Übungsklausur

Lösungen für Teile der Prüfungsklausur vom 05.02.07
Gleichmäßig beschleunigte Linearbewegung
M1. Ein Stein wird mit einer Geschwindigkeit v0 vom Rand einer
Klippe der Höhe h senkrecht nach oben geworfen.
a) Nach welcher Zeit erreicht er das untere Ende der Klippe?
b) Welche Geschwindigkeit hat er direkt vor dem Aufschlagen?
c) Welchen Gesamtweg hat er dann zurückgelegt?
d) Skizzieren Sie eine Weg-Zeit-Funktion für diese Situation.
Der Luftwiderstand soll bei allen Bewegungen vernachlässigt werden.
Lösungshinweis: Quadratische Gleichungen; Normalform x + px + q = 0 , Lösung x
2
1,2
=−
p
2
±
a) Wurfzeit (Steigzeit+Fallzeit)
g
x ( t ) = − t 2 + v 0t + h
2
x ( tW ) = 0
tW 2 −
2v 0
g
tW −
2h
=0
g
2
t1 / 2
v 
v
2h
= 0 ±  0  +
g
g
g
2
Lösung: tW
b) Endgeschwindigkeit
verschiedene Lösungswege sind möglich
1. Energieerhaltungssatz
m
2
v2 =
m
2
v 0 2 + mgh
v 2 = v 0 2 + 2 gh
v = ± v 0 2 + 2 gh
2. Einsetzen der Lösung aus a)
v = − gtW + v 0
2


v 0 
2h 
v 0
v = − g  +   +
 +v0
g
g
g

 


c) Gesamtweg
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v 
v
2h
= 0 +  0  +
g
g
g
p
2
4
−q
x Ges = 2x 1 + h
g
x 1 = − t 2 + v 0t
2
ist der Weg vom Abwurf bis zum oberen Umkehrpunkt (maximale Steighöhe)
v = − gt + v 0
v ( tmax ) = 0
t =
v0
g
2
v 0 v 02
g v 0 
=
x 1 ( t ) = −   + v 0
2 g 
g 2g
maximale Steighöhe: x max
Gesamtweg: x Ges =
v 02
=
+h
2g
v 02
+h
g
M2. Ein Ball wird mit einer Geschwindigkeit v0 bei t = 0
waagerecht vom oberen Ende einer Klippe abgeworfen. In
jedem beliebigen Moment bildet seine Bewegungsrichtung
einen Winkel θ zur Horizontalen.
Leiten Sie eine Formel für θ in Abhängigkeit von der Zeit
her!
waagerechter (horizontaler) Wurf; Abwurfwinkel 0°
v 0 x = const .
v y = − gt ; v 0 y = 0
x ( t ) = v 0 xt
tan θ =
vy
vx
=−
g
y(t ) = − t 2 + h
(1)

gt
 v ox
gt
v ox
θ = arctan  −
anderer Lösungsweg aus der Wurfparabel
und Einsetzen von Gl.(1)
tan θ =
(dy / dt ) dy
=
(dx / dt ) dx
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(2)
2
=−
gx
g
= − 2 v ox t
2
v 0x
v 0x



