Kapitel 3

3.
Interferenz und Beugung
Interferenz und Beugung sind zwei wichtige Phänomene, durch die sich Wellen und Teilchen
voneinander unterscheiden. Interferenz entsteht aus der Überlagerung von Wellen und
resultiert in Intensitätsmustern. Wie man diese Interferenzmuster bestimmt, werden wir in
diesem Kapitel diskutieren.
Dabei spielt auch Beugung eine ganz wesentliche Rolle, so dass beides kaum voneinander
getrennt betrachtet werden kann.
3.1
Interferenz
3.1.1
Superposition von Wellen
Wir betrachten zwei ebene Wellen, die sich in längs der z-Achse mit derselben Frequenz und
demselben Wellenvektor ausbreiten:
r
r
r
r
E1 ( z , t ) = E0,1 ⋅ ei ( kz −ωt +δ1 ) und E2 ( z, t ) = E0,2 ⋅ ei ( kz −ωt +δ 2 ) .
δ1 und δ2 sind die Phasen der beiden Wellen. Dann ist die resultierende Wellenfunktion:
r
r
r
r
r
E ( z , t ) = E1 ( z , t ) + E2 ( z , t ) = E0,1 ⋅ ei ( kz −ωt +δ1 ) + E0,2 ⋅ ei ( kz −ωt +δ 2 )
.
r
r
= E0,1 ⋅ eiδ1 + E0,2 ⋅ eiδ 2 ⋅ ei ( kz −ωt )
(
)
Die Intensität einer elektromagnetischen Welle skaliert bekanntlich mit dem Quadrat der
Feldstärke:
(
)(
)
r
r
r
r
I = E0,1 ⋅ eiδ1 + E0,2 ⋅ eiδ 2 ⋅ E0,1 ⋅ e −iδ1 + E0,2 ⋅ e −iδ 2
r2
r2
r r
r r
= E0,1
+ E0,2
+ E0,1 E0,2 ⋅ ei (δ1 −δ 2 ) + E0,1 E0,2 ⋅ ei (δ 2 −δ1 )
r2
r2
r r
= E0,1
+ E0,2
+ E0,1 E0,2 ⋅ ei (δ1 −δ 2 ) + e −i (δ1 −δ 2 )
14442444
3
(
)
= 2cos(δ1 −δ 2 )
⇒ I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos δ
mit δ = δ1 − δ 2 .
Den dritten Summanden nennet man Interferenzterm. Man sieht, dass er Null ist, wenn
r
r
E1 ⊥ E2 . Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, kann man ebenso gut δ2−δ1 schreiben
können, und man bezeichnet δ schlichtweg als die Phasendifferenz zwischen den beiden
Wellen.
r r
Sind jedoch E1 || E2 , dann liegt die Gesamtintensität I zwischen den Extremwerten
I min =
(
I1 − I 2
)
2
und I max =
(
)
2
I1 + I 2 .
r
r
Betrachten wir nun den Sonderfall E0,1 = E0,2 . Dann ist auch I1 = I 2 =: I 0 und man erhält:
I = 2 I 0 + 2 I 0 cos δ = 2 I 0 (1 + cos δ ) .
27
Fall 1: Beide Wellen sind in Phase, d. h. δ = 0:
Dann ist cos δ = 1 , und man erhält:
I = 2 I 0 ⋅ (1 + 1) = 4 I 0
Dieses ist der Fall der maximalen Verstärkung und heißt konstruktive Interferenz.
Fall 2: Beide Wellen sind in Gegenphase, d. h. δ = π = 180°:
Dann ist cos δ = −1 , und man erhält:
I = 2 I 0 ⋅ (1 − 1) = 0
Dieses ist der Fall der maximalen Auslöschung und heißt destruktive Interferenz.
3.1.2
Interferenz an dünnen Schichten
Man kennt die schillernden Farben an einer Seifenblase oder an einem Ölfilm auf einer Pfütze.
Ursache der Farben sind Interferenzeffekte bei der Reflexion:
-
-
-
Licht fällt auf die Grenzfläche Luft-Wasserfilm.
Ein Teil des Lichtes wird am optisch dichteren Wasser mit Phasensprung von 180°
reflektiert (s. Fresnel'sche Formeln).
Der andere Teil dringt in das Wasser ein und wird an der zweiten Grenzfläche am
optisch dünnen Medium ohne Phasensprung reflektiert.
Das Licht tritt aus und interferiert mit dem an der oberen Grenzfläche reflektierten
Strahl.
Das Licht legt durch das Wasser die optische Weglänge von 2nd zurück, wobei d die
Schichtdicke ist und n der Brechungsindex des Wassers.
Da es an der oberen Grenzfläche zu einem Phasensprung von 180° kommt, erhält man
-
destruktive Interferenz, wenn die optische Weglänge einem ganzzahligen Vielfachen
der Wellenlänge entspricht.
⇒ 2nd = j ⋅ λ ,
-
j = 1, 2, 3,...
konstruktive Interferenz, wenn die optische Weglänge einem ungeraden Vielfachen
der halben Wellenlänge entspricht.
⇒ 2nd = (2 j + 1) ⋅
λ
2
,
j = 0,1, 2, 3,....
Da es bei konstanter Schichtdicke von der Wellenlänge des Lichtes abhängig ist, ob es zu
konstruktiver oder destruktiver (oder beliebiger) Interferenz kommt, sieht man verschiedene
Farben. Hierbei spielt auch noch der Einfallswinkel eine entscheidende Rolle.
28
Dann ist die optische Weglänge durch das Glas:
2nd
cos β
Der Reflektierte Strahl hat zusätzlich noch den Gangunterschied s = x ⋅ sin α = 2d tan β sin α
zurückzulegen. Die gesamte Wegdifferenz ∆ beträgt dann:
∆=
 n

