Kapitel 4 Eindimensionale Potentialprobleme

Kapitel 4
Eindimensionale Potentialprobleme
Wir werden nun die Schrödingergleichung in der Ortsdarstellung für einige einfache Potentialprobleme lösen. Wir betrachten ein spinloses Teilchen
der Masse m, das sich in einem Potential bewegen kann. Das Potential sei
zeitunabhängig (Stationärer Fall). Der Hamiltonoperator ist dann nach Gl.
(3.10)
ˆ
P~ 2
~ˆ .
Ĥ =
+ V̂ (Q)
2m
Die Schrödingergleichung
i~
d
|ψ(t)i = Ĥ |ψ(t)i
dt
lautet dann im Ortsraum (d.h. für die Wellenfunktion) (3.31)
i~
∂
~2 2
ψ(~x, t) = −
∇ ψ(~x, t) + V (~x) ψ(~x, t) .
∂t
2m
Wir behandeln die Schrödingergleichung, indem wir zunächst die Eigenwertgleichung von Ĥ (stationäre Schrödingergleichung 3.36)
Ĥ |ψn i = En |ψn i
lösen. Die stationäre Schrödingergleichung im Ortsraum erhalten wir, indem wir in obiger zeitabhängiger Schrödingergleichung ψ(~x, t) durch ψn (x)
∂
ersetzen und i~ ∂t
durch En .
81
4.1. Randbedingungen für die Wellenfunktion
S TATIONÄRE S CHRÖDINGERGLEICHUNG IM O RTSRAUM
~2 2
−
∇ + V (~x) ψn (~x) = En ψn (~x)
2m
(4.1)
(Man beachte, dass En , der Eigenwert des Hamilton-Operators zum Eigenzustand |ψn i, nicht vom Ort abhängen kann.) Diese Gleichung werden
wir im Folgenden in einigen einfachen eindimensionalen Fällen lösen.
Wie wir in Kap. 3.4 gesehen haben, besitzen die Eigenzustände die einfai
che Zeitabhängigkeit |ψn (t)i = e− ~ En t |ψn (0)i, d.h. im Ortsraum
i
ψn (~x, t) = e− ~ En t ψn (~x, 0) .
(4.2)
Die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung ist eine Linearkombination der Eigenfunktionen, im Allgemeinen mit unterschiedlichen Energien und somit unterschiedlichen Zeitentwicklungen (s.S. 68). Diese Linearkombination ist so zu wählen, dass die jeweiligen Anfangsbedingungen erfüllt sind. Die Gesamtenergie E des Zustands erhält man als Erwartungswert des Hamiltonoperators.
4.1 Randbedingungen für die Wellenfunktion
Zuerst leiten wir Randbedingungen der Ortsraum-Wellenfunktion für die
Eigenzustände von Ĥ her.
4.1.1
Normierbarkeit, Spektrum
In der klassischen Mechanik ist ein Teilchen gebunden, wenn seine Energie
kleiner ist als der Wert V (x → ∞) des Potentials im Unendlichen (wenn
dieser Grenzwert existiert). Seine Bewegung ist dann auf einen endlichen
räumlichen Bereich beschränkt. Wenn die Energie größer ist, kann das Teilchen ins Unendliche entkommen.
82
Kapitel 4. Eindimensionale Potentialprobleme
In der Quantenmechanik ist die Situation im Wesentlichen dieselbe, man
muss sie aber etwas anders formulieren.
Gebundene Zustände
Bei gebundenen Zuständen ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen „im
Unendlichen” anzutreffen Null. Genauer:
Gebundene Zustände sind normierbare Eigenzustände von Ĥ.
i
Wegen der unitären Zeitentwicklung ψ(~x, t) = e− ~ Ĥt ψ(~x, 0) bleibt die Normierung für alle Zeiten erhalten. Aus der Normierbarkeit folgt
1 = hψ|ψi =
Z∞
−∞
D
d x hψ|xi hx|ψi =
Z∞
−∞
2
D
|ψ(~x)| d x =
Z
dΩ
Z∞
dr (|ψ(~x)|2 rD−1 ,
0
wobei D für die Dimension des jeweiligen Problems steht (D=1,2,3). Weil
