§ 6 Atomphysik und Quantenmechanik

§6
Atomphysik und Quantenmechanik
1.
Physik von Gallileo Galilei (* 1564) bis James Clerk Maxwell (+ 1879)
Es gibt zwei Kategorien von Erscheinungen in der Natur:
1.)
Materie:
•
Besitzt Masse und (ggf.) Ladung
•
ist lokalisierbar
•
unterliegt Gravitationskräften und (ggf.) elektrischen und magnetischen
Kräften mit bekannten Gesetzmäßigkeiten
•
folgt der Newton’schen Mechanik
•
ist aus Atomen aufgebaut, die denselben Gesetzen gehorchen;
Masse und Ladung sind quantisiert
⇒ größter Erfolg: Ludwig Boltzmanns „statistische Mechanik“ erklärt die
Wärmelehre
noch offen:
2.)
Innere Struktur der Atome?
→ 1896: Antoine Henri Becquerel, Radioaktivität
→ 1897: J.J. Thomson, Entdeckung des Elektrons
Elektromagnetische Wellen
•
sind keine materielle Erscheinung (keine Masse, keine Ladung), sondern
die wellenförmige Ausbreitung von gekoppelten elektrischen und
magnetischen Feldern
•
sind nicht lokalisiert und zeigen Interferenzerscheinungen
•
zeigen keine diskreten Eigenschaften (wie Masse und Ladung)
⇒ größter Erfolg: Nur vier Maxwell-Gleichungen erklären alle elektrischen
und magnetischen Erscheinungen und das Licht
noch offen:
„Thermodynamik“ der Wellen:
Schwarzkörperstrahlung (vgl. §5)
49
2.
Welle-Teilchen Dualismus
Max Planck (1900):
E-M-Wellen müssen auch eine diskrete Eigenschaft haben:
E Phot = h ⋅ ν =
h ⋅c
λ
„Einstein-Relation“
→ kleinstmögliche (übertragbare) Energieportion für Wellen mit Frequenz ν.
⇒ Licht bekommt „Teilchencharakter“ (Was ist mit der Masse?
später!)
Louis-Victor de Broglie (1924):
Teilchen sollten auch Wellencharakter haben mit
λp =
h
h
=
p mv
„De Broglie Wellenlänge“ eines Objekts mit Impuls mv.
1927 Davisson / Former:
Interferenz von e− - Strahlen an einem Ni-Kristall (= atomares Beugungsgitter!)
Erst damit: zufriedenstellendes Atommodell (Bohr-Sommerfeld) möglich (s.u.)
3.
Spektrallinien und Atommodelle
Nochmal 30 Jahre zurück:
Atome um 1890: „Rosinenkuchen-Modell“
50
Ernest Rutherford, 1911:
Projektile:
gereade entdeckete „a-Strahlen“ mit
q=2e, m=4u
Beschuss mit Teilchenstromdichte j0 und kinetischer Energie E=K=q.UB
Rutherford fand für die Winkelverteilung der gestreuten α -Teilchen:
fE ( γ ) =
→
1 dN α
1
∼ 2⋅
j0 dt dΩ
E
1
. Das ist der Rutherfordsche Streuquerschnitt!
4 γ
sin  
2
f E ( γ ) ist exakt so als wären die Atome punktförmig ( ≈ 10 −15 m ) , positiv
geladen und viel schwerer als die Projektile. Daraus resultierte das
⇒ Rutherfordsche Atommodell
≈ 10 −10 m = 1A
Elektronenhülle mit z Elektronen
me =
1
u << m Kern , q e = −e
1823
→ kreisen um Kern in „Orbit“
(wie Planeten um Sonne)
→ Atome sind (für Projektile mit m >> m e ) im Wesentlichen leer!
51
OFFENE FRAGEN: 1.) Welche „Orbits“ gibt es?
2.) Wieso sind die Atome stabil? Denn e- in Orbits stellen eine beschleunigte Ladung
dar und strahlen deswegen Hertzsche EM-Wellen aus. Der dadurch bedingte
Energieverlust sollte die e- schließlich in den Atomkern stürzen lassen!!!
Wichtige Informationen dazu liefern die Spektrallinien der Atome:
Einzelne Atome (Gase!) können nämlich Licht emittieren (Gasentladungen) und
absorbieren, aber nur für wenige, feste, charakteristische Wellenlängen!
Versuch: „Spektrallinien“
Projektion „Frauenhoferlinien“
⇒ Korrespondenz zwischen Emissions- und Absorptionsspektrallinien
⇒ Das muss mit Elektronenhülle der Atome zu tun haben!
Niels Bohr A)
Nehme Planck’s „Quantenhypothese“ ernst:
„Spektrallinie mit λ i trägt Energiepakete (Photonen) mit E i =
⇒
hc
“
λi
Energieerhaltungssatz:
E i muss der Energiedifferenz eines Elektrons in zwei verschiedenen Orbits
entsprechen.
→ Nur Orbits mit atom-charakteristischen diskreten Energien sind möglich!
Fragen: Welche und Warum?
Niels Bohr B)
Nehme de Broglies Materiewellen ernst:
„Elektronen laufen als Wellen auf Kreisbahnen um den Kern“
⇒ stabile Orbits gibt’s nur bei konstruktiver Interferenz → „stehende de BroglieWelle“
m >> m e
Diese Forderung ergibt die Bohr’sche Quantenbedingung:
2π ⋅ rn = n ⋅ λ n = n ⋅
h
p
oder
2πp n 1
=
n ⋅ h rn
(*)
52
Gleichzeitig ist e− ein Teilchen im Coulomb-Feld. Damit gilt für jede Kreisbahn mit
beliebigem Radius r: Zentripetalkraft FZ = Coulombkraft FC
FZ =
me ⋅ v2
p2
z ⋅ e2
=
=
= FC
r
m e r 4π ⋅ ε0 ⋅ r 2
p2
z ⋅ e2
=
= E 0 (**)
m e 4π ⋅ ε 0 ⋅ r
Beachte dazu für die potentielle, die kinetische und die Gesamtenergie:
z ⋅ e2
p2
1
U = U∞ = −
= − E 0 und
K=
= E0
und damit
4π ⋅ ε 0 ⋅ r
2m e 2
1
E = U + K = − E 0 = −K
2
Anmerkung: Das gilt allgemeiner auch für nicht-kreisförmige Bahnen: Die zeitlichen
Mittelwerte von kinetischer und potentieller Energie im Gravitationsoder Couolombfeld erfüllen K = − 12 ⋅ U ∞ (Virialsatz der Mechanik)
Mit Quantenbedingung (*) folgt aus (**) für
pn 2
z ⋅ e 2 2π p n
=
⋅
m e 4π ⋅ ε 0 n ⋅ h
1
:
rn
pn
z ⋅ e2 2π
=
⋅
m e 4π ⋅ ε 0 n ⋅ h
2
 z ⋅ e2  1
pn 2
0
= me 
 ⋅ 2 = E n (**)
⋅
ε
me
2
h
n

