QM1 Kapitel 6 C-E

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Op = {Op1 , Op2 , Op3 }, mit pb ≡ �eb , p� , b ∈ {1, 2, 3},
usw. Dann ist
Beweis VI.1 Zunächst einmal gilt mit der Schwarzschen Ungleichung:
Streuz (q a ) · Streuz (pa ) =
��
�
�
Schwarz
= � Oqa − qza | z �� �(Opa − pza ) | z �� =
�� � �
�
��
�
� �
� �
≥ � z� Oqa − qza (Opa − pza ) �z �
� � ��
� ��
�
�
�
� �
≥ �Im z� Oqa − qza (Opa − pza ) �z �
�� � �
�
�
�
� �
�
= � z� Oqa − qza (Opa − pza ) �z +
�
��
�
� � ���
�
− z� (Opa − pza ) Oqa − qza �z �/2
�� � �
� �� ���
� �
= � z� Oqa − qza , Opa − pza �z �/2
�� �
� �� (90)
� �
� �
= � z� [Oqa , Opa ] �z �/2 =
[Oqa , Opb ] | z � = (Oqa ◦ Opb − Opb ◦ Oqa ) | z � ,
Oqa ◦ Opb | z � = xa pb |x��x|p��p | z � ,
Opb ◦ Oqa | z � = −i�δba | z � + pb xa |p��p|x��x | z � .(89)
Nun benutzen wir, daß M(Oq ) = M(Op ) und x, p stumme Bezeichner sind. Daher können wir im letzten Term
von (89) folgende Identität benutzen: pb xa |p��p|x��x |
z � = xa pb |x��x|p��p | z �. Als wichtiges Resultat erhalten
wir:
[Oqa , Opb ] = i� δba ,
(90)
für alle möglichen Zustände eines beliebigen quantenmechanischen Systems.
Also sind Orts– und Impulsmessung in der Quantenmechanik nicht miteinander verträglich. Folglich macht
es keinen Sinn, daß ein Zustand als Speicher gleichzeitg
Orts– und Impulsinformation tragen kann. Im Vergleich
zur Klassischen Mechanik erlaubt die Quantenmechanik
nur Zustände, aus denen eben nicht die gesamte denkbare
Observablen–Information gleichzeitig ausgelesen werden
kann. Dies führt zum Konzept der maximal möglichen
(< gesamten) Information, die ein quantenmechanischer
Zustand quasi als Speicher tragen kann.
Wir können unser Erstaunen über die prinzipielle
Unverträglichkeit von Orts– und Impulsmessung weiter quantifizieren: Der Erwartungswert der Koordinate
q a , a ∈ {1, 2, 3} im Zustand | z � ∈ Z ist
�
df
qza = �z|Oqa | z � =
dx |Z(x)|2 xa .
(91)
R
Ein Maß für die Ungenauigkeit, mit der q a im Zustand
| z � festgelegt ist, gibt die sogenannte Varianz
� ��
�2 �� �
df
�
Varz (q a ) = z� Oqa − qza �z
�
��
�2
�
�
�
=
dx � Oqa − qza Z(x)� ,
(92)
R
beziehungsweise die Streuung
�
df
Streuz (q a ) = Varz (q a ) .
(93)
Für die Impulskoordinate pb gilt entsprechendes.
Offenbar gibt es Zustände, für die die Ortskoordinate bzw. die Impulskoordinate beliebig genau lokalisiert
sind, d.h. die Streuung der Orts– bzw. Impulskoordinate
ist beliebig klein. Jedoch ist es prinzipiell unmöglich, sowohl Streuz (q a ) als auch Streuz (pa ) gleichzeitig beliebig
klein (scharf) zu machen. Dieses ungeheuerliche Resultat
formulieren wir als
Satz VI.2 (Unschärferelation von Heisenberg)
Für jeden normierten Zustand | z � ∈ D ⊂ Z gilt:
Streuz (q a ) · Streuz (pa ) ≥ �/2 .
