einf uhrung in die plasmaphysik

EINFU HRUNG
IN DIE PLASMAPHYSIK
Alexander Piel
Institut fur Experimentalphysik
Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel
Vorlesungsskript
1993-98
Fassung vom 31. Marz 1999
Vorwort
1
Dieses Skript ist aus einer einsemestrigen, dreistundigen Vorlesung hervorgegangen,
die der Autor in den Jahren 1993{1998 an der Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel gehalten hat. In seinem ursprunglichen Konzept ist es als Begleiter zur Vorlesung angelegt.
Einiges erganzendes Material ist hinzugekommen, das die innere Logik und Lesbarkeit des
Textes verbessern soll. Zwangslau
g wachst damit der Umfang uber den Rahmen einer
dreistundigen Vorlesung. Abschnitte, die der Vertiefung dienen, sind daher im Inhaltsverzeichnis mit einem Stern gekennzeichnet und konnen in einem zweiten Teil der Vorlesung
behandelt werden oder zum Selbststudium dienen. Kapitel 7 wird aus Zeitgrunden im
zweiten Teil der Vorlesung behandelt.
Der Aufbau dieser Einfuhrung weicht von herkommlichen Lehrbuchern der Plasmaphysik ab, die sich allein mit den 'reinen' Plasmaeekten in vollstandig ionisierten Gasen
beschaftigen. Stattdessen wird den Grundbegrien der Gaselektronik und einigen Aspekten von Gasentladungen Raum gewidmet, um den praktischen Fragen des Experimentalphysikers zur Erzeugung von Plasmen sowie der Bedeutung des Plasmas fur industrielle
Anwendungen gerecht zu werden. Nichtsdestoweniger werden Aspekte der naturlichen
Plasmen und der kontrollierten Kernfusion gleichberechtigt entwickelt.
Nach einer U bersicht uber die vielfaltigen Erscheinungsformen von Plasmen werden
Grundbegrie der Gasentladungsphysik behandelt. Reine Plasmaeekte werden im Anschlu zunachst im Einzelteilchenbild diskutiert und dann im Fluidbild vertieft. Dabei
stehen die Driftbewegungen und der magnetische Einschlu im Vordergrund des Interesses. Plasmawellen werden vorwiegend im Hinblick auf die Plasmadiagnostik diskutiert.
Die Strahl-Plasma Instabilitat dient als Paradigma fur Nichtgleichgewichtssituationen. Einerseits hilft sie, die Rolle resonanter Teilchen fur die Landaudampfung zu verdeutlichen.
Andererseits kann sie gut mit numerischen Methoden in das nichtlineare Regime verfolgt
werden. In der kinetischen Theorie beschrankt sich die Darstellung des Vlasovmodells auf
den Fall der elektrostatischen Elektronenwellen, an dem die Naherung des warmen Plasmas und die Landaudampfung entwickelt werden. Komplementar zu den analytischen
Methoden wird ein kurzer Abri der Teilchensimulation gegeben, um die moderne Seite
der Behandlung kinetischer Probleme aufzuzeigen. Das letzte Kapitel ist den Randschichtproblemen von Plasmen gewidmet. Die Theorie der Langmuirsonde und ihre diagnostische
Anwendung steht dabei im Vordergrund. Nichtlineare Plasmaphanomene konnen in einer
einfuhrenden Vorlesung nur gestreift werden.
Die Aufgaben am Ende jedes Kapitels dienen als Diskussionsgrundlage in einer einstundi
gen Ubung
zur Vorlesung. Sie haben teils illustrativen, teils vertiefenden Charakter. Eine
Skizze des Losungsweges ist im Anhang zu nden. Die Formelsammlung im Anhang ist
eine Adaption des 'NRL-Plasma Formulary' an das SI-Einheiten System.
Ich danke den Horern meiner Vorlesung, die mich auf Fehler im Manuskript aufmerksam gemacht haben, und meinen Assistenten F. Greiner, K. Hansen, T. Klinger und H.
2
Klostermann fur die kritische Durchsicht dieses Manuskripts und fur viele Verbesserungsvorschlage. H. Thomsen hat sich um die Verschonerung einer Reihe von Skizzen verdient
gemacht.
Kiel, im Februar 1998
A. Piel
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Die Bedeutung der Plasmaphysik : :
1.1.1 Naturliche Plasmen : : : : : :
1.1.2 Technische Plasmen : : : : : :
1.1.3 Kontrollierte Kernfusion : : :
1.2 De
nition eines Plasmas : : : : : : :
1.2.1 Debyeabschirmung : : : : : :
1.2.2 Plasmaparameter : : : : : : :
1.2.3 Existenzbereiche : : : : : : :
1.2.4 Nichtidealitat und Entartung
1.2.5 Saha-Gleichung : : : : : : : :
1.3 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : :
2 Gasentladungen
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2.1 Entladungsformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.1 Die Glimmentladung : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.2 Thermionische Entladungen : : : : : : : : : : : :
2.1.3 Hochfrequenzentladungen (*) : : : : : : : : : : :
2.2 Stoprozesse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.1 Driftbewegung und Beweglichkeit : : : : : : : : :
2.2.2 Wirkungsquerschnitt und mittlere freie Weglange
2.2.3 Die Geschwindigkeitsverteilung : : : : : : : : : :
2.2.4 Ambipolare Diusion : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.5 Leitfahigkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.6 Elektronenaufheizung : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.7 Inelastische Prozesse : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.8 Coulombstoe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.3 Mechanismen der DC-Glimmentladung : : : : : : : : : :
2.3.1 Elektronenaustritt aus Metallen : : : : : : : : : :
2.3.2 Kathodenfall : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.3.3 Negatives Glimmlicht : : : : : : : : : : : : : : : :
3
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INHALTSVERZEICHNIS
4
2.3.4 Positive Saule : : : : : : : : : : : :
2.3.5 Die Anodenschicht : : : : : : : : :
2.4 Mechanismen der HF-Glimmentladung (*)
2.5 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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3 Das Einzelteilchenmodell
3.1 Einfuhrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.1.1 Das Fuhrungszentrum : : : : : : : : : : : : : :
3.1.2 E B Drift : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.1.3 Gravitationsdrift : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.1.4 Inhomogene Magnetfelder : : : : : : : : : : : :
3.1.5 Polarisationsdrift : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2 Adiabatische Invarianten : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.1 Magnetisches Moment : : : : : : : : : : : : : :
3.2.2 Der Spiegeleekt : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.3 Longitudinale Invariante und Fluinvariante (*)
3.3 Magnetischer Einschlu : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.3.1 Das Tokamakprinzip : : : : : : : : : : : : : : :
3.3.2 Diusion als random walk Proze : : : : : : : :
3.3.3 Stellaratoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.3.4 Minimum-B Kon
gurationen : : : : : : : : : : :
3.4 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4 Fluidmodelle des Plasmas
4.1 Das Zweiussigkeitenmodell : : : : :
4.1.1 Die Impulstransportgleichung
4.2 Magnetohydrostatik : : : : : : : : : :
4.2.1 Isobare Flachen : : : : : : : :
4.2.2 Diamagnetische Drift : : : : :
4.3 Magnetohydrodynamik (MHD) : : :
4.3.1 Ohmsches Gesetz : : : : : : :
4.3.2 Eingefrorene Feldlinien : : : :
4.3.3 Alfvenwellen : : : : : : : : : :
4.3.4 Der Pincheekt : : : : : : : :
4.3.5 MHD-Generatoren (*) : : : :
4.3.6 MHD-Stabilitat : : : : : : :
4.3.7 Die Vollstandigkeit der MHD
4.4 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : :
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INHALTSVERZEICHNIS
5 Wellen und Instabilitaten in Plasmen
5.1 Grundbegrie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.1.1 Normalmodenanalyse : : : : : : : : : : : : :
5.1.2 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit : : : :
5.1.3 Dispersionsrelation : : : : : : : : : : : : : :
5.2 Elektronenwellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.2.1 Elektromagnetische Wellen : : : : : : : : : :
5.2.2 Interferometrie mit Mikrowellen und Lasern
5.2.3 Plasmaschwingungen : : : : : : : : : : : : :
5.2.4 Strahl-Plasma-Instabilitat : : : : : : : : : :
5.3 Ionenakustische Wellen : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4 Magnetisierte Plasmen : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4.1 Zyklotronresonanzen : : : : : : : : : : : : :
5.4.2 Hybridresonanzen : : : : : : : : : : : : : : :
5.5 Nichtlineare Welleneekte (*) : : : : : : : : : : : :
5.5.1 Die ponderomotive Kraft : : : : : : : : : : :
5.5.2 Parametrischer Wellenzerfall : : : : : : : : :
5.6 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5
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6.1 Das Vlasovmodell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.1.1 Die Verteilungsfunktion : : : : : : : : : : : : : :
6.1.2 Die Vlasovgleichung : : : : : : : : : : : : : : : :
6.1.3 Dispersion von elektrostatischen Elektronenwellen
6.1.4 Landaudampfung : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.2 Teilchensimulation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.2.1 Eindimensionale Probleme : : : : : : : : : : : : :
6.2.2 Diskretisierung der Grundgleichungen : : : : : : :
6.2.3 Losung der Feldgleichungen auf dem Gitter : : : :
6.2.4 Der harmonische Oszillator (*) : : : : : : : : : :
6.2.5 Die Strahl-Plasma-Instabilitat : : : : : : : : : : :
6.2.6 Sattigung der Instabilitat durch trapping (*) : : :
6.3 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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6 Kinetische E
ekte in Plasmen
7 Randschichte
ekte in Plasmen
7.1 Das Plasma vor einer leitenden Wand : : : : : : : : :
7.1.1 Bohm-Kriterium : : : : : : : : : : : : : : : :
7.1.2 Child-Langmuir Gesetz : : : : : : : : : : : : :
7.2 Die Langmuirsonde : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
7.2.1 Elektronensattigungsbereich der ebenen Sonde
7.2.2 Ionensattigungsstrom : : : : : : : : : : : : : :
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INHALTSVERZEICHNIS
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7.2.3 Elektronenanlaufbereich : : : : : : : : : : : : :
7.2.4 Das Floatingpotential : : : : : : : : : : : : : : :
7.2.5 Zylinder und Kugelsonden : : : : : : : : : : : :
7.2.6 Praktische Betrachtungen : : : : : : : : : : : :
7.2.7 Messung der Verteilungsfunktion : : : : : : : :
7.2.8 Verfahren zur Messung der Verteilungsfunktion
7.2.9 Sondenmessungen in HF-Plasmen : : : : : : : :
7.3 Raumladungsdoppelschichten (*) : : : : : : : : : : : :
7.3.1 Langmuirs starke Doppelschicht : : : : : : : : :
7.3.2 Schwache Doppelschichten : : : : : : : : : : : :
7.4 Aufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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199
200
201
202
202
204
207
209
209
211
213
A Losungshinweise zu den Aufgaben
B Formelsammlung
215
223
C Liste der verwendeten Symbole
227
B.1 Konstanten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 223
B.2 Formeln : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 223
Kapitel 1
Einleitung
Das Wort Plasma (griech.: Das Formbare) bezeichnet in der Physik ein vollstandig oder
teilweise ionisiertes Gas aus Elektronen und Ionen. Der Begri Plasma wurde 1929 von
Tonks und Langmuir eingefuhrt 1], um den ladungsneutralen Bereich einer Gasentladung
zu bezeichnen, der zu hochfrequenten Schwingungen fahig ist (Langmuirschwingungen).
Frank-Kamenezki 2] bezeichnet das Plasma als Vierten Aggregatzustand der Materie. Diese Sichtweise schliet sich einerseits an die griechischen Philosophen an, die die Elemente
Erde (fest), Wasser (ussig), Luft (gasformig) und Feuer kannten. Faraday postlierte bereits 1809, da der vierte Aggregatszustand "strahlend\ sei, wobei er diesen mit den
elektrischen Vorgangen in Gasen und den damit verbundenen Leuchterscheinungen identi
zierte. Andererseits ist die Bezeichnung als neuer Aggregatszustand auch aus moderner
Sicht durchaus treend, weil bei hohen Temperaturen die Atome in Ionen und Elektronen
zerfallen und damit die Separation der Materie in ihre Bestandteile durch einen charakteristisch neuen Proze fortgesetzt wird. Daruberhinaus besitzt das Plasma als nunmehr
elektrisch leitfahiges Medium eine Reihe von Eigenschaften, die es von Gasen, Flussigkeiten und festen Korpern signi
kant unterscheidet. Man denke hier z.B. an die verastelte
Form einer Blitzentladung oder an das in ein Magnetfeld eingeschlossene Plasma einer
Sonnenprotuberanz. Der grote Teil der Materie im Weltall { Sterne und protostellare
Wolken { ist im Plasmazustand. Es sind die kalten Bedingungen auf unserem Planeten,
die uns die klassischen Aggregatszustande als die "naturlichen\ erscheinen lat.
Unser technisches Zeitalter ist ohne Plasmen nicht denkbar. Lichtbogenschalter werden in der Verteilung elektrischer Energie eingesetzt. Hochdrucklampen beleuchten die
Straen, Leuchtstoampen unsere Wohnungen. Die Chips in Ihrem Computer wurden
mit Plasmaverfahren geatzt, groachige Bildschirme benutzen Plasmadisplays. Gaslaser, in denen das Plasmamedium Atome oder Molekule anregt, werden in der Forschung,
Industrie, Medizin und Umweltanalytik eingesetzt. Neue Werkstoe werden mit Plasmabrennern erzeugt oder in groachigen Glimmentladungen aufgebracht. Zur Losung der
Energieprobleme kunftiger Generationen ist die Aufrechterhaltung einer kontrollierten
Kernfusion nunmehr in greifbare Nahe geruckt.
7
8
KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.1 Die Bedeutung der Plasmaphysik
Das naturwissenschaftliche Interesse an elektrischen Entladungen lat sich bis in die Barockzeit zuruckverfolgen 3]. Dabei bezeichnet der Name elektrische Entladung die Entladung eines Kondensators durch einen Gasraum. William Gilbert beschreibt die Reibungselektrizitat (1600), Otto von Guericke er
ndet die Vakuumpumpe (1635), experimentiert mit der Schwefelkugel (1663) und entdeckt die Spitzenwirkung. 1746 er
ndet
von Musschenbroek die Leydener Flasche. Lichtenberg (1742-1799) erzeugt mittels des
Elektrophors die nach ihm benannten Entladungs
guren. Als zu Beginn des 19. Jahrhunderts hinreichend leistungsfahige elektrische Batterien verfugbar wurden, entdeckten
Petrov (1803) und einige Jahre spater Davy den elektrischen Lichtbogen, der beim Onen
des Kontaktes zwischen zwei Kohlestiften entsteht, die von einer stromstarken Batterie gespeist werden. Unter dem Einu der Auftriebskrafte nimmt diese Entladung die typische
Bogenform an, von der sie ihren Namen erhalten hat. Zwischen 1831 und 1835 entdeckt
und untersucht Faraday die Glimmentladung in verdunnten Gasen. Plucker (1858), Hittorf (1876) und Crookes (1879) experimentieren mit solchen Entladungen bei geringem
Gasdruck, woraus die Entdeckung der Kathodenstrahlen und letztlich der Rontgenstrahlen hervorgegangen sind. Tesla (1891) untersuchte bereits durch Hochfrequenz erzeugt
Entladungen.
Die Plasmaphysik grundet sich auf die Arbeiten von Langmuir, Tonks und Mott-Smith
4] zu gasgefullten Dioden, sowie von Schottky 5], Seeliger 6], von Engel und Steenbeck
7] u.v.a. an Gasentladungen mit kalten und geheizten Kathoden. Der zweite Vorlaufer
der heutigen Plasmaphysik ndet sich in der "Radiophysik\, d.h. der Ausbreitung der
elektromagnetischen Wellen in der Ionosphare. Zu ihren Pionieren gehoren Appleton 8, 9],
Chapman 10], Ratclie 11], Budden 12], Rawer 13] u.a.
Seit Mitte der funfziger Jahre unseres Jahrhunderts haben sich die Gasentladungsphysik und die "reine\ Plasmaphysik auseinanderentwickelt. Dies ist einerseits dadurch
begrundet, da viele Aspekte der Gasentladungen nunmehr in die Domane der Ingenieurwissenschaften gehoren, wie z.B. die Schalter- und Beleuchtungstechnik. Andererseits ist
seit 1956 das Erreichen einer kontrollierten Kernfusion zu einem zentralen Thema der
Plasmaphysik geworden. Damit ruckten die Fragestellungen der Physik heier Plasmen
starker in das Interesse der Plasmaphysiker. Erst Mitte der achtziger Jahre wurde wieder
eine starkere Annaherung zwischen den Gebieten der kalten und heien Plasmen feststellbar, als eine Reihe von grundlegenden Fragen aus dem Bereich der Plasmatechnologie,
speziell bei den mittels Hochfrequenz erzeugten Plasmen und den Lichtbogen bedeutsam
wurden.
Die Verfugbarkeit intensiver Laserstrahlung (P > 10MW) ermoglichte bereits 1963
die Erzeugung von optischen Entladungen bei Atmospharendruck im Fokus einer Linse. Ebenso entwickelte sich rasch das Gebiet der durch Laser an Festkorperoberachen
erzeugten Plasmen.
Bereits seit den fruhen sechziger Jahren hat sich die Computersimulation von Plasmen
1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK
9
mit Teilchen- und Fluidcodes zu einer eigenstandigen Disziplin entwickelt. Moderne Codes
sind ebenfalls in der Lage, neben der Bewegung der geladenen Plasmateilchen in den
elektromagnetischen Feldern auch atomare und chemische Prozesse einzuschlieen. Solche
Codes sind fur die Plasmatechnologie von groer praktischer Bedeutung.
10
KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.1.1 Naturliche Plasmen
Blitz und Funken
Die Entladung eines elektrisch geladenen Korpers kann bei sehr hohen Spannungen in
Form eines elektrischen Durchschlages in Luft erfolgen. Beispiele hierfur sind elektrische
Funken und Blitze, die beide mit eindrucksvollen Leuchterscheinungen und Gerauschen
verbunden sind. Die elektrische Ladung der Gewitterwolke wurde 1752 von Benjamin
Franklin mit seinem Drachenversuch nachgewiesen. Die Einzelheiten des elektrischen Durchschlags in Luft sind sehr komplex, werden heute aber in vielen Details verstanden 14, 15,
16]. Die zeitliche und raumliche Entwicklung eines Durchschlages zeigt Abb. 1.1. Eine
Abbildung 1.1: Durchschlag in Luft. (A) Ein externes Photon erzeugt an der Kathode
eine Ladungstragerlawine, die sich zur Anode ausbreitet. (B) Photonen aus der Lawine
erzeugen neue Ladungstrager im Gas, die als 'Streamer' im raumladungsverzerrten Feld
loslaufen.
typische Blitzentladung fuhrt einen Impulsstrom von 104 ; 105 A, die Temperatur im
Blitzkanal erreicht 20.000 K. Die plotzliche Aufheizung des Entladungskanals fuhrt zur
Bildung einer Schockwelle, die als Donner horbar wird. Das zweite ins Auge springende
Merkmal der Blitzentladung ist die gezackte Form und Verastelung des Entladungskanals
(Abb. 1.2(a)). Ebensolche Verastelungen ndet man in den Lichtenberg
guren, die bei
1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK
11
a
b
c
Abbildung 1.2: (a) Blitzentladung, (b) Lichtenberg
gur, erzeugt durch einen hochenergetischen Elektronenstrahl, der von unten in einen Plexiglasblock eintritt. (c) Modellrechnung
zu dendritischem Wachstum.
KAPITEL 1. EINLEITUNG
12
elektrischen Durchschlagen auf Oberachen oder in Isolatoren entstehen (Abb. 1.2(b)).
Ein Verstandnis fur diese Erscheinungen zeichnet sich in jungerer Zeit in der Theorie der
Selbstorganisation ab. Abb. 1.2(c) zeigt eine baumartige Struktur aus einer Simulationsrechnung, in der dendritisches Wachstum nachvollzogen wird.
Nordlichter, Ionosphare, Magnetosphare
Ebenso wie die Blitzentladung hat das Nordlicht 17] von jeher die Menschen beeindruckt
(Abb. 1.3). In polaren Breiten entstehen diese vorhangartigen Leuchterscheinungen (Au-
Abbildung 1.3: Aurora borealis, Zeichnung von Fridtjof Nansen (1910).
rora) durch energiereiche Teilchen, die langs der Feldlinien des Erdmagnetfeldes in die
Hochatmosphare eindringen und Sauerstoatome bzw. Stickstomolekule zum Leuchten
anregen. Da die hochsten Schichten der Erdatmosphare elektrisch leitend sind, wurde
nach Er
ndung des Radios entdeckt. Kurzwellenverbindungen zwischen den Kontinenten entstehen durch Reektion der elektromagnetischen Wellen an der Ionosphare, die in
mehreren Schichten den Hohenbereich von 70 km - 1000 km fullt 20]. Das ionospharische Plasma wird durch Absorption solarer UV-Strahlung erzeugt. Abb. 1.4(a) zeigt den
Dichte- und Temperaturverlauf in der Ionosphare. Energiereiche Teilchenstrahlung ndet
sich in den van Allenschen Strahlungsgurteln 21], in denen geladene Teilchen auf Spiralbahnen im Erdmagnetfeld eingefangen sind. Die auere Plasmaumgebung der Erde bildet
die Magnetosphare (Abb. 1.4(b)). Das Dipolfeld des Erdmagnetismus wird durch das permanente Anstromen durch geladene Teilchen des Sonnenwindes verformt und zu einem
langen, plasmagefullten Magnetospharenschweif auseinander gezogen 19]. Zur Sonne hin
1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK
13
a
b
Abbildung 1.4: (a) Schichtung der Ionosphare, (b) Gestalt der Erdmagnetosphare. Durch
den Teilchenstrom des Sonnenwinds wird das Dipolfeld der Erde zu einem langen Schweif
auf der Nachtseite auseinandergezogen.
14
KAPITEL 1. EINLEITUNG
bildet sich eine Bugstowelle aus. Dynamische Veranderungen der Magnetosphare fuhren
zur Teilchenbeschleunigung, magnetischen Sturmen und intensiver Nordlichtaktivitat.
Sonne, solare Flares
Das Verstandnis fur den inneren Aufbau der Sterne ist parallel zur Entwicklung der Plasmaphysik in den Jahren 1920 - 1950 gewachsen. Unter dem Einu der Eigengravitation
werden im Zentrum der Sterne Dichten und Temperaturen erreicht, die zur Kernverschmelzung fuhren. Der Energietransport zur Oberache erfolgt durch Strahlung und
Konvektion. Das Spektrum der Sternstrahlung gibt Aufschlu uber Oberachentemperatur, chemische Zusammensetzung der Sternatmosphare und den Entwicklungszustand des
Sterns. Naheres ndet sich in astrophysikalischen Lehrbuchern z.B. 22].
Abbildung 1.5: Entwicklung eines solaren Flares nach dem Modell von Sweet und Parker.
(a) Das Dipolfeld eines Fleckenpaares verbindet sich mit dem interplanetaren Magnetfeld,
(b) Rekonnektion antiparalleler Feldlinien setzt die Zugspannung der Magnetfeldlinien
frei, (c,d) das relaxierende Magnetfeld beschleunigt das Plasma.
Bereits Galilei hatte 1616 dunkle Flecken auf der Sonne entdeckt, von denen wir heute wissen, da sie mit den Ein- und Austrittspunkten starker Magnetfelder durch die
Sonnenoberache verbunden sind. Diese Magnetfelder werden durch einen Dynamomechanismus im solaren Plasma erzeugt. Ausbruche solaren Plasmas, das sich gemeinsam
mit den Magnetfeldlinien bewegt, stellen die Protuberanzen dar. Das kalte, dichte Plasma
innerhalb der Protuberanzen steht im Druckgleichgewicht mit dem heien, dunnen Plasma
der Korona. Explosive Freisetzungen intensiver Wellen- und Teilchenstrahlung erfolgt in
1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK
15
den solaren Flares. Abb. 1.5 zeigt die Entwicklung eines Flare-Ereignis nach dem Modell
von Sweet und Parker, sowie der Erweiterung durch Sturrock 23, 24, 25, 26]. Das Dipolfeld eines Paares von Sonnenecken hat sich teilweise mit dem interplanetaren Magnetfeld
verbunden. Die langgestreckten Feldlinien enthalten magnetische Energie, die durch Rekonnektion von Feldlinien freigesetzt werden kann. Plasma wird bei der Relaxation des
Magnetfeldes beschleunigt.
Es sei nicht verschwiegen, da das Sweet-Parker Modell eine viel zu langsame Zeitskala
fur die Entwicklung des Flares vorhersagt. Eine aktuelle Einfuhrung in die Problematik
der solaren Flares ndet sich in 27].
Infobox: Steckbrief unserer Sonne
Masse
Radius
Druck im Zentrum
Temperatur im Zentrum
Temperatur der Photosphare
Temperatur der Sonnenkorona
Plasmadichte der Sonnenkorona
Magnetfeld
(polar)
(Protoberanzen)
(Sonnenecken)
Plasmadichte in Protuberanzen
Temperatur in Protuberanzen
1 9891 1030
6 96 108
1 3 109
15 106
5800
1 ; 2 106
1 7 1014
10;4
10;3 {10;2
0:3
16
10 {1017
5000{10000
kg
m
bar
K
K
K
m;3
T
T
T
m;3
K
16
KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.1.2 Technische Plasmen
Das Plasmamedium und plasmaunterstutzte Verfahren stellen eine Schlusseltechnologie
industrieller Fertigung dar. Insbesondere werden Nichtgleichgewichtsphanomene in Plasmen zum Einsatz gebracht. Von besonderer Bedeutung sind Plasmabedingungen, bei denen die Elektronentemperatur, die fur die Stimulierung chemischer Prozesse wichtig ist,
hoch ist (> 20.000 K) und die Gastemperatur nahe der Raumtemperatur (< 500 K)
bleibt. Hierdurch konnen im Unterschied zu thermischen Prozessen wesentlich geringere
Werkstobelastungen erreicht werden. In jungerer Zeit gewinnen auch Plasmaverfahren
zur Abgasreinigung (De-NOx, De-SOx) von konventionellen Kraftwerken an Bedeutung.
Lichtquellen
Elektrische Entladungen konnen { im Unterschied zur Strahlung des schwarzen Korpers
{ eine sehr wirksame Umwandlung der elektrisch zugefuhrten Leistung in Resonanzstrahlung des Fullgases oder -dampfes bewirken. In der Leuchtstorohre 28] ist es die Resonanzstrahlung des Quecksilberatoms bei 185 nm und 254 nm, die mittels eines Leuchtstoes auf der Rohrinnenseite in sichtbares Licht verwandelt wird (Abb. 1.6).
Abbildung 1.6: Aufbau und Schaltung einer Leuchtstorohre. Das Arbeitsgas ist Argon
und Quecksilberdampf. Die ultraviolette Resonanzstrahlung des Quecksilbers wird durch
den Leuchtsto auf der Rohrinnenseite in sichtbares Licht verwandelt. Die Entladung
besitzt zwei Oxidkathoden, die zum Start fremdbeheizt werden. Die Vorschaltdrossel begrenzt den Heizstrom und den Entladungsstrom.
1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK
17
Infobox: Zundung einer Leuchsto
rohre
Der Starter enthalt eine Edelgasentladung, deren Zundspannung unter
der der Leuchtstorohre liegt. Dadurch zundet die Starterentladung zu
erst und heizt den Bimetallschalter, bis dieser schliet. Beim Onen
des
Bimetallschalters erzeugt die Vorschaltdrossel einen Spannungspuls, der
die Leuchtstorohre zundet. Deren Brennspannung ist nunmehr geringer
als die Zundspannung des Starters. Erst wenn durch Verschlei der Oxidkathode die Brennspannung der Leuchtstorohre uber die Zundspannung
des Starters ansteigt, beginnt das periodische Schlieen des Starters, das
das Nutzungsende der Leuchtstoampe signalisiert.
In der Niederdrucknatriumlampe ist es direkt das 589 nm Resonanzdublett, das z.B.
zur Straenbeleuchtung verwendet wird. Letztere hat gegenuber der Leuchtstoampe
einen noch hoheren Wirkungsgrad, da die Umwandlungsezienz des Leuchtstos entfallt.
Hochdrucklichtbogen in Natrium, Quecksilber und Xenon erreichen Lichtausbeuten von
bis zu 100 lm/W gegenuber 10 - 20 lm/W bei Gluhlampen 28]. Diese hohere Ausbeute
ist einerseits auf eine hohere Temperatur (4000 - 5000 K) zuruckzufuhren, die nach dem
Wienschen Gesetz eine Verschiebung des Emissionsmaximums ins sichtbare Spektralgebiet bewirken wurde. Andererseits weicht die Spektralverteilung von der eines schwarzen
Strahlers ab. Das ist zwar vom Wirkungsgrad her gunstig, kann aber vom Farbeindruck
unerwunscht sein. Sie werden daher vorwiegend im Auenbereich eingesetzt. Hochdrucklampen werden im Leistungsbereich 50 - 5.000 W (Xenon bis 50.000 W) eingesetzt.
Gaslaser
In elektrischen Gasentladungen kann durch Elektronensto die fur den Laserproze erforderliche Besetzungsinversion atomarer Niveaus erreicht werden. Beim He-Ne Laser sind
es metastabile Heliumatome, die durch quasiresonanten Energietransfer an das Neon das
Laserniveau bevolkern (Abb. 1.7(a)). Der Excimerlaser erzeugt in einer Gasentladung
bindende Zustande eines angeregten Edelgasatoms (z.B. Xe) mit Halogeniden (z.B. Cl)
(Abb. 1.7(b)).
Die Abregung der elektronischen Anregung des XeCl durch Emission eines Photons
fuhrt zur Dissoziation des Excimermolekuls, da der Grundzustand des Edelgasatoms bekanntlich keine chemische Bindung eingeht. Damit ist die Bedingung fur Besetzungsinversion stets gegeben. Allerdings erfolgt die Laseraktivitat in Pulsen. Weitere Gasentladungslaser fur den Dauerstrichbetrieb (CW) sind z.B. der CO2-Laser, der wegen seiner
hohen Ausgangsleistung zur Materialbearbeitung eingesetzt wird, und der Argon- bzw.
Kryptonionenlaser, der zum Pumpen von Farbstoasern verwendet wird.
KAPITEL 1. EINLEITUNG
18
(a)
(b)
Abbildung 1.7: (a) Der He-Ne Laser basiert auf Anregung der metastabilen Niveaus des
Heliums durch Elektronensto, die eine U berbevolkerung der 3s und 2s Niveaus im Neon
erzeugt. Das Endniveau 1s wird durch Stoe mit der Wand entleert. (b) Beim Excimerlaser
ist der untere Zustand des Laserubergangs dissoziativ, so da eine eziente Entleerung
gesichert ist.
1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK
19
Verfahren der Mikroelektronik
Das nachemische A tzen von Strukturen in der Fertigung von Mikrochips ist weitgehend durch Plasmaverfahren verdrangt worden. Das Nichtgleichgewichtsplasma { z.B.
einer Hochfrequenzentladung { wird einerseits zur Dissoziation des A tzgases (BCl3, CF4)
benutzt. Andererseits entstehen in der Randschicht zwischen Plasma und Wafer hohe
elektrische Gleichfelder, die Ionen auf den Wafer zu beschleunigen. Hierdurch wird eine
stark anisotrope A tzwirkung erreicht, die tiefe Graben mit einem Aspektverhaltnis von
bis zu 20 : 1 erzeugt (Abb. 1.8) 29]. Im Hinblick auf Strukturbreiten von weniger als 1
m ist das beim nachemischen Proze storende Unteratzen der Maske vernachlassigbar.
Details zu A tzentladungen nden sich in Abschnitt 2.1.3. Neben A tzprozessen werden
auch Abscheidung von Silizium und Entfernung der A tzmaske mit Plasmaentladungen
durchgefuhrt.
Abbildung 1.8: (links) Nachemisches A tzen und anisotropes A tzen. Die isotrope A tzwirkung konventioneller Verfahren fuhrt zum Unteratzen der Maske. Beim Plasmaatzen nutzt
man die Beschleunigung der Ionen in der Plasmarandschicht aus, um anisotrope A tzwirkung zu erzielen. (rechts) Durch anisotropes A tzen hergestellte Strukturen in Silizium mit
Abmessungen von weniger als 500 nm und senkrechten Wanden.
Schweien, Schmelzen und Veredeln
Schweien und Schmelzen sind klassische Anwendungen fur elektrische Lichtbogen, bei denen primar die Zufuhr thermischer Energie an den Proze von Interesse ist. In Form von
KAPITEL 1. EINLEITUNG
20
Plasmaspritzeinrichtungen\ konnen Werkstoe im Lichtbogen bei Atmospharendruck er"schmolzen
und als harte, verschleimindernde Oberachen aufgebracht werden. Neben den
thermischen Verfahren werden auch Niederdruckentladungen eingesetzt, um Oberachen
zu harten oder zu veredeln. Insbesondere ist hier das Harten von Schneidachen an Werkzeugen mittels "Nitridieren\ (d.h. dem Einlagern von Stickstoatomen) zu nennen, das
in einer Hochfrequenzentladung in Sticksto vorgenommen wird und das konventionelle
Harten im Olbad
ersetzt.
1.1.3 Kontrollierte Kernfusion
Seit im Jahre 1956 die friedliche Verwendung der Kernenergie durch "Zahmung der Wasserstobombe\ der Menschheit eine reichlich verfugbare Energiequelle schaen sollte, wurden verschiedene Wege zur Erreichung der kontrollierten Kernfusion beschritten. Allen gemeinsam ist das Ziel, Kerne der Wasserstosotope Deuterium und Tritium zu verschmelzen, um damit die freiwerdende Bindungsenergie (17.6 MeV/Reaktion) zum Betrieb eines
Kraftwerks zu nutzen.
Die Kernverschmelzung wird durch die Reaktionsgleichungen in Tabelle 1.1 beschrieben:
D + 2D ! 3T + p + 4,0 MeV
2D +
2D ! 3 He + n +
3,3 MeV
2
3
4
D + T ! He + n + 17,6 MeV
2 D + 3He ! 4 He + p + 18,3 MeV
Tabelle 1.1: Fusionsreaktionen der Wasserstosotope
2
Merkliche Ausbeuten erhalt man nur bei hohen Energien der Stopartner, da die
Coulombsche Abstoung der positiven Kerne uberwunden werden mu (Abb. 1.9). Oensichtlich ist der Wirkungsquerschnitt fur die DT-Reaktion viel groer als der fur die DDReaktion. Daher nden gegenwartig Versuche zur Zundung eines Fusionsreaktors mit DTGemischen statt. Diese Verschmelzung ndet bei Temperaturen von 100 Millionen Grad
statt. Das Plasma verliert allerdings laufend Energie durch Strahlung im Rontgenbereich.
Das ist zum einen die Bremsstrahlung, die durch Zusammenstoe zwischen Elektronen und
Ionen entsteht, ahnlich der kontinuierlichen Bremsstrahlung einer Rontgenrohre. Zum anderen tragen hochgeladene Verunreinigungsatome erheblich zu den Strahlungsverlusten
bei. Aus einer Bilanz der Fusionsleistung und der Strahlungsverluste ergibt sich, da ein
Energieuberschu nur dann zu erwarten ist, wenn das Produkt aus Dichte der Reaktanden und Einschluzeit den Grenzwert ni > 1020m;3 s ubersteigt (Lawson-Kriterium).
Hieraus ergibt sich fur die kontrollierte Kernfusion die Aufgabe, erstens ein derartig heies
Plasmas zu erzeugen und zweitens es hinreichend langen einzuschlieen.
1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK
21
Von den Fusionsprodukten kann das Neutron ungestort von den Magnetfeldern entweichen und auerhalb des Vakuumgefaes zur Warmegewinnung herangezogen werden.
Das bei der DT-Reaktion ebenfalls entstehende -Teilchen ist dagegen elektrisch geladen.
Man erhot sich, da die von den -Teilchen getragene kinetische Energie aus der Fusionsreaktion zur Ruckheizung des Plasmas benutzt werden kann. Letztlich stellt aber das
entstehende Helium die Asche des Fusionsofens dar, die regelmaig entfernt werden mu.
Abbildung 1.9: Wirkungsquerschnitte fur die Kernfusion von Deuterium und Tritium
Tokamaks und Stellaratoren
Ein heies Plasma von 100 Millionen Grad kann nicht durch Kontakt mit materiellen
Wanden eingeschlossen werden. Hingegen konnen starke Magnetfelder die geladenen Teilchen des Plasmas zusammenhalten. Nach anfanglichen Versuchen mit "oenen\ magnetischen Anordnungen (Pinche und Spiegelmaschinen) werden heute toroidale Kon
gurationen benutzt (Abb. 1.10(a)). Die groere Zahl von Fusionsexperimenten benutzt
das Tokamakprinzip 30], bei dem das Plasma als "Sekundarwicklung\ in einem riesigen
Transformator wirkt. Fur den Plasmaeinschlu im Tokamak ist sowohl das von toroidalen
Spulen erzeugte Magnetfeld als auch das Eigenmagnetfeld des induzierten Plasmastroms
bedeutsam.
KAPITEL 1. EINLEITUNG
22
a
b
Abbildung 1.10: (a) Tokamak-Prinzip. Der toroidale Plasmaschlauch stellt die Sekundarwicklung eines groen Transformators dar. Der Plasmastrom erzeugt ein poloidales
Magnetfeld, das zusammen mit dem durch Feldspulen erzeugten toroidalen Magnetfeld
ein verdrilltes Magnetfeld ergibt, das die Plasmateilchen einschliet. (b) Das europaische
Fusionsexperiment JET. Man vergleiche die Abmessungen mit der Figur unten links.
1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK
23
In dem europaischen Fusionsexperiment JET (Abb. 1.10(b)) wurde bereits 1992 eine Deuterium-Tritium Testentladung gezundet, die die Erreichbarkeit der kontrollierten
Kernfusion in Tokamaks demonstriert hat und bei nur 11% Tritiumanteil in dem Gemisch
schon einen Energieuberschu von 2 MJ erzielte 31]. Der Ablauf dieser Entladung ist in
Abb. 1.11 dargestellt und kommentiert. In der Zwischenzeit sind in dem amerikanischen
TFTR Tokamak in Princeton 182 Experimente mit 50 prozentigem Tritiumanteil durchgefuhrt worden, die Fusionsleistungen von 5 - 9MW erreichten 32]. Tabelle 1.2 fuhrt die
Mae und Plasmaparameter von JET auf.
Groe
Symbol Wert Einheit
Groer Radius
R
3 m
Limiter Radius
a
1 m
Plasmastrom
Ip
3,0 MA
Toroidales Magnetfeld
Bt
3,4 T
Elektronendichte
ne
4 1019 m;3
Elektronentemperatur
Te
9 keV
Ionentemperatur
Ti
16 keV
Energieeinschluparameter nE 8 1019 m;3s
Tabelle 1.2: Technische Daten des Fusionsexperiments JET
24
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Abbildung 1.11: Das erste Experiment mit DT-Plasmen in JET. In den Kern einer Deuteriumentladung werden Tritiumatome mit 75 keV kinetischer Energie eingeschossen. Hierzu
werden 2 von den 16 Neutralinjektoren mit Tritium, die anderen mit Deuterium betrieben. Dargestellt sind (a) Elektronen- und Ionentemperatur, (b) gemittelte Plasmadichte
und Verunreinigungsgrad Zeff , (c) Gesamtenergieinhalt und D Linienemission, (d) totale
Neutronenproduktionsrate und (e) Heizleistung durch Neutralinjektion und Gesamtstrahlungsleistung. Durch Erhohung der Neutralinjektionsleistung steigt die Ionentemperatur
von 5 keV auf 16 keV und der Anstieg der Neutronenproduktion zeigt die Fusionsprozesse. Bei 13.2 s bricht die Ionentemperatur zusammen, da das Plasma durch Kontakt
mit den Kohlenstokacheln verunreinigt wird und dadurch die Strahlungsverluste mit der
mittleren Ladungszahl Zeff stark ansteigen.
1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK
25
Laserfusion
Wahrend beim magnetischen Einschlu das Produkt ni durch kleine Dichte und lange
Einschluzeit erreicht wird, geht die Laserfusion den umgekehrten Weg. Eine mit Deuterium-Tritiumgas gefullte Glaskugel von Submillimeter Abmessungen wird konzentrisch
durch intensive Lasereinstrahlung aufgeheizt. Durch schlagartiges Verdampfen (Ablation)
der aueren Schichten entsteht infolge der Impulserhaltung eine radial einwarts laufende
Schockwelle, die den Brennsto auf hundert- bis tausendfache Festkorperdichte komprimiert und heizt (Abb. 1.12). Die Einschluzeit ist dann allein durch die Tragheit der
wieder expandierenden Plasmaballung bestimmt. Dieses Prinzip wird Tragheitseinschlu
genannt. Neben Lasern werden auch Teilchenbeschleuniger als Treiber fur die Tragheitsfusion diskutiert. Eine U bersicht uber dieses Gebiet ndet sich in 33].
Abbildung 1.12: Laserfusion. Die durch Laserstrahlung aufgeheizte Hulle eines Mikroballons (d=500 m) expandiert mit U berschall (Ablation). Durch die Impulserhaltung
wird die innere Hulle und das Fullgas auf mehr als Festkorperdichte kompromiert und
aufgeheizt.
26
1.2 Denition eines Plasmas
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Die meisten der hier interessierenden Plasmen sind stark verdunnte Gase aus Elektronen
und Ionen, die durch ihre Teilchendichten ne (Elektronen) und nik (Ionen der Sorte k)
sowie ihre Temperaturen Te und Tik gekennzeichnet sind1. Die Ionen sind in der Regel
positiv geladen, in elektronegativen Gasen niedriger Temperatur treten auch negative
Ionen auf. Wir bezeichnen die Ladung mit qk . Der Plasmazustand ist durch die beiden
Eigenschaften Quasineutralitat und kollektives Verhalten de
niert, deren Bedeutung im
Folgenden naher erlautert wird.
Quasineutralitat\ bedeutet, da die Ladungsneutralitat in noch naher zu de
nieren"
den Grenzen naherungsweise erfullt ist:
;ene + X qk nik ene :
(1.1)
k
In vielen Fallen werden wir die Quasineutralitatsbedingung vereinfachend schreiben als:
X
; ene + qk nik = 0 :
(1.2)
k
Kollektives Verhalten\ bezieht sich auf die langreichweitige Coulombwechselwirkung
"
der Ladungstrager untereinander, die viele Teilchen gleichzeitig elektrisch koppelt. Im Unterschied zur Kopplung durch binare Zusammenstoe in neutralen Gasen wird z.B. die
Ausbreitung von Wellen durch das selbstkonsistente elektrische Feld des Vielteilchensystems bestimmt.
1.2.1 Debyeabschirmung
Die wichtigste Eigenschaft eines Plasmas ist die Fahigkeit, von auen angebotene
elektrische Felder wirksam zu reduzieren. Betrachten wir dazu ein unendlich ausgedehntes
Plasma aus Elektronen und einer Sorte positiver Ionen mit der Dichte ne0 = ni0 und
den Temperaturen Te und Ti. Bringen wir nun in Gedanken eine zusatzliche Storladung
Q in das Plasma ein, von der wir ohne Einschrankung annehmen, da sie positiv ist.
Wir erwarten, da sie die Elektronen in ihrer Umgebung anzieht und die (positiven)
Ionen abstot und somit eine Polarisationswolke entsteht, die das von Q erzeugte Feld
schwacht. Diese Polarisation ist allerdings nicht statisch, da die Ladungstrager durch ihre
thermische Eigenbewegung sowohl gegen das Storpotential anlaufen konnen oder aus dem
Potentialtrichter entkommen konnen. Somit wirkt die Temperatur der elektrostatischen
Wechselwirkung entgegen.
Das Raumladungsproblem wird durch die Poissongleichung beschrieben, in der die
Storladung Q als Punktladung im Ursprung angenommen wird:
(1.3)
$% = ; 1 Q(~r) ; ene(~r) + eni(~r)] :
0
1
U ber den Temperaturbegri im Falle des Nichtgleichgewichts vgl. Kapitel 5
1.2. DEFINITION EINES PLASMAS
27
Abbildung 1.13: Coulomb- und abgeschirmtes Debye-Potential.
Dabei sind ne(~r) und ni(~r) die nunmehr gestorten Dichteverteilungen. Wir sind gezwungen, eine statistische Beschreibung des Plasmas zu wahlen, da es praktisch unmoglich ist,
die Newtonschen Bewegungsgleichungen fur typische Teilchenanzahlen (N 1010 ;1030)
zu losen. Fur beide Ladungstragersorten nehmen wir deshalb an, da sie sich im statistischen Mittel im Gleichgewicht mit dem Storpotential % entsprechend ihrer jeweiligen
Temperatur be
nden:
ne (~r) = ne0 exp(+e%(~r)=kB Te)
(1.4)
ni(~r) = ni0 exp(;e%(~r)=kB Ti) :
(1.5)
Fur groe Abstande soll das Storpotential soweit abfallen, da wieder die Quasineutralitat mit den Dichten ne0 =ni0 gilt. Dieser Ansatz entspricht dem Debye-Huckel-Modell
der starken Elektrolyte 34]. Ein positives Storpotential (entsprechend einer positiven
Storladung) erhoht die Elektronendichte und erniedrigt die Ionendichte in der Nahe der
Storladung.
Der Exponentialfaktor ist der in der Thermodynamik bekannte Boltzmannfaktor. Er
beschreibt z.B. die thermische Besetzung atomarer Niveaus, d.h. die Zahl der angeregten
Atome eines Energiezustandes E ist N (E ) = N0 exp(;E=kB T ), wenn N0 die Zahl der
KAPITEL 1. EINLEITUNG
28
Atome im Grundzustand ist. Hier ist die Energie des Ladungstragers seine potentielle
Energie e%, je nach Ladungsvorzeichen.
Fur kleine Storungen ej%j kB T konnen wir die Exponentialfunktion in eine Potenzreihe bis zum ersten Glied entwickeln: exp(e%=kB T ) 1 + e%=kB T . Das Problem ist
radialsymmetrisch, so da nur eine Abhangigkeit von der Abstandsvariablen r vorliegt.
Damit benotigen wir nur die Radialanteile des Laplaceoperators. Aus (1.3) und (1.5)
ergibt sich dann:
@ 2% + 2 @ % = ; 1 Q(r) ; en 1 + e% + en 1 ; e% :
(1.6)
e0
i0
@r2 r @r
0
kB Te
kB Ti
Wegen der Quasineutralitat heben sich die ungestorten Ladungsbeitrage auf:
@ 2% + 2 @ % = ; 1 Q(r) ; e2n % 1 + 1 (1.7)
e0
@r2 r @r
0
kB Te kB Ti
@ 2% + 2 @ % ; 1 % = ; 1 Q(r) :
(1.8)
@r2 r @r 2
D
0
Man uberzeugt sich leicht, da diese Poissongleichung mit dem Ansatz:
r
Q
(1.9)
%(r) = 4 r exp ; 0
D
gelost wird, wobei D die Debyesche Abschirmlange ist:
2n 1
e
1
e0
;
2
D = k T + k T :
(1.10)
0
B e
B i
Der Potentialverlauf ist fur r D nahezu der einer Punktladung im Vakuum (vgl. Abb.
1.13). Fur r D dominiert der exponentielle Abfall. Damit klingt das Storpotential
auerhalb der Debyelange rasch ab. Dies ist die gesuchte Abschirmwirkung des Plasmas.
Die Debyelange skaliert mit D / (T=ne )1=2.
Nicht jedes Gemisch aus Elektronen und Ionen ist somit ein Plasma, z.B. treten in
Flammen zwar freie Elektronen und Ionen auf, die Abschirmung spielt aber keine Rolle,
da das System zu klein ist. Wir fordern also fur ein Plasma, da seine geometrischen
Abmessungen gro gegenuber der Debyelange sein mussen.
Im Falle von schnell veranderlichen Plasmastorungen, z.B. bei hochfrequenten Wellenvorgangen, sind die Ionen oft zu trage, um einen merklichen Beitrag zur Abschirmung zu
etablieren. In solchen Fallen ist es korrekt, nur die Elektronendebyelange zu verwenden:
!1=2
0kB Te
:
(1.11)
De = e2n
e0
Wenn wir nun zum Schlu die Annahme fallen lassen, da Q eine zusatzlich eingebrachte
Testladung ist und Q mit einem individuellen Elektron oder Ion des Plasmas identi
zieren, so stellen wir fest, da oensichtlich die Reichweite des Coulombfeldes eines einzelnen
1.2. DEFINITION EINES PLASMAS
29
Situation
Ne/m;3 Te/ eV D
ND
15
Magnetic box
10
2
330 m 1:5 105
18
Gasentladung
10
3
13 m 8:9 103
Lichtbogen
1022
1,2
81 nm
23
20
4
Fusionsplasma
10
10
74 m 1:7 108
11
Space Shuttle Orbit 10
0,4
15 mm 1:4 106
Interplanet. Raum 106
0,01
0,74 m 1:7 106
Tabelle 1.3: Debyelange und Plasmaparamter fur typische Plasmasituationen.
Teilchens etwa auf das Innere einer Kugel vom Radius D beschrankt ist. Alle Teilchen innerhalb dieser Kugel spuren nahezu das unabgeschirmte Coulombfeld, wahrend die Wechselwirkung mit Teilchen in groerer Entfernung nahezu exponentiell abfallt. Das mittlere
elektrische Feld innerhalb eines Plasmas, z.B. aufgrund von auen angelegter Spannungen, ist also im wesentlichen das abgeschirmte Restfeld. Ein Atom in einem Plasma spurt
also zunachst dieses makroskopische Restfeld und zusatzlich das Plasmamikrofeld, d.h.
die individuellen Coulombfelder der Ladungstrager, die sich in einer Kugel vom Radius
D um das Atom be
nden.
Beispiele:
Typische Werte fur die Debyelange und die Zahl der Teilchen in der Debyesphare sind
in Tabelle 1.3 zusammengestellt.
Fur alle diese Plasmasituationen ist die Bedingung erfullt, da die Debyelange klein gegenuber charakteristischen Abmessungen des Plasmas ist. Die letzte Spalte gibt die Zahl
der Teilchen innerhalb einer Kugel vom Radius D an. Mit Ausnahme der Lichtbogen
ist das kollektive Verhalten des Plasmas durch die groe Zahl der Teilchen in der Debyesphare gesichert. Der erdnahe Weltraum wird oft als das ideale Laboratorium fur
Plasmaexperimente genannt, da hier erstens kein Einu begrenzender Wande zu spuren
ist, zweitens Zusammenstoe zwischen Plasmateilchen und neutralen Atomen im Unterschied zu Laborplasmen keine Rolle spielen, und drittens der Plasmaparameter ND sehr
hoch ist.
