Physikscript - Flo

Physik-Script
F.Krumbach
27. Juni 2009
1
Physik
27. Juni 2009
Physik
Inhaltsverzeichnis
1 Was ist Mechanik
1.1 Unterteilung der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Eindimensionale Kinematik . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Dreidimensionale Kinematik . . . . . . . . . . . .
1.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Die Newtonschen Axiome . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Die Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Die Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Der Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Arbeit, Energie und Leistung . . . . . . . . . . .
1.3.6 Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Der starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Rollbewegung des starren Körpers . . . . . . . .
1.4.3 Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Analogien Translation/Rotation . . . . . . . . .
1.4.5 Allgemeine Bewegung des freien starren Körpers
1.4.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Schwingungen
2.1 Was sind Schwingungen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Freie harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Beispiel: Reibungsfeies Feder-Masse-System . . . . . .
2.2.2 Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Allgemeine Lösung für harmonische Schwingungen . .
2.2.5 Beispiel Torsionsschwinger . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Beispiel: Elektromagnetische Schwingung . . . . . . .
2.2.7 Beispiel Physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Energiebetrachtung bei der ungedämpften Schwingung
2.3 Freie gedämpfte Schwinung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Die erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Wellen
3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . .
3.2 Harmonische Wellen . . . . . .
3.3 Energietransport und Intensität
3.4 Dopplereffekt . . . . . . . . . .
3.5 Interferenzen . . . . . . . . . .
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einer Welle
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2
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4
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10
10
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11
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15
19
19
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36
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40
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51
51
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3.5.1
3.5.2
3.5.3
Überlagerung von Wellen: gleicher Richtung . . . . . . . . . . . . . . . 58
Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Überlagerung von Wellen: entgegen gesetzte Richtung . . . . . . . . . 59
4 Thermodynamik
4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Die Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . .
4.1.4 Zustandsgleichungen von Gasen . . . . . . .
4.2 Mikroskopischer Ansatz: Kinetische Gastheorie . .
4.2.1 Gasdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Thermische Energie und Temperatur . . . .
4.3 Zustandänderungen von Gasen . . . . . . . . . . .
4.3.1 Innere Energie , Wärme und Volumenarbeit
4.3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik . . .
4.3.3 Wärmekapazitäten . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Spezielle Zustandsänderungen idealer Gase
4.3.5 Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.6 Carnotscher Kreisprozess (rechtsläufig) . . .
3
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1 Was ist Mechanik
Kräfte und die Wirkung von Kräften auf flüssige, feste und gasförmige Körper. Die klassische
Mechanik (Newton 1643-1727) beschäftigt sich mit:
• v << c dh. die Geschwindigkeit ist langsamer als die Lichtgeschwindigkeit. Stellt man
Berechnungen in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit an, geht man in die relativistische
Mechanik.
• x >> 10−9 Man bewegt sich nicht in der Größe von Atomen. Stellt man Berechnungen
in kleineren Räumen an, geht man über zur Quantenmechanik.
1.1 Unterteilung der Mechanik
1. Kinematik: Bewegungslehre ohne Frage nach den Kräften
2. Statik: Kräftegleichgewicht am ruhenden Körper
3. Dynamik: Bewegung von Körpern mit dazugehörigen Kräften
Bsp.: Beim freien Fall wird neben dem Bewegungsgesetz s = 21 gt2 auch nach der Kraft,
die diese Bewegung bewirkt, gefragt.
1.2 Kinematik
1.2.1 Eindimensionale Kinematik
Der Ort P eines Körpers wird durch den Abstand s(t) vom Startpunkt definiert.
Man definiert:
Mittlere Geschwindigkeit:
vm (t) =
s(t + ∆t − s(t))
∆s
=
t + ∆t − t
∆t
(1)
Momentangeschwindigkeit:
v(t) = lim
∆t→
∆s
ds
=
= ṡ
0 ∆t
dt
(2)
Mittlere Beschleunigung:
am (t) =
v(t + ∆t − v(t))
∆v
=
t + ∆t − t
∆t
(3)
dv
∆v
=
= v̇ = s̈
0 ∆t
dt
(4)
Momentanbeschleunigung:
a(t) = lim
∆t→
Problemstellung: Oftmals möchte man von a(t), das bekannt ist, auf s(t) und v(t) kommen.
Beispiel:
• Blackbox im Flugzeug: Dort wird die Beschleunigung mit Sensoren gemessen und
daraus müssen Geschwindigkeit und Weg berechnet werden
• Erdbeschleunigung g = 9, 81 sm2 ist bekannt. Daraus ergeben sich andere Größen einer
Wurf- bzw. Fallbewegung.
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Vorgehen: Integration von a(t)
Z
v(t) = k1 +
Z
a(t)dt = v0 +
Z
s(t) = k2 +
a(t)dt
(5)
v(t)dt
(6)
Z
v(t)dt = s0 +
Es gibt 2 Integrationskonstanten:
k1 = v0 = v(t = 0) :Anfangsgeschwindigkeit
k2 = s0 = s(t = 0) :Weg der zum Zeitpunkt t = 0 schon zurückgelegten Strecke
Spezialfälle
• gleichmäßige Geschwindigkeit mit a = 0
Z
v(t) = v0 +
a(t)dt = v0 = const.
Z
v0 dt = s0 + v0 · t
s(t) = s0 +
(7)
(8)
• gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit a = a0 = const.
Z
v(t) = v0
Z
s(t) = s0
Z
v(t)dt = s0 +
a0 dt = v0 + a0 · t
1
(v0 + a0 · t)dt = s0 + v0 · t + a0 t2
2
(9)
(10)
Mit v0 = s0 = 0 erhält man die bekannten Gleichungen der Schulphysik:
v(t) = a · t
(11)
1
1
v 2 (t)
s(t) = a0 t2 = v(t) · t =
2
2
2a0
(12)
Anwendung: Freier Fall:
• Vorausgesetzt wird, dass auf der Erdoberfläche die Erdbeschleunigung von
g = 9, 81 sm2 senkrecht nach unten wirkt.
Beispielaufgabe: Auf einem 10m hohen Turm wird ein Ball mit v = 5 m
s nach oben geworfen.
Gesucht:
• Maximale Steighöhe smax
• Flugzeit bis zum Boden tf lug
• Aufprallgeschwindigkeit vend
• Kinematischen Gleichungen:
v(t) = v0 + a0 · t
s(t) = s0 + v0 · t + 12 a0 t2
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Maximale Steighöhe
ds(t)
v0
= v0 (t) = 0 → v0 + a0 · t = 0 → t =
→ 0, 51s
t
g
Mit t =
−v0
g
(13)
berechnet man smax .
1
v0 1
smax = s0 + v0 · t + a0 t2 = s0 + v0 ·
− g·
2
g
2
= s0 +
v0
g
2
(14)
v02 1 v02
v2
−
= s0 + 0 → 11, 27m
g
2 g
2g
Flugzeit bis zum Boden
1
s(t) = s0 + v0 (t) + a0 t2 = 0
2
Mit a0 = −g
t2 −
t1/2
(15)
2v0
2s0
·t−
= 0 → MNF
g
g
v0
=
±
g
s
v0
g0
2
−
2s0
= 0, 51s ± 1, 52s
g
t1 = 2, 03s ist die Zeit vom Start bis zum Flugende.
t2 = −1, 01s ist ebenfalls eine sinnvolle Lösung. Es wäre die Zeit, die der Ball benötigt,
wenn er vom Boden abgeworfen wird und bis auf die Höhe des Turms steigt, so dass er dort
die Geschwindigkeit v(0) = 5 m
s hat.
Aufprallgeschwindigkeit
v(t) = v0 + a0 · t = v0 − g · t → −14, 9
m
s
(16)
setzt man t2 = −1, 01s ein, ergibt sich
v(1, 01) = v0 + a0 · t = v0 − g · t → 14, 9
m
s
(17)
Simulation zum Waagerechten- und Schiefen Wurf unter: www.walter-fendt.de/ph14d
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1.2.2 Dreidimensionale Kinematik
Um einen Ort eines Punktes im Raum zu definieren sind 3 Koordinaten nötig. Eine gebräuchliche Darstellung ist das kartesische Koordinatensystem. 

x(t)


Ein Ort wird durch einen Ortsvektor ~r(t) beschrieben: ~r(t) =  y(t)  Der Versuch mit
z(t)
der Wurfmaschine zeigt uns, dass sich die Bewegung in x-,y-, und z-Richtung ungestört
überlagern.


ẋ(t)


(18)
~v (t) = ~r˙ (t) =  ẏ(t) 
ż(t)


ẍ(t)


˙
¨
~a(t) = ~v (t) = ~r(t) =  ÿ(t) 
z̈(t)
(19)
Anwendung: Schiefer Wurf (Champagner Korkenweitschuss):
• Vorgaben:
– Zur Zeit t = 0 gilt β = 60◦ , v0 = 20 m
s , der Ursprung ist Startpunkt
• Gesucht:
– Vektoren ~a(t), ~v (t), ~r(t) ?
– Wann erreicht der Korken den höchsten Punkt?
– Wo und wie hoch ist der höchste Punkt?
– Wann und wo erreicht der Korken die Abschusshöhe(xE , yE , tE )?
– Welcher Abschusswinkel führt zur maximalen Wurfweite?
• Startbedingungen in Vektorschreibweise:
v~0 =
v0 · cosβ
v0 · sinβ
!
; ~a(t) =
0
−g
!
(20)
• Geschwindigkeits- und Ortsvektoren
~v (t) =
v0 · cosβ
v0 · sinβ − 21 gt
!
; ~r(t) =
x = v0 · t · cosβ → t =
v0 · t · cosβ
v0 · t · sinβ − 12 gt2
!
(21)
x
→
v0 · cosβ
1
g
y(x) = v0 · t · sinβ − gt2 = tanβ · x −
· x2
2
2
2v0 · cos2 β
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Wann und wo erreicht der Korken den Scheitel?
ymax →
dy
= vy = 0
dt
v0 · sinβ − g · t = 0 → ts =
xs = v0 · t · cosβ = v0 ·
(22)
v0 sinβ
→ 1, 77s
g
v0 · sinβ
v0 2 · sinβ · cosβ
→ 17, 66m
· cosβ = xs =
g
g
(23)
1
v0 2 · sin2 β
v0 2 · sin2 β
1 v0 2 · sin2 β
ys = v0 ·t·sinβ − gt2 =
=
y
=
= g·
→ 15, 29m (24)
s
2
g
2
g2
2g
Wann und wo erreicht der Korken die Abschusshöhe?
1
2v0 · sinβ
yE = 0 : v0 · t · sinβ − gt2 = 0 → tE =
2
g
(25)
aber: da, tE = 2 · ts → 3, 54s und 2 · xs → 35, 32m
Welcher Winkel ergibt die optimale Flughöhe?
xE =
2 · v0 2 · sinβ · cosβ
dx
→ E →
g
dβ
(26)
0
z
}|
{
2v0 2
2v0 2
· (−sin2 β + cos2 β) =
· (cos2 β − sin2 β +sin2 β + cos2 β − 1) = 2cos2 β − 1 = 0
g
g
r
→ cosβ =
1
= β = 45◦
2
Anwendung Kreisbewegung
• Wir betrachten einen Punkt, der sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt.
• Gesucht sind die Vektoren: ~r(t), ~v (t), ~a(t).
• Konstante Geschwindigkeit bedeutet:β nimmt mit der Zeit linear zu
→ β(t) = ω · t =
2π
· t mit r = |~r(t)| und ωt
T
Geschwindigkeits- und Ortsvektoren
~r(t) =
x
y
!
=
r · cosβ
r · sinβ
8
!
=
r · cosωt
r · sinωt
!
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~v (t) = ṙ(t) =
~a(t) = v̇(t) =
|~r(t)| =
q
−r · ω · sinωt
r · ω · cosωt
!
−r · ω 2 · cosωt
−r · ω 2 · sinωt
!
x2 + y 2 =
p
= −ω · ~r(t)
= −ω 2 · ~r(t)
r2 · cos2 ωt + r2 · sin2 ωt = r
entsprechend: |~v (t)| = ωr und |~a(t)| = ω 2 r
Bewegt sich ein Punkt auf einer Kreisbahn, so wirkt auf ihn eine Beschleunigung in die
entgegengesetzte Richtung zum Ortsvektor und hat den Wert ω 2 r. Die Beschleunigung zeigt
in jedem Moment zum Kreismittelpunkt und heißt Zentripetalbeschleunigung.
• Was bedeutet die Proportionalitätskonstante ω ?
ω: Ist die Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz, sie gibt die Zunahme des Winkels
β mit der Zeit an.
Bei konstanter Bahngeschwnidigkeit gilt:
ω = konst. = 2π
T = 2π · f (Drehfrequenz f In manchen Büchern auch n genannt)
Ist ω nicht zeitlich konstant, so gilt, dass die momentane Kreisfrequenz ω = dβ
dt = β
ist, dh. es gibt eine Funktion β(t), so dass β nicht proportional zu t ist.
Beispiel: Beschleunigung beim Astronautentest ?
• Belastung beim normalen Menschen ca. 4g
beim Astronaut ca. 7g
• Gegeben: Zentrifuge mir r = 10m. Gesucht: Umlaufgeschwindigkeit für 4 und 7g
r
2π
a
2
|~a| = a = ω r umgestellt und T =
und ω =
(28)
ω {z
r}
|
√r
T =2π·
a
ergibt für: T4g = 3, 17s für einen Umlauf und für T7g = 2, 40s
Beispiel: Welche Beschleunigung wirkt auf eine Turboladerschaufel ?
r = 1, 5cm bei 100.000U prm am Außenrand
60s
T =
= 6 · 10−4 ms
100.000U prm
r
r
4π 2 · r
m
→a=
→ 1, 65 · 106 2 ≈ 1, 65 · 105 g
Aus T = 2π ·
2
a
T
s
(29)
Beispiel: Wie Groß ist die Bahngeschwindigkeit der Erde (r = 6370km)?
1. Am Äquator: ω =
2π
24·60·60s
= 7, 27 · 10−5 1s
m
km
≈ 1668
s
h
m
2
|a(t)| = a = ω · r → 0, 034 2
s
|v(t)| = v = ω · r → 463
(30)
m
2. In Stuttgart: rStut. = rAeua. · cos49◦ → vStut. = 1094 km
h und a = 0, 022 s2
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1.3 Dynamik
Die Kinematik beobachtet und beschreibt nur Bewegungszustände. Nun ist in der Dynamik
gefragt: Was ist die Ursache der Bewegung eines Körpers? Zunächst arbeiten wir mit der
Modellvorstellung des Massepunktes.
• Die Dimension des Körpers ist vernachlässigbar gegenüber der Dimension der Bewegung.
• Die gesamte Masse ist in einem Punkt vereinigt.
• Das Modell berücksichtigt keine Verformung, Rotation oder Volumenschwingung des
Körpers.
1.3.1 Die Newtonschen Axiome
Die Newtonschen Axiome beschreiben die makroskopische Welt bei Geschwindigkeiten, bei
denen v << c ist.
1. Axiom: Jeder Körper behält seine Geschwindigkeit (Betrag als auch Richtung) bei,
wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken.
• Ein System auf das keine äußeren Kräfte wirken heißt Inertialsystem.
• Es gibt beliebig viele solcher Inertialsysteme.
• Also ein System in absoluter Ruhe (Was ist das? Fixsternenhimmel).
• Erde ist streng genommen kein Inertialsystem (Anziehungskraft von Sonne, Mond
usw.).
• Für viele Experimente kann jedoch die Erde in guter Näherung als Inertialsystem
betrachtet werden.
2. Axiom: Die zeitliche Änderung des Impulses p~ = m · ~v ist gleich der resultierenden
Kraft auf den Körper.
• F~ = d~p = d (m · ~v ) = m · d~v + ~v · dm .
dt
dt
dt
dt
• Im Alltag ist die Masse meist konstant (ausgenommen Raketenantrieb und verv
wande Antriebe), dann gilt F~ = m · d~
a.
dt = m · ~
• Ist die Summe aller äußeren Kräfte 0 (Resultierende), dann wirkt keine Beschleunigung.