2nd
sin β
2d
2nd
sin α  =
1 − sin 2 β = 2nd cos β
− 2d tan β sin α = 2d 
−
n − n ⋅ sin 2 β =
cos β
cos
β
cos
β
cos
β
cos
β


(
cos 2 β = 1 − sin 2 β = 1 −
)
(
)
sin 2 α
sin 2 α
⇔
β
=
−
= n 2 − sin 2 α
n
cos
n
1
2
2
n
n
⇒ ∆ = 2nd cos β = 2d n 2 − sin 2 α .
Deshalb erhält man an zwei planparallelen Oberflächen:
-
destruktive Interferenz, wenn die Wegdifferenz einem ungeraden Vielfachen der
halben Wellenlänge entspricht:
⇒∆+
⇔
-
λ
2
= 2d n 2 − sin 2 α +
2d n 2 − sin 2 α = j ⋅ λ ,
λ
2
= (2 j + 1) ⋅
λ
2
,
j = 0,1, 2, 3,....
j = 1, 2, 3, ...
konstruktive Interferenz, wenn die optische Weglänge einem ganzzahligen Vielfachen
der Wellenlänge entspricht:
λ
λ
⇒ ∆ + = 2d n 2 − sin 2 α + = j ⋅ λ , j = 1, 2, 3, ...
2
⇔
2
2d n 2 − sin 2 α = (2 j + 1) ⋅
λ
2
,
j = 0,1, 2, 3,...
Hier ist jetzt die Interferenz sowohl von der Wellenlänge als auch vom Einfallswinkel α abhängig, was zu den bunten Erscheinungen bei der Reflexion an dünnen Schichten führt.
Weil bei fester Wellenlänge diese Interferenzerscheinungen bei einem bestimmten Einfallsbzw. Neigungswinkel α zu sehen sind, nennt man sie Interferenzen gleicher Neigung.
Ein ähnliches Phänomen sind die sog. Newton'schen Ringe. Hier werden Lichtstrahlen an den
Grenzflächen reflektiert und es kommt durch den Gangunterschied wieder zu Interferenzen.
Hier sind die Interferenzerscheinungen bei festem Betrachtungswinkel jedoch von der Dicke d
abhängig, so dass man sie Interferenzen gleicher Dicke nennt.
In der Mitte hat man ein dunkles Zentrum. Hier ist die Dicke d etwa Null, und die destruktive
Interferenz kommt nur durch den 180°-Phasensprung durch die Reflexion am dichteren
Medium zustande.
29
3.1.3
Kohärenz
Gewöhnliche Lichtquellen (Glühlampe, Sonne, Leuchtstoffröhre etc.):
Licht wird durch Atome ausgesendet, die durch unkoordinierte Stöße angeregt werden.
Der Beginn dieser Abstrahlung ist daher beliebig (spontan), und der Zeitraum τ der
Abstrahlung nur sehr kurz.
Das Licht besteht also aus "abgehackten" Wellenzügen mit der Länge c ⋅ τ , die mit den
anderen Wellenzügen völlig unzusammenhängend sind. Solches Licht nennt man
daher inkohärent.
LASER = Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Licht aus LASERn wird zwar auch von Atomen durch Stoßprozesse ausgesandt, die
aber zeitlich aufeinander abgestimmt sind. Die Atomen emittieren das Licht also in
Phase, und man bekommt damit sehr lange, zusammenhängende Wellenzüge: Das
Licht ist kohärent.