(94)
= �/2
(95)
Damit ist die Unschärferelation bewiesen. ∗–< [{; 0)
Die Unschärferelation von Heisenberg ist eine direkte Folge der Unverträglichkeit von Orts– und Impulsmessung,
die von prinizpieller Natur ist und nicht eine praktische
Schranke darstellt. Sie besagt salopp gesschrieben, daß
wir an einem quantenmechanischen System selbst mit
idealen Meßapparaturen niemals Ort und Impuls gleichzeitig beliebig scharf messen können. Und mehr noch:
Legen wir Wert auf mehr Schärfe bei der Ortsmessung,
so führt das aus fundamentalen Gründen zwingend zu
mehr Unschärfe bei der Impulsmessung. Eine solche fundamentale Unschärfe existiert im Gütligkeitsbereich der
Klassischen Mechanik nicht. Sie widerspricht sogar ganz
entschieden ihrer Zustandsbeschreibung. Damit sind wir
gezwungen, die Suche nach einem direkten Analogon zum
Phasenraum der Klassischen Mechanik nach Hamilton zu
verwerfen.
Im übrigen läßt sich die Unschärferelation wesentlich
verallgemeinern:
Satz VI.3 (Verallgemeinerte Unschärferelation)
Seien OA , OB Observablen. Dann gilt für alle Zustände
| z � ∈ D(OA OB ) ∩ D(OB OA ) ⊂ Z,
�� �
� ��
� �
� �
Streuz (A) · Streuz (B) ≥ � z� [OA , OB ] �z �/2 . (96)
Beweis VI.2 Wie Beweis VI.1, da dort lediglich die
Selbstadjungiertheit von Oq , Op ausgenutzt und keine
speziellen Eigenschaften dieser Observablen benutzt wurden. ∗–< [{; 0)
D.
Energie als quantenmechanische Observable
Ein mechanisches System ist in der Formulierung nach
Hamilton charakterisiert durch das Paar (P, H), wobei P den Impuls–Phasenraum bezeichne und H die
Hamilton–Funktion. Unsere bisherigen Überlegungen haben sich daran orientiert, das Konzept des Phasenraumes
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in die Quantenmechanik zu übertragen. Wir waren semi–
erfolgreich, da uns diese Überlegungen zwar zu Orts–
und Impulsobservablen geführt haben, diese allerdings
nicht beide gleichzeitig beliebig scharf gemessen werden
können. Mit der Energiefunktion H haben wir uns noch
nicht beschäftigt und das holen wir nun an dieser Stelle
nach.
Dazu bedarf es einer Erinnerung: Auch die Energie
eines Systems ist in der Klassischen Mechanik eine Bewegungskonstante, allerdings ist der Zusammenhang zu
einer Symmetrie etwas komplizierter zu verstehen, weil
ihre Erhaltung eine Konsequenz der Invarianz unter Zeittranslationen ist, und Zeit eine Sonderrolle in der Klassischen Mechanik spielt, was der Ignoranz gegenüver der
Speziellen Relativitätstheorie geschuldet ist. Zum einen
nämlich ist Zeit eine Komponente der Galilei–Raumzeit,
andererseits wird sie als Paramer benutzt, der die Dynamik in P schlicht parametrisiert.
Um den Zusammenhang zwischen Energieerhaltung
und Symmetrie bei Zeittranslationen aufzuzeigen, ist es
notwendig, die Doppelrolle der Zeit als Komponente der
Galilei–Raumzeit einerseits und als dynamischer Parameter andererseits in zwei getrennte Konzepte zu zerlegen. Das geht schnell so: Wir betrachten ein Lagrange–
System mit einem Konfigurationsraum Q ⊂ Rn und einer
Lagrange–Funktion L : Q × Rn −→ R. Wir erweitern Q
zum neuen Konfigurationsraum Q� := Q × R mit Koordinaten (q, τ ). Der erweiterte Geschwindigkeitsphasenraum
ist dann Q� × Rn+1 mit den Koordinaten (q, τ, v, ν). Die
Parameter–Zeit bezeichnen wir mit t, nicht zu verwechseln mit der physikalischen Zeit τ = f (t). Also ist ν =
dτ /dt. Was ist nun der Zusammenhange zwischen der
neuen (erweiterten) und der alten Lagrange–Funktion?