0 
und
ε0 ⋅ h 2 n 2
n ⋅h
rn =
=
⋅
2π p n π ⋅ m e ⋅ e 2 z
(***)
aB
⇒ Bedingungen für Radien rn und Impulse pn gefunden! → Energien dazu?
m
En = Kn + Un = − E = − e
2
1
2
0
n
2
 e2  z 2
⋅
 ⋅ 2
2
⋅
ε
⋅
h
0

 n
ER
Resultat also:
Die Borhsche quantenbedingung resultiert in einer diskreten Folge von (negativen,
aber ansteigenden) Werten für die Gesamtenergie (K+U) der Elektronen und
zugehörigen (quadratisch) wachsenden Radien für die Elektronenbahnen.
53
Zusammenfassung des Bohrsche Atommodells (Niels Bohr, 1885-1962):
Termschema wasserstoffähnlicher Atome und Ionen ( H, D, He + , Li ++ ,...)
E n = −z 2
e4 me 1
⋅
8h 2 ε02 n 2
Skalierung ∼
z2
n2
Skalierung ∼
n2
z
13,6 eV „Rydbergenergie“.
und dann (s.o. ***):
ε0 ⋅ h 2 n 2
rn =
⋅
π ⋅ me ⋅ e2 z
a B = 5,3 ⋅10−11 m „Bohrscher Radius“
⇒
E n,m =
h ⋅c
1 
 1
= z 2 ⋅13, 6 eV ⋅  2 − 2 
λ n,m
m n 
oder
ν n,m =
1
λ n,m
1 
 1
= R ⋅ z2 ⋅  2 − 2 
m n 
für die Spektrallinien mit der
Rydbergkonstante R = 1, 097 ⋅105 cm −1 .
Die in der Molekül- und Atomspektroskopie oft übliche Größe ν heißt Wellenzahl.
Ihre Einheit cm-1 wird (im deutschsprachigen Raum) auch mit „Kayser“ bezeichnet
(nach Heinrich Kayser, 1853-1940). Man unterscheide ν vom Betrag des
Wellenvektors k = 2π = 2π ⋅ ν , der leider auch manchmal mit Wellenzahl
λ
bezeichnet wird.
Erweiterungen des Bohrschen Atommodells:
1.)
Arnold Sommerfeld (1868-1951): elliptische Bahnen und relativistische
Korrekturen ∼ α 2
e2
c e2 µ0 c e2
Vs
1
mit α =
=
=
⋅ 4 π ⋅ 10 −7
≈
2ε 0 h ⋅ c
2h
2h
Am 137
„Feinstrukturkonstante“
2.)
Atome mit mehreren Elektronen:
komplizierter wg. Wechselwirkungen untereinander, aber immer noch diskrete
Energien!
54
4.
Wellenmechanik
4.1.
Die Schrödinger-Gleichung
Erwin Schrödinger (1887-1961), 1926:
Es muss eine allgemeine Wellengleichung für eingesperrte (Atom, Molekül,
Festkörper …) oder auch frei fliegende (Strahl mit E kin ) Elektronen gefunden werden.
Denn:
e− (allgemein: alle Quantenobjekte) bewegen sich einerseits wie Wellen, unterliegen
andererseits Kräften die zu ortsabhängigen kinetischen und potentiellen Energien
führen.
Schrödinger:
Wie lässt sich das vereinbaren und wie sieht dann die „Elektronenwelle“ für eine
konstante Gesamtenergie E aus?
Idee:
Der kinetische Teil der Energie bestimmt den Impuls, der Impuls bestimmt lokal die
Wellenlänge.
Um die Wirkung der Kräfte zu beschreiben, wird statt des vektoriellen
Kraftfeldes
F ( r ) das skalare Potential(feld) U ( r ) benutzt.
(Exakter: U ( r ) ist die potentielle Energie!)
Dazu wird zunächst eine Faktorisierung von Zeit- und Ortsabhängigkeit der Wellen
durch die Beschreibung als harmonische Wellen in komplexer Darstellung
vorgenommen:
Ψ ( r, t ) = Ψ ( r ) ⋅ e− jωt
z.B.:
die einfach-harmonische ebene Welle mit Wellenvektor k und komplexer
Amplitude A 0 :
Ψ ( r ) = A 0 ⋅ e jk⋅ r = A 0 ⋅ e jϕ0 ⋅ e jk ⋅ r = A 0 ⋅ e
⇒
Ψ ( r, t ) = A 0 ⋅ e
und mit der Eulerformel e
jα
(
j k ⋅ r −ωt
)
= A0 ⋅ e
(
j k ⋅ r −ωt +ϕ0
(
j k ⋅ r +ϕ0
)
)
= cos α + jsin α :
(
)
⋅ sin ( kr − ωt + ϕ )
Re {Ψ ( r, t )} = A 0 ⋅ cos kr − ωt + ϕ0
und
⇒
Im {Ψ ( r, t )} = A 0
0
