Moderne Physik - Frank Reinhold

Moderne Physik
Fragenkatalog zur mündlichen Prüfung bei Prof. Weiß
Examensvorbereitung
Frank Reinhold
18. April 2012
Inhaltsverzeichnis
1 Kernphysik
1.1 Was sind thermische Neutronen . . . . . . . . .
1.2 Warum setzen Kernspaltung/-fusion Energie frei?
1.3 Welche Arten von Kernzerfall gibt es? . . . . .
1.3.1 α-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 β-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 γ-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Charakteristische Eindringtiefe in Materie? . .
2
2
2
3
3
3
4
4
2 Elementarteilchen
2.1 Welches sind die elementaren Bausteine der Welt?
2.2 Welches sind die fundamentalen Wechselwirkungen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
3 Atomphysik
3.1 Wie kann man Atome sichtbar machen? . . . .
3.1.1 Feldemissionsmikroskop . . . . . . . . .
3.1.2 Transmissions-Elektronenmikroskop . .
3.1.3 Raster-Elektronenmikroskop . . . . . . .
3.1.4 Raster-Tunnelmikroskop . . . . . . . . .
3.1.5 Atomares Kraftmikroskop . . . . . . . .
3.2 Wie erzeugt man Röntgenstrahlung? . . . . . .
3.2.1 Absorptions-/Emissionsspektrum . . . .
3.3 Was ist Synchrotronstrahlung? Was ist ein Ondulator? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Was ist ESCA? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Erkläre den Photoeffekt! Versuchsaufbau, Prinzip! . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Was ist der Compton-Effekt? . . . . . . . . . .
3.5.1 Was ist Rayleigh-Streuung? Unterschied zur Compton-Streuung? . . . . .
3.6 Wozu benutzt man den Stern-Gerlach-Versuch?
3.7 Wie funktioniert Kernspinresonanz? . . . . . .
3.7.1 Kernspinresonanz (NMR) . . . . . . . .
3.7.2 Klassisches Analogon? . . . . . . . . . .
3.7.3 Quantenmechanisches Bild . . . . . . .
3.7.4 Wozu benutzt man Kernspinresonanz? .
3.7.5 Wie funktioniert Kernspintomographie?
3.7.6 Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . .
3.8 Was ist Rutherfordstreuuung? . . . . . . . . . .
3.9 Was ist die Geburtsstunde der Quantenmechanik?
3.9.1 Wie lautet das Wien’sche Verschiebungsgesetz? . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.2 Wie lautet das Plank’sche Strahlungsgesetz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.3 Wie lautet das Stefan-Boltzmann-Gesetz?
3.9.4 Was versteht man unter der UVKatastrophe des Rayleigh-Jeans-Gesetz?
3.9.5 Was macht man beim Franck-HertzVersuch (Elektronenstoß)? . . . . . . . .
3.10 Welcher Mechanismus führt zu Molekülbindung?
3.11 Wie funktioniert ein Laser? . . . . . . . . . . .
3.11.1 Emission . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.2 Besetzungsinversion . . . . . . . . . . .
3.11.3 Was ist ein Excimer-Laser . . . . . . . .
3.11.4 Linienbreite, Kohärenzlänge? . . . . . .
3.11.5 Eigenschaften von Laserlicht . . . . . .
6
6
6
7
7
7
7
7
8
5
9
9
9
9
10
10
11
11
11
11
11
12
12
12
12
13
13
13
13
13
14
14
14
15
15
15
15
3.11.6 Aufstellen der Lasergleichung? . . . . .
3.11.7 Wie funktioniert Laser-Cooling? Wofür
benutzt man es? . . . . . . . . . . . . .
3.12 Was ist der Mößbauer-Effekt . . . . . . . . . .
4 Festkörperphysik
4.1 Welche Bindungstypen gibt es? . . . . . . . . .
4.2 Was ist die Kristallstruktur? . . . . . . . . . . .
4.2.1 Was ist der Unterschied zwischen Kristallgitter und Kirstallstruktur? . . . . .
4.2.2 Was ist das reziproke Gitter? . . . . . .
4.2.3 Welche Gittertypen gibt es? Was ist die
Kristallstruktur von . . .? . . . . . . . . .
4.3 Wie lassen sich Kristallstrukturen bestimmen?
4.3.1 Wie lautet die Laue- und die BraggBedingung? . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Wie funktioniert die Ewald-Kosntruktion? . . .
4.5 Was sind Millersche Indizes? . . . . . . . . . . .
4.6 Was ist eine primitive Zelle/Einheitszelle? . . .
4.6.1 Was ist die Wigner-Seitz-Zelle und die
1. Brillouin-Zone? . . . . . . . . . . . .
4.7 Was sind Phononen? . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Wie stellt man sich ein freies Elektronengas vor?
4.9 Wie kommt man zur Bandstruktur eines
Festkörpers? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Wieso sieht die Bandstruktur in
Büchern üblicherweise anders aus? . . .
4.10 Wodurch unterscheiden sich Isolator, Metall
und Halbleiter? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.1 Wodurch sind Halbleiter charakterisiert?
4.10.2 Wie bestimmt man die Bandlücke von
Halbleitern experimentell? Wieso kann
man dabei den Photonenimpuls vernachlässigen? . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.3 Was sind intrinsische Halbleiter? . . . .
4.10.4 Was unterscheidet einen direkten und
einen indirekten Halbleiter? . . . . . . .
4.10.5 Wie ist die Si-Struktur charakterisiert? .
4.10.6 Was ist die Fermi-Fläche? . . . . . . . .
4.11 Was ist Supraleitung? . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Besondere Eigenschaften von Supraleitern
4.11.2 Beschreiben sie knapp die BSC-Theorie!
4.11.3 Was ist ein Abrikosov-Gitter? . . . . . .
4.11.4 Wie sieht die Zustandsdichte im supraleitenden Zustand aus? . . . . . . . . . .
4.11.5 Wie kann man die Energielücke messen?
4.11.6 Was ist ein Hochtemperatur-Supraleiter?
4.11.7 Was versteht man unter der effektiven
Masse eines Elektrons? . . . . . . . . . .
4.12 Was ist Ferromagnetismus? . . . . . . . . . . .
4.12.1 Was sind Weiß’sche Bezirke und warum
gibt es sie? . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12.2 Wie sieht eine typische Magnetisierungskurve aus? . . . . . . . . . . . . .
4.13 Wie kommt es zum Quanten-Hall-Effekt? . . .
4.14 Wie funktioniert der pn-Übergang beim Halbleiter? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.1 Wie sieht das Bänderschema aus? Wo
treten Ströme auf? . . . . . . . . . . . .
15
15
16
16
16
16
16
17
17
17
17
17
18
18
18
18
19
21
21
21
22
22
22
23
23
23
23
23
24
25
25
25
25
26
26
27
27
27
28
28
1
4.14.2 Wie funktioniert eine Diode? . . . . . .
4.14.3 Was ist ein MOSFET? Bänderschema
eines Mosfets? . . . . . . . . . . . . . .
4.14.4 Wie funktioniert ein Halbleiterlaser? . .
4.15 Wem und wofür wurde der Nobelpreis in Physik
2007 verliehen? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1 Kernphysik
28
28
1.1 Was sind thermische Neutronen
29
Neutron mit kinetischer Energie in der Größenordnung kB ·
T ≈ 1/40eV (bei Raumtemperatur). Erzeugung: Streuung an
Kern, Neutron gibt Energie ab (z. B. Kernreaktor, Wasser als
Moderator)
Anwendung: Warum nimmt Wirkungsquerschnitt mit
zunehmender Energie ab? Einsatz in Kernreaktoren zur
Kernspaltung, da Wirkungsquerschnitt für Neutroneneinfang
für thermische Neutronen sehr groß ist: σ ∝ E −1/2 ∝
1/ν . Signalspitzen (in barn) sind auf sogenannte Resonanzen
Abbildung 1: Wirkungsquerschnitt
durch Silberatome
für
Neutroneneinfang
zurückzuführen. Resonanzmaximum erreicht hohe Werte (bestimmte Elemente, z. B. 117 Cd, eignen sich besonders gut zur
Abschirmung niederenergetischer Neutronen, daher Einsatz in
Kontrollstäben in Kernreaktoren).
Wozu braucht man zum Abbremsen einen Moderator? Bei Kettenreaktionen entstehen bei Zerfällen hochenergetische Neutronen, zum Abbremsen sind Moderatoren, z. B.
Wasser nötig (Verlangsamung, Energieverlust durch Stöße)
und/oder auch leichte Kerne (Masse des Kerns und des Neutrons in der gleichen Größenordnung, z. B. Graphit). Es wird
angereichertes Uran verwendet, wenn normales Wasser verwendet wird; natürliches Uran, wenn schweres Wasser verwendet wird.
Kernreaktor Um Wärme abzuführen kann das ModeratorWasser oder (bei Graphit) ein sekundärer Wasserkreislauf verwendet werden. Um die Zerfallsrate zu kotnrollieren, werden
in Reaktoren Steuerstäbe (neutronenabsorbierendes Material,
z. B. Bor, Cadmium) eingesetzt.
1.2 Warum setzen Kernspaltung/-fusion
Energie frei?
Bei der Spaltung eines schweren Kerns oder der Verschmelzung zweier leichter Kerne wird Energie freigesetzt
Ablauf Kernspaltung Schwere Kerne: Atom fängt Neutron ein, beginnt dann zu oszillieren und wird instabil. Zerfall
in zwei mittelschwere Kerne und mehrere Neutronen. Typische
Reaktionsgleichung:
U + 10n −−→
235
141
Ba + 92Kr + 3 10n
(1)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% zerfällt Uran durch γEmission, zu 85% tritt Kernspaltungsprozess auf.
2
Es wird sehr viel Energie frei (wegen höherer Bindungsenergie
pro Nukleon in den Tochterkernen, maximale Bindungsenergie
pro Nukleon bei A = 56).
• Durch Myonen (aus Protonen) katalysierte Kernfusion
(technisch unwahrscheinlich).
Lawson-Kriterium? ητ > 1020 s/m3 mit Ionendichte η und
Einschlusszeit des Plasmas τ muss erfüllt sein, damit produzierte Energie größer ist als die hineingesteckte.
1.3 Welche Arten von Kernzerfall gibt es?
1.3.1 α-Zerfall
A
ZX
Abbildung 2: Negativer Graph von Massendefekt pro Nukleon
Bindungsenergie pro Nukleon Bei kleinen Massenzahlen nimmt Anzahl der Bindungspartner noch zu, danach:
Sättigungseffekt; Bindungsenergie verläuft nahezu konstant;
für große Massezahlen wird Bindungsenergie durch stark zunehmende Coulombabstoßung abgesenkt (über 260 werden
Kerne sogar instabel und zerplatzen).
−−→
A4
Z−2Y
+ 42He
(4)
Physikalisches Modell? Potentialverlauf ? Bei Zerfall
von schweren kernen (A > 83) ist Masse der Produkte geringer als die der Kerne: theoretisch instabil gegen Zerfall.
Aber: Coulombabstoßung wird im Vergleich zu anziehenden
Kernkräften zu groß, weil Kern zu große Protonenzahl hat
im Vergleich zur Neutronenzahl. Im Inneren wird die starke
Zur Kernspaltung ist eine gewisse Schwellenenergie erforderlich: Bei 235U genügen thermische Neutronen, bei 238U Neutronen mit kinetischer Energie von 0.7 MeV.
Anwendung: Kernkraftwerk Abfall und evtl. frei werdende Neutronen: gefährliche radioaktive α, β, γ-Strahlung
Ablauf Kernfusion Bei Zusammenstoß von Kernen
können Projektilkerne zu schwerem Kern verschmelzen. Typische Reaktionsgleichung:
2
H + 3H −−→ 4He + 1n + 17.6 MeV
(2)
p + p −−→ 22H · −−→ 21H + e+ + νe
(3)
Abbildung 3: Tunnelprozess eines im Kern gebildeten αTeilchens durch den Coulombwall
Erster Reaktionspfeil: Coulombwechselwirkung, zweiter Reaktionspfeil: starke Wechselwirkung, dritter Reaktionspfeil:
schwache Wechselwirkung.
Kernkraft durch ein konstantes Kastenpotenzial beschrieben
(Teilchen bewegt sich frei), bei Übergang nach außen: Wall
wegen Coulombabstoßung und Kernanziehung; außerhalb für
großen Abstand konstant, aber höherer Wert: die starke Wechselwirkung ist außerhalb des Kerns vernachlässigbar.
Entstehung des Deuterons in 2. Reaktionsgleichung ist 1.
Schritt in Reaktionskette, bei der aus 4 Protonen ein Heliumkern im Zentrum der Sonne ensteht.
Bindungsenergie wird frei: höhereEnergie des Teilchens, aber
nicht so hoch wie Maximum.
Warum so hohe Temperaturen bei Kernfusion? Hohe
Temperaturen sind nötig, aber schwierig über längere Zeit aufrechtzuerhalten. Zur Kernfusion muss die Coulumbabstoßung
(Ekin ≥ 1 MeV) überwunden werden. Bei geringerer kinetischer Energie (Ekin ≈ kb T ≈ 10 keV) bzw. größerer Entfernung der Kerne voneinander ist auch schon Fusion möglich,
man spricht vom Tunneleffekt. Dadurch lässt sich auch die
Fusion der Sonne erklären.
Realisierungen?
• Magnetischer Einschluss: Einschluss der zu fusionierenden Kerne (Deuteron und Tritium) in starken, geeignet geformten B-Feldern, Aufheizen durch Strom, eingestrahlte Hochfrequenzleistung oder Stöße mit schnellen
neutralen Teilchen: Verschmelzung.
• Trägheitseinschluss: Aufheizen eines festen DeuteronTritium-Targets durch Beschuss mit Hochleistungslasern
oder hochenergetischem Teilchenstrom: heißes Plasma
wird durch Rückstoß der verdampfenden Target-Teilchen
komprimiert.
Bestimmender Effekt beim α-Zerfall ist der Tunneleffekt: Eigentlich sind Teilchen mit geringerer Energie als Potentialbarriere im Kern gebunden, aber quantenmechanisch langt Energie zum Durchtunneln.
Abhängigkeit Energie - Halbwertszeit? Die Tunnelwahrscheinlichkeit hängt empfindlich von der Höhe und der
Breite des Potentialwalls ab: größere Energie führt zu größerer
Tunnelwahrscheinlichkeit: kürzere Halbwertszeit.
Welche Kraft ist wirksam?
Coulombkraft
1.3.2 β-Zerfall
β−
β
+
A
ZX
A
ZX
−−→
−−→
A
Z+1Y
A
Z−1Y
+ e− + ν̄e
+
+ e + νe
(5)
(6)
Physikalisches Modell? Tritt bei Kernen auf, die zu viele
oder zu wenige Neutronen haben, um stabil zu sein. Bei diesem
3
Zerfall ändert sich die Massenzahl nicht, aber die Ladungszahl! Einfachstes Beispiel: freies instabiles Neutron zerfällt in
Proton und Elektron.
