Physik I (PDF • 272 kB)

Physik 1 Zusammenfassung
Wann treffen zwei Punkte aufeinander?
2
xm1 (t) = xm2 (t) =⇒ Löse Gleichung nach t auf.
2.1
Dynamik
F
Frühlingssemester 2012
Giuseppe Accaputo
Rechnergestützte Wissenschaften, B.Sc.
Versichern, dass Zeit t positiv ist
v
Löst man eine Gleichung nach der Zeit t auf, und die rechte Seite
der Gleichung enthält ein Term, der negativ sein könnte, dann
muss der Betrag dieses Terms verwendet werden, da die Zeit nie
negativ sein kann.
1
Wird nach einer Gleichgewichtslage gefragt, so berechnet sich
diese indem man folgende Gleichung nach x auflöst:
Kinematik
1.1
m
s2
m
s
ẋ(t)
x(t)
1.2
kg · m
s2
m
s
Kraft
Kraft
kg
Masse
a
m
s2
Beschleunigung
t
s
Et
J=N·m=
2.2
Energetik
Zeit
kg · m
s2
2
Energie
Kinetische Energie
Einheiten
ẍ(t)
N=
m
ETH Zürich
Frage nach einer Gleichgewichtslage
Einheiten
F = −∇U (x) = 0
Beschleunigung
Ekin =
1
mv 2
2
Geschwindigkeit
m
Bewegungsgleichung in einer kleinen Umgebung
Position
Gleichmässig beschleunigte Bewegung
Beschleunigung
ẍ(t) = a
Ebene Polarkoordinaten (r, φ)
1
Wird nach der Bewegungsgleichung in einer kleinen Umgebung
Ekin = m ṙ2 + r2 ϕ̇2
2
gefragt, so muss die Taylorreihe der Kraft F um einen Punkt
x0 (z.B. Gleichgewichtslage) bis zum ersten Vorkommnis von
x entwickelt werden (meistens reicht ein Taylorpolynom ersten Potentielle Energie
Grades):
Epot = mgh falls g = const.
0
F (x) ≈ F (x0 ) + F (x0 ) · (x − x0 ) + O(x )
Geschwindigkeit
ẋ(t) = a · t + v0
Position
x(t) =
1.3
2
1
· a · t 2 + v0 · t + x 0
2
g 6= const.: Siehe potentielle Energie im Graviationsfeld
h: Höhe über frei gewähltem Bezugsniveau (Nulllage)
Auslenkung (x − x0 ) substituieren Nach der Entwicklung Totale (mechanische) Energie
der Taylorreihe um einen Punkt x0 6= 0 bleiben Terme der
Form (x − x0 ) übrig. In diesem Fall kann man die Substitution
Etot = Ekin + Epot
u = (x − x0 ) vornehmen:
Verschiedene Tipps
mẍ = −D · (x − x0 )
Zu welcher Zeit stoppt die Masse?
Maximum und Minimum der kinetischen und potentiellen
Energie
u=(x−x0 )
Die Masse stoppt genau dann, wenn ẋ(t) = 0 =⇒ Löse Gleichung nach t auf.
1
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=⇒
mü = −D · u
=⇒ Harmonischer Oszillator
Ekin ist dort am kleinsten, wo Epot am grössten ist, und
umgekehrt.
Energieerhaltungssatz
In einem abgeschlossenen System ohne Energieaustausch mit der
Umgebung gilt zu jedem Zeiptunkt
Etot = const.
Bemerkung zu f Bei f handelt es sich nicht mehr um eine
normal laufende Welle.
η:
Dispersionsrelation = c · q
q:
Wellenzahl
c:
Geschwindigkeit der Welle, abhängig von Medium (Seite,
Luft etc.)
=⇒ Ekin(unten) = Epot(oben)
Frequenz
n:
Wellenlänge
Tipps zum Energieerhaltungssatz
Geschwindigkeit am Ort x = 0 berechnen Seien Epot , v0
und x0 gegeben. Die Geschwindigkeit ẋ am Punkt x = 0 lässt
sich berechnen durch
λ=
2π
q
λ:
Wellenlänge (Abstand zweier Wellentäler)
q:
Wellenzahl (Zahl der Wellentäler pro Längeneinheit)
Epot (x0 ) + Ekin (v0 ) = Ekin (ẋ)
Hierbei verwendet man die Tatsache, dass am Punkt x = 0 die
potentielle Energie 0 ist (Epot (x = 0) = 0).
Frequenz
Maximale Koordinate xmax berechnen Seien Epot , v0 und
x0 gegeben. Die maximale Koordinate xmax berechnet sich
durch
Epot (v0 ) + Ekin (x0 ) = Epot (xmax )
ν=
ν:
2π
T
F =G·
m1 · m2
r2
G: Gravitationskonstante = 6,673 · 10−11
m3
kg · s2
Potentielle Energie im Gravitationsfeld
m1 · m2
Epot = −G ·
r
c:
Geschwindigkeit der Welle
ν:
Frequenz
Wellen
λ:
Wellenlänge
3.2
Stehende Wellen
Eine stehende Welle entsteht aus der Überlagerung zweier
gegenläufig fortschreitender Wellen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude.