Diese Frage muß mit besonderem Bedacht angegangen
werden: Das ist der Fall, weil in der ursprünglichen Wirkung L ja über die Parameter–Zeit integriert wird. Es
gilt L� (q, v, ν)dτ = L(q, v/ν)νdt. Wählen wir ν(t) = 1, so
liefern die Euler–Lagrange–Gleichungen für die erweiterte Lagrange–Funktion die gleichen Bewegungsgleichungen wie für die ursprüngliche Lagrange–Funktion.
Die Schar von Zeittranslationen {Ts }s∈R mit Ts :
Q� −→ Q� , definiert durch Ts (q, τ ) := (q, τ + sb) , b ∈ R
erfüllt offenbar L� (Ts (q, τ ), DTs (v, ν)) = L� (q, v, ν) wegen DTs = T0 = id, so daß sich nach dem Satz von
Noether über X(q, τ ) = d(q, τ +sb)/ds = (0, b) als Erhaltungsgröße IX (q, v) = �∂L� /∂v, o� + (∂L� /∂ν)(q, v, 1)b =
−bE ergibt. Der Name Energie ist gerechtfertigt, da für
natürliche Systeme E = T + U . Soweit die Wiederholung
aus der elementaren Mechanik.
Alternativ: Sei B(q, τ, v) eine Observable im erweiterten Geschwindigkeitsphasenraum. Wir vergleichen
B(q, τ + δ, v) , δ ∈ R mit B(q, τ, v). Ohne große Bedenken gilt formal B(q, τ + δ, v) = (1 + δ∂τ + . . . )B(q, τ, v).
Operationell führen wir daher in die Klassische Mechanik einen Zeittranslationsoperator folgendermaßen ein:
Tδ : O(P � ) −→ O(P � ), definiert durch
df
(Tδ (B)) (q, τ, v) = B(q, τ + δ, v)
= exp (δ∂τ )B(q, τ, v) .
(97)
Natürlich ist ∂τ der Generator für Zeittranslationen.
Die Fourier–konjugierte Variable zur physikalischen
Zeit τ hat die Maßeinheit einer Frequenz f . Durch ähnliche Überlegungen wie bei der Konstruktion der Impulsobservablen kann diese Frequenz mittel E = �2πf ≡ �ω
zu einer Energie E transformiert werden. Aus stilistischen Gründen bezeichnen wir die Energie–Funktion mit
H(q, p) (Hamilton–Funktion). Also ist der Generator für
Zeittranslationen im Frequenzraum gerade die Hamilton–
Funktion.
Die Übertragung in die Quantenmechanik ist nicht
so direkt, auch wenn sie trotzdem mittels unitärer
Darstellungstheorie geschieht, da die Zeit auch in der
Quantenmechanik eine Sonderrolle spielt. Tatsächlich ist
die Bühne für die Quantenmechanik auch die Galilei–
Raumzeit. Vorab die Situation: Eine zweckmäßige Vorstellung ist die, daß die Zeit mit einer Uhr gemessen wird,
die Teil eines klassischen Labors ist, aber niemals aus
einem quantenmechanischen Zustand extrahiert werden
kann. Mit anderen Worten, die Zeit bleibt eine externe
Größe. Nun könnten Sie mit Fug und Recht einwenden,
daß dies doch eigentlich auch für den Ort so sein sollte,
zumindestens sollten doch Ort und Zeit eigentlich über
Maßstab und Uhr beides Größen sein, die externen Charakter haben, weil sie eher unsere Laborausstattung (Koordinatensystem, etc) reflektieren, als eine intrinsische
Eigenschaft eines Systems. Und Sie haben damit vollkommen recht, sobald wir gezwungen sind, der spezielle
Relativitätstheorie Rechnung zu tragen, wird dies auch
so sein: dann werden weder Ort noch Zeit Eigenschaften
sein, die ein Zustand intrinsisch trägt. Vielmehr wird der
Zustand vermessen in einem Laborsystem, daß mit einem
Koordinatensystem und einer Uhr daherkommt.