1.2.2 Plasmaparameter
Die statistische Beschreibung eines Plasmas durch die (gemittelte) Dichte ne und die Abschirmlange D ist nur sinnvoll, wenn die "Kornigkeit\ der einzelnen Punktladungen in den
Hintergrund tritt. Das ist immer dann der Fall, wenn die Abschirmung gleichzeitig durch
viele Teilchen erfolgt, d.h. da in dem Kugelvolumen zum Radius D viele Ladungstrager
zu nden sind. Diese Situation entspricht der kollektiven Wechselwirkung des Plasmas. Im
KAPITEL 1. EINLEITUNG
30
anderen Grenzfall weniger Teilchen im Kugelvolumen dominiert die Paarwechselwirkung,
d.h. der Zusammensto zweier Partner.
Daher de
niert man den Plasmaparameter 2 ND als die Zahl der Teilchen in der "Debyekugel\:
ND = ne 43 3D :
(1.12)
Tabelle 1.3 zeigt, da alle typischen Plasmasituationen diese Bedingung der Idealitat
erfullen. Der andere Grenzfall der Nichtidealitat ist in dichten kalten Plasmen erfullt& z.B.
in stromstarken Lichtbogen nahert man sich diesem Grenzfall an. Gleiches gilt fur die
Wechselwirkung hochgeladener Ionen (Z 25) in lasererzeugten Plasmen, da hier zwar
die Temperatur hoher ist, aber die potentielle Energie der elektrostatischen Wechselwirkung der Ionen untereinander mit Z 2n1=3 skaliert, so da man allein aus Z 2 nahezu drei
Zehnerpotenzen gewinnt.
1.2.3 Existenzbereiche
Eine U bersicht uber die vielfaltigen Parameterbereiche von Plasmen zeigt die Abb. 1.14.
Man beachte die logarithmische Staelung von Teilchendichte und Temperatur. Die Teilchendichten erstrecken sich uber 25 Zehnerpotentzen und die Temperaturen uber 7 Zehnerpotenzen. Astrophysikalische Plasmen erstrecken sich von der dunnen, vergleichsweise
kalten Ionosphare uber die heie Sonnenkorona bis zu den Bedingungen im Sonneninneren, wo die extrem hohe Dichte und Temperatur des Plasmas die Kernfusion ermoglicht.
Vergleicht man die Plasmabedingungen in elektrischen Entladungen mit denen in der
Ionosphare, so wird die Spekulation von Birkeland verstandlich, der auf die elektrischen Ursprunge der Nordlichtphanomene hingewiesen hatte 17]. Es gelingt uns heute,
in Tokamakexperimenten Temperaturen zu erzeugen, die denen im Sonnenzentrum nahekommen. Mit Hochstleistungslasern kann man ebenfalls heie aber daruber hinaus auch
wesentlich dichtere Plasmen erzeugen, in denen Kernfusionsprozesse ablaufen sollen. In
beiden Fallen ist nicht die Temperatur das Problem der Fusionsexperimente sondern der
hinreichend lange Einschlu des Plasmas.
1.2.4 Nichtidealitat und Entartung
In der vorangegangenen Diskussion wurde stets der Plasmabegri mit dem "idealen Plasma\ ND 1 gleichgesetzt. Bei hohen Temperaturen und kleinen Dichten (z.B. in der
Ionosphare und Magnetosphare, sowie in vielen Niederdruckentladungen) ist diese Bedingung gut erfullt. In sehr dichten, kalten Plasmen (z.B. Lichtbogen) kann sie allerdings
verletzt sein. Diese Plasmen heien dann "nichtideal\.
Der Begri "Plasmaparameter\ wird im deutschsprachigen Raum auch als Sammelbegri fur ne Te
und Ti verwendet.
2
1.2. DEFINITION EINES PLASMAS
31
Die in dieser Vorlesung interessierenden Plasmen sollen stets als Gas klassischer Teilchen beschrieben werden. Quanteneekte { wie das Ausschlieungsprinzip und die dadurch
bedingte Fermi-Dirac-Statistik { werden wichtig, wenn der mittlere Teilchenabstand
n;e 1=3 mit der thermischen deBroglie-Wellenlange B = h=(mevthe) vergleichbar
wird. (vthe = (2kB Te=me)1=2 ist die thermische Geschwindigkeit der Elektronen.) In diesem Fall spricht man von Entartung des Plasmas. Derartige Bedingungen ndet man
im Inneren von Weien Zwergsternen. Es sei nur am Rande erwahnt, da der Beitrag des
Ausschlieungsprinzips zum Gasdruck der Elektronen (Entartungsdruck) den gravitativen
Kollaps dieser ausgebrannten Sterne verhindert.
Die beiden Grenzlinien fur Nichtidealitat und Entartung sind ebenfalls in Abb. 1.14
eingezeichnet. Beide Aspekte sind bei hohen Dichten und kleinen Temperaturen angesiedelt und mussen in der Regel gleichzeitig berucksichtigt werden. Eine Vertiefung dieser
Problematik ndet sich in 35].
Memobox: Charakteristika eines Plasmas
Quasineutralitat: ne = Pk Zk nik
Kollektives Verhalten: n3D 1
Abschirmwirkung: L D (L = Plasmaabmessung)
32
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Abbildung 1.14: Existenzbereiche von Plasmen. Die Grenzlinien N3D = 1 (Nichtidealitat)
und N ;1=3 = B (Entartung) sind eingezeichnet. Fur vthp > 0:2c werden die Protonen
relativistisch.
1.2. DEFINITION EINES PLASMAS
33
1.2.5 Saha-Gleichung
Im vollstandigen thermodynamischen Gleichgewicht, wie es z.B. im Inneren von Sternen
realisiert ist, lat sich die Elektronendichte mit der Dichte der Atome durch die SahaGleichung in Beziehung setzen:
ne ni = 2Zi exp ; Wi ; $Wi (1.13)
na Za
kB T
Darin ist Wi die Ionisationsenergie des Atoms und T die Temperatur. $Wi beschreibt
eine Korrektur, die eine Absenkung der Ionisationsenergie durch die Anwesenheit positiver
Ionen in der Nachbarschaft des Atoms bewirkt 36]. Die Saha-Gleichung hat die Form
eines Massenwirkungsgesetzes fur das Ionisations-Rekombinationsgleichgewicht, das sich
in Form einer chemischen Reaktionsgleichung darstellen lat:
A+ + e *
(1.14)
)A
In der Saha-Gleichung erscheinen die Zustandssummen des Atoms bzw. Ions, die sich
aus den statistischen Gewichten gm der Energieniveaus ergeben:
a
X a
Za(T ) =
gm exp(; kEmT )
B
m
i
X i
(1.15)
Zi(T ) =
gm exp(; kEmT )
B
m
Analog kann man Saha-gleichungen fur hohere Ionisationsstufen aufstellen. Eine ausfuhrliche Diskussion derartiger Gleichgewichtszustande ndet sich in der astrophysikalischen
Literatur (z.B. 22]).
Als Beispiel zeigt Abb. 1.15 das Plasma in einem Argon-Lichtbogen, fur das die Bedingung thermodynamischen Gleichgewichts naherungsweise erfullt ist. Die Dichte des neutralen Argons nimmt fur niedrigere Temperaturen zunachst ab gema nAr = p=(kB T ) weil
der Druck im Inneren des Lichtbogens im Gleichgewicht mit dem atmospharischen Luftdruck (p = 1atm) steht. Ab 7.000 K steigt die Dichte der Argonionen durch die Ionisation
an und bedingt damit eine merkliche Aufzehrung des neutralen Argons. Ab 16.000 K wird
die zweifache Ionisation des Argons mebar und die Dichte des einfach ionisierten Argons
hat ihren Maximalwert durchlaufen. Jenseits von 20.000 K wird das zweifach ionisierte
Argon dann das einfach ionisierte Argon aufzehen. Typisch fur Saha-Gleichgewichte ist,
da bei einer vorgegebenen Temperatur stets nur zwei Ionisationsstufen in wesentlichen
Konzentrationen vorhanden sind, wahrend die Nachbarstufen deutlich dahinter zuruckbleiben. Das sind hier bei T < 16:000 K neutrales und einfach ionisiertes Argon und fur
T > 20:000 K zunachst Ar+ und Ar++ und dann Paare Ar++/Ar3+ usw.
34
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Abbildung 1.15: Ionisationszustande eines Argonplasmas im thermodynamischen Gleichgewicht gema der Saha-Gleichung.
1.3. AUFGABEN
1.3 Aufgaben
35
1. Zeigen Sie, da das abgeschirmte Potential (1.9) die Poissongleichung (1.8) lost.
2. Nehmen Sie an, da aus einer ebenen Plasmaschicht der Dicke De alle Elektronen
entfernt sind. Wie gro ist die Potentialdierenz uber dieser Schicht?
3. Stellen Sie die Gleichungen fur die Grenzlinien zur Nichtidealitat (ne3D = 1) und
zur Entartung (n;e 1=3 = B ) in expliziter Form n(T ) auf.
36
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Kapitel 2
Gasentladungen
Der Plasmazustand kann am einfachsten durch einen elektrischen Stromu in verdunnten
Gasen erreicht werden. Die Elektronen nehmen Energie aus dem elektrischen Feld auf, das
ein Gleichfeld oder hochfrequentes Wechselfeld sein kann, und ionisieren bei ausreichender
Energie Neutralatome des Fullgases. Ein stationarer Zustand wird erreicht, wenn die
Neuerzeugungsrate die Verluste durch Rekombination und Transport zu den Wanden
balanciert. Die meisten im Labor oder fur technische Anwendungen erzeugten Plasmen
sind nur teilweise ionisiert. Fur das Verstandnis dieser "Niedertemperaturplasmen\ ist
daher sowohl die Kenntnis der elektrodynamischen Eigenschaften des Vielteilchensystems
notig, als auch die der Erzeugung, des Transport und des Verlustes von Ladungstragern.
Dieses Kapitel soll die wichtigsten Grundbegrie klaren. Vertiefung ndet sich in der
existierenden Literatur zur Gaselektronik, z.B. 7, 15, 37].
2.1 Entladungsformen
Fur eine erste U bersicht sind exemplarisch einige typische Vertreter von Entladungen
mit Stromzufuhr durch Elektroden herausgegrien. Elektrodenlose Hochfrequenz- und
Mikrowellen-Entladungen sind z.B. in 39, 40] dargestellt.
2.1.1 Die Glimmentladung
Die klassische Glimmentladung besteht aus einem Glasrohr von ca. 20-30 mm Durchmesser und 0,3 - 1 m Lange, hat einen Fulldruck von 100 - 1000 Pa1 und besitzt an den
Enden metallische Elektroden, die uber einen strombegrenzenden Widerstand mit einer
Gleichspannungsquelle von U0 = 500 { 2000 V verbunden sind.
1
Die altere Literatur rechnet in Torr (1 Torr = 133 Pa).
37
38
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Strom- Spannungscharakteristik
Je nach Entladungsstrom konnen sich verschiedene Entladungszustande einstellen (Abb.
2.1). Der Entladungsstrom ergibt sich durch geeignete Wahl des Vorwiderstandes zu
I = (U0 ; U )=R. Dabei ist U die Brennspannung der Entladung und U0 die Spannung des
Netzgerates. Der Vorwiderstand stabilisiert den Entladungsstrom, da z.B. die Bogenentladung eine fallende Charakteristik besitzt, d.h. die Brennspannung sinkt bei steigendem
Strom.
Abbildung 2.1: Klassi
zierung der Glimmentladungen anhand ihrer Strom-Spannungscharakteristik. Die einzelnen Bereiche heien: (AB) Townsendsche Dunkelentladung, (CD)
normale Glimmentladung, (DE) anomale Glimmentladung und (GH) Bogenentladung.
Leuchterscheinung
Auallend ist bei der normalen Glimmentladung die Bildung markanter und farblich
dierenzierter Leuchterscheinungen (Abb. 2.2). Vor der negativen Elektrode (Kathode)
erscheint das kathodische Glimmlicht das durch den Astonschen Dunkelraum von der
Elektrode separiert ist. Anodenwarts schliet sich der kathodische Dunkelraum und das
negative Glimmlicht an. Der Faradaysche Dunkelraum bildet die Trennung zur positiven
2.1. ENTLADUNGSFORMEN
39
Saule. Zur Anode hin bildet sich der anodische Dunkelraum, der auch von Glimmsaumen begleitet sein kann. Das negative Glimmlicht und die positive Saule sind hinsichtlich
der Forderung nach Quasineutralitat (ne = ni) und kollektiven Verhaltens ((D r) als
Plasma anzusehen.
Abbildung 2.2: Raumliche Verteilung von Leuchterscheinungen und Dunkelzonen in der
Glimmentladung
Qualitative Interpretation der Leuchterscheinung
Ein groer Teil der Entladungsspannung fallt zwischen Kathode und der Kante des negativen Glimmlichts ab (Kathodenfall). Elektronen werden aus der Kathode durch Beschu
mit positiven Ionen herausgeschlagen, die ihre Energie aus dem starken Feld im kathodischen Bereich gewinnen. Diese "Sekundarelektronen\ (vgl. 2.3.1) haben beim Austritt
Energien unter 1 eV und konnen daher im Astonschen Dunkelraum keine Atome zum
Leuchten anregen. Nachdem die Elektronen im elektrischen Feld Energie aufgenommen
haben, konnen sie verschiedene atomare Niveaus anregen, die zu den verschiedenen Farben
der Leuchterscheinung im kathodischen Glimmlicht Anla geben. Mit weiter zunehmender
Elektronenenergie wird das Maximum der Anregungswahrscheinlichkeit uberschritten und
der kathodische Dunkelraum entsteht. Durch lawinenartig anwachsende Ionisationsprozesse im Dunkelraum tritt letztlich ein hoher Flu von Elektronen mit maiger Energie auf,
40
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
die im Bereich des Maximums der Anregungsfunktion liegt. Dieser Ort ist die Kante des
negativen Glimmlichts. Die Spektrallinien erscheinen in umgekehrter energetischer Reihenfolge im Vergleich zum kathodischen Glimmlicht, wodurch die Energieabnahme belegt
wird. Da das negative Glimmlicht nahezu feldfrei ist, verlieren diese Elektronen ihre Energie durch die inelastischen Prozesse, so da sich letzlich der Faradaysche Dunkelraum
ergibt.
Wahrend die kathodischen Teile der Entladung durch energetische Elektronen aus dem
Kathodenfallbereich dominiert werden (Fremderzeugung), lebt die positive Saule von einem Gleichgewicht aus lokalem Energiegewinn des Elektronengases im schwachen Langsfeld der Saule und Teilchenverlusten durch radiale Diusion. Verandert man die Lange
der Entladung, so lat sich die positive Saule (bei gleichem Strom) beliebig verlangern.
Die Neon-Leuchtreklamen nutzen diese Eigenschaft fur Buchstaben und Symbole. Die
Spannung uber der Saule steigt proportional zur Lange.
Mit zunehmendem Strom kann die Aufheizung der Kathode durch die von den Ionen
deponierte Energie nicht mehr vernachlassigt werden. Die Sekundaremission der Kathode tritt dann in Konkurrenz zur thermischen Elektronenemission eines heien Metalls.
Der Spannungsabfall uber der Kathodenschicht sinkt, die Glimmentladung geht in die
Bogenentladung uber.
2.1.2 Thermionische Entladungen
Thermische Emission kann auch durch Fremdheizung mittels elektrischen Stroms erreicht werden. Beliebt sind Filamentkathoden aus Wolframdraht (typ. 0,2 mm Durchmesser), die in direkter Heizung mit Gleichstrom bei ca. 2400 K Elektronen emittieren.
Die Strom-Spannungs-Charakteristik einer Entladung mit Filamentkathode zeigt zunachst
einen Anstieg des Entladungstroms mit der angelegten Spannung, bis ein Sprungpunkt
zu einer stromstarken Betriebsart erreicht wird (Abb. 2.4). Auf dem oberen Kurvenast
kann die Betriebsspannung unter die Sprungtemperatur abgesenkt werden (Hysterese).
Erst bei einem zweiten, unteren Sprungpunkt erfolgt die Ruckkehr zum stromschwachen
Entladungsmodus. Dieses Verhalten lat sich dadurch erklaren, da im stromschwachen
Modus der Elektronenstrom aus der Kathode durch Raumladung begrenzt ist (vgl. Kap.
7.1.2) fur den raumladungsbegrenzten Strom in Dioden). Mit zunehmendem Entladungsstrom steigt die Plasmadichte und damit die Neutralisierung der Raumladung durch Ionen. Im stromstarken Modus ist die Raumladung vollstandig verschwunden und der Entladungsstrom ist durch die Kathodenergiebigkeit bestimmt. Filamentkathoden werden
in 'magnetic box'-Anordnungen 41], Doppel- und Tripelplasmen 42] und in Ionenquellen 43] eingesetzt. Eine typische Anordnung der Magnete mit abwechselnden Reihen von
Nord- und Sudpolen zeigt Abb. 3.15. Diese bilden eine besonders gunstige Feldgeometrie
(Minimum-B-Kon
guration). Dabei dienen die Permanentmagnete der ezienten Reektion der von den Filamenten emittierten Primarelektronen. Diese konnen namlich bei dem
ublichen niedrigen Gasdruck (p 0:01Pa) nur wenige Gasatome ionisieren, da die freie
2.1. ENTLADUNGSFORMEN
41
Abbildung 2.3: Doppelplasmaanordnung. In beiden Kammern wird ein Plasma durch die
von den Filamenten emittierten Primarelektronen erzeugt. Die Kammerwand dient als Anode, Permanentmagnete verbessern den Einschlu der Primarelektronen. Beide Kammern
sind durch ein Gitter getrennt. Die Gitterspannung und die Potentialdierenz zwischen
den Kammern kann frei gewahlt werden. Damit konnen je nach Polaritat der Spannung
Elektronen oder Ionen aus der "source-chamber\ in die "target-chamber\ injiziert werden.
Weglange fur Ionisation groer ist als die Abmessung der Entladung. Durch Reektion
konnen sich diese Primarelektronen im Gasraum 'totlaufen'.
Abb. 2.3 zeigt ein typisches Doppelplasma. Ein ca. 50% transparentes Trenngitter mit
starker negativer Vorspannung trennt die Elektronenpopulationen der beiden Plasmen.
Ionen konnen in das Plasma mit dem niedrigeren Plasmapotential ubertreten und dort
z.B. nichtlineare Wellen anregen. Doppelplasmen werden auch gern zur Erzeugung von
elektrostatischen Doppelschichten eingesetzt (vgl. Kap. 7.3).
In thermionischen Entladungen werden auch ebene Kathoden verwendet, die in der
Regel indirekt geheizt werden. Hierzu kann im einfachsten Fall die Strahlungswarme einer
Heizwendel verwendet werden. Oft wird auch die kinetische Energie eines von der Wendel emittierten Elektronenstrahls mit einer Beschleunigungsspannung von einigen Tausend Volt zur Kathodenheizung benutzt (sog. Stoheizung). Bei ebenen Kathoden ist
die thermische Strahlungsleistung der Kathode infolge der gegenuber Filamenten wesentlich groeren Flache erheblich. Man verwendet daher bei ebenen Kathoden in der Regel
emittierende Oxidschichten (Barium-Strontium-Oxid Mischkristalle), deren Arbeitstemperatur bei nur 1000 K liegt. Wegen des Stefan-Boltzmannschen Gesetzes S / T 4
42
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.4: Strom-Spannungscharakteristik einer Filamentkathodenentladung. Die
Hysterese ist durch zwei unterschiedliche Entladungsformen bedingt. Auf dem stromschwachen Ast ist der Entladungsstrom durch Raumladung beschrankt.
ist die Strahlungsleistung hinreichend reduziert.
Zu den thermionischen Entladungen gehoren auch der thermionische Konverter und
die Q-Maschine. Beide nutzen die Eigenschaft der Kontaktionisation von Alkalimetalldampfen an heien Metalloberachen. Bei ca. 2000 K Oberachentemperatur einer Tantalplatte
wird ein Dampfstrahl von Casium oder Barium ezient ionisiert, da die Austrittsarbeit
durch den Motteekt wirksam verringert ist. Der thermionische Konverter besitzt eine
der heien eng benachbarte kalte Platte, an der die eektive Austrittsarbeit niedriger ist.
U ber einer externen Last kann die Dierenz der Austrittsarbeiten als Spannung genutzt
werden. Der thermionische Konverter ist das Plasmaaquivalent zum Thermoelement. Wie
beim Thermoelement werden hohe Strome bei niedrigen Spannungen erzeugt. Infolge der
hohen Betriebstemperaturen ist jedoch der Wirkungsgrad hoher als beim klassischen Thermolement.
Thermionische Konverter sind wegen ihres gunstigen Masse-Leistungsverhaltnisses
ideale Energiequellen fur Satellitenmissionen zu den aueren Planeten, da dort die Ef
zienz von Solarpanels zu gering wird. In einem solchen thermionischen Konverter wird
die heie Platte von einem radioaktiven Zerfallsproze geheizt und die Anode durch Abstrahlung gekuhlt. Abb. 2.5(a) zeigt den Aufbau eines thermionischen Konverters fur
Laborversuche.
2.1. ENTLADUNGSFORMEN
43
(a)
(b)
Abbildung 2.5: (a) Thermionischer Konverter. Cs-Dampf wird an der heien Kathode
durch den Mott-Eekt ionisiert. (b) Q-Maschine. Das Plasma wird durch Kontaktionisation eines Casium-Dampfstrahls an einer heien Tantalplatte erzeugt. Ein uberlagertes
starkes axiales Magnetfeld bewirkt den Einschlu der Plasmasaule. Am anderen Plasmaende be
ndet sich entweder eine zweite Plasmaquelle oder eine kalte Elektrode, die
durch eine negative Vorspannung den Elektroneneinschlu bewirkt.
44
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Die Q-Maschine 44] hat einen groen Abstand zwischen heier und kalter Platte und
uberlagert dem Plasma ein starkes axiales Magnetfeld. Diese durch Kontaktionisation
erzeugten Plasmen sind (bei negativer Spannung an der kalten Platte) besonders ruhig.
Daher stammt ihr Name: das "Q\ steht fur quiet. Sie eignen sich daher besonders fur
Untersuchungen an verschiedensten Wellen in magnetisierten Plasmen und an elektrostatischen Doppelschichten. Den typischen Aufbau einer Q-Maschine zeigt Abb. 2.5(b).
2.1.3 Hochfrequenzentladungen (*)
Das Interesse an einem moglichst detaillierten Verstandnis der Hochfrequenzentladungen
ist weitgehend durch ihre weitverbreitete Anwendung in Oberachenprozessen der Mikroelektronik bedingt. Das A tzen von Siliziumwafern 45] erfolgt in einer HF-Entladung zwischen parallelen Platten. Diese Platten werden mit der technisch genutzten Hochfrequenz
von 13,56 MHz gespeist. Abb. 2.6 zeigt den schematischen Aufbau einer Laborentladung
mit dem Netzwerk zur Anpassung des Generatorausgangs (50 )) an die Impedanz der
Entladung. In der einfachsten Form besteht eine solche Entladung aus zwei Aluminiumelektroden, die mit einem Glasring und O-Ring-Dichtungen den Entladungsraum bilden.
Technische A tzreaktoren benutzen wassergekuhlte Elektroden wegen der betrachtlichen
Erwarmung der Elektroden durch die dem Plasma zugefuhrte elektrische Leistung. In einigen Fallen ist es notig, den Siliziumwafer an der Ruckseite mit einem Heliumgasstrahl
zusatzlich zu kuhlen. Zur Optimierung der Homogenitat der Entladung werden bestimmte
Formen der Kathoden und zusatzliche Abschirmelektroden vorgesehen.
Ein Exkurs uber Plasmachemie
Das Plasma in diesen Hochfrequenzentladungen dient vor allem zur Erzeugung reaktiver
Spezies durch Dissoziation des molekularen A tzgases in aktive Radikale, die zum A tzen
von Si oder SiO2 dienen. Die wichtigste Betriebsart der A tzentladung wird als reactive ion
etching (RIE) bezeichnet. Betrieben werden diese Entladungen vorwiegend in Gemischen
aus Chlor- und Fluorverbindungen, z.B. CF4, BCl3 oder CCl4, die die uchtigen Molekule
SiCl4, SiF4 oder SiBr4 als A tzprodukt erzeugen. Die Ezienz des RIE wird durch die Beobachtung belegt, da nur die Kombination aus dem Angebot reaktiver Radikale und dem
Bombardement des Substrats mit Plasmaionen einen eektiven A tzproze ergibt. Abb. 2.7
zeigt diesen synergetischen Eekt 46]. Den uorhaltigen A tzgasen werden H2 und O2
zugesetzt. Dabei erhoht Sauersto die atomare Fluorkonzentration, indem CFx-Radikale
zu CO, CO2 oder COF2 verwandelt werden und so mehr freies Fluor zum A tzen ubrigbleibt 47]. Diese Entladung wird zum isotropen A tzen von Silizium eingesetzt. Silizium
wird in mehreren Schritten in die uchtige Form SiF4 uberfuhrt, die mit dem Gasstrom
im Reaktor abgepumpt wird.
Wassersto dagegen reduziert den Anteil freier Fluoratome durch Bildung von HF.
Das chemische Gleichgewicht verschiebt sich dabei zu dem Radikal CF2, das sich als Film
2.1. ENTLADUNGSFORMEN
45
Abbildung 2.6: Parallelplatten-Entladung mit symmetrischer Hochfrequenzeinspeisung.
auf dem Wafer niederschlagt. In den SiO2-Zonen des Wafers ist wahrend des A tzprozesses
stets genugend atomarer Sauersto vorhanden um die oben genannten uchtigen Kohlenstoverbindungen zu erzeugen und die lokale Fluorkonzentration sicherzustellen. Dabei ist
die A tzrate fur SiO2 nahezu unabhangig vom Wasserstozusatz. Anders ist es bei Zonen
aus reinem Silizium, das bei zunehmender Bedeckung mit CF2 immer weniger geatzt wird
(Abb. 2.8). Die CF4-H2 Entladung wird also bevorzugt zum selektiven A tzen von SiO2
eingesetzt.
Ein Exkurs uber anisotropes A tzen
Eine zweite Eigenschaft der Hochfrequenzplasmen ist von hoher Bedeutung fur die Herstellung von hochstintegrierten Schaltungen. Das reaktive Ionenatzen ist weitgehend isotrop, so da die erreichbare A tztiefe vergleichbar ist zur Strukturbreite. Solche achigen
Strukturen sind hinsichtlich der erreichbaren Bauelementedichte unokonomisch, da es z.B.
bei dynamischen Speicherbauelementen gilt, den Speicherkondensator moglichst achensparend unterzubringen. Hier hilft eine Eigenschaft der Hochfrequenzentladung, die das
anisotrope Atzen
erlaubt, mit dem tiefe Graben mit einem Tiefen- zu Breitenverhaltnis
von bis zu 20:1 geatzt werden konnen. Die Seitenwande dieser Graben nehmen dann den
Kondensator platzsparend auf.
Das anisotrope A tzen beruht auf der Gleichspannung, die sich uber der Randschicht
der Entladung aufbaut (Selfbias). Bedingt ist sie weitgehend durch die Gleichrichtung
46
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.7: Vergleich der A tzraten bei reiner Zufuhr des A tzgases, bei gleichzeitigem
Ionensputtern und bei reinem Sputtern. Nur das Zusammenwirken beider Prozesse erklart
die hohe Ezienz des RIE.
der angelegten Hochfrequenzspannung an der einer Halbleiterdiode ahnlichen StromSpannungscharakteristik der Randschicht (vgl. Kap. 7). Dabei ist das Plasma im Mittel
100 - 200 V positiv gegenuber der Elektrode, auf der der Wafer liegt. Diese Gleichspannung beschleunigt die positiven Ionen senkrecht auf den Wafer, wobei durch einen niedrig
gewahlten Gasdruck Streuprozesse minimiert werden. Jetzt sind es z.B. die Fluorionen,
die das Silizium atzen.
Die hohe Anisotropie kommt durch mehrere Synergismen zustande. Oben wurde kurz
angesprochen, da die Bildung von CF2-Filmen das Siliziumatzen verlangsamt. Dieser
Proze passiviert die Seitenwande des zu atzenden Grabens. Der Boden des Grabens
dagegen ist unter standigem Beschu durch Ionen. Diese desorbieren den Film durch
mechanische Einwirkung und aktivieren den A tzproze durch das Zusammenspiel von
Sputterwirkung und Fluorzufuhr. Ein Beispiel fur die in reinem Silizium erreichbaren
geringen Strukturbreiten zeigt Abb. 1.8.
2.1. ENTLADUNGSFORMEN
47
Abbildung 2.8: (oben) Vergleich der A tzrate von Si und SiO2 als Funktion des Wasserstozusatzes. Man beachte die invertierte Skala! (unten) Gemessene CF2 Filmdicke uber
Si- und SiO2-Gebieten.
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
48
2.2 Stoprozesse
Die Bewegung der Ladungstrager in Gasentladungen sind wesentlich durch die Zusammenstoe mit den Gasatomen bestimmt. Hierzu gehoren die elastischen Stoe von Elektronen und Ionen mit Atomen, die die Reibungskrafte und damit die Diusionsbewegung
bestimmen. Bei den inelastischen Stoen unterscheiden wir anregende und ionisierende
Stoe als Verlustprozesse des Elektronengases und superelastische Stoe (mit metastabilen
Atomen) als Energiegewinn.
2.2.1 Driftbewegung und Beweglichkeit
Abbildung 2.9: Teilchenbahnen im homogenen elektrischen Feld bei elastischen Zusammenstoen mit Gasatomen.
Unter dem Einu eines (homogenen) elektrischen Feldes E~ besteht die Bahn eines Elektrons aus lauter Parabelstucken, die durch (elastische) Zusammenstoe mit den
Gasatomen unterbrochen wird (Abb. 2.9). Inelastische Stoe sind so selten im Vergleich
zu elastischen Stoen, da sie zunachst auer Betracht gelassen werden. Die Bewegungsgleichung eines individuellen Elektrons lautet dann:
X
me~v_ e = ;eE + me$~vk (t ; tk ) :
(2.1)
k
Dabei ist $~vk der Vektor der Geschwindigkeitsanderung beim k-ten Sto mit dem Gashintergrund. Die Bewegung des individuellen Elektrons kann metechnisch nicht verfolgt
2.2. STOSSPROZESSE
49
werden, daher ist die Gleichung uber viele Zusammenstoe zu mitteln und es ergibt sich
aus ~ve die mittlere Geschwindigkeit < ~ve >. Die Summe ist ebenfalls uber die Stoprozesse
zu mitteln und kann als mittlerer Impulsverlust pro Zeiteinheit me < $~ve > =c interpretiert werden. c ist dabei die mittlere Zeit zwischen zwei Stoen. Dieser Term stellt die
mittlere Reibungskraft des Elektrons am Gashintergrund dar.
Bei der Auswertung dieser Mittelung konnen wir fur die Elektronen annehmen, da
wegen der sehr viel kleineren Masse im Vergleich zu den Gasatomen der Betrag des Geschwindigkeitsvektors beim elastischen Sto erhalten bleibt. In vielen Fallen ist die Streuung an den Gasatomen hinreichend isotrop, so da im Mittel der Impuls me < ~ve > an
das Neutralgas ubertragen wird. Damit lautet die Bewegungsgleichung des gemittelten
Elektrons:
mv_ = ;eE ; mvm :
(2.2)
Die Bewegung erfolgt nunmehr in Feldrichtung. Die Vektorschreibweise, Mittelungsklammern und Indizes sind fortgelassen worden. Die Groe m heit eektive Stofrequenz
fur Impulsubertrag. Fur isotrope Streuung ist m = 1=c . Eine ausfuhrlichere Diskussion
abweichender Falle ndet sich bei Raizer 15]. Integriert man die Bewegungsgleichung
(2.2)
eE 1 ; exp(; t)] + v(0) exp(; t) v(t) = ; m
(2.3)
m
m
m
so erkennt man, da die Erinnerung an die Anfangsgeschwindigkeit v(0) nach wenigen
Stoen verloren geht und eine asymptotische Annaherung an die Geschwindigkeit vd erfolgt:
(2.4)
vd = ; me E :
m
vd heit Driftgeschwindigkeit der Elektronen. Die elektrische Feldkraft steht im Gleichgewicht mit der Reibungskraft. Der Koezient e = e=mm heit Beweglichkeit der Elektronen. Damit gilt:
~vd = ;e E~ :
(2.5)
In analoger Weise lat sich die Beweglichkeit und Driftgeschwindigkeit der Ionen de
nieren.
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
50
Memobox: Druckmeeinheiten
In der Plasmaphysik sind neben der gesetzlichen Einheit (1 Pa = 1Nm;2)
fur den Gasdruck auch noch eine Reihe historischer Relikte gebrauchlich,
die trotz jahrzehntelanger Bemuhungen nicht auszurotten sind. Ihre Umrechnung ist hier zusammengestellt:
1Torr
1bar
1bar
1atm
=
=
=
=
133 Pa
105 Pa
0 9869 atm (phys:Atmosphare)
760 Torr :
In der alteren Literatur bezieht man gern die Gasentladungsbedingungen
auf die Teilchendichte bei einem Druck von 1 Torr und T = 273 K. Diese
ist:
N1 = 3 54 1022m;3 :
2.2.2 Wirkungsquerschnitt und mittlere freie Weglange
Die Stowahrscheinlichkeit eines Elektrons mit einem Atom kann durch eine geometrische
Groe, den Wirkungsquerschnitt beschrieben werden. Man ordnet dazu jedem Atom eine
kleine Zielscheibe der Flache zu (Abb. 2.10). Diese klassische Vorstellung ist bei groen
Energien des Projektils auch quantenmechanisch zu rechtfertigen, da die deBroglieWellenlange des Elektrons klein im Vergleich zu den Abmessungen der Elektronenhulle
anzusehen ist. Fur die Stoe von Ionen mit Atomen bei den typischen Energien in einer Gasentladung kann oft vereinfachend die Vorstellung des Stoes zweier Billardkugeln
(unterschiedlicher Radien) benutzt werden, so da sich fur den Wirkungsquerschnitt eines
solchen Stoprozesses die Storadien addieren: = (r1 + r2)2.
Zur Berechnung der Stowahrscheinlichkeit und anderer Groen gehen wir von punktformigen Projektilen aus, die auf Ziele des Querschnitts treen. In einem Zylinder mit
Querschnitt A und Lange $z be
nden sich N = naA$z Atome, wenn na die Dichte der
Atome ist. Somit ist eine Flache N als versperrt anzusehen. Die Stowahrscheinlichkeit
ist damit durch das Verhaltnis aus versperrter zu gesamter Querschnittsache gegeben:
$w = N=A = na$z :
(2.6)
Die Wahrscheinlichkeit, einen Ort z zu erreichen, errechnet sich aus der Bedingung, in
allen Zwischenschritten keinen Sto zu erleiden:
z=Y
z
w(z) = lim
(1 ; na$z)
z!0
i=1
2.2. STOSSPROZESSE
51
Abbildung 2.10: Wirkungsquerschnitt und freie Weglange.
= lim
(1 ; na$z)z=z
z!0
= exp(;naz) = exp(;z=) :
(2.7)
Die Groe = 1=na heit mittlere freie Weglange. Es gilt sofort, da na = const.,
oder bei fester Temperatur p = const. Der Wirkungsquerschnitt fur elastische Stoe
ist eine Funktion der Energie des stoenden Elektrons. Beispiele fur die Edelgase sind in
Abb. 2.11 zusammengestellt 48, 51, 52]. Der Querschnitt fur Helium fallt mit steigender
Energie monoton ab, wahrend er bei schwereren Edelgasen ein Minimum bei kleinen Energien aufweist (RamsauerEekt). Dieses Minimum entsteht durch quantenmechanische
Interferenzeekte des einfallenden Elektrons mit dem Atom. Der Anstieg des maximalen
Wirkungsquerschnitts mit der Ordnungszahl des Atoms spiegelt die Zunahme der Groe
des Atoms mit der Zahl der Elektronen wieder.
2.2.3 Die Geschwindigkeitsverteilung
Im thermodynamischen Gleichgewicht nimmt ein Gas die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung an. Diese lautet in einer Raumdimension:
!
2
mv
x
fM (vx) = a exp ; 2k T :
(2.8)
B
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
52
Abbildung 2.11: Elastischer Wirkungsquerschnitt einiger Edelgase als Funktion der Projektilenergie. Die schweren Edelgase zeigen das Ramsauerminimum bei kleinen Energien.
fM (vx)dvx ist die Zahl der Teilchen mit Geschwindigkeit zwischen vx und vx+dvx, kB =
1:38 10;23 J/K ist die Boltzmannkonstante und T die thermodynamische Temperatur.
Die Teilchendichte n ergibt sich als Integral uber alle Geschwindigkeiten:
Z1
n = fM (vx)dvx :
(2.9)
;1
Die Normierungskonstante a ist folglich:
m 1=2
a = n 2k T
:
(2.10)
B
Die Breite der Verteilungsfunktion ist durch die Temperatur bestimmt (Abb. 2.12).
Sei die thermische Geschwindigkeit vth de
niert durch:
vth = (2kB T=m)1=2 so wird
!
2
v
x
fM (vx) = a exp ; v2 :
th
(2.11)
(2.12)
2.2. STOSSPROZESSE
53
Abbildung 2.12: Maxwellverteilung der Geschwindigkeitsbetrage f (jvj). Zum Vergleich ist
eine Maxwellverteilung mit der doppelten Temperatur dargestellt.
Die mittlere kinetische Energie ist dann:
R 1 mv2f (v )dv
Eav = 2R f x (Mv )dxv x = 12 kB T :
M x x
(2.13)
Der Begri der Geschwindigkeitsverteilung kann auf drei Dimensionen verallgemeinert
werden, wobei jetzt fM (~v)d3v die Zahl der Teilchen in einem Volumenelement d3v um
den Vektor ~v angibt. Die dreidimensionale Maxwellverteilung lautet dann:
m 3=2 m(vx2 + vy2 + vz2) !
:
(2.14)
fM (~v) = fM (vx vy vz ) = n 2k T exp ;
2k T
B
B
Man zeigt leicht, da Eav = (3=2)kB T ist. Dies ist ein Sonderfall des A quipartitionssatzes,
da im thermodynamischen Gleichgewicht (1=2)kB T pro Freiheitsgrad auftritt. In der
Plasmaphysik hat sich eine Sprechweise eingeburgert, die Temperatur eines Plasmas in
Elektronenvolt anzugeben. Hierunter versteht man, da ein Plasma von 10 eV Temperatur
durch kB T = 10eV charakterisiert ist. Seine mittlere kinetische Energie ist aber Eav =
(3=2) kB T = 15eV. Der Konversionsfaktor ist:
1eV = 11603K :
(2.15)
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
54
Neben der eindimensionalen Maxwellverteilung fM (vx) wird auch die Verteilung der
Geschwindigkeitsbetrage f (jvj) verwendet:
m 3=2 mv2 !
(2.16)
f (jvj) = 4v2n 2k T exp ; 2k T :
B
B
Diese gibt die Teilchenzahl im Geschwindigkeitsraum zwischen den Kugelschalen v und
v + dv an. Der Faktor 4v2 beschreibt das wachsende Volumenelement in Kugelgeometrie.
In Gasentladungen liegen oft Abweichungen vom thermodynamischen Gleichgewicht
vor: Die Elektronentemperatur ist dabei meist viel hoher als die Ionen- und Gastemperatur. Wegen der vergleichbaren Massen von Ionen und Gasatomen ist deren Temperatur
i.d.R. gleich. In der Niederdruckentladung ist zudem die Schwerteilchentemperatur praktisch gleich der Wandtemperatur anzunehmen.
2.2.4 Ambipolare Diusion
Elektronen (und Ionen) bewegen sich in einer Gasentladung unter dem Einu von elektrischen Feldern und Druckkraften. (Reibungskrafte aufgrund einer Stromung des Neutralgases sollen vernachlassigt werden.) Der Teilchenu ~;ei = n~vei kann dann durch eine
Kombination aus Kraftbilanz und Fickschem Gesetz geschrieben werden:
~;ei = neiE~ ; Dei rn :
(2.17)
Darin ist Dei der Diusionskoezient der jeweiligen Teilchensorte und das doppelte
Vorzeichen bezieht sich auf Elektronen (;) und Ionen (+). Der Zusammenhang zwischen
Diusionskoezient Dei und Beweglichkeit ei ist durch die Einsteinbeziehung gegeben:
Dei = kB Tei :
ei
e
(2.18)
In (2.17) ist das selbstkonsistente elektrische Feld zu verwenden, d.h. die U berlagerung
eines externen Feldes mit dem durch eventuelle Ladungstrennung enstehenden Raumladungsfeld.
Das Raumladungsfeld wird bedeutsam bei der ambipolaren Diusion. Infolge der
hoheren Beweglichkeit der Elektronen eilen die Elektronen im Dichtegradienten den Ionen
voraus und "ziehen\ diese durch das Raumladungsfeld hinter sich her. In eindimensionaler
kartesischer Geometrie schreiben sich die Diusionsgleichungen fur Elektronen und Ionen:
;x = ;ne Ex ; De @n
@x
@n
;x = +ni Ex ; Di @x :
(2.19)
2.2. STOSSPROZESSE
55
Dabei wurden bereits die Teilchenstrome fur Ionen und Elektronen gleich gesetzt, da
keine makroskopische Auadung auftreten kann, und die Pro
lform @n=@x ist wegen der
Quasineutralitat als gleich angenommen. Eliminiert man das Raumladungsfeld Ex, so
erhalt man den Teilchenstrom der ambipolaren Diusion:
Di e + De i :
;x = ;Da @n
mit
D
(2.20)
a=
@x
e + i
Es gilt die Ungleichung Di < Da < De , woraus die Beschleunigung der Ionendiusion und
Abbremsung der Elektronendiusion durch die Raumladungskopplung ersichtlich wird.
2.2.5 Leitfahigkeit
Die elektrische Stromdichte aufgrund der Ladungstragerbewegung ist:
j = je + ji = ne(e + i )E :
(2.21)
Damit ergibt sich die Leitfahigkeit2 der Elektronen zu
e = nee = ne2=mem
(2.22)
und entsprechend fur die Ionen. Die Leitfahigkeit in Gasentladungen ist durch die Zusammenstoe der Ladungstrager mit den Gasatomen bestimmt. Diese Vorstellung ist gerechtfertigt durch den i.d.R. niedrigen Ionisationsgrad = ne =na. Bei einem typischen
Druck von 1 mbar ist na = 2 8 1022m;3 und ne = 1019m;3 stellt bereits eine recht hohe
Elektronendichte dar. Ein charakteristischer Ionisationsgrad ist also von der Groenordnung = 10;3 oder kleiner. In vollstandig ionisierten Plasmen, z.B. in Fusionsplasmen
beruht die Leitfahigkeit auf Zusammenstoen zwischen Elektronen und Ionen (s.u. (2.2.6,
Coulombstoe).
Eine Verwechslung von Leitfahigkeit und Wirkungsquerschnitt, fur die beide das Symbol { aber mit
verschiedenen Indizes { verwendet wird, ist wegen des unterschiedlichen Kontexts nicht zu befurchten. In
Zweifelsfallen werden wir die Resistivitat = 1= verwenden.
2
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
56
2.2.6 Elektronenaufheizung
Elektronen gewinnen zwischen zwei elastischen Stoen Energie aus dem elektrischen Feld.
Wenn der Winkel zwischen dem momentanen Geschwindigkeitsvektor und der Richtung
des elektrischen Feldes mit bezeichnet wird, ist dies gerade eE cos . Bei einem elastischen Sto mit einem Atom der sehr viel groeren Masse ma verliert das Elektron im
Mittel nur eine sehr geringe Energie.
Klassische Elektronenstreuung
Der Einfachheit halber betrachten wir das Atom als ruhend, was durch die sehr viel
hohere thermische und gerichtete Geschwindigkeit der Elektronen zu rechtfertigen ist,
und das Elektron besitze vor dem Sto die Geschwindigkeit ve. Das Elektron moge unter
einem Winkel gestreut werden (s. Abb. 2.13). Dann kann der elastische Sto durch
Impulserhaltung und Energieerhaltung beschrieben werden. Die Geschwindigkeiten nach
dem Sto seien durch ve0 und va0 bezeichnet.
Abbildung 2.13: Elastische Streuung eines Elektrons an einem Atom.
Die Impulsbilanz lautet dann:
a 0
ve = ve0 cos + m
me va cos a 0
0 = ve0 sin ; m
me va sin und die Energiebilanz:
a 2
ve2 = ve02 + m
m va :
e
(2.23)
(2.24)
(2.25)
2.2. STOSSPROZESSE
57
Hieraus kann zunachst der nicht interessierende Streuwinkel des Atoms eliminiert werden:
31=2
2 0 !2
m
v
(2.26)
cos = 41 ; m eve0 sin2 5
a a
so da die Impulsbilanz lautet:
s
ma 2 v02 ; v02 sin2 :
(2.27)
me a e
Mit Hilfe des Energiesatzes (2.25) kann va0 ersetzt werden:
me v2 ; v02
va02 = m
(2.28)
e
e
a
und die Wurzel verschwindet durch Reorganisation und Quadrieren:
a 2
02 ; v 02 sin2 :
(ve ; ve0 cos )2 = m
v
;
v
(2.29)
e
me e e
Hieraus ergibt sich eine quadratische Gleichung fur ve0 :
ma ma 0
2
0
2
(2.30)
ve 1 + m ; 2ve ve cos + ve 1 ; m = 0 e
e
aus der wir allerdings nicht die Geschwindigkeit ve0 nach dem Sto gewinnen wollen, sondern, in der uns der prozentuale Verlust an kinetischer Energie beim elastischen Sto
interessiert. Hierzu losen wir auf:
2 02 ma 2
(2.31)
ve ; ve m = ve + v ; e02 ; 2ve ve0 cos e
und erhalten schlielich:
!
$W = ve2 ; ve02 = me 1 + ve02 ; 2 ve0 cos :
(2.32)
W
ve2
ma
ve2 ve
Wegen des groen Unterschiedes zwischen Elektronen- und Atommasse wird die A nderung
des Geschwindigkeitsbetrages gering sein und nur die Impulsrichtung geandert werden, so
da wir ve0 =ve 1 setzen durfen und damit:
$W = 2 me (1 ; cos )
(2.33)
W
ma
erhalten. Diese Winkelabhangigkeit ist uns bestens vertraut aus dem analogen Fall des
Comptoneekts, bei dem ja massearme Photonen an den schwereren Elektronen gestreut
werden.
ve = ve0 cos +
58
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.14: Geometrie zur Mittelung des elastischen Energieverlustes.
Als letzter Schritt verbleibt uns noch die korrekte Mittelung dieses Stoprozesses uber
die moglichen Streuwinkel . Denken wir uns um das Atom als Streuzentrum eine Kugel,
deren Oberachenpunkte die moglichen Kombinationen aus einlaufendem und auslaufendem Impulsvektor darstellen. Diese Vorstellung ist insofern korrekt, als wir hier die
Naherung benutzen, da ve0 ve (s. Abb. 2.14). Alle Punkte auf dieser Kugel beschreiben einen gleich wahrscheinlichen Stovorgang. Also konnen wir die Winkelmittelung des
Energieubertrages in Kugelkoordinaten ausfuhren:
$W 1 Z2 Z
=
(2.34)
d d sin 2me (1 ; cos ) = 2me
W
4 0 0
ma
ma
Obwohl dieser Energieverlust z.B. beim Argon nur 0.01% betragt, hat der elastische
Sto doch erhebliche Auswirkung auf den Impuls des Elektrons, indem namlich standig
eine eziente Umverteilung der Impulsrichtung auftritt. Elastische Stoe transformieren
also die Energie der gerichteten Bewegung im elektrischen Feld in thermische, zufallige Bewegung. Andererseits ist der Energieubertrag an das Neutralgas auch so gering, da i.d.R.
das Neutralgas bei Raumtemperatur bleibt wahrend das Elektronengas eine Temperatur
von einigen eV besitzt.
Die dem Elektronengas zugefuhrte elektrische Leistung ist:
Pin = jE = E 2 :
(2.35)
Der Energieverlust der Elektronen setzt sich aus elastischen und inelastischen Verlusten
2.2. STOSSPROZESSE
59
zusammen und wird durch die Energieverlustrate Pout beschrieben:
h
i
X
Pout = n $Wm + Wion ion :
(2.36)
Darin ist m die Impulsverlustfrequenz, ion die im Abschnitt (2.2.7) de
nierte Ionisationsfrequenz und Wion die Ionisationsenergie. Die Summation erstreckt sich uber alle
Atomsorten. Zur Vereinfachung wollen wir nur den Fall untersuchen, in dem der elastische
Energieverlust dominiert. Dann ergibt die Bilanz fur den stationaren Fall, Pin = Pout :
2
n 2mme Wm = mne E 2
a
e m
2
a 2
W = 2emm
E :
2 2
e m
(2.37)
(2.38)
Setzen wir jetzt als charakteristische Elektronenenergie W = mevth2 =2 und berucksichtigen, da die Stofrequenz eines thermischen Elektrons m = vth= = navth ist, so
erhalten wir:
ma 1=2 e E 1
kB Te = 2 m
(2.39)
m na :
e
Damit wird die Elektronentemperatur in diesem Modell linear abhangig vom Verhaltnis (E=na). Da na / p ist, wird der bestimmende Parameter das Verhaltnis E=p. Eine
typische Energieverteilungsfunktion ist in Abb. 2.15 fur den Fall der positiven Saule in
Helium dargestellt 49]. Fur Energien unterhalb der inelastischen Prozesse folgt sie einem
Verlauf / exp(;U=Ue ), wobei die charakteristische Energie Ue den Begri der Temperatur ersetzt. Im inelastischen Bereich gibt es einen analogen Verlauf mit einer zweiten
charakteristischen Energie Ue. Die charakteristische Energie im elastischen Bereich zeigt
den erwarteten Anstieg mit E=p.
Zusammenfassend kann man die sich einstellende Energiebilanz so verstehen, da die
'Temperatur' des Elektronengases solange ansteigt, bis die Summe aus elastischen Energieverlusten und inelastischen Energieverlusten die Joulesche Warme abfuhrt. Diese Argumentation ist vollig analog zu dem Fall der Resonanzamplitude des gedampften getriebenen Oszillators, bei dem die Amplitude sich auf einen so hohen Wert einstellt, der
sicherstellt, da die pro Periode zugefuhrte Energie gerade durch Reibung vernichtet werden kann.
