EP4 - Ruhr-Universität Bochum

Festkörperphysik 2
Prof. Dr. Beatriz Roldán Cuenya
Ruhr-Universität Bochum, Fakultät für Physik und Astronomie
Büro: NB 4/125
Fon: (0234) 32 23649
E-mail: [email protected]
Festkörperphysik 2
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slide 1
Themen der Vorlesung - Inhalt
• Magnetismus
• Dielektrische Eigenschaften
• Supraleitung
• Oberflächenphysik
• Nanophysik
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Literatur - Empfehlungen
• Rudolph Gross & Achim Marx, Festkörperphysik, de Gruyter
• Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley
• Philip Hofmann, Einführung in die Festkörperphysik, Wiley-VCH
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Magnetismus
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Motivation
Magnetismus bestimmt unseren Alltag:
Computer und Elektronik:
• Datensicherung auf Festplatten
• Darstellung auf Computerbildschirmen
• Lautsprecher
Industrie
• Generatoren konvertieren mechanische in
elektrische Energie
• Sortierung von Abfallstoffen
• Magnetschwebebahn
Gesundheit und Medizin
• Einsatz in MRT und Röntgengeräten
Zuhause
• Kühlschränke, Türklingeln, Kreditkarten, Spielzeug,
Kompasse, Magnetwände ….
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Motivation
Magnetismus kann Objekte schweben lassen!
B=10T
Wieso?
Am Ende der Vorlesung werden Sie es verstehen.
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Motivation
• Magnetismus ist ein Quantenphänomen:
Ein streng klassisches System kann im thermischen
Gleichgewicht, selbst wenn man ein Magnetfeld anlegt,
kein magnetisches Moment zeigen.
• Ursache:
1. Spin der Elektronen
2. Bahndrehimpuls bezüglich ihrer Bewegung um den
Kern
3. Änderung des Bahndrehimpulses (induziert durch
äußeres Magnetfeld)
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Festkörpermagnetismus I: Grundlagen
Übersicht
1. Magnetische Momente
2.1 Atome im Magnetfeld
2.2 Langevin Diamagnetismus
2.3 Paramagnetische Momente freier Ionen
2.4 Paramagnetismus des freien
Elektronengases
2. Diskussion magnetischer Momente
Hz
Magnetismus ist ein Quantenphänomen
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Festkörpermagnetismus I: Grundlagen
Makroskopische Größen
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Magnetische Suszeptibilität
1. Magnetisierung ist die Summe
aller (Dipol-)momente pro Volumeneinheit:
 1

M   mi
V
2. Mittlere thermische oder
räumliche Magnetisierung:

N 
M 
m
V


M
M   mag H a ,  mag 
H a
3. Suszeptibilität:
4. Magnetische Induktion:







B   0 H a  M   0 H a (1   mag )   0  r H a
Ha = äußeres Magnetfeld
0 = Magnetische Feldkonstante = Permeabilität des Vakuums 0 = 4·10-7 Vs/Am
r = Relative magnetische Permeabilität r = (1+)
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Definitionen
Magnetisches Moment:
(eines Festkörpers)


m   i
i
 g B 
  L 
L


i = atomare Momente
B = Bohrsches Magneton
g = Lande'scher g-Faktor
Erinnerung: Drehimpuls -
  
Li  ri  pi
 


qi  ri  pi
gi B 
m   i  

Li
2m 

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Definitionen
Magnetisches Moment:


dm  I  d A
Klassisch:




m   I  dA  I  A  nˆ
Strom eines um Kern umlaufenden Elektrons:
e
e

I
T  2 r

v

 ev  eL


 2 r 2mA


T = Umlaufzeit
(Hängt vom Drehimpuls ab)
Bahndrehimpuls: L  rp  mrv  
A = umschlossene Fläche
 e
2  e

 B
Magnetisches Moment: m  AI  r
2
2r m 2m
Quantenmechanisch:
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
e 
B 
ML  gL
L  g L
L
2m

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n̂
= senkrechter
Einheitsvektor
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slide 12
Maßsysteme
B: Magnetische Flussdichte (magn. Induktion) ist über die Lorentzkraft an
das MKS – System angekoppelt:

F L  qE  q v  B

• SI-Einheit der mag. Flussdichte B:
(Tesla)
(cgs: 1
10
²
²
²
²
²
Gauß)
• SI-Einheit des äußeren Magnetfeldes Ha und der Magnetisierung M:
(cgs:
4π10 Oersted (Oe))
• SI-Einheit der magnetischen Feldkonstante:
4 ∙ 10
4 ∙ 10
²
• Einheit der relativen magnetischen Permeabilität:
1
! eine reine Zahl !
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Potentielle Energie und Ableitungen
Potentielle Energie (Zeeman – Term):
Vmag
 
 
  0m  Ha  m  B
1. Ableitung:
m 
2. Ableitung:
 mag
 mag
Vmag
B
1 Vmag
M 
V B
 2Vmag
1
  0
V
B 2
2
2


V
M M B
1
1 Vmag
mag B




 0 (1   mag )
2
2
H a
B H a
V B H a
V B
2
1  Vmag
M

2

B
V
B

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B

 0 (1   mag )
B  0 H a (1   mag ) 
H a
klein
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Lokales magnetisches Feld







 
H lok  H a  H N  H L  H mak  H L  H a  NM  H L





Makroskopisches Feld: H mak  H a  H N  H a  NM
Hlok = lokales magnetisches Feld
Ha = externes (äußeres) Magnetfeld
HN = Entmagnetisierungsfeld, HN = -N M
N
= Entmagnetisierungsfaktor (geometrieabhängig)
HL = inneres Feld (analog zum elektrischen Lorentzfeld EL in
Dielektrika) HL= M/3
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Entmagnetisierungs- und Streufelder
Zusammenhang von B,H und M:
Beispiel: Dünne Scheibe eines ferromagnetischen Materials
Magnetisierung (M) || Scheibennormale (N ≈ 1),
Mit




B  0 H a  M
Innenraum – Entmagnetisierungsfeld:

Ha = 0
folgt



B
HN 
M
0


B
Hs 
Außenraum - Streufeld:
0
Betrachte: geschlossenen Pfad entlang der Feldlinien.
 
Es gilt: Kein Stromfluss   H ds  0
Ampèreschen Durchflutungsgesetz (I = 0)
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Entmagnetisierungs- und Streufelder
M
HN
Nur möglich wenn:
HN antiparallel zu Hs
B
HN antiparallel zu M
Fall 2: Dünner Stab
• Streufeld wird sehr klein (wenige magn. Oberflächenladungen)
• Entmagnetisierungsfeld verschwinden klein
Allgemein:
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

H N   NM
mit N: geometrieabh. Entmagnetisierungsfakor
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Festkörpermagnetismus: Grundlagen
Mikroskopische Theorie
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Klassifikation: Mikroskopische Ursachen magnetischer Phänomene
Wechselwirkung eines Festkörpers mit externen Magnetfeld
Zusammenhang mit induzierten oder permanenten magnetischen Momenten quasigebundener Elektronen in Isolatoren oder quasi-freier Elektronen in Metallen.
(Kernmomente nicht berücksichtigt).
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Klassifikation: Diamagnetismus
a. Diamagnetismus: und r 
- Keine magnetischen Momente ohne äußeres Magnetfeld. Typisch für
Atome mit komplett gefüllten Schalen (z.B. Edelgase).
- Durch Anlegen eines äußeren Feldes werden magnetische Momente
induziert  Magnetisierung entsteht.
- Die induzierten magnetischen Momente sind dem induzierenden
Magnetfeld entgegengesetzt (Lenzsche Regel), .
- Spinmoment wird durch äußeres Feld geschwächt, denn gemäß der
Lenz‘schen Regel wird ein Gegenstrom induziert.
Feldliniendichte im diamagnetischen
Material ist geringer als im freien Raum
 Feldlinien werden verdrängt:
d.h. falls vollständige Verdrängung von Feldlinien idealer Diamagnet,
realisiert in Supraleitern, M und B sind antiparallel, für ist r=0.
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Klassifikation: Paramagnetismus
b. Paramagnetismus: und r 
- Es gibt magnetische Momente ohne äußeres Magnetfeld. Ursache: z.B.
Bahnbewegung oder Spin der Kristallelektronen.
- Durch Anlegen eines äußeren Feldes werden die magnetischen Momente
in Richtung des angelegten Feldes ausgerichtet, .
Für das Spinmoment ist es energetisch am günstigsten, wenn es sich
parallel zum Magnetfeld einstellt.
Feldlinien im Material dichter als im
Vakuum, Feldlinien werden in den
Magneten hineingezogen.
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Klassifikation
c. Ferro, Ferri-, Antiferro-magnetismus:
- Spontane Magnetisierung unterhalb einer materialspezifischen
Temperatur auch ohne äußeres Feld.
 Austauschwechselwirkung zwischen permanenten magnetischen
Momenten
 führt zu räumlicher Ordnung der Momente.
M
FM
Für T< TC: Ferromagnetismus
Für T> TC: Paramagnetismus
PM
T
 erreicht für Ferromagnete sehr hohe Werte
TC
- Antiferromagnete: Magnetisierung der beiden entgegengesetzt
ausgerichteten Untergitter gleich  Gesamt M = 0.
- Ferrimagnete: Untergittermagnetisierung unterschiedlich, M ≠ 0.
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Klassifikation: Ordnung permanter magnetischer Momente
Ferromagnetismus Antiferromagnetismus Ferrimagnetismus
Die Austauschwechselwirkung kann klassisch nicht verstanden werden.
 Es ist eine Folge des Pauli-Prinzips und der Coulomb-Wechselwirkung
der Elektronen.
(Austauschwechselwirkung typischerweise 10-100 meV
 klassische Dipolwechselwirkung zwischen permanenten magnetischen
Momenten 0.1 meV).
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slide 23
Superparamagnetismus
Sehr kleine Teilchen (Nanopartikel)
eines ferro- oder ferrimagnetischen
Materials behalten auch bei
Temperaturen unterhalb der CurieTemperatur keine bleibende
Magnetisierung, wenn ein zuvor
angelegtes Magnetfeld abgeschaltet
wird.
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slide 24
Superparamagnetism
•
Superparamagnetismus tritt unterhalb einer bestimmten Partikelgröße auf.
•
Voraussetzung: die Magnetisierungsrichtung der Partikel soll sich ohne großen Energieaufwand
drehen. Die Energiebarriere die überwinden werden muss wird durch die magnetische Anisotropie des
Materials und die Teilchengröße bestimmt.
•
Wenn diese Energiebarriere ausreichend niedrig ist, tritt Superparamagnetismus auf. Die
Partikelgröße, unter der sich die Teilchen nicht mehr FM sondern SP verhalten, wird als SP Limit
bezeichnet.
•
Superparamagnetismus tritt oberhalb einer bestimmten, vom Material und der Teilchengröße
abhängigen Temperatur auf, welche als blocking temperature (engl.) bezeichnet wird.
•
Superparamagnetische Teilchen sind so klein, dass sie lediglich eine magnetische Domäne ausbilden.
Ms = magnetische Sättigung, bei der selbst eine große Verstärkung von H
keine besondere Verstärkung von M mehr verursacht.
Es verbleibt keine Remanenz nach Abschalten des Magnetfeldes (Kurve
verläuft durch den Ursprung)
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slide 25
Allgemeines über Nanopartikel
• In FM Materialien tritt bei der Messung der Magnetisierung ein Hysterese-verhalten
unterhalb einer kritischen Temperatur (Tc) auf.
• FM Materialien bestehen aus Domänen, die dazu tendieren die Gesamtenergie des
Systems zu minimieren.
• Gesamtenergie wird bestimmt von:
1. Magnetokristalline Anisotropie:
~Volumen
2. Austauschwechselwirkung in Partikel: ~ Oberfläche
 kritische Partikelgröße, unter derer die Bildung von Domänenwänden energetisch
ungünstig wird und somit ausbleibt. Unterhalb dieser Grenze bilden sich einheitlich
magnetisierte Partikel, die sich wie ein kleiner Permanentmagnet verhalten.
Der kritische Radius rc ist:von verschiedenen,
A K
rc  9
 0 M S2
kritischer Radius typischerweise ~ 5 − 100 nm
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J
K1  10
• Anisotropiekonstante
ungeordnete Phase
teilweise
materialspezifischen
Größen
ab:m³
3
• Anisotropiekonstante geordnete Phase K 2  6 10
6
J
m³
10
11 J

10

10
A
• Wechselwirkungskonstante
m
J
7
• Magnetische Feldkonstante 0  4 10 Am²
• Sättigungsmagnetisierung: M S  1.4
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T