= 2A sin(qx) sin(ηt)
Harmonische Wellen
f (x, t) = A cos(qx + ηt)
2
Starrer Körper
4.1
Einheiten
~
L
kg · m2
s
Drehimpuls
p~
N·s
Impuls
ω
rad
s
Winkelgeschwindigkeit
Kreisbewegung
Bewegungsgleichung
mr̈ − mrϕ̇2
= Kraft in radialer Richtung (Zentripetalkraft)
2mṙϕ̇ + mrϕ̈
= Kraft in tangentialer Richtung
• Ist keine radiale oder tangentiale Beschleunig gegeben, so
wirkt auch keine radiale oder tangentiale Kraft
f (x, t) = A[cos(η − qx) − cos(ηt + qx)]
3.1
4
Beachte:
Gravitation
Gravitationskraft
3
c
n·c
=
λ
2·L
Quantenzahl (Anzahl Bäuche)
4.2
Frequenz
Hierbei verwendet man die Tatsache, dass die maximale Ko- T : Periode
ordinate an dem Punkt erreicht wird, an welchem die potentielle Energie maximal und die kinetische Energie daher 0 ist
Geschwindigkeit der Welle
(ẋmax = 0 =⇒ Ekin (ẋmax = 0) = 0)
c=ν·λ
2.3
νn =
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Zwingend zu erfüllende Randbedingung
f (x = 0, t) = 0 ∀t
• Ändert sich der Radius r ohne Angabe einer Kraft, so wirkt
nur die Zentrifugalkraft und die Bewegungsgleichung in radialer Richtung lautet: mr̈ − mrϕ̇2 = 0 ⇐⇒ mr̈ = mrϕ̇2
• Wirkt radial eine angegebene Kraft K, so lautet die Bewegungsgleichung in radialer Richtung: mr̈ − rϕ̇2 = K
• Die obigen beiden Aussagen sind auch gültig, wenn man
radial mit tangential und r̈ − rϕ̇2 mit m2ṙϕ̇ + rϕ̇ ersetzt
Beispiele für Kräfte in radialer Richtung
• Anziehungskraft der Erde (Masse m rotiert dabei um die
MErde · m
Erdkugel): Fr = −G
r2
• Federkraft: Fr = −k · (r − l) mit l = Länge während in radialer Richtung:
| {z }
Trägheitsmomente einiger homogener Körper
Auslenkung
1
q1 · q2 !
·
=0
4πε0
r2
mr̈ = mrω 2 +
Ruhelage
Körper


cos(ϕ)
ebr = 
 (Einheitsvektor in radialer Richtung)
sin(ϕ)


− sin(ϕ)
ebϕ = 
 (Einheitsvektor in tangentialer Richtung)
cos(ϕ)
Geschwindigkeit v bei konstantem Radius
m : Masse der rotierenden Ladung
Lorentz-Kraft (Kreisbewegung mit Ladungen und magnetischem Feld)
Achse ⊥ zu Stab
Quader (a, b, c)
Js
Achse k c
Zylinder (r, h)
Js
Js
Ist nebst der Kreisbewegung zweier Ladungen zusätzlich ein magnetisches Feld vorhanden, so wirkt die Lorentz-Kraft zusätzlich
zur Zentrifugalkraft und Coulomb-Kraft in radialer Richtung:
mr̈ = mrω 2 +
1
q1 · q2
!
~ =
+ q1 · ωr · |B|
0
·
2
4πε0
r
m : Masse der rotierenden Ladung
r = const. (ṙ = 0) =⇒ v = ϕ̇ · r
q1 : Rotierende Ladung
Zentripetalkraft (Radialkraft)
q2 : Ladung im Mittelpunkt
1
ml2
12
1
=
m(a2 + b2 )
12
1
= mr2
2
h2 r2
+
=m
4
12
2
2
= m∗r
5
2 2
≈ mr
3
Eigenschaften
Js ≈
Dünner Stab
Vollständige Gleichung
ẍ = ebr · (r̈ − rϕ̇2 ) + ebϕ · (2ṙϕ̇ + rϕ̈)
Trägheitsmoment
4.4
Vollkugel
Js
Hohlkugel
Js
Achse k h
Achse ⊥h
Wandstärke d r
Rotationsenergie
Die Rotationsenergie ist die kinetische Energie eines starren
Körpers:
1
Erot = Jω 2
2
J:
Trägheitsmoment
Auf Objekte in einem rotierenden Bezugssystem wirkt eine Zenω: Winkel-/Drehgeschwindigkeit
tripetalkraft, die senkrecht auf der Rotationsachse des Systems
Totale Energie in einer Kreisbahn
steht und nach innen zeigt. Durch diese Kraft wird eine Bewegung zur Kreisbewegung.
