XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung

N.BORGHINI
Elektrodynamik in Materie
Theoretische Physik IV
XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung
In diesem Kapitel werden einige Aspekte der Phänomenologie der Supraleitung vorgestellt, mit
einem Akzent auf den „Theorien“ — eigentlich sollten sie Modelle genannt werden —, die vor
der Entwicklung der Bardeen–Cooper–Schriefer- (BCS-)Theorie vorgeschlagen wurden, um gewisse
Phänomene zu reproduzieren.
Für „konventionelle“ Supraleiter — d.h. solche, die durch die BCS-Theorie erklärt werden —
sind die hiernach skizzierten Beschreibungen nur geschichtlich interessant, denn man verfügt
jetzt über eine bessere Theorie. Für die nach 1986 entdeckten „Hochtemperatursupraleiter“ und
die seit 2008 gefundenen Pniktiden ist die endgültige Theorie noch nicht klar, so dass die phänomenologische Beschreibung interessant bleibt.
XIV.1 Phänomene der Supraleitung
XIV.1.1 Einige experimentelle Ergebnisse
Bei einigen Substanzen findet bei einer bestimmten tiefen Temperatur Tc ein Phasenübergang
statt. Im neuen Zustand weist das Material neue Eigenschaften auf:
• Wie es Kamerlingh Onnes (1911) in Quecksilber unter Tc = 4, 2 K entdeckt hat,74 verschwindet
der (stationäre) spezifische elektrische Widerstand — anders gesagt divergiert die elektrische
Leitfähigkeit σel. —, so dass ein elektrischer Strom auch ohne angewandte Spannung fließen
kann.
Da dieser Strom keine Energie durch Ohm’sche Dissipation abgibt, fließt er prinzipiell andauernd. Experimentell wurde für die typische Zeitkonstante für das Abklingen solcher Ströme
eine untere Schranke von 105 Jahre abgeschätzt [35].
Diesem Phänomen nach wird der Zustand als supraleitend bezeichnet.
• Das magnetische Feld — genauer, die magnetische Flussdichte — innerhalb des Materials
~ = ~0, auch wenn das Material in einem äußeren Feld aufgestellt ist. Dieser
verschwindet B
Meißner–Ochsenfeld-Effekt wird hiernach weiter diskutiert (Paragraph XIV.1.2 a).
• Der magnetische Fluss durch einen supraleitenden Ring wird quantisiert, d.h. kann nur diskrete
Werte annehmen (Paragraph XIV.3.3 c).
Bemerkungen:
∗ An manchen Orten liest man, dass es in Supraleitern keine thermoelektrische Effekte — wie z.B.
die Induktion einer elektromotorischen Kraft bzw. eines elektrischen Stroms durch einen Temperaturgradienten (Seebeck-Effekt) — gibt. Dies ist aber nicht der Fall, vgl. die Diskussion in Abschn. IV
von V. Ginzburgs Nobel Lecture [36].
∗ Eine wichtige experimentelle Beobachtung, die bei der Entwicklung der BCS-Theorie geholfen
hat, ist die Abhängigkeit der Sprungtemperatur Tc nach der isotopischen Zusammensetzung der
Substanz [37, 38]. Somit spielen nicht nur die supraleitenden Ladungsträger eine Rolle, sondern
auch die Struktur des kristallinen Gitters, in dem sie sich bewegen.
XIV.1.2 Supraleitung in Anwesenheit eines äußeren magnetischen Feld
Schon 1914 beobachtete Kamerlingh Onnes,74 dass Materiale nicht in ihren supraleitenden Zustand gebracht werden können, falls sie in einem zu starken äußeren magnetischen Feld sind. Somit
74
Zur Geschichte der ersten Jahre der Supraleitung s. Ref. [34], wo die Artikel von Kammerlingh Onnes zitiert sind.
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lässt sich das Phasendiagramm solcher Substanzen günstig in der Magnetfeld-Temperatur-Ebene
darstellen. Dabei ist aber ein wichtiges Phänomen zu berücksichtigen, und zwar der Meißner–
Ochsenfeld-Effekt.
XIV.1.2
a Meißner–Ochsenfeld-Effekt
::::::::::::::::::::::::::::::::::::
~ aus dem
Meißner und Ochsenfeld haben 1933 entdeckt, dass die magnetische Flussdichte B
Inneren eines in einem Magnetfeld aufgestellten Supraleiters verdrängt wird [39]. Somit sind Supraleiter „perfekte Diamagnete“ mit der magnetischen Suszeptibilität χm = −1, entsprechend einer
~ = −H
~ und daher B
~ = µ0 ( H
~ +M
~ ) = ~0.
