wassertröpfchen corioliskraft

FORMELSAMMLUNG
PHYSIK
Mechanik / Statik
•
Kräfte als Vektoren Þ
a +b =
•
a + b + 2 ab cos ϕ =
2
a + b − 2 ab cos ϕ
2
2
2
a x = a ∗ cosϕ
Kräfte mit Komponenten Þ
a y = a ∗ sinϕ
a = ax + a y
2
•
Räumliche Statik
ax
 a x + bx 

a + b = 
 a y + by 
•
Gleichgewichtsbedingungen Þ
∑ Fix = 0
∑ M ix = 0
∑ Fi : ∑ Fiy = 0 ∑ M i : ∑ M iy = 0
∑ Fiz = 0
∑ M iz = 0
Fg = m ∗ g
Gewichtskraft Þ
F = m∗a
•
M x = y ∗ Fz − z ∗ F y ; Drehung um x - Achse
F = q∗ E
Kraftfelder Þ
M y = z ∗ Fx − x ∗ Fz ; Drehung um y - Achse
1
q
E=
∗
4πε 0 r 2
1
= 8,99 ∗ 109
4πε 0
•
Fd =
Elektrische Kraft Þ
1
q ∗q
∗ 2 2 2
4πε 0
r
M z = x ∗ Fy − y ∗ Fx ; Drehung um z - Achse
Fx = F ∗ cosα
Winkelrotationen in 3D Þ
F y = F ∗ cos β
Fz = F ∗ cosγ
•
Räumlicher Pythagoras Þ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
1
= 8, 99 ∗109
4πε 0
m 2 ∗ m2
r2
•
Massenanziehung Þ
F = G∗
•
Dipolmoment Þ
µ = d ∗q
Arbeit / Energie / Leistung
•
Arbeit = Kraft*Weg Þ
Reibung
•
Gleitreibung Þ
FR = µg ∗ FN
•
Haftreibung Þ
FR
•
Rollreibung und Fahrwiderstand Þ
FR = µ F ∗ FN
•
Seilreibung Þ
Feder(Federconst=D, F=Dx, s=x) Þ
W =
D∗x
2
•
Beschleunigung einer Masse Þ
W =
m ∗ v2
2
•
Arbeit durch const. Reibungskraft FR Þ W = FR ∗ s
•
m ∗ g ∗ sin α = µ ∗ m ∗ g ∗ cosα
⇒ µ = tanα
Kräfte in beschleunigten Systemen
•
1PS = 736W
•
Wirkungsgrad Þ
η=
WOutput
WInput
∑F − m ∗ a = 0
i
Der Schwerpunkt
Im ruhenden System Þ
•
Hebel Þ
•
Stützreaktion Þ
Definition Þ
•
Schwerpunkte Þ
L tot ∗ rCM = ∑ L i ∗ ri Liniensc hwerpunkt
V tot ∗ rCM
M [ P] = r × F
M [A ] = −a ∗ G + (a + b) ∗ FB = 0
G∗a
a+b
M [G ] = −a ∗ FA + b ∗ FB = 0
FB =
•
Momentenwandlung in Getrieben Þ
Ó Stefan Röthlisberger / E1A
r1 ∗ F1 = r2 ∗ F2
i
i
i
i
Hydrostatik
a ∗ F1 = b ∗ F2
Kraftwandlung an der Winde Þ
∑ A ∗ r Flächens chwerpunkt
= ∑V ∗ r Volumensch werpunkt
Atot ∗ rCM =
M [P ] = (±)F⊥r = (± )r ∗ F sin ϕ
•
mtot ∗ rCM = ∑ mi ∗ ri
•
Drehmoment
•
Fres = ∑ Fi
Prinzip von D’Alembert, Trägheitskräfte Þ
Fres = m ∗ a
∆W
∆t
F ∗ ∆s
P=
∆t
P = F ∗v
Leistung Þ
•
F1 = F2 ∗ e µ ∗α
Gleichgewichtsbedingung auf schiefener Ebene Þ
2
P=
•
= µ H ∗ FN
F2 = F1 ∗ e −µ ∗α
Schwerkraft mg, Höhenänderung h Þ W = m ∗ g ∗ h
•
max
F = f ∗ eµ ∗α (α in rad)
W = F ∗ s (F = const.)
W = ∫ F ∗ d s (F = var)
•
M [A ] = x ∗ Fy − y ∗ Fx
Allgemeine Gleichung Þ
2
ay
tan ϕ =
•
Vorgehen bei komplexen Gebilden:
•
Freimachen
•
Kräfte einzeichnen
•
Kräfteverhältnisse
•
Drehpunktgleichung
•
Kräfte in Punkten
•
•
Druck und Zugkraft wirken senkrecht zur Oberfläche
Scherkräfte wirken parallel zur Oberfläche
•
Der Druck Þ
p=
F⊥
A
•
Scherkraft Þ
τ=
FC
A
M 1 r1
=
M 2 r2
1/9
13.11.00
FORMELSAMMLUNG
PHYSIK
p=
•
Schweredruck in Flüssigkeiten Þ
F1 F2
=
A1 A2
Optik
F ∗ cosϕ
p=
A
p = ρ ∗ g ∗h
R∗T
M
n ∗ R ∗T
p=ρ∗
V
•
Schweredruck in Gasen Þ
p=ρ∗
•
Verhältnise Þ
p
ρ
=
p0 ρ0
•
Atmosphärenformel Þ
− ρ 0 ∗ g ∗h
p = p0 ∗ e
p0
•
Ausbreitungsgeschwindigkeit Þ
•
Licht als Teilchen Þ
•
Brechungsindex Þ
•
•
Dispersion: c hängt von Wellenläne l ab.
Streuung: Umlenken von Lichtstrahlen an feinsten Teilchen
(Staub, Wassertröpfchen) Þ Streuwahrscheinlichkeit proportional
zu f 4 (oder w4)
Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Brechung: Beim Übertritt eines Lichtstrahls von einem ins andere
Medium wird der Strahl zum Lot hin gebrochen.
•
•
Druckbelastung einer Behälterwand
p = γ ∗h
•
Bodendruck Þ
•
Seitenwändedruck Þ
F = γ ∗ hs ∗ A
γ = ρ∗ g
•
Abstand Schwerpunkt Þ
e=
•
Typische Werte für e Þ
γ = ρ∗g
•
E =h∗ f
Brechungsgesetz Þ
I XS
A∗ s
2
dy
(Rechteckfläche)
12
2
d y ∗ (a 2 + b2 + 4ab)
e=
(Trapezfläche)
18 ∗ (a + b)2
•
2
dy
(Kreisfläche)
16
hS = s cosϕ (Flächenschwerpunkt)
Beachte Þ
hD = (s + e ) ∗ cosϕ (Druckpunkt)
FH = γ ∗ H SV ∗ AV
Gekrümmte Wand Þ
FV = γ ∗V
F = FH + FV
2
•
Totalreflexion Þ
•
Numerische Aperatur Þ
•
Typen:
2.
•
Prisma
Brechender Winkel Þ
2
Druck auf Flanschrohr oder Schweissnaht Þ
F = p ∗π ∗ R2
Gewicht verdrängtes Fluid Þ
G verdrängt = ρ F ∗ g ∗Vein
FA = ρ F ∗ g ∗Vein
mscheinbar = ( ρ − ρF ) ∗V
mscheinbar = ρ ∗V − ρF ∗V
mscheinbar = m − ρF ∗ V
(ρ − ρF )
m scheinbar
=
ρ
m
ρ ∗ g ∗ V = ρ F ∗ g ∗ Vein
ρ Vein
=
ρF
V
F
2 ∗b
F∆S
σ =
2 ∗ b∆s
σ =
•
OberflächenspannungÞ
•
Benetzende Flüssigkeiten: Steighöhe Þ
h=
Ó Stefan Röthlisberger / E1A
sinα lim =
n1
; n2 > n1
n2( α )
NA = n1 − n2
2
2
γ = α = ε1 + ε2
2ε ' = γ + δ
ε=
2 ∗ σ ∗ cosα
ρ∗g∗R
γ
2
γ +δ 
sin

