Spinreorientierungsübergänge in magnetischen Multilagen

Spinreorientierungsübergänge
in magnetischen
Multilagen
Diplomarbeit
Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät I
Institut für Physik
eingereicht von
Fritz Körmann,
geb. am 24.08.1981 in Witten
Betreuer: Prof. Dr. W. Nolting
Berlin, März 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Grundlagen
5
2.1
Modelle des Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Anisotropien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3
Interlagen-Austauschkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4
Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5
Entkopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Theorie
5
23
3.1
Rotation des lokalen Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2
Verwendete Näherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3
Bestimmung der Magnetisierungswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4
Bestimmung der Magnetisierung hSαz′ i . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5
Das effektive Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Anschluss an die Landau-Lifschitz-Theorie
43
4.1
Verbindung zentraler Größen beider Theorien . . . . . . . . . . . . . 44
4.2
Weitere Analogien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Anwendungen der Theorie
5.1
51
Monolage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.1
Easy-axis-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.2
Easy-plane-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2
Gitter- vs. Formanisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3
Einfluss einer Deckschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4
Gekoppelte Lagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
ii
Inhaltsverzeichnis
6 Zusammenfassung und Ausblick
107
Literatur
110
A Zur Konstante D
117
B Zur Drehmatrix
119
C Zum Anteil der Dipol-Wechselwirkung
121
C.1 Zerlegung des Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
C.2 Die Anteile HD2 und HD3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
D Symmetrie der Magnetisierungskomponenten
127
1. Einleitung
Ein Ziel der fortschreitenden Entwicklung der Nanophysik ist es, ultradünne Datenspeicher herzustellen. Solche Speicherbausteine bestehen meist aus magnetischen
Vielfachschichten, deren Eigenschaften stark von den magnetischen Anisotropien
geprägt sind. In dünnen Schichtsystemen bestimmen Anisotropien eine Vielzahl der
magnetischen Eigenschaften, z.B. die Curie-Temperatur TC und die leichte magnetische Achse. Die magnetischen Vorzugsrichtungen sind eng verknüpft mit dem technologisch hoch relevanten giant magnetoresistance, kurz GMR Effekt. Grünberg [1]
und Fert [2] berichteten 1988 erstmals von einem GMR Effekt in dünnen Fe/Cr/Fe
Vielfachschichten. Voraussetzung für den GMR-Effekt sind unterschiedliche Magnetisierungsrichtungen in den durch den spacer getrennten ferromagnetischen Filmen.
Dies kann realisiert werden durch die Trennung der ferromagnetischen Schichten
(z.B. Fe,Co,Ni) durch einen nicht-magnetischen spacer, z.B. Cu, Cr oder Ru, wie in
Abbildung 1.1 skizziert. Der elektrische Widerstand eines solchen Systems hängt von
den Magnetisierungsrichtungen der ferromagnetischen Lagen ab. Sind beide Magnetisierungen parallel, so ist der Widerstand minimal. Für antiparallele Ausrichtungen
ist der Widerstand hingegen maximal. Der GMR-Effekt hat Ende der Neunziger
Jahre zu einem enormen Anstieg in der Speicherdichte von Festplatten geführt. Die
durch die Interlagenkopplung bestimmte Ausrichtung der Magnetisierungen in den
beiden Lagen ist also von enormer technologischer Bedeutung.
Zur Untersuchung der magnetischen Eigenschaften von dünnen Filmen haben
sich unter anderem die Ferromagnetischen-Resonanz-Experimente (FMR) etabliert
[3, 4]. In einem FMR-Experiment wird eine Probe mit einer Mikrowelle fester Frequenz ν0 bestrahlt. Existiert im Material eine uniforme Spinwellen-Mode E(q=0) ,
die dieser Frequenz entspricht, so kann diese durch die Mikrowelle angeregt werden.
Diese Frequenzen heißen demnach Resonanzfrequenzen. Im Experiment wird die Mikrowellenfrequenz konstant gehalten, und das externe Feld B0 variiert. Entspricht die
magnetfeldabhängige uniforme Mode E(q=0) (B0 ) der Resonanzfrequenz, dann heißt
das zugehörige Magnetfeld Resonanzfeld. Dies ist die zentrale Meßgröße in einem
FMR-Experiment. Üblicherweise werden die Resonanzfrequenzen durch Lösen der
(klassischen) Landau-Lifshitz-Gleichung berechnet.
In den letzten Jahren wurde basierend auf einer quantenmechanischen Behandlung eines erweiterten Heisenberg-Modells eine alternative Methode entwickelt, die
Anisotropien und die Interlagenkopplung theoretisch zu modellieren [5, 6, 7, 8, 9,
10, 11]. Diese quantenmechanischen Theorien erlauben die selbstkonsistente Berechnung der (durch die Anregung von Spinwellen bedingten) Temperaturabhängigkeit
2
1. Einleitung
Abbildung 1.1: Skizze eines sog. Sandwich-Systems bzw. Spinventils (spin-valve).
Zwei ferromagnetische (FM) Schichten sind durch eine nicht-magnetische (NM)
Schicht voneinander getrennt. Der elektrische Widerstand ist für antiparallele Ausrichtung der Magnetisierungen der FM-Lagen zueinander maximal. Abbildung entnommen aus www.wikipedia.org.
der Magnetisierung und der Anisotropie- und Interlagenbeiträge.
Im Rahmen der Green-Funktionen-Technik ist das zu behandelnde Vielteilchenproblem nicht exakt lösbar, daher ist man auf gewisse Approximationen angewiesen. Diese nutzen häufig die Tatsache aus, dass eine bestimmte Achse des Systems
durch die Ausrichtung der Magnetisierung ausgezeichnet ist. Die Ausrichtung der
Magnetisierung kann jedoch z.B. durch ein äußeres Feld variieren. Darauf basiert
die Grundidee der in Refs. [7, 8] entwickelten Theorie, Approximationen in einem
gedrehten Koordinatensystem Σ′ durchzuführen. Bedingung für die Drehung des Koordinatensystems ist, dass die z ′ -Achse dieses gedrehten Systems parallel zur Achse
der Magnetisierung liegt.
In Ref. [8] wurde die Theorie auf Filmsysteme erweitert. Jedoch ist die Theorie
in Ref. [7] und [8] im allgemeinen nicht ausreichend, um beliebige Orientierungen
der Magnetisierung zu berechnen, da die Drehung nur um den Polarwinkel θ der
Magnetisierung vollzogen wird. Um beliebige Schichtsysteme wie z.B. jenes in Abb.
1.1 zu untersuchen, benötigt man eine erweiterte Theorie, die sowohl die Polarwinkel
θα als auch die Azimutalwinkel φα der Magnetisierungen in verschiedenen Lagen α
liefert. Die Erweiterung der Theorie zur Bestimmung beider Winkel der Magnetisierung ist eines der zentralen Inhalte der vorliegenden Arbeit. Mit der erweiterten
Theorie ist es nunmehr möglich, die Winkelstellungen der Magnetisierungen innerhalb von Schichtsystemen abhängig von der Temperatur T und äußerem Magnetfeld
B0 quantenmechanisch selbstkonsistent zu berechnen.
3
Üblicherweise werden FMR-Experimente mit Hilfe der Landau-Lifshitz-Gleichung
interpretiert. Wir werden in Kapitel 4 strenge Analogien zwischen den Ergebnissen
der Landau-Lifshitz-Theorie und der hier vorgestellten quantenmechanischen Theorie zeigen. Damit sind wir in der Lage, physikalische Größen der mikroskopischen
quantenmechanischen Theorie mit Größen der klassischen makroskopischen Theorie
zu verknüpfen. Dies erlaubt uns, makroskopische Größen, wie etwa die effektive Anisotropieenergie Mef f , aus mikroskopischen Größen abzuleiten.
In [7] wird im Vergleich mit numerisch exakten Quanten-Monte-Carlo-(QMC)Resultaten gezeigt, dass die gewählte Behandlung der Anisotropiebeiträge anderen
Verfahren überlegen ist, falls die leichte magnetische Achse des Systems senkrecht
zur Filmebene liegt (easy-axis-Systeme). In Kapitel 5.1.2 vervollständigen wir den
Vergleich zwischen QMC-Simulationen und den Resultaten der in dieser Arbeit verwendeten Theorie um die easy-plane-Systeme, deren leichte magnetische Achse parallel zur Filmebene liegt.
Die Diskussion der temperaturabhängigen effektiven Anisotropie steht im Mittelpunkt des Kapitels 5.2. Die in dieser Arbeit verwendete Theorie beinhaltet Dipolals auch Gitteranisotropien. Bei der Analyse der Temperaturabhängigkeiten dieser
beiden Anisotropiebeiträge, die wir später noch genauer behandeln werden, wird ein
neuer Reorientierungsübergang durch den Wettstreit Dipol- vs. Gitteranisotropie
vorgestellt [10].
In Kapitel 3 werden wir sehen, wie aus der Theorie die für ein FMR-Experiment
wichtigen Resonanzfelder gewonnen werden können. Anhand eines FMR-Experimentes werden wir den Einfluss von Kupfer als Deckschicht eines N i8 /Cu(001)-Films
untersuchen [4]. Der im Experiment gefundene Wechsel der leichten magnetischen
Achse von einer parallelen zur senkrechten Ausrichtung wird simuliert durch die Annahme von Hybridisierung zwischen den polarisierten Ni-Zuständen mit den nichtpolarisierten Cu-Zuständen an der Filmoberfläche. Die Resultate stehen in ausgezeichnetem Einklang mit den experimentellen Daten.
Im nächsten Kapitel werden zunächst einige Grundlagen, die für das spätere Verständnis von Bedeutung sind, zusammengetragen. Im 3. Kapitel werden die erweiterte Theorie und der selbstkonsistente Lösungsalgorithmus erläutert. Den direkten
Anschluss der Resultate der mikroskopischen Theorie an die der klassischen, durch
Lösung der Landau-Lifshitz-Gleichung erhaltenen Ergebnisse, diskutieren wir in Kapitel 4. Die Anwendungen der Theorie und die Analyse von experimentellen Daten
werden im 5. Kapitel im Vordergrund stehen.
4
1. Einleitung
2. Grundlagen
2.1
Modelle des Magnetismus
Um spontanen Magnetismus zu verstehen und zu beschreiben, bedarf es geeigneter Modellsysteme, die die physikalischen Eigenschaften des Systems angemessen
widerspiegeln. Die Vielfalt der magnetischen Materialien erfordert bei der physikalischen Modellierung des Problems zum Teil äußerst unterschiedliche Annahmen. Daraus resultieren beschränkte Anwendungsbereiche der einzelnen Modelltypen. Unter
spontanem Magnetismus versteht man die kollektive Ordnung permanenter magnetischer Momente unterhalb einer für das System charakteristischen kritischen Temperatur. Diese Momente resultieren aus dem Elektronenspin S = 1/2 und können
abhängig vom Material itinerant oder lokalisiert sein.
Hubbard-Modell
Die Übergangsmetalle Fe, Co und Ni sind Vertreter des sogenannten Bandmagnetismus. Die kollektive magnetische Ordnung entsteht durch die itineranten Elektronen der schmalen 3d-Bänder. Ein Modell, das dem itineranten Charakter des Systems
Rechnung trägt, ist das 1963 gleichzeitig von J. Hubbard [12], M. C. Gutzwiller [13]
und J. Kanamori [14] vorgeschlagene Hubbard-Modell :
H =
X
ijσ
Tij a+
iσ ajσ +
UX
niσ ni−σ .
2 iσ
(2.1)
Hierbei bezeichnen a+
iσ (aiσ ) die Erzeugungs-(Vernichtungs-) Operatoren eines
Elektrons mit Spin σ =↑, ↓, Tij ist das Hoppingintegral zwischen den Gitterplätzen
Ri und Rj . Der Operator niσ = a+
iσ aiσ ist der Besetzungszahloperator und U repräsentiert die lokale Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Elektronen. Mit Hilfe
des Modells lassen sich die Zusammenhänge zwischen kinetischer Energie, CoulombWechselwirkung und Gitterstruktur unter Berücksichtigung des Pauli-Prinzips studieren.
Heisenberg-Modell
Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit steht das Heisenberg-Modell.
Das Heisenberg-Modell diente ursprünglich dazu, Substanzen mit lokalisierten ma-
6
2. Grundlagen
gnetischen Momenten zu modellieren. Daher eignet sich das Modell, um die magnetischen Eigenschaften der Isolatoren (u.a. EuO, EuS oder M nO) zu untersuchen.
Im einfachsten Fall hat der (isotrope) Hamilton-Operator die folgende Gestalt:
HA = −
X
Jij Si Sj ,
(2.2)
ij
wobei i und j die Gitterplätze und Jij die Austauschwechselwirkung zwischen den
Spins Si und Sj darstellen. Der Operator (2.2) ist als effektiver Modell-HamiltonOperator zu verstehen, der die Wechselwirkung zwischen den lokalisierten Spins Si
beschreibt. Das magnetische Moment mi ist mit dem Drehimpuls Ji verknüpft1 :
mi = µB (Li + 2Si ) ≡ µB gJ Ji .
(2.3)
µB ist das Bohrsche Magneton, Li der Bahn-, Si der Spinanteil und gJ der LandéFaktor. Da Si = (gJ − 1)Ji , läßt sich die Austausch-Wechselwirkung zwischen den
Momenten als effektive Wechselwirkung zwischen den Spins verstehen.
Es zeigt sich jedoch, dass, obwohl dieses Modell für die Klasse der Isolatoren
konzipiert war, es auch geeignet ist, einige magnetische Eigenschaften der Übergangsmetalle (Fe,Co,Ni) zu beschreiben. Diese, auf den ersten Blick überraschende,
Tatsache wird plausibel, wenn man Folgendes beachtet:
• In Ref. [15] zeigen Nolting et al., dass der Grad der Lokalisierung der Elektronen des d-Bandes für Nickel ca. 90% beträgt. Dies wird gezeigt mit Hilfe eines generalisierten Hubbard-Modells und Resultaten aus Ein-ElektronenBand-Struktur-Rechnungen. Die Wahl eines Modells, welches von lokalisierten
magnetischen Momenten ausgeht, ist daher plausibel.
Es hat sich herausgestellt, dass das Heisenberg Modell mit einer Random Phase Approximation (RPA) [16] sehr erfolgreich magnetische Eigenschaften wie das
Spinwellenspektrum und die Curie-Temperatur von Übergangsmetallen wie Eisen,
Kobalt und Nickel beschreibt. Dies wurde gezeigt mit ab initio berechneten Austauschparametern im Heisenberg-Modell [17] und der Gutzwiller-Näherung für die
Wellenfunktionen im Hubbard-Modell [18, 19].
• In Ref. [17] werden die Materialien mit einem Heisenberg-Modell beschrieben.
Die Austauschparameter Jij werden mit ab-initio Methoden [20, 21, 22] berechnet. Das Heisenberg-Modell wird in der RPA Näherung gelöst, um die
Curie-Temperatur als auch die Spinwellen-Stiffness zu berechnen. Beide Werte
stimmen ausgezeichnet mit den experimentell beobachteten überein.
1
Diese Operatorenidentität gilt nur im Unterraum H(j) , der von den 2j + 1 Zuständen mit einer
festen Quantenzahl j aufgespannt wird.
2.1. Modelle des Magnetismus
7
• In den Refs. [18, 19, 23] wird das Vielteilchenproblem durch die stark korrelierten d-Elektronen in den Übergangsmetallen für T=0 mit Hilfe der local
density approximation (LDA) Näherung der Dichtefunktionaltheorie (DFT)
und der Gutzwiller-Näherung für die Wellenfunktionen gelöst. Für eine detaillierte Beschreibung der Methode verweisen wir auf Ref. [18]. Die Eigenschaften
der Übergangsmetalle werden ausgezeichnet mit dieser Methode beschrieben,
daher können die Resultate als eine T = 0 Referenz angesehen werden. Weiterhin hat sich herausgestellt, dass das Spinwellen-Spektrum dem eines RPAgenäherten Heisenberg-Modell stark ähnelt, sich aber erheblich von dem eines
durch Mean-Field behandelten Bandmodell unterscheidet [19, 23].
Damit ist die Wahl des Heisenberg-Modells für die hier vorliegende Arbeit motiviert. Wir möchten an dieser Stelle auf einige wichtige Eigenschaften des zweidimensionalen Heisenberg-Modells hinweisen. Beginnen wir mit einem Argument von
Bloch aus dem Jahre 1930, welches besagt, dass in einem zweidimensionalen isotropen Heisenberg-Modell keine endliche Magnetisierung existieren kann.
Spinwellen und Magnonen
Analog zu der Quantisierung der Gitterschwingungen und dem resultierendem
Quasiteilchen Phonon werden die magnetischen Anregungen im Ferromagnet nach
Bloch als Spinwellen bezeichnet und das zugehörige Elementarquantum Magnon
genannt. Die Zahl der angeregten Magnonen entspricht in einfachen Worten der Abweichung der Magnetisierung des Systems aus dem Grundzustand, in welchem alle
Spins parallel zueinander ausgerichtet sind.
Wir möchten an dieser Stelle den Begriff der Spinwelle und des Magnons physikalisch begründen.
Ausgangspunkt sei ein System aus lokalisierten magnetischen Momenten, beschrieben durch Spinoperatoren Si und Sj in einem homogenen, zeitunabhängigem Magnetfeld B0 = (0, 0, B0z ):
X
X
Siz .
(2.4)
H=−
Jij Si Sj − gJ µB B0z
i
i,j
Zunächst möchten wir obige Gleichung in einer anderen, für unsere Zwecke nützlicheren Form formulieren. Zerlegen wir das Skalarprodukt Si · Sj
1
Si · Sj = (Si+ Sj− + Si− Sj+ ) + Siz Sjz ,
2
und nutzen wir für die nächste Nachbar Wechselwirkung Jij
Jij = Jji ;
Jii = 0,
(2.6)
so können wir den Hamilton-Operator (2.4) auch schreiben als:
X
X
H=−
Jij (Si+ Sj− + Siz Sjz ) − gJ µB B0z
Siz .
i,j
(2.5)
i
(2.7)
8
2. Grundlagen
Wir führen eine Fouriertransformation auf Wellenzahlen q durch,
X
Sqσ =
e−iqRi Siσ ,
(σ = +, −, z)
(2.8)
i
Jq
1 X
=
Jij eiq(Ri −Rj ) ,
N ij
(2.9)
und drücken den Hamilton-Operator im q-Raum aus:
H=−
1
1 X
Jq (Sq+ S−q− + Sqz S−qz ) − gJ µB B0z S0z
N q
~
(2.10)
Der Grundzustand, in dem alle Spins zueinander parallel ausgerichtet sind, sei durch
|Si gegeben.
Mit
Siz |Si = ~S =⇒ Sqz |Si = ~N S|Siδ0q ,
Si+ |Si = 0 =⇒ Sq+ |Si = 0,
(2.11)
(2.12)
finden wir für die Grundzustandsenergie des Heisenberg-Ferromagneten:
H|Si = E0 |Si
E0 = −N J0 ~2 S 2 − N gJ µB B0z S,
(2.13)
(2.14)
P
mit J0 = i Jij .
Man kann zeigen, dass der Ein-Magnonen-Zustand
1
Sq− |Si
|qi = √
~ 2SN
(2.15)
ein normierter Eigenzustand des Hamilton-Operators (2.10) mit der Eigenenergie
Êq = E0 + Eq
(2.16)
Eq = gJ µB B0z + 2S~2 (J0 − Jq )
(2.17)
ist. Der Energiebeitrag
wird als Anregungsenergie des Quasiteilchens Magnon interpretiert. Aus dieser lässt
sich ablesen, dass das magnetische Moment aus dem Grundzustand |Si im Vergleich
zum Zustand |qi um gJ µB reduziert ist. Magnonen haben daher den Spin S = 1 und
sind Bosonen.
Für die Magnetisierung am Gitterplatz i im Zustand |qi finden wir:
1
hq|Siz |qi = ~ S −
(∀i, q)
(2.18)
N
Die Abweichung ~ der Magnetisierung aus dem Grundzustand verteilt sich also
gleichmäßig auf alle Spins i. Dies entspricht einer kollektiven Anregung |qi, die man
2.1. Modelle des Magnetismus
9
Abbildung 2.1: Halbklassisches Vektormodell präzedierender Spins. Alle Spins rotieren mit gleicher Frequenz ωq und mit, durch die Wellenzahl q festgelegter, fester
Phasendifferenz zwischen benachbarten Spins.
als Spinwelle bezeichnet. Dies ist in Abbildung 2.1 in einem Vektormodell skizziert.
An jedem Gitterplatz i präzedieren die Spins Si mit der Frequenz ωq = 1/~Eq um
die z-Achse. Die Projektion jedes Spins auf die z-Achse beträgt ~(S − 1/N ). Zwei
benachbarte Spins rotieren mit einer festen Phasenverschiebung, die durch die Wellenzahl q bestimmt ist.
Schon 1930 argumentierte Bloch [24], als er zum ersten Mal das Konzept der
Spinwellen einführte, dass in einem zweidimensionalen Heisenberg-Modell ohne Magnetfeld keine spontane Magnetisierung auftreten kann.
Für die Argumentation entwickeln wir zunächst (2.17) für kleine q:
1 X
Eq (B0z = 0) = 2S~2 (J0 − Jq ) = 2S~2
Jij 1 − eiq(Ri −Rj )
(2.19)
N ij
1 X
Jij (q(Ri − Rj ))2
(2.20)
≈ 2S~2
2N ij
= Dq 2 ,
(D = const)
(2.21)
Blochs Argument beruht darauf, dass im Falle einer quadratischen q-Abhängigkeit
der Spinwellendispersion für kleine q, die in diesem Fall gegeben ist, die Zustandsdichte der Magnonen N (E) in einem zweidimensionalem System unabhängig von
der Energie E für E nahe Null ist.
Für die Abweichung der Magnetisierung aus dem Grundzustand durch thermische
Anregungen von Spinwellen ergibt sich:
Z ∞
N (E)dE
∆m(T ) ∼
exp(E/kB T ) − 1)
0
Z ∞
dx
.
(2.22)
∼ kB T
exp(x) − 1
0
Das Integral divergiert an seiner unteren Grenze, was zu der Schlussfolgerung führt,
dass bei jeder endlichen Temperatur T die Magnetisierung des zweidimensionalen
10
2. Grundlagen
Systems Null sein muss.
Blochs Vermutung wurde später von Mermin und Wagner [25] streng bewiesen,
die gezeigt haben, dass im isotropen ein- und zweidimensionalen Heisenberg-Modell
keine langreichweitige magnetische Ordnung für endliche Temperaturen T > 0 existiert. Analog zum Mermin-Wagner-Theorem kann gezeigt werden, dass in isotropen
Filmsystemen die Magnetisierung in jeder Lage ebenfalls identisch Null sein muss
[26].
Wir erkennen an (2.17) bereits, dass ein endliches Magnetfeld in z-Richtung,
B0z > 0, zu einem gap im Anregungsspektrum bei q = 0 führt und somit die Divergenz des Integrals (2.22) aufhebt. In Abbildung 2.2 ist für diesen Fall die Dispersion
Eq (B0z > 0) als Funktion der Wellenzahl q aufgetragen. Man erkennt, dass endliche
gap im Spinwellenspektrum bei q = 0 (eingefügt), was letztlich zu einer endlichen
Magnetisierung des Systems führt.
Eine gleichermaßen entscheidene Rolle bei der Stabilisierung der Magnetisie30000
E(q) [kG]
25000
20000
15000
20
10
0
0
}E(q=0)=B
0.05
0z
0.1
10000
5000
0
-π
-π/2
0
q [a0]
π/2
π
Abbildung 2.2: Dispersionsrelation Eq : Das Magnetfeld B0z öffnet bei q = 0 ein gap
im Spinwellenspektrum Eq=0 = B0z 6= 0 (eingefügt). Parameter: S = 1, B0z = 10kG,
gJ = 1, J = 10meV=1730kG.
ˆ
rung in dünnen Schichtsystemen spielen die magnetischen Anisotropien. Diese können ebenfalls zu einem gap der Spinwellenenergie für q → 0 führen und somit die
Divergenz in (2.22) aufheben [27].
Im Folgenden möchten wir die magnetischen Anisotropien einführen. Dabei werden wir zwei verschiedene Anisotropien diskutieren, zum einen die intrinsische Gitteranisotropie und zum anderen die durch die Dipol-Dipol-Wechselwirkung hervorgerufene Formanisotropie.
2.2. Anisotropien
2.2
11
Anisotropien
Ändert sich die Grundzustandsenergie eines magnetischen Systems bei Rotation der Magnetisierung, so spricht man von magnetischer Anisotropie. Die Richtung
minimaler Energie, in der die Magnetisierung ohne äußere Felder ausgerichtet ist,
heißt magnetisch leichte Achse oder kurz leichte Richtung. Die Richtung maximaler
Energie heißt demnach magnetisch schwere Achse oder harte Richtung. Aus mikroskopischer Sicht gibt es für die magnetische Anisotropie zwei Ursachen:
(i) Dipol-Dipol-Wechselwirkung der lokalisierten Momente,
(ii) Spin-Bahn-Kopplung.
Zu (i): Das lokalisierte Moment mj am Ort rj erzeugt ein Dipolfeld am Ort ri :
(i)
BD
µ0
= −
4π
1
3
mj − 5 rij (mj rij ) ,
3
rij
rij
(2.23)
wobei rij = ri − rj der Verbindungsvektor zwischen den Gitterplätzen am Ort ri und
rj ist. Der Abstand zwischen den Gitterplätzen i und j in Einheiten der nächsten
Nachbardistanz a0 ist durch rij = |rij | gegeben. Das lokalisierte Moment mi am Ort
ri hat nun im Feld aller anderen Momente folgende Energie:
(i)
ED
i6=j 3
µ0 X 1
mi mj − 5 (mi rij )(mj rij ) .
=
3
4π j
rij
rij
(2.24)
Dies führt zu folgendem Zusatzterm im Hamilton-Operator:
i6=j
HD =
1
1X
g0 (Si Sj − 3(Si uij )(Sj uij )) 3 .
2 ij
rij
2
(2.25)
µ0 (gJ µB )
Dabei bezeichnet g0 = 4π~
die mikroskopische Dipolkopplungskonstante, gJ
2
a30
den Landé-Faktor, µB das Bohrsche Magneton, Si den Spinoperator am Gitterplatz
i und uij = rij /rij . Die aus der Dipol-Wechselwirkung resultierende Anisotropie
wird meist Formanisotropie genannt, da sie von der äußeren Form des Körpers abhängt. So bevorzugt ein langer, zylinderförmiger Eisenkörper eine Magnetisierung
entlang der Längsachse. Jedoch hat auch eine Eisenkugel trotz der isotropen Form
eine Vorzugsrichtung der Magnetisierung. Diese ist bedingt durch die Gitterstruktur
und wird demnach Kristallanisotropie oder auch intrinsische Anisotropie genannt.
Mikroskopisch kann man dies wie folgt verstehen (ii): Die Bahnbewegung der lokalisierten Elektronen am Gitterplatz i wird durch das elektrische Feld der übrigen
Atome beeinflußt. Durch die Periodizität der Anordnung der Atome spiegelt sich
die Symmetrie des Gitters in den elektrischen Feldern wider und koppelt so über
12
2. Grundlagen
die LS-Kopplung an die Spins. In 1.Ordnung Störungstheorie führt dies im Falle
uniaxialer Symmetrie zu folgendem Zusatzterm im Hamilton-Operator [28]:
X
HK = −
K2 (Siz )2 .
(2.26)
i
Hierbei bezeichnet K2 die so genannte uniaxiale Anisotropiekonstante 2.Ordnung.
Siz ist die z-Komponente des Spinoperators am Gitterplatz i. Höhere Entwicklungen
dieser Anisotropiebeiträge führen zu Termen 4.Ordnung (K4 -Terme). Für die von
uns untersuchten Substanzen sind diese jedoch meist um einige Größenordnungen
kleiner (K2 ≪ K4 ) [3] und werden im Folgenden vernachlässigt2 .
Obwohl sowohl die Gitter- als auch die Dipolanisotropiebeiträge aus quantenmechanischer Sicht nur kleine Korrekturen sind (≪ Austausch-Wechselwirkung), spielen sie dennoch gerade bei dünnen Filmen eine entscheidende Rolle. Sie bestimmen
die leichte magnetische Achse des Systems und damit die Ausrichtung der Magnetisierung. Daher sind Anisotropien für technologische Anwendungen, z.B. den GMREffekt, von enormer Bedeutung. Weiterhin beeinflussen sie maßgeblich magnetische
Eigenschaften dünner Filme, u.a. die Curie-Temperatur TC . Eine sorgsame und genaue Behandlung dieser Anisotropiebeiträge ist daher notwendig und verlangt eine
besondere Approximation, die wir im 3. Kapitel ausführlich diskutieren werden.
2
Tatsächlich spielen höhere Anisotropieterme bei der Stoffklasse der magnetischen Seltenen Erden eine große Rolle. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns jedoch mit den Übergangsmetallen, z.B.
F e, Co, N i.
2.3. Interlagen-Austauschkopplung
2.3
13
Interlagen-Austauschkopplung
Damit man eine antiparallele Ausrichtung der Magnetisierungen erhält, wird
bei gekoppelten Schichtsystemen die von Grünberg et al. [29] entdeckte InterlagenAustauschkopplung (engl. interlayer exchange coupling, IEC) ausgenutzt. Durch diese koppeln zwei ferromagnetische Schichten über eine nicht-magnetische Zwischenschicht, den sogenannten spacer. Im Hamilton-Operator wird dieser Anteil durch
folgenden Operator beschrieben:
H JI = −
α6=β
X
Jinter Siα Sjβ ,
(2.27)
<ij>
wobei der Parameter Jinter ein effektiver Parameter ist, der alle Beiträge des spacers
enthält. Für positive Jinter > 0 (ferromagnetische Kopplung) tendieren die Magnetisierungen der beiden Lagen zu einer parallelen Ausrichtung, für negative Jinter < 0
(antiferromagnetische Kopplung) zu einer antiparallelen Ausrichtung zueinander.
Die Periode, Amplitude und Phase der Kopplung in Abhängigkeit der Schichtdicke
der Zwischenschicht sind gut verstanden, insbesondere falls der spacer ein Edelmetall
wie z.B. Au, Ag oder Cu ist und im Rahmen eines quantenmechanischen Interferenzmodells beschrieben werden kann [30, 31]. Die Wechselwirkung resultiert aus der
Interferenz der Elektronen der Zwischenschicht, die an der Grenzfläche spacer/Metall
spinabhängig reflektieren. Das oszillatorische Verhalten der IEC, das sowohl zu ferromagnetischer als auch zu antiferromagnetischer Kopplung führen kann, ist Gegenstand zahlreicher Arbeiten (s. z.B. [32]). Die Temperaturabhängigkeit der IEC wird
beeinflußt durch Beiträge innerhalb der Zwischenschicht (Aufweichen der Fermioberfläche [30] oder Verminderung der Spin Asymmetrie der Reflektionskoeffizienten
[33]) als auch durch Effekte innerhalb der ferromagnetischen Lagen (Anregungen von
Magnonen [11]). Experimentell als auch theoretisch wurde inzwischen nachgewiesen,
dass die IEC mit zunehmender Temperatur mit einem T 3/2 Verhalten abfällt. Eine
quantitative Unterscheidung der beiden Beiträge
(i) Zwischenschichtbeiträge
(ii) magnetische Anregungen in den ferromagnetischen Schichten
zur Temperaturabhängigkeit konnte mit der in Ref. [8] vorgestellten Theorie untersucht werden. In [11] wurden experimentelle Resultate eines FMR-Experimentes an
einem AFM gekoppelten Systems N i7 /Cu9 /Co2 /Cu(001) [4] für verschiedene Temperaturen T gefittet und mit Ergebnissen der Einzelfilme verglichen. Hieraus konnte
bestimmt werden, dass der Anteil der magnetischen Anregungen zur Temperaturabhängigkeit der IEC ca. 75% beträgt.
14
2. Grundlagen
2.4
Green-Funktionen
Als mächtiges Werkzeug in der theoretischen Physik hat sich das Konzept der
Green-Funktionen etabliert. Diese erlauben, die für das Experiment zugänglichen
Messgrößen in Form von Erwartungswerten bzw. Korrelationsfunktionen ohne explizite Kenntnis der Zustandssumme zu berechnen. Selbstverständlich sind bei komplizierten wechselwirkenden Systemen auch in der Green-Funktionen-Technik gewisse
Approximationen in Form von Entkopplungen zu tolerieren. Auf diese werden wir
im nächsten Kapitel ausführlich eingehen. Wir werden nun eine kurze Zusammenstellung der für diese Arbeit benötigten Grundlagen der Green-Funktionen geben.
Für eine ausführliche Darstellung wird auf [34] verwiesen.
Für beliebige Operatoren A(t), B(t) ist die retardierte Green-Funktion3 definiert
als:
(η)
GAB (t, t′ ) ≡ hhA(t); B(t′ )ii
= −iθ(t − t′ )h[A(t), B(t′ )]η i,
(2.28)
(2.29)
wobei θ(t − t′ ) die Stufenfunktion, h...i den großkanonische Mittelwert und η = −
den Kommutator bzw. η = + den Antikommutator bezeichnet. A(t) und B(t) stellen
die (zeitabhängigen) Operatoren im Heisenberg-Bild dar. Ist der Hamilton-Operator
nicht explizit zeitabhängig, so läßt sich A(t) schreiben als:
i
i
A(t) = e ~ Ht Ae− ~ Ht
(2.30)
d
A(t) = [A, H]− (t).
dt
(2.31)
mit
i~
Die Green-Funktion ist damit nur noch von der Zeitdifferenz t − t′ abhängig und
lässt sich in der Energiedarstellung angeben:
Z +∞
i
′
(η)
(η)
GAB (E) ≡ hhA; BiiE =
d(t − t′ )GAB (t − t′ )e ~ E(t−t ) .
(2.32)
−∞
Bildet man nun die Zeitableitung von (2.28) unter Berücksichtigung von (2.31) und
fouriertransformiert gemäß (2.32), so erhält man die Bewegungsgleichung in der
Energiedarstellung:
EhhA; BiiE = ~h[A, B]η i + ΓAB (E).
(2.33)
Wobei
ΓAB (E) = hh[A, H]− ; BiiE
(2.34)
3
Im Rahmen dieser Arbeit wird ausschließlich die retardierte Green-Funktion verwendet. Daher
wird hier auf eine zusätzliche Indizierung der Übersichtlichkeit halber verzichtet.
2.4. Green-Funktionen
15
in der Regel eine höhere Green-Funktion darstellt. Um ein geschlossenes Gleichungssystem zu bekommen, bedarf es im Allgemeinen geeigneter Entkopplungen der höheren Green-Funktionen ΓAB (E). Mit anderen Worten: Die auf der rechten Seite in
(2.34) entstehenden Operatorprodukte müssen auf Produkte niedrigerer Ordnung
überführt werden. Diese Entkopplungen sind in diesem Sinne unkontrolliert, da die
Auswirkungen auf die Resultate des Gesamtsystems a priori nicht vorhersagbar sind.
Auf den nächsten Seiten werden wir anhand eines einfachen Beispiels zwei Entkopplungen diskutieren. Zunächst möchten wir noch eine ebenso wichtige Funktion wie
die Green-Funktion (2.28) einführen, die sogenannte Spektraldichte. Diese ist definiert als:
(η)
SAB (t − t′ ) ≡
1
h[A(t), B(t′ )]η i,
2π
(2.35)
und, falls wir sie als reell voraussetzen, mit der Green-Funktion (2.32) über
1
(η)
(η)
SAB = − ℑGAB (E)
π
Z +∞
(η)
SAB (E ′ )
(η)
′
GAB =
dE
E − E ′ + i0+
−∞
(2.36)
(2.37)
verknüpft. Aus der Spektraldichte lassen sich über das Spektraltheorem Korrelationsfunktionen bzw. Erwartungswerte (t = t′ ) berechnen:
1
hB(t)A(t)i =
~
Z
+∞
−∞
(η)
SAB (E) 1
dE βE
+ (1 − η) D,
e +η 2
(2.38)
wobei β = 1/kB T ist. Die Konstante D muss im Falle der Kommutator-Spektraldichte
(η = −) berücksichtigt werden. Sofern wir von (2.38) Gebrauch machen, müssen wir
die Konstante D bestimmen. Diese erhalten wir über die Antikommutator-GreenFunktion [34]:
(η)
lim GAB (E) = (1 + η)~D.
(2.39)
E→0
Ein Nichtbeachten von (2.39) kann mitunter zu widersprüchlichen oder falschen Aussagen führen (s. A).
16
2.5
2. Grundlagen
Entkopplungen
In diesem Abschnitt möchten wir anhand eines einfachen Beispiels zwei unterschiedliche Entkopplungen diskutieren. Dabei handelt es sich zum einen um die
mean-field-artige Tjablikov-Näherung [16] und zum anderen um die sogenannte CallenEntkopplung [35].
Ausgangspunkt sei wiederum das durch (2.7) gegebene System aus lokalisierten
magnetischen Momenten in einem homogenen, zeitunabhängigen Magnetfeld B0 =
(0, 0, B0z ):
X
X
Siz .
(2.40)
H=−
Jij (Si+ Sj− + Siz Sjz ) − gJ µB B0
i
i,j
Wir sind interessiert an dem thermodynamischen
Erwartungswert hSiz i, der im weP
sentlichen die Magnetisierung M (T, B0 ) ∼ i hSiz i bestimmt. Für den Betrag der
lokalisierten Spins möchten wir
1
S=
(2.41)
2
voraussetzen. Wir erhalten
Si− Si+ = ~(~S − Siz ),
(2.42)
G+−
ij (E) = hhSi+ ; Sj− iiE .
(2.43)
EG+−
ij (E) = ~h[Si+ , Sj− ]− i + hh[Si+ , H]− ; Sj− iiE .
(2.44)
[Si+ , Sj− ]− = 2~δij Siz
X
[Si+ , H]− = −2~
Jim (Sm+ Siz − Si+ Smz ) + gJ µB B0 Si+ .
(2.45)
2
da für S = 1/2 das Operatorprodukt Siz
= 1/4~2 = ~2 S 2 eine Operatoridentität ist.
Zur Bestimmung des Erwartungswerts hSi− Si+ i betrachten wir folgende retardierte
Kommutator-Greenfunktion in der Energiedarstellung (2.32):
Nach (2.33) gilt:
Wir berechnen die auf der rechten Seite auftretenden Kommutatoren:
(2.46)
m
Damit finden wir für die Bewegungsgleichung (2.44)
2
(E − gJ µB B0 )G+−
ij (E) = 2~ δij hSiz i−
X
− 2~
Jim (hhSm+ Siz ; Sj− iiE − hhSi+ Smz ; Sj− iiE ) . (2.47)
m
Bis zu diesem Resultat haben wir von keiner Näherung Gebrauch gemacht. Die obige
Gleichung ist daher exakt. Einer direkten Lösung stehen jedoch die höheren GreenFunktionen auf der rechten Seite entgegen. Für diese könnten wir wiederum die
Bewegungsgleichung aufstellen. Dies hätte jedoch das Auftreten von noch höheren
Green-Funktionen zur Folge. Um diese unendliche Kette von Bewegungsgleichungen
zu lösen, müssen wir die auftretenden höheren Green-Funktionen an geeigneter Stelle
entkoppeln. Eine solche Approximation ist dem Sinne unkontrolliert, dass es keine
direkte Begründung für die Entkopplung gibt. Eine Rechtfertigung der gewählten
Entkopplung kann später durch das erzielte Resultat gegeben werden.
2.5. Entkopplungen
17
Tjablikov-Näherung
Bei der sogenannten Random-Phase-Approximation (RPA) [16] wird der Operator Siz durch seinen thermodynamischen Erwartungswert hSiz i ersetzt. Dabei werden Fluktuationen um Siz vernachlässigt. Damit können wir die höheren GreenFunktionen in (2.47) entkoppeln gemäß:
hhSm+ Siz ; Sj− iiE −→ hSiz ihhSm+ ; Sj− iiE
RP A
(2.48)
hhSi+ Smz ; Sj− iiE −→ hSmz ihhSi+ ; Sj− iiE .
RP A
(2.49)
Wir nehmen Translationssymmetrie an,
hSiz i ≡ hSz i
(2.50)
und erhalten mit (2.48) und (2.49) die entkoppelte Bewegungsgleichung
X
2
(E − gJ µB B0 − 2~hSz iJij )G+−
(E)
=
2~
δ
hS
i
−
2~hS
i
Jim G+−
ij
z
z
ij
mj (E). (2.51)
m
Wir führen eine zweidimensionale Fouriertransformation auf Wellenzahlen durch,
Gq (E) =
1 X +− iq(Ri −Rj )
G e
N ij ij
und erhalten
Gq (E) =
2~2 hSz i
.
E − Eq + i0+
(2.52)
(2.53)
Die Pole der Green-Funktion entsprechen den Anregungsenergien der Magnonen des
Systems:
Eq = 2~hSz iJ(p − γq ) + gJ µB B0 ,
(2.54)
wobei p die Koordinationszahl bezeichnet, und der Strukturfaktor γq von der Gitterstruktur abhängig ist. Für ein quadratisches Gitter mit Gitterabstand a erhält
man γqsc = 2(cos aqx + cos aqy ). Die Anregungsenergien (2.54) und damit die Lösung
des Systems hängen natürlich von der gewählten Entkopplung ab. Bevor wir eine
alternative Entkopplung diskutieren, möchten wir zunächst die Magnetisierung des
Systems mit (2.54) berechnen. Die Spektraldichte (2.36) erweist sich nach (2.53) als
δ-Funktion:
1
Sq+− (E) = − ℑG+−
q (E)
π
= 2~2 hSz iδ(E − Eq ).
(2.55)
(2.56)
Mit Hilfe des Spektraltheorems (2.38) erhalten wir für den Erwartungswert hSi− Si+ i
(die zugehörige Konstante D im Spektraltheorem verschwindet für B0 = 0+ , s.
Anhang A):
1
1 X
.
(2.57)
hSi− Si+ i = 2~hSz i
βE
q
N q e
−1
18
2. Grundlagen
Unter der Voraussetzung S = 1/2 können wir von (2.42) Gebrauch machen
hSi− Si+ i = ~2 S − ~hSiz i
(S = 1/2)
(2.58)
und erhalten mit (2.57) folgendes Resultat:
hSz i = ~S
1
2 X
1−
βE
q
N q e
−1
!−1
.
(2.59)
Mit (2.54) und obiger Gleichung kann nun hSz i selbstkonsistent bestimmt werden.
Selbstverständlich sind auch andere Entkopplungen anstelle der Tjablikov bzw.
RPA Näherung denkbar. Lassen Sie uns an dieser Stelle anhand der Bewegungsgleichungen (2.47) eine alternative Entkopplung zu (2.48) und (2.49) diskutieren,
von der wir im späteren Verlauf bei der Behandlung der Anisotropiebeiträge noch
Gebrauch machen werden.
Anderson-Callen-Entkopplung
Die 1963 von Callen entwickelte und in der Literatur oftmals nach ihm benannte
Callen-Entkopplung [35] wurde später von Anderson und Callen [36] verwendet, um
den Beitrag der lokalen Anisotropie-Terme (2.26) zu berechnen. Um den Grundgedanken der Entkopplung [35] zu illustrieren, betrachten wir noch einmal die Gleichung (2.47). Die zuvor verwendete RPA-Näherung bestand darin, die Operatoren
Siz bzw. Sjz durch ihren thermodynamischen Erwartungswert zu ersetzen. An dieser
Stelle benutzen wir nun ein anderes Verfahren, dass zunächst für S = 1/2 diskutiert
wird. Ausgangspunkt sind die folgenden Darstellungsmöglichkeiten für den Operator
Siz :
1
(Si+ Si− − Si− Si+ )
2~
1
= ~S − Si− Si+
~
1
= −~S + Si+ Si− ,
~
Siz =
(2.60)
Siz
(2.61)
Siz
(2.62)
wobei die letzten beiden Gleichungen nur im Falle S = 1/2 gültig sind. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit (1 − α) und die zweite mit α und addieren beide
Gleichungen,
Siz = α~S +
1
1
(1 − α)Si+ Si− − (1 + α)Si− Si+ ,
2~
2~
(2.63)
wobei wir den Parameter α später noch festlegen werden. Setzen wir die Identität
(2.63) in (2.47) ein, so erhalten wir höhere Green-Funktionen:
hhSm+ Si− Si+ ; Sj− ii;
hhSi+ Sm− Sm+ ; Sj− ii;
hhSm+ Si+ Si− ; Sj− ii
hhSi+ Sm+ Sm− ; Sj− ii
(2.64)
(2.65)
2.5. Entkopplungen
19
Diese entkoppeln wir symmetrisch unter Berücksichtigung der Spinerhaltung
hhSm+ Si− Si+ ; Sj+ ii −→ hSm+ Si− ihhSi+ ; Sj− ii + hSi− Si+ ihhSm+ ; Sj− ii
(2.66)
hhSm+ Si+ Si− ; Sj+ ii −→ hSm+ Si− ihhSi+ ; Sj− ii + hSi+ Si− ihhSm+ ; Sj− ii
(2.67)
hhSi+ Sm+ Sm− ; Sj+ ii −→ hSi+ Sm− ihhSm+ ; Sj− ii + hSm+ Sm− ihhSi+ ; Sj− ii
(2.69)
hhSi+ Sm− Sm+ ; Sj+ ii −→ hSi+ Sm− ihhSm+ ; Sj− ii + hSm− Sm+ ihhSi+ ; Sj− ii
(2.68)
Setzen wir nun die Identität (2.63) in die Bewegungsgleichung (2.47) ein und entkoppeln gemäß (2.66)-(2.69), so erhalten wir:
α
hSm+ Si− ihhSi+ ; Sj− ii
(2.70)
~
α
hhSi+ Smz ; Sj− ii −→ hSz ihhSi+ ; Sj− ii − hSi+ Sm− ihhSm+ ; Sj− ii
(2.71)
~
Für α 6= 0 unterscheidet sich die Entkopplung (2.70) und (2.71) von der RPANäherung (2.48) und (2.49). Als nächstes möchten wir uns um eine physikalische
Festlegung des noch unbestimmten Parameters α bemühen. Wir werden α so wählen, dass der sich ergebende Fehler bei der Entkopplung möglichst klein ist. Für
α = 0 geht (2.63) in (2.60) über. Die Kombination (Si+ Si− − Si− Si+ ) spiegelt die
Fluktuationen von Siz um den Wert Null wider. Auf der anderen Seite greift der
Parameter α direkt an diesen Kombinationen an. Für geringe Fluktuationen sollte
der entstehende Entkopplungsfehler möglichst klein sein, daher fordern wir:
hhSm+ Siz ; Sj− ii −→ hSz ihhSm+ ; Sj− ii −
α ≈ 0 für hSz i ≈ 0
(2.72)
Für α = 1 geht (2.63) in (2.61) über. In dieser Darstellung ist die Abweichung von Siz
vom Wert ~S durch das Produkt Si− Si+ gegeben. Für kleine Abweichungen werden
wir also (2.61) wählen:
α ≈ 1 für hSz i ≈ ~S
(2.73)
Mit einer analogen Begründung wählen wir:
α ≈ −1 für hSz i ≈ −~S
(2.74)
Die drei Grenzfälle werden durch folgenden Ansatz erfüllt:
α=
hSz i
~S
(S = 1/2)
(2.75)
Die Verallgemeinerung auf beliebige Werte für S wird sich als nicht ganz so anschaulich erweisen. Für die Identitäten (2.60)-(2.62) finden wir in analoger Weiser:
1
(Si+ Si− − Si− Si+ )
2~
1
1
= ~S(S + 1) − (Siz )2 − Si− Si+
~
~
1
1
2
= −~S(S + 1) + (Siz ) + Si+ Si−
~
~
Siz =
(2.76)
Siz
(2.77)
Siz
(2.78)
20
2. Grundlagen
Wie zuvor multiplizieren wir die erste Gleichung mit (1 − α) und die zweite mit α
und addieren die beiden:
1
1
α
(1 − α)Si+ Si− −
(1 + α)Si− Si+ − (Siz )2 (2.79)
2~
2~
~
Wir können nun — analog zum vorherigem Vorgehen — die Identität (2.79) in die
höheren Green-Funktionen in der Bewegungsgleichung (2.47) einsetzen und gemäß
(2.66)-(2.69) entkoppeln. Die aus dem Operatorprodukt (Siz )2 auf der rechten Seite
von (2.79) resultierenden höheren Green-Funktionen entkoppeln wir ebenfalls unter
Berücksichtigung der Spinerhaltung
Siz = α~S(S + 1) +
2
2
ihhSm+ ; Sj− ii
; Sj− ii −→ hSiz
hhSm+ Siz
2
2
hhSi+ Smz
; Sj− ii −→ hSmz
ihhSi+ ; Sj− ii
(2.80)
(2.81)
und erhalten letztlich wieder das Resultat (2.70) und (2.71).
Die Wahl des Parameters α ist nun nicht mehr so eingängig wie für den Fall S =
1/2. So ist z.B. die Annahme, dass das Operatorprodukt Si− Si+ die Fluktuationen
von Siz um ~S bestimmt, nicht mehr ohne weiteres hinnehmbar. Für die physikalische
Bestimmung von α stellen wir folgende Bedingungen auf:
1. Die Identität (2.76) für beliebige S ist mit (2.60) identisch, daher können wir
analog zu (2.75) fordern:
α ≈ 0 für hSz i ≈ 0
(2.82)
2. Für tiefe Temperaturen gilt hSz i ≈ ~S, d.h. die Spin-Wellen-Näherung [28] ist
gültig
√
√
Si+ ≈ ~ 2Sai ,
(2.83)
Si− ≈ ~ 2Sai+ ;
mit
Siz = ~S − ~hai+ ai i
(2.84)
1
⇒ hSiz i ≈ ~S −
hSi− Si+ i.
(2.85)
2~S
Wir fordern, dass die Identität (2.79) für tiefe Temperaturen obige Gleichung
erfüllt. Zu diesem Zweck ersetzen wir Si+ Si− = 2~Siz + Si− Si+ in (2.79),
1
(1 − α) (2~Siz + Si− Si+ ) −
2~
α
1
− (1 + α)Si− Si+ − (Siz )2 (2.86)
2~
~
und bilden den Erwartungswert unter Berücksichtigung von hSiz i ≈ ~S und
h(Siz )2 i ≈ ~2 S 2 auf der rechten Seite von obiger Gleichung:
α
hSiz i ≈ ~S − hSi− Si+ i
(2.87)
~
Wir vergleichen (2.85) mit (2.87) und fordern:
Siz = α~S(S + 1) +
α(T ≈ 0) ≈
1
2S
(2.88)
2.5. Entkopplungen
21
3. Der Parameter α soll für S = 1/2 durch (2.75) bestimmt sein.
Offenbar werden alle Bedingungen durch folgenden Ansatz erfüllt:
α=
hSz i
2S 2 ~
(2.89)
Mit (2.79) und den Entkopplungen gemäß (2.66)-(2.69) haben wir eine alternative Methode kennengelernt, höhere Operatorprodukte in Bewegungsgleichgungen,
wie etwa (2.47), zu entkoppeln.
Wir werden an späterer Stelle bei der Behandlung der lokalen Anisotropiebeiträge
auf die Callen-Entkopplung zurückgreifen. Die Wahl der Entkopplungsmethode lässt
sich oftmals nur durch das Resultat rechtfertigen, z.B. im Vergleich mit numerisch
exakten Quantum-Monte-Carlo-(QMC)-Ergebnissen. Für die in diesem Beispiel diskutierten nicht-lokalen Austauschterme ergeben sich insgesamt Verbesserungen im
Temperaturverhalten für große Spins S [35]. Für kleine Spins S ≤ 2 hat sich im
Vergleich mit QMC Ergebnissen [37] eine RPA Näherung der Austauschterme als
bessere Entkopplung herausgestellt.
22
2. Grundlagen
3. Theorie
Das zu beschreibende System ist in Abbildung 3.1 dargestellt. Ziel ist es, eine sogenannte Sandwich-Struktur zu beschreiben. Diese kann aus zwei ferromagnetischen
Filmen A und B bestehen, die durch einen nicht-magnetischen spacer getrennt sind.
Die Kopplung zwischen den beiden Filmen über den spacer wird durch den Operator
Film A
spacer
Film B
Abbildung 3.1: Zwei Filme A und B die durch einen spacer getrennt sind.
(2.27) beschrieben. Der gesamte Einfluß des spacers wird auf den Parameter Jinter
abgebildet.
Wir beginnen mit folgendem Heisenberg-Operator H, der sich nun, verallgemeinert
auf ein Filmsystem, aus dem Anteil der Austausch-Wechselwirkung (2.2), einem
Zeeman-Beitrag durch das externe Feld, der Gitter- und Formanisotropie (2.25) und
(2.26) und dem Interlagenbeitrag (2.27) zusammensetzt:
H = (HA + HJI ) + HZ + HK + HD
X
X
X αβ
K2α (Siαz )2 +
gJα B0 Siα −
= −
Jij Siα Sjβ − µB
<ij>αβ
<i>α
(3.1)
<i>α
i6=j
1 X
1
+
g0α (Siα Sjα − 3(Siα uij )(Sjα uij )) 3
2 <ij>α
rij
(3.2)
Im ersten Term auf der rechten Seite obiger Gleichung sind die Terme der Austauschwechselwirkung (2.2) und der Interlagenkopplung (2.27) zu einem Term zusammengefasst. Dabei verwenden wir die nächste-Nachbar-Näherung:
JA (iα), (jβ) n.N. ∈ Film A
αβ
Jij =
(3.3)
Jinter (iα) ∈ Film A ∧ (jβ) ∈ Film B
24
3. Theorie
Hierbei bezeichnet JA den Heisenberg-Austauschparameter im Film A und Jinter
den in (2.27) definierten Parameter der Interlagenkopplung. Das Bohrsche Magneton wird wie üblich mit µB und der Landé-Faktor in der Lage α mit gJα gekennzeichnet. Der durch die Gitteranisotropie bestimmte Parameter K2α bevorzugt entweder eine Magnetisierungsrichtung senkrecht zur Filmebene (K2α > 0) oder parallel zur Filmebene (K2α < 0). Die mikroskopische Dipolkoppelkonstante ist mit
g0α = (gJα µB )2 /a30α gegeben, uij = rij /rij repräsentiert den normierten Verbindungsvektor zwischen den Gitterplätzen i und j und rij ist der Abstand zwischen
den Gitterplätzen i und j in Einheit der nächsten Nachbar-Distanz a0α .
Rotation
Σ → Σ′ , H ′
Bedingung für
φα , θα
ϕα → hSz′α i
nach Callen
G′ (ωI − M ′ ) = X ′
−→ E(q)
Abbildung 3.2: Skizze des verwendeten Algorithmus. Die Magnetisierungswinkel θα ,
φα und die Magnetisierung hSz′α i werden selbstkonsistent berechnet.
Die in dieser Arbeit weiterentwickelte Theorie basiert im wesentlichen auf einer
Rotation des Koordinatensystems Σ → Σ′α in jeder Lage α. Die zα′ -Achse ist im
System Σ′α parallel zur Magnetisierung Mα . Im gedrehten System Σ′α wird dann eine Bedingung für die Drehwinkel θα , φα hergeleitet. Alle Approximationen in Form
von Entkopplungen höherer Operatorprodukte werden im gedrehten System durchgeführt. Anschließend wird die Magnetisierung nach einer Prozedur von Callen, die
wir noch im Detail besprechen werden, selbstkonsistent berechnet. Die im Folgenden
diskutierten Lösungsschritte des Algorithmus sind in Abbildung 3.2 skizziert.
An dieser Stelle möchten wir den Grundgedanken der verwendeten Theorie motivieren. Die Entkopplungen, die wir in Kapitel 2.5 kennen gelernt haben, zeichnen
jeweils die z-Achse des Systems aus. Bei der RPA-Entkopplung haben wir in (2.48)
und (2.49) den Operator Sz durch den thermodynamischen Erwartungswert hSz i
ersetzt. Ähnlich haben wir innerhalb der von Callen vorgeschlagenen Methode die
z-Achse des Systems ausgezeichnet, indem wir Sz durch die Identität (2.79) ersetzten
und anschließend höhere Operatorprodukte symmetrisch entkoppelten (2.66)-(2.69).
Diese Auszeichnung der z-Achse ist gerechtfertigt, solange die Magnetisierung parallel zur z-Achse liegt. Im Falle einer Reorientierung, d.h. M ∦ ez , ist es fraglich, warum
der Operator Sz ausgezeichnet sein sollte. Wir können jedoch von den Näherungsverfahren (2.48),(2.49) und (2.79) Gebrauch machen, wenn wir das Koordinatensystem
3.1. Rotation des lokalen Koordinatensystems
25
zuvor rotieren Σ → Σ′ , so dass die neue z ′ -Achse parallel zur Magnetisierung liegt
M k ez′ . In diesem gedrehten System Σ′ führen wir nun Entkopplungen der Form
(2.48), (2.49) und (2.66)-(2.69) durch. Ein solches Vorgehen ist zwar plausibel, kann
jedoch nicht streng begründet werden. Die Rechtfertigung der verwendeten Näherung kann im Nachhinein durch das erhaltene Resultat gegeben werden. In Ref. [7]
wurde diese Methode, die auf der Rotation des Koordinatensystems beruht, verwendet, um den magnetfeldinduzierten Reorientierungsübergang von out-of-plane
zu in-plane zu untersuchen. Es hat sich herausgestellt, dass die Resultate im ausgezeichneten Einklang mit numerisch exakten QMC-Resultaten sind. Wir möchten
nun die einzelnen Schritte des Lösungs-Algorithmus in Abbildung 3.2 und die verwendeten Näherungen im Detail diskutieren. Wir beginnen mit der Rotation des
Koordinatensystems.
3.1
Rotation des lokalen Koordinatensystems
Im Allgemeinen liegt der Magnetisierungsvektor Mα in der Lage α nicht parallel
zur z-Achse (s. Abbildung 3.3). Wir drehen das Koordinatensystem in jeder Lage
α Σ → Σ′α , so dass die Magnetisierung parallel zur neuen zα′ -Achse liegt, d.h. es
ist Mα k ez′ α . Dies geschieht durch eine Drehung des Koordinatensystems durch
Z
Z’α
ΘM
Mα
α
φMα
Y’α
X
α
Y
X’α
Abbildung 3.3: Die zα′ -Achse des gedrehten Koordinatensystems Σ′α liegt parallel
zum Magnetisierungsvektor Mα in der Lage α.
folgende Rotationsmatrix (s. auch B):