β − -Zerfall: Neutron im Kern wandelt sich in Proton und Elektron um und sendet dabei Antineutrino aus:
n −−→ p + e− + ν̄e .
betrachtet, bis nach gewisser Strecke die gesamte Energie
abgegeben ist (soweit geht Reichweite).
Elektronen: große Streuung in der Reichweite
Protonen/Ionen: einige MeV: Reichweite variiert nur gering.
(7)
β + -Zerfall: Proon im Kern wandelt sich in Neutron und Positron um und sendet dabei Neutrino aus:
p −−→ n + e+ + νe .
(8)
Tritt bei freien Protonen nicht auf wegen Verletzung der Energieerhaltung, da mp < mn .
3. Teilchen? Energiespektrum? Energie sollte scharf
sein, gemessen wird aber Energiespektrum. Grund: Die Elektronen besitzen ein kontinuierliches Energiespektrum, nicht
nur einheitliche Ekin,max . Pauli postuliert die Existenz eines
neuen Teilchens, das emittiert wird, das massenlose Neutrino,
es sorgt für Energie- und Impulserhaltung.
Welche Kraft ist wirksam?
kung.
Die schwache Wechselwir-
Abbildung 4: Differentieller
Energie
Energieverlust
zu
kinetischer
Energieverlust nimmt im Bereich kleiner kinetischer Energien Maximum an, dann nahezu konstant. Also: minimal ionisierende Teilchen haben nahezu konstanten Energieverlust,
Reichweite ist etwa proportional zu ihrer Energie.
Anwendung des Bragg-Peaks? Die Tatsache, dass der
differentielle Energieverlust für kleine kinetische Energien
stark anwächst, führt zu wichtigen Anwendungsmöglichkeiten.
Teilchen geben einen großen Teil ihrer Energie erst gegen Ende
Wie funktioniert die C14-Methode? Isotopenverhältnis
von Kohlenstoff ( 14C zu 12C) in lebenden Organismen/Pflanzen ist gleich dem Gleichgewichtsverhältnis in der
Atmosphäre (bekannt); bleibt durch Nachbildung konstant
(kosmische Strahlung in höheren Atmosphäreschichten). Nach
Absterben ist 12C stabil, 14C zerfällt gemäß dem Zerfallsgesetz:
N (t) = N0 · exp (−λt) ,
λ=
ln 2
,
T1/2
(9)
mit T1/2 ( 14C) = 5730 a. In einem Gramm lebendem Gewebe
hat 14C 15 Zerfällt pro Minute, in totem Material nimmt entsprechend dem Alter die Zahl der Zerfällt exponentiell ab. Die
neue Anzahl der Zerfälle bestimmt man aus der Radioaktivität
A = λN des Materials. Aus dem neuen Isotopenverhältnis
lässt sich das Alter bestimmen.
1.3.3 γ-Zerfall
Abbildung 5: Bragg-Peakt
(10)
der Reichweite ab. Entsprechendes Energieverlustmaximum
heißt Bragg-Maximum oder Bragg-Peak.
Kern geht von angeregtem Zustand unter Emission eines Photons (typische Größenordnung: λ ≈ pm) in einen Zustand geringerer Energie über ( = nukleares Gegenstück zu spontaner
Emission bei Atomen).
Anwendung in der Medizin: Strahl von schweren geladenen
Teilchen kann genutzt werden, um Krebszellen innerhalb des
Körpers an bestimmter Stelle gezielt zu zerstören, ohne gesunde Zellen zu vernichten (kinetische Energie sorgfältig auf
geeignete Werte einstellen). Die Reichweite ist indirekt proportional zur Elektronendichte.
A
ZX
· −−→
A
ZX
unter Emission eines γ-Quants hν.
γ-Zerfällt haben in der Regel sehr kurze Lebensdauer, sind nur
beobachtbar als Folgeprozess von α- bzw. β-Zerfällen, die Kern
in angeregtem Zustand hinterlassen. Aber manche γ-Strahler
haben eine sehr lange mittlere Lebensdauer (Stunden): Solche
Kernzustände liefern metastabile Zustände.
1.4 Charakteristische Eindringtiefe in
Materie?
Energiekurve mit dahinterstehendem Modell?
• Ungeladene Teilchen: (z. B. Neutronen, Photonen) haben
keine definierte Reichweite in Materie, ihre Instabilität
nimmt mit Eindringtiefe exponentiell ab.
• Geladene Teilchen: werden in Materie an Elektronen gestreut: Energieverlust wird als kontinuierlicher Prozess
4
2 Elementarteilchen
2.1 Welches sind die elementaren Bausteine
der Welt?
Mesonen (π, K, . . .) bestehen aus jeweils einem Quark und
einem Antiquark, Masse liegt zwischen Masse Elektron und
Proton, haben ganzzahligen Spin (Bosonen).
Die Materie ist zusammengesetzt aus Leptonen und Quarks.
Quarks Aus den drei Quarks Up (u), Down (d) und Strange (s) und deren zugehörigen Antiquarks lassen sich fast alle
Hadronen aufbauen. Quarks haben Spin 1/2. Heute geht man
von 6 verschiedenen Quark-Typen aus:
Name
Up
Down
Strange
Charm
Bottom
Top
Symbol
u
d
s
c
b
t
Ladung
+2/3
−1/2
−1/3
+2/3
−1/3
+2/3
Isospin (Flavor)
Iz = +1/2
Iz = −1/2
S = −1
C = +1
B = −1
T = +1
Masse
0.005 GeV
0.01 GeV
0.15 GeV
1.5 GeV
4.5 GeV
175 GeV
Tabelle 1: Quarktypen
(a) Baryon
(b) Meson
Abbildung 6: Hadronen
Masse der Neutrinos? Masse der Neutrinos jann 0 sein
oder einen kleinen, aber endlichen Wert besitzen (was davon
zutrifft, steht noch nicht fest). Die Obergrenze für die Masse des Elektron-Neutrinos νe liegt beim 2 · 10−5 -fachen der
Elektronenmasse, also ca. 16eV/c2 .
Beobachtungen:
Leptonen Alle Teilchen, die nur der schwachen und der
elektromagnetischen Wechselwirkung unterworfen sind. Leptonen setzen sich nicht aus mehreren Teilchen zusammen. Sie
sind Teilchen mit Spin 1/2, die keine starke Wechselwirkung
zeigen. Dazu gehören e− , µ− , τ − (Ladung -1), sowie ihre Antiteilchen e+ , µ+ , τ + (Ladung +1) und die zugehörigen Neutrinos (Ladung 0).
Welcher Unterschied besteht zwischen Quarks und
Leptonen? Quarks unterliegen der starken und der schwachen Wechselwirkung, Leptonen nur der schwachen.
Kann man Quarks trennen? Was versteht man unter Quark-Confinement? Confinement (Dauerbindung).
Es ist grundsätzlich unmöglich, Quarks zu isolieren.
Mögliche Erklärung: Kräfte zwischen 2 Quarks nehmen mit
dem Abstand nicht ab, sondern bleiben konstant. Potentielle Energie wächst proportional mit dem Abstand. Daher ist
unendlich viel Energie nötig, um Quarks zu trennen.
• Bei Supernova-Explosionen werden Neutrinos ausgesandt. Haben sie eine Masse, so würde ihre Geschwindigkeit von der Energie abhängen und damit die Zeit variieren, die sie bis zur Erde benötigen: Aus tatsächlicher
Zeitspanne, in der sie auf Erde eintreffen, kann man
Rückschlüsse auf die Obergrenze ihrer Masse ziehen.
• Neutrinofluss, der von der Sonne ausgeht, ist niedriger, als
der theoretisch erwartete. Das lässt sich erklären, wenn
man den Neutrions eine Masse zuweist.
Bedeutung: Im Universum gibt es 1089 Stück, das sind 109
mehr als Protonen und Neutronen zusammen. Selbst eine kleine Masse hat große Auswirkungen.
2.2 Welches sind die fundamentalen
Wechselwirkungen?
Elektromagnetische
Abstoßung
Wechselwirkung
FC =
Charakteristische Eigenschaften von Quarks? Die
Tatsache, dass man Quarks nicht isoliert betrachten kann, ist
ihr herausragendes Merkmal, man spricht von Confinement.
Quarks haben Ladung 1/3 und Baryonenzahl 1/3.
Wie kann man Quarks nachweisen? Betrachte ein
aus Quarks bestehendes System (z. B. Nukleon) und führe
dem System einen großen Energiebetrag zu: Erzeugung eines
Quark-Antiquark-Paares, ursprüngliche Quarks bleiben in Anfangssystem eingeschlossen (evtl. neue Gruppierung): kleine
Teilchen sortieren sich neu.
Indirekte Hinweise auf die Existenz von Quarks in Nukleonen: Hochenergetische Experimente zur tiefinelastischen
Streuung: Beschuss von Nukleonen mit e− , µ, ν mit Energien
bis 200 GeV. Analysen der stark abgelenkten Teilchen ergeben,
dass sich im Inneren des Nukleons Spin 1/2-Teilchen befinden,
die sehr viel kleiner sind.
Fundamentale Bausteine der Hadronen/Nukleonen?
Hadronen sind Teilchen, die starke Wechselwirkung zeigen.
Baryonen (p, n, . . .) bestehen aus drei Quarks, sie sind die
schwersten Elementarteilchen und haben halbzahligen Spin
(Fermionen), zu ihnen gehörien die Nukleonen. Beispiele: Neutron n = (udd), und Proton p = (uud).
Q1 Q2
.
4πε0 r2
Coulomb-
(11)
Van-der-Waals-Wechselwirkung zwischen Atomen als Restwechselwirkung. Wirkt auf geladene Teilchen (elektrische Ladung). Feldquant: Photon.
Starke Wechselwirkung Wirkt zwischen Nukleonen im
Kern, sorgt dafür, dass Nukleonen im Kern gebunden sind
(Quarktyp bleibt gleich! Paritätserhaltung gefordert!). Genauer: Bewirkt Bindung von Quarks in Mesonen und Baryonen,
analog zur Coulombkraft zwischen Elektronen und Kern. Bindung zwischen den Nukleonen als Restwechselwirkung. Wirkt
auf Quarks, Gluonen und Hadronen. Feldquant: Gluonen.
Schwache Wechselwirkung Ist der Grund dafür, dass
Kerne zerfallen können. Quarktyp kann sich ändern. Kennzeichen: Neutrino entsteht und Quarks werden zerstört (Teilchenreaktionen). Wirkt auf Leptonen und Quarks. Feldquant:
Vektorbosonen.
Gravitationskraft Anziehung zwischen Massen, tritt immer auf, wird aber in der Größenordnung der Kerne meist
vernachlässigt. Wirkt auf alle Teilchen. Feldquant: Graviton
(noch nie beobachtet).
5
Durch welche Teilchen werden sie vermittelt? Spin?
Durch eine weitere Gruppe von Elementarteilchen, die Feldquanten.
Beispiele?
• Elektromagnetische Wechselwirkung: Molekülbindung.
• Starke Wechselwirkung: Kernbindung.
• Schwache Wechselwirkung: β-Zerfall.
• Gravitation: Planetenbewegung.
Erhaltungsgrößen bei Zerfällen/Teilchenreaktionen?
Energie, Impuls und Drehimpuls, elektrische Ladung, Baryonenzahl, Leptonenzahl bleiben in allen Reaktionen streng erhalten.
3 Atomphysik
3.1 Wie kann man Atome sichtbar machen?
• Durch Streuung von sichtbarem Licht lässt sich der Ort
eines Atoms bestimmen, aber keine Aussage über seine
Gestalt machen.
• Brownsche Molekularbewegung: Indirektes Sichtbarmachen durch Beobachtung des Einflusses der Atome auf
die BEwegung sichtbarer Mikropartikel.
• Nebelkammer: Beobachtung der Bahn einzelner schneller Atome, Ionen und Elektronen: Stöße ionisieren die
Atome des Füllgases, die im übersättigten Wasserdampf
als Kondensationskeime für Wassertröpfchen dienen: Teilchenspur. Unterschiede von α- und β-Strahlung: Ablenkung durch Magnetfeld.
Abbildung 7: Nebelkammer
• Mikroskope mit atomarer Auflösung.
3.1.1 Feldemissionsmikroskop
Sichtbarmachen einzelner Atome auf einer feinen Metallspitze (z. B. Ba-Atome auf Wolfram-Spitze). An der Spitze entsteht beim Anlegen einer Spannung eine so große Feldstärke
(≈ 1011 V /m), die ausreicht, um die Austrittsarbeit einzelner
Elektronen zu leisten, und diese aus dem Material zu befreien.
Feldemission: Elektronen werden dann auf Schirm abgebildet.
Da bei Ba-Atomen die Austrittsarbeit kleiner ist, ist die Beobachtung von deren Ort/Bewegung möglich.
6
3.1.4 Raster-Tunnelmikroskop
Binning.Rohrer, 1984. Nur bei leitenden Oberflächen. Feine
Wolframspitze (geätzt) wird mit Hilfe piezoelektrischer Keramik ( = Material, das bei angelegter Spannung expandiert/kontrahiert) im Abstand von weniger als 1 nm über die
Oberfläche geführt. Die Spitze steht unter positivem Potential gegenüber der Overfläche: Tunnelstrom, der sehr empfindlich vom Abstand abhängt. Justiert man den Strom auf
einen konstanten Wert, so erhält man Informationen über die
Oberflächenstruktur durch Vertikalbewegung der Spitze beim
rasterförmigen Abtasten der Oberfläche: Abbildung atomarer
Strukturen.
Abbildung 8: Feldemission
3.1.2 Transmissions-Elektronenmikroskop
Geheizte Haarnadelkathode emittiert Elektronen: Beschleunigung durch hohe Spannung (bis zu 500 kV ), Fokussierung
mittels Elektronenoptik (E-/B-Felder). Elektronen treffen auf
Probe in Form einer dünnen Schicht (2-100 nm), eine zweite
Elektronenoptik bildet auf Leuchtschirm ab, so dass ein stark
vergrößertes Bild der Streu- und Absorptionszentren sichtbar
ist.
Abbildung 11: Raster-Tunnelmikroskop
3.1.5 Atomares Kraftmikroskop
Rastermikroskop, bei dem nicht der Tunnelstrom, sondern die
Kraft zwischen den Oberflächenatomen und der feinden Spitze
als Messgröße dient. Kräfte werden über die Auslenkung der
feinden Spitze gemessen, die über einen Hebel anhand der Auslenkung eines Laserstrahls beobachtet werden. Vorteil: Auch
auf nicht-leitenden Oberflächen anwendbar.
Abbildung 9: Transmissions-Elektronenmikroskop
3.1.3 Raster-Elektronenmikroskop
Oberflächenuntersuchung, im Allgemeinen keine atomare
Auflösung! Fokussierung eines Elektronenstrahls auf Probenoberfläche. Detektierung der angeregten Lichtemission der Atome/der erzeugten Sekundär-Elektronen/Auger-Elektronen.
