Experimentalphysik III Prof. M. Bargheer Übungen: Lena Maerten

Experimentalphysik III
Prof. M. Bargheer
Übungen: Lena Maerten, Yevgeni Goldshteyn, Steffen Mitzscherling, Marc Herzog,
WS 2011/12
5.1.12
Aufgabenblatt 10
I) Gelerntes wiedergeben
I.28) Wie heiß ist ein Kupferstab der Länge 25 cm, der sich ausgehend von Raumtemperatur 293 K um
0.35 mm ausgedehnt hat? (α= 1,65·10-5 K-1)?
I.29) Wie groß ist das gyromagnetische Verhältnis für Spin und Bahnbewegung des Elektrons?
II) Einfache Aufgaben
II.24 Photoemission an dünnen Silberfilmen und das Teilchen im Potentialkasten
a) Beschreiben Sie qualitativ, wie man durch Photoemission von Elektronen an einem sehr dünnen Silberfilm (d = 3 nm) sehen kann, dass das Elektron in einem eindimensionalen Potentialkasten sitzt (und zwar
senkrecht zur Oberfläche des Films).
b) Berechnen Sie mit der Unschärferelation, wie groß der Impuls der Elektronen mindestens sein muss,
wenn sie in 3 nm eingesperrt sind. Wie groß ist die entsprechende kinetische Energie?
II.25 Drei Stern-Gerlach Experimente in Serie
Betrachten Sie folgende Anordnung von
Stern-Gerlach-Apparaten und analysieren
Sie die Spin-Zustände der Atome.
a) Versuchen Sie eine Erklärung im klassischen Bild, in dem das magnetische
Moment des Elektrons um die Magnetfeldachse präzessiert. Warum spaltet der
Atomstrahl im zweiten Teilexperiment in y-Richtung auf,? Vor allem: Warum Spaltet der Strahl im dritten
Teilexperiment wieder in z-Richtung auf. Diese in z-Richtung hatte man doch schon im ersten Teil selektiert? Bedenken Sie die Phase der Präzession!
b) Was würde man hinter der dritten Apparatur beobachten, wenn die diese genauso wie die zweite Apparatur entlang der y-Achse orientiert wäre?
III) Vertiefende Aufgaben
III. 20) Unschärferelation und Beugung (Fortsetzung
von Aufg. II 23)
c) Inwiefern bestätigt Teilaufgabe II.23 b) die Heisenbergsche Unschärferelation?
d) Schätzen Sie den Impuls eines Elektrons ab, das
sich in einem Kern mit dem Radius r = 4,0·10-15 m
aufhält. Setzen Sie hierbei den Impuls gleich der Impulsunschärfe.
e) Berechnen Sie relativistisch korrekt die kinetische
Energie des Elektrons von Aufgabe d).
III 21. Thermische Ausdehnung von Festkörpern
In manchen Festkörpern ist die Längenausdehnung
nicht isotrop und darüber hinaus Temperaturabhängig (siehe Blei-Titanat Abb. rechts.) Lesen Sie aus der
Abbildung die linearen Ausdehnungskoeffizienten bei
100 °C, 400 °C und 600 °C für die a, b und c Gitterkonstanten ab, und berechnen Sie näherungsweise
den Volumenausdehnungskoeffizienten.
(a, b und c stehen immer senkrecht aufeinander!)
III.22 Elektronenen an Metallgrenzflächen
Sie interessieren sich für die Wellenfunktionen von Elektronen in einem Metall M1, das an ein anders
Metall M2 grenzt. Analog zu Aufgabe II.24 betrachten Sie die Bewegung der Elektronen ausschließlich
senkrecht zur Metallgrenzfläche.
a) Lösen Sie die stationäre Schrödingergleichung für eine Potentialstufe (die Austrittsarbeit von M1 sei
um eine Energie E0 größer als die von M2) für den Fall, dass die Energie des Elektrons im Metall M1
E< E0. Sie verwenden dafür Kap. 4.2.2 aus Demtröder Experimentalphysik III.
b) Was lernen Sie über die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in M2?
c) Wie groß ist die de-Broglie Wellenlänge des Elektrons in M1?
