Der Messprozess in der Quantenmechanik

Der Messprozess in der
Quantenmechanik
Universität Graz
Institut für theoretische Physik
Seminar aus Quantenphysik
von
Florian Wodlei
Matrikelnr.: 0312300
[email protected]
http://www.stud.uni-graz.at/~03wodlei/
21. Juni 2006 - korrigierte Version
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2
2 Beispiele
2.1 Bio-Photon-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Stern-Gerlach Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3 Von Neumanns formale Theorie des Messprozesses
6
4 Zusammenfassung und Bemerkungen
10
1 EINFÜHRUNG
1
2
Einführung
Der Messprozess in der Quantenmechanik wurde zu einem Problem anlässlich der Interpretationen der Quantenmechanik, welches besonders am Anfang einen polemischen Charakter
hatte, der sich jedoch bis heute erhalten hat (u.a. Max Born vs. Albert Einstein).
In der vorliegenden Arbeit beschränke wir uns auf die formale Theorie des Messprozesses,
ohne ihre wissenschaftstheoretische Deutung.
In der Quantenmechanik sind die untersuchten Systeme mikroskopisch. Für ihre Beobachtung benötigt man ein makroskopisches Gerät, da die menschliche Wahrnehmung wenigstens in erster Näherung ein makroskopischer Prozess ist. Hier sind wir bereits mit dem
ersten Problem konfrontiert. Das Mikrosystem ist durch die Quantenmechanik beschrieben, während das Messgerät samt Beobachter durch die klassische Physik zugänglich ist.
D.h. die Experimentellen Daten werden durch Anordnungen bekommen, die sowohl in ihrer
Planung als auch in ihrer Durchführung voll in der Sprache der klassischen Physik stattfinden.
Wie kann man dennoch mit einer klassischen Anordnung etwas über ein Quantensystem
aussagen?
Zunächst einmal ist eine Verstärkung bzw. ein Verstärker notwendig, damit man einen
Quantenprozess, der auf einem mikroskopischen Niveau stattfindet, wahrnehmbar machen
kann (siehe Abb. 1)
Abbildung 1: Verstärkung
Der Messprozess ist eine Wechselwirkung zwischen einem Mikrosystem und einem Messgerät (d.h. makroskopischen System), deren Endzustände durch numerische Funktionen
beschreibbar sind (z.B. durch die Bewegung des Zeigers eines Voltmeters).
2
2.1
Beispiele
Bio-Photon-Detektor
Photonen werden oft einzeln detektiert und wir sollten unsere Diskussion daher damit beginnen den meistgenutzten Photondetektor zu besprechen - die Retina des Augen.
2 BEISPIELE
3
Die Retina des Auges weist die Hauptkomponenten eines Quantendetektors auf. Eine
Wechselwirkung auf mikroskopischer Ebene, sowie ein Prozess der Verstärkung, der durch
biochemische Prozesse stattfindet (siehe Abb. 2), der sich in der Wahrnahme eines visuellen
Reizes manifestiert.
Abbildung 2: Erzeugung eines biochemischen Signals aufgrund der Wechselwirkung eines
Photons mit der Retina (Näheres unter [PL00])
2.2
Stern-Gerlach Experiment
Man wählt dieses Experiment als Beispiel, weil dadurch die allgemeine formale Theorie des
Messprozesses verständlicher wird.
Mit dem Stern-Gerlach Experiment kann man die Werte des Spins eines Teilchens bestimmen. Die Anordnung ist ist in Abb. 3 schematisch dargestellt. Für die Vereinfachung
wählen wir Teilchen mit Spinobservablen s = 12 1 . Bei der Anordnung, die in Abb. 3 gezeigt
ist, wird ein präparierter Teilchenstrahl durch ein stark inhomogens Magnetfeld (warum
das Magnetfeld inhomogen sein muss, siehe später) gestrahlt. Auf einem Schirm wird eine
Verteilung registriert, die eine Aufspaltung der Strahlen zeigt.
Die Zustände des Mikrosystems sind die Lösung der Schrödinger-Gleichung
∂
ψ
(1)
∂t
wobei H = Ho + Hint den Hamiltonoperator des Systems darstellt. Dabei beschreibt
Ho den Zustand in Abwesenheit des Magnetfeldes und Hint die Störung, erzeugt durch das
Magnetfeld:
Hψ = ih̄
~ ·B
~
Hint = −g S
1
dies könnten z.B. 3 Li+ - Atome sein
(2)
2 BEISPIELE
4
Abbildung 3: Schematische Anordnung des Stern-Gerlach Experiments
~ der Spin des Teilchens und B
~ die magnetische
Dabei ist g eine Kopplungskonstante S
Induktion.