Für eine Kreisbahn ist die totale Energie minimal und ṙ = 0. In Absorbierte Energie
diesem Fall kann es in manchen Fällen von Interesse sein folgende
Erot = h · ν = ~ · ω
FZp = mr̈ = mrϕ̇2
Gleichung in Betracht zu ziehen:
v
h · ν: Absorbierte Energie
Falls r = const. ist, gilt ω = und a = r · ω 2 ; es folgt:
d
r
Etot = 0
dx
ω: Winkel-/Drehgeschwindigkeit
v2
FZp = m ·
h
r
~: Plank’sche Konstante, ~ =
= 1,054 · 10−34 J s
Kreisbewegung mit konstantem Radius
2π
Zentrifugalkraft
Bei einer Kreisbewegung mit konstantem Radius gilt stets
Die Zentrifugalkraft zeigt im Gegensatz zur Zentripetalkraft nach
aussen. Sie ist eine Trägheitskraft, d.h. die Kraft wirkt nur dann
auf einen Körper, falls man dessen Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem beobachtet.
Coulomb-Kraft (Kreisbewegung mit Ladungen)
Fzentrifugal = −Fzentripetal
4.3
J≈
i
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Drehimpuls
L = Jω = mr2 ω
ri2 ∆mi
Bei Kreisbewegungen mit Ladungen (z.B. Elektron rotiert um
Proton) wirkt die Coulombkraft zusätzlich zur Zentrifugalkraft ∆mi : Massenelement im Abstand ri von der Drehachse
3
4.5
meV, Js
Drehimpuls mit Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit
Trägheitsmoment
X
[Erot ]:
J:
Trägheitsmoment
ω:
Winkelgeschwindigkeit
Drehimpuls mit Ortsvektor und des Impuls
~ = ~r × p~ .
L
6.1
T
Allgemeine Gleichung des harmonischen Oszillators mit
Offset
Einheiten
s
Schwingungsdauer/-periode
ẍ(t) = −ω 2 · x(t) + c
~r:
p~ = m · ~v :
Ortsvektor
ν
Hz
Frequenz, Eigenfrequenz
Impuls
ω
rad
s
Kreisfrequenz, Eigenkreisfrequenz
6.2
Drehimpulserhaltung
Wichtige Verhältnisse bei den Grössen
Der Drehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt unverändert, egal welche Kräfte und Wechselwirkungen zwischen
den Bestandteilen des Systems wirken.
Beispiel: Pirouette im Eiskunstlauf Trägheitsmoment der
Arme bezüglich der Drehachse wird verringert wenn Arme eingefahren werden. Da der Gesamtdrehimpuls aber erhalten bleibt,
nimmt die Rotationsgeschwindigkeit zu.
ν=
ẍ(t) = ω 2 x(t)
r
kF
m
=⇒ x(t) = Aeωt + Be−ωt
ẋ(t) = ωAeωt − ωBe−ωt
Allgemeine Gleichung des harmonischen
6.4
Oszillators
ẍ(t) = −ω 2 x(t)
Beispiel: Drehimpuls wird nicht erhalten Ein horizontaler
Stab, auf welchem eine Perle gleitet rotiert um eine vertikele
Drehachse mit ω = ω0 = const. Die Perle wird losgelassen, der
Stab rotiere aber weiter mit ω0 . Der Drehimpuls bleibt in diesem
Fall nicht erhalten, da eine äussere Kraft (z.B. ein Motor) wirken
muss, damit der Stab weiter rotiert mit ω0 .
=⇒ x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt)
x(t) = Aeωt + Be−ωt
= C cos(ωt + δ)
ẋ(t) = −ω C sin(ωt + δ)
Wir wollen nun A, B, und ω aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Das geht wie folgt:
x(0) = Ae0 + Be0 = A + B = x0
Federn
U=
6
1
1
1
k1 x21 + k2 (x2 − x1 )2 + · · · + kn x2n
2
2
2
Harmonischer Oszillator
C:
ωt + δ:
δ:
ẋ(0) = ω · Ae0 − ω · Be0 = ω(A − B) = 0 ⇔ A = B
x0
=⇒ 2B = x0 ⇔ A = B =
2
Maximale Amplitude der Auslenkung x
Phasenwinkel bei
Lösung: x(t) =
Phasenkonstante bei t = 0
6.5
mẍ(t) = −kF · x(t)
k F
⇔ ẍ(t) = −
· x(t)
m
= −ω 2 · x(t)
Allgemeine
Lösung
der
Bewegungsgleichung
näherungsweise für kleine Auslenkungen
ω:
4
Wichtige Tricks
Für x 1 darf man die Abschätzung sin(x) ≈ x verwenden.
