Zusammenfassung (Claudia H.)

INHALTSVERZEICHNIS
1
Physik III
Universität Regensburg, Wintersemester 2008/09
Dr. Ulrich Schwarz
Zusammenfassung
Inhaltsverzeichnis
I Licht als elektromagnetische Welle
5
1 Ebene Welle
6
2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
7
3 Phasengeschwindigkeit von Licht im Medium
7
4 E-Feld und B-Feld einer ebenen Welle
7
5 Energietransport und Poynting-Vektor S~
7
6 Strahlungsdruck
8
7 Dispersion von Licht
9
8 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
12
9 Transmission und Reexion an Grenzächen
13
9.1
Spezialfall senkrechter Einfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
9.2
Beliebiger Einfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
9.3
Spezialfälle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
9.3.1
Totalreexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
9.3.2
Brewster-Winkel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
9.4
Fresnel-Formel
9.5
Anwendungen der Totalreexion
9.6
Evaneszente Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
9.7
Das Reexionsvermögen absorbierender Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
9.8
Die Farbe von Gegenständen
9.9
Streuung von elektromagnetischen Wellen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
18
18
II Geometrische Optik
19
10 Das Fermatsche Prinzip
19
11 Strahlenablenkung durch ein Prisma
21
12 Allgemein: optische Abbildung
21
13 Abbildung an einem Kugelspiegel
22
14 Abbildung durch brechende Kugeläche
23
15 Dünne Linse
23
16 Geometrische Konstruktion der Bilder
24
INHALTSVERZEICHNIS
2
17 Optische Systeme
17.1 Ideale Objektive
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
17.2 Projektionsapparat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
17.3 Die photographische Kamera
17.4 Das Auge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
17.5 Teleskop, Fernrohr
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
17.6 Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
17.7 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
18 Blenden
30
19 Dicke Linsen und Linsensysteme
31
20 ABCD-Matrizen
32
21 Abbildungsfehler
32
21.1 Chromatische Aberration
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
21.2 Monochromatische Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
21.2.1 Sphärische Aberrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
21.2.2 Koma-Fehler, Astigmatismus
21.2.3 Weitere Fehler
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
III Wellenoptik
34
22 Qualitative Behandlung der Beugung
34
22.1 Huygensches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
22.2 Fresnelsche Beugung, Fresnelsche Zonen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
22.2.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
22.2.2 Fresnelsche Zonenplatte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.3 Rechnung mit Zeigerdiagramm
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
22.2.4 Cornu-Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
23 Mathematische Behandlung der Beugung
23.1 Fresnel-Kirchhoschen Beugungstheorie
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
23.2 Fresnelsche und Fraunhofersche Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
23.3 Fraunhofersche Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
23.4 Das Babinetsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
23.5 Poissonscher Fleck
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24 Einschub: Fouriertransformation
42
25 Spezielle Fälle der Fraunhoferschen Beugung
43
25.1 Fraunhofer-Beugung am Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
25.2 Beugung an einer kreisförmigen Önung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
25.3 Beugung am Doppelspalt
44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.3.1 Unendlich kleiner Spalt
25.3.2 Endliche Spaltbreite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
25.4 Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
25.5 Gitterspektrometer (Monochromator)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
25.6 Beugung am mehrdimensionalen Gitter
26 Interferenz
26.1 Kohärenz
48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
26.1.1 Räumliche Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
26.1.2 Zeitliche Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
26.2 Aufspalten der Wellenfront
26.3 Zweistrahl-Interferenz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
INHALTSVERZEICHNIS
3
26.3.1 Michelson-Interferometer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
26.3.3 Mach-Zehnder-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
26.3.2 Sagnac-Interferometer
26.4 Interferenz an dünnen Schichten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
26.4.1 Interferenz gleicher Neigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
26.5 Vielfachinterferenz am Beispiel des Fabry-Perot-Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.4.2 Interferenz gleicher Dicke
54
27 Räumliches Auösungsvermögen
27.1 Teleskop (Fernrohr)
56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.2 Auösungsvermögen des Auges
56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
27.3 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
28 Abbesche Theorie der Bildentstehung
57
29 Holographie
58
30 Anwendungen
60
30.1 Mehr über Spektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
30.2 Fresnel Linse
61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Polarisationsoptik und nichtlineare Optik
62
31 Polarisation elektromagnetischer Wellen
62
32 Polarisationsoptik
63
32.1 Polarisatoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
32.1.1 Gesetz von Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
32.1.2 Polarisation durch Reexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
32.1.3 Polarisation durch Dichrosimus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
λ
2 -Plättchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
λ
32.3
2 -Plättchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
32.4 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
32.2
33 Induzierte Doppelbrechung
33.1 Kerr-Eekt
65
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
33.2 Spannungsdoppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
34 Optische Aktivität und Faraday-Eekt
68
35 Nichtlineare Optik
69
35.1 Phänomene, die mit der nichtlinearen Suszeptibilität zweiter Ordnung verknüpft sind . . . . . . .
70
35.2 Phänomene, die mit der nichtlienaren Suszeptibilität dritter Ordnung verknüpft sind . . . . . . .
70
V Quantenphänomene: Wellen und Teilchen
71
36 Einführung und Überblick
71
37 Welle-Teilchen-Dualismus
72
38 Photonen
73
38.1 Die Energie von Photonen: Der Photoeekt
38.2 Anwendungen des Photoeekts
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
38.3 Der Impuls der Photonen: Der Compton-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
38.4 Erzeugung von Bremsstrahlung und charaktersitischer Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . .
76
38.5 Paarerzeugung
76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38.6 Drehimpuls der Photonen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
INHALTSVERZEICHNIS
4
39 Emission von Licht
77
39.1 Temperaturstrahler und Strahlungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
39.2 Die Plancksche Strahlungsformel
78
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40 Elektronen und Positronen
40.1 Fundamentale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
79
41 Materiewellen
80
42 Unschärferelation
81
43 Tunnelphänomene
82
VI Literaturverzeichnis
83
5
Teil I
Licht als elektromagnetische Welle
Maxwell-Gleichungen
•
:
Faradaysches Induktionsgesetz:
~
BBBt
¾
»
B
~
~ dA
~
E d~s B
B
t
s
~ E
~
∇
•
Ampersches Gesetz und Verschiebungsterm:
~ H
~
∇
¾
~ d~s H
s
•
Ladungen sind Quellen des E-Felds:
¾
BBDt ~j
~
B P D~ dA~
Bt
I
~ D
~
∇
ρ
~ dA
~Q
D
O
•
keine magnetischen Monopoloe:
¾
0
~ dA
~0
B
~B
~
∇
O
Bx
Ex
~ rotE By Ey ∇E
Bz
Ez
Bx Ex
~ divE By Ey ∇E
Bz
Ez
Bx E
~ gradE By E ∇E
Bz E
∆ divgrad
Felder werden über Lorentzkraft gemessen:
F~
q pE~
~q
~v B
Materialgleichungen:
•
~
D
0 E~
~q
P~ pE
~
B
µ0 H~
~ pH
~q
M
•
1
EBENE WELLE
6
Lineare Medien:
0 χe E~
~ 0 E
~ mit 1
D
~ µ0 χm H
~
M
~ µ0 µH
~ mit µ 1
B
P~
χe
χm
χe , χm , , µ können von Wellenlänge abhängen
Dispersion
χe , χm , , µ können Tensoren sein
Doppelbrechung
χe , χm , , µ können vom Feld abhängen
nichtlinearer Optik
Nichtmagnetischer Isolator:
~ D
~ ρ 0 keine freien Ladungen
∇
~j 0 keine Ströme (µ 1)
Ableitung der Wellengleichung:
B2 E~ 0
Bt2
2~
~ 0 µ0 B B 0
∆B
Bt2
~ 0 µ0
∆E
(1.1)
(1.2)
Analog zur Wellengleichung in der Mechanik:
B2 ypx, tq 1 B2 ypx, tq
B x2
vP2 h
B t2
1 Ebene Welle
~ p~r, tq E
~ 0 cospωt ~k~r
E
ist Lösung der Wellengleichung mit
~k 2
Definition 1.1
kx2
ky2
kz2
ϕq
(1.3)
0 µ0 ω2
Eine Dispersionsrelation ist eine Beziehung die den Betrag des Wellenvektors mit der
Kreisfrequenz der Welle verküpft.
k2
c2 ω2
Dispersionsrelation für Licht
mit Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
Periode
τ,
Frequenz
ν,
Kreisfrequenz
c
ω
τ
Wellenlänge
λ,
Wellenzahl
k,
Wellenvektor
?1 µ
(1.5)
0 0
ν1 2π
ω
λν c
~k
k
2π
λ
k
(1.4)
~k
2
BESTIMMUNG DER LICHTGESCHWINDIGKEIT
7
2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
•
Astronomische Methode von Ole ROmer
•
Zahnradmethode von Fizeau
•
Bestimmung aus Frequenz und Wellenlänge
Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig vom Bezugssystem.
spezielle Relativitätstheorie
3 Phasengeschwindigkeit von Licht im Medium
cm
? 1µ ?c nc
(1.6)
0 0
mit Brechungsindex
n
? Immer (auch im Medium) gilt: k Phasengeschwindigkeit im Medium:
ω
k
2π
λm
2πn
mit Vakuum-Wellenlänge λ0 .
λ
0
vP h
c
n
(1.7)
4 E-Feld und B-Feld einer ebenen Welle
~
E
E~ 0 eipωt~k~rq
(1.8)
(komplexe Schreibweise für Wellen)
Da jedoch das elektrische Feld als physikalische Messgröÿe nur relle Werte annehmen kann, ist am Ende der
Rechnung der Realteil von
~
E
zu bilden, das heiÿt die physikalisch messbaren Felder
der komplexen Felder:
~
E
21 E~
~
E
entsprechen dem Realteil
c.c.
Dabei beduetet c.c. komplex konjungierte des vorherstehenden Ausdrucks
~k KD,
~ ~k KB
~
isotropes Medium:
~ KB,
~ D
~ KB
~
E
~k KE
~
Man sieht also, dass ebene Wellen transversale Wellen sind, bei denen die Auslenkungen von
~
B
bzw
~
D
in einer
Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen.
~
E ~ ptq
B
und
~ ptq
E
nc B~ ?1 µ
0 0
~
B sind in Phase.
5 Energietransport und Poynting-Vektor S~
Eine wesentliche Eigenschaft einer elektromagnetischen Welle ist ihre Fähigkeit zum Energietransport.
Der Vektor, der den Energieuss beschreibt, heiÿt Poynting-Vektor. Er hat die Einheit Energie pro Zeit und
Fläche, und sein Absolutwert wird Intensität der Welle genannt. Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
wem
we
wm
21 ED
1
HB
2
12 0
E2
ZeitEnergie
Fläche
I c 0 E 2
Intensität
c2 B 2
0 E 2
(1.9)
6
STRAHLUNGSDRUCK
8
Zeitliche Mittelung:
E0 cospωt ~k~rq
I ptq I0 cos2 pωt ~k~rq I0 : c0 E02
@ 2
D
1
zeitlicher Mittelwert: cos pωtq 2
E
xI ptqy 12 c0 E02
Poynting-Vektor
~:
S
~
S
(1.10)
E~ H~
(1.11)
Im Vakuum:
µ0H~ 1c H~
~
S S
0 c2 E B 0 c E 2
~
B
0
2
zeitliche Mittelung über schnelle Oszillation
@
E2
D
E02
A
cospωt
E
~k~rq
12 E02
xS y 21 0 cE02
xS y xI y
~ k ~k
S
(1.12)
in homogenen Medien Obige Mittelwerte gelten nnur, wenn
aufeinander stehen. In dem Spezialfall, dass zwischen
E
und
H
E
und
H
in Phase sind und senkrecht
ein Phasenunterschied von
90
besteht, ergibt
sich eine zeitliche Mittelung von 0.
6 Strahlungsdruck
Elektromagnetische Strahlung wird durch bewegte Ladungen erzeugt. Zwei Arten von Quellen sind dabei für
die Optik von besonderer Bedeutung: Strahlung einer beschleunigten Ladung und Strahlung eines schwingenden
Dipols.
Ein geladenes Teilchen im kombinierten
beschleunigt. Impulsübertragung:
pges
~E
Ec
und
~B
Feld wird über Coulomb-und Lorenzkraft in
~k -Richtung
kin
vollständige Absorption:
vollständige Reexion:
Beispiel 6.1 (Optische Pinzette)
ps
Ic
(1.13)
2 Ic
(1.14)
ps
Eine optische Pinzette ist ein photonisches Gerät zur Manipulati-
on, d. h. zum Festhalten und Bewegen, kleinster Objekte. Eine typische Ausführung spiegelt einen Laserstrahl
in ein optisches Mikroskop ein, der dadurch in der Objekt-Ebene fokussiert wird. Wenn der Laser einmal so
eingestellt ist, dass das Objekt im Fokus liegt, führt jede Lageabweichung dazu, dass es durch Impulsübertragung bei der Brechung wieder in den Fokus gezogen wird.
7
DISPERSION VON LICHT
9
Beispiel 6.2 (Lichtmühle)
Eine Lichtmühle ist eine Glaskugel, in deren Inneren sich ein bewegliches
Flügelrad bendet, das mit mehreren einseitig geschwärzten Plättchen versehen ist. Bei Lichteinfall beginnt
sich das Rad zu drehen.
Setzt man die Lichtmühle Licht- oder Wärmestrahlung aus, so dreht sich das Rädchen, wobei die nicht geschwärzten Flächen vorangehen.
Die thermische Bewegung der Gasmoleküle im Inneren führt bei unbeleuchtetem Flügelrad und thermischem
Gleichgewicht statistisch zu gleich vielen Stöÿen auf die hellen und die dunklen Flügelächen. Bei Bestrahlung erwärmen sich die beruÿten Flächen, und deren Moleküle und Atome führen eine stärkere Bewegung
(Brownsche Molekularbewegung) aus. Treen nun Gasmoleküle auf schnell schwingende Teilchen der warmen Seite, erhalten sie einen stärkeren Impuls beim Wegiegen. Das Kräftegleichgewicht des Flügels ist nun
nicht mehr gegeben, und die schwarze Seite erfährt nach dem Impulserhaltungssatz eine Rückstoÿkraft in der
entgegengesetzten Richtung des wegiegenden Gasteilchens.
7 Dispersion von Licht
Der Begri Dispersion beschreibt die Abhängigkeit der Dielektrizitätskonstante/Brechungsindex von der Frequenz der Wellenfeldes. Sie wird durch die Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit Materie auf
atomarer Skala bestimmt. Daraus ergeben sich zahlreiche optische Phänomene.
Dispersionsrelation:
ω
k
n
Brechungsindex:
Die Ausbreitung von Licht wird entscheidend vom Brechungsindex
npω q
nc
(1.15)
?
(1.16)
npω q des durchleuchteten Mediums bestimmt.
beeinusst:
•
Lichtgeschwindigkeit im Medium
•
Ablenkung, Reexion, Brechung von Licht beim Übergang von eiem Material in ein anderes
•
Auseinanderieÿen von Lichtimpulsen
Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstante:
Modell hierfür: In allen Atomen oder Molekülen wird durch ein äuÿeres elektrisches Feld eine Auslenkung der Elektronen gegenüber den Atomkernen erzeugt. Die damit verknüpfte Dispersion
wollen wir im folgenden ausführlicher behandeln. Das Elektron ist durch harmonische Kärfte an
den Kern (ruhend, unendlich schwer) gebunden. Wir stellen dazu die Bewegungsgleichung aus
und berechnen das mit der Auslenkung in einem äuÿeren Feld verbundene Dipolmoment. Aus
der entsprechenden makroskopischen Polarisation
konstante bestimmt werden. Die treibende Kraft
Feld
~
E
~ kann dann die DielektrizitätsP~ p 1q0 E
~
F auf das Elektron wird durch das elektrische
hervorgerufen. Bewegung des Elektrons folge der Gleichung eines eindimensionalen har-
monischen Oszillators.
~ ptq eE
~ 0 eiωt
F~ ptq eE
1
:
x
γ x9 ω02 x F pq
xptq
m
P ptq exptqN ppω q 1q0 E ptq
p ω q 1
e2 N
0 m
p ω q
ω2 ω2 1 i γ ω
0
(1.17)
wobei:
N : Teilchendichte
ω0 : Resonanzfrequenz
γ : schwache Dämpfungskonstanten pγ
! ω0 q
Vorteile von komplexer Schreibweise: Phasenfaktor
ϕ
nicht nötig
Festzuhalten ist jedoch, dass die physikalische Messgröÿe immer der Realteil der entsprechenden
komplexwertigen Gröÿe ist.
7
DISPERSION VON LICHT
10
Brechungsindex, Näherung
Näherung für
pω q 1
∆
mit
∆ ! 1
(z.B. Gase, im nichtresonanten Fall)
nR
ω02 ω 2
q2 N
2
20 m pω0 ω 2 q2 γ 2 ω 2
1
2
2q Nm pω2 ω2γω
q2
nI
0
mit komplexen Brechungsindex
n
0
n nR
γ 2 ω2
I nI
(1.18)
Die Auswirkungen eines komplexen Brechungsindexes kann man am besten erkennen, wenn man die Ausbreitung
einer ebenen welle
E pt, z q
in
z -Richtung
durch ein Medium mit Brechugnsindex
k
nc ω ncR ω
ñ E pz, tq E0 eipωtkzq E0
nI
0 ñ Amplitude klingt exponentiell ab.
i
n NR
I nI
berechnet.
nI
ω
c
ni ω
z
c
eomo
lo
on
Amplitude
eipωt
nR
c
ωz
q
Das heiÿt der Imaginärteil des Brechungsindexes bewirkt die Absorption des LIchtes.
Das elektrische Feld besitzt einen schnell oszillierenden Anteil, dessen Wellenlänge im Medium durch den Realteil
nR
bestimmt ist.
ortsabhängigkeit der Lichtintensität:
I pz q I0 e
2ωnI
c
z
I0 eαz
(1.19)
α
Mit Extinktionskoezienten (Absorptionskoezienten)
Im betrachteten Modellsystem und in allen Systemen, die sich im thermischen Gleichgewicht benden, ist
nI
stetigs negativ. Unter speziellen Nichtgleichgewichtsbedingungen, kann
|ω| Ñ 8 ñ
nI
#
nI
auch positiv werden.
nR Ñ 1
nI Ñ 0
negetaiv edeutet Abnahme der Lichtintensität mit zunehmender Schichttiefe. Wenn
nI
positiv ist, erhält
man ein Anwachsen der Lichtintensität mit zunehmender Schichttiefe.
Definition 7.1 (Durchlässigkeit, Transmission)
T
II ppz0qq eαz
z : Schichttiefe
α: Extinktionskoezient
Definition 7.2 (optische Dichte)
C : Konzentration
z : Schichttiefe
C z
der Probe in Mol/Liter
α
4π nI
λ0
ñ α nI
n nR inI die Wellenlänge λ nλR0
c
und die Phasengeschwindigkeit vP h
nR
Bei allen durchsichtigen Medien (Glas, Wasser, Luft) ist der Absorptionskoezient für sichtbares Licht sehr klein
Eine elektromagnetische Welle hat in einem Medium mit Brechungsindex
(sonst wären sie nicht durchsichtig). Dann ist der Imaginärteil der komplexen Brechungsindex klein gegenüber
den Realtil, und man kann für diesen Fall
einfach
n
statt
nR ,
n
nR setzen. Deshalb erscheint in vielen Gleichungen der Optik
weil hier überwiegend mit Stoen kleiner Absorption (Linsen, Prismen) gearbeitet wird.
7
DISPERSION VON LICHT
11
p q
nI ω liegt nicht genau bei
γ
1
gilt, ist jedoch ωmax
ω0 .
ω0
Farbstoe sind Moleküle, bei denen die Resonanzfrequenz
Das Maximum der Funktion
!
ω0
und damit
α
ω
ω0
ω0
sondern bei
ωmax .
Da für sichtbares Licht
nI sehr
ωmax ω0 .
im Sichtbaren liegt. Dann wird
also die Absorption. Damit hat der Farbsto die Komplementärfarbe von
groÿ bei
Definition 7.3 (normale Dispersion)
dnR
dn
¡
0,
0
dω
dλ
vG vP h
nr
nimmt mit zunehmender Wellenlänge
Beispiel 7.1
λ
ab.
Brechzahl von rotem Licht in Glas kleiner als von blauen Licht
Definition 7.4 (anomale Dispersion)
dnR
dω
0
In den Bereichen anormaler Dispersion wird der Imaginärteil des komplexen Brechungsindex und daher auch
der Absoptionskoezient maximal.
Brechzahl nimmt mit steigender Wellenlänge zu.
Beispiel 7.2 (Dispersion der Phasengeschwindigkeit)
•
Prisma zerlegt Licht in sein Farb-
spektrum
•
Linsen zeigen unerwünsche Farbränder (chromatische Aberration)
Beispiel 7.3 (Dispersion der Gruppengeschwindigkeit)
Lichtpulse bei der optischen Daten-
übertragung in Glasfasern zerieÿen wegen der Dispersion der Gruppengeschwindigkeit mit der Zeit: Je kürzer
der Lichtpuls, desto breiter sein Frequenzspektrum und desto ausgeprägter ist die Änderung der Pulsform
durch Dispersion auf langen Übertragungsstrecken.
Verwendet man nun Wellenpakete, die immer aus mehreren spektralen Komponenten (mehreren Wellenlängen) bestehen, so breiten sich die einzelnen Komponenten des Wellenpaketes unterschiedlich schnell entlang
der Glasfaser aus. Das Wellenpaket zerieÿt also aufgrund der Dispersion der Gruppengeschwindigkeit.
Das begrenzt die Datenrate.
Dispersion von dichten Medien
Bisher:
n1
Nun: Berücksichtigung der Clausius-Mosotti-Beziehung
dazu: Ansatz nach Sellmeier
Sellmeier-Beziehung:
n2 pλq A
N
¸
Bj λ2
λ2 Cj
j 1
(1.20)
Über weite Frequenzbereiche nimmt der Brechungsindex mit der Frequenz zu (normale Dispersion). Nahe an den Resonanzfrequenzen, wenn der Imaginärteil des Brechungsindexes von null
¡
dn
0 (anomale Dispersion). In diesen Bereichen werden die elektromagnedλ
tischen Wellen absorbiert.
verschieden ist, gilt
Brechungsindex und Absorption von Metallen
Leitungselektronen im Metall sind nicht an einen Kern gebunden, sondern im Metall frei beweglich.
Es gibt somit keine Rückstellkraft, und die Resonanzfrequenz geht gegen Null. Die Plasmafrequenz ist wichtig für die Lichtausbreitung in Metallen.
Metalle: Langwellige Absorption, kurzwellige Transmission
Das heiÿt: Lange wellen (z.B. Handy) werden absorbiert, wohingegen kurze Wellen (z.B. Radio)
durchgehen
8
PHASEN- UND GRUPPENGESCHWINDIGKEIT
12
8 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Gemäÿ dem Superpositionsprinzip ist neben zwei Lösungen
~1
E
~2
E
~ 1, E
~2
E
der Wellengleichung auch die Summe
~s
E
eine Lösung. Dadurch wird es möglich durch Kombination von ebenen Wellen mit geeigneter Amplitude
und Frequenz Wellenpakete mit deniertem zeitlichen und räumlichen Verlauf zu konstruieren.
Fouriertransformation
Definition 8.1 Man nennt eine solche Superposition unendlich vieler harmonicsher Wellen mit Frequen∆ω
zen ω im Intervall ωm 2 eine Wellengruppe oder auch ein Wellenpaket. Die Wellengruppe wird charakterisiert durch ihre Amplitudenverteilung Apω q, onsbesondere durch ihere Mittelfrequenz ωm und ihre Frequenzbandbreite ∆ω , durch die auch die räumliche Ausdehnung festgelegt ist.
Wir wollen uns nun mit der Ausbreitung von Licht, speziell von Lichtimpulsen, zuwenden. Dazu verwenden wir
den Ansatz für das Wellenpaket und für ein in
z -Achse
x-Richtung
polarisiertes elektrisches Feld, das sich längs der
ausbreitet, ergibt sich damit
Ex pz, tq Amplitude der Fourierkomponenten
~ x pω q
E
berechnen:
Zusammenhang zwischen
?1
»8
8
2π
und
k pω q
(1.21)
E~ 0,x pωq lassen sich aus einem vorgegeben Zeitverlauf des Feldes
»8
1
Ex pω q ?
ω
Ex pω qeipωtkpωqzq dω
8
2π
Ex pz, tqeiωt dt
(1.22)
ist durch Dispersionsrelation gegeben:
ω
k
npckq
vP h : Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Wellenberges
vGr : Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Wellenpaktes
Vakuum gilt: vGr vP h c
Medium gilt allgemein: vGr vph
Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
Im
Im
Näherungsweise Berechung des elektrischen Feldes
ω
ω0
p q Apz, tq
loomoon
oszilliert schnell einhüllende Amplitudenfunktion
ñ Ex pz, tq ?1
i ω t k z
e 0 0
loooomoooon
2π
ϕ ω0 t k0 z ptq ñ z ptq vP h
Ω ! ω0
Ω
kϕ ñ vph dzdtptq
ω0 t
k0
0
dzdtptq ωk 0 npωc q
0
vGr
dz ptq
dt
1
k 1 pω0 q
dω
dk
(1.23)
0
ω0
nc kn2c dn
dk
(1.24)
Die Amplitudenfunktion, das heiÿt die Einhüllende des Wellenpaktes breitet sich mit der Gruppengeschwindigkeit aus.
1
vGr
v 1
Ph
1
λ dn
n dλ
Will man mit Licht Informationen übertragen, so kann man dazu die Amplitude des Feldes modulieren. Dieses,
der Amplitude aufgepräfte Signal, wird sich dann gerade mit der Gruppengeschiwndigkeit ausbreiten.