Rasterförmige Führung des Strahls (analog zu Fernsehgerät), die Detektierung erfolgt in Abhängigkeit von kleinen
Flächenelementen, wird dann zu Bild zusammen gesetzt.
Abbildung 10: Raster-Elektronenmikroskop
Erkläre Funktionsprinzip des Rastertunnelmikroskopfs! Was sieht man genau? Je nachdem, ob man die
Spannung der Spitze positiv oder negativ wählt, kann man
auch Informationen über Elektronendichteverteilung und Austrittsarbeit bekommen (quantenmechanischer Tunneleffekt).
Gemessenes Signal ist eine Faltung aus Zuständen der Probe, der Spitze und der Tunnelwahrscheinlichkeit.
3.2 Wie erzeugt man Röntgenstrahlung?
In einer Röntgenröhre wird die Anode (z. B. aus Wolfram) mit
schnellen Elektronen (Heizdraht: Beschleunigungsspannung)
beschossen.
Abbildung 12: Röntgenröhre
7
Wie entsteht Bremsstrahlung? Durch Auslenkung und
Abbremsung der Elektronen im Feld der Kerne: Emission von
Lichtquanten, kontinuierliche Energien (Grenze der Energie
der Photonen: Emax = eU ).
Abbildung 15: Absorptionsvermögen
Abbildung 13: Röntgenbremsstrahlung
Wie sieht charakteristisches Röntgenspektrum aus?
Dem Kontinuum des Röntgenbremsspektrums ist ein materialabhängiges Linienspektrum überlagert. Entstehung: Herausschlagen von Hüllenelektronen durch den Beschuss mit Elektronen. Beim Zurückfallen der Elektronen in tiefere Schalen
wird Photon mit entsprechender Wellenlänge (diskret) emittiert. K-, L-, M-Linien sind entsprechend der Schalen benannt,
auf die die Elektronen zurückfallen.
Nenne einen Konkurrenzeffekt zur Röntgenstrahlung
in Emission! Wo tritt er vorwiegend auf ? Auger-Effekt
(sprich: oscheh“): Durch Elektronenstoß oder Photonenab”
sorption wird ein Elektron einer inneren Schale ionisiert: in
entstandenes Loch kann ein Elektron einer höheren Schale fallen: gewonnene Energie wird in Form eines Photons abgegeben (charakteristische Röntgenstrahlung) oder an ein anderes Hüllenelektron übertragen werden, das dann das Atom
verlässt. Der strahlungslose Prozess = Auger-Effekt. Emittierte Auger-Elektronen besitzen charakteristische Energien.
Die Emission von Röntgenstrahlung und der Auger-Effekt sind
Damit die charakteristischen Linien einer Serie auftreten, muss
Energie der Elektronen so groß sein, dass Elektronen aus inneren Schalen ionisiert werden können.
Abbildung 16: Auger-Effekt
Abbildung 14: Röntgenspektrum
konkurrierende Prozesse. Mit zunehmender Kernladungszahl
nimmt die Wahrscheinlichkeit für Auger-Effekt ab, während
sie bei leichten Atomen dominierend ist.
3.2.1 Absorptions-/Emissionsspektrum
Absorption Röntgenstrahlung wird beim Durchgang
durch Materie absorbiert und gestreut. Typisch für
Röntgenabsorptionsspektren ist ein starkes Abnehmen
mit steigender Quantenenergie (entsprechend kleinerer
Wellenlänge, siehe Skizze) und das Auftreten von Absorptionskanten (entsprechen den Seriengrenzen und treten dadurch
auf, dass es bei entsprechender Quantenenergie möglich wird,
ein Elektron der nächsten Unter-Schale zu ionisieren =
herausschlagen).
Emission Die Linien einer Serie treten entsprechend erst bei
Energien auf, die der Seriengrenze entsprechen, da für Elektronen sämtliche höhere Energieniveaus besetzt sind (PauliPrinzip).
8
Abbildung 17: Auger-Effekt
und
Röntgenstrahlung
Emission
von
3.3 Was ist Synchrotronstrahlung? Was ist
ein Ondulator?
bung gemessen, um Rückschlüsse auf die chemische Bindung
zu ziehen (auch in Festkörperphysik). ?
Synchrotronstrahlung ist Strahlung, die bei der Beschleunigung elektrisch geladener Teilchen in Teilchenbeschleunigern auftritt. Beschleunigte Elektronen (Bewegung
auf kreisförmiger Bahn mit Geschwindigkeit nahe c) senden eine sehr intensive kontinuierlich spektralverteilte Strahlung aus
(wegen Geschwindigkeitsänderung, Richtung). Ein erheblicher
Teil der zur Beschleunigung aufgewendeten Energie wird in
Strahlung umgewandelt, die in Bewegungsrichtung emittiert
wird.
Ursprünglich: Synchrotonstrahlung nur Nebenprodukt: heute
werden spezielle Synchrotons nur als Lichtquellen (Laser) gebaut, mit denen man Photonenstrahlen hoher Intensität bis
hin zu sehr großen Photonenenergien herstellen kann.
Abbildung 19: ESCA
Ondulator Erhebliche Intensitätssteigerung der Synchrotonstrahlung durch spezielle, sogenannte Wiggler-Magneten
(= periodisch angebrachte Magneten): Elektronen führen Oszillationen um kreisförmige Sollbahn aus: erhöhte Lichtintensität, Verschiebung des Maximums: höhere Photonenenergien
Wichtigkeit: Winkelaufgelöste Photonenemissionsspektroskopie ist die wichtigste Methode zur experimentellen Bestimmung der elektronischen Bandstruktur und deren Zustandsdichten.
3.4.1 Erkläre den Photoeffekt! Versuchsaufbau,
Prinzip!
Beschießen einer Platte geeigneten Materials mit Photonen
(gequantelte Lichtenergie): Elektronen werden herausgeschlagen = lichtinduzierte Elektronenemission ?
Abbildung 18: Ondulator mit Wiggler-Magneten
3.4 Was ist ESCA?
Abbildung 20: Photoeffekt
Electron Spectroscopy for Chemical Analysis
Jedes absorbierte Photon gibt dabei seine Energie vollständig
an ein Elektron ab:
Was strahlt man ein, was misst man, wie deutet man
das Ergebnis? ESCA beruht auf der Photoelektronenspektroskopie, die eine Untersuchung der Zustände der inneren
Elektronen eines Atoms ermöglicht.
Photoelektronen-Spektroskopie (Anwendung des Photoeffekts!): Lichtquanten bekannter Energien (geeignet sind
kurzwelliges UV-Licht, charakt. Röntgenstrahlung und besonders Synchroton-Strahlung!) befreien Elektronen aus den Atomen. Es wird die kinetische Energie der ausgelösten Elektronen gemessen (sehr genau!):
Bestimmung der Bindungsenergie mittels
Ekin,e = hf − EB .
max
Ekin,e
= hf − Wa
(13)
?mit Austrittsarbeit ?Wa (materialspezifisch); mit bei Eintritt
des Photostroms gemessener Gleichspannung U0 gilt auch:
max
Ekin,e
= −eU0 .
(14)
Gegenfeldmethode Man lässt ausgelöste Photoelektronen
gegen eine Spannung anlaufen und kann anhand der Spannung, bei der der Strom verschwindet, auf ihre kinetische
Energie schließen: Damit lässt sich bei bekannter Wellenlänge
des eingestrahlten Lichts die Austrittsarbeit bestimmen!
(12)
Vorteil gegenüber Röntgenabsorptionsmessung: Nicht nur
Energien der Kanten (Seriengrenzen), sondern auch Energien der Unterschalen messbar.
3.5 Was ist der Compton-Effekt?
ESCA = Analyse der chemischen Zusammensetzung einer
Probe
Versuchsaufbau Bestrahlung von beliebigem Material (=
Streukörper) mit Licht (z. B. Röntgenstrahlung). Messung
der Streustrahlung für verschiedene Streuwinkel: nimmt nach
oben und unten zu.
Chemische Verschiebung: kleine Veränderungen der Bindungsenergien in den inneren Schalen durch die Elektronen in den
äußeren Schalen, die durch eine chemische Bindung (Moleküle. . . ) umverteilt werden. Es wird die chemische Verschie-
Compton-Effekt ist am stärksten ausgeprägt im Spektralbereich der Röntgenstrahlung. Intensität der Compton-Streuung
ist für leichte Materialien besonders groß, bei schweren Atomen gering (hier sind Elektronen stark gebunden!). ?
9
Abbildung 21: Aufbau zum Compton-Effekt
Wie ist das physikalische Modell? Direkter elastischer
Stoß zwischen Photon und einem schwach gebundenen (oder
sogar freiem) Elektron des Streumaterials (Bindungsenergie
EB = hf ).
Abbildung 23: Rayleigh-Strahlung
inhomogenes Magnetfeld und treffen anschließend auf einen
Detektor.
(Relativistische) Energie- und Impulserhaltung: Wellenlänge
des gestreuten Lichts:
∆λ = λs − λ0 = λc (1 − cos ϕ),
(15)
mit Compton-Wellenlänge λc = mh c (entspricht Ruheener0
gie des Elektrons: 511 keV). Wellenlängenänderung ist nicht
materialabhängig, sondern hängt nur von Streuwinkel ab! ?
Abbildung 24: Versuchsaufbau Stern-Gerlach
Abbildung 22: Compton-Effekt
Ist die Wellenlänge größer oder kleiner als die des eingestrahlten Lichts? Die Wellenlänge ist größer, da Energie
an das Elektron abgegeben wird.
3.5.1 Was ist Rayleigh-Streuung? Unterschied zur
Compton-Streuung?
Bei Messung der gestreuten Strahlung misst man nicht nur die
spektral verschobene Compton-Streustrahlung, sondern auch
die unverschobene Rayleig-Streustrahlung.
Entstehung: Die einfallende Lichtwelle regt Elektronen im
Atom zur erzwungenen Schwingung an. Diese werden als klassische Oszillatoren behandelt und senden Strahlung mit derselben Frequenz aus = Rayleighsche Streustrahlung.
Im Unterschied zur Compton-Streustrahlung (Frequenzverkleinerung) besitzt sie dieselbe Frequenz wie die PrimärStrahlung.
3.6 Wozu benutzt man den
Stern-Gerlach-Versuch?
Zum Nachweis der Richtungsquantelung und des magnetischen Moments von Atomen in Atomstrahlen (im B-Feld) und
zur Messung des magnetischen Moments von Atomen.
Versuchsaufbau Silberatome (später auch Wasserstoff)
treten aus einem Atomstrahlofen aus und werden durch Blenden zu gerichtetem Strahl kollimiert. Sie durchfliegen dann ein
10
Warum benutzt man Silberatome? Silber-Atome besitzen bis auf ein Elektron in der 5s-Schale nur abgeschlossene Schalen und haben daher kein magnetisches Bahnmoment
(l = 0?).
Nachweis eines magnetischen Moments durch Aufspaltung
des Strahls: Dieses Moment resultiert aus dem Spin des 5sElektrons. Man misst den reinen Spinmagnetismus des Elektrons, also Nachweis des Spinmoments.
Was erwartet man klassisch? Falls das Atom ein
magnetisches Moment besitzt, sollte dieses beliebige Einstellmöglichkeit zum Magnetfeld haben. Man erwartet ein
Kontinuum möglicher Ablenkungen (siehe Skizze Aufbau), da
das inhomogene Magnetfeld zu der Präzession des magnetischen Moments um die Feldrichtung noch zusätzlich eine ablenkende Kraft auf das magnetische Moment führt (die von
Einstellung des magn. Moments zum Magnetfeld abhängt:
parallel = maximale Ablenkung in jeweilige Richtung; senk~ =µ
~
recht = keine Ablenkung): F
~ · ∇B.
Aber: Beobachtung ist eine Aufspaltung des Strahls in nur 2
ziemlich scharfe Ablenkungen.
Wie lautet die quantenmechanische Erklärung? Es
gibt eine Richtungsquantelung der Einstellmöglichkeiten des
magnetischen Moments relativ zum B-Feld: Im Fall der Silberatome: 2 mögliche Einstellmöglichkeiten (wegen Spin 1/2).
Woher kommt die Kraft auf den magnetischen Dipol?
Die ablenkende Kraft ergibt sich aus der potentiellen Energie
im Magnetfeld
~ = −∇V,
F
~
V = −~
µ · B,
mit magnetischem Moment µ
~.
~
F =µ
~ · ∇B
(16)
• Atom-/Molekülstrahlmethode nach Rabi (sehr viel genauere Messungen möglich): Atome werden in den beiden
inhomogenen Magnetfeldern abgelenkt, die Ablenkungen
kompensieren sich genau. Dazwischen befindet sich ein
homogenes Magnetfeld, zu dem man senkrecht ein Resonanzfeld (veränderlich) einstrahlt. Kommt es zur Resonanz, ist die Ablenkung nicht mehr symmetrisch und die
detektierte Intensität bricht ein:
Abbildung 25: Richtungsquantelung des magnetischen Moments
Kann man auch die Kernspins sehen? Stern-GerlachMethode kann zur Messung von Kernmomenten benutzt werden. Allerdings nur bei diamagnetischen Atomen. Andernfalls
wird die Ablenkung aufgrund des Kernmoments im inhomogenen äußeren Feld durch die Ablenkung des magn. Moments
des Hüllen-Elektrons vollständig überdeckt, da Kernspinmoment um Faktor 2000 geringer ist als der Spin des Elektrons!
Erklärung: Bohrsches Magneton
µB =
eh
,
2me
(17)
Kernmagneton:
Resonanzfrequenz (= Larmorfrequenz) ermittelbar und
durch Zusammenhang zwischen B-Feld und Frequenz ist
das magnetische Moment berechenbar.
Anmerkung: Bloch zeigte, dass die Präzessionsbewegung weitgehend unabhängig von translatorsicher und rotatorischer
Bewegung ist: Kernspin-Resonanz auch bei Atomkernen in
Flüssigkeiten und Festkörpern.
3.7.1 Kernspinresonanz (NMR)
Bestrahlung (von z. B. einer Wasserprobe) durch ein el.magn. Wechselfeld mit variierender Frequenz: Bei bestimmter
Frequenz = Resonanzfrequenz (also entsprechender Energie
∆E = hν) werden Kernspins umgeklappt, bzw. kann nur bestimmte Frequenz absorbiert werden (quantisierte Energien).
3.7.2 Klassisches Analogon?
µK
eh
1
=
≈
µB .
2mp
2000
(18)
3.7 Wie funktioniert Kernspinresonanz?
Analog zur Aufspaltung der Elektronenzustände bei Anlegen eines B-Feldes sind auch im Kern Energieunterschiede
bei angelegtem B-Feld erkennbar (aber hier insgesamt nur 2
Zustände möglich!): Die Energieniveaus von Kernen spalten
im Magnetfeld aufgrund der diskreten Einstellmöglichkeiten
des Kernspins auf. Werden die Kerne mit Photonen der passenden Übergangsfrequenz bestrahlt, so kommt es zu Anregungen in energetisch höhere Niveaus.
