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4. Stoßvorgänge
●
●
●
●
●
13.08.15
Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei
denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten.
Gesucht wird ein Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten vor dem Stoß und den Geschwindigkeiten nach dem Stoß.
Der genaue zeitliche Verlauf der Kräfte ist nicht bekannt.
Stoßvorgänge werden daher mit Hilfe des integrierten Impulssatzes beschrieben.
Dabei müssen Annahmen zum Kraftstoß getroffen werden.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-1
4. Stoßvorgänge
13.08.15
4.1 Idealisierungen
4.2 Stoß eines Massenpunktes
4.3 Stoß zwischen zwei Massenpunkten
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-2
4.1 Idealisierungen
●
●
13.08.15
Idealisierungen sind vereinfachende Annahmen, die bei
der Modellbildung getroffen werden, damit ein Problem
rechnerisch untersucht werden kann.
Bei Stoßvorgängen werden folgende Annahmen getroffen:
–
Die Stoßdauer tS ist so klein, dass Lageänderungen der beteiligten Körper während der Stoßdauer vernachlässigt werden können.
–
Es müssen nur die durch den Stoß verursachten Kraftstöße
berücksichtigt werden. Wegen der sehr kleinen Stoßdauer
sind die Kraftstöße aller anderen Kräfte vernachlässigbar.
–
Die beteiligten Körper können als Massenpunkte betrachtet
werden.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-3
4.2 Stoß eines Massenpunktes
●
y
vB
Ein Massenpunkt trifft schräg
auf eine starre glatte Wand.
–
Bekannt:
●
αB
–
vA
m
Prof. Dr. Wandinger
●
x
αA
13.08.15
Masse m
Geschwindigkeit vA , αA vor
dem Auftreffen
Gesucht:
●
Geschwindigkeit vB , αB nach
dem Auftreffen
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-4
13.08.15
4.2 Stoß eines Massenpunktes
●
Geometrie:
v Ax =−v A cos  A  , v Ay =v A sin  A 
v Bx =v B cos  B  , v By =v B sin  B 
●
●
Integrierter Impulssatz in y-Richtung:
–
Da die Wand glatt ist, werden keine Kräfte in y-Richtung
übertragen.
–
Damit gilt:
m v By −m v Ay =0 → v By =v Ay
Integrierter Impulssatz in x-Richtung:
–
Der Stoßvorgang wird in zwei Phasen unterteilt, die Kompressionsphase und die Restitutionsphase.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-5
13.08.15
4.2 Stoß eines Massenpunktes
–
Kompressionsphase:
●
●
Der Massenpunkt wird zusammengedrückt, bis die Geschwindigkeit senkrecht zur Wand null ist.
Dazu muss auf die Masse der Kraftstoß F K wirken:
m⋅0−m v Ax = F̂ K → −m v Ax = F̂ K
–
Restitutionsphase:
●
●
Während der Restitutionsphase bildet sich die Verformung
ganz oder teilweise zurück.
Dabei nimmt die von der Wand auf den Massenpunkt ausgeübte Kraft ab und ist am Ende der Restitutionsphase null.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-6
13.08.15
4.2 Stoß eines Massenpunktes
●
Für den Kraftstoß F R während der Restitutionsphase gilt:
m v Bx −m⋅0= F̂ R → m v Bx = F̂ R
–
Zeitlicher Verlauf der Kraft auf den Massenpunkt:
F
F max
F̂ K
F̂ R
tS
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
t
TM 3 2.4-7
13.08.15
4.2 Stoß eines Massenpunktes
●
Stoßhypothese:
–
Mit
−m v Ax = F K , m v Bx = F R
stehen zwei Gleichungen zur Ermittlung der drei Unbekannten v Bx , F K , F R zur Verfügung.
–
Zur Lösung wird noch eine Hypothese über das Verformungsverhalten benötigt.
–
Diese Hypothese stellt einen Zusammenhang zwischen den
beiden Kraftstößen her.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-8
13.08.15
4.2 Stoß eines Massenpunktes
–
Vollkommen elastischer
Stoß:
●
●
●
Verformungen und Kräfte in der Restitutionsphase verlaufen spiegelbildlich zur Kompressionsphase.
F
F max
Nach dem Stoßende hat
die Masse wieder ihre
ursprüngliche Form.
Für die Kraftstöße gilt:
F R = F K
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
F̂ K
F̂ R
tS
t
TM 3 2.4-9
4.2 Stoß eines Massenpunktes
–
●
Damit folgt:
●
Ergebnis:
13.08.15
−m v Ax = F̂ K
→ m v Ax +m v Bx =0
̂
m v Bx = F K
v Bx =−v Ax
v By =v Ay
vB =v A
 B = A
Vollkommen plastischer Stoß:
●
Die gesamte Verformung bleibt erhalten.
●
Der Kraftstoß während der Restitutionsphase verschwindet:
F R =0
●
Damit folgt:
Prof. Dr. Wandinger
v Bx =0
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-10
4.2 Stoß eines Massenpunktes
●
13.08.15
Mit v Bx =v B cos  B  , v By =v B sin  B  und v By =v Ay folgt weiter:
 B =90 °
v B =v By =v Ay =v A sin  A 
●
–
Der Massenpunkt rutscht an der Wand entlang.
Teilelastischer Stoß:
●
Die Verformungen bilden sich teilweise zurück.
●
Für die Kraftstöße gilt:
●
●
F R =k F K
Die dimensionslose Konstante k wird als Stoßzahl bezeichnet.
Der Wert der Stoßzahl liegt zwischen 0 (vollkommen plastischer Stoß) und 1 (vollkommen elastischer Stoß).
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-11
4.2 Stoß eines Massenpunktes
●
Damit folgt:
−m v Ax = F̂ K
→ k m v Ax +m v Bx =0
m v Bx = k F̂ K
●
Ergebnis:
v Bx =−k v Ax
13.08.15
v By
v Ay
1
tan  B = =
= tan  A
v Bx −k v Ax k
●
●
●
Wegen k < 1 gilt:
tan  B tan  A   B  A
Die Stoßzahl kann aus dem Verhältnis der Geschwindigkeiten
v Bx
berechnet werden:
k=−
v Ax
Die Stoßzahl hängt von den Eigenschaften des Körpers und
von den Eigenschaften der Wand ab.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-12
13.08.15
4.2 Stoß eines Massenpunktes
y
y
vB
vA
αA
x
αA
vA
y
vB
αB
αB
x
αA
vA
x
αA
vA
k=1
0< k< 1
k=0
vollkommen elastisch
teilelastisch
vollkommen plastisch
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-13
13.08.15
4.2 Stoß eines Massenpunktes
●
Bestimmung der Stoßzahl im Fallversuch:
–
–
–
Ein Massenpunkt fällt aus der Höhe hA senkrecht auf
eine waagerechte Unterlage.
Nach dem Stoß erreicht er die Höhe hB.
Energieerhaltungssatz für die Fallphase:
1
m g h A= m v 2A → v A=−√ 2 g h A
2
–
m
g
x
NN
Energieerhaltungssatz für die Steigphase:
1
m v 2B =m g h B → v B = √ 2 g h B
2
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-14
4.2 Stoß eines Massenpunktes
–
●
Daraus folgt für die Stoßzahl:
13.08.15