Beispiel Es gilt z λ:
z
A
· sin( )
λ
λ
A
zλ
· z = Harmonischer Oszillator
=⇒ z̈ = 2
λ ·m
mz̈ = −
Federkonstante
r
Kreisfrequenz =
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kF
m
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x0 ωt x0 −ωt
e + e
2
2
Bemerkung zu C und δ Die Amplitude C und die Phasenkonstante δ lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen.
Abschätzung des Sinus
Verwende die Abschätzungen sin(ϕ) ≈ ϕ und cos(ϕ) ≈ 1:
kF :
Gleichungen anhand von Anfangsbedingungen lösen
Zur Zeit t = 0 sei x = x0 , also x(0) = x0 . Weiter sei bewege
sich die Masse mit v = 0, also ẋ(0) = 0
Folgende Lösung einer Bewegungsgleichung sei gegeben:
ẍ(t) = −ω 2 C cos(ωt + δ)
5
c
ω2
Allgemeine Gleichung einer weiteren harmonischen Bewegung
1
T
2π
=
ω = 2πν =
T
6.3
=⇒ x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) +
mlϕ̈ = −mg sin(ϕ) − cos(ϕ)kl sin(ϕ)
⇐⇒ mlϕ̈ = −mgϕ − lkϕ
Substitution
7
TODO
7.1
Frage nach Rückkehrzeit eines Elementes zum Anfangspunkt
Φel
Q
Ist gefragt, zu welcher Zeit ein Punkt zum Anfangspunkt
zurückkehrt in Zusammenhang mit einem harmonischen Oszillator, dann lautet die Antwort immer T (Schwingungsperiode).
C
ρ
6.6
Energie des harmonischen Oszillators
Potentielle Energie der harmonischen Schwingung
1
kF x2
2
1
= kF C 2 cos2 (ωt + δ)
2
Epot =
σ
λ
%el
κ
Maximale potentielle Energie Die potentielle Energie ist
dann am grössten, wenn die Auslenkung maximal ist, also x =
xmax . Auch gilt, dass die kinetische Energie bei xmax 0 ist, weil
die kinetische Energie dort am kleinsten ist, wo die potentielle
Energie am grössten ist.
Ekin
Elektrischer Fluss
C
Ladung
Richtung elektrischer Feldlinien
Elektrische Feldlinien gehen immer von ⊕ nach . Dies ist auch
die Richtung, in welcher die elektrische Kraft Fel zeigt.
Kapazität
Technische Stromrichtung
Volumenladungsdichte
Positive Ladungen bewegen sich in gleicher Richtung wie der
Strom.
Flächenladungsdichte
Das Aufheben elektrischer Felder
Linienladungsdichte
Energiedichte des elektrischen Feldes
Wirken zwei elektrische Felder, welche durch zwei +q Ladungen
erzeugt werden in einem Punkt r gleich stark aber entgegengesetzt, so heben sie sich auf.
Dielektrizitätskonstane
Coulomb-Kraft
Ladungen)
F1,2
r:
1
= mvx2
2
1
= kF C 2 sin2 (ωt + δ)
2
N · m2
C
C
=F
V
A·s
m3
A·s
m2
A·s
m
J
m3
F
A·s
=
m
V·m
r=
ε0 :
7.3
(Kraft
zwischen
~
E:
Elektrische Felder berechnen
zwei Coulomb’sche Gesetz
~ r) =
E(~
1 q1 · q2
=
4πε0 r2
Abstand zwischen den Mittelpunkten von q1 und q2
r~1 − r~2 Elektrische Kraft (Kraft auf eine Ladung im
elektrischen Feld)
Elektrische Feldstärke
1
4πε0
dq
= ρ d3 x
(Volumen)
= σ d2 x
(Fläche)
= λ dx
(Linie)
Richtung der elektrischen Kraft
5
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Die elektrische Kraft zeigt in die gleiche Richtung wie die Feldlinien des wirkenden elektrischen Feldes.
dq
|~r − ~rq |2
~r:
Ort, bei welchem die Einwirkung des elektrischen Felds
gemessen werden soll
~rq :
Ort der Punktladung q, welche elektrisches Feld erzeugt
V:
Geladener Körper (Linie, Fläche, Volumen)
dq:
Ladungselement
Mechanische Energie
Etot = Epot + Ekin
1
= kF C 2
2
Z
V
Elektrische Feldkonstante
~
FEl = q · |E|
vx : Geschwindigkeit des schwingenden Körpers
Eigenschaften des elektrischen Feldes
~ wird durch eine Ladung q erzeugt.