Kreisel mit Stabmagneten, der im homogenen Magnetfeld
B eine Präzession ausführt. Durch ein senkrecht zum hom.
B-Feld angelegten Wechselfeld lässt sich die Neigung des
Kreisels verändern, wenn die Frequenz vom Wechselfeld mit
der Resonanzfrequenz (= Präzessionsfrequenz) des Kreisels
übereinstimmt. Larmorfrequenz
ωL =
∆E
= γ · B.
h
(21)
3.7.3 Quantenmechanisches Bild
Welche Übergänge werden angeregt? Das magnetische Moment I des Kernspins ist zusammengesetzt aus
Bahnmoment und Eigendrehmoment. Die diskreten Einstellmöglichkeiten unterscheiden sich im Wert der zugehörigen
Quantenzahl mI = −I, −I + 1, . . . , +I. Es werden Übergänge
zwischen verschiedenen mI angeregt:
Iz = mI · h,
µIz = gI µK
Iz
.
h
(19)
Anmerkung: Es gibt viele Atome mit verschwindendem Kernspin I = 0, z. B. 42He, 126C, 168O).
Was ist die Rabi-Frequenz? Befindet sich ein Spin in
einem zeitlich konstanten Magnetfeld, so kann er 2 Energiezustände in oder entgegen der Feldrichtung annehmen. Strahlt
man mit einem zum ersten Magnetfeld senkrechten oszillierenden und resonanten Magnetfeld ein, so wird der Spin mit der
Rabi-Frequenz
µB
h
(20)
Abbildung 26: Quantenmechanisches Bild der Kernspinresonanz
∆E = gI µK B,
ωL =
∆E
gI µK
=
B = γB.
h
h
Diskrete Einstellmöglichkeiten des magn. Moments des
Kerns und damit des Kernspins zum Magnetfeld. Resonanz:
Übergänge zwischen den Energieniveaus.
umgeklappt.
3.7.4 Wozu benutzt man Kernspinresonanz?
Versuchsaufbau?
Gyromagnetisches Verhältnis
gnetischen Verhältnisses γ
• Stern-Gerlach-Versuch (nicht geeignet wenn Atomhülle
diamagnetisch, da dann Elektronenspin Kernspin
überdeckt)
(22)
γK =
Bestimmung des gyroma-
|~γI |
gI µ K
=
~
h
|I|
(23)
11
und des gI -Faktor des Kerns. Bei bekanntem Kernspin I zur Bestimmung des magnetischen Moments des
Kerns (und umgekehrt bei bekanntem magn. Moment zur
Präzessionsmessung von Magnetfeldern).
Für die Herleitung wird angenommen, dass fast die ganze Masse des Atoms sich zusammen mit der positiven Ladung in einem kleinen Volumen befindet (Atomkern).
In der Chemie Resonanzfrequenzen werden für jeweilige Bindung charakteristisch verschoben, da das äußere Feld
durch das lokale Fled der Elektronen verändert wird.
In Medizin Kernspin-Tomographie: homogenes magn. BFeld wird von veränderlichem B-Feld überlagert: Feldstärke
und somit Resonanzfrequenz wegen unterschiedlicher Dichteverteilung im Material von Ort zu Ort verschieden: Resonanzfrequenz messen (wann klappt Spin um?): Bild von Gewebe.
Abbildung 27: Rutherfordstreuuung, quantitativ
3.7.5 Wie funktioniert Kernspintomographie?
Orts-aufgelöste Kernspin-Resonanz: Resonanzfrequenz hängt
in eindeutiger Weise vom Magnetfeld ab (s. o.). Anlegen eines weiteren inhomogenen Magnetfeldes, so dass jedem Volumenelement des untersuchten Materials eine eigene Resonanzfrequenz zugeordnet werden kann. An Resonanzintensität in
Abhängigkeit von der Frequenz kann man die Konzentration
der Kerne (z. B. Protonen) und damit die Dichte messen. Außerdem: Information über chemische Umgebung, die diese die
Resonanzfrequenz beeinflusst.
Anmerkung: In der Praxis hat sich die 90◦ -Impuls-Methode
durchgesetzt, bei der man den FID (Free Induktion Delay),
das Abklingen der Resonanz, beobachtet und das Ergebnis
danach fourier-transformiert.
Da die Frequenzen sich im Bereich der Radiowellen bewegen
und zugehörige Energien sehr viel kleiner sind als Energien
von Molekülbindungen, kommt es zu keiner Schädigung der
Zellen!
3.7.6 Hyperfeinstruktur
Woher kommt die Hyperfeinstruktur? Was koppelt
mit was? Die Hyperfeinstruktur beruht auf der Kopplung
der magn. Momente des Kerns mit dem Gesamtdrehimpuls J
~ . [analog zu L-Sder Elektronen: neuer Gesamtdrehimpuls ?F
Kopplung (Spin-Bahn-Kopplung) bei der Feinstruktur!]
Auf welchem Mechanismus beruht sie? Die Winkelabhängigkeit beruht auf der Coulomb-Abstoßung durch eine nahezu punktförmige Ladung (siehe Herleitung oben).
Zu welchem Ergebnis führt sie? Rutherfordsches Atommodell mit Atomkern: Bis 1932: Vorstellung des Atomkerns als
bestehend aus A Protonen und A−Z Elektronen. Begründung:
Ablenkungen um sehr große Streuwinkel ohne großen Energieverlust der α-Teilchen sind aus Gründen der Impulserhaltung
nur möglich, wenn der Stoßpartner eine große Masse besitzt:
Atomkern (hochenergetische Teilchen werden an Elektronen
praktisch nicht abgelenkt).
Was ist anormale Rutherfordstreuung? Bei der Ablenkung sehr schneller α-Teilchen (E > 6 MeV) um sehr große
Winkel, also sehr kleine Stoßparameter (annähernd zentraler
Stoß), treten Abweichungen von der Streuformel auf.
Begründung: α-Teilchen und Kern kommen sich so nahe, dass
neben der Coulombkraft noch die starke Kernkraft wirkt: Damit ist Abschätzung des Kernradius möglich!
Wie definiert man den Kernradius? Kernradius wird
als der Abstand definiert, bei dem die Stärke des Kernkraftpotentials verbleichbar wird mit der des Coulomb-Potentials.
√
√
3
3
(25)
R = a0 · A = (1.3 ± 0.1) · A · 10−15 m.
Woher
kommt
der
Größenunterschied
(Fein/Hyperfeinstruktur)? Da das Kernmagneton sehr
viel kleiner als das Bohrsche Magneton ist (s. o.), sind die
auftretenden Energien in der Hyperfeinstruktur entsprechend
geringer.
3.8 Was ist Rutherfordstreuuung?
α-Teilchen (doppelt ionisierte He-Atome mit hoher kin. Energie von einigen MeV) werden von einer radioaktiven Probe (Radon) emittiert. Sie treffen auf eine dünne Goldfolie
(Vermeidung von Mehrfachstreuungen) und werden daran gestreut. Mit drehbar angebrachtem Szintillationsschirm und einer Lupe wird die Winkelabhängigkeit der Streuintensität untersucht.
Abbildung 28: Starke Kernkraft, Coulombkraft
Ursprünglich unternahm Rutherford diesen Versuch, um das
Thomsonsche Rosinenkuchenmodell zu überprüfen.
Welche Proportionalitäten gibt es (Winkelverteilung?) Abhängigkeit der Streurate N zum Ablenkwinkel θ
N ∝
12
1
.
sin4 (θ/2)
(24)
3.9 Was ist die Geburtsstunde der
Quantenmechanik?
1900: Plank’sche Strahlungsformel: Theoretische Analyse der
experimentell ermittelten spektralen Strahlungsverteilung des
schwarzen Strahlers.
Wie sieht das Modell eines schwarzen Strahlers aus?
Hohlraum aus beliebigem Material, dessen Wände auf konstanter Temperatur gehalten werden. Nur kleine Öffnung, damit austretende/eintretende Strahlung das im Inneren herrschende thermische Gleichgewicht zwischen der Strahlung und
den Wänden nicht zerstört (Körper absorbiert soviel Strahlungsenergie, wie er emittiert).
Strahlung, die durch die Öffnung austritt, ist für die jeweilige
Temperatur charakteristisch.
Schwarzer Körper = Körper, der die gesamte auftreffende
Strahlung absorbiert (Hohlraum ist Realisierung).
3.9.3 Wie lautet das Stefan-Boltzmann-Gesetz?
Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers:
Φ = σ · A · T4
(28)
mit σ Stefan-Boltzmann-Konstante. Die gesamte Abstrahlung
bei der Temperatur T ist proportional zu T 4 .
3.9.4 Was versteht man unter der UV-Katastrophe
des Rayleigh-Jeans-Gesetz?
Das Rayleigh-Jeans-Gesetz
Wie sieht das Spektrum der Schwarzkörperstrahlung
aus? Was passiert bei Temperaturerhöhung? Ideale
Schwarze Körper absorbieren Licht, können aber bei hohen
Temperaturen auch Licht emittieren (= Lichtquelle). Emissionsspektren (Strahlungsdichte zur Wellenlänge antragen) im
sichtbaren Bereich, sind stetig verteilt. Das Spektrum wird beschrieben durch die Plancksche Strahlungsformel. Intensität
Φ=
ν2
kT
c2
(29)
beschreibt bei kleinen Frequenzen die Strahlung des schwarzen
Strahlers richtig, versagt aber bei großen, da die Strahlungsleistung in diesem Bereich (UV, aufwärts) gegen ∞ geht. Integriert man über alle Frequenzen, so erhält man eine unendlich
hohe Energiedichte = UV-Katastrophe.
3.9.5 Was macht man beim Franck-Hertz-Versuch
(Elektronenstoß)?
Aufbau Aus einer Glühkathode werden Elektronen emittiert, die bis zu einem Gitter beschleunigt werden und eine mit
Hg-Dampf (unter niedrigem Druck) gefüllte Röhre durchqueren. Dabei laufen sie gegen eine kleine konstante Gegenspannung an. Es wird der Strom in Abhängigkeit von der Spannung
gemessen.
Abbildung 29: Emissionsspektrum eines schwarzen Strahlers
zu Wellenlänge angetragen (aufgetragen ist die Strahlungsleistung je Frequenzintervall pro Volumen): Bei Temperaturerhöhung verschiebt sich das Maximum gemäß dem Wienschen Verschiebungsgesetz.
Abbildung 30: Versuchsaufbau zum Franck-Hertz-Experiment
3.9.1 Wie lautet das Wien’sche
Verschiebungsgesetz?
Für die Wellenlänge der maximalen Strahlungsleistung gilt:
−3
λmax · T = b,
b = 2.8978 · 10
mK
(26)
mit b der Wien’schen Verschiebungskonstante.
Ergebnisse/Beobachtung Der Strom steigt wie erwartet
mit der Spannung an, da nur elastische Stöße mit den HgAtomen auftreten, die den Elektronen keine Energie nehmen.
Bei einer Spannung von 4.9 V und ganzzahligen Vielfachen
davon bricht der Strom jedoch ein.
Beispiel Sonne: Oberflächentemperatur T ≈ 6000 Kelvin,
λmax = 480 nm.
3.9.2 Wie lautet das Plank’sche Strahlungsgesetz?
Strahlungsleistung des Wellenlängengebiets zwischen λ und
λ + ∆λ:
Φλ = c1 ·
A · ∆λ
.
c2
λ5 · exp λT
−1
(27)
mit Strahlungskonstanten ci .
Abbildung 31: Beobachtung beim Franck-Hertz-Experiment
Wichtige Annahmen:
• Die Atome in den Wänden verhalten sich wie Oszillatoren, aber nicht wie klassische mit kontinuierlichen Energiewerten, sondern diskreten.
• Energieabsorption/-emission erfolgt in Form von Quanten
Erklärung Die Energie der Elektronen, die sie bei einer Beschleunigungsspannung von 4.9 V haben, genügt aus, um in
einem inelastischen Stoß ein Hg-Atom anzuregen. Liegt die
13
Energie des Elektrons knapp darüber, so reicht sie nicht mehr
aus, um gegen die Gegenspannung anzulaufen: Stromeinbruch.
Bei entsprechend größeren Energien reicht diese für mehrere
Stoßprozesse und somit für die Anregung mehrerer Atome aus.
Erkenntnis
Die Atome besitzen diskrete Energieniveaus.
3.10 Welcher Mechanismus führt zu
Molekülbindung?
• ionische Bindung (heteropolare Bindung)
Abbildung 33: Energiediagramm zum Kernabstand
• kovalente Bindung (homöopolare Bindung)
• Wasserstoffbrücken-Bindung
• Van-der-Waals-Bindung
Sind die Spins entgegengesetzt, so können sich beide Elektronen gleichzeitig zwischen den Kernen aufhalten und beide vom
Coulombschen Anziehungspotential beider Kerne profitieren.
• metallische Bindung
3.11 Wie funktioniert ein Laser?
Wie lautet das Pauli-Prinzip? Elektronenzustände
können nur so mit Elektronen besetzt werden, dass nie 2 oder
mehr Elektronen in allen Quantenzahlen übereinstimmen (also höchstens 2 mit entgegengesetztem Spin).
Bzw.: Die Gesamtwellenfunktion eines Systems mit mehreren
Elektronen ist immer antisymmetrisch gegen Vertauschung
der Elektronen.
Was sind bindende/antibindende Zustände? Welche
Rolle spielen symmetrische/antisymmetrische Wellenfunktionen dabei? Mit Hilfe der LCAO-Methode (Linear Combination of Atomic Orbitals) kann man aus AtomWellenfunktionen Molekülwellenfunktionen bilden.
Beispiel Wasserstoff-Molekül: es gibt 2 Möglichkeiten, die AOs
zu kombinieren.
Unterscheide:
• ψsymmetrisch = ψg : Superposition der beiden AOs: bindend
LASER = Light Amplification by Stimulated Emission of Ra”
diation“ (optischer Verstärker, der den Effekt der stimulierten
Emission von Photonen nutzt, um ein kohärentes Lichtbündel
zu erzeugen.)
Aufbau Ein Laser besteht immer aus einem optisch aktiven Medium, in dem das Licht erzeugt wird, zwischen zwei
Spiegeln (= optischer Resonator), von denen einer möglichst
gut verspiegelt ist und der andere ein nicht ganz so hohes
Reflexionsvermögen, um einen Teil der Laserstrahlung auszukoppeln. Durch Energiezufuhr (Pumpen) kann ein Elektron
eines Atoms oder der Schwingungszustand eines Moleküls in
einen angeregten Zustand wechseln. Licht entsteht dadurch,
dass ein Elektron oder ein Schwingungsmodus von solch einem energiereicheren zu einem energieärmeren Zustand wechselt, wobei die Energiedifferenz in Form eines Lichtteilchens
(Photon) abgegeben wird: spontaner und stimulierter Emission:
• ψantisymmetrisch = ψu : Differenz der beiden AOs: lockernd
Abbildung 34: Aufbau eines Lasers
Abbildung 32: Bindend-Antibindend
Daraus ergeben sich bestimmte Aufenthaltswahrscheinlichkeiten: Eine hohe Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen
zwischen den Atomen ist gleichbedeutend mit einer chemischen Bindung, da die negative Ladung zwischen den positiven
Kernen deren Abstoßung kompensieren kann.