0
slide 26
Allgemeines über Nanopartikel
• Bei NP mit einem Radius der kleiner als dieser kritische Radius ist (r < rc) kann eine
homogene Magnetisierung vorliegen.
• Die Magnetisierung kann in manchen Fällen kohärent rotieren, da keine Domänenwände zu
berücksichtigen sind.
• Stoner-Wohlfahrt-Modell: magnetische, nicht wechselwirkende single-domain Nanopartikel.
• An diese Partikel wirkt ein magnetisches Feld H in einem Winkel θ zur leichten Achse
φ, Winkel zwischen Magnetisierung und dem Feld.
Die gestrichelte Linie ist die leichte Achse
des Partikels.
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•
Magnetisierung ändert sich innerhalb des FM nicht.
•
Der M Vektor rotiert, wenn das magnetische Feld H sich
ändert.
•
Der FM besitzt eine unaxiale magnetische Anisotropie
mit einer Anisotropie Parameter K.
•
H wird variert, Magnetisierung beschränkt auf die Ebene,
die die magnetische Feldrichtung und die leichte Achse
beinhaltet.
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slide 27
Superparamagnetismus
• Magnetischen Momente vorzugsweise parallel oder antiparallel zur leichten Achse.
• Anisotropieenergie: Energie um die Magnetisierung zwischen diesen favorisierten
Richtungen im Nullfeld umzukehren. Energie des Systems für
rotationssymmetrische Partikel
E  KV sin ²    0 HM SV cos   
•
•
•
•
K: Effektive unaxiale Anisotropiekonstante
V: Volumen der NP
 Winkel zwischen mag. Moment und Anisotropieachse
Winkel zwischen angelegten Feld und Anisotropieachse
• In jedem Teilchen trennt für H = 0 die Energiebarriere E = KV die beiden Minima bei
θ = 0 und θ = π für parallele bzw. antiparallele Ausrichtung der Magnetisierung
• Wenn die Partikel hinreichend klein und die Temperatur hinreichend groß ist, wird
die Energiebarriere der Anisotropieenergie kleiner oder vergleichbar mit der
thermischen Energie.
• Wenn dies der Fall ist, können die magnetischen Momente zwischen ihren beiden
energetisch günstigen Positionen fluktuieren. Dieses Verhalten wird als
superparamagnetisch bezeichnet.
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slide 28
Superparamagnetimus
• Die typische Zeitskala für diese Fluktuationen wird als Neel-Brown-Relaxationszeit
bezeichnet:
 NB
 KV 

  0 exp
 k BT 
•
•
•
•
•
τ0 eine materialspezifische Zeit im Bereich von 1ns,
K die Anisotropiekonstante des Materials,
V das Volumen der Nanopartikel,
kB die Bolzmannkonstante
T die Temperatur.
• Relaxationszeit hängt exponentiell von der Partikelgröße ab,
 für große Partikel (>100nm): geringe Wahrscheinlichkeit einer Rotation
 nur sehr kleiner Partikel besitzen superparamagnetische Eigenschaften
• Messzeit spielt eine Rolle: Ein Material erscheint superparamagnetisch (“entblockt”)
wenn
• Die magnetischen Momente ändern ihre Ausrichtung mehrfach während der
Messung
  
M
NB
• magnetischen Momente könne während der Messung nicht rotieren 
Nettomagnetisierung messbar
 M   NB
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slide 29
Superparamagnetism
• Nanopartikel in ihrem Anfangszustand “geblockt”.
• Die Beobachtung des Zustands der Nanopartikel hängt also von der Messzeit ab.
Diese ist sehr schwer zu variieren (Vorgabe Messgerät)
 Relaxationszeit verändern  Verhältnis der Zeiten beeinfußen
 Durch Temperatur regelbar
• Zustand:
 M   NB
KV
TB 
 

k B ln m 
 0 
• T<TB: : System im geblockten Zustand.
• Äußere Magnetfelder: mag. Momente richten sich entsprechend der Feldrichtung
aus
• superparamagnetischen Materialien:
• innerhalb der Messzeit  Erscheinen wie ein Paramagnet.
• Im geblockten Zustand  Hysterese-Verhalten
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slide 30
Anwendungen von Superparamagnetische Nanopartikel
• Am Menschen kommen superparamagnetische
Eisenoxid-Nanopartikel als Kontrastmittel für die
Magnet-Resonanz-Tomographie zum Einsatz.
• FePt NPs existieren in eine fcc Phase mit einem
Durchmesser von 3-10 nm. Werden diese geheizt
verändert sich die Struktur zu face centered
tetragonal und besitzt superparamagnetische
Eigenschaften.
• Die Wärmezufuhr bewirkt eine Verkleinerung der
Partikel und Erhöhung der Eisenkonzentration, da
sämtliche Verunreinigungen entfernt werden.
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slide 31
Anwendungen von Superparamagnetische Nanopartikel
• Bei der magnetischen Datenaufzeichnung stellt der
Superparamagnetismus eine physikalische obere
Grenze der möglichen Aufzeichnungsdichte dar.
• Die höherer Empfindlichkeit gegenüber thermischer
Anregung kann zu spontanem Verlust der
Magnetisierung und damit der gespeicherten
Informationen führen.
• FePt NPs sind vielversprechende Kandidaten für
Speichermedien aufgrund deren hohen Koerzivität.
• Eine hohe Koerzivität bewirkt, dass das Material
schwere entmagnitisiert werden kann.
• Heizzyklen bis zu 700° bewirken eine Koerzivität
von 14KOe im Vergleich zu typischerweise 5KOe.
IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS, VOL. 47, NO. 10
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Weitere Anwendung - Magnetoelectric Control of Superparamagnetism
Schalten von einem System von NP:
• Superparamagnetischen Zustand in
einen ferromagnetischen
Einzeldomänenzustand bei
Raumtempertur
• Elektrisches Feld induziert:
magnetische Anisotropie in einem
Multiferroischen Verbund von
Nickel Nanokristallen, die an ein
piezoelektrisches Substrat
gekoppelt sind.
Nano Lett., 2013, 13 (3), pp 884–888
• Elektrisches Feld als “an” bzw.
“aus” Schalter eines permanenten
magnetischen Moments.
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Festkörpermagnetismus : Grundlagen
Atomarer Dia- und
Paramagnetismus
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slide 34
Atome (Ionen) im äußeren homogenen Magnetfeld (Ha)
Fall: nicht wechselwirkende Atome (Bspl. Isolatoren):
• Änderung der Elektronenenergie durch WW mit Feld
• Betrachte: Hamilton Operator für Elektronen ohne Spin in
einem Magnetfeld:
 2


1 

mit p  i
H
( p  eA)  V ( r )
2me
Potentielle
Energie
Kinetische
Energie
  
B    A, Ba   0 H a

( Ba || z )
Unter Verwendung der Coulomb-Eichung gilt:

1 
Damit folgt für das Vektorpotential: A   r  Ba
2
2





1
1
e


Kin. Energie der Elek.  
( p  eA) 2 
p

r

B
 i 2 i a 
2m i 
2me
 
Ba || zˆ
2 e
 
1
e 2 Bz2

p

2m
i
i
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
(r  p )

2m
i
i
i z
Bz 
8m
 (x
2
i
 yi2 )
i
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slide 35
Atome (Ionen) im äußeren homogenen Magnetfeld (Ha)
Unter Verwendung von:

 
Lz   ( ri  pi ) z
i



e
  B Lz
r

p

z  
(
)
 i iz

2m i
2
1
T0 
pi

2m i
Gilt für die kinetische Energie:
Lz
e 2 Bz2
  T0   B
Bz 

12m
2
2
(
x

y
 i i )  T0  H l
i
Berücksichtigung des Elektronenspins in einem äußeren Magnetfeld
liefert den Zeeman Term:

 


s
S
e
V   S     B  g s  B  i Ba  g s  B z BZ
B 

2m
i 


1 
Sz
2
H
(
p
e
A
)
g

0 H z



s B
Damit wird der Hamilton-Operator:

2me
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Atome (Ionen) im äußeren Magnetfeld (Ha)
Änderung der Energie
e 2 Bz2
   l   S 
durch angelegtes
8m
Magnetfeld
(x
2
i
i
y ) 
2
i
B 


( Lz  g s S z ) Bz
Störungstheorie 2. Ordnung liefert die Energieänderung eines Zustandes:
E

 B BZ

 B Bz2


n | LZ  g s S Z | n

Magnetische Momente von Atomen im Grundzustand
Langevin Paramagnetismus





n | LZ  g S S Z | n' ²
En  En '
²
n'
n 


Magnetische Momente von Atomen in angeregten
Zuständen
Van Vleck Paramagnetismus


e² Bz2

n |  xi2  yi2 | n
12m
i 
Larmor- Diamagnetismus
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slide 37
Quasi-gebundene Elektronen
- Larmor/Langevin Diamagnetismus
(Typisch für Isolatoren)
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slide 38
Langevin (oder Larmor) Diamagnetismus
• Tritt nur bei Isolatoren auf  Grundzustand vollst. gefüllte Elektronenschale:
  
LS J 0
• Lediglich 3. Term relevant
E
 B BZ





n | LZ  g S S Z | n' ²


e² Bz2
 B Bz2
2
2
n | LZ  g s S Z | n 

n
|
x

y


i
i |n
En  En '
12m
² nn'















i 
Langevin Paramagnetismus
Van Vleck Paramagnetismus


Larmor- Diamagnetismus
• Mittlere Querschnittsfläche eines Atoms mit isotroper Wellenfunktion, also
Kugelsymmetrie
1 2
2
2
x
 y

3
ri
• Der Beitrag der Elektronen in den äußeren Schalen dominiert:
 x
2
i

 yi2 ~ Z a ra2
i
• Mit

m

1 H
m 
, 
H z
 0 H z
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folgt:
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 dia
e²
Z a ra2
  0
6m
Z = Ordnungszahl
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slide 39
Eigenschaften des Langevin (oder Larmor) Diamagnetismus
Bei Z Elektronen pro Atom und einem effektiven Atomradius ist:
 Langevin
Ze 2 2
  0
a
6me
(Typisch für Isolatoren  Atome/Ionen im
Grundzustand mit vollkommen gefüllten
Elektronenschalen, L=S=J=0)
 Langevin
ist konstant, unabhängig von der Feldstärke,
 Langevin
ist induziert durch äußere Felder,
 Langevin
< 0, aus der Lenzschen Regel für Induktion von Strömen
 Langevin
ist immer vorhanden, meist von wesentlich größeren
paramagn. Anteilen überdeckt.
 Langevin
der einzige magnetische Beitrag für vollständig
abgeschlossene Elektronenschalen
 Langevin
liefert r und die Symmetrie der Elektronendichteverteilung.
 Langevin
ist proportional zur Fläche der Atome, wichtig für Chemie
 Langevin
ist temperaturunabhängig.
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slide 40
Beispiele für Langevin-/Larmor- Diamagnetismus

Material
molLangevin bei RT
He
-1.9  10-6cm3/mol
Xe
-43  10-6cm3/mol
Bi
-16  10-6cm3/g
Cu
-1.06  10-6cm3/g
Ag
-2.2  10-6cm3/g
Au
-1.8  10-6cm3/g
mol
 diam

M diam

N Ae 2
  0
Z a ra2
6me
NA = Avogadro Nummer
Za = Elektronenzahl in der äußeren
Schale (dominiert)
ra = Atom/Ion Radius
entspricht hier der Magnetisierung von 1 cm3 von 1 Mol Gas bei 1 Oe)
• Alle Edelmetalle und Edelgase sind diamagnetisch. Bei den Edelmetallen
Ag, Au, Cu liefern vor allem die d-Elektronen einen Beitrag zum
Diamagnetismus.
• Bei diesen Metallen ist der infolge der Leitungselektronen auftretende
Paramagnetismus durch den Diamagnetismus überkompensiert.
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Beispiele für Langevin-/Larmor- Diamagnetismus
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Einschub:
Magnetische Momente in Festkörpern
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Magnetische Momente in Festkörpern
Unterschiede zwischen: (1) Magnetischen Momenten von lokalisierten
Elektronen in teilweise gefüllten Schalen, (2) Magnetischen Momenten von
Leitungselektronen in Metallen.
(1) Atomare Momente gekoppelt mit Gesamtdrehimpuls der Elektronen eines
Atoms. Nur teilweise gefüllte Schalen zu berücksichtigen.
- Mögliche Zustände pro Schale: 2(2l+1), mit l = 0, 1, 2, ...Bahndrehimpuls
Quantenzahl
- Entartung aufgehoben durch WW der Elektronen untereinander + Spin-Bahn
Kopplung. Zustände werden gemäß Hund‘schen Regeln bevölkert.
- In viele Atomen, starke Kopplung zwischen den einzelnen li und si  zuerst
und
, und dann Russel-Saunders Kopplung:   
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J  LS
- R-S Kopplung beschreibt leichtere Elemente, 3d-Reihe (l=2) und
seltenen Erden 4f-Reihe (l=3).
- Für große Z Elemente, zuerst Kopplung von li und si zu ji, die dann erst
zu J koppeln (jj Kopplung).
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slide 44
Bestimmung von J
- Die g-Faktoren für Bahn (gL) und Spin (gs) sind unterschiedlich 
Russel-Saunders-Kopplung gJ.
Landéscher g-Faktor:
Gesamt Moment:
J ( J  1)  S ( S  1)  L( L  1)
gJ  1 
2 J ( J  1)

2

J
2
J   g J B
J  J ( J  1)

 J  g J B J ( J  1)  pB
 z   g J  B mJ
p = effektive Magnetonenzahl
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Bestimmung von J
• Wegen LS – Kopplung ist die Wechselwirkung proportional zu S  L
Ein Zustand mit L und S ist energetisch in Zustände mit verschiedenen
J aufgespalten.
2
2
2
• Gute Quantenzahlen sind S , L , J
• und es gilt:
2
2
2
2
2
1 2
J  L  S  2S  L bzw. S  L   J  L  S 