Das elektrische Feld E
Einheiten
7.5
7.2
Kinetische Energie der harmonischen Schwingung
7.4
Elektrostatik
ρ:
Volumenladungsdichte
σ:
Flächenladungsdichte
λ:
Linienladungsdichte
Elektrischer Fluss (Gauss’sches Gesetz für symmetrische
Ladungsverteilungen)
qinnen
=
Φel =
ε0
Z
7.6
Verschiedene Konfigurationen für elek- Hüllfläche Kugelförmige Fläche um den Kugelmittelpunkt mit
Radius r.
trische Felder
Punktladung
~ · dA
~
E
E=
A
qinnen
~ · |A|
~ · cos(ω)
= |E|
⇔
ε0
Hüllfläche
Q
1
· 2
4πε0 R
Homogen geladene Kugelschale
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale mit
Wandstärke d und Innenradius R lautet:
Konzentrische Kugel mit Radius R.
~
|E(r)|
=0
r<R:
Linienladung
~
|A|:
Hüllfläche, Gauss’sche Fläche
~
|E|:
Stärke des elektrischen Feldes
qinnen :
ω:
Ladung im Inneren der Hüllfläche
~ und NormalenWinkel zwischen elektrischem Feld E
~
vektor der Fläche |A|
2πREh =
λ:
λh
λ
1
⇐⇒ E =
·
ε0
2πε0 R
Linienladungsdichte =
Hüllfläche
Q
L
Elektrisches Feld einer Punktladung
~ r) =
E(~
~r:
~rq :
1
q
·
· (~r − ~rq )
4πε0 |~r − ~rq |3
Ort, bei welchem die Einwirkung des elektrischen Felds
gemessen werden soll
σ
2ε0
Flächenladungsdichte
R:
Innenradius
d:
Wandstärke
r:
Radius der Hüllfläche
7.7
Homogen geladene Kugel
r≥R:
Kugelförmige Fläche um den Kugelmittelpunkt mit
Elektrische Felder in Kondensatoren
Plattenkondensator
~
|E(r)|
=
Elektrisches Feld einer Ladungsverteilung
~r:
~r1 , ..., ~rn :
6
Volumenladungsdichte der Kugelschale
Hüllfläche Quader mit der Höhe 2 · H, welcher von der geladenen Ebene halbiert wird. Dabei durchstossen die Feldlinien nur Hüllfläche
die beiden Deckel des Quaders. Die Feldlinien schliessen mit den Radius r.
Flächennormalen der Randflächen einen rechten Winkel ein; daher tragen die Randflächen nichts zum Fluss bei (cos(π/2) = 0).
n
~r − r~i
1 X
qi
4πε0 i=1 |~r − r~i |3
Ort, bei welchem die Einwirkung des elektrischen
Felds gemessen werden soll
Ort der Punktladungen q1 , ..., qn , welche das elektrische Feld erzeugen
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%((R + d)3 − R)
3ε0 r2
%:
Ort der Punktladung q, welche elektrisches Feld erzeugt
~ r) =
E(~
% R3 r− 2
3ε0
r
Kreiszylinder der Länge a.
E=
σ:
~
|E(r)|
=
r >R+d:
Flächenladung
Beschreibung Der durch die Oberfläche A eines Volumens V
hindurchtretende Fluss Φel ist gleich der gesamten in V enthaltenen Ladung q. Der elektrische Fluss nennt man auch die Zahl
der Feldlinien, die die Fläche A senkrecht durchstossen.
~
|E(r)|
=
R≤r ≤R+d:
r≤R:
%R3
Q
=
3ε0 r2
4πε0 r2
~
|E(r)|
=
%r
Qr
=
3ε0
4πε0 R3
%:
Volumenladungsdichte der Kugel
R:
Radius der geladenen Kugel
r:
Radius der Hüllfläche
E=
Q
ε0 εr A
Zylinderkondensator
E(r) =
Q
2πrlε0 εr
Kugelkondensator und Kugel
E(r) =
Q
4πr2 ε0 εr
7.8
Potentielle Energie im elektrischen Feld
Epot
q1 , q2 :
7.9
1 q1 · q2
=
4πε0 r
dl:
Länge der betrachteten Linie
ri :
Innerer Radius
Längenelement, das mit Qdl = λ · dl geladen ist
ra :
Äusserer Radius
Ladungen
7.10
Kapazität
Ladungsdichte
C=
ϑ=
ϑ:
l:
Q
V
Plausibilitätsprüfung Versichere, dass das Ergebnis ausser von
der Dielektrizitätskonstante nur von geometrischen Merkmalen
wie etwa Längen und Flächen abhängt.