Magnetisierung M
Auf den ersten Blick könnte der Effekt nur als eine „triviale“ Folge der Lenz-Regel aussehen. Dafür kann man ein erstes Experiment betrachten, in dem die Substanz zunächst in den supraleitenden
Zustand bei Null magnetischem Feld abgekühlt wird. Wird ein äußeres Magnetfeld — charakteri~ — dann eingeschaltet, so bleibt die Flussdichte im
siert durch dessen magnetische Feldstärke H
Supraleiter Null. Das Ergebnis dieses Experiments lässt sich „klassisch“ erklären: der Lenz-Regel
nach werden Ströme innerhalb des Supraleiters induziert, die wegen der unendlichen Leitfähigkeit
~ ausgleichen können.
nicht gedämpft werden, und somit die magnetische Flussdichte B
Ein zweites Experiment zeigt aber, dass diese Erklärung des Meißner–Ochsenfeld-Effekts nicht
~ ext angelegt.
gilt. Sei das Material jetzt bei T > Tc in einem nicht-verschwindenden äußeren Feld H
~ 6= ~0 im
Da die Substanz in ihren „normalen“ Zustand ist, ist sie kein perfektes Diamagnet, d.h. B
~ ext ab,
Material. Kühlt man dann das Material in dessen supraleitenden Zustand bei konstantem H
~ = ~0, was sich nicht mit der Lenz-Regel erklärt lässt, denn das äußere Magnetfeld
so wird plötzlich B
hat sich nicht geändert.
Somit ist der Meißner–Ochsenfeld-Effekt keine „einfache“ Folge der Supraleitfähigkeit, sondern
er spiegelt eine grundlegende Eigenschaft wider. Die gute Idee zur Beschreibung der Supraleitung
besteht eher darin, das supraleitende Verhalten durch die magnetischen Eigenschaften zu erklären.
~ etwa 0, 1 µm tief in das
Genauere Untersuchung zeigen, dass die magnetische Flussdichte B
Material eindringen kann. Diese messbare Längenskala wird als (London-)Eindringtiefe bezeichnet,
entsprechend der typischen Länge für die Abschirmung der magnetischen Flussdichte.
Bemerkung: Experimentell wurde gefunden, dass die Eindringtiefe stark von der Konzentration
von Verunreinigungen im supraleitenden Material abhängt. Dagegen hängt die Sprungtemperatur
nicht davon ab.
XIV.1.2
b Kritische Feldstärke
::::::::::::::::::::::::::::::
Wie bereits erwähnt gibt es für Materiale mit einer supraleitenden Phase eine kritische magnetische Feldstärke Hc , entsprechend dem maximalen äußeren Feld, das den Übergang zur Supraleitfähigkeit erlaubt.
Genauer existieren zwei Arten von Supraleitern:
Bei Supraleitern vom Typ I gibt es für eine gegebene Temperatur T ≥ Tc eine einzige kritische
Feldstärke Hc (T ): unterhalb dieses Feldes ist das Material supraleitend und perfekt diamagnetisch;
oberhalb Hc (T ) hat es eine endliche Resistivität und „normale“ magnetische Eigenschaften:
H 6
Hc,0
normal
"
Hc (T ) ' Hc,0 1 −
Supraleiter
T
Tc
2 #
.
-
Tc
T
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In einem nicht Null magnetischen Feld ist der Phasenübergang erster Ordnung, d.h. latente
~ = ~0 — in
Wärme wird am Übergang ausgetauscht. Dagegen ist der Übergang kontinuierlich für H
der Ehrenfest-Klassifikation ist er zweiter Ordnung, denn die Wärmekapazität ist unstetig.
Supraleiter vom Typ II besitzen zwei kritische Feldstärken Hc,1 (T ) < Hc,2 (T ) für eine gegebene
Temperatur T < Tc . Unter Hc,1 (T ) ist das Material in einer „Meißner-Phase“ mit vollständigem
perfektem Diamagnetismus und verschwindender elektrischer Leitfähigkeit. Zwischen Hc,1 (T ) und
Hc,2 (T ) ist das Material noch supraleitend, doch der Meißner-Ochsenfeld-Effekt ist unvollständig:
das äußere Magnetfeld kann den Supraleiter innerhalb dünner Wirbel durchdringen, wie durch
Abrikosow vorhergesagt wurde [40], so dass die Phase nicht mehr homogen ist. Man spricht von
einer gemischten oder Schubnikow-Phase. Oberhalb Hc,2 (T ) ist das Material in dessen normalen
Phase.
