Versuch 7 - sven.köppel.org

Versuch 7:
Umwandlung von elektrischer Energie in Wärmeenergie
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Aufgaben:
Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität des Wassers
Messverfahren:
Erwärmung einer gegebenen Wassermenge durch eine elektrische Heizspirale und Messung der Temperaturänderung
Vorkenntnisse:
Arbeit und Leistung bei elektrischem Strom (JOULEsche Wärme); Wärmekapazität und spezifische Wärmekapazität von Körpern bzw. Stoffen;
Energieerhaltungssatz
Lehrinhalt:
Aufstellung, Messung und Auswertung der Energiebilanz bei elektrischer
Erwärmung eines wassergefüllten Kalorimeters mit eigener Wasserwertbestimmung
Literatur:
Die Lehr- u. Praktikumsbücher der Physik
1. Einführung
Wärme ist eine Form der Energie, sie wird deshalb genau wie z.B. die kinetische oder elektrische Energie im Internationalen Einheitensystem ("SI-System") in der Einheit Joule gemessen.
Erwärmt man einen Körper von der Anfangstemperatur Ta auf die Endtemperatur Te, so wird die
zugeführte Wärmemenge Q in der Form
Q = C @ (Te - Ta)
(1)
geschrieben. Dabei ist C definiert als die sogenannte Wärmekapazität des betreffenden Körpers
(Einheit von C: J @ K-1) (genauer ist zu unterscheiden zwischen Erwärmung bei konstantem
Druck und konstantem Volumen; vorausgesetzt wird hier ferner, dass keine Änderung des Aggregatzustandes oder der Kristallmodifikation eintritt). Die Wärmekapazität ist innerhalb nicht
zu großer Temperaturbereiche in vielen praktischen Fällen weitgehend konstant, die zugeführte
bzw. abgeführte Wärmeenergie dann also direkt der Temperaturänderung proportional.
Als spezifische Wärmekapazität (früher "spezifische Wärme" genannt) bezeichnet man die auf
die Masse M bezogene Wärmekapazität c:
C = c ⋅ M , c=
C
M
;
(2)
Einheit von c: J kg-1 K-1.
Die spezifische Wärmekapazität ist im Unterschied zur Wärmekapazität eine Materialeigenschaft des Stoffes, aus dem der Körper besteht; sie eignet sich deshalb zum Vergleich verschiedener Stoffe.
Fließt ein Strom I in der Zeit t durch einen ohmschen Widerstand, so wird elektrische Energie in
JOULEsche Wärme umgewandelt und diese an die Umgebung abgegeben. Taucht man den Widerstand in Form einer Heizspirale in ein mit Wasser gefülltes Gefäß, speziell ein wärmeisolierendes Kalorimeter, so kann aus der Erwärmung des Wassers auf die Wärmekapazität der be-
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nutzten Wassermenge und bei bekannter Masse des Wassers auf seine spezifische Wärmekapazität geschlossen werden.
Vernachlässigt man den Wärmeaustausch mit der Umgebung und betrachtet Kalorimeter und
Wasser als thermisch ideal isoliert, so gilt nach dem Erhaltungssatz der Energie für dieses abgeschlossene System:
U@I@t=Q .
(3)
Dabei bedeuten:
U = elektrische Spannung
I = elektrischer Strom
t = Zeitdauer des Stromdurchganges
Q = von Wasser und Kalorimeter aufgenommene Wärmemenge
Strom und Spannung sind dabei während der Messung als konstant vorausgesetzt. Mit der Definitionsgleichung (1) für die Wärmekapazität C unseres ganzen Systems wird hieraus:
U @ I @ t = C (Te - Ta) .
(4)
Die Gesamtwärmekapazität C unserer Anordnung besteht aus zwei Teilbeträgen, aus der Wärmekapazität des eingefüllten Wassers und der des Kalorimeters:
C = CH2O + CKAL .
(5)
Die Wärmekapazität des eingefüllten Wassers kann nach (2) durch die spezifische Wärmekapazität des Wassers und die Masse des eingefüllten Wassers ausgedrückt werden. Die Wärmekapazität des Kalorimeters setzt sich in komplexer Weise aus den Beiträgen aller Kalorimeterteile (Glasgefäß, Heizspirale, Temperaturfühler, Rührwerk, Kunststoffabdeckplatte usw.) zusammen und soll deshalb der Einfachheit halber nur als Ganzes bestimmt werden.
Anstelle der Wärmekapazität CKAL führen wir den sogenannten "Wasserwert" W des Kalorimeters ein (s. auch Abschn. 6). Der Wasserwert ist die dem Kalorimeter thermisch äquivalente
Wassermasse, also diejenige Wassermasse, die die gleiche Wärmekapazität wie das Kalorimeter
besitzt:
C KAL
.