2
Man kann nur eine beliebige Komponente und den Betrag gleichzeitig
messen. Wählt man die z-Komponente gilt:
2
L  L(L  1);
2
S  S(S  1);
Lz mit mL  L,L  1,...,L
Sz mit mS  S,S  1,...,S
Bei Einschaltung der Spin-Bahn-Kopplung gilt zusätzlich:
2
J  J (J  1);
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J z mit mJ   L  S ,..., L  S
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slide 46
Madelung Gesetz (Aufbau Satz)
Orbitale mit niedrigeren n+l sind zuerst besetzt,
Unbesetze Schalen werden zuerst besetzt, und
die jenigen mit weniger Energie (n)
l = 0, 1, 2, 3, … sind s, p, d, f,….
Mögliche Zustände pro Schale 2(2l+1) 
s  2(0+1) = 2
p  2(2+1) = 6
d 2(4+1)=10
f  2(6+1)=14
(gültig für neutrale Atome im Grundzustand)
Beispiel: Schwefel (Z=16)
1s2 2s2 2p6 3s2 3p4
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Hund‘sche Regeln
Die Hund‘schen Regeln betreffen den Grundzustand. Die Regeln müssen
unter Beachtung des Pauli-Prinzips der Reihenfolge nach abgearbeitet
werden.
1. Erste Hund‘sche Regel
Elektronen in einer teilweise gefüllten Schale sind so angeordnet, dass
zunächst ein maximales S entsteht (solange es Pauli erlaubt ).
S   msi maximales S bei Halbfüllung.
i
Resultiert aus Pauli-Prinzip und der Coulomb WW  Minimierung
der Coulomb Abstoßung der Elektronen. Elektronen mit gleichem
Spin können sich nicht am gleichen Ort aufhalten.
2. Zweite Hund‘sche Regel
Danach werden die orbitalen Zustände so gewählt, dass auch
Bahndrehimpuls L maximal wird. Bei halber Füllung, L=0.
L  i mli
Resultiert in einer Reduktion der Coulomb Energie durch
gleichmäßige
Verteilung der Ladung.
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slide 48
Hund‘sche Regeln
3. Dritte Hund‘sche Regel
Wegen Spin-Bahn-Kopplung gilt für J:
J  LS
für weniger als halb gefüllte Schalen n ≤ (2l+1), λ>0
J  LS
für mehr als halb gefüllte Schalen
J =S,
genau halb voll, L =0
n > (2l+1), λ<0
(Russel-Saunders-Kopplungsschema)
(2L+1)(2S+1) Kombinationen

 

Spin-Bahn Kopplung:  L  S 
   0, L parallel zu S


  0, L antiparallel zu S
Optimiert die Spin-Bahn Wechselwirkungsenergie.
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Schreibweise
Wert der Drehimpulsquantenzahlen wird durch Buchstaben symbolisiert:
L =|Lz| = 0 1 2 3 4 5 6
X
=S P D F G H I
2S 1
XJ
Spin wird durch (2S+1) (Multiplizität) spezifiziert  vorderer Hochindex
Wert von J
 gewöhnlicher Index
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Beispiele
1.
Sc
2
1
: 3d
4s Elektronen werden
zuerst verloren
1


S

2

L2

J  L  S  3

2

 D3
2
2
d  Schale :
L  2  Lz  2
Sc, Z=21  1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d1  Sc2+, 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d1
2.
2
Ti : 3d
2
max
S 1


 L  2  1  3 max
J  L  S  2

 F2
3
S 1


3
3.
Ce 2 : 3f 2
L  3  2  5  H 4
J  L  S  4

S2


4.
3
10
5




Ho : 4f
L
3
2
1
6

I8

  LS  8
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Prof.Dr. J
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d  Schale :
L  2  Lz  2, 1
f  Schale :
L  3  Lz  3, 2
f  Schale :
L  3  Lz  3, 2,1
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slide 51
Quasi-gebundene Elektronen
- Langevin Paramagnetismus

J 0
E
 B BZ




 B Bz2
e² Bz2
2
2
n | LZ  g s S Z | n 

n
|
x

y


i
i |n
En  En '
12m
 ² n n'















i 
Langevin Paramagnetismus
Van Vleck Paramagnetismus
Festkörperphysik 2



n | LZ  g S S Z | n' ²
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

Larmor- Diamagnetismus
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slide 52
Langevin Paramagnetismus lokalisierter Momente freier Ionen
Klassische Betrachtung (gute Näherung für große Quantenzahlen J)
(frei = ohne Wechselwirkung)
Orientierung paramagnetischer Momente in einem äußeren Feld Hz in
Richtung der z-Achse (Berechnung analog zu der Orientierungspolarisation elektrischer Dipolmomente)
Hz
N
N
M 
m z  m cos(θ)
V
V
m H 
N

mz L z z 
V

 k BT 
m
N mz2 H z


V 3k BT
Hohe T
L(x) ≈ x/3
1
Lx   coth x  
x
Festkörperphysik 2
ist die Langevin Funktion
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(mz=μz)
Magnetische Moment)
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slide 53
Magnetisierung durch paramagnetische Momente im äußeren Feld
1
0.9
Magnetization
0.8
0.7
0.6
0.5
Hz
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
H/kBT
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slide 54
Paramagnetische Suszeptibilität
Curie-Suszeptibilität  in Hochtemperaturnäherung (HTN) mit der CurieKonstanten C:
2
2
N
m
z Hz
N
m
2
M 
z
M

N mz
C
C

Hohe T V 3k BT



Hz
V 3k B T
V 3k B
T
Und dem magnetischen Moment:
1

T
mz  B Lz  2Sz 
Gut erfüllt bei hohen
Temperaturen, Abweichung
bei tiefen Temperaturen
Jedoch: Magnetismus ist kein klassisches Problem,
Analogie mit elektrischem Dipol ist nur als Näherung gültig!
Für magnetische Moment erlaubt die Q.M. nicht alle beliebigen
Orientierungen im Feld.
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Quantenmechanische Betrachtung
NE
N
M 
  g j B m j
V B z
V
Das mittlere magnetische Moment folgt aus der Zustandssumme:
j
 m j exp m j 
mj 
m j  j
j
 exp m j 
m j  j
mit:

g jBB z
kBT
N
M (T , H z )  g j B jB j ( ~ )
V
Bj(α) ist die Brillouin Funktion. Sie ersetzt die Langevin Funktion für
den Fall von diskreten quantenmechanischen Systemen.
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Brillouin Funktion
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slide 57
Beispiele für Brillouin-Funktionen BJ:
J
J
J
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slide 58
Tieftemperaturnäherung
N
M (T , H z )  g j B jB j ( ~ )
V
Mit
g j BB z j
~

 1
kBT
geht
B( ~ )  1
Die thermisch gemittelte Magnetisierung wird dann:
N
M  g jB j  MS  MT  0 
V
Das ist die Sättigungsmagnetisierung. Diese kann nicht größer werden
als j hergibt!
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slide 59
Hochtemperaturnäherung
~  1 kann die Brillouinfunktion B ( ~ )
In HTN für 
j
coth( x ) 
durch
1 x

x 3
ersetzt werden. Dann folgt für die Magnetisierung
M (T , H z ) 
N
g j B jB j ( ~ )
V
2
B2 B z C
N p eff
M( T ) 
 Bz
V 3k B T
T
Mit dem effektiven magnetischen Moment
peff  g j
j( j  1 )
und der Curie – Konstanten:
2 2
p
N eff  B
C
V 3k B
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slide 60
Curie-Gesetz der magnetische Suszeptibilität (Paramagnetismus)

M

B z
C
T
Von C kann peff und j berechnet werden. Daraus kann die Valenz einer
chemischen Verbindung bestimmt werden.

 1
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
100
200
300
400
500
600
T
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0
0
100
200
300
400
500
600
T
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slide 61
Para- und
Diamagnetismus von
Metallen
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slide 62
Quasi-freie Elektronen
- Pauli Paramagnetismus
In Metallen tragen zur magnetischen Suszeptibilität neben den
durch Ionenrümpfe gebundenen Elektronen auch die
delokalisierten Leitungselektronen bei.
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slide 63
Pauli Paramagnetismus
 s   g s  B ms    B
Magnetisches SpinMoment des Elektrons:
Magnetisierung: M  ( n  n )  B
gs=2
(nur diese Werte möglich
ms=±1/2 in Feldrichtung)
n+ = Elektronendichte mit μs in Feldrichtung
n- = Elektronendichte mit μs in gegen Feldrichtung
Mit äußerem Magnetfeld  energetische Verschiebung der Elektronen
Zustände mit entgegengesetzter Richtung ihrer
Spins, bzw. ihrer magnetischen Momente.
Elektronen sind untereinander im
thermischen Gleichgewicht  das
chemische Potential verläuft
waagerecht  Im Magnetfeld gibt
es einen Űberschuss an Elektronen
mit magnetischen Momenten //
Feld.
(Verschiebung der Bänder 2μBBext sei sehr klein)
(Pfeile zeigen die Richtung der
magnetischen Momente der
Elektronen an. Diese ist antiparallel
zur Spin-Richtung).
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slide 64
Pauli Paramagnetismus
Ba = B0 = Bext
Zustandsdichte
(a) Zustandsdichte der freien Elektronen unterteilt: Zustandsdichte für Elektronen mit
magnetischem Moment parallel zum äußeren Feld (Ha=B0) + antiparallel zum B0.
(b) Feld erhöht auf B0 nimmt die Energie der Elektronen in Abhängigkeit von der
Orientierung ihrer magnetischen Momente um einen Betrag μ0B0 zu oder ab.
(c) Die Elektronen mit einem magnetischen Moment, das antiparallel zum Feld ist, können in
einen Zustand mit niedrigerer Energie wechseln, indem sie ihren Spin umklappen 
konstantes
Fermi Niveau
 mehr
Elektronen
mit magnetischem
Moment // Feld. slide 65
Festkörperphysik
2
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Roldán
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Pauli Paramagnetismus
1
n   f E DE   B B dE
2
1
1
  f E DE dE   B BDE F 
2
2
1
n   f E DE   B B dE
2
1
1
  f E DE dE   B BDEF 
2
2
D(E) = Zustandsdichte (= Gesamtzahl der
Zustände im Energieintervall E, E+dE) für
beide Spinrichtungen
f (E) = Fermi Verteilungsfunktion
3
2
V  2me  12
D E  

 E
2 ²   
1

e
E  EF
k BT
1

n   f E DE dE
0
Bei B  0 wird die Entartung der Elektronen mit entgegengesetztem Spin aufgehoben:
1. Energieabsenkung für Spin-up (parallel B-Feld)
2. Energieerhöhung für Spin-down (antiparallel B-Feld):
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slide 66
Pauli Paramagnetismus
M  ( n  n  )  B 
 B  dD
2

2V dE
B
Ba f ( E ) dE 
0
"gilt in erster Näherung (Taylorentwicklung)


 B2 Ba  dD
 dE f ( E )dE 
V
0
 B2 Ba 


df
dE  
 D( E ) f ( E )   D( E )
dE 
0

V
∞
0
 B2 Ba
V

df
0 D( E ) dE dE
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slide 67
Pauli Paramagnetismus
M 
 B2 Ba
V

df
0 D( E ) dE dE
Niedrige T  -df/dE ≈ (E-EF)  M 
 B2 Ba
V
D( EF )
V  2me 
Zustandsdichte freien Elektronengases: D ( E F ) 
2 
2 
2   
Pauli Magnetisierung:
3/ 2
E
1/ 2
F
3 nV

2 k BTF
3n B2 Ba
M
2k BTF
c
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slide 68
Pauli Spin Suszeptibilität des freien Elektronengases
 Pauli
 M
 
 H a
 M

   0 
 Ba

Fermi Temperatur:
 3N
1
2
2 D( EF )
 
0  B
 0  B
k BTF
V
 2V
(SI)
TF = EF/kB
• Abgeschlossene, d.h. voll besetzte Elektronenschalen haben keine
Zustandsdichte an der Fermikante (DF) und liefern deshalb keinen
Beitrag zur Pauli-Paramagnetismus Suszeptibilität.
• Genauso verhält es sich mit der paramagnetischen Suszeptibilität für
lokalisierte Spinsysteme, die Null sind, falls J = 0 gilt. In diesen Fällen
wird die paramagnetische Suszeptibilität von Termen höherer
Ordnung bestimmt (Van-Vleck‘scher Paramagnetismus und
Diamagnetismus).
• Der van-Vleck‘sche Paramagnetismus tritt auf, falls die
Elektronenschale ein Elektron weniger als halb gefüllt ist. In diesem
Fall ist J=0 und der diamagnetische Term zweiter Ordnung kommt
zum Tragen, der positiv ist im Vergleich zum Term 1. Ordnung.
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slide 69
Quasi-freie Elektronen
Landau Diamagnetismus
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slide 70
Landau-Diamagnetismus
• Kleiner diamagnetischer Beitrag der Leitungselektronen. Das
magnetische Feld induziert eine Bewegung der Elektronen.
• Ginzburg und Landau zeigten, dass die diamagnetische
Suszeptibilität der Leitungselektronen genau ein Drittel des
paramagnetischen Beitrages beträgt.
 Landau
1
  P
3
(nur Elektronen in der Nähe des FermiNiveaus reagieren auf ein Magnetfeld).
• Spezialfall: supraleitende Systeme
Induktion von Abschirmströmen beim Anlegen eines äußeren Feldes.
Diese schirmen wegen des verlustfreien Ladungstransports das
äußere Magnetfeld vollständig ab, daher ist im Innern B=0, die
Suszeptibilität nimmt betragsmäßig den größten Wert =-1 an.
Insgesamt Suszeptibilität der freien Elektronen:
 freie Elektronen   Pauli   Laudau
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N 0  B2