H 6
Hc,2 (T )
normal
gemischter
Zustand
~ ~
Hc,1 (T ) B 6= 0
Supraleiter
~ = ~0
B
-
Tc
T
XIV.2 Erste Beschreibungen: London- & Pippard-Theorien
XIV.2.1 London-Theorie
Um die damals bekannten Phänomene zu beschreiben, haben Fritz & Heinz London 1935 eine
konstitutive Gleichung für die Stromdichte in einem Supraleiter vorgeschlagen [41]
e2 n e,S ~
J~S (~r) = −
A(~r),
me
(XIV.1)
wobei n e,S die Dichte der Elektronen, die zur Supraleitung beitragen,75 bezeichnet. Diese Dichte
wird aber nicht durch das Modell bestimmt.
~ · J~S (~r) = 0. Die konstitutive BezieIm stationären Zustand lautet die Kontinuitätsgleichung ∇
~ · A(~
~ r) = 0 für das Vektorpotential, die in diesem
hung (XIV.1) liefert dann die Eichbedingung ∇
76
Kontext als London-Eichung bezeichnet wird. Somit ist die Eichung in Gl. (XIV.1) schon fixiert.
Bemerkung: Die Gebrüder London führten auch eine zweite konstitutive Gleichung ein, die nur im
nicht-stationären Fall eine Rolle spielt, und das elektrische Feld in Beziehung mit der Stromdichte
setzt. Diese Relation wird hier nicht weiter erwähnt.
Mit der Stromdichte (XIV.1) lautet die stationäre Maxwell–Ampère-Gleichung
2
~ × B(~
~ r) = µ0 J~S (~r) = − e n e,S A(~
~ r).
∇
0 me c2
Bildet man die Rotation dieser Identität, so ergibt sich
2
~ × ∇
~ × B(~
~ r) = ∇
~ ∇
~ · B(~
~ r) − 4B(~
~ r) = − e n e,S B(~
~ r),
∇
0 me c2
75
76
Diese Elektronen werden hiernach der Kürze halber „supraleitende Elektronen“ genannt.
In Kap. VII hieß sie Coulomb-Eichung.
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d.h. unter Berücksichtigung der Maxwell–Thomson-Gleichung
~ r) −
4B(~
e2 n e,S ~
B(~r) = ~0.
0 me c2
(XIV.2)
Die physikalisch relevanten Lösungen zu dieser Gleichung sind exponentiell abnehmende Funktionen,
die die Abschirmung der magnetischen Flussdichte mit der typischen Längenskala
r
0 me
c
λL = c
=
(XIV.3)
e2 n e,S
ωP
beschreiben. Dies entspricht also genau der Eindringtiefe des magnetischen Feldes.
In der zweiten Identität ist ωP die Plasmafrequenz [Gl. (XIII.16b)] assoziiert mit den supraleitenden Elektronen. Ist die Letztere im Ultraviolett, so ist λL der Ordnung 0,1 µm, wie in Experimenten.
Die London-Eindringtiefe (XIV.3) hängt nicht von den Verunreinigungen im Supraleiter ab,
sondern nur von den Elektronen. Nach der Entdeckung des Einflusses dieser Verunreinigungen war
es daher notwendig geworden, eine neue Längenskala und somit neue Modelle einzuführen.
XIV.2.2 Pippard-Theorie
Eine solche zweite Längenskala ist insbesondere in der durch Pippard entwickelten Beschreibung
zu finden [42]. Dabei handelt es sich um eine nicht-lokale Theorie für das stationäre Regime, in der
die Stromdichte in einem Punkt ~r nicht nur vom Vektorpotential im gleichen Punkt abhängt, sondern
von dessen Werte in einem Bereich der typischen Größe ξ um den Punkt:
Z 0 · A(~
2n
~ r 0 ) ~r − ~r 0
~
r
−
~
r
3e
0
e,S
J~S (~r) = −
e−|~r−~r |/ξ d3~r 0 .
(XIV.4)
4πξ0 me
|~r − ~r 0 |4
Die neue Längenskala ξ heißt Kohärenzskala.
Für die Letztere hat Pippard den Ansatz
1
1
1
=
+
ξ
ξ0 α`mfp
(XIV.5)
vorgeschlagen. Dabei bezeichnet `mfp die mittlere freie Weglänge der Elektronen im Supraleiter,
die von der Konzentration an Verunreinigungen anhängt, während α eine phänomenologische Zahl
der Ordnung 1 ist — in Messungen an supraleitendem Zinn mit Indium-Verunreinigungen wurde
α = 0.80 gefunden. ξ0 ist die Kohärenzskala im reinen Supraleiter, d.h. formell für `mfp → ∞.
~ konstant ist oder langsam variiert, findet man die Stromdichte der LondonBemerkung: Wenn A
Theorie wieder, mit einem Faktor ξ/ξ0 in der konstitutiven Gleichung.
Je nach den Werten der zwei Längenskalen λL und ξ ergeben sich unterschiedliche Möglichkeiten77
• für λL ξ ergibt sich die London-Theorie für einen Supraleiter mit lokalen Eigenschaften;
dies entspricht Supraleitern vom Typ II.