Die Länge, über die ein Wellenzug derart phasenstabil ist, nennt man Kohärenzlänge.
Die Zeitspanne, in der der Wellenzug einen Punkt im Raum passiert, heißt Kohärenzzeit.
Stabile Laser haben Kohärenzlängen von mehreren Kilometern, Gasentladungslampen, die
monochromatisches (=einfarbiges) Licht aussenden, nur von wenigen Millimetern. Die
Kohärenzlänge von Glühlampen beträgt sogar nur etwa 1 µm.
3.1.4
Interferometer
Interferometer sind Messapparate, die auf Interferenz beruhen.
Wellenzug wird in der Regel aufgespalten, durchlaufen zwei unterschiedlich lange Wege und
werden anschließend wieder zusammengeführt.
Ist die Differenz der optischen Weglänge gerade ein ganzzahliges Vielfache der Wellenlänge,
dann tritt konstruktive Interferenz auf, ist sie ein ungeradzahliges Vielfache der halben
Wellenlänge, dann hat man destruktive Interferenz.
Mit Interferometern lassen sich kleinste Dicken messen, aber auch unterschiedliche Dauern
zur Zurücklegung desselben Weges, und wegen der n-Abhängigkeit der optischen Weglänge
auch Brechungsindizes.
Beispiel: Michelson-Interferometer. Hierbei muss man auf die Kohärenzlänge achten!
3.2
Beugung
Unter Beugung versteht man die Abweichung der Wellenausbreitung von der geraden,
geome-trischen Stahlrichtung. Sie fällt insbesondere dann ins Gewicht, wenn die räumlichen
Dimen-sionen in die Größenordnung der Lichtwellenlänge kommen.
Eine ebene Wellenfront fällt auf eine kleinen Spaltöffnung. Hinter der Öffnung hat man ein
kreisförmiges Wellenbild, das man mit dem Huygens'schen Prinzip der Elementarwellen
beschreiben kann.
Ist die Spaltöffnung groß verglichen mit der Wellenlänge, dann spielen die Beugungseffekte
eine immer geringere Rolle.
30
3.2.1
Beugung am Einzelspalt
Ein Spalt der Breite b wird mit Licht beleuchtet. Hinter dem Spalt werden durch eine Linse
alle Stahlen, die unter einem gleichen Winkel φ zur Normalen der Spaltebene laufen,
gebündelt. Ein ähnlicher Effekt entsteht, wenn der Abstand zum Spalt sehr groß gegen die
Spaltöffnung ist.
Uns interessiert jetzt die Intensitätsverteilung hinter dem Spalt.
Dabei bedienen wir uns erneut dem Huygens'schen Prinzip, nach dem jedes Spaltelement dy
der Ausgangspunkt einer Elementarwelle ist. Da eine ebene Welle auf den Spalt fällt, sind alle
Elementarwellen in Phase (=synchron).
Wir setzen eine ebene Welle an: E ( z , t ) = E0 ⋅ ei ( kz −ωt ) .
Von der Stelle y liefert ein Spaltenelement dy in der Ebene A einen Beitrag:
 