2.2.7 Inelastische Prozesse
Hier interessieren uns zunachst qualitativ die Groe und der Verlauf des Wirkungsquerschnitts fur Ionisation oder Anregung mit der Energie des Projektils 48, 50, 51, 52].
Abb. 2.16 zeigt schematisch den Ionisationsquerschnitt des Helium- und des Argonatoms.
Unterhalb der jeweiligen Ionisationsenergie ist der Wirkungsquerschnitt Null. Bei etwa
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
60
Abbildung 2.15: (links) Elektronenverteilungsfunktion in der positiven Saule einer Heliumentladung aus Sondenmessungen. Die Verteilung kann im Bereich elastischer und
inelastischer Stoe durch je eine Exponentialfunktion / exp(;U=Ue ) dargestellt werden.
(rechts) Die charakteristische Energie Ue im elastischen Stobereich steigt linear mit E=p.
der vierfachen Ionisationsenergie durchlauft er ein aches Maximum und fallt zu hohen
Energien / E ;1 ab.
Im Vergleich zu dem Wirkungsquerschnitt fur elastische Streuung von Elektronen ist
der Ionisationsquerschnitt etwa zwei Zehnerpotenzen kleiner. Daher ist nur etwa jeder
hundertste Sto inelastisch. Es ist daher eine gerechtfertigte Naherung, die inelastischen
Stoe bei der Berechnung der Reibungskrafte unberucksichtigt zu lassen.
Wenn das Elektronengas durch eine Geschwindigkeitsverteilung f (v) charakterisiert
ist, ergibt sich die Zahl der ionisierenden Stoe, die ein Elektron im Mittel pro Sekunde
ausfuhrt zu:
Z
1
(2.40)
ion = na < ionv >= na n f (v)ion(v)vdv :
e
Dabei ist na die Atomdichte. ion wird als Ionisationsfrequenz bezeichnet. Die Zahl der
Ionisationsereignisse pro Volumeneinheit und Sekunde ergibt sich als:
S = ion ne = ne nahionvi
und wird als Ionisationsrate bezeichnet.
(2.41)
2.2. STOSSPROZESSE
61
Abbildung 2.16: Ionisationsquerschnitt von Helium und Argon
2.2.8 Coulombstoe
Bisher haben wir nur Zusammenstoe der Elektronen mit Gasatomen betrachtet. In
einem schwach ionisierten Plasma sind jene Stopartner allein von ihrer groeren Anzahl her die bedeutendsten. In vollionisierten Plasmen mussen wir die Reibung zwischen
dem Elektronen- und Ionengas berucksichtigen. Der Impulsubertrag bei einem ElektronElektron-Sto verandert den Gesamtimpuls des Elektronengases nicht. Wir konnen also
e-e Stoe fur die Reibungskrafte auer Betracht lassen. Allerdings bestimmen sie die Diffusion.
Die Bahn eines Elektrons im Coulombfeld eines Ions ist in Abb. 2.17 dargestellt. Der
Stoparameter soll klein gegenuber der Debyelange gewahlt sein, so da das nackte
Coulombfeld in Erscheinung tritt. Vereinfachend setzen wir die Hyperbelbahn aus drei
Teilstucken zusammen: den beiden Asymptoten mit Stoparameter b und einem (angenaherten) Kreisbogen. Die Wechselwirkungszeit lat sich abschatzen durch T b=v.
Die Impulsanderung ist bei groen Ablenkungswinkeln etwa gleich dem Betrag des Impulses $p jpj und lat sich durch die Coulombkraft und Wechselwirkungszeit darstellen
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
62
Abbildung 2.17: Stogeometrie fur Elektron-Ion-Sto.
$p FcT . Hieraus erhalten wir
!
2
2
e
mev = 4 b2 bb = 4e bv
(2.42)
0
0
und damit den Stoparameter fur 90o -Stoe angenahert zu:
2
b90 = 4 em v2 :
(2.43)
0 e
Aus b90 ergibt sich der zugehorige Wirkungsquerschnitt als 90 = b290 und die ElektronIon-Stofrequenz zu
4
(2.44)
ei = n90v = 16ne2m2v3 :
0
e
Die Resistivitat = meei =ne lat sich groenordnungsmaig abschatzen, wenn v =
(kB T=me)1=2 gesetzt wird:
2 1=2
= (4e)2(mk e T )3=2 :
(2.45)
2
0
B
Hier erkennt man bereits, da die Resistivitat unabhangig von der Elektronendichte und
proportional zu T ;3=2 wird. Diese Herleitung basiert auf Growinkelstoen. Die genauere Analyse zeigt, da die Summe vieler Kleinwinkelstoe wichtiger ist. Dabei ist aber
zu berucksichtigen, da die Reichweite der Coulombkraft etwa auf die Debyelange beschrankt ist.
2.2. STOSSPROZESSE
63
Die genauere Rechnung liefert die Spitzerformel 53]
2 1=2
= (4e)2(mke T )3=2 ln ( :
0
(2.46)
B
Hierin ist ( 9ND der Coulomblogarithmus, der aus der Summation uber alle Stoparameter bis zur Debyelange resultiert. Werte fur ln(() sind in Tabelle 2.1 zusamengestellt.
Fur praktische Rechnungen ist ln(() = 10 ein guter Schatzwert. Ein heies Plasma von
T = 10keV hat eine Resistivitat von = 5 10;10 )m. Diese ist geringer als die von Kupfer
Cu = 2 10;8 )m. Dies erklart, warum ein heies Plasma wie ein idealer Leiter betrachtet
werden kann.
Tabelle 2.1: Werte des Coulomb-Logarithmus (
Plasmaentladung kB Te / eV n / m;3
Q-Maschine
0,2
1015
Gasentladung
2
1017
Torusexperimente
100
1019
4
Fusionsreaktor
10
1021
Laserfusion
103
1027
ln (
9,1
10,2
13,7
16
6,8
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
64
2.3 Mechanismen der DC-Glimmentladung
In diesem Kapitel sollen die Mechanismen der verschiedenen Zonen der mit Gleichspannung betriebenen Gasentladungen nun konkretisiert werden.
2.3.1 Elektronenaustritt aus Metallen
In der Glimmentladung werden Elektronen aus der metallischen Kathode durch Beschu
mit energiereichen Ionen aus dem Kathodenfall ausgelost. Der Auslosekoezient i gibt
die Zahl der pro Ion ausgelosten Elektronen an. Abb. 2.18 zeigt die Elektronenausbeute je
einfallendes Ion fur reines Wolfram und Edelgasionen 48]. Sie nimmt hier Werte zwischen
etwa 2% und 30% an und hangt von der Kombination aus Projektil und Metall ab.
Im Unterschied zur Ionisation neutraler Atome durch Elektronensto tritt hier kein
Schwellwert auf, da das Ion bei Kontakt mit den Elektronen an der Oberache Energie
durch Rekombination gewinnt. Diese gewonnene Ionisationsenergie des einfallenden Ions
ist meist groer als die Austrittsarbeit eines Elektrons aus dem Metall.
Der Elektronenaustritt aus heien Metalloberachen wird durch die Richardsongleichung beschrieben 54, 55], die die Emissionsstromdichte einer thermischen Kathode
beschreibt:
aus (2.47)
j = AT 2 exp ; W
kB T :
Einen Vergleich der Emissionsdaten von reinem Wolfram mit einer Oxidkathode zeigt
Tabelle 2.2 56].
KathodenA
Waus T
j
material (A cm;2K;2) (eV) (K) (A cm;2)
Massiv
W
60 100
4,5 2500
0,3
Oxid BaO + SrO 10;2 10;3 1,0 1100
3
Tabelle 2.2: Emissionsdaten von Wolfram- und Oxidkathoden
2.3.2 Kathodenfall
Es ist experimentell bekannt, da in der normalen Glimmentladung der Spannungsabfall im Kathodenfall sehr gro gegenuber der typischen thermischen Elektronenenergie
(in Volt) ist, die man in der positiven Saule oder im negativen Glimmlicht ndet. Daher
diundieren keine Elektronen vom negativen Glimmlicht gegen das bremsende elektrische Feld in den Kathodenfallraum. Die einzigen Elektronen, die im Kathodenfallbereich
auftreten, stammen aus der Kathode oder aus der Ionisationskaskade. Damit steigt der
2.3. MECHANISMEN DER DC-GLIMMENTLADUNG
65
Abbildung 2.18: Sekundarelektronen-Ausbeute fur Edelgasionen auf reine Wolframoberachen
Beitrag der Elektronen zur Stromdichte von der Kathode zur Anode hin an, wahrend umgekehrt der Ionenbeitrag zur Stromdichte an der Kathode am groten ist. Der Anteil der
Ionen, die von der Anodenseite in den Kathodenfall hineindiundieren ist gering im Vergleich zu dem an dieser Stelle vorhandenen Elektronenstrom, da die Ionenbeweglichkeit
um zwei Zehnerpotenzen geringer ist als die der Elektronen. Folglich ist der Kathodenfall
der Bedingung unterworfen, sich selbst aufrechterhalten zu konnen.
Die aus der kalten Kathode austretenden Elektronen werden im Feld vor der Kathode
beschleunigt und erzeugen neue Ladungstrager, die ihrerseits beschleunigt werden und
zur lawinenartigen Vermehrung der Ladungstrager fuhren. In einfachster Naherung wird
das Wachstum der Lawine durch den Gasverstarkungsfaktor beschrieben:3
@ji = ;j :
@je = j
&
(2.48)
e
e
@z
@z
Dabei nehmen wir vereinfachend an, da nicht von der ortlich variierenden elektrischen
3
heit in der Literatur Townsends erster Ionisationskoezient
66
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Feldstarke abhangt. Dann wachst die Stromdichte der Elektronen je exponentiell an:
je = je0ez
(2.49)
Als Randbedingung an der Kathode wahlen wir: je0 = ji0, d.h. da die Elektronen aus
der Sekundaremission stammen. Am anodischen Rand der Kathodenschicht fordern wir,
da die Elektronen den Gesamtstrom tragen: je(d) = j . Damit ergibt sich dann nach
kurzer Rechnung die Stromverteilung zu:
je (z) = 1 + j ez
(2.50)
!
ji (z) = j 1 ; 1 + ez
(2.51)
Das Verschwinden des Ionenstrombeitrages bei z = d erfordert dann, da:
ed ; 1 = 1 :
(2.52)
Diese Beziehung besagt, da die Gasverstarkung (abzuglich des Startelektrons), die auch
die Zahl der auf die Kathode zuruckfallenden Ionen bestimmt, die Ausbeute an Sekundarelektronen gerade ausgleichen mu. Im Kathodenfall erfolgt also der Stromtransport vorwiegend durch Ionen, nur am Rand des negativen Glimmlichts dominiert
der Strombeitrag der Elektronen. Es sei darauf hingewiesen, da wir Diusionsverluste
zur Wand, die die Bilanzgleichung mitbestimmen, vernachlassigt haben.
2.3.3 Negatives Glimmlicht
Im Glimmlicht sind hinreichend viele Elektronen vorhanden, die aus den letzten Generationen des Lawinenprozesses stammen und im Kathodenfall noch eine Energie aufgenommen haben, die zur Ionisation von Neutralen ausreicht. Diese Elektronen verlieren
jetzt im Gasraum durch anregende Stoe und Ionisation ihre Energie. Hieraus stammt
das intensive Leuchten, das zur Anode hin graduell abnimmt. Die Energieaufzehrung dieser energetischen Elektronen markiert den Beginn des Faraday-Dunkelraums. Weiterhin
besteht keine Notwendigkeit, da im negativen Glimmlicht Elektronenaufheizung statt
ndet, da das Glimmlicht aus der Energie des Kathodengebiets gespeist wird. Daher ist
das negative Glimmlicht nahezu feldfrei.
2.3.4 Positive Saule
Die positive Saule der Glimmentladung ist von technischer Bedeutung fur die Beleuchtungstechnik, z.B. die Leuchtstorohren. In der positiven Saule haben die Elektronen eine
Energiebilanz angenommen, die durch den Energiegewinn im elektrischen Feld (vgl. 2.2.5)
und Energieverlust durch Diusion und Linienstrahlung bestimmt ist.
2.3. MECHANISMEN DER DC-GLIMMENTLADUNG
67
Die Teilchenbilanz der positiven Saule ist durch ein Gleichgewicht aus Ladungstragererzeugung durch Ionisation und Verlust durch ambipolare Diusion zur Rohrwandung
und dortiger Rekombination bestimmt.4 Die Teilchenbilanz wird durch die Kontinuitatsgleichung 4.8 beschrieben, die um den Erzeugungsterm S erweitert ist:
@n + r (n~v) = S :
(2.53)
@t
n ist die Elektronendichte. Hier interessieren zunachst nur stationare Losungen @n=@t = 0
und der Teilchenstrom n~v soll durch ambipolare Diusion bestimmt sein:
n~v = ;Darn :
(2.54)
Die Kombination von (2.53), (2.54) und der De
nition (2.41) von S ergibt fur Da = const:
die Diusionsgleichung:
Da $n + nahvin = 0 :
(2.55)
Fur die i.d.R. verwendeten langen zylindrischen Entladungsrohre herrscht in der positiven Saule Zylindergeometrie und axiale Verluste werden vernachlassigt. Die Diusionsgleichung lautet dann:
@ 2n + 1 @n + An = 0 :
(2.56)
@r2 r @r
Dabei ist A = nahion vi=Da. Dieses ist eine Besselsche Dierentialgleichung. Sie wird
gelost durch die Besselfunktion J0(x) und die Neumannfunktion Y0(x) (s. Abb. 2.19). Die
Neumannfunktion besitzt bei r = 0 eine Singularitat, so da dieser Typ von Losung hier
unphysikalisch ist. Bei geschichteten zylindrischen Problemen tritt fur r > 0 eine Linearkombination aus J0 und Y0 auf. Mit der realistischen Annahme, da die Elektronendichte
an der Rohrwandung verschwindet, ist die Fundamentallosung durch die Besselfunktion
J0(r) gegeben:
p (2.57)
n(r) = n(0)J0 Ar :
Da die Losung die Randbedingung n(r0) = 0 erfullen soll, wird
n(r) = n(0)J0 2 405 rr (2.58)
0
wobei 2,405 die erste Nullstelle von J0 ist. Aus der Randbedingung folgt dann die Beziehung:
nahion vi = (2 405)2 = 1 (2.59)
Da
r02
(2
aus der wir die Bilanzgleichung aus Erzeugung und Diusionsverlust (pro Elektron) gewinnen:
a
nahionvi = D
(2.60)
2
( :
Dabei ist ( = r0=2 405 die charakteristische Gradientenlange eines Besselpro
ls.
In elektronegativen Gasen ist die Anlagerung von Elektronen an Atome (Attachment) ein wesentlicher
Verlustkanal.
4
68
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.19: Verlauf der Besselfunktion J0 (ausgezogene Linie) und der Neumannfunktion Y0 (gestrichelt).
2.3.5 Die Anodenschicht
Die Anodenschicht verhalt sich weitgehend wie die Debyeschicht vor einer oatenden
Sonde (vgl. Abschnitt 7.2.4). Da der Gesamtstrom durch die Entladung in allen Zonen
konstant ist, mu die Anode negativ gegenuber der positiven Saule sein, um den Elektronenstrom soweit zu reduzieren, da er etwa gleich dem Ionenstrom zur Kathode im Kathodenfall wird. Damit iet zur Anode der Ionensattigungsstrom (vgl. Abschnitt 7.2.2)
und ein Elektronenanlaufstrom (vgl. 7.2.3). Sekundaremission durch Ionenbeschu der
Anode ist in der Regel wegen der kleinen Werte von i vernachlassigbar. Anders ist es mit
Sekundaremission durch Strahlelektronen aus dem Kathodenbereich, die bei niedrigem
Druck die Anode erreichen konnen.
2.4 Mechanismen der HF-Glimmentladung (*)
Die Leuchterscheinung der HF-Glimmentladung zwischen parallelen Platten gliedert sich
in die dunklen Randschichten vor den Elektroden und das Glimmlicht, das das Plasmavolumen erfullt (Abb. 2.20).
Der zeitliche Verlauf der angelegten Hochfrequenzspannung und des Plasmapotentials
(in Bezug auf den angegebenen Erdpunkt) ist in Abb. 2.21 fur sechs verschiedene Situationen zusammengestellt 58]. Man unterscheidet zwei Kategorien: die DC-gekoppelte und
die kapazitiv gekoppelte Entladung. Weiterhin ist es bedeutsam, ob die Elektrode mit der
2.4. MECHANISMEN DER HF-GLIMMENTLADUNG (*)
69
Abbildung 2.20: (a) Schematische Einteilung der Parallelplattenentladung in Raumladungsschichten und Glimmlicht und (b) zugehorige Ersatzschaltung.
groeren oder kleineren Flache gespeist wird.
In der Randschicht iet stets ein hoher Elektronenstrom, wenn die Elektrode positiv gegenuber dem Plasmapotential wird. Bei umgekehrter Polung iet nur der viel
geringere Ionensattigungsstrom (vgl. 7.2.2). Neben diesen Leitungsstromen iet ein erheblicher Verschiebungsstrom infolge der periodischen Ausdehnung und Kontraktion der
Randschicht. Das Ersatzschaltbild fur die Randschicht (Abb. 2.20) besteht daher aus
der Parallelschaltung einer Diode (fur den Elektronenstrom), einem Widerstand (fur den
Ionenstrom) und einem Kondensator (fur den Verschiebungsstrom). Der Verschiebungsstrom ist bei 13.56 MHz stets gro gegenuber dem Ionenstrom. Die Stromkontinuitat
durch die gesamte Entladung fuhrt bei unterschiedlich groen Elektrodenachen dazu,
da uber der kleineren Elektrode, die die kleinere Randschichtkapazitat aufweist, stets
die groere Spannung abfallt.
In der kapazitiv gekoppelten Entladung ist der mittlere Gleichstrom Null, wahrend in
der DC-gekoppelten Entladung im aueren Kreis infolge der unterschiedlichen Elektrodenachen auch ein Gleichstrom ieen kann. Die kapazitiv gekoppelte Entladung weist
im asymmetrischen Fall stets einen mittleren Gleichanteil des Plasmapotentials auf. Insbesondere vor der kleineren Elektrode kann diese Gleichspannung, englisch selfbias, zu
Verhaltnissen fuhren, die einer Gleichspannungsentladung entsprechen.
Die Ladungstragererzeugung im Glimmlicht erfolgt durch energetische Elektronen aus
70
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
den Randschichten. Bei hohem Druck spielt auch die lokale Aufheizung eine Rolle, so da
die Verhaltnisse der positiven Saule ahnlicher werden. Bei hoher Leistung funktioniert die
Randschicht wie bei einer DC-Entladung. In dem mittleren Gleichfeld der Randschicht
werden Ionen auf die Elektrode beschleunigt und erzeugen Sekundarelektronen, die ihrerseits Energie aus dem mittleren Feld gewinnen und das Glimmlicht aufrechterhalten.
Wegen der Dominanz der Sekundaremission heit diese Betriebsart -Regime.
Bei kleiner zugefuhrter Leistung dominiert ein Heizmechanismus, bei dem die Elektronen ihre Energie durch die periodische Schichtexpansion erhalten, so da sie wie Wellenreiter auf einer Ozeanwelle vorwarts getragen werden und durch Zusammenstoe mit
den Gasatomen an Temperatur gewinnen. Dieser Mechanismus wird als wave-riding bezeichnet 57], der Entladungszustand als -Regime. Sinkt der Gasdruck soweit ab, da die
freie Weglange der Elektronen mit dem Plattenabstand vergleichbar wird, kommt es zu
einem stochastischen Heizungsproze, bei dem die Elektronen zwischen den beiden oszillierenden Randschichten hin und her reektiert werden und aus der Zufalligkeit der Phase
beim Auftreen auf die gegenuberliegende Schicht an Energie gewinnen und diese letzlich
durch elastische Stoe mit dem Gashintergrund im ganzen Volumen thermalisieren.
2.4. MECHANISMEN DER HF-GLIMMENTLADUNG (*)
71
Abbildung 2.21: Schematische Darstellung des zeitlichen Verlaufs von Plasmapotential
(ausgezogene Linie) und angelegter Spannung (gestrichelt) fur DC-gekoppelte und kapazitiv gekoppelte Entladungen.
72
2.5 Aufgaben
KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
1. Betrachten Sie die Maxwellverteilung der Geschwindigkeitsbetrage (2.16). Zeigen
Sie, da das Maximum der Verteilung bei vw = 2kB T=m liegt (wahrscheinlichste
Geschwindigkeit)!
2. Bilden Sie das erste Moment der Maxwellverteilung (2.16):
Z1
v- = (1=n) vfM (v)dv !
0
q
Zeigen Sie, da v- = 8kB T=m ist (mittlere thermische Geschwindigkeit).
3. Zeigen Sie entsprechend, da das zweite Moment durch hv2i = 3=2 vw2 gegeben ist.
4. Die Bewegung von Elektronen in einem elektrischen Wechselfeld mit gleichzeitiger
Reibung am Neutralgas kann durch folgende Dierentialgleichung fur ein 'gemitteltes' Elektron beschrieben werden:
mv_ + mmv = ;eE0e;i!t :
Losen Sie die DGL mit dem Ansatz v = v0 exp(;i!t) und bestimmen Sie die Phasenlage des Teilchenwechselstroms j0 = ;nev0 relativ zur elektrischen Feldstarke E0
in den Grenzfallen m ! und m !.
5. Die positive Saule einer langen zylindrischen Gasentladung zerfallt nach Abschalten
der Spannungsversorgung durch radiale ambipolare Diusion gema der Gleichung:
@n ; D 1 @ (r @n ) = 0 :
a
@t
r @r @r
Losen Sie die DGL mit einem Separationsansatz n(r t) = n(r)T (t). Zeigen Sie, da
zeitlich zerfallende Losungen T (t) / exp(;t= ) auftreten. Nehmen Sie weiterhin
an, da die radiale Losung durch die Diusionsgrundmode n(r) = n(0)J0(2 4r=a)
gegeben ist. Bestimmen Sie die Abklingkonstante aus der Separationsbedingung.
6. Im stationaren Gleichgewicht stellt sich in der positiven Saule ein Gleichgewicht aus
Ionisation und radialer Diusion ein:
@ (r @n ) = S (r) :
;Da 1r @r
@r
Wie sieht das radiale Dichtepro
l aus fur den Fall, da S = inan proportional zum
Dichtepro
l ist, d.h. wenn die Elektronentemperatur Te uber den Durchmesser des
Rohres konstant ist?
Kapitel 3
Das Einzelteilchenmodell
Dieses Kapitel beschaftigt sich mit der Bewegung von geladenen Teilchen in vorgegebenen
elektromagnetischen Feldern. Besondere Bedeutung hat dabei der Einschlu von Teilchen
in Magnetfeldern. Die Ruckwirkung der Teilchen { durch Raumladung und Strome {
auf die Felder wird zunachst auer acht gelassen. Das Einzelteilchenmodell beschreibt
Teilchenbahnen in der Magnetosphare und in Experimenten zum magnetischen Einschlu
heier Plasmen in der kontrollierten Kernfusion.
3.1 Einfuhrung
Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die Newtonsche Bewegungsgleichung fur ein Teilchen der Masse m und Ladung q:
m~v_ = q(E~ + ~v B~ ) :
(3.1)
Diese Gleichung ist mit analytischen Verfahren nur in einfachen Fallen (homogene bzw.
zeitunabhangige Felder) losbar. Fur schwache raumliche Gradienten bzw. langsam zeitveranderliche Felder gibt es leistungsfahige Naherungslosungen, die in diesem Kapitel
vorgestellt werden.
3.1.1 Das Fuhrungszentrum
Betrachten wir zunachst den einfachsten Fall eines homogenen stationaren Magnetfeldes
B~ = (0 0 Bz ) und verschwindenden elektrischen Feldes E~ = 0. In kartesischen Koordinaten ergibt sich dann das Gleichungssystem:
v_ x = +vy mq Bz
v_ y = ;vx mq Bz
v_ z = 0 :
(3.2)
73
74
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Durch Kombination der beiden ersten Gleichungen erhalt man die Gleichung eines harmonischen Oszillators:
qBz 2
(3.3)
vxy = ; m vxy d.h. da die Bewegung periodisch mit der Zyklotronfrequenz erfolgt:
!c = jmqj Bz :
(3.4)
Die Zyklotronfrequenz der Elektronen ist 28 GHz bei einem Magnetfeld von B = 1T,
die Ionenzyklotronfrequenz ist um das Massenverhaltnis kleiner. In der x-y-Ebene ist die
Teilchenbahn ein Kreis, fur endliche Anfangsgeschwindigkeit vz0 wird sie eine Spirale um
die betrachtete Magnetfeldlinie (Abb. 3.1). Diese Bewegungsart wird als Gyration um die
Feldlinie bezeichnet. Der Radius der Kreisbahn heit Gyrationsradius oder Larmorradius.
Abbildung 3.1: (oben) Gyration von Elektronen und Ionen. (unten) Helixbahn eines Ions.
Der Umlaufsinn um das Magnetfeld hangt vom Vorzeichen der Ladung ab. Elektronen
sind "rechtshandig\, Ionen "linkshandig\ (Abb. 3.1).
Die im folgende zu entwickelnde Naherung geht von der Vorstellung aus, da im Falle
eines inhomogenen oder zeitveranderlichen Feldes die Gyrationsbahn fur die Dauer eines
3.1. EINFUHRUNG
75
Umlaufs noch nahezu ein Kreis ist. Den Mittelpunkt dieser momentanen Kreisbahn nennen wir das Fuhrungszentrum (engl. guiding center). Von Umlauf zu Umlauf verschiebt
sich der Mittelpunkt dieses Kreises um eine gewisse Strecke. Die resultierende Bewegung
des geladenen Teilchens kann daher naherungsweise als U berlagerung einer Kreisbewegung
mit einer Drift des Fuhrungszentrums beschrieben werden.
3.1.2 E B Drift
Der Fall von gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern ist das Modellbeispiel fur
die angefuhrte Methodik. Beide Felder sollen homogen und stationar sein: E~ = (Ex 0 Ez ),
B~ = (0 0 Bz ). Die Newtongleichung lautet dann:
v_x = mq (Ex + vy Bz )
v_ y = mq (;vxBz )
(3.5)
v_z = mq Ez :
Die Bewegung langs der Magnetfeldlinie ist nun konstant beschleunigt, aber unabhangig
von der x-y-Bewegung, so da sie nach dem U berlagerungsprinzip gesondert betrachtet
werden kann. Fur die Bewegung in der x-y-Ebene lassen sich die Gleichungen wieder
entkoppeln:
vx = ;!c2vx
vy = ;!c2(vy + Ex=Bz ) (3.6)
d.h. in x-Richtung erfolgt eine harmonische Oszillation, aber die y-Bewegung ist komplizierter. In einem bewegten Bezugssystem v~y = vy + Ex=Bz , das mit der Geschwindigkeit
;Ex=Bz in negative y-Richtung fortschreitet, ergibt sich wieder eine einfache harmonische
Bewegung:
v~y = ;!c2v~y :
(3.7)
Also ist die Losung fur die Geschwindigkeiten die Uberlagerung
einer Kreisbahn und einer
Drift, der E B -Drift:
vx = v? sin !ct
vy = v? cos !c t ; Ex=Bz :
(3.8)
Die typische Bahnkurve zeigt Abb. 3.2. Aus mathematischer Sicht stellt sie eine Zykloide
dar:
x = x0 ; v!? cos !c t
c
v
?
y = y0 + ! sin !c t ; EBx t
(3.9)
c
z
76
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Diese Formeln gelten fur positive Ladungstrager. Fur negative ist entsprechen !c durch
;!c zu ersetzen.
Man kann sich das Zustandekommen der E B -Drift auch anhand energetischer U berlegungen klarmachen. Auf der Seite hoher potentieller Energie ist die kinetische Energie
klein und damit der momentane Gyrationsradius klein. Auf der Seite niedriger potentieller Energie hat das Elektron kinetische Energie aus dem elektrischen Feld aufgenommen
und der Gyrationsradius ist entsprechend groer als der mittlere Gyrationsradius. Folglich ergibt sich fur Elektronen und Ionen ein Versatz in y-Richtung. Da der Umlaufsinn
von Elektronen und Ionen entgegengesetzt ist und infolge der entgegengesetzten Ladung
Energiegewinn und -verlust gerade vertauscht sind, erfolgt die resultierende Drift fur Elektronen und Ionen in dieselbe Richtung.
Abbildung 3.2: E B -Drift von Elektronen und Ionen.
In Vektorschreibweise ist die E B -Driftgeschwindigkeit:
~ ~
~vE = E B2B :
(3.10)
Die E B -Drift ist unabhangig von q und m, bewirkt also keine Ladungstrennung und
keinen Nettostrom.
3.1. EINFUHRUNG
77
3.1.3 Gravitationsdrift
Das ionospharische Plasma erfahrt am Erdaquator eine ahnliche Situation gekreuzter
Felder, namlich ein horizontales Magnetfeld und eine vertikale Gravitationskraft. Die zugehorige Newtongleichung:
m~v_ = m~g + q~v B~
(3.11)
lat sich in den Fall der E B -Drift uberfuhren, wenn E~ = (m=q)~g gesetzt wird. Dann
kann das Ergebnis fur diese Gravitationsdrift direkt angegeben werden:
~
~vg = mq ~g B2B :
(3.12)
Jetzt ist die Driftgeschwindigkeit von Ladung und Masse abhangig. Daher iet in aquatorialer Richtung ein Nettostrom, der die Summe aus Elektronen- und Ionendrift darstellt:
jg = n(mi + me) Bg :
(3.13)
Dabei uberwiegt infolge der groen Masse der Ionenbeitrag.
3.1.4 Inhomogene Magnetfelder
Im Falle eines inhomogenen Magnetfeldes wollen wir die Losung in mehreren Schritten
diskutieren, um den Einu verschiedener Aspekte der Inhomogenitat gesondert erfassen
zu konnen. Naturlich sind die Aspekte von Gradient und Krummung der Feldlinien nicht
voneinander trennbar.
Gradientendrift
Betrachten wir zunachst den Fall eines Magnetfeldes, bei dem der Gradient des Feldes
senkrecht auf den Feldlinien steht (Abb. 3.3). Qualitativ erwartet man bereits anhand der
Diskussion der E B -Drift, da der instantane Gyrationsradius im Bereich schwacheren
Magnetfeldes groer ist und daher eine Drift senkrecht zu B und zu rB erfolgt. Im
Unterschied zur E B -Drift wird die hier auftretende Drift ladungsabhangig sein.
Zur Losung des Driftproblems wahlen wir jetzt die Naherung des Fuhrungszentrums
("guiding center approximation\), da der Gyrationsradius rL = v? =!c klein gegenuber
der Skalenlange des Magnetfeldgradienten L = jB j=jrB j ist.
Auf das Teilchen wirkt die Lorentzkraft F~ = q~v B~ . In der Geometrie von Abb. 3.3
ist ihre y-Komponente:
Fy = ;qvxBz (y) (3.14)
wobei Bz (y) das Magnetfeld am Teilchenort ist. Dieses kann durch Taylorentwicklung
durch das Feld am Ort des Fuhrungszentrums (d.h. des "Mittelpunktes\ der "Kreisbahn\)
78
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Abbildung 3.3: Gradientendrift eines Elektrons. Infolge des anderen Umlaufsinns, erfolgt
die Gradientendrift der Ionen in die entgegengesetzte Richtung.
ausgedruckt werden:
"
#
@B
z
Fy = ;qv? sin(!c t) B0 rL sin(!c t) @y :
(3.15)
Das obere Vorzeichen gehort zu positiven, das untere zu negativen Ladungstragern. Wenn
wir das Magnetfeld B0 ausklammern, erkennen wir den gewahlten Entwicklungsparameter:
#
"
r
L @Bz =@y
Fy = ;qv? sin(!c t)B0 1 B
sin(!c t) :
(3.16)
0
Um den Versatz der Kreisbahn durch den Feldgradienten zu bestimmen interessiert uns
die Nettowirkung der Kraft nach einem Umlauf. Hierzu mittelt man diese Lorentzkraft
uber eine Gyrationsperiode:
@Bz 1 :
z
2
hFy i = qv?rL @B
h
sin
(
!
(3.17)
c t)i = ev?rL
@y
@y 2
3.1. EINFUHRUNG
79
Diese gemittelte Kraft ist ladungsunabhangig und wirkt genau wie eine externe Kraft im
Falle der Gravitationsdrift. Folglich kann man die Driftgeschwindigkeit naherungsweise
gewinnen, indem man die gemittelte Kraft auf das Teilchen in der Formel fur die E B Drift verwendet:
~ ~
~vrB = q1 hF iB2 B
~
B~ j :
(3.18)
= 12 v?rL B Brj
2
Dieses ist die Gradientendrift, die infolge ihrer Ladungsabhangigkeit einen Strom senkrecht zum Magnetfeld erzeugt und ladungstrennend wirkt.
Krummungsdrift
Im zweiten Fall betrachten wir gekrummte Magnetfeldlinien, fur die wir zunachst vereinfachend einen konstanten Krummungsradius Rc aber einen konstanten Magnetfeldbetrag
annehmen (Abb. 3.4). Diese Feldgeometrie verletzt offensichtlich die Maxwellgleichungen im Vakuum, aber der Beitrag der Betragsanderung von B ergibt gerade die Gradientendrift, die wir bereits diskutiert haben.
Abbildung 3.4: Die Krummungsdrifts entsteht durch die Zentrifugalkraft infolge der Bewegung langs der gekrummten Feldlinie. Rc ist der lokale Krummungsradius der Feldlinie.
80
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
In diesem Fall interessiert uns die mittlere Zentrifugalkraft, die ein Ladungstrager
aufgrund seiner Parallelgeschwindigkeit zu den Feldlinien erfahrt:
mvk2
~
(3.19)
hFci = R ~eR :
c
Mit dieser mittleren Kraft wird die Geschwindigkeit der Krummungsdrift:
~ ~
~vR = 1q FcB2 B
mv2 ~ ~
= qB k2 RcR2 B :
(3.20)
c
Von der unrealistischen Annahme des konstanten Feldes bei gekrummten Feldlinien
konnen wir uns leicht befreien. Wir nehmen an, da das Magnetfeld am interessierenden
Ort durch Strome auerhalb des betrachteten Volumens erzeugt wird. Das sind entweder
Spulenstrome im Falle eines Laborexperiments oder Dynamostrome im Erdinneren, wenn
wir das Erdmagnetfeld betrachten. Daher konnen wir das Magnetfeld im interessierenden
Volumen als wirbelfrei ansehen:
r @B
(r B~ )z = @B
(3.21)
@s ; @r = 0 :
Aus der Zeichnung 3.4 ergibt sich:
ds = ; dBr oder : 1 = ; 1 @Br :
(3.22)
Rc
B
Rc
B @s
Mit (3.21) folgt dann:
1 = ; 1 @B
(3.23)
Rc
B @r
Damit konnen wir also den Feldgradienten aus dem Krummungsradius der Feldlinien
abschatzen. Letztlich ergibt sich dann unter Verwendung des Vektors R~ c der relative
Feldgradient zu:
rjB j = ; R~ c :
(3.24)
jB j
R2
c
Mit diesem Ausdruck konnen wir den zusatzlichen Beitrag der Gradientendrift in diesem
gekrummten Feld berechnen:
~vrB = vB?r2L B~ R~ c jRB2j :
(3.25)
c
Addiert man beide Drifteinusse im gekrummten inhomogenen Feld:
~ ~
~vR + ~vrB = mq vk2 + 12 v?2 RRc 2BB
(3.26)
2
c
3.1. EINFUHRUNG
81
so erkennt man, da sie sich wegen der Abhangigkeit vom Quadrat der Geschwindigkeiten
stets gegenseitig verstarken. Der Fall gekrummter Feldlinien spielt in toroidalen Magnetfeldanordnungen wie Tokamaks und Stellaratoren eine Rolle, bei denen die Kompensation
dieser Drift durch geeignete Manahmen erfolgen mu, da sie sonst zum Verlust des Plasmaeinschlusses fuhrt. Diese gesamte Driftbewegung heit daher oft toroidale Drift.
In der Ionosphare kann die Krummungsdrift wichtiger werden als die Gravitationsdrift.
Dies erkennt man an dem Quotienten:
vR = vk2 :
(3.27)
vg 2Rc g
In der F-Schicht haben die Elektronen ein Temperaturmaximum von 0,3 eV, so da mit
vk = vthe und Rc 6900 km vR=vg 1 6 103 wird. Damit dominiert die Krummungsdrift fur die Elektronen gegenuber der Gravitationsdrift. Fur die Ionen ist die Temperatur
geringer und das Quadrat der thermischen Geschwindigkeit um den Massenfaktor me=mi
reduziert. Damit wird die Krummungsdrift der Ionen geringfugig kleiner als die Gravitationsdrift. In den van Allen Strahlungsgurteln haben dagegen die Protonen eine sehr hohe
Energie, so da dort stets die Krummungsdrift dominiert. geringer
Longitudinaler Gradient
Hier betrachten wir den Fall, da der Magnetfeldgradient parallel zur Feldrichtung orientiert ist (Abb. 3.5). Der Einfachheit halber wahlen wir den Fall, da die Feldlinien ein
rotationssymmetrisches Bundel um eine zentrale (gerade) Feldlinie bilden, auf der sich
das Fuhrungszentrum bewegt. Von der Krummung der Feldlinien auerhalb der Achse
sehen wir zunachst ab, da dieser Fall oben gesondert behandelt wurde. Im Falle einer
derartigen Feldinhomogenitat erfahrt ein Ladungstrager wahrend eines Gyrationsumlaufs
eine permanente Kraftwirkung durch den Anteil der Lorentzkraft ~v? B~ r , der von der
Radialkomponente des Magnetfeldes stammt. Der Kraftvektor zeigt stets in den Bereich
schwacheren Magnetfeldes. Die Reektion eines Teilchens in einem konvergenten Magnetfeld wird als Spiegeleekt bezeichnet.
Den Radialanteil des Magnetfeldes erhalten wir aus:
@ (rB ) + @ B :
0 = r B~ = 1r @r
(3.28)
r
@z z
Sei @Bz =@z vorgegeben fur r = 0 und naherungsweise als konstant anzusehen. Dann wird
" #
Zr @Bz
1
z
rBr = ; r @z dr ; 2 r2 @B
:
(3.29)
@z
r
=0
0
Damit wird :
" #
1
z
Br ; 2 r @B
@z r=0
(3.30)
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
82
Abbildung 3.5: Longitudinaler Gradient des Magnetfeldes.
und die auf das gyrierende Teilchen wirkende zusatzliche Lorentzkraft:
" #
1
z
Fz = ; 2 qv?r @B
(3.31)
@z r=0 :
Mit der Annahme, da das Fuhrungszentrum bei r = 0 und der Teilchenort bei r = rL
ist, wird:
2 @B
mv
1
?
(3.32)
hFz i = ; 2 B @zz :
Eine kurze Rechnung zeigt1 , da die Groe
2
?
= mv
(3.33)
2B
das magnetische Moment des durch das gyrierende Teilchen dargestellten Kreisstroms ist.
Man kann daher das gyrierende Teilchen in diesem inhomogenen Feld als diamagnetisch
auassen, da es eine solche Kraftwirkung erfahrt:
z
(3.34)
hFz i = ; @B
@z :
1
Kreisstrom I mit Flache A: = IA = qr2 =T = q(v? =!c )2(!c =2) = mv?2 =2B
3.1. EINFUHRUNG
83
Abbildung 3.6: Zur Polarisationsdrift. (a) Einschalten eines elektrischen Feldes, (b) zeitlich
linear wachsendes E-Feld.
Die Frage der Beschreibbarkeit eines gyrierendes Teilchens durch sein magnetisches Moment werden wir im Abschnitt 3.2 gesondert diskutieren.
3.1.5 Polarisationsdrift
Bisher haben wir nur inhomogene Feldsituation diskutiert. Im allgemeinen Fall werden auch zeitliche A nderungen der Feldgroen zu Driftbewegungen Anla geben. Hier
betrachten wir wieder ein elektrisches Feld E~ = (Ex 0 0), das senkrecht zum Magnetfeld
orientiert ist, aber nunmehr zeitlich veranderlich angesehen wird. Die Bewegungsgleichung
84
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
lautet:
~v_ = mq (E~ (t) + ~v B~ ) :
(3.35)
Entkopplung der Gleichungen fur die x- und y-Bewegung ergibt:
_
~vx = ;!c2vx !1 EBx ] :
(3.36)
c z
Mit der Koordinatentransformation v~x = vx E_ x=!c Bz erhalt man wieder die bekannte
Kreisbahn in diesem bewegten Bezugssystem. Also ist die Teilchenbahn eine U berlagerung
von Gyrationsbewegung und einer Polarisationsdrift mit der Geschwindigkeit:
_
vp = !1 EBx
(3.37)
c z
in Richtung des elektrischen Feldes. Gleichzeitig ndet eine E B -Drift im (zeitabhangigen) elektrischen Feld statt:
vE = ;Ex(t)=Bz :
(3.38)
Die Polarisationsdrift ist als ein Einschalteekt des Plasmas anzusehen, der auf der Massentragheit beruht. Dies sieht man am deutlichsten, wenn man ein elektrisches Feld zum
Zeitpunkt t = 0 schlagartig einschaltet (Abb. 3.6. Dann ist die Teilchenbewegung zunachst
in Feldrichtung orientiert, bis aufgrund der wachsenden Lorentzkraft eine dazu senkrechte
Ablenkung erfolgt. Im Mittel ist dann das Teilchen gegenuber seinem Startort um einen
Gyrationsradius in Feldrichtung verruckt worden. Dieses ist die gerade die Polarisationswirkung, die Elektronen und Ionen trennt. Fur ein zeitlich linear anwachsendes Feld
E_ = const ergibt sich die Polarisationsdrift in (bzw. gegen) Feldrichtung.
Memobox: Plasmadriften
EB-Drift ~vE = (E~ B~ )=B 2
Gravitationsdrift ~vg = (m=q)(~g B~ )=B 2
Gradientendrift ~vrB = (1=q)v?rL(B~ rjB j)=B 2
Krummungsdrift ~vR = (m=q)(vk2=R2c )(R~ c B~ )=B 2
Polarisationsdrift ~vp = (m=q)(@ E~ =@t)=B 2
3.2 Adiabatische Invarianten
Fur periodische Systeme ist das Wirkungsintegral H pdq eine Erhaltungsgroe, wobei das
geschlossene Integral uber die periodische Bahn erstreckt wird. Bei "langsamer\ A nderung der Parameter { im Sinne der Naherung des Fuhrungszentrums { ist die Bewegung
3.2. ADIABATISCHE INVARIANTEN
85
noch nahezu periodisch. Erstreckt man nun die Integration uber eine Gyrationsperiode,
aber eine nunmehr nicht mehr geschlossene Bahnkurve, so ist das Wirkungsintegral eine "adiabatische Invariante\, d.h. nur noch im Sinne der verschiedenen Ordnungen der
Storungstheorie konstant.
3.2.1 Magnetisches Moment
Nehmen wir die diamagnetische Kraftwirkung (3.34) als gultig an, so ergibt sich durch
Multiplikation mit vz die Energiebeziehung:
d 1 mv2 = ; @Bz dz = ; dB :
(3.39)
dt 2 z
@z dt
dt
Hier ist dB=dt die A nderung des Magnetfeldes, die das Teilchen aufgrund seiner Bewegung
langs der Feldlinie erfahrt. Der Energiesatz lat sich schreiben als:
1
d 1
1
d
2
2
2
(3.40)
0 = dt 2 mvz + 2 mv? = dt 2 mvz + B :
Aus (3.39) und (3.40) folgt dann:
; ddBt + ddt (B ) = 0 :
(3.41)
und folglich:
d = 0 :
(3.42)
dt
Das magnetische Moment ist also in dem Sinne konstant, wie die diamagnetische Kraftwirkung eine hinreichende Beschreibung darstellt.
3.2.2 Der Spiegeleekt
Die Invarianz des magnetischen Moments kann zur Berechnung der Einschlueigenschaften eines magnetischen Spiegelfeldes herangezogen werden. Ein naturliches Spiegelfeld
stellt das dipolartige Erdmagnetfeld dar, bei dem die Feldliniendichte bei Verfolgung einer Feldlinie im polaren Bereich hoher ist als am A quator (Abb. 3.7(a)). Im Labor lassen
sich Spiegelfelder z.B. mit einem Spulenpaar erzeugen (Abb. 3.7(b)).
Betrachten wir hierzu ein Teilchen, das in der Mitte der Spiegelanordnung (bei B =
B0) die Geschwindigkeitskomponenten v? und vz besitzt (Abb. 3.7(b)). Wir konnen nun
seine Bewegung anhand der beiden Erhaltungsgroen Energie und magnetisches Moment
diskutieren:
v?2 + vz2 = v?2 0 + vz20 = v02
v?2 =B = v?2 0=B0 :
(3.43)
86
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Abbildung 3.7: (a) Spiegelwirkung des Erdmagnetfeldes, (b) Magnetische Spiegelanordnung mit Spulenfeldern
Bei Annaherung an den Bereich hoheren Magnetfeldes erfahrt das Teilchen eine Aufzehrung seiner Energie der Parallelbewegung durch die Lorentzkraft aufgrund der radialen
Feldkomponente (vgl. Abb. 3.5 und (3.30)). Gleichzeitig wachst seine Gyrationsfrequenz
infolge des starkeren Magnetfeldes, wodurch eine hohere Energie der Senkrechtbewegung
bedingt ist. Das Teilchen wird am Spiegelfeld reektiert, wenn die Energie der Parallelbewegung aufgezehrt ist. Um das Teilchen am Magnetfeldmaximum reektieren zu
konnen, darf sein Startwinkel (d.h. das Verhaltnis von v?0 und v0) nicht kleiner sein
als der Grenzwinkel:
v?0 B0 1=2
min = arcsin v = arcsin B
:
(3.44)
0
max
3.2. ADIABATISCHE INVARIANTEN
87
Das Verhaltnis Bmax=B0 heit Spiegelverhaltnis. Der Bereich von Geschwindigkeitsvektoren mit < min heit Verlustkegel, da diese Teilchen aus dem Spiegelfeld entweichen
konnen. Man beachte, da der Verlustwinkel min nicht von der teilchenenergie abhangt.
Abbildung 3.8: Numerisch berechnete Pendelbahn eines Teilchens zwischen den Spiegelpunkten eines magnetischen Dipols, der sich im Ursprung be
ndet. Die Feldlinie, auf der
das Teilchen gestartet ist, ist zum Vergleich eingezeichnet. Infolge der Gradienten- und
Krummungsdrift ergibt sich ein periodischer Umlauf um die z-Achse des Systems.
3.2.3 Longitudinale Invariante und Fluinvariante (*)
Wenn ein geladenes Teilchen zwischen zwei Spiegelpunkten gefangen ist { sei es im Erdmagnetfeld oder in einer axialsymmetrischen Spiegelmaschine { so vollfuhrt es eine oszillatorische Bewegung. Diese ist nahezu periodisch, wenn der Einu der Gradienten- und
Krummungsdrift auer acht gelassen wird. Auf der Achse einer rotationssymmetrischen
Spiegelanordnung ist sie streng periodisch. Zu dieser periodischen Bewegung auf der
geR
genuber der Gyration langsameren Zeitskala gehort wiederum eine Erhaltungsgroe pdq,
die im Falle nahezu periodischer Bewegung eine adiabatische Invariante wird. Sie heit
zweite adiabatische Invariante oder longitudianle Invariante und ist formelmaig gegeben
88
als
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Z
J = vkdl :
(3.45)
Die Gradienten- und Krummungsdrift fuhrt in der nachsten Ordnung einer Zeitskalenentwicklung zu einem periodischen Umlauf um die Achse des Systems, die auf einer
noch langsameren Zeitskala erfolgt. Die hierzu gehorende adiabatische Invariante heit
dritte adiabatische Invariante oder Fluinvariante59]. Gyration, Pendelbewegung und
Krummungsdrift sind anschaulich in Abb. 3.8 zu ersehen.
3.3 Magnetischer Einschlu
Das Problem des magnetischen Einschlusses lat sich mit Spiegelmaschinen nur unvollkommen losen, da infolge der Coulombstoe standig Teilchen in den Verlustkegel gestreut
werden und den Spiegel an den Enden verlassen konnen. Die naheliegende Idee, diese
Endverluste zu umgehen, indem man das Plasma zu einem Torus formt und wie einen
Reifen schliet, fuhrt zum Stellarator und Tokamak. Fur die Vermeidung der Endverluste
mu jedoch der Preis in Form eines inhomogenen Magnetfeldes bezahlt werden.
Abbildung 3.9: Feldspulen und Magnetfeldverteilung in toroidalen Anordnungen. Das Toroidalfeld fallt nach auen hin ab.
3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU
89
Abbildung 3.10: (a) Ladungstrennung aufgrund der Krummungs- und Gradientendrift.
(b) U berlagerung von toroidalem und poloidalem Magnetfeld beim Tokamak.
Das toroidale Magnetfeld (Abb. 3.9) wird durch Feldspulen mit einer Windungsdichte
n=l erzeugt, die aus geometrischen Grunden auf der Innenseite des Torus groer ist als
am aueren Torusrand. Das Amperegesetz liefert bei Integration langs einer Feldlinie:
I
H~ d~s = 2rHtor (r) = nI
(3.46)
ein Toroidalfeld Htor , das nach auen gema:
Htor = nI=2r
(3.47)
abfallt. n ist die Gesamtwindungszahl und I der Strom pro Windung. In diesem inhomogenen Magnetfeld erfahren die Plasmateilchen eine Krummungs- und Gradientendrift.
Da beide Driften ladungsabhangig sind, erfolgt eine Ladungstrennung in z-Richtung, die
ihrerseits ein elektrisches Feld aufbaut. Man konnte nun erwarten, da sich infolge der Ladungstrennung ein Gleichgewicht mit dem Raumladungsfeld einstellt. Das trit zwar fur
die Balance in z-Richtung zu. Jedoch bewirkt das Raumladungsfeld nunmehr eine gemeinsame Drift beider Ladungstragersorten infolge der E B -Drift nach auen (Abb. 3.10(a)).
90
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Letztlich erreicht somit das Plasma die Auenwand und ist nicht hinreichend eingeschlossen.
3.3.1 Das Tokamakprinzip
Beim Tokamak wirkt man der Auswartsdrift aufgrund des oben beschriebenen Mechanismus entgegen, indem man die Feldlinien verschraubt (Abb. 3.10(b)). Man erreicht diese
Verschraubung, indem man dem toroidalen Magnetfeld ein poloidales Magnetfeld uberlagert, das von einem im Plasma in toroidaler Richtung ieenden Strom erzeugt wird.
