Mathematik macht Freu(n)de Trigonometrie, II KOMPETENZHEFT

Mathematik macht Freu(n)de
Trigonometrie, II
KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II
1. Aufgabenstellungen
Aufgabe 1.1. Bestimme alle Winkel in [0◦ ; 360◦ ], die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, und
zeichne sie am Einheitskreis ein.
1) sin(α) = −0,4
2) cos(β) = 0,8
3) tan(γ) = 0,8
Aufgabe 1.2. Im folgenden Zeigerdiagramm ist der Funktionsgraph einer allgemeinen Sinusfunktion
f (t) = A · sin(ω · t + ϕ) dargestellt.
a) Zeichne die Startposition des Zeigers ein.
b) Bestimme die Amplitude A, die Kreisfrequenz ω und den Nullphasenwinkel ϕ.
c) Gib eine Funktionsgleichung der dargestellten, allgemeinen Sinusfunktion an.
Datum: 3. Februar 2017.
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Aufgabe 1.3. Ermittle die Parameter A, ω, ϕ und c der dargestellten Sinusfunktionen y(x) =
A · sin(ω · x + ϕ) + c.
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 1.4. Berechne alle Winkel in [0 rad; 2π rad], die Lösungen der folgenden Gleichungen sind:
a) sin(2 · x − 3) = 0,7
b) cos(3 · x + 5) = −0,1
c) tan(2 · x − 1) = 42
Aufgabe 1.5.
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1.1 1) α1 = 336,4...◦ , α2 = 203,5...◦
4
2) β1 = 36,8...◦ , β2 = 323,1...◦
3) γ1 = 38,6...◦ , γ2 = 218,6...◦
1.2 a)
π
7π
b) A = 5, ω = 0,5, ϕ =
oder: ϕ = −
4 4
π
c) f (t) = 5 · sin 0,5 · t +
4
b) y = 8 · sin 2x −
1.3 a) y = 2 · sin (0,5 · x)
π
2
c) y = 2 · sin x −
+4
3π
2
−1
d) y = 0,5 · sin 4x −
3π
2
1.4 a) x1 = 1,887... rad, x2 = 5,029... rad, x3 = 2,683... rad, x4 = 5,824... rad
b) x1 = 0,984... rad, x2 = 3,079... rad, x3 = 5,173... rad, x4 = 1,965... rad, x5 = 4,059... rad, x6 = 6,153... rad a)
x1 = 1,273... rad, x2 = 2,844... rad, x3 = 4,415... rad, x4 = 5,985... rad
1.5 a) d = 121 m,
b)
t1
ω ≈ 0,21 min−1 ,
= 40,78... s,
t2
c = 74,5 m
= 86,71... s =⇒ Gondel ist rund 46 Sekunden in einer Höhe von mindestens 60 m.
c) v ≈ 2,827 km/h, 12 gleichmäßig verteilte Gondeln =⇒ Winkel zwischen zwei benachbarten Gondeln
ϕ wird gegen den Uhrzeigersinn von der „rechten horizontalen Lage“ gemessen =⇒ ϕ = − π6 =
π
6
rad.
11π
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2. Winkelfunktionen am Einheitskreis
Wir haben die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens bereits im rechtwinkligen Dreieck folgendermaßen definiert:
sin(α) =
G
,
H
cos(α) =
A
,
H
tan(α) =
G
A
H
G
α
A
i) Erkläre, warum hiermit die Winkelfunktionen ausschließlich für Winkel zwischen 0◦ und 90◦
(„spitze Winkel“) definiert sind.
ii) Leite aus der Definition den Zusammenhang
sin(α)
= tan(α) ab.
cos(α)
Im Folgenden erweitern wir den Definitionsbereich der Winkelfunktionen auf beliebige Winkel.
Von einem Kreis mit Radius 1 („Einheitskreis“) zeichnen wir nur ein Viertel und wählen am
Kreisbogen einen Punkt P . Ausgehend von P konstruieren wir folgendermaßen zwei rechtwinklige
Dreiecke:
1. Quadrant (0◦ < α < 90◦ )
1) Erkläre, warum der Punkt P = (xP | yP ) tatsächlich die x-Koordinate xP = cos(α) und die
y-Koordinate yP = sin(α) hat.
2) Erkläre, warum die senkrechte Kathete im großen Dreieck tatsächlich die Länge tan(α) hat.