b


i ( k ⋅ sin φ −ωt ) dy
dy i k  y⋅sin φ + 2 ⋅sin φ −ωt 
dE A = E0 ⋅ ⋅ e  
= E0 ⋅ e 2
⋅ ⋅ eiky⋅sin φ .
b
b
b
Den Beitrag des gesamten Spaltes erhält man durch Aufsummieren aller Spaltelemente:
+
b
i ( k sin φ −ωt )
⋅e 2
1
E A (t ) = E0
⋅
1442443 b
B
= B⋅
e
b
ik ⋅sin φ
2
b
2
∫e
iky ⋅sin φ
dy
b
−
2
b
− ik ⋅sin φ
−e 2
ikb ⋅ sin φ
, eix − e− ix = 2i ⋅ sin x
 b

sin  k sin φ 
2

= B⋅ 
b
k sin φ
2
Von der Ebene A bis zum Brennpunkt F brauchen alle Teilwellen dieselbe Zeit, was mit dem
Phasenfaktor eiδ berücksichtigt wird. Deshalb beträgt im Brennpunkt die Feldstärke:
 b

sin  k ⋅ sin φ 
 2
.
EF (t ) = B ⋅ eiδ ⋅
b
k ⋅ sin φ
2
Die Intensität im Brennpunkt ist proportional zu EF 2 = EF ⋅ EF* :
 b

sin 2  k ⋅ sin φ 
2
2

 ~ sin X mit X = k b ⋅ sin φ .
I (φ ) ~
2
2
X2
 b

 k ⋅ sin φ 
 2

sin 2 X
liegen bei X = n ⋅ π mit n = 1, 2, 3, ...
X2
b
2π b
⋅ sin φ = n ⋅ π mit n = 1, 2, 3, ...
Die n-te Nullstelle liegt demnach bei: X = k ⋅ sin φ =
2
λ 2
Die Nullstellen von
31
Damit erhält die Beugungsbedingung für die Intensitätsminima am Einzelspalt:
b ⋅ sin φ = n ⋅ λ
mit n = 1, 2, 3, ...
Minima am Einzelspalt
n = 0 selbst liefert keine Nullstelle, weil hier der Nenner auch Null wird. Man kann hier


sin X
sin X
X2
sin X
X2
in eine Potenzreihe entwickeln:
=1−
+ ... , d. h. lim
= lim 1 −
+ ...  = 1 .
X →0 X
X →0
X
X
3
3