 2 
n=
γ 
sin 
2
Auftriebskorrektur bei Präzisionswägungen Þ
Schwimmen Þ
sinα1 n2 c1
=
=
sinα 2 n1 c2
sin εi' n
=
sin εi n'
m scheinbar
( ρ − ρ F ) ∗V
=
m
ρ ∗V
•
c0
c
δ + γ = ε 1' + ε 2'
FA = FF − FG
•
n=
Stufenindex-Faser(Multimode)
Gradientenindex-Faser(Multimode)
Monomode-Stufenindex
Auftrieb
•
h
∗ω
2 ∗π
Merkregel
•
Beim Übergang zum dichteren Medium: Winkel zum Lot hin
verkleinert
•
Beim Übergang zum dichteren Medium: Winkel zum Lot hin
vergrössert
1. Lichtleiter:
e=
•
E=
Vakum : 1
Wasser : 1.33
Glas : n = 1.4 - 1.7
e=
•
c = f ∗λ
3.
Optische Abbildungen
•
Brennpunkt(Brennweite) Þ
•
Abbildungsgleichung Þ
•
Abbildungsverhältnis Þ
R
2
1 1 1
= +
f
g b
f =
β =−
b
g
Konstruktion des Bildpunktes
Strahl durch Krümmungsmittelpkt. C: In sich selbst reflektiert
Strahl durch F: Parallel zur Hauptachse reflektiert
Strahl parralel zur Hauptachse: Durch F reflektiert
Strahl zum Scheitel S: Unter gleichem Winkel reflektiert
Ausserdem ergibt sich sofort:
g>f: reelles, invertiertes Bild
g=f: Bild im Unendlichten
2/9
13.11.00
FORMELSAMMLUNG
•
PHYSIK
g<f: virtuelles, aufrechtes Bild hinter dem Spiegel
g>R: Bild kleiner, invertiert
g=R: Bild 1:1, invertiert
f<g<R: Bild vergrössert, invertiert
MerkeÞ Virtuelle Abstände sind negativ(b<0)
z=g− f
Newton Formel Þ
z′ = b − f
•
•
f 2 = z ⋅ z′
•
1 1 1
= +
f
g b
7.
•
1.
•
dünne Linsen
Abbildungsgleichung Þ
•
Brennweite f Þ 1 = (n − 1) ∗  1 − 1 
r r 
f
 1 2
•
Abbildungsverhältnis Þ
β =−
b yb
=
g yg
Konstruktion des Bildpunktes
Strahl durch den Brennpkt: Geht parallel zur Hauptachse weiter
Strahl parallel zur Hauptachse verläuft durch Brennpunkt
Strahl durch Linsenmitte verläuft geradlinig weiter
1
•
Brechkraft (gemessen in Dioptrien=1/m) Þ
B=
f
4.
Linsentypen
- by-konvex / konkav
- plan-konvex / konkav
- positiver / negativer Meniskus
Konvexe Krümmung erzeugt einen Sammeleffekt (konvergente Linse)
Konkave Krümmung erzeugt einen Zerstreuungseffekt (divergente L.)
•
Dünne Linsen mit verschiedenen Medien auf beiden Seiten Þ
n − n1 n − n 2 n1 n2
1 n − n1 n − n2
=
−
−
=
+
f
r1
r2
r1
r2
g
g
1 n1 n 2
=
+
f
g
g
lim =
n ⋅n
β=− 1
n2 ⋅ g
n
lim = 1
b→∞
f1
g→∞
Korrektur: Randstrahlen ausblenden, Kombination von Linsen
mit verschiedenen Brechungsindex
Astigmatismus: Mangelnde Achsennähe sehr schief auftreffender
Strahlen
Korrektur: Linsenkombination
Chromatische Aberration: Farbabhängigkeit der Brechkraft
Korrektur: Linsenkombinationen
Auflösungsvermögen: Fähigkeit, zwei nahe Punkte noch getrennt
wiederzugeben
Matix-Optik
Vorgehen: Den Lichtstrahl vom Ziel her zurückverfolgen.
Matrixen aneinanderreihen und ausmultiplizieren.
•
Schräger Einfallswinkel (a in rad)Þ
•
Ausbreitung längs der Strecke s Þ
•
Brechung an ebener Grenzfläche Þ
 y
 