4.2. Anwendungsbeispiele der stationären Schrödingergleichung
• Da die Gleichung (4.7) eine komplexe Gleichung
ist, können auch die Wellenfunktionen ψ komplex
sein. Das Absolutquadrat |ψ |2 , das die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens angibt, ist
jedoch immer reell.
Für nichtstationäre Probleme (d. h. E = E(t) und
p = p(t)) wird auch ω(t) zeitabhängig. Deshalb lässt
sich ∂ 2 ψ/∂t 2 nicht mehr als −ω2 ψ schreiben und aus
der Wellengleichung für die Materiewellen für Teilchen herleiten, die außer der konstanten Masse m
der Teilchen keine weiteren speziellen zeitabhängigen
Parameter (z. B. E oder p) enthält (siehe Aufg. 4.1).
Schrödinger postulierte nun, dass auch bei zeitabhängiger potentieller Energie E pot (r, t) die Gleichung
−2
Δψ (r, t)
2m
+ E pot (r, t) ψ (r, t) = i
∂ψ (r, t)
∂t
4.2.1 Das freie Teilchen
Wir bezeichnen ein Teilchen als kräftefrei, wenn es sich
in einem konstanten Potential φ0 bewegt, weil dann wegen F = − grad E pot die Kraft auf das Teilchen null ist.
Durch geeignete Wahl des Energienullpunktes können
wir φ0 = 0, d. h. E pot = 0 wählen und erhalten aus (4.6)
die Schrödingergleichung des freien Teilchens:
−2 d2 ψ
= Eψ .
(4.9)
2m dx 2
Die Gesamtenergie E = E kin + E pot ist wegen E pot = 0
nun
p2
2 k 2
E=
=
,
2m
2m
und (4.9) reduziert sich auf die Gleichung
d2 ψ
= −k 2 ψ ,
dx 2
deren allgemeinste Lösungsfunktionen die Form
ψ(x) = A · eikx + B · e−ikx
(4.8)
gelten soll. Diese allgemeine zeitabhängige Schrödingergleichung ist inzwischen durch unzählige Experimente geprüft und für richtig befunden worden.
Sie stellt die Grundgleichung der Quantenmechanik
dar.
Für stationäre Probleme kann ψ (r, t) separiert werden in ψ (r, t) = ψ(r) · e−i(E/)·t . Setzt man diesen
Ansatz in (4.8) ein, so erhält man wieder die stationäre
Schrödingergleichung (4.6a) für den Ortsanteil ψ(r)
der Wellenfunktion ψ (r, t).
4.2 Anwendungsbeispiele
der stationären
Schrödingergleichung
haben. Die zeitabhängige Wellenfunktion
ψ (x, t) = ψ(x) · e−iωt
= A · ei(kx−ωt) + B · e−i(kx+ωt)
− d ψ
+ E pot ψ(x) = Eψ(x)
2m dx 2
2
berechnen. Diese Beispiele sollen vor allem die
Wellenbeschreibung von Teilchen und die daraus
folgenden physikalischen Konsequenzen illustrieren.
(4.11)
stellt die Überlagerung einer in +x-Richtung mit einer
in −x-Richtung laufenden ebenen Welle dar.
Die Koeffizienten A und B sind die Amplituden
der Wellen, die durch die Randbedingungen festgelegt werden. So muss z. B. bei der Wellenfunktion von
Elektronen, die in Abb. 4.2 aus einer Kathode K austreten und in +x-Richtung auf den Detektor fliegen,
die Amplitude B = 0 sein. Aus dem experimentellen
Aufbau wissen wir, dass die Elektronen nur auf der
Strecke L zwischen Kathode und Detektor anzutreffen
K
Wir wollen nun für einige einfache eindimensionale
Probleme die Lösungen der stationären Schrödingergleichung (4.6)
2
(4.10)
A
D
I
U
U
Δx(t = 0)
KD = L
Δx(t)
t
Abb. 4.2. Illustration für das Auseinanderlaufen des Wellenpaketes durch einen Pulk von Elektronen mit einer
Geschwindigkeitsunschärfe Δv(t = 0)
125
126
4. Grundlagen der Quantenmechanik
sind, d. h. ihre Wellenfunktion kann nur dort von null
verschieden sein mit der Normierungsbedingung
L
|ψ(x)| dx = 1
E0
√
⇒ A2 · L = 1 ⇒ A = 1/ L .