Bei φ = 0 , also auf der optischen Achse des Spaltes, befindet sich das Hauptmaximum.
3
2
Das erste Nebenmaximum ist bei X ≈ π (nicht exakt). Der Nenner X 2 ist damit um den
Faktor X 2 ≈ 22 größer und damit die Intensität um den Faktor 22 kleiner. Allgemein gilt für
die Nebenmaxima annähernd die Beugungsbedingung:
b ⋅ sin φ ≈ (2n + 1) ⋅
Wenn
λ
b
=
λ
2
mit n = 1, 2, 3, ...
Nebenmaxima am Einzelspalt (nicht exakt)
sin φ
<< 1 , dann ist n sehr groß und man sieht extrem viele ganz dicht benachbarte
n
Nebenmaxima, die nicht mehr auflösbar sind. Hier spielen Beugungseffekte keine Rolle mehr.
Die geometrische Optik entspricht daher dem Fall ganz kleiner Wellenlängen oder großen
Aperturen.
λ sin φ
Für =
>> 1 , dann ist n sehr klein, und man beobachtet nur noch das Hauptmaximum.
b
n
Nicht nur ein dünner Spalt führt zu Beugungsbildern, sondern auch jegliche Form einer
Öffnung. Die Beugung an einer kreisförmigen Apertur ist von besonderem Interesse, weil sie
das Auflösungsvermögen von optischen Geräten begrenzt. Man könnte jetzt wieder genau wie
beim Einzelspalt vorgehen, indem man die Welle in der Öffnung in kleine Elementarwellen
zerteilt, dann die Amplitude und Phase an einem beliebigen Punkt P errechnet und
anschließend über die gesamte Apertur integriert. In der Praxis ergibt dies Ausdrücke, die sich
nicht mehr so einfach lösen lassen, sondern man erhält die Minima und Maxima als
Nullstellen der sog. "Bessel"-Funktion, was hier im einzelnen nicht durchgeführt werden soll.
Die Beugungsbedingung für das n-te Minimum ergibt sich als:
sin θ min,1 = 1, 22
λ
D
,
sin θ min,2 = 2,23
λ
D
,
sin θ min,3 = 3,24
λ
D
Entsprechend lauten die Beugungsbedingungen für die Nebenmaxima:
sin θ max,1 = 1,63
λ
D
,
sin θ max,2 = 2,68
λ
D
,
sin θ max,3 = 3,70
λ
D
32
3.2.2
Auflösungsvermögen optischer Instrumente
Zwei Lichtpunkte strahlen unter einem Winkel α auf eine kreisförmige Öffnung mit dem
Durchmesser D. Man sieht, dass sich die Beugungsmuster der beiden Lichtquellen auf dem
Schirm überlagern.
Wenn α immer kleiner wird, dann schieben sich auch die Beugungsmuster immer mehr
zusammen, so dass es immer schwieriger wird, beide Objekte von einander zu trennen.
Es gibt einen kritischen Winkel αK, unter dem es gerade noch möglich ist, zwei Objekte als
getrennte Lichtquellen zu unterscheiden. In diesem Fall fällt das Hauptmaximum des einen
Objektes in das erste Nebenminimum des anderen Objektes, also:
sin α K ≈ α K = 1, 22 ⋅
λ
D
Rayleigh'sches Auflösungskriterium
Beispiele:
a) Das menschliche Auge:
D ≈ 2 mm = 2 ⋅ 10−3 m
λmittel = 0,5 µm = 5 ⋅ 10−7 m
⇒ α K = 3 ⋅ 10−4 rad ≈ 0,017°
b) Spiegelteleskop auf dem Mt. Palomar
D≈5m
λmittel = 0,5 µm = 5 ⋅ 10−7 m
⇒ α K = 10−7 rad ≈ 5,7 ⋅ 10−6 °
Bemerkung: Eine Vergrößerung der Apertur verbessert nicht nur das Auflösungsvermögen,
sondern führt auch noch zu einer Vergrößerung der Helligkeit.
Verdopplung des Durchmessers → Vervierfachung der Lichtmenge
Faktor 4 kleinere Fläche des
Beugungsscheibchens, d. h.
Faktor 16 in der Lichtmenge pro Fläche.
→ Lichtstromdichte geht mit der 4. Potenz des Spiegeldurchmessers
Die Vergrößerung des Bildes durch Beugung führt dazu, dass ein Richtstrahl
λ
nicht mehr streng parallel ist, sondern unter dem Winkel α K = 1, 22 ⋅ auseinD
anderläuft. Ein Lichtpunkt im Brennpunkt eines 5m-Teleskopspiegels hat auf
dem Mond nur aufgrund der Beugung einen Durchmesser von ca. 40 m.
33
3.2.3
Das Theorem von Babinet
Bei der Beugung an einem Hindernis ist die Intensitätsverteilung dieselbe wie bei der
Beugung an der komplementären Öffnung.
Anders: Das Beugungsbild eines Drahtes der Dicke d ist dasselbe wie das eines Spaltes der
Breite d.
Amplituden bei der Beugung sind entgegengesetzt gleich. Da die Intensitäten mit dem
Quadrat der Feldstärken gehen, ist die Intensitätsverteilung für beide Fälle dieselbe.
Achtung: Das gilt nur für die gebeugten Wellen außerhalb des Bereiches der geometrischen Optik.
3.2.4
Beugung am Gitter
Ein optisches Gitter ist eine Anordnung von N äquidistanten parallelen Einzelspalten der
Breite d und der Periode g (Abstand zweier benachbarter Spalte = Gitterkonstante).
Zwischen der Ebene A und dem Brennpunkt F benötigen alle Teilwellen gleich viel Zeit.
In der Gitterebene schwinge die Welle E ( z , t ) = E0 ⋅ ei ( kz −ωt ) . Der Beitrag des m-ten Spaltes in F
ist dann gegeben durch:
EF , m = S (φ ) ⋅ ei ( kmg ⋅sin φ −ωt ) ,
wobei S(φ) die Feldverteilung des Einzelspaltes ist, also
 d

