Skript
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Mechanik Skript für Techniker im 3. Semester S. Bucher Version 1.19, März 2017 Mechanik ist die Lehre von den Bewegungen und den Kräften und zeigt, wie beide miteinander zusammenhängen. Die Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik. Die Physik beschreibt Naturvorgänge mit Hilfe der Mathematik. Diese Ausführungen sind sehr knapp und fast ohne Illustrationen und Beispiele gehalten. Sie sollen den Unterricht nicht ersetzen, sondern ihm ein Gerüst geben. Der Unterricht konzentriert sich auf die Diskussion der Theorie und das gemeinsame Lösen von Übungsaufgaben. Das Kapitel zur Lösung von Bewegungsproblemen (4.5) kann erst im Rahmen des Mathematikunterrichtes des 4. Semesters behandelt werden. Empfohlene Literatur für weiterführendes Studium: Dubbels Taschenbuch für den Maschinenbau Springer Verlag Nicht ganz billiges zweibändiges Werk, das den Stoff praktisch aller Fächer für Maschinentechniker inklusive Mathematik enthält. Eine Investition fürs Leben! Böge, Technische Mechanik Vieweg-Verlag Buchreihe, bestehend aus Lehrbuch, Aufgabensammlung mit Lösungsheft und Formel-/ Tabellensammlung. Zum Teil etwas komplizierter als nötig. Für Maschinentechniker ist auch noch die Festigkeitslehre darin enthalten, ebenso die Grundzüge der Strömungslehre. Inovatech Technikerschule Mechanik Inhalt 1. KRÄFTE: GRUNDLAGEN .....................................................................................4 1.1 Kraft und Moment: Begriffe ........................................................................................... 4 1.2 Das Überlagerungsprinzip ............................................................................................. 4 1.3 Kräftesysteme und Gleichgewicht ................................................................................ 5 1.4 Resultierende Kraft ........................................................................................................ 5 1.4.1 Bestimmung der resultierenden Kraft ....................................................................... 5 1.4.2 Bestimmung der resultierenden Kraft mit dem TI-30X Pro ....................................... 7 1.4.3 Bestimmung der Wirklinie der resultierenden Kraft .................................................. 9 1.4.4 Beispiel .................................................................................................................... 10 1.5 Stützkraftberechnung bei Gleichgewicht .................................................................. 11 1.5.1 Methodik .................................................................................................................. 11 1.5.2 Beispiele .................................................................................................................. 12 1.6 Fachwerke ..................................................................................................................... 14 2. SCHWERPUNKT ................................................................................................. 17 2.1 Begriff, Momentensatz ................................................................................................. 17 2.2 Flächenschwerpunkt .................................................................................................... 17 2.3 Linienschwerpunkt ....................................................................................................... 19 2.4 Rotationskörper ............................................................................................................ 21 2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit ................................................................ 23 3. REIBUNG ............................................................................................................ 25 3.1 Grundlagen ................................................................................................................... 25 3.2 Reibung auf der schiefen Ebene ................................................................................. 25 3.2.1 Grundsätzliches ...................................................................................................... 25 3.2.2 Reibung in Kombination mit einer äusseren Kraft (vgl. Böge) ................................ 27 3.3 Reibung an Maschinenteilen ....................................................................................... 27 3.4 Seilreibung .................................................................................................................... 28 4. BEWEGUNGEN ................................................................................................... 29 4.1 Gleichförmig beschleunigte Bewegung ..................................................................... 29 4.2 Der Luftwiderstand ....................................................................................................... 31 4.3 Überlagerungsprinzip: Zusammengesetzte Bewegungen ....................................... 32 4.3.1 Schiefer Wurf ohne Luftwiderstand ......................................................................... 32 4.3.2 Schiefer Wurf mit Luftwiderstand ............................................................................ 35 4.4 Die Newton’sche Mechanik ......................................................................................... 37 4.4.1 Die Kepler’schen Gesetze der Planetenbewegung ................................................. 37 4.4.2 Die Newton’schen Prinzipien................................................................................... 38 4.4.3 Das Gravitationsgesetz ........................................................................................... 39 4.5 Mathematische Behandlung der Bewegungsprobleme ........................................... 40 4.5.1 Prinzip ..................................................................................................................... 40 4.5.2 Federpendel: ortsabhängige Kraft........................................................................... 40 4.5.3 Pendeluhr ................................................................................................................ 43 4.5.4 Lösung von Schwingungsproblemen in komplexer Schreibweise .......................... 43 4.5.5 Freier Fall: geschwindigkeitsabhängige Kraft ......................................................... 48 4.5.6 Ballistische Kurve .................................................................................................... 49 4.5.7 Numerische Integration beliebiger Bewegungsgleichungen ................................... 51 5. ARBEIT UND ENERGIE ...................................................................................... 52 5.1 Arbeit ............................................................................................................................. 52 5.2 Leistung......................................................................................................................... 52 5.3 Energie .......................................................................................................................... 52 5.3.1 Übersicht ................................................................................................................. 52 5.3.2 Kinetische Energie (Energie der Bewegung) .......................................................... 53 5.3.3 Potentielle Energie (Energie der Lage) ................................................................... 53 5.3.4 Raumfahrt und Astronomie ..................................................................................... 54 5.3.5 Energie als Erhaltungsgrösse ................................................................................. 55 5.4 Stossgesetze................................................................................................................. 56 5.4.1 Der Impulssatz ........................................................................................................ 56 5.4.2 Vollkommen inelastischer gerader zentrischer Stoss ............................................. 57 5.4.3 Elastischer gerader zentrischer Stoss..................................................................... 58 SB/Version 1.20 Seite 2/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 5.4.4 Reale gerade zentrische Stösse ............................................................................. 59 5.4.5 Anwendungsbeispiele ............................................................................................. 60 6. DREHBEWEGUNG .............................................................................................. 62 6.1 Grundlagen ................................................................................................................... 62 6.2 Rotationsenergie und Trägheitsmoment ................................................................... 64 6.3 Drehimpuls .................................................................................................................... 65 6.4 Gegenüberstellung Translations-/Rotationsbewegung ........................................... 65 SB/Version 1.20 Seite 3/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 1. Kräfte: Grundlagen 1.1 Kraft und Moment: Begriffe Kräfte sind nur durch ihre Wirkung feststellbar. Eine Kraft bewirkt eine Verschiebung (wenn nichts bremst, eine gleichmässige Beschleunigung - siehe 4.4.2.2) oder Verformung eines Körpers. Eine Kraft ist eine sogenannte vektorielle Grösse, d.h. ihre vollständige Angabe umfasst einen Betrag und eine Richtung, im Gegensatz zu skalaren Grössen wie z.B. der Masse, wo eine Masszahl mit einer Einheit (z.B. 27 kg) genügt. Die Einheit der Kraft ist das Newton1, abgekürzt N, definiert als m kg 1N 1 sec 2 Das ist so zu verstehen: 1 N ist die Kraft, die 1 kg in jeder Sekunde um 1 m/sec beschleunigt, also um (1 m/sec)/sec - daraus ergeben sich mathematisch die Quadratsekunden, unter denen sich natürlich niemand direkt etwas vorstellen kann/muss. An der Erdoberfläche erfährt eine Masse m die Gewichtskraft FG = m·g, wo g = 9.81 2 m/sec² die Erdbeschleunigung ist . Der Ansatzpunkt einer Kraft kann aus ihrer Wirkung nicht eindeutig bestimmt werden, er kann an einer beliebigen Stelle auf der sogenannten Wirklinie liegen. Bezüglich eines nicht auf der Wirklinie liegenden Punktes hat eine Kraft neben der Verschiebewirkung auch eine Drehwirkung. Man definiert als Drehmoment oder Kraftmoment oder auch einfach Moment einer Kraft F bezüglich eines Punktes P das Produkt aus Kraft und d, dem senkrechten Abstand von P zur Wirklinie von F, M=F·d Momente haben also die Einheit N·m oder einfach Nm. Auch ein Kräftepaar mit nicht zusammenfallenden parallelen Wirklinien hat je nach Wirkrichtungen ein Moment zur Folge. Wird eine Kraft parallel zu ihrer Wirklinie verschoben, entsteht ein zusätzliches Moment. 1.2 Das Überlagerungsprinzip Zu zwei beliebigen Kräften, die auf den gleichen Körper wirken, gibt es immer eine Einzelkraft, die die gleiche Wirkung (Verschiebewirkung und Drehwirkung bezüglich aller Punkte) hat wie die beiden Kräfte zusammen: 2 Kräfte 1 Kraft Man spricht von der Bildung der resultierenden Kraft oder einfach der Resultierenden der beiden Einzelkräfte. Man konstruiert die Resultierende durch geometrische Addition der Einzelkräfte (Parallelogramm der Kräfte). Die Wirklinie der Resultierenden geht dabei durch den Schnittpunkt der Wirklinien der Einzelkräfte. In der Physik ist fast alles umkehrbar. Wir können auch eine Kraft durch zwei Kräfte ersetzen, die zusammen die gleiche Wirkung haben. In der Ebene ist diese Operation sogar eindeutig, wenn wir von den beiden Kräften die Richtungen vorgeben (die natürlich nicht parallel sein dürfen): 2 Kräfte 1 Kraft 1 Benannt nach Sir Isaac Newton, 1643-1727, einem der grössten Mathematiker und Physiker aller Zeiten 2 g hängt vom Ort ab; Mathcad und der TI-30X Pro rechnen mit g = 9.80665 m/sec². SB/Version 1.20 Seite 4/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Wir nützen diese Umkehrung des Überlagerungsprinzips aus, wenn wir in einem Koordinatensystem die Komponenten der Kräfte bilden. Die Einzelkraft ist dann wieder die Resultierende ihrer Komponenten. 1.3 Kräftesysteme und Gleichgewicht Wir unterscheiden zentrale Kräftesysteme, bei denen sich die Wirklinien aller angreifenden Kräfte in einem Punkt schneiden, dem sogenannten Zentralpunkt, und allgemeine Kräftesysteme, bei denen das nicht der Fall ist. Die Wirklinie der Resultierenden liegt so, dass die Drehwirkung des resultierenden Moments gleich der Summe der Momente der Einzelkräfte ist. In einem zentralen Kräftesystem geht sie deshalb durch den Zentralpunkt. Wir sagen, ein Körper befinde sich im Gleichgewicht, wenn er sich nicht bewegt. Das ist gleichbedeutend damit, dass die Resultierende aller angreifenden Kräfte und das resultierende Moment gleich Null sind3. Daraus ergeben sich zwei Typen von Standardaufgaben, wobei wir uns einfachheitshalber auf ebene (zweidimensionale) Systeme beschränken: In einem (allgemeinen) Kräftesystem sind alle Einzelkräfte bekannt. Gesucht: die resultierende Kraft und ihre Wirklinie so, dass ihr Moment der Summe aller Einzelmomente entspricht. In einem (allgemeinen) Kräftesystem sind einzelne äussere Kräfte bekannt, ausserdem weiss man, dass sich das System im Gleichgewicht befindet. Gesucht: die unbekannten sog. Stützkräfte. 1.4 Resultierende Kraft 1.4.1 Bestimmung der resultierenden Kraft Wie bereits erwähnt, ergibt sich die resultierende Kraft durch geometrische Addition der Einzelkräfte. Ihre Reihenfolge spielt dabei keine Rolle! Wenn wir in einem Koordinatensystem alle Kräfte in Komponenten zerlegen, können wir diese Komponenten einfach durch Addition ihrer Masszahlen addieren. Das Koordinatensystem ist ein Hilfsmittel für die Berechnungen, das Resultat ist, bezogen auf die Körper, nie von der Wahl des Koordinatensystems abhängig - wohl aber der Rechenaufwand! Man wählt das Koordinatensystem normalerweise so, dass möglichst viele Kräfte nur eine Komponente haben und der Bezugspunkt dem Bezugspunkt der Aufgabe entspricht. In den allermeisten Fällen verwenden wir ein kartesisches4 Koordinatensystem. Das ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem, in dem die x-Achse nach rechts, die yAchse nach oben zunimmt. Richtungswinkel messen wir im Gegenuhrzeigersinn ab der x-Achse. Die x- und yKomponenten einer Kraft sind ihre vorzeichenbehafteten Projektionen auf die Koordinatenachsen. Diese ergeben sich mit Hilfe elementarer Trigonometrie zu (Umrechnung [P>R] mit dem TI-30) Fx = F · cos() Fy = F · sin() 3 Ein kräftefreier Körper kann sich auch mit konstanter Geschwindigkeit bewegen (s. 4.4.2.1). Benannt nach René Descartes, 1596-1650 in Paris, einem französischen Mathematiker und Philosophen, der bedeutende Beiträge zur Geometrie geliefert hat 4 SB/Version 1.20 Seite 5/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Nach rechts und nach oben sind so die Komponenten positiv, nach links und nach unten negativ. Bei parallelen Kräften können wir einfach ihre Beträge mit Vorzeichen addieren. Die Komponenten der resultierenden Kraft lassen sich deshalb berechnen als Frx F ix i i i 1 cos( 1 )...Fn cos( n ) i1 i Fry n F cos( ) F Fiy n F sin( ) F i i 1 sin( 1 )...Fn sin( n ) i 1 Damit ist das erste Problem, die Berechnung der Resultierenden, bereits gelöst. Häufig wollen wir von der Resultierenden aber nicht die x- und y-Komponenten in einem willkürlich gewählten Koordinatensystem angeben, sonden den Betrag und die Richtung. Den Betrag berechnen wir in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit Hilfe des bekannten Satzes von Pythagoras5 zu Fr Frx2 Fry2 Wenn sich die Resultierende im 1. Quadranten des Koordinatensystems (im oberen rechten Viertel) befindet, d.h. Frx > 0 und Fry > 0, gilt offensichtlich tan( r ) Fry r arctan Frx Frx Fry Der Tangens nimmt den gleichen Wert an, wenn bei gleichen Beträgen beide Komponenten negativ sind, ebenso sieht man es einem negativen Tangenswert nicht an, ob die x- oder die y-Komponente negativ war! Die Tangensfunktion hat eine Periode von 180°, nimmt also alle 180° wieder dieselben Werte an und ist deshalb eben nur auf 180° eindeutig. Eine kleine Untersuchung mit dem Rechner liefert Quadrant I II III IV x 1 -1 -1 1 y 1 1 -1 -1 Winkel 45° 135° 225° 315° arctan(y/x) 45° -45° 45° -45° Korrektur keine +180° +180° keine oder +360° Wir können also eine Vorschrift zur Berechnung des Winkels bei gegebenen Komponenten wie folgt festlegen: Fry r arctan 180 Frx wenn F 0 rx Falls wir im 4. Quadranten (unten rechts) keine negativen Winkel wollen (diese bereiten allerdings keine Probleme), addieren wir noch 360°, falls r < 0, und wenn wir es ganz genau nehmen, müssen wir noch den Fall Frx = 0 berücksichtigen. Diese Umrechnungen können beim TI-30 mit der Funktion [R>P] vorgenommen