Dieser toroidale Strom wird durch den Transformator induziert. Man vergegenwartige
sich, da der toroidale Plasmaschlauch die Sekundarwicklung eines groen Transformators darstellt (vgl. Abb. 1.10).
Der Verdrillungswinkel, den eine Feldlinie nach einem Umlauf um den Torus erfahrt,
heit Rotationstransformation und wird mit dem griechischen Buchstaben (iota) bezeichnet. Infolge ihrer hohen Beweglichkeit langs der magnetischen Feldlinien und der
hohen Temperatur stromen die Ladungstrager viele Male um den Torus und gelangen
nach einigen Umlaufen von der Torusauenseite zur -innenseite. Dieses ist die Idee, der
E B wirksam entgegen zu wirken.
Auch fur das verschraubte Magnetfeld im Tokamak dominiert noch die Abnahme des
Magnetfeldbetrages vom inneren Torusrand zum aueren Rand. Daher spuren die Ladungstrager auch eine Spiegelwirkung, wenn sie sich langs der Feldlinien von auen nach
innen bewegen. Es gibt dann zwei Populationen von Teilchen:
freie Teilchen, diese entsprechen den Teilchen im Verlustkegel einer Spiegelmaschine,
und
gefangene Teilchen. Letztere kehren an den Spiegelpunkten ihre feldparallele Geschwindigkeitskomponente um.
Verfolgt man die Bahn des Fuhrungszentrums der gefangenen Teilchen unter dem
Einu der Driften und projiziert sie auf eine poloidale Schnittebene, so ergibt sich eine
Bananenbahn\ (Abb. 3.11). Wenn das Teilchen durch einen Sto die Erinnerung an seine
"Bananenbahn
verliert, erfahrt es einen radialen Versatz um die Dicke der Banane. Dieser
Versatz ist deutlich groer als der Ionengyrationsradius. Daher stellt dieser Proze einen
der resultierenden Verluste durch Diusion im Tokamak dar.
3.3.2 Diusion als random walk Proze
In Abschnitt 2.2.4 hatten wir die Diusion von Ladungstragern mit einer empirisch begrundeten Gesetzmaigkeit, dem Fickschen Gesetz, betrachtet, um zunachst einfache
Ausdrucke fur die Dichtepro
le in Gasentladungen zu erhalten. Hier wollen wir anhand
eines einfachen mikroskopischen Modells den Zusammenhang zwischen den beiden mikroskopischen Parametern freie Weglange und Stofrequenz und dem Diusionskoezienten
3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU
91
Abbildung 3.11: Projektion der Bahn gefangener Teilchen auf einen Poloidalschnitt des
Torus. Die Torusachse ist links. Infolge der Krummungs- und Gradientendrift ergibt sich
eine bananenformige Bahn in der Schnittebene.
plausibel machen. Diese Vorstellung kann auch auf den Teilchentransport senkrecht zum
Magnetfeld angewendet werden.
Die Diusion von Teilchen erfolgt aufgrund ihrer thermischen Eigenbewegung und unter der Wirkung von Zusammenstoen mit anderen Teilchen. Im Mittel kann die Diusion
durch einen Zufallsproze (random walk) beschrieben werden. Ein solcher Proze lat sich
sehr einfach am Beispiel einer eindimensionalen Kette aquidistanter Punkte studieren, die
die Streuzentren fur den Stoproze darstellen. Die Punkte mogen einen Abstand besitzen, den wir als freie Weglange ansehen konnen. Die Zeitentwicklung wird in diskreten
Schritten beschrieben. Bei jedem Zusammensto soll die Erinnerung an die bisherige Bewegungsrichtung verlorengehen. Dies ist im Mittel fur die bisher betrachteten elastischen
Stoe erfullt, da die Streuung isotrop angenommen wird. U bertragen auf den eindimensionalen Fall wird nach dem Sto jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein neuer Schritt
nach rechts oder links auf dieser Kette durchgefuhrt.
Man kann nun entweder ein Teilchen fur lange Zeit bei seinem Irrweg auf der Kette verfolgen und aus zeitlichen Mittelwerten langs der Trajektorie Vorhersagen fur den
Abstand des Teilchens vom Startort machen. Oder man verfolgt eine groe Anzahl von
Teilchen bei ihrer mittleren Bewegung. Beide Beschreibungen fuhren zum gleichen Resultat, da die Erinnerung an die Vorgeschichte des random walks bei jedem Sto ausgeloscht
wird.
Nehmen wir also an, da zu irgendeinem Zeitpunkt t bereits eine Verteilung von Teilchen auf der Kette vorhanden sei. Die Entwicklung der Verteilung wollen wir als Folge
von Histogrammen veranschaulichen. Abb 3.12 zeigt die Entwicklung einer anfanglich eng
92
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Abbildung 3.12: (links) Zeitliche Entwicklung einer scharfen Anfangsverteilung in Zelle
11 unter der Wirkung des Diusionsprozesses mit U bergangswahrscheinlichkeitPw = 0 1,
(rechts) Zunahme der Breite dieser Verteilung anhand ihrer Varianz = (1=N ) Nk (k ;
11)2.
zusammengefaten Population unter der Wirkung des random walks.
Die Anzahl der Teilchen in der Zelle k sei Nk . Nehmen wir an, da pro Zeitschritt
jeweils ein Bruchteil w dieser Teilchen in die rechte und linke Nachbarzelle ubertritt.
Dann konnen wir folgende Evolutionsgleichung konstruieren:
Nk (t + ) ; Nk (t) = w (Nk+1(t) + Nk;1(t)] ; 2wNk (t) :
(3.48)
Dabei stellt der erste Term auf der rechten Seite den Gewinn der Zelle k aus den beiden
Nachbarzellen dar und der zweite Term den Verlust in die Nachbarzellen. Eine Umordnung
der Terme in dieser Gleichung zeigt uns die Verwandschaft dieser Evolutionsgleichung mit
der Diusionsgleichung:
Nk (t + ) ; Nk (t) = w2 Nk+1(t) ; Nk (t)] ; Nk (t) ; Nk;1 (t)]
2
2
@N = D @ N
@t
@x2
mit dem Diusionskoezienten D = w2 = .
(3.49)
(3.50)
3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU
93
Die Modellrechnung in Abb. 3.12 wurde fur eine Anfangsverteilung N11 = 100:000,
Nk = 0 (k 6= 11) unter der Wirkung des Prozesses (3.48) bei einer U bergangswahrscheinlichkeit von p = 0:1 durchgefuPhrt. Die Breite dieser Verteilung wird durch die quadratische Abweichung = (1=N ) 1k=;1 Nk (k ; 11)2 (Varianz) bewertet. Die quadratische
Abweichung wachst linear mit der Zeit an. Ein Diusionsproze ist also dadurch gekennzeichnet, da der Abstand eines Testteilchens $x von seinem Anfangsort proportional zu
t1=2 anwachst.
Betrachten wir nochmals die Diusion von Elektronen im Gashintergrund. Die Einsteinrelation De = (kB Te=e)e lat sich mit e = e=mem und m = vthe= umformen
zu:
De = 2m :
(3.51)
Dies ist genau die Form, die einem random walk entspricht. Im Falle der Diusion von
Plasmateilchen im Gashintergrund ist also der charakteristische Versatz durch die mittlere
freie Weglange gegeben und der eektive Zeitschritt durch = 1=m .
Die Diusion von Plasmateilchen senkrecht zum Magnetfeld kann ebenfalls durch einen
solchen random walk Proze beschrieben werden. Dann ist der typische Versatz der Gyrationsradius rL und der Zeitschritt wieder die reziproke Stofrequenz 1=m (vgl. hierzu
auch Aufgabe 1 am Ende dieses Kapitels). Fur den Fall, da m !c gilt, erhalt man
den sogenannten 'klassischen' Diusionskoezienten:
Tm = rL2 :
D? = kBm!
(3.52)
2
c
Die aus dieser Formel folgende Skalierung D / B ;2 wird allerdings in Tokamaks und
Stellaratoren in der Regel nicht beobachtet. Stattdessen ndet man eine semiempirische
Gesetzmaigkeit:
1 kB Te = D D? = 16
(3.53)
B
eB
die Bohmdiusion genannt wird, und eine weite Spanne von Experimenten beschreibt.
Eine Steigerung der magnetischen Fludichte hat also leider nicht die aus (3.52) folgende
optimistische Reduktion der Teilchendiusion zur Folge. Ein Erklarungsvorschlag fur die
Bohmdiusion nimmt an, da die Unterbrechung der Gyrationsbahnen, die zur Diusion
fuhrt, durch uktuierende elektrische Felder instabiler Plasmawellen bewirkt wird. Bildlich
ndet ein Zusammensto mit einem 'Quasiteilchen' statt.
In heien Plasmen ist die Stozeit normalerweise durch die Coulombstoe gegeben.
Da mit steigender Temperatur die Stoe immer seltener werden ( / T ;3=2) durchlaufen
die Teilchen immer groere Abschnitte ihrer Driftbahnen. Fur den Fall der auf Bananenbahnen gefangenen Teilchen in einem Tokamak ist die Skalenlange der Diusionsprozesse
dann die 'Dicke der Banane' die viel groer ist als der Gyrationsradius. Letzteres Regime der sog. 'neoklassischen' Diusion wird derzeit in heien Fusionplasmen erreicht.
Abb. 3.13 zeigt die Abhangigkeit des Diusionskoezienten von der Stofrequenz (bzw.
von T ;3=2).
94
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Abbildung 3.13: Abhangigkeit des Diffusionskoef
zienten D? von der Stofrequenz. Wegen ei / T ;3=2 kann die horizontale Achse auch als inverse Temperaturskala angesehen
werden. Bei niedrigen Temperaturen ndet Bohmdiusion statt. Bei sehr hohen Temperaturen dominiert die Diusion durch Zerstorung der Bananenbahnen.
3.3.3 Stellaratoren
Das Umlenken der Teilchenbahnen vom aueren Torusrand zum Innenrand gelingt auch
durch externe Magnetfelder. Beim Stellarator bringt man helische Windungen auf der
Auenseite des Vakuumgefaes an, die auch einen poloidalen Magnetfeldanteil erzeugen.
Abb. 3.14 zeigt die lineare Abwicklung eines Stellarators mit 3 Paaren helischer Windungen, die von Stromen alternierender Polaritat durchossen werden.
Neuere Konzepte erlauben es, toroidale und poloidale Magnetfelder mit modularen
Spulen zu erzeugen. Einen Entwurf fur einen Stellarator nach diesem Prinzip zeigt Abb. 3.14
Die modularen Spulen sind eine zwingende Voraussetzung fur die Zerlegbarkeit eines kunftigen Reaktors.
3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU
95
Abbildung 3.14: (oben) Lineare Abwicklung eines Stellarators, um die helischen Windungen darzustellen, die durch externe Strome die Rotationstransformation erzeugen. (unten)
Modulares Stellaratorkonzept 'Wendelstein VII-AS'. Anstelle helischer Windungen sind
Verformungen der Spulen vorgenommen worden, die poloidale Magnetfeldanteile erzeugen.
96
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
3.3.4 Minimum-B Kongurationen
Am Beispiel der Krummungsdrift hatten wir gesehen, da ein Bundel gekrummter Magnetfeldlinien stets einen Gradienten besitzt, der zum Krummungszentrum zeigt. Diese
Eigenschaft macht die Mittelsektion eines magnetischen Spiegels instabil gegenuber radialen Verruckungen des Plasmas (Abb. 3.15(a)). Die Gesamtenergie setzt sich aus kinetischer
und magnetischer Energie zusammen:
Wges = Wkin + Wmag = Wkin + B 2=20 :
(3.54)
Eine radiale Auswartsverschiebung bringt also eine Abnahme an magnetischer Energie
und Gewinn kinetischer Energie, die zu einer weiteren Auslenkung fuhrt. Genau entgegengesetzt ist es in der Nahe der Spiegelspulen, wo die Krummung der Feldlinien entgegengesetzt ist.
Aus Stabilitatsgrunden ist also eine Magnetfeldanordnung gunstiger bei der die Teilchen die \richtige\ Krummung der Feldlinien sehen, d.h. da der Gradient moglichst uberall auswarts gerichtet ist. Eine solche Anordnung lat sich mit entgegengesetzt gepolten
Spulen erreichen, die einen magnetischen Trichter (engl. Cusp) erzeugen (Abb. 3.15(b)).
Das gleiche Prinzip wird auch in der magnetic box benutzt (Abb. 3.15(c)), bei der alternierende Reihen aus Permanentmagneten zum Plasma hin konvexe Feldlinien erzeugen.
Allerdings ist die Bewegung der Plasmaelektronen nicht mehr adiabatisch, da das Multipolfeld der vielen Magnetreihen sehr rasch abklingt.
3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU
97
Abbildung 3.15: (a) Feldlinienkrummung und Gradientenrichtung beim magnetischen
Spiegel, (b) magnetischer Trichter (Cusp), (c) Realisierung einer linienartigen CuspGeometrie mit Permanentmagneten alternierender Polaritat, wie sie in der magnetic box
verwendet wird.
98
3.4 Aufgaben
KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
1. Betrachten Sie den Fall des elektrischen Stromusses senkrecht zum Magnetfeld unter dem Einu von gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern: E~ = (E 0 0)
und B~ = (0 0 B ). Bei Abwesenheit von Stoen mit Gasatomen wurden die Ladungstrager eine exakte E B -Drift in ;y-Richtung vollfuhren. Durch Stoe mit
der Impulsverlustfrequenz m kommt es zu einer zusatzlichen mittleren Reibungskraft fur das Fuhrungszentrum, so da die Bilanz aller Krafte fur ein reprasentatives
mittleres Elektron folgendermaen angesetzt wird:
mm~v = q(E~ + ~v B~ ) :
Ein Tragheitsterm ist bereits fortgelassen worden, da er nur die Gyrationsbewegung
um das Fuhrungszentrum ergeben wurde.
a) Losen Sie die Gleichung nach vx und vy und diskutieren Sie die Abhangigkeit von
dem Parameter m =!c anhand einer gra
schen Darstellung vx vy = f (m =!c ).
b) Wie gro ist der Winkel zwischen Stromrichtung und elektrischem Feld?
c) Wie gro mu die magnetische Induktion B sein, um fur eine Gasentladung mit
na = 3 1022m;3, vthe = 4 105 ms;1 , m = 10;19m2 den kritischen Wert !c = m
zu erreichen?
d) Wie hoch mu die magnetische Fludichte sein, um fur Wasserstoonen bei
gleicher Gasdichte und gleichem Wirkungsquerschnitt, aber vthi = 400ms;1 den
kritischen Wert !ci = mi zu erreichen?
Kapitel 4
Fluidmodelle des Plasmas
Das Einzelteilchenbild hatte die Bewegung geladener Teilchen in vorgegebenen aueren
Feldern beschrieben. Man erhalt dadurch einen geordneten U berblick uber den Bewegungsreichtum des Plasmamediums, der sich in den vielfaltigen Driften auert. Der grote
Nachteil des Einzelteilchenbildes ist die Vernachlassigung der Ruckwirkung der Teilchenbewegung auf die elektromagnetischen Felder. Eine makroskopische und selbstkonsistente
Beschreibung des Plasmamediums erhalt man aus den Maxwellgleichungen und einem
Modell fur den elektrischen Stromu bzw. die Raumladung. In diesem Kapitel werden
wir das Plasma mit einem Modell beschreiben, das Elemente aus der Hydrodynamik verwendet.
Wir notieren zunachst die Maxwellgleichungen in der dierentiellen Form:
(4.1)
r E~ = 0
~
(4.2)
r E~ = ; @@tB
r B~ = 0
(4.3)
~
r B~ = 0(~| + 0 @@tE ) :
(4.4)
Dabei ist die freie Ladungsdichte und ~| der Leitungsstrom. Das sind gerade die beiden
Eigenschaften des Plasmas, die auf die Maxwellgleichungen zuruckwirken.
Magnetisierung und Polarisation
Es stellt sich zunachst die Frage, warum man nicht auch die Feldgroen H~ und D~ verwendet, die die Materieeigenschaften dann in Form von Dielektrizitatskonstante r und
Permeabilitat r zusammenfassen.
Das Einzelteilchenmodell hat jedem gyrierenden Teilchen ein magnetisches Moment ~
zugeordnet, das nach der Lenzschen Regel entgegen der Magnetfeldrichtung gestellt ist.
99
100
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
Damit herrscht im Plasma eine (diamagnetische) Magnetisierung M~ = n~. Man wurde
nun gern eine Beziehung B~ = 0H~ + M~ = r 0H~ heranziehen. Jedoch ist das magnetische
Moment = W? =B / 1=B , so da keine Proportionalitat sondern reziprokes Verhalten
vorliegt. Damit ist die Einfuhrung einer Permeabilitat sinnlos.
Ebenso gilt fur ein Plasma, da im Inneren des Plasmas im Gleichstromfall keine Polarisationsfelder vorliegen, da die Debyeabschirmung in Randschichten wirkt (siehe Kap.
6). Es kann jedoch zu einer dynamischen Polarisierung kommen, bei der aus Grunden der
Massentragheit z.B. ein Elektron um ein benachbartes Ion eine periodische Pendelbewegung ausfuhrt, so da dieses Paar wie ein oszillierender Dipol erscheint. Im Kapitel (5)
uber Plasmawellen werden wir vom Konzept der (dynamischen) Dielektrizitatskonstanten
eines Plasmas Gebrauch machen werden.
In diesem Kapitel werden wir die Bewegung des Plasmas durch Gleichungen fur kleine Volumenelemente (mit festen Abmessungen) beschreiben, die sich mit der mittleren
Stromung mitbewegen. Dieses ist ahnlich zum Konzept des Flussigkeitselements in der
Hydrodynamik. In der Flussigkeit sind die Zusammenstoe zwischen den Molekulen so
hau
g, da die Teilchen fur lange Zeit in diesem Volumen verbleiben, so da das Konzept des Flussigkeitselements sehr passend ist. Im Plasma (oder einem heien Gas) werden die Teilchen sich weitgehend stofrei bewegen und es werden viele Teilchen durch
die Grenzachen ein- und austreten. Wir mussen also in der Beschreibung durch diese
Volumenelemente Gleichungen aufstellen, die die A nderung der Teilchenanzahl und des
Gesamtimpulses fur dieses Volumenelement bilanzmaig erfassen.
Hierzu wahlen wir eine statistische Beschreibung, die uns fur diese beiden Groen
korrekte Mittelwerte liefert. Dieses tun wir getrennt fur Elektronen und Ionen. Die mittlere
Teilchenzahl im Volumen $V = $x$y$z bezeichnen wir mit N , die Teilchendichte mit
n. Unterscheidende Indizes fur die beiden Teilchensorten unterdrucken wir im Moment.
Die Geschwindigkeit der individuellen Teilchen stellen wir uns so verteilt vor wie eine
verschobene Maxwellverteilung (Abb. 4.1):
m 1=2 m(vx ; ux)2 !
f (vx) = 2k T exp ; 2k T
(4.5)
B
B
die eine mittlere Geschwindigkeit ~u = (ux 0 0) besitzt, die wir der Einfachheit halber in
x-Richtung legen.
4.1 Das Zweiussigkeitenmodell
Wir betrachten zunachst Ionen und Elektronen als zwei separate Flussigkeiten, die sich
gegenseitig durchdringen konnen. Erzeugungs- und Vernichtungsprozesse von Ladungstragern haben wir bereits gesondert behandelt, so da wir hier zunachst den Erhaltungssatz
fur die Teilchenzahl formulieren wollen. Fur die Bilanz der Teilchenanzahl im Volumenelement $V = $x$y$z betrachten wir die eindimensionale Stromung in x-Richtung
(Abb. 4.2).
4.1. DAS ZWEIFLUSSIGKEITENMODELL
101
Abbildung 4.1: Verschobene Maxwellverteilung mit mittlerer Driftgeschwindigkeit u. Die
Gruppe von Teilchen im Intervall um vx wird mit $n(vx) benannt.
In dem Ortsintervall x bis x + $x be
ndet sich eine Anzahl N = nA$x von Teilchen,
wenn A = $y$z die Querschnittsache dieser Stromung ist. Der Teilchenstrom ist IN =
nAux. A ndert sich IN innerhalb des Volumens $V aufgrund von Kraftwirkungen auf die
Stromung, so erhoht oder erniedrigt sich das Inventar an Teilchen in x x + $x] gema:
@IN $x =
I
(4.6)
; @N
N (x + $x) ; IN (x) @t
@x
wobei wir uns im Sinne eines Grenzprozesses $x ! 0 mit dem ersten Glied einer Taylorentwicklung begnugen. Dividiert man durch die Querschnittsache A und durch $x, so
Abbildung 4.2: Zur Kontinuitatsgleichung.
102
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
gilt fur die Teilchendichte n:
@n + @ (nux) = 0
(4.7)
@t
@x
und fur den dreidimensionalen Fall entsprechend:
@n + r (n~u) = 0 :
(4.8)
@t
Gleichung (4.8) wird als Kontinuitatsgleichung bezeichnet und beschreibt die Teilchenzahlerhaltung. Im Falle einer Nettoerzeugung S ersetzt diese die Null auf der rechten
Seite. Die naheliegende Verallgemeinerung fur die Erhaltung der Ladung lautet (mit der
Ladungsdichte = ne und Stromdichte ~| = ne~u):
@ + r ~| = 0 :
(4.9)
@t
4.1.1 Die Impulstransportgleichung
Die Kraftwirkung auf das betrachtete Volumenelement ergibt sich als Summe aller Krafte,
die auf die Teilchen in diesem Volumenelement wirken zuzuglich des Exports und Imports
von Impuls durch das Aus- und Einstromen von Teilchen durch die Berandung des Volumenelements. Wir wollen jetzt zulassen, da sich das Volumenelement mit der mittleren
Stromungsgeschwindigkeit der Ionen (bzw. Elektronen) mitbewegt.
Fur das einzelne Plasmateilchen gilt die Newtongleichung
m dd~vt = q(E~ + ~v B~ ) :
(4.10)
Hier verwenden wir ausdrucklich die totale Zeitableitung, die mit dem geraden "d\ notiert
wird, da jeweils das Feld am aktuellen Teilchenort zu verwenden ist. Fur ein punktformiges
Teilchen ergeben sich auch keine begriichen Komplikationen.
Die konvektive Ableitung
Die korrekte Impulsbilanz fur ein Volumenelement, bei dem keine Teilchen durch die
Grenzachen ein- oder austreten, ergibt sich durch Multiplikation von (4.10) mit der
Teilchendichte n. In einem inhomogenen Geschwindigkeitsfeld ~u(~r) ist jedoch die totale
Zeitableitung korrekt zu bilden:
d~u = @~u + @~u dx + @~u dy + @~u dz :
(4.11)
dt @t @x dt @y dt @z dt
Der Vektor (dx=dt dy=dt dz=dt) ist identisch mit der Geschwindigkeit ~u des betrachteten
Volumenelements. In Kurzschreibweise lat sich (4.11) zusammenfassen zu:
d~u = @~u + (~u r)~u :
(4.12)
dt @t
4.1. DAS ZWEIFLUSSIGKEITENMODELL
103
Abbildung 4.3: Zur konvektiven Ableitung. In einem inhomogenen Geschwindigkeitsfeld
andert sich bei Verfolgung eines Volumenelements langs einer Stromlinie der Vektor ~v
nach Richtung und Betrag. Diese Anderung
beschreibt der Term (~v r)~v.
Dabei nennt man ~u r die konvektive Ableitung. Sie stellt die vom Volumenelement erfahrene A nderung einer Groe dar, die dadurch zustande kommt, da sich das Mevolumen
relativ zu der raumlich veranderlichen Groe bewegt. Es ist leicht einzusehen, da das
Geschwindigkeitsfeld stationar (d.h. nicht explizit zeitabhangig) sein kann und trotzdem
eine Zeitabhangigkeit auftritt, die dadurch zustande kommt, da das Volumenelement
sich in einem inhomogenen Geschwindigkeitsfeld in Bereiche erhohter oder erniedrigter
Geschwindigkeit hineinlauft (Abb. 4.3). Somit konnen wir die aus der Newtongleichung
(4.10) herruhrende Kraftbilanz fur das Volumenelement aufschreiben:
!
@~
u
nm @t + (~u r)~u = nq(E~ + ~u B~ ) :
(4.13)
Druckkrafte
Die an den Teilchen im Inneren des Volumenelements angreifenden Volumenkrafte haben wir in (4.13) also bereits erfat. Es fehlt noch die Impulsanderung pro Zeiteinheit
durch den Teilchenaustausch durch die Grenzachen. Wir betrachten hierzu eine Zelle
(Abb 4.4) mit den Grenzachen bei x0 und x0 + $x. Weiterhin greifen wir eine Teilchengruppe mit Geschwindigkeiten zwischen vx und vx + $vx heraus. Der von dieser
Teilchengruppe erzeugte Teilchenstrom (d.h. die pro Zeiteinheit durch die Bezugsache
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
104
Abbildung 4.4: Zur Berechnung der Druckkrafte
tretende Teilchenanzahl) ist:
$IN (vx) = $n(vx)vx$y$z :
(4.14)
Dabei ist die Konzentration der Teilchen $n(vx) in diesem Geschwindigkeitsintervall
durch die Verteilungsfunktion f gegeben:
$n(vx) = f (vx)$
Z Zvx
= $vx
f (vx vy vz )dvy dvz (4.15)
(4.16)
wobei uns die zweite Zeile dieser Gleichung daran erinnert, da wir im Falle einer dreidimensionalen Geschwindigkeitsverteilung uber die transversalen Komponenten der Geschwindigkeiten zu integrieren haben. Analog zu dem Begri des Teilchenstroms IN fuhren
wir jetzt den Impulsstrom $IP ein der von der Teilchengruppe bei vx reprasentiert wird:
$IP = (mvx)$n(vx)jvxj$y$z :
(4.17)
Der Impulsstrom ist gerade der pro Zeiteinheit durch die Bezugsache transportierte
Impuls. Die Betragsstriche um vx sollen daran erinnern, da wir mit dem Zahlenwert
von jvxj$y$z die Hau
gkeit messen, mit der Teilchen auf die Grenzache treen. Der
Impulsstrom soll in dieser De
nition das Vorzeichen des Impulses mvx erhalten. Das ist
die praktische Vorzeichenkonvention, die es sofort gestattet, den Zuwachs oder Verlust
an Impuls abzulesen. Die Gewinn- und Verlustrechnung fur das Intervall x0 x0 + $x]
schreibt sich dann wie folgt, wobei der obere Index das Vorzeichen der Geschwindigkeit
angibt:
i
Xh
Gewinn bei x0 : IP+(x0) =
$n(vx)(mvx)jvxj x0 $y$z (4.18)
vx >0
4.1. DAS ZWEIFLUSSIGKEITENMODELL
i
$n(vx)(mvx)jvxj x0 $y$z (4.19)
vx <0
i
Xh
Gewinn bei x0 + $x0 : IP;(x0 + $x) =
$n(vx)(mvx)jvxj x0+x $y$z (4.20)
vx <0
i
Xh
+
Verlust bei x0 + $x0 : IP (x0 + $x) =
$n(vx)(mvx)jvxj x0+x $y$z: (4.21)
Verlust bei x0 : IP;(x0) =
Xh
105
vx >0
Gewinn und Verlust durch die nach links laufenden Teilchen stellen dabei negative Werte
dar. Der Nettogewinn an Impuls pro Zeiteinheit ist dann die Bilanz aus Import und
Export:
@Px = I +(x ) ; I +(x + $x) + I ;(x + $x) ; I ;(x ) :
(4.22)
P 0
P 0
P 0
P 0
@t
Die Groen am rechten Intervallrand schatzen wir durch das erste Glied einer Taylorentwicklung ab. Wenn wir fur die negativen Geschwindigkeitswerte jvxj = ;vx ersetzen,
lassen sich die Summen uber alle Geschwindigkeitsintervalle in eine einzige zusammenfassen:
1 @Px = ;m X
2
2
$
n
(
v
(4.23)
x)vx]x0 +x ; $n(vx)vx ]x0
@t
vx =;1
@ nhv2i $x$y$z :
= ;m @x
(4.24)
x
Darin ist nhvx2i = R f (vx)vx2dvx. Jetzt zerlegen wir die indiduelle Teilchengeschwindigkeit
in die mittlere Stromung ux und die thermische Zufallsbewegung v~x:
vx = ux + v~x :
(4.25)
Dann lautet die Impulsbilanz:
@ (nmu ) = ;m @ hn hu2 i + 2u hv~ i + hv~2ii :
(4.26)
x
x x
x
x
@t
@x
Fur die eindimensionale Maxwellverteilung wissen wir, da (1=2) mhv~x2 i = (1=2) kB T .
Ebenfalls ist hv~xi = 0 nach De
nition. Somit folgt fur die Impulsbilanz:
@ (nmu ) = ; @ hnmu2 + nk T i :
(4.27)
x
B
x
@t
@x
Dies ist die korrekte Bilanz fur ein im Ortsraum xiertes Volumenelement.Auf der rechten
Seite treten der Staudruck nmu2x und der kinetische Druck p = nkB T auf. Ausdierenzieren beider Seiten und Benutzung der Kontinuitatsgleichung (4.8) ergibt dann:
!
@u
@u
@p :
x
x
nm @t + ux @x = ; @x
(4.28)
106
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
In letztere Anschrift erscheint jetzt die konvektive Ableitung auf der linken Seite der
Gleichung als Anzeichen fur die Bewegung des Volumenelements mit der Stromung. Der
Staudruck ist dafur entfallen. Verallgemeinert man diesen Ausdruck auf drei Raumdimensionen und berucksichtigt die Volumenkrafte so erhalt man die Impulstransportgleichung
in der Form:
!
@~
u
nm @t + (~u r)~u = nq(E~ + ~u B~ ) ; rp :
(4.29)
Impulstransport in Scherstromungen
Abbildung 4.5: Impulstransport in der Scherstromung. Die horizontalen schwarzen Pfeile
bezeichnen die lokale Geschwindigkeit der Stromung. Die hellen Pfeile deuten den Impulsaustausch durch Teilchen an, die durch die Grenzache treten.
Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die Oberachenkrafte durch Impulsaustausch mit Nachbarzellen in Stromungsrichtung berechnet, die zu einer neuen Volumenkraft { dem Druckgradienten { zusammengefat werden konnten. Hier betrachten wir
nunmehr den Impulsaustausch quer zur Stromung (4.5). Aufgrund der thermischen Zufallsbewegung treten Teilchen durch die Grenzachen bei y und y + $y, die eine unterschiedliche mittlere Stromungsgeschwindigkeit besitzen. Die Rechnung verlauft genauso
4.1. DAS ZWEIFLUSSIGKEITENMODELL
107
wie im vorangehenden Abschnitt, nur de
nieren wir jetzt die Scherspannung Pij :
Pij = nmhvivj i (4.30)
die den Druck sinngema ersetzt. Anstelle des Druckgradienten tritt im allgemeinen Fall
die Divergenz des Scherspannungstensors auf.
Die Impulstransportgleichungen
Das Flussigkeitsbild des Plasmas lat sich jetzt zusammenfassen in getrennte Impulstransportgleichungen fur Elektronen und Ionen. Dabei ist es ublich, die Massendichten
(mj) = nmj und die elektrische Ladungsdichten (ej) = nqj einzufuhren (j = e i):
" (j)
#
u
(j )
(j )
(j ) @~
m @t + (~u r)~u = (ej) E~ + ~u(j) B~ ; rp(j) :
(4.31)
Zusammen mit den jeweiligen Kontinuitatsgleichungen fur Massenerhaltung und Ladungserhaltung, sowie den Maxwellgleichungen ergibt sich die Flussigkeitsbeschreibung
eines Plasmas. Die De
nition von Ladungsdichte und Stromdichte:
e = (ei) + (ee)
~| = (ei)~u(i) + (ee)~u(e)
(4.32)
verbinden die hydrodynamischen Gleichungen mit den elektromagnetischen Gleichungen.
Infobox: Stromungsgroen
In den Gleichungen des Flussigkeitsmodells fur Plasmen treten folgende
De
nitionen fur Stromdichten auf:
Teilchenstromdichte
n~u
elektrische Stromdichte nq~u
Impulsstromdichte
nmu2
Warmestromdichte
nkB T~u
Die Impulsstromdichte ist im allgemeinen Fall eines inhomogenen Stromungsfeldes ein Tensor, der die Dyade nm~u~u enthalt.
108
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
4.2 Magnetohydrostatik
Betrachten wir zunachst das Beispiel einer langsam bewegten Plasmasituation, fur die der
quadratische Term ~u r~u vernachlassigt werden kann. Dann schreiben sich die Impulstransportgleichungen fur Elektronen und Ionen unter Einschlu von Gravitationskraften:
ui = ne(E~ + ~u B~ ) ; rp + nm ~g + n m (~u ; u~ )
nmi @~
i
i
i
ei e e
i
@t
ue = ;ne(E~ + ~u B~ ) ; rp + nm ~g + n m (~u ; u~ ) :
nme @~
(4.33)
e
e
e
ei e i
e
@t
Ebenfalls wurde eine Reibung zwischen Elektronen- und Ionengas eingefuhrt, die durch
Stoe mit einer Hau
gkeit ei und einen mittleren Impulsubertrag nme(~ue ; ~ui) beschrieben wird. Fur die Beschreibung der mittleren Massenbewegung lassen sich die beiden
Impulstransportgleichungen wie folgt zusammenfassen:
m = n(mi + me )
(4.34)
e ~ue )
(4.35)
~vm = (mim~ui ++ m
e mi
vm = ~| B~ ; rp + ~g :
(4.36)
m @~@t
m
Dieser Ansatz entspricht der Transformation ins Schwerpunktsystem beim Zweikorperproblem. Man beachte, da jetzt auf den Strom die Lorentzkraft ~| B~ wirkt. Als Faustregel kann man sich infolge des groen Massenunterschiedes vorstellen, da die Ionen
praktisch den Massentransport und die Elektronen den elektrischen Strom bestimmen.
Dann gilt die Bilanz:
0 = ~| B~ ; rp + m~g :
(4.37)
Wenden wir diese Bilanz auf die Situation der aquatorialen Ionosphare an, die wir als
Beispiel fur die g B -Drift herangezogen hatten, (Kap. 3.1.3), so nden wir dort einen
aquatorialen Strom j = nmig=B . Dasselbe Resultat folgt aus der Kraftbilanz (4.37) ~| B~ = m~g. Einzelteilchenbild und Flussigkeitsbild sind hier fur ein kaltes Plasma (rp = 0)
gleichwertig.
4.2.1 Isobare Flachen
Kehren wir kurz zu dem Problem des toroidalen Einschlusses zuruck. Unter Vernachlassigung der Gravitationskrafte gilt ein statisches Gleichgewicht:
~| B~ = rp :
(4.38)
Man sieht sofort, da B~ rp = 0 und ~| rp = 0 gilt. Also liegen B~ und ~| in einer Flache
konstanten Drucks. B -Feldlinien und Stromlinien j bilden eine magnetische Oberache,
die gleichzeitig eine isobare Flache ist (Abb. 4.6).
4.2. MAGNETOHYDROSTATIK
109
Abbildung 4.6: Ineinandergeschachtelte magnetische Oberachen beim Tokamak. Jede
Oberache wird von einem Netz aus Stromlinien und Magnetfeldlinien gebildet, die eine
nach innen gerichtete Kraftdichte j B erzeugen.
Der Zusammenhang zwischen Stromdichte und magnetischer Fludichte ergibt sich
aus dem Amperegesetz:
r B~ = 0~| (4.39)
so da aus (4.38) und (4.39) folgt:
(4.40)
~| B~ = 1 (r B~ ) B~
0
Zur Berechnung von (rB~ )B~ konnen wir die Formel A~ (rB~ ) = (rB~ )A~ c ;(A~ r)B~
verwenden. rB~ ist dabei ein Tensor mit den Komponenten (rB~ )ij = @Bj =@xi. A~ c bedeutet, da A~ nicht der Dierentation durch den links stehenden r-Operator unterworfen
ist. Mit (rB~ ) B~ = 21 r(B~ B~ ) folgt dann:
~| B~ = ; 21 r(B 2) + 1 (B~ r)B~ :
(4.41)
0
0
Bei dem Ausdruck (B~ r)B~ sei zunachst an die Analogie zur konvektiven Ableitung
(~v r)~v erinnert. Allgemein bedeutet der Operator ~a r eine Dierentation in Bezug auf
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
110
die Richtung des Vektors ~a. Hier also ist (B~ r)B~ die A nderung des Magnetfeldvektors,
die auftritt, wenn man einer Feldlinie folgt.
(4.38) und (4.41) lassen sich zu der Druckbilanz zusammenfassen:
~
~
r(p + pmagn ) = (B r)B (4.42)
0
in der der magnetische Druck: pmagn = B 2=20 eingefuhrt wurde. Fur gerade und parallele
Feldlinien ist (B~ r)B~ = 0 und es gilt dann:
2
p + 2B = const :
0
(4.43)
Der magnetische Einschlu kann im Flussigkeitsbild als Konstanz des Gesamtdrucks aus
kinetischem und magnetischem Druck verstanden werden. Dabei ist in der Regel der
magnetische Druck hoher als der kinetische Druck. Fur Fusionsplasmen de
niert man
einen Parameter
(4.44)
=p p magn
der den relativen Energieinhalt des Plasmas charakterisiert und meist kleiner als 20%
gewahlt wird.
Infobox: Vektorprodukte und Rotation
In der Magnetohydrodynamik treten viele Vektoroperation in Verbindung mit Ableitungen auf. Daher fassen wir hier die wichtigsten Formeln
zusammen:
A~ (B~ C~ )
r (f A~ )
r (f A~ )
r (A~ B~ )
r (A~ B~ )
A~ (r B~ )
$A~
=
=
=
=
=
=
=
(A~ C~ )B~ ; (A~ B~ )C~
f r A~ + A~ rf
f r A~ + rf A~
B~ (r A~ ) ; A~ (r B~ )
A~ (r B~ ) ; B~ (r A~ ) + (B~ r)A~ ; (A~ r)B~
(rB~ ) A~ c ; (A~ r)B~
r(r A~ ) ; r (r A~ )
4.2. MAGNETOHYDROSTATIK
111
4.2.2 Diamagnetische Drift
Wir haben im Einzelteilchenbild die Driftbewegung als eine adiabatische Bewegung auf
einer gegenuber der Gyration langsamen Zeitskala kennengelernt. A hnliche Betrachtungen
konnen wir auch in der Fluidtheorie vornehmen, wenn wir die auf den Tragheitskraften beruhenden Eekte vernachlassigen. In der Impulstransportgleichung (4.29) vernachlassigen
wir aus den genannten Grunden die Zeitabhangigkeit:
0 = nq(E~ + ~u B~ ) ; rp
(4.45)
und multiplizieren von rechts vektoriell mit der magnetischen Fludichte B~ :
1 rp B~ :
0 = E~ B~ + (~u B~ ) B~ ; nq
(4.46)
Wenn wir ~u = ~u?~uk in Anteile senkrecht und parallel zur Magnetfeldrichtung zerlegen,
ergibt das doppelte Kreuzprodukt (~u B~ ) B~ = (~u? B~ )B~ ; B 2~u?, da ~uk B~ = 0. Damit
wird die Plasmabewegung senkrecht zum Magnetfeld ~u?:
~ ~
p B~ = ~v + ~v :
~u? = E B2B ; rqnB
(4.47)
E
D
2
Der erste Term stellt die schon bekannte EB-Drift dar, der zweite Term (~vD ) ist die
diamagnetische Drift. Sie lat sich leicht veranschaulichen mit der Vorstellung von gyrierenden Teilchen, deren Dichteverteilung inhomogen ist. Die U berlagerung der Kreisstrome
ergibt infolge des Dichtegradienten einen Nettostrom (Abb. 4.7). Ein berandetes magnetisiertes Plasma hat grundsatzlich einen Netto-Oberachenstrom, den diamagnetischen
Strom.
Dieser Nettostrom kommt allein durch die inhomogene Verteilung der Fuhrungszentren zustande. Die Fuhrungszentren selbst bleiben bei der diamagnetischen Drift in Ruhe.
Das ist anders als bei den Driften des Einzelteilchenmodells, die ja gerade die Bewegung
des Fuhrungszentrums beschreiben. Es ist also nicht zulassig, die Beschreibungsweisen
fur das Plasma zu mischen, indem man die Driftgeschwindigkeiten aus dem Einzelteilchenbild einfach zu den jetzt bekannten Fluiddriften hinzuaddiert. Fur eine bestimmte
Situation mu man selbstkonsistent in einem der Modelle rechnen. Die E B -Drift und
die Krummungsdrift ergeben sich auch in der Fluidbeschreibung, die Gradientendrift jedoch verschwindet. Fur eine ausfuhrlichere Diskussion dieser Aspekte sei der Leser auf
das Lehrbuch von Chen 60] verwiesen.
Wir konnen nun den Spie herumdrehen und die Frage stellen, welche Rolle der diamagnetische Strom in der Fluidtheorie spielt. Dazu bilden wir Elektronen- und Ionenbeitrag:
~
(4.48)
~| = ne(~vDi ; ~vDe) = ; (rpi + Br2pe ) B :
112
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
Abbildung 4.7: (a) Diamagnetische Drift in einem inhomogenen Plasma und (b) Oberachenstrom eines berandeten, homogenen magnetisierten Plasmas
Dann wird die Lorentzkraft auf diesen Strom:
~ ~
~| B~ = ; (rp BB2 ) B = r?p
(4.49)
gleich dem Gradienten des Gesamtdrucks. Das ist gerade die statische Balance der Magnetohydrostatik. Also balanciert der Oberachenstrom in 4.7(b) den radialen Druckgradienten. Bildhaft gesprochen kann man sich die magnetische Oberache mit den darin
liegenden Feldlinien und Stromlinien (4.6) wie einen Strumpf vorstellen, der das thermische Plasma zusammenhalt.
4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD)
113
4.3 Magnetohydrodynamik (MHD)
Im vorangehenden Kapitel wurde das Plasma durch zwei sich durchdringende Flussigkeiten (Elektronen und Ionen) dargestellt. Die resultierenden Impulstransportgleichungen
konnten zusammengefat werden zu einer einheitlichen Impulstransportgleichung fur den
Massenu. Wir hatten schon den Vergleich zur Transformation ins Schwerpunktsystem
eines Zweikorperproblems angestellt. Die zweite Variable des Zweikorperproblems wird
durch die Relativgeschwindigkeit gebildet, die mit der Stromdichte verwandt ist:
~| = ne(~ui ; ~ue) :
(4.50)
4.3.1 Ohmsches Gesetz
Eine dynamische Gleichung fur den Strom erhalt man durch Subtraktion der (mit me
bzw. mi) gewichteten Impulstransportgleichungen (4.33):
@ (~u ; ~u ) = ne(m + m )E~ + ne(m ~u + m ~u ) B~
nmime @t
i
e
e
i
e i
i e
;merpi + mirpe + n(me + mi)eime(~ue ; ~ui) : (4.51)
In den Summen der Massen kann stets me gegen mi vernachlassigt werden. Der Mischterm
me~ui + mi~ue kann wie folgt zerlegt werden:
me~ui + mi~ue = mi~ui + me~ue + mi(~ue ; ~ui) + me(~ui ; ~ue)
(4.52)
1 ~| :
(4.53)
= n1 m~vm ; (mi ; me ) ne
Aus (4.51) und (4.53) wird dann:
mime @~| = e E~ + ~v B~ ; ei me ~|
m
m
e @t
ne2
;mi~| B~ ; merpi + mirpe :
(4.54)
Solange wir uns wieder fur langsam veranderliche Prozesse interessieren konnen wir @~|=@t
= 0 setzen und Terme der Groenordnung me=mi vernachlassigen. Dann erhalten wir das
verallgemeinerte Ohmsche Gesetz fur ein magnetisiertes Plasma:
1 (~| B~ ; rp ) :
E~ + ~vm B~ = ~| + ne
(4.55)
e
Dabei ist = eime =ne2 die Plasmaresistivitat aufgrund der Coulombstoe zwischen
Elektronen und Ionen. Die linke Seite stellt die korrekte Feldstarke im Bezugssystem der
Massenbewegung dar. Sie ergibt sich als Spannungsabfall j zuzuglich der Eekte der
~ und Elektronen-Druckgradienten. Nach (4.36) stellt der Beitrag
Hallspannung ~| B=ne
~| B~ ; rpe gerade die Tragheitskrafte dar, die wir in Fallen statischer Stromungen
vernachlassigen wollen. Dann wird das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz:
E~ + ~vm B~ = ~| :
(4.56)
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
114
4.3.2 Eingefrorene Feldlinien
Als Anwendung des verallgemeinerten Ohmschen Gesetzes betrachten wir den Fall einer
Plasmabewegung, die eine Komponente senkrecht zur magnetischen Feldrichtung besitzt.
Wir formen das Ohmsche Gesetz um durch Bildung der Rotation und Anwendung der
Maxwellgleichungen:
E~ + ~vm B~ = ~| = r B~
0
~
r E~ + r (~vm B~ ) = r (r B~ ) ; @@tB
(4.57)
0
; r (r B~ ) = ;r (~vm B~ ) :
(4.58)
0
Betrachten wir zunachst den Fall des ruhenden Plasmas ~vm = 0, dann erhalten wir die
Diusionsgleichung fur das Magnetfeld:
~
; @@tB + DB $B~ = 0
(4.59)
mit der Diusionskonstanten DB = =0. Mit einem Ansatz B~ (t) / exp(;t=B ) und
Ersatz des Laplaceoperators durch eine Skalenlange (zum Quadrat) $B~ B~ =L2 erhalt
man die Diusionszeit zu:
2
0L
(4.60)
B = :
Man erkennt, da mit abnehmender Resistivitat die Diusionzeit immer langer wird.
Diese Betrachtung ist naturlich nicht nur auf Plasmen beschrankt. Fur die Verhaltnisse im
Erdkern ergibt sich B 104a, fur eine Kupferkugel von 1m Durchmesser wird B 10s.
Die Leitfahigkeit von vollionisierten Plasmen ist i.d.R. wesentlich groer als die der
Metalle, wie Kupfer, so da wir als Konzept fur heie Laborplasmen und astrophysikalische
Plasmen oft den Grenzfall ! 0 heranziehen werden (ideale MHD). Dieses fuhrt zu der
Beziehung:
@ B~ = r (~v B~ ) :
(4.61)
m
@t
Mit der Identitat:
(4.62)
r (~vm B~ ) = (B~ r)~vm ; (~vm r)B~ + ~vm (|r{z B~ )} ;B~ (r ~vm)
=0
und unter Benutzung der Kontinuitatsgleichung (4.7) in der Form:
!
1
@
m
r ~vm = ; @t + (~vm r)m = ; 1 ddtm
m
m
(4.63)
4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD)
115
erhalt man den Ausdruck:
dB~ = (B~ r)~v + B~ dm :
m
dt
m dt
Unter Benutzung der Identitat
0 1
d @ B~ A = 1 dB~ ; 1 B~ dm
dt m
m dt 2m dt
ergibt sich dann die Beziehung (Theorem von Truesdell 61]):
0 1 0
1
d @ B~ A = @ B~ rA ~v :
m
dt m
m
(4.64)
(4.65)
(4.66)
Man erinnere sich, da die totale Zeitableitung die Veranderung einer Groe bei Verfol~ m) r dierenziert
gung des bewegten Flussigkeitselements beschreibt. Der Operator (B=
in Richtung der Magnetfeldlinien. Betrachten wir den Sonderfall eines Bundels paralleler Magnetfeldlinien und einer Massenstromung senkrecht zu diesen Feldlinien, dann ist
~ m in diesem
die rechte Seite von (4.66) gleich Null. Das bedeutet, da der Quotient B=
Stromungsproze konstant bleibt, und da die Feldlinien mit konstanter Masse beladen
sind und sich mit der Massenstromung bewegen. Dieses ist das Konzept der eingefrorenen Feldlinien. Fur den allgemeinen Fall einer beliebigen Stromungsrichtung sei auf das
Lehrbuch von Cap, Bd. III verwiesen 62].
4.3.3 Alfvenwellen
Das Konzept des eingefrorenen Flusses kann man am einfachsten am Beispiel von wellenartigen Storungen eines magnetisierten Plasmas nachvollziehen. Wir beginnen in der
idealen MHD ( = 0). Die unendliche Leitfahigkeit bedingt, da ein Magnetfeld, das sich
im Inneren des Plasmas be
ndet, nicht aus ihm herausdiundieren kann. Die Temperatur
des Plasmas sei hinreichend niedrig, da Druckkrafte vernachlassigt werden konnen. Dann
ist die Impulstransportgleichung einfach:
vm = ~| B~
m @~@t
(4.67)
und gema (4.62)
@ B~ = (B~ r)~v ; (~v r)B~ ; B~ (r ~v ) :
(4.68)
m
m
m
@t
Wir nehmen zur Vereinfachung an, da eine inkompressible Stromung r ~vm = 0 vorliegt,
d.h. m =const. Die Kompressibilitat wurde namlich nur zusatzliche Schallwellen erzeugen, die uns im Moment nicht interessieren. Fur Magnetfeld und Massengeschwindigkeit
116
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
machen wir den Storungsansatz:
B~ = B~ 0 + B~ 1
~vm = ~v1 (4.69)
in denen B~ 0 = (0 0 B0) und ~v0 = 0 gewahlt wird. Fur ein homogenes Magnetfeld B~ 0
ist der Term (~vm r)B~ von 2. Ordnung der Storungsrechnung, da er das Produkt aus
~v1 und B~ 1 enthalt, und kann vernachlassigt werden. Fur den Plasmawechselstrom gilt
j = r B~ 1=0. Dann ergibt sich fur die kleinen Storgroen:
v1 = 1 (r B~ ) B~
m @~
1
0
@t
0
@ B~ 1 = (B~ r)~v :
(4.70)
0
1
@t
Oensichtlich liegt (r B~ 1) B~ 0 senkrecht zu B~ 0 und damit ist die Geschwindigkeitsstorung ~v1 senkrecht zum statischen Magnetfeld. Ebenso hat B~ 1 nur Komponenten
senkrecht zu B~ 0. Das doppelte Kreuzprodukt (r B~ 1) B0 = (B~ 0 r)B~ 1 ; (rB~ 1) B~ 0
verdient gesonderte Betrachtung. Weil B~ 1 = (B1x B1y 0) gilt:
0 @B1x @B1y 1
BB @x @x 0 CC
BB
C
BB @B1x @B1y CCC
rB~ 1 = BB @y @y 0 CC
(4.71)
BB
CC
B@
C
@B1x @B1y 0 A
@z @z
und B~ 0 = (0 0 B0) verschwindet das Skalarprodukt (rB~ 1) B~0. Ersetzen wir B~ 0 r =
B0@=@z erhalt man dann die Storgroen in Koordinatenschreibweise:
1?
m @v@t1? = B 0 @B
0 @z
@B1? = B @v1? :
(4.72)
0
@t
@z
worin der Index ? stellvertetend fur x oder y steht. Diese beiden Gleichungen lassen sich
zu Wellengleichungen fur die Storgroen zusammenfassen:
#
" 2
@ ; v2 @ 2 v = 0
A @z 2 1?