Sowohl der Re Ψ als auch der Im Ψ repräsentieren die einfach-harmonische
ebene Welle in der gewohnten reellen Darstellung!
55
Beachte:
Mit Hilfe der komplexen Darstellung gelingt die Formulierung der Dynamik
von Mikroobjekten in Form der Schrödingerschen Wellenmechanik,
weil die Ortsabhängigkeit Ψ ( r ) und die Zeitabhängigkeit e− jωt getrennt
behandelt werden können!
Speziell für die einfach-harmonische Welle Ψ ( r ) = A 0 ⋅ e jk ⋅ r = A 0 ⋅ e jk x x ⋅ e
jk y y
⋅ e jk z z gilt:
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
 2π 
+ 2 + 2 = −  ⋅Ψ
2
∂x
∂y
∂z
 λ 
2
k 2 = k ⋅ k = k x 2 + k y2 + k z2
oder kurz:
2
 2π 
−∆Ψ =  2  ⋅ Ψ
λ 
∂2
∂2
∂2
+
+
ist. Er
∂x 2 ∂y2 ∂z 2
extrahiert offenbar lokal eine (reziproke, quadratische) Wellenlänge aus Ψ heraus.
wobei ∆ die Abkürzung für den sog. Laplace-Operator
( 2π ) = p 2 , wird daraus dann :
1 p2
Mit de Broglie, λ p = h ⇒ 2 = 2 ⇒ k 2 =
2
h
λ
λ2
( h 2π )
2
2
−∆Ψ =
p2
( h / 2π )
2
2
⋅Ψ =
2
p2
⋅ Ψ mit
ℏ2
ℏ=
h
2π
(sprich „h-quer“)
und mit p 2 = 2 ⋅ m ⋅ K = 2 ⋅ m ⋅ ( E − U ( r ) )
Gesamtenergie
⇒
−∆Ψ =
potentielle Energie = „Potential“
2m
( E − U ( r )) ⋅ Ψ
ℏ2
ℏ2
−
∆Ψ + U ( r ) ⋅ Ψ = E ⋅ Ψ
2m
⇔
Das ist die (zeitunabhängige) Schrödinger-Gleichung für die „Wellenfunktion“
Ψ ( r ) eines Quantenobjekts im Potential U ( r ) mit einer Gesamtenergie E!
Was beschreibt Ψ ( r ) denn eigentlich, d.h. welche physikalische Größe schwingt
denn da wellenartig?
Antwort später!
56
Anmerkungen zur Terminologie:
ℏ2
∆ + U ( r ) , anzuwenden auf die zu bestimmende
2m
Wellenfunktion Ψ ( r ) , heißt „Hamilton-Operator“ des Quantensystems.
Die Rechenvorschrift H = −
Damit lautet dann die zeitunabhängige Schrödingergleichung (SG) in Kurzform:
HΨ = E⋅Ψ .
In Worten:
Die (stationären) Wellenfunktionen eines Quantenobjektes sind die Funktionen, die
der Hamilton-Operator H, mit einer charakteristischen Konstante E („Eigenwert“)
multipliziert, in sich selbst überführt. Man nennt solche durch einen Operator (bis auf
eine Konstante) in sich selbst überführte Funktionen „Eigenfunktionen des Operators“.
→
Nur die mathematisch gem. S.G. erlaubten Kombinationen E / Ψ ( r ) sind
möglich und bilden die (stationären) Zustände des Quantenobjektes mit
Wellenfunktion Ψ ( r ) und Energie E für das Potential U ( r ) .
→
Stationäre Zustände haben die triviale Zeitabhängigkeit
Ψ ( r, t ) = Ψ ( r ) ⋅ e
j
− ⋅E ⋅ t
ℏ
= e− jωt , also mit ℏω = E .
Mit dieser (trivialen) Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion werden alle Messgrößen
am Quantenobjekt zeitlich konstant!
Beispiele:
1.)
U(r) = −
z ⋅ e2
4πε 0 r
Coulombpotential und E < 0
⇒ S.G. erlaubt nur Wellen zu E-Werten E n = − z 2 ⋅13, 6 eV
mit zugehörigen „Wellenfunktionen“ Ψ n ( r ) .
1
n2
⇒ Bohr’s Quantenbedingung folgt rein mathematisch aus der S.G.!
2.)
freie Teilchen: U ( r ) = 0
−
ℏ2
∆Ψ = E ⋅ Ψ liefert als Lösungen
2m
( )
Ψ ck ( r ) = cos k ⋅ r
und
( )
Ψ sk ( r ) = sin k ⋅ r
mit Wellenvektoren k in beliebiger Richtung und mit Betrag gemäß den
Zugehörigen Energien:
57
2
2
2
ℏ 2  ∂ cos ( k x x + k y y + k z z ) ∂ cos ( ...) ∂ cos (...) 