cos (φα ) cos (θα ) sin (φα ) cos (θα ) − sin (θα )

− sin (φα )
cos (φα )
0
R′α = 

cos (φα ) sin (θα ) sin (φα ) sin (θα ) cos (θα )




(3.4)
26
3. Theorie
wobei wir die Winkel θα und φα zu einem späterem Zeitpunkt noch bestimmen
werden. Die vektoriellen Operatoren transformieren gemäß
x′α = R′α xα
−1
xα = (R′α ) x′α .
(3.5)
(3.6)
Um die nachfolgenden Rechnungen übersichtlicher zu gestalten, führen wir folgende Notation für die Funktionen cos(x) und sin(x) ein:
cφα = cos φα
sφα = sin φα
cφαβ = cos(φα − φβ ) = cφα cφβ + sφα sφβ = cφβα
(3.7)
sφαβ = sin(φα − φβ ) = sφα cφβ − cφα sφβ = −sφβα
Mit (3.6) können wir die einzelnen Komponenten des Hamilton-Operators (3.2)
in den Komponenten des gestrichenen Systems H′ (S′α )) ausdrücken.
3.2. Verwendete Näherungen
3.2
27
Verwendete Näherungen
In diesem Abschnitt möchten wir auf die verwendeten Approximationen im Detail eingehen. Wie wir schon anhand des Beispiels in Kapitel 2.5 erkannt haben, sind
die Bewegungsgleichungen der Green-Funktionen in der Regel nicht exakt lösbar.
Höhere Operatorprodukte führen zu höheren Green-Funktionen, und dies resultiert
oftmals in einer unendlichen Kette von Bewegungsgleichungen. Mit der TjablikovNäherung und der Callen-Entkopplung haben wir zwei mögliche Methoden kennen
gelernt, um höhere Operatorprodukte in Green-Funktionen zu entkoppeln.
Wir werden in den nächsten Schritten des Lösungs-Algorithmus ebenfalls auf höhere Operatorprodukte treffen, bei denen es sich sowohl um lokale (K2 -Terme) als
auch um nicht-lokale Operatorprodukte handelt. Dabei werden wir von den schon
diskutierten Approximationen Gebrauch machen, zum einen der Random Phase Approximation (RPA) [16] bzw. Tjablikov-Näherung, mit der wir alle nicht-lokalen
Produkte entkoppeln. Zum anderen werden wir für die Entkopplung lokaler Operatorprodukte, die aus dem Anteil der Gitteranisotropie in (3.1) resultieren, die
Anderson-Callen (A.C.) Entkopplung [36] verwenden. Für kleine Spins S ≤ 2, auf
die wir uns in dieser Arbeit beschränken, liefert eine Callen-Entkopplung der nichtlokalen Austauschterme keine Verbesserung des Temperaturverhaltens der Magnetisierung [36]. In Ref. [37] wird dies für S = 1/2 im Vergleich mit numerisch exakten
QMC-Resultaten bestätigt. Es zeigt sich, dass eine RPA-Entkopplung der (nichtlokalen) Heisenberg-Austauschterme anderen Entkopplungen, wie etwa einer meanfield oder A.C. Entkopplung, für kleine Spins überlegen ist. Jedoch trifft dies nicht
auf die (lokalen) Gitteranisotropiebeiträge zu. Ganz im Gegenteil hat sich in Ref. [7]
für S = 1 herausgestellt, dass eine RPA- oder mean-field-Entkopplung der lokalen
Operatorprodukte nicht ausreichend ist, um QMC Resultate zu reproduzieren. Eine
Näherung beruhend auf der A.C.-Entkopplung brachte hingegen quantitativ ausgezeichnete Übereinstimmung.
2
im Anteil der GitteranisoFür S = 1/2 stellt das lokale Operatorprodukt Siz
tropie (2.26) eine Operator-Identität dar, d.h. es gilt für einen beliebigen Operator
A:
(S = 1/2).
(3.8)
A, (Siz )2 − = 0
Wir werden zeigen, dass eine Callen-Entkopplung diesen Grenzfall, im Gegensatz zu
einer Tjablikov- oder meanfield-artigen Entkopplung, korrekt reproduziert:
A, (Siz )2 −
A, (Siz )2 −
AC
→
0
(S = 1/2)
(3.9)
9
0
(S = 1/2).
(3.10)
RP A,M F
Für den Anteil der Dipol-Wechselwirkung werden wir neben der Entkopplung noch
weitere Näherungen machen, die wir im Detail noch diskutieren werden. Beginnen
wir zunächst mit dem Anteil der nicht-lokalen Austausch-Wechselwirkung und der
Interlagenkopplung.
28
3. Theorie
Austausch-Terme
Die Anteile der Austausch-Wechselwirkung und der Interlagenkopplung werden
durch folgenden Anteil im Hamilton-Operator beschrieben:
X αβ
HJ = −
Jij Siα Sjβ .
(3.11)
<ij>αβ
Diesen Operator können wir mit (3.6) im gedrehten System Σ′α ausdrücken:
HJ′ = −
X
<ij>αβ
h
Jijαβ (cθα cθβ cφαβ + sθα sθβ )Siαx′ Sjβx′ + cφαβ Siαy′ Sjβy′ +
+ (sθα sθβ cφαβ + cθα cθβ )Siαz′ Sjβz′ − sφαβ (−cθα Siαx′ Sjβy′ + cθβ Siαy′ Sjβx′ )+
+ (cθα sθβ cφαβ − sθα cθβ )Siαx′ Sjβz′ + (cθβ sθα cφαβ − sθβ cθα )Siαz′ Sjβx′ +
i
− sφαβ (cθβ Siαy′ Sjβz′ − cθα Siαz′ Sjβy′ ) .
Wir möchten nun die höhere Green-Funktion hh[Siαz′ , HJ′ ]− ; Bii entkoppeln, wobei B
ein beliebiger Operator sei. Berechnen wir den Kommutator [Siαz′ , HJ′ ]− , so erhalten
wir Operatorprodukte der Form Siαz′ Sjαx′ . Diese entkoppeln wir symmetrisch
RP A
Siαz′ Sjαx′ −→ hSiαz′ iSjαx′ + hSjαx′ iSiαz′
(3.12)
wobei der zweite Summand auf der rechten Seite wegen hSjαx′ i = hSjαy′ i = 0 verschwindet. Wir finden mit der Annahme der Translationssymmetrie
hSiαz′ i ≡ hSαz′ i
(3.13)
für den Kommutator [Siαz′ , HJ′ ]− nach der Entkopplung:
ν6=α
X
1
RP A
′
αν
[Siαz′ , HJ ]− −→
Jim
hSmνz′ i[(sθα cθν − sθν cθα cφαν )Siαy′ − sθν sφαν Siαx′ ]. (3.14)
i~
<m>ν
Völlig analog werden wir an späterer Stelle die Kommutatoren [Siα±′ , HJ′ ]− gemäß
(3.12) und (3.13) berechnen.
Anteile der Gitteranisotropie
Wir schreiben zunächst den Anteil der Gitteranisotropie im gedrehten System
Σ′α :
X
2
2
′
(3.15)
− sθα cθα (Siαx′ Siαz′ + Siαz′ Siαx′ ) .
+ c2θα Siαz′
HK
=−
K2α s2θα Siαx′
<i>α
In Kapitel 2.5 haben wir im Rahmen der Callen-Entkopplung in den OperatorProdukten der Form Sm+ Siz den Operator Siz durch die Identität (2.79) ersetzt
und anschließend, unter Voraussetzung der Spinerhaltung, symmetrisch entkoppelt
3.2. Verwendete Näherungen
29
(2.66)-(2.69). Wir erhielten das Resultat (2.70). Die Auszeichnung der z-Achse durch
(2.79) ist nur gerechtfertigt, solange für die Magnetisierung in der Lage β Mβ k ez
gilt. Diese Bedingung ist für die zβ′ -Achse im gedrehten System Σ′β stets erfüllt. Wir
wählen mit der gleichen Begründung wie in 2.5:
Siβz′ =
αβ′ ~Sβ (Sβ + 1) +
αβ′
1
1
′
′
(1 − αβ )Siβ+′ Siβ−′ − (1 + αβ )Siβ−′ Siβ+′ −
(Siβz′ )2
2~
2~
~
(3.16)
mit
αβ′ =
hSβz′ i
2Sβ2 ~
(3.17)
und erhalten völlig analog zu (2.70) für die Entkopplung der lokalen Operatorprodukte
αβ
AC
Siβ+′ Siβz′ −→ hSβz′ i 1 −
(3.18)
hSiβ+′ Siβ−′ i Siβ+′
~
αβ
AC
Siβz′ Siβ+′ −→ hSβz′ i 1 −
(3.19)
hSiβ−′ Siβ+′ i Siβ+′ .
~
Addieren wir obige Gleichungen, so finden wir die für den weiteren Verlauf wichtige
Entkopplung:
AC
(3.20)
Siβ±′ Siβz′ + Siβz′ Siβ±′ −→ 2hSβz′ iCβ Siβ±′ ,
wobei der Faktor Cβ gegeben ist durch
Cβ = 1 −
1
2
S
(S
+
1)
−
hS
i
.
β
β
z′β
2Sβ2
(3.21)
Wir möchten an dieser Stelle bereits darauf hinweisen, dass der Faktor Cβ für
Sβ = 1/2 identisch Null ist.
CSβ =1/2 ≡ 0.
(3.22)
Mit Siβx′ = 1/2(Siβ+′ +Siβ−′ ) und Siβy′ = 1/(2i)(Siβ+′ −Siβ−′ ) erhalten wir weiterhin:
Siβx′ Siβy′ + Siβy′ Siβx′ −→ 0
AC
(3.23)
AC
Siβx′ Siβz′ + Siβz′ Siβx′ −→ 2hSβz′ iCβ Siβx′
(3.24)
AC
Siβy′ Siβz′ + Siβz′ Siβy′ −→ 2hSβz′ iCβ Siβy′ ,
(3.25)
wobei wir in der ersten Relation lediglich symmetrisch entkoppelt haben. Mit (3.20)(3.25) haben wir nun die für unsere Zwecke benötigen Entkopplungen zusammen.
′
Wir berechnen den Kommutator [Siαz′ , HK
]− nach der Entkopplung:
1
′
[Siαz′ , HK
]−
i~
=
−K2α [s2θα (Siαx′ Siαy′ + Siαy′ Siαx′ ) −
|
{z
}
AC
−→0
−
sθα cθα (Siαy′ Siαz′ + Siαz′ Siαy′ )]
{z
}
|
(3.23)
A.C.
−→ 2K2α sθα cθα hSiαz′ iCα Siαy′ .
(3.26)
30
3. Theorie
Mit (3.22) ist in diesem Fall der Grenzfall (3.10) für A = Siαz′ gezeigt. Entkoppeln
wir (3.26) im Rahmen der RPA-Näherung gemäß (3.12), so ist dieser Grenzfall im
allgemeinen nicht erfüllt:
S=1/2
1
RP A
′
6
0.
]− −→ 2K2α sθα cθα hSiαz′ iSiαy′ =
[Siαz′ , HK
i~
(3.27)
Anteil der Dipol-Dipol-Wechselwirkung
Für den Anteil der Dipol-Dipol-Wechselwirkung HD in (3.2) verwenden wir die
folgenden Näherungen:
1) Wir erweitern den Anteil HD um einen isotropen Anteil HDiso .
2) Da es sich um nicht-lokale Operatorprodukte handelt, entkoppeln wir die höheren Operatorprodukte analog zu den nicht-lokalen Operatorprodukten der
Austausch-Wechselwirkung im Rahmen der RPA-Näherung.
3) Bei q-abhängigen Gittersummen berücksichtigen wir nur den q = 0-Anteil.
Wir möchten nun die gemachten Näherungen im Einzelnen diskutieren.
Zu 1): Es erweist sich als große Vereinfachung, den Anteil der Dipol-Wechselwirkung
um einen isotropen Anteil
1 X
1
HDiso =
g0α Siα Sjα 3 .
(3.28)
4 <ij>α
rij
zu erweitern. Da dieser um einige Größenordnungen kleiner als der isotrope Anteil
der Austausch-Wechselwirkung ist (g0α ≪ J), kann dieser Anteil in den Parameter
J absorbiert werden:
X αβ
1
1 X
−
Jij Siα Sjβ +
g0α Siα Sjα 3 ≈ HJ
(3.29)
4
r
ij
<ij>α
<ij>αβ
Der isotrope Anteil HDiso gestattet es uns, den Anteil der Dipol-Wechselwirkung
in drei Anteile zu zerlegen (s. Anhang C.1):
HD + HDiso = HD1 + HD2 + HD3
(3.30)
mit
HD1 = +
HD2
HD3
i6=j
X
1
3
g0α Siαz Sjαz 3
4
rij
<ij>α
i6=j
X
3
1
= +
g0α (u2ijx − u2ijy )(Siαy Sjαy − Siαx Sjαx ) 3
4
rij
<ij>α
i6=j
X
1
3
g0α 2(Siαx Sjαy + Siαy Sjαx )uijx uijy 3 .
= −
4
rij
<ij>α
(3.31)
(3.32)
(3.33)
3.2. Verwendete Näherungen
31
Es wird sich im späteren Verlauf herausstellen, dass die Anteile HD2 und HD3 im
Rahmen der Näherungen keinen Einfluss auf die Bestimmung der Magnetisierungswinkel φα ,θα sowie die Magnetisierungsnorm haben werden. An HD1 erkennen wir
bereits eine qualitative ähnliche Form zum Anteil der lokalen Gitteranisotropie HK .
Das Produkt Siαz′ Sjαz′ in (3.31) ist jedoch nicht-lokal, was sich später durch verschiedene Temperaturabhängigigkeiten der beiden Anisotropiebeiträge (2.25) und
(2.26) äußern wird [10].
Zu 3): Wir werden an späterer Stelle zur Bestimmung der Magnetisierung analog
zu (2.52) eine zweidimensionale Fouriertransformation auf Wellenzahlen q durchführen. Dabei entstehen q-abhängige Gittersummen, z.B.
(q)
D2
s6=0
1 X iqRs 1 2
e
(u − u2sy ).
=
N s
rs3 sx
(3.34)
In diesem Fall berücksichtigen wir nur den nicht-dispersiven Anteil (q = 0), da
für q > 0 im Wesentlichen der Anteil der Austauschwechselwirkung (J ≫ g0 ) die
Energiemoden und somit die Magnetisierung bestimmt [38]. Für q → 0 verschwindet
hingegen der Anteil der Austauschwechselwirkung am Magnonenanregungsspektrum
Eq .
′
Wir berechnen als Beispiel wieder die Entkopplung des Kommutators Siαz′ , HD
.
1 −
Schreiben wir zunächst HD1 im gedrehten System Σ′α :
′
HD
=
1
i6=j
3 X
1
g0α (cθα Siαz′ − sθα Siαx′ ) (cθα Sjαz′ − sθα Sjαx′ ) 3 .
4 <ij>α
rij
(3.35)
Wir entkoppeln symmetrisch gemäß (3.12) und finden:
1
RP A 3
′
[Siαz′ , HD
] −→
g0 sθ cθ Siαy′ D,
1 −
i~
2 α α α
(3.36)
wobei D eine durch das Gitter bestimmte Konstante
l6=i
X
1
D =
r3
<l> il
(3.37)
ist. Wir zeigen in C.2, dass für die beiden anderen Anteile, HD2 und HD3 , aufgrund
der Gittersymmetrie gilt:
1
RP A
′
[Siαz′ , HD
] −→ 0
2 −
i~
1
RP A
′
[Siαz′ , HD
] −→ 0.
3 −
i~
(3.38)
(3.39)
32
3.3
3. Theorie
Bestimmung der Magnetisierungswinkel
Um die Winkel der Magnetisierung θα und φα lagenaufgelöst bestimmen zu können, bedarf es für jede Lage α jeweils zweier linear unabhängiger Gleichungen. Diese
erhalten wir wie folgt:
Es sei Sẑ die ẑ-Komponente der Magnetisierung in der Quantisierungsachse ẑ des
Gesamtsystems. Mit dem Hamilton-Operator H′ (3.2) gilt:
[Sẑ , H′ ]− = 0.
(3.40)
Nun setzt sich Sẑ aus den zα′ -Komponenten der einzelnen Lagen α zusammen und
diese wiederum aus den Operatoren der einzelnen Gitterplätze i, so daß man schreiben kann:
#
"
XX
= 0.
(3.41)
Siαz′ , H′
α
i
−
Die Quantisierungsachsen zα′ der einzelnen Lagen α sind im allgemeinen nicht parallel.
Die einzelnen Anteile des Kommutators [Siαz′ , H′ ]− in der Näherung der Entkopplungen haben wir mit (3.14), (3.26) und (3.36)-(3.39) schon berechnet. Für den
Anteil des Magnetfeldes ergibt sich:
1
[Siαz′ , HZ′ ]− = gJα µB [(cθα cφα B0x − cθα sφα B0y − sθα B0z )Siαy′ +
i~
+ (sφα B0x + cφα B0y (−Siαx′ ))].
(3.42)
Nehmen wir für den Erwartungswert hSiαz′ i Gitterinvarianz an, d.h.
hSiαz′ i ≡ hSαz′ i,
(3.43)
so ergibt sich aus (3.14), (3.26) und (3.36)-(3.39), sowie (3.42):
1
[Siαz′ , H′ ]−
i~
RP A,A.C.
−→
fαν Siαx′ + gαν Siαy′ ,
(3.44)
wobei die Funktionen fαν und gαν gegeben sind durch:
fαν :=
ν6=α
X
<m>ν
αν
2Jim
hSνz′ i(sθα cθν −sθν cθα cφαν )−gJα µB (cθα cφα B0x +cθα sφα B0y −sθα B0z )+
und
gαν :=
3
+ sθα cθα hSαz′ i 2K2α Cα − g0α D
2
ν6=α
X
<m>ν
αν
2Jim
hSνz′ isθν sφαν − gJα µB (−sφα B0x + cφα B0y ).
(3.45)
(3.46)
3.3. Bestimmung der Magnetisierungswinkel
33
Wir führen nun in (3.41) die Summation über die Gitterplätze i durch und erhalten:
"
#
XX
0 = [Sẑ , H]−
=
Siαz′ , H
(3.47)
α
RP A,A.C.
−→
X
i
−
f˜αν Sαx′ + g̃αν Sαy′
(3.48)
α
Man beachte, dass die Quantisierungsachsen und damit die Gleichgewichtswinkel
θα und φα jeder Lage α voneinander verschieden sein können. Da die Gesamt-x- und
Gesamt-y-Komponente der Lage α und β,
X
(3.49)
Siαx′
Sαx′ =
i
Sαy′ =
X
Siαy′ ,
(3.50)
i
in verschiedenen Räumen wirken, muss jeder Summand in (3.48) verschwinden. Es
gilt weiterhin, dass in jeder Lage α Sαx′ und Sαx′ linear unabhängig voneinander
sind. Wir können also schließen, dass f˜αν und g̃αν jeweils Null sein müssen im Rahmen der Entkopplungen.
Dies führt nach einer zweidimensionalen Fouriertransformation zu zwei Bestimmungsgleichungen für die Winkel θα und φα :
ν6=α
X
ν
2J0αν hSνz′ i(sθα cθν − sθν cθα cφαν ) − gJα µB (cθα cφα B0x + cθα sφα B0y − sθα B0z )+
!
α
+ sθα cθα Kef
f = 0 (3.51)
ν6=α
X
ν
!
2J0αν hSνz′ isθν sφαν − gJα µB (−sφα B0x + cφα B0y ) = 0,
(3.52)
α
wobei sich das temperaturabhängige Anisotropiefeld Kef
f (T) als eine der zentralen
Größen der Theorie herausstellen wird:
3
1
2
α
Kef f = hSαz′ i(T ) 2K2α 1 − 2 Sα (Sα + 1) − hSz′α i(T ) − g0 D . (3.53)
2Sα
2
Mit (3.51) und (3.52) lassen sich die Gleichgewichtswinkel θα ,φα lagenaufgelöst bestimmen, wenn die Magnetisierung hSαz′ i in den einzelnen Lagen bekannt ist. Im
nächsten Abschnitt werden wir die Magnetisierung nach einer von Callen [35] vorgeschlagenenen Methode bestimmen.
34
3.4
3. Theorie
Bestimmung der Magnetisierung hSαz′i
Wir haben im einleitenden Beispiel in Kapitel 2.5 für S = 1/2 die Green-Funktion
G+−
ij (E) = hhSi+ ; Sj− iiE gewählt. Über den Erwartungswert hSi− Si+ i konnten wir
mit der Identität (2.42) den Erwartungswert hSiz′ i berechnen.
Für S > 1/2 ist (2.42) im allgemeinen keine Identität mehr. Wir erhalten analog
zu (2.42) für S > 1/2:
hSi− Si+ i = ~2 S(S + 1) + ~hSiz i − h(Siz )2 i.
(3.54)
2
2
Das Operatorprodukt (Siz
) auf der rechten Seite obiger Gleichung erfordert nun
eine Green-Funktion, die einen Zusammenhang zwischen den Erwartungswerten der
2 n
Potenzen von (Siz
) liefert. Wir werden hier eine von Callen vorgeschlagene parametrisierte Green-Funktion verwenden, um im Folgenden die Magnetisierung zu
berechnen.
Für die Bestimmung der Magnetisierung führen wir die retardierte Green-Funktion
ein:
(a)σσ̃
(a)
Gijαβ = hhSiασ ; Bjβ σ̃ ii = hhSiασ ; eaSjβz′ Sjβ σ̃ ii
(3.55)
mit σ, σ̃ = +′ /−′ . Die Bewegungsgleichung ergibt sich nach (2.33):
(a)σσ̃
(a)
(a)
EGijαβ (E) = ~h[Siασ ; Bjβ σ̃ ]− i + hh[Siασ , H′ ]− ; Bjβ σ̃ iiE
(3.56)
Wir benötigen für die Lösung die Inhomogenität
(a)
mit
(a)
h[Siασ ; Bjβ σ̃ ]− i = ηασσ̃ δαβ δij
(3.57)
(a)
ηασσ̃ := h Siασ , eaSiαz′ Siασ̃ − i
(3.58)
sowie den Kommutator [Siασ , H′ ]− , den wir gemäß den in 3.2 diskutierten Näherungen entkoppeln. Wir finden nach anschließender zweidimensionaler Fouriertransformation und nächster Nachbar-Näherung (3.3):
1 1 X iqRi
RP A,AC
e
[Siα+′ , H′ ]− = [Sqα+′ , H′ ]− −→
~N i
+−
α
2 J0αα − Jqαα hSαz′ i + Bef
f Sqα+′ + Aα Sqα−′ +
+
ν6=α
X
+−
++
Sqα−′
Bαν
Sqα+′ + Bαν
ν
und
1 1 X iqRi
RP A,AC
e
[Siα−′ , H′ ]− = [Sqα−′ , H′ ]− −→
~N i
−+
α
− 2 J0αα − Jqαα hSαz′ i + Bef
f Sqα−′ + Aα Sqα+′ +
+
ν6=α
X
ν
(3.59)
−+
−−
Sqα+′ , (3.60)
Bαν
Sqα−′ + Bαν
3.4. Bestimmung der Magnetisierung hSαz′ i
35
Wir haben in (3.59) und (3.60) analog zu [38, 39] in den auftretenden q-abhängigen
Gittersummen nur die q = 0 Beiträge berücksichtigt (s. auch Anhang C). Mit (3.57)(3.60) können wir nun die Bewegungsgleichung (3.56) nach Fouriertransformation
schreiben:
1
(a)+′ −′
(a)
(a)+′−′
(a)−′−′
EGqαβ
= ηα+′ −′ δαβ + A++
+ A+−
+
α Gqαβ
α Gqαβ
~
ν6=α X
++ (a)+′−′
+− (a)−′−′
Bαν
Gqνβ + Bαν
Gqνβ
(3.61)
+
ν
mit den Abkürzungen:
α
αα
αα
A++
= −A−−
hSαz′ i + Bef
f
α
α = 2 J0 − Jq
1
2
α
A+−
= −A−+
α
α = − Kef f sθα ,
2
α
Bef
f
=
ν6=α
X
ν
(3.62)
(3.63)
2J0αν (sθα sθν cφαν + cθα cθν )hSνz′ i+
1 2
α
2
+ gJα µB (sθα cφα B0x + sθα sφα B0y + cθα B0z ) + Kef
f (cθα − sθα ) (3.64)
2
++
(3.65)
Bαν
= −Jqαν cθα cθν cφαν + sθα sθν + cφαν + isφαν (cθα + cθν ) hSαz′ i
∗
−−
= − Bαν
+−
(3.66)
Bαν
= −Jqαν cθα cθν cφαν + sθα sθν − cφαν + isφαν (cθν − cθα ) hSαz′ i
∗
−+
,
= − Bαν
sowie
1
(a)
(a)−′ −′
(a)−′−′
(a)+′−′
= ηα−′ −′ + A−−
EGqαβ
+ A−+
+
α Gqαβ
α Gqαβ
~
ν6=α X
−− (a)−′−′
−+ (a)+′−′
Bαν
Gqνβ + Bαν
Gqνβ
. (3.67)
+
ν
(a)+′+′
(a)−′+′
Völlig analog erhalten wir entsprechende Gleichungen für Gqαβ und Gqαβ .
Mit (3.61)-(3.67) können wir (3.56) in kompakter Form schreiben als:
!
−1
+−
(a)
(a)
−−
η
η
1 G+−
Mq
G
M ++
′
′
′
′
q
q
q
+
−
−
−
,
(3.68)
=
EI −
++
G−+
M −+
M −−
η (a)
η (a)
~ Gq
q
q
q
+′ +′
−′ +′
wobei I die (2n × 2n) Einheitsmatrix
(3.62)-(3.66) gegeben sind:
Mq+− αβ
Mq−− αβ
Mq−+ αβ
Mq++ αβ
ist und die Einträge der Matrizen M σσ̃
q durch
++
= A++
α δαβ + Bβα
(3.69)
+−
Bβα
(3.70)
=
A+−
α δαβ
+
+− ∗
= − Mq
αβ
= − Mq
αβ
−− ∗
(3.71)
.
(3.72)
36
3. Theorie
Die Inhomogenitäten sind durch Diagonalmatrizen der Form
(a)
η (a)
= ηασσ̃ δαβ
σσ̃
αβ
(3.73)
(a)
gegeben. Es zeigt sich, dass lediglich die Inhomogenitäten ηα+′ −′ für die Bestimmung
der Magnetisierung hSαz′ i relevant sind.
(a)+′−′
Betrachten wir die Green-Funktion Gqαα . Die lagenabhängige Spektraldichte
(a)+′−′
(a)
kann wegen (3.68) geschrieben werden als Summe von
(2.36), Sqα = − π1 ℑGqαα
δ-Funktionen:
X
(a)
(a)
Sqα
= ~ηα+′ −′
χαν (q)δ(E − Eν (q)),
(3.74)
ν
wobei die Pole der Green-Funktion (3.56) und damit die Anregungsenergien Eν (q)
als Eigenwerte der Matrix M q und die zugehörigen Gewichte χαν numerisch bestimmt werden. Mit Hilfe des Spektraltheorems (2.38) und der Spektraldichte (3.74)
läßt sich der Erwartungswert
1 X iq(Riα −Rjα ) aSjαz′
e
he
Sjα−′ Siα+′ i
(3.75)
pα (q, a) =
N <ij>
= ηα+′ −′ (a)
X
ν
χαν (q)
βE
e ν (q) −
1
bestimmen. Wir summieren über alle Wellenvektoren q und erhalten:
1 X
pα (a) =
pα (q, a) = heaSαz′ Sα−′ Sα+′ i =: ηα+′ −′ (a)ϕα ,
N q
wobei wir die effektive Magnonenbesetzungszahl
1 X X χαν (q)
ϕα =
N q ν eβEν (q) − 1
(3.76)
(3.77)
(3.78)
für jede Lage α definiert haben. Den gewünschten Eigenwert hSαz′ i erhalten wir über
eine Differentialgleichung
Ωα (a) = heaSαz′ i
d
hSαz′ i =
Ωα (a)
da
a=0
(3.79)
(3.80)
Stellen wir nun den Zusammenhang zwischen pα (a), ηα (a) und a her. Mit der Identität (Beweis durch vollständige Induktion)
folgt
[Siα+′ , (Siαz′ )n ]− = ((Siαz′ − ~)n − (Siαz′ )n ) Siα+′
X 1
Siα+′ , eaSiαz′ − =
an [Siα+′ , (Siαz′ )n ]−
n!
n
X 1
=
an ((Siαz′ − ~)n − (Siαz′ )n ) Siα+′
n!
n
= e−a~ − 1 eaSiαz′ Siα+′ .
(3.81)
(3.82)
(3.83)
(3.84)
3.4. Bestimmung der Magnetisierung hSαz′ i
37
Damit können wir ηα+′ −′ (a) schreiben
ηα+′ −′ (a) = h Siα+′ , eaSiαz′ Siα−′ − i
(3.85)
= he
[Siα+′ , Siα−′ ]− + Siα+′ , eaSiαz′ − Siα−′ i
= 2~heaSiαz′ Siαz′ i + e−a~ − 1 heaSiαz′ Siα+′ Siα−′ i.
aSiαz′
Mit der Identität
~Siαz′ = ~2 Sα (Sα + 1) − (Siαz′ )2 − Siα−′ Siα+′
(3.86)
(3.87)
(3.88)
folgt dann:
ηα+′ −′ (a) =
+
−
=
+
e−a~ − 1 heaSiαz′ i~2 Sα (Sα + 1) +
heaSiαz′ Siαz′ i 2~ + ~e−a~ − ~ −
2
e−a~ − 1 heaSiαz′ Siαz′
i
2
−a~
~ Sα (Sα + 1) e
− 1 Ωα (a) +
d
d2
~ e−a~ + 1
Ωα (a) − e−a~ − 1
Ωα (a).
da
da2
(3.89)
(3.90)
(3.91)
Mit (3.88) läßt sich (3.77) ebenfalls als Funktion von Ωα (a) schreiben:
pα (a) = heaSαz′ Sα−′ Sα+′ i
(3.92)
= ~2 Sα (Sα + 1)Ωα (a) − ~
2
d
d
Ωα (a) − 2 Ωα (a) = ηα+′ −′ (a)ϕα . (3.93)
da
da
Mit (3.91) können wir eine Differentialgleichung für Ωα (a) aufstellen:
d
d2
−a~
Ωα (a)+
Ω
(a)
+
~
e
+
1
ϕ
+
~
− e−a~ − 1 ϕα + 1
α
α
2
da 2 da
+ ~ Sα (Sα + 1) e−a~ − 1 ϕα − ~2 Sα (Sα + 1) Ωα (a) = 0 (3.94)
⇒
e−a~ + 1 ϕα + 1
d2
− ~2 Sα (Sα + 1)Ωα (a)
Ωα (a) − ~ −a~
2
da
(e
− 1) ϕα − 1
=
0. (3.95)
Die Lösung dieser Differentialgleichung 2.Ordnung bedarf zweier Randbedingungen.
Aus der Definition (3.79) folgt direkt
Ωα (0) = 1
(3.96)
Mit Sαz′ = −~Sα , . . . , ~Sα erhalten wir die 2. Bedingung
+S
Yα
msα =−Sα
(Sαz′ − ~mSα ) = 0 ⇒
+S
Yα
msα =−Sα
d
= 0.
− ~mSα Ωα (a)
da
a=0
(3.97)
38
3. Theorie
Mit den Randbedingungen (3.96) und (3.97) finden wir die Lösung der Differentialgleichung [28]:
Ωα (a) =
ϕα2Sα +1 e−a~Sα − (1 + ϕα )2Sα +1 e~(Sα +1)a
.
(ϕα2Sα +1 − (1 + ϕα )2Sα +1 )((1 + ϕα )e~a − ϕα )
(3.98)
Wir erhalten somit den gewünschten Erwartungswert hSαz′ i für jede Lage α
α +1
d
(1 + ϕα )2Sα +1 (Sα − ϕα ) + ϕ2S
(Sα + 1 + ϕα )
α
hSαz′ i =
Ωα (a)
.
=
2S
+1
2S
+1
da
(1 + ϕα ) α − ϕα α
a=0
(3.99)
Für den Entkopplungs-Faktor Cα (3.21) benötigen wir noch den Erwartungs2
wert hSαz′
i. Zu diesem Zweck berechnen wir den Erwartungswert hSα−′ Sα+′ i. Diesen
erhalten wir aus der Spektraldichte (3.74) für a = 0 mit (3.78) zu
hSα−′ Sα+′ i = 2~hSαz′ iϕα .
(3.100)
Setzen wir (3.88) in (3.100) ein, so erhalten wir
2
hSαz′
i = ~2 Sα (Sα + 1) − ~hSαz′ i(1 + 2ϕα ).
(3.101)
Der Übersichtlichkeit halber fassen wir an dieser Stelle die wichtigsten Resultate
der Theorie kompakt zusammen:
(a) Die Winkel θα und φα sind mit (3.51),(3.52) bestimmt durch die Magnetisierungen hSνz′ i, ν = 1, 2, . . ..
(b) Die lagenaufgelöste Magnetisierung hSαz′ i ergibt sich mit (3.99) als Funktion
von ϕα .
2
(c) Die für die Callen-Entkopplung in (3.21) benötigte Größe hSαz
′ i ist durch
(3.101) gegeben.
(d) Die effektive Magnonenbesetzungszahl ϕα ergibt sich zu
ϕα (T ) =
1 X X χαν (q)
,
N q ν eβEν (q) − 1
(3.102)
(e) wobei sich die Magnonenanregungsenergien Eν (q) und die Gewichte χαν numerisch aus der Matrix M q (3.69)-(3.72) bestimmen lassen.
(a)-(e) bilden ein geschlossenes Gleichungssystemm, welches nunmehr selbstkonsistent gelöst werden kann.
3.5. Das effektive Magnetfeld
3.5
39
Das effektive Magnetfeld
Wir möchten an dieser Stelle eine anschaulichere Methode herleiten, die Magnetisierungswinkel θα und φα zu bestimmen. Für diesen Zweck definieren wir ein
lagenabhängiges effektives Feld Bαef f , welches die Bedingungen für die Gleichgewichtswinkel (3.51) und (3.52) erfüllt und parallel zur Magnetisierung liege. Wir
machen folgenden Ansatz in Kugelkoordinaten:
Bαef f

sin θα cos φα
α 
sin θα sin φα 
= Bef
f
cos θα

(3.103)
α
Die Norm Bef
ist durch (3.64) gegeben. Berechnen wir nun die einzelnen
f des Feldes
α
Komponenten Bef f i im ungedrehten System. Wir erhalten:
Bαef f
x
α
Bef
f sθα cφα
"ν6=α
X
2J0αν (sθα sθν cφαν + cθα cθν )hSνz′ i+
=
(3.64)
=
(3.104)
ν
+gJα µB (sθα cφα B0x + sθα sφα B0y + cθα B0z )
1 2
α
2
+Kef f (cθα − sθα ) sθα cφα
2
(3.105)
Die Anteile des Magnetfeldes B0y und B0z in (3.105) können durch die Winkelgleichungen ausgedrückt werden, aus (3.51) folgt:
cθα cφα sθα gJα µB B0z = −
ν6=α
X
ν
2J0αν hSνz′ i(sθα cθν − sθν cθα cφαν )cθα cφα +
α
+ gJα µB (c2θα c2φα B0x + c2θα sφα cφα B0y ) − sθα c2θα cφα Kef
f (3.106)
und mit (3.52) gilt:
gJα µB cφα sφα B0y =
ν6=α
X
ν
2J0αν hSνz′ isθν sφα sφαν + gJα µB s2φα B0x .
(3.107)
Setzen wir (3.106) und (3.107) in (3.105) ein, so erhalten wir mit hSνx i = hSνz′ isθν cφν
das Resultat:
Bαef f
x
α
= Bef
(3.108)
f sin θα cos φα
ν6=α
X
3
2
= gJα µB B0x − K2α Cα − g0 D sθα hSαx i +
2J0αν hSνx i.(3.109)
4
ν
40
3. Theorie
Analog ergeben sich die anderen Komponenten:
α
Bαef f y = Bef
(3.110)
f sin θα sin φα
ν6=α
X
3
= gJα µB B0y − K2α Cα − g0 D s2θα hSαy i +
2J0αν hSνy i
4
ν
α
α
Bef f z = Bef f cos θα
(3.111)
ν6=α
X
1 2
3
2
2J0αν hSνz i.
= gJα µB B0z + 2K2α Cα − g0 D (cθα + sθα )hSαz i +
2
2
ν
Man erkennt die Anteile des effektiven Feldes
Bα
Kα
J αν
Bαef f = Bef0f + Bef2f + BefI f
mit dem externen Feld
Bα
Bef0f
dem Anisotropiefeld
α
Kef
f
Bef f

B0x
= gJα µB  B0y  ,
B0z

(3.112)
(3.113)

− K2α Cα − 43 g0 D s2θα hSαx i
=
− K2α Cα − 34g0 D s2θα hSαy i
=
3
1 2
2
2K2α Cα − 2 g0 D (cθα + 2 sθα )hSαz i



− 21 s3θα cφα
α

 (3.114)
− 21 s3θα sφα
= Kef
f (T )
1 2
2
(cθα + 2 sθα )cθα
und dem Interlagen-Feld
JIα
Bef f =
ν6=α
X
ν

ν6=α
hSνx i
X
αν 

hSνy i
J0αν Sν (T ).
=2
2J0
ν
hSνz i

(3.115)
Sind die Komponenten des effektiven Feldes (3.112) bekannt, so können wir anstelle der Bestimmungsgleichungen (3.51) und (3.52) die Gleichgewichtswinkel θα
und φα mit (3.103) berechnen.
Diskutieren wir die einzelnen Beiträge des effektiven Feldes. Das externe Feld hat
nach (3.113) auf die Bestimmung der Winkel θα und φα einen temperaturunabhängigen Einfluss und führt für genügend große Felder,
Bα
Kα
Jα
Bα
Bef0f ≫ Bef2f , BefI f → Bαef f ≈ Bef0f ,
(3.116)
zu einer parallelen Ausrichtung der Magnetisierung
zum externen Feld.
K2α
Das temperaturabhängige Anisotropiefeld Bef f (T ) ist selbst abhängig von den
Winkeln θα ,φα und somit weniger anschaulich. Es wird jedoch an dieser Stelle noch
3.5. Das effektive Magnetfeld
41
einmal deutlich, dass die Gleichgewichtswinkel nicht durch eine explizite Funktion im
Sinne von θα 6= f (B0 , K2 , g0 , Jinter ) gegeben sind, sondern vielmehr selbstkonsistent
bestimmt werden müssen.
Wesentlich anschaulicher ist dagegen das effektive Interlagenfeld. Wir erkennen
unmittelbar, dass im Falle positiver (FM) Interlagenkopplung J0αν > 0 zwischen den
Lagen α und ν eine parallele Ausrichtung beider Magnetisierungen bevorzugt wird,
J α >0
BefI f
Bα
Kα
J α >0
≫ Bef0f , Bef2f → Bαef f ≈ BefI f
→ Sα ↑↑ Sν ,
(3.117)
während ein negative (AFM) Kopplung J0αν < 0 zu einer antiparallelen Ausrichtung
der Magnetisierungen führen kann
J α <0
BefI f
Bα
Kα
J α <0
≫ Bef0f , Bef2f → Bαef f ≈ BefI f
→ Sα ↑↓ Sν .
(3.118)
Die Einführung eines effektiven Feldes ist natürlich nicht zwingend erforderlich,
sie bietet jedoch eine numerisch wesentlich bequemer zu handhabender Methode,
die Gleichgewichtswinkel zu bestimmen. Weiterhin ermöglicht es die anschauliche
Interpretation der verschiedenen Einflüsse, die für die Bestimmung der Magnetisierungswinkel verantwortlich sind.
42
3. Theorie
Dünne Filme:
Wir möchten an dieser Stelle eine Approximation für dünne Filme diskutieren.
Damit seien Filme der Dicke d gemeint, deren lagenaufgelöste Magnetisierungen
parallel zueinander liegen. Dies ist für genügend dünne Filme aufgrund der starken Austauschwechselwirkung J zwischen den einzelnen Lagen eine gerechtfertigte
Annahme. Verkantete Zustände — die Magnetisierungsvektoren der einzelnen Lagen sind also nicht mehr parallel zueinander — treten für die in dieser Arbeit untersuchten Filmsysteme tatsächlich nur in einem sehr schmalen Filmdicken-Bereich
δd = d2 − d1 auf. Für das von uns später untersuchte N i/Cu(001)-System wird in
[40] eine verkantete Phase zwischen d1 = 7.1ML und d2 = 7.4ML gefunden. Angenommen die Magnetisierungen aller Lagen eines Filmes seien parallel zueinander, so
würde dies auch für die effektiven Felder (3.112) gelten. Diese Tatsache möchten wir
uns im Folgenden zunutze machen.
Betrachten wir einen dünnen Film A aus n Monolagen. Diese seien durch die
Austauschkoppelkonstante (J ≫ K, B0 , g0 ) miteinander gekoppelt. Die Lage β wirkt
demnach auf die angrenzende Lage α über das Interlagenfeld (3.115) über einen Beitrag ∼ J · Mβ zur Bestimmung der Gleichgewichtswinkel θα und φα . Dies führt dann
in dünnen Filmen zu einer parallelen Ausrichtung der Magnetisierungsvektoren der
einzelnen Lagen zueinander und nach (3.103) damit zu einer parallelen Ausrichtung
der effektiven Felder (Bαef f k Bβef f ∀α, β). Die Vorzugsrichtung des Gesamtsystems
ergibt sich in guter Näherung über die Mittelung aller effektiven Felder Bαef f :
Bef f =
X
γβ Bβef f
(3.119)
β
mit dem Gewichtsfaktor γβ . Wenn sich eine Lage β mit hSβz′ i > hSαz′ i im Filmsystem
befindet, wird die Richtung des Magnetisierungsvektors des Gesamtsystems nach
(3.115) stärker von der Ausrichtung der Lage β beeinflusst als von der Lage α. Da
J
die Lagen durch das Interlagenfeld Befαβf ∼ Mβ gekoppelt sind, setzen wir an:
hSβz′ i
γβ = P
.
σ hSσz′ i
(3.120)
Der Mittelungsprozess (3.119) bezieht sich nur auf die Bestimmung der Magnetisierungswinkel der einzelnen Lagen α, β, . . . im Film A, θα,β,... ≡ θA und φα,β,... ≡ φA .
Die lagenaufgelöste Norm der Magnetisierung kann natürlich weiterhin verschieden
sein hSαz′ i =
6 hSβz′ i.
Neben der Anschaulichkeit bedeutet (3.119) eine erhebliche Reduktion des numerischen Aufwands. In der vorliegenden Arbeit werden wir bei der Untersuchung
von Deckschichten in Kapitel 5.3 von der Näherung (3.119) Gebrauch machen.
4. Anschluss an die
Landau-Lifschitz-Theorie
In diesem Kapitel möchten wir den Zusammenhang zwischen der hier präsentierten quantenmechanischen Theorie und der klassischen Behandlung der Anisotropiebzw. Interlagenbeiträge herstellen. Zu diesem Zweck werden wir die uniforme Magnonendispersion Eq=0 aus den Eigenwerten der Matrix M q=0 (3.69)-(3.72) sowie die
Bedingungen für die Winkel der Magnetisierung (3.51) und (3.52) aus der klassischen
Landau-Lifshitz-Gleichung herleiten. Anschließend vergleichen wir beide Resultate
und können damit die Verbindung zwischen der mikroskopischen und der makroskopischen Theorie herstellen.
Zur Charakterisierung dünner Filme hat sich als eine gute Möglichkeit die Methode der Ferromagnetischen Resonanz (FMR) etabliert. Eine detaillierte Beschreibung
der FMR-Technik findet man z.B. in [3]. In einem FMR-Experiment wird eine Probe
mit einer Mikrowelle fester Frequenz ν0 = ω0 /2π bestrahlt. Existiert im Material eine uniforme Mode E(q=0) , die dieser Frequenz entspricht, d.h. Eq=0 (Bres ) = hν0 , so
kann diese durch die Mikrowelle angeregt werden. Diese Frequenzen heißen demnach
Resonanzfrequenzen. Im Experiment wird die Mikrowellenfrequenz konstant gehalten
und das externe Feld B0 für verschiedene Ausrichtungen θB0 variiert. Der Polarwinkel
θB0 bezeichnet hierbei den Winkel zwischen z-Achse und Magnetfeld. Entspricht die
magnetfeldabhängige uniforme Mode E(q=0) (B) der Resonanzfrequenz, dann heißt
das zugehörige Magnetfeld Resonanzfeld Bres (θB0 ). Dies ist die zentrale Messgröße
in einem FMR-Experiment.
Die FMR Spektren Bres (θB0 ) werden üblicherweise ausgehend von der klassischen Landau-Lifshitz-(LL) Gleichung ausgewertet. Man löst die LL-Gleichung und
erhält die uniforme Eq=0 -Mode für bestimmte Anisotropie- bzw. IEC-Energien. Dies
erlaubt die Charakterisierung dünner Filme mit FMR-Experimenten in Kombination mit der makroskopischen Theorie. Wir werden an dieser Stelle die Verbindung
zwischen der mikroskopischen quantenmechanischen Theorie aus Kapitel 3 und der
Lösung der makroskopischen LL-Gleichung herstellen. Hierfür diskutieren wir die
Resultate der uniformen Magnonendispersion und der Gleichgewichtswinkel. Anschließend zeigen wir, dass die Lösung der LL-Gleichung mit den Resultaten der
mikroskopischen Theorie für T = 0 übereinstimmt. Diese Tatsache erlaubt es uns,
direkte Analogien zwischen mikroskopischen und makroskopischen Größen aufzuweisen.
44
4. Anschluss an die Landau-Lifschitz-Theorie
4.1
Verbindung zentraler Größen beider Theorien
Zur Identifikation des Anisotropiefeldes (3.53) diskutieren wir die Ergebnisse der
Monolage. Wir setzen gJ µB = 1. Aus (3.52) erhalten wir
sφ B0x − cφ B0y = 0,
(4.1)
d.h. der Winkel φ ist einzig durch die Komponenten des externen Feldes bestimmt.
Für (B0x , 0, B0z ) liegt die Magnetisierung demnach in der x-z-Ebene (φ = 0◦ ). Aus
(3.52) ergibt sich für den Polarwinkel θ
sθ B0z − cθ B0x + sθ cθ Kef f = 0.
(4.2)
Die uniforme (q = 0)-Mode erhalten wir, indem wir die Eigenwerte der Matrix M q=0
(3.69)-(3.72) berechnen
1
Kef f s2θ
sθ B0x + cθ B0z + Kef f (c2θ − 12 s2θ )
2
M q=0 =
.
−(sθ B0x + cθ B0z + Kef f (c2θ − 21 s2θ ))
− 12 Kef f s2θ
(4.3)
Nach Umformung finden wir:
2
(4.4)
(B) = cθ B0z + sθ B0x + Kef f (c2θ − s2θ ) cθ B0z + sθ B0x + Kef f c2θ .
Eq=0
Diese Resultate möchten wir nun mit den Ergebnissen der klassischen Theorie vergleichen. Dafür lösen wir die Landau-Lifshitz-(LL) Gleichung, die gegeben ist durch
1 dM′
(4.5)
= M′ × B̃′ef f
γ dt
M′ ist der Magnetisierungsvektor im gedrehten System mit den Komponenten mα′ =
(M′ )α und B̃′ef f ist ein effektives Feld1 , das aus der freien Energie F gewonnen wird
∂F (mα′ )
B̃ef f
= −
(α′ = x′ , y ′ , z ′ ).
(4.6)
′
∂mα′
α
Analog zu der quantenmechanischen Rechnung können im makroskopischen Bild der
Vektor der Magnetisierung M und die freie Energie F im gedrehten Koordinatensystem Σ′ ausgedrückt werden. Im gedrehten System Σ′ rotiere die Magnetisierung
M′ mit der Präzessionsfrequenz ω̃ um die z ′ -Achse, d.h. es gelte

 

mx′ (t)
mx′ cos ω̃t
M′ (t) =  my′ (t)  =  my′ sin ω̃t 
(4.7)
mz′
mz′
mit mx′ , my′ << mz′ ≈ M ′ . Der Polarwinkel θ beschreibt wieder den Winkel zwischen der z-Achse des ungedrehten Systems und dem Magnetisierungsvektor. Mit
(3.4) können wir M in den Komponenten des gedrehten Systems angeben


cθ mx′ (t) + sθ mz′
.
my′ (t)
M(t) = 
(4.8)
−sθ mx′ (t) + cθ mz′
1
Dies ist nicht zu verwechseln mit dem mikroskopischen effektivem Feld Bef f .
4.1. Verbindung zentraler Größen beider Theorien
45
Für tetragonale Symmetrie kann der Anteil FK̃uni der uniaxialen Gitteranisotropie
2
— diese möge die z-Achse des Systems auszeichnen — eines Filmsystems zur freien
Energie F nach dem Richtungskosinus θ entwickelt werden [3]:
FK̃uni
(θ) ≈ −K̃2 cos2 θ,
2
(4.9)
wobei K̃2 der erste nicht-verschwindende Koeffizient der Entwicklung ist. Für positive K̃2 > 0 wird dieser Anteil der freien Energie für θ = 0◦ minimal, während für
negative K̃2 < 0 eine Ausrichtung parallel zur Filmebene θ = 90◦ die Energie (4.9)
minimiert. Für eine dünne Scheibe ist der Energieanteil der Formanisotropie FDip
gegeben durch:
FDip (θ) = 2πM ′ cos2 θ.
(4.10)
Dies kann in guter Näherung für einen dünnen Film verwendet werden. Die Formanisotropie bevorzugt in einem dünnen Film daher stets eine Ausrichtung der
Magnetisierung parallel zur Filmebene.
Mit dem Zeeman-Beitrag des externen Feldes können wir mit (4.9) und (4.10)
die freie Energie F als Funktion des Polarwinkels θ schreiben:
(4.11)
F uni (θ) = − K̃2 − 2πM ′ cos2 θ − M′ B′0 .
Für den Gleichgewichtswinkel θ wird die freie Energie minimal, wir finden
∂F
∂θ
!
= 2(K̃2 − 2πM ′2 )cθ sθ − M ′ (cθ B0x − sθ B0z ) = 0.
(4.12)
Diese Bedingung werden wir gleich mit der entsprechenden Relation der mikroskopischen Theorie vergleichen. Berechnen wir zunächst die Lösung der uniformen Mode.
Die Komponenten des effektiven Feldes berechnen wir nach (4.6). Wir finden mit
c2θ = (mz (t)/M )2 und (4.8)


x′ (t)
2
2
(B0x cθ − B0z sθ ) − M̃ef f sθ cθ − M̃ef f mM
(c
−
s
)
θ
θ
′


y′ (t) 2
B̃′ef f (t) = 
(4.13)
c
−M̃ef f mM
,
θ
′
mx′ (t)
(B0x sθ + B0z cθ ) + M̃ef f M ′ cθ sθ
wobei wir O(m2x′ ), O(m2y′ ) wegen mx′ ,y′ ≪ mz′ vernachlässigt haben. M̃ef f wird
üblicherweise als effektives Anisotropiefeld definiert
M̃ef f := 2K̃2 /M ′ − 4πM ′ .
(4.14)
Setzen wir das effektive Feld (4.13) und die Magnetisierung (4.8) in die LL-Gleichung
(4.5) ein, so erhalten wir als Lösung für die uniforme Mode
ω̃0
γ
2
= B0z cθ0 + B0x sθ0 + M̃ef f (c2θ − s2θ ) ·
2
· B0z cθ0 + B0x sθ0 + M̃ef f cθ . (4.15)
46
4. Anschluss an die Landau-Lifschitz-Theorie
Vergleichen wir (4.2),(4.12) und (4.4),(4.15), so erhalten wir für T → 0+ äquivalente
Resultate der klassischen und der quantenmechanischen Rechnung für
M̃ef f =K
ˆ ef f (T → 0+ ).
(4.16)
Beide Theorien liefern die gleichen Resultate für T → 0+ . Im Gegensatz zur
klassischen Theorie kann der temperaturabhängige Einfluss von Magnonen im mikroskopischen Anisotropiefeld Kef f (T ) (3.53) selbstkonsistent berechnet werden. Außerdem können die unterschiedlichen Temperaturabhängigkeiten der Form- und der
Gitteranisotropie in der quantenmechanischen Rechnung zu neuen Reorientierungsübergängen führen [10]. Dies und die Unterschiede beider Resultate für T 6= 0 werden
wir im nächsten Kapitel ausführlich diskutieren.
Die Interlagenkopplung definiert die Energiedifferenz zwischen FM- und AFMOrientierung der Magnetisierungen zweier gekoppelter Lagen. Der Beitrag zur freien
Energie kann demnach durch folgenden Term beschrieben werden
Mα Mβ
FJinter = −J˜I
,
(4.17)
Mα Mβ
wobei Mα = |Mα | der Betrag der makroskopischen Magnetisierung Mα innerhalb
der Lage α ist. Für eine positives J˜I > 0 (FM Kopplung) ist dieser Energiebeitrag
bei paralleler Ausrichtung der Magnetisierungen Mα ↑↑ Mβ minimal, während für
negative J˜I < 0 (AFM Kopplung) die Energie durch eine antiparallele Ausrichtung
Mα ↑↓ Mβ minimiert wird. Mit den Energiebeiträgen der Einzelfilme (4.11) erhalten
wir
X X
Mα Mβ
′
˜
K̃2ν − 2πMν cos2 θν −
−
M′ν B′0 .
(4.18)
F = −JI
M α Mβ
ν=α,β
ν=α,β
Für die Ableitung nach den Magnetisierungswinkeln θα und φα schreiben wir (4.17)
in unserer eingeführten Notation (3.7):


sθβ cφβ
Mα Mβ
(4.19)
= (sθα cφα , sθα sφα , cθα ) ·  sθβ sφβ 
M α Mβ
cθβ





+c
c
)
s
s
= 
(c
c
+
s
s
)
θ
θ
θ
θ
φ
φ
φ
φ
α
β 
 α β | α β {z α β }
(4.20)
cφ
αβ
Wir finden mit
∂cφαβ
∂
=
(cφ cφ + sφα sφβ ) = (−sφα cφβ + cφα sφβ ) = −sφαβ
∂φα
∂φα α β
folgende Bedingungen für Gleichgewichtswinkel θα und φα :
∂F
= −Mα′ (Bx cθα cφα + By cθα sφα − Bz sθα ) +
∂θα
!
+2(K̃2α − 2πMα′2 )sθα cθα + J˜I sθα cθ − cθα sθ cφ = 0
β
β
αβ
∂F
!
= −Mα′ (−Bx sθα sφα + By sθα cφα ) + J˜I sθα sθβ sφαβ = 0.
∂φα
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
4.1. Verbindung zentraler Größen beider Theorien
47
Dies sind exakt dieselben Bedingungen wie in Gl. (3.51) und (3.52). Im Falle äquivalenter Filme (Mα = Mβ ) finden wir zusätzlich zu (4.16) folgende Analogie zwischen
makroskopischer und mikroskopischer Größe:
J˜I /M ′ =
ˆ 2JI p′ hSz′ i := JIef f ,
(4.25)
wobei p′ die Koordinationszahl zwischen den Lagen bezeichnet.
Streng genommen bezeichnet JI → JI /2 die Koppelkonstante zwischen den lokalisierten Momenten der Lage α und β. Diese Tatsache kann dem Hamilton-Operator
(3.2) entnommen werden. Hier wird bei der Summation über die Austausch-Wechselwirkungen jede Bindung doppelt gezählt. Dies führt letztlich im mikroskopischen
Interlagenfeld JIef f auf den zusätzlichen Faktor 2. Das mikroskopische Interlagenfeld ist zudem proportional zur Anzahl der nächsten Nachbarn p′ der angrenzenden
Lage. Mit anderen Worten: Je größer die Zahl der angrenzenden mikroskopischen
magnetischen Momente, die zwischen den Lagen mit der mikroskopischen Interlagenkopplung JI wirken, desto stärker wirkt sich das resultierende Interlagenfeld auf
die einzelnen Lagen aus.
Die Magnonenenergien des gekoppelten Systems erweisen sich als wesentlich komplizierter als die des ungekoppelten Systems [3, 41, 42]. Eine Alternative zur Berechnung der Resonanzfrequenz wurde von Smit und Beljers [43] entwickelt. Die
Bewegungsgleichung (4.5) kann anstelle des effektiven Feldes durch Komponenten
der freien Energie F ausgedrückt werden [41]. Betrachten wir folgende Situation:
Das externe Magnetfeld sei in x-Richtung angelegt. Man findet für den Fall zweier
äquivalenter Filme, deren Magnetisierungsvektoren parallel zueinander in der Ebene
liegen (φα = φβ = 0◦ , θα = θβ = 90◦ ), folgende Dispersionsrelation [3]:
2
ω̃0
= (B0x + Hex ∓ Hex )(B0x − M̃ef f + Hex ∓ Hex ),
(4.26)
γ
wobei Hex = J˜I /M ′ d ein effektives Kopplungsfeld ist.
Berechnen wir nun die gleiche Mode in der mikroskopischen Theorie. Die Matrix
M q=0 ergibt sich in diesem symmetrischem Fall zu:


A+B+C
−C
B
0


−C
A+B+C
0
B
 (4.27)
M q=0 = 


−B
0
−(A + B + C)
C
0
−B
C
−(A + B + C)
mit Einträgen A = B0x , B = − 12 Kef f und C = 2JI hSz′ i. Die Eigenwerte der Matrix
(4.27) entsprechen den Anregungsenergien des Systems. Nach Umformung finden
wir für die zwei positiven Anregungsenergien:
ωa2 = B0x (B0x − Kef f )
2
ωo2 = B0x
− B0x Kef f + 4B0x JIef f
(4.28)
(4.29)
Dies können wir kompakt schreiben als:
ω 2 = (B0x + JIef f ∓ JIef f )(B0x − K̃ef f + JIef f ∓ JIef f ).
(4.30)
48
4. Anschluss an die Landau-Lifschitz-Theorie
Durch Vergleich zwischen (4.26) und (4.30) erhalten wir wieder den Zusammenhang
(4.25). Mit den Gleichungen (4.16) und (4.25) haben wir somit direkte Analogien
zwischen den klassischen und den quantenmechanischen Resultaten aufgezeigt.
4.2
Weitere Analogien zwischen klassischer und
quantenmechanischer Theorie
In diesem Abschnitt möchten wir zusätzliche Parallelen zwischen beiden Theorien
aufzeigen. Die Winkel der Magnetisierung können wie in Gleichung (4.12) bestimmt
werden. Es existiert jedoch ein äquivalenter Weg, die Bedingung (4.12) herzuleiten.
Hierfür postulieren wir, dass die Magnetisierung konstant sei, d.h., dass
dmz′ !
y′
x′
= 0 = mx′ B̃ef
f − my′ B̃ef f
dt
(4.31)
gelte. Vernachlässigen wir Terme der Ordnung O(m2x′ ), O(m2y′ ), so erhalten wir wieder die Bedingung (4.12). Die Magnetisierung M′ präzediert nach (4.5) um das effektive Feld B̃′ef f , daher ist die obige Gleichung konsistent mit der Forderung, dass das
′
effektive Feld parallel zur z ′ -Achse liegt, B̃′ef f ≈ B̃ef
f ez ′ . Damit kann nun, anstelle
!
!
von dF (θ)/dθ = 0; ṁz′ = 0 genutzt werden, um die Bestimmungsgleichung (4.12)
für den Magnetisierungswinkel θ zu erhalten. Wir erkennen eine bemerkenswerte
Analogie zu der quantenmechanischen Bedingung
[Sz′ , H]−
RP A,A.C.
−→
0 =
ˆ
dSz′
dt
RP A,A.C.
−→
0.
(4.32)
Stellen wir nun den Zusammenhang einer üblichen mean-field-Näherung in der
Green-Funktions-Technik mit dem Resultat der klassischen LL-Gleichung her. Zu
diesem Zweck betrachten wir den Anteil der Gitteranisotropie (3.15) in einer Monolage. In einer mean-field-Näherung ergibt sich für (3.15):
′M F
HK
=−
X
i
2K2 hSz′ i(−sθ Six′ + cθ Siz′ ).
(4.33)
Für die Bestimmung des Winkels benötigen wir:
1 MF
′M F
= Kef
Siz′ , HK
f cθ sθ Siy′
−
i~
(4.34)
MF
mit einer effektiven Anisotropie Kef
f = 2K2 hSz′ i. Man erkennt die gleiche Winkelabhängigkeit der Anisotropie zur Bestimmung des Magnetisierungswinkels in (3.26)
und (4.34). Für den Beitrag der Magnonenenergien benötigen wir noch die Kommutatoren:
1 X iqRi ′M F
= ±2K2 cθ hSz′ i(sθ Sqz′ + cθ Sq+′ ),
e
Si±′ , HK
−
~N i
(4.35)
4.2. Weitere Analogien
49
wobei die Sqz′ -Komponente in den höheren Green-Funktionen (3.61) keine Rolle
spielt2 . Wir erhalten somit für die Matrix (3.69)-(3.72):
MF 2
sθ B0x + cθ B0z + Kef
0
MF
f cθ
M q=0 =
.
(4.36)
MF 2
0
−(sθ B0x + cθ B0z + Kef
f cθ
Damit ist die positive Mode in dieser Näherung gegeben durch
MF 2
ω M F = |Bx sθ + Bz cθ + Kef
f cθ |.
(4.37)
Welche Näherung in der makroskopischen LL-Gleichung entspricht nun diesem Ergebnis? Wir nehmen an, dass im Ausdruck der freien Energie (4.11) (i) M = M ′
konstant und (ii) mz (t) = −sθ mx′ (t) + cθ mz′ ≈ cθ mz′ sei. Damit können wir (4.11)
nähern:
m 2
z
F = −MB0 − K̃2
(4.38)
M
1
(4.39)
≈ −mz′ B0z′ − K̃2 ′2 c2θ m2z′ .
M
Das effektive Feld ergibt sich nach (4.13) zu:


 
0
0
.
=
0
0
H′ef f (t) = 
2
2
−(B0x sθ + B0z cθ ) − Mef f cθ
−B0z′ − Mef f cθ
(4.40)
Das effektive Feld ist demnach nicht mehr zeitabhängig und liegt starr in Richtung
der Magnetisierungsachse z ′ . Setzen wir (4.40) in (4.5) so erhalten wir:


 
my′ sin ω̃t(−B0z′ − Mef f c2θ )
−ω̃mx′ sin ω̃t
′
1 dM
(4.41)
=  ω̃mx′ cos ω̃t  =  −mx′ cos ω̃t(−B0z′ − Mef f c2θ ) 
γ dt
0
0
und finden für die uniforme Mode:
1
ω̃ = |Bx sθ + Bz cθ + M̃ef f c2θ |.
γ
(4.42)
Vergleichen wir die Gl. (4.37) und (4.42), so erhalten wir wieder die Analogie zwischen den Resultaten der klassischen und der quantenmechanischen Theorie, falls
MF
Kef
ˆ M̃ef f gilt. Damit kann sowohl für die Zeitabhängigkeit des effektiven Feldes
f =
in der makroskopischen Theorie als auch für eine mean-field-Entkopplung in der
quantenmechanischen Behandlung eine Interpretation gefunden werden. Nun kann
sowohl die mean-field Entkopplung im klassischen Bild verstanden werden als auch
die Näherung in der klassischen Theorie in die Sprache der Quantenmechanik transferiert werden. Die Zeitabhängigkeit der effektiven Felder innerhalb der LandauLifshitz-Theorie beschreibt Nicht-mean-field-Physik, d.h. lokale Fluktuationen. Auf
2
Dies ist unmittelbar aus der Bewegunsgleichung der höheren Greenfunktion erkennbar.
EhhSqz′ ; S−q±′ ii = ~ h[Sqz′ , S−q±′ ]− i +hh[Sqz′ , H′ ]− ; S−q±′ ii = 0.
{z
}
| {z }
|
=0
=0
50
4. Anschluss an die Landau-Lifschitz-Theorie
der anderen Seite vernachlässigt eine mean-field-Entkopplung die zeitabhängigen
Veränderungen der inneren Felder in der makroskopischen Theorie.
Wir haben in diesem Kapitel die Resultate der klassischen Theorie im Rahmen
der Landau-Lifshitz-Gleichung verglichen mit den Resultaten der mikroskopischen
Theorie aus Kapitel 3. Es wird die direkte Verbindung zwischen beiden Resultaten
aufgezeigt, insbesondere der Zusammenhang zwischen mikroskopischen und makroskopischen Größen, wie etwa des effektiven Anisotropiefeldes. Die Analogie zwischen
beiden Resultaten rechtfertigt die in Kapitel 3 vorgestellte Näherung. Weiterhin
konnten wir eine übliche Approximation, eine mean-field-Entkopplung, im Rahmen
der Green-Funktions-Technik mit einer Näherung in der klassischen Theorie in Verbindung bringen. Im nächsten Kapitel möchten wir die Ergebnisse der in Kapitel 3
vorgestellten Theorie diskutieren.
5. Anwendungen der Theorie
In diesem Kapitel werden wir die Ergebnisse der in Kapitel 3 vorgestellten Theorie
diskutieren.
Wir beginnen in Kapitel 5.1 mit der Monolage, anhand derer wir die Klassifizierung in easy-axis und easy-plane Systeme diskutieren werden. Wir konnten in
(3.53) die Anisotropiebeiträge der uniaxialen Gitter- und der Formanisotropie zu
einer effektiven Anisotropie Kef f (T ) zusammenfassen. Wir werden sehen, dass das
Vorzeichen von Kef f wesentlich die physikalischen Eigenschaften des Systems bestimmt. Im Falle positiver Anisotropie Kef f > 0 liegt die leichte magnetische Achse
parallel zur z-Achse (easy-axis), während für negative Anisotropien Kef f < 0 die Filmebene bevorzugt wird (easy-plane). Man beachte, dass bei letzterem keine Achse
innerhalb der Ebene ausgezeichnet ist. Diese Tatsache wird sich insbesondere in der
uniformen Mode Eq=0 der beiden Systemtypen bemerkbar machen, anhand derer wir
die Charakteristika der zugehörigen FMR-Spektren studieren. Die effektive Magnonenbesetzungszahl ϕα (3.78), welche letztlich die Magnetisierung hSαz′ i bestimmt,
ergibt sich aus der Summation über die gesamte Dispersion Eq (s. Abbildung 2.2).
Neben der Magnetisierung hSαz′ i(B0 , T ) werden wir im weiteren Verlauf detailliert
die für ein Experiment zugänglichen uniformen Moden Eq=0 (B0 , T ) diskutieren. Es
sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass die Theorie prinzipiell auch zur Beschreibung von anderen Experimenten, wie etwa Brillouin Light Scattering (Eq>0 )
geeignet ist.
Während im magnetfeldfreien Fall für Kef f > 0 bei q = 0 ein gap im SpinwellenSpektrum entsteht (eingefügt in Abbildung 2.2), bleiben die uniformen Anregungsenergien der easy-plane-Systeme Kef f < 0 gapless. Wir werden sehen, dass letzteres
zu keiner selbstkonsistenten Bestimmung einer Magnetisierung führt. Es zeigt sich,
dass die lückenlose Anregungsenergie eng mit der Symmetrie des Systems zusammenhängt, und ein endlicher symmetriebrechender Anteil B0x 6= 0 zu einem gap
führt.
Für kleine Magnetfelder in z-Richtung B0z < |Kef f | bleiben die uniformen Moden der easy-plane-Systeme gapless, und man erhält keine homogene Magnetisierung
in der Theorie. Im Vergleich mit Quantun-Monte-Carlo-(QMC)-Resultaten werden
wir diesen Grenzfall genauer studieren. Dabei werden wir die Grenzen der Theorie
aufzeigen, die auf die Berechnung von kollinearen Konfigurationen der Spins innerhalb einer Lage beschränkt ist.
52
5. Anwendungen der Theorie
In Kapitel 5.2 diskutieren wir die Temperaturabhängigkeit der effektiven Anisotropie Kef f (T ). Die unterschiedlichen Temperaturabhängkeiten der intrinsischen
Gitter- und der Formanisotropie können im Falle positiver Gitteranisotropie K2 > 0
zu einem temperaturgetrieben Reorientierungsübergang führen [10]. Die Ergebnisse
werden wir anhand experimenteller Daten eines F e/Cu(001)-Filmes [44] diskutieren.
Weiterhin stellen wir in diesem Kapitel die Magnetfeldabhängigkeit der effektiven
Anisotropie Kef f (B0 ) heraus, die zu einem magnetfeldinduziertem Vorzeichenwechsel der effektiven Anisotropie führen kann. In diesem Zusammenhang werden wir
einen interessanten Abstoßungseffekt“ diskutieren.
”
In Ref. [45] wird gezeigt, dass die Beiträge der uniaxialen Gitter- und der Formanisotropien in dünnen Nickel- und Cobalt-Filmen gut durch eine effektive Monolage
beschrieben werden können. Um den Einfluss von Deckschichten zu studieren, ist
eine Monolage im allgemeinen jedoch nicht mehr ausreichend. In Kapitel 5.3 werden
wir ein reales Filmsystem — einen N i8 /Cu(001)-Film — mit einem effektiven Dreilagensystem modellieren. Mit Hilfe der Approximation (3.119) studieren wir den
Einfluss einer Kupfer-Deckschicht auf das System. Hierbei werden wir detailliert
diskutieren, wie die vorliegende Theorie genutzt werden kann, um verschiedene Einflüsse von Deckschichten zu untersuchen, namentlich (i) Hybridisierungseffekte und
(ii) Gitterverzerrungen. Unter Annahme von Hybridisierung sind wir in der Lage,
die experimentell gefundenen Resonanzfelder und Curie-Temperaturen zu reproduzieren. Die Ergebnisse stehen in ausgezeichnetem Einklang mit dem Experiment.
In Kapitel 5.4 diskutieren wir ein antiferromagnetisch gekoppeltes System zweier
easy-plane Systeme. Die Gleichgewichtswinkel der Magnetisierungen in beiden Lagen resultieren aus dem Wettstreit zwischen dem Interlagenfeld, dem Anisotropiefeld
und dem externen Feld. Die Reorientierungen sind eng verknüpft mit den uniformen
Moden des Systems. In Analogie zu gekoppelten Pendeln erhalten wir im gekoppelten
Filmsystem ebenfalls zwei Moden, die wir ausführlich diskutieren werden.
5.1
Monolage
In diesem Kapitel möchten wir die Monolage diskutieren. Abhängig vom Vorzeichen der effektiven Anisotropie Kef f wird in der Monolage entweder die z-Achse
(Kef f > 0) oder die Filmebene (Kef f < 0) magnetisch bevorzugt. Diese beiden Systemtypen werden daher auch easy-axis- und easy-plane-Systeme genannt. Für beide
Systeme werden wir die Charakteristika der für das Experiment zugänglichen uniformen Moden Eq=0 und der zugehörigen FMR-Spektren diskutieren. Anhand der
easy-plane-Systeme werden wir anschließend im Vergleich mit QMC-Resultaten die
Grenzen der Theorie aufweisen.
Wie zu Beginn des vorangegangenen Kapitels diskutiert, reduzieren sich die Be-
5.1. Monolage
53
dingungen für die Gleichgewichtswinkel θ und φ im Falle einer einzelnen Lage nach
(3.51) und (3.52) zu:
gJ µB (sθ B0z − cθ cφ B0x − cθ sφ B0y ) + sθ cθ Kef f = 0
!
(5.1)
!
gJ µB (sφ B0x − cφ B0y ) = 0
(5.2)
wobei wir im Folgenden die Faktoren gJ und µB in B0 = |B0 | absorbieren. Da die
Anisotropien keine Richtung innerhalb der Ebene auszeichnen, wird der Azimutalwinkel φ nach (5.2) einzig durch die Ausrichtung des externen Feldes B0 bestimmt.
Für die Diskussion der Ergebnisse der Monolage beschränken wir uns o.B.d.A. auf
B0 = (B0x , 0, B0z ), das Feld sei also in der x−z-Ebene angelegt, womit nach (5.2) gilt:
φ ≡ 0. Für q = 0 verschwindet der Beitrag der Heisenberg-Austauschwechselwirkung
γq=0 = p in der Matrix M q (3.69)-(3.72). Für die für ein FMR-Experiment zugänglichen uniformen q = 0-Moden Eq=0 (B0 ) finden wir (4.4):
2
(B) = cθ B0z + sθ B0x + Kef f (c2θ − s2θ ) cθ B0z + sθ B0x + Kef f c2θ
(5.3)
Eq=0
Wie wir schon anhand von (2.22) diskutiert haben, bestimmen die energetisch niedrigsten Moden q → 0 maßgeblich das physikalische Verhalten des Systems. Wir
haben im letzten Kapitel gezeigt, dass (5.3) eine strenge Analogie zu der klassischen
Lösung aufweist. Es sei noch angemerkt, dass für T → 0+ (5.3) exakt in das Resultat der freien Spin-Wellen Theorie übergeht (s. Anhang A in [9]). Die intrinsische
Gitteranisotropie führt zu einer magnetisch bevorzugten Ausrichtung der Magnetisierung parallel zur z-Achse (K2 > 0) bzw. parallel zur Filmebene (K2 < 0), eine
bestimmte Achse innerhalb der Filmebene, etwa die x-Achse, wird nicht ausgezeichnet. Gleiches gilt für die Dipol-Dipol-Wechselwirkung, die im Falle der Monolage
stets eine Magnetisierung parallel zur Filmebene favorisiert.
Wir haben in Kapitel 3 gesehen, dass im Rahmen der verwendeten Approximationen — einer Anderson-Callen Entkopplung der lokalen Anisotropiebeiträge
und einer RPA-Näherung der Dipol-Beiträge — sowohl die intrinsische Gitter- als
auch die Formanisotropie die gleiche Winkelabhängigkeit aufweisen. Daher konnten
wir beide Beiträge zu einer effektiven Anisotropie Kef f in (3.53) zusammenfassen.
Die verschiedenen Temperaturabhängigkeiten beider Anisotropiebeiträge in Kef f (T )
werden wir in Kapitel 5.2 detailliert untersuchen. An dieser Stelle sind wir zunächst
an den grundlegenden Charakteristika beider Systemtypen (Kef f > 0 und Kef f < 0)
interessiert und setzen zunächst g0 = 0. Wir unterscheiden, abhängig vom Vorzeichen
von Kef f , zwei verschiedene Systemtypen, welche in Abbildung 5.1 und 5.2 skizziert
sind. Diese beiden Typen unterscheiden sich in ihren physikalischen Eigenschaften
grundsätzlich voneinander. Wir werden nun für beide Systeme die uniformen Moden Eq=0 diskutieren und feststellen, dass ohne Magnetfeld nur im Falle positiver
Anisotropie K2 > 0 ein gap im Spinwellenspektrum bei q = 0 existiert und die
langreichweitige Ordnung im System stabilisiert.
54
5. Anwendungen der Theorie
Abbildung 5.1: easy-axis ⇔ Kef f > 0
(leichte Richtung ⊥ Filmebene).
5.1.1
Abbildung 5.2: easy-plane ⇔ Kef f < 0
(leichte Richtung k Filmebene)
Easy-axis-Systeme
Diese Systemtypen sind ausführlich in Ref.[7, 9, 46] diskutiert worden. Die effektive Anisotropie sei positiv, d.h. Kef f > 0. In diesem Fall liegt die leichte Richtung
des Systems parallel zur z-Achse. Betrachten wir zunächst die beiden Grenzfälle,
in denen das externe Magnetfeld in der harten Richtung (θB0 = 90◦ ) bzw. in der
leichten Richtung (θB0 = 0◦ ) anlegt ist.
Liegt das Magnetfeld parallel zur leichten Achse, d.h. in z-Richtung B0 = (0, 0, B0z ),
so wird die Magnetisierung in der leichten Richtung (θ = 0◦ ) verharren. Aus (5.3)
erhalten wir:
K
ef f
Eq=0
>0
(T, B0z ) = Kef f (T ) + B0z .
(5.4)
Die Magnonenenergie nimmt nach obiger Gleichung linear mit dem Magnetfeld zu,
s. Abbildung 5.3.
20
1
θ [°]
0.5
16
0
Eq=0 [kG]
-0.5
12
0
1
2
3
B0z [kG]
4
-1
8
Keff
4
0
0
1
2
3
4
5
B0z [kG]
Abbildung 5.3: Leichte Richtung ⊥ Filmebene. Das Magnetfeld liegt in der leichten Richtung (z-Achse) an. Parameter: K2 = 5kG, g0 =0, T =0K, gJ = 1, S = 1.
Eingefügt: Winkel der Magnetisierung θ(B0z ).
Im Nullfeld B0 = 0 ergibt sich für T < TC stets eine endliche Magnonenenergie
Kef f >0
Eq=0
(0, T ) = Kef f (T ) und damit eine stabile Magnetisierung. In Abbildung 5.4
5.1. Monolage
55
1
1
(a) Keff > 0
0.6
0.6
0.4
-6
K2 = 10 J
-3
2·10 J
-2
2·10 J
0.1J
0.4
0.2
0.2
0
0
AC+RPA
QMC(16)
QMC(32)
QMC(64)
0.8
⟨Sz⟩
⟨Sz’⟩
0.8
0.5
1
1.5
T/J
2
0
0
0.5
1
T/J
2
1.5
Abbildung 5.4: Norm der Magnetisierung hSz′ i(T ) als Funktion der Temperatur T [J].
(a) verschiedene Anisotropieparameter K2 > 0, Parameter: J = 1, g0 = 0. (b) Im
Vergleich mit QMC-Resultaten für verschiedene Systemgrößen N , übrige Parameter:
S = 1, J = 0.5, B = 0.01J und K = 0.01J.
ist die Norm der Magnetisierung hSz′ i(T ) als Funktion der Temperatur T für verschiedene Anisotropien K2 > 0 gezeigt. Die Magnetisierung liegt parallel zur leichten
Achse (M k ez ) und wächst monoton mit der Anisotropiestärke Kef f für alle Temperaturen T < TC .
Betrachten wir nun den anderen Grenzfall, in welchem das Magnetfeld in der
harten Richtung B0 = (B0x , 0, 0) bzw. θB0 = 90◦ angelegt ist. Die Magnetisierung
wird nun aus der leichten Richtung in die Ebene rotieren. Die Bedingung für den
Rotationswinkel erhalten wir nach (5.1) für Kef f 6= 0:
B0x /Kef f
für B0x < Kef f
sin θ =
.
(5.5)
1
für B0x ≥ Kef f
Setzen wir dieses Ergebnis in (5.3) ein, so erhalten wir:
( q
2
2
Kef
für B0x < Kef f
Kef f >0
f − B0x
Eq=0 (B0x ) =
p
2
B0x
− Kef f B0x
für B0x ≥ Kef f
(5.6)
K
>0
ef f
Mit steigendem Magnetfeld B0x nimmt die uniforme Magnonenenergie Eq=0
(B0x )
kontinuierlich ab, bis sie bei einem Reorientierungsfeld Breo = Kef f in die Ebene rotiert. Dies ist in Abbildung 5.5 für T = 0+ K dargestellt. Am Reorientierungspunkt
Kef f >0
(T = 0+ , Breo ) → 0+ . Für endliche Temverschwindet die Magnonenenergie Eq=0
peraturen T > 0+ würde ein Verschwinden der Magnonenenergie Eq=0 → 0+ zu einer
divergierenden Magnonenbesetzungszahl ϕ → ∞ (3.78) führen. Für genügend tiefe
Temperaturen T → 0+ wird diese Divergenz hingegen aufgehoben, und man erhält
eine endliche Magnetisierung. Dies ist konsistent mit den Überlegungen in Kapitel
2.1 auf Seite 9. Man beachte, dass das Integral (2.22) nur für endliche Temperaturen
T > 0 divergent ist.
Mit großen Feldern nimmt die Energie nach (5.6) linear mit B0x zu. Diese Energiemoden können nun im Rahmen eines Ferromagnetischen-Resonanz-Experimentes
(FMR) untersucht werden. Die Probe wird zu diesem Zweck mit einer Mikrowelle
56
5. Anwendungen der Theorie
θ [°]
90
60
30
Eq=0 [kG]
0
0
15
2
4
2
4
6
8
10
6
8
10
10
5
0
0
B0x [kG]
Abbildung 5.5: Leichte Richtung ⊥ Filmebene. Das Magnetfeld liegt in der harten
Richtung (x-Achse) an. Oben: Polarwinkel der Magnetisierung θ als Funktion des
externen Feldes B0x . Am Reorientierungspunkt B0x ≈ 5kG kommt es für T = 0+ zu
einer verschwindenen Magnonenenergie (untere Abbildung) Eq=0 (Breo , T = 0+ ) =
0+ . Parameter: K2 = 5kG, g0 =0, T = 0+ K, gJ = 1.
fester Frequenz ω0M W bestrahlt. Es wird ein externes Feld B0 variiert, bis Resonanz
gemessen wird. Dies ist der Fall, wenn die uniforme Mode Eq=0 (B0 , θB0 ) der Frequenz
ω0M W entspricht, d.h. falls die Resonanzbedingung
1
!
Eq=0 (B0 , θB0 ) = ω0M W
~
(5.7)
erfüllt ist. Das entsprechende Magnetfeld wird Resonanzfeld Bres (θB0 ) genannt. In
Abbildung 5.6 sind die uniformen Moden in Abhängigkeit der Norm des externen Magnetfeldes B0 = |B0 | für verschiedene Ausrichtungen θB0 des Magnetfeldes für T = 0K dargestellt (linke Abbildung). Die Frequenz der Mikrowelle ist zu
ω0M W = 10GHz gewählt (gestrichelte Linie). Die zugehörige Resonanzkurve Bres (θB0 )
(rechte Abbildung) weist als Charakteristikum ein Minimum in der leichten Richtung (θB0 = 0◦ ) und ein Maximum in der harten Richtung (θB0 = 90◦ ) auf.
Für größere Temperaturen T > 0+ stellt sich heraus [39, 9], dass die EnergieKef f >0
(Breo , 0 < T < TC ) stets endlich bleiben,
moden am Reorientierungspunkt Eq=0
MW
s. Abbildung 5.7. Es existiert daher eine minimale Mikrowellenfrequenz ωmin
(T )
unterhalb derer kein Resonanzfeld in der harten Richtung B = B0x mehr messbar
ist. Dies ist konsistent mit Ref.[9], bei der die Autoren ebenfalls die lokalen Anisotropiebeiträge im Rahmen einer Anderson-Callen-Entkopplung genähert haben. Bis
auf das Auftreten des gaps am Reorientierungsübergang bei endlichen Temperaturen
T > 0+ erhalten wir somit qualitativ die gleichen Ergebnisse wie im Rahmen der
Landau-Lifschitz-Theorie. Man beachte, dass nach (4.16) beide Theorien für T → 0+
diesgleichen Resultate liefern.
Im Vergleich mit QMC-Simulationen wird in [7] gezeigt, dass der Systemtyp
easy-axis“ gut durch die verwendete Theorie beschrieben wird. Insbesondere stellt
”
5.1. Monolage
57
25
θΒ = 0°
0
Keff > 0
θΒ = 20°
ωq=0 [GHz]
10
0
20
θΒ = 70°
15
7.5
0
θB=0°
5
Bres[kG]
0
θΒ = 90°
MW
ω0
5
0
0
2.5
θB=90°
2
4 6 8
B0 [kG]
10
0
45
θB [°]
0
90
0
Abbildung 5.6: Linkes Bild: uniforme Moden ωq=0 (B0 , θB0 ) = ~1 Eq=0 (B0 , θB0 ) für
verschiedene Ausrichtungen des externen Feldes θB0 und Resonanzfrequenz ω0M W =
10GHz. Rechte Seite: zugehöriges Resonanzspektrum Bres (θB0 ). Parameter: K2 =
5kG, g0 = 0, T = 0, gJ = 1.
8
ωq=0 [GHz]
6
4
2
t=1
0.5
0.9
0.5
1
1.5
B0x [kG]
0.2
0
2
2.5
Abbildung 5.7: Temperaturabhängige Energielücke der uniformen
Eq=0 (Breo , T ) 6= 0 als Funktion der reduzierten Temperatur t = T /TC .
Mode
sich für den durch ein Magnetfeld verursachten Reorientierungsübergang heraus,
dass die in [7] entwickelte und hier verwendetete Näherung für die lokalen Anisotropiebeiträge quantitativ gute Übereinstimmung zwischen den Ergebnissen der
Green-Funktionen-Theorie und den QMC-Simulationen erzielt. Abbildung 5.8 zeigt
die x- und z-Komponente der Magnetisierung, hSx i und hSz i, für den magnetfeldgetriebenen Reorientierungsübergang im Vergleich mit anderen Approximationen
der Anisotropiebeiträge, namentlich einer mean-field-Entkopplung (gepunktete Linie) und einer Anderson-Callen-Entkopplung ohne vorheriger Rotation des Koordinatensystems (gestrichelte Linie). Die Magnetisierung liegt ohne Magnetfeld in der
magnetisch bevorzugten z-Achse, hSx i(B0x = 0) = 0. Mit ansteigendem Magnet-
58
5. Anwendungen der Theorie
2
Magnetic field in hard direction
<Sz>, <Sx>
1.5
<Sz>
RPA + AC
●,■ QMC *
RPA + AC(z)**
RPA + mean field
* PRB 66, 094407 (2002)
** EPJB 13, 477 (2000)
1
<Sx>
0.5
0
0
0.02
0.01
0.03
0.04
0.05
0.06
Bx0/2J
Abbildung 5.8: Die Komponenten hSz i und hSx i der Magnetisierung als Funktion
des magnetischen Feldes B0x . Parameter: S = 2, K2 = 0.02J, T = 0.5J. Entnommen
aus [7]. Parameter
feld nimmt die z-Komponente der Magnetisierung hSz i(B0x ) ab, begleitet durch ein
Ansteigen der x-Komponente hSx i(B0x ). Am Reorientierungspunkt dreht die Magnetisierung vollständig in die Filmebene und die z-Komponente verschwindet.
Man erkennt die quantitativ hervorragende Übereinstimmung für das Ergebnis
der Approximation im gedrehten System. Die beiden anderen Entkopplungen, welche im ungedrehten System angewandt werden, weichen wesentlich stärker von den
QMC-Resultaten ab.
Wie zu Beginn erwähnt, liegt im Falle eines easy-plane-Systems eine völlig andere Situation vor, und es ist a priori nicht klar, dass quantitative Übereinstimmung
mit QMC-Resultaten auch hier zu erwarten ist. Diskutieren wir jetzt die Klasse der
easy-plane-Systeme.
5.1.2
Easy-plane-Systeme
Im Falle der easy-plane-Systeme (Kef f < 0) wird eine zur Filmebene parallele
Ausrichtung θ = 90◦ der Magnetisierung bevorzugt. Innerhalb der Ebene sind jedoch
alle Ausrichtungen gleichwertig. Damit ist gemeint, dass weder die uniaxiale Gitteranisotropie noch die Formanisotropie eine Achse innerhalb der Ebene auszeichnet.
Setzen wir θ = 90◦ und B0 = 0 in (5.3) ein, so finden wir:
K
ef f
Eq=0
<0
(B0 = 0, T ) ≡ 0.
(5.8)
Ohne externes Magnetfeld B0 = 0 erhalten wir kein gap im Anregungsspektrum der
uniformen Mode für q = 0. Da die Anregungsenergie in diesem Fall exakt Null ist,
divergiert die Magnonenbesetzungszahl ϕ → ∞ (3.78) für alle Temperaturen T > 0,
und wir erhalten eine verschwindende Magnetisierung. Die energielose Anregung von
Magnonen zerstört jede langreichweitige magnetische Ordnung im System und wir
5.1. Monolage
59
erhalten keine stabile homogene Magnetisierung. Dieses Ergebnis ist konsistent mit
den Ergebnissen der Spinwellentheorie [27].
Betrachten wir nun die beiden Grenzfälle, in denen wir ein externes Magnetfeld
in leichten Richtung, θB0 = 90◦ , und in der harten Richtung, θB0 = 0◦ anlegen.
Liegt das Magnetfeld parallel zur leichten magnetischen Achse an, B0 = (B0x , 0, 0),
so bricht das externe Feld die Symmetrie in der Ebene. Aus (5.3) erhalten wir mit
θ = 90◦ und B0 = B0x ex :
q
q
Kef f <0
2
Eq=0
(B0x , T ) = (B0x − Kef f (T ))B0x = B0x
+ |Kef f (T )|B0x
(5.9)
Die zugehörige Mode ist für T = 0+ in Abbildung 5.9 gezeigt.
25
Eq=0 [kG]
θ [°]
20
90
45
0
0 2 4 6 8 10
B0x [kG]
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
B0x [kG]
K
<0
ef f
Abbildung 5.9: Eq=0
Mode als Funktion eines in der Ebene angelegten Magnetfeldes B0x . Das externe Feld hebt die Entartung des Grundzustandes auf und führt
somit für B0x > 0 zu einem Gap in der Magnonenenergie.
√
Kef f <0
(B0x ) ∼ B0x , während für
Für kleine Magnetfelder B0x ≪ Kef f wächst Eq=0
sehr große Magnetfelder B0x ≫ Kef f die Mode linear mit dem Feld ansteigt
Kef f <0
(B0x ) ∼ B0x .
Eq=0
Um den Einfluß einer negativen Anisotropie Kef f < 0 auf die Magnetisierung
hSz′ i(T ) darzustellen, wählen wir daher für Abbildung 5.10 ein zusätzliches symmetriebrechendes infinitesimales Feld in x-Richtung Bx = 10−6 J. Die Magnetisierung
liegt nun parallel zur x-Achse. Auch für negative Anisotropien stellen wir fest, dass
hSz′ i für alle Temperaturen T monoton mit |Kef f | wächst.
Eine andere Situation liegt vor, wenn das externe Magnetfeld in der harten
Richtung, d.h. in diesem Fall in der z-Achse angelegt ist. Die Symmetrie innerhalb der Ebene wird durch das Magnetfeld nicht gebrochen. Für ein externes Feld
in z-Richtung θB0 = 0◦ erhalten wir nach (5.1) für Kef f 6= 0:
cos θ =
B0z /|Kef f |
1
für B0z < Kef f
,
für B0z ≥ |Kef f |
(5.10)
60
5. Anwendungen der Theorie
1
Keff<0
⟨Sz’⟩
0.8
0.6
0.4
-6
K2 = -10 J
0.2
0
0
0.5
-2
-0.1J
-2·10 J
1
1.5
T/J
Abbildung 5.10: Magnetisierungsnorm hSz′ i(T ) als Funktion der Temperatur für J =
1, g0 = 0, S = 1. Die Curie-Temperatur TC steigt mit größerem |K2 |, Magnetisierung
durch Symmetriebrechung Bx = 10−6 J , s. Text für Details.
wobei der Azimutalwinkel φ unbestimmt ist. Setzen wir (5.10) in (5.3) ein, so erhalten
wir:
0
für B0z < Kef f
.
(5.11)
Eq=0 (B0z ) =
B0z + Kef f
für B0z ≥ |Kef f |
Die Mode (5.11) ist in Abbildung 5.11 gezeigt.
20
Eq=0 [kG]
10
θ [°]
15
45
0
-45
0 2 4 6 8 10
B0z [kG]
5
0
0
2.5
5
B0z [kG]
7.5
10
Abbildung 5.11: Eq=0 Mode als Funktion eines in der harten Richtung angelegten
!
Magnetfeldes B0z . Bis zu einem kritischen Feld B0z = Kef f (B0z ) erhalten wir lückenlose Anregungsenergien. Dies führt zu einer divergierenden Magnonenbesetzungszahl
ϕ und somit zu keiner selbstkonsistenten Bestimmung einer Magnetisierung (siehe
Text für Details).
Analog zum Fall des Nullfeldes B0 = 0 verbleiben die Anregungsenergien unterhalb eines kritischen Feldes in z-Richtung B0z < Bkrit := Kef f gapless. Es sei noch
5.1. Monolage
61
einmal daran erinnert, dass die Divergenz der Magnonenbesetzungszahl ϕ → ∞
(3.78) dadurch bestehen bleibt, und wir daher keine selbstkonsistente Lösung einer
Magnetisierung erhalten. Eine verschwindende Magnetisierung hSz′ i ≡ 0 für B0z > 0
führt zu einem Widerspruch im Selbstkonsistentszyklus, wie wir uns durch folgende
Überlegung klarmachen.
Angenommen die Magnetisierung sei für B0z > 0 identisch Null, so impliziert dies
unmittelbar eine verschwindende effektive Anisotropie Kef f ∼ hSz′ i ≡ 0. Dadurch
ist die Bedingung B0z > |Kef f | stets erfüllt und wir erhalten nach (5.1) θ = 0◦ . Dies
hat nach (5.3) wiederum eine endliche Anregungsenergie Eq=0 = B0z > 0 zur Folge,
was letztlich zu einer endlichen Magnetisierung führt. Letzteres ist ein Widerspruch
zu unserer Annahme.
Erst wenn das Magnetfeld groß genug ist, d.h. B0z > Kef f (T ), erhält man ein gap
im Anregungsspektrum und somit eine endliche Magnetisierung in z-Richtung im
Rahmen der Theorie.
Da die effektive Anisotropie Kef f (T, B) eine Funktion der Temperatur T als
auch des externen Feldes ist, muss das kritische Feld Bkrit selbstkonsistent für jede
Temperatur T berechnet werden. In Abbildung 5.12 ist das kritische Feld Bkrit als
0.1
K = -0.10 J
K = -0.06 J
K = -0.02 J
Bcrit/J
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.2
0.4
0.6
T/J
0.8
1
1.2
Abbildung 5.12: Kritisches Feld in z-Richtung für easy-plane-Systeme Kef f < 0.
Links: Bcrit (T ) für verschiedene Anisotropieparameter K2 . Übrige Parameter: J=0.5,
S = 1, gJ =1, µB =1.
Rechts: Kritisches Feld normiert auf die Anisotropie Bcrit (T )/K2 . Unterhalb des
kritischen Feldes existiert keine homogene Magnetisierung (kollineare Phase). Mit
zunehmender Temperatur steigt demnach bei konstantem Feld die Ordnung des Systems.
Funktion der Temperatur T dargestellt. Alle Parameter sind in Einheiten des Austauschparameters J = 0.5 gegeben.
Bevor wir diesen Grenzfall (K2 < 0 und B = B0z ) mit QMC-Resultaten vergleichen, möchten wir zunächst die übrigen Moden für Ausrichtungen des Feldes
0◦ < θB0 < 90◦ betrachten. Diese sind in Abbildung 5.13 für verschiedene Ausrichtungen θB0 dargestellt. Ebenfalls sind wieder die Resonanzfrequenz ω0 = 10GHz
(gestrichelte Linie), sowie das resultierende FMR-Spektrum (rechte Abbildung) gezeigt.
Das Resonanzspektrum weist, im Gegensatz zum easy-axis-System K2 < 0, ein Ma-
62
5. Anwendungen der Theorie
20
θB = 0°
θB = 20°
Keff = < 0
0
ωq=0 [GHz]
0
5
0
4
θB=0°
4
0
0
θB = 90°
θB=90°
2
4
B0 [kG]
Bres[kG]
θB = 40°
16
12
ω0
8
6
3
-45
0
45
θB [°]
90
2
135
0
Abbildung 5.13: Parameter: K2 = −5kG, J=10meV,g0 =0
ximum für θB0 = 0◦ (schwere Richtung) und ein Minimum für θB0 = 90◦ (leichte
Richtung) auf.
QMC-Vergleich der easy-plane-Systeme
Wir möchten nun den Grenzfall B0 = B0z ez und K2 < 0 im Vergleich mit QMCResultaten studieren. Nach (5.11) erhalten wir unterhalb eines kritischen Feldes
!
B0z < Bkrit = Kef f (T )
(5.12)
K
<0
ef f
kein gap im Anregungsspektrum der uniformen Mode, Eq=0
(B0z < Bkrit ) ≡ 0.
Die dadurch resultierende divergierende Magnonenzahl ϕ führt zu einem Verschwinden der homogenen Magnetisierung. Wir werden nun diesen Grenzfall mit QMCResultaten vergleichen und diskutieren. Die QMC zeigt im Gegensatz zu der vorliegenden Theorie eine endliche Magnetisierung auch unterhalb des kritischen Feldes.
Anhand dieser Diskrepanz werden wir die Grenzen der vorliegenden Theorie diskutieren, die darin bestehen, nur Aussagen über homogene Magnetisierungen bzw.
kollineare Spin-Konfigurationen treffen zu können. Dies ist ein starker Hinweis auf
nichtkollineare Konfigurationen, die in den QMC-Simulationen prinzipiell mitberücksichtigt werden1 .
Da die QMC im Gegensatz zu Green-Funktions-Technik (GFT) auf endliche Systemgrößen N beschränkt ist2 , werden wir zunächst die Rolle von finite-size-Effekten
diskutieren.
Betrachten wir zu diesem Zweck z-Komponente der Magnetisierung hSz i(B0z )
als Funktion des Feldes B0z bei einer konstanten Temperatur T = 0.4J in Abbildung (5.14). Man erkennt zunächst, dass für Systemgrößen N ≥ 64 innerhalb der
1
Das Modell kollinearer und nicht-kollinearer Spin-Konfigurationen (Vortizes) ist ein klassisches