2
@t
" 2
#
@ ; v2 @ 2 B = 0 :
(4.73)
@t2 A @z2 1?
4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD)
117
Dabei ist vA die Alfvengeschwindigkeit:
!1=2
2 !1=2 2
p
B
magn
0
= :
vA = 0
m
m
(4.74)
Abbildung 4.8: Geometrie einer transversalen Alfvenwelle
Diese Schallgeschwindigkeit entspricht derjenigen einer Transversalwelle auf einer Saite
mit Massenbelegung m und Zugspannung :
!1=2
cs = jj
:
(4.75)
m
Diese Analogie legt es sofort nahe, die eingefrorenen Feldlinien wie Klaviersaiten zu betrachten, die zur Massenerhohung mit Kupferdraht umwickelt sind. Weiterhin hat sich ergeben, da ein Magnetfeld sowohl einen Druck pmagn = B 2=20 senkrecht zu den Feldlinien
ausubt, als auch eine Zugspannung = ;2pmagn besitzt. Dieses lat sich zusammenfassen
118
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
im Maxwellschen Stresstensor 63]:
0 2
1
B0 =20
0
0
CA
0
T = B@ 0 B02=20
(4.76)
0
0
;B02=20 :
Den Faktor 2 in = ;2pmagn sieht man ein, wenn man sich den Stresstensor als die
Summe aus einem isotropen Drucktensor und einer Zugspannung langs des Magnetfeldes
vorstellt:
0
1 0
1
pmagn 0
0
0 0
0
T = B@ 0 pmagn 0 CA + B@ 0 0 0 CA :
(4.77)
0
0 pmagn
0 0 ;2pmagn
4.3.4 Der Pincheekt
Mit Hilfe von Impulsstromen im Bereich von 10 kA bis 1 MA konnen Plasmen sehr
ezient aufgeheizt und magnetisch eingeschlossen werden. Dabei unterscheidet man zwei
Geometrien (4.9), den Z-Pinch, bei dem ein axialer Strom durch ein zylindrisches Plasma
iet, und den /-Pinch, bei dem ein azimutaler Strom in das Plasma induziert wird. Unter
der Wirkung der magnetischen Druckkrafte wird das Plasma zu einem dunnen Schlauch
zusammengedruckt.
Das Gleichgewicht eines Z-Pinches konnen wir anhand der Bilanz fur magnetischen
Druck und kinetischen Druck der Plasmateilchen beschreiben. Es gilt fur jeden Radius:
2
(4.78)
p(r) + B2(r) = const :
0
Folglich ist der kinetische Druck im Zentrum des Pinches (r=0) gleich dem magnetischen
Druck an der Oberache (r=a):
2
nkB (Te + Ti) = B2(a) :
(4.79)
0
Das Magnetfeld an der Plasmaoberache ergibt sich nach dem Ampereschen Gesetz aus
dem Gesamtstrom:
B (a) = 02aI :
(4.80)
Der Zusammenhang zwischen der Temperatur auf der Achse des Pinches und dem Gesamtstrom lautet dann (Bennett-Beziehung) 64]:
2
(4.81)
(Te + Ti) / aI 2 :
Dies bedeutet, da die erreichbare Temperatur mit dem Quadrat des Entladungsstroms
skaliert. Pinchentladungen spielen zwar fur die kontrollierte Kernfusion keine Rolle mehr.
Die in ihnen erreichbaren hohen Temperaturen konnen aber gezielt benutzt werden, um
Plasmen mit hochgeladenen Ionen zu erzeugen, um z.B. die Linienspektren dieser Ionen
fur die Anwendung in der Diagnostik heier Plasmen zu vermessen.
4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD)
119
Abbildung 4.9: (a) Z-Pinch und (b) /-Pinch. Der magnetische Selbsteinschlu (Pincheffekt) tritt in stromstarken Impulsentladungen auf. Der Impulsstrom wird von einer Kondensatorbatterie mit Funkenstreckenschaltern geliefert.
120
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
4.3.5 MHD-Generatoren (*)
Ein stromendes Plasma kann zur direkten Energiegewinnung eingesetzt werden. Dazu lat
man es in einem Kanal mit transversalem Magnetfeld stromen. Das Prinzip ist in 4.10
dargestellt. Senkrecht zur Magnetfeldrichtung ist die in das bewegte Medium induzierte
Spannung (EMK) (~u B~ )b verfugbar, wobei b die Kanalbreite ist. Belastet man diese
Spannung mit einer externen Last, deren Widerstand klein gegenuber dem Innenwiderstand des Plasmas ist, so iet ein Strom:
~|ind = 1 ~u B~ :
(4.82)
Dieser Strom bremst die Plasmabewegung mit der Kraft (4.10(b)):
F~ = ~|ind B~ :
(4.83)
Der Vorteil der MHD-Energiewandlung liegt in der Ausnutzung der hohen Primartemperaturen eines konventionellen (oder Kern-)Kraftwerks. Aus Grunden der Materialbeanspruchung sind Dampfturbinen nur etwa bis 800 oC einsetzbar, wahrend MHD-Generatoren
bis 2700 o C arbeiten. Im Prinzip sind Gesamt-Wirkungsgrade bis zu 60% mit MHDGeneratoren erreichbar. Zur Erhohung der Leitfahigkeit werden dem Gasstrom Alkalimetalle beigemengt.
Trotz intensiver Bemuhungen, vor allem in der ehemaligen Sowjetunion, ist es nicht gelungen, MHD-Generatoren kommerziell einzusetzen, da das Problem der Korrosion durch
das agressive Natrium nicht gelost werden konnte. Die Umkehrung des MHD-GeneratorPrinzips stellen die Plasmatriebwerke fur Weltraumanwendungen dar, in denen j B
Krafte zur Beschleunigung eingesetzt werden. Dieses Prinzip ist attraktiv, da die Geschwindigkeit des ausgestoenen Plasmas wesentlich hoher als bei Verbrennungsprozessen
ist.
4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD)
121
Abbildung 4.10: MHD-Generator. Die Gasstromung erzeugt eine induzierte Feldstarke
~vgas B~ , die ihrerseits einen elektrischen Strom ~| zur Folge hat, wenn der Generator
extern belastet ist. Das Plasma erfahrt eine Bremskraft ~| B~ .
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
122
4.3.6 MHD-Stabilitat
Das statische Pinch-Plasma haben wir unter dem Gesichtspunkt des Druckgleichgewichts
zwischen kinetischem Gasdruck und magnetischem Druck an der Oberache analysiert.
Gleichgewicht bedeutet aber nicht automatisch Stabilitat. Stellen wir uns zunachst vor,
da das zylindrische Plasma eine lokalisierte Einschnurung erfahrt (Abb.4.11(a)). Nach
(4.78) steigt dann lokal das azimutale Magnetfeld und damit der magnetische Druck
an der Oberache, was zu einer Verstarkung der Einschnurung fuhrt. Der ursprungliche
homogene Plasmazustand ist also instabil& die Instabilitat wird Sausage-Instabilitat (zu
deutsch "Wurstchen\-Instabilitat) genannt.
Als zweite Art der Storung betrachten wir eine lokalisierte radiale Auslenkung der gesamten Plasmasaule (Abb.4.11(b)). Auf der Seite des geringeren Krummungsradius ist die
Feldliniendichte hoher als auf der Auenseite. Damit treibt die Dierenz des magnetischen
Druckes die Storung weiter nach auen. Dieser Instabilitatstyp heit Kink-Instabilitat.
Diese beiden Instabilitaten limitieren die Kompression des Z-Pinches, indem das heie
Plasma in der beschriebenen Art ausbrechen kann. Beide Instabilitaten konnen mit Hilfe
eines axialen Magnetfeldes stabilisiert werden.
Abbildung 4.11: (a) Sausage-Instabilitat, (b) Kink-Instabilitat des Z-Pinches
4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD)
123
Ein Exkurs uber Strommessung in Hochstromentladungen (*)
Stromstarke Entladungen erfordern die Messung von Stromen im Bereich von etwa 1100 kA. Die ubliche Methode, den Spannungsabfall an einem Mewiderstand (Shunt) als
Strommewert zu verwenden, ist nur bis etwa 1 kA sinnvoll, da bei Widerstanden unter
1m) der induktive Anteil dominiert und den Frequenzgang bei den hohen Frequenzen
verfalscht, die bei Impulsentladungen bedeutsam sind. Daher hat sich das Prinzip des
induktiven Stromwandlers (Stromzange) fur derartige Entladungen durchgesetzt.
Ein solcher Stromwandler besteht aus einem Abschirmrahmen (4.12), in dem vier
Ferritstabe mit Spulen untergebracht sind. Das Gehause enthalt einen umlaufenden Spalt,
damit es keine Kurzschluwindung bildet. Der magnetische Flu in den Ferritstaben ist
proportional zur Stromstarke in dem vom Rahmen umfaten Stromleiter, der entweder ein
Zuleitungsdraht oder das Plasmarohr selbst sein kann. Die Ausgangsspannung des oenen
Wandlers ist nach dem Induktionsgesetz proportional zu @I=@t. Das Ausgangssignal wird
mit elektronischen Mitteln zeitintegriert, um ein Signal proportional zum Stromverlauf zu
erhalten. Bei genugend hoher Induktivitat der Spulen kann die Integration passiv durch
einen niederohmigen Widerstand erfolgen, der mit der Spuleninduktivitat einen Tiefpa
erster Ordnung bildet.
Abbildung 4.12: (a) Aufbau eines induktiven Stromwandlers (b) Ersatzschaltbild mit Integration der Induktionsspannung durch einen L-R Tiefpa.
124
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
4.3.7 Die Vollstandigkeit der MHD
Zum Ende dieses Kapitels wollen wir nochmals die Frage betrachten, wie die Beschreibung
eines Plasmas durch die MHD-Gleichungen strukturell aussieht. In der MHD beschreiben
wir das Plasma durch Massenbewegung und elektrischen Strom, in denen die Variablen
m~vm e und ~| vorkommen. Dieses sind acht Unbekannte, zu denen noch die sechs Komponenten von E~ und B~ hinzuzunehmen sind.
An Gleichungen haben wir fur die Teilchen zwei Kontinuitatsgleichungen, die Bewegungsgleichung und das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz, die ebenfalls acht Gleichungen
darstellen, zu denen noch das Induktionsgesetz und das Amperesche Gesetz (sechs Gleichungen) hinzutreten. Fur die Teilchen und Felder konnen wir geeignete Anfangsbedingungen oder Randbedingungen formulieren, so da die Dierentialgleichungen im Prinzip
losbar erscheinen.
Leider ubersieht diese Betrachtung, da eine weitere Variable auftritt, der gaskinetische Druck. Diese machte gerade den Unterschied zum Einzelteilchenbild aus und wir
haben fur den Druck keine eigene Bewegungsgleichung abgeleitet. Der pragmatische Weg
der Plasmaphysiker ist, fur den Druck eine thermodynamische Zustandsgleichung hinzuzunehmen, die je nach Situation eine adiabatische oder isotherme Zustandsanderung
beschreibt. Dadurch wird der Abschlu der MHD-Gleichung erreicht.
Es ist auch moglich, eine Energiebilanz im Flussigkeitsbild zu formulieren, die die
Konvektion der Warme und Warmeleitung einschliet. In einer solchen Gleichung, der
Warmetransportgleichung, tritt jedoch, in Analogie zum Erscheinen des Terms hv2i in
der Impulstransportgleichung, ein Moment dritter Ordnung hv3i auf, fur das uns dann
wieder eine dynamische Gleichung fehlt. Die Erweiterung um die Warmetransportgleichung macht zwar die Beschreibung des Energiehaushalts des Plasmas moglich, zeigt aber
gleichzeitig, da die MHD auf eine Hierarchie von Gleichungen hinauslauft, die durch eine ad-hoc Annahme abgeschlossen werden mu. Naturlich wundert uns diese Eigenschaft
nicht, da das wirkliche Problem der Plasmabeschreibung aus den Bewegungsgleichungen
von N Teilchen besteht, zu denen ein Satz von wenigen Fluidgleichungen nicht streng aquivalent sein kann. Die MHD ist also nur eine Approximation, die man je nach gewunschter
Genauigkeit bis zur Energiebilanz heranzieht.
4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD)
125
Memobox: MHD-Gleichungen
@m + r ( ~v ) = 0
m m
@t
@e + r ~| = 0
@t
vm = ~| B~ ; rp + ~g
m @~@t
m
mime @~| = e E~ + ~v B~ ; eime ~|
m
m
e @t
nee2
;mi~| B~ ; merpi + mirpe
~
r E~ = ; @@tB
~
r B~ = 0(~| + 0 @@tE )
126
4.4 Aufgaben
KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
1. Fuhren Sie die Zwischenschritte in der Herleitung der Bewegungsgleichung (4.36)
aus.
2. Der Sonnenwind stellt ein stromendes Plasma geringer Dichte dar, das auf das Erdmagnetfeld trit. Schatzen Sie ab, in welcher Entfernung von der Erde der Staupunkt liegt, fur den der Staudruck gleich dem magnetischen Druck wird. Nehmen
Sie hierfur an, da der Sonnenwind nur aus Protonen und Elektronen der Dichte
5 106 m;3 besteht und eine Geschwindigkeit von 400 km/s besitzt. Das Erdmagnetfeld in der A quatorebene sei angenommen als B = 3 10;5 T (r=rE );3, wobei rE der
Erdradius ist.
Kapitel 5
Wellen und Instabilitaten in
Plasmen
Das Interesse an Wellenvorgangen in Plasmen hat mehrere Wurzeln. Hier ist zunachst
die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in der Ionosphare zu nennen. Stimuliert
durch Marconis Versuche zur Fernausbreitung von Radiowellen (1901) hatte Heaviside
(1902) postuliert (wie Gau bereits vor der Jahrhundertwende spekulierte), da die Hochatmosphare der Erde eine elektrisch leitende Schicht enthalten musse, die die Radiowellen
wie ein Spiegel reektiert. Die quantitative Erforschung der Ionosphare mit Radiowellen
als diagnostisches Hilfsmittel begann in den Jahren 1924-1927 mit der 'Echolotung' von
Breit und Tuve 65] sowie Appleton's systematischer Programmatik 8]. Gleichzeitig waren
im Labor bereits die Langmuirschwingungen bekannt 66]. In den sechziger Jahren wuchs
das Interesse, die Heizung von Plasmen durch Einstrahlung intensiver Plasmawellen im
Radio- und Mikrowellenbereich durchzufuhren.
Uns interessieren in dieser Einfuhrung nur die fundamentalen Wellentypen, die Einblick in die verschiedenen Mechanismen der Wellenausbreitung geben. Gleichzeitig werden
wir Anwendungen dieser Wellen fur diagnostische Zwecke diskutieren. Eine umfassende
Darstellung der Plasmawellen ndet sich z.B. in 67, 68, 70]. Nach einer Behandlung der
linearen Dispersionseigenschaften werden wir auch grundsatzliche Aspekte der nichtlinearen Wechselwirkung von Wellen ansprechen.
Im Falle von Nichtgleichgewichtsbedingungen in Plasmen (in Analogie zur Besetzungsinversion in einem Lasermedium) konnen Wellen zeitlich oder raumlich anwachsen. Diese
Klasse von Phanomenen behandeln wir als Mikroinstabilitaten von Plasmen, im Unterschied zu den makroskopischen Instabilitaten der MHD (vgl. Abschnitt 4.3.6).
127
128
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
5.1 Grundbegrie
Plasmawellen werden beschrieben durch die Maxwellgleichungen
~
r E~ = ; @@tB
~
r B~ = 0(~| + 0 @@tE )
(5.1)
(5.2)
und eine geeignete Bewegungsgleichung des Plasmas, die den Zusammenhang ~|(E~ ) herstellt. Im einfachsten Fall geschieht das im Einzelteilchenbild durch :
~| = ne(~vi ; ~ve) (5.3)
wobei ~vei die Losungen der Newtongleichung (3.1) sind. In warmen Plasmen konnen
wir Druckeekte durch Losung der MHD-Gleichungen fur die Variable ~| einschlieen.
Zusatzliche Eekte heier Plasmen werden in der kinetischen Theorie (vgl. Kap. 6) in
Form der Vlasovgleichung erfat.
Fur die Beschreibung der Wellenausbreitung nehmen wir vereinfachend an, da der
Zusammenhang zwischen dem Wechselstrom ~|! (mit der Kreisfrequenz !) und der Wechselfeldstarke E~ ! linear ist, oder durch geeignete Naherungen linearisiert werden kann:1
~|! = ! E~ (!) :
(5.4)
Hier ist ! der Leitfahigkeitstensor, der frequenzabhangig ist. Durch Bildung der Rotation im Induktionsgesetz erhalten wir die Wellengleichung:
~
r (r E~ ) = ;r @@tB
@ (r B~ )
= ; @t
2~
|:
= ;00 @@tE2 ; 0 @~
@t
(5.5)
Mit 00 = 1=c2 lautet die Wellengleichung fur das elektrische Feld:
~
|:
r (r E~ ) + c12 @@tE2 = ;0 @~
@t
2
(5.6)
Der untere Index ! von A! wird stets einen Schwingungsvorgang mit der zeitlichen Variation /
exp(;i!t) bezeichnen. Wenn daran erinnert werden soll, da ein Wellenvorgang / exp(i~k ~r ; i!t)
vorliegt, schreiben wir A(! ~k).
1
5.1. GRUNDBEGRIFFE
129
5.1.1 Normalmodenanalyse
Wir losen die Wellengleichung mit einem Ansatz fur ebene monochromatische Wellen:
E~ = E~^ expi(~k ~r ; !t)]
B~ = B~^ expi(~k ~r ; !t)]
~| = ~|^expi(~k ~r ; !t)] :
(5.7)
Darin ist ~k der Wellenvektor, der die Ausbreitungsrichtung der Welle angibt und dessen
Betrag k = 2= ist. Die Wellenamplituden E~^ und ~|^ sind komplex, um eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung einzuschlieen. Sie hangen von der Frequenz
und Wellenzahl ab, z.B. : E^ = E^ (! ~k). Mit diesem Ansatz zeigen wir leicht, da folgende
Substitutionsregeln fur die Dierentialoperatoren gelten:
r E~ ! i~k E~^
r E~ ! i~k E~^
@ E~ ! ;i!E~^ :
(5.8)
@t
Damit schreiben sich die Maxwellgleichungen (5.2) in Fourierdarstellung:
i~k E~^ = i!B~^
i~k B~^ = ;i!00E~^ + 0~|^0 (5.9)
wobei der Phasenfaktor expi(~k ~r ; !t)] gekurzt werden kann und die Feldgroen jetzt
durch ihre Amplituden ersetzt wurden. Benutzt man nun den angenommenen linearen
Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischer Feldstarke (5.4), so lautet die (homogene) Wellengleichung:
~k (~k E~^ ) + !22 E~^ + i!0! E~^ = 0 :
(5.10)
c
Da der Zusammenhang zwischen Wechselstrom und Wechselspannung als linear angenommen wurde, kann der Teilchenstrom auch als Polarisierungsstrom aufgefat werden
und mit dem Vakuumverschiebungsstrom 0@ E~ =@t zusammengefat werden. Im Falle der
sehr hochfrequenten Wellen, bei denen nur eine Elektronenoszillation um ihre Ruhelage
auftritt, wahrend die Ionen unbewegt sind, ist es erlaubt, sich das Plasma als Menge von
Dipolen aus ruhendem Ion und darum oszillierende Elektronen vorzustellen. Wenn wir
die Verschiebungsdichte D(!) einfuhren:
D~^ ! = 0! E~^ ! (5.11)
130
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
so erhalt man den allgemeinen Zusammenhang zwischen Leitfahigkeitstensor und Dielektrizitatstensor:
! = I + !i 0 ! :
(5.12)
wobei I der Einheitstensor ist. Es gibt also zwei Betrachtungsweisen, das Medium Plasma
entweder als verlustbehaftetes Dielektrikum (! ) oder als phasenschiebender Leiter (! )
aufzufassen. In den Fallen, wo die Plasmawellen weitgehend ungedampft sind, ist die
Dielektrizitatskonstante vorwiegend reell, so da wir die dielektrische Beschreibung als
praktikablere vorziehen werden.
5.1.2 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Wir de
nieren die Phase einer monochromatischen Welle :
' = ~k ~r ; !t :
(5.13)
Ein Punkt bestimmter Phase in einer Welle bewegt sich mit einer Geschwindigkeit, die
durch die Konstanz seiner Phase de
niert wird:
0 = dd't = ~k dd~rt ; ! :
(5.14)
Daher wird die Phasengeschwindigkeit:
~v' = k!2 ~k :
(5.15)
Sie ist ein Vektor vom Betrag v' = !=k und zeigt in Richtung der Wellenausbreitung.
Betrachten wir nunmehr die Ausbreitung von zwei Wellen, die miteinander interferieren. Der Einfachheit nehmen wir an, da die Wellen gleiche Amplituden haben und
sich in x-Richtung ausbreiten. Dann wird die Welle z.B. durch die U berlagerung zweier
Sinuszuge beschrieben:
= sin(k1x ; !1t) + sin(k2x ; !2t) :
Mit dem Additionstheorem fur den Sinus erhalten wir:
1
0
1
0
C
B
C
B1
= 2 sin B
B@ 2 (k1 + k2)x ; 21 (!1 + !2)tCCA cos BB@ 12 (k1 ; k2)x ; 12 (!1 ; !2)tCCA :
{z
}
{z
}
|
|
I
(5.16)
(5.17)
II
Dieses stellt die bekannte Interferenz
gur (Abb. 5.1) dar, in der der Sinusterm die schnelle
Oszillation mit dem arithmetischen Mittel der Frequenz und Wellenzahl darstellt, und der
5.1. GRUNDBEGRIFFE
131
Abbildung 5.1: Interferenz zweier Sinuswellen gleicher Amplitude. Die momentane Phase
propagiert mit der Phasengeschwindigkeit, die Hullkurve mit der Gruppengeschwindigkeit.
Cosinusterm die Hullkurve beschreibt. Die Phasengeschwindigkeit dieser kombinierten
Welle ergibt sich aus der Phase (I) des Sinusterms zu:
+ !2)=2 :
v' = ((!k1 +
(5.18)
k2)=2
1
Die Hullkurve bewegt sich mit einer anderen Geschwindigkeit, der Gruppengeschwindigkeit, die sich aus der Phase (II) des Cosinusterms ergibt:
!2)=2 = $! :
(5.19)
vgr = ((!k1 ;
$k
1 ; k2 )=2
Im allgemeinen Fall eines spektral ausgedehnten Wellenpakets kann man zeigen, da die
Gruppengeschwindigkeit durch den Ausdruck:
!
@!
@!
@!
~vgr = @k @k @k = rk! = d~!
(5.20)
x
y
z
dk
gegeben ist. Die Analogie zu obigem Beispiel ist oensichtlich. Die Gruppengeschwindigkeit hat den Betrag vgr = d!=dk. Ihre Richtung ist allerdings in einem anisotropen
Medium nicht unbedingt parallel zur Phasengeschwindigkeit. Es gibt wichtige Falle, z.B.
bei den sog. Whistlerwellen in einem magnetisierten Plasma, wo sogar Phasen- und Gruppengeschwindigkeit zueinander senkrecht stehen konnen 70, 68].
132
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
5.1.3 Dispersionsrelation
Die homogene Wellengleichung in Fourierdarstellung (5.10) lat sich mit Hilfe der Vektoridentitat ~k (~k E~^ ) = (~k~k ; k2I)E~^ in folgenden Formen schreiben:
~k~k ; k2I+ !22 I+i!0! E~^ = 0
c
~k~k ; k2I+ !22 ! E~^ = 0 :
(5.21)
c
Dabei ist ~k~k die Dyade:
0
1
kxkx kxky kxkz
~k~k = B
(5.22)
@ ky kx ky ky ky kz CA :
kz kx kz ky kz kz
Die Gleichungen (5.21) stellen ein homogenes lineares Gleichungssystem fur den elektrischen Feldvektor dar:
1 0 ^ 1
0
!2 !2 2 + !2 k
k
;
k
k
k
+
k
k
+
x y c2 xy
x z c2 xz C B Ex C
c2 xx
BB x x
2
2
!
!
!2
2
CA B@ E^y CA = 0 (5.23)
k
y kz + c2 yz
2 yy
@ ky kx + !c22 yx ky ky ; k +
c
2
2
kz kx + c2 zx
kz ky + !c2 zy kz kz ; k2 + !c2 zz
E^z
das nur dann nichttriviale Losungen besitzt, wenn die Determinante der Matrix verschwindet. Diese Determinantenbedingung liefert einen impliziten Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenvektor, den wir die Dispersionsrelation nennen:
2
0 = D(! ~k ) = det ~k~k ; k2I+ !c2 ! :
(5.24)
Die Funktion D(! ~k ) = 0 kann oft auch in die explizite Form !(~k ) gebracht werden. In der
Regel treten dabei mehrere Zweige auf. Auch diese explizite Form des Zusammenhanges
zwischen Frequenz und Wellenvektor bezeichnet man als Dispersionsrelation.
5.2. ELEKTRONENWELLEN
5.2 Elektronenwellen
133
In diesem Abschnitt werden wir den Wechselstrom der Ionen vernachlassigen, da wir
uns fur sehr hochfrequente Wellen interessieren, denen die Ionen infolge der wesentlich
groeren Tragheit nicht folgen konnen. Dieses sieht man leicht ein, wenn man die Newtongleichung betrachtet:
(5.25)
m dd~vt = qE~^ expi(~k ~r ; !t)] in der bei einer Frequenz ! der Teilchenwechselstrom den Wert
2
~|^ = nq~v^ = i ne E~^
(5.26)
!m
annimmt, der eben fur Ionen um das Massenverhaltnis me=mi kleiner ist als der Elektronenwechselstrom. Somit wirken die Ionen bei hohen Frequenzen nur wie ein unbewegter
neutralisierender Ladungshintergrund.
5.2.1 Elektromagnetische Wellen
Als erstes Beispiel wollen wir die elektromagnetischen Wellen in einem unmagnetisierten Plasma studieren. Hierzu legen wir den Wellenausbreitungsvektor ~k = (kx 0 0) in
x-Richtung. Da gema (5.26) Stromdichtevektor und elektrische Feldstarke zueinander
parallel sind, hat der Leitfahigkeitstensor nur drei identische Diagonalelemente :
ne2
xx = yy = zz = i !m
(5.27)
und der Dielektrizitatstensor nach (5.12) nur die Komponenten:
!p2
i
xx = yy = zz = 1 + ! yy = 1 ; !2 :
(5.28)
0
Hierin ist !p die Elektronenplasmafrequenz:
2 !1=2
:
(5.29)
!p = nem
0 e
Unter Beachtung, da kxkx ; k2 = 0 und ky = kz = 0 fur die hier gewahlte Geometrie
lautet die Wellengleichung (5.23) dann:
0 !2
1 0 1
!p2
(1
;
)
0
0
E^x C
c2
!2
B
C
B
2
B
2
C
!
B
CA B@ E^y CA = 0 :
(5.30)
0
0
;k2 + !c2 (1 ; !p2 )
@
2
2
!p
^
!
2
Ez
0
0
;k + c2 (1 ; !2 )
Das Problem besitzt oenbar eine Zylindersymmetrie um die x-Achse, die sich in der
Gleichberechtigugn der y- und z-Richtung auert. Wir unterscheiden daher drei Falle:
134
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
1. E^x 6= 0 aber E^y = E^z = 0, d.h. longitudinale Wellen
2a. Ex = 0 aber Ey 6= 0, d.h. transversale Wellen
2b. Ex = 0 aber Ez 6= 0
Oensichtlich sind die Transversalwellen entsprechend zweier moglicher Polarisationsrichtungen (in y- und z-Richtung) zweifach entartet. Den Fall der longitudinalen Wellen
diskutieren wir in Abschnitt 5.2.3. Hier wollen wir rein elektromagnetische Wellen, d.h.
transversale Wellen diskutieren. Daher setzen wir Ex = 0 und behalten nur die mittlere
Zeile des linearen Gleichungssystems (5.30):
(;k2 + (!2 ; !p2)=c2)E^y = 0
(5.31)
oder, da E^y 6= 0:
!2 = !p2 + k2c2
(5.32)
(Gleiches folgt auch aus der letzten Zeile von (5.30)). Dieses ist die explizite Form der Dispersionsrelation fur elektromagnetische Wellen in Plasmen (vgl. Abb. 5.2). Wellenausbreitung
Abbildung 5.2: Dispersionsrelation elektromagnetischer Wellen im unmagnetisierten Plasma. Wellenausbreitung ist nur oberhalb der Plasmafrequenz moglich. Fur ! !p nahert
sich die Dispersion der Vakuumwelle ! = kc an.
ndet nur statt, wenn ! > !p. Im Grenzfall sehr groer Frequenzen gilt ! ! kc, d.h. freie
5.2. ELEKTRONENWELLEN
135
elektromagnetische Wellen im Vakuum. Hier wird die Elektronentragheit aufgrund der hohen Frequenz so gro, da keinerlei Teilchenstrome in den Maxwellgleichungen auftauchen.
Elektromagnetische Wellen im unmagnetisierten Plasma haben eine Phasengeschwindigkeit, die groer ist als die Lichtgeschwindigkeit. Ihre Gruppengeschwindigkeit ist jedoch
kleiner als die Lichtgeschwindigkeit& daher verletzen sie nicht die Kausalitat.
5.2.2 Interferometrie mit Mikrowellen und Lasern
Die dielektrischen Eigenschaften des unmagnetisierten Plasmas sind durch die Dielektrizitatskonstante
= 1 ; !p2=!2
(5.33)
gegeben, die von der Elektronendichte abhangt. Der Brechungsindex N des Plasmas fur
transversale elektromagnetische Wellen ist wegen (5.32):
2
2 2
N 2 = vc2 = k!c2 = :
(5.34)
'
Damit wird N = 0 bei ! = !p und imaginar fur kleinere Frequenzen. Somit wird eine elektromagnetische Welle reektiert, wenn ihre Frequenz kleiner ist als die Plasmafrequenz.
Dies ist der Grund, warum die Silberschicht eines Spiegels sichtbares Licht reektiert, im
UV-bereich aber durchsichtig ist.
Die Elektronendichte, fur die !p = ! erfullt ist, nennt man den Cut-o-Punkt. In einem inhomogenen Plasma, bei dem die Dichte vom Rand zur Mitte ansteigt, stellt dieser
kritische Dichtewert den Ort der Wellenreektion fur eine von auen eingestrahlte Welle dar. Bei einem Laborplasma, dessen Elektronendichte hoher ist als die Cut-o-Dichte
tritt der Cut-o auch als zeitliches Phanomen auf: nach dem Einschalten der Entladung
steigt die Elektronendichte zeitlich an. Wellentransmission ist moglich, solange die Dichte
noch kleiner als die Cut-o-Dichte ist, oder sobald nach dem Abschalten der Entladung
die Cut-o-Dichte wieder unterschritten wird. Solche einfachen Transmissionsmessungen
ergeben bereits eine grobe Dichtebestimmung, insbesondere wenn mehrere Wellenfrequenzen (typisch im Mikrowellenbereich) verwendet werden.
Eleganter ist es allerdings, den Brechungsindex des Plasmas mit einem Interferometer zu messen. Dieses geschieht je nach Elektronendichte mit einem Mikrowellen- (Abb.
5.3) oder Laserinterferometer (Abb. 5.4)71]. Die zugehorigen Cut-o-Dichten, d.h. die
Dichtewerte, fur die !p = ! wird, sind in der Tabelle 5.1 zusammengestellt.
Die Interferometrie betreibt man, indem man z.B. die Phasenanderung wahrend des
Ausschaltens des Plasmas beobachtet. Dann hat sich die optische Weglange innerhalb
des Plasmagefaes von N L auf den geometrischen Weg L geandert. Dies ergibt bei einer
Wellenlange eine Phasenverschiebung:
$' = 2 (N ; 1)L :
(5.35)
136
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
Tabelle 5.1: Cut-o Dichten fur Mikrowellen- und Laserinterferometer.
Quelle
Wellenlange Frequenz Cut-o-Dichte
f
nco (m;3)
Mikrowelle
3 cm
10 GHz
1 2 1018
8 mm
37 GHz
1 7 1019
4 mm
75 GHz
7 0 1019
HCN-Laser
337m
890 GHz 9 8 1021
CO2 Laser
10,6 m
28 THz
9 7 1024
He-Ne Laser 3,39 m
88 THz
9 6 1025
0,633 m 474 THz 2 8 1027
Der Brechungsindex kann fur Dichtewerte, die nicht zu dicht an der Cut-o-Dichte liegen,
in eine Taylorreihe entwickelt werden:
2
q
N = 1 ; !p2=!2 1 ; 12 !!p2 = 1 ; 21 nn (5.36)
co
wobei die Cut-o-Dichte de
niert ist als:
2
nco = 0me2e!
(5.37)
Damit wird die Phasenverschiebung:
(5.38)
$ ; L nn :
co
Da die Cut-o-Dichte proportional zu ;2 ist, wachst die Phasenverschiebung proportional zur Wellenlange der verwendeten Welle und nicht reziprok, wie die Formel bei
uchtiger Betrachtung suggeriert. Bei kleinen Elektronendichten sind also langwellige Laser oder Mikrowellen erforderlich.
Ein Beispiel fur eine interferometrische Messung mit einem Aufbau wie in Abb. 5.4
zeigt Abb. 5.5(a), die mit einem 8mm Mikrowellen-Interferometer an einer gepulsten Gasentladung gewonnen wurde. Beim Anstieg der Dichte ist die Nachweiselektronik nicht
in der Lage, den schnellen A nderungen der Interferenz zu folgen. Nach dem Ende des
Strompulses klingt die Plasmadichte ab und das zeitliche Interferogramm zeigt zunachst,
wie die Welle den Cut-o verlat und dann mehrere Oszillationen bis zur Annahme einer
Grenzphase vollfuhrt. Die starke Amplitudenabnahme bei Annaherung an den Cut-o
liegt an der zunehmenden Reektivitat des Plasmas. Die zugehorige Dichteauswertung
mit der vollstandigen Formel (5.35) fur die Phasenverschiebung zeigt Abb. 5.5(b)
Zuletzt wollen wir einige praktische Aspekte diskutieren:
5.2. ELEKTRONENWELLEN
137
Abbildung 5.3: (a) Mikrowelleninterferometer in Mach-Zehnder-Anordnung. (b) Der
analoge optische Aufbau. Vollreektierende und teilreektierende Spiegel sind durch die
Mikrowellenbauelemente Krummer und Richtkoppler ersetzt.
a Die untere Megrenze dieser Verfahren ist dann gegeben, wenn die Wellenlange mit
den Plasmaabmessungen vergleichbar wird, so da die Naherung der geometrischen
Optik verletzt wird. Daher ist die 10 GHz Mikrowelle die langste gebrauchliche
Wellenlange.
b Eine andere praktische Grenze liegt oft beim Nachweis der Phasenverschiebung.
Wenn der Detektor nur zum Abzahlen von Interferenzmaxima und -minima eingesetzt wird, liegt die Nachweisgrenze ca. bei $' = =4, da die Amplitude benachbarter Extrema aus den genannten Grunden nicht konstant sein mu. Die Abzahlung
von Interferenzstreifen hat also nur einen dynamischen Dichtemebereich von typisch 1:40, wenn man die obere Grenze bei 5 Interferenzstreifen bis zur Erreichung
des Cut-o abschatzt. Daher setzt man zur Mebereichserweiterung oft mehrere
Wellenlangen zur Interferometrie ein.
c Die Zweiwellenlangeninterferometrie benutzt simultan zwei Laser mit unterschiedlicher Wellenlange (Abb. 5.4), um den frequenzunabhangigen Beitrag, den das Neutralgas zum Brechungsindex liefert, vom Plasmabeitrag zu trennen 72].
138
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
d Eine Steigerung der Phasenemp
ndlichkeit um etwa eine Zehnerpotenz erreicht man
durch sog. Quadraturdetektion, bei dem zwei Referenzwellen herangezogen werden,
die zueinander um 90o phasenverschoben sind. Dann lat sich das Signal als Zeigerdiagramm darstellen und der Phasenwinkel als arctan(y2=y1) bestimmen. Technisch realisiert man diese beiden Wellen durch eine zirkular polarisierte Welle, die
bekanntlich aus zwei linear polarisierten mit zueinander senkrechten Polarisationsrichtungen und 90o Phasenverschiebung besteht. Die beiden Interferometersignale
konnen anhand ihrer unterschiedlichen Polarisation voneinander getrennt werden
(Abb. 5.6) 73].
5.2. ELEKTRONENWELLEN
139
Abbildung 5.4: Laserinterferometer in doppelter Michelson-Anordnung. Zwei He-NeLaser auf den Wellenlangen 1.1 m und 633nm durchstrahlen das Plasma. Das linear
polarisierte Laserlicht wird durch eine =4-Platte zirkular polarisiert und ist nach zweitem
Durchgang um 90o in der Polarisationsebene gedreht. Mit einem Glan-Thomson Prisma
kann das Interferenzsignal ausgekoppelt werden und eine Ruckkopplung in den Laser wird
vermieden.
140
(a)
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
(b)
Abbildung 5.5: (a) Interferogramm einer gepulsten Gasentladung, (b) Auswertung der
Elektronendichte im Afterglow.
5.2. ELEKTRONENWELLEN
141
Abbildung 5.6: Laserinterferometer mit Quadraturdetektion. Der Strahl eines Infrarotlasers bei 3.39 m wird in ein Michelsoninterferometer gekoppelt, in dessen Mearm das
Plasma steht, das mit einem Z-formigen Strahlengang insgesamt sechsmal durchlaufen
wird. Im geknickten Referenzarm steht eine =8-Platte, die nach zweimaligem Durchlaufen den linear polarisierten Strahl in zirkulare Polarisation umwandelt. Die beiden Anteile
der zirkularen Polarisation werden durch Totalreektion unter dem Brewsterwinkel getrennt und mit zwei unabhangigen Detektoren nachgewiesen.
142
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
5.2.3 Plasmaschwingungen
Auer elektromagnetischen Wellen konnen im Plasma longitudinale Plasmaschwingungen
auftreten. Dieses erhalten wir aus (5.30) fur den Sonderfall E^x 6= 0 E^y = E^z = 0. Dann
wird die erste Zeile des Gleichungssystems:
und letztlich:
!2 E^ = 0
c2 xx x
(5.39)
!2
xx = 1 ; !p2 = 0 :
(5.40)
Dies ist eine Dispersionsrelation fur longitudinale Oszillationen. Die Besonderheit dieser sog. Langmuiroszillationen liegt darin da alle Strukturen mit beliebigem kx bei
der Plasmafrequenz ! = !p oszillieren. Ihre Phasengeschwindigkeit hangt demnach vom
gewahlten kx ab, ihre Gruppengeschwindigkeit ist jedoch Null, da ! nicht von kx abhangt.
Den Einu der Gastemperatur auf die elektrostatischen Elektronenwellen werden wir
in Kapitel 6.1.3 im Rahmen der kinetischen Theorie diskutieren. Die Dispersion dieser
Wellen ist dann durch die Bohm-Gross-Dispersionsrelation (6.29) gegeben 74, 75]:
!2 = !pe2 + 23 k2vth2 (5.41)
die dazu fuhrt, da die Elektronenplasmaschwingungen als Wellen propagieren.
5.2.4 Strahl-Plasma-Instabilitat
Plasmaschwingungen konnen unter Nichtgleichgewichtsbedingungen von selbst angefacht
werden. Hierzu betrachten wir ein Plasma, das zwei Elektronengruppen enthalt:
(1)
1. Ruhende Elektronen der Dichte n(1)
0 = (1 ; )ne und Geschwindigkeit v0 = 0
(2)
2. Bewegte Elektronen der Dichte n(2)
0 = ne und Geschwindigkeit v0
Wir suchen eine Analogie zur Besetzungsinversion in einem Lasermedium, d.h. die ruhenden Elektronen entsprechen den Atomen im Grundzustand, die stromenden Elektronen
denen im angeregten Zustand.
Beide Elektronengruppen gehorchen der Newtongleichung (5.25), in der wir die totale Zeitableitung nun in die explizite A nderung und die konvektive A nderung zerlegen.
Wir interessieren uns nur fur longitudinale Oszillationen, so da wir das Problem eindimensional in x-Richtung formulieren konnen:
@v(`) + v(`) @v(`) = ; e E^ expi(kx ; !t)]
@t
@x
m
` = 1 2 :
(5.42)
5.2. ELEKTRONENWELLEN
143
Hier erkennt man nun, da die konvektive Ableitung eine Nichtlinearitat einfuhrt. Ebenso ist das Produkt nv in der Kontinuitatsgleichung nichtlinear. Wir fuhren daher eine
Linearisierung in folgender Form durch:
v(`) = v0(`) + v1(`)(x t)
n(`) = n(0`) + n(1`)(x t) (5.43)
wobei die Groen mit Index 1 als klein gegenuber den Groen mit Index 0 vorausgesetzt
werden. Das elektrische
Feld
der Welle E^ = E^1 sehen wir ebenfalls als kleine Storgroe
(`)
(`)
an. Die Groen n0 und v0 sollen orts- und zeitunabhangige Mittelwerte darstellen. Die
Storung v1(`) und n(1`) werden wir dagegen wieder als Wellen behandeln und durch ihre
Fourieramplituden v^1(`) und n^(1`) ersetzen. In Fourierdarstellung lautet dann die Gleichung
fur die stromende Elektronenpopulation:
(5.44)
; i!v^1(`) + (v0(`) + v^1(`))ikxv^1(`) = ; me E^1 :
Wir vernachlassigen jetzt den Term v1(`)ikxv1(`), der quadratisch in den Storgroen ist.
Dann erkennt man, da auf der linken Seite(`) der linearisierten Gleichung die Dopplerverschobene Wellenfrequenz ! 0 = ! ; kx v0 auftritt:
; i(! ; kxv0(`))^v1(`) = ; me E^1 :
(5.45)
Die ruhende Elektronenpopulation 'sieht' dagegen die unveranderte Wellenfrequenz !.
Dann konnen wir die Wechselstrombeitrage beider Populationen summieren:
X
|^1 = ;e n(0`)v^1(`) + v0(`)n^ (1`)) :
(5.46)
`
Dabei treten longitudinale
Geschwindigkeitsschwankungen und Dichteschwankungen auf.
Quadratische Anteile n^(1`)v^1(`) werden vernachlassigt. Die Dichteschwankung n^ (2)
1 erhalten
wir aus der Kontinuitatsgleichung in Fourierdarstellung:
(2)
; i!n^ (2)
^ (2)
^1(2)n(2)
1 + v0 ikx n
1 + ikx v
0 =0
(5.47)
in der wiederum Quadrate der Storgroen vernachlassigt sind. Damit wird der Gesamtwechselstrom:
!
n
!
e e2 1 ; ^
|^1 = i m
(5.48)
! + (! ; kx v0(2))2 E1
und die Leitfahigkeit:
!
n
!
e e2 1 ; xx = i m
(5.49)
! + (! ; kxv0(2))2 :
144
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
Die Dispersionsrelation (5.24) lautet dann:
(1 ; )!2
!
2
2
!p2
!
!
p
D(! kx ) = c2 + i!0xx = c2 1 ; !2 ;
=0:
(5.50)
(! ; kxv0(2))2
Die Dielektrizitatskonstante des Plasmas ist dabei:
(1 ; )!2
!p2
:
(5.51)
xx = 1 ; !2 p ;
(! ; kxv0(2))2
Wir konnen also durch Vergleich mit (5.40) folgende Interpretation durchfuhren: Die '1'
in der Dielektrizitatskonstanten stellt den normierten Vakuumverschiebungsstrom dar,
der zweite Summand ist der normierte Teilchenwechselstrom der ruhenden Elektronenpopulation mit einer Dichte / (1 ; )!p2 , der die Frequenz im Laborsystem 'sieht'. Der
dritte Summand hat die Dichte / !p2 der bewegten Elektronenpopulation und enthalt
die Dopplerverschobene Wellenfrequenz, die die stromenden Elektronen erfahren.
Die Losung der Dispersionsrelation (5.50) ist in Abb. 5.7 dargestellt. Es gibt eine
'schnelle Raumladungswelle', deren Phasengeschwindigkeit groer als v0(2) ist. Sie nahert
sich von ! = !p mit wachsendem kx an die konvektierten Dichtestorungen im Elektronenstrahl ! = kxv0(2) an. Fur kx < kxcrit treten Losungen mit konjugiert komplexen
Wellenfrequenzen ! = !r i auf, deren Phasengeschwindigkeit !r =kx < v0(2) den Namen 'langsame Raumladungswelle' rechtfertigen. Eine dieser Losungen wachst zeitlich
exponentiell an, die Welle ist instabil, die Situation wird als Strahl-Plasma-Instabilitat
bezeichnet. Die Losung ! ;!pe propagiert in entgegengesetzter Richtung zum Elektronenstrahl und zeigt wenig Wechselwirkung mit dem Strahl.
Der Mechanismus der Instabilitat kann folgendermaen interpretiert werden: Ein lokalisierter Ladungsuberschu in der ruhenden Elektronenkomponente erzeugt wegen der
elektrischen Abstoung eine Abbremsung des Elektronenstrahls. Wegen der Kontinuitat
der Stromung entsteht 'stromaufwarts' eine Ladungsdichteerhohung, die die lokalisierte
Raumladung weiter erhoht. Damit ist ersichtlich, da die Ladungsdichtestorung durch
diesen Staumechanismus etwas langsamer propagiert als die stromenden Elektronen, wir
erhalten die langsame Raumladungswelle.
Die Anwachsrate der Instabilitat ist
ebenfalls in Abb. 5.30 dargestellt. Sie nimmt
(2)
fur 1 ein Maximum fur kx !p=v0 an. Wir losen die Dispersionsgleichung durch
Taylorentwicklung ! = !p + ! und fur kxv0(2) = !p:
!2
!p2
2! ; !p2 :
0 = 1 ; !p2 ;
(5.52)
(! ; kz v0(2))2 !p (!)2
Dann existieren drei Losungen fur !, die durch die drei komplexen Einheitswurzeln
dargestellt werden:
1=3
! = 2 !p exp(2ni=3)
n = 1 2 3 :
(5.53)
5.2. ELEKTRONENWELLEN
145
Abbildung 5.7: Dispersionszweige bei der Strahl-Plasma-Instabilitat fur = 0 01.
Die reelle positive Losung entspricht dabei der schnellen Raumladungswelle, die beiden
konjugiert komplexen Losungen:
1 1 p 1=3
!23 = ; 2 i 2 3 2 !p
(5.54)
reprasentieren die langsame Raumladungswelle (Re(!) < 0). Die Anwachsrate ist dann:
p 1=3
1
= 2 3 2 !p :
(5.55)
Wegen der dritten Wurzel aus erzeugt ein Elektronenstrahl von nur 0:002 Konzentration
bereits eine Anwachsrate von ca. 1/10 der Plasmafrequenz.
146
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
5.3 Ionenakustische Wellen
In einem (unmagnetisierten) Plasma konnen niederfrequente schallartige Wellen auftreten, da es die Eigenschaften des Gasdrucks (vornehmlich der Elektronen) und der Massentragheit (vornehmlich der Ionen) besitzt. Anstelle der Zusammenstoe der Molekule,
die bei gewohnliche Schallwellen in Gasen die Wellenausbreitung vermitteln, tritt die
elektrostatische Anziehung bzw. Abstoung der Plasmateilchen.
Unsere Aufgabe ist es wiederum, den Teilchenwechselstrom der beiden Plasmakonstituenten fur ein gegebenes elektrisches Wechselfeld zu berechnen und in die Dispersionsrelation (5.24) einzusetzen. Die Ionen nehmen wir als kalt an rp(i) = 0, aber bei den Elektronen lassen wir Druckkrafte zu. Wegen der niedrigen Wellenfrequenzen vernachlassigen wir
die Tragheitskrafte der Elektronen gegenuber den Druckkraften. Als Bewegungsgleichung
nehmen wir die Impulstransportgleichungen (4.31) der 2-Flussigkeitstheorie:
" (i)
#
u
(i) @~
(i)
(i)
m @t + (~u r)~u = (ei)E~
0 = (ee)E~ ; rp(e) :
(5.56)
Die mittlere Geschwindigkeit heie hier wieder ~u im Unterschied zur Individualgeschwindigkeit ~v. Die konvektiven A nderungen fuhren fur Oszillationen in ruhenden Flussigkeiten
nur zu Storgroen zweiter Ordnung (vgl. die Diskussion bei Elektronenstrahlen in 5.2.4)
und werden hier vernachlassigt. Dann vereinfachen sich die beiden Impulstransportgleichungen zu folgenden 'aquivalenten Newtongleichungen', die wir wegen der Parallelitat
von Oszillationsgeschwindigkeit und elektrischem Feld eindimensional formulieren:
@u(i) = e E
@t
mi 1
(e)
0 = ;eE1 ; n1 @p@x :
(5.57)
Wir gewinnen den Elektronendruck aus der Zustandsgleichung der Elektronen, die wir
als ideales Gas behandeln:
!
@p(e) = k T @n + n @Te :
(5.58)
B e
@x
@x
@x
Wir wollen im folgenden den Temperaturgradienten vernachlassigen. Diese Annahme
konnen wir im Nachhinein rechtfertigen, da die thermische Geschwindigkeit der Elektronen sehr viel groer als die Phasengeschwindigkeit der Welle sein wird. Wahrend einer
Periode der Welle bewegen sich die Elektronen daher uber viele Wellenlangen, so da ein
standiger Teilchenaustausch zwischen Wellenbergen und -talern statt
ndet, der Temperaturschwankungen ausgleicht.
