Komplexe Zahlen 3: Harmonische Schwingungen

Vorkurs Mathematik für EI
Prof. Dr. J. Dorfmeister
Thorsten Knott
TU München
WS 12/13
Komplexe Zahlen 3: Harmonische Schwingungen
1. Geben Sie für folgende Werte eine harmonische Schwingung der Form
(a) Frequenz:
(b) Periode:
(c)
ν = 0, 9,
T = 8π ,
Nullphase:
Nullphase:
α = 2,
α = 2π ,
s soll die y -Achse bei 4 schneiden,
s(t + π) = s(t) für alle t ∈ R
A = 2 (ν =
Amplitude:
Amplitude:
s(t) = A cos(ωt + α)
an.
ω
2π )
A = 0.5
den maximalen Wert
8
annehmen, und es soll gelten:
2. Bestimmen Sie die komplexe Kreisbewegung für die harmonischen Schwingungen
(a)
f (t) = π cos(2t + 3)
(b)
1
cos(πt + π2 )
f (t) = − 100
(c) Bestimmen Sie die komplexe Amplitude für die harmonischen Schwingungen aus (a) und (b).
3. Gibt es eine harmonische Schwingung mit Frequenz
1000
π und Periode
0, 01π 2 ?
Begründen Sie ihre
Antwort.
4.
(a) Sei
s(t) = A cos(ωt) eine harmonische Schwingung mit Nullphase
s. Entscheiden Sie welche Maxima und welche
Extrempunkte von
(b) Bearbeiten Sie a) für
gleich
0.
Berechnen Sie die
Minima sind.
s(t) = 2 cos(3t + π2 )
5. Welche der folgenden periodischen Funktionen sind harmonische Schwingungen? Wenn eine harmonische Schwingung vorliegt, dann bestimme man ihre Amplitude, Kreisfrequenz und Nullphase.
(a)
(b)
(c)
s(t) = π
s(t) = sin(5t) + cos(5t)
s(t) = sin2 (3t)
(d)
(e)
s(t) = 3 sin(2t) − 3 cos(2t + π6 )
s(t) = −2 cos(t)
6. Die ungestörte Überlagerung zweier gleichfrequenter Schwingungen des Typs
yi = Ai cos(ωt + ϕi )
für
i = 1, 2
ergibt wieder eine harmonische Schwingung des gleichen Typs, d.h.
y := y1 + y2 = A cos(ωt + ϕ)
mit
q
A = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ),
sin(ϕ)
A1 sin(ϕ1 ) + A2 sin(ϕ2 )
A
=
.
cos(ϕ)
A1 cos(ϕ1 ) + A2 cos(ϕ2 )
Dabei bestimmt die zweite Gleichung die Nullphase
ϕ.
Berechenen Sie die durch ungestörte Überlagerung entstehende Schwingung von
(a)
y1 = 4 cos(2t)
(b)
y1 = 5 cos(t + π)
und
y2 = 4 cos(2t − π6 ).
und
y2 = 7 sin(t − π4 ).
Zusatzaufgabe: Beweisen Sie die angegebene Formel mit Hilfe komplexer Zahlen, indem Sie die
komplexen Kreisbewegungen der beteiligten Schwingungen betrachten (eine Skizze kann helfen!).
7. Gegeben sei
s(t) = A cos(ωt + α).
Was für eine physikalische Interpretation lässt die Ableitung
zu? Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit eines Teilchens, das mit Amplitude
π
und Kreisfrequenz
π
2 schwingt.
1
4,
s0
Nullphase
8. Gegeben seien die Schwingung
Wenn sich
s1
und
gung eine Kurve in
s1
x-Achse
parallel zur
und die Schwingung
s2 überlagern, ist die resultierente
R2 mit der Gleichung
s1 (t)
s(t) =
.
s2 (t)
s2
parallel zur
y -Achse.
Schwin-
s1 (t) = cos(t) und
s(t) in ihren
der Geraden y = 0.
Berechnen Sie für die beiden Schwingungen
s2 (t) = cos(2t − π6 )
den Schnittwinkel der Kurve
Doppelpunkten und die Schnittpunkte mit
9. (Komplexe Zeiger) Hinweis: In dieser Aufgabe wird, wie in der Elektrotechnik oft üblich, die kom-
plexe Einheit als j geschrieben um Verwechslung mit der Stromstärke zu vermeiden
In der Schaltungstechnik gibt es das Gebiet der komplexen Wechselstromrechnung. Dort werden lineare Schaltungen betrachtet, die sinusoidal angeregt werden (Dabei gilt das Superpositionsprinzip).
Komplexe Zeiger dienen dort als Werkzeug um die Schaltung mit rein algebraischen Werkzeugen zu
analysieren, anstatt komplizierte Dierentialgleichungssysteme zu lösen. Allerdings kann mit dieser
Methode nur der eingeschwungene Zustand analysiert werden, d.h. erst wenn alle Einschwingvorgänge abgeschlossen sind.
Der komplexe Zeiger eines Signals
u(t) = A · cos(ωt + α)
ist als
U = A · ejα
α der Nullphasenwinkel
u(t) = Re(U ejωt ).
Dabei ist A die Amplitude und
also der Zusammenhang
in der Cosinusdarstellung von
Es sei folgender Zusammenhang zwischen dem komplexen Zeiger
dem komplexen Zeiger
Ua
der Ausgangsspannung
ua
deniert.
Ue
u(t);
der Eingangsspannung
es gilt
ue
und
gegeben (das nennt man eine Übertragungs-
funktion):
H(jω) :=
−jω
Ua
= 25s−1 · 8 −2
Ue
10 s − ω 2
(a) Bestimmen Sie die Ausgangsspannung
ua (t)
für die Eingangsspannung
ue (t) = 1V cos 1000s−1 · t +
(b) Bestimmen Sie die Ausgangsspannung
ua (t)
π
4
.
für die Eingangsspannung
ue (t) = 1V sin 8000s−1 · t +
π
2
.
(c) Geben Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse das reellwertige Ausgangssignal
ua (t)
an, falls am Eingang die Spannung
ue (t) = 1V cos 1000s−1 · t +
π
4
+ 1V cos 8000s−1 · t .
anliegt. Begründen Sie ihr Vorgehen kurz.
10. In den meisten Stromnetzen wird Drehstrom verwendet. Dabei gibt es neben dem Neutralleiter
noch drei weitere Leiter, deren Spannungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude, aber
2π
3 gegeneinander verschoben sind. Demnach liegen an den unterschiedlichen
Leitern die Spannungen
jeweils um die Phase
U1 (t) = U0 (cos(ωt) + i sin(ωt))
2
U2 (t) = U0 cos(ωt + π) + i sin(ωt +
3
4
U3 (t) = U0 cos(ωt + π) + i sin(ωt +
3
2
π)
3
4
π)
3
an. Zeigen Sie, dass sich zu allen Zeitpunkten die Summe der Spannungen neutralisiert, d.h.
U1 (t) + U2 (t) + U3 (t) = 0
für alle
t∈R
gilt.
2