das Integral über den Radialanteil konvergiert, gilt:
Die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(~x)|2 , ein Teilchen in einem „gebundenen
Zustand” anzutreffen, fällt bei großen r schneller als r−D ab.
Man kann zeigen:
Das Energiespektrum von gebundenen Zuständen ist diskret.
Beispiel: Die gebundenen Zustände von Elektronen in einem Atom.
Spezialfall: Ein Eigenzustand, dessen Wellenfunktion auf ein endliches Volumen beschränkt ist. In einem endlichen Volumen ist der Hilbertraum
abzählbar (diskrete Wellenzahlen). Deswegen folgt dann sofort, dass das
Energiespektrum diskret sein muss.
Man kann auch zeigen, dass der Erwartungswert des Impulsoperators in einem gebundenen (Eigen-)Zustand Null ist. Dies ist plausibel, weil gebundene
Zustände im Wesentlichen in einem endlichen Volumen lokalisiert sind.
83
4.1. Randbedingungen für die Wellenfunktion
Ungebundene Zustände (Streuzustände)
Ungebundene Zustände sind nicht normierbare Eigenzustände von Ĥ .
Sie beschreiben Teilchen, die sich ausbreiten, zum Beispiel in der Art einer
(nicht normierbaren) ebenen Welle. Diese Streuzustände selber sind nicht
physikalisch realisierbar. Durch Linearkombination von ebenen Wellen
kann man normierbare Wellenpakete konstruieren, die physikalisch realisierbar sind. Diese Linearkombinantionen sind aber keine Eigenzustände
von Ĥ. Rechnungen kann man oft leichter mit ebenen Wellen durchführen
als mit Wellenpaketen. Es gilt:
Das Energiespektrum von ungebundenen Zuständen ist kontinuierlich.
Beispiel: die Ionisationszustände eines Atoms. Wir werden ungebundene
Zustände später näher besprechen.
4.1.2
Stetigkeit
Wir behandeln zunächst den eindimensionalen Fall. Die Aussagen gelten
entsprechend auch in drei Dimensionen (s.u.).
1) Die Wellenfunktion ψ(x) ist immer stetig.
Beweis per Widerspruch: Wir betrachten
xZ0 +ε
x0 −ε
d
ψ(x) dx = ψ(x0 + ε) − ψ(x0 − ε) .
dx
Wir lassen zunächst auch unstetige Wellenfunktionen wie z.B. ψ(x) =
Θ(x) mit der Ableitung ψ 0 (x) = δ(x) zu. Die Verwendung der Ableitung in
der Gleichung impliziert selber daher noch nicht die Stetigkeit von ψ(x).
84
Kapitel 4. Eindimensionale Potentialprobleme
Wäre ψ unstetig bei x0 , so würde die rechte Seite für ε → 0 nicht verd
schwinden. Dann müsste in der Tat dx
ψ(x) ∝ δ(x − x0 ) gelten, wodurch
aber die kinetische Energie divergieren würde:
P̂ 2
|ψi
2m
Z∞ d ∗
+~2
d
=
ψ (x) ·
ψ(x) dx
2m
dx
dx
Ekin = hψ|
=
~2
=
2m
−∞
∝
Z∞
−∞
Z∞
−∞
δ(x − x0 ) · δ(x − x0 ) dx = δ(0) = ∞
d
ψ(x)2 dx
dx
.
Einen Zustand mit unendlicher kinetischer Energie kann man nicht erzeugen, daher muss für alle physikalisch realisierbaren Zustände die Wellenfuntion ψ(x) überall stetig sein.
2) Die Ableitung
dψ
dx
ist bei endlichen Potentialen stetig.
Wir integrieren die Schrödingergleichung von x0 − ε bis x0 + ε
~2
−
2m
xZ0 +ε
x0 −ε
d2
ψn (x) dx +
dx2
xZ0 +ε
V (x)ψn (x) dx = En
x0 −ε
xZ0 +ε
ψn (x) dx .
x0 −ε
Die rechte Seite ist von der Ordnung O(ε), da ψ(x) keine δ-Beiträge besitzt,
denn sonst würde die kinetische Energie erst recht divergieren. Somit gilt
xZ0 +ε
2m