9
TRANSMISSION UND REFLEXION AN GRENZFLÄCHEN
13
Gruppengeschwindigkeitsdispersion
k pω q
wurde Taylorentwickelt und die höheren Glieder bisher vernachlässigt
Das bewirkt, dass sich die Amplitudenfunktion bei der Ausbreitung verändert. Dieses Phänomen
kann man qualitativ darauf zurückführen, dass für verschiedene Frequenzkomponenten des Lichtimpulses unterschiedliche Werte der Gruppengeschwindigkeit existieren; die verschiedenen Frequenzkomponente des Lichtimpulses breiten sich unterschiedlich schnell aus und verlängern so
den Lichtimpuls. Diese DIspersion der Gruppengeschwindigkeit führt in der Regel zu einer
Verbreitung der Lichtimpulse bei der Ausbreitung durch ein dispersives
Vakuum: keine Dispersionseekte,
n 1, k
ωc , vgr vph c
dn
dλ
0
9 Transmission und Reexion an Grenzächen
9.1 Spezialfall senkrechter Einfall
(Randbedingungen)
Stetigkeit der Tangentialkomponenten von
~
E
und
~
H
Indizes:
• i:
für incident (einfallend)
• e:
für ebene Welle
• t:
für transmittierend (hinübergeschickt)
• r:
reektiert
~i
E
~i
H
~r
E
~r
H
E~ t für tt 0
H~ t für tt 0
~kr ~ke
Reexionskoezient:
Definition 9.1
Reexionskoezient
r:
r :
Er
Ei
Definition 9.2 (Reflexionsgrad)
R
Ir
Ii
nni nnt
i
(1.25)
t
Reexionsgrad
r2 ni nt
ni nt
R
der Intensität:
2
(1.26)
Bei Behandlung der reektierten Intensität ist es unwichtig, von welcher Seite her das Licht auf
die Grenzäche fällt. Der Reexionsgrad ist für beide Fälle identisch.
Beispiel 9.1 (ne
¡ nt )
ñ r ¡ 0 ñ E~ r k E~ e
das heiÿt beide Wellen sind an der Grenzschicht in Phase
Beispiel 9.2 (ne
nt )
ñ r 0 ñ E~ r k E~ e
Die beiden Felder schwingen gegenphasig
Es tritt eine Phasenverschiebung von
Phasensprung
π
ϕr
π auf.
bei Reexion am optisch dichteren Medium.
Falls die betrachteten Medien eine nicht zu vernachlässigende Absorption besitzt, wird der Reexionskoezient
Felder verwenden.
r
komplex. Man muss dann die entsprechende komplexe Schreibweise für die
9
TRANSMISSION UND REFLEXION AN GRENZFLÄCHEN
14
Transmissionskoezient:
Definition 9.3
Transmissionskoezient t:
t
Mit Intensität
I
Et
Ei
n 2nin
t
i
12 cn0 E02 folgt:
Definition 9.4 (Transmissionsgrad)
T
Transmissionsgrad
T
IIt nnt t2 pn4nt nni q2
i
i
t
(1.27)
i
Das entspricht der Durchlässigkeit einer Probe.
Energieerhaltung:
Brechzahlen
n1 , n2
T
R
1
Beim Übergang von Medium 1 ins Medium 2, bei dem sich für verschiedene
die Phasengeschwindigkeit
vph
λ
ändert, kann sich nur die Wellenlänge
nc ν λ ω2π λ
ändern, nicht die Frequenz
ω.
9.2 Beliebiger Einfallswinkel
Für Grenzächen von isotropen, isolierenden und nicht magnetischen Medien
µ1
muss gelten:
(Grenzbedingungen, Randbedingungen für elektrische und magnetische Felder)
~ und H
~ 1 B
~ sind stetig.
Die Tangentialkomponenten von E
µ0 µ
~ 0 E
~ und B
~ sind stetig.
Die Normalkomponenten von D
das heiÿt:
Et p1q Et p2q, Bn p1q Bn p2q
µ 1 ñ Bt p1q Bt p2q
Wir wollen in diesem Kapitel den einfachsten Fall behandeln, bei dem zwei homogene Medien, die durch die
Brechungsindizes charakterisiert seien, durch eine ebene Grenzäche voneinander getrennt werden. OBdA können wir diese Grenzäche durch
y
0 charakterisieren, d.h. die Grenzäche ist die x zEbene.
Auf diese Grenzäche falle Licht als ebene Welle
~r
E
und eine transmittierte Welle
~t
E
~i
E
ein. Weiterhin nehmen wir an, dass eine reektierte Welle
vorhanden sind.
Wir gehen von einer fest vorgegebenen weinfallenden Welle aus und bestimmen die Eigenschaften von reektierter und transmittierter Welle aus den Randbedingungen.
TE-Polarisation: transversal elektrisch, d.h. E-Feld steht senkrecht auf die durch einfallenden reektierten und
transmittierten Strahl gebildete Eene.
Ebenso: TB-Polarisation - transversal magnetisch
Tangentialkomponente des
~ -Feldes:
E
x und z-Komponente von
~
E
und
~
B
unmittelbar oberhalb und unterhalb
der Grenzäche muss gleich sein:
~ 0ex
E
(Reflexionsgesetz)
~ 0rx
E
E~ 0tx , E~ 0ez
ñ ωi ωr ωt
~ 0rz
E
E~ 0tz
Ausfallswinkel = Einfallswinkel
θr
θi
(1.28)
9
TRANSMISSION UND REFLEXION AN GRENZFLÄCHEN
15
(Snelliusches Brechungsgesetz)
ni sin θi
nt sin θt
(1.29)
Auch für das transmittierte Licht gilt, dass ein Wellenvektor in der Einfallsebene liegen muss.
Definition 9.5 (Lichtstrahl)
In optisch isotropen Medien gilt
~ k ~k ,
S
Lichtstrahl beschreibt die Richtung des Energieusses des Lichtes.
also können Reexions- und Brechungsgesetz für Strahlrichtung und
Wellenvektorrichtung verwendet werden.
Berücksichtige nun, dass ein Strahl, der unter dem Winkel
eine Querschnittsäche
Fα
α
auf die Grenzäche
F
auftritt, im Medium 1 nur
F cos α hat. Dadurch verändert sich die Intensität (Energie pro Zeit und Fläche):
Definition 9.6 (Transmissionsgrad, Reflexionsgrad)
R
Ir cos α1
Ie cos α
T
IIr
(1.30)
e
β
IIt cos
cos α
(1.31)
e
Die Ausdehnung
d
des Lichtbündels in der Einfalssebene und damit die durchstrahle Fläche ändert sich zu
d1 .
Dieser Eekt kann z.B. zur Aufweitung eines begrenzten Lichtbündels verwendet werden.
d1
cos θt
d cos
θ
e
9.3 Spezialfälle
9.3.1 Totalreexion
Lässt man eine Lichtwelle aus einem optisch dichteren Medium 1 ins optisch dünnere Medium 2
laufen, so folgt aus dem Brechungsgesetz :
sin θi
pn1 ¡ n2 q
nn2 sin θt
1
sin θt
¤ 1 ñ sin θi ¤ nn2
1
damit die Welle in Medium 2 eintreten kann.
Für Winkel
θi
¡ nn
2
1
wird alles Licht an der Grenzäche reektiert (Totalreexion). Man nennt den Winkel
für den
sin θg
nn2
θg
(1.32)
1
ist, den Grenzwinkel der Totalreexion.
θi
¡ θt ñ RK Rk 1,
rK , rk
Phasenverschiebung
PC
ϕr
Brewster-Winkel bei Übergang von optisch dichteren Medium ins optisch dünnere:
θB
arctan
nt
ne
ñ Rk 0
9.3.2 Brewster-Winkel
Der Brewster-Winkel ist der Winkel, bei dem vom einfallendem unpolarisiertem Licht nur die senkrecht zur Einfallsebene polarisierte Anteile reektiert werden. Das reektierte Licht ist dann linear polarisiert. Also:
keine Reexion für TM-Polarisation.
Ursache: Dipol-Abstrahlcharakteristik.
θB
nt
ni
θt
90
tan θB
Rk
0,
9
TRANSMISSION UND REFLEXION AN GRENZFLÄCHEN
Beispiel 9.3 (Brewster-Fenster)
16
Polarisiertes Licht soll durch viele Oberächen ohne Reexions-
verluste transmittiert werden
Weitere Anwendung: Polarisation
9.4 Fresnel-Formel
(Fresnel)
rK
rk
pθi θt q
sin
sinpθ
θq
i
tanpθi θt q
tan
pθ θ q
(1.34)
2Psinpθθt cosθ qθi
(1.35)
i
tK
tk
(1.33)
t
t
i
t
cos θi
sinpθ 2 sinθ θqtcos
pθ θ q
i
Energieerhaltung:
We
t
Wt
i
(1.36)
t
Wr
9.5 Anwendungen der Totalreexion
Beispiel 9.4 (Totalreflexion am Prisma)
Die Reexionsverluste an den Ein-und Austrittsächen des Prismas lassen sich durch dielektrische AntireexSchichten praktisch vollständig elminieren.
In obigen Beispiel ist
n 1.5
(Kronglas). Damit ist der Totalreexionswinkel
41.8
45 (Einfallswinkel)
Beispiel 9.5 (Glasfaserkabel)
Kern: lichtleitend; Glas höchster Transparenz
Mantel: lichtdurchlässiges Medium, nicht Luft
nK
Wird der Brechungsunterschied
∆n nK nM
nM
groÿ genug gewählt, kann man erreichen, dass das Licht sich
- auch bei gekrümmten Glasfasern - im Kern verlustfrei ausbreitet:
Bedingung: Einfallswinkel auf die Grenzschicht zwischen Kern und Mantel muss imer gröÿer als der Totalreexionswinkel sein
9
TRANSMISSION UND REFLEXION AN GRENZFLÄCHEN
Die Dauer
tF ,
17
die das Licht zum Durchlaufen einer Faser der Länge
L
benötigt, hängt davon ab, unter wel-
chem Winkel sich das Licht zur Faserachse ausbreitet. Für eine lineare Faser und Ausbreitung genau längs
der Achser erhält man
tF
ncK L
während Licht, das gerade unter dem Totalreexoinswinkel auf dem Fasermantel trit eine längere Laufzeit
aufweist:
t1F
Dieser Unterschied
∆t
ncK L cos
1
π
2 ΘG
tF
∆t
der Laufzeiten wird bei der Informationsübertragung in Glasfasern bedeutend. Bei
diesr Anwendung wird zeitlich moduliertes Licht über groÿe Entfernungen übertragen.
Fasern mit groÿen Kerndurchmesser: Verschiedene Ausbreitungsmoden mit unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit
Mono-Mode-Faser: Eine Ausbreitugsgeschwindigkeit erlaubt höchste Übertragungsbandbreiten
9.6 Evaneszente Wellen
Bisher hatten wir die Totalreexion nur vom Gesichtspunkt des Energieusses behandelt und festgestellt, dass
bei der Totalreexion perfekte Reexion auftritt. Nun wollen wir uns mit dem Verlauf des Feldes auf der Rückseite der Grenzschicht beschäftigen, auf der oensichtlich keine Lichtabstrahlung auftritt.
Für
ktK
θi
¡ θGr
ni sin θi
gilt aufgrund des Brechungsgesetzes
rein imaginär:
¡ nt . Damit wird im Bereich der Totalreexion
d
ktK
n2i
sin2 θi 1 i β
n2t
ikt
~t
E
E~ 0 eβy eipωtk
β
PR
q
tk x
Gemäÿ dieser Beziehung fällt die Feldsträke an der Rückseite der Grenzschicht exponentiell ab. Eine oszillatorische Bewegung ndet nur längs der Grenzschicht (in x-Richtung) statt. Man hat also eine an die Grenzschicht
gebundene, sogenannte evaneszente Welle oder Oberächenwelle.
Wichtig ist auch hier der Befund, dass die Feldstärke an der Grenzschicht nicht instantan verschwindet, sondern
exponentiell mit dem Koezienten
β
gedämpft abklingt.
Man erhält also trotz Totalreexion eine Energieübertragung durch den verbotenen Bereich an der Rückseite
der Grenzschicht. Dieses Tunneln des Lichtes durch einen verboteten Bereich wird später im Zusammenhang
mit dem Welle-Teilchen-Dualismus weiter diskutiert.
9.7 Das Reexionsvermögen absorbierender Medien
Reexionskoezient beim Übergang von einem nicht absorbierenden Medium in ein Medium mit endlicher Absorpion:
Statt trigonometrischen Funktionen muss komplexe Funktion eingesetzt werden
Man kommt zu demselben Ausdruck für
r
Betrachte nun senkrechten Einfall von Luft
r
pne 1q
2
nn 11 ñ R r r ppnnR 11qq2
ñ |nI |
R
steigt
n2I
n2I
ñ Absorption steigt ñ R steigt
Absorption erhöht Reexionsgrad
Beispiel 9.6 (Metallische Reflexion)
starke Absorption
Beinahe 100% ige Reexion
Metalle: leitende Metall
9
TRANSMISSION UND REFLEXION AN GRENZFLÄCHEN
18
9.8 Die Farbe von Gegenständen
Die beobachtete Farbe ist im wesentlichen durch die spektrale Zusammensetzung des Lichtes bestimmt, das
vom Gegenstand zum Auge des Beobachters gelangt.
Für Körper, die Licht aussenden, ist die Farbe durch die spektrale Verteilung des emittierten Lichtes bestimmt.
Für nicht selbstleuchtende Körper zählen die spektrale Verteilung (Farbe) des beleuchtenden Lichtes sowie die
dielektrischen Eigenschaften des Körpers.
Hier: Beleuchtung durch Sonnenlicht/Glühlampenlicht
Beispiel 9.7 (Metalle)
hohe Leitfähigkeit
hohe Reexion des einfallenden Lichtes
metallischen
Glanz
Reexionsvermögen im Sichtbaren wellenlängenabhängig
charakteristische Färbung des metallisch glän-
zenden Körpers
Bsp.: Gold, Kupfer
Gold: geringes Reexionsvermögen bei
mischt auÿer
500nm)
500nm
(grün-blau)
Farbe in Komplementärfarbe (alle Farben ge-
orange
Beispiel 9.8 (Isolatoren)
Isolatoren, die im sichtbaren Spektralbereich keine Absorption besitzen,
sind, soweit keine Streuung durch Inhomogenität auftritt, transparent (glasklar).
Wenn die Oberächen gestört sind (z.B. in Pulvern), so erschienen sie aufgrund ihres wellenlängenunabhängigen Reexionsvermögens weiÿ. (Puderzucker, feinkörniges Kochsalz)
Beispiel 9.9 (schwach absorbierende Körper)
Besitzen Isolatoren schwache Absorption im sicht-
baren Spektralbereich, so beobachtet man im transmittierten Licht ebenso wie im rückgestreuten Licht diejenige Farbe, die durch die spektrale Verteilung des transmittierten Lichtes bestimmt wird. (Komplementärfarbe)
gelb/rote Absorption
blauer Farbe (verdünnte Tinte)
Beispiel 9.10 (roter Folienschreiber auf transparenter Folie)
bevorzuge Absorption: grün
Farbe erscheint rot in Transmission
Folie auf dunklen Untergrund: Schrift erscheint in Reexion grün
9.9 Streuung von elektromagnetischen Wellen
Betrachte inhomogene Medien, z.B. eine Substanz, in der kleine Teilchen in einem Trägermaterial mit anderer
Dielektrizitätskonstante vorkommen
Betrachte Teilchen mit Durchmesser
intensive Streuung des Lichtes
d
auf das Licht mit Wellenlänge
λ
strahlt
d¡λ
Ablenkung des Lichtes durch Anwendung von Reexions- und Brechungsgesetzen
d λ, Mie-Streuung
Wenn die Durchmesser
d in die Gröÿenordnung der Lichtwellenlange λ kommen, hängt die gestreute
Intensität sehr stark vom Durchmesser der streuenden Partikel und von Material und Oberächenbeschaenheit ab. Jetzt kann sowohl konstruktive als auch destruktive Interferenz auftreten,
je nach dem optischen Wegunterschied zwischen den Streuwellen von den einzelnen Molekülen
des Teilchens.
d ! λ, Rayleigh-Streuung
Wirkungsquerschnitt
σ:
σ
für
ω
! ω0 (Resonanzfrequenz)
Resonanzfrequenz
ω0
ω4
ist für Luftmoleküle weit von Sichtbaren entfernt.
Beispiel 9.11 (Blauer Himmel) Das blaue Licht λ 420nm wird also ca. 10 mal so
stark gestreut als rotes Licht bei 720nm. Von weiÿem Sonnenlicht, dass die Erdatmosphäre
durchleuchtet wird also der blaue Anteil verstärkt gestreut.
19
Beispiel 9.12 (Morgenrot)
Muss das Sonnenlicht, z.B. zu Zeiten der Dämmerung, di-
cke Schichten der Atmosphäre durchqueren, so gelangen nur noch die langweilligen Anteile
zum Beobachter und verursachen das Rot der unter- bzw. aufgehenden Sonne.
Beispiel 9.13 (weiÿe Wolken)
Das Weiÿ der Wolken kommt dadurch zustande, dass
hier Wassertröpfchen mit groÿem Durchmesser
dλ
vorkommen.
Thomson-Streuung
Elastische Streuung von Licht (Photonen) an geladenen Teilchen (quasifreie Elektronen)
Thomson-Streuung ist eine rückstoÿfreie Streuung, d. h. es ndet kein Energieübertrag vom Photon
auf das Elektron statt. Sie tritt nur auf, solange die Energie der einfallenden Photonen klein genug
ist, d.h. die Wellenlänge der elektromagnetischen Strahlung viel gröÿer ist als ein Atomradius. Bei
kürzeren Wellenlängen, also höheren Energien, muss der Rückstoÿ des Elektrons berücksichtigt
werden (Compton-Streuung).
Teil II
Geometrische Optik
Wir haben bisher die Theorie der elektromagnetischen Wellen direkt angewendet. Damit war es uns möglich,
Reexion und Brechung von ebenen Wellen an ausgedehnten Grenzächen zu beschreiben. Wenn man jedoch
von diesem idealisierenden Bedingungen abgeht, so gelangt man sehr schnell zu den Grenzen der sinnvollen
Anwendbarkeit der Maxwellschen Theorie. (zuviele Daten aufgrund der Randbedingungen die gegenben sein
müssen).
Nun soll die am weitesten reichende Vereinfachung, die geometrische Optik, vorgestellt werden. Bei dieser wird
die Welleneigenschaft des Lichts vollständig vernachlässigt wird.
Da die geometrische Optik aus der Maxwellschen Theorie durch den Grenzübergang
λ
Ñ 0 erhalten wird, ist
sie auf Fragestellungen beschränkt, bei denen die Dimensionen des Problems (z.B. Lichtbündelquerschnitt) sehr
viel gröÿer sind als die Wellenlänge
λ
des Lichtes.
geometrische Optik: Ausbreitung von Licht in Form von Strahlen (Strahlenoptik)
Grundgesetze der geometrischen Optik: geradlinige Ausbreitung in homogenen Medien, Reexionsgesetz, Snelliussche Brechungsgesetz
Die Ausbreitung des Lichtes wird nun auf die Ausbreitung des Lichtstrahls zurückgeführt. Von dieser Denition her ist der Lichtstrahl mit dem Poynting-Vektor der elektromagnetischen Welle, d.h. mit der Richtung
des Energieusses des Lichtes zu identizieren.
Damit ist sofort erkennbar, wie die bisher behandelten Gesetze der Reexion und der Brechung mit dem Begri
Lichtstrahl umformuliert werden müssen.
Definition 9.7
Lichtstrahl
Man betrachtet die Wellenfront, die von einer sehr kleinen praktisch punktförmigen Lichtquelle ausgeht. Durch
Einbringen einer Blende wird aus der Kugelwelle ein begrenztes Lichtbündel ausgeblendet. Verringert man
nun den Durchmesser der Blende, so kann man, für den hier betrachteten Grenzfal
Lichtbündel, eben den Lichtstrahl erzeugen.
λ Ñ 0,
ein ideales dünnes
Damit ist also Beugung zunächst vernachlässigbar.
10 Das Fermatsche Prinzip
Betrachte inhomogene Medien (n
x):
Beschreibung der Lichtausbreitung nicht allein mit Brechungs- und Reexionsgesetz möglich.
Fermatsches Prinzip
(Fermatsches Prinzip)
Die Lichtausbreitung erfolgt derart, dass der optische Weg (= Produkt aus
S0 gegenüber benachbarten Pfaden
maximal oder minimal ist.
Brechungsindex und zurückgelegter Strecke) auf dem tatsächlichen Pfad
einen Extremwert bestitzt, d.h., dass der optische Weg
W
für
S0
Si
10
DAS FERMATSCHE PRINZIP
20
Betrachte nun Licht, das von Lichtquelle Q zu Beobachtungspunkt P gelangt.
Tatsächlich benützter Pfad
S0 pQ Ñ P )
ist zu bestimmen:
Man berechnet zunächst den optischen Weg
W pS q
für einen beliebigen Pfad
S
und sucht dann den Pfad
S0 ,
in
dessen Nähe sich der optische Weg nicht ändert:
optischer Weg:
W pS q Extremalprinzip:
»
p ÑP q
S Q
δW pS q
δS
np~rq ds
S0
(2.1)
0
(2.2)
1. Ableitung des Fermatschen Prinzips aus den Maxwell-Gleichungen:
In einer Wellentheorie kann man sich vorstellen, dass Lichtwellen auf verschiedenen PFaden von der Quelle
zum Beobachter gelangen können.
Die Feldstärke am Beobachtungspunkt erhält man dann durch Integration über alle möglichen Pfade. In
diesem Fall werden nur dann Pfade merklich zur Gesamtfeldstärke beitragen, wenn sich bei einer kleinen
Änderung des Pfades die Phase
ϕ
des ankommenden Lichts nur unwesentlich ändert. Ansonsten träte
destruktive Interferenz auf, die zur Auslöscuhng der Feldstärke führen würde.
Mathematisch formuliert: Für den tatsächlich benützten Pfad muss ein Extremum der Phasenänderung
³
ϕpQ, P q ~k p~xq d~x
vorliegen.
2. Folgerung aus dem Fermatschen Prinzip:
Strahlengang im Allgemeinen umkehrbar, da Hin-und Rückweg gleich lang sind.
Ausnahme: optische Aktivität
3. Ein Extremum des optischen Weges wird dann erreicht, wenn ein Minimum oder ein Maximum der optischen Weglänge vorliegt. Für die meisten Fälle wird dabei der optische Weg und damit die zum Durchlaufen
benötigte Zeit minimal.
Man sprich deshalb auch häug vom Prinzip der kürzesten Zeit.
4. Folgerung aus dem Fermatschen Prinzip:
Gesetz der geradlinigen Lichtausbreitung
Das Reexionsgesetz
Erneute Erarbeitung aus Fermatschen Prinzip
s s1
t
b
s2
p x x1 q 2
dt !
ñ dx
0
ñ a x x12 2 a x2 x2
px x1 q y1
px2 xq
b
y12
px2 xq2
y22
s
c soll minimal sein
y22
ñ sin α1 sin α2 ñ α1 α2
Brechungsgesetz
Ebenso wie Reexionsgesetz herleiten
Beispiel 10.1 (Fata Morgana)
Durch intensive Sonneneinstrahlung erwärmt sich die bodennahe Luft
über Flächen, die viel von der Sonneneinstrahlung absorbieren (z.B. schwarze Asphaltstraÿe), so dass ein
dn
dexgradient
dh
¡0
¡
dρ
dT
0 und ein positiver Dichtegradient dh
0 entstehen. Der Brechungsindh
kann dann besonders groÿe WErte annehmen, so dass Lichtstrahlen, die von oben fast
negativer Temperaturgradient
11
STRAHLENABLENKUNG DURCH EIN PRISMA
21
horizontal einfallen, an der bodennahen Luftschicht mit kleineren Brechungsindex total reektiert werden.
Man sieht dann (scheinbar auf der Straÿe) das durch die immernde Atmosphäre transmittierte und total
reektierte blaue Hmmelslicht, da den Eindruck von Wasser auf der Straÿe erzeugt.
11 Strahlenablenkung durch ein Prisma
δ
α1 β1 α2 β2
γ β1 β2
δ α1 α2 γ
Minimale Ablenkung bei festem Prismenwinkel
dδ
dα1
1
Daraus folgt nach Rechnung:
Beim symmetrischen Strahlengang mit
AC
γ
erfolgt, wenn
0 ñ dα2 dα1
dα2
dα1
BC und α1 α2 , (das heiÿt auch β1 β2 ) erfolgt die kleinste
Ablenkung. Für diesen Fall gilt für den minimalen Ablenkungswinkel
δmin
δ
bei einem Einfallswinkel
α:
2α γ
dδ
dλ
dn
dλ
Da für die meisten durchsichtigen Materialien im sichtbaren Spektralbereich
dn
dλ
0 gilt, folgt daraus, dass
blaues Licht stärker geborchen wird als rotes.
12 Allgemein: optische Abbildung
Ideale und reale optische Abbildungen
Nicht mehr alle vom Objektpunkt ausgehenden Lichtstrahlen schneiden sich exakt im Bildpunkt.
Für einen sinnvollen praktischen Einsatz sollten sie jedoch in der Nähe dieses Punkts vorbeigehen. Anstelle von Bildpunkten treten deshalb Flecken oder Scheibchen auf. Unter speziellen
Bedingungen lassen sich jedoch für bestimmte Bereiche des Objektraums gute abbildende optische Geräte realsieren. Dies wird erst dann möglich, wenn die beteiligten Lichtbündel einen sehr
kleinen Önungswinkel besitzen. Insesondere muss man dabei voraussetzen, dass nur Strahlen,
die unter einem kleinen Winkel
θ
zu einem zentralen Strahl des Bündels laufen, berücksichtigt
werden. Man kann dann die folgende Näherung verwenden:
sin θ
tan θ θ
13
ABBILDUNG AN EINEM KUGELSPIEGEL
22
Definition 12.1 (Reelle Abbildungen) Bendet sich das abbildende Instrument nicht zwischen
Bildpunkt P und Beobachter, so müssen sich die Lichtstrahlen im Bildpunkt schneiden. Der Beobachter sieht
also die von diesem Punkt ausgehenden Lichtstrahlen. Dieses reelle Bild kann mit einem Schirm aufgefangenwerden. Man beobachtet dann das von diesem Schirm gestreute Licht.
Definition 12.2 (Virtuelle Abbildungen)
Hier liegt das abbildende Instrument zwischen Bild-
punkt und Beobachter. Die Lichtstrahlen schneiden sich nicht im Bildpunkt und das Bild kann nicht mit
einem Schirm aufgefangen werden.
13 Abbildung an einem Kugelspiegel
Betrachten paraxialen Fall
Herleitung durch geometrische Winkelbetrachtung und Kleinwinkelnäherung
1
g
1
b
2r f1
Abbildungsgleichung für Kugelspiegel
f
(2.3)
2r
Astigmatismus
Der Schnittpunkt der reektierten Strahlen mit der optischen Achse hängt von Achsenabstand
h der
einfallenden Strahlen ab. In extremen Fällen könnte der Schnittpunkt sogar hinter der Kugeloberäche liegen. Auf analoge Weise lässt sich zeigen, dass ein Kugelspiegel für Strahlen mit groÿem
Önungswinkel (schiefe Bündel) keine gute Abbildung liefert. Man bezeichnet dieses Phänomen
als Astigmatismus schiefer Bündel.