3) Berechne mit dem Taschenrechner sin(90◦ ), cos(90◦ ) und tan(90◦ ). Kannst du eine plausible
Erklärung für die Ergebnisse finden?
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Um sin(α) und cos(α) nun auch für größere Winkel zu definieren, lassen wir den Punkt P am
Kreisbogen weiter gegen den Uhrzeigersinn laufen. Jedem Winkel α entspricht genau ein Punkt
P = (xP | yP ) am Einheitskreis:
2. Quadrant (90◦ < α < 180◦ )
Die Eigenschaft des Punkts P im ersten Quadranten nehmen wir als Ausgangspunkt für die Definition
von sin(α) und cos(α) für jeden beliebigen Winkel, nämlich:
cos(α) = xP
bzw.
sin(α) = yP .
Erkläre, warum cos(α) für Winkel zwischen 90◦ und 180◦ negativ ist, während sin(α) positiv ist.
sin(α)
Welches Vorzeichen hat daher
?
cos(α)
sin(α)
aus dem ersten Quadranten auch im zweiten
cos(α)
Quadranten erhalten bleibt, haben wir für die Definition von tan(α) die Hypotenuse wie zuvor nach
rechts verlängert.
Damit uns der Zusammenhang tan(α) =
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Erkläre, warum mit diesen Definitionen auch im dritten und vierten Quadranten die Gleichung
sin(α)
erfüllt ist.
tan(α) =
cos(α)
3. Quadrant (180◦ < α < 270◦ )
4. Quadrant (270◦ < α < 360◦ )
Beispiel 2.1. Trage in der folgenden Tabelle die Vorzeichen der Winkelfunktionen in den vier Quadranten sowie die Werte an deren Schnittstellen ein.
0◦
1. Qu.
90◦
2. Qu.
180◦
3. Qu.
270◦
4. Qu.
360◦
sin(α)
cos(α)
tan(α)
Erkläre, warum sin2 (α) + cos2 (α) = 1 für jeden Winkel α gilt.
Anmerkung: sin2 (α) ist die Kurzschreibweise für sin(α) · sin(α)
Berechne mit dem Taschenrechner sin(20◦ ) und sin(380◦ ). Gib eine plausible Erklärung, wie die
Winkelfunktionen für Winkel größer als 360◦ definiert werden.
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Auch für „negative Winkel“ können wir auf diese Weise die Winkelfunktionen definieren, indem wir
so oft 360◦ addieren, bis wir einen Winkel im Bereich von 0◦ bis 360◦ erhalten, z.B.: sin(−420◦ ) =
sin(−60◦ ) = sin(300◦ ).
i) Erkläre, warum der eingezeichnete Winkel α
eine Lösung der Gleichung sin(α) = 0,6 ist.
ii) Erkläre, warum die Gleichung noch eine zweite
Lösung zwischen 0◦ und 360◦ besitzt. Zeichne
den zweiten Winkel ein.
iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang
sin(α) = sin(180◦ − α)
iv) Berechne mit dem Taschenrechner beide Lösungen.
i) Erkläre, warum der eingezeichnete Winkel α
eine Lösung der Gleichung cos(α) = 0,8 ist.
ii) Erkläre, warum die Gleichung noch eine zweite
Lösung zwischen 0◦ und 360◦ besitzt. Zeichne
den zweiten Winkel ein.
iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang
cos(α) = cos(360◦ − α)
iv) Berechne mit dem Taschenrechner beide Lösungen.
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i) Erkläre, warum der eingezeichnete Winkel α
eine Lösung der Gleichung tan(α) = 0,75 ist.
ii) Erkläre, warum die Gleichung noch eine zweite
Lösung zwischen 0◦ und 360◦ besitzt. Zeichne
den zweiten Winkel ein.
iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang
tan(α) = tan(180◦ + α)
iv) Berechne mit dem Taschenrechner beide Lösungen.
i) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang
sin(−α) = − sin(α)
ii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang
cos(−α) = cos(α)
iii) Erkläre anhand der Zeichnung den Zusammenhang
tan(−α) = − tan(α)
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Allgemein nennt man Funktionen mit der Eigenschaft f (−x) = f (x) gerade Funktionen, und
solche mit der Eigenschaft f (−x) = −f (x) ungerade Funktionen, d.h. Sinus und Tangens sind
ungerade Funktionen, während Cosinus eine gerade Funktion ist.
