2.¨Ubungsblatt zur Vorlesung TP3

2. Übungsblatt zur Vorlesung TP3 - Quantenmechanik
Prof. Dr. A. Klümper; WS 2010/2011
Abgabe:
(Postfach Nawrath, D, Ebene 10)
Besprechung:
26.10.2010 vor der Vorlesung
28.10.2010
Aufgabe 1 : Kommutatoren (6 Punkte)
Der Kommutator [A, B] und der Antikommutator [A, B]+ zweier linearer Operatoren
A, B sind definiert durch
[A, B] := AB − BA
,
[A, B]+ := AB + BA
(1)
Zeige folgende Rechenregeln:
a) Für Operatoren A, B, C und eine komplexe Zahl α gilt:
[αA, B]
[A + B, C]
[AB, C]
= α[A, B] ,
(2)
=
(3)
[A, C] + [B, C] ,
= A[B, C] + [A, C]B = A[B, C]+ − [A, C]+ B
(4)
b) Falls [A, [A, B]] = 0 (A vertauscht mit dem Kommutator [A, B]), dann gilt für ein
operatorwertiges Polynom p(A):
[p(A), B] = p0 (A)[A, B]
wobei p0 (x) =
(5)
dp
dx .
c) Indem man das Polynom aus b) als Teilsumme einer Potenzreihe in A auffasst und
Konvergenz voraussetzt, kann die gefundene Kommutatorregel auch für differenzierbare Funktionen f (A) anstelle des Polynoms p(A) verwendet werden. Zeige so,
dass
eA Be−A = B + [A, B] falls [A, [A, B]] = 0
(6)
Aufgabe 2 : Wahrscheinlichkeitsströme (7 Punkte)
a) In der Vorlesung ist die Kontinuitätsgleichung
ρ̇ + div(~j) = 0
(7)
eingeführt worden. Zeige, dass bei eingeschaltetem elektromagnetischen Feld
h i
~j = 1 Ψ∗ p − e A Ψ − Ψ p + e A Ψ∗
2m
c
c
2
1
mit H = 2m
p − ec A + V + eφ die Kontinuitätsgleichung erfüllt.
1
b) Die Wellenfunktion eines Teilchens läßt sich immer als
Ψ(~r) = f (~r) eiχ(~r)
(8)
mit reellem f und χ schreiben. Berechne die Stromdichte ~j ohne äußeres elektromagnetisches Feld ( A = 0, φ = 0 ).
Aufgabe 3 : klassischer Grenzfall (7 Punkte)
Die klassische Mechanik kann mit Hilfe der Hamilton-Jacobi Gleichung beschrieben
werden. Sie lautet
∂
1
(∇S)2 + V (r, t) = − S
2m
∂t
Außerdem gilt die Kontinuitätsgleichung, wie wir sie aus der Mechanik kennen ( Teilchenzahlerhaltung ):
∂
ρ + div(ρv) = 0
∂t
Wegen p~ = ∇S kann sie auf die Form
1
∂
ρ + (∇ρ · ∇S + ρ4S) = 0
∂t
m
(9)
gebracht werden.
Mache nun für eine quantenmechanische Wellenfunktion den Ansatz
Ψ(r, t) = ei S(r,t)/~
Eine systematische approximative Lösung der Schrödinger Gleichung soll nun mit Hilfe
des Ansatzes
∞
X
(i~)n Sn (r, t) ; Sn ∈ R
S(r, t) =
n=0
berechnet werden.
a) Zeige, dass die Schrödingergleichung in nullter Ordnung in ~ die Hamilton-Jacobi
Gleichung liefert.
b) Zeige, dass die Lösungsterme in 1. Ordung in ~ die klassische Kontinuitätsgleichung
(9) liefern.
Tipp : Um ∂t ρ bzw. ∇ρ zu nähern, entwickle den Exponenten nach ~ und betrachte
die niedrigste Ordnung in ~.
Die klassische Mechanik kann also in diesem Sinne als der “ ~ → 0” Grenzfall der
Quantenmechanik angesehen werden.
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