Quantenmechanik I WS 2005/06 (Hausübung 5) (abzugeben am

Quantenmechanik I
WS 2005/06 (Hausübung 5)
(abzugeben am Donnerstag, den 24.11.2005)
1. Hermite-Polynome / harmonischer Oszillator (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass für den in der Vorlesung eingeführten Operator D+ = ξ −
³
´
1 2
1 2
d
e− 2 ξ
(a) D+ = e+ 2 ξ − dξ
³
´n
1 2
1 2
d
n
e− 2 ξ .
(b) D+
= e+ 2 ξ − dξ
Zeigen Sie, dass
n
D+
(
e
− 12 ξ 2
)= e
− 12 ξ 2
Hn (ξ), wobei Hn (ξ) = e
ξ2
³
−
d
dξ
´n
d
dξ
gilt
2
e−ξ das
n-te Hermite-Polynom ist. Berechnen Sie das 2. Hermite-Polynom, d.h. H2 (ξ).
Zeigen Sie ferner, dass Hn (−ξ) = (−1)n Hn (ξ) gilt.
2. Zeitentwicklung im Oszillatorpotential (insg. 4 Punkte)
Ein Teilchen im eindimensionalen Oszillatorpotential startet zur Zeit t = 0 im
Zustand
s
Ψ(ξ) = 2
1 2
1
√ ξ 2 e− 2 ξ .
π3
(a) (1,5 Punkte)
Entwickeln Sie Ψ(ξ) nach den Energieeigenfunktionen des harmonischen Oszillators. Welche Energieeigenwerte wird man bei einer Energiemessung mit
welcher Wahrscheinlichkeit finden?
(b) (2,5 Punkte)
Welche Zeitentwicklung hat Ψ(ξ)? Bestimmen Sie hxi (t).
(Hinweis: Eigenzustände des harmonischen Oszillators:
s
r
1 2
1
x
~
√ n e− 2 ξ Hn (ξ), mit ξ =
Ψn (ξ) =
und x0 =
x0
mω
π2 n!
H0 (ξ) = 1, H1 (ξ) = 2ξ, H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2, H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ, . . .
Energieeigenwerte: En = ~ω(n + 12 ).)
3. Änderung des Kastenpotentials (insg. 8 Punkte)
Gegeben sei ein Teilchen im Kastenpotential (V = 0 für 0 < x < a und V = ∞
sonst) mit der Länge a, welches sich im Grundzustand (siehe unten) befindet. Ein
Dämon ist nun in der Lage instantan die Länge des Kastens auf 2a zu verdoppeln
(siehe Abbildung).
V=f
0
a
2a
(a) (3 Punkte)
Berechnen Sie die Wellenfunktion des Systems als Linearkombination der
Eigenfunktionen Ψn (ζ) des neuen” Kastens. Verwenden Sie hierfür die Ei”
genfunktionen
r
2
∈ [0, π] und n ∈ N.
Ψn (ζ) =
sin(nζ) mit ζ = πx
2a
π
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten pn findet man direkt nach Veränderung
des Potentials (t = 0) die Eigenwerte En bei einer Messung der Energie?
(Hinweise: 1. Die alte” Grundzustandsfunktion ist Φ(ζ) = √2π sin(2ζ) für
”
0 ≤ ζ ≤ π2 und Φ(ζ) = 0 sonst. 2. Achten Sie auf den Spezialfall n = 2.)
(b) (2 Punkte)
Wie entwickelt sich dieser Zustand mit der Zeit?
(Hinweis: Die Eigenwerte des Hamiltonoperators sind En =
h2 n2
.)
8m(2a)2
(c) (3* Bonuspunkte)
Berechnen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Systems in der neuen”
”
Kastenhälfte (a ≤ x ≤ 2a, d.h. π2 ≤ ζ ≤ π) in Abhängigkeit von der Zeit.
Zeigen Sie, dass
Zπ
∞
1 32 X cos((2m − 1)(2m + 3) E~1 t)
.
|Φ(ζ, t)| dζ = − 2
2 π m=0
(2m − 1)2 (2m + 3)2
2
π
2
(Hinweis: Verwenden Sie
P∞
1
m=0 (2m−1)2 (2m+3)2
=
(96)
π2
)
64
(d) (3 Punkte)
Zu welchen Zeiten (ti ) befindet sich das System ausschließlich in der alten”
”
bzw. neuen” Hälfte? Berechnen Sie die Wellenfunktion Φ(ζ, ti ) für diese
”
Fälle.
4. Basistransformation ( 3 Punkte)
Durch {|a1 i , |a2 i} sei in einem zweidimensionalen komplexen Hilbertraum eine
orthonormierte Basis gegeben (Basis der {a} Darstellung). Zeigen Sie, dass die
Vektoren |b1 i =
√1
2
(|a1 i + i |a2 i) und |b2 i =
√1
2
(|a1 i − i |a2 i) auch eine orthonor-
mierte Basis bilden (Basis der {b} Darstellung). Welche Matrix ist dem unitären
Operator U , der den Basiswechsel vermittelt (Übergang von der {a}-Darstellung
zur {b}-Darstellung), in der {a}-Darstellung zugeordnet?