~ gegeben durch:
Bei uns ist B


0
 0 
(3)
B(z)
Daher folgt für den gestörten Hamiltonoperator Hint :


0
~ ·  0  = −gSz B(z)
Hint = −g S
B(z)
(4)
Sz ist jetzt die z-Komponente des Spins. Durch die gewählte Anordnung ist Sz wohldefiniert
(bestimmbar), da Sz ein Bewegungsintegral ist (d.h. [Sz , H] = 0). Es gilt zunächst:
h
i
h
i
~˙ = ih̄ H, S
~ = ih̄ Hint , S
~
S
(5)
Für die z-Komponente gilt
S˙z = ih̄ [Hint , Sz ] = ih̄ [−gSz B(z), Sz ] = −ih̄gB(z) [Sz , Sz ] = 0
| {z }
(6)
0
Es ist sinnvoll deshalb die Lösung der Gleichung (1) in den Eigenvektorenbasis von Sz
zu schreiben ((ξ, η) mit den Eigenwerten Sz ξ = h̄2 ξ und Sz η = − h̄2 η).
Im Folgenden werden wir annehmen, dass sich vor der Wechselwirkung die Teilchen in
einem präparierten Zustand befinden:
2 BEISPIELE
5
i
Ψ(~x, t) = ψ(~x)e h̄ (~p·~x−ωt) (aξ + bη) := aψ+ (~x, t) + bψ− (~x, t)
(7)
mit festen Zahlen a und b.
Die Funktion ψ(~x) gibt die Form des Wellenpaketes an. Mit dem Ansatz (7) gehen wir in
Gleichung (1):
H(aψ+ (~x, t) + bψ− (~x, t)) = ih̄
∂
(aψ+ (~x, t) + bψ− (~x, t))
∂t
(8)
∂
h̄2
∆ − gSz B(z) (aψ+ (~x, t) + bψ− (~x, t)) = ih̄ (aψ+ (~x, t) + bψ− (~x, t))
(9)
−
2m
∂t
h̄2
h̄2
∂
a −
∆ − gSz B(z) ψ+ (~x, t)+b −
∆ − gSz B(z) ψ− (~x, t) = ih̄ (aψ+ (~x, t) + bψ− (~x, t))
2m
2m
∂t
(10)
unter Berücksichtigung von
h̄
h̄
ξ ⇒ Sz ψ+ = ψ+
2
2
(11)
h̄
−h̄
η ⇒ Sz ψ− =
ψ−
2
2
(12)
Sz ξ =
Sz η =
folgt
h̄2
h̄
h̄2
h̄
∂
a −
∆ − g B(z) ψ+ (~x, t)+b −
∆ + g B(z) ψ− (~x, t) = ih̄ (aψ+ (~x, t) + bψ− (~x, t))
2m
2
2m
2
∂t
(13)
Da ξ und η linear unabhängig sind, sind auch ψ+ und ψ− linear unabhängig, was zu zwei
Gleichungen führt:
h̄2
h̄
∂
−
∆ − g B(z) ψ+ (~x, t) = ih̄ ψ+ (~x, t)
(14)
2m
2
∂t
h̄
∂
h̄2
∆ + g B(z) ψ− (~x, t) = ih̄ ψ− (~x, t)
(15)
−
2m
2
∂t
Nach Ehrenfest folgt, dass die klassischen Gleichungen für die Mittelwerte der quantenmechanischen Observablen gelten 2 :
~ (~x)i = hF~ (~x)i
− h∇V
(16)
Aus Gleichung (13) und (14) lässt sich ein V ablesen:
h̄
V (z) = ±g B(z)
2
2
Nach Ehrenfest gilt allgemein:
d
dt hAi
(17)
∂
= h ∂t
i + h̄i h[H, A]i und Gleichung (16) ist ein Spezialfall davon
2 BEISPIELE
6
Die entsprechende Kraft lautet dann:
~ ± g h̄ B(z)i = ∓g h̄ h ∂B(z) i~ez
hF~± (z)i = −h∇
2
2 ∂z
(18)
Jetzt sieht man wieso das ausgewählte Feld nicht homogen sein darf (da sonst ∂B(z)
= 0).