lim ψn 0 (x0 + ε) − ψn 0 (x0 − ε)
= + 2 lim
V (x) ψn (x) dx .
ε→0
~ ε→0
x0 −ε
Wenn V (x) überall endlich ist, verschwindet hier die rechte Seite. Daher
∂
ist ∂x
ψn (x) stetig.
Ein unendlich großes Potential ist physikalisch eigentlich nicht realisierbar. Um Rechnungen wesentlich zu vereinfachen, betrachtet man aber oft
statt eines realisierbaren sehr großen Potentials in der Rechnung einen unendlich großen Wert (Beispiel in Kapitel 4.3.1).
85
4.1. Randbedingungen für die Wellenfunktion
3) Sprung der Ableitung von ψ bei Potentialen mit δ-Anteil
Wenn V (x) einen δ-Funktionsbeitrag V (x) = C · δ(x − x0 ) + (endliche Anteile) enthält, dann gilt
xZ0 +ε
x0 −ε
V (x) ψ(x) dx →
xZ0 +ε
x0 −ε
C · δ(x − x0 ) ψ(x) dx = C ψ(x0 )
Ein solches Potential wird z.B. verwendet, um Potentialbarrieren auf rechnerisch einfach Art zu beschreiben. Damit erhalten wir einen Sprung in der
Ableitung von ψ(x):
2m
0
0
lim ψ (x0 + ε) − ψ (x0 − ε)
C ψ(x0 )
=
ε→0
~2
(4.3)
4) Die Wellenfunktion verschwindet bei unendlichem Potential
Wenn V (x) = ∞ in einem Intervall x ∈ (xa , xb ), dann verschwindet die
Wellenfunktion in diesem Intervall, da sonst die potentielle Energie des
Teilchens unendlich wäre.
5) Unstetigkeit von
dψ
dx
am Rand eines unendlichen Potentials
Wenn V (x) = ∞ in einem Intervall x ∈ (xa , xb ), dann ist zwar die Wellenfunktion Null im Intervall, und überall stetig, aber die Ableitung wird in
der Regel an den Grenzen des Intervalls unstetig sein.
Randbedingungen dreidimensionaler Probleme
Aus ähnlichen Überlegungen folgt ebenso in drei Dimensionen, dass die
Wellenfunktion und deren partielle Ableitungen überall stetig sein müssen, wenn das Potential überall endlich ist. Weitere allgemeine Eigenschaften der Wellenfunktion werden wir später besprechen.
86
Kapitel 4. Eindimensionale Potentialprobleme
4.2
Konstantes Potential
Besonders wichtig bei Potentialproblemen ist der Fall, dass das Potential
in einem Intervall konstant ist. Wir behandeln das eindimensionale Problem. Es sei also
V (x) = V0 = konst.
für a < x < b .
In diesem Intervall wird dann die Schrödingergleichung Gl. (4.1) zu
−
~2 00
ψ (x) = (E − V0 ) ψ(x)
2m
(4.4)
(Schwingungsgleichung), mit der allgemeinen Lösung
L ÖSUNG DER S CHRÖDINGERGLEICHUNG FÜR KONSTANTES
P OTENTIAL
ψ(x) = a1 eκ x
= a2 e i k x
+ b1 e−κ x
(4.5a)
+ b2 e−i k x
(4.5b)
(4.5c)
= a3 cos(kx) + b3 sin(kx) ,
mit
~2 k 2
= E − V0 ,
2m
d.h. k 2 = −κ2 =
2m
(E − V0 )
~2
(4.5d)
Diese drei Lösungen sind äquivalent !
Wenn E < V0 , dann ist κ reell, und die Formulierung der ersten Zeile ist
bequem. Die Wellenfunktion ψ(x) hat dann im Intervall [a, b] i.a. exponentiell ansteigende und abfallende Anteile !
Wenn E > V0 , dann ist k reell, und die zweite oder dritte Zeile sind, je nach
Randbedingugen, bequeme Formulierungen. Die Wellenfunktion zeigt dann
im Intervall [a, b] oszillierendes Verhalten.
87
4.3. Gebundene Zustände im Potentialtopf
4.3 Gebundene Zustände im Potentialtopf
Ein Potentialtopf beschreibt in idealisierter Form eine Region, in der ein