werden. Im 4. Quadranten resultiert dabei ein negatives Argument (Winkel). Im Lehrbuch von Böge wird die Bestimmung der Kraftrichtung auf ziemlich umständliche Weise abgehandelt, indem jedesmal bestimmt wird, in welchem Quadranten sie liegt und für jeden Quadranten eine eigene (andere) Formel angewendet wird. 5 Pythagoras, aus Samos, -582 - -496, lebte in Griechenland und Italien SB/Version 1.20 Seite 6/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 1.4.2 Bestimmung der resultierenden Kraft mit dem TI-30X Pro Die komplexe Arithmetik des TI-30X Pro bietet eine einfache Möglichkeit zur geometrischen Addition von Kräften als Addition komplexer Zahlen. Die x-Komponenten werden als Realteile, die y-Komponenten als Imaginärteile komplexer Zahlen x+yi angesehen. Die Eingabe in polarer Darstellung erfolgt im Format (Betrag)(Winkel); das Zeichen ruft man unter [complex] 1: auf. Drücken von [enter] zeigt das Resultat in rechtwinkliger Darstellung an6. Zur Umrechnung in polare Koordinaten wählt man [complex] 4:r. Auf die eingestellte Winkeleinheit achten (ggf. in [mode] einstellen)! Aufgabe 37 von Böge Ein zentrales Kräftesystem besteht aus den Kräften F1 = 22N, F2 = 15N, F3 = 30N und F4 = 25N. Die Richtungswinkel der vier Kräfte betragen 1 = 15°, 2 = 60°, 3 = 145°, 4 = 210°. Gesucht: a) der Betrag der Resultierenden Fr, b) ihr Richtungswinkel r. Lösung 2215 + 1560 + 30145 + 25210 [enter] -17.47482824+23.39169314i -17.47482824 ist die x-Komponente und 23.39169314 ist die y-Komponente der resultierenden Kraft. Umrechnung in Betrag und Richtungswinkel: [complex] 4:r 29.19830355126.7616704 Das Resultat ist Fr = 29.19830355N, r = 126.7616704°. Wenn wir daraus die x- und y-Komponente zur Weiterverwendung extrahieren möchten, speichern wir das Resultat ab, z.B. durch [sto] x, und erhalten die xKomponente durch [complex] 7:real (x) und die y-Komponente durch [complex] 8:imaginary (x). Komplexe Zahlen (Kräfte) können auch abgespeichert werden, zum Beispiel: 2215 [sto] x 1560 [sto] y 30145 [sto] z 25110 [sto] t x + y + z + t [enter] -17.47482824+23.39169314i etc. 6 wenn das komplexe Format in [mode] auf die Grundeinstellung a + bi gesetzt ist SB/Version 1.20 Seite 7/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Aufgabe 51 von Böge Ein zentrales Kräftesystem besteht aus den Kräften F1 = 320 N, F2 = 180 N, F3 = 250 N, die unter den Winkeln 1 = 35°, 2 = 55°, 3 = 160° zur positiven x-Achse wirken. Es soll durch zwei Kräfte FA und FB im Gleichgewicht gehalten werden, die mit der positiven x-Achse die Winkel A = 225° und B = 270° einschließen. a) Wie groß sind FA und FB? b) Welchen Richtungssinn haben sie? Lösung „Gleichgewicht“ bedeutet, dass die Kräfte FA und FB die Kräfte F1, F2 und F3 kompensieren. Es muss also gelten FA·cos(A) + FB·cos(B) = F1x F2x F3x FA·sin(A) + FB·sin(B) = F1y F2y F3y Das sind zwei lineare Gleichungen in den Unbekannten FA und FB. Im Lösungsbuch von Böge ist die Aufgabe “von Hand” gelöst. Wir nutzen hier die Möglichkeiten des TI-30X Pro aus. Es wird empfohlen, beide Lösungswege durchzuarbeiten. Am besten bestimmen wir zuerst die Grössen F1x + F2x + F3x und F1y + F2y + F3y: 32035 + 18055 + 250160 [enter] 130.4492575+416.4968634i [sto] x [complex] 7:real (x) [sto] a [complex] 8:imaginary (x) [sto] b Eingabe des Gleichungssystems ([2nd] [sys-solv]): cos(225 )x cos(270 )y a sin(225 )x sin(270 )y b SOLVE x=184.4831092 y=286.0476059 Die Lösungen sind beide positiv, wir haben also die Kraftrichtungen von FA und FB richtig angenommen. Wenn eine Kraft ein negatives Resultat erhält, war ihre Richtung um 180° falsch angenommen worden. Also: FA = 184.4831092 N A = 225° FB = 286.0476059 N B = 270° SB/Version 1.20 Seite 8/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 1.4.3 Bestimmung der Wirklinie der resultierenden Kraft Beim allgemeinen Kräftesystem ist jetzt noch das resultierende Moment zu berechnen. Auch hier nimmt uns das rechtwinklige Koordinatensystem viel Denkarbeit ab. Bei Momenten verwenden wir die folgende Vorzeichenkonvention: + im Gegenuhrzeigersinn am Bezugspunkt (nach links) drehend – im Uhrzeigersinn am Bezugspunkt (nach rechts) drehend Wir stellen uns eine Kraft F vor, die an einem Punkt mit den Koordinaten xF und yF angreift. Das von der x-Komponente der Kraft bezüglich des Koordinatennullpunktes ausgeübte Moment ist (wie man sich leicht überzeugt, in allen Quadranten!) M0x = -Fx · yF und entsprechend für die y-Komponente M0y = Fy · xF Das Moment von F bezüglich (0|0) ist die Summe der beiden Teilmomente. Auf diese Weise ersparen wir uns die Berechnung des schrägen Abstandes der Wirklinie zum Bezugspunkt. Seien xr und yr die Koordinaten des Angriffspunktes der resultierenden Kraft. Das Moment der Resultierenden muss für alle Punkte, also auch für den Nullpunkt, gleich der Summe der Momente der Einzelkräfte sein; wir können deshalb ansetzen M0r Frx y r Fry xr F ix y i Fiy xi i Diese Gleichung verknüpft x- und y-Koordinaten der möglichen Angriffspunkte und liefert mit anderen Worten die Geradengleichung der Wirklinie, Fry x Frx y F iy x i Fix y i i 1 Fry y x Frx Frx F iy i Fry M x i Fix y i x 0r Frx Frx Damit ist das Problem gelöst, im allgemeinen Kräftesystem die Resultierende so zu bestimmen, dass sie die gleiche Dreh- und Verschiebewirkung hat wie alle Einzelkräfte zusammen. Aus M0r = Fr · dr können wir noch den Abstand zwischen dem Nullpunkt und der Wirklinie der Resultierenden berechnen, M 1 dr 0r Fiy x i Fix y i Fr Fr i Für ein linksdrehendes resultierendes Moment ist dr > 0, sonst ist dr < 0. Für den dem Nullpunkt am nächsten liegenden Punkt auf der Wirklinie erhalten wir mit einer einfachen geometrischen Betrachtung die Koordinaten xr = dr · sin(r) yr = -dr · cos(r) SB/Version 1.20 Seite 9/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 1.4.4 Beispiel An einem rechteckigen Körper der Dimensionen 6m x 4m greifen vier Kräfte an. Bestimme die resultierende Kraft und ihr Drehmoment bezüglich des Zentrums des Rechtecks. Wir wählen den Koordinatenbezugspunkt im Zentrum des Rechtecks. Kraft x y F1 15N 330° 3m 2m F2 12N 70° -2m 2m F3 25N 140° -3m 2m F4 28N 280° -3m -2m F3 F2 F1 F4 12.99 Komponenten Fxi Fi. cos i Fx = 4.104 19.151 newton 4.862 7.5 Fyi Fi. sin i Fy = 11.276 16.07 newton 27.575 Resultierende Komponenten F rx Fx F rx = 2.806 newton F ry Fy F ry = 7.729 newton Betrag Fr F rx Richtungswinkel r im Bereich 0-360 Grad r 2 atan r 2 F ry F ry F rx F r = 8.222 newton if F rx< 0. newton, , 0 if r < 0 , 2. , 0 r = 70.048 deg r = 289.952 deg Resultierendes Moment Mr Fy. x Fx. y Geradengleichung der Wirklinie, y = ·ax+b F ry Steigung a F rx y-Achsenabschnitt SB/Version 1.20 b Mr F rx M r = 3.299 newton. m (Der Ausdruck ist eine Summ e über alle Kräfte!) a = 2.755 b = 1.176 m Seite 10/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 1.5 Stützkraftberechnung bei Gleichgewicht 1.5.1 Methodik Stützkräfte setzen bei gegebenen äusseren und Gewichtskräften einen Körper ins Gleichgewicht. Die Gleichgewichtsbedingungen verlangen, dass die resultierende Kraft und das resultierende Moment bezüglich eines beliebigen Punktes A alle verschwinden müssen, also in der Ebene F F M x 0 y 0 A 0 Häufig ist ein Gegenstand (im zweidimensionalen Fall) an 2 Punkten an der Umgebung festgemacht, so dass von vornherein klar ist, dass die Stützkräfte an diesen Punkten übertragen werden. Wir suchen dann ein Kräftepaar, von dem Ansatzpunkte und (aus den Gleichgewichtsbedingungen) die Summen der x- und y-Komponenten und Momente bekannt sind. Die 3 linearen Gleichungen bestimmen aber nur drei Kraftkomponenten; es ist nicht möglich, daraus für 2 Stützkräfte je eine unabhängige x- und y-Komponente zu erhalten! Eine Lösung nur auf Grund der Gleichgewichtsbedingungen ist nicht eindeutig; wenn wir zu zwei Kräften beliebige sich aufhebende Komponenten in der Verbindungslinie ihrer Angriffspunkte addieren, ändern sich die Summen ihrer x- und y-Komponenten und Momente nicht. Aus diesem Grund hat man normalerweise eine zusätzliche “versteckte” Bedingung, beispielsweise dass bei einer der Stützkräfte die Wirkrichtung gegeben ist. Anstelle der obigen Gleichgewichtsbedingungen kann man auch 3 Momentengleichungen verwenden, sofern die drei Bezugspunkte nicht auf einer Linie liegen. Vorgehen bei der Berechnung Um ein Gefühl für die Sache zu entwickeln, ist es gut, einige Beispiele “intuitiv” durchzurechnen, wie Böge das fast immer tut (siehe Lösungsbuch). Allerdings beinhaltet diese Vorgehensweise bei jeder Aufgabe geometrische Überlegungen, Berechnungen schräger Distanzen und Vorzeichenbetrachtungen, jedesmal mit Fehlermöglichkeiten. Rein rechnerisch ist ein “schematisches” Vorgehen unter Ausnützung eines Koordinatensystems sicherer, wie wir es nachstehend präsentieren. Man muss dabei lediglich von jeder Kraft Ansatzpunkt und, wo gegeben, Richtungswinkel bestimmen, und kann dann die Gleichungen “blind” hinschreiben (und lösen). Wahl des Momentenbezugspunktes: Wird dieser Punkt auf der Wirklinie einer unbekannten Kraft gewählt, kommt diese Kraft in der Momentengleichung nicht vor, was die Rechnung vereinfachen kann. Wahl des Koordinatensystems: So, dass der Momentenbezugspunkt im Nullpunkt liegt und möglichst viele Kräfte nur eine Komponente haben. Damit kann die Momentengleichung auf direktem Weg mit Kraftkomponenten und Angriffskoordinaten dargestellt werden: M 0 0 F iy i sin( ) x cos( ) y F . xi Fix yi i i i i i i Ist von einer Kraft die Wirkrichtung mindestens auf 180° genau bekannt, wird ihr Betrag F als Unbekannte eingesetzt, ist sie nicht bekannt, werden ihre beiden Komponenten Fx und Fy als eigenständige Unbekannte behandelt. Unbekannte Kraftkomponenten setzen wir immer positiv ein, also nach rechts und nach oben, dann erhalten sie bei der Berechnung gerade das richtige Vorzeichen. SB/Version 1.20 Seite 11/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Wird ein Winkel um 180° falsch angenommen, wird der entsprechende Kraftbetrag negativ. Da wir nicht mit Reibung rechnen, können Kontaktflächen nur zu ihnen senkrechte Kräfte übertragen. Zusammenfassung: Gleichung Beitrag von Fi bei bekannter Richtung Fx = 0 + Fi·cos(i) Fy = 0 + Fi·sin(i) M0 = 0 + Fi·[sin(i)·xi – cos(i)·yi] Beiträge von Fix und Fiy bei unbekannter Richtung + Fix + Fiy + Fiy·xi – Fix·yi Damit kann man die Gleichungen ohne weiteres Überlegen sofort hinschreiben, sobald Winkel und Angriffspunkte bestimmt sind! 1.5.2 Beispiele Aufgabe 127 von Böge: Der Bettschlitten einer schweren Hochleistungs-Drehmaschine mit der Belastung F = 18 kN läuft in der skizzierten Führung. Die Abmessungen betragen l1 = 600 mm, l2 = 140 mm, l3 = 780 mm und die Winkel = 60° und = 20°. Mit welchen Kräften FA, FB und FC werden die drei Führungsflächen belastet? Alle Führungsflächen können nur zu ihnen senkrechte Kräfte übertragen, die Richtungen der unbekannten Kräfte FA, FB und FC sind also auf 180° genau bekannt. Wenn wir B oder C als Momentenbezugspunkt wählen, kommt eine der “schrägen” Kräfte in der Momentengleichung nicht vor. Wir wählen B, dann müssen wir die Koordinaten von C nicht noch berechnen. Kraft Angriffspunkt Winkel FA xA = l3 = 0.78 m yA = 0 A = 90° FB xB = 0 yB = 0 B = = 20° FC xC = -l2 = -0.14 m yC = 0 C = 180° – = 120° F = 18 kN xF = l3 – l1 = 0.18 m F = 270° yF ist auf der Wirklinie nicht definiert und wird nicht gebraucht (weil Fx = 0). Gleichgewichtsbedingungen: Fx = cos(A)·FA + cos(B)·FB + cos(C)·FC + cos(F)·F = 0 Fy = sin(A)·FA + sin(B)·FB + sin(C)·FC + sin(F)·F =0 MB = xA·sin(A)·FA + 0 + xC·sin(C)·FC + xF·sin(F)·F = 0 0 FA 0.78 m·FA + 0.940·FB + 0.342·FB +0 – 0.5·FC + 0.866·FC – 0.121 m·FC =0 = 18 kN = 3.24 kNm Lösungen: FA = 5.942 kN, FB = 6.122 kN, FC = 11.505 kN SB/Version 1.20 Seite 12/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Aufgabe 102 von Böge: Eine Leiter liegt bei A auf einer Mauerkante und ist bei B in einer Vertiefung abgestützt. Die Berührung bei A und B ist reibungsfrei. Auf halber Höhe zwischen A und B steht ein Mann mit FG = 800 N Gewichtskraft, die Gewichtskraft der Leiter bleibt unberücksichtigt. Die Abstände betragen l1 = 4 m und l2 = 1.5 m. Gesucht: a) die Stützkraft FA und ihre Komponenten FAx und FAy (waagerecht und senkrecht), b) die Stützkraft FB und ihre Komponenten FBx und FBy. “Die Berührung bei A ist reibungsfrei” heisst, dass bei A nur Kräfte senkrecht zur Leiter übertragen werden können. Bei dieser Aufgabe ist also von FA die Richtung gegeben, und wir bestimmen als Unbekannte FA, FBx und FBy. Momentenbezugspunkt ist B, also xB = 0 und yB = 0, dann kommen 2 der 3 Unbekannten in der Momentengleichung nicht vor - und die Momentengleichung hat nur 1 Unbekannte. Kraft Angriffspunkt Winkel FA xA = -l2 yA = l1 l A arctan 2 20.556 l1 FG xF = -½l2 yF = ½l1 F = 270° Gleichgewichtsbedingungen: Fx = cos(A)·FA + FBx + 0 + cos(F)·FG =0 Fy = sin(A)·FA + 0 + FBy + sin(F)·FG =0 MB = (xA·sin(A) – yA·cos(A))·FA + 0 + 0 + xF·sin(F)·FG = 0 0.936·FA + FBx + 0 =0 0.351·FA +0 + FBy = 800 N 4.272 m·FA + 0 +0 = 600 Nm Lösungen: FA = 140.449 N, FAx = FA·cos(A) = 131.507 N, FAy = FA·sin(A) = 49.315 N FBx = -131.507 N, FBy = 750.685 N 2 2 FB FBx FBy 762.117 N FBy B arctan 180 99.936 9956'11" FBx SB/Version 1.20 Seite 13/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Aufgabe 129 von Böge: Der Reitstock einer Gewindeschälmaschine wird auf einer Dachführung D1, D2 und einer Flachführung F geführt. Im Schwerpunkt S greift seine Gewichtskraft von 3.2 kN an. Die Abmessungen betragen l1 = 275 mm, l2 = 200 mm, l3 = 120 mm, l4 = 500 mm, der Winkel = 35°. Welche Stützkräfte wirken an den Führungsflächen D1, D2 und F? Die Unbekannten sind F1, F2 und FF. Alle Führungsflächen können nur senkrechte Kräfte übertragen, die Richtungen der unbekannten Kräfte sind also bekannt. Wir wählen als Momentenbezugspunkt D1, damit die Momentengleichung einfach wird (es kommt nur eine der “schrägen” Kräfte vor). Kraft F1 F2 FF FG = 3.2 kN Angriffspunkt x1 = 0 y1 = 0 x2 = l3 y2 = 0 xF = -l1 + l2 yF = l4 xS = -l1 Winkel 1 = 90° + = 125° 2 = = 35° F = 0° S = 270° Gleichgewichtsbedingungen: Fx = cos(1)·F1 + cos(2)·F2 + cos(F)·FF + cos(S)·FG = 0 Fy = sin(1)·F1 + sin(2)·F2 + sin(F)·FF + sin(S)·FG =0 M1 = 0 + x2·sin(2)·F2 + (xF·sin(F) – yF·cos(F))·FF + xS·sin(S)·FG = 0 -0.574·F1 0.819·F1 0 + 0.819·F2 + FF + 0.574·F2 +0 + 0.0688 m·F2 – 0.5 m·FF =0 = 3.2 kN = -0.88 kNm Lösungen: F1 = 1.320 kN, F2 = 3.694 kN, FF = -2.268 kN (Diese Gleichungen werden bei Böge auf unglaublich komplizierte Weise gelöst.) 1.6 Fachwerke Ein Fachwerk ist eine Tragkonstruktion aus Profilstäben; wer hat noch nie den Eiffelturm gesehen? Oder einen Baukran oder einen Hochspannungsmasten? Gegenüber einer Vollkonstruktion spart ein Fachwerk Material und damit Gewicht und Geld. Die Verbindungsstellen der Stäbe heissen Knoten. Wir nehmen an, dass die Knoten keine Momente übertragen, dass also alle Stäbe nur Zug- oder Druckkräfte (keine Biege-, Torsions- oder Scherkräfte) übertragen und die Knoten als Gelenke angesehen werden können. Jeder Knoten ist Zentralpunkt eines zentralen Kräftesystems. Da nur Zug- und Druckkräfte übertragen werden können, verlaufen die Wirklinien aller Stabkräfte in den Stabachsen. Von allen Stabkräften sind also die Richtungen auf 180° genau bekannt. Ein Fachwerk ist im Gleichgewicht, wenn jeder Knoten und jeder Stab für sich im Gleichgewicht ist. Die an den beiden Enden eines Stabes angreifenden Kräfte sind deshalb einander entgegengesetzt. Ein Druckstab drückt an beiden Enden auf den Knoten, ein Zugstab zieht an beiden Enden am Knoten! SB/Version 1.20 Seite 14/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Die Gleichgewichtsbedingungen liefern aus n Knoten 2n Gleichungen - das ergibt schnell unhandlich grosse Gleichungssysteme. Da es 3 Stützkräfte (bzw. Komponenten) gibt, muss ein Fachwerk mit n Knoten, um geometrisch bestimmt zu sein, aus 2n – 3 Stäben bestehen. Die einfachste starre Figur ist das Dreieck. (Äussere) Stützkräfte können wir auch wie in 1.5 für sich berechnen. Mit zwei Kräften in bekannten (nichtparallelen) Richtungen kann in der Ebene jede beliebige Kraft ins Gleichgewicht gesetzt werden. Wenn wir also einen Knoten finden, an dem zwei unbekannte Stabkräfte mit nichtparallelen (d.h. hier: ungleichen) Wirklinien angreifen, können wir diese beiden Kräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen an diesem Knoten isoliert für sich berechnen und dann einen neuen Knoten mit einer oder zwei unbekannten Stabkräften suchen, und so weiter bis ans Ende. Das Erkennen von konstruktiven und belastungsmässigen Symmetrien kann die Rechnung vereinfachen. Wenn wir unbekannte Stabkräfte als Zugkräfte in die Gleichungen einsetzen, werden alle Druckkräfte negativ, was eine einfache Unterscheidung erlaubt. Lösungsverfahren (wir bezeichnen Stabkräfte mit si) 1. Bestimme mit den Methoden aus Kapitel 1.5 die äusseren Stützkräfte. 