C KAL = c H 2O W , W =
(6)
c H 2O
Dann können wir uns für den Versuch anschaulich das Kalorimeter einfach durch eine zusätzliche Wassermasse W ersetzt denken. Aus (4) und (5) folgt mit (2) und (6):
U @ I @ t = cH2O @ (M + W) @ (Te - Ta) ,
(7)
U ⋅ I ⋅t
(M + W) ⋅ ( T e - T a )
(8)
also
c H 2O =
Glg. (8) ist die Bestimmungsgleichung der spezifischen Wärmekapazität des Wassers; der Wasserwert W des Kalorimeters muss dazu in einem gesonderten Vorversuch ermittelt werden.
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2. Aufgaben
1.)
Bestimmung des Wasserwertes des Kalorimeters mit 5 Leermessungen.
2.)
Bestimmung der spez. Wärmekapazität des Wassers (mindestens drei Messungen unter
verschiedenen Versuchsbedingungen), Vergleich mit dem Literaturwert.
3.)
Bei reiner Wärmeleitung sollte sich die Temperatur des Kalorimeters mit einer exponentiellen Zeitabhängigkeit an die Zimmertemperatur angleichen. Notieren Sie Zeiten und
Temperaturen über einen Zeitraum von 10 Minuten und geben Sie die Halbwertszeit (in
dieser Zeit geht die Temperaturabweichung zur Raumtemperatur auf die Hälfte zurück)
des Kalorimeters an. Wenn Sie mehr Zeit und Geduld haben, messen Sie noch länger und
fertigen eine halblogarithmische Darstellung über den Temperaturausgleich an.
4.)
Der Versuch wird mit Wechselstrom durchgeführt. Die Wechselstrominstrumente zeigen
jeweils den Effektivwert an. Ist ein Phasenwinkel n zwischen Strom und Spannung vorhanden, lautet die Formel für die elektrische Arbeit in der Zeit t:
W = Ueff · Ieff · t · cos n .
Man kann sich auf dem Oszillographen ansehen, ob die einfache Formel (3) ohne Phasenverschiebung zurecht benutzt worden ist oder ob die Induktivität der Heizspirale eine
merkliche Phasenverschiebung bewirkt.
3. Fehlerdiskussion
a)
b)
c)
Geben Sie den relativen Fehler der Wasserwertmessung an.
Geben Sie den relativen Fehler der gemessenen spezifischen Wärmekapazität des Wassers an. - Wie wirkt sich die Ungenauigkeit der Wasserwertbestimmung auf die Messungenauigkeit der spezifischen Wärmekapazität des Wassers aus?
Diskutieren Sie qualitativ die Auswirkung von Messdauer und Stromstärke auf das Endergebnis.
4. Durchführung (siehe auch Abschn. 8)
Bestimmung des Wasserwertes
Bei der Bestimmung des Wasserwertes eines Kalorimeters mit Dewargefäß und Kunststoffabdeckung besteht folgende Schwierigkeit: Wegen der geringen Wärmeleitfähigkeit von Glas
und Kunststoff erwärmen sich während der Messzeit in erster Linie die inneren Teile auf die
Temperatur des Wassers; die Wärme geht, abhängig von der Füllhöhe, nur langsam auf alle Bestandteile des Deckels und den äußeren Glasmantel über. Die Wasserwertbestimmung soll deshalb, soweit möglich, unter ähnlichen Bedingungen (Füllhöhe, Temperaturbereich, Messzeit)
wie die eigentliche Messung erfolgen.
Der Wasserwert kann auf zwei verschiedene Weisen gemessen werden: 1.) Das zuvor mit kaltem Wasser abgekühlte Kalorimeter wird mit leicht erwärmten Wasser auf etwa Zimmertemperatur gebracht, oder 2.) Das mit heißem Wasser erwärmte Kalorimeter wird mit kaltem Wasser
auf Zimmertemperatur gebracht. Bei beiden Messungen sollte die Mischtemperatur möglichst
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nahe bei Zimmertemperatur liegen, damit das Ergebnis nicht von der Wärmeableitung nach Einstellung der Mischungstemperatur abhängt!
Überlegen Sie bitte, welche Temperatur das erwärmende (bei 1) bzw. das kühlende (bei 2) Wasser haben soll, wenn der Wasserwert bei ca. 10 g liegt. Welche Methode ist deshalb genauer?