14
ABBILDUNG DURCH BRECHENDE KUGELFLÄCHE
23
14 Abbildung durch brechende Kugeläche
Paraxiale Näherung:
achsennahe Strahlung
r
kleine Winkel: tan γ γ
" h (Abstand Strahl - optische Achse)
kleine Winkeländerung: Snellius
ni θi
nt θt
(Abbildungsgleichung für brechende Kugelfläche)
n1
g
g : Gegenstandsweite
n1 : Brechungsindex auf
n2 : Brechungsindex auf
b: Bildweite
r: Radius der Kugel
G
n2 r n1
(2.4)
der Gegenstandsseite
der Bildseite
Das Abbildungsgesetz ist unabhängig von
Alle von
n2
g
h,
der Höhe der Strahlenauftreung.
ausgehenden Strahlen treen sich in paraxialer Näherung im Punkt
B.
Parallele Strahlenbündel von links g 8
ñ bildseitige Brennweite fB :
fB
b|gÑ8 n n2 rn
2
1
Parallele Strahlenbündel von rechts b 8
ñ gegenstandsseitige Brennweite fG :
fG
g|bÑ8 n n1 rn
2
1
15 Dünne Linse
d vernachlässigbar klein
(Abbildungsgleichung für dünne Linsen)
n1
g
n3
b
n2 r n1
1
n3 n2
r2
(2.5)
16
GEOMETRISCHE KONSTRUKTION DER BILDER
24
g : Gegenstandsweite
b: Bildweite
r1 : erster Krümmungsradius
r2 : zweiter Krümmungsradius
n1 : Brechungsindex auf der Gegenstandsseite
n3 : Brechungsindex auf der Bildseite
n2 : Brechungsinde im Linsenzwischenraum
Dünne Linse in Luft:
n1
n2
n3 1
n
(Linsenschleiferformel, Abbildungsgleichung für dünne Linsen in Luft)
1
g
f:
1
b
pn 1q 1
r1
r1 f1
(2.6)
2
Brennweite
16 Geometrische Konstruktion der Bilder
Fragen:
•
Wo liegt das Bild?
•
Wie groÿ ist das Bild?
•
reelles oder virtuelles Bild?
Ausgezeichnete Strahlen:
1. Ein parallel zur optischen Achse einfallender Strahl geht durch den bildseiten Brennpunkt
FB .
2. Der Strahl durch das Linsenzentrum wird nicht abgelenkt.
3. Der Strahl durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt
Für eine Linse mit negativer Brennweite
Brennpunkt
FG
f
FG
verläuft nach der Linse achsenparallel.
0 ist bei der Konstruktion zu beachten, dass der gegenstandsseitige
hinter der Linse, der bildseitige Brennpunkt
FB
vor der Linse liegt und obige Bedingungen
entsprechend umformuliert werden.
Reelles Bild: Strahlen laufen zusammen, direkt auf dem Schirm sichtbar
Virtuelles Bild: Strahlen scheinen von einem Punkt zu kommen, auf Schirm ist nicht sichtbar; kann z.B. mit
Linse abgebildet werden.
Vorzeichenkonvention:
g
fG
b
fB
r
+
-
G links von Linse
FG links von Linse
B rechts von Linse
FB rechts von Linse
M rechts von Linse
G rechts von Linse
FG rechts von Linse
B links von Linse
FB links von Linse
M links von Linse
Transversale Vergröÿerung
Definition 16.1
VT
B:
G:
Bildgröÿe
Gegenstandsgröÿe
BG gb
(2.7)
17
OPTISCHE SYSTEME
25
Umformulieren ergibt:
VT
b f f
Vt
g f f
(2.8)
(2.9)
Für reelle Abbildungen ergibt sich - da das Bild auf dem Kopf steht - eine negative Vergröÿerung.
Für den Fall virtueller Abbildungen ist die Vergröÿerung positiv.
Neben dem Begri der transversalen Vergröÿerung wird in der Optik auch eine longitudinale (axiale) Vergröÿerung
VL
benutzt. Man bezeichnet damit die Vergröÿerung von Abständen längs der optischen Achse:
2
Vl
konkave Linsen:
f
db
dg
pg f f q2 vT2
(2.10)
0, virtuelles Bild, 0 VT 1
konvexe Linsen: Gegenstandsweite beeinusst die Art der Abbildung
17 Optische Systeme
Definition 17.1 (Vergröÿerung)
V
Sehwinkel mit Instrument
Sehwinkel
I
ohne Instrument
0
17.1 Ideale Objektive
•
groÿe Önung
D:
hohe Lichtstärke, damit auch bei schwacher Beleuchtung helle Bilder erzeugt werden
D:
das Ausmaÿ monochromatischer Aberration wächst in der Regel mit gröÿer werdender
können
•
kleine Önung
Önung
D
an.
Widerspruch!!
In der tehcnischen Entwicklung wird nun versucht, hohe Lichtstärke und gutes Auösungsvermögen dadurch zu
erreichen, dass man ein optisches System aus mehreren Einzellinsen unterschiedlicher Glassorten zusammensetzt.
Problem: Transmission (Lichtstärke) des Objektivs wird durch die vielen Reexionen verringert und es treten
störende Reexe im Bild auf.
Antireexeschichtungen
Asphären (nicht-sphärische Oberächen) würden auch helfen, allerdings zu hohe Kosten
17.2 Projektionsapparat
Funktion: Transparente Vorlage (z.B. Diapositiv) vergröÿert auf eine Projektionsäche abzubilden
Diese Aufgabe kann im Prinzip durch eine einfache Linse gelöst werden. In der Praxis verwendet man jedoch
zur Verringerung der Linsenfehler ein mehrlinsiges, für groÿe Bildweiten
b
"f
korrigiertes Objektiv. Die nor-
malerweise benötigte hohe Verbröÿerung wird erreicht, wenn die Gegenstandsweite
g
nur geringfügig gröÿer ist
als die Brennweite. Die Scharfeinstellung des Bildes erfolgt durch Verschieben des Objektivs. Dies entspricht
der Variation der Gegenstandsweite bei festgehaltetenem Abstand
b
g
zwischen Objekt und Projektionsäche.
Beleuchtung von hinten durch Glühwendel der Lampe (entspricht der Eintrittspupille des Projektionsobjektivs)
Konstruktion der Austrittspupille liefert eine Austrittspupille mit sehr kleinen Durchmesser.
nur ein kleiner
Teil des Dias wird abgebildet
Kondensor
17.3 Die photographische Kamera
Bei einer photographischen Kamera wird durch ein Objektiv von einem beleuchteten oder selbstbeleuchtenden
Gegenstand ein Bild auf der Filmebene erzeugt. Der Film speichert die Helligkeitsverteilung auf photochemischen
Weg.
Anforderungen an die Kamera:
17
OPTISCHE SYSTEME
26
•
Sie muss ein scharfes Bild des Gegenstandes mit einer bestimmten Bildgröÿe liefern
•
die Helligkeit des Bildes muss der Empndlichkeit des Filmes angepasst sein
g
P p1m, 8q , f 50mm ñ b P p50mm, 52.6mmq
b von der Filmebene verändert
zur Einstellung der scharfen Abbildung muss deshalb der Abstand des Objektivs
werden.
|VT | gb fg
Das Bild eines weitentfernten Gegenstands, der unter dem Gesichtsfeldwinkel
somit in der Filmebene die Ausdehnung
B
f .
G
g beobachtet wird, besitzt
Durch die Brennweite des Objektivs kann man also die Bildgröÿe dem verwendbaren Filmausschnitt ohne
Änderung der Gegenstandsweite anpassen.
Für einfache Linsen bestimmt die Brennweite
f
die Baulänge der Kamers zu
L
f .Wird das Objektiv aus
verschiedenen Linsen geeignet zusammengesetzt, so kann die Hauptebene weit vor die erst Linse gelegt werden
und so eine Baulänge
L f
erreicht werden.
17.4 Das Auge
Funktionen:
•
möglichst perfekte optische Abbildungen ermöglichen
•
Helligkeitsinformation aufnehmen, verarbeiten und an Gehirn weiterleiten
Aufbau
Sehnenhaut: lichtundurchlässig
Licht gelangt nur durch die Hornhaut in das Auge und wird von einem optischen Systen, das aus
Hornhaut, Kammerwasser und Kristalllinse besteht, auf die lichtempidnliche Netzhaut (Retina)
abgebildet. Der Raum zwischen Linse und Retina ist mit dem Glaskörper ausgefüllt.
Da die äuÿere Grenzäche der Hornhaut an Luft liegt, die innere Grenzäche jedoch im Glaskörper,
sind die gegenstandsseitige Brennweite
f1
und die bildseitige Brennweite
f2
verschieden.
Scharfeinstellung
Die Krümmung der bikonvexen Augenlinse kann durch den Augenmuskel variiert werden. Dadurch
ändert sich die Brennweite der Augenlinse (Akkommodation).
entspanntes Auge: Blick ins unendliche, (f1
17mm, f2 22mm)
nahe Gegenstände: (minimal 10cm), Krümmung der Augenlinse, (f1
Definition 17.2 (Sehweite)
14mm, f2 19mm)
Ohne Anstrengungen kann man dabei bis zu einer Gegenstandsweite
scharf sehen. Diese konventionelle Sehweite wird mit
S0
25cm deniert.
S0
17
OPTISCHE SYSTEME
27
Helligkeitsregelung
Die Helligkeitsregelung im Auge erfolgt über die Iris, die als Blende mit varialbem Durchmesser
unmittelbar vor der Kristalllinse liegt. Über einen längeren Zeitbereich kann die Helligkeitsempndlichkeit des Auges auch durch Anpassung der physiologischen Empndlichkeit der Retina
erfolgen.
Kurz-und Weitsichtigkeit
Die Brennweite des optischen Systems sind nicht der Augenlänge angepasst.
•
Kurzsichtigkeit
f2
zu klein, Augenmuskel kann die Linse nicht genügend strecken (z.B. Augenhöhle zu eng)
Auge zu lang
Gegenstand weit etnfernt: scharfes Bild entsteht vor der Netzhaut
nahe Gegenstände: Bild entsteht auf Netzhaut
Korrektur durch Zerstreuungslinse
•
Weitsichtigkeit
Auge zu kurz
Augenlinse kann nicht genügend gekrümmt werden
bildseitige Brenneben liegt hinter der Netzhaut
kleinste Abstand für den gerade noch scharfe Abbildung erfolgt wird gröÿer als
S0
Korrektur durch Sammellinse
Korrekturlinse
f1
wird in Abstand
f1
1
f
vorm Auge eingesetzt, denn:
f1
1
f1
1
ff1f 1 f1
1
1
Die Brennweite des Gesamtsystems bleibt gleich, nur die Lage der bildseitigen Hauptebene wird
verschoben und dadurch die Bildschärfe ohne Änderung der Bildgröÿe korrigiert.
17.5 Teleskop, Fernrohr
Im Gegensatz zum Mikroskop, das sehr nahe an
L1
liegende Gegenstände vergröÿert, ist das Fernrohr zur
Vergröÿerung weit entfernter Objekte konstruiert.
Von einem Objektiv groÿer Brennweite wird ein verkleinertes, auf dem Kopf stehendes relles Bild des weit
entferntes Gegenstandes erzeugt. Dieses Bild liegt dann praktisch in der Brennebene des Objektivs.
Astronomisches Fernrohr (Kepler)
Es besteht, analog zum Mikroskop, aus einem System von zwei Linsen. Hier hat jedoch
groÿe Brennweite
mit der Linse
L2 ,
f1 .
Die Linse
L1
die als Lupe wirkt, vergröÿert betrachtet wird.
Ist der Gegenstand sehr weit entfernt
der rechten Brennebene von
L1 ,
L1
eine sehr
erzeugt ein reelles Zwischenbild des Objektes, welches dann
pg " f q, so entsteht das Zwischenbild mit der Bildgröÿe B in
die gleichzeitig die linke Brennebene von
1
g
1
b
f1 gÑ8
ñ bf
L2
ist.
17
OPTISCHE SYSTEME
28
Brennpunkte fallen zusammen
Der Winkel
0
ist dann der Winkel zwischen den Strahlen von gegenüberliegenden Randpunkten des
Objektes. Mit
B
f2 erhalten wir daher für die Winkelvergröÿerung des Fernrohrs:
VF
fB ff1 0 ff1
0
2 0
2 0
2
Das Bild steht jetzt am Kopf. Umdrehen durch Umkehrprismen oder als Okular eine Zerstreuungslinse (Galilei)
Terristrisches Fernrohr (Galilei)
Fernrohr mit einer Zerstreuungslinse als Okular. Ist der Abstand der negativen Linse von der Bilde-
|fOkular |, so kann man mit entspanntem
f
F o |fObjektiv
beobachten.
Okular |
bene gleich
Sehwinkel
Auge ein aufrechtstehendes Bild unter dem
Der Vorteil eines Teleskops groÿer Önung liegt also nicht nur in der Vergröÿerung, sondern insbesondere im
Gewinn an Lichtstärke und Auösungsvermögen.
17.6 Lupe
Will man einen Gegenstand genau beobachten, so könnte man ihn sehr nahe ans Auge bringen. In diesem Fall
reicht das Akommodationsvermögen des Auges nicht mehr aus: Das Bild wird erst hinter der Netzhaut scharf
sein.
Eine Lupe ist eine Sammellinse kurzer Brennweite
f , die so zwischen Auge und Gegenstand gehalten wird, dass
der Gegenstand in der Brennebene der Linse liegt. Dadurch gelangt paralleles Licht ins Auge, und der Gegenstand erscheint dem Auge im Unendlichen zu liegen, das heiÿt das Auge kann sich auf unendliche Entfernungen
einstellen, wobei es völlig entspannt ist.
17
OPTISCHE SYSTEME
29
Für das Auge erscheint das von der Lupe erzeugte virtuelle Bild unter dem Sehwinkel
SG erscheinen.
S0 deutliche Sehweite 25cm
der Gegenstand in der deutlichen Sehweite unter dem Winkel
0
G
f . Ohne Lupe wurde
0
ñ VL Gf SG0 Sf0
0
Man kann
VL
erhöhen, wenn man den Gegenstand noch näher an die Lupe bringt, so dass
virutelle Bild erscheint dann nicht mehr im Unendlichen, sondern in endlicher Entfernun
VL
B
b
B
S0
0
deutliche Sehweite:
b S0 :
1
f
g1
1
b
G
g
B
S0
b.
g
f
wird. Das
Sg0
ñ g1 bb ff ñ VL S0 pbbf f q
VL
S0 f
Sf0
ñ gmin SS0 ff
f
1
0
17.7 Mikroskop
Eine wesentlich stärkere Vergröÿerung als mit der Lupe erreicht man mit dem Mikroskop, das im Prinzip aus zwei
Linsen besteht. Die erste Linse (Objektiv) entwirft ein reelles Zwischenbild des Gegenstandes in der Brennebene
der zweiten Linse (Okular). Ins Auge gelangen daher wieder parallele Strahlenbündel von jedem Punkt des
Gegenstandes, sodass das Auge das Bild des Gegenstandes im Unendlichen sieht.
Vor einem kurzbrennweitigen Objektiv (Brennweite
ein Okular mit Brennweite
f2
1
f1
g
L2
f1 ) wird ein reelles vergröÿertes Bild erzeugt, das dann über
beobachtet wird.
f1
g1
1
b
ñ b gg ff1
1
δ, δ
! f1 ñ b " g b{gñB{G B " G
B1
f2
wirkt als Lupe für das Zwischenbild:
G b , 0 SG
g f92
Winkelvergröÿerung des Mikroskops:
GG bg Sf0 bg Sf0
2
2
f2 Abstand zwischen L1 und L2 und g f1 :
pd f2 q S0
V VM
Abstand
db
0
M
f1 f2
18
BLENDEN
30
Für sehr kurzbrennweitige Objektive erhält man somit die höchste Vergröÿerungen.
Grenzen der Vergröÿerung: Kommt die Dimension des beobachteten Objekts in die Gröÿenordnung der Lichtwellenlänge, so kann auch eine nominale Steigerung der Vergröÿerung keine zusätzliche Information erbringen.
18 Blenden
Neben derTatsache, dass ein optisches System ein scharfes Abbild des Gegenstands liefern kann, ist es wichtig,
welche Bildgröÿen und welche Bildhelligkeit man mit einem gegebenen System erzielen kann.
Begrenzung
des Strahlengangs (z.B. Ränder der Linsen)
Gesichtsfeld
Gesichtsfeld: maximal mögliche Bildgröÿe
Das Gesichtsfeld kann trivialerweise durch die verfügbare Ausdehnung der Bildebene beschränkt
werden. In der Praxis wird es aber durch die Linsenfehler oder durch Begrenzungen (Blenden,
Aperturen) im optischen System eingeschränkt sein.
Eintrittspupille
Will man den Anteil des Lichtes, das von einem isotrop emittierenden Punktes des Gegenstandes auf
die Bildebene abgebildet wird, bestimmen, so ist der vom optischen System erfasste Raumwinkel
ϕe
wichtig. Das heiÿt es sind die Strahlbegrenzungen im Bereich des abbildenden Systems zu
berücksichtigen.
Blende
D
auf Gegenstandsseite begrenzt Winkelbereich:
ϕe
Dg
Für allgemeine optische Systeme wird die den Eintrittswinkel bestimmende Önung als Eintrittspupille bezeichnet.
Definition 18.1 (Bildhelligkeit)
2
H
ϕe : Raumwinkel
B : Bildgröÿe
g : Gegenstandsweite
f : Brennweite
De : Durchmesser der
2
Bϕe2 Df 2e
g
"f
(2.11)
Eintrittspupille
Bei optischen Instrumenten zur direkten visuellen Beobachtung - z.B. Teleskopen und Ferngläsern - wird als
Austrittspupille auch der Durchmesser des Strahlenbündels bezeichnet, der das Okular verlässt.
•
Aperturblenden
(oder auch Önungsblende) liegt zwischen Eintritts-und Austrittsönung des Systems und begrenzt Winkel der vom Objektiv ausgehenden Strahlen. Sie kontrolliert so die Helligkeit.
Objektseitig ndet man die Eintrittspupille als Bild der Aperturblende, das bildseitiges Abbild der Aperturblende ist die Austrittspupille.
19
DICKE LINSEN UND LINSENSYSTEME
•
31
Feldblende
Feldblenden sollen im Gegensatz zur Aperturblende nicht die Helligkeit des Abbildes verringern, sondern
die Randbereiche des Abbildes möglichst 'scharf ' abschatten. Damit soll hauptsächlich verhindert werden,
dass unerwünschtes Streulicht auf die Bildebene gelangt.
Feldblende begrenzt also das Gesichtsfeld und kann das Bild beschneiden.
19 Dicke Linsen und Linsensysteme
Jedes zentrierte optische System, vor dessen erster und hinter dessen letzter Fläche derselbe Brechungsindex
herrscht, erlaubt eine stark vereinfachende Behandlung:
Man führt zwei Hauptebenen ein, die senkrecht auf der optischen Achse stehen und diese in dem Punkte
und
H2
Paralleles Licht, das von links auf das System fällt, wird auf den bildseitigen Brennpunkt
hinter den Hauptpunkt
FG
H1
schneiden.
im Abstand
f
H2
FB
im Abstand
f
fokussiert. Paralleles Licht von rechts fällt auf den getenstandsseitigen Brennpunkt
links von Hauptpunkt
H1 .
Für die geometrische Konstruktion des Bildes verwendet man dieselben Strahlen wie bei einer dünnen Linse.
Dabei müssen Strahlen im Bereich zwischen den Hauptebenen achsenparallel geführt werden.
H1
und
H2
werden 1:1 aufeinander abgebildet.
Eine analytische Berechnung der Abbildung eines komplizierten optischen Systems, das heiÿt die Berstimmung
der Brennweite und der Lagen der Hauptebene führt schnell zu unhandlichen Ausdrücken. In diesem Fall ist es
sinnvoller alternative Rechenmethoden anzuwenden:
Matrizenmethode zur STrahlenberechnung: Im Rahmen
der paraxialen Theorie wird die Berechnung auf Multiplikation von Matrizen zurückgeführt.
Zwei dünne Linsen: d: Linsenabstand
1
f
f1
1
f2
f df
(2.12)
h1
ffd
h2
ffd
(2.13)
1
2
Dicke Linse: d: Dicke der Linse
1
f
h1
pn 1q 1
r1
d f pnnr 1q
2
Beispiel 19.1 (kompakte Kameras)
1 2
1
r1
2
f2
d
n2
nr1 r2
d f pnnr 1q
(2.14)
(2.15)
1
Hauptpunkte können auÿerhalb der Linse liegen
Anwendung: gezielte Optimierung von mehrlinsigen Objektiven so dass die Lage der Hauptebenen so auÿerhalb der geometrischen Begrenzung des Objektivs gebracht werden, dass damit die Abmessungen optischer
Geräte reduziert werden können.
20
ABCD-MATRIZEN
32
20 ABCD-Matrizen
Der zu behandelnde Sachverhalt: Ein paraxialer Strahl (Vereinfachung: nicht windschief zur optischen Achse)
kann an Stelle
z0 durch Höhe x über der optischen Achse und seinen Winkel α zur optischen Achse charakterisiert
~ schreiben:
S
werden. Man kann den Strahl als zweizeilige Strahlenmatrix
~
S
nα
x
(2.16)
Durch diese Schreibweise wird automatisch die Brechung an einer senkrecht zur optischen Achse stehenden
Fläche berücksichtigt: Liegt an der Stelle
einem Medium mit dem Brechungsindex
nb αb ,
z0 ein Übergang von einem Medium mit dem Brechungsindex na zu
nb vor, so wird das Brechugnsgesetz für den paraxialen Fall, na αa auotmatisch durch die folgende Gleichung für die Strahlenmatrix erfüllt:
~a
S
na αa
x
nb αb
x
S~b
Brechung an Kugeläche mit Radius r:
~2
S
Für den Fall einer ebenen Fläche gilt
B12 S~1
B12
n r n
1
0
2
1
1
(2.17)
n r n 0 und B geht in die Einheitsmatrix über und die Strahlenmatrix
2
1
ändert sich dabei nicht.
Translation um Strecke d12 :
Brechungsindex
n1
der Dicke
d12
Die Wirkung einer Translation, das heiÿt eines homogenen Mediums mit
auf die Strahlenmatrix, lässt sich auch angeben:
~n
S
Ausbreitung durch ein System:
T12 S~q
T12
1
d12
n2
0
1
(2.18)
Damit kann nun die Strahlenausbreitung in willkürlichen zentrierten Sys-
temen dadurch berechnen, dass wir die entsprechendne Transformationsmatrizen nacheinander anwenden.
Für jedes beliebige zentrierte optische System kann man also die Strahlenausbreitung durch einfache Matrizenmultiplikation berechnen.
Mdünne Linse
f1 1
0
1
21 Abbildungsfehler
In der praktischen Anwendung treten Abweichunge (Aberrationen) vom idealen Verhalten auf, die durch die
Dispersion (chromatische Aberrationen) oder durch die endliche Önung der Lichtbündenl, das heiÿt durch
Abweichen vom paraxialen Fall hervorgerufen werden (monochromatische Aberration)
21.1 Chromatische Aberration
Brechungsindex npλq und somit die Brennweite f pλq hängen von λ ab.
Dünne Linsen:
1
f pλq
Normale Dispersion: Transparente Medien
pnpλq 1q
nrot
¤ nblau
frot
Konsequenzen:
1
r1
¥ fblau
r1
2
21
ABBILDUNGSFEHLER
33
1. Der Ort des durch rotes Licht übertragenen Bildes liegt in einem anderen Abstand hinter der LInie als
der Ort des blauen Bildes (longitudinale Aberration)
Es gibt also keinen Ort, an dem eine scharfe Abbildung durch die roten und blauen Lichtstrahlen erfolgt.
2. Die unterschiedliche Bildweite bewirkt, dass die beiden Bilder unterschiedliche Gröÿe besitzen (laterale
Aberration)
Erst durch die Kombination zweier oder mehrerer Linsen lassen sich korrigierte, das heiÿt praktische fehlerfreie,
optische Systeme aufbauen.
Beispiel: Achromat
(System aus zwei Linsen, die aus Gläsern mit unterschiedlicher Abbe-Zahl (verschieden starker Dispersion) bestehen)
Forderung:
λrot
λC 656nm und λblau λF 486nm sollen im Gesamtsystem dieselbe Brenn 1
nnF n1C f1 ν 1f
∆
f
d
d
d d
weite besitzen.
mit Abbé-Zahl
νd
µd
nndn1
F
C
Abbé-Zahl ist ein relatives Maÿ für die Dispersion eines optischen Glases.
Kleine Dispersion
µd
groÿ Kompensation der chromatischen Aberration:
∆
1
f1
∆
1
f2
ν 1f
d1 1
νd1 f1
normale Dispersion, also
νd
¡0
1
νd2 f2
νd2 f2
! 0
0
ñ f1 f2 0
Also muss negative und positive Linse kombiniert werden.
21.2 Monochromatische Aberration
sin ϕ ϕ on
loomo
ϕ5
5!
ϕ3
3! on
loomo
Paraxiale Näherung Abbildungsfehler dritter Ordnung
7
ϕ7!
...
21.2.1 Sphärische Aberrationen
Achsenferne Strahlen folgen nicht der paraxialen Abbildungsgleichung (Bsp.: Kugelspiegel).
Ähnliches gilt bei Brechung an Kugelächen wenn nicht mehr gilt
θi
sin θi
unterschiedlicher Brennweite von achsenfernen Strahlen und achsennahen Strahlen.
Ursache: Kugelform der Oberäche
Abhilfe: Zulassung von achsennahen Strahlen nur, passend gerechnete Linsenkombination benützen, Linsen mit
nicht sphärischen Oberächen benutzen
Vorteil plankonkaver Linse: Kleinere Winkel
Achtung: Sphärische Aberration kann auch bei ebenen Grenzächen auftreten.
Paraxiale Gleichung für brechende Kugeäche in 3. Ordnung:
n1
g
n2
b
n2 n1
r
2
h
n1
2g
1
g
1
r
2
ñ Schnittpunkt eines Strahls mit optischer Achse hängt von h ab.
n2
2b
1
r
1
b
2 34
21.2.2 Koma-Fehler, Astigmatismus
Bündel mit einem gröÿen Winkel zur optischen Achse durchlaufen eine Linse
Koma-Fehler, Astigmatismu.