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3. Axiom: (actio=reactio) Wirkt ein Körper 1 auf Körper 2 mit der Kraft F12 ,so wirkt
Körper 2 auch auf Körper 1 mit der Kraft F21 = −F12 (gleicher Betrag, entgegengesezte Richtung).
• Kräfte treten paarweise auf und bei beiden Körpern ändert sich der Impuls.
• Kräfte wirken in der klassischen Vorstellung gleichzeitig. In der Realität allerdings, wirken die Kräfte mit der maximalen Informationsgeschwindigkeit c.Dass
heißt, dass eine endliche Zeit vergeht, bis ein Körper die Änderung einer Kraftwirkung spürt. Wäre die Sonne plötzlich weg, würde es 8min. dauern, bis die
Erde tanggential wegfliegt.
• Nicht zu verwechseln ist das 3.Axiom mit dem Kräftegleichgewicht. Beim Kräftegleichgewicht betrachtet man alle Kräfte, die auf einen Körper wirken.
• Das 3.Axiom gilt nicht in beschleunigten Systemen, d.h. Scheinkräfte haben keine
Reaktion.
1.3.2 Die Masse
Es gibt 2 Eigenschaften der Masse:
1. Die Trägheit der Masse: Aus dem 2.Axiom F~ = m · ~a folgt:
Die Masse ist ein Widerstand gegen die Bewegungsänderung (Trägheit).
→ Bestimmung der Masse durch Beschleunigungsversuche
2. Die Schwere der Masse: Zwischen zwei Massen wirkt eine Anziehungskraft, die sog.
m3
2
Gravitationskraft: F12 = γG · m1r·m
mit Gravitationskonstante γG = 6, 673 · kgs
2
2
1.3.3 Die Kraft
Aus dem 2.Axiom folgt: F~ = m · ~a + v ·
dm
dt
mit [1N = 1kg · 1 sm2 ]
• Bei konstanter Masse gilt: F proportional zu ~a
• Kräfte werden vektoriell addiert.
• Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter,
P
wenn gilt: F~i = 0 → Statischer Bereich sh. TM
Beispiele für Kräfte:
1. Gewichtskraft: F~G = m · ~g
2. Zentripetalkraft ist die Kraft, die nötig ist, um einen Körper auf einer Kreisbahn zu
halten.
F~Zp = m · aZp = −m · ω 2 · ~r
Zusammenhänge dazu:
β=
b
r
und β̇ =
ḃ
r
und β̇ = ω und ḃ = VBahn → ω =
VBahn
r
2
Daraus folgt: F~Zp = − mv
~
r
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Aufgabe zu Kräften
• Zwei Körper (m1 < m2 ) hängen an einem dünnen, massefreien Faden, der reibungsfrei
über eine massefreie Rolle läuft.
• Wie groß ist die Beschleunigung a der beiden Körper ?
F~a = FG2 − FG1 = (m2 − m1 ) · g
(31)
(m1 + m2 ) · a = (m2 − m1 ) · ~g
m2 − m1
~a =
· ~g
m1 + m2
• Wie groß ist die Seilkraft?
1. Wir betrachten die Seilkraft Fs auf m1 :
m2 − m1
F~s = m1 · ~g + m1 · a = m1 · g +
· g · m1 =
m1 + m2
2m2
m1 + m2 + m2 − m1
· m1 · g =
· m1 · g
m1 + m2
m1 + m2
(32)
2. Wir betrachten die Seilkraft Fs auf m2
m2 − m1
·g =
m1 + m2
2m2 · m1
m1 + m2 − m2 + m1
· m2 · g =
·g
m1 + m2
m1 + m2
Fs = m2 · g − m2 · a = m2 · g − m2 ·
(33)
1.3.4 Der Impuls
d
Das 2.Axiom macht eine Aussage über die Änderung dieser Bewegungsgröße F~ = dt
(m · v).
m
Die Bewegungsgröße m · v nennt man Impuls. Einheit [~
p = kg · s ]
Aus dem 3.Axiom lässt sich der Impulserhaltungssatz herleiten:
Wirken auf ein Gesamtsystem keine äußeren Kräfte, so bleibt die Summe aller Einzelimpulse
erhalten (Summe=Vektoraddition mit Vorzeichen).
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Versuch
• 2 Fahrbahnwagen sind zunächst in Ruhe und bewegen sich dann mit entgegengesetzt
gleich großer Geschwindigkeit voneinander weg. Vor und nacher ist der Impuls 0.
Für den Versuch gelten folgende Bedingungen:
• Reibung ist durch Luftkissenbahn praktisch 0.
• In der Waagerechten gibt es keine Kräfte.
1.3.5 Arbeit, Energie und Leistung
Wenn eine Kraft auf einen Körper wirkt und verschiebt diesen um den Weg ds, so ändert
er den Zustand des Körpers. Es wurde dabei am Körper die Arbeit W verrichtet:
Arbeit: W = F~ ∆~s = |F~ | · |∆~s| · cos(F~ , ∆s)
(34)
Über das Skalarprodukt F~ · ∆~s wird nur die Kraftkomponente längs des Weges berücksichtigt. Für differentielle Wegstücke dW = F~ · ds.
Damit ist die Arbeit auf dem Weg von S1 nach S2 :
ZS2
W =
ZS2
dW =
S1
F~ d~s
(35)
S1
Beispiele
1. Arbeit um einen Körper im Schwerefeld von h1 nach h2 anzuheben,
ist F~ = F~G = m · g:
Zh2
W =
Zh2
dW =
h1
F~ d~h = m · g · (h1 − h2 )
(36)
h1
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2. Arbeit um einen Körper zu beschleunigen:
ZS2
ZS2
F ds =
W =
ZS2
ma
ma · ds =
(37)
S1
S1
dv
· ds mit v =
dt
ds
→ ds = v · dt
dt
S1
Zv2
=
v1
dv
ma · vdt =
dt
1
mv 2
2
v2
=
v1
Zv2
m·a·v =
v1
1
1
m · v22 − m · v12
2
2
3. Kraft um eine Feder zu spannen, F~ = c · ~s:
ZS2
W =
ZS2
F d~s =
csds =
(38)
1
1
s · c22 − s · c21
2
2
(39)
S1
S1
Leistung
• Die Leistung berücksichtigt die Zeit t in der die Arbeit W verrichtet wurde.
• Die Momentanleistung: P =
• mittlere Leistung: P =
dW
dt
mit der Einheit [P ] =
Nm
s
=
J
s
= W.
∆W
∆t
Aufgabe:
Wie groß ist die mittlere Leistung, um ein Fahrrad mit Fahrer insgesamt m = 100kg in 10s
auf 30 km
h zu beschleunigen?
km
1000m
m
= 30 ·
= 8, 33
h
3600s
s
(40)
1
m · v2
W
= 2
= 347W = 0, 347kW = 0, 5P S
t
t
(41)
30
P =
Energie
Verrichtet man Arbeit an einem Körper, so ist diese Arbeit anschließend im Körper in Form
von Energie gespeichert. Durch Zufuhr oder Abgabe von Arbeit wird die Energie eines
Körpers erhöht oder erniedrigt.
Die Einheit der Energie ist J (Joule).W = Enacher − Evorher
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In der Mechanik unterscheidet man folgende Energieformen:
• Kinetische Energie: Die Energie, die nach der Verrichtung von Beschleunigungsarbeit
1
im Körper steckt . Ekin = mv 2
2
• Potentielle Energien: Energien, die vom Ort des Körpers und der „geschickten„ Lage
des Nullniveaus abhängt.
ELage = m · g · h mit h, Strecke über gewähltem Nullniveau
EElastisch = 21 c · s2
Es gilt der Energieerhaltungsatz:
In einem abgeschlossenen System bleibt die Energie konstant. Energie kann weder vernichtet,
noch erzeugt werden. Energie kann nur in verschiedene Energieformen umgewandelt werden
oder zwischen verschiedenen Systemeteilen ausgetauscht werden.
Es gibt kein Perpetuum mobile (1.Art), dh. es gibt keine Maschine, die Arbeit verrichtet,
ohne dass von außen Energie in das System hineingesteckt wird.
Aufgabe:
Eine Stahlkugel fällt frei aus der Höhe hvor auf eine Stahlplatte und springt danach auf die
Höhe hnacher = 0, 9 · hvor .
1. Wie groß ist ihre Geschwindigkeit vvor kurz vor dem Aufprall?
p
1
2
2
→ vvor
= 2 · g · hvor → vvor = 2 · g · hvor
m · g · hvor = mvvor
2
(42)
2. Wie groß ist die Geschwindigkeit kurz nach dem Aufprall?
p
p
p
p
1
2
m · g · hnach = mvnach
→ vnach = 2 · g · hnach = 0, 9 · 2ghvor = 0, 9 · vvor (43)
2
3. Wie groß ist die Impulsänderung der Kugel?
Pvor = −mvvor → Pnach = m · vnach = m ·
∆P = Pnach − Pvor = m ·
p
p
0, 9 · vvor
(44)
0, 9 · vvor + m · vvor = 1, 95 · m · vvor
4. Welcher Teil wird nicht in mechanische Energie umgewandelt?
∆E = Evor − Enach = m · g · hvor − m · g · hnach = 0, 1m · g · hvor = 10%
(45)
1.3.6 Stoßprozesse
Kurzzeitige Berührung von Körpern unter Änderung des Bewegungszustandes.
Beispiele: Billiard, Tennis, Autozusammenstoß, Teilchenkollisionen in Atom und Kernphysik
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Zentraler, gerader elastischer Stoß
• Zentral: Schwerpunktverbindungslinie liegt senkrecht zur Berührebene.
• Gerade: Die Schwerpunkte liegen auf einer Linie.
• Elastisch: ohne Energieverlust → Es gilt der Energieerhaltungssatz (EES).
1. EES:
1
1
1
1
m1 v12 + m2 v22 = m1 v102 + m2 v202
2
2
2
2
(46)
m1 v1 + m2 v2 = m1 v10 + m2 v20 →
(47)
2. IES:
m1 · (v1 −
V10 )
= m2 · (v2 −
V20 )
aus 1. ergibt sich
m1 · (v102 − v102 ) = m2 · (v22 − v202 )
m1 · (v1 − v10 )(v1 + v10 ) = m2 · (v2 − v20 )(v2 + v20 )
v1 + v10 = v20 + v2
v1 − v2 = v20 − v10 = −(v10 − v20 )
⇒ dh. die Geschwindigkeit ist vor und nacher gleich, unabhängig von den Massen.
Daraus erhält man die Geschwindigkeit nach dem Stoß:
v10 = v20 + v2 − v1 und v20 = v10 + v1 − v2
(48)
m1 · (v1 − v10 ) = m2 · (v2 − v20 )
(49)
Einsetzen in IES:
m1 · (v1 −
v10
− v2 + v1 ) = m2 · (v2 −
v20 )
m1 v1 − m1 v20 − m1 v2 + m1 v1 = m2 v20 − m2 v2
m2 v20 − m1 v20 = m2 v2 − m1 v1 − m1 v2 + m1 v1
v20 (m1 + m2 ) = 2m1 v1 + v2 (m2 − m1 )
2m1 v1 + v2 (m2 − m1 )
v20 =
(m1 + m2 )
Sonderfall 1: gleich große Massen:
2m · v1
= v1
2m
2m · v2
v10 =
= v2
2m
Sonderfall 2: Reflexion an fester Wand, dh.: m2 >> m1 und v2 = 0
v20 =
(50)
2m1 · v1
=0
m2
−m2 · v1
v10 =
= −v1
m2
v20 =
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Zentraler, gerader inelastischer Stoß
• Inelastisch: mit mechanischem Energieverlust in Form von Verformungsenergie
Keine äußeren Kräfte → IES
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v 0 → v 0 =
m1 v1 + m2 v2
m1 + m2
(51)
mit mechanischen Verlusten, EES mit Ergänzung
1
1
1
m1 v12 + m2 v22 = (m1 + m2 )v 02 + ∆W
2
2
2
(52)
Aufgabe
Zwei Eisenbahnwagen rollen reibungsfrei auf ebenem geraden Gleis mit:
m
m1 = 24t, v1 = 3 m
s , m2 = 20t, v2 = 1, 8 s .
Beim Stoß koppeln die Wagen ineinander , dh. unelastischer Stoß, es gibt Verfomungsenergie
∆W , da keine äußeren Kräfte wirken. Es gilt der IES.
v0 =
m1 v1 + m2 v2
m
→ 2, 45
m1 + m2
s
(53)
Wie viel Energie wird in Wärmeenergie und Verformungsenergie umgewandelt?
1
1
Wvorher = m1 v12 + m2 v 2 → 140, 4KJ
2
2
1
Wnacher = (m1 + m2 ) · v 02 → 132, 54KJ
2
→ ∆W = Wvorher − Wnacher = 7, 86KJ
(54)
Aufgabe Ballistisches Pendel
Der Pfeil einer Armbrust (mpf = 20g, vpf = 270 m
s ) wird in einen Holzklotz (mho = 10kg)
geschossen, der an einer Schnur hängt. Welche Höhe erreicht der pendelnde Holzklotz?
- Holzklotz wird verformt → EES gilt nicht
- Keine äußeren Kräfte → IES gilt:
mpf · vpf = (mpf + mho ) · v 0
mpf · vpf
m
v0 =
→ 0, 539
mpf + mho
s
(55)
Nun gilt der EES, dh. Ekin geht über Etot
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1
(mpf + mho ) · v 02 = (mpf + mho ) · h · h
2
(mpf + mho ) · v 02
v 02
h=
=
→ 14, 8mm
2 · (mpf + mho ) · g
2g
(56)
Mechanische Energien vor- und nacher:
1
2
EP f = mpf · vpf
= 729J
2
Epot,nacher = mges · gh = 1, 46J
(57)
(58)
Übungsaufgabe zur Kinematik der Drehbewegung
Ein Rotor wird aus
der Ruhe mit folgender Drehbeschleunigung α beschleunigt:
α(t) = α0 (1 − sin 2·tπ 1 ) mit t1 = 5s nach 5s ist die Drehzahl n = 1800min−1 erreicht.
Bestimme die Konstante α0
Z
ω(t) =
Z
α(t)dt =
α0 · [1 − sin
=
ω(t1 ) =
=
=
=
(59)
π
· t dt
2t1
t
2t1
π
α0 · t + α0 ·
· cos
π
2t1 0
π
2t1
2t1
· cos
· cos(0)
α0 · t + α0
· t − α0 ·
π
2t1
π
1
2t1
π
2t1
2 · π · 1800
= α0 · t1 + α0 ·
· cos( ) − α0 ·
min
π
2
π
2t1
α0 · t 1 −
π
2
α0 · t1 · 1 −
α0
π
2π · 1800
= α0 ·
=
π
· t]
2t1
Z
dt − α0 ·
t1 · 1 −
= 103, 8
2
π
Z
sin
min
rad
s−1
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Wie viele Umdrehungen hat der Rotor bis zum Zeitpunkt t1 ausgeführt ?
Z
ω(t) =
Z
ω(t)dt =
"
=
π
π
· cos
α0 t + α0 ·
2t1
2t1
1
2t1
α0 t2 + α0
2
π
2
− α0
2t1
dt
π
(60)
#t
π
2t1
sin
· t − α0 ·
·t
2t1
π
0
π
2t1
1
2t1
· sin
· t − α0
=
α0 t2 + α0
·t
2
π
2t1
π
1
4
2
ϕ(t) = α0 · t2 ·
+
−
2 π2 π
rad
= 108, 3 2 · 25s2 · 0, 269 = 697rad
s
Daraus ergeben sich N = 697 rad
2π → 110 Umdrehungen
1.4 Der starre Körper
Ein starrer Körper ist ein System von Massenpunkten, deren Abstände durch innere Kräfte
fest vorgegeben sind und die durch äußere Kräfte nicht verändert werden.
Es gilt:
• Bei der Translation des starren Körpers werden sämtliche Massenpunkte um die gleiche
Strecke parallel verschoben.
• Bei der Rotation des starren Körpers rotieren alle Massenpunkte mit der gleichen
Winkelgeschwindigkeit.
• Die allgemeine Bewegung des starren Körpers setzt sich aus Translation und Rotation
zusammen.