sin k sin φ 
2

.
S (φ ) ~
d
k sin φ
2
Die Gesamtwelle in F ist die Superposition der Wellenamplituden jeder der N Spalte:
N −1
EF ~
∑
S (φ ) ⋅ e i ( kmg⋅sin φ −ωt ) = S (φ ) ⋅ e −iωt ⋅
m =0
N −1
∑e
ikmg ⋅sin φ
m =0
N −1
Das ist eine geometrische Reihe, deren Summe bekanntlich lautet:
∑a
m=0
N −1
Daher ist
∑e
m=0
ikmg ⋅sin φ
m
=
aN −1
.
a −1
eikNg ⋅sin φ − 1
.
= ikg ⋅sin φ
e
−1
Die Berechnung der Intensität geht wieder über EF ⋅ EF* .
α
Es gilt: ( eiα − 1)( e −iα − 1) = 2 ⋅ (1 − cos α ) = 4sin 2 , somit folgt:
2
 d

1

sin 2  k sin φ  sin 2  kNg ⋅ sin φ 
 2
⋅
2
.
I~
2
1


 d

sin 2  kg ⋅ sin φ 
 k sin φ 
2
 42444

2
 3 144
3
144244
2
S 2 (φ )
G (φ )
34
Der erste Faktor ist proportional zu S 2 (φ ) , also der Intensität der Einzelspalte. Der zweite
Faktor ist proportional zu G 2 (φ ) , das die Intensität durch die periodische Anordnung von N
Spalten repräsentiert.
Die Hauptmaxima sind durch die Nullstellen des Nenners gegeben. Für diese gilt:
1
π
λ
kg ⋅ sin φ = g ⋅ sin φ = n ⋅ π , d. h. die Hauptmaxima liegen bei sin φ = n ⋅ .
2
λ
g
Damit lautet die Beugungsbedingung
n ⋅ λ = g ⋅ sin φ
mit n = 0, 1, 2, 3, ...
für die Hauptmaxima beim Gitter.
Der Parameter n heißt Beugungsordnung.
Die Nebenminima und –maxima ergeben sich durch den Zähler:
sin φ =
sin φ =
j ⋅λ
N ⋅g
mit j = 1, 2, 3, ...
(2 j + 1) ⋅ λ
2⋅ N ⋅ g
Nebenminima
mit j = 1, 2, 3, ... Nebenmaxima
Die Breite der Hauptmaxima ist gegeben durch ∆ =
2λ
, d. h. je mehr Spalte vorhanden sind,
Ng
desto schmaler sind die Hauptmaxima. Je kleiner die Gitterkonstante g wird, desto weiter sind
die voneinander entfernt.
3.2.5
Beugung am Doppelspalt
Das einfachste Gitter ist ein Doppelspalt und noch dazu von gewisser historischer Bedeutung,
wie wir im weiteren Verlauf dieser Vorlesung noch sehen werden.
Hier ist natürlich N = 2, so dass sich der Faktor G 2 umformen lässt zu:
G 2 (φ ) ~
sin 2 (k ⋅ g ⋅ sin φ )
1