• für ξ λL ist der Supraleiter nicht-lokal, was dem Typ I entspricht.
Der Ausdruck (XIV.4) der Stromdichte J~S (~r) stellt ein Faltungsprodukt dar: Durch räumliche
Fourier-Transformation ergibt sich dann eine lokale Beziehung im reziproken Raum, der Art
~
˜
~˜ q ),
µ0 J~S (~q) = −~K(~q) · A(~
(XIV.6)
~
wo der Faktor µ0 konventionell von der tensoriellen Antwortfunktion ~K(~q) ausfaktorisiert wurde.
77
Tatsächlich sollte λL in dieser Diskussion durch eine verwandte Skala λ ersetzt werden, die Funktion von λL , ξ0
und ξ ist.
XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung
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Im nicht-stationären Fall verallgemeinert sich die Beziehung (XIV.6) auf
~
˜
~˜ ~q),
µ0 J~S (ω, ~q) = −~K(ω, ~q) · A(ω,
(XIV.7)
mit einer Frequenz-abhängigen Antwortfunktion.
~ = ~0, entsprechend nach Fourier-Transformation ~q = ~0) Material gilt
In einem homogenen (∇
~
~ ~r) = − ∂ A(t, ~r) d.h. E(ω,
~˜ ~q = ~0) = iω A(ω,
~˜ ~q = ~0),
E(t,
∂t
so dass die Gl. (XIV.7) zur Relation
i~
˜
~˜ ~q = ~0),
µ0 J~S (ω, ~q = ~0) = ~K(ω, ~q = ~0) · E(ω,
ω
führt. Dies gibt für die elektrische Leitfähigkeit — oder genauer, für den Leitfähigkeitstensor
~
i~K(ω, ~q = ~0)
~
~σel. (ω) =
.
µ0 ω
~
Im einfachsten Fall nimmt ~K(ω, ~q = ~0) einen endlichen Wert im stationären Limes ω → 0 an, so dass
die Leitfähigkeit in diesem Limes divergiert, entsprechend gerade dem Phänomen der Supraleitfähigkeit.
Bei dem Meißner–Ochsenfeld-Effekt handelt es sich im Gegensatz um einen statischen Effekt —
entsprechend dessen Unterschied mit der Lenz-Regel — tief im Inneren des Supraleiters, der sich
also durch das Verhalten der Antwortfunktion für ω = 0 und |~q| → 0 beschreiben lässt. Dies wird
also durch
~
lim ~K(ω = 0, ~q) 6= 0
|~
q |→0
bestimmt. Interessanterweise können die für Supraleitfähigkeit und für den Meißner–OchsenfeldEffekt relevanten Grenzwerte der Antwortfunktion unterschiedlich sein, z.B. im Fall eines Gases von
freien Elektronen.
XIV.3 Ginzburg–Laudau-Theorie
Basierend auf der Landau-Theorie der Phasenübergänge, deren Grundlagen in Abschn. XIV.3.1
kurz vorgestellt werden, haben Ginzburg78 und Landau selber eine Theorie der Supraleitung entwickelt (Abschn. XIV.3.2).
XIV.3.1 Landau-Theorie der Phasenübergänge
Phasenübergänge sind oft charakterisiert durch die Brechung einer Symmetrie sowie durch die
Entstehung eines nichtverschwindenden Parameters, des Ordnungsparameters. Der Letztere ist null
in der einen, „ungeordneten“ Phase — entsprechend üblicherweise der Phase, die bei höheren Temperaturen stabil ist — und nicht-null in der anderen Phase, die „mehr Ordnung“ aufweist.
Ein Beispiel davon die Magnetisierung beim ferromagnetischen Phasenübergang. Unter der
Sprungtemperatur Tc nimmt diese Magnetisierung einen endlichen Wert, entsprechend der Ausrichtung von mikroskopischen Spins entlang einer bestimmten Achse. Oberhalb Tc wirkt die
thermische Bewegung der Neigung der Spins, sich auszurichten, entgegen, so dass die Magnetisierung null wird.
Um diese Phänomene zu reproduzieren hat Landau (1937) vorgeschlagen, die Taylor-Entwicklung
der freien Energie in Potenzen des Ordnungsparameters η zu betrachten:79
β(T ) 4
η + ···
(XIV.8)
F (η, T ) = F0 (T ) + α(T )η 2 +
2
78
Heute wird sein Namen in Deutsch eher als Ginsburg geschrieben, hier wird nichtsdestotrotz die englische Schreibweise benutzt.
79
Eine englische Übersetzung des originalen Artikels ist in Ukr. J. Phys. 53 (2008) 25–35 (special issue) zu finden.
XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung
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Dabei können ungerade Potenzen oft aus Symmetrie- oder Analytizitätsgrunden ausgeschlossen
werden.
Wie immer ist die freie Energie im stabilen Zustand minimal. Führt man diese Minimierung bei
fester Temperatur durch, so findet man den Ordnungsparameter. Damit das Minimum von F (T, η)
für einen nicht-unendlichen Wert von η erreicht wird, soll β(T ) positiv sein.
Ist α(T ) auch positiv, so ist die freie Energie (XIV.8) minimal für η = 0, entsprechend der ungeordneten Phase. Für α(T ) < 0 wird
p das Minimum der freien Energie für einen endlichen Wert von η
erreicht — und zwar für η = ± −α(T )/β(T ) —, d.h. das System befindet sich in der geordneten
Phase. Die zugehörige freie Energie lautet
s
α(T )2
α(T )
F T, η = −
≡ Fη (T ) = F0 (T ) −
.
(XIV.9a)
β(T )
2β(T )
Natürlich ist diese freie Energie kleiner als F0 (T ), die die freie Energie der ungeordneten Phase bei
der gleichen Temperatur ist.
Daraus folgert man die Differenz der Entropien der geordneten und ungeordneten Phase
1 ∂ α(T )2
∂ Sη (T ) − S0 (T ) = −
,
(XIV.9b)
Fη (T ) − F0 (T ) =
∂T
2 ∂T β(T )
sowie die Differenz der Wärmekapazitäten
T ∂ 2 α(T )2
∂ Cη (T ) − C0 (T ) = T
Sη (T ) − S0 (T ) =
.
∂T
2 ∂T 2 β(T )
(XIV.9c)
Bemerkungen:
∗ Damit die Taylor-Entwicklung (XIV.8) Sinn macht, soll der Ordnungsparameter η klein sein, d.h.
die Landau-Theorie beschreibt nur die Physik in einer Nachbarschaft des Phasenübergangs. Zum
anderen treten bei kontinuierlichen Phasenübergängen Fluktuationen auf, die am kritischen Punkt
groß werden, so dass der Ordnungsparameter nicht mehr als klein betrachtet werden kann und
die Landau-Theorie bricht aus. Tatsächlich hat Ginzburg gezeigt, dass im Fall des supraleitenden
Phasenübergangs der Bereich um Tc , wo Fluktuationen wichtig sind, durch |T − Tc |/Tc . 10−12
gegeben ist: die Landau-Theorie bleibt also eine gute Beschreibung!
∗ In Gl. (XIV.8) werden nur die 2. und 4. Ordnung in η berücksichtigt, was fast automatisch — und
zwar mit den „minimalen Ansätzen“ (XIV.10a) für die Koeffizienten der Entwicklung — zu einem
Phasenübergang 2. Ordnung führt. Um Phasenübergänge 1. Ordnung zu beschreiben, betrachtet
man auch die Ordnung η 6 mit einem positiven Koeffizient, während der Koeffizient des Terms η 4
als negativ angenommen wird.
XIV.3.2 Ginzburg–Landau-Gleichungen
Eine fantastische Intuition von Ginzburg und Landau war, einen komplexwertigen Ordnungsparameter Ψ — der eine „effektive Wellenfunktion der supraleitenden Elektronen“ darstellt — für
die supraleitende Phase anzunehmen.
Hiernach wird die freie Energie in der supraleitenden bzw. „normalen“ Hoch-Temperatur-Phase
als FS (T ) bzw. FN (T ) bezeichnet.
XIV.3.2
a Supraleiter mit konstantem Ordnungsparameter in einem Null magnetischen Feld
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Um einen Phasenübergang bei der Temperatur Tc zu beschreiben, soll der Koeffizient α(T ) in
Gl. (XIV.8) sein Zeichen bei Tc ändern, während die einzige Bedingung für β(T ) einfach β(T ) > 0
ist. Die einfachsten Funktionen, die diese Forderungen erfüllen, sind
(
α(T ) = α0 × (T − Tc ), mit α0 > 0
(XIV.10a)
β(T ) ≡ β = Konstante.
XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung
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Diese Annahmen führen für die freie Energie zu80
FS (Ψ, T ) = FN (T ) + α0 (T − Tc )|Ψ|2 +
β 4
|Ψ| + · · ·
2
(XIV.10b)
In der supraleitenden Phase mit T ≤ Tc ergibt sich dann
1/2 p
α0
Tc − T ,
|Ψ| =
β
d.h. [vgl. Gl. (XIV.9a)]
FS (Ψ, T ) − FN (T ) = −
α02
(T − Tc )2 .