1.4.1 Drehmoment
Wirkt eine Kraft an einem starren Körper außerhalb des Schwerpunktes, dann kommt es
in der Regel zu einer Drehung des Körpers. Ist der Körper in O drehbar gelagert, so wird
die Wirkung der Kraft in A umso stärker sein, je größer die Kraft selbst und der wirksame
Kraftarm rsenk ist.
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→ Drehmoment = wirksamer Kraftarm x Kraft
~ = ~r × F~
Vektoriell gilt: M
M = rsenk · F = r · sin α · F
• Damit eine Drehbewegung stattfindet, muss ein Drehmoment vorhanden sein und
α 6= 0 sein.
• Nach der Definition ist das Drehmoment maximal, wenn F und r senkrecht aufeinander
stehen.
• Formal haben Arbeit, Energie und Drehmoment die gleiche Einheit [N · m] Im Gegensatz zur Arbeit bzw. Energie (Skalaregrößen) ist M eine vektorielle Größe:
1.4.2 Rollbewegung des starren Körpers
Versuch: Ein Vollzylinder rollt die schiefe Ebene schneller herunter wie ein Hohlzylinder mit
der gleichen Masse.
• unterschiedliche Energie in der Drehbewegung
• die unterschiedliche Massenverteilung spielt eine Rolle
Um einen Körper in Drehung zu versetzen verrichtet man Arbeit:
Z
W =
Z
F ds =
Z
F r⊥ dϕ =
M · dϕ
(61)
In Analogie zum 2.Axiom mit F = m · a gilt für die Drehbewegung, dass die Winkelbeschleunigung α proportional zum Drehmoment M ist.
M = J · α mit α =
dω
d2 ϕ
= 2
dt
d t
Der Proportionalitätfaktor J berücksichtigt die Trägheit, die der Körper der Änderung seines Rotationszustandes entgegensetzt, Analog zur Masse bei der Geradlinigenbewegung.
Man nennt J das Trägheitsmoment oder auch Massenträgheitsmoment des Körpers. Es gibt
an, wie die Masse um eine bestimmte Drehachse verteilt ist.
Vesetzt man einen Körper durch ein Drehmoment in Rotation, so verrichtet man Beschleunigungsarbeit, die der Körper als kinetische Energie besitzt.
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Wie viel Energie steckt in einer sich Drehenden Scheibe der Dicke D
Jedes Massenelement dm hat die dE mit dE = 12 dmv 2 .
E=
1
2
Z
0M (v(r))2 dm
(62)
Die Geschwindigkeit eines Massenelementes ist:
rot
V = ω · r → Ekin
=
rot
Ekin
=
1
1
(ωr)2 dm = ω 2 r2 dm
2
2
Z
1 2
jω mit J = r2 dm
2
Z
Z
(63)
Alternative Herleitung:
Z
W =
Z
J
Z
M dϕ =
J · αdϕ = J
dϕ
dω = J
dt
Z
Z
dω
dϕ =
dt
(64)
1
ωdω = Jω 2
2
Beschreibung des Walzvorgangs über die Energien:
Evor = m · g · h
1
1
Enach =
mv 2 + Jω 2
2
2
(65)
Wie groß ist ω ?
v =ω·r →ω =
E =m·g·h =
v
r
1
1 2 1 2
J
2
mv + Jω = v m + 2
2
2
2
r
21
(66)
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Wie groß ist J bei den beiden Zylindern ?
Allgemein gilt:
J=
X
∆mi · ri2
(67)
geht über in ein Integral bei symetrischen Körpern.
Bei einem Hohlzylinder mit dünnem Ring:
Z
J=
2
r dm = R
2
Z
dm = R2 · m
(68)
Bei einem Vollzylinder:
Z
J=
r2 dm → dm = ρ · dV
Z
J=
= ρ · l · 2πrdr
r2 ρl2πrdr = ρl2π ·
1
= ρ · π · R2 R2 =
2
Z
(69)
1
r3 dr = ρl2π r4
4
R
0
1
m · R2
2
Wie groß ist die Geschwindigkeit am Ende der schiefen Ebene ?
Vollzylinder mit:
1
mr2
J
1 2
1 2
=
v · m+ 2 2
E =m·g·h= v · m+ 2
2
r
2
r
3 2
1 2 3
v · m =
v m
2
2
4
s
s
4
4 p
→v=
·g·h =
· gh =
3
3
!
=
(70)
dünnwandiger Zylinder:
E =m·g·h =
→v =
1 2
mr2
v m+ 2
2
r
!
= v2 · m
(71)
p
gh
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Berechnung von Massenträgheitsmomenten bei Drehungen um beliebige Achsen
Bei Achsen durch den Schwerpunkt gilt:
J=
X
∆mi · ri bzw. J =
Z
r2 dm
(72)
Für die Situation gibt es tabelierte Werte (siehe Martin S.71).
Wie sieht es mit Drehbewegungen um Achsen aus, die nicht durch den Schwerpunkt gehen?
Bsp.: Eine Zimmertür dreht sich bei einem Umlauf um sich selbst. Seine gesamte kinetische
Energie setzt sich daher aus der kinetischen Energie der Bahnbewegung und der Rotationsenergie der Drehung um den Schwerpunkt zusammen: Drehung eines Hohlzylinders um eine
Achse am äußeren Radius (im Punkt P)
Ekin =
=
=
1 2 1
v + Js · ω 2 mit vs = ωr
2 s 2
1
1
mω 2 r2 + Js ω 2
2
2
1 2
ω
(mr2 + Js )
|
{z
}
2
(73)
Jp =m·r2 +Js Steiner Satz
Bedeutung des Satzes von Steiner:
• Das Massenträgheitsmoment eines Körpers für parrallele Achsen ist unterschiedlich
und hängt vom Abstand r zur Drechachse durch den Schwerpunkt ab.
• Das Massenträgheitsmoment ist minimal bei Drehachsen, die durch den Schwerpunkt
gehen.
• Für parrallele Achsen zu bekannten Achsen durch den Schwerpunkt, kann man das
Trägheitmoment mit dem Steinerschen Satz berechnen.
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1.4.3 Der Drehimpuls
Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn, so hat er einen Impuls p~ = m · ~v . Solange
eine Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum Ortsvektor ~r besteht, so bewegt sich der
~ = ~r × p~
Körper. Dieser Umstand ist gleichbedeutend mit der Aussage das die Größe L
~
nicht verschwindet. L wird Drehimpuls genannt. Stehen alle Vektoren senkrecht aufeinander
vereinfacht sich die Formel.
2
L = r⊥ · p = r⊥ · m · v = r⊥ · m · r⊥ · ω = r⊥
·m·ω =J ·ω
(74)
2 achsenabhängig.
Dabei ist J = m · r⊥
An einem Körper anfgreifende Drehmomente haben eine Drehimpulsänderung zur Folge.
dω
J · dω
dL ~˙
~ =J ·α
=
=
=L
M
~ =J
dt
dt
dt
(75)
Ist ein System gegen die Einwirkung äußerer Momente abgeschlossen, so gilt die Drehimpuls
erhaltung.
~
~ = 0 ist dL = L
~ = 0 ,dh. L
~ = konstant
Bei M
dt
(76)
Körper müssen sich nicht auf Kreisbahnen bewegen, um einen Drehimpuls zu berechnen.
Sie können sich auch geradlinig fortbewegen.
Bsp.: Angenommen man beobachtet vom Punkt B am Straßenrand ein Auto, dass mit konstanter Geschwindigkeit ~v geradeaus fährt. Vom Standpunkt des Beobachters besitzt das
~ B:
Auto einen Drehimpuls L
~ B = ~r × p~
L
(77)
Lb = r⊥ · p aber r⊥ ist immer gleich
L1 = L2 = L3 also L̇ = 0
Am Beispiel wird klar, dass bei der Drehimpulsberechnung der Bezugspunkt bzw. die Bezugsdrehachse anzugeben ist.
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Ergebnisse aus den Versuchen mit dem Drehschemel:
Der Drehimpuls ist eine der wichtigsten physikalischen Größen für die der Drehimpulserhaltungssatz gilt. Besonders in der Teilchenphysik besitzen viele Teilchen eine Eigendrehung
und damit einen Drehimpuls.
Aufgabe zur Dynamik der Kreisbewegung: Eiskunstläuferin
Eine Läuferin dreht sich mit ausgebreiteten Armen n0 = 2 · 1s , und einem Trägheitsmoment J0 = 6kgm2 . Durch anziehen der Arme verkleinert sie ihr Massenträgheitsmoment auf
J1 = 1, 2kgm2 .
Wie schnell dreht sie sich anschließend?
Es gilt die Drehimpulserhaltung, d.h. L = J · ω = konst. und ω = 2π · f . Es gilt:
L = J0 · ω0 = J1 · ω1
J0
· ω0
ω1 =
J1
J0
2πn1 =
· 2π · no
J1
J0
1
n1 =
→ 10
J1
s
(78)
Wie groß ist die mittlere Leistung wenn sie die Arme innerhalb einer Sekunde anzieht?
J · ω = konst
ω = 2πn
1
1
1 2
2
∆W = J2 ω2 − J1 ω12 =
4π J2 · n22 − J1 · n21
2
2
2
= 2 · π 2 1, 2 · 102 − 6 · 22
P
(79)
kgm2
s2
= 1894J
∆W
=
= 1, 9kw
∆t
25
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27. Juni 2009
Übungsaufgabe zur Kupplung:
Zwei reibungsfreie gelagerte Scheiben kuppeln ein. Vor dem Kuppeln:
1
n1 = 3000 min
undJ1 = 0, 5kgm2
1
n2 = 0 min und J2 = 0, 4kgm2
Gesucht ist n3 nach dem Kuppeln. Reibungsfrei gelagert bedeutet, dass es keine äußeren
Momente gibt und das der Drehimpulserhaltungssatz anwendbar ist.
Lvorher = Lnacher
(80)
J1 · ω1 = J1 · ω3 + J2 · ω3
(81)
2πJ1 · n1 = 2πJ1 · n3 + 2πJ2 · n3
J1 · n1 = n3 · (J1 + J2 )
1
J1 · n1
→ 1667
n3 =
J1 + J2
min
Lösung über die Energien:
1
Evorher = J1 ω12
2
2
3000
1
2 · π · 0, 5kg · m2 ·
· 2
2
60
s
1
Enacher = (J1 + J2 )ω32
2
1
16672 1
· 0, 9kgm2 · 4π 2
·
2
602 s2
1
· 4π 2 · J1 · n21 =
2
kgm2
= π 2 · 502 ·
= 24, 67kJ
s2
1
=
(J1 + J2 ) · aπ 2 · n23 =
2
=
(82)
= 13, 71kJ
26
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27. Juni 2009
1.4.4 Analogien Translation/Rotation
translatorisch: Ohne außere Kraft → Impulserhaltung: für die Kraft gilt: F~ = m · ~a
~ = J ·α
rotatorisch: Ohne äußeres Moment → Drehimpulserhaltung, für das Moment gilt: M
~
Bei Gleichungen gelten folgende Entsprechungen:
27
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27. Juni 2009
Aufgabe
Ein Ball wird gegen eine Tür geworfen. Gesucht ist die Winkelgeschwindigkeit der Tür nach
dem Stoß.
mT uer = 35kg; mBall = 1, 1kg;
1
b = 73cm; Js = mb2 ; d = 62cm
12
m
m
|v| = 27 ; |v 0 | = 16
s
s
Welcher Erhaltungssatz gilt?
• EES geht nicht, da es unklar ist, ob der Stoß elastisch oder unelastisch ist.
• IES geht nicht, da die Lagerkräfte in A unbekannt sind.
• Drehimpulserhaltungssatz geht, da die Lagerkräfte in A kein Drehmomnet erzeugen
(Hebelarm = 0).
Berechnung von ωT uer nach dem Stoß:
Es gilt: LBall,vorher = LBall,nacher + LT uer gesucht ist LT uer
JA = Js + m ·
2
b
2
=
1
1
mb2 + mb2
12
4
(83)
1
= mb2 → 6, 33kg · m2
3
LT uer
rad
ωT uer =
→ 4, 27
JA
s
Ist der Stoß elastisch?
1
EBall,vorher = mBall v 2 =
2
1
EBall,nach = mBall v 2 =
2
1
ET uer = JA ω 2 =
2
1
m 2
· 1, 1kg · 27
= 401J
2
s
1
m 2
· 1, 1kg · 16
= 141J
2
s
1
1 2
2
· 6, 22kg · m · 4, 72
= 69J
2
s
(84)
→ Der Stoß ist inelatisch.
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Aufgabe: Revolver auf einer Drehscheibe
Reibungsfrei gelagerte Scheibe mit fixiertem Revolver. Massenträgheitsmoment der Scheibe
mit dem Revolver ohne Kugel: J = 0, 03kgm2
Die Masse der Kugel: mK = 6g; der Abstand: r = 5cm
Die Austrittsgeschwindigkeit: vK = 209 m
s
Mit welcher Drehzahl n dreht sich die Scheibe nach dem Abschuss?
Lvorher = 0
=⇒ |LKugel | = |LScheibe |
ωscheibe
mk · r · vK
mK · r · vK
=
JScheibe
ωscheibe
n=
2π
(85)
= JScheibe · ωScheibe
0, 006Kg · 0, 05m · 209 m
1
s
=
= 3, 135
0, 02kg · m2
s
3, 135 1
1
=
· = 0, 5 ·
2π
s
s
Aufgabe: Zum Drehimpuls von Punktmassen
Die Punktmasse m wird an einem Faden von r1 auf einen Radius r2 nach Innen gezogen.
J
=
J
s
|{z}
+mr2 = m · r2
(86)
0 da punktförmig
2
L=J ·ω = r ·m·ω =r·m·v =r·p
29
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27. Juni 2009
• EES gilt nicht, da Arbeit verrichtet wird.
• IES gilt nicht, da eine Kraft auf die Masse wirkt.
• Es wirkt kein äuseres Moment auf die Masse, da ~r und F~ in die selbe Richtung zeigen.
→ Drehimpulserhaltung gilt.
Frage: Wie Groß ist die kinetische Energie auf den beiden Bahnen?
Es gilt:
L1 = r12 · m · ω1 = r22 · m · ω2 = L2
r2
ω2 = 12 · ω1
r2
1
1
E1 =
J1 · ω12 = m · r12 · ω12
2
2
1
1
r4
E2 =
J2 ω22 = m · r22 · 14 · ω12
2
2
r2
2
1
r
=
m cot v12 · ω12 · 12
2
r2
2
r
= E1 · 12 > E1 ,dar1 > r2
r2
"
r2
∆E = E2 − E1 = E1 · 12 − 1
r2
(87)
#
Wie Groß ist die verrichtete Arbeit, die durch die Zentriepetalkraft verrichtet wird?
FZ
= m · ω2r
Zr2
Z
W =
F ds =
m · ω 2 (r) · r · dr
r1
mit: ω(r) =
r12
· ω1
r22
Zr2
=
m·
r1
= m·
r14
r14
· ω 2 · r · dr
r4 1
·
ω12
·
Zr2
r1
= m · r14 · ω12 ·
1
1
dr = mr14 · ω12 − 2
r3
2r
1
1
− 2
2
2r2
2r2
= E1 · r12 ·
r2
r1
1
1
− 2
2
r1
r2
!
|W | = E1 ·
r12
−1
r22
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1.4.5 Allgemeine Bewegung des freien starren Körpers
Wiederholung:
• Bei der Translation des starren Körpers werden alle Massenpunkte um die gleiche
Strecke paralell verschoben.
• Bei der Rotation des starren Körpers rotieren alle Punkte mit der selben Winkelgeschwindgkeit ω.
• Bei der allgemeinen Bewegung des starren Körpers hat man eine Überlagerung aus
Translation und Rotation.
Streichholzschachtelversuche:
Wirken Kräfte auf einen starren Körper so kann folgendes passieren:
1. Translation
2. Rotation
3. Translation und Rotation (allgemeine Bewegung)
4. bleibt in Ruhe (Kräftegleichgewicht)
Für die Beschreibung der Translation ist der Schwerpunkt wichtig.
Definition des Schwerpunktes
R
~s =
~r · dm
m
31
(88)
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Schwerpunkt eines Quaders
Bestimmung der xs Koordinate, andere entsprechend.
