit ui ∼ N(0, σ 2 ) für i ∈ {1, . . . , n},
σ 2 unbekannt, x1 , . . . , xn deterministisch und bekannt,
Realisation y1 , . . . , yn beobachtet
H0 : β2 = β20
H1 : β2 6= β20
H0 : β2 ≤ β20
H1 : β2 > β20
Teststatistik
t(n − 2)-verteilt
s
(sY2 − βb2 · sX ,Y ) · x 2
(n − 2) · sX2
sX ,Y
βb2 = 2 , βb1 = y − βb2 · x, σ
bβb1 =
sX
(−∞, −tn−2;1− α2 )
∪(tn−2;1− α2 , ∞)
H0 : β1 ≥ β10
H1 : β1 < β10
Anwendungsvoraussetzungen
t=
β20
Verteilung (H0 )
Benötigte Größen
(tn−2;1−α , ∞)
(−∞, −tn−2;1−α )
1 − Ft(n−2) (t)
Ft(n−2) (t)
Kritischer Bereich
zum Niveau α
p-Wert
sX ,Y
βb2 = 2 , σ
bβb2 =
sX
H0 : β2 ≥ β20
H1 : β2 < β20
βb2 − β20
σ
bβb2
t für β2 =
t(n − 2)-verteilt
s
sY2 − βb2 · sX ,Y
(n − 2) · sX2
(−∞, −tn−2;1− α2 )
∪(tn−2;1− α2 , ∞)
2 · (1 − Ft(n−2) (|t|))
(tn−2;1−α , ∞)
(−∞, −tn−2;1−α )
1 − Ft(n−2) (t)
Ft(n−2) (t)
1 − FF (k−1,n−k) (F )
Folie 210
Schließende Statistik (WS 2013/14)
Folie 246
Schließende Statistik (WS 2013/14)
Folie 247