I
k0 +Δk/2
dk
II
0
Um den Ort eines Teilchens zur Zeit t genauer zu definieren, müssen wir statt der ebenen Wellen (4.11)
Wellenpakete
i(kx−ωt)
Ep = E 0
B ⋅ e−ikx
Ekin < E0
0
A(k) e
D ⋅ eikx
Ekin > E0
A ⋅ eikx
2
ψ (x, t) =
Ep(x)
(4.12)
k0 −Δk/2
konstruieren, deren Ortsunschärfe Δx ≥ /(2Δ px ) =
1/(2Δk) zur Zeit t = 0 von der Impulsbreite Δ px =
Δk abhängt (Abb. 3.29). Je größer Δk ist, umso
schärfer kann Δx(t = 0) bestimmt werden, aber desto
schneller läuft das Wellenpaket auseinander.
Experimentell kann man sich das folgendermaßen veranschaulichen: Legt man zur Zeit t = 0 einen
kurzen Spannungspuls an die Elektrode A, so können während dieser Zeit Elektronen zum Detektor
starten. Die von der heißen Kathode emittierten Elektronen haben jedoch eine Geschwindigkeitsverteilung
Δv, sodass Elektronen mit etwas unterschiedlichen
Geschwindigkeiten v sich zu einem späteren Zeitpunkt t nicht alle am gleichen Ort x befinden, sondern
über das Intervall Δx(t) = t · Δv „verschmiert“ sind.
Die Geschwindigkeitsverteilung wird durch die Breite
Δv ∝ Δk des Wellenpakets beschrieben, sodass sich
die Ortsunschärfe Δx
d Δx(t)
= Δv(t = 0) = Δk(t = 0)
dt
m
proportional zur anfänglichen Impulsunschärfe ändert.
x
Abb. 4.3. Eindimensionale Potentialbarriere
Grenzfläche Vakuum-Materie (z. B. eine Glasoberfläche) trifft.
Wir teilen das Gebiet −∞ < x < +∞ in zwei Bereiche I und II auf. Im Bereich I mit E pot = 0 gilt wieder
(4.9) mit der Lösung (4.10) für den Ortsanteil ψ(x) der
Wellenfunktion
ψI (x) = A eikx + B e−ikx ,
wobei A die Amplitude der einfallenden Welle, B die
Amplitude der an der Potentialstufe reflektierten Welle
ist.
Man beachte:
Die vollständige Lösung ist (4.11). Oft wird der
Zeitfaktor weggelassen, weil er sich bei den hier
behandelten stationären Problemen nicht ändert.
Im Bereich II heißt die Schrödingergleichung
d2 ψ 2m
+ 2 (E − E 0 ) ψ = 0 ,
(4.13a)
dx 2
√
die mit der Abkürzung α = 2m(E 0 − E)/ zu
d2 ψ
− α 2ψ = 0
dx 2
(4.13b)
wird und die Lösung
4.2.2 Potentialstufe
Die im vorigen Abschnitt behandelten freien Teilchen (E pot = 0) mögen in +x-Richtung fliegen und
an der Stelle x = 0 in ein Gebiet mit einem Potential
φ(x ≥ 0) = φ0 > 0 eintreten, in dem ihre potentielle
Energie E pot = E 0 konstant ist, d. h. bei x = 0 tritt
ein Sprung ΔE pot = E 0 der potentiellen Energie auf
(Abb. 4.3). Dieses Problem entspricht in der klassischen Lichtoptik einer ebenen Lichtwelle, die auf eine
ψII = C e+α x + D e−α x
hat. Wenn
ψ(x) =
⎧
⎨ψ
für x < 0
⎩ψ
für x ≥ 0
I
II
(4.14)
eine Lösung der Schrödingergleichung (4.13) im gesamten Bereich −∞ ≤ x ≤ +∞ sein soll, muss ψ
4.2. Anwendungsbeispiele der stationären Schrödingergleichung
überall stetig differenzierbar sein, weil sonst die zweite
Ableitung d2 ψ/ dx 2 nicht definiert und damit die
Schrödingergleichung nicht anwendbar wäre. Dies ergibt aus (4.10) und (4.14) die Randbedingungen für
x = 0:
ψI (x = 0) = ψII (x = 0)
⇒ A+B = C+D,
dψI
dψII
=
dx 0
dx 0
⇒ ik (A − B) = α (C − D) .
