wassertröpfchen corioliskraft
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FORMELSAMMLUNG PHYSIK Mechanik / Statik • Kräfte als Vektoren Þ a +b = • a + b + 2 ab cos ϕ = 2 a + b − 2 ab cos ϕ 2 2 2 a x = a ∗ cosϕ Kräfte mit Komponenten Þ a y = a ∗ sinϕ a = ax + a y 2 • Räumliche Statik ax a x + bx a + b = a y + by • Gleichgewichtsbedingungen Þ ∑ Fix = 0 ∑ M ix = 0 ∑ Fi : ∑ Fiy = 0 ∑ M i : ∑ M iy = 0 ∑ Fiz = 0 ∑ M iz = 0 Fg = m ∗ g Gewichtskraft Þ F = m∗a • M x = y ∗ Fz − z ∗ F y ; Drehung um x - Achse F = q∗ E Kraftfelder Þ M y = z ∗ Fx − x ∗ Fz ; Drehung um y - Achse 1 q E= ∗ 4πε 0 r 2 1 = 8,99 ∗ 109 4πε 0 • Fd = Elektrische Kraft Þ 1 q ∗q ∗ 2 2 2 4πε 0 r M z = x ∗ Fy − y ∗ Fx ; Drehung um z - Achse Fx = F ∗ cosα Winkelrotationen in 3D Þ F y = F ∗ cos β Fz = F ∗ cosγ • Räumlicher Pythagoras Þ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 1 = 8, 99 ∗109 4πε 0 m 2 ∗ m2 r2 • Massenanziehung Þ F = G∗ • Dipolmoment Þ µ = d ∗q Arbeit / Energie / Leistung • Arbeit = Kraft*Weg Þ Reibung • Gleitreibung Þ FR = µg ∗ FN • Haftreibung Þ FR • Rollreibung und Fahrwiderstand Þ FR = µ F ∗ FN • Seilreibung Þ Feder(Federconst=D, F=Dx, s=x) Þ W = D∗x 2 • Beschleunigung einer Masse Þ W = m ∗ v2 2 • Arbeit durch const. Reibungskraft FR Þ W = FR ∗ s • m ∗ g ∗ sin α = µ ∗ m ∗ g ∗ cosα ⇒ µ = tanα Kräfte in beschleunigten Systemen • 1PS = 736W • Wirkungsgrad Þ η= WOutput WInput ∑F − m ∗ a = 0 i Der Schwerpunkt Im ruhenden System Þ • Hebel Þ • Stützreaktion Þ Definition Þ • Schwerpunkte Þ L tot ∗ rCM = ∑ L i ∗ ri Liniensc hwerpunkt V tot ∗ rCM M [ P] = r × F M [A ] = −a ∗ G + (a + b) ∗ FB = 0 G∗a a+b M [G ] = −a ∗ FA + b ∗ FB = 0 FB = • Momentenwandlung in Getrieben Þ Ó Stefan Röthlisberger / E1A r1 ∗ F1 = r2 ∗ F2 i i i i Hydrostatik a ∗ F1 = b ∗ F2 Kraftwandlung an der Winde Þ ∑ A ∗ r Flächens chwerpunkt = ∑V ∗ r Volumensch werpunkt Atot ∗ rCM = M [P ] = (±)F⊥r = (± )r ∗ F sin ϕ • mtot ∗ rCM = ∑ mi ∗ ri • Drehmoment • Fres = ∑ Fi Prinzip von D’Alembert, Trägheitskräfte Þ Fres = m ∗ a ∆W ∆t F ∗ ∆s P= ∆t P = F ∗v Leistung Þ • F1 = F2 ∗ e µ ∗α Gleichgewichtsbedingung auf schiefener Ebene Þ 2 P= • = µ H ∗ FN F2 = F1 ∗ e −µ ∗α Schwerkraft mg, Höhenänderung h Þ W = m ∗ g ∗ h • max F = f ∗ eµ ∗α (α in rad) W = F ∗ s (F = const.) W = ∫ F ∗ d s (F = var) • M [A ] = x ∗ Fy − y ∗ Fx Allgemeine Gleichung Þ 2 ay tan ϕ = • Vorgehen bei komplexen Gebilden: • Freimachen • Kräfte einzeichnen • Kräfteverhältnisse • Drehpunktgleichung • Kräfte in Punkten • • Druck und Zugkraft wirken senkrecht zur Oberfläche Scherkräfte wirken parallel zur Oberfläche • Der Druck Þ p= F⊥ A • Scherkraft Þ τ= FC A M 1 r1 = M 2 r2 1/9 13.11.00 FORMELSAMMLUNG PHYSIK p= • Schweredruck in Flüssigkeiten Þ F1 F2 = A1 A2 Optik F ∗ cosϕ p= A p = ρ ∗ g ∗h R∗T M n ∗ R ∗T p=ρ∗ V • Schweredruck in Gasen Þ p=ρ∗ • Verhältnise Þ p ρ = p0 ρ0 • Atmosphärenformel Þ − ρ 0 ∗ g ∗h p = p0 ∗ e p0 • Ausbreitungsgeschwindigkeit Þ • Licht als Teilchen Þ • Brechungsindex Þ • • Dispersion: c hängt von