= 4 cos 2  k ⋅ g ⋅ sin φ  .
1
2




sin 2  k ⋅ g ⋅ sin φ 
2

Dieser Ausdruck ergibt Null für
1
π
π
k ⋅ g ⋅ sin φ = g ⋅ sin φ = ( 2l + 1) mit n ∈ N . Damit:
λ
2
2
g ⋅ sin φn =
2l + 1
λ
2
mit l ∈ N
Die Intensitätsverteilung des Einzelspaltes S 2 ist Null für sin φn = n ⋅
Minima am Doppelspalt
λ
d
(n = 1, 2, 3,...).
Da natürlich d < g sein muss, ist der Abstand der durch G 2 generierten Minima kleiner als der
Abstand der durch die Einzelspalt-Intensitätsverteilung S 2 hervorgerufenen Minima.
35
Die Zahl der zusätzlichen Minima im zentralen Maximum des Einzelspaltes der Breite
gegeben durch
2λ
d
λ
g
=
2λ
ist
d
2g
. Wenn die Spaltöffnungen deutlich kleiner sind als die Stegbreite,
d
dann bekommt man viele zusätzliche Streifen.
Beispiel:
Gitterspektrometer werden zur Untersuchung von Spektren oder zur Erzeugung
monochromatischen Lichtes verwendet.
Typische Werte von optischen Gittern im Sichtbaren:
N = 2 ⋅ 104 Gitterstriche
g = 1,5 ⋅ 10−6 m (Gitterkonstante)
Bestrahlt man ein solches Gitter mit einem HeNe-Laser ( λ = 0,6328 ⋅ 10−6 m),
so ergibt sich für die Breite des Hauptmaximums:
2λ 2 ⋅ 0,6328 ⋅ 10−6 m
=
= 4, 2 ⋅ 10−5 ⇒ ∆ = 2, 4 ⋅ 10−3 ° .
sin ∆ =
4
−6
Ng
2 ⋅ 10 ⋅ 1,5 ⋅ 10
m
Die weiteren Hauptmaxima der Funktion G 2 liegen in Abständen von
λ
g
auf
beiden Seiten 0. Beugungsordnung.
λ 0,6328 ⋅ 106 m
sin ∆ =
g
=
1,5 ⋅ 10−6 m
= 0, 42 ⇒ ∆ = 24,8° .
Damit ist die 0. Beugungsordnung um dem Faktor 10000 schmaler als der
Abstand zwischen der 0. und der 1. Beugungsordnung.
λ
Die Nebenmaxima befinden sich in den sin φ-Abständen von
von den
Ng
Hauptmaxima und sind praktisch nicht auflösbar.
Bei verschiedenen Wellenlängen treten die Beugungsordnungen bei unterschiedlichen Winkeln auf, und zwar größere λ unter größerem Winkel.
Auf diese Weise werden die Spektralfarben voneinander getrennt.
3.2.6
Abbildungstheorie von Abbé und Auflösungsvermögen beim Mikroskop
Wie groß ist der minimal Abstand zweier Objekte, damit sie im Mikroskop noch voneinander
als getrennte Objekte wahrgenommen werden können?
Objekt: Gitter mit Spaltabstand g und N Perioden wird von unten mit parallelem Licht
beleuchtet.
In der Brennebene des Objektivs entsteht ein Beugungsbild, wie wir es ja gerade eben
hergeleitet haben. Die Apertur des Objektivs begrenzt aber die Anzahl der Beugungsordnungen, die in das Objektiv eindringen können.
Ernst Abbé (1840-1905) hat gezeigt, dass für eine Abbildung des Gittermusters mindestens
die 0. und die 1. Beugungsordnung in das Objektiv gelangen müssen.
36
Tritt nur die 0. Beugungsordnung ein, so hat das zentrale Hauptmaximum die Breite
2λ 2λ