2. Finde einen Knoten mit 2 unbekannten Stabkräften. Am Knoten greifen an: 2 unbekannte Stabkräfte si und sj keine, eine oder mehrere bekannte Stabkräfte su keine, eine oder mehrere bekannte äussere Kräfte Fk Die Richtungswinkel der beiden unbekannten Kräfte, i und j, werden bestimmt, wie wenn die Kräfte Zugkräfte wären, und die Gleichungen Fx = 0 Fy = 0 nach den Unbekannten si und sj aufgelöst. Wird eine Stabkraft in der Berechnung negativ, heisst das, dass es sich dabei um eine Druckkraft handelt. 3. Wiederhole Schritt 2, bis alle Stabkräfte bestimmt sind. Da wir die 3 Stützkräfte bereits zuvor bestimmt haben, brauchen wir die letzten 3 Knotengleichungen nicht. Die letzte Stabkraft kann man über die x- oder y-Komponenten berechnen - das Resultat muss das gleiche sein. Das Aufstellen der Gleichungen kann systematisiert und damit vereinfacht werden. Die Umkehrung der Richtung der (bekannten) Stabkräfte beim neuen Knoten entspricht einem Vorzeichenwechsel. Wir können also für die Gleichungen ansetzen F cos i si cos j s j x F y cos s cos F u u sin i si sin j s j k sin s u 0 sin k Fk 0 k u u u k k cos i si cos j s j sin i si sin j s j cos s cos F u u u k k k sin s sin F u u u k k k Damit stehen die unbekannten Terme links vom Gleichheitszeichen, die bekannten rechts. Alle bereits ermittelten Stabkräfte behalten dabei für die weitere Rechnung Winkel und Vorzeichen so, wie sie bei ihrer ersten Bestimmung als Zugkräfte berechnet wurden. SB/Version 1.20 Seite 15/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Aufgabe 167 von Böge: Das skizzierte Fachwerk trägt in den oberen Knotenpunkten die Lasten F1 = 30 kN und F2 = 10 kN. Gesucht: a) die Stützkräfte FA und FB, b) die Stabkräfte s1...s9. Es ist S = 90°, F = 270°. Fy = FA + FB – F1 – F2 =0 MA = 0 + 6 m·FB – 1 m·F1 – 4 m·F2 = 0 Stützkräfte: FA = 28.333 kN, FB = 11.667 kN Knoten I (Punkt A): 15 . m 8 = 0°, 9 arctan 56.31 1m cos(8)·s8 + cos(9)·s9 = -cos(S)·FA s8 + 0.555·s9 = 0 sin(8)·s8 + sin(9)·s9 = -sin(S)·FA 0.832·s9 = -28.33 kN Lösungen: s8 = 18.889 kN (Zugkraft), s9 = -34.052 kN (Druckkraft) Knoten II: 15 15 . m . m 6 360 arctan 343.301 , 7 360 arctan 303.69 5m 1m cos(6)·s6 + cos(7)·s7 = cos(9)·s9 – cos(F)·F1 0.958·s6 + 0.555·s7 = -18.889 kN sin(6)·s6 + sin(7)·s7 = sin(9)·s9 – sin(F)·F1 -0.287·s6 – 0.832·s7 = 1.667 kN Lösungen: s6 = -23.201 kN (Druckkraft), s7 = 6.009 kN (Zugkraft) Knoten III: 4 = 0°, 5 = 360° – 6 = 16.669° cos(4)·s4 + cos(5)·s5 = cos(7)·s7 + cos(8)·s8 s4 + 0.958·s5 = 22.222 kN sin(4)·s4 + sin(5)·s5 = sin(7)·s7 + sin(8)·s8 0.287·s5 = -5 kN Lösungen: s4 = 38.889 kN (Zugkraft), s5 = -17.401 kN (Druckkraft) Knoten IV: 2 = 6 = 343.301°, 3 = 270° cos(2)·s2 + cos(3)·s3 = cos(5)·s5 + cos(6)·s6 – cos(F)·F2 0.958·s2 = -38.889 kN sin(2)·s2 + sin(3)·s3 = sin(5)·s5 + sin(6)·s6 – sin(F)·F2 -0.287·s2 – s3 = 11.667 kN Lösungen: s2 = -40.601 kN (Druckkraft), s3 = 0 kN (kräftefrei) Knoten V (Punkt B): 1 = 180° cos(1)·s1 = cos(2)·s2 s1 = 38.889 kN (Zugkraft) Damit sind alle Stabkräfte bestimmt, den letzten Knoten braucht es nicht mehr! SB/Version 1.20 Seite 16/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 2. Schwerpunkt 2.1 Begriff, Momentensatz Für statische Betrachtungen verhält sich jeder starre Körper so, wie wenn seine gesamte Masse in einem Punkt konzentriert wäre, dem Schwerpunkt. Wir der Körper aufgehängt, liegt der Schwerpunkt senkrecht unter dem Aufhängepunkt. Eine Linie, die durch den Schwerpunkt geht, heisst Schwerelinie. Die Wirklinien der Gewichtskraft sind Schwerelinien. Damit ist skizziert, wie der Schwerpunkt in der Praxis bestimmt werden kann: Man bestimmt den Schnittpunkt von zwei Schwerelinien. Das gilt für beliebig komplizierte Körper. Wird ein Körper in zwei Teilkörper zerlegt, so ist die Summe der Momente der Gewichtskräfte der beiden Teilkörper für einen beliebigen Punkt P gleich dem Moment der Gewichtskraft des Gesamtkörpers. Es gilt also für die Schwerpunkte der Teilkörper (komponentenweise) ein Momentensatz (Hebelgesetz) FG dSP FG1 dSP1 FG2 dSP2 dSP FG1 dSP1 FG2 dSP2 FG1 FG2 wo dSP der (vorzeichenbehaftete) Wirkabstand der Gewichtskraft vom Punkt P ist. Dadurch besteht bei komplizierten Körpern die Möglichkeit, sie zur rechnerischen Bestimmung des Schwerpunktes in einfache Teilkörper zu zerlegen, deren Schwerpunkte bekannt sind. Diese Zerlegung kann additiv oder subtraktiv erfolgen! Das Erkennen und Ausnützen von Symmetrien kann die Arbeit vereinfachen. Bei achsensymmetrischen Körpern liegt beispielsweise der Schwerpunkt normalerweise (bei gleichmässiger Gewichtsverteilung) auf der Symmetrieachse. 2.2 Flächenschwerpunkt Bei flächigen Körpern mit gleichmässigem Flächengewicht spricht man vom Flächenschwerpunkt. Bei einem derartigen Gebilde liegt der Schwerpunkt beim geometrischen Schwerpunkt des Flächengebildes. Beim Momentensatz kann man deshalb an Stelle der einzelnen Gewichtskräfte mit den Teilflächen rechnen. Schwerpunktlagen einfacher Flächen: Rechteck Der Schwerpunkt liegt in der Mitte der Figur. Dreieck Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (= Fläh chenhalbierenden). Es gilt y 0 , wo h die Dreieckshöhe (Senkrech3 te auf der Seite durch die gegenüberliegende Ecke) ist. Kreissektor Wenn der halbe Öffnungswinkel und R der Radius ist, beträgt der Abstand des Schwerpunktes vom Kreismittelpunkt durch die Mittellinie des Sektors y0 2 R sin . 3 rad Zur Umrechnung des Winkels von ° in rad dividiert man ihn durch 180/ = 57.296. Anwendungen: Angriffspunkt der Gewichtskraft, des Luftwiderstandes. SB/Version 1.20 Seite 17/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Beispiele Im Momentensatz müssen die Schwerpunktabstände der einzelnen Teilkörper immer ab Bezugslinie (Bezugspunkt) gerechnet werden! Aufgabe 203 von Böge Der Körper besteht aus 4 Rechtecken. Zu bestimmen sind x0 und y0. Die Aufteilung kann auch anders vorgenommen werden. i Fläche Ai xi yi 1 28x1.5=42 28/2=14 1.5/2=0.75 2 (32–2·1.5)x1.5=43.5 1.5/2=0.75 32/2=16 3 18x1.5=27 32–1.5/2=31.25 18/2=9 4 (10–1.5)x1.5=12.75 18–1.5/2=17.25 32–1.5–8.5/2=26.25 42 14 43.5 0.75 27 9 12.75 17.25 1083.5625 8.651 42 43.5 27 12.75 125.25 42 0.75 43.5 16 27 3125 . 12.75 26.25 y0 15.217 125.25 x0 Aufgabe 228 von Böge (abgewandelt) Der Körper besteht aus einem Rechteck und einem Halbkreis, der links von der Bezugslinie angebracht ist. Der Schwerpunktabstand des Halbkreises in x ist deshalb negativ. Zu bestimmen ist x0. 2 R 1 4 R Beim Halbkreis ist = 90° = /2, also y 0 . 3 3 2 Figur Fläche Schwerpunktabstand Rechteck 20 mm x 30 mm = 600 mm² 10 mm 4 10 mm Halbkreis ½·(10 mm)²· = 157.1 mm² 4.244 mm 3 x0 600 mm2 10 mm 157.1mm2 4.244 mm 7.045 mm 600 mm2 157.1mm2 Aufgabe 229 von Böge (abgewandelt) Der Körper besteht aus einem Quadrat, dem ein Halbkreis ausgeschnittenen ist. Der Halbkreis wird deshalb subtrahiert, wir geben seiner Fläche ein negatives Vorzeichen. Zu bestimmen ist x0. Figur Quadrat Fläche 20 mm x 20 mm = 400 mm² Halbkreis -½·(5 mm)²· = -39.27 mm² x0 Schwerpunktabstand 10 mm 4 5 mm 20 mm 17.878 mm 3 400 mm2 10 mm 39.27 mm2 17.878 mm 9.142 mm 400 mm2 39.27 mm2 SB/Version 1.20 Seite 18/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 2.3 Linienschwerpunkt Bei linienförmigen Körpern mit gleichmässigem Längengewicht spricht man vom Linienschwerpunkt. Bei einem derartigen Gebilde liegt der Schwerpunkt beim geometrischen Schwerpunkt des Liniengebildes. Beim Momentensatz kann man deshalb an Stelle der einzelnen Gewichtskräfte mit den Teillängen rechnen. Kreisbogenstück: Wenn der halbe Öffnungswinkel und R der Radius ist, beträgt der Abstand des Schwerpunktes vom Kreismittelpunkt durch die Mittellinie des Sektors y0 R sin . rad Zur Umrechnung des Winkels von ° in rad dividiert man ihn durch 180/ = 57.296. Anwendungen: Angriffspunkt der Gewichtskraft bei einem Fachwerk. Bei einem Stanzwerkzeug muss darauf geachtet werden, dass der Linienschwerpunkt der auszustanzenden Kontur genau in der Stösselachse liegt, um Verkantungen und exzentrische Beanspruchungen zu verhindern. Beispiel Berechne den Schwerpunkt des Fachwerks auf Seite 16 bezüglich Lager A! Zur Vereinfachung fassen wir Stäbe 8, 4, 1 zu einem Stab zusammen, ebenso Stäbe 6 und 2. Stab i 9 8,4,1 Länge li 2 . m =1.80 m 1m 2 15 6m xi yi 0.5 m 0.75 m 3m 0m 7 2 . m = 1.80 m 1m 2 15 1.5 m 0.75 m 6,2 2 . m 5 m 2 15 3.5 m 0.75 m 5 2 m 2 0.6 m 2 = 2.09 m 3m 0.3 m 4m 0.3 m 3 0.6 m = 5.22 m Gesamtlänge 17.51 m 18 . 0.5 6 3 18 . 15 . 5.22 3.5 2.09 3 0.6 4 2.772 m 17.51 18 . 0.75 6 0 18 . 0.75 5.22 0.75 2.09 0.3 0.6 0.3 y0 0.424 m 17.51 x0 SB/Version 1.20 Seite 19/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Lösung mit dem TI-30X Pro Die vielseitig nutzbare Datentabelle des TI-30X Pro kann 42x3 Einträge aufnehmen. Die Produktsumme zwischen den Daten in L1 und L2 können wir mit 2-Var Stats mit XDATA=L1 und YDATA=L2 ermitteln. Die Summe der L1 ist dann x, die Summe der L1·L2 ist xy. Die Speicher a und b stehen nicht zur Verfügung, sie werden bei 2-VariablenStatistik mit den Resultaten der linearen Regression belegt. 1. Dateneingabe [data] L1 L2 L3 0.5 0.75 3 0 12 15 . 2 1.5 0.75 52 15 . 2 3.5 0.75 22 0.6 2 3 0.3 4 0.3 12 15 . 2 6 0.6 [quit] 2. Berechnung x-Koordinate des Schwerpunktes: [stat-reg/distr] 3:2-Var Stats XDATA: L1 YDATA: L2 FRQ: ONE CALC [enter] :xy [enter] [] [stat-reg/distr] 1:StatVars 8:x [enter] [=] 2.771549651 (In der Anzeige steht: xy/x) y-Koordinate des Schwerpunktes: [stat-reg/distr] 3:2-Var Stats XDATA: L1 YDATA: L3 FRQ: ONE CALC [enter] :xy [enter] [] [stat-reg/distr] 1:StatVars 8:x [enter] [=] 0.423992011 SB/Version 1.20 Seite 20/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 2.4 Rotationskörper Rotationskörper sind Körper mit einer Achse, bei denen alle Querschnitte senkrecht zur Achse kreis(ring)förmig sind. Volumen und Oberfläche derartiger Körper lassen sich mit Hilfe der Schwerpunktbestimmung besonders einfach berechnen. Wir stellen uns vor, dass das Volumen des Körpers dadurch entsteht, dass eine Fläche - die erzeugende Fläche - um die Achse rotiert. Dabei erzeugt jedes kleine Flächenelement Ai im Abstand xi von der Achse einen “Schlauch” mit dem Volumen Vi = Ai · 2xi. Summiert über die ganze Fläche erhalten wir mit dem Momentensatz V V A i i 2xi 2 i A i i xi 2 A x 0 i wo A die Gesamtfläche und x0 ihren Schwerpunktabstand von der Achse bezeichnen. Entsprechend für die Oberfläche: Diese entsteht dadurch, dass eine Linie - die erzeugende Kontur - um die Achse rotiert. Dabei erzeugt jedes kleine Linienelement li im Abstand xi von der Achse einen “Gürtel” mit der Fläche Ai = li · 2xi. Summiert über die ganze Kontur erhalten wir mit dem Momentensatz A A l 2x i i i i 2 l x i i i 2 l x 0 i wo l die Gesamtlänge und x0 ihren Schwerpunktabstand von der Achse bezeichnen. Das sind die sogenannten Guldin7’schen Regeln: Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche, multipliziert mit dem Weg ihres Schwerpunktes bei einer Umdrehung. Die Oberfläche eines Rotationskörpers ist gleich der Länge der erzeugenden Kontur, multipliziert mit dem Weg ihres Schwerpunktes bei einer Umdrehung. Wenn man eine erzeugende Fläche mit dem Momentensatz aus Teilen aufbaut, ist es zur Berechnung des Volumens nicht erforderlich, den Schwerpunktabstand und die Gesamtfläche zu berechnen, denn A x i i i V 2 A x 0 2 A A x0 2 A x i i i Entsprechend gilt für die Oberfläche A 2 l x i i i 7 Paul Guldin, Jesuitenpater, geboren 1577 in St. Gallen, gestorben 1643 in Graz. SB/Version 1.20 Seite 21/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Beispiel (nach Aufgabe 243 von Böge) Berechne Fläche (Blechbedarf) und Volumen des abgebildeten Körpers. Die Wanddicke wird vernachlässigt. Ru = 20 mm, Ro = 10 mm Oberfläche: Wir zerlegen die Kontur in zwei Geradenstücke und zwei Viertelkreise. Für einen “liegenden” Viertelkreis ist die x-Komponente des unter 45° geneigten R sin 45 2 R cos 45 Schwerpunktabstandes y0 gleich x 0 . 4 Geradenstück am Boden: l1 = 110 mm – Ru = 90 mm, x1 = 45 mm Rundung unten: 2 Ru 1 102.732 mm l2 2 Ru Ru 31416 . mm , x 2 l1 4 2 Geradenstück seitlich: l3 = H – Ro – Ru = 145 mm, x3 = r = 110 mm Rundung oben: D 2 Ro 1 113.634 mm l4 2 Ro Ro 15.708 mm , x 4 2 4 2 Oberfläche A = 2··(l1·x1 + l2·x2 + l3·x3 + l4·x4) = 1571.575 cm² Volumen: Wir zerlegen die erzeugende Fläche in ein Rechteck 110 mm x 175 mm, von dem unten eine Rundung weggeschnitten und oben eine angefügt wird. Bei der Rundung unten subtrahieren wir ein Quadrat 20 mm x 20 mm und addieren wieder einen Viertelkreis mit Radius 20 mm, bei der Rundung oben addieren wir ein Quadrat 10 mm x 10 mm und subtrahieren davon den Viertelkreis mit Radius 10 mm. Für einen “liegenden” Viertelkreis ist die x-Komponente des unter 45° geneigten 2 R sin 45 4 R cos 45 Schwerpunktabstandes y0 gleich x 0 . 3 3 4 Rechteck: A1 = 110 mm · 175 mm = 19250 mm², x1 = 55 mm Quadrat unten (wird subtrahiert): A2 = Ru² = 400 mm², x2 = 100 mm Viertelkreis unten (wird addiert): 4 Ru 1 98.488 mm A 3 Ru2 314.159 mm2 , x 3 l1 3 4 Quadrat oben (wird addiert): A4 = Ro² = 100 mm², x4 = 115 mm Viertelkreis oben (wird subtrahiert): 4 Ro 1 115.756 mm A 5 Ro2 78.54 mm2 , x 5 120 mm 3 4 Volumen V = 2··(A1·x1 – A2·x2 + A3·x3 + A4·x4 – A5·x5) = 6.611 Liter SB/Version 1.20 Seite 22/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit Wir unterscheiden drei Arten von Gleichgewichtslagen: stabiles Gleichgewicht, bei dem bei jeder Störung der Schwerpunkt des Körpers angehoben werden muss und der bei Aufhebung der Störung in den Ausgangszustand zurückfällt. labiles Gleichgewicht, bei dem bei jeder Störung der Schwerpunkt des Körpers abgesenkt wird und der in einen neuen Zustand übergeht (umfällt, herunterfällt). indifferentes Gleichgewicht, bei dem der Schwerpunkt weder angehoben noch abgesenkt wird und wo der Körper nach Aufhebung der Störung im neuen Zustand bleibt. Wir definieren als Standsicherheit das Verhältnis M S S , MK wo MS das Standmoment und MK das Kippmoment bezeichnen. Weil sowohl Standmoment wie auch Kippmoment von der jeweiligen betrachteten Kippsituation (z.B. Lage der Kippkante) abhängen, gilt das auch für die Standsicherheit. Für das Kippen nach links oder rechts beispielsweise gibt es also unterschiedliche Standsicherheiten. Beispiel: Kran (aus Böge, Abschnitt 2.5.2.2). Bestimme das Gegengewicht G3 so, dass die Standfestigkeit mindestens 1.5 beträgt. Es werden zwei Kippsituationen geprüft: a) Kran ohne Nutzlast, Kippen nach hinten um Achse A. MS = FG1 · l1 MK = FG3 · l4 b) Kran mit Nutzlast, Kippen nach vorne um Achse B. MS = FG3 · (l2 + l4) + FG1 · (l2 – l1) MK = FG2 · (l3 – l2) Es ist klar, dass eine Erhöhung des Gegengewichtes G3 gleichzeitig die Standsicherheit für Fall a) vermindert und für Fall b) erhöht (und umgekehrt). Es wird also einen minimalen und einen maximalen Wert für das Gegengewicht geben, für den für beide Fälle gleichzeitig S 1.5 gilt. Lösung: a) unbelasteter Fall F G3a F G1. l 1 F G3a = 133.333 kN S. l 4 F G3a g = 13596.216 kg b) belasteter Fall F G3b S. F G2. l 3 SB/Version 1.20 l2 l2 F G1. l 2 l4 l1 F G3b = 78.676 kN F G3b g = 8022.767 kg Seite 23/67 Inovatech Technikerschule Mechanik In der untenstehenden Graphik sind die Standsicherheiten für beide Fälle gegen das Gegengewicht G3 aufgetragen, und man erkennt die beiden Lösungen dort, wo je eine der Kurven den Wert 1.5 annimmt. Graphische Darstellung, Standsicherheit gegen Gegengewichtskraf tf ür beide Fälle: F G1. l 1 S a F G3 F G3. l 2 S b F G3 F G3. l 4 l4 F G1. l 2 F G2. l 3 l1 l2 3.5 3.25 3 2.75 S a F G3 2.5 2.25 S b F G3 2 1.75 1.5 1.25 1 60 80 100 120 140 160 F G3 kN Schnittpunkt der beiden Kurv en: F max F G1. l 2 l 1 .l 4 2 F G1 . l 2 2 2 l 1 .l 4 2. l 4. l 2 F max = 105.21 kN F max g S max F G1. l 1 F max. l 4 SB/Version 1.20 4. l 4. l 2 l4 . l3 l 2 . l 1. F G1. F G2 l4 Gegengewichtskraf t f ür maximale Standsicherheit = 10728.462 kg S max = 1.901 Standsicherheit in diesem Fall Seite 24/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 3. Reibung 3.1 Grundlagen Wir wissen: Um einen Körper auf einem andern Körper zu verschieben, ist eine Kraft erforderlich. Diese muss die Reibungskraft überwinden. Die Reibungskraft hängt ab von der Kraft, mit der die Körper aneinandergepresst werden, der Normalkraft, der Art der Oberfläche (Rauhigkeit) und der Anwesenheit von Fremdstoffen (z.B. Öl); sie hängt nicht (oder nur ganz schwach) ab von der Grösse der Kontaktfläche und der Geschwindigkeit der Bewegung. Um eine Bewegung mit Reibung in Gang zu bringen (Haftreibung), ist normalerweise eine grössere Kraft erforderlich, als um die bestehende Bewegung in Gang zu halten (Gleitreibung). Die Reibkraft wirkt immer der betrachteten Bewegung entgegen. Diese Reibkraft existiert nicht ohne eine beabsichtigte oder tatsächliche Bewegung! Reibungsvorgänge sind sehr komplex und lang nicht bis ins Letzte verstanden. In der Praxis sind immer Versuche und Messungen nötig. Die Wissenschaft von der Reibung heisst Tribologie. Wir definieren als Reibzahl oder Reibwert oder Reibungskoeffizienten das Verhältnis aus der Reibkraft und der Anpresskraft auf die Fläche, der