Wellenläne l ab. Streuung: Umlenken von Lichtstrahlen an feinsten Teilchen (Staub, Wassertröpfchen) Þ Streuwahrscheinlichkeit proportional zu f 4 (oder w4) Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel Brechung: Beim Übertritt eines Lichtstrahls von einem ins andere Medium wird der Strahl zum Lot hin gebrochen. • • Druckbelastung einer Behälterwand p = γ ∗h • Bodendruck Þ • Seitenwändedruck Þ F = γ ∗ hs ∗ A γ = ρ∗ g • Abstand Schwerpunkt Þ e= • Typische Werte für e Þ γ = ρ∗g • E =h∗ f Brechungsgesetz Þ I XS A∗ s 2 dy (Rechteckfläche) 12 2 d y ∗ (a 2 + b2 + 4ab) e= (Trapezfläche) 18 ∗ (a + b)2 • 2 dy (Kreisfläche) 16 hS = s cosϕ (Flächenschwerpunkt) Beachte Þ hD = (s + e ) ∗ cosϕ (Druckpunkt) FH = γ ∗ H SV ∗ AV Gekrümmte Wand Þ FV = γ ∗V F = FH + FV 2 • Totalreflexion Þ • Numerische Aperatur Þ • Typen: 2. • Prisma Brechender Winkel Þ 2 Druck auf Flanschrohr oder Schweissnaht Þ F = p ∗π ∗ R2 Gewicht verdrängtes Fluid Þ G verdrängt = ρ F ∗ g ∗Vein FA = ρ F ∗ g ∗Vein mscheinbar = ( ρ − ρF ) ∗V mscheinbar = ρ ∗V − ρF ∗V mscheinbar = m − ρF ∗ V (ρ − ρF ) m scheinbar = ρ m ρ ∗ g ∗ V = ρ F ∗ g ∗ Vein ρ Vein = ρF V F 2 ∗b F∆S σ = 2 ∗ b∆s σ = • OberflächenspannungÞ • Benetzende Flüssigkeiten: Steighöhe Þ h= Ó Stefan Röthlisberger / E1A sinα lim = n1 ; n2 > n1 n2( α ) NA = n1 − n2 2 2 γ = α = ε1 + ε2 2ε ' = γ + δ ε= 2 ∗ σ ∗ cosα ρ∗g∗R γ 2 γ +δ sin 2 n= γ sin 2 Auftriebskorrektur bei Präzisionswägungen Þ Schwimmen Þ sinα1 n2 c1 = = sinα 2 n1 c2 sin εi' n = sin εi n' m scheinbar ( ρ − ρ F ) ∗V = m ρ ∗V • c0 c δ + γ = ε 1' + ε 2' FA = FF − FG • n= Stufenindex-Faser(Multimode) Gradientenindex-Faser(Multimode) Monomode-Stufenindex Auftrieb • h ∗ω 2 ∗π Merkregel • Beim Übergang zum dichteren Medium: Winkel zum Lot hin verkleinert • Beim Übergang zum dichteren Medium: Winkel zum Lot hin vergrössert 1. Lichtleiter: e= • E= Vakum : 1 Wasser : 1.33 Glas : n = 1.4 - 1.7 e= • c = f ∗λ 3. Optische Abbildungen • Brennpunkt(Brennweite) Þ • Abbildungsgleichung Þ • Abbildungsverhältnis Þ R 2 1 1 1 = + f g b f = β =− b g Konstruktion des Bildpunktes Strahl durch Krümmungsmittelpkt. C: In sich selbst reflektiert Strahl durch F: Parallel zur Hauptachse reflektiert Strahl parralel zur Hauptachse: Durch F reflektiert Strahl zum Scheitel S: Unter gleichem Winkel reflektiert Ausserdem ergibt sich sofort: g>f: reelles, invertiertes Bild g=f: Bild im Unendlichten 2/9 13.11.00 FORMELSAMMLUNG • PHYSIK g<f: virtuelles, aufrechtes Bild hinter dem Spiegel g>R: Bild kleiner, invertiert g=R: Bild 1:1, invertiert f<g<R: Bild vergrössert, invertiert MerkeÞ Virtuelle Abstände sind negativ(b<0) z=g− f Newton Formel Þ z′ = b − f • • f 2 = z ⋅ z′ • 1 1 1 = + f g b 7. • 1. • dünne Linsen Abbildungsgleichung Þ • Brennweite f Þ 1 = (n − 1) ∗ 1 − 1 r r f 1 2 • Abbildungsverhältnis Þ β =− b yb = g yg Konstruktion des Bildpunktes Strahl durch den Brennpkt: Geht parallel zur Hauptachse weiter Strahl parallel zur Hauptachse verläuft durch Brennpunkt Strahl durch Linsenmitte