Das Kalorimeter wird mit heißem/kaltem Leitungswasser gefüllt und man wartet, bis Wasser
und Kalorimeter etwa die gleiche Temperatur (Bezeichnung T1) besitzen. Dann wird das Kalorimeter vollständig entleert, und es wird rasch gleich viel warmes/kaltes Wasser (Temperatur T2)
eingefüllt. Nach kurzer Zeit stellt sich die Mischtemperatur T3 ein. Man verfolgt den Gang der
Temperatur auch noch über den vermuteten Temperaturausgleich hinaus, um die Mischtemperatur vor Beginn der weiteren langsamen Angleichung an die Umgebungstemperatur möglichst
genau festlegen zu können (alle Temperaturen auf 0,1 0C Ablesegenauigkeit). Die vom Kalorimeter aufgenommene Wärmemenge ist dabei gleich der von dem eingefüllten warmen Wasser
(Masse m) abgegebenen:
CKAL @ (T3 - T1) = cH2O @ m @ (T2 - T3) .
(9)
Wegen CKAL = cH2O @ W folgt damit für den Wasserwert W
W = m ⋅ T2 T3
T3 - T1
(10)
Messung der spezifischen Wärmekapazität von Wasser
24-36V
~
V
A
Abb. 1
Schaltbild zur Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität von Wasser
auf elektrischem Wege.
Man baue die Schaltung nach Abb.1 auf. Man fülle kaltes Wasser in das Kalorimeter und warte
den Temperaturausgleich zwischen Wasser und Gefäß ab. Dann schaltet man den Strom ein und
erwärmt auf eine Endtemperatur, die ebensoweit über der Raumtemperatur liegt wie die Anfangstemperatur darunter. Dabei kompensiert die in der ersten Hälfte des Versuchs dem Kalorimeter aus der Umgebung zuströmende Wärmemenge nahezu die in der zweiten Hälfte nach außen abgegebene (bei zu geringem ∆T bis 300C gehen).
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Der Strom und der an der Heizspirale auftretende Spannungsabfall werden mit den in der Schaltung vorgesehenen Instrumenten gemessen, die Zeit mit der beigegebenen Stoppuhr bestimmt.
Während der Messung sind Strom und Spannung laufend zu kontrollieren, damit bei Veränderungen infolge möglicher Netzspannungsschwankungen oder Widerstandsänderung der Heizspirale diese bei der Fehlerabschätzung berücksichtigt werden können. Durch stetiges Rühren
sorgt man für eine möglichst gleichmäßige Temperaturverteilung im Kalorimeter. Die Temperatur ist jeweils auf 0,10 C Genauigkeit abzulesen. Man verfolgt den Gang der Temperatur auch
noch kurzzeitig über den vermuteten Temperaturausgleich hinaus, um die Endtemperatur vor
Beginn der weiteren langsamen Abkühlung durch Wärmeabgabe an die Umgebung möglichst
genau festlegen zu können.
5. Fehlerrechnung
Messunsicherheit des Wasserwertes
Glg. (10) für den Wasserwert ist vom Typ eines Potenzproduktes mit allen Exponenten vom
Betrag eins. Die Formel für den relativen "maximalen" Fehler des nach (10) bestimmten Wasserwertes lässt sich demnach als Summe aller relativen Einzelfehler sofort hinschreiben (siehe
jedoch auch Abschn. 7!!):
∆W ∆m ∆( T 2 - T 3 ) ∆( T 3 - T 1 )
=
+
+
.
(11)
W
m
T2 -T3
T3 -T1
Die ∆-Ausdrücke kennzeichnen die "maximalen" (statistischen und systematischen) Fehlerbeträge der jeweiligen Größen. - Welcher Term in (11) ist der entscheidende? Zahlenangabe für
∆W/W machen!
Messunsicherheit der spezifischen Wärmekapazität
Für den relativen "maximalen" Fehler der nach Glg. (8) berechneten spezifischen Wärmekapazität können wir sofort wieder den allgemeinen Ausdruck hinschreiben:
∆ c H 2O
c H 2O
=
∆U ∆I ∆t ∆(M +W) ∆( T e - T a )
+ + +
+
U
I
t
M +W
Te -Ta
.
(12)
Die (systematische) Unsicherheit der Strom- und Spannungsmessungen ergibt sich aus den Genauigkeitsklassen der benutzten Instrumente und der Größe der Zeigerausschläge (evtl. gehen
auch noch Schwankungen während der Messzeit ein). Die übrigen (statistischen) Unsicherheiten
schätzen Sie nach Ihrer experimentellen Erfahrung selbst ab (∆ (Te - Ta) . 2∆T). - Wer eine
praktische Abschätzung des ungefähren relativen mittleren Fehlers geben will, rechne noch die
Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Terme in (12) aus (GAUSSsches Fehlerfortpflanzungsgesetz). - Vergleichen Sie die so gewonnene Angabe der Messunsicherheit der spezifischen Wärmekapazität mit der tatsächlichen Differenz der Ergebnisse Ihrer verschiedenen
durchgeführten Messungen.