R
xs =
=
=
xdm
m
R
R
ρ · xdV
ρ xbcdx
=
mR
m
ρbca2
a
ρbc · xdx
=
=
m
2m
2
(89)
Lage des Schwerpunktes beim Quader mit gleichbleibender Dichte ρ:



xs

 
~r(t) =  ys  = 
zs
a
2
b
2
c
2



(90)
Sind die Kräfte auf einen Körper ungleich null und sowohl die Summe der Kräfte als auch
die Summe der Drehmoment ungleich null, dann lässt sich die Bewegung als Translation des
Schwerpunktes und Rotation des Schwerpunktes beschreiben.
Schwerpunktsatz: Sind die Kräfte nicht gleich null, so bewegt sich der Schwerpunkt eines starren Körpers so, als sei die Gesamtmasse im Schwerpunkt vereinigt und als griffen
alle äußeren Kräfte im Schwerpunkt an. Es gilt:F = m · a
Ist das äußere Drehmoment nicht null, so wird der starre Körper in Rotation um den Schwer~ =J ·α
punkt versetzt. Es gitl: M
32
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Vergleich Translation und Translation mit Rotation
In beiden Fällen gilt:
dv
F dt
→ F dt = mdv → dv =
dt
m
(91)
dω
M dt
→ M dt = Jdω → dω =
dt
J
(92)
F =m·a=m·
Im 2. Fall gilt zusätzlich:
M =J ·α=J ·
Wichtig: Die Energie im Fall 2 ist größer, denn F ·dt ist nicht die Arbeit (sondern W = F ·ds).
Der Weg im Fall 2 während der Zeit dt ist länger.
Aufgabe: Puck beim Eishockey
Masse des Puck: m = 165g
Massenträegheitsmoment: J = 1, 2kgcm2
Es wirkt in der Zeitspanne ∆t = 100ms die mittlere Kraft F~ = 11N
Die Wirkungslinie der Kraft hat vom Schwerpunkt der Scheibe den horizontalen Abstand:
r = 26mm; Reibungseinflüsse werden vernachlässigt.
Mit welcher Geschwindigkeit ~vs bewegt sich die Scheibe nach dem Kraftstoß?
F~
=
vs =
∆P
→ ∆p = F · ∆t = Pnacher − Pvorher = Pnacher = m · vs
∆P
F · ∆t
11N · 0, 1s
kgms
=
= 6, 667 ·
m
0, 165kg
ks2
33
(93)
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Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Rotation, bzw. die Drehrichtung?
M
=
∆L
→ ∆L = M · ∆t = Lnacher − Lvorher = Lnacher = J · ω
| {z }
∆t
0
kg · 100cm · cm · s
rad
M ∆t
11N · 2, 6cm · 0, 1s
= 2, 38
= 238, 3
=
J
1, 2kgcm2
s2 · kg · cm2
s
1
→ n = 37, 92
s
ω =
(94)
Wie groß ist die kinetische Energie der Scheibe?
1
1
E = mvs2 + J · ω 2 → E = 7, 07J
2
2
34
(95)
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1.4.6 Zusammenfassung
Unter verschiedenen Randbedingungen lassen sich für die Bewegung des starren Körpers die
3 mechanischen Erhaltungssätze nutzen:
1. Energieerhaltungssatz: In einem mechanischen Geamtsystem ist die Energie erhalten,
wenn es abgeschlossen ist.
Vorsicht: Gilt nicht wenn Teile der Energie in Wärme umgewandelt werden, oder bei
Kopplung mit „Außenwelt“ über Reibung
2. Impulserhaltung: Wirkt keine äußere Kraft, so bleibt die Summe der Einzelimpulse
erhalten
3. Drehimpulserhaltung: Wirkt auf ein Gesamtsystem kein äußeres Moment, so bleibt
die Summe der Einzeldrehimpulse erhalten
35
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2 Schwingungen
2.1 Was sind Schwingungen?
• Schwingungen sind periodische Zustandsänderungen in festen, flüssigen, gasförmigen
Medien oder in elektrischen Systemen.
• Energie wird zwischen zwei Reservoirs hin- und herbewegt.
Beschrieben wird eine Schwingung durch die Schwingungsdauer T und der Frequenz f .
Daraus ergibt sich: T = f1
Eine periodische Zustandsänderung tritt auf bei:
1. Einem schwingungsfähigen einzelnem Element (Oszillator)→ Schwingung
2. Vielen gekoppelten schwingungsfähigen Elementen→ Welle (sh. Kap.3)
Periodisch bedeutet:
y(t) = y(t + T )
(96)
Der erste Spezialfall wäre eine harmonische Schwingung:
y(t) = cos(ωt + ϕ0 )
(97)
y(t) = sin(ωt + ϕ0 )
Unter einer freien Schwingung versteht man, dass der Oszillator zu einem Zeitpunkt t einmal
ausgelenkt wird. Das Gegenteil einer freien Schwingung ist eine erzwungene Schwingung,
dort wird der Oszillator mit der Frequenz fe angeregt. Beide Schwingungsarten gibt es ohne
Energieentzug. Dann nennt man sie ungedämpft. Wird Energie entzogen so nennt man sie
gedämpft.
2.2 Freie harmonische Schwingung
2.2.1 Beispiel: Reibungsfeies Feder-Masse-System
Es wirkt die beschleunigende Kraft: Fa = m · a
Sie wird realisiert durch die Federkraft: Fc = −c · y
36
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Es gilt:
Fa = Fc
(98)
m · a = −c · y
m·a+c·y = 0
d2 y
m · 2 + c · y = 0 oder m · ÿ + c · y
d t
Dass ergibt die Differentialgleichung (DGL) der freien harmonischen Schwingung. Diese
DGL ist eine lineare, homogene DGL 2.Ordnung.
Linear bedeutet die Variable taucht nicht als Produkt oder Potenz auf.
Homogen bedeutet das die DGL 0 ist, wenn die Variable und ihre Ableitung 0 ist.
2.Ordnung bedeutet das die höchste Ableitung 2.Ordnung ist.
Lösung der DGL sind:
y(t) = ŷ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
(99)
ẏ(t) = −ŷ · ω0 · sin(ω0 · t + ϕ0 )
ÿ(t) = −ŷ · ω02 · cos(ω0 · t + ϕ0 )
Als e-Funktion ausgedrückt:
y(t) = ŷ · ejω0 ·t
(100)
jω0 ·t
ẏ = j ŷ · ω0 e
ÿ = −ŷ · ω02 · ejω0 ·t
Einsetzten in die DGL liefert:
c
· cos(ω0 · t + ϕ0 ) = 0
m
c
2
−ŷ · cos(ω0 · t + ϕ0 ) · ω0 −
= 0
m
c
⇒ ω02 =
m
− ŷ · ω02 · cos(ω0 · t + ϕ0 ) + ŷ ·
(101)
Interpretation:
ymax = ŷ
(102)
vmax = ŷ · ω0
amax = ŷ · ω02
1. Zum Zeitpunkt, wo ω0 · t + ϕ = 0 ist, wird die maximale Auslenkung und die maximale
Beschleunigung erreicht. Die Geschwindigeit wäre v = 0. Die Energie ist komplett als
potentielle Energie gespeichert.
2. Zum Zeitpunkt, wo ω0 · t + ϕ = π2 ist, ist die Auslenkung und die Beschleunigung 0.
Die Geschwindigkeit ist maximal. Die Energie liegt als vollständige kinetische Energie
des Körpers vor.
37
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2.2.2 Anfangsbedingungen
In der allgemeinen Lösung y(t) = ŷ · cos(ω0 · t + ϕ) gibt es 2 Unbekannte, nämlich ŷ und ϕ0 .
Diese müssen aus den Anfangsbedinungen berechnet werden. ω0 lässt sich aus dem System
bestimmen. Beim Feder-Masse-System aus m und c.
Beispiel: Schwinger ω0 = 1 1s
Es soll gelten:
1.)
y(t = 0) = 5cm
ẏ(t = 0) = 0cm
ergibt
ẏ(t = 0) = −ω0 · ŷ · sin(0 + ϕ) = 0
|
{z
(103)
}
muss 0 sein
y(t = 0) = ŷ · cos(ω0 · 0 + ϕ0 ) = ŷ · cos(0) → 5cm
(104)
2.)
y(t = 0) = 5cm
ẏ(t = 0) = −3cm
ergibt
1
cm
ẏ(t = 0) = −1 · ŷ · sin(ϕ0 ) = −3
⇒ ŷ · sin(ϕ0 ) = 3cm ∗
s
s
y(t = 0)
5cm
y(t = 0) = ŷ · cos(ϕ0 ) ⇒ ŷ =
⇒ ŷ =
∗∗
cos(ϕ0 )
cos(ϕ0 )
38
(105)
(106)
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* und ** ergibt:
5cm
· sin(ϕ0 ) = 3cm
cos(ϕ0 )
3
tan ϕ0 =
⇒ ϕ0 = 30, 96 ◦
5
5cm
⇒ ŷ =
= 5, 83cm
cos(30, 96◦)
(107)
2.2.3 Mathematisches Pendel
• punktförmiger Körper, der an einem masselosen Faden der Länge l schwingt
Es gilt:
Fr ist die Rückstellkraft
Fa ist die Trägheitskraft
s
=β ⇒s = l·β
l
Fr = −m · g · sin β
d2 s
d2 lβ
d2 β
Fa = m · a = m · 2 = m ·
=
m
·
l
·
dt
dt2
dt2
= m · l · β̈
Fa = Fr
m · l · β̈ = −m · g · sin β
Für kleine Auslenkungen gilt: β = sin(β)
DGL:
β̈ +
g
·β = 0
l
β(t) = β̂ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
r
g
ω0 =
l
39
(108)
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2.2.4 Allgemeine Lösung für harmonische Schwingungen
Harmonisch bedeutet, dass es Vorgänge sind, bei dennen die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung (Variable, β, y...)ist.
d2
(Variable) + Konstante · Variable = 0
dt2
(109)
Lösung: Variable= Variablemax · cos(ω0 · t + ϕ0 )
2.2.5 Beispiel Torsionsschwinger
Es gilt für die Momente folgendes:
~ =J ·α
M
~
~ c = −c∗ · β
M
Analog zum Hockschen-Gesetz, dabei ist c∗ die sogenannte Winkelrichtgröße und entspricht
der Federkonstante c (bzw. D).
Ma = Mc
J · α = −c∗ · β
(110)
∗
J ·α+c ·β = 0
d2 β
J · 2 + c∗ · β = 0
dt
c∗
β̈ +
·β = 0
J
Lösung der DGL:
β(t) = β̂ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
(111)
β̇(t) = −ω0 β̂ · cos(ω0 · t + ϕ0 ) = ω(t)
β̈(t) = −ω02 β̂ · cos(ω0 · t + ϕ0 ) = α(t)
r
c∗
ω0 =
J
40
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2.2.6 Beispiel: Elektromagnetische Schwingung
Uc =
q
C
UL = L ·
d2 q
di
=L· 2
dt
dt
(112)
Kirchhofsche-Gleichungen:
UC + UL = 0
q
d2 q
+L· 2 = 0
C
dt
d2 q
1
+
·q = 0
dt2
C ·L
r
1
C ·L
q(t) = q̂ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
→ ω0 =
q̇(t) = −ω0 q̂ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
q̈(t) = −ω02 q̂ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
q̂
→ UC (t) =
· cos(ω0 · t + ϕ0 )
C
UL (t) = −L · q · ω 2 · cos(ω0 · t + ϕ0 )
(113)
2.2.7 Beispiel Physikalisches Pendel
Situation:
• Drehachse durch A
• r ist der Abstand von A zum Schwerpunkt S
41
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• JA ist das Massenträgheitsmoment bezüglich der Drehachse durch A
~ A = JA · α
M
~
~ r = −F~g × ~r = −Fa · r · sin β
M
(114)
M A = Mr
JA · α + FA · r · sin β = 0
Für kleine Winkel gilt: sin β = β
FA · r
·β = 0
JA
mgr
·β = 0
β̈ +
JA
⇒ β̈ +
mgr
JA
β(t) = β̂ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
⇒ ω0 =
r
(115)
2.2.8 Energiebetrachtung bei der ungedämpften Schwingung
y(t) = ŷ · cos(ω0 · t + ϕ0 )
(116)
ẏ(t) = −ω0 ŷ · sin(ω0 · t + ϕ0 )
Extremwerte:
Potentielle Energie: Epot = 21 cy 2 (t) = Epotmax = 12 cŷ 2
Kinetischen Energie: Ekin = 12 mẏ 2 (t) = Ekinmax = 21 m(ω0 ŷ)2
Zu beliebigen Zeiten:
1
1
E = Epot + Ekin = cŷ 2 + m(ω0 ŷ)2
2
2
1 ∗ 2
1
1
=
c ŷ · cos(ω0 · t + ϕ0 ) + m(ω0 ŷ)2 m(ω0 ŷ)2 · sin(ω0 · t + ϕ0 )
2
2
2
i
1 2 h 2
1
2
cŷ · cos (ω0 · t + ϕ0 ) + sin (ω0 · t + ϕ0 ) = cŷ 2
=
2
2
|
{z
}
(117)
1
2.3 Freie gedämpfte Schwinung
Gedämpft: Reibung bewirkt, dass die Schwingung mir der Zeit zur Ruhe kommt. Die Dämpfung bewirkt, dass die Energie in Wärme umgewandelt wird.
Es gibt verschiedene Dämpfungen:
• konstante Dämpfungskraft
• Luftwiderstandkraft: F ≈ v 2
• sehr häufig die sogenannte viskose Reibung. Dort ist die Reibungskraft≈ v.
42
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Reibungskraft : FR = −b · v = −b · ẏ
Anwendungsbeispiel: Pohlsches Rad
Beobachtung:
• Bei kleiner Dämpfung nimmt die Amplitude der Schwingung langsam ab.
• Bei aperiodischen Grenzfällen geht der Zeiger innerhalb einer Schwingung in die Nulllage zurück.
Mathematische Beschreibung:
Fr
Fa
Fc
z }| { z}|{
z}|{
= −b · ẏ · c · y
mÿ
mÿ + bẏ + cy = 0
b
c
ÿ +
· ẏ +
·y = 0
m
m
(118)
Ansatz zur Lösung der DGL:
y(t) = k1 · ek2 ·t
ẏ(t) = k1 · k2 · ek2 ·t
ẏ(t) = k1 · k22 · ek2 ·t
(119)
k1 und k2 sind komplexe Zahlen.
Ansatz in DGL:
k1 · k22 · ek2 ·t +
b
c
· k1 · k2 · ek2 ·t +
· k1 · ek2 ·t = 0
m
m
b
c
k2 ·t
2
k1 · e
· k2 +
· k2 +
= 0
m
m
(120)
Lösung der Klammer mit der Mitnernachtsformel (MNF):
k2.1/2
b
=−
±
2m
Man definiert die abklingkoeffizient δ =
b
2m
s
c
b2
−
2
4m
m
außerdem ω02 =
⇒ k2.1/2 = −δ ±
q
c
m
δ 2 − ω02
(121)
Die Diskriminate führt zu physikalischen und mathematischen Fallunterscheidungen.
q
Fall 1: δ < ω0 ⇒ k2.1/2 = −δ ± j · ω02 − δ 2
Lösungsfunktion ergibt sich als Linearkombination der beiden Lösungen mit k2.1 und k2.2 ,
43
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dabei genügt für diese Spezielle Lösung ein reelles k1 :
y(t) = k1 · ek2.1 ·t + k1 · ek2.2 ·t = k1 · e(−δ+j
√
ω02 −δ 2 ·t)
= k1 · eδt · e(+j
= k1 · e−ωt · cos
q
ω02 − δ22 · t + j sin
q
ω02 − δ22 + cos
q
√
+ e(−δ−j
ω02 −δ 2 ·t)
+ e(−j
−ω02 − δ22 + j sin
q
= k1 · ·e−ωt · 2 · cos
√
√
ω02 −δ 2 ·t)
ω02 −δ 2 ·t)
−ω02 − δ22
q
ω02 − δ 2 · t
⇒ ŷ = ŷ0 · e−δt · cos(ωD · t)(122)
mit ŷ0 = 2k1 und ωD =
q
ω02 − δ 2
Physikalische Bedeutung:
• Schwingungsfall mit abnehmender Amplitude.
• Die maximale Amplitude ŷ nimmt mit der Zeit exponentiell ab.