Koma-Fehler: schiefe Bündel mit groÿen Önungswinkel spielen eine Rolle. Die Strahlen, die unterschiedliche
Bereiche der Linse durchlaufen, werden auf verschiedene Punkte in der Bildebene abgebildet und ergeben ein
komentenförmit verschwommenes Bild.
Astigmatismus: Auch bei Bündeln mit kleinen Önungswinkeln. Kein Brennpunkt mehr, der Querschnitt des
Lichtbündels wird hinter der Linse ellipsenförmig. Ursache: Strahlen die achsenparallel auf eine Linse einfallen
besitzen eine andere Brennweite als Strahlen die unter einem groÿen Winkel
α
laufen.
unterschiedliche
Brennweiten
21.2.3 Weitere Fehler
Bildfeldwölbung: Verschiedene Bereiche des Bildes liegen in verschiedenen Abständen von der Linsen Verzeichnung (kissenförmig, tonnenförmig): geometrische Form des Bildes wird verzerrt.
Teil III
Wellenoptik
Grenzen der geometrischen Optik:
Wir haben den Begri Lichstrahl dadurch eingeführt, dass wir ein
Lichtbündel durch eine Blende immer mehr einschränkten um im Grenzfall den ideal dünnen Lichstrahl zu
erhalten.
Beispiel: Licht durch Blende
Licht auf Schirm normal gleichen Durchmesser wie der Durchmesser der Blende.
Ab genug kleinen Durchmesser der Blende wird der Strahl auf dem Schirm jedoch gröÿer und lichtschwächer.
Intensitätsverteilung weiÿt Modulationen auf.
Denition eines Lichtstrahls nicht mehr sinnvoll.
Ursache: Wellennatur des Lichts.
Beugung
Interferenz
Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung.
Intensitätsmodulation. Das heiÿt:
Dierenzieren wir die Weglängen um wenige
ñ Wellencharakter des Lichts sichtbar
•
kleine Önungen
•
groÿe Wellenlängen
•
groÿe Weglänge
λ
22 Qualitative Behandlung der Beugung
22.1 Huygensches Prinzip
Jeder Punkt einer primären Wellenfront ist Ausgangspunkt kugelförmiger sekundärer Elementarwellen. Diese
Elementarwellen breiten sich gemäÿ der Dispersion des Mediums aus; im optisch homogenen, istotropen Medium
sind die Elementarwellen Kugelwellen. Die Wellenfronst zu einem späteren Zeitpunkt ist die Einhüllende dieser
Elementarwellen.
22
QUALITATIVE BEHANDLUNG DER BEUGUNG
35
Problem: In den Randbereichen werden keine Einhüllenden gebildet, keine Interferenz, rücklaufende Welle wird
unterdrückt
Das heiÿt des Huygensche Prinzip sagt über die beugende Wirkung von Begrenzungen nichts aus.
Erfolg: Brechung von Licht an optisch isotropen Medien
Fresnel-Huygenssches Prinzip:
Ersetzt Begri der Einhüllenden der Elementarwellen durch Rechenvorschrift: Das Lichtfeld an einem Punkt
P
wird gebildet durch Summation nach Amplitude und Phase über alle von den Elementarwellen stammenden
Beiträge.
Fresnel führt auch einen Faktor ein, der den Ablenkwinkel mit berücksichtigte (Winkelfaktor).
22.2 Fresnelsche Beugung, Fresnelsche Zonen
22.2.1 Allgemein
Definition 22.1 (Fraunhofer-Beugung)
Eine ebene Welle fällt auf ein Beugungsobjekt und wird
im Unendlichen, das heiÿt im groÿen Abstand, beobachtet. Man registriert dabei die Überlagerung von parallelen Strahlen, die in die jeweilige Beobachtungsrichtung gebeugt wurden.
Definition 22.2 (Fresnel-Beugung)
Ein allgemeinerer Fall ist die Fresnelsche Beugung, bei der die
Beugungsebene in einem groÿen, aber endlichen Abstand vom Beugungsobjekt liegt.
Wir wollen hier zunächst eine qualitative Behandlung der Fresnelschen Beugung mit Hilfe der Fresnelschen
Zonen vorstellen.
Beispiel 22.1 (absorbierende Halbebene)
senkrechte Beleuchtung mit ebener Welle:
Wir gehen nach dem Huygensschen Prinzip vor und betrachten dazu verschiedene Punkte in der Beugungsebene und summieren die von dort ausgehenden Elementarwellen am Beobachtungspunkt gemäÿ ihrem Phasenfaktor
exppikrq auf. Denn wenn R ! x x1
dann laufen alle Wellen den gleichen Weg, haben also praktisch
22
QUALITATIVE BEHANDLUNG DER BEUGUNG
die gleiche Amplitude. Der Weg
r
36
der Elementarwelle vom jeweiligen Ort
x
in der Blendenebene zum Beob-
achtungspunkt bestimmt den Phasenfaktor.
r
a
x2
R2
α Sei der Winkel
x und dem Strahl. ∆s sei der Gangunterschied zwischen dem ersten und den letzten
λ
ein Gangunterschied von
2 bei Wellen gleicher Amplitude einen Phasensprung um π
Nun betrachtet man jeden Strahl einzeln (das heiÿt die Strahlen für einen festen Winkel).
zwischen der senkrechten zu
Strahl. Dabei entspricht
und damit eine Auslöschung.
• α 0 ñ ∆s 0 ñ
Verstärkung
• ∆s n λ
Dann kann man das ganze Bündel in
2n
gleich breite Teilbündel derart zerlegen, dass sich je zwei be-
nachbarte gegenseitig auslöschen. Denn die Wellenzuüge zweier benachbarter Teilbündel besitzen einen
Gangunterschied von einer halben Wellenlänge.
Stellt man die zugehörigen Schwingungen als Zeiger dar, dann zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen.
• ∆s p2n
1q λ
2
Dann lässt sich das gesamte Bündel in eine ungerade Anzahl von gleich breiten Teilbündeln zerlegen, von
denen sich wie oben jeweils zwei gegenseitig auslöschen, sodass immer ein Teilbündel übrig bleibt und
Helligkeit liefert. Man wird Helligkeit sehen.
Im Zeigerbild bedeutet das, dass sich viele Zeiger nicht gegenseitig aufheben, sondern zu einem resultierenden Zeiger zusammensetzen.
Fresnelsche Zonen
• r
R
ñ
λ
∆s r R λ2
2
konstruktiver Beitrag zum Feld (positives Signal)
22
QUALITATIVE BEHANDLUNG DER BEUGUNG
ñ
P
ñ
P
37
λ
λ
r R λ
∆s r R
2
2,λ
destruktiver Beitrag zum Feld (negatives Signal)
• R
λ r
R
3λ
∆s r R
λ, 3λ
2
2
konstruktiver Beitrag zum Feld (positives Signal)
• R
.
.
.
Definition 22.3
Einen Bereich der Blendenönung mit festem Vorzeichen bezeichnet man
als Fresnelsche Zone
Zi .
Nur die ersten Fresnelschen Zonen weisen relativ groÿe Breiten auf. Für groÿe
|x|-Werte werden
die einzelnen Zonen immer schmäler. Die Breiten von positiv und negativ beitragenden Zonen
werden immer ähnlicher und die Beiträge benachbarter Zonen heben sich praktisch auf. Aus
diesem Grund wird das gebeugte Feld am Beobachtungspunkt
Fresnelzonen mit niedriger Nummer
i
P
praktisch vollständig durch die
bestimmt.
Beispiel 22.2 (Weiter zur Halbebene) Schiebt man nun die abschirmende Blende (Halbebene),
x0 -Werten her, über die Blendenebene, so ergeben sich für groÿe x0 -Werte praktisch
beginnend von groÿen
keine Änderungen der Intensität am Beobachtungspunkt. Erst wenn zunehmend Fresnelzonen niedriger Ordnung von der Blende abgedeckt werden, erhält man Zunahmen bzw. Abnahmen der Intensität.
Auf der Schattenseite beobachtet man eine kontinuierliche Abnahme der Lichtintensität.
22.2.2 Fresnelsche Zonenplatte
Man dies ausnutzen, um noch mehr Licht auf den Punkt
P
zu konzentrieren. Dazu wird statt des Schirms eine
Glasplatte verwendet, auf die undurchlässige Kreisringe so aufgedampft sind, dass sie z. B. den ungeradzahligen
Fresnelzonen entsprechen. Dadurch werden alle Beiträge der geradzahligen Zonen durchgelassen, sodass in der
Summe alle Glieder gleichen Vorzeichens in Phase aufsummiert werden.
Eine solche Anordnung heiÿt Fresnelsche Zonenplatte.
Radius der
m-ten
Zone:
xm
a
r2
R2
R
d
R
2
λ
p2n
2
1q
R " m λ ñ xm
Breite der
m-ten
Zone:
∆xm
xm 1 xm d
R2
R
?
?
2
R2
mRλ
1
m
λ
2
?m ?Rλ
Eine solche Zonenplatte wirkt wie eine Linse, da sie auch Licht, das von der Quelle schräg gegen die Verbindungsgerade Quelle-Pnkt ausgesandt wird, teilweise wieder in
P
vereinigt.
R der Abstand des Punktes P vom Zentrum der Zonenplatte, dann haben alle Punkte der m-ten Zone
den Abstand f
m λ2 von P . Wird die Zonenplatte von links mit parallelem Licht beleuchtet, so werden die
Sekundarwellen in allen oenen Zonen in Phase erzeugt. Da sich die Wege von den oenen Zonen pn 2mq
λ
um 2
2 λ unterscheiden, kommen alle Sekundärwellen in P mit gleicher Phase an. Der Punkt P ist also
Brennpunkt der einfallenden Welle, und die Brennweite f R ergibt sich zu:
?
x2
x2
xm mRλ ñ f R m 1
mλ
λ
Sei
f
Eine Zonenplatte hat also eine wellenlängenabhängige Brennweite.
22.2.3 Rechnung mit Zeigerdiagramm
Schirm und Lichtquelle sind unendlich weit weg
N
Elementarwellen werden gleichmäÿig auf Spalt der Breite
Feld im Punkt
P
b
verteilt.
als Superposition:
EP
N
¸
j 1
Ej
E0
N
¸
j 1
eiϕpj q
E0
N
¸
j 1
eij∆ϕ
22
QUALITATIVE BEHANDLUNG DER BEUGUNG
∆ϕ :
38
Phasenverzögerung zwischen benachbarten Elementarwellen
Die Abhängigkeit von den Koordinaten des Schirms ist für alle Teilwellen gleich. Im Zeigerdiamgramm entstehen
Kurven die konstanter Krümmung entsprechen.
Verzögerung der Randstrahlen:
N ∆ϕ 2π
∆s 2π
b sin Θ
λ
λ
Mit dem Zeigerdiagramm erhält man:
•
zentrales Maximum:
Θ 0 ñ ∆ϕ 0
alle Komponenten sind in Phase
•
1. Minimum:
•
Minima:
N ∆ϕ 2π
N ∆ϕ 2πn
n 1, 2, . . .
ñ sin Θ n b λ
•
Maxima:
N ∆ϕ p2n
1q π
n 1, 2, . . .
ñ sin Θ p2n
22.2.4 Cornu-Spirale
Phase
Voraussetzung:
Mit
x
Weglänge{
b b1
Abstand Spalt-Beobachter und
b
1q
!s
die Gröÿe des Spalts,
λ
2b
λ
2π
b1
die Gröÿes des Bildes vom Spalt.
Damit haben alle Teilwellen praktisch den gleichen Weg zu laufen und damit die gleiche Amplitude. Im Zeigerdiagramm sind die Teilpfeile also noch gleich lang, aber der Winkel zwischen Nachbarpfeilen ist nicht mehr
konstant wie bei der Fraunhofer-Begugn, sondern nimmt mit der Entfernung von der Stelle linear zu.
φphq Feld im Punkt
P
2π a 2
s
λ
h2 s
2
πλ hs
als Superposition aller Elementarwellen im Spalt
E
E0
» h2
x
h1 x
exppiphqq dh E0
» h2
Substitution:
ν
führt zu Fresnel-Integralen:
x
y
h
cos
h1 x
c
»ν
2
λs
cos
πν 2
dν
2
cos
πν 2
dν
2
0
»ν
0
x
πh2
λs
i sin
πh2
λs
dh
23
MATHEMATISCHE BEHANDLUNG DER BEUGUNG
39
Entspricht der Parameterdarstellung der Cornu-Spirale.
Es entsteht eine Doppelspirale mit ständig zunehmender Krümmung, die Cornu-Spirale, die sich in zwei Grenzpunkten zusammenschnürt.
23 Mathematische Behandlung der Beugung
23.1 Fresnel-Kirchhoschen Beugungstheorie
Problem: Punktlichtquelle beleuchtet Objekt aus absorbierenden Material mit ebener Önungsäche.
Ziel: Feldstärke und Lichtintensität am Punkt
P
berechnen.
Das so denierte Problem ist ein typisches Randwertproblem, das im Prinzip mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen zu behandeln ist. Dazu müsste jedoch nicht nur die Lichtquelle, sondern die Eigenschaften Des Objekts
(exakte Form, dielektrische Eigenschaften) und seine Rückwirkung auf die Feldverteilung exakt bekannt sind.
Im allgemeinen Fall lässt sich die Problemstellung nicht geschlossen lösen.
vereinfachende Kirchhosche Beugungstheorie
•
Statt vektoriellen Feld, ist nur skalares Licht-Feld vorhanden.
•
Lichtfeld breitet sich ungestört von der Quelle zum beugenden Objekt aus.
•
Erst hinter der Belnde wird der Einuss des Objektes berücksichtigt.
•
Rückwirkung des gebeugten Lichtes auf die Feldverteilung vor dem Objekt und in der Blendenönung
wird nicht beachtet.
•
Grund: Beugungserscheinungen in der Regel sehr lichtschwach und deshalb deren Rückwirkung zu vernachlässigen.
Q: Quelle P : Beobachtungspunkt bei B : Blende mit Önung Ω
η, ξ : Koordinaten in der Blende
x, y : Koordinaten in Beobachtungsebene
~n: Flächennormale
~ bzw. R
~ 0 und
Die Winkel χ bzw. χ0 sind zwischen den Richtungen der Strahlen R
~
Feldstärke Ep pRq bei vorgegebener Feldverteilung E0 pξ, η q in Blendenönung:
~q i
Ep pR
2λ
¼
p q
E0 ξ, η
looomooon
Ω
Einfallendes Feld
an Blendenönung
exppikrq
r
loooomoooon
der Normalen
ploooooooomoooooooon
cos χ cos χ0 q
Winkelanteil, der die Ablenkung
Kugelwelle, die sich des einfallenden Lichtes berücksichtigt
vom Ortpξ,ηqausbreitet
dξdη
~n
zu nehmen.
23
MATHEMATISCHE BEHANDLUNG DER BEUGUNG
i 2λE0
¼
Ω
40
exppik pr r0 qq
pcos χ cos χ0 q dξdη
r r0
(3.1)
Interpretations (passend zu Huygen): Das beobachtete Feldkommt dadurch zustande, dass in der Blendenebene
Kugelwellen mit Stärke und Phase des einfallenden Lichtes entstehen, die sich zum Beobachtungspunkt hin
ausbreiten. Das beobachtete Feld entsteht dann durch Superposition (Integration) über alle Kugelwellen, die
von der Blendenönung herkommen.
23.2 Fresnelsche und Fraunhofersche Beugung
Fresnelsche Beugung: Die rechnerische Behandlung lässt sich für groÿe Abständ
und
r0
r, r0
" λ stark vereinfachen. r
ersetzen wir nun noch durch die Koordinaten und nehmen dabei an, dass sich Quelle und Beobachtungs-
punkt - verglichen zum Blendendurchmesser - weit von der Blendenebene entfernt benden:
(Fresnel-Näherung)
Nahfeld-Näherung
ikz0
~q i e
Ep pR
λ e0
¼
ik
E0 pξ, η q exp
2z0
px ξ q
2
py ν q
2
dξdη
(3.2)
Ω
Am weitesten gehen die Vereinfachungen im Falle der Fraunhoferschen Beugung. Hier verwendet man
und
R Ñ 8 und kann ψ
R0
Ñ8
vernachlässigen. Im Ausdruck für die gebeugte Intensität bleiben dann nur noch Terme
übrig, die die Koordinaten
ξ
und
η
linear enthalten.
(Frauenhofer-Näherung)
Fernfeld-Näherung
Blendenönung klein, Entfernung des Beobachtungsschirms L groÿ
Als Beugungsintegral ergibt sich dabei im Wesentlichen gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion. Deshalb spricht man im Rahmen der Fraunhofer-Beugung auch von der Fourier-Optik.
ikz0
x2 y 2
~q i e
eik 2z0
Ep pR
λ
z0
¼
ik
E0 pξ, η q exp pxξ
z0
yη q dξdη
(3.3)
Ω
Die gebeugte Intensität kann als zweidimensionale Fouriertransformation der Blendenfunktion dargestellt werden.
Für endliche Abstände
R
bzw.
Fresnel-Beugung für endliches
R0 ist die explizite Form der Phasenfunktion ψ
R und R0 Ñ 8 wurden oben diskutiert.
zu berücksichtigen. Beispiele der
Fresnel-Zahl
2
F
ρ
λz
(3.4)
0
ρ : (max.)Radius der Belnde (oder eines Strahls)
z0 : Ausbreitungsdistanz F ! 1 : Fernfeld, Fraunhofer-Beugung
F 1 : Übergangszone, Fresnel-Beugung
F " 1 : geometrische Optik.
23
MATHEMATISCHE BEHANDLUNG DER BEUGUNG
41
23.3 Fraunhofersche Beugung
2
F
ρ
λz
! 1 p
ρ ! ξ1
0
•
nur 1. Zone trägt bei
•
Phase ist linear in
ξ, η
Fraunhofer-Beugung=Fernfreld=Winkelspektrum
Deniere Winkel
u
v
x
z0 λ
αλ
zyλ βλ
0
x2 y 2
ñ E pu, vq λi loooooomoooooon
eikz0 eik 2z0
nur Phase
¼
E0 pξ, η q exp r2πi puξ
vη qs dξ dη
Ω
Entspricht der Fouriertransformierten:
8 f pξ qe2πiuξ dξ
8
³ 8³ 8
2πipuξ
2-dim.: F pu, v q 8 8 f pξ, ηqe
1-dim.:
F puq ³
vη
q dξdη
ñ Amplitudenverteilung im Fermfeld ist proportional zur Fouriertransformierten des Feldes in der Blendenebene.
E x, y, z0
p
2
" ρλ q |F pu, vq|
Intensitätsverteilung des Fernfeldes:
I pu, v q |E pu, v q|
2
|F pu, vq|2
Kleine Raumfrequenzen im Beugungsbild entsprechen groÿen räumlichen Strukturen im Objekt, während feine
Strukturen des Objekts zu hohen Raumfrequenzen, das heiÿt groÿen Ablenkungen, im Beugungsbild führen.
23.4 Das Babinetsche Prinzip
Teile Fläche in Bereiche
Die in
P
Ω1
und
Ω2
gemessene Feldstärke ist dann
EP pΩq EP pΩ1 q
EP pΩ2 q
Komplizierte Önungen können aus einfachen Önungen zusammengesetzt werden.
Verwendet man den Beugungsaufbau ohne Blendenobjekt, so erhält man eine ungestörte Feldverteilugn
E0 . Bei
Verwendung einer Punktlichtquelle wird nur am Koordinatenursprung Helligkeit zu beobachten sein, an allen
anderen Stellen gilt dann
E0 px, y q 0.
Für komplementäre Önungen (Spalt/Draht, Lochblende/Scheibe) gilt:
EP pΩ1 q
EP pΩ2 q E0
E0 verschwindet, muss hier gelten: E1 E2 , I1 I2 .
ñ gleiche Beugungserscheinung hinter komplementären Objekten (Babinettsches Prinzip)
Da auÿerhalb des Koordinatenursprungs
23.5 Poissonscher Fleck
Beugung ñ Intensitätsmaximum im Zentrum des geometrischen Schattens eines kreisförmigen Objekts.
Experimenteller Beweis für Wellennatur des Lichtes.
24
EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION
42
24 Einschub: Fouriertransformation
•
spektrale Darstellung
•
Zeitraum ú Frequenzraum
•
Ortsram ú reziprober Raum
• f ptq
und
F pω q
sind unterschiedliche Funktionen, stellen aber die gleiche Wirklichkeit dar
•
math.: Basiswechsel
•
Schreibweise:
f˜pω q, rf pω qs
Fourierreihe: Fouriertransformation einer periodischen Funktion mit einer Periode
8̧
f ptq n
mit komplexen Fourierkoezienten
T
ω2π :
0
Fn einω0 t
(3.5)
f ptqeinω0 t dt
(3.6)
8
Fn
Fn
T1
»
T
2
T
2
Fouriertransformation: Übergang zu nicht periodischen Funktionen
f ptq 1
2π
F pω q F pω q:
»8
8
»8
8
F pω qeiωt dω
f ptqeiωt dt
(3.7)
(3.8)
kontinuierlisches Frequenzspektrum
Rechenregeln für Fouriertransformation:
•
" *
Ähnlichkeitssatz:
F.T. f
•
Verschiebungssatz:
F.T. tf pt t0 qu eiωt0 F pω q
F.T. eiω0 t f ptq
•
|α| F pα ωq
t
α
(
F pω ω0 q
Dierentialtionsregeln:
F.T. ttn f ptqu in
"
dn f ptq
F.T.
dtn
•
Parseualsche Formel
»8
8
•
Faltungsregel:
*
dn F pω q
dω n
piωqn F.T. tf ptqu
|f ptq|2 dt »8
8
|F pωq|2 dω
F.T. tf ptq b g ptqu F.T. tf ptqu F.T. tg ptqu
f ptq b g ptq »8
8
f pτ qg pt τ qdτ
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
25
SPEZIELLE FÄLLE DER FRAUNHOFERSCHEN BEUGUNG
43
25 Spezielle Fälle der Fraunhoferschen Beugung
25.1 Fraunhofer-Beugung am Einfachspalt
Da bei der Fraunhofer Beugung angenommen wird, dass die beleuchtede Lichtquelle und der Beobachtungspunkt
sehr weit weg vom beugenden Objekt entfernt liegen, benützt man zur Beobachtung der Beugungsgur hinter
dem Objekt eine Sammellinse und beobachtet in der Brennebene der Linse. Gebeugte Lichtbündel mit einem
speziellen Paar von Richtungskosinus
pα, β q werden dann in der Brennebene auf den Punkt pX, Y q pα f, β f q
abgebildet. Dabei werden paraxiale Strahlen angenommen.
Das heiÿt:
E pξ, η q e1 pξ qe2 pη q ist in kartesischen Koordinaten seperierbar.
te1 pξq, e2 pηqu F.T. te1 pξqu F.T. te2 pηqu, Fouriertransformation ist ebenfalls seperierbar.
x
Beugung in u z λ -Richtung (quer zum Spalt):
sinpπubq
E puq Feld in der Blendenebene
F.T.
0
πub
(3.17)
Intensitätsverteilung auf dem Schirm:
I pu, v q Nullstelle
ô sinpπubq 0 ô sin
π sin αλ b
sinpπubq
πub
2 sinpπvhq
πvh
2
0 ô sinpθq n λb . Also:
Position der Nullstellen (also Minima)
ub xb
z0 λ
n ñ sin θ n λb
n 1, 2, . . .
Man sieht:
λ
b
•
Lage der benachbarten Minima unterscheiden sich um
•
Nur die Minima links und rechts neben Hauptmaximum sind doppelt so weit voneinander entfernt.
•
Nebenmaxima treten auf, wenn gilt:
tanpπubq πub
Breite des Hauptmaximums:
∆x Nebenmaxima:
sinθmax
2z0 λ
b
1, 43 λb , 2, 46 λb
Gitterförmige Anordnung von Minima und Maxima. Für den Abstand benachbarter Maxima gilt: Je gröÿer die
Rechteckseite des Spaltes, desto kleiner wird der entsprechende Winkelabstand.
25
SPEZIELLE FÄLLE DER FRAUNHOFERSCHEN BEUGUNG
44
25.2 Beugung an einer kreisförmigen Önung
kreisförmige Blende mit Durchmesser
D
Qualitativ erhält man den vom Spalt her bekannten Intensitätsverlauf, der jetzt - aufgrund der rotationssymmetrischen Önung - zu einem rotationssymmetrischen Beugungsbild führt. Eins sehr intensives Hauptmaximum
ist ringförmig von Nebenmaxima umgeben, deren Amplitude sehr schnell mit wachsender Ordnung abfällt.
I pθq I0 Minima:
sin Θmin
n
1
4
2J1 k D
2 sin Θ
kD
2 sin Θ
λ
D
Beungungsbild:
25.3 Beugung am Doppelspalt
25.3.1 Unendlich kleiner Spalt
Limes
mit
b
bÑ0
Spaltbreite: Interferenz zweier Elementarwellen
Das heiÿt: Hier ist keine Beugung bei den einzelnen Spalten!
b : Spaltbreite
a : Spaltabstand
z0 : Abstand Spalt - Beobachtungspunkt
x : xKoordinate (Höhe) von Beobachtungspunkt P
x
x
Für z0 " a gilt ∆s a sin ϑ a
z0 , ∆s aλu mit u λz0
Feld bei z0 :
E pxq cospπauq
Intensität auf dem Schirm:
I pxq I0 cos2 pπa uq
Lage der Maxima:
πau nπ, n P
Z
sin ϑ (3.18)
nλ
a
25.3.2 Endliche Spaltbreite
Doppelspalt: Faltung zweier Delta-Funktionen mit Einfachspalt
ΩDS pξ q δ pξ Feld bei
z0
" a:
a
q
2
δ pξ
a q b ΩES
2
E puq cospπuaq
ΩES
ξ
sinpπubq
πub
looomooon
Beugungsteil
2
IDS
πub
I0 cos2 pπuaq sin
pπubq2
a
2
ΩES ξ a
2
25
SPEZIELLE FÄLLE DER FRAUNHOFERSCHEN BEUGUNG
45
Wird der Spaltabstand gröÿer gewählt als die Spaltbreite, so ergibt dies eine hochfrequente Modulation des
Beugungsbildes:
25.4 Beugung am Gitter
Definition 25.1 (Gitterkonstante) Gitterkonstante:
1
g 250
cm
Abstand der Gitterönungen
Bsp.: Gitter mit 250 Linien pro cm
ΩGitter
N¸1
δ pν maq
m 0
Ein Gitter erzeugt im weiÿen Licht neben einem weiÿen Streifen in der Mitte eine Reihe von nach auÿen hin
breiter werdenden Farbbändern, die die reinen Spektralfarben von Violett (innen) nach Rot (auÿen) enthalten.