Teilchen gefangen ist, z.B. einen dotierten Bereich in einem Halbleiter.
4.3.1
Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
Wir behandeln zunächst einen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden:
Abbildung 4.1: Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
V (x) =
(
V0
für 0 < x < L
∞ sonst
Es gibt hier die drei skizzierten, qualitativ verschiedenen Teilgebiete. Eine
oft sinnvolle Strategie bei solchen Potentialproblemen ist, zuerst allgemeine Lösungen für die Wellenfunktion in den Teilgebieten zu finden, und
diese dann mit den Randbedingungen geeignet zusammenzusetzen.
Die Energie E, d.h. der Eigenwert von Ĥ, ist nicht ortsabhängig !
Für den unendlich hohen Potentialtopf finden wir:
Gebiete I & III: Hier ist V (x) = ∞ und daher ψ(x) ≡ 0, da sonst
Z
Epot = V (x) |ψ(x)|2 dx = ∞
Gebiet II: Hier ist das Potential konstant.
88
Kapitel 4. Eindimensionale Potentialprobleme
1. Versuch: Wir setzen E < V0 = 0 an und verwenden Gl. (4.5a):
ψ(x) = a eκx + b e−κx
mit reellem κ =
q
2m
~2
(V0 − E).
Die Stetigkeit der Wellenfunktion bei x = 0 verlangt ψ(0) = 0, also a = −b.
Die Stetigkeit bei x = L verlangt ψ(L) = 0, somit eκL − e−κL = 0. Daraus
folgt κ = 0 und damit ψ(x) = a(e0 − e0 ) ≡ 0. Wir finden also keine Lösung
mit E < V0 ! Später werden wir allgemein sehen, dass bei gebundenen
Zuständen die Energie E immer größer als das Minimum des Potentials
sein muss.
2. Versuch: Wir setzen E > V0 an und verwenden (wegen der Randbedingungen) Gl. (4.5c):
mit
ψ(x) = a sin kx + b cos kx
r
2m(E − V0 )
, a, b ∈ C
k =
~2
(4.6)
.
Die Wellenfunktion muss mehrere Bedingungen erfüllen:
1. Die Stetigkeit der Wellenfunktion ergibt hier die Randbedingungen
ψ(0) = 0 und ψ(L) = 0 , und daher
b = 0
a sin(kL) = 0
.
Die zweite Bedingung zusammen mit der Normierung kann nur mit
sin(kL) = 0 erfüllt werden, da mit a = 0 die Wellenfunktion wieder
mit einer ganzidentisch verschwinden würde. Also muss k = nπ
L
zahligen Quantenzahl n gelten, die den gebundenen Zustand charakterisiert. Der Wert n = 0 ist ausgeschlossen, da dann wieder ψ ≡ 0
wäre. Wir können uns auf positive n beschränken, denn negative n
ergeben mit sin(−nkx) = − sin(nkx) bis auf die Phase (−1) dieselbe
Wellenfunktion.
2. Die Ableitung der Wellenfunktion darf bei x = 0 und x = L beliebig
unstetig sein, da dort das Potential unendlich ist. Hieraus erhalten
wir im vorliegenden Fall keine weiteren Bedingungen an ψ.
89
4.3. Gebundene Zustände im Potentialtopf
3. Normierung der Wellenfunktion: Zum einen muss ψ(x) überhaupt
normierbar sein, was in dem endlichen Intervall [0, L] kein Problem
ist. Zum anderen können wir die Normierungskonstante a in Abhängigkeit von der Quantenzahl n berechnen:
1 = hψ|ψi =
Z
L
Z∞
−∞
dx |ψ(x)|2
nπ
dx sin2 ( x)
L
0
Z nπ
nπ
L
dy sin2 y mit y =
x
= |a|2
nπ 0
L
L nπ
L
= |a|2
= |a|2 .
nπ 2
2
= |a|2
Also |a|2 = L2 , mit beliebiger Phase für a, welches wir reell wählen.
Insgesamt erhalten wir die
L ÖSUNG FÜR EIN T EILCHEN IM UNENDLICH HOHEN P OTENTIALTOPF
ψn (x) =
r
kn =
nπ
L
En =
~2 kn2
+ V0
2m
2
sin(kn x) , 0 < x < L ; (ψ(x) = 0 sonst)