• ωD ist kleiner als ω0 im ungedämpften Fall.
Um die verschiedenen Anfangsbedinungen zu berücksichtigen, benötigt man ein ϕ0 für die
Phasenlage.
Lösungsfunktion: y(t) = ŷ0 ·e−δt ·cos(ωD ·t+ϕ0 ). Funktion der einhüllenden Kurve: y = ŷ·e−δt
Der Abklingkoeffizient δ kann aus dem Schwingungsverlauf ermittelt werden:
ŷi
ŷi+1
=
ŷ0 ·e−δt
ŷ0 ·e−δt ·e−δTD
ŷi
logarithmen: ln = δ · TD = ln ŷi+1
Weitere Abkürzungen:
Dämpfungsgrade: D = ωδ0
1
Die Güte : Q = 2D
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Fall 2: δ > ω0 (große Dämpfung)
also gilt:
b2
4m2
>
c
qm
⇒ k2.1/2 = −δ δ 2 − ω02
allgemeine Lösung:
√2 2
√2 2
y(t) = y1 · e(−δ+ δ −ω0 ) + y2 · e(−δ− δ −ω0 )
Physikalische Bedeutung: Kriechfall: Keine Schwingung, sondern exponentielles abklingen.
Fall 3: δ = ω0 also gilt das
b2
4m2
=
c
m,
bzw die Diskriminate ist 0.
⇒ k2.1/2 = −δ =
b
2m
(123)
Eine zweite linear unabhängige Lösung erhält man durch Variation der Konstanten:
y = y2 · t · e−δt .
Die allgemeine Lösung für Fall 3:
⇒ y(t) = (y1 + y2 · t) · e−δt
(124)
y2 hat als Einheit m
s , wird über die Anfangsbestimmungen bestimmt.
Physikalische / Praktische Bedeutung des aperiodischen Grenzfalles:
Es findet keine Schwingung statt, sondern exponentielles Abklingen. Der Grenzfall ist der
schnellste Weg von der Auslenkung in den dauerhaften Ruhezustand.
Anwendungen:
• Dämpfung von Zeigern bei Messgeräten
• Federung von Fahrzeugen
45
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Aufgabe: zur gedämpften Schwingung und Anfangswerten
Ein Feder-Masse-System mit m = 0, 95kg und c = 90 N
m hat bei einer geschwindigkeitsproportionalen (viskose) Dämpfung eine Schwingungsdauer Td = 0, 66s.
1.) Gesucht: ω0 und ωD , sowie der Abklingkoeffizient δ und der Dämpfungsgrad D?
s
c
90kg · m
1
=
= 9, 73 ·
m
0, 95kg · s2 · m
s
2π
2π
1
=
= 9, 52
Td
0, 66s
s
r
ω0 =
ωD =
ωD =
q
D =
ω02 − δ 2 ⇒ δ =
q
2 → 2, 01
ω02 − ωD
1
s
2, 01 1s
δ
=
= 0, 207
ω0
9, 73 1s
(125)
2.) Gesucht: Welchen Wert haben die Konstanten ŷ0 und ϕ0 , wenn die Anfangsauslenkung
y(t = 0) = 8cm hat und die Anfangsgeschwindigkeit v(t = 0) = 0 m
s ist ?
y(t) = ŷ0 · e−δt · cos(ωD · t + ϕ0 )
y(0) = ŷ0 · e0 · cos(ωD · 0 + ϕ0 ) = ŷ0 · cos(ϕ0 ) = 8cm
h
ẏ(t) = ŷ0 · −δ · e−δt · cos(ωD + ϕ0 ) − e−δt · sin(ωD · t + ϕ0 ) · ωD
i
ÿ(t) = −ŷ0 [−δ cos(ϕ0 ) + ωD · sin(ϕ0 )]
δ · cos ϕ0 + ωD · sin ϕ0 = 0
δ · cos ϕ0 = −ωD · sin ϕ0
2, 01 1s
δ
=
= −0, 211 ⇒ ϕ0 = −0, 208rad
tan ϕ0 = −
ωD
9, 52 1s
8cm
ŷ0 =
= 8, 176cm
cos(−0, 208rad)
(126)
3.) Gesucht: Wie groß ist die Auslenkung des gedämpften Systems nach 2 Perioden?
y(2 · Td ) = ŷ0 · e(−δ·2Td ) · cos(2TD · ωD +ϕ0 ) = ŷ · e(−δ·2Td ) · cos(ϕ0 )
|
{z
4π
}
1
= 8, 176 · e(−2,01 s ·2·0,66s) · cos(−0, 208rad)
1
= 8cm · e(−2,01 s ·2·0,66s) = 0, 563cm
(127)
4.) Gesucht: Welchen Wert muss die Reibungskonstante b annehmen, damit das System
aperiodisch gedämpft wird?
D =
δ =
δ
= 1 ⇒ δ = ω0
ω0
1
kg
N
b
⇒ b = δ · 2 · m = 2 · m · ω0 = 2 · 0, 95kg · 9, 73 = 18, 5
= 18, 5 m (128)
2m
s
s
s
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5.) Gesucht: Welchen Wert haben bei aperiodischen Grenzfall die Konstanten y1 und y2 ,
wenn v(t = 0) = 0 ist und y(t = 0) = 8cm ist?
y(t) = (y1 + y2 · t) · e(−δ·t)
ẏ(t) = −δy1 · e(−δ·t) + y2 · e(−δ·t) − δ · y2 · t · e(−δ·t)
y(t = 0) = (y1 + y2 · 0) · e(−δ·0) = 8cm
⇒ y1 = 8cm
ẏ(t = 0) = y2 − δ · y1 = 0
1
cm
y2 = δ · y1 = ω0 · y1 = 9, 73 · 8cm = 77, 8
s
s
(129)
2.4 Die erzwungene Schwingung
Wird einem schwingungsfähigen System von außen periodisch eine Kraft aufgezwungen, so
schwingt es nach einer Einschwingzeit mit der vom Erreger aufgezwungenen Kreisfrequenz
ωE . Beim Pohlschen Rad haben wir beobachtet:
• ωE << ω0 : System nimmt Auslenkung und Phase des Erregers an
• ωE = ω0 : System schwingt mit großer Amplitude und sit um
π
2
phasenverschoben
• ωE >> ω0 : System schiwngt mit sher kleiner Auslenkung und ist um π phasenverschoben
Mathematische Beschreibung:
ÿ +
c
F̂E
b
· ẏ +
·y =
· cos(ωE · t)
m
m
m
(130)
Mit F̂E =Erregungskraft. Es handelt sich um eine inhomogene DGL 2. Ordnung
• Inhomogen: DGL wird nicht 0, wenn Variable und ihre Ableitung 0 sind
Als Lösung dafür erhält man (siehe Mathe 2 Lösung von DGL’s):
y(t) = ŷ · cos(ωE · t + γ)
ŷ =
F̂E
1
·q
m
2 )2 + (2Dω · ω )2
(ω02 − ωE
0
E
ŷ =
1
F̂E
·p
c
(1 − η 2 )2 + (2Dη)2
(131)
ω0 · ωE
2Dη
=
2
2
(1 − η 2 )
ω0 − ωE
(132)
Es gilt:
tan γ = 2D
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γ=Pahasenwinkel zwischen Schwinung und Erregung
Fall 1: ωE << ω0 bzw. η << 1
ŷ =
tan γ =
1
F̂
F̂E
F̂E 1
√ = E
·p
·
≈
c
c
c
(1 − η 2 )2 + (2Dη)2
1
2Dη
⇒γ=0
(1 − η 2 )
(133)
Das heißt für unser System, das es die Auslenkung und die Phase des Erregers annimmt.
Fall 2: ωE >> ω0 bzw. η >> 1
ŷ =
tan γ =
F̂E
1
⇒0
·p
2
c
(1 − η )2 + (2Dη)2
2Dη
2D
≈
⇒γ=π
2
1−η
−η
(134)
Das heißt für unser System, dass der Schwinger schwingt den Phasenwinkel π hat.
Fall 3: ωE = ω0 bzw. η = 1
ŷ =
tan γ =
F̂E
F̂E 1
1
F̂E
=
·p
·
=
·Q
c
c 2D
c
(1 − η 2 )2 + (2Dη)2
π
2Dη
⇒∞⇒
2
1−η
2
(135)
Das heißt für unser System, dass der Schwinger mit einer um den Faktor Q (Güte) gegenüber der Erregungsamplitude erhöten Amplitude schwingt und um den Phasenwinkel π2
verschoben ist.
Frage: Wo befindet sich die echte Resonanzstelle?
(nicht bei ωE = ω0 , da die Dämpfung eine Verschiebung bewrikt)
ŷ =
1
F̂E
·q
m
2 )2 + (2Dω · ω )2
(ω02 − ωE
0
E
− 1
F̂E 4
2
2
4
· ω0 + 2ω02 ωE
(2D2 − 1) + ωE
m
3
F̂E
4ω02 ωE (2D2 − 1) + 4ωE
= −
·
2m ω 4 + 2ω 2 ω 2 · (2D2 − 1) + ω 4 32
=
∂ ŷ
∂ωE
0 =
0
2
4ω0 ωE (2D2
0 E
E
3
− 1) + 4ωE
2
ωE
= ω02 (1 − 2D2 ) ⇒ ωE = ω0 ·
p
1 − 2D2 =
q
ω02 − 2δ 2
(136)
Bei D = 0 gilt ω0 = ωq
E
Einsetzten von ωE = ω02 − 2δ 2 in ŷ ergibt:
ŷ =
F̂E
·Q
c
(137)
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sh. Fall 3
Aufgabe zu Schwingungen (Prüfung SS07)
Gegeben ist ein Feder-Masse-System mit m = 0, 5kg; c = 12, 5 N
m ; und die Periodendauer des
gedämpften Systems TD = 1, 32s.
Sinvolle Formeln:
δ
ω0
b
δ =
2m
q
D =
ω02 − δ 2
ωD =
r
ω0 =
Q =
c
m
1
2D
(138)
a.) Gesucht: T0 ; ω0
ω0 =
T
=
s
12, 5 N
c
1
m
=
=5
m
0, 5kg
s
2π
2π
= 1, 257s
=
ω0
5s
r
(139)
b.) Gesucht: δ; b
s
2
ωD
=
s
4π 2 1
1
· = 1, 53
1, 322 s
s
1
kg
b
⇒ b = δ · 2m = 1, 53 · · 2 · 0, 5kg = 1, 53
δ=
m
s
s
ω02
2
−δ ⇒δ =
4π 2
ω02 − 2 =
TD
25 −
(140)
c.) Periodisch erregtes System, die Anregungsamplitude yE ist 10mm.
Gesucht: Frequenz für maximale Amplitude und die Auslekung an dieser Stelle
s
ωE = ω0 ·
ŷ ≈
p
1−
2D2
=
ω02
−
2ω02
q
q
1
1
δ2
2
2
· 2 = ω0 − 2δ = 25 − 2 · 1, 532 = 4, 51
s
s
ω0
1
ω0
1
1
F̂E
· Q = yE ·
=y·
= 10mm · 5 ·
· s = 16, 34mm
c
2D
2δ
s 2 · 1, 53
49
(141)
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Aufgabe zur Schwingung
Eine Kugel der Masse m = 1, 50kg hängt an einer Feder mit der Federkonstanten c = 8, 00 N
m
und kann vertikale Schwinungen ausführen.
a.) Gesucht: ω0 ; T0
r
ω0 =
s
c
=
m
1
2π
8kg · m
2π
= 2, 31 ⇒ T0 =
=
= 2, 72s
2
1, 5m · k · s
s
ω0
2, 31 1s
(142)
b.) Die Kugel wird nun in eine Flüssigkeit getaucht und bei einer Geschwindigekeit von
−2
v = 10 cm
s erfährt die Kugel eine Reibungskraft von 1, 92 · 10 N
Gesucht: D; ωD
Es gilt: v ≈ FReib dh. FReib = b · v ergibt b = FReib
⇒ b = 0, 192 kg
v
s
D =
ωD =
0, 192 kg
b
1
δ
s
=
=
ω0
2m · ω0
2 · 1, 5kg · 2, 31 s
q
ω02 − δ 2 = ω0 ·
p
1 − D 2 = ω0 ·
q
1 − 0, 0282 = ω0 · 0, 999
(143)
c.) Die Kugel wird aus der Ruhe um 12, 5cm ausgelenkt und ohne Anfangsgeschwindgkeit
losgelassen
Gesucht: y(3TD )
TD =
2π
2π
=
s = 2, 76s
ωD
0, 986 · 2, 31
δ =
0, 192 kg
b
1
s
=
= 0, 064
2m
2 · 1, 5kg · s
s
1
y(3TD ) = ŷ0 · e−δ·3·TD = 12, 5cm · e(−0,064 s ·3·2,76s) = 7, 36cm
(144)
d.) Wie viel Energie wird insgesamt bis zum Stillstand der Schwingung in Wärme umgesetzt?
Die gesamte Anfangsenergie!
1 N
1
E = c · ŷ02 = · 8 · 0, 1252 · m2 = 0, 0625J = 62, 5mJ
2
2 m
50
(145)
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3 Wellen
3.1 Grundbegriffe
Koppelt man viele Schwinger zu einer Schwingerkette aneinander, dann wird die an einem Ende zugeführte Schwingungsenergie von Schwinger zu Schwinger weitergereicht. Die
Schwingung wird auf den nächsten Nachbar übertragen. Dabei entsteht eine Welle. Es gibt
2 Arten von Wellen, die unterschiedliche Schwingungsrichtunen haben:
• Die Transversalwelle: Schwinger schwingen quer zur Ausbreitungsrichtung. z.B.: Wasserwellen
• Longitudinalwellen: Schwinger schwingen längs zur Ausbreitungsrichtung. z.B.: Schalwellen (Verdichtung und Verdünnung)
In Festkörpern treten beide Wellenarten auf.
Merkmale von Wellen:
• Bei der Wellenbewegung wird keine Materie transportiert sondern nur Energie.
• Die Auslenkung der Oszillatoren hängt von der Zeit und vom Ort ab.
• Jeder Schwinger schwingt gegenüber seinem Nachbarn phasenverschoben.
Formeln zur Welle:
T = Periodendauer = Zeit nach der sich das Wellenbild wiederholt
λ= Wellenlänge = Weg, den die Welle in einer Periodendauer zurücklegt
⇒ Phasengeschwindigkeit der Welle: c = Tλ = λ · f = ω·λ
2π
Die Geschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit mit der sich die Störung (Phase) der Schwinung ausbreitet.
Wellenfronten
Verbindet man Orte gleicher Auslenkung miteinander so erhält man eine Wellenfront (geometrische Fläche). Bei Kugelwellen (Wasser-Stein) gibt es eine Punktförmige Anregung.
Dort ist die Wellenfront eine Kugelfläche. Bei einer ebenen Welle mit ausgedehnter Anre-
gung ergibt sich eine Wellenfront mit ebenen Linien.
51
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3.2 Harmonische Wellen
Die Form der Welle hängt von der Anregung ab,
d.h.: Eine Harmonische Anregung mit y = ŷ · cos(ωt + ϕ0 ) ⇒ harmonische Welle. Ein
Schwinger im Abstand x zur Anregung wird ebenfalls harmonisch schwingen aber um die
Zeit ∆t = xc später:
y(t − ∆t) = ŷ · cos(ω(t − ∆t) + ϕ0 )
x
y(t, x) = ŷ · cos ω(t − ) + ϕ0
c
ω
y(t, x) = ŷ · cos ωt − · x + ϕ0
c
λ
ω
ω
2π
Aus c =
=λ·f =λ·
folgt =
= k; k=Wellenzahl
T
2π
c
x
y(t, x) = ŷcdot cos (ωt − k · x + ϕ0 )
(146)
Betrachtet man die Wellengleichung an einem Ort (z.B.: an einer Mikrofonmembrane), so
wird daraus wieder eine Schwingungsgleichung.


y(t, xM ) = ŷ · cos ωt − k · xM + ϕ0 

|
{z
ϕM

}
y(t, xM ) = ŷ · cos (ωt + ϕM )
(147)
Die Gleichung für y(t, x) ist Lösung der allgemeinen gewöhnlichen Wellengleichung. Dies
erhält man aus der Betrachtung der Kräfte.
