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Einführung in die Experimentalphysik für
Chemiker und Biologen
13. Vorlesung – 13.7.07
Nadja Regner, Thomas Schmierer,
Gunnar Spieß, Peter Gilch
Lehrstuhl für BioMolekulare Optik
Department für Physik
Ludwig-Maximilians-Universität München
Informationen zur Klausur
Klausur findet am
6.8.07 von 10-12 Uhr im Liebig- und Buchner-Hörsaal statt.
Wiederholungsklausur am
12.10.07 von 11-13 Uhr im Liebig- und Buchner-Hörsaal
Hilfmittel:
• Taschenrechner
• mathematische Formelsammlung
• ein beidseitig handschriftlich beschriebenes DIN A4-Blatt
Biologen müssen sich bei Krankheit mit Attest entschuldigen.
Atteste bitte nur an an das Prüfungssekretariat!
Probeklausur mit Lösungen nächste Woche im Netz!
Erinnerung
cv = f (T )
M. Arndt et al.
Nature 401 (1999) 680
Wärmekapazität
Schwarzer Strahler
Welle-Teilchen-Dualismus
Lichtelektrischer
Effekt
Linienspektren
Chemische
Bindung
Grenzen der klassischen Physik
h
∆x • ∆p x ≥
2
Unschärfe-Relation
Hˆ ψ = Eψ
Schrödinger-Gleichung
Von der Welle zur
Quantisierung
Linienspektrum des H-Atoms
n=∞
n=7
n=6
n=5
n=4
n=3
Energie
Was heißt quantisiert?
Quantenzahlen
Experiment
Linienspektrum
n=2
n=1
Die diskreten Linien in den Spektren
von Atomen sind die Folge von
Übergängen zwischen stationären
Zuständen. Die Energie dieser
Zustände kann nur diskrete
Werte einnehmen – sie ist quantisiert!
Neben der Energie
können auch
weitere Größen
quantisiert sein,
z.B. der Drehimpuls!
s,p,d,f-Orbitale
Folge dieser
Quantisierung
Nicht quantisiert: Das freie Teilchen
Wir betrachten ein (mikroskopisches) Teilchen der Masse m, das sich im
kräftefreien Raum mit der Geschwindigkeit v bewegt.
Impuls des Teilchens:
Wellenlänge des Teilchens:
Energie des Teilchens:
Wellenfunktion
(Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gl.)
Teilchen nach links
h ∂ψ
−
= Hˆ ψ
i ∂t
Teilchen nach rechts
Re(Ψ(x)) [a.u.]
Aufenthaltwahrscheinlichkeit ψψ*
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Position xz [a.u.]
Position
[a.u]
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle:
Lichtwelle ⇔ Materiewelle
Licht
Eigenschaft
Wellenfunktion
Physikalische
Bedeutung der
Wellenfunktion
Was wird transportiert?
Phasengeschwindigkeit
im Vakuum
Materiewelle
Ein hilfreiches Modell:
Teilchen im Kasten
Die 1D-Bewegung des Teilchens sei jetzt durch zwei
„unendlich“ harte Wände beschränkt!
Klassisch wird das Teilchen an den beiden Wänden „reflektiert“ (elastischer
Stoß) und fliegt „für immer“ zwischen den Wänden hin und her.
Potenzielle Energie
0
a
z
Die Wellenfunktion des Teilchens im Kasten
Die Wellenfunktion ψ ist außerhalb des
Kastens gleich null.
Wegen Stetigkeit daher:
Experiment
Stehende Welle
Für die Einhüllende der stehenden Welle
haben wir folgende Gleichungen gefunden:
0
a
z
Der Normierungsfaktor N ergibt sich aus der Forderung, das das Teilchen
„irgendwo“ im Kasten sein muss.
Wellenlängen λn der stehenden Welle:
Betrag des Impulses (de-Broglie auf den Kopf gestellt):
Hˆ ψ = Eψ
Energie:
Ergibt sich auch beim Lösen
der Schrödinger-Gleichung!
Einschränkung der Bewegungsfreiheit eines Teilchens führt zu
Quantisierung der Energieniveaus!