L
(4.8)
; n = 1, 2, . . .
=
(4.7)
~2 π 2 2
n + V0
2mL2
(4.9)
Es sind somit hier Energie und Wellenzahl quantisiert, mit nur diskreten
möglichen Werten, in Abhängigkeit von der Quantenzahl n. Die Energie
nimmt hier mit n2 zu und mit 1/L2 ab.
Interessanterweise bewirkt die L-Abhängigkeit der Energie eine nach außen gerichtete Kraft F = − dE
auf die Wände.
dL
90
Kapitel 4. Eindimensionale Potentialprobleme
In Abbildung (4.2) sind Wellenfunktionen zu den drei tiefsten Eigenwerten
dargestellt. Man erkennt, dass die Wellenfunktion des Grundzustands nur
am Rand Null wird. Bei jeder Anregung kommt ein weiterer Nulldurchgang („Knoten”, englisch „node”) hinzu.
Abbildung 4.2: Eigenfunktionen von Ĥ zu den drei niedrigsten EnergieEigenwerten. Dies ist eine kombinierte Darstellung. Es sind dünn die Eigenenergien gezeichnet (rechte Achse, V0 = 0), und auf Höhe der Eigenenergien jeweils
die Wellenfunktionen. Man beachte, dass für jede Eigenfunktion ein Phasenfaktor
(insbesondere das Vorzeichen) beliebig gewählt werden kann.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ(x, t)|2 ist in jedem Eigenzustand wegen
der globalen Phase in
i
ψn (x, t) = e− ~ En t ψn (x)
P
zeitlich konstant. Bei einem allgemeinen Zustand ψ(x, t) = n cn ψn (x, t)
gibt es dagegen zeitliche Oszillationen in der Aufenthaltswahrscheinlichkeit (und in anderen Observablen) wegen der auftretenden Phasendifferenzen.
91
4.3. Gebundene Zustände im Potentialtopf
4.3.2
Potentialtopf mit endlicher Tiefe
Wir betrachten nun einen Potentialtopf mit endlicher Tiefe
V (x) =
(
V0 < 0 für |x| ≤
0
L
2
,
sonst
(4.10)
wie er in Abbildung (4.3) skizziert ist. Wir haben hier den Koordinatenur-
Abbildung 4.3: Potentialtopf endlicher Tiefe.
sprung im Vergleich zum vorherigen Beispiel um − L2 verschoben. Dadurch wird das Potential in x symmetrisch, V (x) = V (−x), und die Rechnungen vereinfachen sich. Wir behandeln in diesem Abschnitt gebundene Zustände, das heißt im Fall des vorliegenden Potentials E ≤ 0. Der
andere Fall (E > 0) wird anschließend besprochen. Wir werden bald allgemein zeigen, dass die Energie eines gebundenen Zustands größer als
das Potential-Minimum sein muss, insgesamt also hier V0 < E ≤ 0.
Wir unterscheiden wieder die drei Bereiche konstanten Potentials, wie in
Abbildung (4.3) skizziert. Die Schrödingergleichung lautet bei konstantem
Potential
~2 00
−
ψ (x) = (E − V ) ψ(x) ,
2m
92
Kapitel 4. Eindimensionale Potentialprobleme
wie in Abschnitt 4.2 besprochen.
In den Bereichen I und III ist V = 0. Im endlich tiefen Topf ist die Wellenfunktion dort nicht Null ! Die allgemeine Lösung hat jeweils die Form
mit
ψ(x) = A1 e−κx + A2 e+κx
r
2m(−E)
κ=
~2
(4.11)
und E < 0. Im Bereich I muss AI1 = 0 sein, da die Wellenfunktion ansonsten für x → −∞ exponentiell anwachsen würde und somit nicht nor= 0.
mierbar wäre. Im Bereich III ist analog AIII
2
Im Bereich II gilt V = V0 < 0 und die allgemeine Lösung lautet
ψ(x) = B1 eikx + B2 e−ikx
r
2m p
mit
k=
(E − V0 )
~2
(4.12)
.
Die gesamte Wellenfunktion ist somit
ψ(x) =