Herleitung:
2
∂ 2 y(t, x)
2 ∂ y(t, x)
=
c
·
∂t2
∂x2
(148)
Überprüfung der Lösung durch Einsetzen:
∂y
∂t
∂2y
∂t2
∂y
∂x
∂2y
∂c
∂2y
∂t2
= −ω ŷ · sin (ωt − kx + ϕ0 )
= −ω 2 ŷ · cos (ωt − kx + ϕ0 )
= k ŷ · sin (ωt − kx + ϕ0 )
= −k 2 ŷ · cos (ωt − kx + ϕ0 )
= −ω 2 ŷ · cos (ωt − kx + ϕ0 )
=
ω2
ω2 ∂ 2y
(−ŷ) · k 2 · cos (ωt − kx + ϕ0 ) = 2 · 2
2
{z
}
k |
k ∂x
(149)
∂2y
∂x2
2
Vergleich mit der Wellengeleichung liefert: c2 = ωk2 ⇒ c = ωk
Aus den Differenzialgleichungen kann theoretisch die Ausbreitungsgeschwindigkeit für Wellen hergeleitet werden.
52
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Es ergibt sich dabei:
Für eine Transversalwelle auf einer gespannten Seite:
s
c=
F
A·ρ
(150)
Für eine Longitudinalwelle in dünnen Stäben:
s
c=
E
mit E=Elastizitätzmodul des Stabes
ρ
(151)
Elektromagnetische Welle im Vakuum:
cLicht = √
1
km
= 299792, 458
Lichtgeschwindigkeit
0 · µ0
s
(152)
Elektromagnetische Welle in Materie:
c= √
1
< cLicht,vakuum
0 r · µ0 µr
(153)
3.3 Energietransport und Intensität einer Welle
Laufende (nicht stehende) Wellen transportieren Energie von einem Ort zum anderen, jedoch
wird keine Materie transportiert.
Energie eines Mechanischen Schwingers:
1
1
E = mv̂ 2 = cŷ 2 mit c = m · ω 2
2
2
(154)
c ist hier die Federkonstante. Daraus folgt:
1
E = m · ω 2 · ŷ 2
2
(155)
Energiedichte w:
Betrachtet man bei einer Welle das Volumenelement dV , so ist die Masse des Volumenelementes dm = ρ · dV . Unter der Annahme, dass die gesamte Masse an der Welle beteiligt ist,
in Form von Ekin und/oder Epot gilt für die Energie in einem Volumenelement:
dE =
1 2 2
1
· ω · ŷ dm = · ω 2 · ŷ 2 · ρ · dV
2
2
(156)
Damit erhält man für die Energiedichte einer mechanischen Welle:
w=
dE
=
dV
1
2
· ω 2 · ŷ 2 · ρ · dV
1
= ω 2 ŷ 2 · ρ
dV
2
(157)
Entsprechend ergibt sich für elektromagnetische Wellen (da elektrische und magentische
Energiedichte gleich sind) :
1
0 · r · E 2 + µ0 · µr · H 2
2
⇒ w = 0 · r · E 2 = µ0 · µr · H 2
(158)
53
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w =
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Intensität oder Energiestromdichte
Oft interessiert aber nur die Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Fläche A hindurchgestrahlt wird. Diese Größe heißt Intensität S oder auch Energiestromdichte einer Welle.
S=
P
dE
=
dtdA
dA
(159)
Bewegt sich eine Welle mit Phasengeschwindigkeit c, so bewegt sie sich in einem bestimmten
Volumen V , in dem wir den Energieinhalt betrachten: c = ds
dt
Dabei muss die im Volumenelemnt dV = Ads enthaltene Energie dE = w · dV = w · a · ds
in der Zeit dt durch die Fläche A hindurch. Statt dA nimmt man A um nicht Differentiale
von Differenzialen zu erhalten.
S=
E
w · A · ds
=
=w·c
dt · A
dt · A
(160)
Für mechanische Wellen gilt also:
1
S = w · c = ω 2 · ŷ 2 · ρ · c
2
(161)
Für elektromagentische Wellen:
S = w · c = c · 0 · r · E 2 = c · µ0 · µr · H 2
(162)
3.4 Dopplereffekt
Bewegt sich eine Quelle, die Wellen aussendet und ein Beobachter relativ zueinander, so
registriert der Beobachter eine Veränderung der Frequenz der Welle. Dabei ist eine Unterscheidung nötig:
1. Bewegter Beobachter und ruhende Quelle:
Der Beobachter bewegt sich mit VB auf die Quelle zu. So kommen die Maxima und Minima
in rascher Folge an.
Die zeitlichen Abstände zweier Maxima für einen ruhenden Beobachter ist: T = λc
λ
B
Für den bewegten Beobachter ist diese Zeit t = c+v
⇒ fB = c+v
mit λ = fcQ
λ
B
Daraus erhält man: fB =
c+vB
c
· fQ = fQ · 1 +
54
vB v
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2. Bewegte Quelle (Beobachter ruht)
• Quelle eilt ihren Wellenzügen nach.
• Für den Beobachter auf den sie die Quelle zubewegt gilt:
– Abstand der Maxima ist gestaucht.
– Die wirksame Wellenlänge ist für den Beobachter verkürzt
λB = λ − va · T
λ · fQ
f
c
=
=
fB =
λB
λ − va · T
1 − vca
fa
fB =
1 − vca
(163)
Sonderfall va = c (sh. Bild oben):
• Geschwindigkeit der Quelle und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle sind gleich.
• Der Nenner wird Null.
• Am Ort, wo sich die Wellenzüge überlagern und eine ebene Front bilden, hört man
einen Überschallknall.
Sonderfall 2 va > c (sh. Bild oben):
Es gilt:
sin α =
c·t
c
1
=
=
va · t
vQ
Ma
(164)
Die Überlagerung der Kugelwellen ergibt einen Kegel mit dem Öffnungswinkel α.
1
Bsp.: Kegelwinkel 70◦ ⇒ sin α = 0, 94 ⇒ Ma = 0,94
= 1, 06
55
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Aufgabe zum Dopplereffekt
1.) Zwei Züge fahren sich mit gleicher Geschwindigkeit v entgegen. Ein Zug pfeift. Ein musikalischer Beobachter bemerkt beim vorbeifahren eine Frquenzänderung von 3 : 2 (Quint).
Wie schnell fahren die Züge? Bewegte Quelle und Beobachter, aufeinander zu.
fa
z
}|
vB
fB = fQ · 1 +
c
|
{z
{
1
v
1 − cQ
·
}
= fQ ·
c+vB
c
c−vQ
c
= fa ·
c + vB
c − vQ
(165)
| {z }
bewegterBeobachter bewegteQuelle
Da die Züge beide gleich schnell fahren, gilt: v = vQ = vB
c+v
c−v
c−v
= ·
c+v
⇒ fAnnaeherung = f ·
fEntf ernung
Es gilt:
fA nnaeherung
fEntf ernung
=
(166)
3
2
fQ ·
fQ ·
c+v
c−v
c−v
c+v
=
c+v
c−v
q
v =
q
2
3
2
−1
3
2
+1
r
=c+v =
· c = 34, 35
3
· (c − v)
2
m
km
= 123, 6
s
h
(167)
2.) Ein Flugzeug fliegt mit 1,5-facher Schallgeschwindigkeit?
a) Wie groß ist der Öffnungswinkel des Machschen Kegels ?
sin α =
c
c
1
2
=
=
=
vQ
1, 5 · c
1, 5
3
(168)
b) Das Flugzeug befindet sich zur Zeit t=0 in 5000m Höhe direkt über dem Beobachter.
Wann hört er den Knall?
tan α =
h
h
⇒t=
= 11s
vF lugzeug
vF lugzeug · tan α
56
(169)
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3.)Ein Lautsprecher wird an einem Bindfaden befestigt und auf einen Kreis mit Radius
r = 1m herum geschleudert. Er wird mit der Drehzahl n = 1 1s bewegt und gibt einen Ton
mit f = 440Hz ab (cSchall = 340 m
s ). Welcher Frequenz hört ein Beobachter, wenn sich der
Lautsprecher auf ihn zu bzw. von ihm weg bewegt.
Bahngeschwindigkeit: V
= ω · r = 2π ·
fB = fQ ·
1
v
1 − cQ
1
m
· 1 = 6, 28
s
s
440Hz
=
= 448Hz
6,28 m
1 − 340 ms
s
fB
1
440Hz
= 432Hz
= fQ ·
vQ =
6,28 m
1− c
1 + 340 ms
(170)
s
Besonderheiten bei der elektromagnetischen Welle
• Sie benötigt kein Übertragungsmedium im Vergleich zum Schall.
• Damit gibt es im Bezug zum Trägermedium keine bewegte oder ruhende Quelle.
• Es gibt aber dennoch einen Dopplereffekt, der von der Relativgeschwindigkeit zwischen
Quelle und Beobachter
abhängt.
q
c+v
Es gilt: fB = fQ · c−v aufeinanderzu bedeutet: v ist positiv.
• Astronomische Bedeutung bei Spektrallinien aus entfernten Galaxien, dh. die Frequenz
nimmt ab (bzw. die Wellenlänge nimmt zu) ⇒ v < 0 → das bedeutet, dass sich die
Galaxien entfernen.
57
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3.5 Interferenzen
Laufen mehrere Wellen durch dasselbe Medium, so breiten sie sich aus, als ob die anderen
Wellen nicht da wären (Superpositionsprinzip). Kommen sie am selben Ort an, so überlagern
sich dort ihre Auslenkungen. Erscheinungen, die auf diesen Überlagerungen beruhen nennt
man Interferenz.
3.5.1 Überlagerung von Wellen: gleicher Richtung
Sonderfall: Gleiche Freuqenz:
1.Welle: y1 = ŷ · cos (ωt − kx)
2.Welle: y2 = ŷ · cos (ωt − kx + ϕ0 )
Für die resultierende Welle ergibt sich:
yRes = y1 + y2 = ŷ · cos [(ωt − kx) + (ωt − kx + ϕ0 )]
x+y
x−y
mit → cos x + cos y = 2 · cos
· cos
2
2
ωt − kx + ωt − kx − 1
ωt − kx + ωt − kx + ϕ0
· cos
= ŷ · 2 · cos
2
2
ϕ
−ϕ
= ŷ · 2 · cos ωt − kx +
· cos
2
2
ϕ
ϕ
· cos ωt − kx +
(171)
⇒ yRes = 2ŷ · cos
2
2
Diese resultierende Welle hat dieselbe Frequenz wie y1 und y2 aber eine andere Amplitude
und Phase. Den Phasenunterschied gibt man oft auch als Gangunterschied ∆ an.
Es gilt:
∆
ϕ
ϕ
=
⇒
·λ
λ
2π
2π
(172)
Sonderfälle der Überlagerung:
∆ = n · λ ⇒ ϕ = 2n · π ⇒ yRes = 2 · ŷ · cos(0) · cos (ωt − kx + 2n · π)
= 2ŷ · cos (ωt − kx)
(173)
Die resultierende Welle schwingt wie die Welle y1 und y2 allerdings mit doppelter Amplitude. Dieses Verhalten nennt man konstruktive Interferenz.
Parallel laufende Wellen im Phasenunterschied:
∆ = (n + 1) ·
λ
⇒ ϕ = (2n + 1) · π
2
n = 0, 1, 2, ...
π
π
· cos ωt − kx +
2
2
yRes = 2ŷ · cos
|
{z
=0
=0
(174)
}
Die Welle schwingen gegenphasig und löschen sich aus. ⇒ destruktive Interferenz
58
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3.5.2 Interferometer
Aufbau nach Michelson Idee:
• Die Welle wird in zwei Teile zerlegt.
• Die Wege für die Teilwellen sind unterschiedlich.
• Im Empfänger werden die überlagerten Teilewellen registriert.
• Die Veränderung des Weges zu einem Spiegel um ∆x führt zu einem Gangunterschied
∆ = 2 · ∆x
Beobachtung:
Bei ∆ = λ erhält man konstruktive Interferenz.
Bei Gangunterschied = λ2 erhält man destruktive Interferenz.
Aus der Messung erhält man λ = 2 · ∆x = 2 · 1, 6cm = 3, 2cm.
2,99·108 m
c
9
s
Es gilt: C = 2, 99 · 108 m
⇒
c
=
λ
·
f
→
f
=
=
s
lambda
0,032m = 9, 45 · 10 Hz
gleiche Richtung: yRes = 2ŷcos 12 · cos ωt − kx +
ϕ
2
3.5.3 Überlagerung von Wellen: entgegen gesetzte Richtung
Sonderfall: Beide Wellen haben die gleiche Frequenz:
1.Welle mit der Form: y1 = ŷ · cos (ωt − kx)
2.Welle mit der Form: y1 = ŷ · cos (ωt + kx)
Daraus ergibt sich folgende resultierende Welle:
yRes (x, t) = y1 + y2 = ŷ · (cos (ωt − kx) + cos (ωt + kx + ϕ))
ϕ
ϕ
yRes (x, t) = 2 · ŷ cos ωt +
· cos kx +
2
2
(175)
Dies ist die Funktion einer stehenden
Welle. Es gibt dort Stellen mit maximaler Amplitude,
sog. Bäuche. Dort gilt: cos kx + ϕ2 = 1
Es gibt auch Stellen mit minimaler Amplitude, sog. Knoten, dort gilt: cos kx + ϕ2 = 0.
In der Praxis erhält man Stehendewellen nicht durch einen zweiten Sender, sondern durch
Reflektion der 1.Welle. Dabei unterscheidet man 2 Fälle.
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1. Reflektion am festen Ende (fest in Richtung der Auslenkung und nicht in Richtung
der Ausbreitungsgeschwindigkeit).
• Die Welle ändert ihre Ausbreitungsrichtung um 180◦ .
• Amplitude ist Null (es entsteht ein Knoten).
• Die Welle erfährt einen Phasensprung um ϕ = π.
2. Reflektion am losen Ende (lose, in Richtung der Amplitude.)
• Welle ändert ihre Ausbreitungsrichtung um 180◦ .
• Amplitude ist maximal (es entsteht ein Bauch).
• Die Welle erfährt keinen Phasensprung.
Beispiel: Stehende Wellen auf Instrumentensaiten
Welche Wellen passen auf die Saite der Länge l?
λ
c
c
c
= l mit λ = ⇒ f0 = =
2
f
λ
2l
(176)
q
F
c auf einer Saite: c = A·ρ
Grundfrequenz: f0 = 2lc
Oberschwingungen: f = f · (n + 1) mit n = 1, 2, 3...
60
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Beispiel: Stehende Longitudinalwellen bei Orgelpfeifen
Beidseitig offene Orgelpfeifen:
Grundfrequenz: f0 = 2lc
Oberschwingungen: f = (u + 1) · f0
Einseitig offen (gedacht) einseitig geschlossene Orgelpfeifen.
Grundfrequnz: f0 = 4lc
Obeschwingungen: f = (2n + 1) · f0
Aufgabe1
Zwei im Abstand d = 2, 50m aufgestellte Lautsprecher L1 und L2 strahlen phasengleich
einen Sinuston ab, den ein Beobachter in P0 im Abstand l = 3, 50m wahrnimmt.Wenn er
sich nach rechts bewegt nimmt die Lautstärke ab und erreich in P1 (bei s = 1, 55m) im
Minimum.
a) Berechnen sie die tiefstmögliche Frequenz f0 , für den im P1 ein Minimum entsteht. Für
welche anderen Frequenzen ist dies der Fall? Geben sie 2 weitere an.
61
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Es muss gelten: ∆d = d1 − d2 =
s
d1 =
l2
s
d2 =
+
λ
2
d
+s
2
d
l2 + s −
2
s
2
3, 52
=
=
2, 5
+ 1, 55 m = 4, 48m
2
2, 5
m = 3, 51m
2
+
s
2
3, 52 + 1, 55 −
(177)
Tiefste Frequnz bedeutet:
λ
⇒ λ = 2∆d = 1, 94m
2
346, 3 m
c
s
=
= 178, 5Hz
λ
1, 94m
∆d =
f0 =
(178)
Alle Frequnzen für ein Minimum:
∆d = (2n + 1) ·
λ
⇒
2
2 · ∆d
c
c
⇒ fn = =
· (2n + 1)
2n + 1
λ
2 · ∆d
= f0 · (2 · 1 + 1) = f0 · 3 = 535, 5Hz
λ =
f1
f2 = 5 · f0 = 892, 5Hz
(179)
W
b) Am Ort P0 erzeugt ein Lautsprecher die Intensität (Energiestromdichte) s = 5 · 10−6 m
2.