Bild. Daher ist das Auftreten solcher Zustände in den QMC-Simulationen nur indirekt zugänglich.
Dies werden wir im weiteren Verlauf noch detaillierter herausstellen.
2
Dies korrespondiert mit einem N × N -Gitter mit lokalisierten Spins.
5.1. Monolage
63
1
0.8
⟨ Sz⟩
0.6
RPA+AC
QMC(16)
QMC(32)
QMC(64)
QMC(128)
0.4
0.2
0
0
0.05
0.1
B/J
0.15
0.2
Abbildung 5.14: Magnetisierung als Funktion des externen Magnetfelds für eine feste
Temperatur T = 0.4J. Unterhalb des kritischen Feldes Bkrit = |Kef f (T )| (gestrichelte Linie) erhält man keine stabile homogene Magnetisierung. Parameter: S = 1,
J = 0.5, K = −0.06.
QMC die Ergebnisse nahezu identisch sind. Diese Konvergenz der QMC-Resultate
wird bei allen von uns untersuchten Parameter-Konstellationen beobachtet. Daher
kann der Einfluss von finite size Effekten für N ≥ 64 vernachlässigt werden. Für
Felder B0z > Bkrit erhalten wir gute Übereinstimmung zwischen den Ergebnissen
der GFT und der QMC. Die QMC liefert offensichtlich eine endliche Magnetisierung
in z-Richtung auch unterhalb des kritischen Feldes (gepunktete Linie), während die
GFT zu keiner stabilen homogenen Magnetisierung führt.
Wie bereits diskutiert, führt jeder symmetriebrechende Anteil des externen Feldes B0x 6= 0 zu einem gap im Magnonenspektrum für q = 0 und somit zu einer
stabilen homogenen Magnetisierung. Betrachten wir den Fall des leicht gekippten
Feldes θB0 = 0.5◦ , was einem Beitrag B0x < 10−2 B0z entspricht. Dieser Beitrag des
externen Feldes innerhalb der Ebene führt zu einer stabilen Lösung der Magnetisierung in der GFT. Die z-Komponente der Magnetisierung ist weiterhin bestimmt
durch den Wettstreit zwischen der Anisotropie und dem z-Anteil des Magnetfeldes.
Daher hat ein derart kleiner Beitrag des Magnetfeldes parallel zur Ebene kaum einen
Einfluss auf die z-Komponente der Magnetisierung. Dies wird in Abbildung (5.15)
bestätigt. Oberhalb des kritischen Feldes B0 = B0 > Bkrit erhalten wir nahezu
identische Ergebnisse für das in z-Richtung ausgerichtete (θB0 = 0◦ ) und das leicht
gekippte Feld (θB0 = 0.5◦ ). Dies ist auch zu erwarten, da die z-Komponente der
Magnetisierung im Wesentlichen durch den Anteil B0z des Magnetfeldes bestimmt
wird.
Unterhalb des kritischen Feldes ist nur die Lösung des leicht gekippten Magnetfeldes stabil, und die z-Komponente der Magnetisierung ist im ausgezeichneten
Einklang mit den QMC-Resultaten.
Dieses Ergebnis kann in einem klassischen Bild interpretiert werden. Für B0z <
64
5. Anwendungen der Theorie
1
0.8
⟨ Sz⟩
0.6
0.4
QMC(128)
θB = 0.5° (GFT)
θB = 0° (GFT)
0.2
0
0
0.05
0.1
B/J
0.15
0.2
Abbildung 5.15: Gleiche Situation wie in Abbildung 5.14 mit einem leicht gekippten
Feld (θ = 0.5◦ ) für das Green-Funktionen-Resultat.
Bkrit erhalten wir im Rahmen der GFT keine homogene Magnetisierung, die einer
kollinearen Ausrichtung aller Spins entspricht. Das betrachtete System weist eine
x−y-Symmetrie auf, d.h. keine Achse innerhalb der Filmebene ist ausgezeichnet. Für
solche (easy-plane) Systeme werden im Rahmen einer klassischen Behandlung für
verschiedene Gittertypen (quadratisch, hexagonal, Dreieck-Gitter,. . . ) und den von
uns untersuchten Anisotropiestärken (K2 ≤ 0.1J) stabile Vortex -Anregungen, d.h.
nicht-kollineare Spin-Konfigurationen nachgewiesen [47, 48, 49, 50, 51]. Im Falle eines
endlichen Magnetfelds in z-Richtung B0z > 0 können stabile Vortex-Konfigurationen
einen endlichen Anteil zur z-Komponente der Magnetisierung beitragen [51].
Derartige Konfigurationen sind in der GFT-Theorie nicht berücksichtigt. Man
beachte, dass wir an verschiedenen Stellen die Translationsinvarianz des Gitters ausgenutzt haben. So haben wir explizit angenommen, dass an jedem Gitterplatz i die
gleiche Magnetisierung vorliegt:
hSiz′ i ≡ hSz′ i
(5.13)
Dies haben wir weiterhin genutzt, um die Gleichgewichtswinkel θ und φ der Magnetisierung innerhalb der Lage zu bestimmen. Obige Gleichung gilt natürlich nicht mehr
im Falle einer nicht-kollinearen Spin-Konfiguration. In diesem Fall hätten wir die
gitterplatzabhängige Magnetisierung hSiz′ i, sowie die gitterplatzabhängigen Gleichgewichtswinkel θi und φi innerhalb der Lage zu bestimmen. Nicht-kollineare Konfigurationen sind daher in der dieser Arbeit zugrunde liegenden Theorie nicht berücksichtigt.
Die QMC-Simulationen lassen keinen direkten Nachweis einer Existenz möglicher
Vortex-Anregungen im betrachteten System zu. Die gute Übereinstimmung, die im
Falle eines leicht gekippten Feldes erreicht wird, bietet jedoch einen starken indirekten Hinweis auf derartige Konfigurationen.
Man betrachte dazu folgendes Szenario im klassischen Bild. Unterhalb des kritischen Feldes B0z < Bkrit existieren Vortex-Anregungen, deren endlicher Beitrag zur
5.1. Monolage
65
0.8
⟨Sz⟩
0.6
0.4
T = 0.4 J
T = 0.6 J
◆ T = 0.9 J
▲T = 1.2 J
▼T = 1.4 J
■
●
0.2
0
0
0.05
0.1
B/J
0.15
Abbildung 5.16: Magnetisierung als Funktion des externen Felds für verschiedene
Temperaturen T und feste Systemgröße N = 128, übrige Parameter wie in Abbildung
5.14.
z-Komponente der Magnetisierung durch den Wettstreit zwischen der Anisotropie
Kef f und dem Beitrag des Feldes B0z bestimmt ist. Ein endlicher Beitrag B0x 6= 0
bricht die x − y-Symmetrie des Systems und die Spins wechseln in eine kollineare
Konfiguration in der x − z-Ebene. Diese kollineare Konfiguration kann nun mit der
GFT-Theorie beschrieben werden. Der Beitrag zur z-Komponente der Magnetisierung hSz i wird durch einen Anteil B0x < 10−2 B0z kaum beeinflusst. Dieses klassische
Bild wird durch die folgenden Ergebnisse bestätigt.
In Abbildung 5.16 ist die Feldabhängigkeit der z-Komponente der Magnetisierung für verschiedene Temperaturen T /J dargestellt. Gezeigt wird hier der Fall des
leicht gekippten Feldes θB0 = 0.5◦ . Der Abbruch des in z-Richtung orientierten
Feldes ist durch eine gestrichelte Linie angedeutet. Für hohe Temperaturen T gilt
Kef f ∼ hSz′ i → 0, daher ist die Bedingung B0z > Kef f (T ) schon durch infinitesimale Felder erfüllt. Bis auf den mittleren Temperaturbereich 0.9..1.2 J erhalten wir
quantitativ exzellente Übereinstimmung zwischen QMC- und GFT-Resultaten für
hSz i.
Wir können der Abbildung 5.12 entnehmen, dass im Falle eines konstanten Magnetfeldes B0z = const. eine kritische Temperatur Tkrit existiert, unterhalb derer wir
wegen
B0z < |Kef f (T < Tkrit )|
(5.14)
ebenfalls keine selbstkonsistente Lösung der Magnetisierung erhalten. In Abbildung
5.17 und 5.18 ist die z-Komponente der Magnetisierung als Funktion der Temperatur T für ein konstantes Magnetfeld für die GFT (durchgezogene Linie RPA+AC)
als auch für die QMC für verschiedene Systemgrößen (Symbole) gezeigt.
Diskutieren wir zunächst das qualitative Verhalten der Funktion hSz i(T, Bz =
const) für den nicht-gekippten Fall θB0 = 0◦ . Unterhalb einer kritischen Temperatur
Tkrit existiert für ein konstantes Magnetfeld B0z < |Kef f (T < Tkrit )| keine homogene
66
5. Anwendungen der Theorie
RPA+MF
RPA+AC
QMC (256)
QMC (128)
QMC (64)
QMC (16)
θB = 0.5°
0.6
⟨Sz⟩
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
T/J
1.5
2
Abbildung 5.17: Die z-Komponente der Magnetisierung ist gezeigt als Funktion der
Temperatur für ein konstantes Magnetfeld. Es existiert ein Übergang von nichtkollinearer zu einer kollinearer Ausrichtung der Spins. Daher ist die Magnetisierung
in der QMC im Gegensatz zum Resultat der vorgestellten Theorie stets endlich.
Parameter: B = 0.03, S = 1, J = 1, K = −0.06.
1
RPA+AC: ⟨Sz⟩, θ=0.5°
RPA+AC: ⟨Sx⟩, θ=0.5°
QMC (untilted)
0.8
⟨Sz⟩
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
T/J
Abbildung 5.18: Gleiche Situation wie in Abbildung 5.17 für K2 = −0.01, B = 0.05,
J = 1.
5.1. Monolage
67
Magnetisierung im Rahmen der Theorie. Mit zunehmender Temperatur T kann die
effektive Anisotropie Kef f (T ) ∼ hSz′ i(T ) genügend reduziert werden, so dass oberhalb der kritischen Temperatur die Bedingung B0z > |Kef f (T > Tkrit )| erfüllt ist
und eine stabile homogene Magnetisierung existiert. Für sehr hohe Temperaturen
T ≫ Tkrit wird die Magnetisierung durch thermische Fluktuationen reduziert (die
endliche Magnetisierung für T ≈ 1.5J ist durch das externe Magnetfeld bedingt).
Mit sinkender Temperatur T → Tkrit zeigt sich ein zusätzlicher Effekt. Es existieren
im Wesentlichen zwei konkurrierende Anteile, die die Magnetisierung in diesem Bereich bestimmen. Auf der einen Seite wirken die effektive Anisotropie Kef f < 0 und
das externe Feld in diesem Fall (Kef f < 0, B = B0z ) gegeneinander,
Bef f = Bz − |Kef f (T )|
(5.15)
Die effektive Anisotropie Kef f (T ) wird mit zunehmender Temperatur T reduziert,
und damit nimmt das effektive Feld (5.15) mit zunehmender Temperatur zu. Dieser
Effekt tendiert zu einer Erhöhung der Magnetisierung mit zunehmender Temperatur. Auf der anderen Seite reduzieren thermische Fluktuationen die Magnetisierung
hSz i mit zunehmender Temperatur. Das Abflachen der Magnetisierung in der Nähe
von Tkrit ist das Resultat dieses Wettstreits. Für tiefe Temperaturen T < Tkrit kann
das externe Feld die effektive Anisotropie nicht überwiegen, und wir erhalten im
Rahmen der GFT keine stabile homogene Magnetisierung, im Gegensatz zur QMCSimulation, die auch nicht-kollineare Konfigurationen berücksichtigt.
Die Reduktion der Magnetisierung in der QMC unterhalb Tkrit ist ebenfalls konsistent mit dem klassischen Bild. Die Spins in der nicht-kollinearen Phase sind in
einem Winkel θ zur z-Achse ausgerichtet, der durch das Verhältnis zwischen B0z und
der Anisotropie bestimmt ist. Da die effektive Anisotropie mit abfallender Temperatur zunimmt, nimmt die z-Komponente der Magnetisierung ab. Die GFT führt zu
einem Abbruch der homogenen Magnetisierung bei einer kritischen Temperatur Tkrit
während die QMC keinen solchen Abbruch aufweist. Jedoch liegt das Maximum der
Magnetisierung in der Nähe des Abbruchpunktes. Zusätzlich ist das Resultat des
leicht gekippten Feldes θB0 = 0.5◦ gezeigt, und man erkennt die qualitative Übereinstimmung. Weiterhin ist in Abbildung 5.17 die Lösung einer anderen Approximation, namentlich einer mean-field-Näherung der Anisotropiebeiträge dargestellt (MF,
gestrichelte Linie). Man erkennt, dass eine A.C.-Näherung der Anisotropiebeiträge
einer mean-field-Näherung deutlich überlegen ist.
Zusammenfassend erhalten wir im Falle der easy-plane-Systeme gute Übereinstimmung mit QMC-Resultaten oberhalb eines kritischen Feldes Bkrit bzw. bei konstantem Feld oberhalb einer kritischen Temperatur Tkrit . Unterhalb des kritischen
Feldes führt die verwendete Theorie zu keiner selbstkonsistenten Bestimmung einer
homogenen Magnetisierung. Dies steht im Gegensatz zu QMC-Resultaten, die auch
im Bereich 0 < B0z < Bkrit einen endlichen Anteil der z-Komponente der Magnetisierung aufweisen. Ein leicht gekipptes Feld in der GFT liefert jedoch gute Übereinstimmung mit den QMC-Resultaten auch unterhalb Bkrit bzw. Tkrit . Dieses Resultat
kann in einem klassischen Bild durch die Existenz stabiler Vortex-Anregungen interpretiert werden. Das zu betrachtende System weist eine x − y-Symmetrie auf,
68
5. Anwendungen der Theorie
d.h. im Falle eines Magnetfeldes in z-Richtung ist keine Achse innerhalb der Ebene ausgezeichnet. Für diese Systeme wird jedoch von stabilen Vortex-Anregungen
(nicht-kollineare Spin-Konfigurationen) in klassischen Spin-Gittern berichtet, die im
Falle eines endlichen Magnetfeldes B0z > 0 einen endlichen Anteil zur z-Komponente
der Magnetisierung beitragen können. Die Diskrepanz der Resultate der vorliegenden Theorie und der QMC lässt sich auf die Tatsache zurückführen, dass die Theorie
nicht in der Lage ist, derartige nicht-kollineare Vortex-Anregungen zu berücksichtigen. Diese werden jedoch prinzipiell von der QMC berücksichtigt. Es zeigt sich, dass
der Anteil der z-Komponente unterhalb des kritischen Feldes in der Theorie durch
einen zusätzlichen symmetriebrechenden Anteil des externen Feldes (B0x 6= 0) gut
beschrieben wird.
5.2. Gitter- vs. Formanisotropie
5.2
69
Gitter- vs. Formanisotropie
In diesem Kapitel möchten wir die Temperaturabhängigkeit der effektiven Anisotropie Kef f (T ) (3.53) diskutieren. Es wird ein neuer Spin-Reorientierungsprozess [10]
vorgestellt, der sich von bisherigen theoretisch erklärbaren Reorientierungsprozessen
unterscheidet. Beginnen wir zunächst mit einem Überblick über Reorientierungen in
dünnen Filmsystemen.
Die leichte Richtung der Magnetisierung kann zwischen einer Ausrichtung senkrecht und parallel zur Filmebene (siehe Kapitel 5.1), als auch zwischen verschiedenen Richtungen innerhalb der Filmebene variieren. Für den erstgenannten Übergang
(out-of-plane ↔ in-plane) wird im Experiment am häufigsten der Übergang von einer
senkrechten zu einer parallelen Richtung der Magnetisierung mit steigender Filmdicke d und Temperatur T beobachtet, u.a. für: Fe/Cu(001) [52], Fe/Ag(001) [53],
Fe/Cr(110) [54], CeH2 /Fe(111) [55], Fe/Tb(111) [56], Co/Au(111) [57],
Co/Ru(111) [58], Co/Rh(111) [59] und Co/Pd(111) [60]. Im Gegensatz dazu weisen
dünne N i/Cu(001)-Filme einen Übergang von in-plane zu out-of-plane mit steigender Filmdicke und Temperatur auf [61].
Der Mechanismus, der sich hinter diesen temperatur- und dickengetriebenen Reorientierungsübergängen verbirgt, lässt sich durch Oberflächen- bzw. Grenzflächeneffekte erklären. Die intrinsische Gitteranisotropie K2α der Oberflächenlagen und der
Lagen im Inneren des Filmsystems haben unterschiedliche Vorzeichen, eines bevorzugt parallele, das andere eine senkrechte Ausrichtung der Magnetisierung zur Filmebene. Zusätzlich liefert die Dipol-Dipol-Wechselwirkung für jede Lage α einen Beitrag, der parallele Ausrichtung bevorzugt (5.17). Auch wenn die einzelnen Lagen des
Films verschiedene Richtungen bevorzugen, führt die starke Heisenberg-AustauschKopplung zwischen den Lagen bei dünnen Filmen zu einer parallelen Ausrichtung
(3.119). In Ref. [40] wurde eine parallele Ausrichtung für Fe-artige Filme bis 5 ML
gefunden. Für dünne Filme überwiegen die Oberflächenbeiträge, während für dickere
Filme die Beiträge der Innenlagen überwiegen.
Die Oberflächen- und Volumenbeiträge zur Anisotropie konkurrieren demnach
um die Bestimmung der leichten magnetischen Achse des Gesamtsystems. Für dünne Filme überwiegen die Oberflächenbeiträge, während für dickere Filme d > dkrit
die Volumenbeiträge die Oberflächenbeiträge überwiegen.
Konkurrierende Oberflächen- und Volumenbeiträge können auch zu temperaturabhängigen Reorientierungen führen. Betrachten wir die Magnetisierung hSz′α i der
einzelnen Lagen eines Filmsystems als Funktion der Temperatur T in Abbildung
5.19. Für alle Temperaturen T gilt, dass die Magnetisierung von der Oberfläche
hin zu den Innenlagen monoton zunimmt. Qualitativ liegt dies an der reduzierten
Koordinationszahl der Oberflächenatome im Gegensatz zum Filminneren. Für eine
ausführliche Diskussion dieses Effektes sei auf [62] verwiesen. Die lagenaufgelöste
α
effektive Anisotropie Kef
f ∼ hSz′α i wird mit abnehmender Magnetisierung reduziert. Wenn z.B. für T = 0K die Oberflächenbeiträge zur Bestimmung der leichten
Achse dominieren, können diese ab einer kritischen Temperatur Tkrit kleiner werden
als die Volumenbeiträge. Derartige temperaturgetriebenen Reorientierungsübergän-
70
5. Anwendungen der Theorie
1
0.70
0.8
0.68
⟨Sz⟩
0.6
surface
80
85
volume
0.4
0.2
0
0
50
100
T [K]
150
200
Abbildung 5.19: Lagenaufgelöste Magnetisierung hSαz′ i als Funktion der Temperatur
für ein Sieben-Lagensystem. Die Magnetisierung nimmt bei fester Temperatur monoton von den Aussenlagen hin zu den Innenlagen zu. Parameter: K2α = K2 = 5kG,
g0 = 0, J=1meV.
ge, die aus konkurrierenden Oberflächen- und Volumenbeiträgen resultieren, sind
heutzutage gut verstanden [6, 63, 64, 65, 66, 67, 68].
Wir werden im Folgenden einen Reorientierungsübergang diskutieren, der durch
den Wettstreit zwischen intrinsischer Gitter- und Formanisotropie hervorgerufen
wird. Dieser kann nun auch in uniformen Filmsystemen stattfinden, die aus äquivalenten Lagen bestehen. Damit ist dieser Reorientierungsübergang von den gerade
diskutierten zu unterscheiden, da der Wechsel der leichten Achse nicht durch konkurrierende Anisotropiefelder der Oberflächen- und Innenlagen resultiert, sondern
vielmehr durch den Wettstreit der zwei verschiedenen Anisotropietypen innerhalb
jeder Lage.
Die effektive Anisotropie Kef f setzt sich nach (3.53) aus den Beiträgen der Gitterund der Formanisotropie zusammen:
3
Kef f (T ) = (2K2 C(T ) − Dg0 )hSz′ i(T )
2
= K̃2 (T ) + g˜0 (T ).
(5.16)
(5.17)
Das Vorzeichen des effektiven Anisotropiefeldes bestimmt die magnetisch leichte
Achse des Systems. Letztere liegt senkrecht zur Filmebene im Falle positiver Anisotropien Kef f > 0 und parallel zur Filmebene für negative Anisotropiefelder Kef f < 0.
Bevorzugt die Gitteranisotropie die Achse senkrecht zur Filmebene als leichte magnetische Achse (K2 > 0), so kommt es zu einem Wettstreit beider Beiträge zur
Gesamtanisotropie. Man beachte, dass die Formanisotropie stets eine Magnetisierung parallel zur Ebene bevorzugt.
Die entscheidende Größe in (5.16) ist die temperaturabhängige Funktion
C(T ) = 1 −
1
S(S + 1) − hSz′2 i(T ) ,
2
2S
(5.18)
5.2. Gitter- vs. Formanisotropie
71
die aus der Anderson-Callen-Entkopplung resultiert (vgl. (3.21)). Betrachtet man
(5.16) so ist es offensichtlich, dass Kef f (T ) das Vorzeichen wechseln kann, falls die
Temperaturabhängigkeit von C(T ) stark genug ist. In diesem Fall würde der Wechsel
der leichten magnetischen Achse allein durch die unterschiedliche Temperaturabhängigkeit beider Anisotropiebeiträge hervorgerufen und träte somit auch bei Monolagen
und uniformen Systemen auf.
Um realistische Größen für die einzelnen Parameter zu erhalten, betrachten wir
dünne Eisenfilme auf Kupfer(001). g0 definiert die mikroskopische Dipolkoppelkonstante, die für Punktdipole nach (2.25) gegeben ist durch
g0∗
µ0 (gJ µB )2
=
.
4π~2 a30
(5.19)
Für den nächsten Nachbar-Abstand a0 wird der Wert a0 = 1.81Å gewählt, welches
dem Gitterabstand für Eisen gewachsen auf Kupfer(001) entspricht. Für den LandéFaktor wird gJ = 2.1 verwendet [69]. Nach (5.16) skaliert der Beitrag der DipolWechselwirkung mit der Magnetisierung. Die entscheidende Größe in dem Modell
ist daher g0 S. In [45] ist für Cobalt- und Nickelfilme gezeigt worden, dass g0 tatsächlich in etwa der Hälfte von (5.19) entspricht. Dies ist ein Hinweis darauf, dass
in diesen Systemen der Beitrag der Dipol-Wechselwirkung effektiv von S = 1/2Momenten bestimmt wird. Für S = 1 erhält man g0∗ = 3.44µB kG. Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen und damit das magnetische Dipolmoment
nicht in einem Punkt konzentriert ist, könnte g0∗ etwas oberhalb dieses Wertes liegen.
Im Folgenden wird die Dipolkonstante auf g0 = 3.8µB kG gesetzt. Der Austauschparameter J ist so gewählt, dass Tc = 200K entspricht [70] und der Parameter der
Gitteranisotropie wird auf K2 = 11kG [71] festgelegt.
In Abbildung 5.20 werden die auf die Magnetisierung normierte effektive Anisotropie Kef f (T )/hSz′ i(T ) (linke Achse) und C(T ) (rechte Achse) als Funktion der
Temperatur gezeigt. Wie in (5.16) erkennbar, verhält sich Kef f (T )/hSz′ i linear zu
C(T ), was selbst von der Temperatur über hSz′2 i(T ) abhängt. Die Funktion hSz′2 i(T )
hängt nun wiederum von der Magnetisierung hSz′ i(T ) und der Magnonenbesetztungszahl ϕ(T) ab (s. 3.101). Durch das Abfallen von C(T ) wechselt das Vorzeichen
der effektiven Aniosotropie Kef f (T ) bei Treo ≈ 87K von positiv zu negativ. Der Vorzeichenwechsel ist verbunden mit einem Sprung von C(T ) und Kef f (T )/hSz′ i(T ).
Der Grund hierfür ist ein diskontinuierlicher Sprung der Magnetisierung bei der
Reorientierung durch die Symmetrie in der Filmebene. An der Stelle des Vorzeichenwechsels von Kef f (T ), rotiert die Magnetisierung von einer Ausrichtung senkrecht
zur Filmebene in die Filmebene, wie in Abbildung 5.21 gesehen werden kann. Hier
sind sowohl die z-Komponente der Magnetisierung hSz i(T ), der Polarwinkel θM (T )
(eingefügt) als Funktion der Temperatur für g0 = 3.8µB kG (durchgezogene Linie),
als auch das Resultat für g0 = 0 (gestrichelte Linie) gezeigt.
Genaugenommen bricht die homogene Magnetisierung hSz′ i für T > Treo zusammen, da die in diesem Fall negative effektive Anisotropie Kef f < 0 zu keinem endlichen gap im Spinwellenspektrum führt (s. Kapitel 5.1.2). Um Größen wie z.B. hSz′2 i
und Kef f /hSz′ i dennoch berechnen zu können, betrachtet man den Grenzwertprozess A(B = 0) = limBx→0+ A(Bx ). Es wird ein infinitesimales symmetriebrechendes
72
5. Anwendungen der Theorie
2
0.5
leichte Achse ⊥ Filmebene
Keff>0
0.45
C
Keff/⟨Sz’⟩
1
0
leichte Achse Filmebene
Keff<0
-1
0.4
0.35
-2
0
75
150
225
T [K]
300
375
Abbildung 5.20: Kef f (T )/hSz′ i(T ) (linke Achse) und C(T ) (rechte Achse) als Funktionen der Temperatur. Beide fallen mit steigender Temperatur. Bei der Reorientierungstemperatur Treo ≈ 87K ist ein scharfes Abfallen durch die Reorientierung
erkennbar und Kef f (T ) wechselt sein Vorzeichen. Von diesem Punkt an liegt die
magnetische leichte Achse der Monolage parallel zur Filmebene.
Feld in der Ebene B0x → 0+ angelegt.
Wie in Abbildung 5.21 dargestellt, findet die Reorientierung, verursacht durch
einen Wettkampf zwischen Form- und Gitteranisotropie im Falle verschwindender
Dipolkopplung g0 = 0, nicht statt. Zusätzlich wird vor der Reorientierung die Magnetisierung stärker mit steigender Temperatur reduziert. Dies liegt daran, dass im
vorliegenden Fall die Gitter- und Formansitropiebeiträge gegeneinander wirken, was
zu einem größerem Anisotropiefeld bei ausgeschalteter Formanisotropie führt. Je
größer Kef f , desto schwächer wird die Magnetisierung mit steigender Temperatur
reduziert, da die Curietemperatur Tc eine monoton anwachsende Funktion der effektiven Anisotropiestärke ist (vergleiche Abbildung 5.4 und 5.10).
Im Folgenden möchten wir einige weitere interessante Folgerungen dieses temperaturgetriebenen Reorientierungsprozesses diskutieren. Ein externes Magnetfeld
kann die Magnetisierung hSz′ i des Systems erhöhen. Daher sind hSz′ i als auch die
Magnonenbesetzungszahl ϕ nicht nur Funktionen der Temperatur T , sondern sie
werden zusätzlich durch das externe Feld B0 bestimmt:
hSz′ i = hSz′ i(T, B0 );
ϕ = ϕ(T, B0 ).
(5.20)
Dies impliziert, dass auch der Faktor C (3.21) bzw. (5.18) und Kef f (3.53) bzw.
(5.17) Funktionen des externen Feldes sind:
C = C(T, B0 );
Kef f = Kef f (T, B0 ).
(5.21)
Das externe Magnetfeld induziert Magnetisierung und führt somit zu einer Erhöhung
der effektiven Anisotropie. In Abbildung 5.22 ist Kef f (B0 )/hSz′ i und C(B0 ) (rechte Achse) oberhalb der Reorientierungstemperatur für T1 > Treo als Funktion des
5.2. Gitter- vs. Formanisotropie
1
73
θΜ[°]
90
60
30
0
0
0.8
⟨Sz⟩
0.6
g0=0
150
T[K]
300
0.4
g0=0
0.2
00
75
150 225
T [K]
300
375
Abbildung 5.21: Die z-Komponente der Magnetisierung hSz i(T ) und der Polarwinkel
θM (T ) (eingefügt) werden gezeigt als Funktion der Temperatur sowohl für g0 = 0
(gestrichelte Linie) als auch für g0 = 3.8µB kG (durchgezogene Linie).
Betrages des externen Feldes B0 = |B0 | für verschiedene Ausrichtungen des Feldes
θB0 gezeigt. Beide Größen, Kef f (B0 )/hSz′ i (linke Achse) und C(B0 ), steigen mit der
Norm des externen Feldes B0 . Dies ist eine direkte Konsequenz der steigenden Norm
der Magnetisierung hSz′ i und dem damit verbundenem Anstieg von des zweiten Moments hSz′2 i. Bedingt durch die sensitive Abhängigkeit von Kef f (B) von C(B) führt
dies zu einem Vorzeichenwechsel von Kef f (B) von negativ zu positiv, verursacht
durch das äußere Feld. Ist das System in einem Zustand T > Treo , kann demnach
der diskutierte temperaturgetriebene Vorzeichenwechsel der effektiven Anisotropie
und der damit verbundene Wechsel der intrinsischen magnetisch leichten Achse des
Systems durch ein äußeres Feld in beliebiger Richtung kompensiert werden.
Die beiden diskutierten Effekte könnten zu folgendem Szenario führen: Für tiefe Temperaturen ist C(T < Treo ) groß genug, damit Kef f positiv ist. C(T ) fällt
dann mit der Temperatur bis T1 > Treo und Kef f wird negativ. Für T1 = 95K
kann nun ein externes Feld in beliebiger Richtung zu einem Ansteigen der Norm
der Magnetisierung hSz′ i(B), des zweiten Moments hSz′2 i(B) und damit von C(B)
führen. Dadurch kann Kef f wieder positiv sein für B > Breo (T ). Mit diesen Überlegungen kann man die bemerkenswerten Kurven in Abbildung 5.23 verstehen. Ein
angelegtes externes Feld lässt die Magnetisierung aus einer Ausrichtung parallel zur
Filmebene (θM = 90◦ ) über die Ausrichtung des externen Feldes (θB0 ) hinwegrotieren, bis für genügend große Magnetfelder die Magnetisierung parallel zum äusseren
Magnetfeld B0 liegt. Für kleine Magnetfelder bleibt die effektive Anisotropie negativ (s. Abbildung 5.22), und damit ist die leichte magnetische Achse in-plane.
Die Magnetisierung liegt dann zwischen der (ohne Magnetfeld bevorzugten) leichten
magnetischen Achse und dem externen Feld (θB0 < θM < 90◦ ). Für ein spezielles
Magnetfeld Bkrit verschwindet die effektive Anisotropie, und die Magnetisierung ist
5. Anwendungen der Theorie
θB =40°
0
θB =70°
0.4 θ 0=90°
B
0.43
0
0.2
0
-0.20
C
Keff/⟨Sz’⟩
74
leichte Achse ⊥ Filmebene
Keff>0
0.42
leichte AchseFilmebene
Keff<0
0.41
0.25
0.5
B0 [kG]
0.75
Abbildung 5.22: Kef f (B)/hSz′ i(B) (linke Achse) und C(B) (rechte Achse) sind gezeigt bei einer festen Temperatur T1 = 95K > Treo für verschiedene Richtungen des
externen Feldes. Kef f (B)/hSz′ i(B) ändert sein Vorzeichen durch das externe Feld.
parallel zum externem Feld ausgerichtet (Schnittpunkt der durchgezogenen und gestrichelten Linien in Abbildung 5.23). Für größere Magnetfelder wird die effektive
Anisotropie positiv, und die neue leichte magnetische Achse ist out-of-plane. Damit
liegt die Magnetisierung zwischen der neuen leichten Achse und der Richtung des
externen Feldes (0◦ < θM < θB0 ). Für B ≈ Bkrit erhält man damit ein kurioses Resultat: Für B = Bkrit liegt die Magnetisierung parallel zum externen Feld und rotiert
dann weg aus der Richtung des externen Feldes, wenn das Magnetfeld weiter erhöht
wird. Es scheint, als ob die Magnetisierung von dem externen Feld abgestossen wird.
Es lässt sich zusammenfassen, dass ein temperaturgetriebener Reorientierungsübergang für dünne Filme durch einen Wettstreit zwischen Gitter- und Formanisotropie möglich ist. Dieser kann auch in uniformen Systemen (gleiche Gitteranisotropieparameter in jeder Lage) und Monolagen auftreten und ist damit zu unterscheiden
von Reorientierungsübergängen verursacht durch Oberflächen- und Grenzflächeneffekte. Der Übergang kann auftreten, falls Gitter- und Formanisotropie unterschiedliche Vorzugsrichtungen haben, d.h. die Gitteranisotropie positiv K2 > 0 ist (easyaxis). Die Ergebnisse sind daher relevant für die Untersuchung von z.B. dünnen
Eisen-Filmen.
Die verschiedenen Temperaturabhängigkeiten beider Anisotropiebeiträge sind