Unter Berücksichtigung der Coulomb-Abstoßung ergibt sich
folgendes Energiediagramm: Die beiden Elektronen im Wasserstoff müssen unterschiedlichen Spin besitzen, denn wenn
die Spinfunktion symmetrisch wäre, müsste die Ortsfunktion
nach Pauli-Prinzip symmetrisch sein (und damit ein Elektron
im lockeren Zustand).
Gesamtwellenfunktion = Ortsfunktion × Spinfunktion
14
3.11.1 Emission
Spontane Emission
auf
Vorgang tritt ohne äußere Einwirkung
Abbildung 35: Spontane Emission
stimulierte Emission (auch induzierte Emission genannt).
Übergang eines Elektrons von einem höheren in ein tieferes
Energieniveau unter Emission eines Photons, der durch ein
anderes Photon ausgelöst wird.
übertragen ihre Energie durch Stoß auf die Ne-Atome, die laseraktiv sind.
Bei diesem Vorgang bleibt das induzierende Photon (anders
als bei einer Absorption) erhalten. Das emittierte Photon
hat die gleichen Quantenzahlen (gleiche Wellenlänge, Phase,
Polarisation und Ausbreitungsrichtung), wie das induzierende Photon. Daher wird durch stimulierte Emission verstärkt
Licht bestimmter Eigenschaft freigesetzt.
3.11.3 Was ist ein Excimer-Laser
Dies ist genau der erwünschte Effekt eines Lasers, der deshalb
auf dem Prinzip der stimulierten Emission beruht.
Als aktives Medium werden 2-atomige Moleküle verwendet,
die nur im angeregten Zustand stabil sind: Kann man den
angeregten Zustand bevölkern, so hat man automatisch Besetzungsinversion, da der Grundzustand aufgrund der Instabilität leer ist.
3.11.4 Linienbreite, Kohärenzlänge?
Kohärenzlänge des Lasers:
l = c · ∆t =
Abbildung 36: Stimulierte Emission
c
∆ν
(30)
mit mittlerer Emissionsdauer ∆t. Die Linienbreite ist beim
Laser im Bereich von 1 Hertz.
3.11.2 Besetzungsinversion
3.11.5 Eigenschaften von Laserlicht
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon durch Absorption ein
Elektron auf ein höheres Niveau anhebt, ist in einem 2-NiveauSystem genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass es eine
stimulierte Emission auslöst. Um eine Verstärkung von Licht
zu erreichen, müssen daher mehr Zustände im höheren Niveau vorliegen als im niedrigen, so dass aufgrund der Besetzung die Wahrscheinlichkeit für die stimulierte Emission höher
ist als für die Absorption. Diesen Zustand nennt man Besetzungsinversion, d. h. ein energetisch höheres Energieniveau ist
überbesetzt.
Intensiv, scharfe Frequenz (kleine
gebündelt und stark kohärent
In der Praxis wird überwiegend ein 3- oder 4-Niveau-System
eingesetzt:
• die Absorption ∝ −N1 · n · W .
Bei einem 3-Niveau-Laser wird dabei ein Elektron in ein noch
höheres Energieniveau gebracht (Pumpband) und fällt dann
wieder auf das Energieniveau E2 zurück. Die dabei entstehende Energie wird als Wärme oder strahlungslos (Stöße) abgegeben. Nun findet der Laserübergang durch stimulierte Emission
zwischen E2 und E1 statt.
Bei einem 4-Niveau Laser wird nicht der Übergang des Elektrons von einem höheren Zustand in den Grundzustand zur Erzeugung des Laserlichtes benutzt, sondern der Übergang zwischen einem höheren Energieniveau und einem Energieniveau,
das niedriger ist, aber immer noch über dem Grundzustand
liegt. Dies hat den Vorteil, dass nicht erst über die Hälfte der
Elektronen angeregt werden muss, um eine Besetzungsinversion zu erzeugen. Ein 4-Niveau-Laser kommt deshalb mit einer
geringeren Pumpleistung aus (siehe Skizze).
2-Niveau-System funktioniert nur, wenn es sich im angeregten
um einen recht langlebigen (metastabilen) Zustand handelt.
Unter speziellen Bedingungen kann man auch im 2-NiveauSystem kurzzeitig eine Inversion erhalten, wenn die Pumpzeit kurz und die Relaxationszeit lang ist. Speziell He-Ne-
Linienbreite),
stark
3.11.6 Aufstellen der Lasergleichung?
Mit N2 im angeregten und N1 Atomen im Grundzustand und
n Photonen sind die beitragenden Prozesse:
• die induzierte Emission ∝ N2 · n · W .
• die spontante Emission ∝ N2 · W 0 trägt nur zu Rauschen
bei: weglassen, unkorrelierte Lichtemission.
• Verluste ∝ −n/t0 mit Lebensdauer t0 eines Photons im
Laser.
Laserbedingung
Erzeugungsrate der Photonen > 0, also
n
dn
= W · n · (N2 − N1 ) −
> 0.
dt
t0
(31)
Nach Einstein gilt für die Wahrscheinlichkeit
W =
1
V · D(ν) · ∆ν · τ
(32)
2
mit D(ν) = 8π νt > 0, V dem Volumen des Lasermaterials, δν
0
der Linienbreite des Übergangs 2 → 1 und τ der Lebensdauer
im Niveau 2. Einsetzen der Bedingung liefert die Differenz der
Besetzungszahldichten
N2 − N1
8π · ν 2 · ∆ν · τ
>
.
V
c3 · t0
(33)
Für größere Frequenzen ist das schwierig zu erfüllen. t0 sollte
durch gute Spiegel möglichst groß gehalten werden.
3.11.7 Wie funktioniert Laser-Cooling? Wofür
benutzt man es?
Abbildung 37: Zwei-, Drei- und Vier-Niveau-System
Laser: Die He-Atome werden durch Elektronenstoß angeregt,
Photonen können an Atomen gestreut werden und dabei einen
Impuls übertragen: Streuprozess, bei dem Photon von Atom
absorbiert wird, wenn beide entgegengesetzt gelaufen sind.
Das Atom wird dadurch abgebremst. Danach wird das Lichtquant in einer statistisch verteilten Richtung wieder emittiert.
15
Doppler-Kühlung Laserlicht
wird
zur
Abbremsung/Kühlung der Atome benutzt. Frequenz des Laserlichts
wird so eingestellt, dass sie ein wenig unter der Energie der
Absorptionslinie des Atoms liegt.
4 Festkörperphysik
Fliegt das Atom dem Lichtquant entgegen, so wird wegen des
Doppler-Effekts die Frequenz des Photons scheinbar erhöht
und es kann vom Atom absorbiert werden. Danach wird es in
beliebige Richtung emittiert.
Grundsätzlich: Die elektrostatische Anziehung zwischen neg.
geladenen Elektronen und pos. geladenen Atomkern ist einziger Grund für den Zusammenhalt von Festkörpern.
Fliegen Atom und Photon in dieselbe Richtung, so ist die
scheinbar Frequenz noch weiter ins Langwellige weg von der
Absorptionsfrequenz verschoben und eine Absorption ist deutlich unwahrscheinlicher.
Insgesamt: Abbremsung des Atomstrahls.
Aufbau Man stellt in allen 3 Raumrichtungen jeweils entgegengesetzt strahlende Laser auf, um in jeder Richtung abzukühlen.
Die minimal erreichbare kinetische Energie der Atome ist aber
begrenzt wegen Reemission der Photonen: nur Abkühlung bis
40 µK möglich (dieser Wert ist deutlich tiefer als erwartet:
weitere Effekte).
Bose-Einstein-Kondensat Ununterscheidbare Teilchen
mit ganzzahligem Spin gehorchen der Bose-Einstein-Funktion
f (E) =
1
.
exp (E−µ/kB T ) − 1
(34)
Bei sehr tiefen Temperaturen müssen sich alle Teilchen gleichzeitig im Zustand tiefster Energie befinden: Bose-EinsteinKondensat.
Durchführung: 1995 konnten 2000 Rubidium-Atome auf T <
100 nK gekühlt werden: Bose-Einstein-Kondensat, 2001 Nobelpreis für Wiemann, Cornell, Ketterle
3.12 Was ist der Mößbauer-Effekt
Rückstoßfreie Absorption und Emission von γ-Quanten durch
Kerne von Atomen, die fest in ein Kristallgitter eingebaut sind
(wegen elastischer Bindung an das Gitter nimmt dieses den
gesamten Rückstoßimpuls und -energie auf, z. B. in Form von
gequantelten Gitterschwingungen = Phononen)
4.1 Welche Bindungstypen gibt es?
Attraktive Kräfte:
• Kovalente Bindung: Bei nicht gefüllten Schalen:
Überlappung der Schalen zwischen zwei Atomen (Elektronenwolken): Erreichen von Edelgaskonfiguration aller
beteiligten Atome: energetisch günstig
z. B. H2 , N2 , H2 O.
• Ionische Bindung: Elektronen werden an einen Bindungspartner abgegeben: Edelgaskonfiguration: elektrostatische Anziehung
z. B. NaCl (Na+ und Cl− ).
• Metallische Bindung: Metallatome können äußere Elektronen leicht abgeben: freies Elektronengas (Leitungselektronen): Erniedrigung der Energie des Systems gegenüber
getrennten Atomen.
• Van-der-Waals-Bindung: gemitteltes Dipolmoment zwar
= 0, aber fluktuiert zeitlich: im Nachbaratom wird Dipolmoment induziert: anziehende WW
Andere Bezeichnung: Dipol-Dipol-Wechselwirkung.
• Wasserstoffbrückenbindung: Bei Bindung H mit stark
elektronegativen Partner (z. B. O, F) bekommt H positive Teilladung: kann negatives Atom/Ion anziehen: weitgehend ionische Bindung
Repulsive Kräfte Annäherung von Atomen: Überlappung
der Elektronenwolken: wegen Pauliprinzip müssen Elektronen
auf höhere Schalen ausweichen: Abstoßung.
Typischer Potentialverlauf
Atomen)
(R = Abstand zwischen zwei
Anmerkung: Nobelpreis 1961
Abbildung 38: Typischer Potentialverlauf
4.2 Was ist die Kristallstruktur?
Kristallstruktur = Kristallgitter + Basis
4.2.1 Was ist der Unterschied zwischen Kristallgitter
und Kirstallstruktur?
Gitter Mathematisches Konstrukt, wird möglichst günstig
gewählt.
16
Struktur
Kombination aus Gitter und Basis.
4.2.2 Was ist das reziproke Gitter?
Das reziporke Gitter ist ein Satz von Wellenvektoren, der ebene Wellen mit der Periodizität eines gegebenen Bravais-Gitters
erzeugt, bzw. Beugungsbild eines Kristalls.
Für die reziproken Gittervektoren gilt wegen der geforderten
Periodizität:
~ = exp ı~k · ~
exp ı~k · (~
r + R)
r
(35)
~ der Gittervektor des reziproken Gitters ist.
wobei R
Das reziproke Gitter wird auch indirektes Gitter genannt
(Kristall-Gitter = direktes Gitter) und befindet sich im Fourierraum (auch k-Raum genannt).
Definition der primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters:
~b1 = 2π · (~a2 × ~a3 ) ,
~a1 · (~a2 × ~a3 )
~b2 = 2π · (~a3 × ~a1 ) ,
~a1 · (~a2 × ~a3 )
~b1 = 2π · (~a1 × ~a2 ) .
~a1 · (~a2 × ~a3 )
(36)
und es gilt ~ai · ~bj = 2π · δij , wobei ai die Gittervektoren des
ursprünglichen Gitters sind.
Konstruktion in 2D Zeichne die ~ai ein, dann Richtung
von ~bj , so dass aj und bj einen Winkel von 90◦ einschließen
und der Winkel α zwischen ~bj und ~ai möglichst klein ist. Die
Länge von ~bj berechnet sich dann aus
aj bj cos α = 2π.
Abbildung 40: Gittertypen
4.3 Wie lassen sich Kristallstrukturen
bestimmen?
Analyse von Kristallen durch Röntgenstrahlung.
Huygen’sches Prinzip: Jedes Atom wird zur Schwingung angeregt und strahlt mit derselben Frequenz ab.
4.3.1 Wie lautet die Laue- und die
Bragg-Bedingung?
~
Kostruktive Interferenz: Laue-Bedingung ~k − ~k0 = K
~ ist
mit einfallendem Vektor ~k, reflektiertem Vektor ~k0 und K
Vektor des reziproken Gitters.
(37)
Bragg
4.2.3 Welche Gittertypen gibt es? Was ist die
Kristallstruktur von . . .?
14 Bravais-Gitter, unterteilt in 7 Typen triklin, monoklin,
rhombisch, hexagonal, tetragonal und kubisch.
2d sin θ = nλ,
d = d(hkl) = √
a
h2 + k2 + l2
(38)
4.4 Wie funktioniert die
Ewald-Kosntruktion?
Im reziproken Gitter an einen Gitterpunkt den Vektor ~k des
einfallenden Lichts antragen, um die Spitze von ~k einen Kreis
mit Radius |~k0 | ziehen, schneidet dieser Kreis einen weiteren Gitterpunkt: Konstruktive Interferenz für ~k0 (verläuft von
Spitze von ~k zu dem Gitterpunkt).
Abbildung 41: Ewald-Konstruktion
Wofür wird sie verwendet? Wie funktioniert die
Laue-Methode? Wozu wird sie hauptsächlich benutzt? Weitere Methoden mit Ewald-Kosntruktion?
Röntgenbeugungsmethoden mit der Ewald-Konstruktion:
Abbildung 39: Die 14 Bravaisgitter
• Laue-Methode: Polychromatische Röntgenstrahlung (λ0
bis λ1 ) trifft aus fester Richtung auf Einkristall: je ein
17
Laue-Kreis“ für den maximalen und minimalen Vektor:
”
alle Gitterpunkte im Bereich dazwischen erfüllen LaueBedingung (in echt Kugeln statt Kreise)
Primitive Zelle Einheitszelle mit minimalen Volumen,
enthält nur einen einzigen Gitterpunkt. Meist mehrere
Möglichkeiten, primitive Zelle zu wählen (siehe Skizze).