 α
 1 s   y   y + αs   y ′ 
 0 1  ⋅ α =  α  = α′ 

   
  
 1 0   y   y   y′ 

n1  ⋅   =  n1  =  
   α ⋅   ′ 
0
n 2  α   n 2   α 

•
dünne Linse in Luft Þ
 1
 1
−
 f
•
y
0  y  
  y′ 

⋅  = 
1
1  α  − y ⋅ + α = α′ 


f


  
Brechung an sphärischer Grenzfläche Þ
 1
 n1 − n2

 n2 ⋅ r
n2
f2
y

0
n1  ⋅  y  =  n1 − n2
n


y⋅

+α ⋅ 1
n 2  α  
n2 ⋅ r
n2

 =  y ′ 
 
 α′ 

Kinematik / Dynamik
•
Sphärisch gekrümmte Begrenzung zwischen zwei Medien Þ
n2 − n1 n1 n2
= +
r
g
b
•
n1 ⋅ b
n2 ⋅ g
Der Krümmungsradius r ist positiv, wenn die Grenzfläche sich
zum Medium 1 hin auswölbt, sonst negativ
Kinematik: Ziel der Kinematik ist es, Bewegungen mathematisch
zu beschreiben, also die Bahn eines Teilchens als Funktion der Zeit
anzugeben
Dynamik: Ziel der Dynamik ist es, die Bahnkurve aus der Kenntnis
der herrschenden Kräfte vorauszusagen (oder aus der Bahn auf die
Kräfte zurückzuschliessen).
•
Geschwindigkeit Þ
v=
ds
dt
•
Beschleunigung Þ
a=
dv
dt
Beliebige Linsensysteme
Regel: auf eine Linse auffallender divergenter Strahl: reeler Gegenst.
auf eine Linse auffallender konverg. Strahl: virtueller Gegenst.
a=
d s2
d 2t
•
1.Schritt: Berechnung des Zwischenbild Þ
a=
F
m
•
2.Schritt: Zwischenbild wird Gegenstd. an der zweiten Linse Þ
•
b=
•
1 1 1
= +
f
f1 f 2
Linsen in engem Kontakt Þ
1 1 1
= +
b1 f1 g2
1.
Geradlinige Bewegung Þ
r = ∫ v ⋅ dt
g 2 = d − b1
•
1
1 1
= +
b2 f 2 g 2
3.Schritt: Bildweite hinter der zweiten Linse Þ
•
Abbildungsmassstab Þ
5.
Dicke Linsen
•
SH = − f ⋅
Abstände Þ
v = ∫ a ⋅ dt
 b   b 
β = β 1 ⋅ β 2 =  − 1  ⋅  − 2 
 g1   g2 
•
Konstante Kraft Þ
1
⋅ a ⋅ t 2 + v0 + r0
2
F
ax = x
m
v x = a x ⋅ t + v0
r=
n −1 d
⋅
n r1
 1 1  (n − 1)
1
d
= (n − 1) ⋅  −  +
⋅
f
n
r1 ⋅ r2
 r1 r2 
x=
2
6.
•
•
Linsenfehler
Sphärische Aberration: Randstrahlen-Effekt
Ó Stefan Röthlisberger / E1A
F
m
v = a ⋅ t + v0
n −1 d
⋅
n r2
S ′H ′ = − f ⋅
a=
3/9
Energiegleichung Þ
2
1
⋅ ax ⋅ t 2 + v0 + x0
2
2
vx − v0 = 2a x ( x − x0 )
13.11.00
FORMELSAMMLUNG
•
PHYSIK
Arbeitsaufwand zum beschleunigen Þ W = F ⋅ ∆ s
W = m ⋅ a( x − x0 )
•
(
•
1
2
2
W = ∆ E kin = m vx − v0
2
a = g ⋅ sinα
Gleiten auf der Schiefen Ebene Þ
•
Freib
m
m ⋅ g ⋅ sinα − µ ⋅ g ⋅ m ⋅ cosα
a=
m
a = g (sinα − µ ⋅ cosα )
Zeitabhängige Kraft Þ
P = F ⋅v =
•
•
b
r
φ = ω ⋅ t = 2π ⇒ 1 Umdrehung
x = r ⋅ cosφ
y = r ⋅ sin φ
dW
dx
= Fx
dt
dt
Horizontaler und schräger Wurf Þ
ay = 0
a =0
•
Winkelgeschwindigkeit Þ ω = dφ = φ ′
dt
•
Zurückgelegter Weg Þ
•
Periode Þ
•
v y = v y 0 − gt
vx = vx 0
x = v x 0 ⋅ t + x0 y = y + v ⋅ t − 1 g ⋅ t 2
x0
0
2
vx 0 = v0 ⋅ cosα
•
•
v y 0 = v0 ⋅ sin α
2
•
Wurfparabel Þ y ( x ) = y + v y 0 ⋅ ( x − x ) − 1 ⋅ g ⋅  x − x0 
0
0