+
+
=
E ⋅ Ψ = ∆Ψ = −
2m 
∂x 2
∂y 2
∂z 2


c
k
c
k
2
ℏ2 k
ℏ2
2
2
2
=−
( −k x − k y − k z ) ⋅ cos ( k x x + k y y + k z z ) = 2m ⋅ Ψ ck
2m
()
E k =
⇒
ℏ2 2
⋅k
2m
Das gilt ebenso für Ψ sk ( r ) . Mit der trivialen Zeitabhängigkeit e− jωt = e− j
E
ℏt
stellen Ψ ck ( r ) und Ψ sk ( r ) zwei stehende harmonische Wellen mit derselben
()
Energie E k dar. Das ist ein Beispiel für das allgemein wichtige Phänomen
der
⇒
Entartung: mehrere unterschiedliche Zustände mit gleicher Energie!
⇒
Wegen Linearität der S.G.: Auch beliebige Linearkombinationen
der entarteten Zustände können als Lösungen der S.G. gewählt werden.
Ψ ck
z.B können hier statt
und
Ψ sk
auch
Ψ + k = Ψ ck ( r ) + jΨ sk ( r ) = e j⋅k ⋅ r und Ψ − k = Ψ ck ( r ) − jΨ sk ( r ) = e − j⋅k ⋅ r
als stationäre Wellenfunktionen gewählt werden. Mit Zeitabhängigkeit also
Ψ+k = e
Ψ −k = e
(
j⋅ k ⋅ r −ω( k )⋅t
(( )
)
j⋅ − k ⋅ r −ω( k )⋅ t
(laufende monochromatische Welle in Richtung + k )
)
(laufende monochromatische Welle in Richtung − k ).
Ψ ck ( r ) , Ψ sk ( r ) sind die stationären Zustände für ein eingesperrtes Objekt;
Ψ + k ( r ) . Ψ − k ( r ) sind die stationären Zustände für ein in Richtung ek bzw.
e− k fliegendes Objekt.
Für frei fliegende Quantenobjekte ohne Krafteinwirkung ( U ( r ) = const. ) findet man
also zu jedem beliebigen Wellenvektor k eine stationäre Wellenfunktion
Ψk = e
(
j⋅ k ⋅ r −ω( k )⋅ t
)
= e jk ⋅ r ⋅ e − jωt = e jk ⋅ r ⋅ e
− j Eℏ t
mit einer Energie
()
ℏ2k 2
E k =
. Da jede Richtung von k erlaubt ist, sind die Wellenfuntkionen zur
2m
Energie E =
ℏ2k 2
also ∞ -fach entartet!
2m
58
Man nennt k „Quantenzahl“ für den Zustand
Ψk .
()
E k =
ℏ2 2
k
2m
ist die
Dispersionsrelation für die freien Teilchen mit der Masse m.
Beachte:
Vergleich mit Photonen (e-m-Wellen)
Photonen (im Vakuum)
Teilchen
parabolisch mit
2
Krümmung
ℏ
1
∼
2m m
linear mit
Steigung ℏc
Versuch: „Elektronenbeugung an Graphit/Laserbeugung an Kreuzgitter“
4.2.
Wellenfunktionen
Wellen klassisch:
Schwingungen einer messbaren physikalischen Größe (Vektor, Skalar) in Raum und
Zeit. z.B.:
- Luftdruckabweichung vom Mittelwert (Skalar → Schall)
- Elektrisches Feld / magnetisches Feld (Vektoren → e-m-Wellen, „Licht“)
Jetzt:
quantenmechanische Wellenfunktion Ψ ( r ) (Skalar, aber i.a. komplexwertig)
beschreibt allgemein den Zustand eines Quantenobjekts mit allen messbaren
Eigenschaften.
Was ist messbar ?
⇒ später
Wie steckt es in Ψ ( r ) ?
59
Die Bedeutung von Ψ ( r ) selber:
Ψ ( r ) ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens
2
⇒
Position r = ( x, y, z ) ist unbestimmt, lediglich die Wahrscheinlichkeit, bei
einer Positionsbestimmung einen Messwert im Volumen ∆V zu finden,
steht fest:
P∆V =
∫ Ψ(r)
2
dV , also für ∆V = dV klein um den Ort r herum:
∆V
P∆V = Ψ ( r ) ⋅ dV
2
Schlüsselexperiment:
ℏ2k 2
Beugung einzelner, „monochromatischer“ (also k fest, E =
= e ⋅ U Beschl. fest)
2m
Elektronen am Doppelspalt: wie Licht !
Jönson & Möllenkolt, Tübungen 1961:
siehe Materialien : Elektronenbeugung am Doppelspalt
Fazit:
1.)
2.)
Obwohl die Elektronen einzeln durch den Doppelspalt fliegen
→ Interferenzmuster
Ψ ( r ) ist nur als eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Ortsmessung