2β
(XIV.11a)
Diese Differenz ist negativ, so dass die supraleitende Phase tatsächlich stabiler ist als die normale
Phase. Die zugehörige Entropiedifferenz ist [vgl. Gl. (XIV.11c)]
SS (T ) − SN (T ) =
α02
(T − Tc ).
β
(XIV.11b)
Insbesondere verschwindet die latente Wärme L ≡ T [SS (T ) − SN (T )] an der Sprungtemperatur, so
dass der Phasenübergang nicht erster Ordnung ist.81 Schließlich lautet die Differenz der Wärmekapazitäten an der Sprungtemperatur
CS (Tc ) − CN (Tc ) =
α02
Tc .
β
(XIV.11c)
Diese Differenz verschwindet nicht, d.h. die Wärmekapazität ist unstetig bei Tc .81
XIV.3.2
b Supraleiter mit räumlich variierendem Ordnungsparameter in einem Null Magnetfeld
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Ist der Ordnungsparameter nicht gleichförmig im Supraleiter, sondern ortsabhängig: Ψ(~r), so
treten weitere Terme proportional zu (Potenzen) dessen Gradienten in der freien Energie auf. Im
~ r) wichtig. Dann lautet die
Fall, wo Ψ(~r) langsam variiert, ist nur die niedrigste Ordnung in ∇Ψ(~
freie Energie im Supraleiter
Z 2 3
β
2
4
~
FS T, Ψ(~r) = FN (T ) +
α(T )|Ψ(~r)| + |Ψ(~r)| + γ(T ) ∇Ψ(~r) d ~r,
(XIV.12)
2
mit einem positiven Koeffizient γ(T ), damit die freie Energie FS minimal für einen gleichförmigen
Ordnungsparameter sei.
Dieses Minimum lässt sich durch Variation bezüglich die unabhängigen Variablen T , Ψ(~r) und
2 ∗
~ r) ∇Ψ
~ ∗ (~r) findet man durch partielle Integration,82 dass die
Ψ (~r) finden. Mit ~
∇Ψ(~r) = ∇Ψ(~
Forderung
δ FS T, Ψ(~r) − FN (T ) = 0
∗
δΨ (~r)
zur Bedingung
α(T )Ψ(~r) + β|Ψ(~r)|2 Ψ(~r) − γ(T )4Ψ(~r) = 0
(XIV.13a)
führt. Dies hat die Form einer nicht-linearen Schrödinger-Gleichung, insbesondere wenn man γ(T )
als ~2 /2m? schreibt:
~2
2
−
4 + β|Ψ(~r)| Ψ(~r) = −α(T )Ψ(~r).
(XIV.13b)
2m?
Genauer handelt es sich um die Eigenwertgleichung für eine stationäre Gross–Pitajewski-Gleichung,
d.h. eine verallgemeinerte Schrödinger-Gleichung für eine selbstwechselwirkende Wellenfunktion.
80
Hier sieht man, dass Terme ungerader Ordnung eine nicht-analytische freie Energie geben würden.
In der Ehrenfest-Klassifikation ist der Phasenübergang zweiter Ordnung, denn die erste Unstetigkeit tritt bei
einer zweiten Ableitung der freien Energie auf.
82
~
~ ∗ (~r) = ∇[Ψ
~ ∗ (~r)∇Ψ(~
~
~
Man schreibt z.B. ∇Ψ(~
r) ∇Ψ
r) − Ψ∗ (~r)4Ψ(~r) und argumentiert, dass Ψ∗ (~r)∇Ψ(~
r) an
den Wänden des Supraleiters verschwindet.
81
XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung
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Für kleine Ordnungsparameter — entsprechend z.B. der Situation in der Nachbarschaft eines
Punkts, wo Ψ(~r) verschwindet — kann man Gl. (XIV.13b) linearisieren. Unter Verwendung von
α(T ) = −|α(T )| wenn T < Tc kommt
~2
4Ψ(~r) + Ψ(~r) = 0.
2m? |α(T )|
Somit ist eine typische Längenskala für die Variationen des Ordnungsparameters die Ginzburg–
Landau-Kohärenzlänge
~
ξ(T ) ≡ p
,
(XIV.14)
2m? |α(T )|
oder äquivalent ξ(T )2 = γ(T )/|α(T )|. Diese Kohärenzskala entspricht derjenigen, die in der PippardTheorie auftritt. Mit dem Ansatz (XIV.10a) für α(T ) gilt ξ(T ) ∝ (T − Tc )−1/2 .
XIV.3.2
c Supraleiter in einem magnetischen Feld
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Ist der Supraleiter jetzt in einem stationären äußeren magnetischen Feld, charakterisiert durch
~ r), so müssen dessen Beiträge zur freien Energie berücksichtigen:
die Flussdichte B(~
• Zum einen gibt es die Energie, die aus der Magnetisierung des Supraleiters entsteht. Diese
lautet
Z ~ 2
B(~r) 3
Eb =
d ~r.