Methode um Kristalle zu orientieren
Abbildung 44: Primitive Einheitszelle
Abbildung 42: Laue-Methode
• (Bragg’sche) Drehkristall-Methode: Monochromatische
Röntgenstrahlung trifft auf Kristall, dieser wird dabei gedreht: Reziprokes Gitter wird gedreht: Reflex, wenn reziproker Gitterpunkt durch Ewaldkugel kommt
• Debye-Scherrer-Pulver-Methode:
Monochromatische
Röntgenstrahlung trifft auf pulverisierten Kristall:
enthält jede mögliche Kristallorientierung A: Drehung
des reziproken Gitters in jede mögliche Orientierung bei
festgehaltener Ewaldkugel
Jeder reziproke Gittervektor erzeugt im Fourierraum eine
Kugel um den Ursprung und damit auf dem Film einen
Kreis (als Schnittbild mit Ewaldkugel)
4.5 Was sind Millersche Indizes?
= System zur Beschreibung der Lage von Ebenen in Kristallen
(hkl) = Normalenvektor der jeweiligen Netzebene!
Vorgehensweise
h0 , k0 , l0 .
Schnittpunkte der Ebene mit Achsen:
Bilde Kehrwerte 1/h0 , 1/k0 , 1/l0 .
Finde möglichst kleine, ganze Zahlen, die sich genauso verhalten wie 1/h0 : 1/k0 : 1/l0 = h : k : l
Frage
4.6.1 Was ist die Wigner-Seitz-Zelle und die 1.
Brillouin-Zone?
Wigner-Seitz-Zelle Primitive Einheitszelle, wobei das umschlossene Volumen näher am eingeschlossenen Gitterpunkt
liegt als jede andere: spezielle Wahl der primitiven Einheitszelle
Konstruktion
1. Zeichen von Gitterpunkt Verbindung zu allen nächsten
Nachbarn
2. Konstruiere jeweils Mittelsenkrechte
3. kleinstes eingeschlossenes Volumen = Wigner-Seitz-Zelle
Erste Brillouin-Zone
Gitters
= Wigner-Seitz-Zelle des reziproken
Bedeutung: Für Elektronen, die dem Bloch-Theorem gehorchen, gilt: ?ψn,~k+K
. Es reicht aus, die ~k-Werte in der
~ = ψn,~
k
ersten Brillouin-Zone zu betrachten.
Konstruieren Sie die 1. Brillouinzone für ein kubisches
2D-Gitter! Konstruktion der ersten 4 Brillouin-Zonen im
kubischen 2D-Gitter: (Erste Zone: nächste Nachbarn, 2. Zone:
übernächste Nachbarn, . . .)
Zeichne die (100)-Richtung in ein bcc-Gitter ein!
Abbildung 45: Brillouinzonen für ein kubisches 2D-Gitter.
Abbildung 43: Miller’sche Indizes
4.7 Was sind Phononen?
4.6 Was ist eine primitive
Zelle/Einheitszelle?
Einheitszelle Block von Gitterpunkten, die periodisch wiederholt den Kristall aufbauen.
18
= Quanteneinheit einer Gitterschwingung (vergleiche Photonen).
Ein Kristall besitzt (in 3D) 3N p verschiedene Moden, diese
können von Phononen besetzt werden. Dabei ist N die Anzahl
der primitiven Einheitszellen und p die Atomanzahl der Basis.
Energie der Phononen (berechnet sich analog zum harm. Oszillator):
1
.
(39)
En (~
q ) = h · ω(~
q) n +
2
Bei Phononen wird statt ~k, q~ verwendet! Jede Mode hat n
mögliche Zustände, die angeregt werden können: Besetzung
mit n Phononen.
Unterscheidung: akustische und optischen Phononen
• Akustische Phononen: (auch als Schallquanten bezeichnet) = Schallwellen, die sich durch das Kristallgitter fortpflanzen. Hierbei bewegen sich alle Atome einer Einheitszelle in Phase: für~
q = 0 verschwindet ω. Für kleine Fre=const.? (wie bei
quenzen gilt:ω = q·const., also v = ∂w
∂q
Schallausbreitung).
• optischen Phononen: gegenphasig: für q~ = 0 verschwindet ω nicht. Besitzen die Basisatome ungleichnamige Ladungen: optische Schwingungen führen zu veränderlichen
Dipolmoment: Schwingung ist optisch aktiv.
Wie bestimmt man die Dipersionsrelation von Phononen experimentell?
Inelastische Neutronenstreuung am Kristall Messung
der Änderung der kinetischen Energie in Abhängigkeit von der
Richtung. Die Energie kann sich durch Emission oder Absorption eines Phonons ändern.
Wie lautet die Zustandsdichte von Phononen? Die
Zustandsdichte beschreibt die Anzahl der Schwingungszustände pro Intervall ∆ω = 1s−1 :
!
1
2
V
·
+
· ω2
(40)
D(ω) =
3
3
2π 2
vL
vT
mit vL , vT : Phononengeschwindigkeiten der longitudialen und
transversalen Wellen.
Die Zustandsdichte im Debye-Modell ist nur eine grobe Näherung für die wirkliche Zustandsdichte (kann aus
der gemessenen Dispersionsrelation berechnet werden). Die
Zustände sind dabei bis zur Debye-Frequenz besetzt.
Abbildung 46: Optische und akustische Mode
Was ist die Dipersionsrelation von Phononen? Die Dispersionsrelation veranschaulicht die Abhängigkeit zwischen
Frequenz ω und Wellenvektor q~. Es genügt, die erste BrillouinZone zu betrachten, da Wellenvektoren, die außerhalb liegen, durch Addition eines reziproken Gittervektors in diese
überführt werden können (benachbarte Atome haben Phasenunterschied ka, dabei entspricht ein Phasenunterschied von
2π einem Phasenunterschied von 0: Betrachte das Intervall
[−π, π]: q~ ∈ [−π/a, π/a].
Wie viele Äste (optisch + akustisch) gibt es?
Entartung?
Charakteristische
Merkmale
optischer/akustischer Äste? p Atome in der primitiven
Einheitszelle: 3p Äste.
pro Ast N verschiedene q Werte (N : Anzahl der prim. Einheitszellen): insgesamt 3N p verschiedene Schwingungsmoden
pro Elementarzelle: 3 Äste akustisch, 3p − 3 Äste optisch
Entartung kann in Richtung hoher Symmetrie auftreten: mehrere Äste liegen übereinander ?
Abbildung 48: Zustandsdichte
Modell der spezifischen Wärme von Phononen (Einstein/Debye)?
• Dulong-Petit: spezifische Wärmekapazität: ?Stimmt nur
bei sehr hohen Temperaturen (Grenzwert)
• Einstein- Modell: N unabhängige Osziallatoren mit gleicher Frequenz, die über die Boltzmann-Verteilung besetzt
sind. Liefert nicht so gute Ergebnisse wie Debye-Modell.
Näherung: für hohe Temperaturen: wie Dulong-Petit. Für
niedrige Temperaturen: CV = 0.
• Debye-Modell: Frequenzspektrum mit Zustandsdichte besetzt bis zur Debye-Frequenz. Wichtige Grundannahme:
ω = q · v.
Näherung: für hohe Temperaturen: wie Dulong-Petit
CV = 3N kB =const. Für niedrige Temperaturen: CV ∝
T 3.
Anmerkung: mit Elektronenanteil ergibt sich: CV = vT =
AT 3 (Elektronenanteil nur für niedrige Temperaturen
wichtig)
4.8 Wie stellt man sich ein freies
Elektronengas vor?
Abbildung 47: Dispersionsrelation von Silizium
Valenz-Elektronen im Metall sehr schwach gebunden: Bewegen
sich annähernd frei im Metall ( = Leitungselektronen)
19
Modell für freies Elektronengas Elektronen eingeschlossen in 3D-Kastenpotential, die weder mit anderen Elektronen
noch Atomrümpfen wechselwirken; keine potentielle Energie,
nur kinetische
Wie lautet die Dispersionsrelation freier Elektronen?
E=
h2 k2
,
2m
E=
h2 2
(k + ky2 + kz2 )
2m x
(41)
Wie sieht die Zustandsdichte freier
√ Elektronen aus?
In 2D: D(E) =const. In 3D: D(E) ∝ E.
Abbildung 51: 2D-Elektronengas
Bragg-Reflexion für λ = 2a (die Ränder der Brillouin-Zone
entspricht gerade den Bragg-Ebenen): Ausbildung stehender
Welln
Abbildung 49: Zustandsdichte eines freien Elektronengases in
2D (l.) und in 3D (r.)
Wie ist die Besetzungsdichte freier Elektronen in 2D?
Hängt von der Fermit-Dirac-Verteilung ab:
f (E) =
1
exp (E−EF /kB T ) + 1
(42)
mit EF der Fermi-Energie ?? harte Kante für T=0, für T¿0:
Abbildung 52: Fast freies Elektronengas
Welche Zonenschemata (fast freies Elektronengas)
gibt es?
• erweitertes ( = ausgebreitetes) Zonenschema: gestrichelte rote Linie
Abbildung 50: Fermiverteilung
Aufweichung der Fermi-Kante.
Wie realisiert man ein 2D-Elektronengas in der Praxis? In Heterostrukturen oder am MIS-Kontakt (MetalInsulator-Semiconductor) am Gate eines MOSFET (= MetallOxid-Halbleiter-Feldeffekttransistor) kann man ein annähernd
dreieckförmiges Potential erzeugen. Die Temperatur wird so
gewählt, dass nur das unterste Subband besetzt ist: quasi 2DEletronengas.
• reduziertes Zonenschema: durchgezogenen, rote Linie;
entsteht durch Überführen aller Randteile in die 1.
Brillouin-Zone durch Addition von Vielfachen eines reziproken Gittervektors, enthält alle Informationen, da für
Bloch-Wellenfunktionen gilt:
• periodisches Zonenschema (ohne Skizze): Schema der 1.
Brillouin-Zone wiederholt sich periodisch in den anderen
Zonen (links und rechts periodisch weiterzeichnen)
Die Elektronen sind in ihrer Bewegung in z-Richtung stark
eingeschränkt
Was ist ein fast-freies Elektronengas? Man geht von
einem freien Elektronengas aus und schaltet ein schwaches,
periodisches Potential dazu. Dieses stört die Elektronen geringfügig (aber mit praktisch großen Auswirkungen: Bandstruktur) in ihrer Bewegung: Elektron wird zu Bloch-Elektron
(siehe andere Frage)
Zur Berechnung: Störungstheorie: in der Dispersionsrelation
bilden sich Bereiche verbotener Energie aus ( Gaps“) am
”
Rand der Brillouin-Zone.
20
Abbildung 53: Zonenschema
4.9 Wie kommt man zur Bandstruktur eines
Festkörpers?
Zwei Näherungslösungen:
• Tight-Binding: Atome mit diskreten und gleichen Energieniveaus werden näher zusammengebracht: leichte Verschiebung der Niveaus durch Einfluss des jeweils anderen
Atoms: in z.B. 2-Atom-System spaltet dadurch das ursprüngliche Energieniveau in zwei Energieniveaus leicht
unterschiedlicher Energien auf (3 Atome: 3 Niveaus; Skizze für 6 Atome): sehr viele Atome: quasi kontinuierlich:
Energiebänder.
Abbildung 56: GaAs-Band
Bei welchen Werten von k hat man Bandlücken?
alle Vielfachen von π/a.
Für
Wie viele Zustände gibt es pro Band? N primitive Elementarzellen: N Zustände pro Band, die jeweils mit 2 Elektronen mit entgegengesetzten Spin besetzt werden können.
Wie berechnet man die Bandstruktur? Mit Hilfe der
Störungstheorie (Lösung der Schrödinger-Gleichung) oder aus
dem Tight-Bindung-Verfahren.
Abbildung 54: Zonenschema
• Fast freies Elektronengas: Ausgehend vom freien Elektronengas wird ein schwaches periodisches Potential eingeschaltet: Neuberechnung der Dispersionsrelation: Bildung
von Gaps: Energiebänder
Wie stellt man sich im Bändermodell Stromleitung
vor? Warum tragen volle Bänder keinen Strom?
Wichtige Beziehung: v(−~k) = −v(~k) (ungerade Funktion).
Äußeres Feld:
4.9.1 Wieso sieht die Bandstruktur in Büchern
üblicherweise anders aus?
Reale Bandstruktur kann deutliche von idealisierter Kurve
(siehe Skizze links) abweichen, da sowohl Periodenlänge als
auch Modulationsamplitude des Potentials im Allgemeinen
richtungsabhängig ist: Angabe der Kurven für gewisse Richtungen.
Zeichnerische Darstellung: Dispersionsrelationen von verschiedenen Kristallrichtungen werden zu verschiedenen Punkten
aneinander gefügt: Γ?-Punkt: Mittelpunkt der 1. Brillouinzone, K, X, L-?-Punkte: Punkte höherer Symmetrie.
Abbildung 57: Volles und nicht volles Band
X
~ =0:
E
X
v(~k) = 0,
X
~ 6= 0
E
v(~k) = 0
(44)
v(~k) 6= 0
(45)
~
k
~
k
X
v(~k) = 0,
~
k
~
k
Die Summation läuft jeweils über die besetzten k-Zustände
des Bandes.
Für die Stromleitung gilt
X
~j = −e
v(~k)
→
~j 6= 0,
(46)
~
k
falls das entsprechende Band nicht voll besetzt ist. Ein äußeres
Feld verursacht bei voll besetzten Bändern keinen Stromfluss,
da sich der Gesamtimpuls der Elektronen nicht ändern kann,
weil jedes erreichbare Niveau besetzt ist (bei vollen Bändern
ist für die Elektronen kein freier Platz vorhanden“, um Ener”
gie aufzunehmen).
Garagenmodell Im unteren (vollen) Deck können sich die
Autos nicht bewegen.
Abbildung 55: Bandstruktur
4.10 Wodurch unterscheiden sich Isolator,
Metall und Halbleiter?
Wie zeichnet man die Struktur üblicherweise?
L
[111]
→
Γ
→
X
[100]
→
U, K
[110]
→
Γ
(43)
• Metall: Ein oder mehrere Bänder, die nicht vollständig
besetzt sind.
21
Was ist der Kristallimpuls? Der Impuls der ebenen Welle
h/λ = hk wird als Kristallimpuls bezeichnet. Dieser ist für
gewöhnlich ungleich dem Erwartungswert des Impuls hpi.
Er würde dem Erwartungswert bei einem freien Elektron entsprechen (nur ebene Welle, periodischer Anteil konstant).
Abbildung 58: Garagenmodell
• Isolator: Alle Bänder voll besetzt oder leer; Bandlücke
≥ 5 eV.
Wie schaut die Bahn eines Elektrons im Kristall bei
einem Magnetfeld 6= 0 aus? Das Elektron bewegt sich
auf einer Fläche konstanter Energie im k-Raum. Dabei ist die
~ um die Magnetfeldachse.
Bewegung ⊥B
• Halbleiter: kleinere Bandlücke als beim Isolator (≤
3 eV):Ladungsträger leichter erzeugbar
Im Ortsraum: Geschlossene Bahnen, die aber i. a. keine Kreisbahnen sind, da effektive Masse unterschiedlich sind.
4.10.1 Wodurch sind Halbleiter charakterisiert?
Ein Halbleiter ist ein Isolator mit kleinerer Bandlücke, so dass
Elektronen thermisch oder optisch in unbesetzte Bänder angeregt werden können, um am Stromfluss beizutragen.