Normalkraft FN, F R FN und unterscheiden dabei zwischen der Haftreibzahl µ0 und der Gleitreibzahl µ, wo µ0 µ. 3.2 Reibung auf der schiefen Ebene 3.2.1 Grundsätzliches Auf einer unter dem Winkel zur Horizontalen geneigten schiefen Ebene zerlegen wir alle Kräfte in Komponenten parallel und senkrecht zur schiefen Ebene und addieren sie zusammen zu Hangabtriebskraft FH und Normalkraft FN. Mit der Gewichtskraft FG allein erhalten wir beispielsweise (siehe Figur) FH = FG·sin() FN = FG·cos() Beim Herunterrutschen auf der schiefen Ebene wirkt die Reibkraft nach oben, die Hangabtriebskraft wird um die Reibkraft vermindert, und es herrscht eine resultierende Kraft talwärts von Fres FH FRe ib FH FN FG sin cos SB/Version 1.20 Seite 25/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Bei µ = tan() wird Fres = 0, d.h. Gleichgewicht. Ist kleiner als dieser Wert, überwiegt die Reibkraft und es passiert nichts, ist grösser als dieser Wert, gibt es eine resultierende Kraft nach unten. Zur Bestimmung der Reibzahl eignet sich eine verstellbare schiefe Ebene: Für µ0 wird die Ebene langsam hochgestellt, bis sich der Körper von selber in Bewegung setzt: nun ist µ0 = tan(). Für µ wird der kleinste Winkel gesucht, bei dem der Körper nach Anschieben nicht wieder anhält. Jetzt ist µ = tan(). Die Neigung der Ablaufbahn einer Schiffswerft muss zwischen arctan(µ0) und arctan(µ) liegen. Beispiel zur Illustration: Zwei Körper sind über eine masselose Schnur und eine reibungsfreie Rolle miteinander verbunden. Was geschieht, wenn die Arretierung gelöst wird? m1 = 150 kg, m2 = 110 kg, 1 =30°, 2 = 60° µ1,0 = 0.12, µ1 = 0.09, µ2,0 = 0.16, µ2 = 0.11 Hangkraft Normalkraft Haftreibkraft Gleitreibkraft links FH1 = m1·g·sin(1) = 735.5 N FN1 = m1·g·cos(1) = 1273.9 N µ1,0·FN1 = 152.9 N µ1·FN1 = 114.7 N rechts FH2 = m2·g·sin(2) = 934.2 N FN2 = m2·g·cos(2) = 539.4 N µ2,0·FN2 = 86.3 N µ2·FN2 = 59.3 N Wir untersuchen die vier grundsätzlich möglichen Fälle: Bewegung aus dem Stand nach links: Hangkraft 1 zieht nach unten, Hangkraft 2 und beide Haftreibkräfte wirken der Bewegung entgegen. Beschleunigungskraft 735.5 N, Bremskraft 934.2 N + 152.9 N + 86.3 N = 1173.4 N Die Bewegung ist nicht aus dem Stand heraus möglich. Sie kann durch eine nach links wirkende Kraft von 1173.4 N – 735.5 N = 437.9 N angeschoben werden. Laufende Bewegung nach links: Hangkraft 1 zieht nach unten, Hangkraft 2 und beide Gleitreibkräfte wirken der Bewegung entgegen. Beschleunigungskraft 735.5 N, Bremskraft 934.2 N + 114.7 N + 59.3 N = 1108.2 N Die Bremsung ist stärker als die Beschleunigung, die eingeleitete Bewegung kommt von selber wieder zum Stillstand. Bewegung aus dem Stand nach rechts: Hangkraft 2 zieht nach unten, Hangkraft 1 und beide Haftreibkräfte wirken der Bewegung entgegen. Beschleunigungskraft 934.2 N, Bremskraft 735.5 N + 152.9 N + 86.3 N = 974.7 N Die Bewegung ist nicht aus dem Stand heraus möglich. Sie kann durch eine nach rechts wirkende Kraft von 974.7 N – 934.2 N = 40.5 N angeschoben werden. Laufende Bewegung nach rechts: Hangkraft 2 zieht nach unten, Hangkraft 1 und beide Gleitreibkräfte wirken der Bewegung entgegen. Beschleunigungskraft 934.2 N, Bremskraft 735.5 N + 114.7 N + 59.3 N = 909.5 N Die Beschleunigung ist stärker als die Bremsung, die eingeleitete Bewegung bleibt im Gang und wird mit einer resultierenden Kraft von 934.2 N – 909.5 N = 24.7 N beschleunigt. SB/Version 1.20 Seite 26/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 3.2.2 Reibung in Kombination mit einer äusseren Kraft (vgl. Böge) Reibung an einer schiefen Ebene hat zahlreiche wichtige technische Anwendungen: Gewinde an Schrauben, Spindeln, Schnecken Keile Rutschen etc. Wir untersuchen die Bewegung auf der schiefen Ebene unter dem Einfluss der Schwerkraft und einer äusseren Kraft. 3.2.2.1 Ziehen nach oben An einem Körper der Gewichtskraft FG auf einer schiefen Ebene mit Neigung und Reibung µ ziehe eine Kraft F unter einem Winkel (von der Horizontalen gemessen). Wir richten das Koordinatensystem parallel zur schiefen Ebene aus und bezeichnen den Ansatzwinkel von F in diesem System mit = – . Von der Kraft F wirkt ein Teil F·sin() in Richtung der Normalkraft und vermindert oder erhöht dadurch die Reibkraft (die hier nach unten wirkt), während F·cos() in Richtung von FH wirkt: F x F cos( ) FG sin( ) FR F cos( ) FG sin( ) FG cos( ) F sin( ) F cos( ) sin( ) FG sin( ) cos( ) 0 F FG sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) 3.2.2.2 Halten Ein Körper soll durch eine Haltekraft am Abrutschen gehindert werden. Da die Reibkraft immer der Bewegung entgegenwirkt, ergibt sich dieses Resultat aus dem von 3.2.2.1 durch Ersetzen von µ durch -µ0: F FG sin() 0 cos() cos( ) 0 sin( ) 3.2.2.3 Verschieben nach unten Ein Körper soll durch eine Stosskraft auf der schiefen Ebene nach unten gestossen werden. Gegenüber 3.2.2.2 ist die Kraft um 180° gedreht, man kann also einfach im dortigen Resultat F durch -F ersetzen: sin( ) cos( ) F FG cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) FG sin( ) cos( ) 3.3 Reibung an Maschinenteilen Spezielle Fälle gemäss Lehrbuch Böge: SB/Version 1.20 Prismenführung und Keilnut Zylinderführung, Selbsthemmung Schrauben Rollwiderstand Seite 27/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 3.4 Seilreibung Ein Seil (oder ein Riemen oder Faden) umschlingt eine Riemenscheibe mit einem Winkel . Wir zeigen an diesem Beispiel, wie eine Grenzbetrachtung zur Bestimmung der Reibkraft in Abhängigkeit des Umschlingungswinkels angestellt wird: Wir betrachten ein angetriebenes Trum, das sich im Uhrzeigersinn dreht. Links greift die Zugkraft S2 an, rechts S1 > S2. Im Gleichgewicht muss der Unterschied S1 – S2 gleich der Reibkraft sein. Wir greifen ein kleines Winkelelement d heraus. Auf seiner rechten Seite ist die Zugkraft um dS grösser als links, also dS = dR = µ0·dN mit der Normalkraft dN. Die Anpresskraft in der Mitte dieses Elementes beträgt von der linken Zugkraft her d dNl S sin 2 und rechts d dNr S dS sin 2 also zusammen d d d dN 2S dS sin 2S sin dS sin 2 2 2 Im Bogenmass ist im Grenzfall kleiner Winkel sin() , und der Beitrag mit dS und d geht im Grenzfall rasch gegen Null. Es bleibt d d dN 2 S sin 2 S S d 2 2 dS 0 dN 0 S d dS 0 S d S C e 0 Im Punkt mit = 0 ist S(0) = C·1 = S2, also C = S2, auf der anderen Seite ist S() = S2·eµ0· = S1. Diese Beziehung ist unter der Bezeichnung Eytelwein-Seilreibungs8 formel bekannt. Das heisst: Ob das Seil auf der Rolle rutscht oder nicht, hängt nur vom Verhältnis der an den beiden Seilenden angreifenden Kräfte ab. Das Kriterium für NichtRutschen auf die eine oder andere Seite ist S e 0 1 e 0 S2 8 Johann Albert Eytelwein, 1764 Frankfurt/Main - 1848 Berlin, deutscher Techniker SB/Version 1.20 Seite 28/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 4. Bewegungen 4.1 Gleichförmig beschleunigte Bewegung Beschleunigung a = v/t, z.B. a = (1 m/sec)/sec = 1 m/sec² Nach t Sekunden beträgt die Geschwindigkeit v(t) = v(0) + a·t mit a = const. Ort zur Zeit t? Da die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zunimmt, können wir mit der mittleren Geschwindigkeit vm über die Zeit rechnen. Diese beträgt zum Zeitpunkt t v0 v t v0 v0 a t v0 21 a t 2 2 Damit wird in t Sekunden ein Weg s(t) = vm·t = (v(0) + ½·a·t)·t = v(0)·t + ½·a·t² zurückgelegt. vm Allgemein gilt für eine gleichförmig beschleunigte Bewegung a(t) = a = const. v(t) = v(0) + a·t s(t) = s(0) + v(0)·t + ½·a·t² Eine verzögerte Bewegung ist eine Bewegung mit negativer Beschleunigung. Eine Bewegung rückwärts hat beim Weg ein anderes Vorzeichen als eine Bewegung vorwärts. s gibt also nicht eine absolute Distanz an, sondern den Ort (die Position). Wenn von den vier Grössen t, s, v, a zwei bekannt sind, können mit Hilfe von v = v0 + a·t und s = s0 + v0·t + ½·a·t² = s0 + v0·t + ½·(v – v0)·t = s0 + ½·(v + v0)·t = s0 + ½·vm·t die anderen zwei ausgedrückt werden als: t s v 2 v v0 v0 s s0 v0 t 2 1 t 2 s s0 v 0 t 2 a t a a a a a v v0 a t v 2 v 02 2 s s 0 v v 0 2 a s s 0 2a s s0 v a v s a v v0 t 2 v v0 t 2 s s 0 t 2 s s0 t2 SB/Version 1.20 t a 2 s s 0 v v0 v 2 v 02 2 s s0 v0 2 v0 t Seite 29/67 Inovatech Technikerschule Mechanik In vielen Fällen ist es für Verständnis und Lösung hilfreich, Bewegungsabläufe (speziell zusammengesetzte) graphisch in einem (v,t)-Diagramm darzustellen und geometrische Beziehungen auszunützen. Die Steigung der Kurve ist die Beschleunigung, die Fläche unter der Kurve der zurückgelegte Weg. Böge löst die folgenden Aufgaben auf diese Weise; wir geben hier die Lösung mit den einfachen Formeln. Auf jeden Körper wirkt an der Erdoberfläche eine Kraft FG = m·g in Richtung zum Erdmittelpunkt mit g = 9.81 m/sec² (Erdbeschleunigung9, siehe auch 4.4.3). Aufgabe 430 aus Böge Ein Körper fällt aus einer Höhe von 45m frei herab. Gesucht: a) die Fallzeit tFall, b) die Endgeschwindigkeit vEnd, c) die Höhe über Boden nach der halben Fallzeit, d) die Höhe über Boden, in der die halbe Endgeschwindigkeit erreicht ist, e) die Fallzeit t½ bis zur halben Höhe. Das ist eine mit -g beschleunigte Bewegung, die bei h0 = 45 m mit Anfangsgeschwindigkeit 0 m/sec beginnt. Zu jedem Zeitpunkt gilt v(t) = -g·t und h(t) = h0 – ½·g·t² mit h0 = 45 m. a) Die Fallzeit ist die Zeit, zu der der Körper die Höhe 0 m erreicht hat. h(tFall) = 45 m – ½·g·tFall² = 0 m tFall 2 45 m 3.029 sec g b) Die Endgeschwindigkeit ist die zur Zeit tFall erreichte Geschwindigkeit. vEnd = v(tFall) = -g·(3.029 sec) = -29.709 m/sec c) tFall/2 = 1.515 sec; h(1.515 sec) = 45 m – ½·g·(1.515 sec)² = 33.75 m d) Die Geschwindigkeit nimmt proportional zur Zeit zu, gleiche Aufgabe wie c) e) h(t½) = 45 m – ½·g·t½² = 22.5 m t 12 22.5 m 45 m 2.142 sec 21 g Aufgabe 442 aus Böge Vom Dach eines Gebäudes wird ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 nach oben geworfen. Bei der Abwärtsbewegung fällt er der Gebäudewand entlang und schlägt auf der Strasse auf. Die gesamte Bewegung dauert 6 sec. Berechne die Anfangsgeschwindigkeit v0, die Aufschlaggeschwindigkeit und die Gipfelhöhe. Zu jedem Zeitpunkt gilt v(t) = v0 – g·t und h(t) = h0 + v0·t – ½·g·t². Es ist h0 = 60 m, und (beim Aufschlag) h(6 sec) = 0 m. Aus h(6 sec) = 60 m + v0·(6 sec) – ½·g·(6 sec)² = 0 m erhalten wir v0 = 19.42 m/sec. Aufschlaggeschwindigkeit: v(6 sec) = 19.42 m/sec – g·(6 sec) = -39.42 m/sec. Im Gipfelpunkt (Umkehrpunkt) ist v(tGipfel) = v0 – g·tGipfel = 0 m/sec. Daraus ergibt sich tGipfel = v0/g = 1.98 sec und hGipfel = h(1.98 sec) = 79.229 m. 9 Mathcad rechnet mit g = 9.80665 m/sec², wodurch sich in den Resultaten gegenüber Böge kleine Abweichungen ergeben. Der TI-30X Pro verwendet denselben Wert. SB/Version 1.20 Seite 30/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 4.2 Der Luftwiderstand Wir wissen aus der Erfahrung, dass die Luft10 eine Bremskraft ausübt, den Luftwiderstand. Dieser ist bei kleinen Geschwindigkeiten (bei laminarer Strömung) proportional zur Geschwindigkeit, bei höheren Geschwindigkeiten (bei turbulenter Strömung, d.h. wenn es Wirbel gibt) nimmt er quadratisch zu gemäss FW wo cW L Ap v c W L A p 2 v2 , Luftwiderstandskoeffizient, hängt von Form (siehe Figur 1 für den Unterschallbereich) und Oberflächenrauhigkeit ab Luftdichte, normalerweise etwa 1200 g/m³ Querschnittfläche in Strömungsrichtung Geschwindigkeit Richtwerte für cW im Unterschallbereich sind in Figur 1 gegeben. Alle angeführten Körper haben in Strömungsrichtung einen runden Querschnitt von gleicher Fläche. Autoverkäufer werben bei aerodynamisch besonders günstig geformten Fahrzeugen mit Werten knapp unterhalb von 0.3. Neben der Form spielt auch die Oberflächenrauhigkeit eine Rolle für den Luftwiderstand. Mit zunehmender Geschwindigkeit kommt einmal der Figur 1: LuftwiderstandskoefPunkt, wo der Luftwiderstand FW gleich gross wird fizienten für verschiedene Körperformen (aus: Dorn, Physik wie die Gewichtskraft m·g. Das ist der Fall bei vS 2m g c W L A p Oberstufenausgabe, 18. Auflage 1974) Man nennt diese Geschwindigkeit, bei der die resultierende Kraft verschwindet, die stationäre Sinkgeschwindigkeit. Für einen frei fallenden Menschen mit m = 80 kg, cW = 1 und Ap = 0.5 m² erhalten wir mit L = 1200 g/m³ einen Wert vS = 184 km/h. Wenn wir die gleiche Rechnung mit einem 10kg schweren Fallschirm durchführen, also m = 90 kg, cW = 1.35 und Ap = 40 m², beträgt vS noch knapp 19 km/h, was einem freien Sturz aus einer Höhe von 1.4 m entspricht. Geschwindigkeit und Fallhöhe als Funktion der Fallzeit werden in Kapi- Figur 2: Verlauf von cW in Abhängigkeit der Machzahl, am Beispiel der Geschosse der Pantel 4.5.5 berechnet. zerhaubitze M109, Kal. 155mm (aus: Das Schiessen der Artillerie. Reglement 55.21/IIId, 1987). 10 Ganz ähnliche Beziehungen gelten für Bewegungen in Flüssigkeiten und sogar beim Eindringen eines Festkörpers in einen anderen Festkörper, z.B. von einem Geschoss. SB/Version 1.20 Seite 31/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 4.3 Überlagerungsprinzip: Zusammengesetzte Bewegungen Wie bei Kräften, gilt auch bei Bewegungen ein Überlagerungsprinzip. Dieses besagt, dass voneinander unabhängige Bewegungen sich ungestört überlagern. In solchen Fällen dürfen diese Bewegungen isoliert betrachtet werden, was oft eine grosse Vereinfachung bewirkt. Das Umgekehrte gilt nicht immer, dass nämlich gleichzeitige Bewegungen in verschiedenen Richtungen voneinander unabhängig sind. Wir werden dazu in 4.5.7 ein Beispiel sehen. 4.3.1 Schiefer Wurf ohne Luftwiderstand Ein auf der Erde mit der Geschwindigkeit v0 unter einem Winkel abgeschossener Gegenstand führt eine Bewegung auf einer gekrümmten Bahn aus. Diese Bewegung kann man (ohne Luftwiderstand) betrachten als eine horizontale Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v0·cos() und eine vertikale Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit v0·sin() und Beschleunigung -g, die sich ohne gegenseitige Beeinflussung überlagern - oder als eine gleichförmige (geradlinige) Bewegung unter dem Winkel schräg nach oben, überlagert mit einem freien Fall. Man erhält für die horizontale Bewegung v x t v 0 cos x t v 0 cos t und für die vertikale Bewegung v y t v 0 sin g t y t v 0 sin t 21 g t 2 Die Zeit tS bis zum Erreichen des höchsten Punktes, des Scheitelpunktes, ergibt sich aus der Bedingung vy(tS) = 0 zu tS v 0 sin ; g die Zeit t0 bis zum Aufschlag auf Abschusshöhe folgt aus y = 0, 0 v 0 sin t 0 21 g t 02 v 0 sin 21 g t 0 t 0 t0 0 oder t0 2 v 0 sin 2 tS g und damit (mit Hilfe eines trigonometrischen Additionstheorems) die horizontale Schussweite auf Abschusshöhe x t v x t 0 v 0 cos() 2 v 0 sin() v 02 v2 2 cos() sin() 0 sin( 2) g g g sin2 Die Schussweite ist also für = 45° maximal, und für und 90° – resultiert die gleiche Schussweite. In der Artillerie spricht man von der unteren und der oberen Winkelgruppe. Beim Schiessen in der oberen Winkelgruppe (Figur 3) gibt es im Gebirge weniger schusstote Räume, aber Flugzeit und damit Streuung sind grösser. Aufgabe 451 aus Böge Ein Geschoss wird mit Anfangsgeschwindigkeit v0 = 100 m/sec unter dem Winkel = 60° abgefeuert. Nach 15 sec schlägt es auf dem Boden auf. Aufschlagspunkt? x(t) = v0·cos()·t x(15 sec) = 750 m y(t) = v0·sin()·t – ½·g·t² y(15 sec) = 195.41 m SB/Version 1.20 Seite 32/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Aufgabe 450 aus Böge Ein Geschoss wird mit einer Geschwindigkeit von 600 m/sec unter einem Winkel = 70° abgefeuert. Die Verlängerung der Rohrachse zeigt auf das ruhende Ziel (Ballon) in 4000 m Höhe. Berechne die horizontale Abweichung zwischen dem Ziel und dem Ort des Geschosses, wenn es die Höhe h = 4000 m erreicht hat! Die Zeit th bis zum Erreichen der Höhe h erhalten wir aus y t h h v 0 sin t h 21 g t h2 th v 0 sin v 0 sin 2 2 gh g 7.596 sec (Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung, th = 107 sec, entspricht der Zeit, bei der beim Wiederherunterfallen die Höhe 4000 m von oben her erreicht wird.) In t h wird eine horizontale Weite sx = v0·cos()·th = 1558.86 m erreicht. Geometrisch ist h h tan l2 1455.88 m , daraus folgt l1 = sx – l2 = 102.98 m. l2 tan Kurvenform Zur Ermittlung der Kurvenform y(x) lösen wir x(t) nach t x auf und setzen v 0 cos diesen Ausdruck in y(t) ein: x x 21 g y v 0 sin t g t v 0 sin v 0 cos v 0 cos 1 2 2 2 2 g x tan x 2 2 2 v 0 cos Das ist eine nach unten offene quadratische Parabel in x durch den Nullpunkt (Ort des Abschusses), daher der oft gehörte Ausdruck Wurfparabel. y( 80. deg , x) 400 y( 65. deg , x) y( 45. deg , x) y( 25. deg , x) y( 10. deg , x) 200 S( x) 0 0 200 400 600 800 1000 x Figur 3: Flugbahnen in der oberen und unteren Winkelgruppe mit Sicherheitsparabel Der beschiessbare Bereich wird durch die sogenannte Sicherheitsparabel begrenzt. v2 g Ihre Gleichung ist S x 0 x2 . 