V k BTF
(SI)
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71
slide 71
Kooperativer Magnetismus
Bisher: magn. Momente von Festkörper beeinflussen sich gegenseitig nicht.
Ist dies jedoch der Fall, so resultiert daraus eine Spinordnung im Körper, die
sich ohne äußeres Magnetfeld einstellt.
Die drei wichtigsten Arten des kooperativen Magnetismus sind:
1. Ferromagnetismus
• magnetischen Momente sind parallel orientiert
2. Ferrimagnetismus
• magnetischen Momente antiparallel
• in einer Richtung stärker als in die andere schwache Ferromagneten
3. Antiferromagnetismus
• magnetischen Momente sind antiparallel zueinander orientiert und
gleichstark
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slide 72
Kooperativer Magnetismus
- Einige Substanzen zeigen ohne äußeres Magnetfeld unterhalb einer
materialspezifischen Temperatur eine Ordnung von Magnetischen Momenten.
- Eine endliche Wechselwirkung unter den atomaren magnetischen Momenten
führt zur einer Ausrichtung der Momente.
- Der Ordnung der magnetischen Momente mit ihrer endlichen Wechselwirking
wirkt die thermische Energie entgegen.
- Der Übergang von einem völlig ungeordneten zu einem Zustand mit endlicher
Ordnung erfolgt bei einer kristichen Temperatur: (1) Curie Temperatur (TC) für
ferromagnetische und ferrimagnetische Materialien und Neel Temperatur für
antiferromagnetische Materialien (TN).
- Hauptursache fur die WW magnetischer Momente: quantenmechanische
Austauschwechselwirkung (Heisenberg/Dirac). Die Dipolwechselwirkung spielt nur
eine untergeordnete Rolle.
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slide 73
Dipol-Dipol Wechselwirkung
 


1  2  3( 1  rˆ )( 2  rˆ )
E dd  0
r3
- Beispiel: μ1 ≈ μ2 ≈ μB , r ≈ 2 Å
Edd ≈ 0.1 meV < thermische Energie
kBT ≈ 25 meV
μ1
μ2
r̂
r̂
: Einheitsvektor in Richtung des
Verbindungsvecktor der beide
magnetischen Momente.
- Edd zu schwach um magnetische Kopplung zu erklären.
Festkörperphysik 2
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slide 74
Austauschwechselwirkung zwischen lokalisierten Elektronen
 * 
 


J A    ( r1 )B ( r2 )V ( r1 , r2 )B ( r1 ) A ( r2 )dV1dV2
*
A
JA = Austauschkonstante  bestimmt die parallele/antiparallele
Orientierung der Spins.
JA > 0  ferromagnetische Kopplung
JA < 0  antiferromagnetische Kopplung
 


 
V ( r1 , r2 )  Vi ( r1 )  Vi ( r2 )  Vee ( r1 , r2 )
WW Elektronen-Ionen
<0
 
Vee ( r1 , r2 ) 
e2
  0
4 0 r1  r2
Coulomb-WW
1 
i= alle Atome
H A    J 2 Si S j
j = alle Nachbarn

j i ,i  j
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slide 75
Heisenberg-Modell:
Festkörperphysik 2
WW Elektronen-Elektronen
>0
ij
A
Austauschwechselwirkungsarten
Direkte AW: direkte Überlappung der Wellenfunktionen der Gitteratome
mit magnetischen Momenten.
Superaustausch: die WW zwischen Gitteratomen mit magnetischen
Momenten erfolgt indirekt über die Orbitalen von dazwischen liegenden
diamagnetischen Atomen/Ionen.
Beispiel: MnO – Antiferromagnetische
Kopplung
Doppelaustausch: ähnlich zum Superaustausch, aber beide Mn-Ionen
besitzen jetzt unterschiedliche Valenzen, z.B. Mn3+ und Mn4+ in
La1-xSrxMnO
3.
Festkörperphysik
2
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slide 76
Austauschwechselwirkungsarten
RKKY-WW: (Ruderman, Kittel, Kasuya,
Yosida). Typisch für Systeme mit
magnetische Momente aus stark
lokalisierten Elektronen innerer Schalen
(4f Elektronen Seltenen Erden).
- Die direkte Überlapung mit
benachbarten Gitteratome ist sehr klein.
- Die Kopplung der Momente erfolgt
indirekt über die Leitungselektronen.
- Die magnetischen Momente der benachbarten Gitteratome richten um
sich herum die Spins der Leitungselektronen aus und diese polarisierte
Elektronen vermittlen die Austausch WW.
- Lange reichweite, zeigt Oszillationen.
J A  cos 2k F r /( 2k F r )
- Ferro- oder Antiferromagnetische Kopplung möglich, abhängig vom
gegenseitigen Abstand
der Gitteratome.
Festkörperphysik 2
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3
slide 77
Spin-Bahn-Wechselwirkung
- Kopplung zwischen Spin s und Bahndrehimpuls l eines Elektrons zu
j = l+s
Semiklassisch: Ruhesystem des Elektrons,
kreisende Kern mit Ze Ladung verursacht Strom
I und Magnetfeld Borb.



 0I
B orb 
nˆ
s   g s  B s / 
2r
 
Els   s Borb   s Borb cos



2
l  r Inˆ
l  ( Ze / 2me )l


 0I
 0 l
 0 Ze 
nˆ 

l
B orb 
2
3
2r
2r   r
4r me
e
B 
2m
Festkörperphysik 2 e
μ0 = 1/ϵ0c2
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(Bei strenger relativistischer quantenmechanischer Rechnung kommt noch ein
Faktor ½ (=Thomas-Faktor) hier.
Spin-Bahn Wechselwirkung Energie
 
Els   s Borb 
 
Ze2
l s
2 2 3
4 0 me c r
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slide 78
Spin-Bahn-Wechselwirkung
Kopplung von Spin- und Bahndrehimpuls zum
Gesamtdrehimpuls.
j  l s
Die Spin-Bahn-WW wird durch die
Wechselwirkungsenergie beschrieben:
E ls  r  l  s ,
r  
Hz

L

S

J
e
1 dV
2
2me c 2 r dr
(V = Coulomb-Potenzial)
• Im Bezugsystem des Elektrons herrscht ein Magnetfeld, das von der
sich bewegenden positiven Ladung des Atomkerns verursacht wird.
• Die Spin-Bahn-WW verknüpft Bahn- mit Spinmoment über das
elektrostatische Coulomb-Potenzial V, welches nahe am Atomkern
einen großen Gradienten dV/dr aufweist.
Festkörperphysik 2
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slide 79
Spin-Bahn Wechselwirkung
 
Els   s Borb
- Els, Energiegewinn, wenn wir den Spin s von einer zu l senkrechten in
eine zu l parallelen Stellung bringen.
- Das Bahnmoment bevorzugt häufig eine kristallographische Richtung 
der Spin wird sich parallel zu dieser Vorzugsrichtung einstellen wollen.
- Die Spin-Bahn WW bewirkt eine magnetokristalline Anisotropie 
diese Anisotropie legt eine Vorzugsrichtung für die Magnetisierung fest.
Sie verhindert dass die Magnetisierung ohne Energieaufwand in eine
andere Richtung gedreht werden kann.
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slide 80
LS Kopplung bei leichten bis mittelschweren Atomen
a) Russel-Saunders Kopplung bei leichten Atomen (Z<50) (LSKopplung):
LS-Kopplung eines Elektrons ist klein gegenüber der Kopplung zwischen
den Elektronen.
Bahn- und Spinmomente sind untereinander viel stärker gekoppelt als
das Gesamtbahn- und das Gesamtspinmoment.
Z
L  li ,
i 1
z
S   si ,
J  LS
i 1
b) jj-Kopplung bei schweren (Z ≥ 50) Atomen:
Im Grenzfall großer Spin-Bahn-Kopplung bildet jedes Elektron einen
Gesamtimpuls j, der dann mit den anderen Elektronen koppelt.
 
j i  l i  si ,
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z
J   ji
i 1
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slide 81
Zeeman- Wechselwirkung
- Zeemann WW Operator von magnetischen Momenten mit einem Magnetfeld:
 
H Zeeman    Ba
Ba = äußeres Magnetfeld
- Wenn LS Kopplung klein
gegen Zeeman WW:
- Wenn LS Kopplung groß
gegen Zeeman WW,
J = L+S:
H Zeeman g L
H Zeeman g J
B  
B  


L B a  g s
S  Ba
B  

J B a
- Zeemann WW wichtig für Ferromagnete, wo die spontane Magnetisierung
in Domänen zerfällt, in denen die Magnetisierung unterschiedlich orientiert
ist, und die durch Domänenwände getrennt sind.
- Beim anlegen von Ba führt die Zeeman-Energie zu einem Ausrichten der
Magnetisierung in den Domänen // Ba, und zu einer Verschiebung von
Domänenwänden.
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slide 82
Zeeman-Aufspaltung
Im äußeren Feld Hz ist die Quantisierungsachse durch die Richtung des
äußeren Feldes vorgegeben.
• Ein Zustand mit Gesamtdrehimpuls J ist ohne äußeres Feld 2J+1-fach
entartet. Diese Zustände nummeriert man mit der Nebenquantenzahl mJ
mit –J  mJ  J.
• Entlang der Quantisierungsachse misst man das magnetische Moment
mzJ zum Zustand mJ.
mzJ   g J  B mJ
Em J
m = 3/2
J
• Im äußeren Feld (dies sei schwach gegenüber
inneren Kopplungen zwischen Bahn- und
Spinmoment) ist die Entartung aufgehoben und
wir finden für die 2J+1 Zustände die
dazugehörigen Energieeigenwerte:
EmJ Hz   E 0  gJBmJB z
E : Energie ohne
Feld
Prof.äußeres
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Festkörperphysik
2
0
mJ= 1/2
Hz
mJ=-1/2
g J  B Bz
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mJ=-3/2
slide 83
Potenzielle Energie der parallelen Komponente
Epot

 m||  Hz   m||  B z cos   mJgJBB z
Zahl der Bohrschen Magnetonen
g J  Lande´ Faktor 
Drehimpuls (in Einheiten von  )
gJ  1
Hz
mj
2
1
0
1
2
Festkörperphysik 2
 J J  1
J (J  1)  S (S  1)  L(L  1)
2J (J  1)
mJ  
, J

1,
J
 2
,....,
J
J

2 J 1
Komponente des
Gesamtdrehimpulses in Hz -Richtung:
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slide 84
Mittleres Moment bei T>0
Thermische Population des Zeeman-aufgespaltenen Grundzustandes (GZ)
Beispiel: J=1, mJ=-1,0,+1
E
E
mJ
mJ
1
0
-1
Hz =0, T=0
Niveaus entartet,
alle Atome im GZ
1
0
-1
N
Hz >0, T= 0
Entartung
aufgehoben, alle
Atome in GZ
Magnetisierung:
Festkörperphysik 2
N
Entartung aufgehoben,
einige Atome im
angeregten Zustand
Jedes Niveau ist gegeben durch:
mit mJ=-J,…J
Mittlere thermische Energie:
Hz >0, T>0
E mJ   g J B Bz mJ
E mJ   g J B Bz mJ
N E
N
M 
  g J  B mJ
V Bz
V
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slide 85
Übersicht 3d-Metallionen
Festkörperphysik 2
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slide 86
Magnetisches Moment von Übergangsmetallionen
- Die nicht abgeschlossene d-Schale liegt ganz außen.
- Diese d Elektronen sind von starken elektrischen Feldern der Nachbarionen
beinflußt  homogenes Kristallfeld.
- Entkopplung der L und S Bahn und Spin Momente (Kristallfeldaufspaltung
größer als Spin-Bahn Kopplung)  J keine Bedeutung.
- In inhomogenen Kristallfelder  L erhalten, aber nicht Lz.
- Die Entartung der reinen Bahndrehimpulszustände wird durch das
Kristallfeld aufgehoben  Kristallfeld Multiplett.
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slide 87
Magnetisches Moment von Übergangsmetallionen
Metallionen in Salzen: Beispiel: FeCl2 mit Fe2+- Ionizität
• Atomares Eisen hat die elektronische Konfiguration 3d64s2
• In Verbindungen ist die Konfiguration 3d6, d.h. 6 Elektronen in der
d-Schale
• Niveauschema der d-Schale entsprechend der Hund‘schen Regel:
Lz 3d6
2
1
0
-1
-2

S  4
1
2
2
L2
Spektroskopische
Bezeichnung:
5
D4
2S 1
XJ
J  LS  4
• Der erwartete gJ Wert beträgt demzufolge:
gJ  1
Festkörperphysik 2
J J  1  S S  1  LL  1
45  23  23 3
 1