5.3. IONENAKUSTISCHE WELLEN
147
Wir konnen an dieser Stelle ein fur andere Betrachtungen nutzliches Nebenresultat
gewinnen: Aus (5.57) und (5.58) folgt durch Integration die Boltzmannrelation:
0 = ;eE1 ; kBnTe @n
@x
1 @n = ; eE1
n @x
kB Te
e
%
n = n0 exp k T (5.59)
B e
in der E1 = ;@ %=@x benutzt wurde. Obwohl die Boltzmannrelation (5.59) streng nur im
thermodynamischen Gleichgewicht gilt, kann sie fur das Elektronengas immer dann naherungsweise eingesetzt werden, wenn die Tragheitseekte der Elektronen vernachlassigbar
sind und die Elektronen aufgrund ihrer hohen Geschwindigkeit ein egalisierendes Warmebad fur den Proze bilden.
Hier nehmen wir aber die Rechnung wieder anhand (5.58) auf. Zur Berechnung der
Teilchenwechselstrome linearisieren wir die Teilchendichte: n = n0 + n1 und gehen mit
einem Wellenansatz analog zu (5.7) zur Fourierdarstellung uber:
u^(1i) = ;i me! E^1
i
e
B Te ik 2 (e)
u^1 (5.60)
0 = ; m E^1 ; km
e
e !
wobei wir die Kontinuitatsgleichung ;i!n^ 1 + ikn0u^1 = 0 zur Ersetzung von n^ (1e) durch
u^(1e) benutzt haben. Einsetzen in die Dispersionsrelation (5.50) ergibt:
!2 + i! = !2 ; !pi2 + !pe2 !2 = 0 (5.61)
0
c2
c2 c2 kB Te=me k2c2
q
q
worin !pi = ne2=0mi die Ionenplasmafrequenz und !pe = ne2=0me die Elektronenplasmafrequenz ist. Hieraus ergibt sich die Dispersionsrelation in der Form:
B Te
mit
Cs2 = km
! = !pikCs 1=2
(5.62)
i
k2Cs2 + !pi2
deren Verlauf in Abb. 5.8 dargestellt ist. Fur kurze Wellenlangen k2Cs2 !pi2 nden
Schwingungen bei der Ionenplasmafrequenz statt. Fur lange Wellen k2Cs2 !pi2 gilt:
! ! kCs (5.63)
d.h. die Welle bekommt eine schallartige Dispersion mit der Ionenschallgeschwindigkeit
Cs. Im Vergleich zur gewohnlichen Schallgeschwindigkeit in Gasen:
(5.64)
c2s = kmB Tg
g
148
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
Abbildung 5.8: Dispersionsverhalten der ionenakustischen Wellen.
wird hier der Adiabatenexponent durch = 1 ersetzt wegen des angenommenen isothermen Verhaltens der Elektronen (ideale Gasgleichung statt Adiabatengleichung). Der
Gasdruck wird bei der ionenakustischen Welle durch die Elektronen bewirkt, wahrend die
Ionen die Tragheit liefern.
5.4. MAGNETISIERTE PLASMEN
5.4 Magnetisierte Plasmen
149
Hier betrachten wir nur den Einu des Magnetfeldes auf die Wellenausbreitung in ruhenden kalten Plasmen, so da wir das Einzelteilchenbild benutzen durfen. Ausgangspunkt
ist dann die Newtongleichung in der Form:
@~v(j) = qj E~ + ~v(j) B~ j = e i :
(5.65)
0
@t mj 1
Hier soll ~v(j) eine kleine Oszillationsgeschwindigkeit, E~ 1 das elektrische Feld der Welle
und B~ 0 = (0 0 B0 ) das statische Magnetfeld sein. Der Index 1 beim elektrischen Feld
bezeichnet diese Groe als von erster Ordnung der Storungsrechnung. Quadratische Terme ~v(j) B~ 1, die das Wellenmagnetfeld enthalten, haben wir bereits vernachlassigt. Wir
betrachten nur die Bewegung senkrecht zum Magnetfeld, die fur eine Welle
/ expi(~k ~r ; !t)] zu den Gleichungen fuhrt:
q (E^ + v^(j)B )
v^x(j) = i !m
x
y 0
q (E^ ; v^(j)B ) :
(5.66)
v^y(j) = i !m
y
x 0
Zur Beschreibung der Gyrationsbewegung fuhren wir eine rotierende Geschwindigkeit und
ein rotierendes elektrisches Feld ein:
v^ = v^x iv^y
E^ = E^x iE^y :
(5.67)
Dadurch gelingt die Entkopplung in (5.66):
q (E^ iv^B ) :
v^ = i !m
(5.68)
0
Wir fuhren (wie oben in (3.4) die Zyklotronfrequenz der Elektronen und Ionen ein durch:
j jB0
:
(5.69)
!cj = jqm
j
Dann wird:
v^ = i mq E^ ! 1s ! :
(5.70)
j cj
Dabei ist sj = qj =jqj j das Vorzeichen der Ladung. Die Rucktransformation auf kartesische
Koordinaten:
v^x(j) = 21 (^v+ + v^;)
v^y(j) = 21i (^v+ ; v^;)
(5.71)
150
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
ergibt in Matrixschreibweise:
1
0
2
s
!!
!
j
cj
0 ^ 1
0 (j ) 1
i !2 ; !2 0 C
B
2 ; !2
C
B
v^x
!
cj
cj
CC BB E^x CC
B@ v^(j) CA = i q B
2
B
s
!!
!
(5.72)
j cj
CC @ Ey A y
;
i
0
!m B
B
2
2
2
2
^
v^z(j)
@ ! ; !cj ! ; !cj A Ez
0
0
1
wobei wir fur die letzte Zeile der Matrix das Ergebnis fur das unmagnetisierte Plasma
(j )
benutzt haben. Hieraus gewinnt man mit der De
nition des Wechselstroms ~|^ = P nj qj~v^
j
den Leitfahigkeitstensor:
0
1
!pj2
!pj2 !cj
P
P
i sj !2 ; !2 !
0 C
B
2 ; !2
B
CC
!
j
j
cj
cj
B
2
2
B
CC
P s !pj !cj
P !pj
= i!0 B
B
CC :
(5.73)
;
i
0
j
2 !
2
B
j ! 2 ; !cj
j ! 2 ; !cj
B
C
B
P !pj2 CA
@
0
0
!2
j
Mit (5.12) erhalten wir ebenso den Dielektrizitatstensor:
0
1
S ;iD 0
= B
@ iD S 0 CA 0 0 P
in dem die von Stix 69, 70] eingefuhrten Parameter auftreten:
X !pj2
S = 1 ; !2 ; !2
cj
j
X
!2
D =
sj !2 ;pj!2 !!cj
cj
j
2
X!
P = 1 ; !pj2 :
j
(5.74)
(5.75)
Mit der De
nition des Brechungsindes N = kc=! und fur einen Winkel zwischen Wellenvektor und Magnetfeldrichtung schreibt sich die Wellengleichung (5.21):
0
1 0 1
S ; N 2 cos2 ;iD N 2 cos sin B E^x C
B@
CA B E^y C = 0 :
iD
S ; N2
0
(5.76)
@ A
2
2
2
N cos sin 0 P ; N sin E^z
Dabei haben wir o.B.d.A. den Wellenvektor in die x-z-Ebene gelegt ~k = (k sin 0 k cos ).
5.4. MAGNETISIERTE PLASMEN
151
Abbildung 5.9: Umlaufsinn der R- und L-Welle im Vergleich zur Gyration der Elektronen
und Ionen.
5.4.1 Zyklotronresonanzen
Die Wellenausbreitung langs des Magnetfeldes ( = 0) wird durch die Wellengleichung in
der Form:
0
1 0 E^ 1
2
S
;
N
;
iD
0
B@ iD S ; N 2 0 CA BB E^xy CC = 0
(5.77)
@ A
^
0
0
P
Ez
beschrieben. Wir betrachten zwei Falle:
1. E^x = E^y = 0 und E^z 6= 0. Dies ist eine longitudinal polarisierte Welle, die durch
die Dispersionsrelation P = 1 ; (!pe2 + !pi2 )=!2 = 0 beschrieben wird. Dies sind
genau die gleichen Plasmaoszillationen, die wir schon im unmagnetisierten Plasma
kennengelernt haben (5.2.3). Der Einu des Magnetfeldes verschwindet, da die
Oszillationsgeschwindigkeit der Ladungstrager parallel zum Magnetfeld orientiert
ist und daher die Lorentzkraft Null ist.
2. E^x 6= 0 6= E^y und E^z = 0. Dies sind transversale Wellen, die durch ein 2 2
Gleichungssytem beschrieben werden:
152
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
! ^ !
S ; N 2 ;iD
Ex = 0 :
(5.78)
2
;iD S ; N
E^y
Fuhrt man wiederum den rotierenden Feldvektor E^ (5.67) ein | dieses entspricht zirkularer Polarisation der Welle | werden die (linear abhangigen) Gleichungen entkoppelt:
(S ; D ; N 2)E^ + + (S + D ; N 2)E^ ; = 0 :
(5.79)
Wenn E^ + 6= 0 undpE^ ; = 0 liegt eine linkszirkulare Welle (L-Welle) vor mit dem Brechungsindex NL = S ; D. Im umgekehrten Fall E^ + = 0 und E^ ;p6= 0 ist die Welle
rechtszirkular polarisiert (R-Welle) und der Brechungsindex ist NR = S + D. Setzt man
fur die Stix-Parameter S und D die De
nitionen ein, so erhalt man:
!1=2
!pe2
!pi2
NR = 1 ; !(! ; ! ) ; !(! + ! )
ce
ci
!1=2
!pi2
!pe2
(5.80)
NL = 1 ; !(! + ! ) ; !(! ; ! ) :
ce
ci
Fur ! = !ce geht der Brechungsindex der R-Welle NR ! 1, d.h. die R-Welle hat eine
Resonanz bei der Elektronenzyklotronfrequenz. Diese Resonanz wird sofort verstandlich,
wenn man den gleichartigen Drehsinn der Welle und der Elektronen um das Magnetfeld
betrachtet (Abb. 5.9) und berucksichtigt, da bei der Zyklotronfrequenz das umlaufende
Elektron in seinem Bezugssystem stets ein Gleichfeld 'sieht'. Dieselbe U berlegung liefert
die Ionenzyklotronresonanz der L-Welle.
Die Elektronenzyklotronresonanz wird technisch zur Plasmaerzeugung mittels Mikrowellen benutzt. Fur die Frequenz f = 2,45 GHz ist die zugehorige magnetische Fludichte
B = 0,088 T. Derartige Magnetfelder lassen sich auch mit Permanentmagneten erzeugen,
so da eine solche technische Plasmaquelle sehr wirtschaftlich betrieben werden kann.
Elektronenzyklotonheizung in einem Stellarator erfordert wegen der typischen Magnetfelder B = 10 T Mikrowellen von f=280 GHz, d.h. ca. 1 mm Wellenlange. Diese werden mit
Hochstleistungsgeneratoren vom Typ Gyrotron erzeugt.
Der unterschiedliche Brechungsindex fur die R- und L-Welle fuhrt dazu, da die Polarisationsebene einer ebenen Welle durch das Plasma gedreht wird (Faraday-Eekt).
Man kann diese Polarisationsdrehung (bei Kenntnis der Dichteverteilung, z.B. mit Hilfe
der Interferometrie) zur Messung der (longitudinalen) Magnetfeldkomponente benutzen
76]. Dieses ist eine nutzliche Diagnostik zur Bestimmung der poloidalen Magnetfeldkomponente im Inneren eines Tokamaks und liefert Aufschlu uber die radiale Stromverteilung
(Abb. 5.10).
Der Verlauf des Brechungsindex der R-Welle und L-Welle ist in Abb. 5.11 als Funktion
der Frequenz dargestellt.
5.4. MAGNETISIERTE PLASMEN
153
Abbildung 5.10: Kombination aus Vielstrahlinterferometrie und Messung der Faradaydrehung durch den Poloidalanteil des Magnetfeldes im Tokamak TEXTOR. Fur die Interferometrie wird eine Mach-Zehnder-Anordnung benutzt. Ein rotierendes Gitter erzeugt
eine um 10 kHz dopplerverschobene Referenzwelle, so da die Infrarotdetektoren, die keine Gleichsignale verarbeiten konnen, ein moduliertes Wechselspannungssignal liefern. Der
Detektor DP liefert ein der Faradaydrehung proportionales Signal, DI das Interferometersignal. Detektor DR mit die Laserleistung und liefert die Phasenreferenz fur die 10 KHz
Wechselspannung.
5.4.2 Hybridresonanzen
Hier betrachten wir die Wellenausbreitung senkrecht zum Magnetfeld ( = =2). Fur den
elektrischen Feldvektor gibt es zwei Moglichkeiten:
1. Polarisation parallel zum Magnetfeld (E~ = (0 0 Ez )). Dann ist auch die Oszillationsgeschwindigkeit parallel zu B~ und die Lorentzkraft ~v(j) B~ verschwindet. Diese
Wellen breiten sich aus wie im Falle des unmagnetisierten Plasmas. Man nennt diese
Welle die ordentliche oder O-Welle. Diesen Fall mussen wir nicht gesondert behandeln. Dieser Wellentyp wird zur Interferometrie in magnetisierten Plasmen benutzt.
154
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
Abbildung 5.11: Das Quadrat des Brechungsindex der R- und L-Welle als Funktion der
normierten Frequenz. Die R-Welle fur ! < !ce wird Whistler-Welle genannt. Die Elektronenplasmafrequenz ist hier groer als die Elektronenzyklotronfrequenz angenommen. Zur
Verdeutlichung wurde das Verhaltnis von Elektronen zu Ionenmasse hier zu 0,4 gewahlt.
2. Polarisation senkrecht zum Magnetfeld (E~ = (Ex Ey 0)). Diese Welle heit auerordentliche oder X-Welle (vom englischen 'extraordinary').
Die X-Welle wird nach (5.76) beschrieben durch das 2 2 Gleichungssystem:
! ^ !
S ;iD
Ex = 0 :
(5.81)
2
iD S ; N
E^y
das nichttriviale Losungen besitzt, wenn der Brechungsindex der X-Welle:
2 2 !1=2
(5.82)
NX = S ;S D
erfullt. Resonanzen treten auf, wenn der Stix-Parameter S = 0 ist. Im Fall hoher Frequenzen ! > !ce vernachlassigen wir die Ionenbeitrage, so da S 1 ; !pe2 =(!2 ; !ce2 ) ist.
5.4. MAGNETISIERTE PLASMEN
155
Abbildung 5.12: Das Quadrat des Brechungsindex der X- und O-Welle als Funktion der
normierten Frequenz. Die Elektronenplasmafrequenz ist groer als die -zyklotronfrequenz.
Massenverhaltnis Elektron zu Ion = 0,4 .
Folglich ist die Nullstelle von S bei der oberen Hybridfrequenz:
!oh = (!ce2 + !pe2 )1=2 :
(5.83)
Fur mittlere Frequenzen !2 !ce2 wird:
!2
!2
S 1 + !pe2 ; !2 ;pi!2
ci
ce
und es existiert eine weitere Nullstelle bei der unteren Hybridfrequenz:
2 ! 2 !1=2
!
pi
:
!uh = !ci2 + !2 + ce!2
pe
ce
(5.84)
(5.85)
Im Grenzfall hoher Dichte !pe2 !ce2 nimmt sie den Grenzwert !uh ! (!ci !ce )1=2 an.
156
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
Der Verlauf des Brechungsindex der O-Welle und X-Welle ist in Abb. 5.12 als Funktion
der Frequenz dargestellt. Die X-mode hat Resonanzstellen mit Vorzeichenwechsel von N 2
bei den Hybridresonanzen. Die O-mode besitzt einen Cut-o bei !pe . Fur hohe Frequenzen
p
streben beide Brechungsindizes
gegen 1. Fur das dort gewahlte Beispiel mit !pe =!ce = 2
p
ist !oh =!ce = 3. Mit me=mi = 0:4 wird der Grenzwert fur die untere Hybridresonanz
!uh =!ce ! 0:63 recht gut angenommen.
5.5. NICHTLINEARE WELLENEFFEKTE (*)
157
5.5 Nichtlineare Welleneekte (*)
Unsere bisherigen Betrachtungen waren einzig auf die linearen Eigenschaften des Plasmas
gerichtet, die dem Medium dielektrische Eigenschaften verleihen. Die lineare Naherung
wird fragwurdig, wenn in das Plasma Wellen groer Amplitude eingestrahlt werden, z.B.
intensive Laserstrahlung. Diesen Fall werden wir in diesem Kapitel naher diskutieren.
Im Zusammenhang mit der Strahl-Plasma-Instabilitat drangt sich naturlich die Frage auf, in welcher Form nichtlineare Eekte z.B. den exponentiellen Wachstumsproze
letztlich begrenzen. Den dabei auftretenden Einfang von Teilchen in das Wellenpotential
(trapping) werden wir im Abschnitt 6.2 mit Methoden der Teilchensimulation diskutieren.
5.5.1 Die ponderomotive Kraft
Eine hochfrequente elektromagnetische Welle ubt einen Strahlungsdruck auf geladene Teilchen aus. Dieser Eekt kann durch Losung der Bewegungsgleichung eines Elektrons im
Wellenfeld beschrieben werden:
h
i
m~x = q E~ (~x t) + ~x_ B~ (~x t) (5.86)
wobei diese Gleichung noch exakt ist, wenn das Wellenfeld am jeweiligen Ort des Teilchens
verwendet wird. Wir wollen dieses Problem nun durch eine Storungsrechnung bis zur
zweiten Ordnung behandeln. Die verschiedenen Ordnungen der Storterme bezeichnen wir
mit Indizes x = x0 + x1(t) + x2(t) und nehmen die Feldgroen als von erster Ordnung an:
E~ = E~ 1 usw. Damit wird (5.86):
m(~x1 + ~x2) = q E~ 1(~x0 + ~x1 t) + ~x_ 1 B~ 1(~x0 t)
(5.87)
~
= q E1(~x0 t) + (~x1 r)E~ 1(~x0 t) + ~x_ 1 B~ 1(~x0 t) :
(5.88)
Man beachte, da beim elektrischen Feld noch die Variation des Ortes x1 in Form einer
Taylorentwicklung berucksichtigt wird, um die korrekte Kraftwirkung bis zur zweiten
Ordnung abzuschatzen, wahrend im Magnetfeldterm wegen des bereits kleinen Vorfaktors
~x_ 1 der Feldwert am ungestorten Teilchenort hinreichend ist.
Das Kraftgleichgewicht in erster Ordnung der Storungsrechnung ergibt:
m~x1 = qE~ 1(~x0) (5.89)
woraus fur eine sinusformige Variation des Wellenfeldes E~ 1(~x t) = E~^ (~x) cos(!t) unmittelbar durch Integration die gestorte Teilchenbahn folgt:
q E~^ (~x ) sin !t
~x_ 1 = m!
(5.90)
0
q E~^ (~x ) cos(!t) :
~x1 = ; m!
(5.91)
0
2
158
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
Fur die zweite Ordnung der Storungsrechnung bleibt dann :
h
i
m~x2 = q (~x1 r)E~ 1(~x0 t) + ~x_ 1 B~ 1(x~0 t) :
(5.92)
Es sind also zwei verschiedene Krafte, die in zweiter Ordnung wirksam werden, einerseits
das gegenuber dem Bezugsort ~x0 veranderte elektrische Feld und der Beitrag der Lorentzkraft, den das Wellenmagnetfeld auf das Teilchen ausubt. Das Wellenmagnetfeld ergibt
sich nach dem Induktionsgestz aus dem elektrischen Feldanteil:
~
r E~ 1 = ; @@tB1
(5.93)
B~ 1 = ; !1 r E~^ sin !t :
(5.94)
Einsetzen von (5.91) und (5.94) in (5.92) ergibt:
2 q
~
~
~
~
2
2
^
^
^
^
:
(5.95)
m~x2 = ; m!2 (E r)E cos (!t) + E (r E ) sin !t
~x=~x0
Oensichtlich ergeben beide Kraftanteile im Zeitmittel uber eine Periode nichtverschwindende Beitrage. Mit hsin2i = hcos2i = 1=2 und einfachen Vektormanipulationen2 folgt die
mittlere Kraft auf das Elektron:
q2 rE^ 2 :
hm~x2i = ; 41 m!
(5.96)
2
Wenn wir die Kraft auf das einzelne Teilchen durch Multiplikation mit ne in eine Volumenkraft umrechnen, erhalten wir die ponderomotive Kraft:
2
!2
(5.97)
F~p = ; !p2 r h02E i wobei hE 2i = (1=2)E^2 den U bergang vom Spitzenwert zum Eektivwert des elektrischen
Feldes beinhaltet. 0hE 2i=2 ist die mittlere Energiedichte des elektrischen Feldes oder in
anderer Sprechweise der Strahlungsdruck der ebenen Welle. Dieses Ergebnis hat folgende
Konsequenzen:
1. Die Kraftwirkung auf die Elektronen ist im Vergleich zu den Ionen um mi=me groer.
2. Bei homogener Verteilung der Feldamplitude verschwindet die Nettokraft.
3. Der Gradient des Strahlungsdrucks treibt die Elektronen in Bereiche geringer Wellenintensitat.
2
~^ = 1 rE~^ 2 ; (E~^ r)E~^
E~^ (r E)
2
5.5. NICHTLINEARE WELLENEFFEKTE (*)
159
Ein intensiver Laserstrahl mit einem radial nach auen abfallenden Intensitatspro
l
wird also die Elektronen ezient nach auen in Bereiche geringerer Intensitat drangen.
Naturlich werden die Ionen durch das sich aufbauende ambipolare Feld hinterhergezogen. Die Abnahme der Elektronendichte im Bereich des Laserstrahls fuhrt dort zu einem
Anstieg des Brechungsindex. Dadurch wird der Laserstrahl wie mit einer Konvexlinse
gebundelt und es tritt Selbstfokussierung auf.
Im Falle von Hochstleistungslasern wird die Selbstfokussierung noch durch dieprelativistische Massenzunahme der Elektronen verstarkt. Der Brechungsindex N = =
(1 ; nee2=me0)1=2 reagiert namlich nicht nur auf die Abnahme der Elektronendichte ne
aufgrund der ponderomotiven Kraft, sondern auch auf die Zunahme der relativistischen
Masse me infolge der Beschleunigung im Laserfeld. Oenbar verstarken sich beide Eekte
innerhalb des Laserstrahls.
5.5.2 Parametrischer Wellenzerfall
Das Ergebnis des vorigen Abschnittes beinhaltet, da eine Plasmawelle groer Amplitude
lokal zu einer Veranderung der Elektronendichte fuhren kann. Dieses ist ein nichtresonanter Proze, der nur durch die Intensitat der Welle bestimmt ist und wir haben die
dadurch resultierenden Krafte auf einer Zeitskala betrachtet, die gegenuber der hochfrequenten Oszillation langsam ablauft.
Um die resonante Wechselwirkung einer hochfrequenten Welle mit anderen Wellen zu
studieren, stellen wir uns im folgenden vor, da eine ebene Elektronenschallwelle (mit Frequenz !0 und Wellenzahl k0) groer Amplitude durch das Plasma propagiert und durch
ihren Strahlungsdruck die Elektronendichte verandert. Diese Welle wird im Zusammenhang mit parametrischen Verstarkern Pumpwelle genannt. Solange die Intensitatsverteilung homogen ist, ist die Nettokraft Null und es passiert gar nichts. Da das System aber in
der Pumpwelle freie Energie besitzt, ist es nicht notwendigerweise stabil. Zur Analyse des
dynamischen Verhaltens mussen wir also eine Stabilitatsbetrachtung anstellen, indem wir
eine kleine harmonische Storung betrachten und untersuchen, ob diese zeitlich anwachsen
kann.
Eine niederfrequente Dichtestorung wird sich im Plasma als ionenakustische Welle
(!2 = k2Cs) ausbreiten. Diese raumlich periodische Dichtemodulation kann dann einen
Teil der einfallenden Welle zuruckstreuen. Die gestreute Welle bezeichnen wir mit (!2,k2).
Die Ruckstreuung ahnelt der Braggreektion an einem Kristallgitter, allerdings mit dem
Unterschied, da sich hier das Gitter mit der Ionenschallgeschwindigkeit Cs bewegt. Einfallende und reektierte Welle bilden jedoch im bewegten Bezugssystem ein Schwebungsmuster, dessen Hullkurve eine stehende Welle darstellt (Abb. 5.13).
Die reektierte Welle hat eine durch den Dopplereekt erniedrigte Frequenz !2 und
einen geanderten Wellenvektor k2. Im bewegten Bezugssystem erzeugt die Schwebung aus
einfallender und reektierter Welle eine periodische Intensitatsverteilung, die einen Gradienten des Strahlungsdrucks erzeugt und die Elektronen (und mittelbar die Ionen) aus Be-
160
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
reichen hoher in Bereiche niedriger Intensitat verdrangt. Damit wachst die Dichtestorung
an, die Amplitude der reektierten Welle steigt und der Gradient des Strahlungsdrucks
wird ebenfalls groer. An dieser sich schlieenden Kette aus Ursachen und Wirkungen erkennt man, da der beschriebene Proze grundsatzlich die Tendenz zu instabilem Wachstum beinhaltet. Dieser Typ von Instabilitat wird parametrische Instabilitat genannt, da
die niederfrequente A nderung der Elektronendichte in den Gleichungen der hochfrequenten Wellen als raum-zeitlich modulierter Parameter auftaucht. Naturlich mu man noch
eine Reihe von Bedingungen an die beteiligten Wellen stellen, damit dieser Proze auch
ezient ist. Jedoch lernt man aus dieser grundsatzlichen Betrachtung, da man minimal
drei Wellen braucht, von denen zwei hochfrequent und eine niederfrequent sein mussen,
um das Prinzip der ponderomotiven Kraft zur Kopplung von Wellen und Dichtestorungen
verwenden zu konnen.
Abbildung 5.13: Die U berlagerung von einfallender und an den periodischen Dichtestorungen reektierter Welle erzeugt im Bezugssystem der ionenakustischen Welle eine stationare Hullkurve. Der Gradient des Strahlungsdrucks der beiden hochfrequenten Wellen
verdrangt die Elektronen aus dem Bereich hoher Wellenenergie und facht die ionenakustische Welle weiter an.
Die erste dieser Bedingungen ist, da die beteiligten Wellen Normalmoden des Plasmas,
d.h. Losungen der Dispersionsrelation, sind. Der beschriebene Ruckkopplungsmechanis-
5.5. NICHTLINEARE WELLENEFFEKTE (*)
161
mus erfordert fur die Wellenlangen der beteiligten Wellen, da die raumliche Schwebungsperiode der beiden hochfrequenten Wellen zu der Wellenlange der ionenakustischen Welle
pat (s. Abb.(5.13). Dies ergibt die Auswahlregel fur die Wellenvektoren:
k0 ; k1 = k2
(5.98)
Weiterhin soll sich das Interferenzmuster aus einfallender und reektierter Welle mit der
ionenakustischen Dichtestorung mitbewegen. Dies erfordert, da die Gruppengeschwindigkeit der hochfrequenten Wellen gleich der Ionenschallgeschwindigkeit wird:
!0 ; !1 = C = !2
(5.99)
s
k0 ; k1
k2
Daraus folgt dann, da auch die Wellenfrequenzen einer Auswahlregel genugt:
!0 ; !1 = !2
(5.100)
Obwohl es sich bei den bisher diskutierten Eekten um nichtlineare aber klassische optische Phanomene handelt, gibt es doch einen korrespondenzmaigen Bezug zur Quantenmechanik, indem man zu den Impulsen h-~k und Energien ! der beteiligten Wellen ubergeht
und die Auswahlregeln zu Erhaltungssatzen umschreibt:
h-~k0 = h-~k1 + h-~k2
h- !0 = h- !1 + h- !2
(5.101)
In diesem ubertragenen Sinne kann man den Dreiwellenkopplungsproze als den Zerfall
der Pumpwelle (!0,k0) in zwei andere Wellen betrachten, beim Energie und Impuls erhalten bleiben. Weiter gestutzt wird diese Interpretation durch eine von Manley und Rowe
79] gefundene Beziehung zwischen den von den verschiedenen Wellen pro Zeiteinheit
ausgetauschten Energien:
W (!0) + W (!) + W (!0 ; !) = 0 :
(5.102)
!0
!
!0 ; !
Wenn man die Wellenenergie als Produkt aus Anzahl NQ der Quanten und Quantenenergie
h- ! ansieht, so beinhaltet (5.102), da aus NQ Quanten der Ausgangswelle genausoviele
Quanten fur jedes der Zerfallsprodukte entstehen.
Obwohl wir uns in obiger Diskussion zunachst auf die longitudinale Elektronenschallwellen und ihre Wechselwirkung mit ebenfalls longitudinalen ionenakustischen Wellen beschrankt haben, gibt es denselben Proze auch bei transversalen Wellen, da die Anfachung
der ionenakustischen Dichtestorung nur durch den Gradienten des Strahlungsdruckes erzeugt wird.
Typische Falle von parametrischer Wellenwechselwirkung sind in Abb. 5.14 zusammengestellt. Die moglichen Kopplungen, die energie- und impulserhaltend sind, werden
162
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
Abbildung 5.14: Dispersionszweige fur elektromagnetische Welle (EM), Elektronenplasmawelle (EP) und ionenakustische Welle (IA). Die Parallelogrammkonstruktionen beschreiben die Energie- und Impulserhaltung der beteiligten Wellen. (a) Parametrische Zerfallsinstabilitat einer elektromagnetischen Welle in eine Elektronenplasmawelle und eine ionenakustische Welle, (b) Zerfallsinstabilitat der Elektronenplasmawelle in eine vorwartslaufende ionenakustische Welle und eine ruckgestreute Plasmawelle, (c) stimulierte BrillouinRuckstreuung an einer ionenakustischen Welle, (d) Zwei-Plasmon Zerfallsinstabilitat.
5.5. NICHTLINEARE WELLENEFFEKTE (*)
163
durch die Parallelogrammkonstruktionen dargestellt. Die parabelformigen Dispersionskurven stellen die elektromagnetische Welle und die warme elektrostatische Elektronenwelle
dar. Die ionenakustische Welle erscheint als Gerade bei kleinen Frequenzen.
Eine elektromagnetische Welle (5.14(a)) kann zerfallen in eine vorwarts laufende Elektronenwelle und eine ruckwarts laufende ionenakustische Welle. Dieses ist die originare
parametrische Instabilitat, die bei Einstrahlung von Lasern in dichte Plasmen auftritt
(z.B. bei der Laserfusion). Die Umwandlung einer elektromagnetischen Welle in zwei
elektrostatische Wellen ist nur moglich bei langen Wellenlangen (k ! 0), fur die der
Magnetfeldanteil der Welle in den Hintergrund tritt.
Eine Elektronenwelle groer Amplitude (5.14(b)) zerfallt in eine ionenakustische Welle und eine ruckwartslaufende Elektronenwelle niedrigerer Frequenz, die nach (5.102) den
Hauptteil der Energie reektiert. Dieser Proze schliet sich in der Regel an die parametrische Instabilitat an.
Die elektromagnetische Welle kann auch sehr ezient an der ionenakustischen Welle
gestreut werden (5.14(c)). Dabei bildet die ionenakustische Welle praktisch ein Beugungsgitter, das durch den Wechselwirkungsproze selbst erzeugt wird und an dem Braggreektion erfolgt. Da hier Streuung an Schallwellen vorliegt heit der Proze Brillouinstreuung. Dieser Proze tritt auf fur !0 > !pe . In inhomogenen Plasmen nennt
man diesen Reexionsort die kritische Schicht. Bei !0 = !pe wurden wir den Cut-o
dieser Welle erreichen, an der optische Reektion von Wellen kleiner Amplitude statt
ndet. Unsere nichtlineare Betrachtung hat jetzt die Reektion an einem elastischen Spiegel
beschrieben, bei dem die Deformation des Spiegels als akustische Welle in den Spiegel
hineinlauft und eine energieberichtigte Welle reektiert wird.
Der letzte Fall (5.14(d)) des Zerfalls einer langwelligen elektromagnetischen Welle in
zwei Elektronenwellen (Plasmonen) tritt auf fur !0 2!pe . Der Reektionsort im Dichtegradienten liegt dann bei einem Viertel der kritischen Dichte.
164
KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN
IN PLASMEN
5.6 Aufgaben
1. Betrachten Sie eine lineare Kette aus Teilchen der Ladung q an Positionen xn0 = na.
a) Lassen Sie longitudinale Auslenkungen n = xn ; xn0 zu, die zu Wellenerscheinungen auf der Kette fuhren konnen. Stellen Sie hierzu eine Bilanz aus der Tragheitskraft fur das Teilchen n und die Abstoungskrafte durch den linken und rechten
Nachbarn auf. Benutzen Sie hierzu die Taylorentwicklung fur die Coulombkraft um
die ungestorten Positionen.
b) Losen Sie die Kraftgleichung mit einem Wellenansatz
n = A expi(kx ; !t)]
Fassen Sie die Exponentialfaktoren zu sin2(ka=2) zusammen.
c) Skizzieren Sie die Dispersionsrelation !(k) und diskutieren Sie die moglichen Frequenzen. Welche Verwandschaft besteht zur Plasmafrequenz?
d) Wie andert sich die Dispersionsrelation, wenn man auch die Abstoung durch die
ubernachsten Nachbarn bzw. alle anderen Kettenglieder berucksichtigt?
2. Zeigen Sie, da fur elektromagnetische Wellen in unmagnetisierten Plasmen gilt:
v' vgr = c2. Hinweis: Benutzen Sie !2 = !p2 + k2c2.
3. Zur Untersuchung des Elektronendichtepro
ls in der Ionosphare werden kurze Wellenimpulse mit der Polarisation der O-Mode vertikal ausgesandt, fur die die Dispersionsrelation der vorigen Aufgabe zutrit. Nehmen Sie an, da die Elektronendichte
im Hohenbereich von 120 km bis 220 km linear von 0 bis zu einem Maximum von
2 1011m;3 ansteigt.
(a) Welches ist hochste Frequenz, die noch reektiert wird?
R
(b) Die Gruppenlaufzeit ist de
niert als tgr = vgr;1ds. Zeigen Sie, da fur die
O-Mode gilt:
Z
1
ds
tgr = c (1 ; n=n
co )1=2
(c) Wie gro ist die Gruppenlaufzeit bis zum Dichtemaximum (nmax < nco )? Welche scheinbare Hohe hs = ctgr ergibt sich fur das Maximum?
4. Ein Mikrowelleninterferometer ( = 3 cm) in Mach-Zehnder Anordnung zeigt bei
einer Plasmalange von 20 cm eine Phasenverschiebung von $' = 5 gegenuber dem
Vakuumfall. Wie gro ist die uber den Sehstrahl gemittelte Plasmadichte?
Kapitel 6
Kinetische Eekte in Plasmen
Wir haben die Beschreibung von Plasmen in mehreren Stufen entwickelt. Im Einzelteilchenbild interessierten uns die fundamentalen Bewegungsformen individueller geladener
Teilchen in typischen Feldkon
gurationen. Dabei wurde die Wechselwirkung der Teilchen
untereinander ignoriert. Im Flussigkeitsbild haben wir die gemittelten Eigenschaften der
Plasmateilchen in kleinen Volumenelementen betrachtet. Damit wurde es moglich, den
Einu des Gasdrucks zu berucksichtigen, d.h. von der Geschwindigkeitsverteilung der
Teilchen wurde zumindest der Mittelwert in unser Modell aufgenommen. Daruberhinaus wurde die Ruckwirkung der Stromverteilung auf die Felder eingeschlossen, so da
das Flussigkeitsmodell die makroskopischen Bewegungsformen eines Plasmas beschreiben kann. Das Plasma als dielektrisches Medium kann eine Vielzahl von Wellen tragen
(Lichtwellen, Plasmaschwingungen, Ionenschallwellen, Alfvenwellen u.a.m.). Am Beispiel
der Strahl-Plasmainstabilitat wurde deutlich, da Abweichungen von der Maxwellschen
Geschwindigkeitsverteilung zur Verstarkung elektrostatischer Wellen fuhren konnen. Der
Antrieb der Wellen erfolgt dabei durch resonante Teilchen.
In diesem Kapitel wollen wir Methoden betrachten, die beliebige Verteilungsfunktionen
moglichst exakt beschreiben konnen. Hierzu gehort die Vlasovgleichung und die Teilchensimulation. Als typische kinetische Probleme werden wir die Landaudampfung und
die nichtlineare Entwicklung der Strahl-Plasma-Instabilitat diskutieren, wobei letzteres
Beispiel die Leistungsfahigkeit der Teilchensimulation demonstriert.
6.1 Das Vlasovmodell
Eine vollstandige Beschreibung des Plasmas mu sowohl die Flussigkeitsaspekte und
die selbstkonsistenten Felder als auch die Geschwindigkeitsverteilung einschlieen. Dieses Konzept wird in der kinetischen Theorie entwickelt. Wir werden in diesem Abschnitt
eine Beschreibung wahlen, die anstelle der wahren Teilchenorte und Geschwindigkeiten
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Orts- und Geschwindigkeitsraum benutzt: das Vlasovmodell.
165
166
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
6.1.1 Die Verteilungsfunktion
Das Flussigkeitsbild hat uns mit dem Konzept vertraut gemacht, anstelle des Verfolgens
von Teilchenbahnen Wahrscheinlichkeitsaussagen uber die mittleren Eigenschaften der
Plasmateilchen in kleinen Volumenelementen zu machen. Dort de
nierten wir die Massendichte m(~r t) und die Stromungsgeschwindigkeit ~u(~r t), die uber den Erhaltungssatz
der Masse verbunden sind:
@ (~r t) + r (~r t)~u(~r t)] = 0 :
(6.1)
m
@t m
In der kinetischen Theorie ist es nun nicht mehr sinnvoll, nur die mittlere Stromungsgeschwindigkeit zu betrachten, sondern es soll die Anzahl von Teilchen in einem bestimmten
Geschwindigkeitsintervall d3v um den Vektor ~v explizit Berucksichtigung nden. Die Massendichte in einem Ortsraumvolumen $x$y$z hatten wir uber die De
nition eingefuhrt:
$m = m(~r t)$x$y$z :
(6.2)
Analog teilen wir nun in Gedanken auch den Geschwindigkeitsraum in endliche Volumenelemente $vx$vy $vz ein und betrachten die Zahl der Plasmateilchen einer Sorte $N (j)
in einem Element des 6-dimensionalen Phasenraums, der von den drei Orts- und drei
Geschwindigkeitskoordianten aufgespannt wird:
$N (j) = f (j)(~r~v t)$x$y$z$vx$vy $vz :
(6.3)
Der Grenzubergang zu in
nitesimal kleinen Groen d3rd3v bedarf einer kurzen Betrachtung. Bei immer feinerer Unterteilung stellt sich das Problem, da man schlielich nur ein
oder kein Plasmateilchen in einer solchen Zelle ndet. Die Funktion f wurde dann eine
Summe von Delta-Distributionen werden:
X
f (j) = (~r ; ~rk )(~v ; ~vk ) (6.4)
k
die die exakten Teilchenorte und -geschwindigkeiten erfat. Dann waren wir aber wieder mit dem Problem der exakten Behandlung des Vielteilchenproblems (von ca. 1020
Teilchen !) beschaftigt. Wir suchen aber einen Weg, eine einfachere, statistische Beschreibung dieses Vielteilchensystems anzugeben.
Daher wahlen wir zunachst das 6-dimensionale Volumenelement $x$y$z$vx$vy $vz
einerseits als makroskopisch gro, um hinreichend viele Teilchen fur eine statistische Beschreibung zu haben, andererseits aber als hinreichend klein gegenuber typischen Skalenlangen im Ortsraum und Geschwindigkeitsraum. Den Grenzubergang zu dierentiellen
Volumenelementen denken wir uns in der Art, da die Funktion f (j)(~r~v t), die auf dieser mittleren Skala de
niert wurde, im Grenzproze stetig bleibt. Bildlich gesprochen
bedeutet das, da wir die Kornigkeit des wahren Plasmas beseitigen, indem wir die Ladungstrager in immer feinere hypothetische Teilchen unterteilen, die aber den gleichen
6.1. DAS VLASOVMODELL
167
Wert von q=m besitzen wie die Plasmateilchen, und diese entsprechend der Funktion f (j)
im Raum verteilen. Diese Beschreibung nennen wir das Vlasov-Bild. Verloren haben wir
in diesem Bild die Wechselwirkung individueller Teilchen, z.B. korrelierte Bewegungen
und Zusammenstoe.
Wir werden in Abschnitt 6.2 sehen, da es auch sinnvoll sein kann, das Vielteilchenproblem durch Zusammenfassung der wahren Plasmateilchen zu einigen Tausend Superteilchen mit gleichem q=m vorzunehmen und die Newtongleichungen aller beteiligten Teilchen
mit den selbstkonsistenten Feldern numerisch zu losen. Hierbei wird die Kornigkeit der
Superteilchen starker in den Vordergrund treten. Dieser Eekt kann in gewissem Mae unterdruckt werden, indem bei der Losung der Feldgleichungen geeignete mittelnde
Verfahren eingesetzt werden.
Die Funktion f (j) ist folgendermaen normiert:
ZZ
N (j) =
f (j)(~r~v t) d3r d3v (6.5)
wobei N (j) die Gesamtzahl der Teilchen der Sorte j ist. Die Teilchendichte im Ortsraum,
Massendichte und Ladungsdichte ergeben sich wie folgt:
Z
n(j)(~r t) = f (j) (~r~v t)d3v
(6.6)
X (j) (j)
m(~r t) =
m n (~r t)
(6.7)
j
X (j) (j)
e (~r t) =
q n (~r t) :
(6.8)
j
Somit ist f (j)(~r~v t) die von uns gesuchte statistische Beschreibungsgroe, die die Ideen
des Fluidbildes zur kinetischen Beschreibung verallgemeinern kann.
6.1.2 Die Vlasovgleichung
Wir suchen in diesem Abschnitt eine Bewegungsgleichung fur die Verteilungsfunktion
f (~r~v t), die die Kontinuitatsgleichung (6.1) verallgemeinert. Zunachst sei nochmals darauf hingewiesen, da im Flussigkeitsbild ~u(~r t) eine Variable (d.h. eine physikalische Megroe) ist, wahrend im Vlasovbild die Geschwindigkeit ~v eine Koordinate im Phasenraum ist. Wenn wir nun willkurlich ein Phasenraumvolumen d3r d3v um den Vektor (~r~v)
herausgreifen, so haben die Teilchen in dieser Zelle allerdings die Geschwindigkeit ~v und
diese Teilgruppe verhalt sich wie eine Flussigkeit mit Stromungsgeschwindigkeit ~v.
Die Teilchenbilanz fur dieses Volumenelement ist einerseits durch das Ein- und Ausstromen im Ortsraum gegeben, andererseits haben wir auch einen Zu- und Abu durch
Beschleunigung und Abbremsung (vgl. Abb. 6.1). Der Anschaulichkeit halber betrachten wir zunachst nur den eindimensionalen Fall f (x v t). Wir unterdrucken der U bersichtlichkeit wegen die Indizes fur die Teilchensorte. Dann wird die totale A nderung der
168
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 6.1: Die Vlasovgleichung beschreibt das Stromen einer Wahrscheinlichkeitsussgkeit im Phasenraum. Ein Zuwachs in $V kann durch die Divergenz der Stromung
im Ortsraum und Geschwindigkeitsraum erfolgen.
Verteilungsfunktion in einem solchen Volumen:
df = @f + @f dx + @f dv = 0 (6.9)
dt @t @x dt @v dt
wenn wir annehmen, da in $x$v keine Erzeugungs- oder Vernichtungsprozesse statt
nden. Mittels dx/dt = v und dv/dt = a setzen wir die Stromung mit den wahren Teilcheneigenschaften in Beziehung und verallgemeinern wieder auf drei Orts- und Geschwindigkeitsrichtungen:
@f + ~v r f + ~a r f = 0 :
(6.10)
r
v
@t
Dabei werden folgende Kurzschreibweisen benutzt: rr = (@=@x @=@y @=@z) und rv =
(@=@vx @=@vy @=@vz ).
Die Verbindung mit den Feldgroen E~ und B~ , die die Summe aus selbstkonsistenten
und externen Feldern darstellen, erreicht man durch
~a = mq (E~ + ~v B~ ) :
(6.11)
6.1. DAS VLASOVMODELL
169
Die Bewegungsgleichung fur f wird dann die Vlasovgleichung, die auch 'stofreie Boltzmanngleichung)' genannt wird:
@f + ~v r f + q (E~ + ~v B~ ) r f = 0 :
(6.12)
r
v
@t
m
Reale Plasmateilchen konnen die Phasenraumzelle auer durch die bereits beschriebenen
Stromungsprozesse auch durch geschwindigkeitsandernde Stoe betreten oder verlassen.
Dieser Stobeitrag ist dann durch ein entsprechendes Modell zu erfassen. Man kann dies
formal durch einen Stoterm (@f=@t)coll einfuhren:
!
@f + ~v r f + q (E~ + ~v B~ ) r f = @f
(6.13)
r
v
@t
m
@t coll dessen weitere Behandlung aber uber den Rahmen dieser Einfuhrung hinausfuhrt. Eine
einfuhrende Behandlung dieses Themenkreises ndet sich in 83].
6.1.3 Dispersion von elektrostatischen Elektronenwellen
In diesem Abschnitt wollen wir den Einu der endlichen Breite der Geschwindigkeitsverteilung auf die elektrostatischen Elektronenwellen untersuchen. Wir beschranken uns auf
eine Maxwellverteilung. Man kann bereits vermuten, da der Gasdruck der Elektronen
als mittlere Eigenschaft der Maxwellverteilung die Plasmaschwingungen in schallartige
Wellen modi
ziert. Wir wollen aber nicht mit einer Zustandsgleichung das Fluidmodell
nachbessern, sondern erwarten, da die kinetische Beschreibung die thermodynamischen
Aspekte 'automatisch' liefert.
Die Ionen behandeln wir in dem interessierenden Frequenzbereich als unbeweglichen
neutralisierenden Hintergrund. Das Problem kann eindimensional beschrieben werden,
da wir elektrostatische Wellen (k k E ) suchen. Die Verteilungsfunktion der Elektronen
zerlegen wir in einen homogenen (@=@x = 0), stationaren (@=@t = 0) Anteil f0(v) und
eine wellenartige Storung f1(x v t):
f (x v t) = f0(v) + f1(x v t) (
(6.14)
)
m 1=2
2
f0(v) = n 2k T
exp ; 2mv
(6.15)
kB Te
B e
f1 / expi(kx ; !t)]
(6.16)
f1 f0 :
(6.17)
Wir losen die Vlasovgleichung durch Linearisierung und machen den ublichen Wellenansatz:
@f1 + v @f1 ; e E @f0 = 0
(6.18)
@t
@x m 1 @v
0
;i!f1 + ikvf1 ; me E1 @f
(6.19)
@v = 0 :
170
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Dann wird die gestorte Verteilungsfunktion:
0 =@v
f1 = i me @f
! ; kv E1 :
(6.20)
Oensichtlich spielen die resonanten Teilchen bei v = !=k eine besondere Rolle, da sie zu
einer Polstelle von f1 fuhren. Das Potential der Welle mu sich selbstkonsistent aus der
Raumladung ergeben:
0
1
+
Z1
Z 1 (e)
(e) A
@
e = e ni ; f dv = ;e f1 dv :
(6.21)
;1
;1
Die ungestorte Maxwellverteilung der Elektronen wird durch den Ionenhintergrund
neutralisiert, so da nur die wellenartige Storung zur Raumladung beitragt. Die Selbstkonsistenz von E1 ergibt sich aus der Poissongleichung, die in Fouriernotation lautet:
+
Z 1 @f0=@v
1
e
2 1
ikE1 = = ik E1!pe n !=k ; v dv :
0
;1
(6.22)
!pe2 +Z 1 1 @f0=@v
(! k) = 1 + k2 n !=k ; v dv = 0 :
;1
(6.23)
Dieses ist wiederum eine Dispersionsrelation, da wir nichttriviale Losungen E1 6= 0 fordern. Man uberzeugt sich leicht, da diese Dispersionsrelation die Dielektrizitatskonstante
(! k) des Plasmas enthalt:
Die Ableitung der Maxwellverteilung ist:
!
@f0 = ;n p2v exp ; v2 :
@v
vth3
vth2
(6.24)
Wenn die thermische Geschwindigkeit der Elektronen als hinreichend klein gegenuber
der Phasengeschwindigkeit der Welle angesetzt werden kann (vgl. Abb. 6.2), ist der Beitrag
der resonanten Teilchen durch den Exponentialfaktor im Zahler reduziert, der aus der
Maxwellverteilung stammt. Dann kommen die Hauptbeitrage zu dem Integral in (6.24)
aus dem Bereich ;vth vth], fur den es gema unserer Annahmen erlaubt ist, die Funktion
(!=k ; v);1 in eine Taylorreihe zu entwickeln:
1 = k + k2 v + k3 v2 + k4 v3 + :
!=k ; v ! !2 !3
!4
(6.25)
6.1. DAS VLASOVMODELL
171
Abbildung 6.2: Phasengeschwindigkeit und Verteilungsfunktion bei verschiedenen Temperaturen zur Verdeutlichung der Rolle der resonanten Teilchen. (a) kaltes Plasma, (b)
niedrige Temperatur, (c) heies Plasma.
Das Integral kann analytisch ausgefuhrt werden mittels der Beziehungen:
+
Z1
n ; 1) 1=2
x2ne;ax2 = 1 3 :::(2a(2
)n
a
;1
+
Z1
x2n+1e;ax2 = 0
;1
mit dem Ergebnis:
(6.26)
(6.27)
!2
!2
(! k) = 1 ; !pe2 ; 32 !pe4 k2vth2 = 0 :
(6.28)
Fur verschwindendes vth2 ! 0 erhalten wir das bekannte Resultat fur das kalte Plasma
(! k) = 1 ; !pe2 =!2. Fur den hier vorgegebenen Grenzfall maiger Temperatur lat sich
die Dispersionsrelation naherungsweise schreiben:
!2 = !pe2 + 23 k2vth2
= !pe2 + k2(kB Te=m)
(6.29)
172
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
wobei = 3 der Adiabatenexponent fur eine eindimensionale adiabatische Kompression
ist. Diese Dispersionsrelation wurde zuerst von Bohm und Gross 74, 75] angegeben und
tragt oft ihren Namen. Mit kurzerer Wellenlange tritt oensichtlich der Druckgradient in
Konkurrenz zu den elektrostatischen Abstoungskraften.
Zusatzlich zur Dispersion erfahrt die elektrostatische Elektronenwelle fur kurzere Wellenlange eine Dampfung: exp(ikx ; !t]) = exp(ikx ; !R t]) exp(;!I t) wenn wie hier
der Imaginarteil !I negativ wird. Diese Dampfung werden wir im folgenden Abschnitt
diskutieren.
Abbildung 6.3: (oben) Dispersion der elektrostatischen Elektronenwelle (Bohm-Gross Beziehung). (unten) Der Imaginarteil von ! beschreibt die kinetische Dampfung.