verläuft geradlinig weiter 1 • Brechkraft (gemessen in Dioptrien=1/m) Þ B= f 4. Linsentypen - by-konvex / konkav - plan-konvex / konkav - positiver / negativer Meniskus Konvexe Krümmung erzeugt einen Sammeleffekt (konvergente Linse) Konkave Krümmung erzeugt einen Zerstreuungseffekt (divergente L.) • Dünne Linsen mit verschiedenen Medien auf beiden Seiten Þ n − n1 n − n 2 n1 n2 1 n − n1 n − n2 = − − = + f r1 r2 r1 r2 g g 1 n1 n 2 = + f g g lim = n ⋅n β=− 1 n2 ⋅ g n lim = 1 b→∞ f1 g→∞ Korrektur: Randstrahlen ausblenden, Kombination von Linsen mit verschiedenen Brechungsindex Astigmatismus: Mangelnde Achsennähe sehr schief auftreffender Strahlen Korrektur: Linsenkombination Chromatische Aberration: Farbabhängigkeit der Brechkraft Korrektur: Linsenkombinationen Auflösungsvermögen: Fähigkeit, zwei nahe Punkte noch getrennt wiederzugeben Matix-Optik Vorgehen: Den Lichtstrahl vom Ziel her zurückverfolgen. Matrixen aneinanderreihen und ausmultiplizieren. • Schräger Einfallswinkel (a in rad)Þ • Ausbreitung längs der Strecke s Þ • Brechung an ebener Grenzfläche Þ y α 1 s y y + αs y ′ 0 1 ⋅ α = α = α′ 1 0 y y y′ n1 ⋅ = n1 = α ⋅ ′ 0 n 2 α n 2 α • dünne Linse in Luft Þ 1 1 − f • y 0 y y′ ⋅ = 1 1 α − y ⋅ + α = α′ f Brechung an sphärischer Grenzfläche Þ 1 n1 − n2 n2 ⋅ r n2 f2 y 0 n1 ⋅ y = n1 − n2 n y⋅ +α ⋅ 1 n 2 α n2 ⋅ r n2 = y ′ α′ Kinematik / Dynamik • Sphärisch gekrümmte Begrenzung zwischen zwei Medien Þ n2 − n1 n1 n2 = + r g b • n1 ⋅ b n2 ⋅ g Der Krümmungsradius r ist positiv, wenn die Grenzfläche sich zum Medium 1 hin auswölbt, sonst negativ Kinematik: Ziel der Kinematik ist es, Bewegungen mathematisch zu beschreiben, also die Bahn eines Teilchens als Funktion der Zeit anzugeben Dynamik: Ziel der Dynamik ist es, die Bahnkurve aus der Kenntnis der herrschenden Kräfte vorauszusagen (oder aus der Bahn auf die Kräfte zurückzuschliessen). • Geschwindigkeit Þ v= ds dt • Beschleunigung Þ a= dv dt Beliebige Linsensysteme Regel: auf eine Linse auffallender divergenter Strahl: reeler Gegenst. auf eine Linse auffallender konverg. Strahl: virtueller Gegenst. a= d s2 d 2t • 1.Schritt: Berechnung des Zwischenbild Þ a= F m • 2.Schritt: Zwischenbild wird Gegenstd. an der zweiten Linse Þ • b= • 1 1 1 = + f f1 f 2 Linsen in engem Kontakt Þ 1 1 1 = + b1 f1 g2 1. Geradlinige Bewegung Þ r = ∫ v ⋅ dt g 2 = d − b1 • 1 1 1 = + b2 f 2 g 2 3.Schritt: Bildweite hinter der zweiten Linse Þ • Abbildungsmassstab Þ 5. Dicke Linsen • SH = − f ⋅ Abstände Þ v = ∫ a ⋅ dt b b β = β 1 ⋅ β 2 = − 1 ⋅ − 2 g1 g2 • Konstante Kraft Þ 1 ⋅ a ⋅ t 2 + v0 + r0 2 F ax = x m v x = a x ⋅ t + v0 r= n −1 d ⋅ n r1 1 1 (n − 1) 1 d = (n − 1) ⋅ − + ⋅ f n r1 ⋅ r2 r1 r2 x= 2 6. • • Linsenfehler Sphärische Aberration: Randstrahlen-Effekt Ó Stefan Röthlisberger / E1A F m v = a ⋅ t + v0 n −1 d ⋅ n r2 S ′H ′ = − f ⋅ a= 3/9 Energiegleichung Þ 2 1 ⋅ ax ⋅ t 2 + v0 + x0 2 2 vx − v0 = 2a x ( x − x0 ) 13.11.00 FORMELSAMMLUNG • PHYSIK Arbeitsaufwand zum beschleunigen Þ W = F ⋅ ∆ s W = m ⋅ a( x − x0 ) • ( • 