•
Die Geschwindigkeit ist immer die Tangente an die Bahnkurve!!!
vx 0
2
Drehbewegung
Zentripetalkraft Þ Auf Zentrum gerichtete Kraft
Zentrifugalkraf Þ Tendenz des Körpers zum Ausbrechen aus der
Kreisbahn
Winkel f Wird in rad gemessen Þ
φ=
2P
2
⋅ t + v0
m
dv
→a=
dt
→ s = ∫ v ⋅ dt
x
i
•
v=
2.
∑F − m ⋅a = 0
)
a = g ⋅ sinα −
-mit Reibung
Prinzip von D’Alembert Þ m ⋅ a = ∑ Fi = F (resultierend)
 vx 0 
•
s = r ⋅φ
s = r ⋅ ω⋅ t
2π
ω
1
ω
Frequenz Þ
f = =
T 2π
Betrag der Tangentialgeschw. Þ
v =ω ⋅r
ω ⋅ 60
n=
Drehzahl in Upm Þ
2π
60 ⋅ v
n=
2π ⋅ r
T=
a = v ⋅ω
Betrag der Tangentialbeschl. Þ
a = r ⋅ ω2
v2
r
FZ = m ⋅ r ⋅ ω2
Arbeit, Energie, Leistung
•
Arbeit Þ
dW = F ⋅ ds
•
⇒ W = ∫ F ⋅ ds
•
Energie Þ
•
Leistung Þ
Impuls Þ
W = ∆E pot
•
•
1
Ekin = m ⋅ v 2
2
dW
P=
dt
P = F ⋅v
•
•
•
Kraftstoss Þ
d p m⋅dv
=
dt
dt
•
P = ∑ pi
Faussen =
Stosszahl Þ
2
v=
G ⋅ Me
Re
v=
g ⋅ Re = 7900m / s
k=
3
3
Zweite kosmische Geschwindigkeit: Geschwindigkeit um sich von
Oberfläche beliebig weit entfernen zu können
Erdbeschleunigung
•
Potentielle Energie
g=
G ⋅ Me
2
Re
G ⋅ m1 ⋅ m2
⋅dr
r2
1 1
= G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅  − 
 r1 r2 
∆E pot = ∫
r2
r1
∆E pot
d
d
⋅ P = ⋅ ∑ pi
dt
dt
Impulserhaltung
Falls in einem Teilchensystem nur innere Kräfte wirken, ist der
Gesamtimpuls P erhalten (d.h. bleibt konstant, nach Betrag und
Richtung)
•
Ist die kinetische Energie beim Stoss erhalten, heisst er elastisch
Ist die kin. Energie beim Stoss nicht erhalten heisst er inelastisch
•
elastischer Stoss:
Impulserhaltung + Energieerhaltung
inelastischer Stoss:
Impulserhaltung
•
Kepplersche Gesetzte
T ∝a =r
Erste kosmische Geschwindigkeit: Geschwindigkeit um von
Erdoberfläche eine stabile Umlaufbahn zu erreichen.
∆ p = ∫ F ⋅ dt
Gesamtimpuls P Þ
m ⋅ v2
r
v = 2 ⋅ g ⋅ Re = 11200m / s
p = m⋅v
F=
Trägheitskraft, Zentripetalkraft Þ
FZ =
Impuls
•
a=
E pot = −
G ⋅ m1 ⋅ m2
r
F Coriolis
= 2 ⋅ m ⋅ω ⋅ v
F Coriolis
= −2 ⋅ m ⋅ω × v
Coriolisbeschleunigung
aCoriolis = 2 ⋅ω × v
•
Corioliskraft
•
v2 N ′ − v1 N ′
v1 N − v2 N
Ó Stefan Röthlisberger / E1A
4/9
13.11.00
FORMELSAMMLUNG
PHYSIK
α=
•
dω
dt
=ω2 ⋅r
•
•
dv
dt
•
a = arad + atamg
•
M = m ⋅ x ⋅ y ⋅ω 2
M = ∫ x ⋅ y ⋅ dm Zentrif ugalmoment e
dr
= v = ω×r
dt
Körper dreht sich in System mit Geschwindigkeit v
Formale Beschreibung der Drehung
Drehimpuls
•
 dr 
 
= v aussen = v + ω× r
 dt 
 aussen
•
)
 dv 
 
= a aussen = 2 ⋅ω × v + ω× ω× r
 dt 
  aussen
M = I ⋅α
Grundgleichung der Drehdynamik
M = I ⋅ω
&
&&
M = I ⋅ϕ
•
Trägheitsmoment: Bezieht sich immer auf eine gegebene
•
Drehachse
•
2
•
•
I = ∫ r 2 ⋅ dm
•
•
E kin
•
1
m ⋅ r 2 ⋅ω 2
2
1
= ⋅ I ⋅ω 2
2
•
L = Iω
Gesamt-Drehimpuls=Bahndrehimpuls+Eigendrehimpuls
Anwendung: Präzessionsgeschwindigkeit des Kreisels ⇒
L = I ⋅ω
dL
= ω p × L = ω p × Iω
dt
mga sinα = ω p Iω sinα
M =
Für Drehbewegung erforderliche Leistung
P = M ⋅ω
P = I ⋅ α ⋅ω
P = Ftamg ⋅ v
mga
Iω
Merkregel ⇒ Drehmoment parallel zur Drehachse: Drehung
wird schneller oder langsamer M = Iα
Drehmoment senkrecht zur Drehachse: kreiselartige Präzession
M = ωp ×L
ωp =
•
1