y =−
g
x2 +h
2
2v 0 x
Bewegung mit Reibung
M3. Ein Skifahrer der Masse m fährt in eine Steilstrecke der Länge s und Neigungswinkel α mit einer Geschwindigkeit von v0 ein. Der Reibungskoeffizient betrage µGL.
Berechnen Sie:
a) die Beschleunigung, die der Skifahrer auf dem Steilstück erfährt,
b) die Geschwindigkeit, die der Fahrer am Ende der Steilstrecke erreicht hat.
a)
Normalkraft
Hangabtriebskraft
Gewichtskraft
b)
FN = G cos α
FHA = G sin α
G=mg
ma = FHA-µGlFN
ma = mg(sin α - µGl cos α)
a = g (sin α - µGl cos α)
v = at+v0
(1)
s= a/2 t² + v0t
(2)
Gl. (1)nach t, in (2) einsetzen und nach v auflösen.
v = v 02 + 2as = v 02 + 2(sin α − µGl cos α ) gs
anderer Lösungsweg:
Energiebilanz
(1)
(1) Beginn: WG = Wkin + Wpot(1)
Reibungsarbeit
(2) Ende:
WG = Wkin(2) + WR
(1)
(2)
m
2
m
2
v 02 + mgh =
v 2 +WR =
(1) = (2)
m
2
m
2
m
2
v 02 + mgs ⋅ sin α
v 2 + µGl mg ⋅ cos α ⋅ s
v 02 + mgs ⋅ sin α =
m
2
v 2 + µGl mg ⋅ cos α ⋅ s
v = v 02 + 2(sin α − µ Gl cos α ) gs
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WR = FR s
WR = µGl mg ⋅ cos α ⋅ s
Energieerhaltungssatz
M4. Zwei Wasserrutschen an einem Wasserbecken haben
verschiedene Formen, sind aber gleich lang und beginnen in
derselben Höhe h. Zwei Kinder, Kathrin und Paul, starten
zum gleichen Zeitpunkt in gleicher Höhe.
a) Wer hat unten die höhere Geschwindigkeit erreicht,
Kathrin oder Paul? beide haben die gleiche Geschwin-
digkeit
b) Wer kommt als erster unten an? Katrin
Vernachlässigen Sie die Reibung.
M5. Ein Wagen gleitet aus einer Höhe h auf einer schiefen Ebene reibungsfrei
herab und vollführt danach auf der Innenseite einer kreisförmigen Schleifenbahn (Radius r) einen Looping. Zunächst starte er aus einer Höhe vom doppelten
Schleifendurchmesser.
Welche Kraft wirkt auf die Insassen in Vielfachen ihres Eigengewichtes G in
Richtung der Unterlage
a) beim Durchfahren des tiefsten Punktes,
b) im höchsten Punkt.
c) Welche Ausgangshöhe muss gewählt werden, damit der Wagen den Weg
durch die Schleife gerade noch schafft, ohne den Kontakt zur Fahrbahn zu
verlieren?
d) Wie groß ist dann die Kraft auf die Insassen im tiefsten Punkt?
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a) hStart = 2d = 4r
Im tiefsten Punkt ist die kinetische Energie gleich der potentiellen Energie.
WG =
v
2
m
v 2 = mghStart
2
= 2 ghStart
Kraft auf die Insassen
FGes = FFl + FG
v 2 = 8 gr
b)
Im höchsten Punkt
WG =
m
v' 2 + mg 2r = mghStart
2
v' = 8 gr − 4 gr = 4 gr
2
c)
m ⋅v 2
r
FG = G
FGes = 8G + G = 9G
FFl =
FGes = FFl − FG
m ⋅v' 2
r
FG = G
FGes = 4G − G = 3G
FFl =
Schleifenbahn wird gerade durchlaufen,
Radialkraft = Gewichtskraft
FR = FG
Bestimmung der Höhe h‘‘ aus der
Energiebilanz
m ⋅ v'' 2
r
FG = mg
WG =
FR =
v'' 2 = gr
FGes = F " Fl +FG = 5 mg + mg = 6G
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2
v'' 2 + mg 2r = mgh''
gh'' = WG =
h" =
d)
m
5
r
2
gr
2
+ g 2r =
5
gr
2
Starrer Körper; Physikalisches Pendel
M6. Zwei gleich große Vollkugeln mit dem Radius r und den Massen von
m1 = m2 = M befinden sich im Abstand von l1 und von l2 von der Drehachse auf
einer masselosen Stange.
a) Berechnen Sie den Schwerpunkt der Anordnung!
b) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment des Pendels!
c) Wie groß ist die Schwingungsdauer?
d) Beschreiben Sie die Bewegung des Pendels, wenn es um 5° ausgelenkt und
losgelassen wird.
l2
l1
ϕ
xs =
m1l 1 − m2l 2 l 1 − l 2
=
m1 + m2
2
a)
Schwerpunkt
b)
Massenträgheitsmoment


2
5


J A = M l 12 + l 22 + 2 r 2 
c)
Schwingungsdauer
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
T = 2π
JA
= 2π
mG gs
M l12 + l22 +

2Mg
4 2
r 
5 
1
l1 − l2 

2
 2
4 
l1 + l22 + r 2 
5 
T = 2π 
g l1 − l2 


d) Bewegung ist eine harmonische Schwingung
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