1 2 2 W = ∆ E kin = m vx − v0 2 a = g ⋅ sinα Gleiten auf der Schiefen Ebene Þ • Freib m m ⋅ g ⋅ sinα − µ ⋅ g ⋅ m ⋅ cosα a= m a = g (sinα − µ ⋅ cosα ) Zeitabhängige Kraft Þ P = F ⋅v = • • b r φ = ω ⋅ t = 2π ⇒ 1 Umdrehung x = r ⋅ cosφ y = r ⋅ sin φ dW dx = Fx dt dt Horizontaler und schräger Wurf Þ ay = 0 a =0 • Winkelgeschwindigkeit Þ ω = dφ = φ ′ dt • Zurückgelegter Weg Þ • Periode Þ • v y = v y 0 − gt vx = vx 0 x = v x 0 ⋅ t + x0 y = y + v ⋅ t − 1 g ⋅ t 2 x0 0 2 vx 0 = v0 ⋅ cosα • • v y 0 = v0 ⋅ sin α 2 • Wurfparabel Þ y ( x ) = y + v y 0 ⋅ ( x − x ) − 1 ⋅ g ⋅ x − x0 0 0 • Die Geschwindigkeit ist immer die Tangente an die Bahnkurve!!! vx 0 2 Drehbewegung Zentripetalkraft Þ Auf Zentrum gerichtete Kraft Zentrifugalkraf Þ Tendenz des Körpers zum Ausbrechen aus der Kreisbahn Winkel f Wird in rad gemessen Þ φ= 2P 2 ⋅ t + v0 m dv →a= dt → s = ∫ v ⋅ dt x i • v= 2. ∑F − m ⋅a = 0 ) a = g ⋅ sinα − -mit Reibung Prinzip von D’Alembert Þ m ⋅ a = ∑ Fi = F (resultierend) vx 0 • s = r ⋅φ s = r ⋅ ω⋅ t 2π ω 1 ω Frequenz Þ f = = T 2π Betrag der Tangentialgeschw. Þ v =ω ⋅r ω ⋅ 60 n= Drehzahl in Upm Þ 2π 60 ⋅ v n= 2π ⋅ r T= a = v ⋅ω Betrag der Tangentialbeschl. Þ a = r ⋅ ω2 v2 r FZ = m ⋅ r ⋅ ω2 Arbeit, Energie, Leistung • Arbeit Þ dW = F ⋅ ds • ⇒ W = ∫ F ⋅ ds • Energie Þ • Leistung Þ Impuls Þ W = ∆E pot • • 1 Ekin = m ⋅ v 2 2 dW P= dt P = F ⋅v • • • Kraftstoss Þ d p m⋅dv = dt dt • P = ∑ pi Faussen = Stosszahl Þ 2 v= G ⋅ Me Re v= g ⋅ Re = 7900m / s k= 3 3 Zweite kosmische Geschwindigkeit: Geschwindigkeit um sich von Oberfläche beliebig weit entfernen zu können Erdbeschleunigung • Potentielle Energie g= G ⋅ Me 2 Re G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅dr r2 1 1 = G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅ − r1 r2 ∆E pot = ∫ r2 r1 ∆E pot d d ⋅ P = ⋅ ∑ pi dt dt Impulserhaltung Falls in einem Teilchensystem nur innere Kräfte wirken, ist der Gesamtimpuls P erhalten (d.h. bleibt konstant, nach Betrag und Richtung) • Ist die kinetische Energie beim Stoss erhalten, heisst er elastisch Ist die kin. Energie beim Stoss nicht erhalten heisst er inelastisch • elastischer Stoss: Impulserhaltung + Energieerhaltung inelastischer Stoss: Impulserhaltung • Kepplersche Gesetzte T ∝a =r Erste kosmische Geschwindigkeit: Geschwindigkeit um von Erdoberfläche eine stabile Umlaufbahn zu erreichen. ∆ p = ∫ F ⋅ dt Gesamtimpuls P Þ m ⋅ v2 r v = 2 ⋅ g ⋅ Re = 11200m / s p = m⋅v F= Trägheitskraft, Zentripetalkraft Þ FZ = Impuls • a= E pot = − G ⋅ m1 ⋅ m2 r F Coriolis = 2 ⋅ m ⋅ω ⋅ v F Coriolis = −2 ⋅ m ⋅ω × v Coriolisbeschleunigung aCoriolis = 2 ⋅ω × v • Corioliskraft • v2 N ′ − v1 N ′ v1 N − v2 N Ó Stefan Röthlisberger / E1A 4/9 13.11.00 FORMELSAMMLUNG PHYSIK α= • dω dt =ω2 ⋅r • • dv dt • a = arad + atamg • M = m ⋅ x ⋅ y ⋅ω 2 M = ∫ x ⋅ y ⋅ dm Zentrif ugalmoment e dr = v = ω×r dt Körper dreht sich in System mit Geschwindigkeit v Formale Beschreibung der Drehung Drehimpuls • dr = v aussen = v + ω× r dt aussen • ) dv = a aussen = 2 ⋅ω × v + ω× ω× r