I κx


A2 e
B1 eikx + B2 e−ikx


AIII e−κx
1
; x < − L2
; − L2 ≤ x ≤
;x >
L
2
.
(4.13)
L
2
Den Grenzfall E = 0 müssen wir vorab separat diskutieren. Hierbei ist
κ = 0. Die Wellenfunktion ist dann in den äußeren Bereichen I und III
konstant. Die Konstante muss Null sein, da die Wellenfunktion sonst nicht
normierbar wäre. Die Ableitung der Wellenfunktion ist dann in den Bereichen I und III ebenfalls Null. Bei x = ± L2 müssen beide stetig sein. Damit
ist das Problem im Bereich II so wie beim Potentialtopfproblem mit unendlich hohen Wänden. Von den Lösungen dieses Problems wissen wir bereits, dass nur die Wellenfunktionen an den Potentialwänden verschwinden, nicht aber ihre Ableitungen. Wenn auch die Ableitung verschwindet,
ist die Wellenfunktion komplett Null. Dies ist aber keine physikalisch akzeptable Lösung. Daher gibt es keine Lösung zu E = 0. Wir haben deshalb
die Einschränkung V0 < E < 0.
93
4.3. Gebundene Zustände im Potentialtopf
Wie wir bald zeigen werden, kann man bei einem symmetrischen Potential (V (x) = V (−x)) die Eigenfunktionen von H in symmetrische und antisymmetrische Funktionen trennen. Die Wellenfunktionen lauten dann
symmetrisch:

κx


As e
ψs (x) = ψs (−x) = Bs cos(kx)


A e−κx
s
anti-symm.:
ψa (x) = −ψa (−x) =

κx


Aa e
; x ≤ − L2
; − L2 ≤ x ≤
;x ≥
L
2
(4.14a)
L
2
(4.14b)
L
2
; x ≤ − L2
Ba sin(kx) ; − L2 ≤ x ≤


−A e−κx ; x ≥ L
a
2
Nun werten wir die Stetigkeitsbedingungen zur Bestimmung der Konstanten aus
ψs ( L2 ) :
0
L
As e−κ( 2 ) = Bs cos(k L2 )
L
ψs ( L2 ) : −As e−κ( 2 ) = − κk Bs sin(k L2 )
L
ψa ( L2 ) : −Aa e−κ( 2 ) = Ba sin(k L2 )
0
ψa ( L2 ) :
L
Aa e−κ( 2 ) =
k
κ
Ba cos(k L2 )



κ
L
⇒ tan(k ) =

2
k

(4.15a)



L
k
⇒ tan(k ) = −

2
κ

(4.15b)
(Bei x = − L2 ergeben sich keine neuen Beziehungen, weil die Symmetrie
der Wellenfunktion schon in den Ansätzen für ψs und ψa genutzt wurde.)
Diese beiden Gleichungen liefern die Quantisierungsbedingungen für die
erlaubten Energieeigenwerte. Es gibt allerdings keine direkte algebraische
Lösung für die Eigenenergien. Man kann sie numerisch bestimmen. Sehr
viel mehr ersieht man aber aus einer graphischen Darstellung. Dazu ist es
sinnvoll, zu dimensionslosen Größen überzugehen. Wir definieren η = k L2
94
Kapitel 4. Eindimensionale Potentialprobleme
und drücken die Energie E durch η aus, mittels Gl. (4.12) und E − V0 =
|V0 | − |E|:
q √
k L2 = L2 2m
E − V0
~2 2m
|V0 | − |E|
⇒ L42 η 2
=
~2
mL2 |V0 |
2m
4
2
⇒ ~2 |E|
−η
=
L2
2
| 2~
{z }
e
q =:V0 q
(4.11)
2m|E|
κL
L
⇒
≡
= Ve0 − η 2
2
2
~2
η
=
.
Die Größe Ve0 ist ebenfalls dimensionslos. Sie spezifiziert die Tiefe des Potentials in „natürlichen” Einheiten des Systems. Die zur Wellenzahl proportionale Variable η parametrisiert die Lösungen. Der Bereich der erlaubq
Ve0 .
ten Energien, V0 ≤ E < 0, korrespondiert zum Wertebereich 0 < η <
q
Bei η = Ve0 wird κ = 0.
Zusammen mit Gl. (4.11) wird aus den Bedingungsgleichungen (4.15a)
und (4.15b)
q
L
Ve0 − η 2
κ2
!
symmetrisch:
tan(η)
=
=
η
k L2
anti-symmetrisch:
!
tan(η)
=
−
k L2
η
= −q
L
κ2
Ve0 − η 2
.
Die graphische Lösung dieser Gleichungen erhält man aus den Schnittpunkten der in Abbildung (4.4) dargestellten Kurven κk bzw. − κk mit der
q
Kurve zu tan(η) im Bereich 0 < η < Ve0 .
q
Symmetrische Lösungen: Wenn η von 0 bis Ve0 variiert, nimmt κk die Werte ∞ bis Null an. Daher tritt unabhängig von Ve0 immer ein Schnittpunkt
mit tan η auf. Es existiert somit immer mindestens ein symmetrischer,
gebundener Zustand !. Wir können leicht die Zahl der gebundenen Zustände bei gegebenem Potentialparameter Ve0 bestimmen: Der Tangens hat
Nullstellen bei η = nπ. Die Zahl der Schnittpunkte von κk mit tan(η) nimmt
q
immer um Eins zu, wenn der Maximalwert von η, also Ve0 , die Werte
95
4.3. Gebundene Zustände im Potentialtopf
10
5
κ/k
tan(η)
0
−k/κ
−5
−10
0
2
4
6
8
10
η
Abbildung 4.4: Graphische Bestimmung der
q Energie-Eigenwerte im Potentialtopf. Aufgetragen ist tan(η) über η ∈ (0, Ve0 ) und außerdem die Funktionen
− κk und κk . Es wurde Ve0 = 100 gewählt.
nπ überschreitet.
Die Zahl der symmetrischen Eigenwerte ist somit N+ =
√
e
int( πV0 + 1).
Antisymmetrische Lösungen: Die Zahl der Schnittpunkte von − κk mit tan(η)
q
wächst um Eins, wenn Ve0 die Werte nπ + π/2 überschreitet. Die Zahl der
√
e
anti-symmetrischen Eigenwerte ist demnach N− = int( πV0 + 1/2).
Zur Festlegung der Wellenfunktion Gl. (4.14) nutzen wir die Stetigkeitsbedingungen Gl. (4.15a) und Gl. (4.15b)
L
L
As = Bs eκ 2 cos(k )
2
L
L
Aa = −Ba eκ 2 sin(k )
2
aus und erhalten daraus mit der dimensionslosen Länge ξ = x/( L2 ) und
η = k L2 :
96
Kapitel 4. Eindimensionale Potentialprobleme
Abbildung 4.5: Wellenfunktionen ψn (ξ) zu allen drei gebundenen Eigenzuständen des Potentialtopfes mit einer Potentialhöhe Ve0 = 13.
ψs (ξ) = Bs
ψa (ξ) = Ba