(XIV.15)
2µ0
Hiernach werden die magnetischen Felder außerhalb des Materials mit ext. gekennzeich~ ext. lautet die
net, solche innerhalb des Materials ohne Index. In einem homogenen Feld B
Variation der magnetischen Energiedichte im supraleitenden Material
~ · dB
~ ext. = H
~ · d µ0 H
~ ext. ,
deb = H
~ ext. ersetzt wurde. Ist keine Stromwobei die äußere Flussdichte (im Vakuum) durch µ0 H
~ =H
~ ext..
dichte vorhanden, so ist die Feldstärke stetig an der Oberfläche des Materials d.h. H
Die Integration von Null bis zu einem endlichen Wert des Feldes gibt dann für die (lokale)
~ 2 = µ0 H
~ 2 , woraus Gl. (XIV.15) sofort folgt.
Energiedichte µ0 H
ext.
• Zum anderen soll der Gradient in Gl. (XIV.12) durch einen eichkovarianten Gradienten83
ersetzt werden:
?
~ r),
~ →∇
~ + iq A(~
∇
~
~ r) das Vektorpotential bezeichnet. Dabei ist q ? die effektive Ladung des Teilchens,
wobei A(~
dessen Wellenfunktion der Ordnungsparameter darstellt.
In einem magnetischen Feld ist der kanonische Impuls einer Punktladung q nicht gleich
~ = p~ + q A(~
~ r) gegeben, vgl. Gl. (VIII.7). Dazu
deren kinetischen Impuls p~, sondern durch Π
~ und dem kanonischen Impuls verwendet.
wird die Korrespondenz zwischen −i~∇
Insgesamt wird Gl. (XIV.12) also ersetzt durch
~ r) − FN (T ) =
FS T, Ψ(~r), A(~
2
Z ~ r)2 β
q? ~
B(~
2
4
~
d3~r.
α(T )|Ψ(~r)| + |Ψ(~r)| + γ(T ) −i ∇ + A(~r) Ψ(~r) +
2
~
2µ0
(XIV.16)
Im Gleichgewichtszustand bei gegebener Temperatur ist die freie Energie des Supraleiters oder
~ r).
äquivalent die Differenz (XIV.16) minimal unter Variationen von Ψ(~r), Ψ∗ (~r) und A(~
~ r) → A(~
~ r) − ∇χ(~
~ r) tranformiert sich die Wellenfunktion Ψ(~r) für ein Teilchen der
In einer Eichtransformation A(~
iqχ(~
r )/~
~
~
Ladung q in Ψ(~r) e
. Dann ist [−i~∇ + q A(~r)]Ψ(~r) eichinvariant.
83
XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung
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Zunächst führt die Forderung der Invarianz unter kleine Variationen δΨ∗ (~r) zur Bedingung
2
?
q
2
~ + A(~
~ r) Ψ(~r) = 0.
α(T )Ψ(~r) + β|Ψ(~r)| Ψ(~r) + γ(T ) −i ∇
(XIV.17a)
~
Diese Gleichung entspricht natürlich dem Ersetzen des Gradienten durch dessen eichkovariante
~ r) unter
Version in Gl. (XIV.13a). Dann liefert die Minimierung der freien Energie bezüglich A(~
~
~
~
Verwendung von ∇ × B(~r) = µ0 Js (~r) die zweite Gleichung
?2 2q ? γ ∗ ~
~ ∗ (~r) − q γ Ψ(~r)2 A(~
~ r).
J~s (~r) =
Ψ (~r) ∇Ψ(~r) − Ψ(~r) ∇Ψ
i~
~2
(XIV.17b)
Die Gleichungen (XIV.17a) und (XIV.17b) werden als Ginzburg–Landau-Gleichungen bezeichnet.
~2
Mit γ(T ) ≡
lassen sie sich umschreiben als
2m?
2
iq ? ~
~2 ~
∇+
A(~r) Ψ(~r) + α(T )Ψ(~r) + β|Ψ(~r)|2 Ψ(~r) = 0
(XIV.18a)
−
2m?
~
und
?2 q?~ ∗ ~
~ r).
~ ∗ (~r) − q Ψ(~r)2 A(~
(XIV.18b)
J~s (~r) =
Ψ
(~
r
)
∇Ψ(~
r
)
−
Ψ(~
r
)
∇Ψ
?
?
2im
m
Diese Gleichungen sind die gleichen, wie für ein Teilchen mit Masse m? und Ladung q ? , beschrieben
durch die Wellenfunktion Ψ(~r).