Einiges zu gebundenen Zuständen
• die Energien En steigen mit der
Zahl der Knoten
• der Zustand n hat n-1Knoten
(wenn Zählung bei n=1 beginnt)
Die niedrigste Energie E1 ist
ungleich null.
Nullpunktsenergie!
Diese Nullpunktsenergie folgt aus der
Heisenbergschen Unschärfe-Relation.
Sie spielt bei der chemischen Bindung
eine große Rolle!
0
a
x
Siehe Übung!
2D- und 3D-Kästen
Das Teilchen im Kasten ist nicht nur ein „Spielzeugsystem“ – sondern
es lassen sich mikroskopische Objekte finden, deren Verhalten sich
gut genähert über das „Teilchen im Kasten“-Modell erklären lassen.
2D
Auf einer Cu-Oberfläche befindet sich
ein Ring aus 48 Fe-Atomen.
Innerhalb des Rings beobachtet man
mit einem Tunnelmikroskop eine
oszillierende Elektronendichte.
3D
Nanopartikel sind extrem kleine
oft kristalline Partikel, deren
Eigenschaften stark von ihrer Größe
abhängen.
Das Photo rechts zeigt die
Fluoreszenz von CdSe-Nanopartikeln
verschiedener Größe.
Kästen mit endlicher Tiefe:
Gebundene und ungebundene Zustände
V
Der Kasten habe jetzt
eine endliche
„energetische Tiefe“
(potenzielle Energie) V.
Gebundene Zustände:
a
Ungebundene Zustände:
Das Teilchen im „endlich tiefen Kasten“
dringt in klassisch verbotene Bereiche vor!
Tunneln
Der Radfahrer kann (ohne zu treten)
den Berg überwinden, wenn gilt:
a
V
Quantenmechanisch hätte
er auch anderenfalls
eine Chance!
Transmissionskoeffizient T:
QMFahrer
Große Bedeutung bei Radioaktivität!
Atome und Quantisierung
Im Wasserstoff-Atom bewegt sich das Elektron im
Coulombfeld des Protons.
Das Coulombpotenzial schränkt die Bewegungsfreiheit des Elektrons ein.
Es kommt zur Quantisierung.
+
e2 1
V (r ) = −
4πε 0 r
1
0
-1
-2
Potential Energy V [eV]
-3
-4
-5
Energieeigenwerte En
(gebundene Zustände):
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Distance r [A]
4
6
8
10
12
Orbitale sind 3D-Wellenfunktionen
Aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung erhält man die
Energieeigenwerte En und die zugehörigen Wellenfunktionen ψn.
Diese sind komplexwertige Funktionen, die von (mindestens)
den drei Raumkoordinaten abhängen.
Verknüpfung mit der
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Mögliche Darstellung von Orbitalen:
Flächen gleicher Amplitude
Orbitale und Knoten
Auch bei den Wasserstoff-Wellenfunktionen (Orbitale) steigt
die Zahl der Knoten mit der Quantenzahl n.
Man unterscheidet zwischen radialen und winkelabhängigen Knoten.
3p-Orbital
O
Winkelabhängige Knoten:
Wie viele Nullstelle auf einem
Halbkreis?
Radiale Knoten:
Wie viele Nullstellen auf dem Weg
von O nach ∞?
Winkelabhängige Knoten
geben Information über
den Drehimpuls!
Orbitale und Drehimpuls
Das Elektron im H-Atom kann einen Drehimpuls annehmen.
Sein Betrag kann nur folgende diskrete Werte annehmen:
l Drehimpulsquantenzahl
Der Wert für l ergibt sich aus den winkelabhängigen Knoten.
2s
2p
Die Ausrichtung des Drehimpulses
im Raum wird durch die
magnetische Quantenzahl ml
beschrieben.
3d
Beim H-Atom hängt die
Energie nur von der
Gesamtzahl der Knoten
ab (Hauptquantenzahl n)!
To do (Die Kollegen aus der PC)
Verhalten des H-Atoms
Berücksichtigung des Spin,
Pauli-Prinzip
Verhalten von
Mehr-Elektronen-Atomen
Überlagerung von
Atom-Orbitalen
Verhalten von
Molekülen