eng verknüpft mit verschiedenen Magnetfeldabhängigkeiten der beiden Beiträge. Da
die Magnetisierung zwischen der magnetisch leichten Achse und der Ausrichtung
des Magnetfeldes orientiert ist, kann der magnetfeldinduzierte Wechsel der leichten
Achse zu einem interessantem Abstoßungseffekt führen.
Reorientierungen in dünnen Filmen können aus dem Wettstreit der Anisotropiebeiträge der (a) Oberflächen- und Volumenbeiträgen, sowie (b) innerhalb der Lagen
resultieren. Bei fester Temperatur T sowie fester Filmdicke d kann es durch die
5.2. Gitter- vs. Formanisotropie
75
90
80
70
θ[°]
60
θB
50
0
40
30
200
0.2
0.4
0.6
B0[kG]
0.8
Abbildung 5.23: Der Polarwinkel der Magnetisierung θM (B) ist gezeigt als Funktion
des externen Feldes (durchgezogene Linie) für verschiedene Richtungen des externen Feldes (gestrichelte Linie) bei einer festen Temperatur T1 = 95K > Treo . Am
Schnittpunkt wechselt die effektive Anisotropie ihr Vorzeichen von negativ(leichte
Achse k Filmebene) zu positiv (leichte Achse ⊥ Filmebene).
Bedeckung des Films mit einer Deckschicht ebenfalls zu einem Wechsel der leichten
magnetischen Achse kommen. Die Untersuchung einer Kupfer-Deckschicht auf einem
dünnen Nickel-Film und der damit verbundenen Wechsel der leichten magnetischen
Achse wird im nächsten Kapitel im Vordergrund stehen.
76
5.3
5. Anwendungen der Theorie
Einfluss einer Deckschicht
Die Untersuchung einer Kupfer-Deckschicht auf einen dünnen N i/Cu(001)-Film
wird im Mittelpunkt dieses Kapitels stehen. Nicht-magnetische Deckschichten sind
u.a. als Schutzschichten vor Korrosion von hoher technologischer Relevanz. Jedoch
kann die Bedeckung eines dünnen Filmes, z.B. mit Kupfer, die magnetischen Eigenschaften des Systems empfindlich beeinflussen [41].
Wir werden herausarbeiten, dass es im Rahmen der hier verwendeten (Fit)Theorie möglich ist, zwischen verschiedenen Auswirkungen einer Deckschicht auf
das Filmsystem zu unterscheiden, namentlich (i) Gitterverzerrung und (ii) Hybridisierungseffekten an der Grenzfläche Film/Deckschicht. Anhand eines in der Literatur
gut untersuchten Beispiels — (Cu)/N i/Cu(001) — zeigen wir, dass die experimentell
gefundenen Resonanzfelder und der durch die Deckschicht resultierende Unterschied
in den Curie-Temperaturen vor und nach der Bedeckung mit Kupfer unter Annahme
von (ii) Hybridisierungseffekten beschrieben werden können.
Lassen Sie uns nun auf die gängige Analyse von experimentell gewonnenen FMRSpektren im Rahmen einer Landau-Lifshitz-Theorie (Kapitel 4) eingehen. Aus einer
Entwicklung der freien Energie F kann die intrinsische Anisotropieenergie K̃2 gewonnen werden. Diese kann nach Néel [72] und Gradmann [73] in die Beiträge der
Oberfläche bzw. Grenzfläche K̃ sur und den Volumenanteil K̃ vol zerlegt werden:
K̃2 = K̃ vol + (K̃ sur1 + K̃ sur2 )/d,
(5.22)
wobei d die Filmdicke darstellt.
Aus den durch ein FMR-Experiment gewonnenen Resonanzfeldern kann durch
einen Fit K̃2 bestimmt werden. Für einen dünnen N i/Cu(001)-Film haben die Anteile K̃ vol und K̃ sur1 bzw. K̃ sur2 verschiedene Vorzeichen, die Volumenbeiträge K̃ vol > 0
bevorzugen eine leichte Richtung senkrecht zur Filmebene, während die Oberflächen eine leichte Richtung parallel zur Filmebene bevorzugen. Die FormanisotropieEnergie −2πM 2 < 0 liefert für alle Lagen einen Beitrag parallel zur Filmebene.
Dies führt zum dickengetriebenen“ Reorientierungsübergang in Abbildung 5.24.
”
Überwiegt die intrinsische Anisotropieenergie die Formanisotropie K̃2 > 2πM 2 (grau
hinterlegter Bereich), so liegt die leichte magnetische Achse senkrecht zur Filmebene. Für dünne Filme überwiegen die Oberflächenbeiträge bzw. die Formanisotropie,
und die leichte Achse liegt parallel zur Filmebene. Eine Reorientierung zurück in die
Filmebene findet für sehr große Filmdicken 1/d → 0 statt, wenn die kritische Dicke
für pseudomorphes Wachstum überschritten wird. An dieser Stelle sind wir an der
erstgenannten Reorientierung von in-plane zu out-of-plane interessiert.
Den Zusammenhang zwischen den makroskopischen Energien K̃2 und 2πM 2 und
den mikroskopischen Anisotropiefeldern haben wir in Kapitel 4 mit (4.14) und (4.16)
hergestellt. Jedoch fließt jede Änderung eines Parameters im lagenaufgelösten miα
kroskopischen Anisotropiefeld Kef
f , etwa die durch eine Gitterverzerrung hervorgerufene Änderung von K2α , in die selbstkonsistente Bestimmung der Magnetisierung
hSαz′ i und der Curie-Temperatur des Gesamtsystems ein. Die Analyse eines Filmsystems im Rahmen einer (T = 0)-Theorie, wie etwa der Landau-Lifshitz-Theorie,
5.3. Einfluss einer Deckschicht
77
Abbildung 5.24: Anisotropieenergie K̃2 als Funktion der inversen Schichtdicke für
zwei verschiedene reduzierte Temperaturen t = T /TC . Ist K̃2 größer als die makroskopische Formanisotropie-Energie 2πM 2 , so liegt die leichte Achse ⊥ Film (grau
hinterlegt). Für dünne Filme liegt die leichte Achse parallel zur Filmebene. Abbildung entnommen aus [74].
hat demzufolge einen entscheidenden Nachteil: Für dünne Filme hängt die CurieTemperatur TC stark von der Filmdicke ab TC (d). Um diesen Einfluss auf die Bestimmung der Größen K̃ vol und K̃ sur im Rahmen der makroskopischen Landau-LifshitzTheorie zu eliminieren sind die experimentellen Daten bei einer festen reduzierten
Temperatur t = T /TC darzustellen, andernfalls kann es zu fehlerhaften Interpretationen führen[75]. Dies ist ein Nachteil bei der quantitativen Analyse experimenteller
Daten mit einer temperaturunabhängigen Methode, da die Curie-Temperatur für jede Filmdicke bestimmt werden muss.
In der vorliegenden Theorie ist das nicht der Fall, da der temperaturabhängige
Beitrag der Magnonen und somit die Magnetisierung und die Curie-Temperatur des
Systems quantenmechanisch und selbstkonsistent gelöst werden. Das ist auch bei der
Analyse von Deckschichten von großem Vorteil, da die Curie-Temperatur auch von
einer Bedeckung, wie z.B. Cu, beeinflusst wird. Diese Systeme werden im Folgenden
diskutiert.
Einfluss einer Deckschicht
Es hat sich herausgestellt, dass die kritische Dicke dkrit des Reorientierungsübergangs sich zu kleineren Dicken d∗krit < dkrit verschiebt, wenn der N i-Film mit Cu
bedeckt wird [4, 76, 77]. Zusätzlich wurde eine Verschiebung der Curie-Temperatur
TC∗ < TC gefunden [4, 78, 79]. Verantwortlich dafür können (i) Gitterverzerrung
und/oder (ii) Hybridisierung an der N i/Cu-Grenzfläche sein. Tatsächlich herrscht
inzwischen Einigkeit sowohl aus theoretischer [80, 81] als auch aus experimenteller
78
5. Anwendungen der Theorie
Sicht [78, 82, 83, 84, 85], dass Hybridisierung hauptsächlich verantwortlich für die
Reduzierung der Anisotropieenergie an der N i/Cu-Grenzfläche ist. Die Reduzierung
des Spinmomentes an der Nickel-Oberfläche wird verursacht durch Hybridisierung
zwischen den polarisierten Zuständen im Nickel und den unpolarisierten Zuständen im Kupfer [80]. In [85] wurde für einen N i4 /Cu(001)-Film eine Reduktion des
magnetischen Momentes um ca. 50% gefunden. Eine Reduktion des magnetischen
Momentes in der an Kupfer angrenzenden Nickeloberfläche kann die effektive Anisotropieenergie K̃ sur2 an der N i/Cu-Grenzfläche reduzieren und somit zur der Verschiebung der Reorientierungsdicke führen. Jedoch sei nochmals darauf hingewiesen,
dass ein verändertes magnetisches Moment an der N i/Cu-Grenzfläche die CurieTemperatur ändern kann, ein Vergleich im Rahmen einer T = 0-Theorie jedoch
erfordert experimentelle Daten bei einer festen reduzierten Temperatur.
Wir möchten nun herausarbeiten, dass die in dieser Arbeit vorgestellte Theorie ebenfalls geeignet ist, den Einfluss von Hybridisierungs- und Gittereffekten auf
die effektiven Anisotopiefelder zu trennen. Die leichte Achse des Systems wird nach
α
(3.119) über die effektiven Anisotropiefelder Kef
f (3.53) bestimmt. In Abbildung
5.25 sind die beiden Einflüsse (i) Gitterverzerrung und (ii) Hybridisierung auf die
N i/Cu-Grenzfläche skizziert. Eine Gitterverzerrung in der an Kupfer angrenzenden
N i-Lage wird durch eine Änderung des intrinsischen Gitteranisotropieparameters
K2α simuliert
∗
Gitterverzerrung ←→ ∆K2sur := K2sur − K2sur
.
(5.23)
Bedingt die Deckschicht eine Verzerrung der Gitterstruktur in der Oberflächenlage,
so wird dies durch den Parameter ∆K2α modelliert. Eine Verzerrung wird meist dann
beobachtet, wenn die Gitterstruktur der Deckschicht nicht der gewachsenen Struktur
des Filmes entspricht. Tatsächlich wird für den hier untersuchten N ix /Cu(001)-Film
von einem perfekten pseudomorphen Wachstum für x = 1 − 11 ML berichtet [86].
Die Spinquantenzahl Sα repräsentiert im Wesentlichen das T = 0-Moment in
der Lage α. Eine Reduktion des magnetischen Momentes hervorgerufen durch Hybridisierungseffekte wird durch eine Verminderung ∆Sα der Spinquantenzahl in der
betreffenden Lage simuliert:
∗
Hybridisierung ←→ ∆Ssur := Ssur − Ssur
.
(5.24)
Wird das magnetische Moment in den Oberflächenlagen des Filmes durch Hybridisierung mit den nicht-polarisierten Zuständen der Deckschicht verändert, so wird
dies durch ein verändertes T = 0-Moment modelliert.
Nun können wir den Einfluß einer Gitterverzerrung oder Hybridisierung lagenaufgelöst studieren. Als Anwendung betrachten wir den Einfluss einer Kupfer-Deckschicht
auf einen N i8 /Cu(001)-Film [4]. Der Film wird durch ein effektives Drei-LagenSystem modelliert, wobei die Oberflächenlagen jeweils eine Lage und die Mittellage die sechs Innenlagen repräsentieren (Abbildung 5.25). Die Parameter K2α jeder
Lage α = (sur1 , vol, sur2 ) beinhalten die durch das Gitter bestimmte intrinsische
Vorzugsrichtung der Magnetisierung. In [86, 87, 88] wurde gezeigt, dass die Reduktion der Anisotropieenergie fast ausschließlich durch die starke Hybridisierung an der
5.3. Einfluss einer Deckschicht
79
Cu
sur2
Kef
f (SN i , K2sur )
vol
Kef
f (SN i , K2vol )
−→
∗sur2
Kef
f (SNiCu , K2sur )
vol
Kef
f (SN i , K2vol )
sur1
Kef
f (SN iCu , K2sur )
sur1
Kef
f (SN iCu , K2sur )
Cu
Cu
Abbildung 5.25: Linke Skizze vor Bedeckung, rechts nach der Bedeckung mit Kupfer.
Einzig das T = 0-Moment an der Oberfläche wird geändert SN iCu < SN i , alle übrigen
Parameter (K2α ,J) bleiben gleich.
N i/Cu-Grenzschicht hervorgerufen wird. Wir untersuchen nun, ob die Annahme der
Hybridisierung allein ausreichen würde, um die Resultate des FMR-Experimentes in
[4] und den gemessenen Sprung der Curie-Temperaturen zu reproduzieren.
Wir nehmen für den Gitterparameter K2α aus Glg. (3.1) und (3.53) an, er sei identisch an der N i/Cu-Grenzfläche (unterste Lage) und der V akuum/N i-Grenzfläche
(oberste Lage). Dies ist in Abbildung 5.25 skizziert. Mit einem festen Satz von Gitterparametern K2sur1 /K2vol /K2sur2 entsprechend den drei Lagen werden die FMRSpektren vor und nach der Bedeckung nur durch Änderung eines Parameters SN i →
SN iCu gefittet.3 Der Parameter J bleibt für beide Fits unverändert und wird genutzt
um für eine der beiden Filme (mit/ohne Cu-cap) die Curie-Temperatur zu fitten.
Für die Berechnung der Magnetisierungswinkel innerhalb der einzelnen Lagen machen wir von der Näherung (3.119) Gebrauch.
Eine Reduzierung des effektiven Anisotropiefeldes in der Oberflächenlage ändert
in der selbstkonsistenten Rechnung TC . Der Grad der Hybridisierung
δ := 1 −
SN iCu
SN i
(5.25)
beeinflusst den erhaltenen Sprung der Curie-Temperaturen. Wird das magnetische
Moment an der Oberfläche nicht geändert SN iCu ≡ SN i , so ist δ = 0. Ist das Moment
an der Oberfläche nach der Bedeckung SN iCu = 1/4SN i , so ergibt sich für den Grad
der relativen Hybridisierung δ = 75%.
In Abbildung 5.26 ist ein solches Ergebnis für eine Spinreduktion von SN i =
1.5 → SN iCU = 1 dargestellt. Man erkennt, dass beide FMR-Spektren alleine durch
die Veränderung dieses einen Parameters sehr gut beschrieben werden. Die FMRSpektren lassen sich auch durch eine andere Wahl von δ mit entsprechenden Parametern K2α reproduzieren, jedoch gilt: Je größer der Grad der Hybridisierung δ,
3
Experimentell als auch theoretisch ist gezeigt, dass die freie N i-Oberfläche im Vergleich zu
den Lagen im Inneren des Films ein erhöhtes magnetisches Moment aufweist. In unserem Beispiel
sind wir jedoch an den Auswirkungen der relativen Spinreduktion des magnetischen Momentes
interessiert. Wir nehmen daher an: Das T = 0-Moment an der freien Oberfläche sei mit dem
Moment SN i im Lageninneren identisch.
80
5. Anwendungen der Theorie
Film (Cu)/Ni8/Cu(001)
S = 1 | 1.5 | 1 (1.5), K2 = -46.08 | 32.9 | -46.08, J = 4.05meV
Bres [kG]
8
ohne Cu
, Experiment Ref.[8]
, Theorie
6
mit Cu
4
2
0
-90
-45
0
45
θB [°]
90
135
0
Abbildung 5.26: FMR-Spektren für den unbedeckten und bedeckten N i8 /Cu(001)Film aus Ref. [4]. Parameter für das theoretische Modell: K21 = K23 = −46.08µB kG
(Oberflächen), K22 = 32.9µB kG (Innenlage), J = 4.05meV, T = 300K. SN i = 1.5
für die Innenlage und SN i = 1.5 bzw. SN iCu = 1 für die N i-Oberfläche bzw. N iCuGrenzfläche.
SN i
1
1
1
SN iCu
1.5
2.5
3.5
δ
33%
60%
71%
TC
425
510
610
TC∗
390
387
382
∆TC [K]
35
123
228
K2sur /K2vol /K2sur [kG]
−46.08/32.9/ − 46.08
−13./4.45/ − 13.
−7.71/1.9/ − 7.71
J [meV]
4.05
2.47
1.6
Tabelle 5.1: Grau hinterlegt ist der Parametersatz zum FMR-Spektrum in Abbildung
5.26.
desto größer ist der Sprung in den Curie-Temperaturen ∆TC := TC − TC∗ (s. Tabelle
5.1).
Experimentell findet man für die Curie-Temperatur des Filmes vor der Bedeckung mit Kupfer TC = 444K. Der mit Kupfer bedeckte Film zeigt eine reduzierte
Curie-Temperatur von TC∗ = 388K. In Tabelle 5.1 sind die theoretischen Werte dargestellt, bei denen sich die FMR-Spektren simulieren lassen. Man erkennt, dass je
größer δ ist (also die relative Reduktion der Hybridisierung), desto größer ist der
Unterschied der Curie-Temperaturen ∆TC 4 . Ohne Annahme einer Gitterverzerrung
— diese entspräche einer Änderung des Fit-Parameters Ksur2 — können die experi4
Zu ∆TC : mit dem Parameter J wird die Curie-Temperatur TC∗ des bedeckten Filmes auf
≈ 388K festgelegt (exp. Wert). Der Sprung ∆TC ergibt sich dann aus der erhaltenen CurieTemperatur des Films ohne Deckschicht TC nach Änderung des magnetischen Moments. Es wäre
auch denkbar zunächst J an TC zu fitten. Dies hätte jedoch keine Auswirkungen auf das grau hinterlegte Ergebnis in Tab. 5.1, da beide Curie-Temperaturen mit einem J gefittet werden können.
5.3. Einfluss einer Deckschicht
81
mentell gefundenen Resonanzfelder als auch die verschiedenen Curie-Temperaturen
vor und nach der Bedeckung mit Kupfer TC und TC∗ für eine Spinreduktion von
δ = 33% beschrieben werden.
Wir haben in diesem Kapitel gezeigt, dass die in dieser Arbeit verwendete mikroskopische Theorie geeignet ist, den Einfluss von Deckschichten auf Filmsysteme zu
untersuchen. Insbesondere ist es möglich, die Einflüsse einer Gitterverzerrung (K2α )
und Hybridisierungseffekte (Sα ) lagenaufgelöst zu studieren. Wir haben in diesem
Kapitel ein in der Literatur gut untersuchtes N i8 /Cu(001)-Filmsystem ausgewertet.
Hierfür standen die experimentellen Daten des Resonanzspektrums für eine feste
Temperatur T = 300K sowie die Curie-Temperaturen vor und nach der Bedeckung
mit Kupfer TC und TC∗ zur Verfügung.
Im Experiment wird für einen N i4 /Cu(001)-Film von einer Reduktion des magnetischen Momentes von 50% und von nahezu perfektem pseudomorphem Wachstum bis zu x = 11M L N ix /Cu(001) berichtet. Für den hier betrachteten N i8 /Cu(001)Film finden wir ohne Annahme einer Gitterverzerrung (∆Ksur2 = 0), dass durch
eine relative Hybridisierung von ca. 33% die experimentellen FMR-Spektren und die
Curie-Temperaturen sehr gut beschrieben werden können.
82
5.4
5. Anwendungen der Theorie
Gekoppelte Lagen
In diesem Kapitel werden wir interlagengekoppelte Monolagen studieren. Zusätzlich zu den Anteilen des effektiven Anisotropiefeldes und dem externen Feld beeinflusst nun das effektive Interlagenfeld maßgeblich die Winkel der Magnetisierung θν
und φν der beiden Lagen ν = 1, 2. Dieser Wettstreit zwischen den verschiedenen
Anteilen des effektiven Feldes kann zu vielfältigen Konfigurationen der Magnetisierungswinkel führen. Die Orientierung der Magnetisierung ist, wie schon im Falle der
Monolage in Kapitel 5.1 beobachtet, eng mit dem Verhalten der uniformen Moden
des Systems verknüpft. Diese erweisen sich nun als wesentlich komplizierter als im
Falle der Monolage. Die magnetfeld- und temperaturgetriebenen Reorientierungsübergänge und die Diskussion der uniformen Anregungsenergien stehen im Vordergrund dieses Kapitels. Wir diskutieren zunächst das symmetrische System zweier
antiferromagnetisch gekoppelter äquivalenter easy-plane-Monolagen. Anschließend
behandeln wir den zugehörigen unsymmetrischen Fall, in dem eine der beiden Lagen
eine größeres Spinmoment S1 > S2 besitzt.
Wie bei gekoppelten Pendeln existieren in gekoppelten ferromagnetischen Lagen
zwei Eigenmoden, die man in Analogie zu Phononen auch als akustische und optische
Mode bezeichnet. Im Falle ferromagnetischer (FM)-Kopplung (Jinter > 0) liegt die
Abbildung 5.27: Akustische und optische Mode zweier gekoppelter ferromagnetischer
Lagen als Analogon der Eigenschwingungen gekoppelter Pendel.
optische Mode bei einer höheren Frequenz bzw. Energie als die akustische Mode, da
bei einer gegenphasigen Präzession von der energetisch bevorzugten parallelen Ausrichtung abgewichen wird. Analog liegt bei antiferromagnetischer (AFM)-Kopplung,
5.4. Gekoppelte Lagen
83
Jinter < 0, die optische Mode bei einer niedrigeren Frequenz bzw. Energie als die
akustische Mode.
Wie auch im Falle der Monolage werden die Moden maßgeblich durch die Ausrichtungen der Magnetisierungsvektoren in beiden Lagen beeinflusst. Die Berechnung
der Gleichgewichtswinkel und der zugehörigen Magnonendispersionen ist in diesem
Fall im allgemeinen nur numerisch bestimmbar. Bei gekoppelten Filmen gibt es drei
prinzipiell verschiedene Beiträge, die die Ausrichtung der Magnetisierung innerhalb
der Lagen γ bestimmen.
(i) Die effektive Anisotropie, die sich sowohl aus der intrinsischen Gitteranisotropie als auch aus der Formanisotropie zusammensetzt, bevorzugt entweder eine
leichte magnetische Achse senkrecht zur Filmebene (Kef f > 0, out-of-plane)
oder parallel zur Filmebene (Kef f < 0, in-plane). Die Anisotropien bedingen
keine Vorzugsrichtung innerhalb der Ebene.
(ii) Die Interlagenkopplung kann abhängig vom spacer ferromagnetisch (FM) oder
antiferromagnetisch (AFM) sein. Bei der FM-Kopplung wird eine parallele
Ausrichtung der Magnetisierungen der beiden Lagen zueinander bevorzugt,
bei der AFM-Kopplung eine antiparallele Ausrichtung.
(iii) Das externe Magnetfeld drängt auf eine parallele Ausrichtung der beiden Magnetisierungen mit dem externen Feld.
Man erkennt, dass die Beiträge der AFM-Kopplung (ii) der Wirkung des externen
Feldes (iii) entgegenstehen. Dies kann zu Auslenkungen der Magnetisierungen aus
der Azimutalrichtung φB0 des externen Feldes führen φα 6= φB0 , und macht daher
die erweiterte Theorie erforderlich. Im Falle FM-Kopplung spielt der Azimutalwinkel
φα der Magnetisierung hingegen keine Rolle. Es gibt keinen Beitrag, der die Magnetisierungen aus der Ebene, die durch z-Achse und Magnetfeldrichtung aufgespannt
wird, herausdrängt. Da die FM-Kopplung mit der Theorie in Ref. [8] vollständig
beschrieben werden kann, werden wir uns hier mit AFM-gekoppelten Filmsystemen
beschäftigen.
Im Folgenden werden wir verschiedene Systemtypen diskutieren. Wir werden sehen, dass bei all diesen Systemen der Azimutalwinkel φ berücksichtigt werden muss,
und diese Systeme daher im allgemeinen mit der Theorie in Ref. [8] nicht vollständig
beschrieben werden können. Dies gilt insbesondere für starke antiferromagnetische
Kopplung bzw. im Falle eines FMR-Experimentes für niedrige Mikrowellenfrequenzen ω M W . Ein wichtiges Ergebnis der im Folgenden diskutierten Modellsysteme ist,
dass, falls die Resonanzfrequenz der Mikrowelle ω M W in einem FMR-Experiment
groß genug gewählt wird, die Resonanzfelder mit der Nicht-erweiterten-Theorie gut
beschrieben werden können [11]. Der Grund hierfür liegt in den entsprechend großen
Magnetfeldern, die die Magnetisierungen in den so genannten gesättigten Bereich
drängen, in dem der Azimutalwinkel φν ≡ φB0 der Magnetisierungen keine Rolle
spielt.
84
5. Anwendungen der Theorie
Die Ausrichtung der Magnetisierungen sowie die zugehörigen Magnonenenergien
bei q = 0 im nicht-gesättigtem Bereich stehen daher im Vordergrund dieses Kapitels.
Da wir an dem Zusammenspiel der Beiträge (i)-(iii) interessiert sind, betrachten wir
gekoppelte Monolagen und vernachlässigen die Dipolkopplung, g0 = 0. Dadurch
beschränken wir uns in der Modellstudie auf Systeme, deren leichte magnetische
Achse innerhalb eines Filmes mit zunehmender Temperatur nicht das Vorzeichen
wechseln. Beispiele sind z.B. antiferromagnetisch gekoppelte dünne Nickel- und/oder
Cobalt-Filme, die jeweils eine starke in-plane-Anisotropie aufweisen.
antiferromagnetisch gekoppelte easy-plane-Systeme
m
Fil
1
Mα
θα
z
θB
0
sp
ac
B0
er
x
AFM
m
Fil
2
y
φα
Abbildung 5.28: Links: System zweier antiferromagnetisch gekoppelter easy-planeFilme, deren magnetisch leichte Achse jeweils parallel zur Filmebene liegt.
Rechts: Die Winkel der Magnetisierungen sind entsprechend den Filmen mit φα und
θα (α = 1, 2) bezeichnet. Der Polarwinkel des in der xz-Ebene angelegten Magnetfeldes B0 ist mit θB0 gegeben.
Einen facettenreichen Systemtyp stellt das in Abbildung 5.28 skizzierte Filmsystem zweier AFM-gekoppelter easy-plane-Filme dar. In diesem Fall bevorzugen
die Anisotropien eine Ausrichtung der Magnetisierungen parallel zur Filmebene,
eine bestimmte Achse innerhalb der Ebene wird jedoch nicht ausgezeichnet. Dieser Freiheitsgrad führt zu vielfältigen Konstellationen der Gleichgewichtswinkel, die
wir im Folgenden diskutieren werden. Die vollständigen Dispersionen und Gleichgewichtswinkel der Magnetisierungen dieses Systemtyps sind im Rahmen der LandauLifshitz-Theorie untersucht worden [42, 89].
Für die folgende Auswertung des Modells sei das Magnetfeld stets in der xzEbene angelegt, d.h. es ist φB0 ≡ 0. Der Winkel zwischen der z-Achse und dem
Magnetfeld ist mit θB0 bezeichnet wie in Abbildung 5.28 (rechts) skizziert. Wie im
Falle der easy-plane-Monolage ist für ausgeschaltetes Magnetfeld B0 = 0 die Symmetrie des Systems bezüglich der Azimutalwinkel φ1,2 in den Lagen 1, 2 erhalten. Wir
werden sehen, dass wir ohne Magnetfeld, wie schon bei der einzelnen easy-planeMonolage in Kapitel 5.1.2 diskutiert, in einer der uniformen Moden ein verschwindendes gap erhalten. Es existiert daher im Rahmen der Theorie bedingt durch eine
5.4. Gekoppelte Lagen
85
lückenlose Anregung von Magnonen keine stabile homogene Magnetisierung im ausgeschalteten Magnetfeld.
Durch ein Magnetfeld in z-Richtung, B0 = B0z , erhält man unterhalb eines kritischen Feldes Bkrit mit der gleichen Begründung keine homogene Magnetisierung.
Wie wir in Kapitel 5.1.2 im Vergleich mit QMC-Simulationen diskutiert haben, gibt
es in dem Bereich 0 ≤ B0z < Bkrit deutliche Hinweise auf nicht-kollineare Konfigurationen (vortices) innerhalb der easy-plane-Monolage, die durch die Theorie
nicht beschrieben werden können. Im Fall eines symmetriebrechenden Anteils des
Magnetfelds B0x 6= 0 erhält man eine Lösung der Magnetisierung die in guter Übereinstimmung mit QMC-Resultaten steht. Wir beschränken uns daher im Folgenden
auf Ausrichtungen θB0 6= 0◦ .
Das symmetrische System
Wir beginnen die Diskussion mit dem symmetrischen System zweier äquivalenter Monolagen, deren intrinsiche Gitteranisotropien die Filmebene bevorzugen,
K21 = K22 ≡ K2 < 0 und S1 = S2 = 1.
Ist das Magnetfeld in der Ebene (θB0 = 90◦ ) angelegt, so verharren beide Magnetisierungsvektoren in der Ebene (θ1,2 = 90◦ ), da dies der leichten Richtung beider
Lagen entspricht. Es kommt zum Wettstreit zwischen den Anteilen der Interlagenkopplung und dem Anteil des externen Magnetfelds zum effektiven Feld. Für kleine
Abbildung 5.29: Magnetisierungen der symmetrischen Lagen in der Filmebene für
θB0 = 90◦ . Mit steigendem Magnetfeld B0 (blau) drehen die Magnetisierungsvektoren der beiden Lagen (rot,grün) in Feldrichtung.
Magnetfelder sind beide Magnetisierungen aufgrund der Interlagenkopplung antiparallel zueinander und senkrecht zum externen Feld ausgerichtet. Wird das Magnetfeld
erhöht, rotieren beide Magnetisierungen kontinuierlich in Feldrichtung, wie in Abbildung 5.29 skizziert. Bei einem kritischen Feld Bkrit (θB0 ) sind beide Magnetisierungen
parallel zueinander und parallel zum äußeren Feld.
Da sich die beiden Magnetisierungen während des gesamten Reorientierungsprozesses in der von den Anisotropien bevorzugten leichten Ebene befinden θ1,2 = 90◦ ,
verschwindet der Einfluss der Anisotropie auf das kritische Feld Bkrit . Die Reori-
86
5. Anwendungen der Theorie
entierung ist in diesem Fall ausschließlich durch die Interlagenkopplung bestimmt.
Nach (3.115) ist die Norm des Interlagenfeldes gegeben durch
Jα
|BefI f |
ν6=α
X
J0αν |Sν (T )| = 2|Jinter |hSνz′ i,
(5.26)
während der Anteil des Magnetfelds zum effektiven Feld durch
B B 0 = |gJ µB B0 | = gJ µB B0
ef f
(5.27)
=2
ν
gegeben ist.
Das kritische Feld entspricht dem Magnetfeld B0 , das ausreichend ist, den Anteil
der Interlagenkopplung in den effektiven Feldern zu überwiegen
X Jα
(5.28)
gJ Bkrit (θB0 = 90◦ ) ≈
|BefI f |,
α
0
wie Abbildung 5.30 bestätigt. Hier sind die Anteile des effektiven Feldes |BB
ef f | (ge-
∑|BeffI |
15
α
Jα
10
5
gJB0
0
90
φ[°]
45
0
-45
-90
0
Jinter=-6µeV
1
-12µeV
2
3
B0 [kG]
-15µeV
4
5
6
P Jα
Abbildung 5.30: Oben: Die Anteile gJ |B0 | und α BefI f | im effektiven Feld als Funktion von B0 für verschiedene Kopplungen Jinter (farbig). Das kritische Feld, an dem
beide Magnetisierungen in eine kollineare Ausrichtung drehen (unten), ist durch
P Jα
gJ |Bkrit | := α BefI f | gegeben (angedeutet durch die gepunktete Linie). Parameter:
K2 = −10µB kG, J = 10meV , T = 0+ , gJ = 2.1, S = 1.
P
Jα
strichelte Linie) und α |BefI f | (durchgezogene Linie) (oben) sowie die Magnetisierungswinkel φ1,2 (unten) als Funktion des externen Magnetfeldes B0 für verschiedene Kopplungsstärken
Jinter gezeigt. In der Nähe des Schnittpunkts von gJ B0 und
P
JIα
α |Bef f |) — das externe Magnetfeld überwiegt also die effektiven Interlagenfelder
in beiden Lagen — sind beide Magnetisierungen parallel zueinander. Das kritische
Feld steigt linear mit der Interlagenkopplung Jinter , d.h., je stärker Jinter , desto größer ist das erforderliche Magnetfeld um die Lagen in die gesättigte Konfiguration zu
5.4. Gekoppelte Lagen
87
drängen.
Für 0◦ < θB0 < 90◦ ist die Bewegung der Azimutalwinkel ähnlich. Zusätzlich
rotieren beide Lagen mit gleichem Polarwinkel θ1 = θ2 aus der Ebene in Feldrichtung. Das kritische Feld Bkrit (θB0 < 90◦ ), an dem beide Lagen in eine zueinander
parallele Ausrichtung drehen, wird nun neben der Interlagenkopplung Jinter maßgeblich durch die Anisotropien in beiden Lagen bestimmt. Der Anteil der Anisotropie
zum effektiven Feld ist nach (3.114) durch