dt aussen M = I ⋅α Grundgleichung der Drehdynamik M = I ⋅ω & && M = I ⋅ϕ • Trägheitsmoment: Bezieht sich immer auf eine gegebene • Drehachse • 2 • • I = ∫ r 2 ⋅ dm • • E kin • 1 m ⋅ r 2 ⋅ω 2 2 1 = ⋅ I ⋅ω 2 2 • L = Iω Gesamt-Drehimpuls=Bahndrehimpuls+Eigendrehimpuls Anwendung: Präzessionsgeschwindigkeit des Kreisels ⇒ L = I ⋅ω dL = ω p × L = ω p × Iω dt mga sinα = ω p Iω sinα M = Für Drehbewegung erforderliche Leistung P = M ⋅ω P = I ⋅ α ⋅ω P = Ftamg ⋅ v mga Iω Merkregel ⇒ Drehmoment parallel zur Drehachse: Drehung wird schneller oder langsamer M = Iα Drehmoment senkrecht zur Drehachse: kreiselartige Präzession M = ωp ×L ωp = • 1 d ⋅ I ⋅ω2 2 P= dt P = I ⋅ α ⋅ω + m ⋅ a ⋅ v Ekin + Transl • ( ) d Iω = I ⋅α dt Satz: Sind in einem System keine äusseren Drehmomente wirksam, so bleibt der Gesamt-Drehimpuls konstant L = rmωr Drehimpuls bei Drehung starrer Körper ⇒ L = mr 2ω M = mga sinα E kin = Kinetische Rotationsenergie dL dt M = axm g I = IS + m ⋅ a2 Satz von Steiner M = Drehbewegung ⇒ M = I = m⋅ r 2 I = ∑ mi ⋅ ri Drehimpuls ⇒ L = r × p L = r × mv ( • ) F = m ⋅ y ⋅ω 2 a = −ω 2 ⋅ r ⋅ er + α ⋅ r ⋅ ev • E kin = ( Tangentialbeschleunigung arad atamg = α ⋅ r a= 1 1 ⋅ m ⋅ v 2 + ⋅ I[CM ] ⋅ ω 2 2 2 1 E kin = ⋅ I[ CM ] + m ⋅ r 2 ⋅ ω 2 2 Hauptachsen: Bei Drehung um Hauptachsen bleiben Lager dynamisch unbelastet; Bei Drehung um NichtHauptachsen entseht dynamische Lagerbelastung Dynamische Lagerbelastung Rollbew. Energieansatz α = const = Konstante Drehbeschleunigung M I • ω = α ⋅ t + ω0 1 ϕ = α ⋅ t 2 + ω0 ⋅ t + ϕ0 2 x = A cos(ωt + φ0 ) x = A cos(ωt ) falls φ 0 = 0 Reduziertes Trägheitsmoment (Getriebe) 1 E kin = ⋅ I1 ⋅ ω12 1 Welle 2 1 1 E kin = ⋅ I k ⋅ωk 2 = Ekin = ⋅ I k ⋅ jk 2 ⋅ ω1 2 2 2 1 2 E kin = ⋅ I 1 + I 2 ⋅ j2 + I 3 ⋅ j3 2 + .. ⋅ω12 alle Wellen zusammen 2 j k = Übersetzungsverhältnis k → 1 ( ) • Trägheitsradius I = m ⋅ Rgyr 2 • Schwungmoment • Rollbewegung • Rollbew. Momentenansatz um P x = A sin(ωt ) falls φ0 = − ( ) M [ P ] = I[ CM ] + m ⋅ r ⋅ α Ó Stefan Röthlisberger / E1A ω = 2πf 1 2π T= = f ω Algemeine Beziehungen ⇒ 1. • Elastische Systeme Rücktreibende Kraft ⇒ • Federkonstanten ⇒ G ⋅Ip c= Spiralfede r 2π ⋅ i ⋅ R 3EJ c = 3 Einseitig freier Biegestab L 3EJL c = 2 2 In Mitte belasteter aufliegend er Bieges. ab • Allgemein ⇒ • m ⋅ g = c ⋅ x gleichgewicht Resultierende Kraft ⇒ sCM = ϕ ⋅ r vCM = ω ⋅ r aCM = a ⋅ r 2 π 2 • I schwung = 4 ⋅ g ⋅ l M [P ] = I [P ] ⋅ α Drehbewegung Projektion auf die x-Achse ⇒ x = r cosφ 5/9 Frück = −c ⋅ x Frück = c ⋅ xgleichgewi cht − c ⋅ x = m ⋅ g − c(x gleichgewicht + x ) 13.11.00 FORMELSAMMLUNG PHYSIK 2. Schwingungsgleichung ⇒ m ⋅ a = m ⋅ &x& = − c ⋅ x Dgl der harmonisch en Schw. • Schwingung ⇒ δ= • x = A cos(ωt + φ0 ) x& = − A ω sin(ωt + φ0 ) Beziehungen ⇒ ω = • • m c xmax = A Maximale Amplituden ⇒ In Serie wirkende Federn ⇒ 4. Andere Schreibweisen der harmonischen Schwingung x = A cos(ωt + φ 0 ) ⇒ x = A cosωt + A sinωt A = A cosφ A = − A sin φ 2 ( 1 1 1 = + + .. c c1 c2 1 0 2 2 0 ) 5. Drehschwinger ⇒ • Bewegungsgleichung ⇒ I ⋅ a = I ⋅ θ&& = − c ⋅ x θ = A cos(ωt + φ0 ) Lösung ⇒ θ& = − A ω sin(ωt + φ ) 0 δ ω0 • Dämpfungsgrad ⇒ 9. • Erzwungene Schwingung / Resonanz Schwingungsgleichung ⇒ m ⋅ &x& + k ⋅ x& + c ⋅ x = F0 sin(ω e t ) • Stationäre Lösung ⇒ ϑ= x = A sin (ω e t − φ ) F0 A= ( m ω0 −ωe tan φ = x = A1e j (ωt ) + A2 e− j (ωt ) • Aperiodischer Kriechfall ⇒ x = A1 e − δt + A 2 te − δt • x = Ae j ωt +φ0 • δ >ω Die Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab 1 8. • x&&max = Aω 2 • • c Eigenfrequ enz m x&max = Aω c ⋅ x 2 max c ⋅ A 2 cos2 (ωt + φ0 ) E pot = = Energie ⇒ 2 2 m ⋅ x& 2 max m ⋅ A 2ω 2 sin 2 (ωt + φ0 ) E kin = = 2 2 Parallel wirkende Federn ⇒ c = c1 + c2 + .. 3. 2 x (t ) ln = δ T logarithm. Dekrement x(t + T ) Aperiodische Bewegung Aperiodischer Grenzfall ⇒ δ = ω 0 c m T = 2π ω = ω0 − δ 2 ω0 = &x& = − A ω 2 cos(ωt + φ0 ) • Beziehungen ⇒ k 2m M rück = −cr ⋅ θ 2 ) +k 2 2 kω e ( m ω0 −ωe 2 2 ) 2 • Amplitudenresonanz ⇒ ω e = ω0 − • Energieresonanz ⇒ ω e = ω0 • Unwuchtbelastung ⇒ F = m ω 2 r sin(ωt ) • Zwangsführung(von aussen mit x angeregt) ⇒ x = x0 sin(ωt ) • Zwangsführung und Unwuchtbelastung ⇒ F0 = m ⋅ x0 ⋅ ω 2 2 2 k 2m 2 F0 = m ⋅ r ⋅ ω 2 0 θ&& = − Aω 2 cos(ωt + φ0 ) • 10. Elektrischer Schwingkreis cr Beziehungen ⇒ ω = I T = 2π • m ⇔ L ; k ⇔ R; c ⇔ ω0 = mL2θ&& = − mgL sin θ Pendel ⇒ • Gilt für kleine Amplituden ⇒ Lθ&& + gθ θ = A cos(ωt + φ0 ) ω= g L Iθ&& + mgbθ = 0 Physikalisches Pendel ⇒ Erzwungene Schwingung ⇒ • Amplituden und Winkel ⇒ I mb Gedämpfte Schwingung Reibkraft (geschw.proportionale Dämpfung) ⇒ Freib = − kv = − kx Diffgleichung der Schwingungen ⇒ mx&& + kx& + cx = 0 x = Ae −δt cos(ωt + φ 0 ) 1 C 1 LC Q U 0e jωt = L i& + Ri + C U0 U= mgb I Lreduziert = • • θ = A cos(ωt + φ 0 ) ω= 7. • i L&i& + Ri& + = 0 C Dgl des el. Schwingkreises ⇒ I cr 6. • ωe m2 2 2 2 1 − ω e L + R 2 ω C e 1 Lω e − ω eC tan φ = R 11. Interferenz • Addition von Schwingungen ⇒ y1 = A1e j (ω1t +φ1 ) y2 = A2e j(ω 2t +φ 2 ) ( ) ( y1 + y2 = A1e j ω1t +φ1 + A2 e j ω2t +φ2 • Addition von Schwingungen wenn ω1=ω2 ⇒ A= • ) A1 + A1 + 2 A1 A2 cos(φ 2 − φ1 ) 2 2 Schwebung falls A1=A2;ω2=ω1+∆ω⇒ ω1 +ω 2 ⋅t 2 ω − ω2 j y1 + y2 = 2 A cos 1 ⋅ t ⋅e 2 12. Gekoppelte Schwingungen Ó Stefan Röthlisberger / E1A 6/9 13.11.00 FORMELSAMMLUNG • PHYSIK ( ) ( ) ( ) cos(ω t + φ ) − A ( ( cos(ω ( x1 = A ( I ) cos ω ( I )t + φ ( I ) + A ( II ) cos ω ( II )t + φ ( II ) x2 = A (I ) I I II ) II ) t +φ ( II ) ) ) • Wellen 1. • • • Wellengleichung F ylinks = − F sin α = − F tan α = − F y′( x) Seilkräfte ⇒ • w = ε ⋅ ε0 ⋅ E 2 = µ ⋅ µ0 ⋅ H 2 F yrechts = F sin β = F tan β = − F y′( x + dx) I = ε ⋅ ε 0 ⋅ E 2 ⋅ c = µ ⋅ µ0 ⋅ H 2c 2 2 Saiten/Wellengleichung ⇒ ∂ y = c 2 ∂ y 2 ∂t ∂x 2 Ausbreitungsgeschwindigkeit ⇒ c= 1 2 I mittel = ε ⋅ ε 0 ⋅ E max ⋅ c 2 1 Lichtgeschwindigkeit c= ε rε 0 µ r µ 0 F ρ⋅A I mittel = λ =λ⋅ f T ω ω c=λ = 2π k c= 2. As ε 0 = 8. 