κ L (ξ+1)


 cos(η) e 2
cos(ηξ)


 cos(η) e−κ L2 (ξ−1)

κ L (ξ+1)


− sin(η) e 2
sin(ηξ)


 sin(η) e−κ L2 (ξ−1)
, ξ < −1
(4.16a)
, −1 ≤ ξ ≤ +1
, ξ > +1
, ξ < −1
, −1 ≤ ξ ≤ +1
.
(4.16b)
, ξ > +1
Die Parameter Ba,s ergeben sich aus der Normierung. Ein Beispiel ist in
der Abbildung (4.5) dargestellt. Die Wellenfunktion zur tiefsten Energie
ist symmetrisch. Sie hat keine Nullstelle. Die Zahl der Nullstellen ist n − 1,
wobei die Quantenzahl n = 1, 2, 3 . . . die erlaubten Energien En durchnumeriert. In Abbildung (4.5) gibt die Null-Linie der Wellenfunktionen wieder gleichzeitig auf der rechten Achse die zugehörige Eigenenergie En an.
In den verwendeten Einheiten befinden sich die Potentialwände bei ±1.
Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Topfes nicht Null. Man erkennt, dass stattdessen
die Wellenfunktion mit steigender Quantenzahl n zunehmend aus dem
Potentialbereich hinausragt.
97
4.4. Unabhängige Freiheitsgrade: Produktansatz
4.4 Unabhängige Freiheitsgrade: Produktansatz
Oft hat das betrachtete physikalische System voneinander unabhängige
Freiheitsgrade, zum Beispiel bei räumlich getrennten Teilsystemen, oder
bei einem Potential der Form V (~x) = V1 (x) + V2 (y) + V3 (z) (siehe unten).
Ob die Freiheitsgrade unabhängig sind, hängt von den Wechselwirkungen
ab, d.h. vom jeweiligen Hamiltonoperator.
Wir betrachten zwei Freiheitsgrade A und B, mit zugehörigen Basisvektoren {|ϕA i} und {|ϕB i} (Beispiel: {|xi} und {|yi}, die zueinander paarweise
orthonormal sein sollen. Der zugehörige Produktraum wird von den Basisvektoren |ϕA , ϕB i = |ϕA i ⊗ |ϕB i aufgespannt. Die Freiheitsgrade A und
B sind unabhängig, wenn der Hamiltonoperator aus zwei Teilen Ĥ A und
Ĥ B besteht, die getrennt auf die Freiheitsgrade A bzw. B wirken:
Ĥ =
Ĥ A |ϕA , ϕB i =
Ĥ B |ϕA , ϕB i =
Ĥ A + Ĥ B , mit
A
A
Ĥ |ϕ i ⊗ |ϕB i und
|ϕA i ⊗ Ĥ B |ϕB i .
(4.17)
(4.18)
(4.19)
Dann gilt auch
[Ĥ A , Ĥ B ] = 0 .
Die Lösungen der Eigenwertgleichung für den Gesamt-Hamiltonoperator
Ĥ |ψi = E |ψi
bekommt man nun durch den Produktansatz
B
|ψn,m i = |ψnA i ⊗ |ψm
i,
(4.20)
B
wobei |ψnA i und |ψm
i jeweils Linearkombinationen von {|ϕA i} bzw. {|ϕB i}
sind und Lösungen der Eigenwertgleichungen zu Ĥ A bzw. Ĥ B :
Ĥ A |ψnA i = EnA |ψnA i
B
B
B
Ĥ B |ψm
i = Em
|ψm
i.
98
(4.21)
(4.22)
Kapitel 4. Eindimensionale Potentialprobleme
Beweis:
Ĥ |ψn,m i =
=
=
=
=
B
i
|ψnA i ⊗ |ψm
Ĥ A + Ĥ B
B
B
Ĥ A |ψnA i ⊗ |ψm
i + |ψnA i ⊗ Ĥ B |ψm
i
B
EnA |ψn,m i + Em
|ψn,m i
B
(EnA + Em
) |ψn,m i
En,m |ψn,m i
Die Eigenenergie En,m ist somit die Summe der Einzelenergien, und man
schreibt sie am einfachsten mit einem doppelten Index.
Beispiel 1: Ein Teilchen in einem Potential V (~x) = V1 (x)+V2 (y)+V3 (z). Der
Ortsraum wird von den Basisvektoren |~xi = |xi ⊗ |yi ⊗ |zi aufgespannt.
Der Hamiltonoperator ist
2
p~ˆ
~
+ V̂ (Q̂)
Ĥ =
2m
p̂2y
p̂2x
p̂2
=
+ V̂1 (Q̂x ) +
+ V̂2 (Q̂y ) + z + V̂3 (Q̂z ) .
}
}
}
|2m {z
|2m {z
|2m {z
Ĥ x
Ĥ y
(4.23)
(4.24)
Ĥ z
Ĥ x wirkt nur auf |xi, etc. Die Eigenvektoren von Ĥ kann man dann als
Produkt
|Ψi = |ψ x i ⊗ |ψ y i ⊗ |ψ z i
(4.25)
schreiben, wobei
ν
|ψ i =
Z
dν ψ ν (ν) |νi
(ν = x, y, z)
(4.26)
Eigenvektoren von Ĥ ν sein müssen, d.h. zum Beispiel
(4.27)
Ĥ y |ψ y i = E y |ψ y i .
99
4.4. Unabhängige Freiheitsgrade: Produktansatz
Beispiel 2: Ein Teilchen mit Spin 21 , das sich in einem räumlich konstan~ und einem ortsabhängigen Potential V (~x) bewegt. Das
ten Magnetfeld B
Teilchen hat Ortsfreiheitsgrade mit Basisvektoren |~xi, und einen Spinfreiheitsgrad mit Basisvektoren |σi = | + zi und | − zi. Der Produktraum wird
von den Basisvektoren |~x, σi = |~xi ⊗ |σi aufgespannt. Der Hamiltonoperator ist, wie schon in Kap. 3.2 erwähnt,
2
p~ˆ
~ˆ
Ĥ =
+ V̂ (Q)
|2m {z
}
=: Ĥ ~x
~S
~ˆ .
− µB
| {z }
(4.28)
=: Ĥ σ
Ĥ ~x wirkt nur auf |~xi und Ĥ σ wirkt nur auf |σi. Die Eigenvektoren von Ĥ
kann man deshalb als Produkt
(4.29)
|Ψi = |ψ~x i ⊗ |χi
schreiben, wobei
~
x
|ψ i =
Z
d3 x ψ(~x) |~xi
¸und
|χi =
X
σ=±z
χσ |σi
Eigenvektoren von Ĥ ~x bzw. Ĥ σ sein müssen, d.h.
Ĥ ~x |ψ~x i =
E ~x |ψ~x i
und Ĥ σ |χi = E χ |χi .
100
(4.30)