−K2α Cα s2θα hSαx i
K α ef f 
2

−K2α Cα sθα hSαy i
(5.29)
Bef f = 2K2α Cα (c2 + 1 s2 )hSαz i θα
2 θα
gegeben. In Abbildung 5.31 sind die Magnetisierungswinkel als Funktion des externen Feldes für eine Ausrichtung von θB0 = 30◦ gezeigt. Die linke Abbildung zeigt
den Einfluss der Interlagenkopplung Jinter auf den Reorientierungsübergang. Man er90
45
θ1,2
φ1
0
-45
φ2
Jinter= -12µeV
Jinter= -6µeV
Jinter= -1µeV
-90
0
2
4
B0 [kG]
6
Magnetisierungswinkel [°]
Magnetisierungswinkel [°]
135
90
φ1
θ1,2
45
0
-45
-90
-135
0
K1,2=-10µBkG
K1,2=-5µBkG
K1,2=-0µBkG
φ2
2
4
B0 [kG]
6
Abbildung 5.31: Gleichgewichtswinkel der Magnetisierungen beider Lagen als Funktion des externen Feldes B0 für θB0 = 30◦ . Links: Verschiedene Parameter der Interlagenkopplung Jinter bei fester Anisotropie K2 = −10µB kG. Rechts: Verschiedene
Anisotropiestärken K2 bei konstanter Interlagenkopplung Jinter = −12µeV. Übrige
Parameter wie in Abbildung 5.30.
kennt, dass je kleiner die Interlagenkopplung Jinter , desto eher überwiegt der Anteil
des externen Feldes, und die Magnetisierungen drehen in eine kollineare Ausrichtung. Der Polarwinkel θ1,2 der Magnetisierungen wird hingegen kaum beeinflusst.
Die rechte Abbildung zeigt den Einfluss Gitteranisotropie K2 auf den Verlauf
der Magnetisierungswinkel. Da die Gitteranisotropie eine Ausrichtung innerhalb der
Filmebene bevorzugt, hat die Anisotopiestärke K2 < 0 wesentlichen Einfluss auf die
Bestimmung des Polarwinkels θ1,2 . Für verschwindende Anisotropien K2 = 0 drehen
beide Magnetisierungen am Reorientierungsfeld in eine parallele Ausrichtung zum
externen Feld. Wir stellen fest, dass je stärker die Anisotropie, desto größer das kritische Feld Bkrit .
An Abbildung 5.31 (rechts) erkennen wir für K2 = 0, dass das kritische Feld
88
5. Anwendungen der Theorie
Bkrit (θB0 = 30◦ , K2 = 0) ≈ 3.7kG dem kritischen Feld Bkrit (θB0 = 90◦ ) in Abbildung 5.30 entspricht. Mit eingeschalteter Anisotropie K2 6= 0 ergibt sich nun das
kritische Feld Bkrit (θB0 ) aus der Summe von (5.28) und dem Anteil des effektiven
Kα f
Anisotropiefeldes Befef
f :
X Jα
Kα
(5.30)
|BefI f | + |Bef2f |.
gJ Bkrit (θB0 < 90◦ ) ≈
α
φ[°]
effektive Felder
In Abbildung 5.32 (oben) sind die verschiedenen Anteile des kritischen Feldes (5.30)
20
15
10
α
JI
∑|Beff
| + |BKeffeff|
α
JI
∑|Beff
|
K
5
0
90
45
0
-45
-90
0
|Beffeff|
gJB0
θ1,2
φ1
φ2
2
4
B0 [kG]
6
Bkrit
8
Abbildung 5.32: Oben: Die verschiedenen Anteile des effektiven Feldes:
Kα
P
Jα
I
α |Bef f |,
f
|Befef
f | und gJ B0 . Das kritische Feld, an dem beide Magnetisierungen in eine kolliP Jα
Kα f
neare Ausrichtung drehen, ist durch gJ |Bkrit | := α BefI f | + |Befef
f | gegeben.
Unten: Azimuthal- und Polarwinkel φ1,2 , θ1,2 der Magnetisierungen. Die Magnetisierungen drehen bei dem kritischen Feld in eine kollineare Konfiguration. Parameter:
θB0 = 30◦ , Jinter = −15µeV , übrige Parameter wie in Abbildung 5.30.
sowie die Winkel der Magnetisierung φ1,2 (B0 ) und θ1,2 (B0 ) als Funktion des externen Magnetfeldes B0 gezeigt. Am kritischen Feld (angedeutet durch die gepunktete
Linie) drehen beide Lagen in eine kollineare Ausrichtung.
Mit (5.28) und (5.30) können wir das kritische Feld abschätzen, das nötig ist,
um beide Magnetisierungen in eine kollineare Ausrichtung zu drängen. Das kritische
Feld Bkrit (θB0 ) ist durch den Anteil der Anisotropie abhängig von der Ausrichtung
des Magnetfeldes. Mit zunehmendem Magnetfeld nähern sich die Magnetisierungen
der Ausrichtung des externen Feldes, d.h., es gilt insbesondere θ1,2 → θB0 . Je kleiner
Kα der Polarwinkel θα , desto größer ist der Anteil der effektiven Anisotropie Befeff f .
Das kritische Feld Bkrit (θB0 ) nimmt daher mit abnehmendem Winkel θB0 zu. Dies
ist in Abbildung 5.33 gezeigt, wo die Gleichgewichtswinkel der Magnetisierungen als
Funktion des externen Feldes B0 für verschiedene Ausrichtungen θB0 dargestellt sind.
5.4. Gekoppelte Lagen
89
Magnetisierungswinkel [°]
90
θ1,2
45
0
-45
-90
0
90
45
0
-45
-90
0
φ2
0
4
45
8
θ1,2
6
-45 φ
2
-90
10 0
2
90
45
φ1
φ1
θB = 30°
0
4
8
6
10
θ1,2
0
φ2
θB = 60°
0
2
θ1,2
φ1
0
θB = 1°
2
90
φ1
4
6
8
-45
-90
10 0
B0 [kG]
φ2
θB = 90°
0
2
4
6
8
10
Abbildung 5.33: Gleichgewichtswinkel φ1,2 (durchgezogene Linie) und θ1,2 (gestrichelte Linie) der Magnetisierungen beider Lagen als Funktion des externen Feldes
B0 für verschiedene Ausrichtungen des Feldes θB0 (gepunktete Linie). Parameter wie
in Abbildung 5.30.
Der Reorientierungsprozess ist auch temperaturgetrieben möglich. Wird unter
Einfluss eines konstanten Magnetfelds B0 = const die Temperatur T erhöht, so
steigt die magnetische Unordnung des Systems, und die Magnetisierung hSz′ i(T )
und das zweite Moment hSz2′ i(T ) nehmen ab. Dadurch nimmt der Einfluss der InterKα
Jα
lagenkopplung |BefI f | ∼ hSνz′ i(T ) und der effektiven Anisotropie |Befeff f | ∼ hSαz′ i(T )
auf die Bestimmung der Gleichgewichtswinkel im Gegensatz zum externen Feld ab,
und der Reorientierungsübergang, ähnlich zum magnetfeldgetriebenen Übergang in
Abbildung 5.33, kann temperaturgetrieben stattfinden.
Für θB0 = 90◦ sind in Abbildung 5.34 die Gleichgewichtswinkel φ1,2 in Abhängigkeit der Temperatur T /J (gestrichelte Linie) und des Magnetfeldes B/J (durchgezogene Linie) gezeigt (man beachte die unterschiedlichen Skalierungen). Da ein
konstantes Magnetfeld anliegt, sind bei T = 0+ beide Lagen nicht vollständig antiparallel ausgerichtet. Beide Lagen drehen nun, verglichen mit dem magnetfeldinduziertem Übergang, langsamer aus ihrer Startposition (T = 0+ ) in die kollineare
Konfiguration bei der kritischen Temperatur Tkrit . Für θB0 < 90◦ ist das kritische
90
5. Anwendungen der Theorie
0
0.5
1
T/J
1.5
2
2.5
90
φ1,2 [°]
45
0
φ(B0)
-45
φ(T)
-90
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
B/J
Abbildung 5.34: Gleichgewichtswinkel der Magnetisierung φ1,2 sowohl als Funktion des Magnetfeldes B0 /J (durchgezogene Linie) bei konstanter Temperatur
T = 10(−4) J als auch als Funktion der Temperatur T /J (gestrichelte Linie) für
B0 = 0.002J. Übrige Parameter: gJ = 1, K2 = 0.01J, θB0 = 90◦ .
Feld Bkrit (θB0 ) ebenfalls durch die Anisotropien bestimmt. Analog zu (5.28) und
(5.30) ist nun die kritische Temperatur Tkrit (θB0 ) durch
!
X Jα
|BefI f | (Tkrit ) ≈ gJ B0
(θB0 = 90◦ )
(5.31)
α
X
α
JIα
K2α
!
|Bef f | + |Bef f | (Tkrit ) ≈ gJ B0
(θB0 < 90◦ )
(5.32)
gegeben.
In Abbildung 5.35 sind die Gleichgewichtswinkel der Magnetisierung als Funktion der reduzierten Temperatur t = T /TC für ein konstantes Magnetfeld B0 = 1.5kG
dargestellt. Man erkennt die qualitative Übereinstimmung mit dem magnetfeldinduzierten Übergang in Abbilung 5.33. Eine vollständig parallele Ausrichtung beider
Magnetisierungen zum Magnetfeld wird für θB0 6= 90◦ erst für Temperaturen t ≈ 1.4
erreicht. Das konstante Magnetfeld induziert eine endliche Magnetisierung auch für
t > 1. Dies führt zu einer endlichen effektiven Anisotropie, die für t . 1.4 dem
Magnetfeld entgegenwirkt. Für hohe Temperaturen liegen die Magnetisierungen der
Lagen parallel zum externen Feld.
Uniforme Anregungsmoden Eq=0
Die Anregungsmoden der Magnonen sind eng verknüpft mit den Ausrichtungen
der Magnetisierungen. Wie zu Beginn des Kapitels diskutiert, erhalten wir im geak/opt
koppelten System zwei positive Lösungen der uniformen Moden, Eq=0 (B0 , θB0 ),
die den Anregungsenergien der Magnonen im System entsprechen. Diese werden wir
Magnetisierungswinkel [°]
5.4. Gekoppelte Lagen
91
90
90
45
45
0
0
θB = 3°
-45
θB = 30°
-45
0
-90
0
90
0.5
0
-90
1.5 0
90
1
45
45
0
0
-45
θB = 60° -45
0.5
0.5
1
-90
1.5 0
1.5
θB = 90°
0
0
-90
0
1
0.5
1
1.5
t = T/TC
Abbildung 5.35: Gleichgewichtswinkel φ1,2 (durchgezogene Linie) und θ1,2 (gestrichelte Linie) der Magnetisierungen beider Lagen als Funktion der reduzierten Temperatur t = T /TC für ein konstantes externes Feld B0 = 1.5kG und verschiedene
Ausrichtungen des Feldes θB0 (gepunktete Linie). Übrige Parameter wie in Abbildung 5.30.
opt
ak
im Folgenden als akustische Eq=0
(↑↑) und optische Eq=0
(↑↓) Mode bezeichnen. In
Abbildung 5.36 sind die zum Reorientierungsübergang in Abbildung 5.33 zugehörigen Moden dargestellt.
Diskutieren wir zunächst den Verlauf der Moden als Funktion des Magnetfelds.
Die akustische Mode liegt im Falle der hier betrachteten AFM-Kopplung für alle
Ausrichtungen θB0 < 90◦ bei höheren Energien als die optische Mode. Beim kritischen Feld Bkrit (θB0 ), an dem beide Lagen in eine kollineare Ausrichtung übergehen,
opt
verschwindet die optische Mode für T = 0+ Eq=0
(Breo , T = 0+ ) → 0+ . Beide Moden
steigen für große Felder linear mit dem Magnetfeld. Zusätzlich ist in Abbildung 5.36
die Mode der einzelnen Monolage (gestrichelte Linie) dargestellt. Diese Mode ist bei
der kollinearen Ausrichtung der beiden Magnetisierungen mit der akustischen Mode
identisch. Dies kann man ebenfalls in der Analogie zu den gekoppelten Pendeln verstehen.
Koppelt man zwei äquivalente Pendel, so entspricht die Frequenz der gleichphasigen Schwingung der Frequenz der Einzelpendel. In diesem Fall hat die Kopplungsstärke nur einen Einfluss auf die gegenphasige Schwingung, hier die optische Mode.
Analog hat die Interlagenkopplung im gesättigten Bereich einen wesentlich stärkeren
Einfluss auf die optische als auf die akustische Mode. Dies kann man der Abbildung
5.37 entnehmen, die die Dispersionen für eine Ausrichtung des externen Feldes von
θB0 = 30◦ und verschiedene Kopplungstärken Jinter zeigt. Tatsächlich wird die akus-
92
5. Anwendungen der Theorie
40
Eq=0 [GHz]
30
40
θB = 1°
30
0
20
20
10
10
0
0
40
30
10
5
θB = 60°
20
20
10
10
0
0
10
5
0
0
0
40
30
0
θB = 30°
5
10
θB = 90°
0
0
0
5
10
B0 [kG]
Abbildung 5.36: Zu Abbildung 5.33 korrespondierende akustische (↑↑) und optische
ak/opt
(↑↓) Mode Eq=0 (B0 , θB0 ) des symmetrischen Filmsystems für verschiedene Ausrichtungen des Magnetfeldes θB0 .
Eq=0 [GHz]
15
Jinter= -1µeV
Jinter= -6µeV
Jinter= -12µeV
10
5
0
0
2
4
B0 [kG]
6
Abbildung 5.37: Akustische und optische Mode für θB0 = 30◦ für unterschiedliche
Kopplungsstärken Jinter . Im gesättigtem Bereich wird analog zum Fall zweier äquivalenter gekoppelter Pendel die optische (gegenphasige) Mode durch die Kopplung
maßgeblich beeinflusst. Die akustische Mode ist in in diesem Bereich mit der Mode der isolierten Monolage (gestrichelte Linie) identisch. Im ungesättigtem Bereich
B0 < Bkrit werden beide Moden durch die Kopplung beeinflusst.
5.4. Gekoppelte Lagen
93
tische Mode im gesättigten Bereich nicht von der Kopplung Jinter beeinflusst und ist
mit der Mode der (isolierten) Monolage in diesem Bereich identisch. Im ungesättigtem Bereich B0 < Bkrit werden hingegen beide Moden von der Interlagenkopplung
beeinflusst. Mit kleiner werdenden Kopplungsstärken verschiebt sich das kritische
Feld zu kleineren Werten.
Ist das Magnetfeld in der leichten Richtung, θB0 = 90◦ angelegt, so kommt es bei
einem kritischen Magnetfeld B̃krit durch die Symmetrie des betrachteten Systems
bei φ1 = −φ2 = 45◦ zu einer Entartung der Energieeigenwerte der Matrix Mq=0
(3.69)-(3.72). Dies entspricht dem Kreuzungspunkt der Magnonendispersionen in
Abbildung 5.36. Die Zuordnung einer optischen und akustischen Mode ist daher in
diesem Fall im ungesättigtem Bereich nicht eindeutig.
Mit kleiner werdenden Winkeln θB0 des externen Feldes wird diese Entartung
aufgehoben, und es öffnet sich ein gap ∆(θB0 , T ) zwischen den Moden im nichtkollinearem Bereich in der Nähe des gerade erwähnten Schnittpunktes. In diesem
Bereich ist demnach weder eine akustische noch eine optische Resonanzfrequenz
messbar. In Abbildung 5.38 ist ∆(θB0 , T ) für verschiedene Temperaturen als Funktion des Magnetfeldwinkels θB0 gezeigt. Hierbei ist die Unterkante der akustischen
Eq=0 [GHz]
15
10
∆(θB )
0
5
0
0
0.0 Tc
0.25 Tc
0.75 Tc
30
θB [°] 60
90
0
Abbildung 5.38: Energiegap ∆(θB0 , T ) des symmetrischen Films für verschiedene
Temperaturen t = T /TC . Für θ = 90◦ kreuzen sich die akustische und die optische
Mode, und das gap schließt sich.
Mode sowie die Oberkante der optischen Mode in Abhängigkeit des Winkels θB0 für
verschiedene reduzierte Temperaturen t = T /TC dargestellt. Durch die Entartung
der Moden ist in diesem Fall bei θB = 90◦ das gap für alle Temperaturen t geschlossen. Mit zunehmender Temperatur wird der nicht messbare Frequenzbereich kleiner,
da die für das gap verantwortlichen Interlagen- und Anisotropiebeiträge mit zunehmender Temperatur abnehmen. Bei Erreichen der Curie-Temperatur t = 1 ist das
gap ∆(θB0 , t) vollständig geschlossen.
Die Entartung der Moden bei θB = 90◦ kann direkt der Matrix Mq=0 (3.69)-
94
5. Anwendungen der Theorie
(3.72) entnommen werden. Im hochsymmetrischen Fall für φ1 = 45◦ = −φ2 bzw.
hSx1 i = hSx2 i und hSy1 i = −hSy2 i und θ1,2 = 90◦ ergibt sich für die Matrix Mq=0 :5
Mq=0


A(K1 )
0
B(K1 )
0

0
A(K2 )
0
B(K2 ) 

= 
 −B(K1 )

0
−A(K1 )
0
0
−B(K2 )
0
−A(K2 )
(5.33)
mit von den Anisotropien K2i abhängigen Einträgen A(K2i ) und B(K2i ). Die positiven Energieeigenwerte ergeben sich zu:
p
E1+ =
A(K1 )2 − B(K1 )2
(5.34)
p
+
2
2
A(K2 ) − B(K2 )
(5.35)
E2 =
Man erkennt unmittelbar, dass die Entartung schon durch leicht unterschiedliche
Anistropien in den beiden gekoppelten Lagen aufgehoben wird. Dies ist in Abbildung 5.39 dargestellt. Das kritische Feld Bkrit (θB0 ) wird, wie zuvor diskutiert, für
K21 = 0.2 * K22
K21 = 0.5 * K22
K21 = K22
Eq=0[GHz]
20
10
0
0
1
2
3
B0 [kG]
4
5
6
Abbildung 5.39: Energiegap wird durch Brechung der Symmetrie (ungleiche K2 ’s)
aufgehoben.
θB0 = 90◦ nicht durch die Anisotropien beeinflusst. Daher findet sich das Minimum
der optischen Mode für alle Anisotropien in diesem Fall bei B0 ≈ 3.7kG.
Diskutieren wir die Magnonenenergien für höhere Temperaturen. Für θB0 = 60◦
sind die Dispersionen für verschiedene reduzierte Temperaturen t in Abbildung
5.40 dargestellt. Bei t = 0+ verschwindet die optische Mode beim kritischen Feld
opt
Eq=0
→ 0+ . Dies ist im Einklang mit den in Ref. [42] im Rahmen der LandauLifschitz-Theorie gewonnen Ergebnissen für T = 0. Erhöht man nun die Temperatur
Da cφ12 = 0 und sφ12 = 1, sind alle Nicht-Diagonalelemente der Matrix Mq=0 Null (Bαν =
Dαν = 0).
5
5.4. Gekoppelte Lagen
95
60
Eq=0 [GHz]
50
40
4
3
2
1
0
0.0 TC
0.25 TC
0.5 TC
0.75 TC
0.98 TC
2
3
4
30
20
θB = 60°
10
0
0
2
4
6
8
10
B0 [kG]
Abbildung 5.40: optische(↑↓) und akustische(↑↑) Mode für verschiedene reduzierte
Temperaturen t bei einer Ausrichtung des Magnetfeldes von θB0 = 60◦ . Parameter
wie in 5.33.
t, so verringert sich der Anteil der effektiven Anisotropie und der Interlagenkopplung zum effektiven Feld, so dass die Reorientierung mit zunehmender Temperatur
zu kleineren Feldern verschoben wird. Wie im Fall der Monolage beobachtet man
ein temperaturabhängiges gap der optischen Mode beim kritischen Feld. Das gap
am Reorientierungsübergang steigt mit zunehmender Temperatur bis auf ≈ 0.5GHz
(eingefügt in Abbildung 5.40) und schließt sich kontinuierlich für T → TC .
Das symmetrische System ermöglichte uns einen ersten Einblick in die Wechselwirkung zwischen Interlagenkopplung, Anisotropie-Feld und dem externen Feld.
Das Zusammenspiel dieser Felder bestimmt die Gleichgewichtswinkel des Systems,
und wir konnten das kritische Feld Bkrit (θB0 ) abschätzen, das nötig ist, um beide
Magnetisierungen in eine kollineare Ausrichtung zu drängen.
Wir haben magnetfeld- und temperaturgetriebene Reorientierungen untersucht.
Beide zeigten qualitativ das gleiche Verhalten. Es zeigt sich, dass die Orientierungen
der Magnetisierungen eng verknüpft sind mit den uniformen Anregungsenergien des
Systems, welche wir für verschiedene Ausrichtungen des externen Magnetfeldes untersucht haben. Abhängig von der Ausrichtung θB0 des externen Feldes öffnet sich
ein gap ∆(θB0 , T ) zwischen der akustischen und der optischen Mode, in dessen Bereich keine Resonanz messbar ist. Dieses Ergebnis ist konsistent mit den Resultaten
für T = 0 in [42]. Für eine Ausrichtung des Magnetfeldes in der Ebene θB0 = 90◦
verschwindet das gap. Dieses wird durch eine Symmetriebrechung — die beiden Lagen sind nicht mehr äquivalent — aufgehoben.
Wie verhalten sich nun die Anregungsmoden und die Magnetisierungswinkel im
unsymmetrischen System, in welchem etwa die Norm der beiden
Magnetisierungen
Jα
6 hS2z′ i unterschiedlich ist? Da das Interlagenfeld BefI f , das auf die Lage α
hS1z′ i =
96
5. Anwendungen der Theorie
Jα
wirkt, abhängig von der Magnetisierung der jeweils anderen Lage BefI f ∼ hSνz′ i ist,
ist der Einfluss der Interlagenkopplung auf beide Lagen unterschiedlich. Wir werden
sehen, dass diese Tatsache zu einem qualitativ anderem Verhalten der Magnetisierungen im System führt. Untersuchen wir nun das unsymmetrische System.
5.4. Gekoppelte Lagen
97
Das unsymmetrische System
φ1,2[°]
effektive Felder [kG]
Betrachten wir nun das unsymmetrische System, das durch verschiedene magnetische Momente S1 6= S2 der beiden Lagen gegeben ist.
Beispiele sind z.B. gekoppelte Cobalt- und Nickel-Filme, wie etwa das in Ref. [11] untersuchte N i7 /Cun /Co2 /Cu(001)-System. In diesem Fall ist die Norm der Magneti6 hS2z′ i, was wiederum
sierungen in beiden Lagen im allgemeinen verschieden hS1z′ i =
zu einem unterschiedlichen Einfluss der Interlagenkopplung auf beide Lagen führt.
Unterschiedlich
wirken zudem die effektiven Anisotropiefelder innerhalb der Lagen
Kα
Bef2f ∼ hSαz′ i. Der Verlauf der Magnetisierungswinkel und die zugehörigen Magnonendispersionen stellen sich im Vergleich zum symmetrischen Fall als wesentlich
komplizierter dar und hängen wesentlich von der Ausrichtung des externen Feldes
ab. Wir werden sehen, dass die Reorientierungen nun durch zwei kritische Felder
Bkrit1,2 sowie zwei kritische Winkel θBkrit1,2 des externen Magnetfeldes charakterisiert sind.
Für θB0 = 90◦ ist der Verlauf in Abbildung 5.41 (oben) skizziert. Weiterhin sind
20
1
10
5
2
JI + JI
Beff
Beff
15
1
JI
Beff
gJB0
0
0
-90
-180
0
φ1
φ2
Bkrit,1 2.5
B0 [kG]
5 B
krit,2
7.5
Abbildung 5.41: Magnetisierungen der beiden Lagen mit S1 = 2 (rot) und S2 = 1
(grün) als Funktion des externen Magnetfeldes (blau) für θB0 = 90◦ .
Oben: Skizze der beiden Magnetisierungen innerhalb der Filmebene.
Unten: Magnetisierungswinkel und Anteile der effektiven Felder als Funktion des
Jα
Magnetfeldes. Die kritischen Felder Bkrit1,2 entsprechen dem Interlagenfeld |BefI f |
bzw. der Summe der Interlagenfelder. Parameter: K21 = K22 = −10µB kG, J1 =
5meV , J2 = 17.045meV , TC1 = TC2 = 200K, gekoppeltes System TC = 333K.
in der Abbildung die zugehörigen Azimutalwinkel φ1,2 als Funktion des externen
Magnetfeldes B0 gezeigt. Wir erkennen zwei kritische Magnetfelder Bkrit1,2 , die den
98
5. Anwendungen der Theorie
Verlauf der Winkel φ1,2 (B0 ) auszeichnen.
Für B0 < Bkrit1 liegen beide Magnetisierungen antiparallel zueinander, wobei die
Magnetisierung mit hS1z′ i > hS2z′ i wegen des größeren Zeeman-Beitrags in Feldrichtung ausgerichtet ist. Die Magnetisierungen verbleiben in dieser Konfiguration bis
das Magnetfeld das kritische Feld Bkrit1 erreicht. Dieses findet sich in der Nähe des
kleineren Interlagenfeldes:
1 J ◦
gJ Bkrit1 (θB0 = 90 ) ≈ BefI f = 2|Jinter |hS2z′ i,
(5.36)
wie durch die gepunktete Linie in Abbildung 5.41 gekennzeichnet ist.
Im Bereich Bkrit1 < B0 < Bkrit2 drehen beide Magnetisierungen aus der durch
das Magnetfeld und der z-Achse ausgezeichneten Ebene, bis bei genügend großen
Feldern B0 > Bkrit2 die Magnetisierungen in Feldrichtung liegen. In diesem Fall
findet sich das kritische Feld Bkrit2 bei dem Magnetfeld, welches der Summe der
beiden Interlagenfelder entspricht6 :
X Jα
(5.37)
gJ Bkrit2 (θB0 = 90◦ ) ≈
|BefI f | = 2|Jinter |(hS1z′ i + hS2z′ i).
α
Betrachten wir nun den Verlauf der magnetfeldabhängigen Magnetisierungswinkel bei beliebigen Ausrichtungen des externen Felde. Für T = 0+ sind die magnetfeldinduzierten Reorientierungen bei verschiedenen Ausrichtungen des externen
Feldes θB0 in Abbildung 5.42 dargestellt. Das Magnetfeld ist wieder in der xz-Ebene
angelegt (φB0 ≡ 0). Es existieren zwei kritische Winkel des Magnetfeldes θBkrit1 und
θBkrit2 , welche die Verläufe charakterisieren. Für 0 < θB0 ≤ θBkrit1 sind die Magnetisierungen beider Lagen im gesamten Bereich in der xz-Ebene. Für kleine Magnetfelder B0 → 0 liegen beide Magnetisierungen bedingt durch die AFM-Kopplung
antiparallel in der Ebene. Im Gegensatz zum symmetrischen System liegt nun die
Lage mit der größeren Magnetisierung hS1z′ i > hS2z′ i in der durch das Magnetfeld
bestimmten Halbebene, φ1 = φB0 = 0. Mit zunehmendem Magnetfeld drehen beide
Magnetisierungen in Feldrichtung, wobei M2 für die hier betrachteten Fälle7 die +zAchse überquert und sich mit größeren Feldern der Ausrichtung des externen Feldes
annähert. Dies ist in Abbildung 5.42 für θB0 = 3◦ gezeigt.
Für θBkrit1 < θB0 ≤ θBkrit2 kann man die Ausrichtungen der Magnetisierungen
in drei Bereiche unterteilen, die durch deren Azimutalwinkel φ1,2 beschrieben werden. Dies ist für θB0 = 23◦ in Abbildung 5.42 der Fall. Der Verlauf ist zusätzlich in Abbildung 5.43 skizziert. Für kleine Felder bleiben die Magnetisierungen in
der xz-Ebene und drehen in Richtung des externen Feldes. Ab einem kritischem
Magnetfeld Bkrit1 (θB0 ) dreht M2 aus der xz-Ebene, während M1 durch die AFMKopplung aus der Ebene heraus gedrängt wird. Ab einem weiteren kritischem Magnetfeld Bkrit2 (θB0 ) rotieren beide Magnetisierungen zurück in die xz-Ebene. Anstatt
in die positive Halbebene zu drehen, rotiert M2 in die negative Halbebene zurück,
6
Dieses Ergebnis hatten wir ebenfalls im symmetrischen Fall für Bkrit erhalten, vgl. (5.28).
Für ein Magnetfeld in z-Richtung, θB0 = 0◦ , erhalten wir, wie im symmetrischen System und
wie bei der Monolage in Kapitel 5.1.2 diskutiert, keine selbstkonsistente Lösung des Systems im
ungesättigtem Bereich (θ1,2 6= 0◦ ).
7
5.4. Gekoppelte Lagen
Magnetisierungswinkel [°]
180
99
θB =3°
S1=2
0
90
-90
S1=1
-180
0
5
180 S =2
1
90
10
15
0
-180
20 0
180
S1=1
S1=2
0
θB =60°
-90 S =1
1
-90
0
5
-180
10 0
10
5
90
0
-180
0
90
θB =23°
S1=2
0
0
-90
180
S1=1
5
θB =90°
0
10
B0 [kG]
Abbildung 5.42: Azimutal- (durchgezogene Linie) und Polarwinkel (gestrichelte Linie) (φM , θM ) der beiden unsymmetrischen Lagen als Funktion des externen Magnetfeldes für verschiedene Ausrichtungen θB0 . Übrige Parameter wie in Abbildung
5.41.
Abbildung 5.43: Magnetisierungen der beiden Lagen mit S1 = 2 (rot) und S2 = 1
(grün) als Funktion des externen Magnetfeldes (blau) für θB0 = 23◦ aus Abbildung
5.42.
φ2 (Bkrit2 ) = 180◦ . Wird das Feld weiter erhöht, so dreht M2 über die +z-Achse in
Richtung des Magnetfeldes. Für genügend große Felder liegen beide Magnetisierungen parallel zur Ausrichtung des externen Feldes.
Die kritischen Winkel θBkrit1,2 sowie die kritischen Felder Bkrit1,2 (θB0 6= 90)◦ sind
auf komplizierte Weise von den jeweiligen Anisotropiefeldern der beiden Lagen abhängig, ein allgemeiner Zusammenhang wie etwa (5.37) lässt sich in diesem Fall nicht
bestimmen.
Im Bereich Bkrit1 ≤ B0 ≤ Bkrit2 , in dem beide Magnetisierungen aus der xzEbene gedrängt werden, beobachtet man eine interessante Symmetrie in den Kom-
100
5. Anwendungen der Theorie
ponenten der Magnetisierungen der Lagen für alle Ausrichtungen θB0 des Magnetfeldes. Die Symmetrie des vorliegenden Modells (die Anisotropien bevorzugen keine
bestimmte Richtung innerhalb der Filmebene) spiegelt sich in den Magnetisierungskomponenten hSαi i (i = x, y, z) der beiden Lagen α = 1, 2 wider. Zu den Winkelverläufen in Abbildung 5.42 sind nun die Komponenten der Magnetisierungen in
Abhängigkeit des externen Feldes für θB0 = 60◦ (rot) und θB0 = 90◦ (schwarz)
der Lage 1 (durchgezogene Linie) und Lage 2 (gestrichelt) dargestellt. Man er1.5
Magnetisierung
1
2
1 ⟨Sx2⟩
0
⟨S ⟩
⟨Sx1⟩ z1,2
-1
⟨Sy2⟩
0.5
0
5
10
0
-0.5
-1
-1.5
0
⟨Sy1⟩
2.5
5
7.5
10
B0 [kG]
Abbildung 5.44: Komponenten der Magnetisierung der Lage 1 (gestrichelt) und der
Lage 2 (durchgezogen) in Abhängigkeit des externen Feldes B0 für verschiedene
Richtungen (θB0 = 60◦ : rot, θB0 = 90◦ : schwarz). Symmetrie der Filmebene spiegelt
sich in den Magnetisierungskomponenten wider. Übrige Parameter wie in Abbildung
5.41.
kennt für beide Ausrichtungen des externen Feldes die Symmetrie der y-Komponente
hS1y i(B0 ) = −hS2y i(B0 ). Diese Symmetrie lässt sich direkt aus der Winkelbedingung
3.52 ablesen. Für den in Abbildung 5.44 dargestellten Fall liegt das externe Feld in
der xz-Ebene an, d.h. By = 0. Setzt man dies in Gl. (3.52) für die Lage 1 und 2 ein
und eliminiert hieraus B0 , so erhält man unter Verwendung von sφ21 = −sφ12 :
sφ1 sθ1 hS1z′ i = −sφ2 sθ2 hS2z′ i,
(5.38)
was im ungedrehten System der Bedingung hS1y i = −hS2y i entspricht. Allgemein
findet man diese Symmetrie für beliebige Ausrichtungen des externen Feldes φB0 ,
θB0 in der Komponente der Magnetisierung, die parallel zur Filmebene und senkrecht zum Magnetfeld ist (s. Anhang D)
Der Reorientierungsübergang kann, wie im Falle des symmetrischen Systems, nun
auch in einem konstanten Magnetfeld B0 = const temperaturgetrieben stattfinden.
Betrachten wir dazu in Abbildung 5.45 die Magnetisierungswinkel θ1,2 (t) und φ1,2 (t)
als Funktion der reduzierten Temperatur t für ein konstantes Magnetfeld. Erhöht
5.4. Gekoppelte Lagen
101
Jα
man die Temperatur t, so verringern sich die Anteile der Interlagenkopplung BefI f (t)
Kα
Magnetisierungswinkel [°]
und der Anisotropie Befeff f (t) am effektiven Feld Bαef f (t), während der Beitrag des
externen Feldes B0 (t) = B0 unberührt bleibt. Damit gewinnt das äußere Feld für
steigende Temperaturen an Gewicht, und die Situation ist qualitativ vergleichbar
mit einer Erhöhung des Magnetfeldes bei konstanter Temperatur. Die Winkelverläufe in Abbildung 5.45 zeigen demnach qualitativ das gleiche Verhalten wie im
magnetfeldgetriebenen Reorientierungsübergang und sind nun durch zwei kritische
Temperaturen tkrit1,2 charakterisiert.
Für θB0 = 90◦ ergeben sich die kritischen Temperaturen analog zu (5.36) und
90
90
0
0
-90
-180
0
90
θB =0.5°
0
0.5
1
-180
1.5 0
90
0
θB =24°
0
0.5
1
1.5
0
-90
-180
0
-90
θB =60°
0
0.5
1
-90
-180
1.5 0
t = T/TC
θB =90°
0
0.5
1
1.5
Abbildung 5.45: Azimutal- (durchgezogene Linie) und Polarwinkel (gestrichelte Linie) der beiden unsymmetrischen Lagen als Funktion der reduzierten Temperatur
t = T /TC für verschiedene Ausrichtungen des externen Feldes θB0 . Das konstante
Magnetfeld (links oben nach rechts unten) B0 = (1, 5.5, 2.1, 1.5)kG. Übrige Parameter wie in Abbildung 5.41
(5.36)
2|Jinter |hS2z′ i(tkrit1 ) ≈ gJ B0
2|Jinter |(hS1z′ i(tkrit2 ) + hS2z′ i(tkrit2 )) ≈ gJ B0
(θB0 = 90◦ )
(θB0 = 90◦ ).
(5.39)
(5.40)
Wie in Abbildung 5.34 im Vergleich zwischen dem temperatur- und magnetfeldinduzierten Verlauf der Magnetisierungswinkel beobachtet, drehen auch im unsymmetrischen System die Magnetisierungen langsamer aus ihrer Gleichgewichtsposition bei
t = 0+ in die kollineare Ausrichtung.
102
5. Anwendungen der Theorie
Uniforme Anregungsmoden Eq=0
Wie schon im symmetrischen System beobachtet, sind die Moden des Systems
durch die kritischen Felder Bkrit1,2 charakterisiert. Die zu Abbildung 5.42 zugehörigen Moden sind in Abbildung 5.46 dargestellt. Wie zu Beginn des Kapitels erläutert,
80
60
40
θB = 3/0.5°
0
0
40
Eq=0 [GHz]
θB = 23°
20
20
0
0
10
60 θ = 60°
B
20
0
30 00
5
60 θ = 90°
B
40
20
20
5
15
10
15
0
40
0
0
10
10
0
15 0
B0 [kG]
5
Abbildung 5.46: Magnonenenergien für den unsymmetrischen (S1 = 1,S2 = 2) Fall
zweier AFM-gekoppelter easy-plane-Syteme für T = 0+ und verschiedene Ausrichtungen des externen Feldes. Übrige Parameter wie in Abbildung 5.41.
befindet sich für das betrachtete antiferromagnetisch gekoppelte System die optische
Mode bei niedrigeren Energien als die akustische Mode. Wir stellen fest, dass zwischen beiden Moden, im Gegensatz zum zuvor untersuchten symmetrischen System,
für alle Ausrichtungen des externen Feldes θB0 ein gap besteht. Dies ist konsistent
mit den Ergebnissen des symmetrischen Systems. Wir hatten in Abbildung 5.39
festgestellt, dass schon eine leichte Symmetriebrechung des Systems zu einem gap
zwischen den Moden führt. Diese Voraussetzung ist im unsymmetrischen System
natürlich erfüllt. Diskutieren wir zunächst das Verhalten der optischen Mode.
Ohne Magnetfeld erhalten wir kein gap im Anregungsspektrum der optischen Moopt
de Eq=0
(B0 = 0, T ) ≡ 0. Wie bei der easy-plane-Monolage und dem symmetrischen
System erhalten wir im Nullfeld wegen der divergierenden Magnonenbesetzungszahl
keine selbstkonsistente Lösung einer Magnetisierung. Die gleiche Situation liegt vor,
wenn das Magnetfeld in der harten Richtung θB0 = 0◦ angelegt ist. Unterhalb eines
kritischen Feldes B0z < Bkrit verbleibt die optische Mode gapless. Dieses Verhalten
haben wir bei der Diskussion der easy-plane-Monolage in Kapitel 5.1.2 ausführlich
behandelt. Wir erhalten somit, wie bei der isolierten Monolage, keine selbstkonsistente homogene Magnetisierung.
5.4. Gekoppelte Lagen
103
Enthält das Magnetfeld hingegen einen endlichen symmetriebrechenden Anteil,
0◦ 6= θB0 < θkrit1 , so öffnet sich ein gap in der optischen Mode. Dies ist für θB0 = 3◦
(gestrichelte Linie) und θB0 = 0.5◦ (durchgezogene Linie) in Abbildung 5.46 dargestellt.
Für größere Winkel des externen Feldes θB0 > θkrit1 beobachten wir zwei Minima
in der optischen Mode. Diese befinden sich bei den kritischen Feldern Bkrit1 und
opt
(Bkrit1,2 , T ) →
Bkrit2 . Wir erhalten für genügend tiefe Temperaturen limT →0+ Eq=0
+
0 , eine Divergenz der Magnonenzahl wird hingegen nicht beobachtet8 . Für große
Magnetfelder nimmt die Mode linear mit dem Feld zu.
ak
Die energetisch höhere, akustische Mode Eq=0
wird durch die unterschiedlichen
Ausrichtungen des externen Feldes weniger stark beeinflusst. Für kleine Winkel
θkrit > θB0 > 0◦ ist sie bis zum gesättigtem Bereich nahezu konstant und steigt
dann linear mit dem externen Feld. Für Ausrichtungen θB0 > θkrit wächst sie monoton mit dem Feld bis zum kritischen Feld Bkrit1 . Zwischen den kritischen Feldern
Bkrit1 < B0 < Bkrit2 verbleibt die Mode nahezu konstant und steigt dann für große
Felder, wie die optische Mode, linear mit dem Feld. Die Ergebnisse sind konsistent
mit den Resultaten des symmetrischen Systems. Auch hier haben wir beobachtet,
dass die akustische Mode im ungesättigtem Bereich nahezu unbeeinflusst von der
Ausrichtung des externen Feldes ist.
Für größere Temperaturen verhalten sich die Anregungsenergien des Systems
qualitativ ähnlich. Für θB0 = 60◦ ist dies exemplarisch in Abb. 5.47 für verschiedene
reduzierte Temperaturen t = T /TC dargestellt. Der Parameter Jα ist für beide Lagen
α so gewählt, dass die beiden isolierten Lagen die jeweils gleiche Curie-Temperatur
haben, TC1 = TC2 . Für steigende Temperaturen t wird die Magnetisierung hSαz′ i(t)
in den beiden Lagen α = 1, 2 vermindert. Dadurch verschiebt sich das Herausscheren
der Magnetisierungswinkel aus der xz-Ebene und der damit verbundenen Minima zu
kleineren Feldern. Wie in Abbildung 5.47 zu sehen ist, sind diese Minima — wie auch
im symmetrischen Fall — nicht mehr mit einer verschwindenden Anregungsenergie
opt
verbunden Eq=0
(Bkrit1,2 , t 6= 0) 9 0+ . Analog zum diskutierten symmetrischen Fall
schließt sich das gap bei Erreichen der Curietemperatur TC .
Wir möchten an dieser Stelle die Ergebnisse mit der Nicht-erweiterten-Theorie,
die die Azimutalwinkel φ1,2 der Magnetisierungen nicht berücksichtigt, vergleichen.
Die Azimutalwinkel beeinflussen erheblich die Anregungsmoden bei q = 0, wie wir
Abbildung 5.48 entnehmen können. Hier sind die optische und die akustische Moak/opt
de Eq=0 (B0 ) als Funktion des in der Ebene angelegten Magnetfeldes θB0 = 90◦
gezeigt. Für Felder B0 > Bkrit2 im gesättigten Bereich sind die Ergebnisse beider
Theorien äquivalent, da der Azimutalwinkel in diesem Bereich durch das externe
Feld gegeben ist, φ1,2 ≡ φB0 . Im ungesättigten Bereich hingegen weichen die Ergebnisse stark voneinander ab. Um FMR-Experimente für beliebige Resonanzfrequenzen
ω M W beschreiben zu können, bedarf es der in dieser Arbeit entwickelten vollständigen Theorie.
8
Man beachte, dass für limT →0+
divergiert.
opt
Eq=0
(Bkrit1,2 ,T )
T
9 0 die Magnonenbesetzungszahl ϕ (3.78) nicht
104
5. Anwendungen der Theorie
80
70
Eq=0 [GHz]
60
50
40
0.00 TC
0.15 TC
0.30 TC
0.45 TC
0.60 TC
0.75 TC
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
θB = 60 °
0
30
20
10
0
0
2
4
6
B0 [kG]
8
10
Abbildung 5.47: Magnonenenergien für den unsymmetrischen (S1 6= S2 ) Fall zweier
AFM-gekoppelter easy-plane Syteme für θB0 = 60◦ bei verschiedenen reduzierten
Temperaturen t = T /TC . Mit zunehmender Temperatur t nehmen die kritischen
Felder Bkrit1,2 (t) ab. Dadurch verschieben sich die Minima der optischen Mode zu
kleineren Werten. Eingefügt ist das endliche gap am Reorientierungsübergang. Übrige Parameter wie in Abbildung 5.41.
40
Eq=0 [GHz]
30
20
10
Theorie Ref.[6]
vollständige Theorie
00
10
5
B0 [kG]
ak/opt
Abbildung 5.48: Optische und akustische Mode Eq=0 (B0 ) als Funktion eines in
der Ebene angelegten Magnetfeldes. Gezeigt sind die Ergebnisse der vollständigen
Theorie und der Nicht-erweiterten-Theorie aus Ref.[8], auf der die vorliegende Theorie aufbaut. Übrige Parameter wie in Abbildung 5.41.
5.4. Gekoppelte Lagen
105
Wir haben in diesem Abschnitt das unsymmetrische System zweier antiferromagnetisch gekoppelter easy-plane Lagen studiert. Im Gegensatz zum symmetrischen
System wird zwischen der optischen und akustischen Mode stets ein gap beobachtet. Die Orientierung der Magnetisierungswinkel ist für Ausrichtungen des externen
Feldes θB0 > θkrit an zwei kritischen Magnetfeldern Bkrit1 (θB0 ) und Bkrit2 (θB0 ) ausgezeichnet. Für Magnetfelder Bkrit1 < B0 < Bkrit2 werden die Magnetisierungen
beider Lagen aus der durch die z-Achse des Systems und dem Magnetfeldvektor B0
aufgespannten Ebene gedrängt. Für θB0 = 90◦ konnten wir die kritischen Felder mit
den effektiven Interlagenfeldern der beiden Lagen identifizieren. Die Orientierung
der Magnetisierungen ist eng verknüpft mit den uniformen Moden des Systems. Bei
den kritischen Feldern weist die zugehörige optische Mode ein Minimum auf.
Wird die Temperatur des Systems erhöht, so verringern sich die Anteile der
Anisotropie und der Interlagenkopplung zum effektiven Feld. Dies kann zu temperaturgetriebenen Reorientierungen führen.
Im ungesättigten Bereich B0 < Bkrit2 beeinflussen die Azimutalwinkel der Magnetisierungen maßgeblich die Anregungsmoden. Im allgemeinen ist daher für die
Beschreibung von FMR-Experimenten die erweiterte Theorie erforderlich.
106
5. Anwendungen der Theorie
6. Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung
In dieser Arbeit wurden Spinreorientierungsübergänge in magnetischen Schichtsystemen und insbesondere die für ein Ferromagnetisches-Resonanz-Experiment (FMR)
zugänglichen uniformen Spinwellen-Moden untersucht.
Basierend auf einem erweitertem Heisenberg-Modell wurde im dritten Kapitel mit
Hilfe der Green-Funktions-Technik (GFT) eine Theorie entwickelt, die es gestattet
die Norm und Orientierung der Magnetisierung für beliebig gekoppelte Filmsysteme
lagenaufgelöst im gesamten Temperaturbereich zu bestimmen. Das Modell beinhaltet intrinsische Gitteranisotropie 2.Ordnung, Dipol-Dipol-Wechselwirkung, sowie die
Interlagenkopplung zwischen zwei Filmen.
Die gemachten Approximationen in Form von Entkopplungen wurden in einem lokalen Koordinatensystem Σ′ durchgeführt, dessen z ′ -Achse jeweils parallel zur lagenaufgelösten Magnetisierung ist. Nicht-lokale Operatorprodukte, wie die Austauschterme, die Beiträge der Dipol-Wechselwirkung und die Beiträge der Interlagenkopplung wurden mit einer Random-Phase-Approximation genähert. Für die lokalen Gitteranisotropiebeiträge wurde eine Anderson-Callen-Entkopplung verwendet, die den
exakten Grenzfall für S = 1/2 erfüllt. Beide Anisotropiebeiträge — Gitter- als auch
Formanisotropie — konnten zu einer temperaturabhängigen effektiven Anisotropie
Kef f zusammengefasst werden.
Im vierten Kapitel wurden die Resultate den Ergebnissen der klassischen LandauLifshitz-Theorie gegenübergestellt. Dabei wurden die uniforme Mode (q = 0) sowie
die Bestimmungsgleichungen der Magnetisierungswinkel beider Theorien miteinander verglichen. Die Ergebnisse sind für T = 0K äquivalent. Zudem wurde eine Analogie zwischen dem Resultat einer üblichen Mean-Field-Näherung in der GFT und
einer Approximation in der LL-Theorie gefunden. Eine Mean-Field-Näherung entspricht der Vernachlässigung der Zeitabhängigkeit der effektiven Felder in der LLTheorie bzw. die zeitabhängigen Veränderungen der inneren Felder in der LL-Theorie
beschreibt gerade Nicht-Mean-Field-Physik, d.h. auch nicht-lokale Fluktuationen.
Im fünften Kapitel wurden die Anwendungen der Theorie diskutiert.
Die verschiedenen Systemtypen easy-axis und easy-plane, in denen die effektive Anisotropie eine Magnetisierung senkrecht bzw. parallel zur Filmebene bevorzugt, wur-
108
6. Zusammenfassung und Ausblick
den in Kapitel 5.1 diskutiert. Die Ergebnisse der easy-plane-Systeme im transversalen Magnetfeld wurden mit numerisch exakten Quanten-Monte-Carlo-Simulationen
(QMC) verglichen. Oberhalb eines kritischen Feldes bzw. einer kritischen Temperatur stehen die Ergebnisse im ausgezeichneten Einklang. Unterhalb des kritischen
Feldes bzw. der kritischen Temperatur wurde in der GFT keine stabile homogene Magnetisierung gefunden. Der Vergleich mit QMC-Resultaten zeigt in diesem Bereich
starke Hinweise auf nicht-kollineare Spin-Konfigurationen (möglicherweise vortices),
die sich dem Anwendungsbereich der GFT entziehen.
In Kapitel 5.2 wurde die Temperaturabhängigkeit der effektiven Anisotropie untersucht. Es wurde gezeigt, dass ein temperaturgetriebener Reorientierungsübergang
möglich ist, falls beide Anisotropiebeiträge (Gitter- und Formanisotropie) gegeneinander wirken, d.h. falls die Gitteranisotropie eine Magnetisierung senkrecht zur Filmebene bevorzugt. Die Ergebnisse der Modellanalyse sind daher für experimentelle
Untersuchungen z.B. von dünnen Eisen-Filmen relevant.
Das Kapitel 5.3 befasste sich mit dem Einfluss einer Deckschicht auf dünne Filme.
Diese können zu einer Reduktion der effektiven Anisotropie in den Oberflächenlagen durch Gitterverzerrungen und/oder Hybridisierungseffekten und somit zu einem Wechsel der magnetisch leichten Achse führen. An einem N i8 /Cu(001)-System
wurde der Einfluss einer Kupfer-Deckschicht durch die Annahme einer Hybridisierung an der Oberfläche simuliert. Die experimentell gefundene Reduktion der CurieTemperatur und die FMR-Spektren konnten mit der Theorie sehr gut beschrieben
werden. Weiterhin konnte der Grad der Hybridisierung zu δ ≈ 33% abgeschätzt werden.
Das System zweier antiferromagnetisch gekoppelter easy-plane-Monolagen wurde
im Rahmen einer Modellstudie in Kapitel 5.4 untersucht. Das Hauptaugenmerk lag
auf der Diskussion der verschiedenen Orientierungen der Magnetisierungen in beiden
Lagen abhängig von einem externen Feld, der Temperatur und der Interlagenkopplung. Die Reorientierungen beeinflussen maßgeblich die uniformen Anregungsmoden.
Es wurde gezeigt, dass für die Beschreibung der vollständigen Zweige der Moden bei
q = 0 die Orientierung der Magnetisierungen eine entscheidende Rolle spielt und
berücksichtigt werden muss. Die Ergebnisse der Modellstudie sind daher relevant
für FMR-Experimente von gekoppelten Filmsystemen für beliebige Magnetfelder.
Ausblick
Die vorgestellte Theorie kann in vielerlei Hinsicht erweitert werden. Im Folgenden
sollen einige Anregungen gegeben werden, die es gestatten, die vorgestellte Theorie
in einer weiterführenden Arbeit zu untersuchen.
Für große Spins S ≥ 2 sollte eine Anderson-Callen-Näherung (AC) der lokalen
Austauschterme im Vergleich zu der in dieser Arbeit verwendeten RPA-Näherung
eine bessere Beschreibung des Temperaturverhaltens der Magnetisierung darstellen [36]. Diese Vermutung könnte in einem anschließendem Vergleich mit QMCResultaten zu klären sein.
Für Materialien, die eine große Gitteranisotropie aufweisen K2 ∼ J, wie etwa
die Seltenen Erden, dürfte die in dieser Arbeit verwendete AC-Näherung der lokalen
109
Anisotropiebeiträge nicht ausreichend sein. Tatsächlich wurde kürzlich von einer exakten Behandlung dieser Beiträge berichtet, die auf der Verwendung höherer GreenFunktionen beruht [90]. Für K2 & 0.2J ergeben sich in der Tat Verbesserungen in
den Resultaten.
Auf ähnliche Weise könnten die nächst-höheren Anisotropiebeiträge— die Gitteranisotropie 4.Ordnung ∼ (Siz )4 — in die Theorie integriert werden. Diese ermöglichen es, Reorientierungsübergänge innerhalb der Ebene zu untersuchen und deren
Temperaturabhängigkeit aus experimentellen Daten zu bestimmen.
Im Rahmen der in dieser Arbeit vorgestellten Theorie wurden bei der Behandlung
der Dipol-Dipol-Wechselwirkung aus den q-abhängigen Gittersummen nur die q = 0Beiträge berücksichtigt. Für eine genauere Beschreibung des Einflusses der DipolWechselwirkung sind die vollen Gittersummen zu berücksichtigen. In der SpinwellenTheorie ist gezeigt worden [27], dass die Beiträge der Dipol-Wechselwirkung alleine ausreichend sind, um die Magnetisierung innerhalb der Ebene stabilisieren zu
können. Es wäre interessant, dieses Phänomen im Wettstreit mit der intrinsischen
Gitteranisotropie zu untersuchen. Zur Berechnung der q-abhängigen Gittersummen
existieren inzwischen verschiedene viel versprechende Techniken [91]. Die Resultate
könnten mit den Ergebnissen von klassischen Monte-Carlo-Simulationen verglichen
werden, die auf ein facettenreiches Phasendiagramm für Systeme mit uniaxialer Gitteranisotropie und Dipol-Wechselwirkung hinweisen [50].
Der Vergleich mit QMC-Resultaten zeigte starke Hinweise auf nicht-kollineare
Spin-Konfigurationen innerhalb der easy-plane-Monolage. Um derartige Konfigurationen (vortices) in der GFT zu beschreiben bedarf es der Berechnung der Magnetisierungswinkel der lokalen Spins an jedem Gitterplatz. Prinzipiell könnte die
vorliegende Theorie in diesem Sinne erweitert werden, um den Einfluss von vorticeAnregungen auf die Magnetisierung des Systems zu untersuchen. Dies wäre mit
größerem numerischem Aufwand verbunden.
Die Theorie eignet sich prinzipiell zur Untersuchung von Brillouin-Light-ScatteringExperimenten (BLS) (für einen Überblick der BLS-Technik verweisen wir auf [92]).
Im BLS-Experiment können langwellige Anregungen bis q ≈ 105 cm−1 untersucht
werden. Zur akkuraten Beschreibung dieser Moden bedarf es jedoch der oben erwähnten verbesserten Behandlung der Dipol-Beiträge, die in dem Bereich kleiner
Wellenzahlen q das Anregungsspektrum maßgeblich beeinflussen sollten.
Bei den interlagengekoppelten Systemen verspricht die Untersuchung anderer
Systemtypen, z.B. zweier gekoppelter easy-axis-Systeme, ebenfalls interessante Aufschlüsse über die stattfindenden temperatur- und magnetfeldgetriebenen Reorientierungen in den betrachteten Filmsystemen. Diese Systemtypen können unmittelbar
mit der vorliegenden Theorie untersucht werden.
110
6. Zusammenfassung und Ausblick
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Literatur
A. Zur Konstante D
An dieser Stelle möchten wir anhand eines einfachen Beispiels zeigen, dass ein Nichtbeachten der Konstante D in (2.38) zu einer eventuell falschen Aussage führen kann.
Wir setzen ein System beschrieben durch den Hamilton-Operator H voraus, wobei
H folgende Bedingung für einen beliebigen Operator B erfüllen soll:
hh[Siz , H]− ; BiiE −→ 0.
(A.1)
Der Pfeil deutet an, dass die Bedingung (A.1) entweder durch die exakte Relation
[Siz , H]− = 0
(A.2)
erfüllt wird oder, wie wir in der Theorie für die Bestimmung der Gleichgewichtswinkel nutzen werden, durch eine entsprechende Entkopplung
[Siz , H]−
Entkopplung
−→
0.
(A.3)
2
Berechnen wir nun den Erwartungswert hSiz
i ≡ hSz2 i mit (2.38):
Z
(−)
1 ∞
Szz
hSz Sz i =
+ D.
dE βE
~ −∞
e −1
(A.4)
(−)
Zur Bestimmung der Spektraldichte Szz lösen wir die Bewegungsgleichung für die
(−)
Greenfunktion Gzz und finden mit (A.1) das Ergebnis:
EhhSz ; Sz ii = ~h[Sz , Sz ]− i + hh[Siz , H]− ; Sz ii = 0.
{z
}
|
| {z }
(A.5)
hSz2 i ≡ 0.
(A.6)
=0
→0
(−)
Mit (2.36) erhalten wir Szz ≡ 0 und somit für den Erwartungswert (A.4) ohne
Berücksichtigung der Konstanten D:
Die Funktion hSz2 i ist trotz der Voraussetzung (A.1) im Allgemeinen ungleich Null
und spielt in der in dieser Arbeit verwendeten Theorie sogar eine entscheidende
Rolle. Wir berechnen die Konstante D (2.39) und finden:


2~D = lim EG(+)
= lim ~h[Sz , Sz ]+ i + hh[Siz , H]− ; Sz ii
zz
E→0
E→0
|
{z
}
(A.7)
→0
= 2~hSz2 i.
(A.8)
A. Zur Konstante D
118
Wir setzen D in (A.4) ein und erhalten das triviale Ergebnis:
hSz2 i = hSz2 i
(A.9)
Das obige Resultat ist selbstverständlich richtig, es läßt jedoch keine Bestimmung
der Funktion hSz2 i zu. Wir halten fest: Immer wenn wir von (2.38) Gebrauch machen, müssen wir die Konstante D bestimmen, da ein Nichtbeachten zu fälschlichen
Aussagen (A.6) führen kann!
Konstante D für Gleichung (2.57)
Die Antikommutator-Greenfunktion
E G̃+−
ij = ~h[Si+ , Sj− ]+ i + hh[Si+ , H]− ; Sj− iiE
(A.10)
unterscheidet sich von der Kommutator-Greenfunktion ledigleich durch die Inhomogenität auf der rechten Seite. Wir finden für i ≡ j und B0 ≥ 0 analog zu (2.53)
G̃+−
ii =
~hSi+ Si− + Si− Si+ i
.
E − gJ µB B0
(A.11)
Wir bestimmen die Konstante D über den Grenzübergang:
!
2~D = lim E G̃+−
ij = 0.
E→0
(A.12)
B. Zur Drehmatrix
Für die Drehung des Koordinatensystems um die Winkel φα und θα leiten wir die
Drehmatrix für die Transformation Σ → Σ′α .
Zunächst drehen wir das System um die z-Achse um den Winkel φα mit folgender
Rotations-Matrix:


cos φα sin φα 0
(B.1)
R =  − sin φα cos φα 0 
0
0
1
Anschließend wird um die y−Achse um den Winkel Θα mit folgender Matrix gedreht:


cos θα 0 − sin θα

1
0
R̂ =  0
(B.2)
sin θα 0 cos θα
Damit ergibt sich die gesamte Drehung als Produkt der beiden Rotationsmatrizen
zu:


cos φα cos θα sin φα cos θα − sin θα



cos φα
0
(B.3)
R′ = R̂ · R = 

 − sin φα
cos φα sin θα sin φα sin θα cos θα
Vektorentransformation x′ = R′ x und x = (R′ )−1 x′


x′ = 


cos φα cos θα sin φα cos θα − sin θα
− sin φα
cos φα
0
cos φα sin θα sin φα sin θα
cos θα
cos φα cos θα − sin φα cos φα sin θα

x = 
 sin φα cos θα
− sin θα
cos φα
0

(B.4)

(B.5)

·x

 ′
sin φα sin θα 
·x
cos θα
120
B. Zur Drehmatrix
Test der Drehung:
Der Vektor der Magnetisierung Mα sei durch θα und φα festgelegt, es gilt also:


sin θα cos φα
(B.6)
M = ∼  sin θα sin φα  .
cos θα
Im System Σ′α ist die neue zα′ -Achse parallel zu Mα , denn es gilt:
 
0
M′ = R α · M ∼  0  .
1
(B.7)
C. Zum Anteil der
Dipol-Wechselwirkung
C.1
Zerlegung des Operators
Wir erweitern den Anteil im Hamilton-Operator (2.25) um den isotropen Anteil
(3.28):
HD + HDiso
i6=j
1
1
3 X
.
g0α (Siα uij )(Sjα uij ) − Siα Sjα
= −
3
2 <ij>α
2
rijα
(C.1)
Wir betrachten nur den Anteil der Dipol-Wechselwirkung innerhalb der Lage α,
daher verzichten wir aus Gründen der Übersichtlichkeit im Folgenden auf eine zusätzliche Notation α.
Mit Ortsvektoren innerhalb einer Lage mit den Gitterplätzen i und j
rij = ri − rj
rij = |rij |
rij
uij =
rij
(C.2)
(C.3)
u2ijx + u2ijy = 1
(C.5)
(C.4)
folgt unmittelbar
und
1
1 2
− u2ijx =
uijy − u2ijx
2
2
1 2
1
− u2ijy =
uijx − u2ijy .
2
2
(C.6)
(C.7)
122
C. Zum Anteil der Dipol-Wechselwirkung
Mit (C.5)-(C.7) läßt sich Gl.(C.1) in drei Anteile zerlegen:
HD + HDiso
i6=j 1
1
3 X
(Si uij )(Sj uij ) − Si Sj 3
= − g0
2 <ij>
2
rij
i6=j
3 X
= − g0
Six Sjx u2ijx + Siy Sjy u2ijy +
2 <ij>
+ (Six Sjy + Siy Sjx )uijx uijy −
1
1
−
(Six Sjx + Siy Sjy + Siz Sjz )] 3
2
rij
i6=j
3 X
Siz Sjz + (u2ijx − u2ijy )(Siy Sjy − Six Sjx )−
= + g0
4 <ij>
− 2(Six Sjy + Siy Sjx )uijx uijy ]
1
3
rij
= HD1 + HD2 + HD3 .
C.2
(C.8)
Die Anteile HD2 und HD3
An dieser Stelle möchten wir die Näherung der Dipolkopplung detailliert diskutieren. Wir berücksichtigen nur die nicht-dispersiven Anteile (q = 0)[38] und zeigen,
daß mit dieser Näherung die Beiträge HD2 und HD3 aufgrund der Gittersymmetrie
keinen Beitrag zur Bestimmung der Winkel und der uniformen Mode liefern. Die
beiden Anteile sind durch (C.8) gegeben. Da wir nur die Dipol-WW innerhalb einer
Lage betrachten, verzichten wir der Übersichtlichkeit halber auf einen zusätzlichen
Lagenindex α.
Für die Operatoren erhalten wir im gedrehten System
Six
(3.6)
=
=
Siy
(3.6)
=
=
cφ cθ Six′ − sφ Siy′ + cφ sθ Siz′
1
1
(cφ cθ + isφ )Si+′ + (cφ cθ − isφ )Si−′ + cφ sθ Siz′
2
2
sφ cθ Six′ + cφ Siy′ + sφ sθ Siz′
1
1
(sφ cθ − icφ )Si+′ + (sφ cθ + icφ )Si−′ + sφ sθ Siz′
2
2
(C.9)
(C.10)
(C.11)
(C.12)
und können damit folgende Kommutatoren berechnen:
[Si±′ , Sjx ]−
[Si±′ , Sjy ]−
[Siz′ , Sjx ]−
[Siz′ , Sjy ]−
(C.10)
=
(C.12)
=
=
=
~ ((±cφ cθ − isφ )Siz′ ∓ cφ sθ Si±′ ) δij
(C.13)
~ ((±sφ cθ + icφ )Siz′ ∓ sφ sθ Si±′ ) δij
i~(cφ cθ Siy′ + sφ Six′ )δij
i~(sφ cθ Siy′ − cφ Six′ )δij .
(C.14)
(C.15)
(C.16)
C.2. Die Anteile HD2 und HD3
123
HD2 und HD3 sind nach (C.8) für eine Monolage gegeben durch:
HD2
HD3
i6=j
3 X 1 2
=
g0
(uijx − u2ijy )(Siy Sjy − Six Sjx )
3
4 <ij> rij
i6=j
3 X 1
= − g0
(Six Sjy + Siy Sjx )uijx uijy .
3
2 <ij> rij
(C.17)
(C.18)
Mit (C.13)-(C.16) können wir die Beiträge zur Bestimmung des Winkels und der Magnonendispersion finden.h Für die Bestimmung
der Magnetisierungswinkel berechnen
i
wir die Kommutatoren Siz′ , HD2/3 :
−
3
1
[Siz′ , HD2 ]− = g0
i~
4
k6=l
X
1 2
(uklx − u2kly ) [Siz′ , Sky ]− Sly + Sky [Siz′ , Sly ]−
3
r
kl
kl
− [Siz′ , Skx ]− Slx − Skx [Siz′ , Slx ]− . (C.19)
Die auftretenden Kommutatoren berechnen wir gemäß (C.15),(C.16) und drücken
die Operatoren Sk,lx und Sk,ly mit (C.9) und (C.11) in den Komponenten des gedrehten Systems Σ′ aus. Die resultierenden Operatorprodukte AB entkoppeln wir
analog zu (3.12) symmetrisch,
AB = hAiB + AhBi,
(C.20)
wobei wir die Tatsache ausnutzen, dass im gedrehten System Σ′
hSx′ i = hSy′ i = 0
(C.21)
gilt. Wir finden als Resultat analog zu (3.36):
l6=i
X 1
1
RP A 3
(u2ilx − u2ily ) 2sθ hSz′ iSix′ = 0,
[Siz′ , HD2 ]− −→ g0
3
i~
2
r
il
|l
{z
}
(C.22)
(0)
:=D2
wobei die Gittersummation identisch Null ist. Dies können wir uns mit folgender
Skizze klarmachen: Die Gittersumme bezieht sich auf einen festen Gitterplatz i und
124
C. Zum Anteil der Dipol-Wechselwirkung
1 . Qu a d ra n t
Abbildung C.1: Für die x- und y- Komponenten der beiden Gittervektoren a und b
gilt: uax = uby und uay = ubx
summiert wird über alle Gitterplätze j 6= i. Daher können wir schreiben
(0)
D2
=
=
l6=i
X
1 2
(uilx − u2ily )
3
ril
l
z6=0
X
1 2
(uzx − u2zy )
3
r
z
z
s∈1.Quad.
=
4
1 2
(u − u2sy )
rs3 sx
(C.25)
X
1 2
(u − u2sy + u2sy − u2sx )
rs3 sx
(C.26)
s6=0
=
4
s6=0
=
0,
(C.24)
X
s∈1.Quad.
Skizze
(C.23)
(C.27)
wobei wir aufgrund der Symmetrie die Summe in vier Quadranten (rot markiert
in Abb.C.1) eingeteilt haben. Im vorletzten Schritt haben wir den 1.Quadranten
nochmals in zwei Hälften (a) und (b) unterteilt und ausgenutzt, dass wir stets ein
C.2. Die Anteile HD2 und HD3
125
Vektorenpaar a und b finden,
für das gilt: uax = uby und uay = ubx . Für den
′
Kommutator Sq±′ , HD
finden
wir:
2 −
l6=i
RP A 1 X iqRi X
1 X iqRi 1 2
′
e
Si±′ , HD
−→
e
(uilx − u2ily )
2 −
3
N i
N i
r
il
l
f1± (θ, φ)Si±′ + f2± (θ, φ)Sl+′ + f3± (θ, φ)Sl−′
(0)
(q)
(q)
= f1± (θ, φ)Sq±′ D2 + f2± (θ, φ)Sq+′ D2 + f3± (θ, φ)Sq−′ D2 , (C.28)
wobei fi± (θ, φ) Funktionen der Gleichgewichtswinkel sind und
(q)
D2 =
s6=0
1 X iqRs 1 2
e
(usx − u2sy )
3
N s
rs
(C.29)
durch die Fouriertransformation resultierende, q-abhängige Gittersummationen sind.
(0)
Wir betrachten nur den nicht-dispersiven Anteil (q = 0), der wegen (C.23) D2 = 0
verschwindet. Es ist gerechtfertigt, nur den q = 0-Anteil der Gittersummation zu
berücksichtigen, da für q > 0 im Wesentlichen der Anteil der Austauschwechselwirkung (J ≫ g0 ) die Energiemoden bestimmt [38]. Mit (C.23) erhalten wir demnach
unter Vernachlässigung der q > 0 Anteile:
RP A & q≡0
1 X iqRi ′
−→
0.
(C.30)
e
Si±′ , HD
2 −
N i
Dieselbe Situation finden wir für den Anteil HD3 vor. Wir erhalten analog zu
(C.22):
l6=i
X 1
1
RP A
[Siz′ , HD3 ]− −→ i3g0
u u 2hSz′ i(2cφ sφ cθ sθ Siy′ + s2θ (s2φ − c2φ )Six′ ) = 0,
3 ilx ily
i~
r
il
|l
{z
}
(0)
:=D3
(C.31)
wobei die durch das Gitter bestimmte Größe
identisch Null ist. Dies können wir
uns wieder durch eine Skizze klarmachen (s. Abb.C.2). Wir können die Summation
auf einen Quadranten reduzieren und erhalten:
(0)
D3
(0)
D3
l6=i
X
1
uilx uily
=
ril3
l
(C.32)
z6=0
X
1
=
uzx uzy
(C.33)
rz3
z


s∈1.Quad.
X 1 

=
 usx usy + (−usx )usy + (−usx )(−usy ) + usx (−usy )
3
| {z }
| {z } |
{z
} | {z }
rs
s6=0
1.Quadrant
= 0.
2.Quadrant
3.Quadrant
4.Quadrant
(C.34)
126
C. Zum Anteil der Dipol-Wechselwirkung
Y
2 . Qu a d ra n t
-u s x
1 . Qu a d ra n t
usx
usy
usy
-us y
-us y
-u s x
3 . Qu a d ra n t
X
usx
4 . Qu a d ra n t
Abbildung C.2: Wir können uns bei der Summation auf einen Quadranten (rot umrandet) beschränken.
Analog erhalten wir für die Entkopplung der höheren Greenfunktionen:
l6=i
RP A 1 X iqRi X
1 X iqRi 1
′
e
Si±′ , HD3 − −→
e
u u
3 ilx ily
N i
N i
r
il
l
g1± (θ, φ)Si±′ + g2± (θ, φ)Sl+′ + g3± (θ, φ)Sl−′
(0)
(q)
(q)
= g1± (θ, φ)Sq±′ D3 + g2± (θ, φ)Sq+′ D3 + g3± (θ, φ)Sq−′ D3 , (C.35)
wobei gi± (θ, φ) Funktionen der Gleichgewichtswinkel sind und
(q)
D3
z6=0
1 X iqRz 1
e
uzx uzy
=
N z
rz3
(C.36)
wieder durch die Fouriertransformation gegeben ist. Wir berücksichtigen nur den
q = 0 Anteil und finden mit (C.32)
1 X iqRi ′
e
Si±′ , HD
3 −
N i
RP A & q≡0
−→
0.
(C.37)
Wegen (C.22),(C.30) und (C.31),(C.37) liefern die Anteile HD2 und HD3 weder
einen Beitrag zur Bestimmung der Gleichgewichtswinkel noch tragen sie für q = 0
zur Magnonenenergie bei.
D. Symmetrie der
Magnetisierungskomponenten
Wir zeigen nun, dass die Winkelbedingung in Gl. (3.52) die Symmetrie der Filmebene widerspiegelt. Sei das Magnetfeld beliebig mit einer Komponente parallel zur
Filmebene angelegt, d.h. Bk = (Bx , By ) 6= 0. Sei der Azimutalwinkel durch φB0
gegeben, dann läßt sich für die x- und y-Komponente des Feldes schreiben:
(D.1)
(D.2)
Bx = B0 cφB0
By = B0 sφB0 .
Die dazu senkrechte Komponente der Magnetisierung S ∗ innerhalb der Filmebene
ist demnach gegeben durch (s. auch Abb.D.1):
Sα∗ = sφB0 hSαx i − cφB0 hSαy i.
(D.3)
Es läßt sich nun aus Gl.(3.52) zeigen, dass stets S1∗ = −S2∗ gilt. Aus Gl. (3.52) folgt
mit (D.1) und (D.2):
2JI hS2z′ isθ2 sφ12 + (sφ1 cφB0 B0 − cφ1 sφB0 )B0 = 0
2JI hS1z′ isθ1 sφ21 + (sφ2 cφB0 B0 − cφ2 sφB0 )B0 = 0.
(D.4)
(D.5)
Nun eliminiert man B0 aus einer der Gleichungen indem man (D.5) nach B0 auflöst:
B0 (sφ2 cφB0 − cφ2 sφB0 ) = 2JI hS1z′ isθ1 sφ21 .
(D.6)
y
By
Bx
x
S*
Abbildung D.1: Magnetfeld B = (Bx , By ) in der Ebene, Komponente S ∗ senkrecht
zum Feld.
128
D. Symmetrie der Magnetisierungskomponenten
Setzt man obige Gleichung in (D.4) ein und verwendet zudem sφ21 = −sφ12 so erhält
man:
hS1z′ isθ1 (sφ1 cφB0 − cφ1 sφB0 ) = −hS2z′ isθ2 (sφ2 cφB0 − cφ2 sφB0 ).
(D.7)
Drückt man nun obige Gleichung in den Komponenten des ungedrehten Systems
aus, so erhält man (D.3). Es gilt also, bedingt durch die Symmetrie des Modells,
stets für die Komponente S ∗ der Filmebene senkrecht zum externen Feld:
S1∗ = −S2∗ .
(D.8)
Danksagung
Herrn Prof. Dr. Wolfgang Nolting möchte ich für die intensive Betreuung und
die interessante Aufgabenstellung danken. Auch in Zeiten immenser Belastung stand
seine Tür stets für mich offen.
Insbesondere Stephan Schwieger und Jochen Kienert danke ich für die unermessliche Bereitschaft, offene Fragen und Probleme rund um das zu behandelnde Thema
zu diskutieren.
Frau Götsch möchte ich herzlich für die Hilfestellung bei der Bewältigung der
organisatorischen Probleme danken.
Ein überaus angenehmes Arbeitsklima habe ich der gesamten Arbeitsgruppe zu
verdanken. Nicht zu vergessen seien die nachmittäglichen Kaffeepausen, die ohne
Sören Henning und Anand Sharma nur halb so schön gewesen wären.
Im Leben außerhalb der Universität möchte ich allen voran meinen Eltern und
Geschwistern für den Rückhalt während des gesamten Studiums danken.
Mein letzter Dank geht an Sandra, für ihre Geduld und ihre Unterstützung,
gerade in den letzten Monaten.
Ich bestätige, dass ich die vorliegende Arbeit ohne unerlaubte fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Ich bin damit einverstanden, dass ein Exemplar dieser Arbeit in der Bibliothek der
Humboldt-Universität zu Berlin ausgestellt wird.
Berlin, 5. März 2007