(4.15a)
(4.15b)
a) E < E 0
Für diesen Fall ist α reell, und der Koeffizient C in
(4.14) muss null sein, weil sonst ψII (x) für x → +∞
unendlich würde und damit nicht mehr normierbar. Aus
(4.15) erhalten wir dann
ik + α
A
ik − α
und
D=
2ik
A.
ik − α
e
Ekin
Wir unterscheiden nun die beiden Fälle, dass die Energie E kin = E des einlaufenden Teilchens kleiner oder
größer als die Potentialstufe ist (Abb. 4.3):
B=
E0−Ekin
(4.16)
Die Wellenfunktion im Bereich x < 0 heißt dann:
ik + α −ikx
ikx
ψI (x) = A e +
e
.
(4.17)
ik − α
Ihr Realteil ist in Abb. 4.4 dargestellt. Wir erhalten den
Bruchteil R der reflektierten Teilchen
|B · e−ikx |2
|B|2 ik + α 2
R=
=
=
= 1 , (4.18)
|A · eikx |2
|A|2 ik − α d. h. alle Teilchen werden im Fall E < E 0 reflektiert,
wie man dies auch klassisch erwarten würde (Abb. 4.4).
Es besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied zur
klassischen Teilchenmechanik:
Die Teilchen werden nicht genau an der Grenzfläche x = 0 reflektiert, sondern dringen noch in
das Gebiet x > 0 mit E pot = E 0 > E kin ein, bevor sie wieder umkehren, obwohl ihre Energie
E kin < E 0 dazu im klassischen Teilchenmodell
nicht ausreichen sollte.
– αx
E0
A
B
A =B
0
x
Abb. 4.4. Wellenfunktion ψ(x) bei vollständiger Reflexion
der einlaufenden Welle für E kin < E 0 trotz Eindringens in das
Gebiet mit E 0 > E kin
Die Wahrscheinlichkeit W(x), ein Teilchen am Ort
x > 0 zu finden, ist
4k 2
|A| 2 e−2α x
W(x) = |ψII | 2 = D · e−α x 2 = 2
α + k2
4k 2
= 2 |A| 2 e−2α x ,
(4.19)
k0
wobei k02 = 2m E 0 /2 ist. Nach einer Strecke x =
1/(2α) ist die Eindringwahrscheinlichkeit auf 1/e
ihres Wertes bei x = 0 abgesunken.
Dies ist uns aus der Wellenoptik wohlvertraut.
Auch bei Totalreflexion einer Welle dringt die einfallende Welle über die Grenzfläche hinaus in das
Medium mit dem Brechungsindex n = n − iκ ein, wobei die eingedrungene Intensität nach einer Strecke
x = 1/(2kκ) = λ/(4πκ) auf 1/ e abgefallen ist (siehe
Bd. 2, Abschn. 8.2 und 8.4.6).
Teilchen mit der Energie E können mit einer
von null verschiedenen Wahrscheinlichkeit in Potentialbereiche E 0 > E eindringen, die sie nach
der klassischen Teilchenmechanik nicht erreichen
können.
Wenn wir einmal akzeptiert haben, Teilchen durch
Wellen zu beschreiben, folgt der zuerst überraschend
erscheinende Befund, dass Teilchen sich in klassisch
verbotenen Bereichen aufhalten, in Analogie zur Optik
aus der Wellennatur der Teilchen.
b) E > E 0
Jetzt ist die kinetische Energie E kin = E der einfallenden Teilchen größer als der Potentialsprung E 0 , und
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