Bestimmen sie die maximale Auslenkung der Luftteilchen für die Frequnz f0 . Die Dichte
kg
ρLuf t = 1, 18 m
3.
1 2
· ω · c · ρ · ŷ = 2π 2 · f02 · c · ρ · ŷ 2
2 0
s
s
s
5 · 10−6 W · s3 · m3
ŷ =
=
2
2π 2 · 178, 52 · 346, 3 · 1, 18kg · m3
2π 2 · f0 · c · ρ
s =
s
= 139 · 10−9 ·
kg · m2 · s3
= 139nm
s3 · kg
(180)
c) Wie groß ist die Leistung eines Lautsprechers? Nehmen sie an, dass ein Lautsprecher die
Schalwellen gleichmäßig in den vorderen Halbraum abstrahlt. Für die Oberfläche O, am Ort
P gilt, dass sie eine Halbkugeloberfläche hat.
O =
1
· 4πr2 = 2πr2 mit r =
2
s
⇒ O = 2π ·
S =
l2 +
2 2
d
2
s
l2 +
= 2π · l2 +
2
d
2
2
d
2
P
⇒ P = S · O = S · 2π · l2 +
O
W
2, 52
= 5 · 10−6 2 · 2π · 3, 52 +
m
4
62
2 !
d
2
!
· m2 = 4, 34µW
(181)
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Aufgabe zu einer Saite
Eine an beiden Enden eingespannte Saite der Länge L = 75cm wird zu transversalen Schwingungen angeregt. a) Wie lautet die allgemeine Beziehung zwischen L und λ für die sich
einstellend stehende Welle ?
L = (n + 1) ·
λ
→ n = 0, 1, 2
2
(182)
b) Bei anregung mit Frequenzen im Bereich 300Hz ≤ f ≤ 450Hz beobachtet man zwei
Resonanzen f1 = 315Hz und f2 = 420Hz. Skizzieren Sie die Schingungen. Welche Oberschwingungen sind es?
fn = f0 · (n + 1)
fn
f0 · (n + 1)
n+1
=
=
fn+1
f0 · (n + 2)
n+2
315hz
n+1
=
= 315n + 630 = 420n + 420
420Hz
n+2
210 = 105n → n = 2
(183)
Es ist die 2. und 3. Oberschwingung
c) Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit auf der Saite?
2
m
c = λ · f = λ1 · f1 = L · 315Hz = 157, 5
3
s
(184)
d) Wie groß ist die Grundfrequenz?
fn = f0 (n + 1) ⇒ f0 =
f0 =
fn
n+1
f2
315Hz
=
= 105Hz
3
3
63
(185)
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e) Die Spannkraft der Saite ist f = 38, 2N . Wie groß müsste die Spannkraft sein, um die
Eigenfrequenz f20 = 420Hz auf f ∗2 = 440Hz zu erhöhen?
s
c =
F
⇒ F = c2 · A · ρ = (f20 · λ)2 · A · ρ
A·ρ
F ∗ = (f ∗2 ·λ)2 · A · ρ
F∗
f ∗2 2
=
F
f20
F∗ =
f ∗2
f20
2
· F → 41, 9N
(186)
Aufgabe: Dopplereffekt bei einer Radarfalle
Welche Frequenzverschiebung ergibt sich bei einem Verkehrsradar mit, f = 9GHz wenn
das Auto sich mit v = 60 km
h entfernt und von hinten gemessen wird?
s
fB = fQ ·
c+v
c−v
(187)
Bei einer Bewegung aufeinander zu ist v positiv. Vorstellung: Das Auto regisitriert eine
korrigierte Frquenz und sendet diese als bewegter „Sender“ zurück.
s
∆f
∆f
s
c+v
c−v
c+v
c+v−c+v
2v
= fB − fQ = fQ ·
− fQ = fq ·
= fQ ·
c−v
c−v
c−v
km
2 · (−60) 3600s
= 9Ghz ·
= −1kHz
3 · 105 km
s
fB = fQ ·
c+v
·
c−v
64
(188)
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Aufgabe:
W
Ein Lautsprecher erzeugt im Abstand von 5m die Intensität S = 50 cm
2 . Bestimmen sie
die maximale Auslenkung der Luftteilchen und die Frequenz f0 = 200Hz. Dichte von Luft:
kg
m
ρLuf t = 1, 18 m
3 , die Schallgeschwindigkeit cLuf t = 330 s .
1 2
ω0 · c · ρ · ŷ 2 = 2π 2 f 2 · ρ2 · ŷ 2
2
s
s
⇒ ŷ =
2
2π · f02 · c · ρ
S =
=
2π 2
W s2 · s · m3
50 · 10−3
· 2
= 12, 75 · 10−6 µm
2
· 200 · 300 · 1, 18 m · m · kg
(189)
Wie groß ist die Leistung des Lautsprechers? Vorstellung: Halbkugel vor dem Lautsprecher.
P
1
⇒ P = S · O = S · · 4 · πr2 = S · 2π · r2
O
2
−3
2W
= 50 · 10 · 2 · 2π · S 2 · m2 = 7, 85W
m
S =
65
(190)
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4 Thermodynamik
Die Lehre von Zuständen und Zustandsänderungen von Systemen aus vielen einzelnen Komponenten (Atomen, Molekülen...). Es gibt verschiedene Betrachtungsweisen:
1. Die Makroskopische, phänomenologische Herangehensweise.
• Beschreibung durch Druck und Temperatur
2. Die Mikroskopische Betrachtung
• Beschreibung durch statistische Physik
4.1 Grundlagen
In der Thermodynamik gibt es 3 wichtige Zustandsgrößen, die ein System beschreiben:
• Der Druck p
• Das Volumen V
• Die Temperatur T
4.1.1 Systeme
System ist ein räumlicher Bereich der getrennt von seiner Umgebung betrachtet werden soll
(z.B.: Ein geschlossener Raum).
• abgeschlossenes System: ohne Energieaustausch mit der Umgebung
• adiabatisches oder adiabates System: nur Arbeit wird ausgetauscht aber keine Wärme
• geschlossenes System: Arbeit und Wärme werden ausgetauscht
• offenes System: Arbeit und Wärme und Masse wird ausgetauscht
Bleiben die Zustandsgrößen zeitlich Konstant so ist das System im Gleichgewicht. Zudem
hängt die Änderung einer Zustandsgröße nicht vom Prozessverlauf ab, sondern nur vom
Anfangs- und Endzustand.
4.1.2 Die Temperatur
warm/kalt als Sinnesempfindungen des Menschen sind für die Technik unbrauchbar.
⇒ exakte Temperatur Skala in ◦ C: Man legte zwei Fixpunkte fest und unterteilte diesen
Bereich in 100-ert Teile.
• Schmelzpunkt des Wassers unter dem Normaldruck: 0◦
• Siedepunkt von Wasser unter Normaldruck: 100◦
66
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Die Temperatur ϑ gibt die Temperatur in ◦ C an.
In der Physik verwendet man die Absolute Temperatur T in Kelvin K. Dort sind die Fixpunkte der Absolute Nullpunkt mit 0 Kelvin ≈ −273, 15◦ C. Der Trivelpunkt des Wassers
273, 16K ≈ 0, 01◦ C. Die Skaleneinteilung ist bei beiden Skalen gleich: z.b.: ∆t = 1K = 1◦ C.
Umrechnung: ϑ(◦ C) = T (k) · (−273, 15).
Temperaturmessung
• Über die Ausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten, Gasen
• Widerstandsänderung
• Thermospannung
• Wärmestrahlung
4.1.3 Thermische Ausdehnung
von Festkörpern:
∆l
l
= α · ∆t
Material: α in 10−5 K1
l2 = l1 + ∆l = l1 + l1 · α · ∆T
l2 = l1 · (1 + α · ∆T )
(191)
Volumenausdehung:
h
i
V2 = l23 · (1 + α · ∆T )3 = V1 · 1 + 3α∆T + 3α2 ∆T 2 + α3 · ∆T 3 ≈ V1 · (1 + 3α∆T )
V2 = V1 · (1 + γ · ∆T )
(192)
Aufgabe 1:
Eine Stange aus einer Aluminumlegierung hat die Länge 10, 000cm bei der Temperatur
ϑ1 = 20◦ C und die Länge 10, 015cm bei ϑ2 = 100◦ C.
Wie groß ist α? Wie Lange ist die Stange bei 0◦ C?
∆l
= α · ∆T ⇒ α =
l
l2
∆l
∆T · l
0, 015cm
1
=
= 1, 875 · 10−5
10cm · 80K
K
= l1 · [1 + α∆T ] → 9, 996cm
67
(193)
(194)
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bei Flüssigkeiten:
• haben keine Gestaltsstabilität aber eine Volumenstabilität
Für das Volumen gilt wie bei Festkörpern:
V2 = V1 · [1 + γ · ∆T ]
(195)
Man beachte die Anomalie des Wassers: Größte Dichte von Wasser bei 4◦ C.
Bei Gasen:
• Volumen hängt von Druck und Temperatur ab
Bei Konstantem Druck gilt:
V (ϑ) = V0 · [1 + γ · ϑ]
mit V0 = V bei 0◦
(196)
Gesetz von Gay-Lassac(1778-1832). Für alle Gase ist γ fast gleich, je kleiner p ist, desto
besser ist die Übereinstimmung. Gase, die sich so Verhalten, nennt man ideale Gase.
1
Als Grenzwert für p → 0 ergibt sich: γ = 0, 003661 K1 = 273,15K
.
Formuliert man das Gesetzt von Gay-Lassac mit der absoluten Temperatur:
T − 273, 15K
]
273, 15K
T
T
= V0 · [1 +
− 1] = V0 ·
273, 15
T0
V0
=
= const.
T0
V (ϑ) = V0 · [1 + γ · ϑ] = V0 · [1 +
⇒
V
T
(197)
Experimentell wurden außerdem festgestellt, dass für ideale Gase bei konstanter Temperatur
T das Produkt aus p und V konstant ist.
p · V = const.
(198)
Gesetz von Boyle (1627-1691) und Mariotte (1620-1684).
4.1.4 Zustandsgleichungen von Gasen
Verbindet man beide Gesetze, so erhält man das Zustandsgesetz für ideale Gase:
p · V0
p·V
=
= const.
T
T0
(199)
Für reale Gase gilt dieses Gesetz umso besser, je größer die Temperatur T und je geringer
der Druck p ist. Interressant dabei ist, dass bei Zustandsänderungen der Quotient p·V
T gleich
bleibt. Sie hängt allerdings von der Menge des Gases ab. Betrachtet man nicht die Masse,
sondern die Anzahl der vorhandenen Atome so ergibt sich diee Zustandsgleichung für ideale
Gase:
p·V
p · V0
=
= ν · Rm
(200)
T
T0
ν: Anzahl der Teilchen in mol, 1mol = 6, 022 · 1023 T eilchen
= NA
mol
J
Rm : universelle (molare) Gaskonstante, 8, 314 mol·K
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Wie Groß ist das Volumen eines Gases?
Bei Normalbedingungen mit Normaldruck bei pN = 101325P a und TN = 273, 15K.
PN · V N
TN
ν · Rm · TN
PN
1 · 8, 314 mol · J · m2
·
· 273, 15K = 22, 41 · 10−3 m3 = 22, 41l
101325 mol · K · N
= ν · Rm ⇒=
=
(201)
Will man statt mit ν mit der echten Teilechnzahl N rechnen, so gilt:
p·V
T
= ν · Rm = ν ·
Rm
NA
· Rm = ν · NA ·
| {z } NA
NA
N
Rm
Rm
= N · k mit k =
= N·
NA
NA
(202)
J
Bolzmannkonstante k = 1, 381 · 10−23 K
p·V =N ·k·T
(203)
Mit N : der absoluten Teilchenzahl
4.2 Mikroskopischer Ansatz: Kinetische Gastheorie
4.2.1 Gasdruck
Aus der atomaren Größe der mittleren Teilchengeschwindigkeit soll die phänomenologische
Größe p. Für die Herleitung gelten folgende Vorraussetzungen:
• Das betrachtete Volumen besteht aus einem Würfel mit N Teilchen.
• Alle Moleküle haben die Masse m und die mittlere Geschwindigkeit v.
•
1
6
der Moleküle bewegt sich in Richtung der betrachteten Würfelseite.
Ein Molekül übt auf die Wand die Kraft F =
∆t treffen Z Teilchen auf die Wand.
∆pImpuls
∆t
69
=
2m·V
∆t
Im Wechselwirkungszeitraum
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1
∆V
N·
6
V
für ∆V = A · ∆s = A · V · ∆t
1
A · v · ∆t
daraus ergibt sich: Z =
N·
6
V
Wand durch Z Moleküle einfach:
2·m·v
1 A · v · ∆t 2 · m · v
1N
Z·
= ·
·
=
· A · m · v2
∆t
6
V
∆t
3V
1 N
1
F
= ·
· mv 2 = · ρ · v 2
A
3 V
3
1 N
p= ·
· m · v2
3 V
Z =
Ist die Kraft auf die
F
=
p
=
⇒
(204)
(205)
Dies ist die Grundgleichung der Kinetischen Gastheorie mit der mittleren Geschiwndgkeit
v.
s
v=
3p
ρ
(206)
mit der Dicht ρ.
Bsp.:Mittlere Geschwindigkeit bei Normalbedingungen
T = 273, 15K und p = 1013mBar
kg
Dichte von Stickstoff ρ = 1, 25 m
3
kg
Dichte von Sauerstoff ρ = 1, 43 m3
s
3 · 1, 013 · 105 · N · m3
m
= 493 bei Stickstoff
1, 25 · kg · m3
s
s
3 · 1, 013 · 105 · N · m3
m
= 461 bei Sauerstoff
3
1, 42 · kg · m
s
v =
v =
(207)
4.2.2 Thermische Energie und Temperatur
Der Vergleich mit der Grundgleichungen der kinetischen Gastheorie und der allgemeinen
Gasgleichung liefert:
p·V
p·V
mit :Ekin
1
· N · m · v2
3
1
= N ·k·T ⇒ ·N
3
1
=
mv 2 ⇒ Ekin =
2
=
· m · v2 = k · T
1
3
mv 2 = a · T
2
2
(208)
Diese Gleichung gilt für ein Molekül. Die Temperatur ist also ein Maß für die mittlere Kinetische Energie der Moleküle.
Nach dieser Vorstellung ist beim absoluten Nullpunkt keine Bewegungsenergie mehr vorhanden.
70
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Freiheitsgerade
Bisher hatten wir ein Punkförmiges Modellgas mit 3 Freiheitsgeraden (x-,y-,z-Richtung),
dabei wird die Energie auf jeden Freiheitsgrad gleich verteilt.
Gleichverteilungssatz:
Die thermische Energie eines Moleküls verteilt sich gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade. Jeder
Freiheitsgrad hat die Energie:
E kin =
E Ges =
1
k·T
2
1
· f · k · T f=freiheitsgerade
2
(209)
Weitere Freiheitsgerade bei mehratomigen Molekülen:
• Rotation um den Schwerpunkt
• Schwingung der Kerne Gegeneinander
Aufgabe: Enerige in einem Gas
Ein Gas besteht aus Molekülen, die mehr haben als 3 Freiheitsgerade haben, als die Teilchen
eines idealen Gases.
Wie viel Energie ist in einem M ol diese Gases bei der Temperatur T = 273K gespeichert?
f
EGes
= 3+3=6
6
= N · · k · T = NA · 3 · k · T
2
= 3 · 6, 022 · 1023 · 1, 381 · 10−23
J
· 273K = 6, 81kJ
K
(210)
Aufgabe: Gasgleichung in einem Gefäß
In einem Gefäß mit V = 20l bei ϑ = 22◦ C und p = 100bar ist ein ideales Gas.