vB
hB
k=− =
vA
hA
Typische Werte der Stoßzahl:
–
Glas auf Glas:
0,94
–
Stahl auf Stahl:
0,8
–
Holz auf Holz:
0,5
–
Kork auf Kork:
0,56
–
Außer vom Material hängt die Stoßzahl auch von der Geometrie des Körpers und von der Größe des Kraftstoßes ab.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-15
4.3 Stoß zwischen zwei Massenpunkten
13.08.15
4.3.1 Definitionen
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-16
13.08.15
4.3.1 Definitionen
●
Berührungsebene und
Stoßnormale:
–
Die Berührungsebene
liegt tangential zu den
beiden Körpern.
–
Der Stoßpunkt P liegt in
der Berührungsebene.
–
Die Stoßnormale geht
durch den Stoßpunkt P
und steht senkrecht auf
der Berührungsebene.
Prof. Dr. Wandinger
Stoßnormale
S1
P
S2
Berührungsebene
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-17
13.08.15
4.3.1 Definitionen
●
Gerader Stoß:
–
●
Die Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß haben die
Richtung der Stoßnormalen.
S1
P
S2
v2
Schiefer Stoß:
–
v1
Die Richtungen der Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem
Stoß stimmen nicht mit der
Stoßnormalen überein.
v1
S1
P
S2
v2
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-18
13.08.15
4.3.1 Definitionen
●
Zentrischer Stoß:
–
–
●
Die Stoßnormale geht durch die
beiden Schwerpunkte.
S1
S2
Beim zentrischen Stoß können
die beteiligten Körper als Massenpunkte betrachtet werden
Exzentrischer Stoß:
–
P
Die Stoßnormale geht nicht
durch die beiden Schwerpunkte.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
P
S2
S1
TM 3 2.4-19
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
●
13.08.15
Vor dem Stoß:
m2
m1
v1 > v2
x
v1
–
v2
Die Massen m1 und m2 bewegen sich mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 entlang einer Geraden, die mit der Stoßnormalen übereinstimmt.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-20
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
●
13.08.15
Während des Stoßes:
m1