d  ⋅ I ⋅ω2 
2


P=
dt
P = I ⋅ α ⋅ω + m ⋅ a ⋅ v Ekin + Transl
•
( )
d Iω
= I ⋅α
dt
Satz: Sind in einem System keine äusseren Drehmomente wirksam,
so bleibt der Gesamt-Drehimpuls konstant
L = rmωr
Drehimpuls bei Drehung starrer Körper ⇒
L = mr 2ω
M = mga sinα
E kin =
Kinetische Rotationsenergie
dL
dt
M = axm g
I = IS + m ⋅ a2
Satz von Steiner
M =
Drehbewegung ⇒
M =
I = m⋅ r 2
I = ∑ mi ⋅ ri
Drehimpuls ⇒ L = r × p
L = r × mv
(
•
)
F = m ⋅ y ⋅ω 2
a = −ω 2 ⋅ r ⋅ er + α ⋅ r ⋅ ev
•
E kin =
(
Tangentialbeschleunigung arad
atamg = α ⋅ r
a=
1
1
⋅ m ⋅ v 2 + ⋅ I[CM ] ⋅ ω 2
2
2
1
E kin = ⋅ I[ CM ] + m ⋅ r 2 ⋅ ω 2
2
Hauptachsen: Bei Drehung um Hauptachsen bleiben Lager
dynamisch unbelastet; Bei Drehung um NichtHauptachsen entseht
dynamische Lagerbelastung
Dynamische Lagerbelastung
Rollbew. Energieansatz
α = const =
Konstante Drehbeschleunigung
M
I
•
ω = α ⋅ t + ω0
1
ϕ = α ⋅ t 2 + ω0 ⋅ t + ϕ0
2
x = A cos(ωt + φ0 )
x = A cos(ωt ) falls φ 0 = 0
Reduziertes Trägheitsmoment (Getriebe)
1
E kin = ⋅ I1 ⋅ ω12 1 Welle
2
1
1
E kin = ⋅ I k ⋅ωk 2 = Ekin = ⋅ I k ⋅ jk 2 ⋅ ω1 2
2
2
1
2
E kin = ⋅ I 1 + I 2 ⋅ j2 + I 3 ⋅ j3 2 + .. ⋅ω12 alle Wellen zusammen
2
j k = Übersetzungsverhältnis k → 1
(
)
•
Trägheitsradius I = m ⋅ Rgyr 2
•
Schwungmoment
•
Rollbewegung
•
Rollbew. Momentenansatz um P
x = A sin(ωt ) falls φ0 = −
(
)
M [ P ] = I[ CM ] + m ⋅ r ⋅ α
Ó Stefan Röthlisberger / E1A
ω = 2πf
1 2π
T= =
f
ω
Algemeine Beziehungen ⇒
1.
•
Elastische Systeme
Rücktreibende Kraft ⇒
•
Federkonstanten ⇒
G ⋅Ip
c=
Spiralfede r
2π ⋅ i ⋅ R
3EJ
c = 3 Einseitig freier Biegestab
L
3EJL
c = 2 2 In Mitte belasteter aufliegend er Bieges.
ab
•
Allgemein ⇒
•
m ⋅ g = c ⋅ x gleichgewicht
Resultierende Kraft ⇒
sCM = ϕ ⋅ r
vCM = ω ⋅ r
aCM = a ⋅ r
2
π
2
•
I schwung = 4 ⋅ g ⋅ l
M [P ] = I [P ] ⋅ α
Drehbewegung
Projektion auf die x-Achse ⇒
x = r cosφ
5/9
Frück = −c ⋅ x
Frück = c ⋅ xgleichgewi cht
− c ⋅ x = m ⋅ g − c(x gleichgewicht + x )
13.11.00
FORMELSAMMLUNG
PHYSIK
2.
Schwingungsgleichung ⇒
m ⋅ a = m ⋅ &x& = − c ⋅ x Dgl der harmonisch en Schw.
•
Schwingung ⇒
δ=
•
x = A cos(ωt + φ0 )
x& = − A ω sin(ωt + φ0 )
Beziehungen ⇒ ω =
•
•
m
c
xmax = A
Maximale Amplituden ⇒
In Serie wirkende Federn ⇒
4.
Andere Schreibweisen der harmonischen Schwingung
x = A cos(ωt + φ 0 )
⇒ x = A cosωt + A sinωt A = A cosφ A = − A sin φ
2
(
1 1 1
= + + ..
c c1 c2
1
0
2
2
0
)
5.
Drehschwinger ⇒
•
Bewegungsgleichung ⇒ I ⋅ a = I ⋅ θ&& = − c ⋅ x
θ = A cos(ωt + φ0 )
Lösung ⇒
θ& = − A ω sin(ωt + φ )
0
δ
ω0
•
Dämpfungsgrad ⇒
9.
•
Erzwungene Schwingung / Resonanz
Schwingungsgleichung ⇒ m ⋅ &x& + k ⋅ x& + c ⋅ x = F0 sin(ω e t )
•
Stationäre Lösung ⇒
ϑ=
x = A sin (ω e t − φ )
F0
A=
(
m ω0 −ωe
tan φ =
x = A1e j (ωt ) + A2 e− j (ωt )
•
Aperiodischer Kriechfall ⇒
x = A1 e − δt + A 2 te − δt
•
x = Ae j ωt +φ0
•
δ >ω
Die Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab
1
8.
•
x&&max = Aω 2
•
•
c
Eigenfrequ enz
m
x&max = Aω
c ⋅ x 2 max c ⋅ A 2 cos2 (ωt + φ0 )
E pot =
=
Energie ⇒
2
2
m ⋅ x& 2 max m ⋅ A 2ω 2 sin 2 (ωt + φ0 )
E kin =
=
2
2
Parallel wirkende Federn ⇒
c = c1 + c2 + ..
3.
2
 x (t ) 
ln
 = δ T logarithm. Dekrement
 x(t + T ) 
Aperiodische Bewegung
Aperiodischer Grenzfall ⇒ δ = ω 0
c
m
T = 2π
ω = ω0 − δ 2
ω0 =
&x& = − A ω 2 cos(ωt + φ0 )
•
Beziehungen ⇒
k
2m
M rück = −cr ⋅ θ
2
) +k
2 2
kω e
(
m ω0 −ωe
2
2
)
2
•
Amplitudenresonanz ⇒
ω e = ω0 −
•
Energieresonanz ⇒
ω e = ω0
•
Unwuchtbelastung ⇒
F = m ω 2 r sin(ωt )
•
Zwangsführung(von aussen mit x angeregt) ⇒
x = x0 sin(ωt )
•
Zwangsführung und Unwuchtbelastung ⇒
F0 = m ⋅ x0 ⋅ ω 2
2
2
k
2m 2
F0 = m ⋅ r ⋅ ω 2
0
θ&& = − Aω 2 cos(ωt + φ0 )
•
10. Elektrischer Schwingkreis
cr
Beziehungen ⇒ ω = I
T = 2π
•
m ⇔ L ; k ⇔ R; c ⇔
ω0 =
mL2θ&& = − mgL sin θ
Pendel ⇒
•
Gilt für kleine Amplituden ⇒
Lθ&& + gθ
θ = A cos(ωt + φ0 )
ω=
g
L
Iθ&& + mgbθ = 0
Physikalisches Pendel ⇒
Erzwungene Schwingung ⇒
•
Amplituden und Winkel ⇒
I
mb
Gedämpfte Schwingung
Reibkraft (geschw.proportionale Dämpfung) ⇒
Freib = − kv = − kx
Diffgleichung der Schwingungen ⇒
mx&& + kx& + cx = 0
x = Ae −δt cos(ωt + φ 0 )
1
C
1
LC
Q
U 0e jωt = L i& + Ri +
C
U0
U=
mgb
I
Lreduziert =
•
•
θ = A cos(ωt + φ 0 )
ω=
7.
•
i
L&i& + Ri& + = 0
C
Dgl des el. Schwingkreises ⇒
I
cr
6.
•
ωe
m2
2
2
2