6.1. DAS VLASOVMODELL
173
6.1.4 Landaudampfung
Bei der Losung der Dispersionsrelation (6.23) haben wir bisher nur den Cauchyschen
Hauptwert des Integrals:
!pe2 +Z 1 @f0=@v
!pe2 3 !pe2 2 2
d
v
(6.30)
k2 ;1 !=k ; v
!2 + 2 !4 k vth + berucksichtigt. Die Polstelle bei !=k = v erzeugt aber einen zusatzlichen Beitrag, der jetzt
gesondert betrachtet werden soll. In der Dispersionsrelation (6.23) treten Integrale vom
Typ
Z1 F (u)
dv
(6.31)
v
;
u
;1
auf, die Polstellen bei v = u besitzen, wobei u = !=k die i.A. komplexe Phasengeschwindigkeit ist. Landau 84] hat gezeigt, da diese Integrale eine analytische Fortsetzung besitzen, die sich durch Verformung des Integrationsweges in Form der Landaukontour
ergeben (s. Abb. 6.4). Dabei wird der Integrationsweg so gewahlt, da er stets unterhalb
der Polstelle des Integranden verlauft. In unserem Fall nehmen wir an, da die Polstelle
nahezu auf der reellen Achse liegt. Dann haben wir auer dem Cauchy-Hauptwert in
(6.30) zusatzlich den halben Residuumsbeitrag an der Polstelle zu berucksichtigen. Damit
erhalten wir:
Abbildung 6.4: Wahl des Integrationsweges entlang der Landaukontour. Der Integrationsweg bleibt stets unterhalb der Polstelle. (a) Im(u) > 0, (b) Im(u) = 0, (c) Im(u) < 0.
!pe2 Z1 1 @f0=@v
1
@f
0
0 = 1 ; k2 C n v ; !=k dv + i n @v v=!=k
;1
(6.32)
174
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Durch den Residuumsbeitrag wird die Dispersionsfunktion in (6.32) komplex und wir
erwarten nunmehr als Losung einen komplexen Wert von !. Da es sich nur um eine kleine
Korrektur an der bisherigen reellen Dispersionsfunktion handelt, lat sich der Imaginarteil
von ! durch eine Storungsrechnung bestimmen. Das Cauchy-Hauptwertintegral lat sich
in dieser Naherung durch den Beitrag des kalten Plasmas ersetzen:
!pe2
1
@f
0
0 = 1 ; !2 + i n @v (6.33)
v=!=k
und hieraus erhalt man durch Auosen nach ! und Entwicklung der Wurzel:
1
0
2
!
1
@f
0
p
A:
! = !pe @1 + i 2 k2 n @v (6.34)
v=!=k
Bei der Berechnung der Ableitung der Maxwellverteilung:
2!
1 @f0 2
v
v
p
=
;
exp
(6.35)
3
n @v v=!=k
vth
vth2
ist jedoch die korrekte Phasengeschwindigkeit der Bohm-Gross Welle im Exponenten zu
verwenden. Im Vorfaktor genugt wiederum die Naherung des kalten Plasmas. Hieraus
ergibt sich der Imaginarteil der Wellenfrequenz:
!pe 3 !pe2 3 !
p
(6.36)
Im(!) ; kv exp ; k2v2 ; 2 th
th
der in Abb. 6.3 dargestellt ist. Die elektrostatischen Wellen sind also gedampft und Ursache der Dampfung ist die Maxwellverteilung der Elektronen. Dieser Dampfungsmechanismus heit Landaudampfung 84] und beruht nicht auf Stoprozessen. Man spricht
daher von stofreier Dampfung. Im folgenden soll ein vereinfachtes, anschauliches Bild
des Zustandekommens der Landaudampfung gegeben werden.
Hierzu betrachten wir eine Elektronengruppe innerhalb der Maxwellverteilung, die
eine Geschwindigkeit v0 besitzt, wobei v0 in der Nahe der Phasengeschwindigkeit !=k liegen soll. Wir konnen diese Elektronengruppe wie einen Elektronenstrahl behandeln (vgl.
Abschnitt 5.2.4). Unter dem Einu des elektrischen Feldes der Welle stellt sich eine Oszillationsgeschwindigkeit v1 dieser Gruppe ein. Diese Geschwindigkeitsmodulation erzeugt
gema der Kontinuitat der Stromung (;i!n1 + ik(v0n1 + v1n0) = 0) eine Dichtemodulation:
(6.37)
n1 = n0 (!=k 1; v )2 v1 :
0
Die kinetische Energie der betrachteten Elektronengruppe ist dann:
Wkin = (n0 + n1) m2 (v0 + v1)2
h
i
= m2 n0v02 + n0v12 + 2v0n1v1 + 2n0 v0v1 + n1v12 + n1v02 :
(6.38)
6.1. DAS VLASOVMODELL
175
Dieser Ausdruck interessiert uns im Mittel uber eine Schwingungsperiode, in dem sich die
ungeraden Potenzen oszillierender Groen aufheben:
h
i
(6.39)
hWkin i = m2 n0v02 + n0hv12i + 2v0hn1v1i :
Den kubischen Storungsterm haben wir vernachlassigt. Der erste Summand in der Klammer ist die kinetische Energie des ungestorten Systems, die wir als Bezugspunkt unserer
Betrachtung wahlen konnen. Der zweite Summand ist stets positiv, wahrend das Vorzeichen des dritten Summanden von der Relativgeschwindigkeit zur Phasengeschwindigkeit
abhangt:
hn1v1i = n0 (!=k 1; v )2 hv12i :
(6.40)
0
Damit kann die Energie des oszillierenden Zustandes insgesamt groer oder kleiner als die
der ungestorten Elektronengruppe werden:
!
m
2
v
0
0
(6.41)
h$Wkin i = n0 2 1 + !=k ; v hv12i = n0 m2 hv12i !! +; kv
kv0 :
0
Abbildung 6.5: Nahezu resonante Elektronen im Bezugssystem der Welle. (a) Energiegewinn durch Beschleunigung durch die Welle bei Teilchengruppe mit negativer Energie,
(b) Energieverlust an die Welle.
Elektronen, deren Geschwindigkeit kleiner als die Phasengeschwindigkeit ist, haben in
dieser Sprechweise 'positive Energie', wahrend die schnelleren 'negative Energie' besitzen.
176
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Anschaulich heit das, da Elektronen, die schneller sind als die Welle, stets in die schon
vorhandenen Ladungsverdichtungen mit positiver Geschwindigkeit einlaufen und sie damit
aufbauen. Sie schieben damit die Welle an (siehe Abb. 6.5). Ihre positive Energie wird
zum Aufbau des elektrostatischen Feldes benutzt. Im anderen Fall, da die Elektronen
langsamer als die Welle stromen, bewgen sie sich im Wellenbezugssystem 'ruckwarts'.
Damit bauen sie den zuruckliegenden Wellenberg weiter auf. Sie werden aber von der
Welle angeschoben und gewinnen kinetische Energie aus der Welle.
Bei einer Maxwellverteilung gibt es stets mehr langsamere als schnellere Elektronen in
der Nahe der Phasengeschwindigkeit. Damit ist es plausibel, da netto mehr Elektronen
Energie vom Wellenfeld beziehen als an dieses abzugeben. Dieses fuhrt zur Dampfung der
Welle. Das Anfachen der Welle durch einen Elektronenstrahl, der nur eine Teilchengruppe
mit negativer Energie darstellt, haben wir in Abschnitt 5.2.4 gesehen. Letzteren Fall kann
man als inverse Landaudampfung interpretieren.
Eine genauere Betrachtung zur Landaudampfung, die auch die Phasenlage der Elektronen im Wellenfeld berucksichtigt, ndet sich z.B. bei Chen 60].
6.2 Teilchensimulation
Zur Losung nichtlinearer Plasmaprobleme stehen heute in Form von Teilchen-Simulationsprogrammen leistungsfahige Hilfsmittel zur Verfugung 87, 86]. In der Teilchensimulation
werden die Newtonschen Bewegungsgleichungen von einigen Tausend Teilchen mit numerischen Methoden gelost. Der Rechenaufwand skaliert dabei mit der Zahl der Wechselwirkungen von N Teilchen T / N 2, wodurch es erforderlich wird, die wahren Plasmateilchen
zu Gruppen, den sog. Superteilchen, zusammenzufassen. Eine gunstigere Skalierung der
Rechenzeit und einen erwunschten Glattungseekt erhalt man, wenn man nicht die Kraftwechselwirkung der Superteilchen untereinander fur die Bewegung der Teilchen auswertet,
sondern ein Superteilchen nur mit dem Mittelwert der Raumladung und Strome der anderen Superteilchen wechselwirken lat. Hierzu wird aus der Position der Superteilchen die
Ladungs- und Stromverteilung auf ein diskretes Rechengitter (engl.: mesh) mit Ng Zellen
in einer Raumdimension abgebildet, auf dem die Maxwellgleichungen gelost werden.
Damit stehen die Feldgroen auf dem Gitter zur Verfugung und werden fur den jeweiligen
Teilchenort interpoliert.
Bei diesen particle-mesh-Verfahren sinkt der Rechenaufwand auf T / NNgD log2 NgD ,
wobei D die Dimensionalitat des Problems ist. Der Zeitgewinn kann bei 105 Superteilchen
durchaus ein Faktor von 104 sein. Insbesondere wurden eindimensionale Probleme mit
diesen Methoden auf PCs behandelbar, was die weite Verbreitung dieser Codes in den
letzten Jahren erklart. Ein Zeitschritt des Particle-mesh-Verfahrens besteht somit aus
vier Teilen (Abb. 6.6):
Die verschiedenen Varianten der Teilchensimulation bestehen einerseits in den Randbedingungen, die entweder periodische Randbedingungen sind oder aus den elektroma-
6.2. TEILCHENSIMULATION
177
Integration der Bewegungsgleichungen,
- Zuweisung der neuen Koordinaten
Fi ;! vi ;! xi
?
Gewichtung
(E B )p ;! Fi
$t
Gewichtung
(x v)i ;! ( J )p
Integration der Feldgleichungen
auf dem Gitter
(E B )p ; ( J )p
6
Abbildung 6.6: Elemente des Zeitschritts beim Particle-mesh-Verfahren
gnetischen Randwerten der Feldgleichungen an Elektroden herruhren, andererseits in der
Ladungszuweisung auf das Gitter und der Interpolation der Krafte aus den Feldwerten auf
dem Gitter. Im folgenden werden die Einzelheiten der Particle-in-Cell (PIC) Simulation
beschrieben, wie sie in einem weit verbreiteten Code 87] implementiert sind.
6.2.1 Eindimensionale Probleme
Wir wollen uns im folgenden mit eindimensionalen elektrostatischen Problemen beschaftigen, in denen nur die Variablen v und E vorkommen, die nur von der Ortskoordinate x
abhangen. Magnetfelder lassen wir auer Betracht. Anstelle von punktformigen Teilchen
haben wir es jetzt mit blattartigen Ladungsschichten zu tun, die in y- und z-Richtung
unendlich ausgedehnt und in x-Richtung in
nitesimal dunn sind (Abb. 6.7). Gegenuber
den Punktladungen im dreidimensionalen Raum, fur die das Coulombsche Kraftgesetz
F / r;2 einen Abfall mit dem Quadrat der Entfernung ergibt, haben die Ladungsschichten eine Wechselwirkungskraft, die unabhangig vom Abstand ist: F / r0.
Diese Eigenschaft mag zunachst verwirrend sein, wenn man versuchen wurde, das
elektrische Feld an einem bestimmten Punkt aus der Summe der Kraftbeitrage der individuellen Ladungen zu berechnen. Da das Plasma aber nahezu neutral ist wurde in dieser
178
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 6.7: Beschreibung eindimensionaler Plasmaprozesse durch Ladungsschichten.
Summe der Kraftwirkungen ein sich fast ausgleichender Wert von positiven und negativen Beitragen ergeben. Bedeutsam ware die explizite Wechselwirkungskraft benachbarter
Schichten nur fur die Berechnung von Stoprozessen. An letzteren sind wir aber weniger
interessiert als an dem kollektiven Verhalten des Systems. Daher werden wir den in der
Elektrodynamik ublichen Weg gehen und das elektrische Feld aus der Raumladungsdichte berechnen, die wir als eine geeignet gemittelte Groe konstruieren wollen, anstatt die
Kornigkeit zu betonen, die sich aus der Summation individueller Kraftbeitrage ergeben
wurde.
Zum Zwecke der Mittelung der Raumladung und des Teilchenstroms, die die Quellen
fur die Feldgroen E und B darstellen, und zur Reduktion der Rechenzeit werden wir ein
diskretes Rechengitter einfuhren. Dieses entspricht auch der bisher geubten Betrachtungsweise, die kollektiven Phanomene nur auf einer Langenskala zu betrachten, die groer ist
als die Debyelange. Auf kurzeren Skalen tritt der individuelle Teilchencharakter in den
Vordergrund.
6.2.2 Diskretisierung der Grundgleichungen
Die Newtonsche Bewegungsgleichung fur ein Superteilchen lautet:
M dd~vt = Q E~ + ~v B~ :
(6.42)
Zur Diskretisierung werden Zeitschritte $t eingefuhrt. Dann kann die Newtongleichung
in folgender zeitzentrierter Form als Dierenzengleichung geschrieben werden:
xni +1 ; xni = vn+1=2
i
$t
vin+1=2 ; vin;1=2 = F (xi)$t :
$t
mi
(6.43)
6.2. TEILCHENSIMULATION
179
Abbildung 6.8: Das Leap-frog-Schema
Dabei bezeichnet der untere Index das i-te Superteilchen mit Masse mi und der obere
Index die Nummer des Zeitschritts. F (xi) ist die Kraft am Ort des Superteilchens. Die
Geschwindigkeiten werden stets auf halben Zeitschritten berechnet. Diese Schachtelung
von Positions- und Geschwindigkeitsentwicklung bezeichnet man als "leap-frog-Schema\
(wortlich: Bocksprung-Schema) (vgl. Abb. 6.8). Der Halbschritt erzeugt die hohe Rechengenauigkeit in ahnlicher Weise wie bei Runge-Kutta-Verfahren zur Integration von
Dierentialgleichungen.
6.2.3 Losung der Feldgleichungen auf dem Gitter
Die Notwendigkeit zur Einfuhrung eines Gitters fur die Feldgroen liegt auch in der
Schwierigkeit begrundet, da die Berechnung der echten Wechselwirkungskrafte zwischen
N Teilchen eine Anzahl von Rechenoperationen erfordern, die mit N (N ; 1)=2 skaliert.
Diese Entwicklung kann rasch die verfugbare Rechenzeit sprengen. Fuhrt man dagegen
gemittelte Feldgroen auf einem Gitter (typ. Ng = 100-400 Gitterpunkte) ein, so skaliert
die Rechenzeit nur noch mit NNg . Fur Teilchenzahlen von 104 ; 106 ist dieser Gewinn
gewaltig.
Betrachten wir im folgenden magnetfeldfreie Systeme, in denen nur elektrostatische
Wechselwirkung auftritt. Das Gitter bestehe aus Ng aquidistanten Platzen mit Abstand
$x = L=Ng .
Die Zuweisung der wahren Ladungsverteilung an das Gitter kann man im einfachsten Fall dadurch vornehmen, das die gesamte Ladung dem nachstliegenden Gitterpunkt
zugeschlagen wird. Diese Naherung heit nearest grid point = NGP). Sie ist zwar sehr
rechenokonomisch, es ersetzt aber die wahre Bewegung des Superteilchens durch eine von
Gitterpunkt zu Gitterpunkt springende Ladung, die oensichtlich dazu tendiert, das Rauschen zu erhohen. Diese Unstetigkeit der Ladungsbewegung verschwindet, wenn man die
180
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Zuweisung der Ladung mit einer Gewichtung an die beiden benachbarten Gitterplatze
vornimmt. Im PIC-Verfahren wird die Gewichtung so gewahlt, das bei Ubereinstimmung
des Teilchenorts mit einem Gitterplatz die Gesamtladung zugewiesen wird. Anderenfalls
wird linear interpoliert.
Die Ladungszuweisung im n-ten Zeitschritt an den p-ten Gitterplatz xp erfolgt mittels
folgender Vorschrift:
Np
sX
n
(6.44)
np = qN
$x W (xi ; xp) + 0 :
i=1
Hierin ist qNs die Ladung eines Superteilchens und 0 eine neutralisierende Hintergrundsladung. Die Gewichtungsfunktion W (x) hat bei der PIC-Methode folgende Gestalt (Abb.
6.9):
(
1
W (x) = 1 ; jx0j :: jjxxjj <
(6.45)
1:
Diese lineare Gewichtung kann auch anders interpretiert werden. Wenn man sich vorstellt,
Abbildung 6.9: (a) Ein Superteilchen bei xi wird wie eine ausgedehnte Ladungswolke der
Breite $x behandelt. Die Gewichtung erfolgt entsprechend des U berlapps zwischen der
Wolke und der jeweils betrachteten Zelle xp;1=2 xp+1=2]. (b) Die aus dieser Vorstellung
resultierende Gewichtungsfunktion W (x ; xp). Die Pfeile deuten die Zuordnung an die
Gitterplatze p und p + 1 an.
da jeder Gitterplatz einen Einzugsbereich von 1=2 Gitterzelle besitzt und da das
Superteilchen eine Ladungswolke mit kastenformigem Pro
l (Particle-in-Cell) darstellt,
so ist die Gewichtung gerade durch den Teil gegeben, der in die jeweilige Zelle hereinragt.
Letztere Vorstellung ist insbesondere hilfreich bei der Abschatzung der Wechselwirkung
zweier individueller Ladungswolken.
6.2. TEILCHENSIMULATION
181
Wie eingangs gesagt ist der Betrag der Wechselwirkungskraft der in
nitesimalen Ladungsschichten nicht von ihrem Abstand abhangig, wohl aber ihr Vorzeichen. Wenn sich
diese dunnen Blatter durchdringen wechselt das Vorzeichen schlagartig. Die ausgedehnten Raumladungswolken dagegen zeigen einen stetigen Wechsel der Wechselwirkungskraft.
Diese Eigenschaft der Zuweisungsfunktion an das Rechengitter ist es, die den Beitrag der
individuellen Zusammenstoe durch Mittelung reduziert.
Die Poissongleichung lautet in Dierenzenform:
np;1 ; 2np + np+1
np
=
;
(6.46)
($x)2
0 :
Hieraus gewinnt man das elektrische Feld durch:
np;1 ; np+1
n
Ep = 2$x :
(6.47)
Die Interpolation der Kraft am Teilchenort aus den Feldstarken auf dem Gitter erfolgt
mit derselben Gewichtungsfunktion wie bei der Ladungszuweisung:
Fin = qNs
NX
g ;1
p=0
W (xni ; xp)Epn :
(6.48)
Die Poissongleichung kann sofort durch direkte Verfahren fur Tridiagonalmatrizen gelost
werden. Bei periodischen Randbedingungen sind Fouriermethoden eventuell uberlegen.
Nahere Einzelheiten nden sich in 86].
6.2.4 Der harmonische Oszillator (*)
Am Beispiel des harmonischen Oszillators kann man sich eine Faustregel fur die Wahl des
benutzten Zeitschritts herleiten. Die Gleichung
d2x = ;!2x
(6.49)
0
dt2
hat die exakte Losung:
x = A cos(!0t) + B sin(!0t)
(6.50)
Die aquivalente Dierenzengleichung des leap-frog-Schemas:
xn+1 ; 2xn + xn;1 = ;!02x($t)2
(6.51)
wird gelost mit einem Ansatz / exp(i!t) mit einem i.A. von !0 verschiedenen !. Dieser
Ansatz ergibt:
ei!t ; 2 + e;i!t = !02($t)2 :
(6.52)
182
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Dieses lat sich zusammenfassen zu:
! $t sin 2 = !02$t :
(6.53)
Entwickelt man die linke Seite fur kleine Werte von !$t=2:
!$t ; 1 !$t 3 + = !0$t (6.54)
2 6 2
2
so wird der kumulative Phasenfehler nach n Zeitschritten:
1 n (! $t)3 :
$' = n (! ; 2!0)$t = 24
(6.55)
0
Fur einen kritischen Phasenfehler von $' = 1 wird
n = (! 24
:
(6.56)
3
0 $t)
Das sind immerhin 24.000 Schritte bei !0$t = 0:1. Ein ublicher Kompromi zwischen Rechengenauigkeit und -aufwand ndet sich bei !0$t = 0:2 und ca. 1.000 - 10.000 Schritten.
Weitere Betrachtungen zur Stabilitat der numerischen Integration nden sich in 87, 86].
Fur Plasmasysteme hat es sich bewahrt, !0 mit der Elektronenplasmafrequenz zu identi
zieren.
6.2.5 Die Strahl-Plasma-Instabilitat
Als Beispiel fur eine PIC-Simulation wahlen wir den Fall eines monoenergetischen Elektronenstrahls, der sich durch einen ruhenden Plasmahintergrund mit unbeweglichen Ionen
bewegt. Die Strahldichte betragt 1% der Gesamtdichte. Die Simulationen wurden mit dem
Code ES1 durchgefuhrt 87].
Die Ergebnisse der Rechnung sind in Abb. 6.10 und 6.11 dargestellt. Der Elektronenphasenraum (x v) zeigt einen Ausschnitt, der in der Ortskoordinate einer Wellenlange der
instabilen Wellenlange entspricht (Abb. 6.10) . Das Bezugssystem entspricht dem System
der Strahlelektronen. Daher bewegt sich das Wellenmuster in dieser Darstellung nach
links. Das ist die aus der linearen Theorie bekannte langsame Raumladungswelle, deren
Phasengeschwindigkeit geringfugig niedriger als die Strahlgeschwindigkeit ist.
Das Wachstum der Welle kann anhand der Energie des Wellenfeldes studiert werden.
Abb. 6.11(a) zeigt das exponentielle Wachstum der Feldenergie, das in der halblogarithmischen Darstellung eine Gerade ergibt. Bei hohen Amplituden tritt eine Sattigung ein,
die wir nachsten Abschnitt diskutieren werden. Der Wachstumsfaktor der Amplitude ist
durch den Imaginarteil der Wellenfrequenz (5.55) gegeben. Die Energiedichte des elektrischen Feldes WE / E 2 wachst folglich mit 2 an. Fur = 0:01 wird der aus der
6.2. TEILCHENSIMULATION
183
(a) t=70
(b) t=72
(c) t=74
(d) t=76
(e) t=78
(f) t=80
(g) t=82
(h) t=84
(i) t=86
Abbildung 6.10: Elektronenphasenraum (x v) (oben) und Wellenpotential (unten). Der
Elektronenstrahl erscheint in der oberen Halfte bei einer normierten Geschwindigkeit
v = 1, die Plasmaelektronen darunter bei v = 0. In der zeitlichen Entwicklung tritt
bei (d) der Einfang von Elektronen durch Reektion am Wellenpotential auf (trapping).
Die Zeitangaben sind in Einheiten der Plasmaperiode.
184
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
linearen Theorie erwartete Wert fur die am schnellsten wachsende Mode 2 = 0:296!p ,
die Simulation ergibt 2 = 0:265 . Der kleine Unterschied ist dadurch bedingt, da die
Simulation periodische Randbedingungen verwendet, so da nicht die maximal instabile
Mode der linearen Theorie auftritt, sondern eine benachbarte Mode, deren Periodizitat
zu den periodischen Randbedingungen pat.
6.2.6 Sattigung der Instabilitat durch trapping (*)
Die Strahlelektronen erscheinen im Phasenraum zunachst (a) bei der normierten Geschwindigkeit v = 1, die Plasmaelektronen bei v = 0. Die Geschwindigkeitsmodulation
nimmt mit der Zeit zu. Ebenso wachst die Wellenamplitude. Sobald die Wellenamplitude so gro ist, da die kinetische Energie der Strahlelektronen im Bezugssystem der
Welle kleiner ist als das Wellenpotential, kommt es zur Reektion von Elektronen (Abb.
6.10(d) ). Dieser Proze wird als Elektroneneinfang im Potentialtopf der Welle (engl.
trapping) bezeichnet.
Die Bedingung fur den Einfang von Strahlelektronen der Geschwindigkeit v0 ist durch
die Bedingung gegeben, da die kinetische Energie der Relativbewegung zwischen Strahlelektronen und Phasengeschwindigkeit der Welle geringer ist als die Potentialbarriere der
Welle:
2e% m2 (v0 ; v)2 :
(6.57)
Wenn % die Amplitude der Welle ist, berucksichtigt der Faktor 2 den Potentialunterschied
zwischen Wellenberg und -tal. Eingefangen werden zunachst Strahlelektronen, die sich in
der Nahe eines Wellenberges be
nden (Abb. 6.10). Diese gefangenen Elektronen vollfuhren
eine periodische Oszillation mit der Frequenz !B im Wellenpotential (engl.: bounce oscillation). Die Frequenz dieser Oszillation lat sich abschatzen, wenn der Wellenberg durch
ein parabolisches Potential angenahert wird e%0 cos(kx) e%0(1 ; (1=2)k2 x2). Dann ist in
Analogie zum Hookschen Gesetz die Federkonstante D = e%0k2 und die Eigenfrequenz:
D = e%0k2 :
(6.58)
!B2 = m
m
Wir wissen aus der linearen Theorie, da der Abstand von Phasengeschwindigkeit der
Welle und Strahlgeschwindigkeit wie folgt skaliert (vgl. (5.54) ):
1=3 !pe
v0 ; !k = 21 2
(6.59)
k :
Dann ergeben sich aus (6.57), (6.58) und (6.59) die Bouncefrequenz !B und Bounceperiode
zu:
1=3
!B = 41 2 !pe
TB = (=42)1=3 Tpe :
(6.60)
6.2. TEILCHENSIMULATION
1e-2
1e-8
1e-1
1e-2 0
185
(a)
(b)
t/Plasmaperioden
140
Abbildung 6.11: (a) Exponentielles Wachstum der Feldenergie der Welle mit der Zeit. (b)
Kinetische Energie des Elektronenstrahls. Nach dem Einsetzen von trapping ndet ein
periodischer Austausch zwischen kinetischer Energie des Strahls und Wellenenergie statt.
Die elektrostatische Energie der Welle wachst, wie oben beschrieben zunachst exponentiell mit der Zeit (Abb. 6.11(a)), wie es von der linearen Theorie vorhergesagt war. Im
Moment des Teilcheneinfangs hort das Wachstum auf. Fur eine gewisse Zeit treten Oszillationen der Wellenenergie auf, die durch das Hin- und Herschwappen der gefangenen
Strahlelektronen im Potentialtopf bedingt sind. Dieser Energieaustausch ist am Wechselspiel zwischen Wellenenergie und Teilchenenergie (Abb. 6.11(b) ) ersichtlich. Letztlich
stellt sich eine komplizierte Wirbelbewegung der ehemaligen Strahlelektronen im Phasenraum ein.
Wir konnen einen Vergleich zwischen der Teilchensimulation und obigen Abschatzungen zum trapping durchfuhren, indem wir die Bewegung vom Zustand (d) zum Zustand
186
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
(i) in Abb. 6.10 als halbe bounce-Periode ansehen. Dann betragt die volle bounce-Periode
20 Plasmaschwingungen. Erwartet werden nach (6.60) fur die maximal instabile Mode
4=(0:01)1=3 = 23:4 Plasmaschwingungen. Dieses ist eine schone U bereinstimmung mit
den Abschatzungen aus der linearen Theorie, wobei der kleine Unterschied wieder den
periodischen Randbedingungen zugeschrieben werden kann.
6.3. AUFGABEN
6.3 Aufgaben
187
1. Zeigen Sie, da jede Funktion der Form g( 21 mv2 ; e%) Losung der Vlasovgleichung
@f + v @f ; e @ % @f = 0
@t @x m @x @v
ist.
2. Die Strahl-Plasma-Instabilitat sattigt sich durch Einfang von Strahlelektronen. Bei
welcher Wellenamplitude kame es zum Einfang von ruhenden Elektronen?
188
KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Kapitel 7
Randschichteekte in Plasmen
Das Interesse an einem quantitativen Verstandnis der Randschicht von Plasmen hat zwei
Wurzeln. Bereits 1925 hatte Langmuir 91] kleine zusatzliche Elektroden in das Plasma
eingebracht, um aus der Strom-Spannungscharakteristik Ruckschlusse auf Elektronendichte und -temperatur zu ziehen. Diese Technik, die als Langmuirsonden bekannt ist,
beruht auf den unterschiedlichen Elektronen- und Ionenussen zu einer Wand, deren Potential vom Plasmapotential verschieden sein kann. Die Nichtgleichgewichtseigenschaften
des Plasmas vor einer (leitenden oder dielektrischen) Wand sind in den letzten 15 Jahren
durch die Plasmatechnologie in den Vordergrund des Interesses geruckt. Hier ist man an
einer genauen Kenntnis der Ionenusse zur Wand und an der Ionenenergieverteilung beim
Auftreen auf die Wand interessiert. Derartige Fragen sind bedeutsam fur das anisotrope
A tzen von Halbleiterchips (vgl. Abschnitt 2.1.3) oder fur das Zerstauben (Sputtern) von
Metalloberachen durch Ionenbeschu.
7.1 Das Plasma vor einer leitenden Wand
Wir betrachten eine ebene leitende Wand bei x = 0 (Abb. 7.1) und ein Plasma, das den
Halbraum x < 0 ausfullt. Infolge der Debyeabschirmung konnen wir davon ausgehen,
da jenseits einer gewissen Entfernung d von der Wand die Quasineutralitat hergestellt
ist. Den Bereich ;d < x < 0, in dem groe Abweichungen von der Ladungsneutralitat
auftreten, nennen wir die Raumladungsschicht oder kurz die Schicht (engl.: sheath). Da
die Elektronen beweglicher sind als die Ionen, wird sich eine vom aueren Schaltkreis
isolierte Wand negativ auaden. Der im Gleichgewicht ieende Teilchenstrom zu dieser
Wand hangt von ihrem Potential ab. Das Potential im ungestorten Plasma wahlen wir
zu %(x ;d) = 0. Da wir an stationare Losungen des Raumladungsproblems suchen,
konnen wir Elektronentragheitseekte vernachlassigen. Diese wurden im wesentlichen zu
Schwingungen im Bereich der Plasmafrequenz fuhren, die uns aber hier nicht interessieren.
189
190
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.1: Geometrie des Randschichtproblems. Die Sondenoberache be
ndet sich
bei x = 0.
Daher kann das Elektronengas durch den Boltzmannfaktor beschrieben werden:
!
e
%(
x
)
ne(x) = ne0 exp k T :
(7.1)
B e
Dabei ist ne0 die Elektronendichte an einem Bezugsort mit % = 0. Fur ein negatives Potential %(x) beschreibt dieser Faktor gerade die Verdunnung der Elektronenkomponente.
Diese kommt dadurch zustande, da von den Elektronen innerhalb einer Maxwellverteilung, die bei Potential % = 0 losgelaufen sind, nur solche den Ort x erreichen konnen,
deren kinetische Energie groer ist als die Potentialbarriere ;e%(x). Nehmen wir an, da
das Wandpotential stark negativ ist (j%(0)j kB Te=e). Dann ndet diese Elektronenverdunnung im wesentlichen am linken Rand der Schicht statt. Folglich ist der restliche
Teil der Raumladungsschicht fast ausschlielich von Ionen bevolkert, die sich im freien
Fall auf die negative Wand zu bewegen. Ihre Geschwindigkeit in der Schicht erhalten wir
aus dem Energiesatz:
1 m u2(x) + e%(x) = 1 m u2(;d) + e%(;d)
2 i i
2 i i
(7.2)
7.1. DAS PLASMA VOR EINER LEITENDEN WAND
mit ui(;d) = u0 zu
191
!1=2
2
e
%(
x
)
(7.3)
ui(x) = u ; m
i
wobei %(;d) gegenuber %(x) als betragsmaig klein vernachlassigt wird. Die lokale Ionendichte ergibt sich aus der Kontinuitatsgleichung fur eine stationare Ionenstromung
(@=@t = 0), fur die wir zusatzlich annehmen, da keine Erzeugungs- oder Vernichtungsprozesse auftreten. Letztere Annahme ist fur die Schicht vor der Sonde gerechtfertigt. In
der Kathodenschicht sind dagegen die Erzeugungsprozesse nicht vernachlassigbar.
@ n (x)u (x)] = 0
@x i i
ni(x)ui(x) = ni(;d)u0
(7.4)
Die Beschleunigung der Ionen fuhrt also zu einer Verdunnung der Ionenkonzentration in
der Schicht:
"
#;1=2
2
e
%(
x
)
:
(7.5)
ni(x) = ni(;d) 1 ; m u2
i 0
Um eine selbstkonsistente Losung des Raumladungsproblems zu erhalten, losen wir die
Poissongleichung unter Berucksichtigung der Elektronen- und Ionenraumladung in der
Schicht:
0%00 = e(ne ; ni8)
9
< e%(x) ! 2e%(x) !;1=2=
= ene(;d) :exp k T ; 1 ; m u2
(7.6)
!:
B e
i 0
2
0
Den Bezugsort x = ;d nennen wir die Schichtkante. Wir werden im folgenden die Eigenschaften der Elektronen und Ionen an diesem Bezugspunkt ableiten.
7.1.1 Bohm-Kriterium
Zunachst wollen wir die Frage untersuchen, unter welchen Bedingungen das Raumladungsproblem (7.6) physikalisch sinnvolle Losungen besitzt. Dieser Typ von Dierentialgleichung ist uns bestens gelau
g, wenn wir einen Vergleich zur Bewegung eines Teilchens
im Potentialtopf herstellen:
(7.7)
r = ; @V@r(r)
0%00 = ; @ 2(%)
(7.8)
@% :
Die Groe 2(%) heit Pseudopotential, Sagdeevpotential 92] oder klassisches Potential.
Die Entsprechungen zwischen 2 und V sind in der Tabelle 7.1 zusammengestellt.
192
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Variable Raumladungsproblem Variable Mechanik
%
el. Potential
r
Bahnkurve
x
Ortsvariable
t
Zeit
2
Pseudopotential
V
mech. Potential
Tabelle 7.1: Vergleich des Raumladungsproblems mit einer Bahnkurve im Potentialtopf
Die Eigenschaften der Losung der Poissongleichung konnen wir also anhand der Analogie zum mechanischen Fall diskutieren. Dabei gibt es stabile und instabile Formen der
Ruhelage der Kugel im Potential, wie Abb. 7.2 zeigt. Eine Gleichgewichtslage ndet die
Abbildung 7.2: Stabilitat der Ruhelage einer Kugel im Potentialtopf.
Kugel an den Extremalpunkten (V 0 = 0). Fur ein Potential (V 00(0) > 0) ist dieses Gleichgewicht stabil, wahrend fur V 00(0) < 0 eine Storung der Nullage zu einem weiteren Anwachsen der Storung fuhrt (Instabilitat).
Zur Diskussion des Pseudopotentials fuhren wir normierte Variable = x=D und
= ;e%=kB Te ein. Die verwendete Debyelange entspricht den Bedingungen an der
7.1. DAS PLASMA VOR EINER LEITENDEN WAND
193
Schichtkante: 2D = 0kB Te=ne (;d)e2. Dann lautet die Poissongleichung:
d2 = 1 + 2 ;1=2 ; e; = ; @ 2() :
(7.9)
d 2
M2
@
Darin ist M = (miu20=kB Te)1=2 = u0=Cs das Verhaltnis aus der Ionengeschwindigkeit an
der Schichtkante und der ionenakustischen Geschwindigkeit. Wir nennen daher M die
Machzahl. Das Pseudopotential konnen wir direkt durch Integration von (7.9) gewinnen:
"
1=2 # 2
2
2() = ;M 1 +
; 1 + e; ; 1 :
(7.10)
M2
Der Verlauf dieses Pseudopotentials ist in Abb. 7.3 dargestellt. Fur Werte M < 1 bildet sich ein Maximum, das hoher liegt als das Pseudopotential bei = 0, das wir als
Bezugspunkt auerhalb der Schichtkante heranziehen. Im mechanischen Analogon wurde
die Kugel dann eine Ruhelage bei x = 0 annehmen& hier entsteht nur die Triviallosung
% = 0.
Im anderen Grenzfall M 1 gibt es nur ein Maximum bei = 0. Die Kugel im mechanischen Bild wurde den Berg beschleunigt herabrollen. Durch numerische Integration
erhalt man hier Potentiallosungen, die monoton auf das negative Wandpotential zulaufen.
Das ist gerade die gewunschte Potentiallosung in der Schicht. Fur M 1 gibt es also
Losungen, die die Form des unten diskutierten Child-Langmuirgesetzes annehmen (vgl.
Abschnitt 7.1.2).
Diese Betrachtung zum Losungsverhalten der Poissongleichung liefert das Bohmkriterium:
M1:
(7.11)
Es besagt, da die Ionen an der Schichtkante x = ;d bereits auf (mindestens) die Ionenschallgeschwindigkeit beschleunigt sein mussen. Wenn das nicht der Fall ist, wird das
Ionengas beim freien Fall auf die negative Wand so stark verdunnt, da nahe der Schichtkante die Ionendichte unter die Elektronendichte sinkt. Dann tritt dort aber { gema der
Poissongleichung { eine 'falsche' Krummung des Potentials auf, die unserer Forderung
nach einer elektronenabstoenden Schichtlosung widerspricht. Es ist aber nicht erforderlich, da die Machzahl den Schwellwert wesentlich uberschreitet, so da die Ungleichung
(7.11) in der Praxis auch als Gleichung gelesen werden kann.
Weiterhin bedeutet die Bedingung, da die Ionen an der Schichtkante bereits die Machzahl M = 1 erreicht haben sollen, da in der Randzone des Plasmas fur x < ;d bereits
ein elektrisches Feld existiert, das die Ionen auf diese Geschwindigkeit beschleunigt. Folglich wird das Potential an der Schichtkante %(;d) auch bereits geringfugig negativ gegenuber dem Plasmapotential im ungestorten Plasmabereich sein. Der Bereich auerhalb
der eigentlichen Raumladungsschicht, in dem die Ionenbeschleunigung statt
ndet, heit
Vorschicht (engl. presheath). Ihre Abmessung ist etwa durch die freie Weglange fur Impulsverlust der Ionen gegeben. Da die Ionenbewegung innerhalb der letzten freien Weglange
194
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.3: (links) Pseudopotential der Raumladungsschicht, fur M < 1 bildet sich
ein Maximum. (rechts) Normierter Potentialverlauf. Fur M < 1 tritt nur die triviale
Losung % = 0 der Poissongleichung auf, fur M 1 ergibt sich der U bergang zum
Child-Langmuirgesetz.
als stofrei betrachtet werden kann, lat sich das Potential an der Schichtkante aus M 1
abschatzen zu:
%(;d) ; 21 kBeTe :
(7.12)
Man sieht das Plasma in der Vorschicht x < ;d noch als hinreichend quasineutral an,
um mit ne ni rechnen zu konnen. Damit wird die Elektronendichte an der Schichtkante
durch den Boltzmannfaktor abschatzbar:
ne (;d) ne0 exp(; 21 ) 0:61ne0 :
(7.13)
Fur eine ausfuhrliche Diskussion des U bergangs von der Vorschicht zur Raumladungsschicht sei auf den Review von Riemann 100] verwiesen.
7.1.2 Child-Langmuir Gesetz
Den Verlauf des Potentials in der Schicht gewinnt man durch Integration von (7.6) nach
Multiplikation mit %0. Wir rechnen unter Verwendung des im vorigen Abschnitt eingefuhr-
7.1. DAS PLASMA VOR EINER LEITENDEN WAND
ten Pseudopotentials:
195
0
0%0%00 = ; @@2
%%
(
Zx d 1 Z x) @ 2
0
2
0 dx 2 % dx = ;
d%
@
%
;d
(;d)
1 %02(x) ; %02(;d) = ; 1 f2%(x)] ; 2%(;d)]g :
(7.14)
2
0
Die elektrische Feldstarke ist an der Schichtkante gering gegenuber den Feldstarken innerhalb der Schicht, so da %02(;d) 0 gesetzt werden darf. Fur groes negatives Potential
an der Wand ;e%(0) kB Te gibt es (bis auf eine schmale Zone an der Schichtkante)
praktisch keine Elektronen mehr in der Schicht, so da wir das Pseudopotential annahernd
allein aus der Ionenraumladung berechnen konnen:
!1=2
!1=2
2
e
%
2
2 ;2e%
2 = ;ne(;d)miu0 1 ; 2
;ne (;d)miu0 m u2
:
(7.15)
miu0
i 0
wobei der letzte Naherungsschritt der oben gemachten Voraussetzung folgt. Konsequenterweise setzen wir dann auch %(;d) = 0 und vernachlassigen 2%(;d)]. Damit losen wir
die DGl. (7.14) in der Form:
!1=2
2
n
e (;d)u0
0
% =
(2emi)1=4(;%)1=4
0
!
d% = 2ne (;d)u0 1=2 (2em )1=4dx
i
(;%)1=4
0
!1=2
(
Zx
Z x) d%
2
n
e (;d)u0
1= 4
=
(2emi)
dx
1=4
(%)
0
0
;d
!1=2
4 ;%(x)]3=4 = ; 2ne (;d)u0 (m e)1=4(x + d) :
(7.16)
i
3
0
Hieraus folgt die Gestalt des Potentialverlaufs in der Raumladungsschicht als:
%(x) / (x ; (;d))4=3 :
(7.17)
Wahlen wir x = 0 und ;%(0) = U , so wird die Stromdichte der Ionen:
p 1=2 3=2
4
U :
ji = ne (;d)u0e = 9 2 0 me
(7.18)
d2
i
Dieses ist das Child-Langmuir-Gesetz fur den raumladungsbeschrankten Ionenstrom.
Es wurde ursprunglich fur den Elektronenstrom in Vakuumdioden formuliert 88, 89,
90] und zeigt den bekannten Anstieg des Stroms mit der Potenz U 3=2 der angelegten
Spannung.
196
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
7.2 Die Langmuirsonde
Wir denken uns eine zusatzliche (ebene) Elektrode in das Plasma eingebracht, deren
Flache klein gegenuber den Elektrodenachen ist, soda der zur Sonde ieende Strom
das Entladungsgeschehen nicht wesentlich verandert.
Langmuirsonden betreibt man in der Schaltung gema Abb. 7.4.
Abbildung 7.4: Schaltung zur Messung von Sondenkennlinien.
Bei Variation der Sondenspannung gegenuber dem Potential des ungestorten Plasmas in der Sondennahe wird der durch die Sonde ieende Strom aufgezeichnet. Man
unterscheidet drei Bereiche in der I (U )-Kennlinie der Sonde (Abb. 7.5):
A Den Ionensattigungsbereich fur stark negative Sondenspannung gegenuber
dem Plasma. Hier iet nahezu kein Elektronenstrom zu der stark negativen Sonde.
B Den Elektronenanlaufstrom.
C Den Elektronensattigungsstrom fur positive Sondenspannung gegenuber
dem Plasma. Hier wird der Sondenstrom fast nur von Elektronen getragen.
Den Punkt, an dem der Sondenstrom Null wird, bezeichnet man als Schwebepotential& gebrauchlicher ist der englische Ausdruck oating potential. Der U bergangspunkt zum Elektronensattigungsbereich liegt beim Plasmapotential, da hier die Sondenspannung gleich
7.2. DIE LANGMUIRSONDE
197
Abbildung 7.5: Kennlinien von Langmuirsonden fur ebene, Zylinder- und Kugelsonden.
Man unterscheidet Ionensattigungsbereich, Elektronenanlaufbereich und Elektronensattigungsbereich. Aus historischen Grunden wird der Elektronenstrom als positiv aufgetragen.
dem Potential des umgebenden Plasmas ist und die Elektronenabstoung gerade verschwindet.
7.2.1 Elektronensattigungsbereich der ebenen Sonde
Die Berechnung des Elektronensattigungsstroms zu einer ebenen Sonde wollen wir uns
anhand der Abb. 7.6 klarmachen. Die Sonde habe das gleiche Potential wie das Plasma.
Dann konnen die Elektronen die Sonde allein aufgrund ihrer thermischen Bewegung erreichen. Da der Ionenstrom viel kleiner ist, wird er hier vernachlassigt. Ein am Plasmarand
startendes Elektron (innerhalb einer Maxwellverteilung von Geschwindigkeiten) tragt
nur mit seiner zur Sondenoberache senkrechten Geschwindigkeitskomponente bei. Wenn
der Geschwindigkeitsvektor des Elektrons einen Winkel zur Sondennormalen bildet, ist
sein Beitrag zum Strom ;eneve cos . Dann ist der Gesamtstrom zur Sonde:
!1=2
1
8
k
B Te
jesat = ; 4 ene m
:
(7.19)
e
Der Faktor 1/4 setzt sich aus zwei Faktoren 1/2 zusammen, von denen der eine berucksichtigt, da nur die Halfte der Elektronen in der Maxwellverteilung, namlich diejenigen,
198
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.6: Zur Berechnung des Elektronensattigungsstroms.
die auf die Sonde zulaufen, zum Strom beitragt. Der andere Faktor 1/2 ist der Mittelwert des cos2 . Ein weiterer Faktor cos tritt namlich in der Rechnung auf, da zwar der
Strom pro Raumwinkel konstant ist, die Flache die der Raumwinkel 'ausleuchtet' aber
mit 1= cos wachst (Abb. 7.6)
Der Ausdruck in der Klammer ist die korrekte mittlere thermische Geschwindigkeit.
Man beachte den Faktor 8= anstelle der 2, die in der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit
auftritt und die wir meist lax als thermische Geschwindigkeit bezeichnen.
Macht man das Sondenpotential positiv, so entsteht vor der ebenen Sonde eine an
Ionen verarmte Raumladungsschicht. Die thermischen Elektronen starten dann an der
Schichtkante und werden im freien Fall beschleunigt. Solange aber keine Erzeugungs- oder
Verlustprozesse in der Raumladungsschicht statt
nden, bleibt der Teilchenu zur Sonde
erhalten und der Elektronensattigungsstrom ist der gleiche wie beim Plasmapotential.
Dies gilt, solange die Geometrie im strengen Sinne eben ist. Fur die Zylinder und Kugelsonde steigt der Elektronensattigungsstrom mit der Sondenspannung (vgl. Abschnitt
7.2.5). Auch die ebene Sonde kann durch Verletzung der ebenen Geometrie am Rande der
Sonde einen Anstieg des Sattigungsstroms mit der Spannung erfahren. Dieser Storeekt
lat sich durch einen Schutzring um die Sonde mit gleichem Potential minimieren.
Der Elektronensattigungsstrom gibt uns also unmittelbar Auskunft uber das Produkt
ne Te1=2. Wenn die Plasmatemperatur nicht stark variiert, benutzt man den (ortlichen) Verlauf des Sattigungsstroms unmittelbar als ungefahres Ma fur das Elektronendichtepro
l.
7.2. DIE LANGMUIRSONDE
199
Wenn die Temperaturvariation bekannt ist, kann man im Prinzip eine noch genauere
Bestimmung des Dichtepro
ls gewinnen.
7.2.2 Ionensattigungsstrom
Im Fall der sehr stark negativen Sonde iet zur Sonde nur ein Ionenstrom. Dieser ist aber
im Unterschied zum Elektronensattigungsstrom nicht durch die thermische Geschwindigkeit der Ionen gegeben, sondern durch das Bohmkriterium, das den Ionen bereits die
gerichtete ionenakustische Geschwindigkeit gibt:
!1=2
k
B Te
jisat = 0 61ne e m
:
(7.20)
i
Darin berucksichtigt der Faktor 0,61 die Verdunnung des Plasmas an der Schichtkante.
Der Ionensattigungsstrom ist ebenfalls sehr beliebt zur Elektronendichtemessung, da
er wie der Elektronensattigungsstrom die Proportionalitat zu ne Te1=2 besitzt. Er stellt wegen seiner Kleinheit gegenuber dem Elektronenstrom i.d.R. eine geringere Storung des
Plasmas dar. Es kommt aber vor, da die Ionenmasse infolge von Verunreinigung oder
Bildung von molekularen Ionen nicht genau genug bekannt ist, um eine prazise quantitative Auswertung der Dichte vorzunehmen. Allemal liefert die ortliche Variation des
Ionensattigungsstroms einen guten Schatzwert fur das Dichtepro
l.
7.2.3 Elektronenanlaufbereich
Im Elektronenanlaufbereich zur ebenen Sonde gelten dieselben U berlegungen wie im Sattigungsbereich, nur da jetzt nur noch der Teil der Elektronen die Sonde erreicht, dessen
Normalgeschwindigkeit hinreichend gro ist, um die Potentialbarriere zu uberwinden. Der
Reduktionsfaktor der Elektronen, die die Sonde erreichen, ist gerade wieder der Boltzmannfaktor:
!
e
(
U
;
%
p)
je (U ) = jesat exp k T
:
(7.21)
B e
wobei %p das Plasmapotential ist, und (U ; %p) < 0. Gleichzeitig iet zur Sonde der im
vorigen Abschnitt beschriebene Ionensattigungsstrom, so da der Gesamtstrom zur Sonde
die Summe j = je(U ) + jisat ist.
Aus dem Verlauf der Kennlinie lat sich die Temperatur Te folgendermaen gewinnen
(Abb. 7.7):
(7.22)
ln ;je(U )] = ln(jisat ; j ) = e(Uk ;T%p) + ln(;jesat) B e
d.h. sie ergibt sich aus der Steigung eines logarithmischen Plots des um den Ionenstrom
korrigierten Sondenstroms gegen die Sondenspannung.
200
(a)
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
(b)
Abbildung 7.7: (a) Gemessene Sondenkennlinie. Der Elektronenstrom wird als positiv
aufgetragen. (b) Logarithmische Auftragung des um den Ionenstrom korrigierten Sondenstroms. Zur Temperaturbestimmung wird der in dieser Darstellung lineare Teil der
Kennlinie benutzt.
7.2.4 Das Floatingpotential
Der Nulldurchgang der Kennlinie erfolgt beim Floatingpotential %float, das durch ji =
;je(%float) de
niert ist:
!1=2 !
1 kB Te !1=2
1
8
k
e
(%
B Te
float ; %p )
exp ; 2 m
= 4 m
exp
kB Te
i
e
(
)
e(%p ; %float) = ln 0 658 mi 1=2 kB Te
me
(7.23)
d.h. das Floatingpotential ist (je nach Ionenmasse) ca. um (3;5)kB Te=e negativ gegenuber
dem Plasmapotential.
7.2. DIE LANGMUIRSONDE
201
7.2.5 Zylinder und Kugelsonden
In der Praxis werden Langmuirsonden gern in Form von dunnen Drahten aus hochschmelzenden Metallen (z.B. Wolfram) gefertigt, um die Oberache gering zu halten.