XIV.3.3 Folgerungen der Ginzburg–Landau-Gleichungen
XIV.3.3
a Homogene Lösungen
:::::::::::::::::::::::::::::::
Sucht man nach gleichförmigen Lösungen der Gl. (XIV.18b) mit Null-Stromdichte, so ergibt sich
~ = ~0, entsprechend der supraleitenden Phase, oder |Ψ|2 = 0, entsprechend der normalen
entweder A
Phase.
Für den ersteren Fall führt dann Gl. (XIV.18a) zum schon gefundenen Gleichgewichtswert
s
−α(T )
|Ψ| =
(XIV.19)
β
des Ordnungsparameters.
XIV.3.3 b Längenskalen
Neben der schon gefunden Kohärenzlänge ξ(T ), Gl. (XIV.14), besitzen die Ginzburg–LandauGleichungen eine zweite charakteristische Längenskala. Wenn man die Annahme eines Ordnungsparameters mit konstantem Betrag macht,
::::::::::::::::::::::::
Ψ(~r) = Ψ0 eiϕ(~r)
mit Ψ0 ∈ R,
(XIV.20)
so lautet die supraleitende Stromdichte
q?~ 2 ~
q? ~
~
JS (~r) = ? Ψ0 ∇ϕ(~r) − A(~r) .
m
~
(XIV.21)
Bildet man die Rotation, so spielt der erste Term in den eckigen Klammern keine Rolle, und man
findet die London-Theorie wieder, mit der Identifikation
ne,S e2
q?2
= ? Ψ20 ,
me
m
d.h. für die London-Eindringtiefe
s
λL = c
XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung
0 m?
.
q ? 2 Ψ20
(XIV.22)
146
N.BORGHINI
Elektrodynamik in Materie
Theoretische Physik IV
Nimmt Ψ0 den Gleichgewichtswert (XIV.19), mit dem Ansatz (XIV.10a), so ergibt sich
s
0 m? β
λL (T ) = c
∝ (T − Tc )−1/2 .
q ? 2 |α(T )|
(XIV.23)
Der Ginzburg–Landau-Parameter wird definiert als das Verhältnis von der Kohärenzlänge zur
Eindringstiefe
λL (T )
m? c p
κ≡
=
20 β.
(XIV.24)
ξ(T )
~q ?
Dabei konnte Abrikosow zeigen, dass der Supraleiter sich wesentlich unterschiedlich
verhält, ob κ
√
kleiner oder größer
als
einen
bestimmten
Wert
ist.
Genauer
ist
für
κ
<
1/
2
der
Supraleiter
vom
√
Typ I, für κ > 1/ 2 vom Typ II.
XIV.3.3
c Quantisierung des magnetischen Flusses durch einen Ring
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Im Rahmen der Ginzburg–Landau-Theorie lässt sich ein Phänomen einfach erklären, und zwar
die Quantisierung des magnetischen Flusses durch einen supraleitenden Ring — die tatsächlich
schon durch F.London (1950) lange vor den ersten Messungen [43, 44] vorhergesagt wurde.
Sei C eine Kontour tief im Inneren eines dicken ringförmigen Supraleiters, in dem kein elektrischer Strom fließt. Es wird angenommen, dass der Betrag des Ordnungparameters den Gleichgewichtswert (XIV.19) annimmt, während dessen Phase variieren kann. Dann ist die supraleitende
Stromdichte durch Gl. (XIV.21) gegeben, so dass deren Zirkulation entlang der Kontour lautet
I
I
I
q?~ 2
q?
~
~
~
~
~ r) · d~`
JS (~r) · d` = ? Ψ0
∇ϕ(~r) · d` −
A(~
m
~
C
C
C
d.h.
q?~ 2
q?
0 = ? Ψ0 2nπ~ − ΦB~
m
~
mit n ∈ N. Somit genügt der magnetische Fluss ΦB~ durch die durch C abgegrenzte Fläche automatisch der Quantisierungsbedingung
2π~
ΦB~ = ? n.
q
Messungen der möglichen Werte dieses Flusses liefern dann die effektive Ladung q ? der Ladungsträger, die für Supraleitfähigkeit verantwortlich sind. In der Tat misst man
ΦB~ = nΦ0
mit Φ0 ≡
h
= 2, 0678 · 10−15 Wb
2e
dem Flussquant. Dies entspricht |q ? | = 2|e|, mit e der Elementarladung, und zeigt, dass Supraleitfähigkeit durch Elektronpaare vermittelt wird — in Übereinstimmung mit der BCS-Theorie.
Literatur
• Landau–Lifschitz Band VIII [4], Kapitel VI § 53–55 & Band IX [45] Kapitel V § 44–45 & 52–53.
XIV. Makroskopische Aspekte der Supraleitung
147