 1

− ω e L  + R 2
ω
C
 e

1
Lω e −
ω eC
tan φ =
R
11. Interferenz
•
Addition von Schwingungen ⇒
y1 = A1e j (ω1t +φ1 )
y2 = A2e j(ω 2t +φ 2 )
(
)
(
y1 + y2 = A1e j ω1t +φ1 + A2 e j ω2t +φ2
•
Addition von Schwingungen wenn ω1=ω2 ⇒
A=
•
)
A1 + A1 + 2 A1 A2 cos(φ 2 − φ1 )
2
2
Schwebung falls A1=A2;ω2=ω1+∆ω⇒
 ω1 +ω 2 
⋅t 
2

 ω − ω2  j 
y1 + y2 = 2 A cos 1
⋅ t  ⋅e
 2

12. Gekoppelte Schwingungen
Ó Stefan Röthlisberger / E1A
6/9
13.11.00
FORMELSAMMLUNG
•
PHYSIK
(
)
( )
( )
cos(ω t + φ ) − A (
(
cos(ω (
x1 = A ( I ) cos ω ( I )t + φ ( I ) + A ( II ) cos ω ( II )t + φ ( II )
x2 = A
(I )
I
I
II )
II )
t +φ
( II )
)
)
•
Wellen
1.
•
•
•
Wellengleichung
F ylinks = − F sin α = − F tan α = − F y′( x)
Seilkräfte ⇒
•
w = ε ⋅ ε0 ⋅ E 2 = µ ⋅ µ0 ⋅ H 2
F yrechts = F sin β = F tan β = − F y′( x + dx)
I = ε ⋅ ε 0 ⋅ E 2 ⋅ c = µ ⋅ µ0 ⋅ H 2c
2
2
Saiten/Wellengleichung ⇒ ∂ y = c 2 ∂ y
2
∂t
∂x 2
Ausbreitungsgeschwindigkeit ⇒
c=
1
2
I mittel = ε ⋅ ε 0 ⋅ E max ⋅ c
2
1
Lichtgeschwindigkeit
c=
ε rε 0 µ r µ 0
F
ρ⋅A
I mittel =
λ
=λ⋅ f
T
ω ω
c=λ
=
2π k
c=
2.
As
ε 0 = 8. 854 ⋅ 10−12
Vm
Vs
µ 0 = 4π ⋅ 10− 7
Am
Wellenfunktion
•
Schwingung am Ort x ⇒
1
(Vakum : ε r µ r = 1)
ε rε 0 µ r µ 0
•
•
4.
•
y (t ) = A ⋅ e jωt
2π
ω=
T
y ( x) = A ⋅ e jkx
Schwingung zur Zeit t ⇒
2π
k=
(Wellenzahl)
λ
ε ⋅ε0
2
⋅ E max
µ ⋅ µ0
I ∝ nE 2
Ebene Welle ⇒ A = const , I = const Ausbreitun g in 1.Richtung
Sphärische Welle(Kugel) ⇒
1
1
A ∝ , I ∝ 2 Ausbreitun g in 3.Richtung en
r
r
Doppler Effekt
c − vB
f′= f
f`, die der Beobachter wahrnimmt ⇒
c − vQ
 v

f ′ = f 1 − relativ 
c


•
Wellenfunktion ⇒
•
Laufende Wellen in (+x)Richtung ⇒ y ( x, t ) = A ⋅ e± j (ω ⋅t−kx +φ0 )
•
Laufende Wellen in (-x)Richtung ⇒
•
Argument der e-Funktion ⇒
 x
 k⋅x
ω ⋅ t − k ⋅ x = ωt −  = ωt −