∂z
~
Die Kräfte F± (z) sind entlang von z Ausgerichtet und entgegengesetzt. Daher spaltet sich
der Teilchenstrahl in zwei Strahlen auf. Die zwei Bahnen werden mit Wahrscheinlichkeiten
|a|2 bzw. |b|2 gewählt.
Mittels Ehrenfest lässt sich also die Aufspaltung des Strahl durch das inhomogene Magnetfeld in zwei Strahlen erklären (und dieses Resultat ist für uns hinreichend), gibt aber nicht
die explizite Form der Wellenfunktion:
out
out
Ψout (~x, t) = aψ+
(~x, t) + bψ−
(~x, t)
(19)
Man kann den Messprozess, d.h. das Stern-Gerlach Experiment, auch als Erzeugungsvorgang von präparierten Teilchenzuständen von Teilchen mit Sz -Eigenwert ± h̄2 auffassen
(siehe Abb. 4).
Abbildung 4: Schematische Anordnung des Stern-Gerlach Experiments zur Erzeugung eines
präparierten Zustandes
3 VON NEUMANNS FORMALE THEORIE DES MESSPROZESSES
3
7
Von Neumanns formale Theorie des Messprozesses
Wie in der Einführung bereits erwähnt , ist der Messprozess eine Wechselwirkung zwischen
einen Quantensystem, Q und einem Messgerät, M, das makroskopisch ist.
Falls Q isoliert wäre, würde man seine Zustände mathematisch als Vektoren ψ in einem
Hilbertraum HQ beschreiben. ψ erfüllt die Schrödingergleichung:
∂
ψ
(20)
∂t
Wobei HQ der Hamiltonoperator des isolierten Q-Systems ist.
Obwohl das Messgerät M makroskopisch ist und es infolgedessen sinnvoller wäre es klassisch zu beschreiben, darf man seine Zustände aufgrund der allgemeinen Gültigkeit der
Quantenmechanik zumindestens formal durch Vektoren φ in einem Hilbertraum HM beschreiben. φ erfüllt die Schrödingergleichung:
HQ ψ = ih̄
∂
ψ
(21)
∂t
Wobei HQ der Hamiltonoperator des M-Systems ist.
S
Während des Messprozesses bildet Q und M zusammen ein vereinigtes System Q
M,
dessen Zustände Vektoren in einem Hilbertraum H = HQ ⊗HM sind. Der Hamiltonoperator
ist in diesen Fall gegeben durch:
HM ψ = ih̄
H = HQ + HM +Hint
| {z }
(22)
Ho
Nehmen wir an wir wären in der Messung der physikalischen Größe A (einer charakteristischen Observablen für Q) interessiert. Da Q mikroskopisch ist, hat der Beobachter keinen
direkten Zugang zu A. Man muss daher das Messgerät M derart konstruieren, das eine
neue, makroskopisch wahrnehmbare Observable Y, eine direkte Übersetzung der mikroskopischen Größe A darstellt.
Da Y wohldefiniert sein soll, muss sie ein Bewegungsintegral sein, d.h. Ẏ = 0 ⇒ [Y, HM ] =
0.
Y könnte z.B. die Position des Zeigers eines Voltmeters angeben. (siehe Abb. 5).
Abbildung 5: Zeiger Y mit Eigenwert y
3 VON NEUMANNS FORMALE THEORIE DES MESSPROZESSES
8
Das Messgerät wird so geeicht, dass vor der Messung y=0, wobei y die Eigenwerte von
Y sind:
Y φ(y) = yφ(y)
(23)
Inspiriert vom Stern-Gerlach Experiment wird folgende Wechselwirkung angenommen:
Hint = −g(t)P A
(24)
Wobei P der kanonisch konjugierte Operator zu Y ist3 und g(t) eine Kopplungsfunktion,
die nur für die Messdauer ungleich null ist:
(
6= 0 t ∈ [−, ]
g(t) =
(25)
0
t∈
/ [−, ]
Wir werden weiters annehmen, dass A ein Bewegungsintegral ist:
0 = Ȧ = ih̄[A, HQ ]
(26)
Daraus folgt, dass die Eigenvektoren von A zugleich Eigenvektoren von HQ sind. Nämlich
{ψ1 , ψ2 , ..., ψn }, die die folgende Eigenwertgleichung erfüllen:
Aψn = an ψn
(27)
Die Zustände des Gesamtsystems Q∪M sind Vektoren in einem Hilbertraum H = HQ ⊗HM
der Form:
α=ψ⊗φ
(28)
und sind Lösungen der folgenden Schrödingergleichung:
Hα = ih̄
∂α
∂t
(29)
Wobei der Hamiltonoperator gegeben ist durch H = HQ + HM + Hint . Man kann die
Lösung dieser Gleichung formell durch folgenden Ansatz geben:
α(~x, t) = U (t)α(~x, 0)
(30)
Wobei U (t) der sogenannte Zeitentwicklungsoperator ist. Eine hinreichende Bedingung für
diesen Ansatz ist, dass U (t) folgender Gleichung genügt:
ih̄
3
∂U (t)
= H(t)U (t)
∂t
~ mit E)
~
D.h. [P, Y ] = ih̄ (z.B. px mit x, φ mit Lz ,..., B
(31)
3 VON NEUMANNS FORMALE THEORIE DES MESSPROZESSES
9
Die Gleichung (31) ist vom Typ Schwinger-Tomonaga. Welcher Form hat nun aber U (t)?