854 ⋅ 10−12 Vm Vs µ 0 = 4π ⋅ 10− 7 Am Wellenfunktion • Schwingung am Ort x ⇒ 1 (Vakum : ε r µ r = 1) ε rε 0 µ r µ 0 • • 4. • y (t ) = A ⋅ e jωt 2π ω= T y ( x) = A ⋅ e jkx Schwingung zur Zeit t ⇒ 2π k= (Wellenzahl) λ ε ⋅ε0 2 ⋅ E max µ ⋅ µ0 I ∝ nE 2 Ebene Welle ⇒ A = const , I = const Ausbreitun g in 1.Richtung Sphärische Welle(Kugel) ⇒ 1 1 A ∝ , I ∝ 2 Ausbreitun g in 3.Richtung en r r Doppler Effekt c − vB f′= f f`, die der Beobachter wahrnimmt ⇒ c − vQ v f ′ = f 1 − relativ c • Wellenfunktion ⇒ • Laufende Wellen in (+x)Richtung ⇒ y ( x, t ) = A ⋅ e± j (ω ⋅t−kx +φ0 ) • Laufende Wellen in (-x)Richtung ⇒ • Argument der e-Funktion ⇒ x k⋅x ω ⋅ t − k ⋅ x = ωt − = ωt − ω c Stehende Welle ⇒ y ( x, t ) = a cos(ω ⋅ t + φ1 ) ⋅ cos(k ⋅ x + φ 2 ) • 1 2 I ∝ A2 Lichtgeschwindigkeit c = • Mechanische Wellen (Energiedichte+ Intensität) ⇒ 1 w = ρ ⋅ A2 ⋅ω 2 2 1 I = ρ ⋅ c ⋅ A2 ⋅ω 2 2 Elektromagn. Wellen ⇒ y ( x, t ) = A ⋅ e± j (ω ⋅t± kx ) y ( x, t ) = A ⋅ e ± j ( ω⋅t +kx +φ0 ) Schwebungsfrequenz (el.magn) ⇒ 5. • • Übergang zwischen verschiedenen Medien Wichtig: Phasensprung am dichteren Medium beachten! Amplituden-Transmissionsfaktor ⇒ t = 2c2 = 2 ⋅ n1 = At c1 + c2 n1 + n2 A0 • Amplituden-Reflexionsfaktor ⇒ • • • • 3. • Allgemeine Lösung ⇒ y ( x, t ) = A1e jω ⋅t + A2 e − jω⋅t ⋅ B1e jk⋅x + A2 e− jk⋅x Stehende Wellen ⇒ Einspannungspunkte: Knotenpunkte der stehenden Welle Freie Enden: Bauch der stehenden Welle 1c ; λ1 = 2L (0 Knoten) f1 = 2L c f 2 = ; λ2 = L (1 Knoten) L 3c 2 ; λ3 = L (2 Knoten) f3 = 2L 3 1 c f 4 = 2 ; λ4 = L (3 Knoten) 2 L nc 2 fn = ; λ n = ⋅ L (n - 1 Knoten) 2L n Longitudinalwelle (z.B Schallwelle) Transversalwelle (magn. Vektor senkrecht zu el. Vektor) Intensität P Intensität ⇒ I= = w⋅ c A⊥ ( )( Intensitätsfaktoren ⇒ ) T= r= c2 − c1 n1 − n2 Ar = = c1 + c2 n1 + n2 A0 • I transm n2 Atransm = I ein n1 Aein R= I refl I refl + I0 I ein 2 2 Arefl = r 2 = Aein I transm = R +T =1 I0 Optische Wegdifferenz ⇒ ∆ = 2nD λ falls Phasenspr. 2 λ ∆ = 2 D n2 − sin 2 (α ) + endlich. Einfallswi nkel 2 ∆ = 2nD + • Verg. von Linsen, Interferenzfilter ⇒ ns = n Luft ⋅ nLinse D= • Wellenwidestand ⇒ λ 4ns Z s = Z1 ⋅ Z 2 Wärme / Thermodynamik • • 1. Ó Stefan Röthlisberger / E1A f′ = f I ∝ n ⋅ A2 y ( x, t ) = a sin(ω ⋅ t + φ1 ) ⋅ sin (k ⋅ x + φ 2 ) • c−v c+v • 7/9 Wärme: -Wärmemenge Q 1J=1Nm (1cal=4.184J) Temperatur: -Im thermodynamischen Gleichgewicht haben alle Teile eines Systems die gleiche Temperatur Réaumur-Skala: °R=0.8°C Fahrenheit Skala: °F=1.8°C+32 Thermische Ausdehnung 13.11.00 FORMELSAMMLUNG • Fest Körper ⇒ PHYSIK ∆l = α ⋅ ∆ϑ l0 l = l0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ ϑ ) Lineare Ausdehnung • ∆A = 2α ⋅ ∆ϑ Oberfläche ndehnung A0 ∆V = 3α ⋅ ∆ϑ Volumenaus dehnung V0 F ∆l = E⋅ A l • Thermische Spannung ⇒ • Flüssigkeiten ⇒ ∆ V = β ⋅ ∆ϑ V0 • ρ = ρ 0 ⋅ (1 − β ⋅ ∆ϑ ) 2. • • = −κ ⋅ ∆ p m⋅ c = c= 3. • • • Wärmetransport Wärmeleitung: molekulare Stösse innerhalb eines Stoffes Konvektion: durch ein Transportmedium(Wasser, Luft) Wärmestrahlung: elektromagnetische Strahlung I = Q& = k ⋅ A ⋅ ∆ϑ Wärmefluss ⇒ Q ∆ϑ IQ = Rth Wärmeflussdichte ⇒ Wärmeübergang an umströmter Oberfläche ⇒ I = Q& = α ⋅ A ⋅ (ϑ − ϑ ) w k • 6. • • Nusseltzahl ⇒ Nu = α ⋅ L λ Wärmestrahlung Absorptionsvermögen α=Emissionsvermögen ε, für alle Körper Reflexions+Transmissionsvermögen ⇒ α + ρ +τ = 1 Spezifische Ausstrahlung ⇒ M = ε k ⋅σ ⋅ T 4 σ = 5.67 ⋅ 10−8 Bolzmancon st. • abgestrahlter Wärmestrom ⇒ • Wärmestrahlungskoeffizient ⇒ • ) 2 2 ) Wiensches Verschiebungsgesetz ⇒ 2hc2 hc λ5 ⋅ e λ⋅k ⋅T − 1 2hf 3 hc c 2 ⋅ e k ⋅T − 1 h = 6. 