Unterschied zu
Leitfähigkeit:
Metall:
Temperaturabhängigkeit
der
Abbildung 59: Metall Halbleiter und Isolator, Schema
In der primitiven Einheitszelle: Wenn gerade Zahl von
Elektronen verfügbar: alle Bänder voll besetzt (außer bei
Überlappung): HL oder Isolator
Was sind Bloch-Elektronen?
Bloch-Funktion genügen.
(a) Metall (nicht supraleitend)
(b) Metall
tend)
(supralei-
(c) Halbleiter (undotiert)
(d) Halbleiter
tiert)
= Elektronen, die der
Die Bloch-Funktion ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein periodisches Potential.
Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das BlochTheorem festgelegt: Sie setzt sich zusammen aus dem gitterperiodischen Anteil urn,k und einer ebenen Welle:
ψn,~k (~
r) = exp ı~k~
r ,
~
un,~k (~
r + R).
Andere Formulierung des Bloch-Theorems:
~ = exp ı~k~
ψn,~k (~
r + R)
r · ψn,~k (~
r).
(47)
(do-
Abbildung 61: Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit
(48)
2 Punkte unterscheiden sich nur in einer Phase der Wellenfunktion, wenn sie durch einen Gittervektor verbunden sind!
Wichtige Relation: Wellenfunktionen für Punkte im k-Raum,
die über einen reziproken Gittervektor verbunden sind, sind
äquivalent: Beschränkung auf 1. Brillouin-Zone möglich)
Bild einer Bloch-Funktion = modulierte, ebene Welle mit gitterperiodischen Modulationsanteil
~ .
u~k (~
r) = u~k ~
r+R
(49)
4.10.2 Wie bestimmt man die Bandlücke von
Halbleitern experimentell? Wieso kann man
dabei den Photonenimpuls vernachlässigen?
Optische Absorptionsmessung im Halbleiter Die
Energie des Lichtquants muss mindestens so groß sein wie die
Energielücke (beim indirekten Halbleiter nicht ganz), um absorbiert zu werden. Schwingungen werden wegen kPhonon kPhoton nicht angeregt.
Abbildung 62: Optische Absorptionsmessung im Halbleiter
4.10.3 Was sind intrinsische Halbleiter?
Abbildung 60: Antragung des Realteils
22
= reine, undotierte Halbleiter mit vollen Valenz- und leerem
Leitungsband.
Alle Ladungsträger kommen aus der Elektronenanregung über
die Bandlücke zustande mit E ≥ EGap (beiT = 0 keine
Stromleitung). Durch Dotierung werden Ladungsträger zur
Verfügung gestellt, die schon mit deutlich kleineren Energien
(Raumtemperatur) freigesetzt werden können (20 bis 40 meV).
Anders formuliert: Ein Halbleiter heißt intrinsisch, wenn seine elektronischen Eigenschaften bestimmt werden durch thermisch aus dem Valenzband ins Leitungsband angeregte Elektronen und extrinsisch, wenn seine elektronischen Eigenschaften überwiegend durch Elektronen bestimmt sind, die von Verunreinigungen in das Leitungsband abgegeben oder aus dem
Valenzband aufgenommen werden.
4.10.6 Was ist die Fermi-Fläche?
= Fläche konstanter Energie im k-Raum, welche bei T = 0 alle
besetzten Zustände einschließt. Ein angelegtes E-Feld kann
eine Verschiebung der Fermifläche bewirken: neue Zustände.
4.11 Was ist Supraleitung?
= Eigenschaft bestimmter Materialien (Metalle, Metallverbindungen, Keramiken) unterhalb einer gewissen Temperatur, der
kritischen Temperatur TC , ihren Gleichstromwiderstand zu
verlieren.
4.10.4 Was unterscheidet einen direkten und einen
indirekten Halbleiter?
Direkter Halbleiter Minimum des Leitungsbandes direkt
über dem Maximum des Valenzbandes im k-Raum
indirekter Fall Absolutes Minimum gegen Maximum verschoben: Beim Elektronenübergang: Phonon mit absorbiert
oder erzeugt werden, um Erhaltung der Wellenzahl zu garantieren.
(a) Metall (nicht supraleitend)
(b) Metall
tend)
(supralei-
Abbildung 65: Temperaturabhängigkeit des Widerstands
4.11.1 Besondere Eigenschaften von Supraleitern
(a) Absorption, direkter HL
(b) Absorption, indirekter HL
Meißner-Ochsenfeld-Effekt Im supraleitenden Zustand
eines Materials wird ein von außen angelegtes B-Feld (bis zu
einer kritischen Feldstärke) vollständig aus dem Leiter verdrängt. Das ist darauf zurückzuführen, dass das äußere Magnetfeld in die Oberflächenschicht des Leiters eindringen kann
und dadurch Kreisströme induziert werden, durch die ein dem
angelegten entgegen gerichtetes Feld aufgebaut wird, das das
angelegte kompensiert (bis zu einer kritischen Feldstärke des
angelegten B-Feldes).
Besonderheit: Feld wird beim Abkühlen ab der kritischen
Temperatur aus Leiter hinausgedrängt (das ist bei einem theoretischen idealen Leiter mit Widerstand 0 nicht der Fall!)
(c) Quasi-Impuls, direkter HL
(d) Quasi-Impuls, indirekter HL
Abbildung 63: Direkte und indirekte Halbleiter
4.10.5 Wie ist die Si-Struktur charakterisiert?
Indirekter Halbleiter (direkter: GaAs). Minimum des Leitungsbandes bei ca. 0.8π/a in der [100]-Richtung.
Abbildung 66: Meißner-Ochsenfeld-Effekt
Supraleiter 1. und 2. Art Man unterscheidet 2 Arten
von Supraleitern, wenn man ihr Verhalten beim Anlegen eines
äußeren Magnetfeldes beobachtet (bei normalen Bedingungen
= gleiches Verhalten): Unterschied in Magnetisierungskurve.
Supraleiter 1. Art (weicher Supraleiter): vollständiger
Meißner-Effekt: Das äußere B-Feld wird im Supraleiter
vollständig ausgelöscht. Oberhalb eines gewissen, kritischen
B-Feldes ist es für den Supraleiter energetisch günstiger, in
normalleitenden Zustand überzugehen, da Oberflächenströme
Energie benötigen: plötzliches Ende des supraleitenden Zustands.
Abbildung 64: Reale Bandstruktur verschiedener Halbleiter
Supraleiter 2. Art (harter Supraleiter): unvollständiger
Meißner-Effekt: Bis zu gewissen kritischen B-Feld Bc1 wie Supraleiter 1. Art, oberhalb von Bc1 dringen magnetische Flussschläuche in den Supraleiter ein. Innerhalb dieser Schläuche
ist das Material normalleitend (Flussschläuche wandern mit
Geschwindigkeit v quer durch das Material, verschwinden an
einem Rand und bilden sich am anderen neu. Diese Feldbewegung verursacht eine Lorentz-Kraft FQ , welche nach der
23
Lenzschen Regel dem Strom entgegengerichtet ist. Gegenkraft
bewirkt einen Spannungsabfall: elektrischer Widerstand im
Supraleiter), die Magnetisierung nimmt ab, aber die Probe
bleibt weiterhin supraleitend. Dieser Mischzustand wird als
Shubnikov-Phase bezeichnet.
4.11.2 Beschreiben sie knapp die BSC-Theorie!
Entstehung von Cooper-Paaren Elektron deformiert
durch seine Wechselwirkung mit dem Gitter die Position der
Atomrümpfe: Lokale Erhöhung der Dichte der positiven Ladung.
Ionen bewegen sich aufgrund der großen Masse vergleichsweise
langsam: Abstoßung also sehr langsam, derweilen Anziehung
auf weiteres, negatives Elektron: attraktive Wechselwirkung
auf das zweite Elektron.
Abbildung 67: Flussschläuche im Supraleiter 2. Art
Besitzt dieses entgegengesetzten Spin/Impuls, so kann diese anziehende Wechselwirkung die Abstoßung der Elektronen überkompensieren, solange sich die Elektronen nicht
zu nahe kommen: Cooper-Paar! Bzw.: Durch Elektron-
Oberhalb von Bc2 bricht auch hier die Supraleitung zusammen
(allerdings i. a. wesentlich höher als bei weicher Supraleitung:
Verwendung in Spulen mit 20 Tesla)
(a) Supraleiter 1. Art
(b) Supraleiter 2. Art
Abbildung 71: Elektronenpaarbildung
Abbildung 68: Magnetisierungskurve zweier Supraleiter
Abhängigkeit des kritischen Feldes von der Temperatur
Gitter-Elektron-Wechselwirkung: Elektron durchläuft Metallgitter und zieht durch Coulombkräfte die positiv geladenen
Atomrümpfe aus ihren Ruhelagen (Deformation des Gitters).
Da Atomrümpfe je nach Masse gewisse Trägheit aufweisen,
wird das Gitter polarisiert: es bleibt positive Restladung, die
anziehend auf ein Elektron wirkt: Bildung von Elektronenpaaren, sogenannten Cooper-Paaren.
Dies ist erst ab einer gewissen Sprungtemperatur möglich, da
diese Kraftwirkung dann größer als die Coulombabstoßung
wird. Der maximale Abstand der so aneinander gebundenen
Elektronen wird als Kohärenzlänge ξ des Cooper-Paares bezeichnet. Sie liegt bei etwa zehn bis einige hundert Nanometer.
Abbildung 69: Abhängigkeit des kritischen Feldes von der
Temperatur
Levitation Nähert man einem Supraleiter 2. Art (im supraleitenden Zustand) einen Dauermagneten an, so ist eine
deutliche Abstoßung zu beobachten (wegen Verdrängung des
Feldes). Wird Magnet im normalleitenden Zustand des Supraleiters (mit Abstandhalter) auf den Supraleiter gelegt (= problemlos möglich) und erst danach wieder abgekühlt, so wird
der Leiter durch die Bildung von Flussschläuchen auch nach
dem Abkühlen vom Magnetfeld durchflossen und wirkt damit anziehend (der Zustandsänderung entgegen), so dass der
Magnet über dem Supraleiter schwebt = Levitation.
Abbildung 72: Cooper-Paar mit Phononen
Oftmals wird die Bindung des Cooper-Paares durch den Austausch virtueller Phononen (kurzzeitige Erregung einer Gitterschwingung) beschrieben.
Spin Betrag
Teilchentyp
Ladung
Masse
Bindungsenergie
Maximale Kohärenzlänge
Abbildung 70: Levitation
24
Elektron
1/2
Fermion
e
me
-
Cooper-Paar
0
Boson
2e
2me
10−3 eV
10−6 m
Tabelle 2: Unterschied: Elektron, Cooper-Paar
Grundlage der BCS-Theorie nach Bardeen, Cooper
und Schrieffer Die experimentelle Beobachtung, dass die
Supraleitung vieler Metalle eine relativ starke Abhängigkeit
der kritischen Temperatur vom Isotop des untersuchten Metalls zeigt: Tc ∝ m−1/2 mit Atommasse m: ein Mechanismus
der Supraleitung: Wechselwirkung mit den masseabhängigen
Phononen.
Vorstellung Ein erstes Elektron verändert das Gitter (respektive eine Gitterschwingung) durch Energieabgabe derart,
dass ein zweites Elektron (z.B. durch Veränderung seiner Bahn
oder Aufnahme eines Phonons) einen gleich großen Energiegewinn erzielt. Dies ist nur möglich, falls die Gitterbausteine
und die Elektronen sich langsam genug (daher nur unterhalb
einer kritischen Stromdichte) bewegen.
4.11.4 Wie sieht die Zustandsdichte im
supraleitenden Zustand aus?
Bei T = 0 befinden sich alle Elektronen in Zuständen unterhalb der Energielücke.
Bei T > 0 werden Cooper-Paare aufgebrochen und sind oberhalb der Energielücke.
Bei Normalleitern können beliebig kleine Energien bei Streuprozessen auftreten, da immer unbesetzte Zustände vorhanden sind. Im Supraleiter müssen diese Energien größer als die
Energielücke sein: keine Streuung von Elektronen möglich.
Die Idee der BCS-Schöpfer besteht darin, die Bildung sogenannter Cooper-Paare aus je zwei Elektronen durch eine
schwache anziehende Wechselwirkung zu postulieren. Elektronen sind aufgrund ihres Spins Fermionen und können als
solche nicht den gleichen Zustand besetzen (Pauli-Prinzip).
Im Gegensatz dazu sind die Cooper-Paare mit Spin s = 0
(antiparallele Anordnung der Elektronenspins) Bosonen und
können daher gleichzeitig den gleichen Zustand, und somit
auch alle den Grundzustand annehmen (dadurch Bildung einer Energielücke Eg ).
Abbildung 74: Zustandsverteilung
4.11.5 Wie kann man die Energielücke messen?
Verfahren dienen auch der Prüfung der BCS-Theorie.
Mikrowellenabsorptionsmessung Supraleiter im Hohlleiter mit Mikrowellen bestrahlt: Messung der Absorption,
dann Messung im normalleitenden Zustand.
Abbildung 73: Energielücke
Dies ist nicht nur energetisch günstiger, sondern äußert sich
auch in einer, den ganzen Festkörper überspannenden, BoseEinstein (BE)-Wellenfunktion. Diese Wellenfunktion kann von
lokalen Hindernissen (Atomkernen und Störstellen des Gitters
allgemein) nicht mehr beeinflusst werden und garantiert somit einen widerstandslosen Ladungstransport: Verhinderung
einer Wechselwirkung mit dem Rest des Metalls: Begründung
für typischen Eigenschaften eines Supraleiters (z.B. verschwindender elektrischer Widerstand).
Alternative Erklärung ab alle sind in Grundzustand“: Da
”
sich die Cooper-Paare jetzt alle im gleichen Quantenzustand
befinden, stimmen sie auch in allen physikalischen Größen
überein: Bei Anlegen einer Spannung wird die Gesamtheit der
Cooper-Paare beschleunigt, der auftretende Impuls muss für
alle gleich sein: Es ist nicht möglich, dass ein einzelnes CooperPaar mit dem Gitter wechselwirkt und so zum elektrischen
Widerstand beiträgt. Der durch die anliegende Spannung hervorgerufene Strom fließt im supraleitenden Zustand also widerstandsfrei, solange die Spannung nicht so groß wird, dass
die Energielücke Eg überwunden wird, die Cooper-Paare aufgebrochen werden und dadurch die Einzelelektronen wieder
zum Widerstand beitragen können.
Differenz der Absorptionswerte ergibt die Absorption durch
die Cooper-Paare. Diese können Energie aber nur dann absorbieren, wenn diese größer als die Energielücke ist.
Messung durch Absorption von Ultraschall
on akustischer Phononen durch Cooper-Paare
Tunnelexperimente
Absorpti-
Genaueste Messung!
Grundsätzlich: Kontakt von zwei Leitern A und B mit dünner
Isolatorschicht dazwischen: Tunneleffekt.