2
auf einem Auffangschirm sichtbar, d.h. bei genügend Wiederholungen!
3.)
Nach Ortsmessung ist der Zustand (als monochromatisches Elektron)
prinzipiell zerstört → dann: lokalisiertes Elektron im Leuchtstoff-Pixel des
Auffangschirms
Das gilt allgemein für jede Messung an Quantenobjekten:
- Streuung der Messwerte je nach Messgröße und Ψ
- i.a. unvorhersehbare Veränderung („Zerstörung“) des Zustandes (von Ψ )
- zusätzliche Forderung an Ψ :
Normierung
∫
!
Ψ ( r ) dV =1 , denn Ψ ( r ) 2 ist die ‚Aufenthalts2
ganzer
Raum
Wahrscheinlichkeitsdichte für das Objekt im Zustand Ψ ( r ) / E .
60
4.3.
Die Unschärferelation
Betrachte die „Streuung“ einer Messgröße, z.B. der Positionsbestimmung bzgl. der
 N 
x-Koordinate, um den Mittelwert x =  ∑ x i  / N herum, definiert als
 i =1 
Standardabweichung
( xi − x
∆x =
)
2
=
1 N
∑ ( xi − x
N i =1
)
2
2
1 N
xi − x )
(
∑
N i =1
Diese Streuung hängt von 1.) der Messgröße und 2.) dem Zustand , also von Ψ ab!
bzw. als Varianz
( ∆x )
2
=
(x
i
− x
)
2
=
Heisenberg: Für bestimmte Paare von Messgrößen („konjugierte Observable“) ist
das Produkt der Standardabweichungen der Messwerte mindestens
ℏ h
=
, unabhängig vom Quantenzustand Ψ .
2 4π
z.B.:
Ortskoordinate x und Impuls p x in x-Richtung sind konjugierte Observable:
∆x ⋅ ∆p x ≥
ℏ
2
Heisenbergsche Unschärferelation
→ konjugierte Variable können nie beide scharf (d.h. genau) bestimmt sein!
Illustration: Beugung am Spalt mit Strukturfunktion f ( x ) =
x
1 −a
⋅ e („e-Spalt“):
a
Die Ortsmessung unmittelbar hinter der Spaltebene spiegelt die Durchlässigkeit des
Spaltes wieder. Die Positionsmessung hinsichtlich der x-Koordinate ergibt also eine
Messwertverteilung, die durch f 2 gegeben ist. (Bedenke: Quadrat der
Wellenamplitude ist Intensität; Betragsquadrat der Wellenfunktion ist
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte!) Mit der in der Abbildung schon korrekt
61
gewählten Normierung stellt also f(x) gleichzeitig die (in diesem speziellen Falle
reelle) Wellenfunktion Ψ ( x ) dar.
Die Messwertverteilung der transversalen Impulskomponente p x = ℏk x resultiert aus
der Winkelverteilung der gebeugten Intensiät der Welle und ist deswegen proportional
zum Strukturfaktor Σe ( k x ) des e-Spalts. Für die Mittelwerte beider Verteilungen, also
von f 2 ( x ) = Ψ ( x ) und von Σe ( k x ) , gilt zunächst aus Symmetriegründen (trivial)
2
x = 0 und p x = ℏ k x = 0 , weil beide Wahrscheinlichkeitsdichten gerade
(x −
Funktionen sind. Für die Varianzen gilt dann ( ∆x ) =
2
( ∆k x )
2
x
)
2
= x 2 und
= .... = k x 2 . Das muss mit der richtigen Normierung für f 2 und Σ2 als
∞
∫f
Wahrscheinlichkeitsdichten, also
2
−∞
∞
!
!
( x ) dx =1 und ∫ Σ ( k x ) dk x =1 , ausgerechnet
−∞
werden.
1.) Streuung der Ortsmessung
f ( x ) ist (s.o.) schon korrekt normiert (leicht nachzurechnen) und für die Varianz
ergibt sich:
∞
( )
∞
∞
2
1
2
2  2x 
 2x   a 
2x
∆x = ∫ x 2 ⋅ exp − a dx = ∫ x 2 ⋅ exp ( − 2xa ) dx = ∫   ⋅ exp ( − 2xa ) d   ⋅  
a −∞
a0
a 0 a 
 a   2x 
2
=
3
∞
a2 2
a2
a2
t
⋅
exp
−
t
dt
=
⋅
2!
=
(
)
4 ∫0
4
2
2!
2.) Streuung der Impulsmessung
Zunächst muss der Strukturfaktor Σe ( x ) für den e-Spalt ausgerechnet werden:
2
2
∞
 ∞

