WS2008/09 Blatt 09
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Lehrstuhl für Technische Elektrophysik TU München Tutorübungen zu “Elektromagnetische Feldtheorie 1”, Prof. Wachutka, WS0809, Blatt 9 1. Aufgabe Poynting-Vektor eines ohmschen Drahtes Gegeben sei ein zylindrischer ohmscher Draht der Leitfähigkeit σ und des Radius a. Durch eine an den Enden angelegte Spannung U ergebe sich ein homogenes elektrisches Feld im Innern des Drahtes. a) Berechnen Sie den Poynting-Vektor. b) Stellen Sie die Energiebilanz unter Berücksichtigung der ohmschen Verluste auf. c) Wie fällt in diesem Fall die Interpretation der Energieerhaltung aus? Lehrstuhl für Technische Elektrophysik TU München Tutorübungen zu “Elektromagnetische Feldtheorie 1”, Prof. Wachutka, WS0809, Blatt 9 2. Aufgabe Gegeben sei eine Doppelleitung mit folgenden Abmessungen (siehe Skizze): r0 = 5mm, d = 1m, U = 10kV und I = 100A. Es soll der Energiestrom in der Verbindungsebene zwischen den Drähten und der Energiestrom an der Oberfläche eines Drahtes berechnet werden. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: in der Verbindungsebene der beiden *a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E Leiter und zeichnen Sie den Vektor in der Skizze ein. der Anordnung und zeichnen Sie den *b) Berechnen Sie die magnetische Feldstärke H Vektor in der Skizze ein. c) Berechnen Sie jetzt den Energiestrom in der Verbindungsebene zwischen den Dräh und zeichnen Sie den Vektor in der Skizze ten mit Hilfe des Poynting-Vektors S ein. d) Strom und Spannung sind zeitabhängig. Berechnen Sie den zeitlichen Mittelwert des Energiestroms in der Verbindungsebene. e) Berechnen Sie den zeitlichen Mittelwert des Energiestroms an der Oberfläche eines Drahtes mit den gegebenen Werten. 1. Aufgabe Poynting-Vektor eines ohmschen Drahtes a) innen = U ez E L L R = πa2 σ I U innen = r eϕ = r eϕ H 2 2πa R2πa2 U 2 πa2 σ r(− er ) Sinnen = E × H = 2πL2 a2 b) δwelmag = −pV erlust δt 1 δ(rSr ) + 0 = −pV erlust r δr U 2 πa2 σ − + 0 = −pV erlust πL2 a2 a = −PV erlust divSdV = Sd + divS U 2 σπa2 = PV erlust L stellt den ohmschen Leitungsverlust c) Das Volumenintegral der Leistungsflussdichte S dar. 2. Aufgabe *a) Die Berechnung der elektrischen Feldstärke erfolgt durch die Berechnung des Feldes eines Leiters und anschließender Superposition der Felder beider Leiter. Das Potential eines zylindrischen Leiters ist: ϕ=− Q ln r + C 2πl (1) Das Gesamtpotential ergibt sich als Summe der Einzelpotentiale mit Q1 = Q, Q2 = −Q, r1 = x und r2 = x − d : ϕ = ϕ1 + ϕ2 = Q Q r2 x−d ln + C1 + C2 = ln + C1 + C2 2πl r1 2πl x In der Verbindungsebene der beiden Leiter hat das E-Feld nur eine Komponente in x-Richtung: Ex = − Q 1 1 1 δϕ Q 1 =− − − = δx 2πl x − d x 2πl x x − d (2) Die Ladung Q muss aus der bekannten Spannung U bestimmt werden, die sich aus der Potentialdifferenz zwischen den Leiteroberflächen der beiden Leiter berechnen läßt. U = ϕoberf laeche1 − ϕoberf laeche2 = d−r0 x=r0 Ex (x)dx ϕoberf laeche1 ergibt sich aus Formel (1) mit x = r0 (ϕoberf laeche2 mit x = d − r0 ) : r0 − d r0 Q ln − ln U = 2πl r0 r0 − d 2 Q (r0 − d) Q (r02 − 2r0 d + d2 = ln = ln = 2πl r02 2πl r02 d Q (2d d2 Q d Q 2 ln ( − 1) = ln 1 − + 2 = ln ( − 1)2 = 2πl r0 r0 2πl r0 2πl r0 d d d Q Q ln ( − 1) ≈ ln , 1 U = πl r0 πl r0 r0 Gleichnung nach Q umformen und in Formel (2) einsetzten U 1 1 Ex = − d 2 ln r0 x x − d *b) Das Magnetfeld in der Verbindungsebene eines Leiters beträgt: y (x) = I ey H 2πx Durch Superposition ergibt sich für die Anordnung analog zur Berechnung des EFeldes: 1 1 I − Hy (x) = 2π x − d x c) Der Vektor der Energiestromdichte in der Verbindungsebene zwischen den Drähten ist der Poynting-Vektors S: = E ×H = S = S UI 4π ln rd0 1 1 − x−d x 2 · (−1) · (ex × ey ) UI d2 · (− ez ) 4π ln rd0 (x − d)2 · x2 d) zeitabhängige Energiestromdichte: S= d2 Û Iˆ sin2 ωt 4π ln rd0 (x − d)2 · x2 zeitlicher Mittelwert: 1 T T 1 sin2 ωtdt = 2 0 S̄ = T 0 Sdt e) zeitlicher Mittelwert an der Drahtoberfläche (x = r0 und d r0 , (r0 − d)2 ≈ d2 ): Û Iˆ 1 d · 2 8π ln r0 r0 W S̄ ≈ 300 mm2 S̄ =