ω 
 c

Stehende Welle ⇒
y ( x, t ) = a cos(ω ⋅ t + φ1 ) ⋅ cos(k ⋅ x + φ 2 )
•
1
2
I ∝ A2
Lichtgeschwindigkeit c =
•
Mechanische Wellen (Energiedichte+ Intensität) ⇒
1
w = ρ ⋅ A2 ⋅ω 2
2
1
I = ρ ⋅ c ⋅ A2 ⋅ω 2
2
Elektromagn. Wellen ⇒
y ( x, t ) = A ⋅ e± j (ω ⋅t± kx )
y ( x, t ) = A ⋅ e ± j ( ω⋅t +kx +φ0 )
Schwebungsfrequenz (el.magn) ⇒
5.
•
•
Übergang zwischen verschiedenen Medien
Wichtig: Phasensprung am dichteren Medium beachten!
Amplituden-Transmissionsfaktor ⇒ t = 2c2 = 2 ⋅ n1 = At
c1 + c2 n1 + n2 A0
•
Amplituden-Reflexionsfaktor ⇒
•
•
•
•
3.
•
Allgemeine Lösung ⇒
y ( x, t ) = A1e jω ⋅t + A2 e − jω⋅t ⋅ B1e jk⋅x + A2 e− jk⋅x
Stehende Wellen ⇒
Einspannungspunkte:
Knotenpunkte der stehenden Welle
Freie Enden:
Bauch der stehenden Welle
1c
; λ1 = 2L (0 Knoten)
f1 =
2L
c
f 2 = ; λ2 = L (1 Knoten)
L
3c
2
; λ3 = L (2 Knoten)
f3 =
2L
3
1
c
f 4 = 2 ; λ4 = L (3 Knoten)
2
L
nc
2
fn =
; λ n = ⋅ L (n - 1 Knoten)
2L
n
Longitudinalwelle (z.B Schallwelle)
Transversalwelle (magn. Vektor senkrecht zu el. Vektor)
Intensität
P
Intensität ⇒
I=
= w⋅ c
A⊥
(
)(
Intensitätsfaktoren ⇒
)
T=
r=
c2 − c1 n1 − n2 Ar
=
=
c1 + c2 n1 + n2 A0
•
I transm n2  Atransm 

= 
I ein
n1  Aein 
R=
I refl
I refl
+
I0
I ein
2
2
 Arefl 
 = r 2
= 
 Aein 
I transm
= R +T =1
I0
Optische Wegdifferenz ⇒
∆ = 2nD
λ
falls Phasenspr.
2
λ 
∆ = 2 D n2 − sin 2 (α ) +   endlich. Einfallswi nkel
2
∆ = 2nD +
•
Verg. von Linsen, Interferenzfilter ⇒
ns = n Luft ⋅ nLinse
D=
•
Wellenwidestand ⇒
λ
4ns
Z s = Z1 ⋅ Z 2
Wärme / Thermodynamik
•
•
1.
Ó Stefan Röthlisberger / E1A
f′ = f
I ∝ n ⋅ A2
y ( x, t ) = a sin(ω ⋅ t + φ1 ) ⋅ sin (k ⋅ x + φ 2 )
•
c−v
c+v
•
7/9
Wärme: -Wärmemenge Q 1J=1Nm (1cal=4.184J)
Temperatur: -Im thermodynamischen Gleichgewicht haben alle
Teile eines Systems die gleiche Temperatur
Réaumur-Skala: °R=0.8°C
Fahrenheit Skala: °F=1.8°C+32
Thermische Ausdehnung
13.11.00
FORMELSAMMLUNG
•
Fest Körper ⇒
PHYSIK
∆l
= α ⋅ ∆ϑ
l0
l = l0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ ϑ ) Lineare Ausdehnung
•
∆A
= 2α ⋅ ∆ϑ Oberfläche ndehnung
A0
∆V
= 3α ⋅ ∆ϑ Volumenaus dehnung
V0
F
∆l
= E⋅
A
l
•
Thermische Spannung ⇒
•
Flüssigkeiten ⇒ ∆ V = β ⋅ ∆ϑ
V0
•
ρ = ρ 0 ⋅ (1 − β ⋅ ∆ϑ )
2.
•
•
= −κ ⋅ ∆ p
m⋅ c =
c=
3.
•
•
•
Wärmetransport
Wärmeleitung: molekulare Stösse innerhalb eines Stoffes
Konvektion: durch ein Transportmedium(Wasser, Luft)
Wärmestrahlung: elektromagnetische Strahlung
I = Q& = k ⋅ A ⋅ ∆ϑ
Wärmefluss ⇒ Q
∆ϑ
IQ =
Rth
Wärmeflussdichte ⇒
Wärmeübergang an umströmter Oberfläche ⇒
I = Q& = α ⋅ A ⋅ (ϑ − ϑ )
w
k
•
6.
•
•
Nusseltzahl ⇒ Nu = α ⋅ L
λ
Wärmestrahlung
Absorptionsvermögen α=Emissionsvermögen ε, für alle Körper
Reflexions+Transmissionsvermögen ⇒
α + ρ +τ = 1
Spezifische Ausstrahlung ⇒
M = ε k ⋅σ ⋅ T 4
σ = 5.67 ⋅ 10−8 Bolzmancon st.
•
abgestrahlter Wärmestrom ⇒
•
Wärmestrahlungskoeffizient ⇒
•
)
2
2
)
Wiensches Verschiebungsgesetz ⇒
2hc2
 hc

