Blatt 2

Technische Universität München
Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Tutorübungen zu Elektromagnetische Feldtheorie
(Prof. Wachutka)
Wintersemester 2016/2017
Blatt 2
4. Aufgabe:
(07.11.2016 - 11.11.2016)
Doppelleitung
Gegeben sei eine Doppelleitung mit folgenden
Abmessungen (siehe Skizze):
Es gilt: r0 d.
Es soll der Energiestrom in der Verbindungsebene zwischen den Drähten und der Energiestrom
an der Oberfläche eines Drahtes berechnet werden.
Gehen Sie dabei folgendermaßen vor:
~ in der Verbindungsebene der beiden Leiter
a) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke E
und zeichnen Sie den Vektor in der Skizze ein.
Hinweis: für das Potential eines zylindrischen Leiters gilt:
Q
ln
Φ(r) = −
2πεl
r
r0
+ C,
woberi r der Abstand von der Zylinderachse ist. r0 und l bezeichnen den Radius bzw. die
Länge des zylindrischen Leiters ist.
~ r) der Anordnung und zeichnen Sie den
b) Berechnen Sie die magnetische Feldstärke H(~
~ r) in der Skizze ein.
Vektor H(~
c) Berechnen Sie jetzt die Energiestromdichte in der Verbindungsebene zwischen den Drähten
~ r) und zeichnen Sie den Vektor S(~
~ r) in der Skizze ein.
mit Hilfe des Poynting-Vektors S(~
d) Strom und Spannung seien nun zeitabhängig: U (t) = Û sin ωt und I(t) = Iˆ sin ωt, wobei
mit Iˆ und Û die Amplituden des Stroms bzw. der Spannung bezeichnet wird. Berechnen
Sie den zeitlichen Mittelwert der Energiestromdichte in der Verbindungsebene (x, y = 0, z
~
- Ebene). Gehen Sie dabei von einem quasistationären Problem aus, d.h. ∂∂tD ~j.
~ der Oberfläche
e) Bestimmen Sie den zeitlichen Mittelwert der Energiestromdichte h|S|i
eines Drahtes.
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5. Aufgabe:
Potentialdarstellung des elektromagnetischen
Feldes
~ wirbelfrei und die magnetische Flussdichte
a) Im stationären Fall ist das elektrische Feld E
~ quellenfrei. Formulieren Sie dies mathematisch.
B
b) Tritt eine Änderung im dynamischen Fall ein?
c) Ergänzen Sie den folgenden Satz:
Elektrische Felder werden von Ladungen und von ... erzeugt.
Von nun an betrachten wir den dynamischen Fall.
Die typischen Aufgabenstellungen der Elektrodynamik bestehen darin, mit Hilfe der MaxwellschenGleichungen das von vorgegebenen Ladungsdichteverteilungen ρ(~r, t) und Stromdichteverteilungen ~j(~r, t) erzeugte elektromagnetische Feld zu berechnen. Das heißt, es ist ein gekoppeltes
System von 4 partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung zu lösen. Manchmal ist es jedoch
bequemer, das elektromagnetische skalare Potential φ und das elektromagnetische Vektorpo~ die die homogenen Maxwellschen-Gleichungen automatisch erfüllen, einzuführen.
tential A,
~ und B
~ über die Potentiale φ und A
~ aus.
d) Drücken Sie E
~ und B
~ die homogenen Maxwellschen-Gleichungen
e) Kann man mit diesem Ansatz für E
erfüllen?
Hinweis: rot (gradF ) = 0 für alle skalaren Felder F .
~ zu
f) Was für ein System von Differentialgleichungen ist mit der Einführung von φ und A
lösen?
~ müssen über die inhomogenen Maxwellschen-Gleichungen bestimmt werden und sind
φ und A
~ und B
~ unverändert läßt, ist stets
nicht eindeutig festgelegt. Folgende Eichtransformation, die E
erlaubt. Dabei beschreibt (χ) ein beliebiges skalares Feld:
~→A
~ − ∇χ
A
φ→φ+
∂χ
∂t
g) Formulieren Sie die inhomogenen Maxwellschen-Gleichungen im Vakuum. Schreiben Sie
~ enthalten.
diese Gleichungen so um, dass diese nur noch φ und A
~ = 0) bzw. der Lorentz-Eichung
h) Stellen Sie unter Verwendung der Coulomb-Eichung (div A
~ + µ0 ε0 ∂ φ = 0) die in Aufgabenteil f) erhaltenen Differentialgleichungen dar.
(div A
∂t
Was sind die Vorteile der Lorentz- bzw. Coulomb-Eichung?
i) Bei fehlenden Strömen und Ladungen lassen sich die in Aufgabenteil g) erhaltenen Differentialgleichungen unter Verwendung der Lorentz-Eichung weiter vereinfachen:
∂2
∆ − µ 0 ε0 2 φ = 0
∂t
∂2 ~
∆ − µ 0 ε0 2 A = 0
∂t
~ bzw. B
~ auch die homogene
Dies ist die sogenannte homogene Wellengleichung. Erfüllen E
Wellengleichung?
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