(kontinuierliche Gitterspektren)
Gitter:
N
Spalte der Breite
b
im Abstand
A.
Konstruktife Interferenz (Maxima) für
∆s a sin ϑ n λ, n P
Z
(3.19)
wie bei Doppelspalt. Unterschied: Maxima sind viel schärfer.
Intensität:
IN
sin2 pπN auq sin2 pπbaq
pπbuq2
sin2 pπauq loooomoooon
loooooomoooooon
I0 on
loomo
(3.20)
Intensität des
vom einzelnen Spalt Interferenz zwischen Beugung am
Einzelspalt
N Spalten
N Önung, so treten in der Interferenzgur zwischen zwei Hauptmaxima N 1
2 Nebenmaxima auf. Die Intensität der Nebenmaxima ist im Allgemeinen jedoch gering. Mit
Fällt Licht auf ein Gitter mit
Minima und
N
der Anzahl der Önungen nimmt die Intensität der Hauptmaxima zu, und die Berite ab.
Für mittlere Intensität von Nebenmaximum gilt:
I
wenn
I0
das Hauptmaximum ist.
sin2 pπN auq ist maximal
sin2 pπN auq ist Null
Nebenmaxima:
Minima: nur
NI02
25
SPEZIELLE FÄLLE DER FRAUNHOFERSCHEN BEUGUNG
46
Bisher: senkrechter Einfall, nun: Einfallswinkel mit berücksichtigen
Lage der Hauptmaxima:
a sin
θ on
loomo
Ausfallswinkel
sin
0 on
looθ
mo
Einfallswinkel
Beispiel 25.1 (Wellenlängenbestimmung)
nλ
nP
Z
Die Ablenkung von Licht bei Beugung an einem Git-
ter mit wachsender Wellenlänge führt zu gröÿeren Ablenkwinkeln.
Beachte:
Beim Gitter: rotes Licht wird stärker abgelenkt als blaues
Beim Prisma: blaues Licht wird stärker abgelenkt als rotes
Spektrales Auösungsvermögen
λ und Licht der
∆λ
wird als Auösungsvermögen bezeichnet.
λ
Rayleigh-Kriterium: Man kann zwei spektrale Komponenten gerade dann noch trennen, wenn das
Die Qualität eines Gitters ist bestimmt durch die Fähigkeit Licht der Wellenlänge
Wellenlänge
λ
∆λ
zu trennen. Der Quotient
Maximum der einen auf der erste Minimum der anderen gebeugt wird.
k pλ
∆λq ¥ k λ
∆λ
λ
λ
N
ñ k ∆λ ¥ Nλ
1
n on
loomo
(3.21)
looN
moon
Beugungsordnung Strichzahl
25.5 Gitterspektrometer (Monochromator)
Definition 25.2
Ein Gitterspektrometer nutzt die optische Beugung an einem Gitter zur Dispersion des
Lichtes (Beugungsgitter). Das Licht gelangt über optische Elemente (Linsen oder auch Lichtleiter) zu einem
spaltförmigen Lichteintritt. Die Ausrichtung des Spaltes stimmt mit der Ausrichtung der Furchen/Linien des
Beugungsgitters überein. Die Beugung/Interferenz erzeugt das Spektrum.
B : Eintrittsspalt
C, E : Hohlspiegel
D: Gitter
der Brennweite
f
Durch diesen Hohlspiegel wird Licht, das vom Eintritsspalt her kommt, parallelisiert und auf das Gitter gelenkt.
Das unter dem Ablenkwinkel
θa
gebeugte Licht fällt wieder auf den Hohlspiegel und wird von dort auf den
Austrittsspalt abgebildet.
Durch die feste Anordnung von Spalten und Hohlspiegel kann nur Licht, das um den Winkel
θa
abgelenkt wurde,
25
SPEZIELLE FÄLLE DER FRAUNHOFERSCHEN BEUGUNG
47
das Spektrometer verlassen.
θa
θ0
θ, n 0 ñ λ apsin θ sin θ0 q
n
Reexionsgitter
Reexionsgitter: Ritzen und Furchen
Vorteil: höhere Beugungsezienz
Blazewinkel: Furchennormalenwinkel gegen die Gitternormale
Ist der Blazewinkel so gewählt, dass das einfallende Licht senkrecht auf die Furchenäche fällt, so
wird die
m-te
Interferenzordnung für die Wellenlänge
wenn gilt:
λ
in die Einfallsrichtung zurückreektiert,
∆s 2d sin α m λ
Gitter, die als wellenlängenselektierende Spiegel wirken, die das Licht für eine Wellenlänge in die
Einfallsrichtung reektieren, obowhl der Einfallswinkel ungleich 0 ist, heiÿen Littrow-Gitter.
25.6 Beugung am mehrdimensionalen Gitter
Das Kreuzgitter
Bisher: In
ξ -Richtung
unendlich ausgedehnte schmalen Spalte (den Gitterstrichen).
Die Transmissionsfunktion des Gitters besaÿ demnach nur in
µ-Richtungen eine Modulation.
µ-Richtung.
Ent-
sprechend hatte das Fraunhofersche Beugungsbild ein Punktmuster in
Jetzt: Gitter, mit Modulation in
ξ
und in
µ-Richtung
zweidimensionale Anordnung von Haupt-
maxima
Lage der Hauptmaxima:
aξ psin φ sin φ0 q n1 λ
aµ psin θ sin θ0 q n2 λ
Punktgitter
Betrachtung über Wellenzahl
k0
0, 1, 2, . . .
n2 0, 1, 2, . . .
n1
2πλ :
k0 sin θ k0 sin θ0
Die Punkte des Gitters sind durch die ganzen Zahlen
Gitters sind
2π
2π
aξ und aµ
n 2π
a
n1
und
n2
bestimmt, die Kantenlängen des
26
INTERFERENZ
48
Beugung am 3-dimensionalen Gitter
Analog:
~k ~k0
~
G,
nx {ax
~ 2π ny {ay nx , ny , nz
G
nz {az
Man erhält nur dann Beugung, wenn
|k0 | |k| PZ
(3.22)
2π
λ und obige drei Gleichungen erfüllt sind.
(Variation von Einfallswinkel/Wellenlänge).
Anwendung: Untersuchung von Struktur von Kristallen
Da die Wellenlänge des Lichtes kleiner sein muss als der doppelte Atomabstand, verwendet man hier aufgrund
der kleinen interatomaren Dimensionen Röntgenlicht anstelle von sichtbaren Licht.
Bragg-Reexion
Ausgangspunkt: Die Atome in den Kristallen sind in Ebenen (Netzebenen) eingebaut.
Betrachten nur Netzebenen, die regelmäÿig oder unregelmäÿig mit streuenden Atomen belegt seien.
Fällt Licht auf diese Netzebenen, so wird dann intensive Reexion auftreten, wenn Licht, das von
verschiedenen Netzebenen gestreut wurde, konstruktiv interferiert.
Annahme:
kz
ändert Vorzeichen, restliches
~k ~k0
~k
bleibt unverändert. Also:
2πm
sin ϕ Gz 2kz 2k0 sin ϕ 2 2π
λ
d
(Herleitung auch geometrisch möglich)
(Bragg-Beziehung)
Beugungsmaximum bei:
2d sin ϕ n λ
d:
ϕ:
n 0, 1, 2, . . .
(3.23)
Netzebenenabstand
Winkel zwischen einfallendem Strahl und Netzebene
Photonische Kristalle
Photonische Kristalle sind in prinzipiell transparenten Festkörpern vorkommende oder geschaene
periodische Strukturen, die u. a. durch Beugung und Interferenz die Bewegung von Photonen
beeinussen.
Die Strukturabmessungen sind gleich oder gröÿer eines Viertels der zugehörigen Wellenlänge der
Photonen.
spezische Struktur
Es wird möglich, Licht auf Abmessungen, welche in der Gröÿenordnung der
Wellenlänge liegen, zu führen, zu ltern und wellenlängenselektiv zu reektieren
optische Eigenschaften, wie beispielsweise Bragg-Reexion von sichtbarem Licht
26 Interferenz
E1
E01 cospk1 r ωt
ϕ1 q, E2
E02 cospk2 r ωt
ϕ2 q
einzigartige
26
INTERFERENZ
49
vernachlässige Vorfaktoren:
E
2 xE1 E2 y
E1
I
E2
@
E2
D
ñ E 2 E12
E22
2E1 E2
ñI
@
E12
D
@
E22
D
2 xE1 E2 y
heiÿt Interferenzterm
man erhält nach Rechnung:
2 xE1 E2 y E01 E02 cos δ,
δ
δ
k1 r k2 r
ϕ1 ϕ2
ist die Phasendierenz für Wellenlängen- und Phasenkonstantenunterschied
E01
Beispiel 26.1
E02 ñ I 2I0 p1
Quelle 1 bei
x 0: I
δ
2
ñ Imax 4I0 , Imin 0
x0 und Quelle 2 bei
Intensitätsmodulationen an verschiedenen
Am Punkt
cos δ q 4I0 cos2
4I0
x0
x-Werten
Die Frage ist nun, warum man diese ausgeprägte Interferenzerschienungen bei Licht im allgemeinen nicht beobachtet. Die Ursache dafür liegt in der extrem hohen Frequenz des Lichtes und in der kurzen Zeit (Kohärenzzeit),
über die herkömmliche Lichtquellen die elektromagnetischen Wellen mit denierter Phase emittieren können.
Nach dieser Zeit ist eine Phasenbeziehung - die für das Auftreten der Interferenz notwendig war - nicht mehr
gegeben und das Interferenzbild ändert sich.
Die experimentelle Beobahtung von Interferenz ist deshalb nur in speziellen Aufbauten möglich, bei denen
Lichtquellen aus einer Quelle zuerst in Teilbündel aufgespalten wird, die dann mit geeignetem Gangunterschied
überlagert werden.
26.1 Kohärenz
Kohärenz bezeichnet eine Eigenschaft von Wellen, die stationäre (zeitlich und räumlich unveränderliche) Interferenzerscheinungen ermöglicht. Damit bei Überlagerungen bestimmter Teilwellen Interferenzphänomene beobachtet werden können, müssen die Zusammensetzungen dieser Wellen bestimmte Bedingungen erfüllen, die mit
Kohärenz zusammengefasst werden. Zwei Wellen sind kohärent, wenn sie eine feste Phasenbeziehung haben, im
anderen Fall inkohärent.
Folgerungen von inkohärenten Licht:
Die Frage ist nun, warum man diese ausgeprägten Interferenzerscheinungen bei Licht im Allgemeinen
nicht beobachtet. Die Ursache dafür liegt in der extrem hohen Frequenz des Lichtes und in der
kurzen Zeit (Kohärenzzeit), über die herkömmliche Lichtquellen die elektromagnetischen Wellen
mit denierter Phase emittieren können. Nach dieser Zeit ist eine Phasenbeziehung - die für das
Auftreten der Interferenz notwendig war - nicht mehr gegeben und das Interferenzbild ändert
sich. Innerhalb der Beobachtungsträgheit des Auges (ungefähr 0.1 s) werden Interferenzerscheinungen, die von verschiedenen konventionellen Quellen herrühren, nicht zu beobachten sein. Die
experimentelle Beobachtung von Interferenzen ist deshalb nur in speziellen Aufbauten möglich,
bei denen Licht aus einer Quelle zuerst in Teilbündel aufgespalten wird, die dann mit geeignetem
Gangunterschied überlagert werden.
Definition 26.1
Ein einzelner Wellenzug existiert durchschnittlich für die als Kohärenzzeit
nete Zeitspanne; sie ist der Kehrwert der Frequenzbandbreite
∆tc
bezeich-
∆ν .
Letztlich entspricht die Kohärenzzeit in etwa der Zeitspanne, für die wir zu vorgegebenen Raumpunkten die
dortige Phase der Lichtwelle noch hinreichend genau voraussagen können.
Kohärenzlänge:
c ∆tc
Für den (idealisierten) Grenzfall monochromatischen Lichts wäre
natürlich unerreichbar.
∆ν
Null und
∆tc
unendlich, aber dies ist
26
INTERFERENZ
50
Definition 26.2 (zeitliche Kohärenz)
Für groÿes
∆tc
hat die Welle einen hohen zeitlichen Kohä-
renzgrad und umgekehrt.
Der Kohärenzzusammenhang ergibt sich aus der begrenzten Frequenzbandbreite
endlichen Kohärenzzeit
(c
∆tc ) beschreiben.
∆tc
∆ν
des Senders - oder auch der
-, unabhängig davon, ob wir ihn nun über Kohärenzzeit (∆tc ) oder Kohärenzlänge
Definition 26.3 (räumliche Kohärenz)
Mit dem Begri der räumlichen Kohärenz ist das Phäno-
men verknüpft, dass bei Verwendung einer realen, das heiÿt ächenhaften Lichtquelle (anstatt einer Punktquelle), Lichtwellen, die von unterschiedlichen Stellen der Lichtquelle herkommen, unterschiedliche Interferenzguren erzeugen können und so die Interferenzerschienungen zerstören.
Abhilfe: Kohärenzspalt
Zeitliche Kohärenz ist dann nötig, wenn die Welle zu einer zeitlich verschobenen Kopie ihrer selbst kohärent
sein soll. Soll die Welle mit einer räumlich verschobenen Kopie ihrer Selbst interferieren, ist räumliche Kohärenz
nötig.
26.1.1 Räumliche Kohärenz
Maÿ für Korrelation der Phase an zwei Orten.
Jede Quelle führt zu Interferenzbild, Phase zwischen Quellen ukturiert:
Addition der Intensitäten
Beugungsbild entspricht dem eines Einfachspaltes
Quantitativ:
(Bedingung für räumliche Kohärenz)
∆g
! λ2
ad
z
0
oder
φ!
λ
2d
(3.24)
λ: Wellenlänge
a: Spaltabstand beim Doppelspalt
d: halbe Breite der Lichtquelle
z0 : Abstand Spalt-Lichtquelle
φ: Önungswinkel der Lichtquelle
26.1.2 Zeitliche Kohärenz
Weglängenunterschied
∆s
in
P
Laufzeitunterschied
Bedingung für Interferenz: Phase stabil für Zeitspanne
Allgemein:
für spektrale Breite
∆s
c .
∆t "
∆s
c
∆ω ∆t 1
∆ω
und Pulsdauer/Kohärenzlänge
∆t ∆s
c
26.2 Aufspalten der Wellenfront
Teile der primären Wellenfront entweder direkt als Quellen sekundärer Wellen benutzt, oder aber sie dienen in
Verbindung mit optischen Geräten der Erzeugung virtueller Quellen für sekundäre Wellen. Diese sekundären
Wellen werden dann zusammengebracht um zu interferieren.
Youngscher Doppelspalt
26
INTERFERENZ
51
Die Spalte können als Ausganspunkt neuer Wellen betrachtet werden (Huygenssches Prinzip) die
sich überlagern. Die Gesamtintensität in dem Punkt
P
der Beobachtungsebene ist dann durch die
Amplituden und dieh Phasen der Teilwellen und durch die Wegdierenz
∆s fesgelegt. Die beiden
Spalte dienen so als kohärente Lichtquellen und erzeugen das oben diskutierte Streifenmuster.
Fresnelsches Biprisma, Fresnelscher Doppelspiegel
Durch Ablenkung des Lichtes an dem Prisma oder den beiden Spiegelächen wird die Lichtquelle
verdoppelt. Der Schirm wird so beleuchtet, als käme Licht von den beidne zueinander kohärenten
Lichtquellen
Q1
und
Q2
26.3 Zweistrahl-Interferenz
(Aufspalten der Wellenamplitude) Die primäre Welle wird selbst in zwei Segmente aufgespalten, die verschiedene
Wege zurücklegen, bevor sie interferieren.
26.3.1 Michelson-Interferometer
Das von einer Quelle ausgehende Licht, wird durch einen teilreektierenden Spiegel in zwei Komponenten, Lichtbündel 1 und 2, aufgespalten.
Bündel 1: Reexion am Strahlteiler, Reexion an Spiegel
ebene
M1 , Transmission durch Strahlteiler
Beobachtungs-
B
Bündel 2: Transmission durch Strahlteiler, Reexion an SpiegelM2 , Reexion am Strahlteiler
Überlagerung der beiden Teilwellen in der Beobachtungebene
Die Amplitude beider Teilwellen in der Beobachtungsebene sind gleich, unabhängig vom Reexionsvermögen
des Strahlteilers, da jede Teilwelle einmal am Strahlteiler reektiert und einmal transmittiert wird.
R : Reexionsgrad
T : Transmissionsgrad
Für monochromatische Welle:
IT
mit Phasendierenz
2 R T I0 p1
∆ϕ ϕ1 ϕ2
cos ∆ϕq
∆s
2π
λ
Das Michelson-Interferometer wirkt also als wellenlängenabhängiger Spiegel, kann also als Wellenlängenmessgerät benutzt werden.
Ist das einfallende Licht streng parallel, aber sind die Spiegel ein wenig verkippt, so erhält man in der Beobachtungsebene ein System paralleler heller und dunkler Streifen.
26
INTERFERENZ
52
In der Praxis hat man bei der Verwendung üblicher Lichtquellen kein sterng paralleles, sondern ein leicht divergentes Lichtbündel. Die Teilstrahlen solcher Lichtbündel haben etwas unterschiedlicher Neugungswinkel. Da
der Wegunterschied vom Winkel abhängt, erhält man in der Ebene keine gleichmäÿige Intensität wie bei streng
parallelem Licht, sondern ein System aus hellen und dunklen Interferenzringe.
Nullstellung
Die Nullstellung, das heiÿt die Einstellung, bei der beide Strahlengänge genau gleich lang sind, lässt
sich am besten mit weiÿem Licht überprüfen: Die Verwendung von weiÿem Licht ist vorteilhaft,
da dort die Kohärenzlänge extrem kurz ist und so die Nullstellung exakt bestimmt werden kann.
Bei der Nullstellung muss gerade destruktive Interferenz für alle Wellenlängen auftreten. Der
dabei vorliegende Phasenunterschied von
π
rührt daher, dass Bündel 1 an der Auÿenäche des
Spiegels, Bündel 2 an der Innenäche reektiert wurde.
Beispiel 26.2 (Bestimmen der Kohärenzlänge)
Die gröÿte Längendierenz der beiden Teilstahlen,
bei der noch eine Interferenz beobachtet werden kann, ist die Kohärenzlänge.
26.3.2 Sagnac-Interferometer
Die ankommende ebene Lichtwelle wird am Strahlteiler aufgeteilt in eine Teilwelle mit der Intensität
I2 :
ST-M3 -M2 -M1 -ST-Detektor
ST-M1 -M2 -M3 -ST-Detektor
I1
und
eine Welle mit
I1 :
I2 :
(im Uhrzeigersinn)
(gegen Uhrzeigersinn)
Überlagerung am Strahlteiler, Detektor
Bei ruhendem Interferometer sind die Wege für beide Teilwellen gleich lang und am Detektor wird die maximal
Intensität
I
I1
I2
I0 gemessen.
Dreht sich jetzt das gesamte Interferometer z.B. im Uhrzeigersinn, so durchläuft die im Uhrzeigersinn umlaufende
Welle einen längeren Weg (weil ihr die Spiegel davon laufen) als die im Gegenuhrzeigersinn umlaufende Welle
(der die Spiegel entgegen laufen). Es entsteht eine Phasendierenz
∆ϕ
zwischen den beiden Teilwellen im
Überlagerungsgebiet und die vom Detektor gemessene Intensität ändert sich.
I1
I2 I20 ñ I p∆ϕq I1
26.3.3 Mach-Zehnder-Interferometer
I2 cos ∆ϕ 1
I0 p1
2
cos ∆ϕq
26
INTERFERENZ
53
Einlaufende ebene Welle wird durch Strahlteiler
ein Medium mit Brechzahl
n
und Länge
L
ST1
in zwei Teilwellen aufgespalten, von denen die eine durch
durchläuft. Werden beide Teilwellen am Strahlteiler
überlagert, so hängt ihre Phasendierenz ab von der Wegdierenz
beeinusst wird.
∆nL ñ ∆ϕ ∆s,
ST2
wieder
die wiederum von optischen Weg
nL
2π
∆n L
λ
26.4 Interferenz an dünnen Schichten
Bsp: Öleck, Seifenblasen
Reexionsvermögen an dünnen Schichten ist sehr klein, also kann man sich auf die Betrachtung von Zweistrahlinterferenzen beschränken.
Die Lage der Minima und Maxima der Interferenzgur sind durch die Phasenverschiebung bei der Reexion
und den geometrischen Gangunterschied bestimmt.
26.4.1 Interferenz gleicher Neigung
Beobachten eines ausgedehnten parallelen Films. (Planparallele Schicht, unterschiedliche Einfallswinkel)
$
π,
'
'
'
&
n1 und nf n2
¡ n1 und nf ¡ n2
nf n2
nf n1
∆s 2 nf d cos θf
π,
∆φ '
0,
'
'
%
0,
nf
nf
n1
n2
Bedingung für konstruktive Interferenz:
∆s
λ
∆s 2 nf d cos θt
∆φ
2π
m
m
mP
∆φ
2π
N0
λ
m 0, 1, 2, . . .
(3.25)
Die Interferenzen gleicher Neigung ergeben ein Ringsystem, dass um den senkrechten Einfall zentriert ist. Dabei
tritt bei senkrechtem Einfall die Interferenz höchster Ordnung auf.
26.4.2 Interferenz gleicher Dicke
Jetzt zählt nicht der Einfallswinkel, sondern die optische Dicke
Annahme: Licht fällt praktisch senkrecht ein
nf d und deren Variation. (Öllm, Seifenblasen)
26
INTERFERENZ
54
Ein Interferenzstreifen gibt einen Bereich konstanter Dicke des Filmes wieder.
Nachdem der Winkel fest ist, wird z.B.
θf
0 gewählt und damit ergibt sich:
ñ 2 nf d Beispiel 26.3
∆φ
2π
m
λ
m 0, 1, 2, . . .
Zwei Glasplatten, mit Keil in der Mitte. Die Dicke
d
(3.26)
des Luftkeiles:
d αx
An der Berührungsstelle der beiden Glasplatten liegt ein Minimum der Reexion für alle Farben, da aufgrund
d
der Phasensprünge bei der Reexion für
0 eine Phasenverschiebung ∆φ π auftritt. Dieser Teil des
Luftkeils erscheint bei der Beleuchtung mit weiÿem Licht schwarz.
Beispiel 26.4 (Newtonsche Ringe)
Newtonsche Ringe entstehen, wenn mann eine langbrennweitige
Linse auf eine ebene Glasplatte legt. Man beobachtet dann im reektierten Licht konzentrische Kreise, die
sich für zunehmenden Abstand vom Zentrum immer näher kommen.
Beispiel 26.5 (Antireflex Beschichtung)
Das an der Vorder- und Rückseite des Films reektier-
te Licht weise die gleiche Felstärke auf. Es sollte dann bei destruktier Interferenz die Reexion vollständig
verschwinden.
destruktive Interferenz also bei:
2nf d n1
nf n2 ñ ∆φ 0
λ
2
ñ nf d λ4
λ{4 Schicht
Reexionskoezient müssen bein Eintritt und Austritt aus der Schicht
n1 nf
n1 nf
nf
gleich groÿ werden:
nnf nn2 ñ nf ?n1 n2
f
2
Mit dieser einfachen dielektrischen Schicht könnte man für eine spezielle Wellenlänge die Reexion praktisch
perfekt unterdrücken.
Beispiel 26.6 (Dielektrische Spiegel) Mit Metallspiegeln erreicht man im sichtbaren Spektralbereich nur Reexionswerte von höchstens R 0.95, im Allgemeinen weniger (typisch ist R 0.90). Dies liegt
daran, dass das Absorptionsvermögen von Metallspiegeln hoch ist. Um höhere Werte für R zu erreichen, kann
man die Interferenz bei der Reexion an vielen dünnen Schichten mit unterschiedlichen Brechzahlen n, aber
kleiner Absorption, ausnutzen. Für eine maximale Reexion müssen sich die an den einzelnen Grenzächen
reektierten Teilwellen alle phasenrichtig überlagern.
senkrechter Einfall von Licht, Wellenlänge
nLuft
λ,
dielektrische Spiegel mit zwei Schichten
n1 ¡ n2 ¡ n3 (unten ist die optisch dünnste Schicht)
Konstruktive Interferenz:
d1
Phasensprung um
π
λ4 , d2 λ2
26.5 Vielfachinterferenz am Beispiel des Fabry-Perot-Interferometers
Fabry-Perot-Interferometer:
26
INTERFERENZ
55
Optisch relevantes Element: Planparallele Platte, die von zwei hochreektierenden Schichten begrenzt wird
Monochromatisches Licht aus einer ausgedehnten Quelle wird durch eine Linse divergent auf das Interferometer
abgebildet. Jedes Lichtbüdel wird an den parallelen Flächen hin und her reextiert und verlässt als Schar
paralleler Bündel das Interferometer.
In der Brennebene einer Linse beobachtet man dann die Interferenzgur die ein konzentrisches Ringsystem
bildet.
(Interferenz gleicher Neigung)
Die refelektierte Feldstärke
Er
erhält man durch Aufsummieren der einzelen Feldstärken (geom. Reihe). Der
Phasensprung wird durch Vorzeichen der Reexions- und Transmissionskoezienten berücksichtigt.
Da keine absorbierenden Materialien im Fabry-Perot-Interferometer verwendet werden, gilt:
I0
IR
IT
(Intensität an einem Fabry-Perot)
IR
IT
I0 1
I0 IR I0 1
mit
F
δ
nf : Brechungsindex im Medium
d : Dicke des Mediums
θf : Winkel nach der ersten Brechung
r : äuÿerer Reexionskoezient
F
δ
2 sin2 2δ
1
F sin2
F sin2
2r
1 r2
δ
2
Airy-Funktion
2
4πnλf d cos θf
im Medium
Man sieht, dass reektiwerte und transmittierte Interferenzmuster zueinander komplementär sein müssen.