Dass wir hier gegen Ihre Erwartung verstoßen liegt
nur daran, daß bereits in der klassischen Mechanik der
Ort (Konfigurationsraum, Phasenraum) eine ganz andere Rolle spielt als die Zeit (Parameter). Die Zeit ist bereits in der Klassischen Mechanik keine Meßgröße. Wie
gehen wir also vor? Zunächst einmal beschaffen wir uns
eine unitäre Darstellung der Zeittranslation, die wir mit
U (t − t0 ) , t ∈ [t0 , ∞) ⊂ R bezeichnen, und eine Zeittranslation von t0 nach t beschreiben soll. Wir setzen
Z �| z �(t) := U (t − t0 ) | z �, wobei wir | z � den Zeitpunkt t0 zuordnen, also hierfür auch | z �(t0 ) schreiben
könnten. Dies setzt voraus, daß U (0) = id, was offenbar
sinnvoll ist. Für die Wellenfunktion im Ortsraum schreiben wir Z(t, x) := �x|U (t − t0 ) | z �(t0 ), auch wenn das
die offenkundige Ungleichbehandlung von Zeit und Ort
notationstechnisch verwässert.
Ähnliche Überlegungen wie zur Impulsobservablen zeigen, daß i�∂t ein selbstadjungierter Operator ist und
U (t − t0 ) = exp (−i(t − t0 )(i�∂t )/�) die gesuchte unitäre
Darstellung für Zeittranslationen über das Zeitintervall
t − t0 . Eine ensprechende Analyse im Fourier–Raum legt
nahe, i�∂t mit dem Hamilton–Operator OH zu identifizieren. Für diesen suchen wir noch einen Ausdruck in
Abhängigkeit von Orts– und Impulsobservablen, was ja
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die Analogie zur Klassischen Mechanik darlegt, in der
die Hamilton–Funktion ja im Impulsphasenraum definiert ist. Der Frage ob OH = H(Oq , Op ) sinnvoll ist,
gehen wir im Abschnitt Kanonische Quantisierung
nach.
Im Moment haben wir folgende Beziehung zwischen
Operatoren: i�∂t = OH , also gilt für alle | z � ∈ Z,
i�∂t | z �(t) = OH | z �(t) .
(98)
Gleichung (98) heißt Schrödinger–Gleichung. Sie ist
die grundlegende Prozessgleichung der Quantenmechanik und beschreibt die (externe) Zeitentwicklung eines
quantenmechanischen Zustandes relativ zu einer externen Uhr, die als klassische Komponente des Labors vorausgesetzt wird. Im modernen Zugang, also nicht über
die Wellenmechanik, ist die Schrödinger–Gleichung eine direkte Konsequenz der unitären Darstellungstheorie von Zeittranslationen auf komplexen Zustandsräumen
Z, wenn als Isometriegruppe der Raumzeit die Galilei–
Gruppe angenommen wird.
Wir nehmen in dieser Vorlesung an, daß OH nicht explizit von der Zeit abhängt. Dann kann die Schrödinger–
Gleichung bequem integriert werden und wir erhalten als
formale Lösung der Schrödinger Gleichung mit Anfangsbedingung | z �(t)|t=t0 =| z �(t0 ):
| z �(t) = exp (−i(t − t0 )OH /�) | z �(t0 ) .
(99)
Dies war so bequem möglich, weil im Falle, daß OH
explizit zeitunabhängig ist, [OH , OH ] = 0 ∀t ∈
R. Im allgemeinen ist OH explizit zeitabhängig und
[OH (t1 ), OH (t2 )] �= 0 , t1 , t2 ∈ R. Dann ist immer noch
eine formale Lösung der Schrödinger–Gleichung möglich,
und zwar in Form der sogenannten Dyson–Reihe.
Da zumindestens OH = f (Oq , Op ) gilt, ist es nicht
möglich, direkt Energie–Eigenzustände zu konstruieren,
denn Oq , Op vertragen sich ja nicht. Außerdem setzt
die Operatorbeziehung i�∂t = OH ja die Energie–
Observablen gleich der Zeittranslation relativ zu einer
externen Uhr, die nicht von den Zuständen | z � ∈ Z getragen wird und auch keine intrinsische Eigenschaft dieser Zustände mißt. Es läßt sich aber folgendermaßen eine
indirekte Konstruktion bewerkstelligen: Sei OA eine Observable mit [OA , OH ] = 0, also eine zu OH verträgliche
Observable, mit OA |a� = a|a� , a ∈ M(OA ). Dann ist offenbar OH |a� = E(a)|a� , E(a) ∈ M(OH ) ∀a ∈ M(OA ),
d.h. die möglichen Energie–Eigenwerte hängen von den
OA –Eigenwerten ab.