Q
U
7.11
Q:
Ladung
U:
Spannung, Potentialdifferenz
Ladungsdichte
Q:
Gesamtladung
V:
n-dimensionale Volumen des geladenen Körpers
Kondensatoren
Elektrische Energie des geladenen Kondensators
Ep =
Kapazität eines Plattenkondensators
C = ε0 εr
Volumenladungsdichte
dQ
%=
dV Z
⇒ Q = % dV
A:
d:
A
d
Flächeninhalt der Platte
√
Plattenabstand; d A
Q:
Gesamtladung
U:
Spannung, Potentialdifferenz
C:
Kapazität des Kondensators
7.12
Energiedichte des elektrischen Feldes
Kapazität einer frei stehenden Kugel
V:
Volumen des betrachteten Körpers
%el =
C = 4πεr
dV:
Kapazität eines Zylinderkondensators
σ=
σ dA
Grösse der betrachteten Fläche
Flächenelement, das mit QdA = σ · dA geladen ist
Linienladungsdichte
ri :
Innerer Radius
ra :
Äusserer Radius
dQ
dl Z
⇒ Q = λ dl
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Gesamtenergie
Z
W =
7.14
ε0 E 2
dV (Volumenintegral)
2
Potentialdifferenz (Spannung)
Z
B
∆Φ = uAB = ΦA − ΦB =
A
ε0 :
el. Feldkonstante
εr :
rel. Permittivität
l:
λ=
7
7.13
2πε0 εr l
C=
ln( rrai )
dQ
dA Z
⇒Q=
dA:
W
1 C · U2
ε0 E 2
1
= ·
=
= DE
V
2 A·d
2
2
Volumenelement, das mit QdV = σ · dV geladen ist
Flächenladungsdichte
A:
CU 2
Q2
QU
=
=
2
2
2C
Länge des Zylinders; l ra
Kapazität eines Kugelkondensators
1
1 −1
−
C = 4πε0 εr ·
ri
ra
ΦA :
Elektrisches Potential im Punkt A
7.15
Dielektrizitätskonstante κ
κ = 1 + ρ0 · α
α=
q2
ε0 · m · ω02
~ · d~sAB
E
8
Stromdichte und elektrische Leitfähigkeit
Magnetostatik
8.1
Einheiten
Stromstärke, Ladungsfluss
R
V
A
Widerstand
σ:
Elektrische Leitfähigkeit
Ohm’sches Gesetz
V
Spannung
~
B
T
Magnetische Flussdichte, Magnetfeld
U:
J~
A
m2
Siemens
m
Stromdichte
R:
Widerstand
I:
Stromstärke
Strom (Stromstärke, Ladungsfluss)
I = const. =
Q
t
magnetisches Feld
S:
Geschlossene Kurve um magnetisches Feld
I:
Der innerhalb von S fliessende Strom
Spannung
µ0 :
8.3
Gleichstrom
~
B:
U =R·I
U
Q:
magnetische Feldkonstante
Gültigkeit des Ampèr’schen Gesetz In folgenden Fällen darf
das Ampèr’sche Gesetz nicht angewendet werden:
Magnetisches Feld
Ein Strom I, der durch einen geradlinigen Leiter fließt, erzeugt
ein Magnetfeld B, dessen Feldlinien kreisförmig um den Leiter
herum verlaufen.
- Zeitlich veränderliche elektrische Felder sind involviert
- Anordnung ist nicht symmetrisch genug
8.4
Magnetische Kraft
Richtung
Ladung
Konvention auf Aufgabenblatt
~
F~magn = q · ~v × B
Stromdichte
Allgemein
J~ = nq~v = ρel~v
n:
Anzahl Ladungsträger pro Einheitsvolumen
q:
Ladung des einzelnen Ladungsträgers
v:
Mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger
ρel :
:
Magnetfeld zeigt von Blatt weg zu mir
⊗:
Magnetfeld zeigt weg von mir in Blatt hinein
F~magn :
Rechte-Faust-Regel
Kraft, welche auf Teilchen mit Ladung q ausgeübt
wird
I, technische Stromrichtung
~v :
Geschwindigkeit des Teilchens
Rest der Hand:
~
Richtung des Magnetfelds B
~
B:
Magnetfeld
Ladungsdichte
~ r) = µ0
B(~
4π
Konstante Stromdichte
~
I = J~ · A
Normalenvektor der durchflossene Fläche
Wird die Fläche A senkrecht durchflossen, so gilt:
I =J ·A
8
   
vx  ẋ
   
   
mit ~v = vy  = ẏ 
   
   
ż
vz
Daumen:
Bio-Savart’sche Gesetz
~
A:
~ · d~s = µ0 I
B
S
A
8.2
I
~
J~ = σ · E
I
σ
Ampèr’sche Gesetz
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Z
~γ˙ (t) × (~r − ~γ (t))
I·
|~r − ~γ (t)|3
V
~r:
Ort, bei welchem die Einwirkung des Magnetfeldes
gemessen werden soll
~γ (t):
Parametrisierung des Stromleiters, der von I durchflossen wird
Merke:
Im Magnetfeld wirkt F~magn als Zentripetalkraft.