245
2
2J J  1
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slide 88
Berechnung der effektiven Zahl der Bohrschen Magnetonen
p J  g J J (J  1) 
3
20  6.7
2
 J  g J  B J ( J  1)  p J  B
Falls nur der Spin berücksichtigt wird, ist:
p S  g S S (S  1)  2 2  3  4.89
exp
p
 5.4
Experimentell gemessener Wert:
J
S
p
p
Der experimentell gemessene Wert ist näher an
als an
In den meisten Fällen der Übergangsmetallionen
scheint der orbitale Anteil des Drehimpulses
ausgelöscht zu sein.
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slide 89
Beispiele für 3d-Übergangsmetallionen
Ion
Konfiguration
Ti3+,V4+
3d1
V3+
3d2
Cr3+,V2+
Basisniveau
pS 
g J J (J  1) g S S (S  1)
p exp
1.55
1.73
1.8
3F
2
1.63
2.83
2.8
3d3
4F
3/2
0.77
3.87
3.8
Mn3+, Cr2+
3d4
5D
0
4.90
4.9
Fe3 +, Mn2+
3d5
6S
5/2
5.92
5.92
5.9
Fe2+
3d6
5D
6.70
4.90
5.4
Co2+
3d7
4F
9/2
6.63
3.87
4.8
Ni2+
3d8
3F
4
5.59
2.83
3.2
Cu2+
3d9
3.55
1.73
1.9
Festkörperphysik 2
2D
pJ 
2D
3/2
0
4
5/2
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slide 90
Magnetische Momente der 3d-Übergangsmetallionen als
Funktion der Elektronenzahl in der d-Schale
p = effektiven Magnetonen Zahl
pJ berechnet
pS berechnet
p exp.
7
6
5
peff
4
3
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
Elektronen in der d Schale
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slide 91
Kristallfeld-Wechselwirkung
• 3d-Elektronen nehmen an der chemischen Bindung teil, da sie außen
liegen (z.B. in FeCl2,FeF3,…)
• Die 3d-Schale ist starken inhomogenen elektrischen Feldern, den
Kristallfeldern der Nachbarionen, ausgesetzt (oft oktaedrische
Umgebung).
• Die Kristallfelder führen zur Aufhebung der 2L  1 -(5-fachen) Entartung
der dn-Elektronen  Energieaufspaltung in 2 Niveaus:
eg (zweifach entartet) und t2g (dreifach entartet)
freies Ion
+ Kristallfeld
eg
mL
2

1
0
-1
t2g
-2
sphärische Symmetrie  oktaedrische Symmetrie
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slide 92
Kristallfeldaufspaltung
• ist die Kristallfeldaufspaltung zwischen Orbitalen mit unterschiedlicher
Symmetrie.
•Die Bahndrehimpulse von nicht-entarteten Niveaus haben keine fixierte
Phasenbeziehung (Ebene der Bewegung bleibt nicht fest)
zeitlicher Mittelwert
Festkörperphysik 2
L  0 , d.h., L ist keine gute Q.Z. mehr.
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slide 93
Konsequenz aus starkem Kristallfeld
Falls das Kristallfeld genügend niedrige Symmetrie hat, so dass alle
Entartung aufgehoben wird, dann wird der zeitliche Mittelwert.
Lz  0
es bleibt im Grundzustand nur die (2S+1)-Entartung
und der S-Charakter des Magnetismus übrig
d.h., Modifikation der 3. Hund‘schen Regel für Übergangsmetallionen
J S
und
L0
Die Sättigungsmagnetisierung für Übergangsmetallionen ist dann (bei
T=0):
N
N
M  g S BS  B 2S
V
V
Magnetisierungsmessungen enthalten direkt S
Das maximale S in der 3d-Schale ist S=5/2 (Lz = 2, 1, 0, -1, -2) mit
m=5B (das ist der Fall für Cr+ (3d54s0) und Mn2+ (3d54s0)
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slide 94
Magnetisches Moment der Selten-Erd-Ionen
- Nicht abgeschlossene 4f-Schale, wird durch Elektronen der
abgeschlossenen 5s und 5p-Schalen gegen elektrische Felder der
Nachbarionen gut abgeschirmt.
- Selten-Erd-Ionen zeigen eine vergleichsweise geringe Kristallfeldaufspaltung mit Energien im meV-Bereich, da:
• die inneren Schalen sind gut vom Kristallfeld der äußeren 5s2p66s2
abgeschirmt sind (große Lokalisierung),
Kristallfeldaufspaltung
 
  L  S
L  S Kopplung ist stark
n
4
f

Magnetismu s
2
6
5s
p

d 
1
sphärisch symmetrisc he Abschirmu ng
2
6s

chemische Bindung
• Die f-Niveaus werden nach den Hund‘schen Regeln nach dem RusselSaunders-Kopplungsschema gefüllt.
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slide 95
Wellenfunktionen der Selten-Erd-Ionen (Theorie)
Festkörperphysik 2
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slide 96
Beispiel: Ce3+ (ein Elektron in der f-Schale)
mL
-3
-2
-1
0
1
2
4f 1
1
S
2
L3
2
F5/2
1 5
J  L S  3 
2 2
3
p J  g J J J  1  2.53
p exp  2.4
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slide 97
Effektives Moment der Seltenen Erd-Ionen
Für alle dreifach-ionisierten Ionen der Selten-Erd-Reihe findet man
gute Übereinstimmung zwischen den berechneten und den
gemessenen p-Werten.
Es gilt demzufolge:
• Die Spins bilden den Gesamtspin S durch Austauschwechselwirkung
• Die Bahndrehimpulse kombinieren zum Gesamtdrehimpuls L
durch Coulomb-Wechselwirkung
• S und L kombinieren zu J
Magnetismus folgt aus der Zeeman-Aufspaltung der niedrigsten JNiveaus
Es gilt:
Festkörperphysik 2
p J  g J J (J  1)  p exp
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slide 98
Vergleich theoretischer und effektiver magnetischer Momente
für Selten-Erd-Ionen
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slide 99
Beispiele für 4f-Selten-Erd-Metallionen (nahe RT)
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slide 100
Zusammenfassung der magnetischen Momente
a) 3d und 4s-Elektronen
hybridisieren.
3d-Metalle
(r)
3d
 
b) L  S    KF
3s
L  S Kopplung ist unbedeutend.
c) orbitales Moment wird
“gequenched“.
r
4f-Metalle
(r)
4f
5s
4p
5d
a) 4f und 6s weit voneinander
getrennt.
6s
 
b) L  S    KF
r
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d.h. L  S
erhalten.
Kopplung bleibt
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slide 101
Magnetische Anisotropie
• magnetische Materialien können eine Vorzugsrichtung oder Vorzugsebene für die
Magnetisierung aufweisen.
• Das Maß dafür ist die magnetische Anisotropieenergie, die als die Arbeit definiert
ist, die benötigt wird, um die Magnetisierung eines geschlossenen Systems (kein
Teilchenaustausch) aus der „leichten Richtung“ (der Vorzugsrichtung)
herauszudrehen.
• bewirkt die Kopplung der Magnetisierung an das Kristallgitter
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slide 102
Magnetische Anisotropie
- Magnetische Anisotropie, Eani : Energie, die aufgebracht werden muss, um
die Magnetisierung aus einer bevorzugten (magnetisch leichten Achse), in
die ungünstigste Richtung (magnetisch schwere Achse), zu drehen.
- Wichtig für Kompassnadeln und Datenspeicherung.
Hext = 0  Nadeln // ihrer
Verbindungsachse (dipolaren WW)
 Minimum der freien Energie,
magnetisch leichten Achse.
Konturlinien
konstanter
magnetischer
freier Energie
Kompassnadeln
Hext ≠ 0  M entlang der
magnetisch schweren Achse
Zustand erzwungen durch
genügend starkes äußeres
Magnetfeld.
(H
=H )
ext
a2
Festkörperphysik
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slide 103
Magnetische Anisotropie
Eani  Emc  E form  E ind ...
Emc= magnetokristalline Anisotropie
Eform = Formanisotropie
Eind = induzierte Anisotropie
Eani : intrinsische Materialeingenschaft, durch Kristallfelder erzeugt, die zu
einer Vorzugsrichtung des Bahndrehimpulses und über Spin-Bahn
Kopplung des Spins führen.
Eform : hängt mit der speziellen Form des Festkörpers zusammen.
Verursacht von Entmagnetisierungsfelder.
Eind : wird erzeugt durch elastischen Verspannungen (z.B. wegen
Gitterfehlanpassungen zwischen dünnen Filme und dessen Substrate),
mechanischer Druck oder Fluktuationen der chemischen
Zusammensetzung.
- Der Wert von Eani hängt von der Richtung der Magnetisierung ab. Die
leichten und schweren Achsen sind durch die Minima und Maxima von
Eani gegeben.
Festkörperphysik
2
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slide 104
Magnetische freie Energiedichte
Magnetische freie Energiedichte: fani=Eani/V (eindomäniges magnetisches
System).

  2
  4
- Uniaxiale Anisotropie: f u  K u1 ( m  u )  K u 2 ( m  u )  ...
Uniaxialen Anisotropiekonstanten
f u  K u1 ( m x u x  m y u y  mz u z )2  K u1 cos2 
U
u
U
(U = Anisotropie
Richtung)
θ = Winkel zwischen Magnetisierungsrichtung m und
Anisotropieachse u.
Flächen konstanter magnetischer freier Energiedichte
aufgrund einer uniaxialen Anisotropie (u // z-Achse) 
Ku1 >0  leichte Achse in xy-Ebene (typisch für
magnetische Schichten).
Ku1 <0  leichte Achse senkrecht zu xy-Ebene.
Festkörperphysik 2
mx2  m 2y  mz2  1
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slide 105
Magnetische freie Energiedichte
2 2
2 2
2 2
2 2 2
f

K
(
m
m

m
m

m
m
)

K
(
m
- Kubische Anisotropie: kub
1
2
x y
y z
z
x
x m y m z )  ...
1
2 2
2 2
2 2
f kub  K k 1 ( m x m y  m y mz  mz m x )  const  K K 1 ( m x4  m 4y  mz4 )
2
mx4  m 4y  mz4  1  2( mx2 m 2y  m 2y mz2  mz2 mx2 )
f kub

1 2
 K k 1[ sin  sin 2 2  cos 2  ] sin 2 
4
1
K K 2 sin 2 ( 2 ) sin 2 ( 2 ) sin 2 
16
Flächen konstanter magnetischer freier
Energiedichte 
Kk1 >0 (z.B. 102-107 J/m3) leichte Achse
entlang x-, y-, z-Achse, schwere Achsen
entlang der Raumdiagonalen.
Kk1 <0  umgekehrt
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slide 106
Magnetokristalline Anisotropie (MgA)
• MgA 
Ausrichtung der Magnetisierung entlang einer bestimmten
kristallographischen Richtung
Hauptursache: Spin-Bahn-Kopplung.
(Für FM: Elektronen-Spin.)
• Kristallgitter kann über die Spin-Bahn Kopplung auf die Richtung der
Spins einwirken.
• Für Elemente mit nicht vollständing gefüllten Schalen (3d
Übergangsmetallen, 4f Seltenen Erden) ist die Elektronenverteilung nicht
Sphärisch

Drehung der Bahnmomente bewirkt Änderung des Überlaps
der Wellenfunktionen benachbarter Atome

Änderung der elektrostatischen Welchselwirkungsenergie

Bahnmomente mit bevorzugter kristallographische Richtung
• Ladung der Atome nicht sphärisch

unterschiedliche Richtungen des Spins für unterschiedliche
Austauschwechselwirkung und elektrostatische
Wechselwirkungsenergie.
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slide 107
Anisotropien
Magnetostatische Energie:
0
 

0 
Em    M  H N  dV 
M  NM  dV

2
2
Entmagnetisierungsfeld
- Eform = Energie die wir aufbringen müssen, um die Magnetisierung von
der günstigsten in die ungünstigste Richtung zu drehen.
Beispiele: Kugel  Eform = 0 (N= Entmagnetisierungsfaktor = 1/3 für jede
Richtung)
Dünnen Film  N ≈ 1 für M senkrecht, N ≈ 0 für M // Filmebene
Form Anisotropie: E form 
Induzierte Anisotropie: Eind
0
2
2
 M  dV
3
 s
2
λs = Sättigungsmagnetostriktion
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(Nur für eindomänige Proben)
Uniaxiale Anisotropie in FM Materialien kann
durch uniaxiale elastische Verspanung σ
erzeugt werden.
Verzerrung der Ladungsverteilung duch
elastische Verformung  Vorzugsrichtung der
Bahndrehimpules und des Spins.
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slide 108
Festkörpermagnetismus
Magnetische Ordnungsphänomene:
Wechselwirkungen + Phasenübergänge
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slide 109
Magnetische Ordnungen
Falls magn. Momente sich näher kommen, können sie auf verschiedene
Weise wechselwirken und magnetische Ordnung bilden, d.h. spontane
Ordnung ohne äußeres Magnetfeld.
Paramagnet
Helixstruktur
Ferromagnet
Antiferromagnet
Spindichtewelle
Ferrimagnet
Verkippter
Antiferromagnet
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Bandferromagnetismus
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slide 110
Magnetische Wechselwirkungen
• Dipol-Dipol Wechselwirkung zwischen Atome (zu schwach)
• Austausch-Wechselwirkung (bei 3d Metallen und
Übergangsmetall-Legierungen)
• Superaustausch-Wechselwirkung (bei Oxiden, Fluoriden, etc.)
• Rudermann-Kittel Kasuya-Yosida (RKKY) Wechselwirkung (bei 4f
Seltene – Erd Metallen, Kernmagnetismus, künstliche metallische
Übergitter)
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slide 111
Dipol-Dipol-Wechselwirkung (klassische Betrachtung)
mk
r kl
ml
EDipol


 mk  ml
3
 0 
 5 m k  rkl m l  r kl
3
rkl
 rkl




Abschätzung der Größenordnung mit rkl=0.3 nm, m=1B:
20 B
 23


0
.
8

10
J  50 eV  0.6 K
3
rkl
2
E Dipol
Dipol-Dipol-WW ist sehr schwach und kann magnetische
Phasenübergänge nicht erklären. Die Dipol-Dipol-WW ist
aber wichtig für die magnetische Formanisotropie.
Ferromagnetische Materialien haben ein TC von:
TC
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Fe
Co
Ni
Gd
1043 K
1388 K
627 K
289 K
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slide 112
Direkte Austauschwechselwirkung
- Elektronen sind Fermiteilchen  ihre Vielteilchen-Wellenfunktionen
müssen dem Antisymmetrieprinzip genügen und bei einem Austausch
der Elektronen das Vorzeichen wechseln.
- Stellt man die Wellenfunktion als Produkt von Orts- () und
Spinwellenfunktion () dar, muss die Gesamtwellenfunktion
antisymmetrisch sein:
 antisym  r S
Zweielektronensystem:
Eigenzustände zum Gesamtspin S mit der z-Komponente Sz:
S=0 (antisymmetrische Spinfunktion)  Ortsfunktion symmetrisch
S=1 (symmetrische Spinfunktion)  Ortsfunktion antisymmetrisch
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slide 113
Direkte Austauschwechselwirkung: Singulett und Triplett - Zustände
Zustand
1
2
 