Σe ( k x ) =  ∫ f ( x ) ⋅ cos ( k x x ) dx  +  ∫ f ( x ) ⋅ sin ( k x x ) dx  . Das geht wieder am
 −∞
  −∞

einfachsten mit Hilfe der komplexen e-Funktion; denn offensichtlich ist
Σe ( k x ) = z mit der (i.a. komplexen) Zahl
2
z (kx ) =
∞
∫ f ( x ) ⋅ exp ( j k x x ) dx =
−∞
=
∞
1
1
exp ( j k x x − ax ) dx +
∫
a 0
a
1
a
∞
∫ exp ( j k
x
x−
x
a
−∞
0
∫ exp ( j k
x
) dx
x + xa ) dx =
−∞
62
∞
0
1
1
1
1
1
x
x
=
⋅
exp
j
k
x
−
+
⋅
exp
j
k
x
+
=
(
)
(
)
x
x
a
a
a j k x − 1a
a j k x + 1a
a
0
−∞
=

1
1 
+
−
1
1 
 j kx − a j kx + a 
1 j k x − 1a − ( j k x + 1a )
2
1
⋅
=
⋅ 2 1
3
2
1
−k x − a 2
a
a k x + a2
Die wichtige Funktion z ( t ) =
halben Halbwertsbreite
1
a
1
t + ( 1a )
2
2
heißt im übrigen Lorentzfunktion (mit der
).
2

4 
1
Damit ist Σe ( k x ) = 3 ⋅  2
 . Die korrekte Normierung als
a  k x + ( 1a )2 


Wahrscheinlichkeitsdichte erfordert dazu noch einen Faktor 21π , denn
2

4 
1
4
Σ
k
dk
=
⋅


(
)
∫−∞ e x x −∞∫ a 3  k 2 + ( 1 )2  dk x = a 3
a
 x

∞
∞
2
2
∞ 


1
1 
3

⋅
d
ak
⋅
a
=
4
⋅
⋅


(
)
x
∫ ( ak )2 + 1
∫  ( t 2 ) + 1 dt = ..... =2π
−∞ 
−∞
x




∞
.
Damit ergibt sich für die Varianz ∆p x 2 = ℏ 2 ∆k x 2 der Impuls-x-komponente:
∆p x = ℏ k x
2
2
∞
2
2
∞ 
∞ 