625⋅ 10−34 Js k = 1.38 ⋅ 10−23 7. • J K Instationärer Wärmetransport Erwärmung eines kühlen Objekts in der wärmeren Umgebung ⇒ Q = k ⋅ A(ϑ1 − ϑ ) dϑ dt dϑ k ⋅ A (ϑ1 − ϑ ) = dt m ⋅ c dϑ k ⋅ A = dt dt m ⋅ c Q = m⋅ c ⋅ λ Wärmele itung d kα = α Konvektion kλ = Beziehungen zum Elektrischen ⇒ I Q jQ el.Stromstärke/dichte ( 4 Lf = dIQ dA jQ = k ⋅ ∆ϑ • 4 α S = C12 (T1 + T2 ) T1 − T2 Lλ = jQ = Wärmetransport „k“ ⇒ ( I Q = Q& = C12 A1 T1 − T2 Spektrale Zusammensetzung der Wärmestrahlung λ max ⋅ T = const = 2898um R = C p − Cv • I Q = Q& = M ⋅ A1 I Q = Q& = α s A1 (Tk − Tu ) C m Gaskonstante ⇒ • • dQ dT • • Konvektion Wärmetransport durch strömende Flüssigkeiten ⇒ I Q = Q& = m& ⋅ c ⋅ (ϑw − ϑk ) • Wärmekapazität Wärmekapazität C ⇒ dQ C= dT C Cm = = c ⋅ Molmasse (molares C) Molzahl 1 C mv = ⋅ f ⋅ R 2 1 C mp = ⋅ f + 1 ⋅ R 2 J C metalle ≅ 3R ≅ 25 molK Spezifische Wärme c ⇒ V2 K2 5. • Q ∆ρ = − β ⋅ ∆ ϑ (Analog für feste Körper 3α = β ) ρ0 V0 λ = L ⋅ T ⋅ κ L = 2.45 ⋅ 10−8 I Q = G ⋅ ∆ϑ Scheinbare Gefässdehnung ⇒ β schweinbar = β − 3α ∆ VKomp ∂ϑ ∂x ϑ2 − ϑ2 jQ = − λ x2 − x1 jQ = − λ (ϑ1 − ϑ ) = (ϑ1 − ϑ0 )e τ= ks = α s Strahlungs koeffizient • − kA t mc mc C = = RC kA G Abkühlverhalten ⇒ (ϑ1 − ϑ2 ) = (ϑ10 − ϑ2 )e − kA t mc ∆ϑ Potentialdifferenz 1 d = Widerst and k⋅A λ⋅A A ⋅λ k⋅A= Leitwert d Wärmekapazitätsgleichun (wenn durch Wärmefluss ein Stoff erwärmt wird) ⇒ dQ = m ⋅ c ⋅ dϑ Wärmeleitung Rth = • 4. Ó Stefan Röthlisberger / E1A 8/9 13.11.00 FORMELSAMMLUNG • PHYSIK Anlauferwärmung eines Motors ⇒ dϑ I1 = m ⋅ c ⋅ dt I 2 = k ⋅ A(ϑ − ϑU ) dϑ + k ⋅ A(ϑ − ϑU ) dt P z = ϑ − ϑu − A kA − t dz dϑ kA z → z = z0 e mc = →z=− dz dt mc kA − t P 1 − e mc ϑ = ϑu + kA P stationärer Wert ϑ = ϑu + kA P = m⋅ c ⋅ Einheiten / Konstanten • Mechanik / Statik Þ ax, a y x bzw. y Komponenten a Betrag des Vektros (länge) F, Fg, Fd Gewichts, Druck-Kraft m a Masse Beschleunigung q E elektrische Ladung Elektrisches Feld r d m Radius Abstand Dipolmoment(Vektroricht. von --+) g Erdbeschleunigung ε0 elektrische Feldkonstante G Gravitationskonstante • Arbeit / Energie / Leitung Þ W Arbeit s Weg / Strecke F, Fg, Fd Gewichts, Druck-Kraft m x D v Masse Streckungsdifferenz Federkonstante Geschwindigkeit P η Leistung Wirkungsgrad g f b b Abstand Scheitelpkt-Gegenstand Abstand Scheitel – Brennpunkt Abstand Scheitel – Bildpunkt Vergrösserung N= 1kg ∗ m J =1 s2 m kg m s2 1C = 1A ∗ s V m m m 9.81 m s2 As Vm Nm 2 6.67 ∗10−11 kg 2 8. 854 ∗10−12 J = Ws m 1kg ∗ m J N= =1 s2 m kg m m s W - g Erdbeschleunigung Ó Stefan Röthlisberger / E1A 9.81 m s2 9/9 13.11.00