m2
x
F(t)
–
Zum Zeitpunkt t = 0 treffen die beiden Massen aufeinander.
–
Sie üben eine Kraft F(t) aufeinander aus.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-21
13.08.15
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
–
Kompressionsphase:
●
●
●
●
Während der Kompressionsphase werden die beiden Massen
zusammengedrückt.
Am Ende der Kompressionsphase (Zeitpunkt t0 ) haben die
beiden Massen die gleiche Geschwindigkeit v0 .
Die Kontaktkraft F(t) erreicht zum Ende der Kompressionsphase ihr Maximum.
Für den Kraftstoß während der Kompressionsphase gilt:
t0
F K =∫ F t dt
0
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-22
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
–
13.08.15
Restitutionsphase:
●
●
●
Während der Restitutionsphase bilden sich die Verformungen
teilweise oder vollkommen zurück.
Dabei fällt die Kontaktkraft F(t) ab und ist am Ende (Zeitpunkt
tS ) null.
Für den Kraftstoß während der Restitutionsphase gilt:
tS
F R =∫ F t  dt
–
Stoßhypothese:
●
t0
Zwischen den Kraftstößen besteht die Beziehung
F R =k F K
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-23
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
●
13.08.15
Nach dem Stoß:
m2
m1
w1 < w2
x
w1
–
w2
Die Massen m1 und m2 bewegen sich mit den Geschwindigkeiten w1 und w2 entlang einer Geraden, die mit der Stoßnormalen übereinstimmt.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-24
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
●
13.08.15
Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
–
Der integrierte Impulssatz für jede der beiden Massen während der Kompressionsphase lautet:
m1  v 0 −v1  =− F K , m2  v 0 −v 2  = F K
–
Der integrierte Impulssatz für jede der beiden Massen während der Restitutionsphase lautet:
m1  w1−v 0  =−k F K , m2  w 2 −v 0  =k F K
–
Damit stehen vier Gleichungen zur Verfügung, mit denen
die vier Unbekannten w1 , w2 , v0 und F K berechnet werden
können.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-25
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
13.08.15
–
Addition der beiden Gleichungen für die Kompressionsphase ergibt:
m 1 v 1 + m 2 v2
m1 ( v 0 −v1 ) + m 2 ( v 0 −v 2 )=0 → v 0 =
m1 +m 2
–
Damit folgt für den Kraftstoß:

m1 v 1m2 v2
F K =m2  v 0 −v 2  =m 2
−v2
m1 m 2
=m 2
Prof. Dr. Wandinger
m1 v1m2 v 2−  m 1m 2  v 2
m 1m 2

m 1 m2
=
v 1−v 2 

m1m2
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-26
13.08.15
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
–
Aus den Gleichungen für die Restitutionsphase folgt:
F K m 1 v 1m2 v 2
m2
w1 =v 0 −k
=
−k
v1−v 2 

m1
m1 m 2
m1 m 2
F K m 1 v 1m 2 v 2
m1
w 2 =v 0 k
=
k
v 1−v 2 

m2
m1m 2
m1m 2
–
Ergebnis:
w1 =
w2=
Prof. Dr. Wandinger
m1 v1 m2 v2 −k m 2  v1−v 2 
m1 m 2
m 1 v 1m2 v 2 k m1  v1 −v 2 
m1m2
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-27
13.08.15
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
–
Spezialfälle:
●
Ideal plastischer Stoß: k = 0
●
Ideal elastischer Stoß: k = 1
w 1=
●
●
●
2 m2 v2  m1 −m2  v1
m1 m2
m1 v1 +m2 v 2
→ w1 =w 2 =
m1 +m 2
, w2 =
2 m 1 v1  m2 −m1  v2
m1 m2
Gleich große Massen: m1 = m2
1
1
w 1= [  1−k  v1  1k  v2 ] , w 2 = [  1k  v1  1−k  v2 ]
2
2
Ideal elastisch mit gleich großen Massen: w 1=v2 , w 2 =v1
Ideal plastisch mit gleich großen Massen:
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
w 1=w 2 =
1
v1v2 