0
ñ 2nf d cos θf mλ
2 δ
Minimale Transmission ndet man bei sin
2 1
1
p1 r2 q2
TM in 1 F
p1 r2 q2
Maximale Transmission ndet man bei
sin 2δ
Hohes Refelexionsvermögen führt zu kleinen Minimaltransmissionswerten.
Wird das Reexionsvermögen klein gewählt, so erhält man den für den Fall einer Zweifachinterferenz erwarteten
Kosinusverlauf.
Für groÿe Werte von
r2
ndet man sehr scharfe Interferenzmaxima und kleine Minimaltransmissionen.
Halbwertebreite:
∆δ
?4
F
Definition 26.4 (Finesse)
F̃
benachbarter Maxima
Abstand
Breite eines Maximums
Die Finesse bestimmt die eektive Zahl der interferierenden Lichtbündel
Hier:
F̃
2π
∆δ
27
RÄUMLICHES AUFLÖSUNGSVERMÖGEN
56
Auösungsvermögen
Wichtig, wenn das Fabry-Perot-Interferometer als Spektrometer verwendet werden soll
λ λ1 λ2
2nf d cos θF unterscheiden,
können sie nicht mehr eindeutig einer entsprechenden Ordnung zugeordnet werden. Ein Fabry-
Dλ
Sobald sich die Wellenlängen zweier Linien um mehr als
Perot-Interferometer mit festem Plattenabstand
d
erlaubt also nicht die absolute Bestimmung
der Wellenlänge von Licht, sondern nur die Bestimmung von Wellenlängendierenzen innerhalb
des sogenannten freien Spektralbereichs
Dλ:
2dn
Dλ
λ
F
λ
cos θF
m1
Man kann abschätzen, dass sich die Linien dann nach unterscheiden lassen, wenn ihr Abstand
gerade der vollen Linienbreite entspricht.
λ
∆λ
Die Ordnungszahl
δ
∆δ
?
2πnF d F cos θF
λ4
m F̃
m gibt an, über wieviele Wellenlängen die interferierenden Lichtbündel gegenF̃ dagegen zeigt, wieviele Bündel im Mittel miteinander
einader verschoben werden; die Finesse
Interferieren und inwieweit das Interferenzmaximum gegenüber dem bei Zweifachinterferenz verschmälert wird.
27 Räumliches Auösungsvermögen
Bei einem Spektralapparat versteht man unter Auösungsvermögen seine Fähigkeit, nahe benachbarte Spektrallinien mit einem Abstand
∆λ voneinander zu trennen. Analog ist das Auösungsvermögen eines abbildenden
Instrumentes mit seiner Möglichkeit verknüpft, getrennte Bilder von zwei benachbarten Objektpunkten zu liefern.
Diskussion des Auösungsvermögen abbildender optischer Geräte:
Annahme: Der geometrische optische Teil liefert eine perfekt scharfe Abbildung. Das Auösungsvermögen hängt
dann von der Beugung des Lichtes an den verschiedenen Begrenzungen des optischen Systems ab.
(Rayleigh-Kriterium)
Nach dem Rayleigh-Kriterium lassen sich die Beugungsbilder zweier Linien
gerade noch trennen, wenn das Maximum der einen auf die Nullstelle der anderen Linie fällt.
27.1 Teleskop (Fernrohr)
einfallendes Licht parallel auf Objektivlinse
kreisförmige Eintrittspupille mit Durchmesser
D;
dadurch wird für ein punktförmiges Objekt und eine kreisför-
mige Eintrittspupille ein Beugungsscheibchen erzeugt
Da das erste Minimum bei einem Winkelabstand
θ
1.22 Dλ
liegt, ist der kleinste noch auösbare Winkelab-
stand begrenzt auf (nach Rayleigh)
δmin
1.22 Dλ
Diese beugungsbegrenzte Auösung spielt alerdings für Teleskope mit
D
¡ 10cm auf der Erde im Allgemeinen
keine ROlle, da die Auösung durch statistische Fluktuation des Brechungsindex der Erdatmosphäre etwa auf
1 beschränkt ist.
27.2 Auösungsvermögen des Auges
D 1 8mm
Das Auge kann Strukturen bis zu minimalen Abständen
∆xmin
S0 δmin 25cm 1.22 Dλ 70µm
auösen, wenn sich der Gegenstand in der deutlichen Sehweite
S0
bendet.
28
ABBESCHE THEORIE DER BILDENTSTEHUNG
57
27.3 Mikroskop
Betrachten zwei nahe benachbarte (Abstand
Raum vor dem Objektiv: Brechungsindex
d)
leuchtende Punkte.
n
Raum nach dem Objektiv: Brechungsindex 1
Beugung: An Austrittspupille mit Durchmesser
D
des Objektivs.
Die Objektpunkt können dann noch aufgelöst werden wenn der Sehwinkel
gröÿer ist als der Beugungswinkel:
nd
f
auf der rechten Seite des Objektivs
¡ 1.22 Dλ
Definition 27.1 (Numerische Apertur)
N A n sin θ
Auösungsvermögen Mikroskop:
d ¥ 0.61 n 2D f
λ
NA
28 Abbesche Theorie der Bildentstehung
Wir diskutieren hier stark vereinfacht die Bildentstehung bei der Abbildung durch eine Linse. Das Objekt sei
eben und habe die räumliche Transmissionsfunktion
Ω0 px, y q.
Das Objekt beugt das einfallende Licht, so dass hinter dem Objekt gestörte Wellenfronten mit unterschiedlichen
Raumfrequenzen (Richtungen) auftreten. Lichtündel, die in gleicher Richtung verlaufen, werden durch die Linse
auf gleiche Punkte in der Brennebene
F
abgelenkt. Hier ensteht ein Fraunhofersches Beugungsbild
des Objektes, das mit der zweidimensionalen Fouriertransformierten des Objektes
Ω0 px, y q
F pα, β q
verknüpft ist. Die
Punkte in der Fourierebene stellen nun ihrerseits wieder Punktlichtquellen dar, von denen aus das Licht zur
Bildebene läuft und dort interferiert, wobei es das Bild
ΩB pX, Y q
aufbaut. Dieser zweite Prozess kann als
Rücktransformation aufgefasst werden.
Die Funktion der Linse ist also zweifach: Zum einen lenkt sie das Licht so, dass das Fraunhofersche Beugungsbild
ins Endliche kommt. Zum anderen bewirkt sie gleichzeitig die Fourier-Rücktransformation zur Bildentstehung
in der Bildebene.
Abbildungsvorgang läuft im Idealfall in zwei Schritten ab:
Ω0 px, y q
Ñ
F.T.
Fideal pα, β q
Ñ
R.T.
ΩB,ideal px, y q
29
HOLOGRAPHIE
58
In der realen Abbildung wird die ideale Fouriertransformierte erst gar nicht erzeugt: Die Linse besitzt nur einen
endliche Durchmesser und kann somit nur niedrige Raumfrequenzen verarbeiten. Zusätzlich treten Linsenfehler
auf. Beides wollen wir dadurch berücksichtigen, dass wir vor die Rücktransformation noch einen Filtrierungsprozess schalten, der zur gelterten Fouriertransformierten
Ω0 px, y q
Ñ
F.T.
Fideal pα, β q
ΩB,real
Auösungsvermögen:
Freal pα, β q TF ilter pα, β q Fideal pα, β q
Filtrieriung:
p
Ñq
T α,β
Freal pα, β q
Ñ
R.T.
führt:
ΩB,real
ΩB,ideal b TF ilter
Strichgitter mit Gitterabstand
d.
Je nach Önungswinkel des Objektivs werden unterschiedliche Beugungsordnung ausgeltert. Lässt man
und
0-te
1-te Ordnung passieren, so entsteht ein Bild, dass die Periodizität des Objektgitters richtig wiedergibt.
Mit zunehmed mehr Ordnungen nimmt die Schärfe der Abbildung zu. Also:
N A n sin θ
d¥
¥ λd
λ
NA
29 Holographie
Grenzen der Photographie
Bei der normalen Photographie wird ein beleuchteter Gegenstand mithilfe eines Linsensystems
in eine Ebene abgebildet, in der sich die Photoschicht bendet. Die Schwärzung der lichtempndlichen Schicht ist proportional zum Produkt aus auftreender Intensität und Belichtungszeit.
Dabei geht jede Information über die Phase der einfallenden Welle verloren. Dies bedeutet auch,
dass keine direkte Information über die dreidimensionale Struktur des Objektes erhalten bleibt.
Der dreidimensionale Gegenstand wird auf ein zweidimensionales Bild reduziert. Die Tatsache,
dass wir aus dem zweidimensionalen Photo die dreidimensionalen Objekte erkennen können, ist
nur unserem Gehirn zu verdanken.
Idee der Holographie
Überlagerung zweier kohärenter Teilwellen, nämlich der vom Objekt gestreuten Beleuchtungswelle und einer von derselben Lichtquelle stammenden Referenzwelle, ein Interferenzmuster auf der
Photoplatte zu speichern, das Informationen über Amplitude und Phase der vom Objekt gestreuten Welle und damit über die Entfernung der verschiedenen Objektpunkte von der Photoplatte
enthält. Man nennt die durch die Interferenz von Referenz- und Objektwelle erzeugte Schwärzungsverteilung auf der Photoplatte ein Hologramm, aus dem sich nach der Entwicklung der
Photoplatte durch erneutes Beleuchten mit Licht derselben Wellenlänge ein dreidimensionales
Bild des Objektes rekonstruieren lässt.
29
HOLOGRAPHIE
59
Aufzeichnung des Hologramms
Der Ausgangsstrahl des Lasers, der eine monochromatische kohärente Lichtquelle darstellt, wird
durch eine Linse (bzw. ein Linsensystem) aufgeweitet und dann durch einen Strahlteiler in zwei
Teilbündel aufgespalten.
Referenzwelle:
E0
A0 eipωtk rq
0
Das vom Objekt in Richtung der Photoplatte gestreute Licht hat auf der Photoplatte die Amplitude
Es
wobei die Phase
ϕs px, y q
As eipωt
p qq
ϕs x,y
von der Entfernung der Objektpunkte, welche das Licht streuen, ab-
hängt.
Gesamtintensität auf der Photoplatte:
I px, y q c0 |Es px, y q
mit
ϕ0
E0 px, y q|
2
c0 A20
A2s
A0 As eipk0 r0 ϕs px,yqq
k0 r0 und r0 px, y, 0q.
Der phasenabhängige Interferenzterm enthält die gewünschte Information über die Entfernung der
verschiedenen Objektpunkte von den Punkten
px, yq der Photoplatte.
Während bei der üblichen Photographie einem jeden Punkt des Objektes ein wohldenierter Bildpunkt auf
der Photoplatte entspricht, wird bei der Erzeugung eines Hologramms die von einem Objektpunkt ausgehende
Streuwelle über die gesamte Photoplatte verteilt. Dies bedeutet, dass jedes Teilstück des Hologramms bereits
Informationen über das gesamte Objekt enthält.
Rekonstruktion
Um aus dem Hologramm, das die Informationen über das Objekt in verschlüsselter Form enthält, ein dreidimensionales Bild des Objektes zu gewinnen, muss die belichtete Photoplatte nach
ihrer Entwicklung mit einer kohärenten ebenen Rekonstruktionswelle
Er
Ar eipωtk rq
r
A0 As eipk0 r0 ϕs px,yqq c0 A20
A2s
30
ANWENDUNGEN
60
derselben Lichtfrequenz
ω
wie bei der Aufnahme des Hologramms beleuchtet werden.
Die durch das HOlogramm transmittierte Amplitude
AT
T px, yq Ar
ist von der Schwärung der Photoplatte bei der Aufnahme abhängig, die proportional zur Intensität ist. Die Transmission der entwickelten Platte ist
T px, y q T γI px, y q
γ
ist der Schwärungkoezient der Photoplatte und
I px, y q
die auf der Hologramm bei der Be-
lichtung auftreende Intensität.
Transmittierte Amplitude der Rekonstruktionswelle:
AT
A2s q γAr A0 As eipk0 r0 ϕs q γAr A0 As eipk0 r0 ϕs q
Ar T0 γAr pA20
Die letzten beiden Terme entsprechen neuen Wellen
γAr A0 As eipωtpk k qr ϕ q
ET γAr A0 As eipω pk k qr ϕ q
deren Richtung durch den Wellenvektor k1 kr k0 bzw k2 kr
ET1
t
r
0
0
s
r
0
0
s
2
k0
gegeben ist.
Die Rekonstruktionswelle wird an den Schwärzungsstrukturen des Hologramms, das wie ein Amplitudengitter wirkt, gebeugt.
As und Phase ϕs der bei der Aufnahme verEs As eipωtϕs q bzw. As eipωt ϕs q enthalten,
Beide Wellen tragen Informationen über die Ampltide
wendeten Streuwellen, da sie genau die Amplitude
die auch bei der Aufnahme des Hologramms vom Objekt auf die Photoplatte traf.
Was sieht man?
Es treten zwei Bilder auf: Ein virtuelles Bild, das der Welle
ET1
entspricht und das man beim
Betrachten hinter dem Hologramm sieht, und ein relles Bild, welches durch
ET2
erzeugt wird
und das man auch auf einem Schirm den man an den Ort des Bildes stellt sichtbar machen kann
(allerdings dann nur zweidimensional)
Schaut man durch das Hologramm gegen die Richtung einer dieser Wellen, so erscheint dem Auge
das dreidimensionale Bild des Gegenstandes, wie er bei der Aufnahme des Hologramms vom Ort
der Photoplatte aus zu sehen war.
Verwendet man für die Rekonstruktionswelle eine andere Wellenlänge
rekonstruierte Bild im Maÿstab
λr
als
λs
der Streuwelle, so erscheint das
λr
λs vergröÿert oder verkleindert.
30 Anwendungen
30.1 Mehr über Spektrometer
Um die spektrale Verteilung I pλq der von einer Lichtquelle ausgesandten Strahlung zu messen, benutzt man
entweder Interferometer, die eine wellenlängenabhängige Transmission haben oder Spektrographen, die eine
räumliche Trennung von Strahlen mit unterschiedlichen Wellenlängen bewirken.
Man unterscheidet zwischen Prismenspektrographen, bei denen die Dispersion
npλq
des Brechungsindex ausge-
nutzt wird, die zu wellenlängenabhängigen Brechungswinkeln führt, und Gitterspektrographen, die zur räumlichen Trennng die wellenlängenabhängige Beugung und Interferenz an einem Reexionsgitter ausnutzen.
Monochromator: Der Spektrograph wird zum Monochromator, wenn man in die Beobachtungsebene einen Spalt
anbringt, der nur eine bestimmte Wellenlänge durchlässt.
30
ANWENDUNGEN
61
Prismenspektrograph
Vorteil: kompakter Aufbau; eindeutige Zuordnng der Wellenlängen
λi pxi q
aus ihrer Lage
xi
in der
Beobachtungsebene.
Nachteil: relative geringe Wellenlängendispersion und damit mäÿige spektrale Auösung
Es können nur solche Spektralbereiche untersucht werden, in denen das Prisma nicht absorbiert.
dn
dλ in der Nähe von Absorptionsbereichen besonders groÿ wird, muss man einen Kompromiss
schlieÿen zwischen hohe spektraler Auösung und hoher Transmission.
Da
30.2 Fresnel Linse
Auf die Oberäche einer kreisförmigen durchsichtigen Glasplatte werden Rinnen der Tiefe
H
geätzt, die Kreis-
ringe sind, die als Fresnelzonen dienen. Soll für eine einfallende ebene Welle die Dierenz der optischen Wege
zu dem Punkt
P
für zwei aufeinanderfolgenden Ringzonen
2
rm
s2m s20 Wir erhalten also für den Radius der
m-ten
s0
m
λ
2
2
∆s λ
2 sein, so folgt für die Radien
s20 s0 mλ
s0
rm
der Zonen
" mλ
Zone wie bei der Zonenplatte
rm
a
ms0 λ
Für Stegringzonen ist dann die WEgdierenz zur benachbarten Rinnenringzone
∆spmq ∆spm
1q pn 1qh λ
2
pn 1qh λ
2 ist, so sind alle Teilwellen im Punkt F im Abstand
s0 von der Platte in Phase und interferieren konstruktiv. Die Zonenplatte wirkt also wie eine Linse mit der
Macht man die Höhe
h
der Stege so, dass
Brennweite
2
f
s0 rλ1
Man beachte:
Bei der Fresnelzonenplatte mit abwechselnden durchsichtigen und undurchsichtigen Zonen mussten die Zonen
mit destruktiver Interferenz abgedeckt werden. Man verliert dadurch die Hälfte der Intensität. Hier wird dagegen
durch die Phasenmodulation in der Glasplatte die destruktive in eine konstruktive Interferenz umgewandelt.
Beispiel 30.1 (Achromat)
Man sieht, dass die Fresnellinse eine Brennweite hat, die mit wachsender
Wellenlänge sinkt, gerade entgegengesetzt zu refraktiven Linsen. Eine geeignete Kombination aus refraktiver
und diraktiver Linse kann daher ein achromatisches Linsensystem ergeben.
62
Teil IV
Polarisationsoptik und nichtlineare Optik
31 Polarisation elektromagnetischer Wellen
Definition 31.1 (Polarisation)
Die Polarisation ist eine Eigenschaft optischer Wellen, welche die
Richtung des Feldvektors des elektrischen Feldes beschreibt, und zwar im Vakuum oder in optisch-isotropen
Medien in Bezug auf den Wellenvektor
~k .
Transversalvelle charakterisiert durch Wellenvektor und Feldvektor des el. Feldes
oen bleibt: Rotation um den Wellenvektor
•
lineare Polarisation:
Feldvektor zeigt in feste Richtung und die Auslenkung ändert bei Voranschreiten ihren Betrag und ihr
Vorzeichen periodisch mit fester Amplitude
•
zirkulare Polarisation:
Feldvektor dreht sich bei Voranschreiten der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und ändert seinen Betrag nicht
•
elliptische Polarisation:
Der Feldvektor rotiert um den Wellenvektor und ändert dabei periodisch den Betrag.
Bei der Ableitung der Wellengleichung für elektromagnetische Wellen aus der Maxwellgleichungen hatten wir die
Transversalität der elektromagnetischen Wellen gezeigt. Für optisch isotrope Medien gilt, dass das elektrische
Feld
~
E
senkrecht zum Wellenvektore
~k
steht. Dadurch wird jedoch nur eine Ebene festgelegt, in der das
~ -Feld
E
schwingen kann. Zur Beschreibung eines Vektors in dieser Ebene sind dann noch zwei Komponenten notwendig.
Annahme:
~k k ẑ
ñ E~ E~ x
γ:
|Ex0 |
~ y |Ey0 | eiγ eipωtkz
E
0
relative Phasenverschiebung
Auf die spezielle Möglichkeiten, die sich durch die freie Wahl der Amplituden
γ
q
ϕ
Ex0 und Ey0 und des Phasenfaktors
ergeben, gehen wir im Folgenden ein.
Polarisationszustände von Licht
Linear polarisiertes Licht
γ 0 oder γ π
0 sind die beiden Wellen E~ x und E~ y in Phase
Phasenfaktor:
Für
γ
In diesem Fall ist die Richtung des elektrischen Feldes durch einen konstanten Vektor
von Ort und Zeit bestimmt.
Für
γ
~0
E
unabhängig
π sind die beiden Wellen Ex und Ey auÿer Phase. Da gilt eϕ π eϕ ist das Licht auch
hier linear polarisiert.
~
E
E~ x
Zirkular polarisiertes Licht
|E0x | |E0y | und γ π2
|Ex0 |
~ y |Ey0 | eiγ eipωtkz
E
0
q E~ 0 eipωtkz ϕq
ϕ
32
POLARISATIONSOPTIK
63
Der Betrag der Feldstärke ist zeitlich konstant. Das Ende des Feldvektors
~
E
beschreibt in der x,y-
Ebene eine Kreisbahn.
~
E
E~ x
Das Vorzeichen von
γ
|Ex0 |
~ y |Ey0 | eiγ eipωtkz
E
q
ϕ
0
1
E0 i eipωtkz
0
q
ϕ
bestimmt den Drehsinn des Feldvektors.
rechtszirkular polarisiert: Beobachtung an fester Stelle mit Blickrichtung zur Quelle des Lichts der
~ -Feldvektor
E
dreht sich im Urzeigersinn (γ
0).
linkszirkular polarisiert: Umgekehrt
Eine zirkular polarisierte Welle lässt sich durch Summation zweier senkrecht zueinander linear polarisierten Wellen gleicher Amplitude und passender Phasenverschiebung zusammensetzen.
Bei der Lichtabsorption tritt nicht nur der Strahlungsdruck auf, sondern es erfolgt auch eine Übertragung eines Drehimpulses.
Elliptisch polarisiertes Licht
Richtung und Stärke des
beschreibt in der
~ -Feldes ändern sich als Funktion der Zeit. Der Endpunkt des E
~ -Feldvektors
E
xy Ebene
eine Ellipse.
Natürliches Licht
z.B. Glühbirne, Sonne
Natürliches Licht besteht aus einer Abfolge von Wellenpaketen, die durch einzelne, elementare Strahlungsereignisse bestimmt sind.
Emitiertes Licht hat keine denierte Polarisationsrichtung. Dies bezeichnet man als unpolarisiertes
Licht.
Monochromatisches Licht: unendlich langer Wellenzug, also Polarisationszustand genau deniert,
also polarisiert
Im Allgemeinen kann jedoch Licht aus unpolarisierten und polarisierten Anteilen zusammengesetzt
sein. Dann spricht man von teilweise polarisiertem Licht.
32 Polarisationsoptik
32.1 Polarisatoren
Definition 32.1
Unter einem Polarisator versteht man ein optisches Element, das in der Lage ist, aus
unpolarisiertem Licht Licht mit einem denierten Polarisationszustand zu selektieren. Je nach Typ der selektierten Komponente spricht man von Linearpolarisator, Zirkularpolarisator oder elliptischem Polarisator.
Mit Hilfe eines Polarisators lassen sich auch die Polarisationseigenschaften von Licht bestimmen (der Polarisator
ist dann ein Analysator).
32.1.1 Gesetz von Malus
unpolarisiertes Licht
Linearpolarisator
Selektion einer bestimmten Richtung des
E -Feldvektors
Polarisators
Analysator: Nur Parallelkomponenten werden durchgelassen
E0
E0 cos θ
parallel zur Durchlassrichtung des
wenn
θ
der Winkel zwischen linear
polarisierten Licht und Durchlassrichtung des Analysators
I pθq I0 cos2 θ
(4.1)
32
POLARISATIONSOPTIK
64
32.1.2 Polarisation durch Reexion
Fällt Licht auf dielektrische Oberäche, ergeben die Fresnel-Gleichungen unterschiedliche Reexionskoezienten für Licht, das parallel zur Einfallsebene polarisiert ist (s-Komponente) und für Licht, das senkrecht zur
Einfallsebene polarisiert ist (s-Komponente).
Extremales Verhältnis: Brewster Winkel (Reexionskoezient für p-Komponente wird Null)
Also: Unter Brewster-Winkel reektiertes Licht ist senkrecht zur Einfallsebene polarisiert.
Aber: Ezienz (Reexionsgrad der s-Komponente) ist klein, also hohe Verluste
Abhilfe: multiple, dünne dielektrische Schichten erhöhen Reexion der s-Komponente.
dielektrische Polarisatoren: die reextierende Oberäche dient als Polarisator
Mit Reexionen kann man auch die Polarisationsrichtung von linearpolarisierten Licht zu drehen. Liegt bei
merhfachen Reexionen die Strahlführung nicht in einer Ebene, so kann dies zu einer Drehung der Polraisationsebene des Lichtes führen. Tritt bei einer Reexion eine Phasenverschiebung
∆ϕ 0 , 90
auf, wie es z.B. bei
der Totalreexion geschieht, so kann dies ebenfalls zur Veränderung des Polarisationszustandes benutzt werden.
32.1.3 Polarisation durch Dichrosimus
Dichroistische Kristalle, die anisotrop sind, haben richtungsabhängige Rückstellkräfte für die zu Schwingungen
angeregten Atomelektronen (vgl. Modell des Moleküls oben). Deshalb sind ihre Eigenfrequenzen
ω0
in den
Formeln für den komplexen Brechungsindex und damit auch der Absorptionskoezient bei einer vorgegebenen
Wellenlänge von der Richtung des
E -Vektors
der einfallenden Lichtquelle abhängig.
Beispiel 32.1 (Gitterpolarisatoren)
Für langwelliges Licht können Drahgitter-Polarisatoren ein-
gesetzt werden. Hier wird ein Gitter aus sehr feinen, leitenden Drähten (Gold) aufgespannt.
Man kann die Folie so drehen, dass Licht der gewünschten Polarisation durchgelassen und solches der dazu
senkrechten Polarsation absorbiert wird.
Der Nachteil der Polarisationsfolien ist ihre relative groÿe Abschächung für die gewünschte Polarisationskomponente.
32.2
λ
2
-Plättchen
λ
2 -Platte ist die mechanische Dicke so gewählt, dass für eine spezielle Wellenlänge
schiebung ∆ϕ von π eingeführt wird.
Bei einer
λ0
eine Phasenver-
32
POLARISATIONSOPTIK
65
Wirkung: Polarisationsrichtung des auslaufenden E-Feldes ist um den Winkel
Feldes gedreht.
θ
2θ
gegenüber der des einlaufenden
ist der Winkel zwischen einfallenden elektrischen E-Feld und optischer Achse.
∆s λ
, ∆ϕ π
2
EK
Vorzeichenänderung von
Spiegelung der linear polarisierten an optischen Achse
32.3
λ
2
Ek 0
EK λ
2
~
~ 0 Ek Ñ
E
E
0
EK
-Plättchen
∆s π
λ
, ∆ϕ 4
2
EK λ
4
~ 0 Ek Ñ
~
E
E
0
Beispiel: Licht, dass unter dem Winkel
linear polarisiertes Licht
θ
iEK
Ek 0
45 zur optischen Achse polarisiert ist
Ñ zirkularpolarisiertes Licht
32.4 Doppelbrechung
In optisch anisotropen Medien ist (im Modell des schwingenden Oszillators) die Rückstellkraft, mit der ein
schwingendes Elektron an seine Ruhelage gebunden ist, von der Richtung der Schwingung im Kristall abhängig. Dies bedeutet, dass die Eigenfrequenz für die verschiedenen Polarisationsrichtungen der einfallenden Welle
verschieden ist. Dies hat zur Folge, dass der Brechungsindex
der Richtung des
E -Vektors
und des
k -Vektors,
n
nicht nur von der Frequenz
ω
sondern auch von
das heiÿt von der Ausbreitungsrichtung der Welle abhängt.