Eine solche Konstruktion mit Keramikisolation und koaxialer Abschirmung zeigt Abb.
7.8. Aus methodischen Grunden kann die Sonde auch Kugelsymmetrie haben. Derartige
Sonden fertigt man aus sehr feinem Silberdraht (50 m), der durch Schmelzen in einer
heien Flamme einen Tropfen mit dunnem Stiel bildet. Die Oberachenspannung des
ussigen Silbers gibt ihm eine nahezu perfekte Kugelgestalt, wobei ca. 1mm Durchmesser
ein ublicher Kompromi ist.
Abbildung 7.8: Konstruktion von Zylindersonden und Kugelsonden.
Wenn die Debyeabschirmlange noch klein gegen den Sondenradius rs ist, kann die
Abschirmschicht als hinreichend eben betrachtet werden, um zur Auswertung der Kennlinien von Kugel- oder Zylindersonden das oben beschriebene Modell der ebenen Sonde
heranzuziehen. Fur den Grenzfall D rs steigt der Sattigungsstrom gegenuber dem
Sattigungsstrom jesat der ebenen Sonde um einen Korrekturfaktor (Abb. 7.5):
s
(7.24)
jezyl = jesat 1 + ke%T
B e
202
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
jekug = jesat 1 + ke%T (7.25)
B e
Der physikalische Grund fur diesen Anstieg liegt nunmehr in moglichen Umlaufbahnen der
Ladungstrager um die Sonde (orbital motion limit 91, 93]), die zu einer Vergroerung des
Einzugsbereichs der Sonde mit zunehmender Saugspannung fuhrt. Fur dazwischenliegende
Falle hat Laframboise 94] den normierten Verlauf des Sondenstroms in gra
scher Form
angegeben.
7.2.6 Praktische Betrachtungen
Die Bestimmung von Elektronentemperatur und Dichte geschieht in drei Schritten, die
wir am Beispiel der ebenen Sonde diskutieren. Zunachst wird der Ionenstrom durch Anpassung einer Geraden an die Kennlinie im Bereich stark negativer Spannungen festgelegt.
Fur eine ideale Sonde ist diese horizontal. In der Praxis hat sie aber oft eine geringe Steigung durch Randeekte oder eine Resistivitat des Plasmas. Der Elektronenstrom ergibt
sich als Dierenz des Sondenstroms zu dieser Modellfunktion des Ionenstromverlaufs. (Im
Fall der Zylinder- oder Kugelsonde wird das Laframboisemodell iterativ angepat). Die
Elektronentemperatur ergibt sich dann aus der Steigung einer logarithmischen Auftragung
des Elektronenstroms gegen die Sondenspannung. Fur die Elektronendichtebestimmung
kann der Wert des extrapolierten Ionenstroms beim Plasmapotential (7.20) herangezogen werden. Zum Vergleich ist es sehr zu empfehlen, auch den Elektronenstrom beim
Plasmapotential (7.19) zu verwenden.
7.2.7 Messung der Verteilungsfunktion
Die Diskussion der Langmuirsonde hatte sich bisher auf den Fall einer Maxwellverteilung der Elektronen beschrankt. Diese Situation ist aber eher die Ausnahme denn die
Regel in Gasentladungen und die in einem solchen Fall aus der mittleren Steigung des logarithmierten Sondenstroms resultierende Temperatur gibt nur einen groben Anhaltspunkt
uber die Plasmaverhaltnisse. Keinesfalls ist es gerechtfertigt, aus einer solchen Temperatur
inelastische Storaten zu bestimmen, da diese ausschlielich von den hochenergetischen
Elektronen bewirkt werden, bei denen die Darstellung durch die Maxwellverteilung i.d.R.
um Groenordnungen falsch sein kann.
Daher ist es sinnvoll und notwendig, den Elektronenanlaufstrom zur Sonde nochmals
unter dem Gesichtspunkt einer beliebigen Geschwindigkeitsverteilung zu diskutieren und
praktische Verfahren zur Messung der Verteilungsfunktion herzuleiten.
Im Falle eines negativen Sondenpotentials erreichen nur solche Elektronen die Sonde,
deren Normalgeschwindigkeit vz die Potentialbarriere zu uberwinden erlaubt :
m v2 > eU (7.26)
s
2 z
7.2. DIE LANGMUIRSONDE
203
wobei Us der Betrag des Sondenpotentials in Bezug auf das Plasma ist. Dieses ergibt
bei gegebenem Geschwindigkeitsbetrag v eines Elektrons an der Schichtkante eine Beschrankung fur den Startwinkel (vgl. Abb. 7.9):
m (v cos )2 > eU :
(7.27)
s
2
Abbildung 7.9: Einu des Startwinkels auf das Erreichen der ebenen Sonde im Elektronenanlaufbereich.
Der Elektronenanlaufstrom zur ebenen Sonde bei einer gegebenen Sondenspannung
Us kann somit durch Aufsummierung aller Beitrage in Kugelkoordinaten und Berucksichtigung dieser Grenzen formuliert werden:
Z(v)
Z2 Z1
2
(7.28)
je = ;e d' v dv sin dff (v )v cos g 0
vmin
0
wobei vmin = (2eUs=m)1=2 die Grenzgeschwindigkeit und (v) = arccos(vmin=v) der Maximalwinkel der Integration ist. Wir wollen nur den Fall einer isotropen Geschwindigkeitsverteilung weiterverfolgen, die nicht von abhangig ist. Wir andern unsere Notation,
indem wir die Geschwindigkeitsverteilung in Spannungseinheiten umrechnen, d.h. U ist
die kinetische Energie des Elektrons in Volt-Einheiten:
q
~f (U ) = f 2eU=m
(7.29)
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
204
und substituieren dementsprechend im Integral U = mv2=2e und dU = (m=e)vdv. Damit
kann (7.28) wie folgt vereinfacht werden:
Z1
je = ;2e
vmin
3 Z1
e
= ; 4m
2
Us
Z1
v dvf (v)
3
U f~(U )dU
Z(v)
sin cos d
0
sin (v)
Z
q
xdx mit : sin (v) = 1 ; Us =U
0
dUU f~(U ) 21 1 ; UUs
= ; 4e2
m Us
3 Z1
e
= ;2 m2 (U ; Us)f~(U )dU :
Us
3
(7.30)
Die im Integranden dieses Ausdrucks vorkommende Verteilungsfunktion konnen wir durch
zweimalige Dierentiation nach der Sondenspannung Us isolieren. Dazu benutzen wir im
ersten Schritt die Regel:
(y)
(y)
d Z f (x y)dx = Z @f (x y) + 0(y)f ( (y) y) ; 0(y)f ((y) y)
dy (y)
@y
(y)
und erhalten:
(7.31)
81
9
>
>
Z
<
=
dje = ;2 e
~
~
;
f
(
U
)]d
U
;
(
U
;
U
)
f
(
U
)
(7.32)
s
s
s
>
| {z }
dUs
m2 >
:Us
!
=0
wobei sich der Beitrag von der unteren Integrationsgrenze aufhebt. Im zweiten Schritt
folgt:
d2je = ;2 e3 f~(U ) :
(7.33)
dU 2
m2 s
3
s
Die Bestimmung der zweiten Ableitung der Sondenkennlinie als Ma fur die Verteilungsfunktion wird als Druyvesteynmethode bezeichnet 95]. Man beachte, da die
Geschwindigkeitsskala nichtlinear gestaucht ist, und da man die wahre Geschwindigkeitsverteilung erst wieder nach Entzerrung des Volumenelements erhalt:
m 1=2
d
U
mv
~
~
~
f (v) = f (U ) dv = f (U ) e = f (U ) 2 e U
:
(7.34)
7.2.8 Verfahren zur Messung der Verteilungsfunktion
In der Praxis haben sich zwei Verfahren durchgesetzt:
7.2. DIE LANGMUIRSONDE
205
1. Die numerische Dierentiation. Hierbei ist der beim Dierenzieren ansteigende Rauschanteil der Medaten durch geeignete Glattung in ertraglichen Grenzen zu halten.
2. Die Modulationsmethoden. Diese nutzen die Mischung von Modulationssignalen an
der Sondenkennlinie und ltern den zur zweiten Ableitung proportionalen Anteil
heraus.
Den Aufbau eines Modulationsexperiments zeigt Abb. 7.10.
Abbildung 7.10: Modulationsverfahren zur Bestimmung der Verteilungsfunktion aus der
zweiten Ableitung der Sondenkennlinie
Wenn man der Sondengleichspannung UDC zwei Wechselspannungen U1 sin !1t und
U2 sin !2t kleiner Amplitude uberlagert so erhalt man den Elektronenstrom zur Sonde
durch Entwicklung in eine Taylorreihe und Benutzung der Additionstheoreme fur Winkelfunktionen zu:
Ie = Ie(UDC + U1 sin !1t + sin !2t)
h
i
= Ie(UDC ) + ddUIe U1 sin !1t + U2 sin !2t
s UDC
2 + 21 ddUI2e 21 U12 + U22 ; 12 U12 cos 2!1 t + U22 cos 2!2 t
s UDC
(7.35)
+U1U2 cos(!1 ; !2)t ; cos(!1 + !2)t 206
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
d.h. der Sondenstrom enthalt Fourierkomponenten, die proportional zur zweiten Ableitung der Sondenkennlinie sind. Das sind zum einen die Oberwellen bei 2!1 und 2!2 und
zum zweiten die Mischprodukte !1 ; !2 und !1 + !2. In der Praxis haben sich zwei
Methoden durchgesetzt: (1) der Nachweis der Oberwelle bei Modulation mit nur einer
Sinusspannung (second harmonic probe). Dieses ist technisch sehr einfach realisierbar,
krankt aber an der Erzeugung dieser Fourierkomponente an jeder anderen Nichtlinearitat
des Mesystems, wodurch der Dynamikbereich eingeengt ist. (2) Der Nachweis der Differenzfrequenz bei Modulation mit zwei Sinusspannungen. Die Dierenzfrequenz ist viel
leichter herauszu
ltern als die Summenfrequenz, die eng zwischen den Harmonischen 2!1
und 2!2 liegt.
Fur die sinnvollen Werte der Modulationsspannung ist zu berucksichtigen, da auch
eine Gleichrichtung statt
ndet, die durch die ersten beiden Summanden in den Termen
der zweiten Ableitung beschrieben wird. Dieser Eekt verringert das Auosungsvermogen.
Gebrauchlich sind in Laborplasmen Modulationsspannungen von ca. 100 mV.
Abbildung 7.11: Zweite Ableitung (obere Kurve) der Sondencharakteristik (untere Kurve)
als Ma fur die Verteilungsfunktion in Spannungseinheiten.
7.2. DIE LANGMUIRSONDE
207
Ein Beispiel fur die Messung der zweiten Ableitung nach dem Modulationsverfahren
in einer Wasserstoentladung zeigt Abb. 7.11 im Vergleich zur normalen Sondenkennlinie. Das Plasmapotential ist klar erkennbar als Nulldurchgang der zweiten Ableitung.
Bei hoheren negativen Sondenspannungen zeigen sich feine Strukturen. Peak 1 stellt die
Primarelektronen aus der Kathode dar, Peak 2 entspricht den thermischen Plasmaelektronen. Peaks 3 und 4 reprasentieren Elektronen, die superelastisch an angeregten Zustanden
des Wasserstomolekuls gestreut wurden 96].
7.2.9 Sondenmessungen in HF-Plasmen
In Hochfrequenzplasmen tritt das Problem auf, da das Plasmapotential in der Sondenumgebung im Takt der Hochfrequenz (meist 13.56 MHz) mit groer Amplitude uktuiert.
Dadurch erfolgt eine unerwunschte Mittelung uber die Kennlinie und die gemessenen
Temperaturwerte sind zu groeren Werten hin verfalscht. Daruberhinaus verschiebt sich
das Floatingpotential ins Negative. Dieser Eekt wird ebenfalls durch (7.35) beschrieben.
Vermeiden lat sich diese Gleichrichtung der HF an der Sondencharakteristik durch
Mitfuhrung der Sonde im Takt der Hochfrequenz 97, 98, 57]. Im einfachsten Fall geschieht
dies mit Hilfe einer ringformigen Hilfselektrode (Abb. 7.12), die wegen ihrer groeren
Schichtkapazitat die Schwankung des Floatingpotentials mit niedriger Impedanz auangt
und uber einen Koppelkondensator die eigentliche Mesonde mitfuhrt. Im Gleichstromweg der Mesonde ist eine Kombination von Sperrkreisen eingefugt, die auf die Grundfrequenz und Oberwellen der Hochfrequenz abgestimmt sind und die Hochfrequenz im
Mekreis unterdrucken. Diese HF-kompensierte Sonde lat sich dann wiederum durch
niederfrequente Modulation zur Messung der Verteilungsfunktion einsetzen. Ein Beispiel
dazu zeigt Abb. 7.12 99].
208
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.12: (oben) Aufbau einer HF-kompensierten Langmuirsonde. Durch die
ringformige Hilfssonde (8cm Durchmesser), die parallel zu den Platten der Entladung liegt
und durch Verwendung geeigneter Sperr
lter fur die Grundwelle und Oberwelle der HF
wird die eigentliche Mesonde im Takt der HF kapazitiv mitgefuhrt. (unten) Gemessene
Verteilungsfunktionen. Mit zunehmender Hochfrequenzleistung geht die Hochfrequenzentladung in das -Regime uber und bildet ein kaltes, rekombinationsbestimmtes Glimmlicht
7.3. RAUMLADUNGSDOPPELSCHICHTEN (*)
209
7.3 Raumladungsdoppelschichten (*)
Die Raumladungsdoppelschichten 102] stellen innere Grenzachen zwischen Plasmabereichen unterschiedlicher Eigenschaften dar. Sie sind ihrer Struktur nach das Analogon
zum pn-U bergang in Halbleitern, da beide durch eine bipolare Raumladungsstruktur charakterisiert sind. Wie Halbleiterbauelemente steuern sie den Stromu in Plasmen. Sie
treten in Entladungen insbesondere an Verengungen auf. Im Ionospharenplasma glaubt
man derartige Strukturen gefunden zu haben, die die Erzeugung hochenergetischer Teilchen oberhalb der Aurora bewirken 101], indem Teilchen kinetische Energie aus dem
Potentialsprung aufnehmen.
In dieser Einfuhrung wollen wir zunachst den einfachsten Fall der Langmuirschen
Doppelschicht naher betrachten, der von kalten Elektronen und Ionen ausgeht. In thermischen Plasmen gibt es einen groen Reichtum von sog. schwachen Doppelschichten
103, 104, 105], die hier aber nur an einem Beispiel beschrieben werden sollen.
7.3.1 Langmuirs starke Doppelschicht
Abbildung 7.13: Langmuirs starke Doppelschicht. (a) Auftreten der Raumladungsdoppelschicht zwischen zwei Plasmabereichen, (b) Langmuirs Annahme von elektronen- und
ionenemittierenden Flachen (Kathode bzw. Anode) zur Berechnung der Doppelschicht.
Langmuir's Betrachtungen 1] waren fur die Situation gedacht, da eine Elektronen
emittierende Kathode vor sich eine U berschuraumladung aufbaut, die durch den Rucku von Ionen aus dem Plasma zum Teil neutralisiert wird. Gesucht wird ein Kriterium
fur die Stabilitat solcher Systeme. Die benutzte Geometrie ist in Abb. 7.13 skizziert. Es
wird angenommen, da Elektronen an der Grenze x = 0 mit einem Teilchenu ;e in das
System eintreten und in dem Potential %(x) beschleunigt werden. Ebenso treten Ionen bei
210
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
x = L mit negativer Geschwindigkeit und dem Flu ;i (< 0) ein. Infolge des Energiesatzes
werden die Geschwindigkeiten:
q
ve = + ve20 + 2e%=me
(7.36)
q2
vi = ; vi0 + 2e(%0 ; %)=mi wobei die Eintrittsgeschwindigkeiten ve0 vi0 als klein angesehen werden. Die Elektronenund Ionenstromung kann als divergenzfrei angesehen werden, solange keine Erzeugung,
Vernichtung oder Anhaufung statt
ndet. Dann ergibt sich die Elektronen- bzw. Ionendichte aus den Flussen:
nei = ;ei =vei :
(7.37)
Mit diesen Beziehungen schreibt sich die Poissongleichung:
"
#
;
;
e
i
00
0% = e 2
;
:
(7.38)
(ve0 + 2e%=me)1=2 (vi20 + 2e(%0 ; %)=mi )1=2
Wir multiplizieren wieder mit %0 und integrieren von 0 bis x:
"
#
0 %0(x)2 ; %0(0)2 = ; m v2 + 2e% 1=2 ; v
(7.39)
e e
e0
e0 m
2
e
2
3
!1=2 1=2
2
e
(%
;
%)
2
e
%
; vi20 + m 0 5 :
;;imi 4 vi20 + m0
i
i
Wir setzen %0(0)2 = 0, da wir den Ort x = 0 als Rand eines quasineutralen Bereiches
ansehen wollen, fur den die Feldstarke verschwinden mu. Genauso soll die Feldstarke
bei x = L verschwinden. Wenn wir die Injektionsgeschwindigkeiten als reprasentativ fur
die thermische Geschwindigkeit der Elektronen bzw. fur die Bohmgeschwindigkeit der
Ionen ansehen, durfen wir im Grenzfall starker Potentialsprunge e%0 kB Te den Limes
ve0 ! 0 und vi0 ! 0 bilden. Hieraus ergibt sich das Langmuirkriterium der starken
Doppelschicht:
;i me 1=2
=
:
(7.40)
;e
mi
Das bedeutet, da die durch die Raumladung beschleunigten Ladungstrager gleichermaen
zur Raumladung beitragen. Die Forderung nach Verschwinden der Feldstarke bei x = L
ist also gleichbedeutend mit der makroskopischen Neutralitat der Doppelschicht:
Z
e
E (L) = E (0) + (ni ; ne )dx :
(7.41)
0
7.3. RAUMLADUNGSDOPPELSCHICHTEN (*)
211
7.3.2 Schwache Doppelschichten
Langmuir's Losung des Doppelschichtproblems hat die Geschwindigkeitsverteilung der
Elektronen und Ionen auer acht gelassen. Bei endlicher Teilchentemperatur kommt es
nunmehr dazu, da der niederenergetische Teil der Verteilung an der Potentialbarriere
reektiert wird. Dies gilt fur die Elektronen auf der Hochpotentialseite und fur die Ionen
auf der Niederpotentialseite. Damit gibt es vier Populationen von Teilchen, die bei der
Berechnung der Potentialstruktur berucksichtigt werden mussen:
1. Freie Elektronen, die von der Hoch- zur Niederpotentialseite stromen konnen,
2. gefangene Elektronen, die zur Hochpotentialseite reektiert werden
3. freie Ionen, die von der Nieder- zur Hochpotentialseite stromen konnen und
4. gefangene Ionen, die zur Niederpotentialseite reektiert werden.
In der ersten Spalte von Abb. 7.14 sind die Potentialkontur, die Phasenraume und Dichtepro
le der verschiedenen Teilchenpopulationen fur den Fall der starken Doppelschicht
dargestellt. Die Spalten zwei und drei zeigen die Verhaltnisse fur zwei Arten von schwachen
Doppelschichten 103].
Man spricht von einer schwachen Doppelschicht, wenn der Potentialsprung mit der
Elektronentemperatur vergleichbar ist e%0 kB Te. Da die Teilpopulationen nicht mehr
von einander getrennt bleiben, ist eine Berechnung mit Hilfe des Fluidmodells nicht
moglich. Stattdessen wird dieses System in der kinetischen Theorie durch je eine VlasovGleichung fur die Elektronen und Ionen und die Poissongleichung beschrieben.
212
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.14: Vergleich der starken Doppelschicht (a) mit zwei Typen schwacher Doppelschichten (b,c). Von oben nach unten: Potentialstruktur, Ionenphasenraum, Elektronenphasenraum, Konzentration der freien Teilchen sowie Gesamtkonzentrationen.
7.4. AUFGABEN
7.4 Aufgaben
213
1. Unter einer Doppelsonde versteht man zwei Einzelsonden, die in der Nahe des Floatingpotentials betrieben werden und uber eine externe Spannungsquelle verbunden
sind, die eine Dierenzspannung zwischen den beiden Sonden erzeugt. Das Plasmapotential in der Nahe der beiden Sonden soll gleich gro sein. Berechnen Sie die
Kennlinie I (U ) dieser Doppelsonde, indem Sie die Serienschaltung zweier ebener
Einzelsonden heranziehen.
2. Eine ebene Einzelsonde wird uber einen Trennkondensator mit Wechselspannung
der Amplitude U bei niedriger Frequenz gespeist (Modulationsmethode), so da
die weiteren Betrachtungen anhand der statischen Kennlinie durchgefuhrt werden
konnen. Nehmen Sie an, da nach einiger Zeit, in der die Einschaltvorgange abgeklungen sind, der mittlere Strom uber eine Periode gleich Null ist. Welche mittlere
Gleichspannung baut sich dann in dem Kondensator auf?
214
KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Anhang A
Losungshinweise zu den Aufgaben
Aufgaben zu Kapitel 1
1. Durch Dierenzieren zeigt man sofort, da
@ 2 + 2 @ ; 1 = 0
@r2 r @r 2D
fur r > 0 gilt. Die Normierung der Losung erhalt man durch Anwendung des Gauschen
Satzes auf eine kleine Kugel um den Ursprung:
Z
r% dS = ; Q
0
2. Benutze dE=dx = nee=0, also
E (x) = ne e x also : %(De ) = 21 ne e 2De = k2BeT
0
0
3. Die Grenze zur Nichtidealitat ist gegeben durch:
!3=2
!3
0kB T
ne e2n
= 1 also : ne = 0ek2B T 3
e
Die Entartungsgrenze ergibt sich aus:
9=2
3=2
n;e 1=3 = 2m (2kh T =m )1=2 zu : ne = (2) (hm3 ekB ) T 3=2
e
B e e
Aufgaben zu Kapitel 2
1. Nullsetzen der ersten Ableitung ergibt:
!
m 3=2 mv2 ! 3
d
f
mv
exp ; 2k T 2v ; k T
0 = dv = 4 2k T
B
B
B
215
216
ANHANG A. LOSUNGSHINWEISE
ZU DEN AUFGABEN
Notwendig ist das Verschwinden der rechten Klammer, aus der die gesuchte Eigenschaft
vw = 2kB T=m folgt.
2. Das erste Moment der Maxwellverteilung kann direkt integriert werden:
Z1 4 v 3 " v 2#
Z1
4
vw = 1=2 v exp ; v
dv = 1=2 vw x3e;x2 dx = 21=2 vw
w
w
0
0
q
woraus vw = 8kB T=m folgt.
3. Hinweis: Benutze das Integral
Z1
x4e;x2 dx = 38 1=2
0
4. Einsetzen des Ansatzes in die Bewegungsgleichung ergibt:
mmv0 ; i!v0 = ;eE
!
eE
1
eE
m + i!
v0 = ; m ; i! = ; m 2 + !2
m
m
Hieraus ergeben sich die Grenzfalle v0 = ;eE=mm = ;E fur ! m, d.h. das Resultat fur den Gleichstromfall und v0 = ;ieE=!m fur ! m, d.h. im Hochfrequenzfall sind Strom und Spannung um ' = 90o phasenverschoben. Allgemein ist tan ' =
Im(v0)=Re(v0) = !=m .
5. Mit dem Separationsansatz n(r t) = n(r)T (t) ergibt sich die zeitabhangige Diusionsgleichung zu:
!
1 @T ; 1 D 1 @ r @n = 0
T @t n a r @r @r
Wegen der Unabhangigkeit der Variablen T und n mu jeder der Summanden konstant
sein, also T 0=T = ;1= , woraus T / e;t= folgt und fur das Dichtepro
l die Dierntialgleichung folgt:
!
n + D 1 @ r @n = 0 :
a
r @r @r
p
Mit der Normierung x = r= Da nimmt letztere die Form der Besselschen DGl. der
Ordnung 0 an:
@n + 1 @n + n = 0 @x2 x @x
deren Losung die Besselfunktionp J0(x) ist. Aus der Bedingung, da die Elektronendichte
bei r = a verschwindet, folgt a= Da = 2 401 also wird die Abklingzeit = a2=2 4012 Da.
6. Hier ergibt sich wiederum die Besselsche DGl. fur J0
@n + 1 @n + n = 0 @x2 x @x
217
q
mit x = r i=Da . Das Dichtepro
l ist also
r
n(r) = n(0)J0 2 401
a
q
Die erforderliche Ionisationsrate ist dann durch 2 401 = a i=Da festgelegt. Man beachte
die Parallele zur Zerfallskonstanten in Aufgabe 5.
Aufgaben zu Kapitel 3
1.a) In Koordinaten ergibt sich sofort:
vx = E + !c vy
m
!
c
vy = ; vx
m
Lost man diese gekoppelten Gleichungen nach den Geschwindigkeitskomponenten auf:
vx = 1 +(m=!=!c )2 E
m c B
E
vy = ; 1 + (1 =! )2 B
m
c
Die transversale Geschwindigkeit vy entspricht fur niedrige Stofrequenz der E B Geschwindigkeit. Die dem E-Feld parallele Geschwindigkeit vx durchlauft ein Maximum
bei m=!c = 1.
1.b) tan() = vy =vx = !c =m
1.c) m = navthe = 3102210;19 4105s;1 =1,2 GHz. Die Gasdichte entspricht etwa 1 mbar
Fulldruck bei Raumtemperatur. !c = 1:761011 rad/s B /T. Also Bkrit = 1 2109=1:761011
T = 0.0068 T. Der Elektronenstrom in einer Gasentladung kann also durch Magnetfelder
der Groenordnung 0.01 T (=100 Gau) merklich beeinut werden.
1.d) Fur Wasserstoonen ist mi = 3 102210;19 4 105s;1 = 1,2 MHz. !ci = 9 6 107 rad/s
B /T. Also Bkrit = 0:013T. Wenn die Ionentemperatur anstelle von Raumtemperatur der
der Elektronen entsprache, ware die Stofrequenz und folglich das kritische Magnetfeld
um ca. einen Faktor 6 groer.
Aufgaben zu Kapitel 4
1. Man addiere die Impulstransportgleichungen (4.33) und fasse zusammen. Die elektrische
Feldkraft verschwindet wegen der Neutralitat. Ebenso kann der Impulsubertrag zwischen
Elektronen und Ionen den Gesamtimpuls nicht andern.
ANHANG A. LOSUNGSHINWEISE
ZU DEN AUFGABEN
218
Abbildung A.1: Driftgeschwindigkeiten in gekreuzten Feldern mit Stoen.
2. Der Staudruck ist im wesentlichen durch die Protonen gegeben und wird durch den
magnetischen Druck balanciert:
;6
2
2 B
B
r
2
0
npmpv = 2 = 2 r
0
0
E
Somit liegt der Staupunkt bei:
!1=6
r =
B02
'8
r
2 n m v2
E
0
p p
Aufgaben zu Kapitel 5
1.a) Die Bewegungsgleichung fur das Teilchen n lautet:
(
)
2
2
q
1
1
mn = 4 (x ; x )2 ; (x ; x )2 ' 2q a3 (n+1 ; 2n + n;1 )
0
n
n;1
n+1
n
0
1.b) Mit dem Ansatz n = A expi(kx ; !t)] erhalt man die charakteristische Gleichung:
2
2
n
o
;!2m = 2q a3 eika ; 2 + e;ika = ; 2qa3 sin2 ka
2
0
0
Die Groe q2=0ma3 kann man in Analogie zur Elektronenplasmafrequenz als charakteristische Frequenz identi
zieren, wenn n = a;3 gesetzt wird. Losungen gibt es nur fur
Wellenzahlen k < =a. Die moglichen Wellen sind dispersiv (s. Abb. A.2). Die hochste
219
Abbildung A.2: Dispersionsrelation fur Wellen auf der linearen Kette.
auftretende Frequenz ist !max = 2q2=0a3. 1.c) Die Kraftgleichung erganzt sich dann
durch die Beitrage ubernachster und weiterer Nachbarn:
2 q
mn = 4 (x ;1x )2 ; (x 1; x )2 + (x ;1x )2 ; (x 1; x )2
0
n
n;1
n+1
n
n+2
n
n n;2
1
1
+ (x ; x )2 ; (x ; x )2 + : : :
n
n;3
n+3
n
Damit wird die charakteristische Gleichung:
(
)
2
2
q
ka
1
1
3
ka
;!2m = ; a3 sin2 2 + 8 sin2 ka + 27 sin2 2 + : : :
0
2. v' = (!pe2 + k2c2q)1=2=k, vgr = kc2=(!pe2 + k2c2)1=2, woraus folgt, da v'vgr = c2.
3.a) fpe = 8 98Hz ne =m;3. Also ist fmax = 4,02 MHz.
3.b)
Zh1 ds 1 Zh1 !ds 1 Zh1
Zh1
!
d
s
1
tgr = v = c kc = c q 2 2 = c q ds
h0 gr
h0
h0 ! ; !pe (s)
h0 1 ; n(s)=nco
3.c) Setze n(s) = nmax(s ; h0)=(h1 ; h0) und = nmax=nco (h1 ; h0). Dann wird:
h1Z;h0
q
Zh1
1
1
d
s
d
x
2
p1 ; x = c 1 ; 1 ; nmax=nco
=c
tgr = c q
1
;
(
s
;
h
)
0
0
h0
ANHANG A. LOSUNGSHINWEISE
ZU DEN AUFGABEN
q
und die scheinbare Hohe betragt: hs = (2=)f1 ; 1 ; nmax=nco g.
4. Die Cut-o Dichte fur = 3cm ist nco = 1 2 1018m;3. Es gilt :
co
17 ;3
n = $'n
=
9
10
m
L
220
Aufgaben zu Kapitel 6
1. Es gilt:
@g = 0 @g = (;e @ % )g0 @g = mvg0
@t
@x
@x
@v
so da die Vlasovgleichung erfullt wird.
2. Hier mu 2e% > mv'2 =2 ' mv02=2 sein. d.h. der Potentialunterschied zwischen Wellenberg und Wellental mu groer als die kinetische Energie des Strahls sein.
Aufgaben zu Kapitel 7
1. Die beiden Sonden werden stromsymmetrisch zum Floatingpotential betrieben, so da
der von der Sonde 1 aufgenommene Strom I gleich dem Strom ;I von Sonde 2 ist
(Abb. A.3).
Abbildung A.3: (links) Zur Konstruktion der Kennlinie einer Doppelsonde, (rechts) Doppelsondenkennlinie.
eU1
I = I+s ; Iese; kB Te
eU2
;I = I+s ; Iese; kB Te
221
U = U1 ; U2 ist die zwischen den beiden Sonden angelegte Spannung. Dann folgt aus
Summe und Dierenz der beiden Einzelsondenkennlinien:
; eU1 ; eU2 0 = 2I+s ; Ies e kB TE + e kB Te
; eU1 ; eU2 2I = Ies e kB Te ; e kB Te
I = I+s tanh keUT
B e
Der Sattigungsstrom der Doppelsonde ist also gleich dem Ionensattigungsstrom der Einzelsonde. Die Temperatur folgt aus der Steilheit der Kennlinie beim Floatingpotential.
2. Wir benutzen die Sondenkennlinie I = I+s ; Ies exp(eU (t)=kB Te) und verschieben
den Spannungsnullpunkt zum Floatingpotential. Dann vereinfacht sich die Kennlinie zu
I = I+s1 ; exp(eU 0(t)=kB Te)]. Wegen der gekrummten Kennlinie ist der Strom in der
positiven Halbwelle der angelegten Spannung groer als in der negativen Halbwelle. Daher
verschiebt sich der Arbeitspunkt vom Floatingpotential zu UDC . Der Trennkondensator
erlaubt keinen Gleichstromanteil, daher mu im stationaren Fall das Integral des Stroms
uber eine Periode Null sein:
!#
ZT
ZT "
e
(
U
DC + U0 cos !t)
0 = I (t)dt = I+s 1 ; exp
dt
k
T
B
e
0
0
eUDC Z2 eU0
eUDC eU0 exp k T cos d = exp k T 2I0 k T
2 = exp k T
B e 0
B e
B e
B e
wobei I0 die modi
zierte Besselfunktion ist. Also wird die durch Gleichrichtung an der
Sondenkennlinie auftretende Spannungsverschiebung:
eU0 k
B Te
UDC = ; e ln I0 k T
B e
222
ANHANG A. LOSUNGSHINWEISE
ZU DEN AUFGABEN
Anhang B
Formelsammlung
B.1 Konstanten
me
mp
mp=me
Elementarladung
e
e=me
0
0
Boltzmannkonstante kB
Wirkungsquantum h
hTemperatur bei 1 eV
Elektronenmasse
Protonenmasse
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9 11 10;31 kg
1 67 10;27 kg
1 836
1 60 10;19 As
1 76 1011 As/kg
8 85 10;12 As/Vm
1 26 10;6 Vs/Am
1 38 10;23 J/K
6 63 10;34 Js
1 05 10;34 Js
11 605 K
B.2 Formeln
Alle Groen sind in SI-Einheiten mit folgenden Ausnahmen:
1. Temperaturen Te Ti T werden in eV angegeben,
2. Ionenmassen werden auf die Protonenmasse mi = mp bezogen.
Elektronengyrationsradius
rce = v!the = 2 38 10;6 m
ce
223
q
Te=eV
B=T
ANHANG B. FORMELSAMMLUNG
224
Ionengyrationsradius
rci = v!thi = 1 02 10;4 m
ci
Debyelange
De = 0nkBeT2 e
e
!1=2
pT 1
i
Z B=T
v
u
u T=eV
3
= 7 43 10 m t n=
m;3
Elektronenplasmafrequenz
!pe
fpe
!1=2
q
n
e e2
=
= 56 4 rad=s ne=m;3
0me q
= 8 98Hz ne =m;3
Ionenplasmafrequenz
!pi
fpi
s
!
2 n e 2 1 =2
;3
Z
i
= 1 32 rad=s Z ni=m
= m
0 i
s
;3
= 0 21Hz Z ni=m
Elektronenzyklotronfrequenz
11
!ce = eB
=
1
76
10
rad=s B=T
me
fce = 2 80 1010Hz B=T
Ionenzyklotronfrequenz
Z B=T
7
=
9
58
10
rad
=
s
!ci = ZeB
mi
Z
fci = 1 52 107Hz B=T
Obere Hybridfrequenz
!oh2 = !pe2 + !ce2
B.2. FORMELN
225
Untere Hybridfrequenz (hohe Dichte)
!uh
= p!ce !ci = 4 10 109 rad=s
fuh
= 6 53 10 Z
8
s
s
Z B=T
Z B=T
Thermische Geschwindigkeit der Elektronen
vthe = 2kmB Te
e
!1=2
= 5 93 105 m=s
Thermische Geschwindigkeit der Ionen
vthi = 2kmB Ti
i
!1=2
= 1 38 104 m=s
Ionenakustische Geschwindigkeit
3 kB Ti
Cs = kB Te +
mi
!1=2
= 9 79 10 m=s
3
q
s
s
Te=eV
Ti=eV
(Te + 3Ti)=eV
Alfven-Geschwindigkeit
vA = pB = 2 18 1013 m=s q B=T ;3
0 m
ne =m
226
ANHANG B. FORMELSAMMLUNG
Anhang C
227
ANHANG C. LISTE DER VERWENDETEN SYMBOLE
228
Liste der verwendeten Symbole
Symbol
A
b90
Cs
Da
Dei
D!
E!
f (~r~v t)
fM (v)
g
jesat
j
~k
me mi
ma
M
ne ni
na
Ne Ni
ND
N
sj
S
~u
~v
vA
vgr
v'
Waus
Wi
Bedeutung
Querschnittsache
Stoparameter fur 90o Ablenkung
ionenakustische Geschwindigkeit
ambipolarer Diusionskoezient
freier Diusionskoezient fur Elektronen und Ionen
Fourierkomponente der dielektrischen Verschiebung
Fourierkomponente der elektrischen Feldstarke
Verteilungsfunktion in der kinetischen Theorie
Maxwell-Verteilung
Gravitationskonstante
Elektronensattigungstrom der Langmuirsonde
elektrische Stromdichte
Wellenvektor
Elektronen- bzw. Ionenmasse
Atommasse
Machzahl
Elektronen- bzw. Ionendichte
Atomdichte
Elektronen- bzw. Ionenanzahl
Zahl der Elektronen in der Debyekugel
Brechungsindex
Ladungsvorzeichen der Teilchensorte j
Erzeugungsrate
Driftgeschwindigkeit einer Verteilung von Teilchen
Individualgeschwindigkeit eines Teilchens
Alfvengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
Phasengeschwindigkeit
Austrittsarbeit
Ionisationsenergie
229
Symbol
$W
i
;
D
(
ei
m
!ce
!pe
'
%
2
e
m
ion
90
ur
Bedeutung
Gasverstarkungsfaktor
Energieubertrag beim elastischen Sto
Anwachsrate =Im(!)
Sekundaremissionskoezient
Teilchenstrom
Dielektrizitatskonstante (Tensor)
Resistivitat
normiertes Potential (= ;e%=kB Te)
mittlere freie Weglange
Debyelange
= 9ND
Massenzahl mi=mp
magnetisches Moment
Stofrequenz der Elektronen mit Ionen
Stofrequenz der Elektronen fur Impulsverlust
Elektronenzyklotronfrequenz
Elektronenplasmafrequenz
Phase
elektrisches Potential
Winkel zwischen Wellenvektor und Magnetfeld
Pseudopotential
Ladungsdichte
Massendichte
Leitfahigkeit (Tensor)
Wirkungsquerschnitt fur Ionisation
Wirkungsquerschnitt fur 90o -Stoe
Zustandssumme der r-ten Ionisationsstufe
normierte Lange (=x=D )
230
ANHANG C. LISTE DER VERWENDETEN SYMBOLE
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Index
A tzen
anisotropes, 19, 43
Plasma-, 19, 42
Atzgase, 19, 42
A tzrate, 45
A tzreaktionen, 42
Bewegungsgleichung
Diskretisierung, 176
Newtonsche, 71
Blitz, 10
Bogenentladung, 36
Bohm-Gross-Dispersionsrelation, 169
Bohmkriterium, 191
Boltzmannfaktor, 27, 187
Boltzmannrelation, 145
Brechungsindex, 133
nichtlineare Veranderung, 157
R- und L-Welle, 150
X- und O-Welle, 154
Brillouin Ruckstreuung, 161
Bugstowelle, 12
Abgasreinigung, 16
Ablation, 25
Ableitung
konvektive, 100
Abscheiden, 19
Adiabatenexponent, 146
Adiabatische Invariante, 82
adiabatische Invariante
dritte, 85
zweite, 85
Alfvengeschwindigkeit, 115
Alfvenwelle, 113
Anlaufbereich
Elektronen-, 197
Anodenschicht, 66
Anwachsrate
Strahl-Plasma-Instabilitat, 142
Argonionenlaser, 17
Aurora, 12
Auslosekoezient, 62
Austrittsarbeit, 62
Auswahlregel fur die Wellenfrequenzen, 159
Auswahlregel fur Wellenvektoren, 159
Cauchy Hauptwert, 171
Child-Langmuir Gesetz, 193
CO2 Laser, 17
Coulomb-Logarithmus, 61
Coulombstoe, 59
Cusp, 94
Cut-o, 133
Cut-o Dichte, 133, 134
Dampfung
stofreie, 172
Dampfung von Elektronenwellen, 170
de Broglie Wellenlange, 48
Debye-Huckel-Modell, 27
Debyeabschirmung, 26
Debyelange, 28, 29
Debyesphare, 29
diamagnetische Drift, 109
Bananenbahn, 88
Bennett-Beziehung, 116
Beweglichkeit, 47, 52
237
INDEX
238
Diamagnetismus, 83
Dielektrikum
verlustbehaftetes, 128
Dielektrizitatstensor, 128, 131
Diusion, 88
ambipolare, 52, 64
Bananen-, 91
Bohm-, 91
freie, 52
klassische, 91
neoklassische, 91
Diusionsgleichung, 65, 90
fur das Magnetfeld, 112
Diusionskoezient, 52, 90
Diusionszeit, 112
Diskretisierung, 176
Dispersionsrelation, 130
Bohm-Gross-, 140, 169
Elektronenwellen, 168
ionenakustische Welle, 145
Strahl-Plasma-Instabilitat, 142
Doppelplasmaanordnung, 38, 39
Doppelschicht
Langmuirs starke D., 206
Raumladungs-, 205
schwache D., 208
Dopplereekt, 141, 142
Driftgeschwindigkeit, 47
diamagnetische, 109
EB-Drift, 74
Gradientendrift, 77
Krummungsdrift, 77
Polarisationsdrift, 82
Druck
kinetischer, 103
magnetischer, 108, 115
Meeinheiten, 47
Stau-, 103
Druckbilanz, 107
Druckkrafte, 101
Druyvesteynmethode, 202
DT-Reaktion, 20
Dunkelraum
Astonscher, 36, 37
Faradayscher, 36, 64
Faradyscher, 37
kathodischer, 36
EB-Drift, 73
eingefrorene Feldlinien, 112
Einstein-Beziehung, 52
elektrische Leitfahigkeit, 53
Elektron
gemitteltes, 47
Elektronenanlaufbereich, 197
Elektronenwelle, 167
Elektronenwellen, 131
Energie
mittlere kinetische, 51
Energieverlust
elastische Stoe, 56
inelastische Stoe, 57
Energieverteilung, 57
Entartung, 30
Entladung
kapazitiv gekoppelte HF-, 66
Erdmagnetfeld, 12, 124
Erhaltung der Ladung, 105
Erhaltung der Masse, 105
Excimerlaser, 17
Existenzbereiche, 30
Fuhrungszentrum, 71, 72
Faradaydrehung, 150
Filamentkathoden, 38
Flussigkeitselement, 98
Flammen, 30
Flare, 14
oating potential, 194, 198
Fluinvariante, 85
freie Weglange, 48
Fremdheizung, 38
Fusionsplasmen, 30
INDEX
Fusionsquerschnitt, 21
Gamma-Regime, 67
Gasentladung, 35
Gaslaser, 17
Gasverstarkungsfaktor, 63
Geschwindigkeitsverteilung, 49
Gittermethode, 177
Glimmentladung, 35
anomale, 36
Charakteristik der, 36
HF-, 66
Leuchterscheinung, 36
normale, 36
Glimmlicht
kathodisches, 36
negatives, 64
negatives, 36, 37
Gradient
longitudinaler, 79
transversaler, 75
Gradientendrift, 75, 86
Gravitation, 75
Gravitationsdrift, 75
Gruppengeschwindigkeit, 128
der elektromagnetischen Welle, 133
guiding center, 72
guiding center approximation, 75
Gyration, 72
Hallspannung, 111
He-Ne Laser, 17
Heizung, 54
stochastische, 68
helische Windungen, 92
Hochfrequenzentladung, 42
Hybridfrequenz
obere, 153
untere, 153
Hybridresonanz, 151
Hysterese, 38
239
Impulstransportgleichung, 100, 105
Impulsverlust, 46
Instabilitat
Kink-, 120
Saussage-, 120
Strahl-Plasma-, 140
Instabilitat, parametrische, 158
Interferometer
Laser-, 137
Mikrowellen-, 133
Interferometrie, 133
Zweiwellenlangen, 136
ionenakustische Welle, 144
Ionenplasmafrequenz, 145
Ionisationsfrequenz, 58
Ionisationsrate, 58
Ionosphare, 12
isobare Flachen, 106
JET, 21, 23
Kathode
Oxid-, 62
Wolfram-, 62
Kathodenfall, 37, 62
Kennlinie
zweite Ableitung der Sonden-, 202
Kennlinien
Auswertung von Langmuir-, 200
Modulationsmethode, 210
zweite Ableitung der Sonden-, 204
Kernbindungsenergie, 20
Kernfusion
kontrollierte, 20
mit Lasern, 25
kollektives Verhalten, 26
Kombinationsfrequenz, 157
Kontinuitatsgleichung, 65, 100
Krummungsdrift, 77, 86
Krummungsradius der Feldlinien, 78
L-Welle, 150
INDEX
240
Ladungsdichte, 97, 165
Ladungshintergrund
neutralisierender, 131
Ladungsschichten, 175
Ladungstragerlawine, 10
Ladungswolke, 178
Ladungszuweisung, 178
Landaudampfung, 171, 172
inverse, 174
Langmuirsonde, 194
Larmorradius, 72
Laser, 17
Laserfusion, 25
Lawsonkriterium, 20
Leap-frog-Schema, 177
Leitfahigkeit, 112
elektrische, 53
in Gasentladungen, 53
in heien Plasmen, 53
Leitfahigkeitstensor, 126
Leitungsstrom, 97
Leuchtsto, 16
Leuchtstorohre, 17, 64
Lichtbogen, 17, 19
longitudinale Invariante, 85
Lorentzkraft, 106
Machzahl, 191
Magnetfeld
inhomogenes, 75, 79
Krummung, 77
poloidales, 88
toroidales, 86
Magnetic Box, 38
magnetic box, 94
magnetische Zugspannung, 115
Magnetischer Einschlu, 86
magnetischer Trichter, 94
magnetisches Moment, 80, 83
Magnetisierung, 97
Magnetohydrodynamik, 111
Magnetohydrostatik, 106
Magnetosphare, 12
Magnetospharenschweif, 12
Massendichte, 165
Maxwellgleichungen, 97, 126
Fourierdarstellung, 127
Maxwellverteilung, 49
der Geschwindigkeitsbetrage, 52
dreidimensionale, 51
verschobene, 98
MHD, 111
ideale, 112, 113
MHD-Generator, 118
MHD-Stabilitat, 120
Minimum-B Kon
guration, 94
Natriumdampampe, 17
negative Energie, 173
Newtongleichung, 100
Nichtidealitat, 30
Nordlicht, 12
Normalmodenanalyse, 127
O-Welle, 151
Oberache
magnetische, 107
Ohmsches Gesetz
verallgemeinertes, 111
Oxidkathode, 39
Parallelplatten-Entladung, 43
Parallelplattenentladung
Ersatzschaltbild, 67
Parametrische Instabilitat, 158
parametrische Instabilitat, 159
parametrischer Wellenzerfall, 157
particle-mesh-Verfahren, 174
Passivierung, 44
Phasengeschwindigkeit, 128
Phasenraum, Elektronen-, 180
Pinch, 21
Pincheekt, 116
INDEX
Plasma
De
nition, 26
Niedertemperatur-, 35
Plasmaatzen, 42
Plasmachemie, 42
Plasmadriften
U bersicht, 82
Plasmafrequenz
Elektronen-, 131
Ionen-, 145
Plasmalichtquellen, 16
Plasmaparameter, 29
Plasmaschwingungen, 140
Plasmaspritzen, 19
Poissongleichung, 26, 189
auf dem Gitter, 179
Polarisation, 97, 132
dynamische, 98
zirkulare, 136, 150
Polarisationsdrift, 80
Polarisierungsstrom, 127
ponderomotive Kraft, 155
Positive Saule, 36, 64
Potential
klassisches, 189
presheath, 191
Pseudopotential, 189
Pumpwelle, 157
Q-Maschine, 40, 41
Quasineutralitat, 26
R-Welle, 150
Ramsauer-Eekt, 49
random walk Proze, 88
Randschicht, 187
Raumladungswelle
langsame, 142
schnelle, 142
reactive ion etching, 42
Reichweite des Coulombfeldes, 28
Rekonnektion, 14
241
Resistivitat, 60
resonante Teilchen, 168
Resonanz, 150
Richardsongleichung, 62
Rotationstransformation, 88
Sattigungsstrom
Elektronen-, 195
Ionen-, 197
Sagdeevpotential, 189
Saha-Gleichung, 33
Scherstromung, 104
Schichtkante, 189
Schweien, 19
Sekundarelektronen, 37
Selbstfokussierung, 157
Selfbias, 43, 67
solarer Flare, 14
Sonde
Doppel-, 210
ebene, 195
Kugel-, 199
Zylinder-, 199
Sondenmessung
HF-Plasma, 205
Sondenmessungen
Modulationsverfahren, 202
Sonne, 15
Sonnenecken, 14
Sonnenkorona, 30
Spiegel
magnetischer, 83, 94
Spiegeleekt, 83
Spiegelmaschine, 21, 86
Spiegelverhaltnis, 85
Spiegelwirkung, 88
Spitzer-Formel, 60
Stoe
elastische, 46, 54
inelastische, 46
Stabilitat
242
MHD-, 120
Stellarator, 86, 92
Stix-Parameter, 148
Stofrequenz, 57
Stoparameter, 59
Stoparameter fur 90o -Stoe, 60
Stoprozesse, 46
Stoterm, 167
Stowahrscheinlichkeit, 48
Strahl-Plasma-Instabilitat, 140, 180
Anwachsrate, 180
Strahlplasma-Instabilitat
Anwachsrate, 142
Strahlungsdruck, 155
Strommessung, 121
Superteilchen, 165, 174, 178
Teilchen
gefangene, 88
Teilchendichte, 165
Teilchensimulation, 174
Temperatur, 49, 51, 52
in Elektronenvolt, 51
Thermionische Entladung, 38
Thermionischer Konverter, 40, 41
thermische Geschwindigkeit, 50
Tokamak, 21, 22, 86
Prinzip, 88
Toroidalfeld, 86
Townsendkoezient
erster, 63
trapping, 182
Vakuumverschiebungsstrom, 127
van Allen Strahlungsgurtel, 12
Vektorprodukte, 108
Verlustkegel, 85
Verschiebungsdichte, 127
Verteilungsfunktion, 164
Messung der, 200
Normierung der, 165
Vlasovbild, 164
INDEX
Vlasovgleichung, 165, 167
Vlasovmodell, 163
Vorschicht, 191
wave-riding, 68
Wechselstrom
Teilchen-, 126
Wechselwirkungszeit, 59
Welle
Elektronen-, 167
elektrostatische, 167
ionenakustische, 144
linkszirkulare, 150
negativer Energie, 173
positiver Energie, 173
rechtszirkulare, 150
Wellen
elektromagnetische, 131
Elektronen-, 131
Wellengleichung, 126
Whistlerwelle, 150
Wirkungsquerschnitt, 48, 49
elastischer, 49
fur 90o Coulombstoe, 59
fur Ionisation, 57
X-Welle, 151
Zeitschritt
Wahl des, 179
Zustandsgleichung, 144
Zwei-Plasmonen Zerfallsinstabilitat, 161
Zweiussigkeitenmodell, 98
Zyklotronfrequenz, 72
Zyklotronresonanz, 149
Elektronen-, 150
Ionen-, 150