3. Funktionsgraphen der Winkelfunktionen
Zur Messung von Winkeln gibt es neben dem zuvor verwendeten Gradmaß (Einheit: Grad, kurz: ◦ )
auch das sogenannte Bogenmaß (Einheit: Radiant, kurz: rad). Dazu betrachten wir einen Kreissektor mit Radius 1. Den Winkel messen wir dann im Bogenmaß, indem wir die Länge des Kreisbogens
angeben. Genauer: Der Winkel b rad ist jener Winkel, bei dem der Bogen des Kreissektors die Länge b
hat.
1) Begründe die folgende Formel für die Bogenlänge b eines Kreissektors mit Radius r = 1 und
Zentriwinkel α (in Grad):
b=
2·π
·α
360◦
Die Bogenlänge b ist also direkt proportional zum Zentriwinkel α. Daher können wir Winkel
von Grad in Radiant und umgekehrt mittels Schlussrechnungen umwandeln.
2) Erkläre, warum 360◦ = 2 · π rad gilt, und rechne die folgenden Winkel zwischen Gradmaß und
Bogenmaß um:
Gradmaß
360◦
180◦
Bogenmaß 2 · π rad
90◦
1◦
1 rad
Für jeden Winkel x können wir am Einheitskreis genau einen zugehörigen Sinuswert sin(x) bestimmen, daher sprechen wir auch von der Winkelfunktion Sinus. Sehen wir uns den Funktionsgraph
von y = sin(x) für Winkel x ∈ [0 rad; 2π rad] an.
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Funktionsgraph der Sinusfunktion
1) Erkläre bei welchen Winkeln der Sinuswert minimal, maximal bzw. Null ist.
2) Erkläre, warum der Funktionsgraph nicht stückweise gerade, sondern wellenförmig verläuft.
Auch nach einer vollständigen Umdrehung können wir den Punkt am Einheitskreis weiter rotieren
lassen, und so den Funktionsgraphen von y = sin(x) für beliebige Winkel x bestimmen.
Erkläre, warum sin(x + 2 · π) = sin(x) für alle Winkel x gilt.
Die Sinusfunktion ist daher eine periodische Funktion mit Periodenlänge T = 2 · π.
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Erkläre anhand des Einheitskreises, wie die Lücken zu ergänzen sind, und vergleiche mit dem
nebenstehenden Funktionsgraphen.
Sinusfunktion: y = sin(x)
Definitionsmenge: D =
Wertemenge: W =
Periodenlänge: T =
Nullstellen:
Cosinusfunktion: y = cos(x) = sin x +
π
2
Der Funktionsgraph entsteht durch Verschiebung von y = sin(x) um
Definitionsmenge: D =
Wertemenge: W =
Periodenlänge: T =
Nullstellen:
Tangensfunktion: y = tan(x) =
sin(x)
cos(x)
Definitionsmenge: D =
Wertemenge: W =
Periodenlänge: T =
Nullstellen:
Polstellen:
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nach
.
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Arcussinusfunktion: y = arcsin(x)
Die Funktion x 7→ sin(x) nimmt auf dem Intervall [− π2 ; π2 ] jeden Funktionswert im Intervall
genau einmal an.
Definitionsmenge von y = arcsin(x):
D=
Wertemenge von y = arcsin(x):
W =
Arcuscosinusfunktion: y = arccos(x)
Die Funktion x 7→ cos(x) nimmt auf dem Intervall [0; π] jeden Funktionswert im Intervall
genau einmal an.
Definitionsmenge von y = arccos(x):
D=
Wertemenge von y = arccos(x):
W =
Arcustangensfunktion: y = arctan(x)
Die Funktion x 7→ tan(x) nimmt auf dem Intervall ]− π2 ; π2 [ jeden Funktionswert in
genau einmal an.
Definitionsmenge von y = arctan(x):
D=
Wertemenge von y = arctan(x):
W =
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4. Allgemeine Winkelfunktionen
Die Funktion
A . . . Amplitude
ω . . . Kreisfrequenz
ϕ . . . Nullphasenwinkel
y(x) = A · sin (ω · x + ϕ) + c
heißt allgemeine Sinusfunktion.
Erkläre, warum die Funktionswerte von y(x) = A · sin(x) genau im Intervall [−A; A] liegen.
in
=⇒ A > 1 bewirkt eine
=⇒ 0 < A < 1 bewirkt eine
-Richtung.
in
-Richtung.
y1 =
y2 =
y3 =
Erkläre, warum y(x) = sin(ω · x) die Periodenlänge T =
2·π
hat.