2 2 g 2 v0 SB/Version 1.20 Seite 33/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Ballistisches Problem (Vakuumballistik) Mit der Formel für die Kurvenform lässt sich auch das ballistische Problem lösen, das ist die Bestimmung des Abgangswinkels (Elevation), um ein bestimmtes Ziel zu treffen, wenn die Anfangsgeschwindigkeit gegeben ist. xZ und yZ seien die horizontale Entfernung und Überhöhung des Ziels. In der Artillerie wird dafür folgende Terminologie verwendet: xZ = Dtop (topographische Distanz Ziel-Geschütz aus der Landkarte) yZ = H (Höhendifferenz Ziel-Geschütz) Falls das Ziel im absteigenden Ast der Flugbahn beschossen wird, spricht man von indirektem Schiessen, im aufsteigenden Ast von direktem Schiessen. Die Artillerie schiesst normalerweise indirekt, Minenwerfer immer; visuell gerichtete Waffen wie Infanteriewaffen (Gewehre), Panzerkanonen und Flugabwehrkanonen schiessen immer direkt. Aus y Z tan x Z g x 2Z 1 2 2 v 0 cos 2 wird mit der trigonometrischen Identität 1 = cos²() + sin²() 1 1 tan2 cos2 eine quadratische Gleichung in tan(), tan x Z g x 2Z 1 tan2 y Z 2 2 v0 g x 2Z g x 2Z 2 tan x tan yZ 0 Z 2 2 2 v0 2 v0 mit den Lösungen tan v 20 v 40 v 20 y Z 1 2 g xZ g2 x 2Z g x 2Z k k 2 1 2 k yZ xZ wo k v 20 g xZ Falls die quadratische Gleichung keine Lösungen hat, kann das Ziel nicht beschossen werden, andernfalls hat die Gleichung zwei Lösungen für (eine Lösung, wenn das Ziel auf der Sicherheitsparabel liegt). Am folgenden Zahlenbeispiel kann man sehr schön die Erhaltung der Energie (5.3.5) demonstrieren. Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist immer gleich, und auf gleicher Höhe (bei gleicher potentieller Energie) ist die absolute Geschwindigkeit bei beiden Flugbahnen gleich, speziell auch im Ziel. Zahlenbeispiel: v0 = 220 m/sec, xZ = 4000 m, yZ = 400 m 1. . 2 gt 2 v x( ) v 0. cos ( ) v y( , t ) v 0. sin( ) g. t -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 v0 yZ 2 k D k 1 2. k. g. x Z xZ Wurfparabel:: x( , t ) k = 1.234 SB/Version 1.20 v 0. cos ( ) . t y( , t ) v 0. sin( ) . t D = 0.276 schusstot, wenn D<0 Seite 34/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Elev ation 1 D 1 = 35.331 deg 2 Scheitelpunkt v 0. sin 1 t S1 g t S1 = 12.973 sec t S2 y 1 , t S1 y S1 = 825.275 m y S2 t F1 = 22.286 sec t F2 y S1 atan k atan k 2 = 60.38 deg D v 0. sin 2 g t S2 = 19.502 sec y 2 , t S2 y S2 = 1864.89 m Flugzeit t F1 xZ v 0. cos 1 xZ t F2 = 36.787 sec v 0. cos 2 Endgeschw indigkeit m v x1 vx 1 v x1 = 179.482 sec v y1 v y 1 , t F1 v y1 = 91.329 sec v1 v x1 2 2 v y1 v 1 = 201.382 m m sec m v x2 vx 2 v x2 = 108.735 v y2 v y 2 , t F2 v y2 = 169.503 v2 v x2 2 2 v y2 v 2 = 201.382 sec m sec m sec 2000 1500 y 1, x y 2, x 1000 500 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 x 4.3.2 Schiefer Wurf mit Luftwiderstand Aus dem Vergleich der mit den Ausdrücken aus 4.3.1 erhaltenen Ergebnisse mit der Wirklichkeit geht hervor, dass der Luftwiderstand bei höheren Anfangsgeschwindigkeiten einen grossen Einfluss auf die Flugbahn hat. Unser Beispiel Figur 11 auf Seite 50 hat noch eine relativ geringe Anfangsgeschwindigkeit (Unterschallbereich). Weil der Luftwiderstand proportional zu v² wächst, ist die Bremsung bei hohen Anfangsgeschwindigkeiten grösser als bei kleinen; die Schussweite beträgt zwischen 30% und 70% der Werte im Vakuum. Auch das Kaliber spielt eine Rolle; die Stirnfläche wächst im Quadrat mit dem Kaliber, das Geschossgewicht aber mit der dritten Potenz, so dass grosse Kaliber etwas weniger empfindlich sind. Für die Bewegungen x(t) und y(t) lassen sich keine geschlossenen Ausdrücke finden; eine numerische Rechnung wie in 4.5.6 ist aber immer möglich, unabhängig davon, wie kompliziert die Kraftgesetze sind (mit Berücksichtigung von höhenabhängigen Winden, Luftdichte, evtl. Himmelsrichtung zur Berücksichtigung der Erddrehung): so arbeiten Computerprogramme zur Artilleriefeuerleitung. SB/Version 1.20 Seite 35/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Für den einfacheren Fall, wo der Luftwiderstand (bei kleineren Geschwindigkeiten) proportional zur Geschwindigkeit (nicht zu ihrem Quadrat) ist, ist es möglich, die Bewegungsgleichungen geschlossen zu lösen; die entsprechenden Ausdrücke sind v x t v 0 cos( ) e ft v y t v 0 sin( ) g ft g e f f 1 e ft f g 1 e ft g y t v 0 sin( ) t f f f x t v 0 cos( ) wo f die Bremskonstante ist, also FW = -f·v für x und y. Diese Annahme, FW = -f·v, stimmt bei hohen Geschwindigkeiten nicht mehr besonders gut mit der Wirklichkeit überein. Für das Beispiel auf Seite 50 (Unterschallbereich) funktioniert der Ansatz aber noch prächtig: Mündungsgeschwindigkeit v 0 m 220. sec Abgangswinkel Luftbremsung f Kurvenform y( , x) = 40 deg 700. rp 1 0.0095. sec v 0. sin( ) zum Vergleich: im Vakuumy V( , x) tan( ) . x g . x f v 0. cos ( ) g g. 2 f f. x v 0. cos ( ) . x2 2. 2 2500 3000 2. v 0 cos ( ) ln 1 1000 800 y V( , x) 600 y( , x) 400 200 0 0 500 1000 1500 2000 3500 4000 4500 5000 x v x( , t ) x( , t ) SB/Version 1.20 f. t v 0. cos ( ) . e v 0. cos ( ) . 1 e f v y( , t ) v 0. sin( ) f. t y( , t ) v 0. sin( ) g . f. t e f g .1 e f f g f f. t g. t f Seite 36/67 Inovatech Technikerschule Scheitel 1. tS f Mechanik f ln . v 0. sin( ) g 1 t S = 13.514 sec zS y ,t S z S = 935.108 m xS x ,t S x S = 2137.416 m v x , t S = 148.224 m sec Schussweite im Mündungshorizont z0 2. t S i 0 .. 40 zi 1 1. g v 0. sin( ) g . 1 f e f. z i t 0 = 27.63 sec Flugzeit x , t 0 = 4095.509 m Schussweite v end v x ,t 0 2 v y ,t 0 2 v end = 183.262 m sec t0 zlast ( z) Endgeschwindigkeit Gemäss Schiessbehelf (Flugbahnkarten 65.161 vom Juni 1976, Figur 11 auf Seite 50) beträgt die Scheitelhöhe etwa 930 m bei etwa 2150 m und 14 sec Flugzeit, die Schussweite 4100 m bei etwa 30 sec, die Endgeschwindigkeit 184 m/sec. 4.4 Die Newton’sche Mechanik 4.4.1 Die Kepler’schen Gesetze der Planetenbewegung Als die Menschen nach 1500 begannen, die Gestirne genauer zu beobachten, stellten sie bald fest, dass die äusseren Planeten von der Erde aus gesehen vor dem Hintergrund der “Fixsterne” abwechselnd Bewegungen vor- und rückwärts ausführen. Damals hatte man an das geozentrische Weltbild mit der Erde im Mittelpunkt zu glauben, wenn man nicht als Ketzer hingerichtet werden wollte. Die Beobachtungen ergaben wilde Bahnen für die äusseren Planeten, teilweise mit abwechselnden Be11 wegungen vorwärts und rückwärts. 1543 erschien das Buch von Kopernikus , in dem dieser ein heliozentrisches Weltbild postulierte. Um mehr Klarheit zu gewinnen, kam Tycho Brahe12 auf die damals ungewöhnliche Idee, möglichst viele genaue Beobachtungen zu sammeln. (Solche Probleme wurden damals vorzugsweise in Diskussionen zwischen gelehrten Theologen mit Hilfe der Bibel und den Schriften anderer gelehrter Theologen “gelöst”, ohne aus dem Fenster zu schauen.) Als Tycho Brahe starb, gelangte Johannes Kepler13 in den Besitz der einen Zeitraum von etwa 40 Jahren abdeckenden Aufzeichnungen, vor allem genauer Positionsbestimmungen vom Mars, und durch hartnäckiges und intelligentes Probieren gelang es ihm in den Jahren 1609-1619, daraus 3 Gesetze abzuleiten: 1. Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne. Die Sonne steht in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse. 2. Die Verbindungslinie zwischen Sonne und Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Das Verhältnis zwischen dem Quadrat der Umlaufzeit und der dritten Potenz der grossen Halbachse ist für alle Planeten gleich. 11 Nikolaus Kopernikus, 1473-1543, Domherr von Frauenburg Tycho Brahe, 1546-1601, Däne, kaiserlicher Hofastronom in Prag 13 Johannes Kepler, 1571-1630, Gehilfe und Nachfolger von Tycho Brahe in Prag 12 SB/Version 1.20 Seite 37/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Aus dem zweiten Gesetz folgt, dass sich die Planeten in Sonnennähe auf der Bahn schneller bewegen als weiter von der Sonne entfernt. Das dritte Gesetz besagt, dass weiter von der Sonne entfernte Planeten eine längere Umlaufzeit haben. Mit diesen Erkenntnissen konnten die verrückten Planetenbewegungen durch die sich gleichzeitig verschiebenden Positionen von Erde und Planeten vernünftig erklärt werden (sie kommen zustande, wenn die bezüglich Umlaufzeit schnellere Erde einen der langsameren äusseren Planeten überholt). Dank der Kepler’schen Gesetze wurde es möglich, aus einigen wenigen Positionsbestimmungen die Bahn eines Planeten so genau zu berechnen, dass man ihn zu einem späteren Zeitpunkt wieder finden konnte. Alle diese Gesetze und Betrachtungen gelten natürlich auch für künstliche Satelliten. 4.4.2 Die Newton’schen Prinzipien Newton baute die Mechanik auf drei Prinzipien auf: 4.4.2.1 Trägheitsprinzip Ein kräftefreier Körper verharrt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig gleichförmig. 14 Dieses Prinzip war bereits durch Galilei formuliert worden. 4.4.2.2 Aktionsprinzip Wir haben ganz am Anfang angemerkt, dass man von Kräften nur ihre Wirkungen feststellen kann. Diese sind im Aktionsprinzip von Newton, bei Böge “Dynamisches Grundgesetz” genannt, formuliert: Wenn eine Kraft F auf einen Körper mit der Masse m wirkt, beschleunigt sie ihn mit a = F/m Das Trägheitsprinzip ist der Spezialfall F = 0 des Aktionsprinzips. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Massenträgheit und träger Masse, die der Körper hat. In diesem Zusammenhang kennt man auch das Prinzip von d’Alembert15: Bei einem bewegten Körper herrscht ein Kräftegleichgewicht zwischen den angreifenden äusseren Kräften und der der Bewegung entgegengesetzten Trägheitskraft T = m·a. Dadurch wird ein Bewegungsproblem formal auf ein statisches Gleichgewichtsproblem zurückgeführt. Neue Erkenntnisse gewinnen wir durch diese Änderung des Blickwinkels nicht; bestimmte Aufgaben sind vielleicht leichter lösbar. Solche vom Koordinatensystem abhängigen “Kräfte” nennet man auch Pseudokräfte. 4.4.2.3 Reaktionsprinzip Wenn die Kraft F, die auf einen Körper wirkt, ihren Ursprung in einem anderen Körper hat, so wirkt auf diesen die entgegengesetzt gleiche Kraft -F. 14 15 Galileo Galilei, 1564-1642, Physiker, Mathematiker und Astronom in Pisa und Padua Jean le Rond d’Alembert, 1717-1783, Paris, Physiker, Mathematiker und Enzyklopädist SB/Version 1.20 Seite 38/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 4.4.3 Das Gravitationsgesetz Newton1 hat 1666 (wer kennt nicht die Geschichte vom Apfel?) die Entdeckung veröffentlicht, dass sich alle Massen anziehen, und er hat gleich auch noch das richtige Kraftgesetz mitgeliefert: m m F G 1 2 2 r Darin bezeichnen r den Schwerpunktabstand der beiden Massen m1 und m2 und G die sogenannte Gravitationskonstante; ihr Wert beträgt nach heutigen Messungen G 6.67 10 11 N m2 kg2 Die Gravitationskraft ist sehr schwach im Vergleich beispielsweise zur elektrostatischen Kraft, die einem ähnlichen Kraftgesetz folgt (anstelle der Massen stehen die Ladungen, und es gibt eine andere Kraftkonstante). Wichtige Unterschiede zur elektrostatischen Kraft sind ferner: die Gravitation wirkt immer anziehend, es gibt keine Abstossung, die Gravitationskraft kann nicht abgeschirmt werden. Die Erdbeschleunigung g = 9.81 m/sec² ist nichts anderes als die Beschleunigung a = F/m nach dem Aktionsprinzip 4.4.2.2 aufgrund der Gravitationskraft an der Erdoberfläche. Daraus können wir mit rErde = 6374 km die Masse der Erde berechnen, 2 g rErde 5.975 10 24 kg . G Man sieht, dass die Erdbeschleunigung keine Naturkonstante ist, sondern von der Entfernung vom Erdmittelpunkt (genauer: Erdschwerpunkt) abhängt und deshalb in der zweiten Etage kleiner ist als im Parterre. Ausserdem gibt es infolge der Erdrotation eine Fliehkraft, die von der geographischen Breite abhängt, beim Aequator maximal ist und an den Polen verschwindet16. Auch üben der Mond und die Sonne eine Gravitationswirkung aus, daher kommen beispielsweise Ebbe und Flut. Eine wirklich erstaunliche Beobachtung zur Gravitation ist, dass sie überall mit dem gleichen Gesetz zu gelten scheint - bei winzigen Teilchen, auf der Erde, zwischen Erde und Mond, zwischen der Sonne und der Planeten, in Galaxien, die Millionen Lichtjahre entfernt sind. Im Zusammenhang mit Gravitation spricht man von schwerer Masse im Gegensatz zur trägen Masse aus 4.4.2.2. Trotzdem es sich bei Trägheit und Gravitation um ganz unterschiedliche Eigenschaften handelt, konnte auch in immer wieder durchgeführten Versuchen nie ein Unterschied zwischen träger und schwerer Masse gefunden werden. Es scheint sich dabei um zwei Eigenschaften derselben Grösse zu handeln. Die Gravitation kann mit einer sogenannten Drehwaage (zuerst 1798 durch Caven17 dish ) gemessen werden. Einen solchen Versuchsaufbau kann jeder selber herstellen, man muss allerdings bei der Messung sehr vorsichtig vorgehen. Die Kepler’schen Gesetze sind alle Folgerungen aus dem Gravitationsgesetz und den Newton’schen Prinzipien 4.4.2. Wir werden dazu in 4.5.7 eine Rechnung ausführen; siehe auch 6.1. mErde 16 gemessene Werte in der Schweiz: Aarau (383 m): 9.80709 m/sec², Baden (380 m): 9.80715 m/sec², Basel (277 m): 9.80778 m/sec², Olten (417 m): 9.80701 m/sec², Maloja (1808 m): 9.80242 m/sec². Mathcad und der TI-30X Pro rechnen mit g = 9.80665 m/sec². 17 Henry Cavendish, 1731-1810, englischer Physiker und Chemiker SB/Version 1.20 Seite 39/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 4.5 Mathematische Behandlung der Bewegungsprobleme 4.5.1 Prinzip Die Aufgabe besteht darin, bei gegebener Kraft (die z.B. von Zeit, Ort und Geschwindigkeit abhängt) mit Ort und Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit Ort und Geschwindigkeit für einen beliebigen Zeitpunkt zu berechnen. Die momentane Geschwindigkeit einer Bewegung ist der Grenzwert des Ausdruckes v = s/t, wo s die Position ist. Daraus sieht man, dass die Geschwindigkeit einer Bewegung die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit ist. Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, der Grenzwert von v/t, also die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit, ist die Beschleunigung. Gemäss dem Aktionsprinzip 4.4.2.2 hängt die Beschleunigung von der Kraft ab nach d2 s F a 2 m dt Die Kraft liefert uns also die 2. Ableitung der gesuchten Ortsfunktion! Man nennt dies eine Bewegungsgleichung. Eine Gleichung, in der Ableitungen einer gesuchten Funktion vorkommen, heisst Differentialgleichung (hier: 2. Ordnung). Beim Lösen einer Bewegungsgleichung suchen wir eine mathematische Funktion s(t), die mit ihren Ableitungen die Bewegungsgleichung erfüllt. Für eine eindeutige Lösung müssen Ort und Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, beispielsweise zur Zeit t = 0, gegeben sein (sogenannte Anfangsbedingungen). Leider ist es mathematisch nur in speziellen (einfachen) Fällen möglich, sogenannte geschlossene Lösungen (“Formeln”) anzugeben. 4.5.2 Federpendel: ortsabhängige Kraft Eine Masse m sei an einer idealen Feder aufgehängt. Bei einer idealen Feder ist die (rückstellende, also Vorzeichen entgegen der Auslenkung) Kraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage, also mit der Federkonstanten k F k x . Die Kraft hängt hier also nur vom Ort ab. Für die Auslenkung x ergibt sich mit dem Aktionsprinzip die Differentialgleichung mit der Beschleunigung d2 F k x(t) x(t) . 2 m m dt Wir suchen eine Funktion, die, zweimal abgeleitet, ein Vielfaches des negativen der ursprünglichen Funktion ist. Wir kennen zwei solche Funktionen, sin(ax) und cos(ax), und machen deshalb den Ansatz k k x(t) A cos t B sin t , m m wo A und B zwei vorerst beliebige konstante Grössen sind. Dieser Ansatz erfüllt die Bewegungsgleichung. A und B ergeben sich aus den Anfangsbedingungen: Zur Zeit t = 0 werde die Masse um die Distanz L aus der Gleichgewichtslage verschoben und dann losgelassen. Es soll also gelten d x(0) = L und x(0) 0 . dt Wenn wir den Lösungsansatz in diese Anfangsbedingungen einsetzen, erhalten wir sofort A = L und B = 0. Die Lösung des Problems lautet also k x(t) L cos t m SB/Version 1.20 Seite 40/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Das heisst, die Masse m führt eine harmonische Schwingung der Amplitude L um die k Ruhelage aus. Die Schwingungsdauer T ergibt sich aus T 2 zu m m . k T 2 Interessant ist, dass die Schwingungsdauer nur von Masse m und Federkonstante k abhängt (sogar nur von ihrem Verhältnis), speziell also nicht von der Auslenkung (Amplitude). Es ist eine grundlegende Eigenschaft schwingfähiger Systeme, dass sie von sich aus nicht mit beliebigen Frequenzen schwingen können, sondern sogenannte Eigenfrequenzen besitzen, mit denen sie schwingen, wenn sie frei schwingen können. (Die Frequenz ist gleich 1/T.) Eine Anregung von aussen mit einer Eigenfrequenz führt zu Resonanz (siehe 4.5.4). Bei beliebigen Anfangsbedingungen erhalten wir ein Resultat, in dem A und B beide nicht Null sind. Wir formen die Lösung um: k k x(t) A cos t B sin t m m k A A 2 B 2 cos t 2 2 m A B Die konstanten Zahlen A B liegen beide zwischen +1 und -1 A B A B2 und die Summe ihrer Quadrate ist = 1. Es gibt also einen Winkel , für den gilt: A B und sin() . cos() A 2 B2 A 2 B2 2 2 und k sin t m A 2 B2 B 2 Aufgrund eines Additionstheorems für trigonometrische Funktionen ist ausserdem: cos( ) cos() cos() sin() sin() Damit lässt sich die Lösung des Bewegungsproblems umformen zu k k x(t) A 2 B2 cos t L cos t , m m wobei jetzt L die maximale Auslenkung der Schwingung ist, nicht mehr die der Anfangsbedingung. Eine Änderung der Anfangsbedingungen hat also eine Phasenverschiebung um einen Winkel zur Folge, ändert aber nicht die Frequenz (Schwingungsdauer). Auslenkung, Geschwindigkeit, Beschleunigung Aufgrund der Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen gilt: k x(t) L cos t m v(t) k k dx k k L sin t L cos t dt m 2 m m m a(t) k k d2 x k k L cos t L cos t 2 m m dt m m SB/Version 1.20 Seite 41/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Man sagt: Die Auslenkung ist gegenüber der Geschwindigkeit um 90° verschoben. Das entspricht der Aussage, dass an den Orten mit maximaler Auslenkung die Geschwindigkeit =0 ist und in der Mittelstellung (Auslenkung =0) die Geschwindigkeit maximal ist. Die Auslenkung ist gegenüber der Kraft (Beschleunigung) um 180° verschoben. An den Orten mit maximaler Auslenkung ist die Kraft maximal (rückstellend), in der Mittelstellung ist die Kraft =0. Energie (siehe Kapitel 5.3) Bei maximaler Auslenkung ist die potentielle Energie maximal und (weil die Geschwindigkeit =0 ist) die kinetische Energie =0, in der Mittelstellung ist die kinetische Energie maximal, die potentielle Energie =0. Die Summer der beiden Energiebeträge ist zu jedem Zeitpunkt konstant (Energieerhaltung, Kapitel 5.3.5): k x 2 ( t) k Epot (t) F(y) dy k y dy k L cos t 2 2 m 0 0 x( t ) x( t ) 2 k k L2 cos t 2 m 2 k 1 1 k Ekin (t) m v 2 (t) m L sin t 2 2 m m k k L2 sin t 2 m E tot (t) Epot (t) Ekin (t) 2 2 k 2 L const.