Übungsklausur
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Lösungen für Teile der Prüfungsklausur vom 05.02.07 Gleichmäßig beschleunigte Linearbewegung M1. Ein Stein wird mit einer Geschwindigkeit v0 vom Rand einer Klippe der Höhe h senkrecht nach oben geworfen. a) Nach welcher Zeit erreicht er das untere Ende der Klippe? b) Welche Geschwindigkeit hat er direkt vor dem Aufschlagen? c) Welchen Gesamtweg hat er dann zurückgelegt? d) Skizzieren Sie eine Weg-Zeit-Funktion für diese Situation. Der Luftwiderstand soll bei allen Bewegungen vernachlässigt werden. Lösungshinweis: Quadratische Gleichungen; Normalform x + px + q = 0 , Lösung x 2 1,2 =− p 2 ± a) Wurfzeit (Steigzeit+Fallzeit) g x ( t ) = − t 2 + v 0t + h 2 x ( tW ) = 0 tW 2 − 2v 0 g tW − 2h =0 g 2 t1 / 2 v v 2h = 0 ± 0 + g g g 2 Lösung: tW b) Endgeschwindigkeit verschiedene Lösungswege sind möglich 1. Energieerhaltungssatz m 2 v2 = m 2 v 0 2 + mgh v 2 = v 0 2 + 2 gh v = ± v 0 2 + 2 gh 2. Einsetzen der Lösung aus a) v = − gtW + v 0 2 v 0 2h v 0 v = − g + + +v0 g g g c) Gesamtweg Übungsklausur2015.doc v v 2h = 0 + 0 + g g g p 2 4 −q x Ges = 2x 1 + h g x 1 = − t 2 + v 0t 2 ist der Weg vom Abwurf bis zum oberen Umkehrpunkt (maximale Steighöhe) v = − gt + v 0 v ( tmax ) = 0 t = v0 g 2 v 0 v 02 g v 0 = x 1 ( t ) = − + v 0 2 g g 2g maximale Steighöhe: x max Gesamtweg: x Ges = v 02 = +h 2g v 02 +h g M2. Ein Ball wird mit einer Geschwindigkeit v0 bei t = 0 waagerecht vom oberen Ende einer Klippe abgeworfen. In jedem beliebigen Moment bildet seine Bewegungsrichtung einen Winkel θ zur Horizontalen. Leiten Sie eine Formel für θ in Abhängigkeit von der Zeit her! waagerechter (horizontaler) Wurf; Abwurfwinkel 0° v 0 x = const . v y = − gt ; v 0 y = 0 x ( t ) = v 0 xt tan θ = vy vx =− g y(t ) = − t 2 + h (1) gt v ox gt v ox θ = arctan − anderer Lösungsweg aus der Wurfparabel und Einsetzen von Gl.(1) tan θ = (dy / dt ) dy = (dx / dt ) dx Übungsklausur2015.doc (2) 2 =− gx g = − 2 v ox t 2 v 0x v 0x y =− g x2 +h 2 2v 0 x Bewegung mit Reibung M3. Ein Skifahrer der Masse m fährt in eine Steilstrecke der Länge s und Neigungswinkel α mit einer Geschwindigkeit von v0 ein. Der Reibungskoeffizient betrage µGL. Berechnen Sie: a) die Beschleunigung, die der Skifahrer auf dem Steilstück erfährt, b) die Geschwindigkeit, die der Fahrer am Ende der Steilstrecke erreicht hat. a) Normalkraft Hangabtriebskraft Gewichtskraft b) FN = G cos α FHA = G sin α G=mg ma = FHA-µGlFN ma = mg(sin α - µGl cos α) a = g (sin α - µGl cos α) v = at+v0 (1) s= a/2 t² + v0t (2) Gl. (1)nach t, in (2) einsetzen und nach v auflösen. v = v 02 + 2as = v 02 + 2(sin α − µGl cos α ) gs anderer Lösungsweg: Energiebilanz (1) (1) Beginn: WG = Wkin + Wpot(1) Reibungsarbeit (2) Ende: WG = Wkin(2) + WR (1) (2) m 2 