12. ¨Ubung 40. Idealer Paramagnet II 41. Negative Temperaturen

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Institut für Theoretische Physik der
Universität zu Köln, Sommersemester 2016
Prof. Dr. Joachim Krug
Dr. Stefan Nowak
Theoretische Physik in 2 Semestern II
12. Übung
http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ss16/
Abgabe:
Dienstag, 12. Juli 2016 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
40. Idealer Paramagnet II
9+5=14 Punkte
In dieser Aufgabe soll der ideale Paramagnet aus Aufgabe 39 im kanonischen Formalismus
behandelt werden.
a) Zeigen Sie, dass die kanonische Zustandssumme des N -Spin Systems durch Z(N ) = Z(1)N
gegeben ist, wobei
Z(1) = eβE0 + e−βE0 = 2 cosh(βE0 )
die Zustandssumme des 1-Spin Systems ist.
Hinweis: Ersetzen Sie die Summe über die 2N Mikrozustände des Gesamtsystems durch N
Summen über die zwei Einstellmöglichkeiten der einzelnen Spins.
b) Berechnen Sie aus der Zustandssumme die freie Energie F und innere Energie E als Funktion
der Temperatur T . Vergleichen Sie den Ausdruck für E(T ) mit dem aus Aufgabe 39e).
41. Negative Temperaturen
6+5=11 Punkte
Wie das Beispiel des Paramagneten zeigt, können Systeme mit nach oben beschränkter Energie
Zustände negativer absoluter Temperatur aufweisen1 . Wie heiss ist ein System mit T < 0? Um
diese Frage zu beantworten, betrachten wir zwei Systeme mit Anfangstemperaturen T1 und T2 ,
die (durch einen quasistatischen Prozess) in Kontakt gebracht werden.
a) Bestimmen Sie die Richtung des Energieflusses zwischen den beiden Systemen, falls
(i) T1 > T2 > 0, (ii) T1 > 0 > T2 und (iii) 0 > T1 > T2 . Benutzen Sie dazu den zweiten
Hauptsatz in seiner differentiellen Form.
b) Welche ist die natürliche Anordnung der Temperaturachsen T > 0 und T < 0, wenn man
fordert, dass die Energie stets vom heisseren zum kälteren System fliessen soll?
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Negative absolute Temperaturen sind ein aktuelles Forschungsthema, siehe dazu den Link auf der VorlesungsWebseite.
42. Verteilungen minimalen Vorurteils
7+4+5=16 Punkte
Die Entropie eines Systems mit Ω Mikrozuständen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit pn (mit
n = 1, . . . , Ω) besetzt werden, ist durch
S = −kB
Ω
X
pn ln pn
(1)
n=1
definiert. Die den Mikrozuständen entsprechenden Energien seien mit E1 , . . . , EΩ bezeichnet. In
dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass die Entropie von der mikrokanonischen bzw. kanonischen
Verteilung maximiert wird.
a) Zeigen Sie für zwei beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen pn und πn , dass die Ungleichung
S = −kB
Ω
X
n=1
pn ln pn ≤ −kB
Ω
X
pn ln πn
(2)
n=1
gilt.
Hinweis: Verwenden Sie die Ungleichung ln x ≤ x − 1, die für alle x P
> 0 gilt. P
Nutzen Sie
weiterhin aus, dass Wahrscheinlichkeitsverteilungen normiert sind, d.h. n pn = n πn = 1.
b) Zeigen Sie unter Verwendung von Gleichung (2), dass die mikrokanonische Wahrscheinlichkeitsverteilung unter allen Verteilungen die größte Entropie besitzt.
c) Zeigen Sie analog zu b), dass die kanonische Verteilung unter allen Verteilungen mit gleichem
Energiemittelwert die größte Entropie besitzt.
43. Freie Energie
9 Punkte
Die freie Energie F eines Systems von N gleichen Teilchen im Volumen V sei gegeben durch:
h
i
F (T, V ) = −N kB T log(C0 V a ) + log C1 (kB T )b ,
wobei a und b dimensionslose positive Konstanten sind. Die Konstanten C0 und C1 stellen sicher,
dass der Ausdruck dimensionsmäßig konsistent ist. Berechnen Sie
(i) die Entropie S = S(T, V ),
(ii) den Druck P = P (T, V ),
(iii) die (innere) Energie E = E(T, V ),
(iv) die Wärmekapazität CV und
(v) die isotherme Kompressibilität κT .
Welche Werte haben a und b im Falle des idealen Gases?
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