Vor dem Messprozess ist H = HQ + HM = Ho . Dann folgt:
ih̄
∂U (t)
= Ho U (t)
∂t
(32)
Die Lösung dieser Gleichung ist formal durch
i
U (t) = e− h̄ Ho t
(33)
gegeben. Während des Messvorgangs ist H nicht mehr konstant und deshalb ist die Lösung
eine Verallgemeinerung von der obigen:
∂U (t)
= H(t)U (t)
∂t
∂U (t)
ih̄
U (t)−1 = H(t)
∂t
Z
ih̄
t
ih̄ ln(U (t)U (to )−1 ) =
ln(U (t)U (to )−1 ) = −
i
h̄
H(t)dt
t
Z ot
H(t)dt
to
i
U (t)U (to )−1 = e− h̄
i
⇒ U (t) = e− h̄
Rt
to
Rt
to
H(t)dt
H(t)dt
U (to )
(34)
Bei uns ist t = und to = −:
i
U () = e− h̄
i
U () = e− h̄
− h̄i
U () = |e
R
−
{z
Ho dt
i
1
e h̄ Ho = 1
R
H(t)dt
U (−)
− (Ho +Hint )dt
U (−)
−
R
+ h̄i
R
i
R
}e
U () = e+ h̄
− (g(t)P Adt
− (g(t)P Adt
Z
U (−)
g(t)dt
{z }
+ h̄i P A
−
|
U () = e
U (−)
λ
+ h̄i λP A
U () = e
U (−)
U (−)
(35)
Wobei sich die Konstante U (−) aus Formel (33) bestimmen lässt:
i
1
U (−) = e+ h̄ Ho = 1
(36)
3 VON NEUMANNS FORMALE THEORIE DES MESSPROZESSES
10
D.h. U(t) hat in unseren Fall die folgende Form:
i
U () = e+ h̄ λP A
(37)
Wir nehmen an das der Anfangszustand des Systems wie folgt ist:
α(~x, 0) = ψn (~x) ⊗ φ(y)
(38)
Dann ist
i
i
α(~x, ) = U ()α(~x, 0) = e h̄ λP A α(~x, 0) = e h̄ λP A ψn (~x) ⊗ φ(y) =
X i λP A k
X i λP an k
Aψn =an ψn
h̄
h̄
ψn (~x) ⊗ φ(y)
=
ψn (~x) ⊗ φ(y) =
k!
k!
k
k
i
i
e h̄ λP an ψn (~x) ⊗ φ(y) = ψn (~x) ⊗ e h̄ λP an φ(y)
(39)
P ist der infinitesimal Erzeugende der Lie-Gruppe eζP und wirkt als solcher als Translation
auf φ:
λ
λ
y=0
α(~x, ) = ψn (~x) ⊗ φ y + an = ψn (~x) ⊗ φ
an
(40)
h̄
h̄
Für uns von Interesse sind die Eigenwerte von Y, der Zeigerobservablen:
λ
λ
λ
an = an φ
an
Yφ
h̄
h̄
h̄
(41)
Was am Messgerät abgelesen wird ist also λh̄ an (siehe dazu auch Abb. 6).
Abbildung 6: Zeiger Y mit Eigenwert y
Man bemerkt hier, dass für hinreichend große λ (d.h. g(t) sollte eventuell eine DeltaDistribution sein) die mikroskopische Größe an wahrnehmbar (aufgrund des Zeigerausschlags) wird.