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6. Anhang - Historische Bemerkung
Früher wurde die Wärmemenge in der Einheit "Kalorie" (Einheitsymbol: cal) gemessen, definiert als diejenige Wärmemenge, die bei einem Druck von 760 Torr 1g Wasser von 14,5 0C auf
15,50C erwärmt. Zur Umrechnung der Kalorie in mechanische oder elektrische Energieeinheiten
dienten die sog. Wärmeäquivalente. Diese Umrechnungsfaktoren waren als experimentelle Größen vom Stand der Messtechnik abhängig.
Im Internationalen Maßsystem wird jetzt die Energie auf allen Teilgebieten der Physik in der
gleichen Einheit Joule ( 1 J = 1 m2kg s-2) gemessen. Die spezifische Wärmekapazität von Wasser
ist damit eine experimentell zu bestimmende Stoffeigenschaft. - Ein einfaches Beispiel einer
solchen Messung stellt unsere Aufgabe dar.
Umrechnungsfaktor zwischen Kalorie und Joule: 1 Kal = 1 kcal = 1000 cal = 4,1868 @ 103 J
(Festlegung nach der sogenannten "Internationalen Tafel"-Kalorie, exakt).
In vielen Büchern wurde früher bei Benutzung der alten Definition der Kalorie die Wärmekapazität des Kalorimeters selbst als Wasserwert bezeichnet. Unter Benutzung der Kalorie als thermischer Energieeinheit ist die Maßzahl der Wärmekapazität (Einheit: cal/ 0C) ohnehin gleich der
Maßzahl des oben als Äquivalenzmasse eingeführten Wasserwertes (Einheit: g). Im Internationalen Maßsystem jedoch sind nicht nur die Dimensionen, sondern auch die Maßzahlen der
beiden Größen verschieden; sie müssen deshalb klar auseinander gehalten werden.
7. Ergänzung zur Fehlerrechnung
Die oben so einfach gegebene Herleitung von Gl. (11) für ∆W/W ist problematisch. Die Formel
für den maximalen relativen Fehler als Summe der Beträge der relativen Einzelfehler, multipliziert mit dem jeweiligen Exponenten als Gewichtsfaktor, gilt nur für ein Potenzprodukt voneinander unabhängiger Variablen. Gl. (10) ist aber kein Potenzprodukt von T1, T2 und T3 sondern
ein Quotient von Differenzen, in dem T3 auch noch in Zähler und Nenner vorkommt.
Wir müssen also die allgemeine Formel für den maximalen Fehler von W benutzen (totales Differential):
∂W
∂W
∂W
∂W
∆W = |
∆m | + |
∆ T 1 |+ |
∆ T 2 |+ |
∆T 3 | .
∂m
∂T1
∂T 2
∂T 3
Setzen wir ∆T1 = ∆T2 = ∆T3 = ∆T, so ergibt die Ausrechnung unter Berücksichtigung der Ungleichung T1 < T3 < T2:
∆W =
also mit Gl. (10):
T 2 -T 3
T2 -T1
∆m + 2m
∆T
2
(T3 -T1 )
T3 -T1
∆W ∆m
T2 -T1
=
+2
∆T
m
( T 3 - T 1 )( T 2 - T 3 )
W
,
.
Wegen ∆(T2-T3) = ∆(T3-T1) = 2∆T ist dies mit Gl. (11) identisch.
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Bei der Herleitung von Gl. (12) kann in (8) die Differenz Te-Ta tatsächlich als eine unabhängige
Variable aufgefasst werden, denn die Temperatur kommt nur in dieser einen Differenz vor; hier
ist also die einfache Herleitung gerechtfertigt.
8. Hinweise zur Benutzung des Kalorimeters
Die Kalorimetergeräte besitzen ein Digitalthermometer (Ablesung 0,10C, Genauigkeit 0,20C)
und einen Magnetrührer.
Zum Einfüllen und Entleeren muss der Kalorimeterkopf nicht abgenommen werden (wobei er
seine Temperatur ändert), sondern Einfüllen und Entleeren werden am kompletten Kalorimeter
vorgenommen. Zum Einfüllen benutzt man 100 ml Pyknometer, zum Ausgießen die Thermometerhalterung als Handgriff.
Der Magnetrührer besteht aus dem blauen Podest mit einem in der Rotationsgeschwindigkeit
einstellbaren Magnetfeld und dem sog. Fisch, einem mit Teflon umhüllten Permanentmagneten,
der in das Kalorimetergefäß gelegt ist. Man achte darauf, dass der Fisch sich dreht! Bei einer
mittleren Rotationsgeschwindigkeit startet der Fisch von selbst, wenn man das Kalorimeter auf
das Podest stellt.
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