2ℏ 2
kx
2ℏ 2
ak x 
ℏ
= 2 π ∫ k x ⋅ Σe ( k x ) dk x = 3 ⋅ ∫  2
dk
=
⋅


x
∫  ( ak )2 + 1 d ( ak x ) ⋅ a =
πa −∞  k x + ( 1a )2 
πa 3 −∞
−∞
 x



∞
2
2ℏ 2
t2
2ℏ 2
⋅
dt = 2
2 ∫ 2
πa −∞ t + 1
πa
2
2
∞
t 
2ℏ 2 π ℏ 2

⋅  12 arctan ( t ) − 2  = 2 ⋅ = 2
t + 1  −∞ πa 2 a

Wir erhalten damit als Resultat
∆x =
a
2
und
∆p x =
ℏ
.
a
Ort- und Impulsunschärfe verhalten sich also komplementär: Verringerung der
effektiven Spaltbreite a sorgt zwar für eine besser definierte Position der Objektes ,
vergrößert aber die Impulsunsicherheit und umgekehrt. Für alle Spaltbreiten a gilt aber
und damit für das Streuungsprodukt der beiden konjugierten Variablen
∆x ⋅ ∆p x =
ℏ
ℏ
>
2 2
Die Heisenbergsche Unschärferelation ist also in jedem Falle erfüllt!
Hätte man die Unschärferelation nicht auch für die Beugung von Materielwellen an
einem ‚normalen’ Spalt mit Rechtecks-Strukturfunktion illustrieren können?
63
Dafür ergibt sich zwar (leicht nachzurechnen) ∆x =
a
, jedoch ist mit dem schon in
2 3
§5.3 berechneten Strukturfaktor Σ E für den Einzelspalt leicht einzusehen:
∞
∞
sin 2 ( a2 k x )
∞
k x ) dk x = ∞...........
k
)
−∞
−∞
−∞
x
Für eine an einem „normalen“ Spalt gebeugte Materiewelle divergiert also die
Standardabweichung für die Impulsmessung. Die Heisenbersche Unschärferelation ist
auch in dem Falle erfüllt, wenn auch mit dem wenig illustrativen Ergebnis
∆p x 2 = ℏ 2 k x 2 ∼
∫
k x 2 ⋅ Σ E ( k x ) dk x ∼
∫
kx2 ⋅
(
a
2
2
dk x ∼
∫ sin (
2
a
2
∆x 2 ⋅ ∆p x 2 = ∞ . Das unendliche Streuungsprodukt ist eine Folge der ausserhalb der
Spaltöffnung strikt auf den Wert Null abfallenden Strukturfunktion, oder in der
Terminologie der Quantenmechanik, der strikten Begrenzung der Wellenfunktion auf
Werte −a / 2 ≤ x ≤ a / 2 .
Eine zweite wichtige Unschärferelation ist die Energie-Zeit-Unschärfe-Relation
(Eigentlich ist die Zeit allerdings keine Messgröße in der Quantenmechanik!)
Für Zeit ∆t in dem ein Quantenobjekt in einem Zustand Ψ “lebt“, die sogenannte
Lebensdauer, und Messung der Energie in diesem Zustand gilt:
∆E ⋅ ∆t ≈ ℏ
⇒ messbar als „Lebensdauer-Verbreitung“ von Spektrallinien bei Emission:
dp
Messe spektrale Breite (wie bei Planck!) aus Spektrum
für Spektrallinie
dν
⇒ für die Lebensdauer ∆t im angeregten Zustand des Quantenobjektes gilt dann:
ℏ
1
1
∆E = h ⋅ ∆ν ⇒ ∆t ≈
=
=
h∆ν 2π∆ν ∆ω
Beachte:
1.-) ≈ statt ≥ für die Energie-Zeit-Unschärfe.
c
für Licht und kleine Spektralbreiten:
λ
dν
c
c/λ
ν
dν dλ
=− 2 =−
=−
also
=
dλ
λ
λ
λ
ν
λ
⇒ Spektrallinien besitzen gleiche prozentuale Breiten bzgl. λ und ν (bzw. E).
2.) aus Dispersionsrelation ν ( λ ) =
Um diese besondere Unschärferelation zu verstehen müssen wir uns mit der
Beschreibung von zeitabhängigen Größen beschäftigen. Das geschieht mit Hilfe von
zeitabhängigen Zuständen!
64
4.4. Zeitabhängige Quantenphänomene
1.) Wellenmechanik bisher: auffinden von stationären Zuständen mit
ψ E ( r, t ) = ψ E ( r ) ⋅ e− j
E
ℏ ⋅t
durch lösen der zeitunabhängigen S.G. In einem solchen
Zustand ist die Energie des Quantenobjektes eine konstante Größe. Die
Zeitabhängigkeit e− j
E
ℏ ⋅t
ist aber nur formal, denn:
2.) Für die Vorhersage aller messbaren Eigenschaften in einem stationären Zustand
mit Hilfe der Wellenfunktion fällt der Phasenfaktor e− j ℏ⋅t = e − jωt weg. Nur
zeitunabhängige Messergebnisse resultieren! Damit kann man also noch keinerlei
Dynamik beschreiben!
E
3.) Trotzdem ist mit dem Auffinden der stationären Zustände auch schon die Basis für
die Beschreibung von zeitabhängigen Größen gelegt. Um zeitabhängige Vorgänge
beschreiben zu können muss man zunächst wie in der klassischen Physik den
Zustand zu einem Zeitpunkt kennen, d.h. die Wellenfunktion ψ ( r, t = 0 ) = ψ 0 ( r )
kennen. Vorgehen dann wie folgt:
a.) Beschreibe Ψ 0 ( r ) durch geeignete Überlagerung von stationären Zuständen,
also ψ 0 ( r ) = ∑ c E ψ E ( r ) mit geeigneten (komplexen)
E
Entwicklungskoeffizienten cE. Wenn man für die stationären Zustände, die in
der Summe mit E durchgezählt werden, alle zulässt, die es nur gibt, gelingt das
für jedes beliebige ψ 0 ( r ) (, ähnlich wie das bei der harmonischen Analyse
mit sin ( ωt ) , cos ( ωt ) bzw. e− jωt für Zeitfunktionen gelingt).
b.) Gib jedem Summanden einfach seine eigene Zeitabhängigkeit e− j ℏ t . Damit
bekommt die Summe automatisch die korrekte Zeitabhängigkeit; denn die
E
durch ψ E ( r, t ) = cE ψ E ( r ) ⋅ e − j
E
ℏ⋅t
beschriebenen Materiewellen gehorchen dem
Superpositionsprinzip und interferieren durch ungestörte Überlagerung!
c.) ψ ( r, t ) = ∑ c E ψ E ( r ) ⋅ e− j
E
ℏt
ist die (zeitabhängige) Wellenfunktion des
E
zeitabhängigen Zustands, mit der auch alle Messgrößen zeitabhängig werden!
Vergleiche: Manuskript Teil I, Abschnitt 6.2., S. 84 für die Dynamik klassischer
Wellenpakete!
65
Beispiel:
Zustand, der den Wechsel eines Elektrons zwischen zwei stationären Zuständen
Ψ1 / ℏω1 und Ψ 2 / ℏω2 eines Atoms nach Anregung beschreibt. Die Berechnung
allgemeiner Messgrößen aus der Wellenfunktion ist zu kompliziert. Das wesentliche
versteht man aber auch schon bei der Berechnung der Messgröße „Ladungsdichte des
Elektronens am Orte r “: ρ ( r, t ) = −e ⋅ Ψ ( r, t ) . Die Wellenfunktion besteht nach der
2
Anregung aus einer Superposition von Ψ1 ( r, t ) und Ψ 2 ( r, t ) :
Ψ ( r, t ) =
Die Faktoren
1
2
1
2
Ψ1 ( r, t ) +
1
2
Ψ 2 ( r, t )
garantieren, dass mit Ψ1 und Ψ 2 auch Ψ korrekt normiert ist.
Damit wird
− 1e ρ ( r, t ) = Ψ ( r, t ) = Ψ ( r, t ) ⋅ Ψ * ( r, t )
2
=  1
Ψ1 ( r ) e jϕ1 ( r ) ⋅ e− jω1t +
1
2
1