, also die gleiche Breite wie bei einem Einfachspalt der Breite l. Man sieht
sin ∆ =
=
Ng
l
also nichts von den Stegen.
Damit die erste Ordnung eintreten kann, muss der Aperturwinkel α größer als φ1, der Winkel
λ
des ersten Maximums, sein. Damit folgt sin α > sin φ1 = , also
g
g≥
λ
sin α
.
Um das Auflösungsvermögen groß zu machen, muss man also für eine große Apertur sorgen.
Man auch zusätzlich das Objekt in eine Immersionsflüssigkeit mit Brechungsindex n legen.
Dann ist nämlich:
λ
g≥
n ⋅ sin α
Der Brechungsindex n > 1 sorgt für eine Verringerung der gerade noch auflösbaren Abstände.
Eine andere Möglichkeit ist es, das Objekt mit kleinerer Wellenlänge zu betrachten. Das ist
die Idee des Elektronenmikroskops. Elektronen können auch als Welle interpretiert werden,
und die Wellenlänge ist extrem klein. Dass das tatsächlich der Fall ist, wird im Folgenden
gezeigt werden. Dies ist bereits der Brückenschlag zur Atomphysik und dem Dualismus von
Teilchen und Welle.
3.3
Holographie
Eine der interessantesten Anwendungen des Lasers ist die Erzeugung dreidimensionaler
Bilder, die man als Hologramme bezeichnet.
Normales Foto: nur Intensität -> zweidimensionales Abbild
Hologramm: durch Interferenz Erzeugung dreidimensionaler Abbilder
Erzeugung eines Hologramms:
-
-
-
-
Zerlegung eines aufgeweiteten Laserstrahls mit Hilfe eines halbdurchlässigen Spiegels
in zwei Teile
Ein Teil gelangt direkt zum Film, der andere Teil erst nach der Reflexion am Objekt.
Durch Interferenz wird nicht nur die Amplitude, sondern auch die relative Phase
zwischen beiden Strahlen festgehalten.
Wichtig ist hier wieder eine hinreichende Kohärenzlänge, die man nur mit einem
Laser erreicht.
Entwickelter Film wird in einen divergenten Laserstrahl gehalten
Es entsteht ein dreidimensionales virtuelles Bild
37
Zur Bildentstehung betrachten wir einen einzelnen Objektpunkt O:
-
-
-
-
OA und OB sind zwei von dem Punkt O reflektierte Strahlen.
CA und DB kommen direkt vom Laser und interferieren mit OA und OB an den
Punkten A und B auf dem Film.
Es entstehen bei konstruktiver Interferenz Streifen.
Der Abstand der Streifen ändert sich mit dem Einfallswinkel
Man erhält quasi ein Beugungsgitter mit sich ändernder Gitterkonstante.
Bei der Beleuchtung des entwickelten Filmes erscheinen die gebeugten Strahlen erster
Ordnung unter etwas verschiedenen Winkeln.
Es entsteht durch die divergierenden Strahlen auf der Einfalls-Seite ein virtuelles Bild.
Auf der Transmissionsseite konvergieren die nach unten gerichteten Strahlen und
formen ein reelles Bild.
Da das Objekt aus beliebig vielen Punkten besteht, ist das Hologramm ein sehr
komplexes Interferenzmuster.
38