Rechte-Hand-Regel
Daumen:
~v
Zeigfinger:
~
B
Mittelfinger:
F~magn
Zyklotronfrequenz
1
|q|B
ν=
=
T
2πm
ν:
Zyklotronfrequenz, Eigenfrequenz aufgrund Umlauffrequenz geladener Teilchen im homogenen Magnetfeld
q:
Ladung des Teilchens
B:
Magnetische Flussdichte
m:
Masse des Teilchens
A:
nicht-gekrümmte Fläche
~
A:
Normalenvektor der Fläche A
A:
∂A:
~
E
Betrachtete Fläche
Rand der betrachteten Fläche A
Elektrisches Feld, Vektorfeld der el. Feldstärke
Der Gauss’sche Satz und der magnetische Fluss
~
B:
Magnetfeld, magnetische Flussdichte
Da jedes Magnetfeld quellenfrei ist, sind die magnetischen
Flussdichtelinien immer in sich geschlossen und besitzen weder
Anfangs- noch Endpunkt. Daher ist der magnetische Fluss durch Induktionsspannung durch Bewegung
eine geschlossene Oberfläche immer Null:
Durch die Bewegung eines Leiters in einem Magnetfeld wird eine
I
Spannung induziert.
~ · dà = 0
B
O
9
Elektrostatik / Magnetostatik
9.1
Lorentz-Kraft
~ =q E
~ + ~v × B
~
F~ = F~el + Fmagn
11
Magnetischer Fluss bei homogenem Magnetfeld durch von
Spule umschlossene Fläche A
11.1
Kochrezepte
Dynamik
Aufstellen der Bewegungsgleichung
~ · |A|
~ · cos(θ)
Φmag = n · |B|
1. Falls ein Potential (potentielle Energie) U gegeben ist, gilt
F~ :
~
F~el = q · E:
~ = q · ~v × B:
~
Fmagn
10
10.1
Φmag
U
10.2
Gesamtkraft auf eine Ladung q
A:
Von Windung umschlossene Fläche (meistens Kreisfläche)
n:
Anzahl Windungen
Elektrische Kraft
2. Ansonsten finde resultierende Kraft (Summe der Kräfte)
auf jedem beteiligten Körper
Magnetische Kraft
Induktion
Magnetischer Fluss bei homogenem Magnetfeld durch
rotierende Fläche A
Einheiten
~ ·A
~ = |B|
~ · |A|
~ · cos(ω · t)
Φmag = B
T · m2
Magnetischer Fluss
ω:
V
Elektrische Spannung
Winkel θ zu einem Zeitpunkt t
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Elektromagnetische Felder berechnen
1. Definiere eine Gaussfläche (Hüllfläche) um gegebene Punktladung oder geladenen Körper zu umhüllen
10.3
Induzierte Spannung
2. Zeichne falls nötig die Flächennormalen der Hüllfläche ein
Uind = −∇Φmag
3. Zeichne die Feldlinien des elektrischen Feldes ein
Faraday’sche Induktionsgesetz
~ ·A
~ = |B|
~ · |A|
~ · cos(θ)
Φmag = B
4. Löse Bewegungsgleichung mit bekannten Mitteln aus der
Analysis
Elektrisches Feld berechnen
θ = ω · t:
A
Magnetischer Fluss bei homogenem Magnetfeld durch eine
Fläche A
3. Für jeden Körper: mẍ = resultierende Kraft
11.2
Winkelgeschwindigkeit
Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluss Φmag durch A ist
Z
~ · dÃ
Φmag = B
9
F = −∇U
I
Uind =
∂A(t)
~ s = −∇Φmag = −
Ed~
Z
A(t)
~
∂B
~
dA
∂t
~ · |A|
~ · cos(ω), wobei |A|
~ die Oberfläche der
4. Berechne |E|
Gaussfläche ist.
Beachte:
Flächenabschnitte einer Hüllfläche, deren
Flächennormale senkrecht zu den Feldlinien stehen (ω =
π
π
) werden nicht dazugezählt, da cos(ω =
) =
2
2
0. Bei allen anderen stehen Feldlinien parallel zu den
Flächennormalen, also mit einem Winkel von 0, d.h.
cos(ω = 0) = 1.