Wie viele Teilchn sind in diesm Volumen?
p·V
k·T
100 · 105 N · 0, 02m3
= 4, 9 · 1025 Teilchen
1, 381 · 10−3 J · 295, 15K · m2
p·v = N ·k·T ⇒N =
=
(211)
4.3 Zustandänderungen von Gasen
4.3.1 Innere Energie , Wärme und Volumenarbeit
Innere Energie
Ein Maß für die thermische Bewegung von Teilchen in einem System ist die Temperatur.
• In Gasen: Translation, Rotation, Schwingungsenergie.
• Bei Festkörpern: Schwingung um die Ruhelage.
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Die Wärmebewegung eines Systems entsprechende Energie wird die innere Energie U des
Systems genannt. Es gilt:
U = N · E K in = N ·
f
·k·T
2
(212)
U ist eine Zustandsgröße, sie hängt nicht vom Weg der Zustandsänderung ab.
Wärme
Bringt man zwei Körper, die sich auf unterschiedlicher Temperatur befinden in Berührung
so findet ein Temperaturausgleich statt.
• Es wird Energie ausgetauscht → die Energie heißt Wärme Q.
• Der Wärmere wird kälter (U kleiner), der kältere wird wärmer (U größer).
• Der Prozess ist irreversiebel.
Volumenarbeit
Befindet sich ein Gas in einem Zylinder mit verschiebbarem Kolben, so wird bei der Ver-
änderung des Volumens Arbeit verrichtet. Diese Arbeit heißt Volumenarbeit dW .
Es gilt dabei:
dW
= F ds = p · A · ds = p · dV
W12 = −
ZV2
p(V )dV
(213)
V1
Vorzeichenvereinbarung:
• Wärme und Arbeit die dem System zugeführt werden: positives Vorzeichen.
• Wärme und Arbeit die dem System entnommen werden: negatives Vorzeichen.
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4.3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
In einem abgeschlossenem System bleibt der Gesamtbetrag der Energien erhalten. Innerhalb
des Systems kann die Energie in verschiedene Formen umgewandelt werden.
• Es gibt kein „Perpetum mobile“ erster Art.
• Wird einem System Volumenarbeit oder Wärme zugeführt so erhöt sich die innere
Energie des Systems.
dU = dQ + dW
(214)
Da dQ und dW positiv sind nimmt die innere Energie zu.
4.3.3 Wärmekapazitäten
Wärmezufuhr führt immer zur Erhöhung der inneren Energie und damit zur Temperaturerhöhung (Ausnahme bei Phasenübergängen, z.B.: von Gasförmig zu Flüsseg).
Bei Festkörpern und Flüssigkeiten gilt:
Q = CdT
(215)
Mit C=Wärmekapazität des Systems, abhängig von Stoff und Stoffmenge.
Sinnvoll ist es, die auf einen einheitliche Menge zusammen:
• spezifische Wärmekapazität :c =
C
m
• molare Wärmekapazität: Cmolar =
C
ν
Die Wärmekapazität hängt von der Temperatur ab und kann nur in Grenzen als Konstante
gesehen werden. In größeren Bereichen muss Integriert werden.
Q=m·
ZT2
c(T )dT = ν ·
T1
ZT2
Cmolar (T )dT
(216)
T1
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Beispiel Aufgabe: Tauchsieder
J
Ein Tauchsieder mit 200W wird in 100g Wasser mit ϑ = 23◦ C getaucht. cH2O = 4190 kg·K
◦
Das Wasser soll auf ϑ = 98 C erwärmt werden.
Wie lange dauert die Erwärmung unter der Annahme, das keine Verluste auftreten.
Q = m·
ZT2
c(T )dT = m · c ·
dt = m · c · (T2 − T1 ) = P · t
T1
T1
⇒t =
ZT2
m · c · (T2 − T1 )
0, 1kg · 4190J · 75K · s
=
= 157, 1s
P
200J · kg · K
(217)
Vergleich 100g mit der selben Energie beschleunigen:
Pt = EKin
1
= mv 2 ⇒ v =
2
s
2·P ·t
2 · 200W · 157, 1s
m
= sqrt
= 792, 7
m
0, 1kg
s
(218)
Wärmekapazitäten bei Gasen
Bei realen Gasen hängt die zur Temperaturänderung notwendige Wärme von der Temperatur, dem Druck und der Prozessführung ab.
Zwei Prozessführungen sind besonders interressant:
1. Bei konstantem Druck (isobare) → isobare Wärmekapazitäten Cp , cp , Cmp .Erwärmung
führt zur Zunahme des Volumens.
2. Bei konstantem Volumen (isochore) → isochore Wärmekapazitäten CV , cv , CmV . Erwärmung führt zu einer Druckerhöhung.
dQ
mdT
dQ
dQ = ν · Cm (T ) ⇒ Cm (T ) =
ν · dT
dQ = m · c(T )dt ⇒ c(T ) =
(219)
Frage: Bei welcher Prozessführung wird mehr Wärme benötigt?
Isochore Erwärmung (V = const.:)
Q = ν · CmV · dT = dU
1 dU
1 d
f
CmV =
·
= ·
· N · ·k·T
ν dT
ν dT
2
ν · NA f
N f
· ·k =
· ·k
=
ν 2
ν
2
f
CmV =
· RM
2
(220)
Isobare Erwärmung (p = const.): Es muss zusätzlich Volumenarbeit verrichtet werden, da
sich das Gas ausdehnt.
Q = ν · Cmp · dT = dU + dW = dU + p · dV
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(221)
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Vergleicht man die beiden Fälle zwischen denselben Temperaturen, so ist die Änderung der
inneren Energie dU bei beiden Prozessen gleich.
Q = ν · Cmp dT = dU + dW = ν · CmV dT + p · dV = ν · CmV dt + ν · RM · dT
= ν · (CmV + RM ) dT
|
{z
CM p
}
⇒ Cmp = CmV + RM
Cmp − CmV
Cmv
Cmp
= RM
f
=
· RM
2
f
=
+ 1 · RM
2
(222)
Also ist die isobare Wärmekapazität stets größer als die isochore.
Man definiert Isentropenenexponeten κ.
Cmp
κ=
=
CmV
f
2
+1
f
2
=
f +2
2
=1+
f
f
(223)
Er gibt Aufschluss über die Freiheitgerade die bei einem realen Gas zur verfügung stehen
In der Realität werden gewisse Freiheitsgerade erst ab einer bestimmten Temperatur „zu-
geschaltet“.
4.3.4 Spezielle Zustandsänderungen idealer Gase
In vielen Technischengeräten finden Zustandsänderungen von Gasen statt.
• Ottomoto
• Dieselmotor
• Kühlschrank
• Wärmpumpe
Wir betrachten nun ein ideales Gas bei konstanter Teilchenmenge. Das Gas ist in einem
Zylinder mit reibungsfrei laufendem Kolben eingeschlossen.
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1.Isotherme Zustandsänderung (T=konst.)
Der Kolben wird Langsam in den Zylinder von der Pos.1 zur Pos. 2 geschoben.
• Gas wird komprimiert.
• Temperatur bleibt konstant.
• Innere Energie bleibt gleich.
• Zugeführte Arbeit muss als wärme an das Wärmebad abgegeben werden.
Gasgesetzte:
p1 · V1 = ν · Rm · T1 = konst.
p1 · V1 = p2 · V2
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(224)
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Um von 1 nach 2 zu gelangen muss man Volumenarbeit verrichten:
ZV2
W12 =
P (V ) · dV mit p =
ν · Rm · T
V
V1
= −
ZV2
ν · Rm · T
· dV = −ν · Rm · T ·
V
V1
ZV2
1
dV
V
V1
V2
= −ν · Rm · T · (ln V2 − ln V2 ) = −ν · Rm · T · ln
V1
V1
= ν · Rm · T · ln
V2
W12
V1
= ν · Rm · T · ln
V2
(225)
Die Volumenarbeit entspricht der Fläche unter der Kurve.
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2.Isochore Zustandsänderung (V=konst.)
Ein Volumen V wird durch ein entsprechndes Gefäß konstant gehalten. Veränderung nur
durch Wärmezuführung.
Gasgesetz:
P
T
P1
T1
p·V
ν · Rm
= konst.
V
P2
=
T2
= ν · Rm · T
=
(226)
Welche Energie ist nötig ?
Q12 = ν · CmV · (T2 − T1 )
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(227)
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3.Isobare Zustandsänderung (p=konst.)
Bei der Zufuhr von Wärme ergibt sich
• Temperaturerhöhung
• Volumenänderung
Gasgesetzt:
V
T
V1
T1
=
=
ν · Rm
= konst.
p
V2
T2
(228)
Die Zugeführte Wärme ist:
Q12 = ν · Cmp · (T2 − T1 )
(229)
mit Cmp > CmV , da Teile der zugeführten Wärme zu verdichtung von Volumenarbeit benötigt werden. Volumenarbeit ist negativ, da sie abgegeben wird! Volumenarbeit:
W12 = −p · (V1 − V2 ) = p · (V1 − V2 )
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(230)
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4.Adiabatische (isotrope) Zustandsänderung (p=konst.)
Adiabatisches System bedeutet, dass der Austausch von Wärme mit der Umgebung unterbunden ist. Realisierung durch schnelle Prozeße. Die in dass System hineingesteckte Energie
in Form von Volumenarbeit ist gleich der Erhöhung der inneren Energie.
W12 = dU = ν · CmV · (T2 − T1 )
(231)
Wichtige Formeln für die Adiabatische Zustandsänderungen:
p1 · V1κ = p2 · V2κ = konst.
(κ−1)
(κ−1)
T1 · V1
= T2 · V2
= konst.
(1−κ)
p1
(1−κ)
p2
· T2κ = konst.
· T1κ =
(232)
4.3.5 Kreisprozesse
Durchläuft ein System eine Folge von Zustandsänderungen bei denen Anfangs- und Endzustand übereinstimmen so redet man von einem Kreisprozess. Ausgehend vom p-V-Diagramm
unterscheidet man Rechts- und Linksläufige Prozesse.
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1. Rechtsläufiger Prozess (im Uhrzeigersinn)
• auch Kraftmaschinenprozess
• es wird Wärme im wertvolle mechanische Energie umgewandelt
Bsp.: Verbrennungsmotor, Generator mit Kraft- Wärme-Kopplung
Schritt 1: Gas wird komprimiert, dabei wird Volumenarbeit verrichtet/Fläche unter
der T1 -Kurve
Schritt 2:Die Wärmemenge QIN wird in das System gesteckt ⇒ Temperatur und
Druckerhöhung
Schritt 3: Expansion des Gases, dbaie wird Volumenarbeit frei
Schritt 4: Wärmemenge Qout wird abgegeben (Kühlung)
Die Differenz der Volumenarbeiten ist die Nutzarbeit Wout dies entspricht der Fläche
im Inneren der umwanderten Fläche. Es gilt: |Wout | = |Qin | − |Qout |
2. Linksläufiger Prozess
• Wärmepumpenprozess
• Ist der umgekehrte Prozess zur Wärmekraftmaschine
• Erzwungener Prozess, die von selbst so ablaufen würden
• Anwendung: Kühlschrank, Wärmepumpe
Volumenarbeit:
• wird im 1.Schritt frei (Fläche unter T1 )
• im 3.Schritt wird Volumenarbeit verrichtet (Fläche unter T2 )
•
Wärme:
• Bei tiefen T1 wird Wärme aufgenommen → Qin ()1, 2
• Bei hohem T2 wird Wärme abgegeben → Qout (3, 4)
|Qout | = |Qout | − |QWin |
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4.3.6 Carnotscher Kreisprozess (rechtsläufig)
• Idealisierter Kreisprozess, der so in der Praxis nie abläuft
• Bedeutung liegt in der Vorgabe des maximal möglichen Wirkungsgrades
Es wird eine Gasmenge ν periodisch komprimiert und expandiert.
Schritt 1→2 isotherme Kompression
Schritt 2→3 adiabatische Kompression
Schritt 3→4 isotherme Expansion
Schritt 4→1 isentropische Expansion
Energiebilanzen
1 → 2: Zugeführte Volumenarbeit wird als Wärme abgeführt
W12 = ν · Rm · T1 · ln
V1
= −Q12
V2
W12 > Q
(233)
2 → 3: Zugeführte Volumenarbeit erhöht innere Energie
W23 = ν · CmV · (T2 − T1 )
W23 > 0
(234)
3 → 4: Abgegebene Volumenarbeit muss als Wärme abgegeben werden
W34 = ν · Rm · T2 · ln
W34 < 0
V4
= −Q34
V3
(235)
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4 → 1: Volumenarbeit wird abgegeben und innere Energie verkleinert
W41 = −ν · CmV · (T2 − T1 ) = −W23
W41 < 0
(236)
Wnutz ist die Fläche im Inneren der Kurve. Es gilt:
Wnutz = W12 + W23 + W34 + W41 = W12 + W34
V1
V4
= ν · Rm · T1 · ln
− T2 · ln
V2
V3
κ−1
κ−1
V
V3
V4
V
T1
T1
und: 4κ−1 =
⇒
=
mit: 3κ−1 =
T2
T2
V2
V1
V2
V1
V1
V4
⇒
=
V2
V3
V4
V4
Wnutz = ν · Rm · ln
· (T1 − T2 ) = −ν · Rm · ln
· (T2 − T1 )
V3
V3
(237)
Als thermischen Wirkungsgrad definiert man das Verhältniss aus zugeführter Wärme zur
abgegebenen Nutzenergie:
ηtherm =
ν · Rm · ln VV34 · (T2 − T1 )
|Wnutz |
|Wnutz |
=
=
Qin
Q34
ν · Rm · ln VV4 · T2
3
T2 − T1
T2
T1
= 1−
T2
(238)
• Wirkungsgrad hängt nur vom Temperaturunterschied ab
• Für η = 1 müsste T1 = 0K sein (unrealistisch)
Dieser Wirkungsgrad ist der theoretische maximal erreichbare. Der Maximale Wirkungsgrad
bei einem modernen Dieselmotor mit der maximalen Verbrennungstemperatur T2 = 3000◦ C
und einer Abgastemperatur von T1 = 1300◦ C.
ηtheo. = 1 −
1600K
= 51, 5%
3300K
(239)
Praktischer Wirkungsgrad von einem Lupo Diesel, mit einer Leistung von 44KW und einem
l
Verbrauch von 5, 5 100km
bei 165 km
h . Primärenergie:
E = 5, 5
⇒ Wirkungsgrad:
44kW
103,3kW
l
kW h
· 165km · 11, 38
= 103, 3kW h
100km
l
(240)
= 42, 6%
Carnotscher Kreisprozess linksläufig
1.) Kühlung eines Raumes gegenüber der Umgebung. Man definiert dafr eine Leitungszahl
εkuehl . Die Theoretische Grenze beim Carnotschenprozess ergibt sich aus:
εkuehl =
Qin
T1
=
W
T2 − T1
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(241)
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kuehl wird umso besser, je näher die Temperaturen beieinander liegen. Realistische Werte
in der Praxis liegen bei εkuehl = 10.
2.) Mit einer Wärmepumpe wird einem kalten Reservoir (Boden) Wärme entzogen und und
bei höherer Temperatur zur Heizung eines Gebäudes abgegeben. Dafür ist mechanische Arbeit erforderlich.
2
Leistungszahl:εW aermepump = |QWab | bei Carnot: εW aermepump = T2T−T
1
Realistischer Wert: εW aermepump = 3
sh.(Martin S.177)
Otto- und Dieselprozess
Ottomotor
Schritt 1 → 2: Isentrope Kompression (schnell)
Schritt 3 → 4: Isenchor Expansion (schnell)
Schritt 4 → 1: Austausch des Gases (abkühlungsprozess existiert so nicht)
Dieselmotor
Unterschied der beiden Prozesse bei 2→ 3:
Der Ottomotor hat eine schnelle Verbrennung bei nahezu konstantem Vomlumen.
Der Dieselmotor hat dagegen eine langsamere Verbrennung bei nahzu konstantem Druck.
Die Wirkungsgrade der Beiden sind somit verschieden. ηDiesel > ηOtto
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Stirlingprozess
Schritt 1 → 2: Isotherme Kompression
Schritt 2 → 3: Isochore Erwärmung
Schritt 3 → 4: Isotherme Expansion
Schritt 4 → 1: Isochore Abkühlung
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