4 ZUSAMMENFASSUNG UND BEMERKUNGEN
4
11
Zusammenfassung und Bemerkungen
Die Annahme über den Anfangszustand in Gleichung (38) war eine Idealisierung, die experimentell nicht zu überprüfen ist. D.h. der allgemeinst mögliche Anfangszustand des
Systems Q wäre:
X
ψ(~x) =
µn ψn (~x)
(42)
µ
Und in diesem Fall lässt sich der Messprozess folgendermaßen schreiben:
X
X
µn ψn (~x) ⊗ φ(0) 7−→
µn ψn (~x) ⊗ φ(yn )
n
(43)
n
wobei yn = λh̄ an
Wenn φ(yn ) eine Orthonormalbasis im Raum HM bildet und der Messprozess eine Isometrie ist, d.h. k · k = 1 erhalten sein muss, folgt:
X
µn ψn (~x) ⊗ φ(yn )k = 1
k
n
X
X
µm ψm (~x) ⊗ φ(ym )iHM = 1
µn ψn (~x) ⊗ φ(yn ),
h
m
n
X
n,m
µ∗n µm
hψn (~x), ψm (~x)iHQ hφ(yn ), φ(ym )iHM = 1
{z
}
|
{z
}|
δnm
δnm
X
µ∗n µn = 1
n
X
|µn |2 = 1
(44)
n
Gleichung (44) steht in Übereinstimmung mit den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In unseren Fall gibt |µn |2 die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich das System im
Zustand ψn (~x) befindet. D.h. die Ereignisse ψn (~x) interferieren nicht miteinander.
Falls Q während des Messprozesses vom Gerät absorbiert wird, was i.a. der Fall ist4 ,
dann ändert sich die Struktur von M zu M 0 = M ∪ Q. Wobei die Beschreibung durch neue
Zustände aus einem Hilbertraum HM 0 gegeben ist:
X
XX
(n)
µn ψn (~x) ⊗ φ(0, r) 7−→
µn crr0 (t)φ0 (yn , r0 )
(45)
n
n
r0
Wobei φ0 ∈ HM 0 und die zusätzlichen Variablen r und r’ sind eine Menge von unkontrollierbaren Eigenschaften des makroskopischen Messgerätes. Man sieht, dass der Endzustand
4
z.B. wird ein Photon vom Detektor absorbiert
LITERATUR
12
eine Superposition der makroskopischen Zustände des Messgerätes ist. Wir wollen nun Annehmen, das auch hier eine Isometrie vorliegt, d.h:
XX
(n)
k
µn crr0 (t)φ0 (yn , r0 )k = 1
r0
n
XX
XX
(n)
0
h
µn crr0 (t)φ0 (yn , r0 ),
µm c(m)
rs (t)φ (ym , s)i = 1
r0
n
m
XXXX
n
r0
m
s
s
(n)
0
0
0
µ∗n µm crr0 (t)c(m)
rs (t)hφ (yn , r ), φ (ym , s)i
|
{z
ρnm (r,r 0 ,s)
XXXX
r0
n
m
=1
}
µ∗n µm ρnm (r, r0 , s) = 1
(46)
s
Wo´bei jetzt die Dichtematrix ρnm (r, r0 , s) auch nichtverschwindende außerdiagonale Elemente besitzt, was darin resultiert, dass die Ereignisse φ0 (yn , r0 ) interferiert erscheinen, was
zur Folge hat, das die Zeigerstellung nun eine Superposition aller möglichen Zeigerstellungen ist(!) (vgl. mit Formel (44)).
In der Regel interferieren, superponieren kohärente Wellen. D.h. um Formel (44) zu erhalten, müsste man die Wellen durch einen Prozess der Dekohärenz reduzieren. Solche
Prozesse werden experimetell realisiert (siehe u.a. Anton Zeilinger).
Die Gleichung (46) scheint im Gegensatz zur Gleichung (44) nicht in Übereinstimmung mit
der Formel
X
wn = 1
(47)
n
aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu stehen. Dies stellt einen zusätzlichen Grund dar,
warum Dekohärenzversuche untersucht werden.
Literatur
[O94] Roland Omnès The Interpretation of Quantum Mechanics. Princeton University
Press, 1994 (550), pp 60-81
[PL00] E.N. Pugh,Jr.; T.D. Lamb Phototransduction in Vertrebrate Rods and Cones (Kapitel 5) aus ”Handbook of Biological Physics, Vol 3: Molecular Mechanism of Visual Transduction”, Elsevier Science 2000 (75), pp 12 siehe auch http://dolphin.
upenn.edu/~pugh/papers/PL2k_Proofs.pdf