m 2 v 02 + mgh = v 2 +WR = (1) = (2) m 2 m 2 m 2 v 02 + mgs ⋅ sin α v 2 + µGl mg ⋅ cos α ⋅ s v 02 + mgs ⋅ sin α = m 2 v 2 + µGl mg ⋅ cos α ⋅ s v = v 02 + 2(sin α − µ Gl cos α ) gs Übungsklausur2015.doc WR = FR s WR = µGl mg ⋅ cos α ⋅ s Energieerhaltungssatz M4. Zwei Wasserrutschen an einem Wasserbecken haben verschiedene Formen, sind aber gleich lang und beginnen in derselben Höhe h. Zwei Kinder, Kathrin und Paul, starten zum gleichen Zeitpunkt in gleicher Höhe. a) Wer hat unten die höhere Geschwindigkeit erreicht, Kathrin oder Paul? beide haben die gleiche Geschwin- digkeit b) Wer kommt als erster unten an? Katrin Vernachlässigen Sie die Reibung. M5. Ein Wagen gleitet aus einer Höhe h auf einer schiefen Ebene reibungsfrei herab und vollführt danach auf der Innenseite einer kreisförmigen Schleifenbahn (Radius r) einen Looping. Zunächst starte er aus einer Höhe vom doppelten Schleifendurchmesser. Welche Kraft wirkt auf die Insassen in Vielfachen ihres Eigengewichtes G in Richtung der Unterlage a) beim Durchfahren des tiefsten Punktes, b) im höchsten Punkt. c) Welche Ausgangshöhe muss gewählt werden, damit der Wagen den Weg durch die Schleife gerade noch schafft, ohne den Kontakt zur Fahrbahn zu verlieren? d) Wie groß ist dann die Kraft auf die Insassen im tiefsten Punkt? Übungsklausur2015.doc a) hStart = 2d = 4r Im tiefsten Punkt ist die kinetische Energie gleich der potentiellen Energie. WG = v 2 m v 2 = mghStart 2 = 2 ghStart Kraft auf die Insassen FGes = FFl + FG v 2 = 8 gr b) Im höchsten Punkt WG = m v' 2 + mg 2r = mghStart 2 v' = 8 gr − 4 gr = 4 gr 2 c) m ⋅v 2 r FG = G FGes = 8G + G = 9G FFl = FGes = FFl − FG m ⋅v' 2 r FG = G FGes = 4G − G = 3G FFl = Schleifenbahn wird gerade durchlaufen, Radialkraft = Gewichtskraft FR = FG Bestimmung der Höhe h‘‘ aus der Energiebilanz m ⋅ v'' 2 r FG = mg WG = FR = v'' 2 = gr FGes = F " Fl +FG = 5 mg + mg = 6G Übungsklausur2015.doc 2 v'' 2 + mg 2r = mgh'' gh'' = WG = h" = d) m 5 r 2 gr 2 + g 2r = 5 gr 2 Starrer Körper; Physikalisches Pendel M6. Zwei gleich große Vollkugeln mit dem Radius r und den Massen von m1 = m2 = M befinden sich im Abstand von l1 und von l2 von der Drehachse auf einer masselosen Stange. a) Berechnen Sie den Schwerpunkt der Anordnung! b) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment des Pendels! c) Wie groß ist die Schwingungsdauer? d) Beschreiben Sie die Bewegung des Pendels, wenn es um 5° ausgelenkt und losgelassen wird. l2 l1 ϕ xs = m1l 1 − m2l 2 l 1 − l 2 = m1 + m2 2 a) Schwerpunkt b) Massenträgheitsmoment 2 5 J A = M l 12 + l 22 + 2 r 2 c) Schwingungsdauer Übungsklausur2015.doc T = 2π JA = 2π mG gs M l12 + l22 + 2Mg 4 2 r 5 1 l1 − l2 2 2 4 l1 + l22 + r 2 5 T = 2π g l1 − l2 d) Bewegung ist eine harmonische Schwingung Übungsklausur2015.doc