(t) 2 1 E pot ( t ) 0.5 E kin( t ) 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t 2. Figur 4: Kinetische und potentielle Energie über eine ganze Schwingungsperiode SB/Version 1.20 Seite 42/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 4.5.3 Pendeluhr Beim Uhrenpendel der Länge l (Drehpunkt – Schwerpunkt) ist die rückstellende (tangentiale) Kraft für kleine Auslenkungswinkel (in rad) F m g sin() m g x g m g m x l l x bezeichnet hier die Bogenlänge der Auslenkung, Null ist in der Mitte (tiefste Lage). Für die Bewegungsgleichung ergibt sich d2 F g x(t) x(t) 2 m l dt Gleiche Gleichungen haben gleiche Lösungen, also (vgl. 4.5.2) g g x(t) A cos t B sin t l l Die Konstanten A und B ergeben sich wiederum aus den Anfangsbedingungen. Die Feder bei der Uhr ersetzt die dem Pendel durch Reibung und Luftbremsung entzogene Energie. Je nach Spannung der Feder wird die Amplitude der Schwingung leicht variieren. Bei einer “reibungsfreien” Uhr wäre die Amplitude durch die Anfangsbedingungen gegeben, wie in 4.5.2. Bei einer “realen” Uhr stellt sie sich mit der Zeit entsprechend der Federspannung ein. l , unabhängig von Pendelgewicht und g Amplitude (wie stark die Feder aufgezogen ist). Sonst würde die Uhr bei aufgezogener Feder schneller laufen! Mit dieser Formel kann man beispielsweise berechnen, um wieviel die Pendellänge (durch Verschieben der Masse) geändert werden muss, um die Schwingungsdauer um einen bestimmten Wert zu verändern: Die Schwingungsdauer beträgt T 2 T 2 l 2 l g g dT 2 1 T dl g 2 l 2l dT 1 dl T 2 l Auch in dieser Form kann man die Ableitung brauchen! Der Ausdruck bedeutet: wenn man das Pendel um 1% verlängert, verlängert sich die Schwingungsdauer um ½%. 4.5.4 Lösung von Schwingungsproblemen in komplexer Schreibweise Zahlreiche Schwingungsprobleme lassen sich viel einfacher und eleganter lösen, wenn man die Lösung als Realteil einer komplexen Funktion ansetzt. Der Grund ist der, dass die Rechnerei mit Exponentialfunktionen einfacher ist als mit sin und cos. Aus der Mathematik ist bekannt, dass eine komplexe Zahl in Polardarstellung als A · (cos() + i·sin()) = A · ei· geschrieben werden kann. Die Bewegungsgleichung des Federpendels aus 4.5.2 kann geschrieben werden als d2 k x(t) x(t) 0 2 m dt Mit dem Ansatz z(t) A eit SB/Version 1.20 Seite 43/67 Inovatech Technikerschule Mechanik wird daraus 2 A eit k k A eit A 2 eit 0 m m Dieser Ausdruck kann nur dann = 0 sein, wenn die Klammer = 0 ist! Damit erhalten wir sofort und ohne schwierige Rechnung k , m also das gleiche Resultat wie in 4.5.2. Der wahre Gewinn der Methode zeigt sich aber darin, dass auch kompliziertere Probleme, die sonst schwierig zu lösen wären, nur wenig Mehraufwand erfordern. Wenn das Federpendel, wie es in Wirklichkeit häufig der Fall ist, durch eine geschwindigkeitsabhängige Reibkraft f · v gebremst wird, ist die Bewegungsgleichung d2 f d k x(t) x(t) x(t) 0 2 m dt m dt Mit dem gleichen Lösungsansatz wie vorher ergibt sich 2 A eit i f k f k A eit A eit A i 2 eit 0 m m m m Die Klammer ist eine quadratische Gleichung in mit den Lösungen 2 i f k f . 2m m 2 m Damit wird die Lösung der Bewegungsgleichung zu z(t) A e it Ae f t 2m 2 e i k f t m 2m mit dem Realteil x(t) A e f t 2m 2 k f cos t m 2 m Das ist eine harmonische Schwingung mit einer exponentiell gedämpften Amplitude und einer mit der Stärke der Bremskraft zunehmenden Periodenverlängerung von 2 2 im ungedämpften Fall auf im gedämpften Fall. 2 k k f m m 2 m 1 Frequenz ungedämpf t 1 = 0.5 sec . 2 0.5 x( t ) gedämpf t d 1 = 0.498 sec 2. 0 y( t ) 0.5 1 0 2 4 6 8 10 t Figur 5: Gedämpftes und ungedämpftes Federpendel SB/Version 1.20 Seite 44/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Mit diesem mathematischen Apparat können wir sogar das Phänomen der Resonanz einigermassen realistisch untersuchen, indem wir uns ein gedämpftes Federpendel vorstellen, das von aussen durch eine periodische Kraft F(t) = F0 · cos(t) “angetrieben” wird. Aus der Erfahrung ist bekannt, dass diese Bewegung nach Ablauf einer Einschwingzeit harmonisch ist und ebenfalls die Kreisfrequenz hat, allerdings mit einer Phasenverschiebung . Die Bewegungsgleichung wird damit zu F cos t d2 f d k x(t) x(t) x(t) 0 2 m dt m m dt Mit dem Ansatz z(t) A eit f k und m m wird daraus mit 0 2 A eit i A eit 02 A eit A 02 i 2 eit F0 it e m und damit F0 F 1 2 0 R 2 m 0 i m m i R R ist hier eine komplexe Zahl, die wir in der Polarform schreiben können als i· R = |R| · e Damit wird der Realteil der Auslenkung zu x(t) = |R| · F0/m · cos(· t + ) Die Amplitude der Schwingung ist zur antreibenden Kraft F0 proportional, was zu erwarten war. Der Faktor |R| beträgt A F0 02 2 R R R 2 0 1 02 2 2 i 02 2 i 2 1 2 2 1 2 02 2 2 2 und damit x(t) 1 2 02 2 2 2 F0 cos( t ) m Der Phasenwinkel ergibt sich aus 1 1 i e 02 2 i R R tan() Das Verhältnis SB/Version 1.20 2 02 f heisst relative Dämpfung. m k 0 Seite 45/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 2 1 x( t ) 0 y( t ) 1 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t Figur 6: Anregung eines gedämpften Federpendels mit einer äusseren Kraft, deren Frequenz kleiner ist als die Eigenfrequenz des Pendels. Das Pendel x(t) hinkt der Anregung y(t) hinterher, <0. 1.5 1 0.5 x( t ) 0 y( t ) 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t Figur 7: Anregung eines gedämpften Federpendels mit einer äusseren Kraft, deren Frequenz grösser ist als die Eigenfrequenz des Pendels. Das Pendel x(t) eilt der Anregung y(t) voraus, >0. Wir können die Resultate wie folgt zusammenfassen (vergleiche auch Figur 8 und Figur 9 weiter unten): Grenzfall der niedrigen Anregungsfrequenz: Die Rückstellkraft mit k überwiegt, Trägheits- und Reibungseffekte sind klein, weil Beschleunigungen und Geschwindigkeiten klein sind. Die Kraft ist gleich Null in der Mittelposition und maximal in den Extremstellungen. In der zweiten und vierten Viertelperiode verlaufen äussere Kraft und Geschwindigkeit parallel, das System nimmt Energie auf, und es gibt in der ersten und dritten Viertelperiode wieder gleich viel Energie ab. Bei der Eigenfrequenz beträgt die Phasenverschiebung -90° (die Kraft ist maximal in der Mittelstellung und gleich Null an den Punkten mit maximaler Auslenkung), und die Geschwindigkeit ist in Phase mit der Anregung, das System nimmt ständig Energie auf. Diese wird durch die Reibung gerade wieder aufgebraucht. SB/Version 1.20 Seite 46/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Grenzfall der hohen Anregungsfrequenz: Das Trägheitsglied überwiegt, Reibung und Rückstellkraft sind vernachlässigbar. Die Phasenverschiebung beträgt -180°. In der zweiten und vierten Viertelperiode wird Energie abgegeben (gebremst), in der ersten und dritten aufgenommen (beschleunigt). Je kleiner die relative Dämpfung, desto höher liegt das Maximum der Amplitude und desto schärfer (schmaler) ist die Spitze der Kurve. Das Maximum der Amplitudenverstärkung wird bei max 02 21 2 erreicht. max verschiebt sich mit zunehmender Dämpfung hin zu kleineren Frequenzen und wird bei f 2 m k (aperiodischer Grenzfall) = 0: es gibt kein Resonanzmaximum mehr; die Amplitude nimmt ab dieser Dämpfung für zunehmende Anregungsfrequenz monoton ab - das System kann der Anregung immer weniger folgen! 6 5 4 R( , 0.2) R( , 0.5) 3 R( , 1.0) 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 0 Figur 8: Verstärkung |R| der Amplitude einer erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz bei relativer Dämpfung von 0.2, 0.5 und 1.0 (0 = 1, m = 1). 0 ( , 0.2) ( , 0.5) 0.5 ( , 1.0) 1 0 0.5 1 1.5 2 0 Figur 9: Phasenverschiebung (in Vielfachen von 180°) einer erzwungenen Schwingung gegen die erregende Kraft für relative Dämpfung von 0.2, 0.5 und 1.0 (0 = 1) Elektrisches Analog: Stromkreis mit kapazitativem (V q ), C Ohm’schem dI d2 q dq ) und induktivem ( V L L 2 ) Widerstand in Serie, an den dt dt dt eine periodische Wechselspannung angelegt wird. ( V R I R SB/Version 1.20 Seite 47/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 4.5.5 Freier Fall: geschwindigkeitsabhängige Kraft Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes ist die Kraft (Erdanziehungskraft) konstant. Die Richtung nach oben zählen wir positiv, die Erdbeschleunigung negativ, weil sie nach unten zeigt. Kraftgesetz F = -m · g Anfangsbedingungen s(0) s 0 ds (0) v 0 dt d2 F s(t) g 2 m dt Lösung durch zweimaliges Integrieren d s(t) v(t) g t C1 dt t2 s(t) g C1 t C 2 2 Hier können wir die einfachen Ausdrücke direkt integrieren. Mit Hilfe der frei wählbaren Integrationskonstanten C1 und C2 sind die Anfangsbedingungen erfüllt, wenn C1 = v0 und C2 = s0 (vergleiche 4.1). Bei Berücksichtigung des Luftwiderstandes ist der mathematische Aufwand viel grösser. Wie wir in 4.2 gesehen haben, hängt die Bremskraft von der Geschwindigkeit ab. Wir haben als totale (resultierende) Kraft c W L A p Ftot v2 m g 2 und daraus die Bewegungsgleichung Bewegungsgleichung d2 dt 2 s( t ) 2 c W L A p d s( t ) g 2m dt Eine solche Bewegungsgleichung lässt sich am einfachsten numerisch integrieren, obwohl eine geschlossene Lösung hier noch existiert. Nach 15 Sekunden und 590 m Fall ist die Endgeschwindigkeit von etwas über 51 m/sec schon fast erreicht; die verbleibende resultierende Beschleunigung beträgt weniger als 0.1 m/sec². Die numerische Rechnung funktioniert so: Wir gehen von einem bekannten Anfangszustand aus, in dem wir Ort, Geschwindigkeit und Kraft kennen. Aus der Kraft berechnen wir nach dem Aktionsprinzip 4.4.2.2 die Beschleunigungen in x- und yRichtung. Damit können wir die Geschwindigkeiten und Positionen in x- und yRichtung für eine kleine Zeit t später berechnen. Daraus berechnen wir die neuen Kräfte und Beschleunigungen, und so weiter - also ein schrittweises Verfahren. Das Verfahren ist natürlich desto genauer, je kleiner der Zeitschritt t ist. Gute Ergebnisse erzielt man, wenn man die neuen Positionen nicht mit den Endgeschwindigkeiten rechnet, sondern mit den mittleren Geschwindigkeiten im vorangegangenen Zeitintervall t. Im Excel-File NEWTON.XLS sind drei nach dieser Methode gerechnete Beispiele enthalten: Freier Fall mit Luftwiderstand (mit der exakten Lösung zum Vergleich) Schiefer Wurf mit Luftwiderstand (4.5.6) Bahn eines Planeten im Gravitationsfeld eines Zentralkörpers (4.5.7) SB/Version 1.20 Seite 48/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 4.5.6 Ballistische Kurve In der “äusseren Ballistik” geht es darum, ein Geschütz so zu richten, dass die Flugbahn des Geschosses durch einen bestimmten Punkt (Ziel) geht. (Die “innere Ballistik” umfasst die Vorgänge beim Abschuss im Innern des Rohrs.) Dafür sind folgende Bewegungsgleichungen zu lösen: 2 c w L A p d a x 2 x( t ) x( t ) 2 dt dt d2 2 c w L A p d a y 2 y( t ) y( t ) g 2 dt dt d2 mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0, y(0) = 0, vx(0) = v0·cos(), vy(0) = v0·sin(). Die beiden Vorzeichen bei der y-Gleichung kommen daher, dass der Luftwiderstand beim Aufstieg nach unten wirkt, beim Abstieg aber nach oben. Mit dieser einfachen Näherung, die zahlreiche Einflüsse unberücksichtigt lässt, ergibt sich schon eine recht gute Übereinstimmung mit der Realität; man vergleiche dazu Figur 10 und Arbeitsblatt KANONE in NEWTON.XLS: Die Rechnung liefert mit cw = 0.16 und Zeitschritt 1 sec bei Elevation 700 r‰ (entsprechend 40°; der Vollkreis hat 6300 r‰) für die Scheitelhöhe 965 m nach 14 Sekunden Flugzeit und eine Schussweite von 4230 m nach 28 Sekunden Flugzeit. Auch für andere Elevationen und Abschussgeschwindigkeiten liegen die Ergebnisse der Rechnung mit dem gleichen cw auf einige Prozent genau in der Nähe der “tatsächlichen” Werte. 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Figur 10: Ballistische Kurve des Geschützes aus Figur 11 mit Elevation 700 r‰ bis zu einer Flugzeit von 28 Sekunden. Die Punkte geben den Ort in Abständen von 1 Sekunde. Zur Ermittlung der “Schiesselemente” muss, ausgehend von einer Näherung, der Berechnungsvorgang mehrmals durchlaufen und die Elemente auf das Ziel hin korrigiert werden, bis es “getroffen” wird. SB/Version 1.20 Seite 49/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Figur 11: Aus einem alten Schiessbehelf der Schweizer Armee (Flugbahnkarten 65.161 der 10.5 cm Haubitzen L22 vom Juni 1976). Grün: Flugzeit in 1/10”. SB/Version 1.20 Seite 50/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 4.5.7 Numerische Integration beliebiger Bewegungsgleichungen Wir denken uns folgendes Beispiel (Momentaufnahme): Ein Planet befinde sich zur Zeit t = 0 an einer bekannten Stelle und habe eine bestimmte (bekannte) Geschwindigkeit, die wir einfachheitshalber als senkrecht zur Verbindungslinie Sonne-Planet annehmen. Wir definieren ein rechtwinkliges Koordinatensystem so, dass sich die Sonne zur Zeit t = 0 bei x = 0/y = 0 und der Planet bei x = x0/y = 0 befindet und der Planet eine Geschwindigkeit vx(0) = 0, vy(0) = vy0 hat. Auf den Planeten wirkt von der Sonne eine Gravitationskraft, ausserdem gilt für ihn das Aktionsprinzip F = m·a. Uns interessiert die Bewegung, die sich aus diesen Bedingungen ergibt. Vom Aktionsprinzip wissen wir, dass a = F/m gilt, wo F die Gravitationskraft ist. Leider sind die beiden Bewegungen (in x und y) miteinander gekoppelt, weil die Kraft vom Abstand r² = x² + y² abhängt, konkret: die Kraft (Beschleunigung) in x-Richtung hängt auch vom Ort in y-Richtung ab und umgekehrt. Im Gegensatz zum schiefen Wurf haben wir hier keine Überlagerung unabhängiger Bewegungen. Es ist deshalb klar, dass es keine isolierten “Formeln” für x(t) und y(t) geben kann, weil x von y abhängt und umgekehrt. Für eine numerische Rechnung ist das aber überhaupt kein Problem. Siehe Arbeitsblatt PLANET in NEWTON.XLS: Allein aus dem Aktionsprinzip und dem mit 1/r² abnehmenden Kraftgesetz folgt zwangsläufig, dass die Bahn eine Ellipse ist! Mehr braucht es tatsächlich nicht! 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -1.5 -1 -0.5 -0.2 0 0.5 -0.4 -0.6 -0.8 Figur 12: Bahn eines tangential abgeschossenen Körpers im Schwerefeld eines Zentralkörpers im Koordinatennullpunkt. Die Punkte liegen in gleichen Zeitabständen. man sieht schön, wie sich der Planet in Sonnennähe schneller bewegt als in grosser Entfernung (die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist konstant). Es sind auch andere Bahnen möglich; je nach Anfangsbedingungen ist die Ellipse mehr oder weniger exzentrisch bis hin zum Kreis, oder die Bahn kann bei grösseren Geschwindigkeiten eine Parabel oder eine Hyperbel werden. Siehe dazu auch 5.3.4 und 6.1. Das Phantastische an dieser Methode ist, das wir damit mit wirklich geringen Voraussetzungen und geringem mathematischem Aufwand fast beliebig komplexe Probleme mit beliebiger Genauigkeit berechnen können. Indem wir der Excel-Tabelle ein paar Spalten anhängen, können wir noch den Einfluss beliebiger Störungen mitberücksichtigen. SB/Version 1.20 Seite 51/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 5. Arbeit und Energie 5.1 Arbeit Es wird Arbeit geleistet, wenn gegen eine Kraft etwas verschoben wird. Die Definition der Arbeit lautet deshalb Arbeit = Kraft · Weg W=F·s 18 und hat die Einheit N·m = J (Joule ). Die Einheit ist formal die gleiche wie beim Drehmoment. Die Kraft muss dabei nicht über den ganzen Weg gleich sein, sie kann vom Ort abhängen (mehr dazu in 5.3.3). Das einfachste Beispiel von Arbeit bei veränderlicher Kraft ist das Spannen einer Feder. Bei einer (idealen) Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage, also (vgl. 4.5.2) F = -k · x Wird Arbeit gegen eine derart (proportional zum Weg) veränderliche Kraft geleistet, rechnet man am einfachsten mit der mittleren Kraft zwischen Anfangs- und Endposition und erhält W = ½ · k · x². 5.2 Leistung Wir sprechen auch im Alltag von einer Leistung, wenn eine bestimmte Arbeit in einer gewissen Zeit geleistet wurde. Die Definition der Leistung ist deshalb Leistung = Arbeit/Zeit = Kraft · Weg/Zeit = Kraft · Geschwindigkeit P = W/t P=F·v 19 mit der Einheit N·m/sec = J/sec = W (Watt ). Eine veraltete, aber im Alltag immer noch gebräuchliche Einheit ist die Pferdestärke: 1 PS = (75 kg · g) · 1 m/sec = 735.5 W hebt 75 kg mit 1 m/sec gegen die Gewichtskraft in die Höhe. 5.3 Energie 5.3.1 Übersicht Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu leisten, gewissermassen also gespeicherte Arbeit. Wir kennen Energie in zahlreichen Erscheinungsformen (mechanische, elektrische, chemische Energie, Wärmeenergie, Strahlungsenergie, usw.). Die Einheit der Energie ist deshalb die gleiche wie die der Arbeit, nämlich N·m oder J, häufig auch W·sec = Ws oder kW·h = kWh. Veraltet ist die Kalorie, 1 cal = 4.19 J, definiert als Energie, um 1 g Wasser von 14.5°C auf 15.5°C zu erwärmen. Ein Mensch leistet im “Dauerbetrieb”, also ohne spezielle Anstrengung, etwa 80 W (und trägt etwa in diesem Rahmen zur Aufheizung seiner Umgebung bei). 