2
TM 3 2.4-28
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
●
13.08.15
Impulserhaltung:
–
Da wegen der sehr kurzen Stoßzeit der Kraftstoß der äußeren Kräfte auf das Gesamtsystem vernachlässigbar ist,
muss der Impuls des Gesamtsystems erhalten bleiben.
–
Addition der integrierten Impulssätze für die Kompressionsphase ergibt:
m1  v 0 −v1  m2  v 0 −v 2  =0
–
Addition der integrierten Impulssätze für die Restitutionsphase ergibt:
m1  w1−v 0  m 2  w 2 −v 0  =0
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-29
13.08.15
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
–
Addition dieser beiden
Gleichungen ergibt:
m1  w1−v1  m2  w 2 −v 2  =0
–
Daraus folgt:
m1 w 1m 2 w 2
=m1 v 1m2 v2
–
●
Stoßbedingung:
–
Für die Geschwindigkeitsdifferenz w2 – w1
folgt:
w 2 −w1
k m1  v 1−v 2  k m 2  v1−v 2 
=
m1 m 2
=k  v1 −v 2 
Diese Beziehung gilt unabhängig von der Stoßzahl.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
w 2 −w1
k=−
v2 −v 1
TM 3 2.4-30
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
13.08.15
–
Die Stoßzahl ist gleich dem Verhältnis von relativer Trennungsgeschwindigkeit zu relativer Annäherungsgeschwindigkeit.
–
Mit Impulserhaltungssatz und Stoßbedingung stehen zwei
Gleichungen zur Verfügung, die nach w1 und w2 oder nach
v1 und v2 aufgelöst werden können.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-31
13.08.15
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
●
Energiebilanz:
–
Die mechanische Energie, die dem System durch Verformung und Erwärmung verloren geht, berechnet sich aus
der Differenz der kinetischen Energien vor und nach dem
Stoß:
1
1
K
K
2
2
 E =E v −E n =  m 1 v 1 m2 v 2 −  m 1 w21 m2 w 22 
2
2
–
Daraus folgt zunächst:
2 E
= m1  v12 −w 21  m 2  v 22 −w 22 
= m1  v1−w1  v1 w1  m 2  v 2 −w 2  v2 w2 
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-32
13.08.15
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
–
Mit m 2  v 2 −w2  =−m1  v 1−w 1  folgt weiter:
2 E
= m1  v1−w1  v1 w1  −m1  v 1−w 1  v 2w 2 
= m1  v1−w1  v1 w1 −v 2 −w 2 
= m1  v1−w1   v 1−v 2 −k  v1−v2  
–
Aus den Stoßgleichungen folgt:
v1 −w1 =
=
Prof. Dr. Wandinger
 m1m 2  v 1−m1 v1−m 2 v 2k m 2  v 1−v 2 
m1m2
m 2  v1−v2  k m 2  v1−v2 
m 1m 2
m2
=
 1k   v1 −v 2 
m1m 2
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-33
13.08.15
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
–
Damit folgt:
–
Ergebnis:
m1 m2
2 E=
 1k   v1−v2   1−k   v 1−v 2 
m1m2
1 m1 m 2
2
2
 E=
1−k   v 1−v 2 

2 m1m 2
–
Beim ideal elastischen Stoß ist wegen k = 1 der Energieverlust null.
–
Beim ideal plastischen Stoß ist wegen k = 0 der Energieverlust am größten.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-34
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
●
●
13.08.15
Betrachtet wird nur der schiefe zentrische Stoß zweier
Massenpunkte in der Ebene, d.h. die Stoßnormale und
die beiden Geschwindigkeitsvektoren vor dem Stoß liegen
in einer Ebene.
Dabei wird angenommen, dass die Oberflächen der stoßenden Massenpunkte glatt sind.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-35
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
w1y
w1
y
w2y
w1x
13.08.15
w2
w2x
Stoßnormale
v1y
m1
x
v1
v1x
v2
Geschwindigkeiten
entgegen der
x-Achse sind negativ.
v2y
v2x
m2
Berührungsebene
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-36
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
●
13.08.15
Impulserhaltungssatz in y-Richtung:
–
Da die Oberflächen der beiden Massen als glatt vorausgesetzt werden, werden in der Berührungsebene keine Kräfte
übertragen.
–
Der Impulserhaltungssatz in y-Richtung für jede der beiden
Massen liefert:
m1 v1 y =m1 w1 y → v1 y =w1 y
m 2 v 2 y =m2 w 2 y → v 2 y =w 2 y
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-37
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
●
13.08.15
Integrierter Impulssatz in x-Richtung:
–
In Richtung der Stoßnormalen liegen die gleichen Verhältnisse vor wie beim geraden zentrischen Stoß.
–
Der über die gesamte Stoßzeit tS integrierte Impulssatz für
jede der beiden Massen lautet:
m1 w 1 x −m1 v1 x =− F , m 2 w 2 x −m 2 v 2 x = F
F = F K  F R
–
Zusätzlich muss die Stoßbedingung erfüllt sein:
w 1 x −w 2 x
k=−
v1 x −v2 x
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-38
13.08.15
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
–
Damit stehen drei Gleichungen zur Bestimmung der drei
Unbekannten w1x , w2x und F zur Verfügung.
–
Wie beim geraden zentrischen Stoß folgt:
w1 x =
w2 x =
–
m1 v1 x m 2 v 2 x −k m 2  v 1 x −v2 x 
m1m2
m1 v 1 x m 2 v 2 x k m1  v 1 x −v2 x 
m1 m 2
Geschwindigkeiten entgegen der x-Achse sind negativ.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.4-39