Die optische Anisotropie hängt von der Kristallstruktur ab. Man sieht, dass es eine Vorzugsrichtung gibt (optische Achse), dass die Atomanordnung jedoch nicht rotationssymmetrisch um diese Achse ist.
Die Schwingungsrichtung der Oszillatoren im anisotropen Kristall ist nicht unbedingt parallel zum elektrischen
Vektor der einfallenden Welle. Mathematisch lässt sich dies dadurch beschreiben, dass die relative Dielektrizitätskonstante
kein Skalar mehr ist, sondern ein Tensor:
~
D
Ñ
~
0 Ð
E,
P~
Ñ
~
0 Ð
χE
Hauptachsenform des Dielektrizitätstensors:
0 i Ei ,
Di
x
Ð
Ñ
0
0
1. Optisch isotrope Medien
x
y z
(Flüssigkeiten, Gläser)
2. Optisch einachsige Kristalle
n1
n n2 beschreibt
n3
x
Ð
Ñ
0
0
0
y
0
?
x
0
Ñ
0 ñ Ð
n 0
z
0
Ellipsoid:
n21
n2x
n22
n2y
n23
n2z
1
?0y
0
0
0 ?
z
0
y
0
0
0
z
(4.2)
32
POLARISATIONSOPTIK
66
Dieses Ellipsoid heiÿt Indexellipsoid. Die Länge der Hauptachsen des Ellipsoids geben die Hauptwerten
ni
des Brechungsindex an.
Der Indexellipsoid eines optisch einachsigen Kristalls ist rotationssymmetrisch um die
z -Hauptachse
als
Symmetrieachse.
¡ n1 n2 : optisch positive einachsige Kristalle
n3 n1 n2 : optisch negative einachsige Kristalle
• n3
•
Elektromagnetische Welle bewegt sich in der Richtung ihres Wellenvektors
Fläche, in der der Vektor
D
liegt, ist senkrecht zu
D
einer Ellipse. Der Abstand des Nullpunktes zu
Definition 32.2 (optische Achse)
k
k
durch den Kristall. Die
und schneidet das Ellipsoid durch den Nullpunkt in
ist der Brechungsindex
n.
Es gibt eine ausgezeichente Richtung von
k,
bei der die
Schnittäche ein Kreis ist. Diese Richtung heiÿt optische Achse des Kristalls. Für diese Richtung von
k
hängt der Brechungsindex nicht von der Orientierung von
Man wählt nun die
x z -Ebene
z -Richtung
D
ab.
als Richtung der optischen Achse. Zeichnet man nun einen Schnitt in der
durch dieses Index-Ellipsoid, so entsteht für eine Polarisationskomponente (E in der x-z-
Ebene) eine Ellipse, für die dazu orthogonale Komponente ein Kreis.
Der zum Kreis gehörige Brechungsindex
k
n0
hängt nicht vom Winkel
θ
zwischen Ausbreitungsrichtung von
und optischer Achse ab. Er verhält sich wie bei einem isotropen Medium und heiÿt daher ordentlicher
Brechungsindex
no ,
während der auÿerordentliche Brechungsindex
1
na pθq2
cos pθq
2
K
x
sin2 pθq
,
k
no
na
vom Winkel
θ
abhängt.
?K
y K , z k K
Man kann hier gemäÿ der Kristallsymmerie eine optische Achse (hier z-Richtung) einführen.
(Quarz, Eis, Calcit)
3. Optisch zweiachsige Kristalle
x
y z x
zwei optische Achsen
Lichtausbreitung in doppelbrechenden Medien
Ansatz ebener Wellen:
µ 1,
~
E
E~ 0 exppi~k~x iωtq
pρ 0q Medium:
nichtleitendes, ladungsfreies
~ K~k, B
~ K~k, B
~ KE,
~ B
~ KS,
~ B
~ KD
~
D
k, E, D, S
liegen in einer Ebene.
Die Richtung des Wellenvektors
k
ist nicht mehr identisch mit der des Energieusses
S .Die
Energie
(und damit auch die Lichtstrahlen im Sinne der geometrischen Optik) läuft in Richtung von
S.
In anisotropen Kristallen sind im Allgemeinen Ausbreitungsrichtung der Lichtwelle und Energieussrichtung voneinander verschieden.
33
INDUZIERTE DOPPELBRECHUNG
67
Doppelbrechung
Lässt man in einem Kalkspatkristall ein paralleles, unpolarisiertes Lichtbündel eintreten, so spaltet es (auch bei senkrechtem Einfall) in zwei Teilbündel auf. Ein Bündel folgt dem Snelliusschen
Brechungssgesetz. Es wird deshalb ordentlicher Strahl genannt. Das andere Teilbündel hat einen
Brechwinkel ungleich 0(auÿerordentliche Strahl). Misst man den Polarisationszustand der beiden
Teilwellen, so stellt man fest, dass beide orthogonal zueinander polairisert sind.
Man kann die Brechung mithilfe des Huygensschen Prinzips verstehen. Die Ausbreitungsrichtung ist
die Normale zur Einhüllenden der Wellenfronten der Elementarwellen. Für den Anteil der Welle,
der senkrecht zur optischen Achse polarisiert ist(ordentlicher Strahl) hängt der Brechungsindex
no
nicht von der Richtung ab. Die Phasenfronten der Elementarwellen in der Einfallsebene sind daher
Kreise. Für den parallel zur Einfallsebene polarisierten Anteil können wir den
E -Vektor aufspalten
in eine Komponente parallel und eine senkrecht zur optischen Achse. Beide Komponenten haben
unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten. Die Wellenfronten für die auÿerordentliche Welle sind
deshalb Ellipsen. Die Ausbreitungsrichtung der auÿerordentlichen Welle ist die Richtung des
Poynting-Vektors
S , der senkrecht auf E
steht. Der Wellenvektor
der Einhüllenden der Phasenfronten und senkrecht zu
D.
k
steht senkrecht senkrecht auf
Wellenvektor und Energiestrom sind
nicht mehr parallel.
Die dadurch bedingte Auspaltung zwischen ordentlichem und auÿerordentlichem Strahl (Doppelbrechung) hängt also von der Lage der optischen Achse relativ zur Einfallsrichtung ab. Fällt die
optische Achse mit der Ausbreitungsrichtung zusammen, so ndet keine Doppelbrechung statt.
Ist die Ausbreitungsrichtung senkrecht zur optischen Achse, so laufen beide Strahlen auch ohne
Aufspaltung durch den Kristall, aber die Phasengeschwindigkeiten sind unterschiedlich.
33 Induzierte Doppelbrechung
Auch in homogenen isotropen Medien lässt sich durch äuÿere Kräfte eine optische Doppelbrechung erzeugen.
Dies führt zu orts- und richtungsabhängigen Brechungsindexänderungen
∆n.
33.1 Kerr-Eekt
Wir betrachten ein optisch isotropes Medium, in der Moleküle mit länglicher Form, das heiÿt anisotroper molekularer Polarisatierbarkeit
Ð
Ñ
α vorliegen. Ohne äuÿeres Feld sind die Moleküle nicht ausgerichtet, d.h. es gibt
keine makroskopische Vorzugsrichtung und das Medium ist optisch isotrop.
elektrisched Feld
Drehmoment
~K
E
Dipolmoment
~ µ
~K
M
~ E
im einzelnen Molekül
Ñ
~K
µ
~ 0 Ð
αE
zunehmend parallel zum el. Feld Ausrichtung der Moleküle
γ:
Winkel zwischen
~K
E
und Dipolmoment
ñ |M | 0 αEk2 sin γ
Doppelbrechung des Mediums
optische Achse: parallel zu
K:
~k
E
∆n nk nK
na no KλEk2
Kerr-Konstante (temperatur- und wellenlängenabhängig)
Man kann das modulierende Feld
~k
E
auch durch Licht erzeugen. Mit kurzen Lichtimpulsen hoher Intensität
34
OPTISCHE AKTIVITÄT UND FARADAY-EFFEKT
kann man die geeignet hohen Werte von
~k
E
68
zur Verfügung stellen und so einen schnellen, lichtgesteuerten,
optischen Schalter bauen. In diesem Falle spricht man dann von einem optischen Kerr-Eekt.
Cotton-Mouton-Eekt
In Analogie zum Kerr-Eekt, bei dem eine quadratische Abhängigkeit des Brechungsindexunterschiedes von der anliegenden elektrischen Feldkstärke auftritt, gibt es auch beim Anlegen eines
transversalen, magnetischen Feldes eine induzierte Doppelbrechung. Auch bei diesem CottonMouton-Eekt tritt eine quadratische Abhängigkeit der Brechungsindexänderung von der anliegenden Magnetfeldstärke auf.
33.2 Spannungsdoppelbrechung
Liegen die Moleküle als durchsichtige Festkörper vor, so kann eine mechanische Krafteinwirkung auf den Festkörper zu einer Ausrichtung der Moleküle oder zu einer Verzerrung der Elektronenhülle führen und somit
Doppelbrechung induzieren.
Auf diese Weise lassen sich die Ansatzpunkte von Kräften und der Verlauf von mechanischen Spannungen in
einem Körper experimentell bestimmen.
34 Optische Aktivität und Faraday-Eekt
Mit der optischen Aktivität existiert nun ein Eekt, der darauf beruht, dass die Brechungsindizes für links- und
rechtspolarisiertes Licht unterschiedlich groÿ sind (zirkulare Doppelbrechung).
Manche Stoe drehen auch bei beliebiger Richtung der Polarsiationsebene des einfallenden linear polarisierten
Lichtes diese Ebene beim Durchgang durch die Schichtdickte
d
um einen Winkel
α αs d
αs :
spezisches optisches Drehvermögen
Man unterscheidet zwischen rechtsdrehenden (α
(4.3)
¡ 0) und linksdrehenden pα 0) Substanzen, wobei der Dreh-
sinn für einen Beobachter deniert ist, der gegen die Lichtrichtung schaut.
Ursache
Der physikalische Grund für diese Drehung sind speziele Symmetrieeigenschaften des Mediums.
Man nimmt an, dass die äuÿeren Elektronen dieser speziellen Moleküle bzw. Kristalle durch zirkular polarisiertes Licht zu elliptischen Sprialbewegungen um die Ausbreitungsrichtung angeregt
werden.
Wir können eine in
x-Richtung
linear polarisierte Welle
E0x eipωtkzq
E
0
0
immer zusammensetzen aus zwei entgegengesetzt zirkular polarisierten Wellen
~
E
E
1 0x ipωtkzq
iE0y e
r,
2
0
E
E
1 0x ipωtkzq
iE0y e
2
0
35
NICHTLINEARE OPTIK
69
Haben beide Komponenten im Medium unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten
c
v
n , so ist die zusammengesetzte Welle nach der Strecke
ihre Polarisationsebene hat sich um einen Winkel
α
gedreht.
Die unterscheidlichen Brechungsindizes
π
dpn n
λ0
n , n
d
nc
v
bzw.
wieder linear polarisiert, aber
q
werden durch die unterschiedlichen Wechselwirkun-
gen der links-bzw. rechts zirkular polarisierten Welle mit den sich in einem Vorugsdrehsinn bewegenden Elektronen verursacht.
Sind in einer Flüssigkeit gleich viele links- wie rechtsdrehende Moleküle vorhanden, so heben sich
ihre Eekte auf und die optische Aktivität wird null.
Faraday-Eekt
In Substanzen, die von Natur aus keine optische Aktivität aufweisen, kann die optische Aktivität
durch Anlegen eines Magnetfeldes parallel zur Strahlausreitungsrichtung induziert werden. Bei
α der Polarisationsebene proportional zur
diesem Eekt, dem Faraday-Eekt, ist der Drehwinkel
magnetischen Feldstärke
d:
v:
B:
α vBd
Schichtdicke
Verdet-Konstante
Es entspricht eine positive Verdetsche Konstante einem (diamagnetischen) Sto, für den der Faradayeekt linksdrehend ist, wenn sich das Licht parallel zum angelegten
rechtsdrehend, wenn es sich antiparallel zu
B
B -Feld
bewegt, und
ausbreitet.
Man beachte, dass keine derartige Umkehrung der Drehrichtungbei natürlicher optischer Aktivität
auftritt.
35 Nichtlineare Optik
Bisher:
P~
Bei sehr groÿen Werten von
E
~
0 χE,
χ ppω q 1q
müssen wir aberdavon ausgehen, dass die Polarisation nicht beliebig weiter
anwachsen kann. So können z.B. bei der Orientierung von molekularen Dipolen höchstens alle Dipole längs der
Feldlinien ausgerichtet sein, ein weiterer Anstieg dieser Orientierungspolarisation ist dann nicht mehr möglich.
Dieser Sättigungsvorgang zeigt uns, dass die Suszeptibilität selbst wiederum eine Funktion der Feldstärke sein
muss.
Feldabhängigkeit der Polarisation:
Im allgemeinen sind dabei die höheren Terme
P
0 pχ1 E
χ2 EE
χ3 EEE
. . .q Plin
PNL
(4.4)
χ2 , χ3 , . . . so klein, dass ihr Beitrag erst bei sehr hohen Feldstärken
wichtig wird.
Bei einer korrekten Behandlung des Vektorcharakters
Ordnung
E
pi
1q
P~
und
~
E
müssen die Suszeptivilitäten
χi
als Tensoren der
geschrieben werden. Hier nicht weiter ausführen.
21 E0 exppiωtq
c.c. ñ P
0 χ1 E0 cospωtq
1
0 χ2 E02 p1
2
cosp2ωtqq
1
0 χ3 E03 p3 cospωtq
4
cosp3ωtqq
...
Die Nichtlinearität kann dazu führen, dass die Polarisation mit verschiedenen Frequenzen schwingen kann:
χ2
verursacht einen zeitlich konstanten Anteil der Polarisation. Dies entspricht einer optischen Gleichrichtung des
Feldes. Auÿerdem bewirkt
χ2
einen Term, der mit der doppelten Frequenz
2ω
schwing.
χ3
ergibt unter anderem
eine mit der dreifachen Frequenz schwingende Polarisation. Die expolizite Behandlung der Abstrahlung von Licht
aus einem nichtlienarem Medium erfordert den Einsatz der Maxwell-Gleichungen. Dazu setzt man
in die Maxwellsche Wellengleichung
~ 0 B2 E
∆E
Bt2
0 ein:
Nichtlineare Wellengleichung:
B2 E~ pχ
1
Bz2
1q0 µ0
B2 E~ µ B2 P~N L
B t2 0 B t2
~
D
P~
~
0 E
(4.5)
35
NICHTLINEARE OPTIK
70
35.1 Phänomene, die mit der nichtlinearen Suszeptibilität zweiter Ordnung verknüpft sind
optische Frequenzverdopplung
P
0
1
χ2 E02
2
χ1 E0 cos ωt
1
χ2 E02 cos 2ωt
2
Die Polarisation enthält also einen konstanten Term, einen von
Term, der den Schwingungsanteil auf der doppelten Frequenz
Dies bedeutet: jedes von der einfallenden Welle mit der Frequenz
Mediums strahl eine Streuwelle auf der Frequenz
mit der Frequenz
2ω .
A2ω
ω
2ω
ω
abhängigen Term und einen
beschreibt.
ω getroene Atom bzw. Molekül des
ab (Rayleigh-Streuung) und eine Oberwelle
A20 ñ I p2ωq I 2 pωq
Damit sich die von den einzelnen Atomen ausgesandten ANteile zu einer Welle mit genügend groÿer Amplitude
überlagern, müssen die jeweiligen Phasen der einzelnen Anteil an jedem Ort gleich sein. Dies verlangt eine
Phasenanpassung der Oberwellen an die sie erzeugende einfallende Welle.
Phasenanpassung
Will man nun intensives Licht bei der Frequenz
2ω
erzeugen, so muss man im Medium erreichen,
dass die Lichterzeugung mit Phasenanpassung läuft, d.h. dass gilt
npω q np2ω q.
Dies lässt sich
aufgrund der normalen Dispersion in transparenten Medien jedoch nicht direkt erzielen. Man
benutzt deshalb doppelbrechende Medien und wählt die Polarsation der Grundwelle auÿerordentlich, die der zweiten Harmonischen ordentlich oder umgekehrt. Durch drehen des Kristalls
(Einstellen der optischen Achse relativ zum Wellenvektor des Lichtes) lässt sich nun die Phasenanpassungsbedingung realisieren.
optische Frequenzmischung
Werden zwei Lichtwellen
E1
E01 cospω1 t k1 rq,
E2
E02 cospω2 t k2 rq
im optisch nichtlienaren Medium überlagert, so bewirkt die Gesamtfeldstärke eine Polarisation,
deren nichtlienarer Anteil
P2 pω q
die folgenden Frequenzanteile enthält:
2
P2 pω q 0 χ2 E01
cos2 pω2 tq
21 0 χ2
2
E01
2
E02
2
E01
cos 2ω1 t
Auÿer dem Oberwellen mit
ω1
ω2
ω
2
E02
cos2 pω2 tq
2
E02
cos 2ω2 t
2E01 E02 cos ω1 t cos ω2 t
2E01 E02 pcospω1
ω2 qt
cospω1 ω2 qtq
2ω1 bzw. 2ω2 entstehen auch Wellen mit der Summenfrequenz
ω1 ω2 .
und der Dierenzfrequenz
Wählt man die Phasenanpassung richtig, so kann man erreichen, dass sich für einen dieser Anteile
alle Beiträge von den einzelnen Dipolen phasenrichtig überlagern und es daher zu einer makroskopischen Welle auf der entsrechenden Frequenz kommt (optische Frequenzmischung).
35.2 Phänomene, die mit der nichtlienaren Suszeptibilität dritter Ordnung verknüpft sind
1
E E0 exppiωt ikz q c.c.
2
2~
ñ B BPtN2 L 81 0 χ3 ω2 E03 p9 exppi3ωt i3kzq 3 exppiωt kzq c.c.q
Brechungsindex
n
des Mediums wird gemäÿ dieser Gleichung intensitätsabhängig. Für kleine Brechungsindex-
änderungen kann man vereinfacht schreiben:
n n0
n2 I
71
Selbstfokussierung
Wir betrachten zunächst ein begrenztes Lichtbündel, wie es z.B. aus einem Laser emittiert wird. Das
Bündel breite sich in
z -Richtung
aus und ist in der
xy -Ebene
beschränkt. Häug, z.B. in einem
Laser, beobachtet man im Bündel ein gauÿförmiges Intensitätsprol. Im Zentrum ndet man
eine hohe Intensität
I0 , die dann zu den Flanken hin abnimmt. Läuft dieses Lichtbündel in einem
Medium, so wird der zentrale Teil aufgrund der Nichtlinearität einen gröÿeren Brechungsindex
erfahren als die Flanken. Dadurch werden die Phasenächen gekrümmt, und das Lichtbündel
wird fokussiert. Liegt der Fokus dabei noch im Medium, so werden die Lichtintensitäten bei der
Fokussierung oft so hoch, dass weitere, höhere Nichtlinearitäten bis zur Zerstörung des Mediums
auftreten können.
Selbstphasenmodulation
E pt, z q E0 ptq cospΦpt, z qq
z
z
2πn2 I ptq
Φpt, z q ω0 t kz ω0 t 2πn0
λ0
λ0
ω ptq BΦpt, zq ω 2πn z BI ptq
0
2
Bt
λ0 B t
Beispiel: Lichtimpuls mit gauÿförmigen Intensitätsverlauf
Führt zu Frequenzverlauf, bei dem am Anfang des Lichtimpulses die Frequenz abfällt. Im Bereich
des Maximums nimmt dann die Frequenz zu und fällt am Ende des Lichtimpulses wieder auf den
wert
ω0
ab.
Über die Selbstphasenmodulation wird also das Spektrum des Lichtimpulses verbreitert.
Teil V
Quantenphänomene: Wellen und Teilchen
36 Einführung und Überblick
Definition 36.1 (Quantenphänomene) In Experimenten, bei denen
10 m) wichtig sind, beobachtet man
on (Gröÿenordnung der Atomradieun, 10
die makroskopische Dimensieinige vollkommen neuartige
Eigenschaften physikalischer Systeme. Man nennt sie Quantenphänomene.
Tatsächlich treten diese Quantenphänomene nicht nur in mikroskopischen Systemen mit Dimensionen im atomaren und subatomaren Bereich auf, aber sie sind in diesem besonders eindeutig zu studieren und zu diskutieren.
Eigenschaften mikroskopischer Systeme:
1. Wellen zeigen Teilcheneigenschaften:
Elektromagnetische Strahlung mit einer Wellenlänge
λ, die im Bereich atomarer Dimension oder darunter
Eγ hν , dem Impuls
liegt, verhält sich wie ein System von Teilchen mit der Ruhemasse Null, der Energie
Eγ
h
c und dem Drehimpuls 2π . Wir nennen diese Teilchen Photonen. Elektromagnetische Strahlung
wird nur in Quanten der Energie Eγ
hν emittiert und absorbiert.
pγ
2. Teilchen zeigen Wellencharakter:
Teilchen mit endlicher, das heiÿt nicht verschiendender Ruhemasser zeigen bei der Wechselwirkunt mit
Systemen von atomren Dimensionen Eigenschaften, die wir aus der Physik der Wellen kennen. Als Konsequenz dieses Wellencharakters ergeben sich typische Interferenzphänomene.
de Broglie: Wellencharakter der Teilchen kann formal durch die gleichen Beziehungen zwischen Gesamtenergie
E,
Frequenz
ν,
Impulsvektore
E
p~
und Wellenvektore
hν mc2 ,
~k
beschrieben werden wie beim Licht:
m0
m b
1
v2
c2
37
WELLE-TEILCHEN-DUALISMUS
72
p~ ~~k,
λ:
~ k 2π
,
λ
~
h
2π
de-Broglie-Wellenlänge
Die räumliche Lokalisierung der Teilchen wird durch räumlich lokalisierte Wellenpakete beschrieben, wie
sie in der Optik diskutiert wurden. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Teilchens entspricht dann der
Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes.
3. Unschärferelation:
Aus der Diskussion der Eigenschaften von Wellenpaketen wissen wir, dass die Ortskoordinate
k -Vektor kx
eines Wellenpaktes nur mit einer Unschärfe
∆x
und
∆kx
x
und der
angegeben werden können. Da wir
die Teilchen mit endlicher Ruhemasse im mikroskopischen Bereich durch Wellenpakete beschreien, ergeben
sich in analoger Weise Unschärferelationen für alle kanonisch konjugierte Variablen eines Teilchens: (OrtImpuls), (Energie-Zeit), (Drehimpuls-Winkel).
4. Bewegungsgleichungen:
Die Eigenschaften mikroskopischer Systeme erhält man durch die Lösung von Bewegungsgleichungen. Je
nachdem, welche Systeme man analysieren will, und welche Geschwindigkeiten bzw. Energien involviert
sind, unterscheidet man zwischen Schrödiner-Gleichung, Dirac-Gleichung oder Klein-Gordon-Gleichung.
Schrödinger-Gleichung: nicht-relativistische Beschreibung mikroskopischer Systeme; zeitabhängige Dierentialgleichung im Ort- und Impulsraum; Eigenschaften durch Potentiale festgelegt
diskrete Energieniveaus für gebundene Zustände (Quantisierung der Energie-Eigenwerte)
37 Welle-Teilchen-Dualismus
Teilchen: Photoeekt
Beugung: Lichtwelle
•
KLassische Welleneigenschaften:
•
Amplitude; Intensität
Amplitude2
Energieuss, aber kein Materialuss
Wellenlänge
λ
und Frequenz
ν
Interferenzfähigkeit (destruktiv/konstruktiv)
Beugung
Unschärfebeziehung
Klassische Teilcheneigenschaften:
Genau denierter Ort und Impuls
Ort und Impuls genau messbar
Teilchen sind unterscheidbar
Teilchen interferieren nicht, keine Auslöschung identischer Teilchen
Messung der Teilcheneigenschaften beeinusst diese nicht
Dualismus:
•
Lichtausbreitung nach Wellenbild
•
Nachweis von Licht:
Man kann nicht direkt die Feldstärke der Lichtwelle detektieren, sonder nur die energetische Wirkung des
Lichtes, d.h. die Energie der absorbierten Photonen. Die Zahl der gemessenen Photonen hängt von der
Feldstärke/Intensität an der Beobachtungsäche ab. Die Feldstärke bestimmt über die Lichtintensität die
Wahrscheinlichkeit für das Aunden eines Photons.
38
PHOTONEN
73
Beispiel: Doppelspalt
•
Licht
ein geöneter Spalt: Bild eines Spaltes mit breiten Beugungsbild
unabhängig ob nur Spalt 1 oder nur Spalt 2 geönet ist
beide Spalte geönet: Interferenz
•
Klassische Teilchen
ein geöneter Spalt: evtl gestreut/abgelenkt am Rand
breite glatte Verteilung hinter dem Spalt
unabhängig ob nur Spalt 1 oder nur Spalt 2 oen
gleichzeitiges Önen: erhöht Zahl der nachgewiesenen Teilchen, führt nicht zu modulierten Interferenzbild
keine Interferenz, keine destruktive Interferenz!
•
Photonen:
wenige Photonen: Photonen scheinen gleichmäÿig verteilt über die gesamte Beobachtungsebene
viele Photonen: erwartete Interferenzgur verschlieÿen eines Spaltes: gleichmäÿige Verteilung der nachgewiesenen Photonen
Auch für eine groÿe Anzahl von Photonen tritt kein Interferenzbild auf. Es reicht sogar schon aus, dass
man misst, welchen Weg ein Photon genommen hat, um das Interferenzbild zu zerstören. Interferenzen
treten nur auf, wenn sich die ungestörten Wahrscheinlichkeitsaplituden, die von beiden Spalten herrühren,
überlagern können.
38 Photonen
38.1 Die Energie von Photonen: Der Photoeekt
Zur Deutung der spektralen Verteilung eines thermischen Strahlers postulierte Max Planck, dass ein System von
Oszillatoren seine Energie nur quantisiert, das heiÿt in fest vorgegebenen Einheiten abstrahlen kann. In diesem
Abschnitt beschreiben wir Experimente, die uns zeigen, dass auch die Absorption einer elektromagnetischen
Welle der Frequenz
ν
durch Materie nur in Quanten der Gröÿe
Eγ
~ω
hν hc
λ
erfolgt. Wenn die Energie dieser Quanten genügend hoch ist, werden dabei Elektronen freigesetzt. Das Phänomen
wird als lichtelektrischer Eekt oder Photoeekt bezeichnet.