λ5 ⋅  e λ⋅k ⋅T − 1


2hf 3
hc


c 2 ⋅  e k ⋅T − 1


h = 6. 625⋅ 10−34 Js
k = 1.38 ⋅ 10−23
7.
•
J
K
Instationärer Wärmetransport
Erwärmung eines kühlen Objekts in der wärmeren Umgebung ⇒
Q = k ⋅ A(ϑ1 − ϑ )
dϑ
dt
dϑ k ⋅ A
(ϑ1 − ϑ )
=
dt m ⋅ c
dϑ k ⋅ A
=
dt
dt m ⋅ c
Q = m⋅ c ⋅
λ
Wärmele itung
d
kα = α Konvektion
kλ =
Beziehungen zum Elektrischen ⇒
I Q jQ el.Stromstärke/dichte
(
4
Lf =
dIQ
dA
jQ = k ⋅ ∆ϑ
•
4
α S = C12 (T1 + T2 ) T1 − T2
Lλ =
jQ =
Wärmetransport „k“ ⇒
(
I Q = Q& = C12 A1 T1 − T2
Spektrale Zusammensetzung der Wärmestrahlung
λ max ⋅ T = const = 2898um
R = C p − Cv
•
I Q = Q& = M ⋅ A1
I Q = Q& = α s A1 (Tk − Tu )
C
m
Gaskonstante ⇒
•
•
dQ
dT
•
•
Konvektion
Wärmetransport durch strömende Flüssigkeiten ⇒
I Q = Q& = m& ⋅ c ⋅ (ϑw − ϑk )
•
Wärmekapazität
Wärmekapazität C ⇒
dQ
C=
dT
C
Cm =
= c ⋅ Molmasse (molares C)
Molzahl
1
C mv = ⋅ f ⋅ R
2
1

C mp =  ⋅ f + 1 ⋅ R
2

J
C metalle ≅ 3R ≅ 25
molK
Spezifische Wärme c ⇒
V2
K2
5.
•
Q
∆ρ
= − β ⋅ ∆ ϑ (Analog für feste Körper 3α = β )
ρ0
V0
λ = L ⋅ T ⋅ κ L = 2.45 ⋅ 10−8
I Q = G ⋅ ∆ϑ
Scheinbare Gefässdehnung ⇒
β schweinbar = β − 3α
∆ VKomp
∂ϑ
∂x
ϑ2 − ϑ2
jQ = − λ
x2 − x1
jQ = − λ
(ϑ1 − ϑ ) = (ϑ1 − ϑ0 )e
τ=
ks = α s Strahlungs koeffizient
•
−
kA
t
mc
mc C
= = RC
kA G
Abkühlverhalten ⇒
(ϑ1 − ϑ2 ) = (ϑ10 − ϑ2 )e
−
kA
t
mc
∆ϑ Potentialdifferenz
1
d
=
Widerst and
k⋅A λ⋅A
A ⋅λ
k⋅A=
Leitwert
d
Wärmekapazitätsgleichun (wenn durch Wärmefluss ein Stoff
erwärmt wird) ⇒
dQ = m ⋅ c ⋅ dϑ
Wärmeleitung
Rth =
•
4.
Ó Stefan Röthlisberger / E1A
8/9
13.11.00
FORMELSAMMLUNG
•
PHYSIK
Anlauferwärmung eines Motors ⇒
dϑ
I1 = m ⋅ c ⋅
dt
I 2 = k ⋅ A(ϑ − ϑU )
dϑ
+ k ⋅ A(ϑ − ϑU )
dt
P
z = ϑ − ϑu −
A
kA
− t
dz dϑ
kA
z → z = z0 e mc
=
→z=−
dz dt
mc
kA
− t
P
1 − e mc 
ϑ = ϑu +


kA 

P
stationärer Wert
ϑ = ϑu +
kA
P = m⋅ c ⋅
Einheiten / Konstanten
•
Mechanik / Statik Þ
ax, a y
x bzw. y Komponenten
a
Betrag des Vektros (länge)
F, Fg, Fd Gewichts, Druck-Kraft
m
a
Masse
Beschleunigung
q
E
elektrische Ladung
Elektrisches Feld
r
d
m
Radius
Abstand
Dipolmoment(Vektroricht. von --+)
g
Erdbeschleunigung
ε0
elektrische Feldkonstante
G
Gravitationskonstante
•
Arbeit / Energie / Leitung Þ
W
Arbeit
s
Weg / Strecke
F, Fg, Fd Gewichts, Druck-Kraft
m
x
D
v
Masse
Streckungsdifferenz
Federkonstante
Geschwindigkeit
P
η
Leistung
Wirkungsgrad
g
f
b
b
Abstand Scheitelpkt-Gegenstand
Abstand Scheitel – Brennpunkt
Abstand Scheitel – Bildpunkt
Vergrösserung
N=
1kg ∗ m
J
=1
s2
m
kg
m
s2
1C = 1A ∗ s
V
m
m
m
9.81
m
s2
As
Vm
Nm 2
6.67 ∗10−11
kg 2
8. 854 ∗10−12
J = Ws
m
1kg ∗ m
J
N=
=1
s2
m
kg
m
m
s
W
-
g
Erdbeschleunigung
Ó Stefan Röthlisberger / E1A
9.81
m
s2
9/9
13.11.00