Ψ1 ( r ) e
1
2
=
1
=
1
− jϕ1 ( r )
⋅ e jω1t +
2
Ψ 2 ( r ) e jϕ2 ( r ) ⋅ e − jω2 t  ⋅
2
Ψ2 (r) e
(
− jϕ2 ( r )
⋅ e jω2 t 
j( ω2 −ω1 ) t −( ϕ2 −ϕ1 )
Ψ1 + 1 2 Ψ 2 + 1 2 Ψ1 Ψ 2 ⋅ e 
2
Ψ1 + 1 2 Ψ 2 + 1 2 Ψ1 Ψ 2 ⋅ cos ( ω2 − ω1 ) t − ( ϕ2 − ϕ1 ) 
2
2
2
+e
− j( ω2 −ω1 ) t − ( ϕ2 −ϕ1 ) 
2
)
2
= M 0 + M1,2 ⋅ cos ( ( ω2 − ω1 ) t − ϕ0 )
In diesem „Übergangszustand“ nach Anregung oszilliert die Ladungsdichte des Atoms
also harmonisch mit der Kreisfrequenz ω2 − ω1 = ( E 2 − E1 ) / ℏ . Das Atom stellt also
einen Hertzschen Dipol dar, der eine elektromagnetische Welle mit gleicher Frequenz
abstrahlt!
Beachte: Diese Form M 0 + M1,2 ⋅ cos ( ( ω2 − ω1 ) t − ϕ0 ) der Zeitabhängigkeit haben alle
Messgrößen für Zustände, die einer Überlagerung aus stationären Zuständen mit zwei
Energien entsprechen.
66