ω
=⇒ ω > 1 bewirkt eine
-Richtung.
in
=⇒ 0 < ω < 1 bewirkt eine
in
-Richtung.
y1 =
y2 =
y3 =
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Erinnere dich, dass der Funktionsgraph von g(x) = f (x+2) durch Verschiebung des Funktionsgraphen
von f um 2 Einheiten nach links entsteht. (Es ist ja g(0) = f (2), g(1) = f (3), . . . )
Erkläre, warum der Funktionsgraph von y(x) = A · sin (ω · x + ϕ) durch Verschiebung des
Funktionsgraphen von y(x) = A · sin (ω · x) um ϕ/ω Einheiten nach links entsteht.
=⇒ ϕ > 0 bewirkt eine
um
nach
.
=⇒ ϕ < 0 bewirkt eine
um
nach
.
y1 =
y2 =
(Wegen der Periodizität kann der Funktionsgraph von y2 durch eine Links- oder Rechtsverschiebung zustande gekommen sein.)
Erinnere dich, dass der Funktionsgraph von g(x) = f (x)+2 durch Verschiebung des Funktionsgraphen
von f um 2 Einheiten nach oben entsteht. (Es ist ja g(0) = f (0) + 2, g(1) = f (1) + 2, . . . )
Erkläre, warum der Funktionsgraph von y(x) = A · sin (ω · x + ϕ) + c durch Verschiebung des
Funktionsgraphen von y(x) = A · sin (ω · x + ϕ) um c Einheiten nach oben entsteht.
=⇒ c > 0 bewirkt eine
um
nach
.
=⇒ c < 0 bewirkt eine
um
nach
.
y1 =
y2 =
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Funktionsgraph ; Funktionsgleichung
Die Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion
y(x) = A · sin(ω · x + ϕ)
können wir am Funktionsgraphen folgendermaßen ablesen:
1) Amplitude A > 0 ablesen:
A=
2) Periodenlänge T > 0 ablesen:
T =
=⇒ ω =
3) Verschiebung in y-Richtung ablesen:
c=
ϕ
4) Verschiebung in x-Richtung ablesen ± :
ω
=⇒ ϕ =
=⇒ y(x) =
Die Parameter A, ϕ und ω können wir auch in einem sogenannten Zeigerdiagramm interpretieren.
Die Amplitude A legt die Länge des Zeigers fest, der Nullphasenwinkel ϕ den Startwinkel und die
Kreisfrequenz ω die Winkelgeschwindigkeit:
Beispiel 4.1.
f (t) = 5 · sin 0,5 · t +
5·π
4
=⇒ A = 5, ω = 0,5, ϕ =
16
5·π
4
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Beispiel 4.2. Berechne alle Winkel in [0 rad; 2π rad], die die Gleichung cos(3 · x) = −0,2 erfüllen.
Lösung. Die Periodenlänge beträgt T = 2π/3. Aufgrund der Kreisfrequenz ω = 3 erwarten wir
2 · 3 = 6 Lösungen im Intervall [0 rad; 2π rad]:
Durch Umformen erhalten wir die erste Lösung:
arccos(−0,2)
= 0,590... rad
3
Durch Addieren der Periodenlänge finden wir zwei weitere Lösungen der Gleichung:
cos(3 · x) = −0,2 =⇒ x =
x1 = 0,590... rad
x2 = x1 + T = 2,685... rad
x3 = x2 + T = 4,779... rad
Für die zweite Hälfte der Lösungen verwenden wir den Zusammenhang cos(z) = cos(2 · π − z):
cos(3 · x) = cos(2 · π − 3 · x) = −0,2 =⇒ 2 · π − 3 · x = arccos(−0,2)
=⇒ x =
2 · π − arccos(−0,2)
= 1,503... rad
3
x4 = 1,503... rad
x5 = x4 + T = 3,598... rad
x6 = x5 + T = 5,692... rad
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5. Weitere Aufgabenstellungen
Aufgabe 5.1. Erkläre am Einheitskreis, warum
sin(α + 90◦ ) = cos(α) und
cos(α + 90◦ ) = − sin(α)
gilt.
Aufgabe 5.2.
5.2 Amplitude: A = 2 mA,
Periodendauer: T =
0,25
6
s =⇒ Frequenz: f =
1
T
= 24 Hz,
y(t) = 2 · sin
6π
125
·t
5.1
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