Ohne äußere Spannung: Strom = 0, da gleichviele Elektronen
von A nach B wie von B nach A tunnneln. Anlegen einer
äußeren Spannung: Verschiebung der Energieniveaus von A
gegen B: Tunnelstrom (von B nach A)
Nun: A Normalleiter und B Supraleiter: Stromfluss, wenn die
angelegt Spannung die Hälfte der Energielücke übertrifft, also
eU = ∆.
4.11.6 Was ist ein Hochtemperatur-Supraleiter?
In bestimmten keramischen Materialien tritt Supraleitung sogar oberhalb von 100 K auf. Da sie mit flüssigem Stickstoff
auf diese Temperatur gekühlt werden können, hat dies enorme Vorteile. Hochtemperatur-Supraleiter sind alle Supraleiter
2. Art.
4.11.3 Was ist ein Abrikosov-Gitter?
In Supraleitern 2. Art ordnen sich die eindringenden Flussschläuche nach einem periodischen Schema, dem AbrikosovGitter, an (Bild siehe Supraleiter 2. Art).
Kristallstruktur eines Hochtemperatur-Supraleiters
Aufbau aus leitenden und isolierenden Schichten: Anisotropie der supraleitenden Eigenschaften. Typisches Beispiel:
YRaCuO mit Tc = 100 K.
25
(a) Zustandsdichten für Normalleiter
A und Supraleiter B
Abbildung 77: Effektive Masse eines Elektrons
(b) Zusammenhang
angelegte Spannung
Tunnelstrom
–
Abbildung 75: Tunnelexperimente
Wie misst man die effektive Masse eines Elektrons
experimentell? Zyklotronresonanz: Eine Kristallprobe, die
sich bei tiefen Temperaturen (ca. 4 K) in einem statischen
Magnetfeld B befindet, wird mit Radiowellen bestrahlt. Die
Radiowellen beschleunigen die Ladungsträger, die durch das
Magnetfeld zu Spiralbahnen (aufgrund der Lorenzkraft) abgelenkt werden (Geschwindigkeit der Elektronen zur Bestimmung der Lorenzkraft ergibt sich durch die Dispersionsrelation, also durch die Energie E und den Wellenvektor). Das
Elektron erfährt also eine Kraft, die senkrecht zum Magnetfeld B und im k-Raum senkrecht zum Gradienten der E(k)Fläche steht. Es bewegt sich somit auf einer Fläche konstanter
Energie (im Festkörper: Fermifläche).
Die Absorption der Wellen wird maximal, wenn die Frequenz
der Radiowelle gleich oder ein Vielfaches der Zyklotronfrequenz (= ωc = Frequenz des Elektrons beim Umlauf) ist:
ωem = n · ωc ,
ωc =
eB
m∗
(50)
Damit und bei bekannter Magnetfeldstärke lässt sich damit
die effektive Masse m∗ des Ladungsträgers ablesen.
Abbildung 76: Kirstallstruktur
Supraleiters
eines
Hochtemperatur-
Bei einem Halbleiter muss die Probe zusätzlich mit Licht bestrahlt werden, dessen Photonen eine ausreichend große Energie besitzen, um die Elektronen in das Leitungsband zu heben.
Wie werden effektive Massen quantenmechanisch berechnet?
Aus der Krümmung der Dispersionsrelation
Die höchste bisher gefundene Sprungtemperatur liegt mit
HgBaCaCuO bei 135 K.
4.11.7 Was versteht man unter der effektiven Masse
eines Elektrons?
Wird eingeführt, um Elektron im Kristall weiterhin gegenüber
Wirkung äußerer Felder/Kräfte als freies Elektron behandeln
zu können. Anstatt das Gitterpotential direkt bei einer Rechnung zu berücksichtigen, geht es indirekt über die effektive
Masse ein, die die normale Elektronenmasse ersetzt.
Die effektive Masse berücksichtigt also die potentielle Energie
des Elektrons und deren Änderung. Sie ist i. a. ein Tensor.
Dabei werden nur Elektronen in solchen Bereichen des Energiebandes betrachtet, wo E(~k) durch eine Parabel angenähert
werden kann: Masse m des Elektrons wird durch die konstante
effektive Masse m∗ ersetzt.
Es gilt: effektive Masse eines Lochs: m∗L = −m∗e .
26
1
d2 ε 1
=
·
,
m∗
dk2 h2
(51)
mit Dispersionsrelation ε. Die effektive Masse ist indirekt Proportional zur Krümmung der Dispersionsrelation.
4.12 Was ist Ferromagnetismus?
Wodurch wird er verursacht? Unterhalb einer gewissen Temperatur (Curie-Temperatur) gibt es einen Phasenübergang vom paramagnetischen Zustand in einen Zustand, in dem sich spontan eine Magnetisierung ausbildet, sich
also die magnetischen Momente spontan ausrichten: Ferromagnetismus.
Unterscheide
• paramagnetisch: teilweise Ausrichtung der magnetischen
Dipole in Feldrichtung: leichte Verstärkung.
• ferromagnetisch: Ausrichtung schon bei schwachen Feld
in Feldrichtung: starke Verstärkung.
• diamagnetisch: induzierte Dipole richten sich antiparallel
aus: Feldschwächung.
Tritt bei jedem Material auf, wird aber evtl. von Paraoder Ferromagnetismus überdeckt, da Auswirkungen gering sind.
Ursache
des
Ferromagnetismus AustauschWechselwirkung (rein quantenmechanische Wechselwirkung
der Spins der Atome) führt dazu, dass Magnetische Momente
sich ausrichten; thermische Energie steht der Wirkung dieser
Wechselwirkung entgegen.
Was besagt die Molekularfeldtheorie? = Theorie, die
versucht, den Ferromagnetismus mit Hilfe eines Magentfeldes
zu erklären, das für die Ausrichtung der Spins verantwortlich
sein soll.
Was sind Bloch-Wände? = Übergangsbereiche im Kristall, die Domänen verschiedener Magnetisierung trennen.
4.12.1 Was sind Weiß’sche Bezirke und warum gibt
es sie?
= Domänen, in denen die magnetischen Momente parallel ausgerichtet sind; in verschiedenen Bezirken kann die Ausrichtung
unterschiedlich sein.
Es ist energetische günstiger (wenn kein äußeres Magnetfeld
anliegt), mehrere Domänen zu haben, deren Magnetisierung
sich gegenseitig aufhebt, da ansonsten Energie für das entstehende Magnetfeld aufgebracht werden müsste.
Abbildung 79: Magnetisierungskurve, Brem Remanenz-Feld, c
Koerzitiv-Feld, P1 Sättigungsfeld
Was misst man, was ist das Phänomen? Wovon hängt
die Höhe der Plateaus ab? Quanten-Hall-Effekt = HallEffekt (Ablenkung von bewegten Ladungsträgern im Magnetfeld) im Halbleiter (oder einen 2D-Elektronengas) bei sehr tiefen Temperaturen und großen Magnetfeldern.
Magnetfeld: kinetische Energie der Ladungsträger ist nicht
mehr quasikontinuierlich, sondern quantisiert ( Landau”
Quantisierung“). In Bereichen konstanter elektrostatischen
Potientials: Landau-Zustände äquidistant mit Abstand ∆E =
mit Zyklotronfrequenz ωc .
hωc = heB
m∗
Tiefe Temperaturen: Ladungsträger nur auf untersten
Landau-Zuständen. Steigerung des Magnetfeldes: LandauNiveaus werden nach oben verschoben: tritt Landau-Niveau
durch Fermi-Energie, wird Ladungsträger auf darunterliegendes Niveau verschoben.
Wieso verändert sich die Fermi-Energie beim
Quanten-Hall Effekt nicht? Fermi-Energie abhängig von
Ladungsträgerzahl und Temperatur, beides ist konstant (Temperatur wird konstant niedrig gehalten, damit nur unterste
Niveaus besetzt sind).
Was wird beim Quanten-Hall-Effekt beobachtet?
Trägt man die Hall-SpannungUH gegen B an, so weißt der
Graph mehrere Plateaus auf: UH ist gequantelt.
Theorie des ganzzahligen Hall-Effekts:
RH =
RK
h
UH
=
=
I
n
ne2
mit Klitzing-Konstante RK =
(52)
h
.
e2
Abbildung 78: Weiß’sche Bezirke
Warum gibt es nur endlich viele davon? Es gibt
nur endlich viele Weiß’schen Bezirke, da zur Ausbildung
von Bloch-Wänden zwischen den Bezirken ebenfalls Energie benötigt wird: Günstige Einstellung zwischen Anzahl der
Bloch-Wände und erzeugtem Magnetfeld.
Wie macht man sie sichtbar? Feines ferromagnetisches Pulver befindet sich bevorzugt in den Bereichen der
Domänenwänden.
Abbildung 80: Quanten-Hall Effekt
Höhe der Plateaus abhängig davon, wie viele LandauNiveaus von Elektronen besetzt sind: wachsendes B-Feld:
Landau-Niveaus wandern durch Fermi-Energie, aber Ladungsträgerdichte bleibt konstant: müssen die Niveaus ausgleichen.
4.12.2 Wie sieht eine typische Magnetisierungskurve
aus?
Was ist der fraktionierte Quanten-Hall-Effekt?
nicht-ganzzahliger Quanten-Hall Effekt.
=
4.13 Wie kommt es zum
Quanten-Hall-Effekt?
Noch niedrigere Temperaturen und noch stärkeren Magentfeldern: Landau-Niveaus nur teilweise besetzt: es treten nicht
h
ganzzahlige Werte für n in ne
2 auf.
Klitzing erhielt dafür den Nobelpreis.
Anmerkung: Tiefe Temperaturen, damit die Landau-Niveaus
scharf sind und nicht verschwimmen.
27
4.14 Wie funktioniert der pn-Übergang
beim Halbleiter?
Kontakt zwischen p- und n-dotierten Halbleitern
4.14.1 Wie sieht das Bänderschema aus? Wo treten
Ströme auf ?
Abbildung 83: Kennlinie einer Diode
4.14.3 Was ist ein MOSFET? Bänderschema eines
Mosfets?
= Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor: MetallOxid-Halbleiter-Feldeffekttransistor
Abbildung 81: Bänderschema im Gleichgewicht
Es treten zwei Ströme auf
• Diffusionsstrom: auf Grund der unterschiedlichen Ladungsträgerkonzentrationen (Elektronen im n-Gebiet,
Löcher im p-Gebiet): Entstehung der Verarmungszone.
Kann durch äußere Spannung modifiziert werden.
• Driftstrom: beruht auf Feld der zurückbleibenden
Atomrümpfe. Wird von einem äußeren Feld praktisch
nicht beeinflusst und ist Ursache für Sperrstrom der Diode.
Abbildung 84: MOSFET
Im Gleichgewicht: Ströme kompensieren sich gegenseitig
Bei dotierten Halbleitern ist die entscheidende Energielücke
(die überwunden werden muss, damit Elektronen ins Leitungsband angeregt werden) die Energiedifferenz zwischen Leitungsbandunterkante und Donatorniveau bzw. Valenzbandoberkante und Akzeptorniveau
4.14.2 Wie funktioniert eine Diode?
4.14.4 Wie funktioniert ein Halbleiterlaser?
Aufbau GaAs-Schicht zwischen einer n- und einer pdotierten AlGaAs-Schicht (Doppelheterostruktur).
In diesem Schema wird Abfließen der Elektronen in den pBereich bzw. Löcher in n-Bereich verhindert.
Als Resonator kann die Diodenstruktur selbst benutzt werden,
da der Übergang Halbleiter-Luft eine hohe Reflexion aufweist.
(a) Funktionsweise einer Diode
(a) Bänderschema
(b) Bandstruktur einer Diode
Abbildung 82: Diode
(b) Aufbau
Abbildung 85: Halbleiterlaser
Wie sieht die Kennlinie einer Diode aus?
28
4.15 Wem und wofür wurde der Nobelpreis
in Physik 2007 verliehen?
Der GMR-Effekt (engl. giant magnetoresistance, dt. Rie”
senmagnetwiderstand“) wird in Strukturen beobachtet, die
aus sich abwechselnd magnetischen und nichtmagnetischen
dünnen Schichten mit einigen Nanometern Schichtdicke bestehen.
Abbildung 86: GMR-Effekt
Effekt Elektrischer Widerstand der Struktur hängt ab von
der gegenseitigen Orientierung der Magnetisierung der magnetischen Schichten: deutlich höher bei entgegengesetzt gerichteter Magnetisierung, als bei Magnetisierung in die gleiche
Richtung
Entdeckung Gleichzeitig und unabhängig voneinander von
Peter Grünberg und Albert Fert, Auszeichnung 2007 mit dem
Nobel-Preis in Physik
Beim GMR-Effekt handelt es sich um einen quantenmechanischen Effekt, der durch die Spinabhängigkeit der Streuung von
Elektronen an Grenzflächen erklärt werden kann. Elektronen,
die sich in einer der beiden ferromagnetischen Schichten gut
ausbreiten können, weil ihr Spin günstig orientiert ist, werden in der zweiten ferromagnetischen Schicht stark gestreut,
wenn diese entgegengesetzt magnetisiert ist. Sie durchlaufen
die zweite Schicht aber wesentlich leichter, wenn die Magnetisierung dieselbe Richtung aufweist wie in der ersten Schicht.
Anwendungen Werden zwei Schichten eines ferromagnetischen Materials durch eine dünne nichtmagnetische Schicht
getrennt, so richten sich die Magnetisierungen bei bestimmten Dicken der Zwischenschicht in entgegengesetzten Richtungen aus. Schon kleine äußere magnetische Felder reichen aber
aus, um diese antiferromagnetische Ordnung wieder in die ferromagnetische Ordnung zurückzuführen. In Verbindung mit
dem GMR-Effekt bewirken Variationen des äußeren Magnetfeldes in geeigneten Strukturen daher große Änderungen des
elektrischen Widerstandes der Struktur.
Die Möglichkeiten, den Effekt in einem Sensor für ein magnetisches Feld einzusetzen (und damit als einen neuen Typ von
Lesekopf in einer Computerfestplatte), wurden schnell durch
ein IBM Forschungsteam entdeckt, indem er zeigte, dass der
Effekt auch in polykristallinen Schichten auftritt.
Auf der Festplatte liegt die Information gespeichert vor in
Form von mikroskopisch kleinen Feldern mit verschiedenen
Magnetisierungsrichtungen. Die Information wird abgerufen,
indem ein Lesekopf die Festplatte abtastet und magnetische
Veränderungen registriert. Je kleiner und dichter mit Information gepackt die Festplatte ist desto kleiner und schwächer
werden auch die einzelnen magnetischen Felder. Desto empfindlicher muss damit der benötigte Lesekopf sein. Ein Lesekopf mit GMR-Effekt kann die sehr kleinen magnetischen
Veränderungen in genügend messbare Unterschiede beim elektrischen Widerstand umwandeln, und damit in Schwankungen
bei dem Strom, der vom Lesekopf ausgesendet wird.
29