5. Berechne qinnen . Beachte dabei, dass entweder eine
Ladungsdichte ϑ oder eine Punktladung q gegeben ist
(a) Ladungsdichte ϑ ist gegeben
=⇒ qinnen = ϑ·V , wobei V das Volumen des gerade
betrachteten Körpers ist (Aufgaben verlangen meistens ein gewisses Gebiet das von r abhängt zu betrachten)
• Federn ausbessern
• Rezept für Lösen von inh DGLs aufschreiben
Zylinder
• Zyklotronfrequenz
Volumen
V =G·h
• E-Feld = E · er (radial) und B-Feld = B · eϕ (tangential)
14
Masseinheiten
G:
Grundfläche; ist meistens Kreis: G = πr2
h:
Höhe
Einheitenvorsätze
pico
10−12
nano
10−9
kilo
103
mega
106
~ auf
6. Löse nach |E|
11.3
O = 4πr2
• Klausur 2, A3: Gaussglocke
14.1
(b) Punktladung q ist gegeben
=⇒ qinnen = q
Oberfläche
micro
10−6
giga
1012
mili
10−3
Oberfläche
O =U ·h+2·G
Elektrostatik
15
Berechnung der Kapazität
Nützliches
~ (siehe oberes Kochrezept) 15.1 Taylorentwicklung
1. Bestimme das elektrische Feld E
I
Definition des n-ten Taylorpolynoms:
~ den Be2. Ermittle durch Integration über ∇Φ = − Eds̃
f (n) (a)
f 0 (a)
trag der Spannung U zwischen den Leitern
(x − a) + · · · +
(x − a)n
Tn (x) := f (a) +
1!
n!
q
3. Die Kapazität ergibt sich nun aus C =
a: Entwicklungspunkt
U
G:
Grundfläche; Kreisfläche: G = πr2
h:
Höhe
U:
Umfang der Grundfläche; Kreisumfang: U = 2πr
15.3
Parametrisierungen
Polarkoordinaten
x = r cos ϕ
12
Konstanten
Magnetische Feldkonstante
Beispiel Entwickle sin(x + a0 ) um den Punkt a0 :
µ0 =
1
ε 0 c2
Tn (x) := sin(a0 ) + cos(a0 ) · (x + a0 − a0 ) + O(x )
15.2
13
TODO
Körper: Volumen und Oberflächen
• Atwoodsche Fallmaschine, Kraft nach Beschleunigung
Umfang
richten, als z.B. zeigt Beschleunigung a nach unten, also a, dann zählt man FG positiv zu resultierende, da in gleiche
Richtung wie Beschleunigung zeigt
Kugel
• Ladungsverteilungen auf den Innen- und Aussenflächen
Volumen
beider Kugelschalen (+q im Inneren, -q innere Schale, +q
äussere Schale)
Giuseppe Accaputo
Flächenelement
dA = r dr dϕ
Kreis
• Geschwindigkeit (oder Beschleunigung) ist unabhängig von Fläche
Masse im Vakuum (siehe 1. oder 2. Vorlesung)
10 ·
y = r sin ϕ
p
r = x2 + y 2
2
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A = πr2
Zylinderkoordinaten
x = ρ cos ϕ
U = 2πr
y = ρ sin ϕ
z=h
V =
4πr3
3
Volumenelement
dV = ρ dρ dϕ dz
Kugelkoordinaten
x = r · sin θ · cos ϕ
y = r · sin θ · sin ϕ
z = r · cos θ
ϕ ∈ (−π, π)
Partielle Integration
Z
Z
Z
0
0
u · v = (u · v) − u · v 0
Z
=
u · v − u · v0
15.5
    

a1  b1  a2 b3 − a3 b2 
    

    

~a × ~b = a2  × b2  = a3 b1 − a1 b3 
    

    

a3
b3
a1 b2 − a2 b1
θ ∈ (0, π)
Volumenelement
dV = r2 sin θ dϕ dθ dr
15.4
Vektorprodukt
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
15.7
Normalenvektor einer Fläche
Ein Normalenvektor einer Fläche A im dreidimensionalen Raum
ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf
dieser Ebene steht.
15.8
Steigung einer Geraden
Sei eine Gerade zwischen zwei Punkten (x1 , y1 ) und (x2 , y2 )
gegeben. Die Steigung m der Gerade berechnet sich durch
Betrag des Vektorprodukts
Zu Integralen
m=
|~a × ~b| = |~a| |~b| sin θ
Substitution
θ ∈ [0, π] =⇒ sin θ ≥ 0
1. Aufstellen der Substitutionsgleichung
u = g(x)
du
du
= g 0 (x) dx = 0
dx
g (x)
Wichtig: Der Term g 0 (x) muss sich nach der Substitution wegkürzen, da sich ansonsten von x und u abhängige
Terme im Integral befinden. Deshalb ist in vielen Fällen
folgendes empfehlenswerter:
x = h(u)
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dx
= h0 (u) dx = h0 (u)du
du
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15.9
Daumen:
~a
Zeigfinger:
~b
Mittelfinger:
x1,2 =
15.10
~a × b
Skalarprodukt
~a · ~b = |~a| |~b| cos ^(~a, ~b)
y2 − y1
x2 − x1
Mitternachtsformel
Rechte-Hand-Regel für das Vektorprodukt
15.6
11
Skalarprodukt im kartesischen Koordinatensystem
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Sinus und Kosinus
Gegenkathete des Winkels
Hypotenuse
Ankathete des Winkels
Kosinus eines Winkels =
Hypotenuse
Sinus eines Winkels =