Für die Zeitevolution eines Zustandes | z � gilt dann
| z �(t) ≡ U (t − t0 ) | z �(t0 )
�
�
= U (t − t0 )
|a��a | z �(t0 )
=
�
�
a∈M(OA )
|a� exp (−i(t − t0 )E(a)/�)Z(t0 , a)
a∈M(OA )
≡
�
�
Z(t, a)|a� .
a∈M(OA )
(100)
Hier wird deutlich, daß die Zeitabhängigkeit den Entwicklungskoeffizienten zugeschrieben wird, nicht den
Energie–Eigenzuständen. Mit anderen Worten, Zustände
entwickeln sich intrinsich gar nicht, lediglich die Wahrscheinlichkeiten, mit denen ein Zustand in einem bestimmten Observablen–Eigenzustand vorliegt. Das ist ein
ganz anderes Dynamik–Konzept, als wir es aus der Klassischen Mechanik gewöhnt sind, näher an der Dynamik
von Systemen die wir im Rahmen der Statistischen Mechanik behandeln.
Einsetzen unseres Resultates (100) in die Schrödinger–
Gleichung gibt die Schrödinger–Gleichung für die
Wellenfunktion Z(t, a) ≡ �a | z �(t),
i�∂t Z(t, a) = OH Z(t, a) .
(101)
Ein Zustand |a� eines quantenmechanischen Systems
heißt stationär, wenn er Eigenzustand von OH ist,
d.h. wenn es eine Observable OA gibt mit [OA , OH ] = 0
und OA |a� = a|a�, sagen wir zum Energie–Eigenwert
E(a) ∈ M(OH ). Im allgemeinen wird ein solcher Eigenzustand nicht im physikalischen Zustandsraum Z liegen,
aber das kümmert uns im Moment nicht, weil wir ja jeden
physikalischen Zustand des Systems nach diesen Eigenzuständen entwickeln können.
Für diesen Fall liefert die Schrödinger–Gleichung
|a�(t) = exp (−i(t − t0 )E(a)/�)|a�(t0 ). Da |a� ein Eigenzustand von OH ist, tritt in der Auswertung
der Zeittranslation keine Superposition von Energie–
Eigenzuständen auf, was eine wichtige Konsequenz hat:
|a�(t) ∼ |a�(t0 ), wobei die Äquivalenzrelation beide
Zustände dem selben Strahl zuweist, womit beide exakt
die gleiche physikalische Zustandsbeschreibung liefern.
E.
Nachlese: Unitäre Operatoren & Symmetrien
Wir systematisieren ein wenig unsere Erkenntnisse
über Symmetrien in der Quantenmechanik und Observablen.
Def. VI.4 Ein unitärer Operator ist eine surjektive C–
lineare Abbildung U : Z −→ Z, welche das Skalarprodukt in Z invariant läßt, d.h. für alle |φ�, |ψ� ∈ Z gilt:
�φ|U † U |ψ� = �φ|ψ�.
Ein unitärer Operator ist automatisch beschränkt
(und deshalb auch stetig), denn es gilt ja �U |ψ��2 =
�ψ|U † U |ψ� = �ψ|ψ� = �|ψ��2 wegen der Invarianzeigenschaft, also �U � = sup{�U |ψ�� : �|ψ�� = 1} =
sup{�|ψ�� : �|ψ�� = 1}. Ein unitärer Operator ist außerdem injektiv, denn für |φ�, |ψ� ∈ Z mit U |φ� = U |ψ�
gilt U (|φ� − |ψ�) = 0, also �|φ� − |ψ�� = 0, und es folgt
|φ� = |ψ�. Damit ist jeder unitäre Operator U stetig
(nicht gezeigt) und bijektiv. Daher ist auch der inverse
Operator U −1 als linearer Operator auf ganz Z definiert,
und ist auch ein unitärer Operator.
Da außerdem für zwei unitäre Operatoren U1 , U2 auch
die Komposition U1 ◦ U2 : Z −→ Z unitär ist, bildet die