 


1
2
 
 


Antisymmetrische
Ortsfunktion, ψA,
(grün links). Die
symmetrische
Spinfunktion, ΓS, ist
als parallele Pfeile
angedeutet.
(Triplett)
S
Sz
0
0
1
1
1
0
1
-1
Singulett
bindend
Triplett
antibindend
S
A




A

2

S

2

Symmetrische
Ortsfunktion, ψS,
(grün rechts). Die
Antisymmetrische
Spinfunktion, ΓA ,
ist als antiparallele
Pfeile angedeutet.
(Singulett)
Die roten Kurven zeigen
die zugehörigen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
(Dichten)slide 114
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Definition der Austauschenergie
Energiedifferenz zwischen Singulett- und Triplettzustand:
Eex = Es – Et
Die Energiedifferenz hat ihren Ursprung in der Coulomb-WW der
Elektronen. Wechselwirkung zweier Spins wird durch den HamiltonOperator ausgedrückt:
Hˆ ex  Es  Et  S 1  S 2  2 J ex S 1  S 2
Dies ist das Heisenbergmodell mit der effektiven Spin-Spin-WW, wobei
J ex  Es  Et  / 2
Austauschintegral oder Austauschkopplungskonstante genannt wird:
Jex > 0: parallele Orientierung der Spins  Ferromagnetismus.
Jex < 0: antiparallele Orientierung der Spins  Antiferromagnetismus
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slide 115
Austauschkopplungskonstante und Heisenberg-Hamiltonian
Jex hängt von Details der elektronischen Eigenschaften des Systems ab;
Jex hängt vom Abstand
r 1  r 2 der beiden Spins ab;

 
Hˆ 12ex  2 J ex r1  r 2 S r1  S r 2  2 J 12ex S 1  S 2
Festkörper mit n Spins (n  1020 Ionen): Symmetrisierung der
Hamilton-Funktion ist praktisch nicht mehr durchführbar
Gute Näherung:
Annahme, dass die WW der n Spins durch Zwei-Spin-WW in einem
Spin-Paar und Summation über alle Paare angenommen werden
kann:
Hˆ ex  2  J ex r i  r j S r i  S r j  2  J ijex S i  S j
ij i  j 

  
ij i  j 
Heisenberg-Hamilton-Funktion eines Spinsystems
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slide 116
Bethe-Slater-Kurve
Abstandsabhängigkeit der Austauschww. wird in der Bethe-Slater-Kurve
widergegeben (am Beispiel der Übergangsmetalle):
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slide 117
Stoner Modell für itineranten Ferromagnetismus
Wie groß ist die Änderung der Gesamtenergie, wenn ein Elektronensystem spontan
(nicht im äußeren Feld) seine Polarisation erhöht?
Beim freien Elektronengas bedeutet Polarisation der
Elektronen eine Verschiebung der up und down Bänder
gegeneinander.
E
EF  Δ
EF
EF  Δ

D E 

D E 
Ohne Polarisation haben die  und  -Zustandsdichten
die gleiche Fermienergie EF. Es gilt: D E   1 DE 
F
F

2
1
D E F   DE F 
2
Wir nehmen  - Elektronen im Bereich EF  Δ , flippen den
Spin und plazieren sie in der  - Zustandsdichte oberhalb
von EF.
Die Zahl der Elektronen, die umverteilt wurden, ist
1
D EF Δ  D EF Δ
2
 
 
Deren Energie wird um  erhöht.
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slide 118
Stoner Modell für itineranten Ferromagnetismus
Deren Energie wird um  erhöht, so dass die gesamte Änderung der
kinetischen Energie pro Volumeneinheit ist:
1 DE F  2
ΔE kin 

2 V
Dies bedeutet, dass ein Aufwand an Energie, und daher sieht dieser
Prozess energetisch ungünstig aus. Jedoch bringt die WW der
Magnetisierung mit dem Molekularfeld (= Austauschfeld oder mean field)
Hmf = λ·M, eine Reduktion der Energie, die den Aufwand übersteigen
kann.
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slide 119
Stoner Modell
Die Erhöhung der kinetischen Energie muss durch eine WW
kompensiert werden, sonst gibt es keine spontane Polarisation.
Wir berechnen zunächst die Magnetisierung nach Umverteilung:
M
Mit:
N 
 
B
N  N   B D EF Δ
V
V

 

 
1
1
N  D EF Δ ; N  N  D EF Δ
2
2
Nach der Molekularfeldnäherung ist die Änderung der potenziellen
magnetischen Energie pro Volumeneinheit:
M
M
1
ΔE pot    0 Bmf dM '    0M ' dM '   0M 2
2
0
0
 D EF  
1
1  D EF  
  0   B
    I
 
2
2  V
V



2
2
Dabei ist der Verstärkungsfaktor des Molekularfelds
und I wird als das Austauschintegral bezeichnet:
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I  0  B2 
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slide 120
Stoner Modell
Die gesamte Energieänderung ist:
1 DE F  2 1  D EF  
1
D EF  DE F  2

  I
   1  I

2
V  V
2 V
2  V

2
ΔEtot  ΔE kin  ΔE pot 
Die Energie wird nur dann abgesenkt, wenn der Ausdruck in der Klammer
negativ wird. Das ist dann der Fall, wenn:
D EF 
I
1
V
oder mit der auf das
Volumen V normierten
Zustandsdichte:
D EF 
 g ( EF )
V
I  g ( EF )  1
(Stoner – Kriterium)
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slide 121
Stoner Modell
(Stoner – Kriterium)
D EF 
I
1
V
oder mit der auf das
Volumen V normierten
Zustandsdichte:
D EF 
 g ( EF )
V
I  g ( EF )  1
- Das Austauschintegral ist proportional zur Coulomb – WW.
- Das Stoner – Kriterium wird erfüllt, falls beides, die Zustandsdichte an der
Fermikante und die Änderung der Coulomb-WW groß sind.
- In diesem Fall gibt es eine spontane Verschiebung der spin-up und spin-down
Bänder um die Energie , wobei  die Austauschaufspaltung genannt wird.
Die Fermi-Energie passt sich an den neuen gemeinsamen Wert EF an.
- Anders ausgedrückt: Spontane Polarisation bzw. Austauschaufspaltung tritt
auf, wenn die Reduktion der Coulomb-Abstoßung im Vergleich zur Zunahme
der kinetischen Energie überwiegt. Dazu muss die Zustandsdichte an der
Fermikante groß sein.
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slide 122
Stoner Kriterium
I  g ( EF )  1
I  D( E F )  1
Austauschintegral I
DOS bei EF, D(EF)
Produkt
J.F. Janak, PRB 16, 255 (1977)
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slide 123
Zustandsdichten verschiedener Metalle
Paramagnet
D(E)
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Ferromagnet
D(E)
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Diamagnet,
Edelmetall
D(E)
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slide 124
Definitionen
Polarization
N  E F   N  E F 
N  E F   N  E F 
4s band
Minority 3d band
moment down
Majority 3d band
moment up
Note: moment and spin are antiparallel for electrons.
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Exchange splitting and
magnetic moment
m   B N   N  


mi   g B Si
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slide 125
Moment und Polarisierung
Low polarization
high moment
weak ferromagnet
High polarization
low moment
strong ferromagnet
High polarization
high moment
strong ferromagnet
Fe-case
Ni-case
Heusler-case
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slide 126
Grobes Modell für magnetische Momente m in Übergangsmetallen
und Legierungen
m  B N  N 
Paramagnetismus
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Ferromagnetismus
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slide 127
Magnetische Momente der Übergangsmetalle und Legierungen
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slide 128
Austauschloch
Das Austauschintegral hängt stark vom
Atomabstand ab. Bei kurzen Abständen
verlangt das Pauli-Prinzip
Antiferromagnetismus.
Bei Metallen mit größerem Abstand
entsteht um jedes Elektron ein
Austauschloch, in dem die Dichte von
Elektronen mit parallelem Spin reduziert
ist. Durch die Coulombabstossung von
Elektronen mit parallelem Spin entsteht
eine korrelierte Bewegung der
Elektronen. Jedes Elektron trägt mit sich
ein Austauschloch wie einen Schatten
herum.
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slide 129
Super-Austausch
Wechselwirkung von zwei magnetischen Ionen mit nicht- oder wenig
überlappenden Wellenfunktionen durch Überlapp mit den
Wellenfunktionen eines dritten oder weiteren nichtmagnetischen Ions:
Bsp: MnO (Anwendung des Pauli-Prinzips)
Mn2+ O2- 2p Schale Mn2+
AFM Kopplung zwischen den Mn2+ Ionen
Mn hat halb gefüllte d-Schale, die mit dem vollständig gefüllten
pz-Orbital von O2- überlappt.
Superaustausch vermittelt antiferromagnetische (AFM) Kopplung
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slide 130
Orbitale Ordnung in MnO
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slide 131
Indirekte Austauschwechselwirkung (RKKY)
• Wechselwirkung zwischen den lokalisierten Momenten erfolgt über
Polarisation der Leitungselektronen. Diese Wechselwirkung nennt
man nach ihren Entdeckern:
Rudermann-Kittel-Kasuya-Yosida (RKKY) Wechselwirkung
Prominentes Beispiel: Gd 4f Wellenfunktionen können nicht direkt von
Atom zu Atom hybridisieren. Stattdessen polarisieren sie die
Leitungselektronen.
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slide 132
Zusammenfassung: Austauschwechselwirkung
Austauschwechselwirkung
Bandmagnetismus
Aufspaltung
des Leitungsbandes,
falls   n~0 (EF )  1
RKKY-Wechselwirkung
Polarisation
des Fermigases durch
lokale magn. Momente
Anwendbar auf:
3d Übergangsmetalle
Anwendbar auf:
Selten-Erd-Metalle,
Kernmagnete, u.s.w.
JRKKY
Eex
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Super-Austausch
Überlapp von
abgeschlossenen
Molekülschalen mit
d-Elektronen in Metallen
Anwendbar auf:
Übergangsmetalloxide,
Chloride, Fluoride, u.s.w.
FM
0
AFM
r
3
J

cos
2
k
r
/(
2
k
r
)
RKKY
F
F
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slide 133
Phasenübergänge
- Ergebnis der WW ist gewöhnlich ein Phasenübergang von einer
paramagnetischen (ungeordneten) magnetischen Struktur für T>Tc zu einer
geordneten Struktur für T<Tc.
- Ordnungstemperatur wird in Ferromagneten und im Ferrimagneten CurieTemperatur TC und in Antiferromagneten Néel-Temperatur TN genannt.
- Geordnete Strukturen werden durch einen Ordnungsparameter
charakterisiert. Im Magnetismus ist der Ordnungsparameter die spontane
Untergittermagnetisierung M(T).
M/MS
0.9
0.8
PM
0.7
 1  T  Tc
0.6
0.5
0.4
FM
0.3
Suszeptibilität
0.2
0.1
0
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0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
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T
TC
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slide 134
Weiß‘sches - Modell
Die „Heisenberg-Wechselwirkung“ wird durch ein mittleres effektives
molekulares Feld zu beschreiben = Molekularfeldnäherung bzw.
„mean field approximation (MFA)“
Man betrachtet einen Spin Si als ausgezeichnet und den Rest als „mean
field“ (Molekularfeld). Hamiltonoperator des Spins i:
H
i
spin

 2 S i

 J ij S j
ex
ij
Jex
i
j
Im Fall dass alle Abstände und damit WW
gleich sind, folgt bei Koordinationszahl z:
i
H spin
Z 

 
  Si 2 J ex  S j  2 z J ex Si  S j
j 1
Wir nehmen zunächst Jex > 0 für ferromagnetische Kopplung an.
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slide 135
Molekularfeld
Statt Spins schreiben wir magnetische Momente:


mi   g B Si
Mittleres Moment der Spins (zeitlicher Mittelwert <Sj>) in der Koordinations
schale:



M V
 M
m j   g B S j 
n
N
(n = N/V= Dichte der magn. Atome)
Damit wird der Hamiltonian für Spin i
 
2 zJ ex
H  2 zJ ex Si  S j  
g B 2
 
 
 mi BMF   0 mi H MF
i
spin
 2 zJ ex 
V  
mi  M  (  g B Si )
M
2
N
n  g B 
i
H spin
Im statistischen Mittel:
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


2 zJ ex M
BMF 
 0 H MF
2
n( g B )
  zJex
 
  0 mi  HMF
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 
Si  S j

zJex V 

mi  M
2
gB  N
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slide 136
Molekularfeld