Photozelle:
Sättingungsstrom: Alle Photoelektronen werden zur Anode abgesaugt; unabhängig von Wellenlänge
Der Strom beginnt bereits bei einer negativen Gegenspannung
U0 ,
die abhängig von der Wellenlänge aber
unabhänigig von der Intensität ist. Die Photoelektronen müssen also eine kinetische Energie
Ekin
¤ eU0
haben.
•
Die kinetische Energie der Photoelektronen ist nur von der Frequenz
ν
des Lichtes, nicht von seiner
Intensität abhängig
•
Die Zahl der Photoelektronen ist proportional zur Lichtintensität
•
Zwischen Lichteinfall und Elektronenaustritt gibt es keine messbare Verzögerung
38
PHOTONEN
74
Einsteins Theorie
Jedes absorbierte Photon gibt seine Energie
hν
vollständig an ein Photoelektron ab. Für die maxi-
male kinetischen Energie der Photoelektronen folgt dann aus dem Energiesatz:
max
Ekin
Wobei
Wa
h ν Wa
die Austrittsarbeit des Kathodenmaterials ist. Dies ist diejenige Energie, die man
aufwenden muss, um das Elektron gegen die Kräfte, die es im Metall binden, aus dem Metall ins
Vakuum zu bringen.
Da die maximale kinetische Energie
max
Ekin
eU0 , pU0 0q aus der gemessenen Gleichspannung U0 , bei der
der Photostrom einsetzt, bestimmt werden kann, kann man auch schreiben:
eU0 hν Wa
Widerspruch zur klassischen Elektrodynamik
klassische Elektrodynamik:
~
E
übt Kraft auf ELektronen im Metall aus
I
E~ 2 ñ F I
Man würde daher erwarten, dass die Schwelle von der Intensität der Lichtquelle abhängig ist.
Also: Energieübertragung von einem Photon auf das zunächst gebundene Elektron quantisiert mit Einheit
hν .
Wann immer dieser Energiebetrag gröÿer ist als die Austrittsarbeit, können Photoelektronen freigesetzt werden;
die überschüssige Energie erscheint als kinetische Energie der Photoelektronen. Erhöht man bei vorgegebener
Frequenz des Lichts die Intensität der Lichtquelle, so werden mehr Photoelektronen freigesetzt, die Verteilung
ihrer kinetischen Energien ändert sich jedoch nicht.
Der Photoeekt tritt auch bei Atomen und Molekülen auf. In diesem Fall ist die Austrittsarbeit gleich der
Bindungsenergie des Elektrons in dem Atom oder Molekül. Wenn die Energie der einfallenden Photonen gröÿer
ist als diese Bindungsenergie, dann wird das Elektron freigesetzt, und das Atom wird ionisiert.
Beispiel 38.1 (Glühemission)
Wenn man ein Metall genügend hoch heizt, treten ebenfalls Elektronen
aus. In diesem Fall wird die Austritsarbeit durch die thermische Energie
kT
der Elektronen aufgebracht.
38.2 Anwendungen des Photoeekts
1. Nachweis von Photonen
Photozellen: Lichtschranzen
Photomultiplier: Photoelektronen aus der Kathode emittiert, beschleunigt, lösen Sekundärelektronen aus
und werden auf diese Weise vervielfacht
2. Absorption elektromagnetischer Strahlung durch Materie
Wenn
N0
Photonen auf ein absorbierendes Medium der Dicke
d
fallen, werden
N pdq N0 exppµdq
N pdq
Photonen absorbiert:
Energie der Photonen bleibt gleich
Sprünge in Absorptionsspektrum: Trägt man die Wellenlänge
λ
gegen Absorptionskoezienten auf, so
erhält man Kanten. Diese Kanten tauchen dann auf, wenn die Energie reicht, um Elektronen aus der
nächsten Schale auszulösen. Dann steigt die Absorption auf einmal an.
38.3 Der Impuls der Photonen: Der Compton-Eekt
(Relativistischer Energiesatz)
E2
m0 c2 : Ruheenergie
E : Gesamtenergie
p~: Impuls des Teilchens
m: relativistische Masse
p2 c2 pm0 c2 q2 ,
E
mc2
(5.1)
38
PHOTONEN
75
vPhoton
c ñ m0 0 ñ pPhoton pγ Ecγ ñ m hν
c2
Compton-Eekt
Darunter verstehen wir die Streuung eines Photons der Energie
Eγ
und des Impulses
p~γ
an einem
Elektron.
Bestrahlt man beliebiges Material mit Röntgenstrahlung der Wellenlänge
Streustrahlung auÿer der erwwarteten Wellenlänge
λS
λ0
λ0 ,
so ndet man in der
auch Anteile mit gröÿerer Wellenlänge
¡ λ0 . Die Wellenlängenverteilung dieser langwelligen Streustrahlung hängt stark vom Streu-
winkel ab, weniger vom Streumaterial.
Dieses Problem wird wie ein Stoÿprozess in der Mechanik analysiert. Die Energie des Photons soll
dabei im Bereich von Gamma-STrahlung liegen. Damit ist die Wellenlänge der Strahlung deutlich
kleiner als atomare Dimensionen und wir können von der Streuung an einem einzelnen Elektron
sprechen.
Ist die Bindungsenergie des Elektrons sehr klein gegen die Photonenenergie
pEB !
hν q,
so können wir sie
vernachlässigen und das Elektron als frei ansehen. Wir nehmen zur Vereinfachung der folgenden Rechnung
ferner an, dass es sich vor dem Stoÿ in Ruhe bendet.
Compton-Streuung
Energieverschiebung des gestreuten Quants
Ansatz: Energie und Impuserhaltung (relativisitisch)
p~1e
Eγ
p~γ p~1γ
a
pp~1e q2 c2 pm0 c2 q2
m0 c2 Eγ1
führt nach Rechnung zu
λ1 λ h
p1 cos ϕq ñ λ1
m0 c
λ
h
p1 cos ϕq
0c
lom
omo
on
(5.2)
: λc
Compton-Wellenlänge des Elektrons:
•
λc :
h
m0 c
(5.3)
Vorwätsstreuung
ϕ 0 ñ λ λ1
Die Energie des Gamma-Quants bleibt unverändert
Definition 38.1 (Rayleigh-Streuung)
Wenn die Bindugnsenergie der Elektro-
nen im Atom gröÿer ist als der Energieübertrag durch den Compton-Stoÿ, dann hat das
Streulicht die gleiche Wellenlänge wie die einfallende Strahlung. Der Prozess wird als
Rayleigh-Streuung bezeichnet.
•
Rückstreuung
ϕπ
Energieverlust des Photons maximal
ñ λ1 λ 2λc max
38
PHOTONEN
76
Compton-Prole
Wir haben angenommen, dass das Elektron vor dem Compton-Stoÿ in Ruhe ist. Nur in diesem Fall
ist die Energie des gestreuten Quants bei vorgegebener Energie des einfallenden Quants eine
wohldenierte Funktion des Streuwinkels. I.A. ist diese Annahme nicht richtig.
Compton-Prole: Intensität in Abhängigkeit von der Energie
Man kann aus der experimentellen Untersuchung derartiger Compton-Prole Informationen über
das Spektrum der kinetischen Energien der Elektronen in Atomen und festen Körpern erhalten.
38.4 Erzeugung von Bremsstrahlung und charaktersitischer Röntgenstrahlung
Wenn ein elektrisch geladenes Teilchen beschleunigt oder abgebremst wird, strahlt es elekromagnetische Energie
ab, d.h. es emittiert Photonen.
Nehmen wir an, Elektronen werden auf eine kinetische Energie
Metallanode auf die Energie
1
Ekin
Ekin
eU
beschleunigt und dann in einer
abgebremst. Dabei wird ein Bremsstrahlquant der Energie
hν
1
Ekin Ekin
emittiert.
Wenn die Metallanode entsprechend dick ist, werden die Elektronen in einer Vielzahl von Stöÿen vollständig
abgebremst (kann auch betrachtet werden als Abbremsung im Coulomb-Feld). Das resultierende Bremsspektrum
ist kontinuierlich, mit einer oberen Frequenzgrenze
hνmax
Ekin eU
Formal können wir den Bremsstrahlungsprozess als Umkehrprozess des Photoeekts betrachten:
Bremsstrahlung: Elektron
Ñ Elektron + Photon
Ñ Elektron
Photoeekt: Elektron + Photon
Charakterisitische Röntgenstrahlung
Elektronen hebt Hüllenelektronen des Atoms ins Kontinuum
Loch in der Elektronenhülle wird durch Übergänge innerhalb der Atomhülle wieder aufgefüllt
Die Energie die dabei frei wird wird in Form eines Photons abegeben (die Energie ist charakteristisch)
38.5 Paarerzeugung
Unter Paarbildung versteht man die Bildung eines Teilchen-Antiteilchen-Paares aus einem energiereichen Photon. Die Energie des Photons muss dabei mindestens der Summe der Ruheenergien der zu erzeugenden Teilchen
entsprechen.
hν
T:
pm0 c2
TElektron q
pm0 c2
TPositron
kinetische Energien der Teilchen
Energieerhaltung:
Eγ
Eγ
¥ 2m0 c2
m0 c2 ñ TElektron TPositron 0 ñ pElektron pPositron 0, Eγ 0 ñ pγ 0
Widerspruch zur Impulserhaltung
Also ist ein weiterer Partner zur Reaktion nötig.
Jeder der beiden Teilchen mit gleicher Masse hat die gleiche kinetische Energie, wie direkt aus der Impulserhal-
39
EMISSION VON LICHT
77
tung folgt.
38.6 Drehimpuls der Photonen
Photonen haben den Eigendrehimpuls (Spin)
1~, für rechts- bzw. links-zirkular polarisiertes Licht.
Hinweise auf Drehimpuls der Photonen: Alle basieren auf der Drehimpulserhaltung bei der Emission und Absorption von Photonen.
Beispiel: Möglichkeit, freie Elektronen mittels des Photoeekt an Atomen oder Festkörpern zu erzeugen. Benutzt
man links-bzw. recht-zirkular polarisiertes Licht, so sind die Elektronen entsprechend polarisiert.
39 Emission von Licht
39.1 Temperaturstrahler und Strahlungsgesetze
Definition 39.1 (Schwarzer Körper)
Wenn sich ein beliebiger Körper im thermischen Gleichge-
wicht mit seiner Umgebung bendet, dann wird er pro Zeiteinheit genau so viel Energie abgeben wie er absorbiert. Daraus folgt, dass ein guter Absorber auch ein guter Emitter ist. Ein pefekter Absorber, der unabhängig
von der Wellenlänge alle einfallende Strahlungsenergie absorbiert, heiÿt ein schwarzer Körper.
Er lässt weder Strahlung hindruch (Transmission) noch spiegelt oder streut er sie zurück (Reexion).
Definition 39.2 (Schwarzer Strahler)
Hohlraum mit absorbierenden Wänden, der eine Önung
hat, die sehr klein gegen die gesamte Innenäche des Hohlraums ist. Strahlung, die durch die Önng eintritt,
erleidet viele Reexionen an den absorbierenden Innenwänden, bevor sie die Önung wieder erreichen kann,
so dass sie praktisch aus dem Hohlraum nicht mehr herauskommt. Das Absorptionsvermögen der Önung ist
daher
A 1.
Wenn man die Wände auf eine Temperatur
T
aufheiÿt, so wirkt die Önung als eine Strahlgungsquelle, deren
Emissionsvermögen von allen Körpern mit gleicher Temperatur den maximalen Wert hat, weil ein Schwarzer
Körper mit
A1
das gröÿtmögliche Emissionsvermögen hat.
Wir ermitteln die im Innern des Hohlraums herrschende spektrale Energiedichte
durch eine Messung der aus dem Loch austretenden Strahldichte
Lpν, T qdν .
upν, T qdν
im Frequenzbereich pν, ν
Strahlungsenergie
Volumen des Hohlraums
T pν, T qdν
im Frequenzbereich pν, ν
Strahlungsleistung
Raumwinkel Fläche des Strahlers
Lpν, T qdν
upν, T qdν c A ∆Ω
4π
A: strahlende Fläche des Lochs
∆Ω: Raumwinkel, den das Detektorsystem
abdeckt
Verwende:
Lpν, T q upν, T qdν
dν q
dν q
c
upν, T q
4π
des Strahlungsfeldes
39
EMISSION VON LICHT
Wellenlängenabhängigkeit von
78
Lpλ, T q:
kontinulierliche mit deutlich ausgeprägten Maximum; Form des Spek-
trums hängt bei einem schwarzem Körper nur von der Temperatur des Strahles und nicht von dessen Geometrie
ab.
Strahlungsgesetze:
1. Stefan-Blotzmann-Gesetz
M
M:
σ T4
die gesamte, über alle Frequenzen integrierte Strahlungsleistung, die ein schwarzer Strahler im Halb-
raum abgibt
σ:
Stefan-Boltzmann-Konstante
2. Wiensches Verschiebungsgsetz
λmax T9
λmax : Wellenlänge,
T : Temperatur des
0.29cm K
der mit maximaler Intensität emittierten STrahlung
schwarzen Strahlers
3. Rayleigh-Jeans-Gesetz
upν, T q dν
8πν
c3
2
kT dν
Herleitung aus klassischer Elektrodynamik
Diese Beziehung beschreibt die experimentellen Daten für kleiner Werte der Frequenz
ν
gut.
Bei Gültigkeit der Rayleigh-Jeans-Formel käme es zur Ultraviolett-Katastrophe, das heiÿt die spektrale
Energiedichte und die integrierte Strahlungsdichte würden für
4. Wiensches Strahlungsgesetz
upν, T q dν
8πhν 3
exp
c3
ν
Ñ 8 unendlich groÿ werden.
hν
kT
dν
Gute Näherung für hohe Frequenzen; versagt bei kleinen Frequenzen
39.2 Die Plancksche Strahlungsformel
Max Plank hat folgende Annahmen gemacht:
1. Die Atome in den Wänden des Hohlraums verhalten sich wie Oszillatoren einer vorgegeben Frequenz
ν.
Dabei herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen Strahlung und Hohlraum
2. Die Oszillatoren können nur diskrete Energiewerte
En
nhν,
nP
N
annehmen.
3. Solange der Oszillator keine Energie aufnimmt oder abstrahlt bleit er in seinem quantisierten Zustand,
der durch die Quantenzahl
n
charakterisiert ist
4. Die Zahl der möglichen Oszillatorzustände des elektromagnetischen Feldes im Hohlraum mit Frequenzen
zwischen
ν
und
dν
ist proportional zu
ν 2 dν
Betrachte System mit zwei Niveaus (Energie
•
1
und
2 ),
Absorpiton
hν
•
Emission
•
induzierte Emission
mit folgenden Typen von Strahlungsübergängen:
2 1
2 1
hν
hν
2 1
hν
40
ELEKTRONEN UND POSITRONEN
79
Lpν, T q Plancksches Strahlungsgesetz:
c2
2hν 3
hν
exp kT
1
(5.4)
Aus der Richtigkeit (bestätigt durch viele Experimente) dieser Formel folgt, dass das Strahlungsfeld quantisiert
ist: Die Energiedichte ist keine kontinuierliche Funktion der Temperatur, sondern es gibt Energiequanten
hν .
40 Elektronen und Positronen
40.1 Fundamentale Eigenschaften
2
1
Elementare Teilchen: Quarks (el. Ladung e, 5; Farbladung) und Leptonen (Elektron, Myon, Tauon,...)
3
3
Quantisierung der Ladung: Alle in der Natur auftretenden Ladungen sind ganzzahlige Vielfache der Elementarladung
e.
Erzeugung freier Elektronen:
•
Glühemission (s. Bsp 38.1)
•
Photoeekt
• β -Zerfall
radioaktiver Atomkerne
Spezische Ladung
Eine elektrisch beheizte Glühkathode emittiert Elektronen, die mit der Spannung
UB
beschleunigt
werden und anschlieÿend ein homogenes Magnetfeld in Kreisbahn mit Krümmungseradius
ρ
durchlaufen.
m0 v 2
ρ
evB ñ p m0 v eρB
2
p
eUB 2m
Ek
ñ
e
m0
0
2 UB
ρ2 B 2
Spin-Quantisierung
Bei der Absorption von Licht durch freie Atome wird beobachtet, dass jedes absorbierte Photon den
h
2π ändert. Man kann daher aus der Erhaltung des
Drehimpulses des Systems Photon/Atom schlieÿen, dass das Photon einen Drehimpuls ~ haben
Drehimpuls des Atoms um den Betrag
muss, unabhängig von seiner Energie
~
hν .
k
Die Richtung wird durch den Wellenvektore
festgelegt; für den Drehimpuls
man auch Photonenspin nennt gilt
sP h
sP h
eines Photons, den
~ |kk|
(5.5)
Die Richtung ist abhängig ob das Licht linkgs-zirkular-polarisiert ist oder rechts-zirkular. Bei linear polarisierten sind die Hälfte der Photonen mit positiven Spin, die andere Hälfte mit negativen
vorhandne, so dass der gesamte Drehimpuls einer linear polarisierten Welle Null ist.
Es gibt keine ruhenden Photonen, so dass Masse des Photons nicht der Ruhemasse eines klassischen Teilchens
entspricht.
41
MATERIEWELLEN
80
41 Materiewellen
Problem: Der Ort
x eines freien Teilchens, das sich mit dem (wohl denierten) Impuls px
in
x-Richtung bewegt,
ist in der klassischen Mechanik genau deniert. Andererseits ist eine ebene Welle, die sich mit dem einem wohl
denierten Wellenvektore
kx
in
x-Richtung ausbreitet, räumlich unendlich ausgedeht und daher nicht lokalisiert.
Es müssen also einerseits die Teilchen im Wellenbild beschrieben werden, andererseits das Lokalisierungsproblem
gelöst werden.
Wir beschreiben daher die räumliche und zeitliche Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen anzunden, durch ein Wellenpaket und fordern, dass das Wellenpaket sich genau so schnell fortbewegt wie das Teilchen selbst. Somit müssen
auch für Teilchen mit endlicher Ruhemasse Frequenzen
weren.
ω,
Wellenvektoren
~k
und Wellenlängen
λ
eingeführt
E
h
,λ ~ω, p~ ~~k, ~k 2π
λ
|p~|
Experimente, aus denen der Wellencharakter von Teilchen mit endlicher Ruhemasse hervorgeht:
Beispiel 41.1 (Fraunhoferbeugung von Elektronen an Kristallgitter)
s. 25.6, Bragg-
Reexion
gleiches Ergebnis
Beispiel 41.2 (Fresnelsche Elektronenbeugung an makroskopischer Kante)
vgl. 22.2.1
gleiches Ergebnis
Im Schattenbereich entsteht noch Intensität die erst langsam abfällt; Interferenzerscheinungen durch Beugung
Wann immer Teilchen auf mehreren Wegen von der Quelle zum Empfänger gelangen können, die wir experimentell nicht unterscheiden können, muss man die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die verschiedenen Wege
addieren, und dann die resultierende Summe quadrieren, um die Intensität am Empfänger zu ermitteln. Dadurch
entstehen Interferenzterme, die das Intensitätsmuster am Ort des Empfängers beeinussen. Diese Aussage ist
auch noch richtig, wenn die Zahl der Teilchen, die sich gleichzeitig in der Apparatur benden, beliebig klein ist;
man muss nur entsprechend lang warten, bis sich ein statistisch signikantes Intensitätsmuster am Empfänger
aufgebaut hat.
Wellenpakete
Betrachte nun Teilchen mit Teilchengeschwidigkeit, das durch ein Wellenpaket beschrieben werden
kann, dass sich mit Gruppengeschwindigkeit bewegt.
vTeilchen
vGruppe dω
dk
Phasengeschwindigkeit der Welle/des Wellenpaktes:
vPhase
massenlose Teilchen (Photonen, Neutrinos):
ωk
vPhase
vTeilchen c
Materiewellen zeigen Dispersion, das heiÿt Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit sind
voneinander verschieden.
Wellenfunktion
Photonen im Vakuum: betrachte Poynting-Vektor; Wahrscinelichkeit
kunde nachzuweisen ist proportional zu
~ 2;
E
~
E
Photonen pro
m2
und Se-
einzelne Photonen reichen aus um Interferenzen zu
erzeugen
Materiewellen: Vektorfeld
N
wird durch Wellenfunktion
ψ p~r, tq ersetzt; für ein Teilchen mit endlicher
|ψ|2 die Wahrscheinlichkeit ein Teil-
Ruhemasse, das durch ein Wellenpaket beschrieben wird, ist
chen anzutreen; Interpretation nur sinnvoll für Photonen, wenn wir viele Teilchen untersuchen
42
UNSCHÄRFERELATION
81
42 Unschärferelation
Die Relation entsteht durch das Postulat, Teilchen mit endlicher Ruhemasse durch Wellenpakete zu charakterisieren. Sie betreen jeweils Paare kanonisch konjugierter Variablen
p
und
q
und besagen, dass man nicht
gleichzeitig beide Gröÿen beliebig genau messen kann.
∆p ∆q
Unschärferelation:
¥h
(5.6)
Sie hat nichts mit den Unzulänglichkeiten der Messapparatur zu tun, sondern ist die Folge prinzipieller physikalischmathematischer Gesetzmäÿigkeiten.
Unschärfe im Ort und Impuls
∆x ∆px
analog für
¥h
y, z
Beispiel 42.1
Ebene Welle mit
0
∆px Ñ 0 ñ ∆x Ñ 8
∆px
Das Teilchen ist nicht lokalisierbar
Beispiel 42.2 (Wellenpakete)
Um die Wellenfunktion eines im Ortsraum lokalisierten
Teilchens zu beschreiben, benutzen wir die Überlagerung ebener Wellen mit gauÿverteilten
Vektoren mit einer Unschärfe
∆k
um einen Mittelwert
ψ pxq Nullstellenabstand
∆x:
∆x ∆k
k-
k0 .
sinpx∆k q
x
2π ñ ∆px ∆x h
Unschärfe in Energie und Zeit
Wir können Wellenpakete aufbauen, die eine maximale Amplitude zu einer Zeit
∆t
aufweisen. An Stelle der Relation
2π tritt ∆t∆ω 2π auf.
∆E ∆t h
t mit einer Unschärfe
∆x∆k
Dies bedeutet, dass man die Energie eines Systems nur mit einer Unschärfe
und dazu mindestens eine Messzeit
∆t
∆E
ermitteln kann,
aufwenden muss.
Beispiel 42.3 (Wechselwirkungszeiten von Neutronen im Magnetfeld)
~
Strahl langsamer Neutronen im homogenen Magnetfeld B
Wechselwkrung ihrer magneti~
~q
schen Momente µ
~ mit dem Feld B
Energie E pµ
~ B
Wenn wir diese Energie messen, dann gelingt dies nur mit einer gewissen Unschärfe, die umgekehrt
proportional zur Durchugszeit
∆t
der Neutronen durch das Magnetfeld ist.
Beispiel 42.4 (Beugung eines Elektronenbündels am Spalt)
tensitätsverteilung
Erklärung: Teilchen werden durch Anordnung in der Koordinate
∆φ Mit pz müssen
∆py
pz mit
z
y
Elektronen durch Spalt
a lokalisiert
Flugrichtung
wir daher eine Strahlverbreiterung mit einem Önugnswinkel
∆φ ¥
∆py
¥ ha
λ
a erwarten
In-
43
TUNNELPHÄNOMENE
82
43 Tunnelphänomene
Sie treten immer dann auf, wenn Teilchen gegen einer Potentialbarriere anlaufen, die sie nach den Regeln der
klassischen Physik nicht überwinden können, weil ihre kinetische Energie dazu nicht ausreicht. Im Falle mikroskopischer Systeme, kann das Teilchen jedoch mit einer gewissen, im allgemeinen kleinen Wahrscheinlichkeit
durch die Barriere hindurchtunneln. Dieses Phänomen ist analog zur Totalreexion in der Optik, bei der die
Ampltiude der elektromagnetischen Welle beim Übergang in das Medium mit dem kleiner Brechungsindex auch
nicht abrupt, sonder exponentiell gegen Null geht.
Beispiel 43.1 (Rastertunnelmikroskop)
vgl. Semester 2, Kap 16
Zwischen Spitze (Kathode) und Oberäche (Anode) wird eine kleine elektrische Spannung angelegt. Wird die
Spitze nahe genug an die Oberäche herangeführt, so können die Elektronen auf Grund des Tunneleektes den
kleinen Zwischenraum zwischen den Leitern überwinden. Der Tunnelstrom hüängt exponentiell vom Abstand
zwischen Spitze und Oberäche ab und damit von der Struktur der Oberäche.
Beispiel 43.2 (α-Zerfall)
Innerhalb des Atoms ist das positive
210
84 Po
α-Teilchen
/ 206
82 Pb
α
den anziehenden Kernkräften ausgesetzt. Diese sind immer
r r0 das
α-Teilchen im Potentialtopf eingeschlossen. Es wird vom Kern angezogen, die Coulomb-Kräfte sind sehr klein
anziehend und sehr groÿ. Anziehende Kräfte werden als negative Energien notiert. Daher ist für
gegenüber den anziehenden Kernpotential und deshalb vernachlässigbar. Im Potentialtopf entsteht so eine
stehende Welle. Allerdings existiert die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen durch den Wall durchtunnelt.
Ist es einmal auÿerhalb von Kern, dann sind quasi keine anziehenden Kernpotentialkräfte vorhanden, da diese
sehr kurzreichweitig sind und es wirkt quasi nur noch die Coulombkraft. Das Teilchen wird abgestoÿen.
83
Teil VI
Literaturverzeichnis
•
Wolfgang Zinth, Hans-Joachim Körner. Physik III. Optik, Quantenphänomene und Aufbau der Atome.
Oldenbourg, München, 3. überarbeitete Auage, 1998.
•
Stephen G. Lipson, Henry S. Lipson, David S. Tannhauser. Optik. Springer, Berlin, Auage 1997, 1997.
•
Eugene Hecht. Optik. McGraw-Hill Book Company GmbH, Hamburg, Auage 1987, 1987.
•
Wolfgang Demtröder. Experimentalphysik 2. Elektrizität und Optik. Springer, Berlin, 4. überarbeitete und
erweiterte Auage, 2006.
•
Wolfgang Demtröder. Expermientalphysik 3. Atome, Moleküle und Festkörper. Springer, Berlin, 3. überarbeitete Auage, 2005.