80 W entsprechen in 24 Stunden 6912 kJ 1650 kcal. Die Energieerhaltung 5.3.5 gilt auch bei der Ernährung! 18 19 benannt nach James Joule, 1818-1889, englischer Physiker benannt nach James Watt, 1736-1819, englischer Konstrukteur SB/Version 1.20 Seite 52/67 Inovatech Technikerschule Mechanik In der Mechanik beschäftigen wir uns vornehmlich mit kinetischer Energie (Energie der Bewegung) und potentieller Energie (Energie der Lage). Bei einer Schwingung (z.B. bei einem Pendel oder einem hüpfenden Ball) findet eine fortlaufende Umwandlung zwischen potentieller und kinetischer Energie statt. (In der Physik gibt es zahlreiche Entsprechungen in verschiedenen Gebieten; bei einer elektromagnetischen Schwingung findet beispielsweise eine Umwandlung zwischen elektrischer und magnetischer Energie statt.) 20 Seit der speziellen Relativitätstheorie von A. Einstein (1905) mit der berühmten Formel E = m·c² wissen wir, dass auch Masse eine Erscheinungsform von Energie darstellt. Diese Energie tritt im Kernkraftwerk und in der Atombombe in Erscheinung. Wenn das KKW Gösgen die elektrische Energie für etwa 1 Million Menschen liefert, wandelt es dabei pro Jahr rund 1 kg Masse in Energie um, wovon etwa 65% als Abwärme durch den Kühlturm entweichen. Diese Energie der Masse ist also ziemlich gross und schwierig zu nutzen. 5.3.2 Kinetische Energie (Energie der Bewegung) Bei der (gleichmässigen) Beschleunigung eines Körpers der Masse m von 0 auf die Geschwindigkeit v wird folgende Arbeit geleistet: F · s = (m · a) · (½ · a · t²) = ½ · m · (a · t)² = ½ · m · v² Wir schreiben dafür Ekin = ½ · m · v² Prallt der Körper irgendwo auf, wird seine kinetische Energie (meistens unumkehrbar) in andere Energieformen (wie Wärme) umgewandelt oder zur Lösung von Verbindungskräften (sprich: Zerstörung fester Strukturen) aufgewendet. Bremsen haben eine bestimmte maximale Leistung. Weil die kinetische Energie quadratisch mit der Geschwindigkeit wächst, nimmt der Bremsweg beim Auto mit zunehmender Geschwindigkeit stark zu. 20 A. Einstein hat in der speziellen Relativitätstheorie erkannt, dass die Masse nicht konstant ist, sondern mit der Geschwindigkeit zunimmt nach m0 m(v) , 2 v 1 c wo m0 die sogenannte Ruhemasse und c die Lichtgeschwindigkeit sind. Kein Körper mit Masse > 0 kann eine Geschwindigkeit v c erreichen; die Trägheit und damit der Energieaufwand für eine weitere Beschleunigung nehmen bei der Annäherung von v an c immer stärker zu und gehen gegen Unendlich. 5.3.3 Potentielle Energie (Energie der Lage) Um einen Körper der Masse m um eine Höhe h anzuheben, muss gegen die Gewichtskraft m·g die Arbeit m·g·h geleistet werden. Diese steckt dann als potentielle Energie in diesem Körper. Wir schreiben Epot = m · g · h Beim Herunterfallen wird diese Energie wieder frei, sie wird dabei kontinuierlich in kinetische Energie umgewandelt. Beispiel: Wasser wird zur Energiespeicherung in den Stausee eines Kraftwerks gepumpt und später wieder zum Antreiben einer Turbine genutzt. Die Kraft muss natürlich nicht konstant sein. Um einen Körper der Masse m K vom 20 Albert Einstein, 1879-1955, Physiker, Zürich/Berlin/Princeton SB/Version 1.20 Seite 53/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Abstand r1 zum Abstand r2 vom Erdmittelpunkt anzuheben, muss die Arbeit r2 W G mK mErde r1 r 2 dr G mK mErde m mErde G K G m K m Erde r2 r1 1 1 r1 r2 gegen die mit dem Abstand veränderliche Gravitationskraft geleistet werden. Man fasst die zu einem Zentralkörper Z gehörenden Grössen zusammen und bezeichnet die Funktion m UZ (r) G Z r als Potential des Gravitationsfeldes im Abstand r von diesem Körper mit der Masse mZ. Ein Körper mit der Masse mK hat dann im Abstand r bezüglich mZ die potentielle Energie Epot = mK · UZ(r). Die potentielle Energie hat bei dieser Definition im Unendlichen den Wert 0 und nimmt sonst negative Werte an; da es bei der potentiellen Energie nur auf Differenzen ankommt, kann der Bezugspunkt beliebig gesetzt werden. Die im Potential UZ auf mK wirkende Kraft ist, wie aus der Konstruktion des Potentials hervorgeht, im eindimensionalen Fall (nur x-Richtung) dU Z d Fx m K E pot dx dx , mK m Z d G m Z G mZ m K m K G dr x2 x2 x2 also gerade wieder die Gravitationskraft. Die Grösse dU Z dx heisst Feldstärke; sie entspricht der Beschleunigung, die ein Körper im Gravitationsfeld des Körpers Z erfährt. Diese Begriffe sind analog zum elektrischen Potential und dem elektrischen Feld einer Ladung. Bemerkung zu den Vorzeichen: Die potentielle Energie und das Potential U sind wegen der Normierung U() = 0 negativ. Kraft- und Beschleunigungskomponente sind für x > 0 negativ, weil sie zum Zentralkörper hin (“nach links”) gerichtet sind. gx 5.3.4 Raumfahrt und Astronomie Um einen Körper der Masse mK von der Erdoberfläche (r1 = rErde) bis ins Unendliche (r2 = ) zu transportieren, so dass er nicht mehr zurückkommt, ist eine Energie von mindestens E mK U() U(rErde ) G mK mErde rErde erforderlich, die dem Körper als kinetische Energie mitgegeben werden muss, also G m K mErde rErde 1 2 mK v 2 . Daraus ergibt sich sofort die (von mK unabhängige) Entweichgeschwindigkeit v 2G mErde km 2 rErde g 11.18 rErde sec oder gut 40000 km/h. Für diese Geschwindigkeit wird die (für kleinere Geschwindigkeiten elliptische) Bahn (wo die kinetische Energie in Richtung der grossen Bahnachse schon in endlichem Abstand aufgebraucht ist und der Körper wegen der GraSB/Version 1.20 Seite 54/67 Inovatech Technikerschule Mechanik vitationskraft wieder zurückkommt) des abgeschossenen Körpers parabolisch. Bei noch höherer Geschwindigkeit hat der Körper auch “im Unendlichen” noch eine kinetische Restenergie; die Bahn wird jetzt zu einer Hyperbel. Siehe dazu auch Figur 14 in 6.1. Derartige “offene” Bahnen kommen tatsächlich vor, beispielsweise bei Kometen. Bei den Kometen gibt es solche, die in einigermassen regelmässigen (weil ihre Bahnen immer wieder durch andere Objekte leicht gestört werden) Zeitabständen wiederkehren, und solche, die uns nur einmal besuchen. Wiederkehrende Kometen verkehren auf elliptischen Bahnen. Berühmt ist der Komet Halley21, der etwa alle 76 Jahre “vorbeikommt”, das nächste Mal im Jahre 2061, und der schon im Jahre 240 v.Chr. beschrieben wurde. Aus der Entweichgeschwindigkeit lässt sich eine weitere interessante Folgerung ableiten. Wie man bei der Formel für die Entweichgeschwindigkeit sieht, wird sie grösser, wenn der Radius kleiner wird. Man kann die Formel nach r auflösen und ausrechnen, bei welchem Radius die Entweichgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit c = 299793 km/sec wird. Das ist der Schwarzschild22-Radius 2Gm rS . c2 30 Bei grossen Sternen ab der Grössenordnung unserer Sonne (Sonnenmasse = 2·10 kg oder 332000 Erdmassen) kommt es im Endstadium, wenn sie “ausgebrannt” sind, zu folgenden Vorgängen: der Kern des Sterns zieht sich zusammen und wird zu einem Neutronenstern, während die Hülle sich zu einer Supernova entwickelt, die während kurzer Zeit sehr hell leuchtet und dann verschwindet. Neutronensterne mit mindestens 3 Sonnenmassen ziehen sich weiter zusammen, bis ihr Radius kleiner wird als der Schwarzschild-Radius - bei drei Sonnenmassen sind das 8.9 km bei einer durchschnittlichen Dichte von 2·1015 g/cm³, also 2 Milliarden Tonnen pro cm³. In der 20 allgemeinen Relativitätstheorie hat Einstein 1915 nachgewiesen, dass auch Licht einer Gravitationswirkung unterliegt. Das hat zur Folge, dass bei einem derartigen Stern nicht einmal mehr Licht aus dem Gravitationsfeld entweichen kann, und wir haben ein sogenanntes schwarzes Loch, das man nur an seiner Gravitationswirkung auf andere (sichtbare) Sterne erkennen kann. Beispiel: Im Sternbild Schwan gibt es ein Doppelsternsystem mit der Bezeichnung X-1. Einer der Sterne, der B-Stern, führt Bewegungen aus, die auf Störungen durch einen unsichtbaren Gefährten mit einer Masse von etwa 3.75 Sonnenmassen hindeuten. Bei solchen Bedingungen existieren natürlich keine Atome mehr, es gibt nur noch einen “Brei” aus Elementarteilchen. 5.3.5 Energie als Erhaltungsgrösse Eine Grundeigenschaft der Energie ist, dass sie eine physikalische Erhaltungsgrösse ist (Mayer23, 1842). Das besagt, dass Energie nur von einer Form in eine andere umgewandelt, aber weder erzeugt noch vernichtet werden kann (der umgangssprachliche Ausdruck “Energieerzeugung” ist deshalb physikalisch unsorgfältig). Die Energieerhaltung kann für ein isoliertes mechanisches System, in dem nur elastische Stösse vorkommen, formuliert werden als (unter Vorwegnahme von 6.2) Etot = Ekin + Epot + Erot = const. Das Prinzip der Energieerhaltung gilt immer, je nach Gegebenheiten muss der Aus21 benannt nach dem englischen Astronomen Edmund Halley (1656-1742), einem Freund Newton’s, der als erster die Bahn berechnet hat 22 Karl Schwarzschild, 1873-1916, deutscher Mathematiker 23 Julius Robert Mayer, 1814-1878, Schiffsarzt und Arzt in Heilbronn SB/Version 1.20 Seite 55/67 Inovatech Technikerschule Mechanik druck um weitere Energiebeträge wie z.B. Wärmeenergie erweitert werden. Die Kenntnis von der Erhaltung der Energie erlaubt oft eine verblüffend einfache Lösung sonst sehr komplexer Probleme. Die Energie, die in eine Maschine in irgend einer Form hineingesteckt wird, kommt (minus Verluste) auch wieder heraus, unabhängig davon, was im Innern der Maschine genau vor sich geht. Die totale Energie der Erde im Abstand r von der Sonne beträgt m 2 Etot Ekin Epot 21 mErde vErde mErde G Sonne r Aus der Energieerhaltung geht sofort hervor, dass die Geschwindigkeit der Erde in Sonnennähe (mit kleinerer, d.h. stärker negativer potentieller Energie) grösser sein muss als bei grösserer Entfernung, vergleiche dazu 4.4.1. Bei jedem Vorgang/Prozess wird Energie umgewandelt!!! 5.4 Stossgesetze 5.4.1 Der Impulssatz Stösst ein Körper mit einer Kraft F auf einen zweiten Körper, so wirkt nach dem Reaktionsprinzip 4.4.2.3 eine umgekehrte Kraft -F auf den ersten Körper zurück, F1 = -F2 Mit dem Aktionsprinzip 4.4.2.2 F=m·a lässt sich das schreiben als v v m1 1 m2 2 t t Da beide Kräfte während derselben Zeit t wirken, folgt daraus m1 · v1 = -m2 · v2 Die Grösse p = m·v heisst Impuls. Seien vi die Geschwindigkeiten vor dem Stoss, wi nach dem Stoss. Dann gilt: p1 = -p2 m1 · (w1 – v1) = -m2 · (w2 – v2) m1 · w1 + m2 · w2 = m1 · v1 + m2 · v2 Diese Erkenntnis wird im Impulssatz festgehalten: In einem abgeschlossenen System (ohne äussere Kräfte) bleibt die Summe aller Impulse vor und nach einem Stoss konstant, p m v 0 m v m v i i vorher i i i i i nachher Die Grösse F · t = m · v, die bei einem Stoss übertragen wird, wird auch als Kraftstoss bezeichnet. v muss dabei als vektorielle (im eindimensionalen Fall: vorzeichenbehaftete) Grösse behandelt werden, also bei einem vollkommen elastischen geraden Stoss gegen eine Wand mit Umkehr der Geschwindigkeitsrichtung (wie beim Billard) ist v = 2·v. SB/Version 1.20 Seite 56/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 5.4.2 Vollkommen inelastischer gerader zentrischer Stoss Wir sprechen von einem geraden zentrischen Stoss, wenn die Schwerpunkte der Körper und der Berührungspunkt beim Stoss auf einer geraden Linie liegen und diese Linie bei beiden Körpern im Berührungspunkt senkrecht auf der Oberfläche steht. Bei jedem Stoss gelten die Erhaltungssätze für Impuls und (totale) Energie. Bei einem vollkommen inelastischen Stoss verformen sich einer oder beide Körper und bleiben “aneinander kleben”. Dabei wird Bewegungsenergie in Wärme und Verformungsarbeit umgewandelt. Für die (gemeinsame) Geschwindigkeit w nach dem Stoss gilt wegen der Impulserhaltung m1 m 2 w m1 v1 m 2 v 2 w m1 v 1 m 2 v 2 m1 m 2 Daraus können wir die beim vollkommen inelastischen Stoss verlorene kinetische Energie berechnen (schon wieder ein Binom!): Ekin 1 2 m1 v 12 21 m 2 v 22 21 m1 m 2 w 2 1 2 m1 v 12 1 2 m v 12 m 2 v 22 m1 m 2 m12 v 12 2 m1 m 2 v 1 v 2 m 22 v 22 1 2 1 2 1 1 2 m 2 v 22 m v m2 v 2 m1 m 2 1 1 m1 m 2 2 1 2 m1 m 2 m1 m 2 v 12 m1 m 2 v 22 2 m1 m 2 v 1 v 2 m1 m 2 m1 m 2 2 v 1 v 2 m1 m 2 m1 m 2 hat die Dimension einer Masse, man nennt sie reduzierte Masm1 m 2 se. Der Energieverlust entspricht der kinetischen Energie der reduzierten Masse mit der Differenz der Geschwindigkeiten. Die Grösse Anwendungen: Schmieden, Einrammen von Pfählen oder Nägeln. Beim Schmieden geht es darum, einen möglichst grossen Teil der kinetischen Energie des Hammers m1 in Formänderungsarbeit umzuwandeln. Der Wirkungsgrad ist deshalb (mit v2 = 0) definiert als Ekin m2 1 2 1 m m m m1 v 1 1 2 2 1 1 m2 Beim Einrammen geht es darum, einen möglichst grossen Teil der kinetischen Energie des Hammers m1 in kinetische Energie des Gesamtsystems Hammer + Pfahl umzuwandeln. Der Wirkungsgrad ist deshalb hier (mit v2 = 0) definiert als 1 2 m1 m 2 w 2 1 2 m1 v 12 1 2 m v m1 m 2 1 1 m1 m 2 1 2 m1 v 12 2 m1 m1 m 2 1 m 1 2 m1 In beiden Fällen wird also der Wirkungsgrad näherungsweise (weil der Stoss nicht vollkommen inelastisch ist) durch das Verhältnis der Massen bestimmt! SB/Version 1.20 Seite 57/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 5.4.3 Elastischer gerader zentrischer Stoss Bei einem elastischen Stoss wird keine Bewegungsenergie in Wärme, Reibung und Verformung umgewandelt, die Bewegungsenergie bleibt als solche erhalten. Es seien wiederum vi die bekannten Geschwindigkeiten vor und wi die unbekannten nach dem Stoss. Mit Impuls- und Energieerhaltung m1 w 1 m2 w 2 m1 v1 m2 v 2 1 m w 2 1 m w 2 1 m v2 1 m v2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 haben wir zwei Gleichungen zur Bestimmung der 2 Unbekannten w1 und w2; das Problem ist damit mathematisch eindeutig bestimmt. Zur Lösung formen wir die beiden Gleichungen um, m1 w1 v1 m2 v 2 w 2 1 2 2 2 2 1 2 m1 w1 v1 2 m2 v 2 w 2 Das Rechnen mit der quadratischen Energiegleichung ist etwas mühsam. Indem wir die zweite Gleichung durch die erste dividieren, den Faktor ½ wegkürzen und uns an die binomischen Formel a² – b² = (a + b)·(a – b) erinnern, erhalten wir eine einfachere zweite Gleichung, m1 w 1 v1 m2 v 2 w 2 w 1 v1 v 2 w 2 Wir formen die Gleichungen wieder so um, dass die unbekannten Terme links und die bekannten rechts vom Gleichheitszeichen stehen. m1 w 1 m 2 w 2 m1 v 1 m 2 v 2 w 1 w 2 v 2 v1 Die zweite Gleichung besagt, dass die Geschwindigkeitsdifferenz beim elastischen Stoss nur das Vorzeichen (die Richtung) wechselt. Gleichungen in Matrixschreibweise: m1 m 2 w 1 m 1 v 1 m 2 v 2 v 2 v1 1 1 w 2 Zur Auflösung der Gleichungen wenden wir am einfachsten die Cramer'sche Regel (Verhältnis von Determinanten) an: w1 w2 m1 v1 m2 v 2 1 m2 v 2 v1 m1 v1 m2 v 2 m2 v1 v 2 m1 1 m2 1 m1 m2 m1 v1 m2 v 2 m2 v1 v 2 m1 m2 m1 m2 m1 v 2 v1 m1 v1 m2 v 2 1 m1 1 m2 1 m1 v1 m2 v 2 m1 v 2 v1 m1 m2 m1 m2 m1 v1 m2 v 2 m1 v 2 v1 m1 m2 m1 v1 m2 v 2 , entspricht dem Resultat beim m1 m2 inelastischen Stoss, er bezeichnet die Geschwindigkeit des gemeinsamen Schwerpunktes, die sich nicht ändert. Der zweite Teil bezeichnet die Relativgeschwindigkeiten zum Schwerpunkt. Wie es sein muss, sind die Ausdrücke für w1 und w2 symmetrisch in 1 und 2, d.h. Vertauschung von 1 und 2 ergibt das gleiche Resultat. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Stoß_(Physik) für einige Visualisierungen. Der erste Teil der beiden Formeln, SB/Version 1.20 Seite 58/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 5.4.4 Reale gerade zentrische Stösse Reale Stossvorgänge können vollkommen inelastisch, aber nie ganz elastisch sein: ein Teil der Bewegungsenergie wird immer in Wärme oder Verformungsarbeit umgewandelt und nicht als Bewegungsenergie “zurückgefedert”. Reale Stösse liegen zwischen inelastischen und elastischen Stössen. Ein Vergleich der Formeln für w im inelastischen und elastischen Fall zeigt, dass sie sich einzig in den Termen -m2·(v1 – v2) bzw. -m1·(v2 – v1) im Zähler unterscheiden. Es liegt nahe, den realen Stoss zu modellieren, indem man von diesen Termen - die für die Geschwindigkeiten relativ zum gemeinsamen Schwerpunkt stehen - einen Teil berücksichtigt. Wir machen deshalb den Ansatz w1 w2 m1 v 1 m 2 v 2 m 2 v 1 v 2 k m1 m 2 m1 v 1 m 2 v 2 m1 v 2 v 1 k m1 m 2 Der Verlust an kinetischer Energie beträgt damit (nach einiger Rechnung) 2 m m Ekin 21 1 2 v 1 v 2 1 k 2 m1 m 2 Diese Formeln decken alle Fälle ab mit k=0 für den vollkommen inelastischen Grenzfall, 0 < k < 1 für den realen Fall, k=1 für den elastischen Grenzfall. Je nach Wert von k liegt der Stoss näher beim elastischen oder beim inelastischen Grenzfall. Bedeutung und Bestimmung von k Wir bilden die Differenz m1 v 2 v 1 k m2 v 1 v 2 k w 2 w1 v1 v 2 k m1 m2 m1 m2 v1 m1 m2 v 2 k m1 m2 w 2 w1 v1 v 2 k Die Grösse k heisst Stosszahl; sie ist eine von beiden beteiligten Werkstoffen abhängige Materialgrösse und kann mit Hilfe der obigen Beziehung durch einen Fallversuch bestimmt werden: Man lässt eine Kugel aus dem einen Werkstoff frei aus einer Höhe h0 senkrecht auf eine feststehende Platte aus dem anderen Werkstoff fallen und misst die Rücksprunghöhe h1 (oder, was einfacher ist, die Zeit zwischen dem ersten und zweiten Aufprall - überlege, wie man daraus die Rücksprunghöhe berechnen kann!). Wegen v2 = 0 und w2 = 0 ist (beachte: die Vorzeichen der Geschwindigkeiten nach unten und oben sind unterschiedlich!) 1 2 m v2 m g h v1 2 g h 0 w1 k v w 1 2 g h1 1 h1 h0 Für Stahl auf Stahl ist k 0.7, bei gehärtetem Stahl bis 0.95. SB/Version 1.20 Seite 59/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 5.4.5 Anwendungsbeispiele Aufgabe 578 aus Böge Für ein Gewehrgeschoss soll die Mündungsgeschwindigkeit v1 ermittelt werden. Dazu wird das Geschoss in einen Sandsack geschossen, der an einem Seil hängt und nach dem Einschlag ausgelenkt wird. Dabei stellt sich das Tragseil unter dem Winkel = 10° zur Senkrechten ein. Die gegebenen Grössen sind: Geschossmasse m1 = 10 g, Sandsackmasse m2 = 10 kg. Schwerpunktabstand des Sandsackes vom Aufhängepunkt lS = 2.5 m. Berechne die Mündungsgeschwindigkeit v1 des Geschosses! In dieser Aufgabe laufen folgende Vorgänge ab: Beim (vollkommen inelastischen) Aufprall erfolgt eine Impulsübertragung vom Geschoss auf das Gesamtsystem. Die kinetische Energie des Geschosses wird zum Teil in Bewegungsenergie des kombinierten Systems umgewandelt, zum Teil wird sie im Sand absorbiert (Wärme, Zerstörung und Umschichtung von Sandkörnern). Die Bewegungsenergie des Gesamtsystems wird beim Pendelausschlag bis zum Umkehrpunkt durch Anheben des Schwerpunktes zu 100% in Lageenergie umgewandelt. Bei der Lösung gehen wir in umgekehrter Reihenfolge vor: Wir bestimmen die potentielle Energie des Gesamtsystems bei maximaler Auslenkung. Daraus berechnen wir die Anfangsgeschwindigkeit, die das Gesamtsystem nach dem Aufprall hatte. Daraus ergibt sich der Impuls und damit die Geschwindigkeit des Geschosses. Höhe, um die der Schwerpunkt des Sy stems h durch die Auslenkung angehoben wird: l s. ( 1 Diese Höhe entspricht der potentiellen EnergieE pot cos( ) ) m 2 . g. h m1 h = 3.798 cm E pot = 3.728 joule w ist die Anf angsgeschwindigkeit nach dem Auf prall, die dem kombinierten Sy stem eine kinetische Energie gibt, die dieser potentiellen Energie entspricht: 1. 2 m1 2 m 2 .w m1 m 2 . g. h Stossübertragung (Impulssatz): w 2. g. h m 1. v 1 v1 w = 0.863 m 2 .w m1 m1 m2 m1 .w v 1 = 863.954 . 1. m 1 m 2 . 2 v 2 m1 m2 1 Energiev erlust m Sandsack: E kinetische Energie: E Geschoss E System 1. 2 1. 2 m sec m 1. v 1 m1 m sec E = 3728.351 joule 2 2 m 2 .w E Geschoss= 3732.079 joule E System= 3.728 joule E Geschoss E System= 3728.351 joule E = 99.9 % E Geschoss SB/Version 1.20 Seite 60/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Aufgabe 579 aus Böge Eine Kugel mit einer Masse m1 hängt an einem Faden von der Länge l = 1 m. Sie wird so weit angehoben, dass der Faden einen Winkel = 60° mit der Senkrechten einschliesst, und dann losgelassen. Die Kugel trifft im tiefsten Punkt ihrer Bahn auf einen ruhenden Körper mit der vierfachen Masse. Er liegt auf einer waagerechten Ebene. Die Gleitreibzahl auf seiner Unterlage beträgt µ = 0.15. Es wird elastischer, gerader zentrischer Stoss angenommen. Gesucht: a) die Geschwindigkeit v1 der Kugel im tiefsten Punkt, b) die Geschwindigkeiten beider Körper nach dem Stoss, c) die Rückprallhöhe h1 der Kugel und den Winkel 1, den der Faden in dieser Stellung mit der Senkrechten einschliesst, d) der Weg s des Körpers auf der Ebene bis zum Stillstand. a) Wie in Aufgabe 578 ergibt sich h 1m 1 cos 0.5 m v 1 2 g h 3.132 m sec a) Wegen v2 = 0 ist w1 m1 v 1 m2 v 2 m2 v 1 v 2 m1 m2 3 m1 v 1 5 m1 0.6 v 1 m sec m1 v 1 m2 v 2 m1 v 2 v 1 1879 . w2 m1 m2 2 m1 v 1 5 m1 0.4 v 1 1253 . m sec a) Wie in a) ergibt sich die der Bewegungsenergie entsprechende potentielle Energie: h1 w12 0.18 m 2g a) Bewegungsenergie = Reibkraft · Weg 1 2 m2 w 22 m2 g s s SB/Version 1.20 w 22 0.533m g 1 2 Seite 61/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 6. Drehbewegung 6.1 Grundlagen Ein Körper führe eine Bewegung auf einer kreisförmigen Bahn mit dem Radius r aus. Die Geschwindigkeit können wir entweder als Umfangsgeschwindigkeit v in m/sec angeben oder als Winkelgeschwindigkeit in rad/sec, die miteinander zusammenhängen gemäss v r Analog wie bei der Translationsbewegung definiert man eine Winkelbeschleunigung d lim t0 t dt wo die Winkelkoordinate bezeichnet. Wie bei der gleichmässig beschleunigten Bewegung in 4.1 gilt (t) = · t (t) = ½ · · t² Gemäss dem Trägheitsprinzip 4.4.2.1 verharrt ein kräftefreier Körper im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung. Ein Körper auf einer Kreisbahn, auch bei gleichbleibender Umfangsgeschwindigkeit, ändert aber dauernd seine Richtung, er wird zum Drehzentrum hin beschleunigt. Diese Beschleunigung az erfordert eine zum Drehzentrum hin gerichtete Kraft, die Zentripetalkraft. Sie kompensiert die radial nach aussen gerichtete Zentrifugalkraft. Während der Zeit t wird bei geradliniger Bewegung die Distanz X = v·t zurückgelegt. Um auf der Kreisbahn zu bleiben, muss sich der Körper gleichzeitig um eine Distanz S = ½·az·(t)² nach unten verschieben. Nun ist wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke und wenn S klein ist im Vergleich zu R S X X X 2 R S 2 R X2 S 2 R v r bzw. Figur 13: Kreisbewegung (Quelle: R.P. Feynman, Lectures on Physics, Vol. I) v t 1 2 a z t 2 2 R 2 v az R 2 Die Grösse az heisst Zentripetalbeschleunigung: v2 2 r r Sie nimmt quadratisch mit der Anzahl Umdrehungen pro Zeiteinheit zu. Die Zentrifugalkraft beträgt damit az Fz SB/Version 1.20 m v2 m 2 r . r Seite 62/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Raumfahrt und Astronomie Ein Körper, der auf der Erdoberfläche (ohne Luftwiderstand) horizontal abgeschossen wird, erfährt gleichzeitig eine Zentrifugalbeschleunigung az = v²/rErde und die Erdbeschleunigung g = 9.81 m/sec² (4.4.3). Wir können berechnen, bei welcher Geschwindigkeit sich diese beiden vertikalen Beschleunigungen aufheben: az v2 rErde m g 9.81 sec 2 m sec oder nicht ganz 28500 km/h. Man nennt diese Geschwindigkeit die Fluchtgeschwindigkeit. Wird ein Körper mit dieser Geschwindigkeit horizontal abgeschossen (und nicht durch einen Luftwiderstand gebremst), so kreist er auf ewig im gleichen Abstand um die Erde. Raumschiffe und Satelliten werden natürlich nicht so abgeschossen, sie haben einen Antrieb an Bord! Ist die Geschwindigkeit grösser als 7.908 km/sec, so wird die kreisförmige Bahn zu einer Ellipse; je grösser die Geschwindigkeit, desto gestreckter: siehe dazu auch 5.3.4 und die Berechnung in 4.5.7. Beim Umlauf “oszillieren” wie bei jeder Schwingung Energiebeträge zwischen kinetischer und potentieller Energie hin und her. Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist natürlich zu jedem Zeitpunkt dieselbe. Es ist eine einfache Übung, nachzuweisen, dass beispielsweise bei der Bewegung der Erde um die Sonne oder des Mondes oder sonstigen Satelliten um die Erde die Zentrifugalkraft gleich gross ist wie die Gravita- Figur 14: Bahnen tangential tionskraft (man darf dabei Kreisbahnen annehmen und abgeschossener Flugkörper (aus: Dorn, Physik Oberstufe, 2 bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist ): 18. Auflage 1974) T v rErde g 7908 Eingaben: m Erde 24 5.979. 10 . kg r Bahn . 149600000km T 1. yr Erde 2. T . m Sonne 332000m Erde Zentrif ugalkraf t FZ 2 m Erde. Erde . r Bahn Grav itationskraf t FG G. Folgerung: m Sonne. m Erde 2 r Bahn 2 mErde Erde rBahn mErde 22 F Z = 3.55 10 22 F G = 3.54 10 newton newton m m 4 2 rBahn G Sonne2 Erde 2 TErde rBahn 3 m rBahn G Sonne 2 TErde 4 2 Das ist das 3. Kepler’sche Gesetz aus Kapitel 4.4.1! Übung: Berechne, in welcher Höhe über der Erdoberfläche ein geostationärer Satellit umlaufen muss. SB/Version 1.20 Seite 63/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 6.2 Rotationsenergie und Trägheitsmoment Wenn ein starrer Körper um eine Achse rotiert, haben die Teilchen mit grösserem Abstand von der Achse eine höhere Bahngeschwindigkeit und damit eine grössere kinetische Energie. Für ein Teilchen mit Masse mi und Abstand ri von der Achse gilt Ekin = ½ · mi · vi² = ½ · mi · ri² · i² Summiert über alle derartigen Teilchen erhalten wir Erot 21 2 m r i 2 i 21 2 J i Die Grösse J heisst Trägheitsmoment des Körpers um die betreffende Drehachse. Wirkt ein Moment M = F·d auf einen derartigen Rotationskörper in Ruhe, wird in der Zeit t eine Arbeit W = F · s = F · ½ · · t² · d = ½ · M · · t² geleistet und der Körper hat am Schluss eine Rotationsenergie Erot = ½ · J · ² = ½ · J · ( · t)² = ½ · J · · t² Wegen der Energieerhaltung müssen diese beiden Grössen gleich sein, woraus folgt M=J· Ein Drehmoment M erteilt einem Körper mit einem Trägheitsmoment J eine Winkelbeschleunigung . Die Leistung ist gegeben durch Kraft Weg P Kraft Geschwindigkeit F r M Zeit n 2 , hängen Leistung 60 2 1 und Drehmoment zusammen gemäss P Mn Mn. 60 9.549 Im Maschinenbau mit der Drehzahl n in U/min, also Figur 15: Kennlinien eines alten VW-Boxermotors unter Vollast, in alten Einheiten. n bezeichnet Drehzahl, N Leistung, M Drehmoment, be spezifischen Kraftstoffverbrauch, pe mittleren Arbeitsdruck. (Quelle: Dubbel, 2. Band, 12. Auflage 1966, Seite 183) SB/Version 1.20 Seite 64/67 Inovatech Technikerschule Mechanik 6.3 Drehimpuls Ein starrer Körper, der sich dreht, wird als Kreisel bezeichnet. Ist ein Kreisel in seinem Schwerpunkt unterstützt und wirkt kein Moment auf ihn, so spricht man von einem kräftefreien Kreisel, für den J· = 0 und damit J · = const gilt. Drehachse und Winkelgeschwindigkeit bleiben erhalten. Die Grösse B=J· bezeichnet man als Drehimpuls oder Drall. Wenn die Eiskunstläuferin bei der Pirouette die Arme an den Körper zieht, verkleinert sie J, weil der Drehachsenabstand der Arme und Hände kleiner wird. Weil B dabei gleich bleiben muss, vergrössert sich automatisch , die Umdrehungsgeschwindigkeit. Ausserdem erhöht sich die Rotationsenergie weiter, weil durch das Einziehen der Arme Arbeit gegen die Zentrifugalkraft geleistet wird. Wirkt von aussen ein Drehmoment auf den Kreisel, das die Achse kippen möchte, so führt die Kreiselachse eine Bewegung rechtwinklig zur Störung aus. Der Betrag des Drehimpulses bleibt dabei erhalten. Dies führt unter dem Einfluss der Schwerkraft zur sogenannten Präzessionsbewegung eines unterhalb des Schwerpunktes unterstützten Kreisels. Technische Anwendungen: Kreiselstabilisatoren: Durch Schwungräder wird erreicht, dass ein Gegenstand, z.B. ein Schiff im Wellengang, gegen Verdrehungen Widerstand leistet. Kreiselkompass: Infolge der Erddrehung wirkt auf einen drehbar aufgehängten Kreisel auf der Erdoberfläche wegen der Drehung der Richtung der Erdanziehungskraft ein (wenn auch kleines) Drehmoment, das verschwindet, wenn die Kreiselachse in Richtung der Erdachse steht. Der Kreisel weicht solange senkrecht zu diesem Moment aus, bis dieser Zustand erreicht ist. Trägheitsnavigation: Mit einem drehbar gelagerten Kreisel können Richtungsänderungen gemessen werden. In Kombination mit Messungen von Beschleunigung und Zeit bzw. Distanz ist es damit möglich, den Standort eines bewegten Flug- bzw. Fahrzeuges nachzuführen (ausgehend von einem bekannten Standort). 6.4 Gegenüberstellung Translations-/Rotationsbewegung Zwischen Translations- und Rotationsbewegung gelten folgende Entsprechungen: Translation Weg s Geschwindigkeit v Beschleunigung a Masse m = mi Kraft F = m·a Bewegungsenergie ½m·v² Impuls m·v Leistung P = F·v SB/Version 1.20 Zusammenhang s = r· v = r· a = r· M = F·r Rotation Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Trägheitsmoment J = mi·ri² Drehmoment M = J· Rotationsenergie ½·J·² Drehimpuls J· Leistung P = M· Seite 65/67 Inovatech Technikerschule Mechanik Schlagwortverzeichnis —A— Abgangswinkel, 34 Ableitung, 40 Abschirmung, 39 Abstossung, 39 Abwärme, 53 Aktionsprinzip, 38 Alembert, 38 Amplitude, 41 Amplitudenverstärkung, 47 Anfangsbedingungen, 40 Anfangsgeschwindigkeit, 35 Angriffspunkt, 9 Anregungsfrequenz, 46 aperiodischer Grenzfall, 47 Arbeit, 52 Auslenkung, 52 —B— Ballistik, 49 ballistisches Problem, 34 Bewegung, gleichmässig beschleunigte, 29 Bewegungsgleichung, 40 Brahe, 37 Bremsung, 35 —C— Cavendish, 39 —D— Dämpfung, relative, 45 Descartes, 5 Differentialgleichung, 40 direktes Schiessen, 34 Drall, 65 Drehimpuls, 65 Drehmoment, 4 Drehwaage, 39 Drehwirkung, 4; 5 EytelweinSeilreibungsformel, 28 —F— Fachwerk, 14 Fallschirm, 31 Feder, 52 Federkonstante, 40 Feldstärke, 54 Flächenschwerpunkt, 17 Fliehkraft, 39 Fluchtgeschwindigkeit, 63 Flugzeit, 32 freier Fall, 31 —G— Galilei, 38 gedämpfte Schwingung, 44 geometrische Addition, 4 geozentrisch, 37 Gewichtskraft, 4 Gleichgewicht, 5 Gleichgewicht, indifferentes, 23 Gleichgewicht, labiles, 23 Gleichgewicht, stabiles, 23 Gleichgewichtsbedingungen, 11 Gleichgewichtslage, 23 Gleitreibung, 25 Gravitationsfeld, 54 Gravitationsgesetz, 39 Gravitationskonstante, 39 Gravitationswirkung, 39 —H— Haftreibung, 25 Halley, 55 Hangabtriebskraft, 25 harmonische Schwingung, 41 Hebelgesetz, 17 —I— —E— Eigenfrequenz, 41 Einrammen, 57 Einstein, 53; 55 elastischer Stoss, 58 elektrostatische Kraft, 39 Elevation, 34 Energie, 52 Energie, kinetische, 53 Energie, potentielle, 53 Energieverlust, 59 Entweichgeschwindigkeit, 54 Erdbeschleunigung, 4; 30; 39 Erhaltungsgrösse, 55 erzeugende Fläche, 21 erzeugende Kontur, 21 SB/Version 1.20 Impulssatz, 56 indirektes Schiessen, 34 inelastischer Stoss, 57 Integrationskonstante, 48 —J— Komponenten, 5 Kontaktfläche, 25 Koordinatensystem, 5 Kopernikus, 37 Kraft, 4 Kraft, mittlere, 52 Kräftepaar, 4 Kräftesystem, 5 Kraftgesetz, 39 Kraftmoment, 4 Kraftstoss, 56 Kreisel, 65 Kreiselkompass, 65 Kreiselstabilisator, 65 Kurvenform, 33 —L— Leistung, 52; 64 Linienschwerpunkt, 19 Luftdichte, 31 Luftwiderstand, 31 Luftwiderstandskoeffizient, 31 —M— Masse, schwere, 39 Masse, träge, 38 Moment, 4 Momentensatz, 17 —N— Neutronenstern, 55 Newton, 4; 39 Normalkraft, 25 —P— Parallelogramm der Kräfte, 4 Pendel, 43; 53 Pferdestärke, 52 Phasenverschiebung, 41; 47 Phasenwinkel, 45 Pirouette, 65 Planet, 37 Planetenbewegung, 37 Potential, 54 Präzession, 65 Pseudokraft, 38 Pythagoras, 6 —Q— Joule, 52 —K— Kaliber, 35 Kennlinie, 64 Kepler, 37; 63 Kernkraftwerk, 53 Knoten, 14 Komet, 55 Quadrant, 6 —R— Reaktionsprinzip, 38 realer Stoss, 59 Reibungskoeffizient, 25 Reibungskraft, 25 Seite 66/67 Inovatech Technikerschule Reibwert, 25 Reibzahl, 25 Relativitätstheorie, 53; 55 Resonanz, 41; 45 resultierende Kraft, 4 resultierendes Moment, 5 Richtungswinkel, 5 Rotationskörper, 21 Rücksprunghöhe, 59 Ruhelage, 52 Ruhemasse, 53 —S— Scheitelpunkt, 32 schiefe Ebene, 27 schiefer Wurf, 32 Schmieden, 57 Schussweite, 32; 35 schwarzes Loch, 55 Schwarzschild-Radius, 55 Schwerelinie, 17 Schwerpunkt, 17 Schwerpunktabstand, 39 Schwingung, 53 Schwingungsdauer, 41 Sicherheitsparabel, 33 Sinkgeschwindigkeit, statio- SB/Version 1.20 Mechanik näre, 31 skalare Grösse, 4 Sonnenmasse, 55 Stabkraft, 14 Standsicherheit, 23 Stoss, elastischer, 56 Stosszahl, 59 Streuung, 32 Stromkreis, 47 Stützkraft, 5 Supernova, 55 Symmetrie, 15 —T— TI-30X Pro, 4; 7; 20; 30; 39 Trägheitskraft, 38 Trägheitsmoment, 64 Trägheitsnavigation, 65 Trägheitsprinzip, 38 Tribologie, 25 —Ü— Überlagerungsprinzip, 4; 32 —U— Umfangsgeschwindigkeit, 62 —V— Vakuumballistik, 34 vektorielle Grösse, 4 Verschiebewirkung, 4 —W— Winkelbeschleunigung, 62 Winkelgeschwindigkeit, 62 Winkelgruppe, 32 Wirklinie, 4; 9 Wurfparabel, 33 —Z— Zentralpunkt, 5 Zentrifugalkraft, 62 Zentripetalbeschleunigung, 62 Zentripetalkraft, 62 zusammengesetzte Bewegungen, 32 Seite 67/67