H MF


1 2 zJ ex M

 λM,
2
 0 n ( g B )
2 zJ ex
λ
0 n gμB 2
1
HMF
i
Das Molekularfeld HMF (auch Austauschfeld oder Weiß‘sches Feld genannt) ist
durch die umgebenden Spins aufgebaut und wirkt auf den herausgegriffenen
Spin i. Die Kristallstruktur ist ersetzt durch eine effektive Feldverteilung. Das
Molekularfeld ist das lokale Magnetfeld, welches auf den Spin i wirkt. Damit ist
das Vielteilchenproblem auf ein modifiziertes Einteilchenproblem (das eines
magnetischen Dipols im Austauschfeld) reduziert.  ist ein Verstärkungsfaktor
für das lokale Feld. HMF kann sehr groß sein, für Fe ist 0HMF = 1.8 T.
Preis für MFA: Vernachlässigung von Spinwellen und thermischen
Fluktuationen im Spinsystem. MFA beschreibt Spinsystems im thermischen
GG. Wenn thermische Fluktuationen eine Rolle spielen
(Spinwellenanregungen und Fluktuationen in der Nähe des Phasenübergangs
bei TC) führt MFA zu falschen Aussagen.
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slide 137
MFA für Ferromagnetismus
Hamiltonian-Operator für einen beliebigen Spin i im äußeren Feld
Ha und im Molekularfeld HMF:
i
H spin


 
   0 mi  HMF  Ha

 
  0 mi  Heff
Potenzielle Energie eines magnetischen Moments bezüglich der z-Achse:
H i,z  E pot   0 (  gμ B j)(λ M  H a )  0 gμ B j H eff
(H eff  M  H a )
Der letzte Term entspricht genau der Zeeman-Aufspaltung in einem
effektiven Feld. Für ein zwei Niveausystem (j = s = 1/2) ist:
E=0gBHeff
Heff=0
Festkörperphysik 2
Heff > 0
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slide 138
Thermisches Gleichgewicht
Im thermischen Gleichgewicht wird das Verhältnis der Spin-up zu den
Spin-down besetzten Zuständen durch die Boltzmann – Statistik
beschrieben:
N
 eΔE k BT  e g 0 μ BHeff /k BT
N
Daraus folgt die Magnetisierung für den Fall eines zwei Niveaus-Systems:
j = s = 1/2, g = 2):
(Ms = Sättigungsmagnetisierung bei T=0)
M m
N  N
V
 1 ΔE 
N N  N

 MS tanh
 m
V N  N
 2 k BT 
Ohne äußeres Feld (Ha = 0) folgt aus der letzten Gleichung mit der
Definition von :
 Tc MT  
 1  0 gB  MT  

  MS tanh
M  MS tanh
T 
 2 kB
 T MS 
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slide 139
Graphische Lösung der impliziten Gleichung
Für j=s=1/2 und g=2 folgt die kritische Temperatur Tc:
1
k BTc  J ex
4
M(T) ist eine implizite Gleichung, da auf beiden Seiten M steht.
 T M T  

M  M S tanh  c
 T MS 
Die Gleichung kann graphisch gelöst werden durch plotten von:
M (T )
M (T ) T
 tanh( z ), und
 z
MS
MS
Tc
M/Ms
2
1.5
1
T=0.5Tc
Für T < Tc gibt es immer einen
Schnittpunkt und damit eine Lösung.
0.5
0
Für T > Tc gibt es nur noch einen
Schnittpunkt am Ursprung mit
M(T) = 0.
-0.5
-1
z
-1.5
-2
-4
-3
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-2
-1
0
1
2
3
4
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slide 140
Kritische Temperatur
Magnetisierung aus der Lösung der impliziten Gleichung
aufgetragen gegen die normierte Temperatur:
M/MS
1
Kritische Temperatur (CurieTemperatur) für Spin j = s = ½:
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
k BTc 
0.3
0.2
T/TC
0.1
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
J ex
4
1
Für T < Tc spontane Ordnung, Ferromagnetismus.
Für T > Tc keine spontane Ordnung, Paramagnetismus
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slide 141
Magnetisierung für beliebiges j
Für beliebige Drehimpulsquantenzahl j ist die Magnetisierung:
N
M  g J  B j  B j x   M s B j x 
V
Bj(x) ist die Brillouin-Funktion. Der Boltzmann-Faktor wird:
 0 gJB jHeff  0 gJB jHa  M
x

k BT
kBT
M s T  0  
N
g J B j
V
Für endliche T:
M T   Ms 0 B j x 
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slide 142
Graphische Lösung ohne äußeres Feld
x
0 g J  B j H a  M 
k BT
x
Festkörperphysik 2
M T   Ms 0 B j x 
Schnittpunkte beide Kurven gibt Ms
 0 gJB j
MT  V
k BT
MT 

x
bzw.
 B j x 
MT  
2
Ms 0 
kBT
Ms 0  N  0 g jB j 

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
x
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slide 143
Bestimmung der Curie Temperatur
Entwicklung der Brillouin-Funktion für kleine x:
j 1
j 1 2j2  2j 1 3
x
BJ x  
x
2
3j
3j
30 j
MT  V
kBT
j 1
M T 
x

x
 BJ x  
und M 0  N
2
 0 g jB j 
3j
M s 0 
s
j 1
dBJ x 
 ng J B j
 ng J B
3
dx
dx
Die Steigung der Brillouin Funktion gibt Tc: dM
dM
k BT

dx 0g J B j
x=0
x=0
x=0
Daraus folgt die kritische Temperatur
k B TC 
N 0 g J j  j  1  B
  C
TC 
V
3k B
N  0gJ j j  1 B
z
  j j  1Jeff
V
3
3
2
mit
Festkörperphysik 2
2
2
Jeff 

N  0 g j B
V
z
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2 
2
C = Curie Konstante
[email protected]
slide 144
Typische Größenordnungen:
Molekularfeldkonstante:
  5200
0Heff  1000 T
Austauschfeld:
Austauschkonstante: Jex  5.210-3 eV
• Für Übergangsmetalle liefert die nächste-Nachbar-NachbarWechsel-wirkung nur eine grobe Abschätzungen für TC.
• Aufgrund des „itineranten“ Charakters der Leitungselektronen
muss je nach Fall die WW zwischen 8-100 Nachbarn
berücksichtigt werden.
Festkörperphysik 2
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slide 145
Curie – Weiss Suszeptibilität
Hochtemperaturentwicklung:
 Tc M 
Tc M T 
Tc M T 
  MS
M T   MS tanh
 MS
T MS
T M S
 T MS 
Mit äußerem Feld:

Tc
Tc
C 

M T   Ha    M
T  
M T  
 H a ; C 
T
T

H MF


Auflösen nach M(T) ergibt Magnetisierung des Ferromagneten im
paramagnetischen Bereich:
C
C
M T  
Ha 
Ha
T  C
T  Tc
Suszeptibilität:
dM
C

 FM ,Curie T  
dH a T  Tc
Festkörperphysik 2
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slide 146
Ergebnisse der MFA
2
2
N  0 gJ j j  1 B

k B TC 
3
V
Curie - Temperatur
dM
C

dH a T  Tc
Magnetische Suszpetibilität
 FM ,Curie T  
Curie - Konstante
N g j B 
C
j  j  1
V 3k B
2
M M0 exp 3Tc  j  1T 
0.9
M/MS
0.8
0.7
 1  T  Tc  / C
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
Festkörperphysik 2
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TC
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T
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slide 147
Festkörpermagnetismus
Ferrimagnetismus
Festkörperphysik 2
Prof. Dr. Beatriz Roldán Cuenyac
[email protected]
slide 148
Ferrimagnetismus
a) Im Ferromagneten sind alle magnetischen Atome gleichberechtigt und
haben gleich große magnetische Momente, so dass bei T=0:
b) Im Antiferromagneten gibt es zwei Untergitter, die mit identischen
Atomen besetzt sind und damit die gleichen Momente tragen. Die
Austauschkopplung vermittelt eine antiparallele Stellung für T<TN, so
dass M=0 ist für T<TN.
M A  MB  0
MA MB
c) Falls wir zwei Untergitter zulassen mit unterschiedlichen Atomen, die
unterschiedliche Momente tragen, dann kann bei vollständiger
Ausrichtung und bei T=0 eine endliche Magnetisierung trotz negativer
Austauschkopplung auftreten  Ferrimagneten.
=
Festkörperphysik 2
M M
B
Prof. Dr.A Beatriz
Roldán Cuenyac
M A  MB  0
[email protected]
slide 149
Zwei Untergitter im Ferrimagneten Magnetit
• ist Fe3+ (dreiwertig) mit 3d5 Konfiguration, so dass ein Spin von
in Fe2O3:
S=5½ = 5/2 und ein Moment von 5 B pro Ion entsteht.
• Die Fe3+ Atome sind auf A und B Plätzen mit gleicher
Konzentration verteilt und koppeln antiferromagnetisch.
• ist Fe2+ (zweiwertig) mit 3d6 Konfiguration, so dass ein Spin von
in FeO:
S=4 ½ = 2 und ein Moment von 4 B pro Ion entsteht.
• Die Fe2+ Atome sitzen nur auf B-Plätzen.
Damit ergibt sich bei T=0:
A
B
5 B
5 B
Fe3+
Gesamtmoment
4 B
4 B
Fe3+
Fe2+
Bei T=0 kompensieren sich die Momente von Fe3+ auf den A- und BPlätzen und man beobachtet nur die Magnetisierung von Fe2+.
Festkörperphysik 2
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slide 150
Ferrimagneten Molekularfeld-Näherung
Die effektiven Felder in jedem Untergitter sind gegeben durch:
MF
ΗA
MF
ΗB
  AA MA   AB MB  Ha
wirkt auf Untergitter A
 BA MA  BB MB  Ha
wirkt auf Untergitter B
AB, BA, BB, AA <0
AB = BA
(Ha = äußeres Feld)
Wechselwirkungsenergiedichte:
 
MF
1 MF
1
1
2
2
U   ( H A M A  H B M B )    AA M A  BB M B   AB M A M B
2
2
2
Da alle Molekularfeldkonstanten <0 sind, wird U nur reduziert, wenn MA
antiparallel zu MB ist  U<0
 
1
1
2
2

M
M



M


M
Absenkung der Gesamtenergiedichte wenn: AB A B
AA
A
BB
B
2
2
 AB   AA , BB
Festkörperphysik 2
Wenn der Austauschkopplung zwischen dem A- und BUntergitter gegenüber den Austauschkopplung innerhalb des AB-Dr.Untergitter
dominiert.
(Beispiel: [email protected]
Magnetit)
Prof.
Beatriz Roldán
Cuenyac
slide 151
Curie Temperatur von Ferrimagneten
Η
eff
A
  AA M A   AB M B  H a
Η
eff
B
 BB M B  BA M A  H a
Vereinfachung: Vernachlässigung der
Welchselwirkung innerhalb der Untergitter:
λAA = λBB=0
C A eff C A
( AB M B  H a )
ΗA 
MA 
T
T
CB eff CB
MB 
ΗB 
( AB M A  H a )
T
T
T
  ABCB
  ABC A
0
T
CA
A 
T
CB
B 
T
Ha  0
Ferrimagnetische Curie
Temperatur
TC   AB C ACB
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slide 152
Suszeptibilität von Ferrimagneten
 ( M A  M B ) (C A C B )T  2  AB C AC B


H a
T 2  TC2
Abweichung von Curie-Weiss
Gesetz eines Ferromagneten
χ = C/(T-TC)
Gekrümmte χ-1 Kurve
Charakteristikum von
Ferrimagneten.
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slide 153
Temperaturverhalten
- Nicht nur die Magnetisierung der Untergitter, sondern auch die
Temperaturabhängigkeit der Untergittermagnetisierung kann sich
unterschiedlich verhalten.
- Dies kann zu komplexem Verhalten der Gesamtmagnetisierung
führen, da manchmal bei tiefen Temperaturen ein Untergitter dominiert
und bei hohen Temperaturen das andere.
Suszeptibilität eines Ferrimagneten:
T
1

  

C  0 T  '
1
Hyperbel, die bei Temperatur T=TC die
Temperaturachse schneidet.
-1
Für T folgt das einfache Curie-Weiss-Gesetz
im paramagnetischen Bereich:

1
T 
Festkörperphysik 2
C
mit   
 0 Cuenyac
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T=
Paramagnetisch
TC
[email protected]
T
slide 154
Ferrimagnetismus
M A  MB  0
=
MA MB
Zwei Untergitter mit unterschiedlichen Ionen mit verschiedenen Momenten
besetzt ergeben bei vollständiger Ausrichtung und bei T=0 eine endliche
Magnetisierung trotz negativer Austauschkopplung.
-1
TNF
Paramagnetisch
T=
TC
T
Kompensationspunkt
Festkörperphysik 2
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slide 155
Ferrimagnet: Magnetit FeO-Fe2O3 = Fe3O4
8Fe3+
S=5/2
(T)
(O)
B-Fe
oktaedrisch (O)
A-Fe
tetraedrisch (T)
S=5/2
S=4/2
8Fe3+
8Fe2+
Fe2O3
FeO
Resultierendes magnetisches Moment der komplexen Spinelstruktur ist
4B , Curie-Temperatur 860 K. Starker natürlich vorkommender Magnet.
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slide 156
Festkörpermagnetismus
Antiferromagnetismus
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slide 157
Antiferromagnetismus (J<0)
- Ohne äußeres Feld ist das Gesamtmoment eines Antiferromagneten
immer Null, daher schwierig nachzuweisen.
- Antiferromagnetismus tritt unterhalb der Néel-Temperatur TN auf.
- Oberhalb von TN : paramagnetisches Curie-Verhalten.
- Magnetische Periodizität ist größer als die chemische Periodizität.
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slide 158
Weiß-Modell des Antiferromagneten (Molekularfeldansatz)
Antiferromagnet kann als aus zwei ferromagnetischen Untergittern A
und B aufgebaut gedacht werden.
A
=
B
+
M A = - MB
Die effektiven Felder in jedem Untergitter sind gegeben durch:
MF
ΗA
MF
ΗB
  AA MA   AB MB  Ha
wirkt auf Untergitter A
 BA MA  BB MB  Ha
wirkt auf Untergitter B
(Ha = äußeres Feld)
Die entsprechenden Molekularfeldkonstanten sind:
a. Nächste Nachbarwechselwirkung: AB, BA <0 für antiparallele Ausrichtung
b. übernächste Nachbarwechselwirkung: AA , BB >0 für parallele Ausrichtung in
Untergittern A und B.
c.  AB   BA ,  AA   BB aus Symmetriegründen und |AB|> |AA|
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slide 159
Einfacher Fall: kein äußeres Feld, Ha=0
MB = - MA für einen Antiferromagneten und aus Symmetriegründen gilt:
MF
HA
MF
HB
  AB   AA  MB
  AB   AA  MA
Ansatz analog zum Ferromagneten (Faktor 2 wegen zwei Untergittern):
Oder:

C  MF C
 AB   AA  MB
MA 
HA 
2T
2T

C  MF C
 AB   AA  MA
MB 
HB 
2T
2T
C

 






1

AB
AA  M 
2T

 A   0
 MB 
  C    


1

AB
AA
 2T

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slide 160
Néel - Temperatur
Nicht-triviale Lösung für:
1
C
 AB   AA 

2T
TN  C
C
 AB   AA 

2T
0
1
 AB   AA
2
Mit    AB   AA entspricht dies dem
Ferromagneten. TN ist die Néel – Temperatur,
d.h. die Ordnungstemperatur des
Antiferromagneten. Jedes Untergitter ordnet
analog zum Ferromagneten, die Summe der
Magnetisierung MA + MB = 0 bleibt null.
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slide 161
Paramagnetischer Bereich (T > TN) mit Magnetfeld Ha ≠ 0
MB = + MA , d.h. resultierende Magnetisierung M = MA + MB = 2 MA
 AA   AB
M  Ha  M  Ha
2
Dabei sind die antiferromagnetischen Fluktuationen durch ein –
Zeichen berücksichtigt. Analog zum Ferromagneten folgt dann:
MF
HA

C
C   AA   AB

MT   HMF   
M  Ha 
2
T
T

Paramagnetischen Néel Temperatur (Ө):
Mit
 C
AB  AA
2
folgt
(Ө meist größer als TN)

M  T  ΘM  C H a
Magnetisierung des Antiferromagneten im paramagnetischen Bereich:
M
Festkörperphysik 2
C
Ha
T 
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slide 162
Antiferromagnetische Suszeptibilität für T > TN
Oberhalb von TN ist die Suszeptibilität fast unabhänging von der Richtung
des äußeren Feldes relativ zur Spin-Richtung auf dem Untergittern.
-1
 AFM ,Néel

M
C


H a T  
AF

Paramagnetisch
T=TN
T
• Ist > 0, dann liegt ein Antiferromagnet vor und es gilt = - TN
(negative Curie-Weiss-Temperatur):
D.h:
 > 0: antiferromagnetisch
 < 0: ferromagnetisch
= 0: paramagnetisch
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slide 163
Antiferrromagnetische Materialien
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slide 164
Suszeptibilität für T < TN
-1

?
AF

Paramagnetisch
T=TN
T
Richtung des Magnetfeldes ist entscheidend für die Suszeptibilität:
richtet sich ein Untergitter im Magnetfeld aus, um Energie zu gewinnen,
so wird dieser durch den Energieverlust des anderen wieder
kompensiert
MA


M ||
Ha
Ha
MB
MB
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MA
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slide 165
Antiferromagnet im Magnetfeld für T<TN, Ha  MA,MB
1. Anlegen eines Feldes senkrecht zu beiden
Untergittern. Verkippung beider Untergitter um
kleinen Winkel, so dass Magnetisierungskomponente parallel zu Ha erzeugt wird, 0:
Drehmoment durch das äußere Feld auf die Untergittermagnetisierung:

M A  H a  M A   AA0 M A   AB 0 M B




 0   AA 
M
M
A

A   AB M A  M B 
0


M A  H a  μ 0 λ ABM A M Bsin 2 φ  2 μ 0 λ ABM A M Bsinφ cosφ
 M A H a sin   2 AB 0 M A M B sin  cos
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slide 166
AF Suszeptibilität für T<TN, Ha  MA,MB
Ha  2AB 0MB cos  AB 0M||
 0 M \\
1
 

 const .
Ha
 AB
Die Suszeptibilität bei äußerem Magnetfeld senkrecht zur
Magnetisierung ist eine Konstante und unabhängig von der
Temperatur.


TN
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T
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slide 167
Antiferromagnet im Magnetfeld für T<TN, Ha||MA,MB
MA
2. Anlegen eines Feldes parallel zu einem Untergitter
und antiparallel zum anderen: keine Änderung, da
das eine Untergitter schon komplett ausgerichtet
ist, das andere sich aber nicht ändert, wenn die
AF-Kopplung nicht durch ein äußeres Feld
überwunden werden kann, d.h. =0 bei T=0.
Ha
MB

|| T  0  0,  T  TN  
||
1
 AB

TN
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T
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slide 168
Antiferromagnetische Suszeptibilität
Thermische Fluktuationen unterhalb TN verkleinern das Molekularfeld.
Keine Änderung in , da Ha beide Untergitter gleichermaßen reduziert.
Etwa lineares Ansteigen in ||, da Ha eine Untergittermagnetisierung
verstärkt und die andere unterdrückt.



TN
T
In sehr starken Magnetfeldern kann allerdings ein Spin-flop auftreten,
so dass die Orientierung von der parallelen zur senkrechten Richtung
wechselt:
Ha
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MB
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MA
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slide 169
Ferro- und Antiferromagnetische Ordnung
Festkörperphysik 2
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slide 170
Selten-Erd-Metalle
•
•
•

Bilden vorwiegend hexagonale Kristallstrukturen.
Die Kopplung wird hauptsächlich durch RKKY-Kopplung vermittelt.
Diese besitzt große Reichweite, alternierendes Vorzeichen, ist anisotrop.
Häufig komplizierte Spinstrukturen, die oft FM Komponente besitzen.
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slide 171
Zusammenfassung
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slide 172
Magnetische Domänen
Mikroskopisch kleine magnetisierte Domänen in den Kristallen eines
ferromagnetischen Stoffes
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slide 173
Magnetische Domänen
T << TC in FM alle magnetischen Momente sind parallel ausgerichtet 
Ms = Sättigungsmagnetisierung. Aber, in Experimenten, M << Ms ,
Material sieht fast unmagnetisch aus. Ursache: Weissche Bezirke oder
Domänen.
- Innerhalb der Domänen, spontane M = Ms
- In verschieden Domänen zeigt M in verschiede Richtungen, so dass
sich die Magnetisierung der einzelnen Domänen
nach außen aufheben kann.
- Es gibt Domänen nicht nur für Ferromagneten,
sondern auch für AFM und Ferrimagneten.
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slide 174
Freie Energie eines Ferromagneten
Freie Energie eines Ferromagneten hat für T < Tc zwei Minima:
Um von einer Magnetisierungsrichtung in eine andere zu kommen,
muss eine Energiebarriere überwunden werden.
Energiebarriere kann entweder bei Temperaturen nahe Tc oder bei
sehr kleinen Partikeln so klein werden, dass Temperatur ausreicht, die
Magnetisierungsrichtung zu ändern magnetische Fluktuationen.
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slide 175
Thermische Fluktuationen
In einem unendlichen System entscheidet sich die Thermodynamik
entweder für die eine oder andere Domäne. Nur nahe TC sind thermische
Fluktuationen verantwortlich für spontane Ummagnetisierung. Falls bei
tiefen
Temperaturen
mehrere
magnetische
Domänen
mit
unterschiedlichen Magnetisierungsrichtungen auftreten, dann muss dies
eine andere nicht-thermische Ursache haben.....
Domänenstruktur in Ni81Fe19
Initial magnetization distribution in a square
50µmx50µm Permalloy element.
R. Schäfer and A. deSimone
Hysteresis in soft ferromagnetic films: experimental
observation and micromagnetic analysis
IEEE Trans. Magn.
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slide 176
Warum bilden sich Domänenwände?
Magnetische Feldenergie eines
Dipols im Vakuum ist:
EDipol
0
2

H
dV

2
Im Fall von zwei Domänen reduziert
sich die Feldenergie um die Hälfte:
EDipol
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1  0

   H2dV 
2 2

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slide 177
Magnetische Domänen
Falls mehr Domänen gebildet werden, können eventuell Dipolfelder
im Vakuum vollständig vermieden werden. Dies entspricht dem
niedrigsten Energiezustand eines Ferromagneten. Ein Ferromagnet
wird im Laufe der Zeit immer in einen Domänenzustand zerfallen.
D. Buntnix, PhD Thesis, Leuven, 2003
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slide 178
Magnetische Domänenwände
180° Drehung
in einem
Schritt
Für eine 180° Magnetisierungsänderung in einem Schritt muß die
Austauschenergie überwunden
werden:
2
E ex  2JS
bzw pro Fläche, die von dem
Spin eingenommen wird
 ex
Festkörperphysik 2
180° Drehung in
N=5 Schritten
Für eine Magnetisierungsänderung
in z Schritten ist der Energieaufwand um den Faktor z reduziert:
2
 ex
2
z




 2 JS 2    2 JS 2
a
za
z
2
 2 JS 2
a
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slide 179
Austauschenergie versus Kristallanisotropie
Ohne Kristallanistropie würde die Domänenwand unendlich breit. Mit
Kristallanisotropie kostet die Drehung der Magnetisierung weg von der leichten
Achse Energie. Die Gesamtenergie ist damit proportional zur Wandbreite w=za
und der Anisotropiekonstanten K1 :
Easy
axis
ani  zK1a
 tot   ex  ani
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2

JS 2  Kw
wa
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slide 180
Wandenergie
Die Gesamtenergie bezüglich der Domänenwandbreite w wird
minimal falls
 tot
JS 2  2
  2 K  0
w
w a
JS 2  2
J

oder w 
Ka
K
Einsetzen der Wandbreite ergibt die Wandenergie
 tot  2 JKS 2  2 / a  JK
Zusammenfassung:
kleines K
w JK
 tot  J  K
Festkörperphysik 2
grosses K
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slide 181
Literaturwerte
Magnetokristalline
Anisotropie K [MJ/m3]
Domänenwandbreite [nm]
Fe
0.05
42
Co
0.85
15-20
Ni
0.042
1000
Py
0
infinite
Nahe Tc wird die Anisotropieenergie K sehr klein, dementsprechend
wächst die Domänenwanddicke.
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slide 182
Verschiedene magnetische Domänen
Magnetische Domänen in Fe-Wiskern
Senkrechte
magnetische Domänen
in Garnet Schichten
R.J. Celotta
Magnetische Domänen in dünnen
NiFe-Streifen
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slide 183
Magnetische Hysterese
Remanente
Magnetisierung
M
Sättigungsmagnetisierung
H
Koerzitivfeld
Demagnetisierter Zustand
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slide 184
Pinnen von Domänenwänden
Bewegung und Springen von Domänenwänden von
einem Pinningzentrum zum nächsten erzeugt häufig
Barkhausen Geräusche.
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slide 185
Wandverschiebung und Wandrotation
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slide 186
Festkörpermagnetismus
Und warum schwebt nun der Frosch?
Diamagnetische Levitation
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slide 187
Diamagnetische Levitation
• Die meisten Substanzen weisen einen sehr schwachen Diamagnetismus auf
• Am Levitationspunkt: Kraft aufgrund des Diamagnetismus die der Gravitation aufheben
• Ein Magnetfeld B(r) befinde sich in einem Schwerefeld mit der Beschleunigung g.
• Masse, Volumen, Dichte und Suszeptibilität seien bekannt
• Es gilt für das mag. Moment:
 
mr   
 
 VBr 
0
• Wird das Feld von Null auf B(r) erhöht si gilt für die totale magn. Energie:
V


 V 2  bzw. für die Gesamtenergie:

U m r   mgz 
B ²r 
U m r  
B r 
20
20
•
Da der Körper im Punkt des freien Schwebens kräftefrei sein muss, gilt:
 

 V

 V


F r   U r    mgez 
B ²r    mgez 
B r B r   0
20
0
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slide 188
Diamagnetische Levitation
• Lassen wir den Körper auf der z-Achse schweben und beschreiben dort das
Magnetfeld mit B(z), so erhalten wir für die Kraft aufgrund des Diamagnetismus:
V
Fdia  z  
B z B '  z 
0
• Schwebebedingung umformen:
 0 g
B  z B '  z  

Bzw.
B ²'  z   
2  0 g

• Diese Bedingung ist unabhängig von der Masse!
• Eindrucksvolle Levitationsversuche:
1. Material mit einem möglichst günstiges Verhältnis zwischen Dichte und
Suszeptibilität aufweist.
2. Magnetfeld, dass hinreichend stark ist, aber auch sehr rasch mit zunehmenden
z abfällt.
•
Experimentell: Starken Elektromagneten  schwachen Diamagnetismus des
Wassers auszunutzen, um biologisches Material zum Schweben zu bringen.
Festkörperphysik 2
Prof. Dr. Beatriz Roldán Cuenya
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