Kinetik des Massenpunktes

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Technische Mechanik II
Kinetik des Massenpunktes
Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc.
Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau
Hochschule Bochum
WS 2009/2010
Kinetik des Massenpunktes
Übersicht
1. Kinematik des Massenpunktes
2. Kinematik des starren Körpers
3. Kinetik des Massenpunktes
◦ Grundgesetze der Dynamik
- Newtonsche Axiome
- Klassifizierung von Kräften
- Wichtige Kraftgesetze der Mechanik
◦ Arbeit, Energie und Leistung
◦ Impuls und Drehimpuls
4. Kinetik des starren Körpers
5. Stossprobleme
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 1/14
Grundlegende Begriffe
Kinetik
Lehre der Kräfte, die auf sich bewegende Körper wirken
Kraft
Physikalische Größe, die eine Bewegungsänderung bewirkt und
durch drei Eigenschaften bestimmt ist: Betrag, Richtung und
Angriffspunkt.
Arten von Kräften:
◦ Einzelkraft
◦ Volumenkraft
◦ Flächenkraft
◦ Linienkraft
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 2/14
Grundlegende Begriffe (Forts.)
Masse
Physikalische Grundgröße, die proportional der Stoffmenge eines
Körpers ist und die Trägheit des Körpers gegenüber einer Änderung
seines Bewegungszustandes sowie die Anziehung zu anderen
Körpern bezeichnet
Masse eines homogenen Körpers:
Masse eines inhomogenen Körpers:
m = ρV
Z
m = ρ(r) dV
V
ρ → Massendichte
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 3/14
Grundlegende Begriffe (Forts.)
Impuls
Physikalische Größe, die als Maß für den Bewegungszustand eines
Körpers dient:
p = mv
Superpositionsprinzip der Kräfte
Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte
F 1 , F 2 , . . . , F n , so addieren sich diese vektoriell zu einer
resultierenden Kraft F auf:
n
X
Fi
F =
i=1
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 4/14
Newtonsche Axiome
1. Axiom: Trägheitsprinzip
Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der
gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte
gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.
F =
n
X
Fi = 0
v = const
⇒
i=1
Inertialsystem
Bezugssystem, in dem das Trägheitsprinzip gilt
Beschleunigte Bezugssysteme sind keine Inertialsysteme!
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 5/14
Newtonsche Axiome (Forts.)
2. Axiom: Aktionsprinzip
Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden
Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen
geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
dp
dt
d(mv)
dt
dm
dv
v+m
dt
dt
= F
= F
= F
Bewegungsgleichung eines Teilchens konstanter Masse: m a = F
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 6/14
Newtonsche Axiome (Forts.)
3. Axiom: Reaktionsprinzip
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen
zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
F 1→2 = −F 2→1
Schnittprinzip
Das Gleichgewicht eines mechanischen Systems bleibt bei einem
gedachten Schnitt durch das System erhalten, wenn an der
Schnittstelle als Ersatz für die entfernten Teile die auftretenden
Schnittkräfte berücksichtigt werden.
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 7/14
Klassifizierung von Kräften
Trägheitskräfte
Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen, die der Beschleunigungsrichtung entgegen wirken.
F T = −m a
Prinzip von d’Alembert
Im beschleunigten Bezugssystem befindet sich die Summe der auf
einen Körper wirkenden eingeprägten Kräfte jederzeit im Gleichgewicht mit der Summe aller Trägheitskräfte.
F + FT = 0
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 8/14
Klassifizierung von Kräften (Forts.)
Zwangskräfte
Normal zur Bahn eines Massenpunktes wirkende Kräfte, die eine
geführte Bewegung erzwingen
Lagerkräfte
Kontaktkräfte
Fx
FN
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Fy
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 9/14
Klassifizierung von Kräften (Forts.)
Eingeprägte Kräfte
Von außen auf einen Körper einwirkende Kräfte, die ihre Ursache in
physikalischen Gesetzen haben bzw. deren Verlauf vorgegeben ist
Beispiele: Gewichtskraft, Federkraft, Reibungskraft, Windkraft
Widerstandskräfte
Tangential zur Bahn eines Massenpunktes wirkende Kräfte, die eine
Bewegung verhindern bzw. erschweren und der Bewegungsrichtung
entgegengesetzt wirken
Beispiele: Federkraft, Reibungskraft, Dämpferkraft
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 10/14
Wichtige Kraftgesetze der Mechanik
m1 m2
,
R2
Γ = 6.673 · 10−11
m3
kg s2
Gravitationskraft
FΓ = Γ
Gewichtskraft
FG = m g ,
g = 9.81
Federkraft
FF = k(ℓ − ℓ0 ) ,
k Federkonstante
ℓ0 ungespannte Federlänge
ℓ0
m
s2
∆ℓ
ℓ
FF
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 11/14
Wichtige Kraftgesetze der Mechanik (Forts.)
Dämpferkraft
d Dämpferkonstante
ẋ Geschwindigkeit
FD = d ẋ ,
ẋ
FD
Haftreibung
FR ≤ µ0 FN ,
µ0 Haftreibungskoeffizient
FN Normalkraft
Gleitreibung
FR = µ FN ,
µ Gleitreibungskoeffizient
FN Normalkraft
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 12/14
Wichtige Kraftgesetze der Mechanik (Forts.)
Reibungskegel
̺0
µ0 = tan ̺0
µ = tan ̺
̺
v
Wirkungslinie
der Kontaktkraft
innerhalb
des Reibungskegels
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Kontaktkraft
Wirkungslinie
der Kontaktkraft
auf dem Mantel
des Reibungskegels
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Kontaktkraft
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 13/14
Wichtige Kraftgesetze der Mechanik (Forts.)
Rollreibung
FR = µR FN ,
µR Rollreibungskoeffizient
FN Normalkraft
Stokes-Reibung
FR = 6π r η v ,
r Partikelradius
η Viskosität des Fluids
v Partikelgeschwindigkeit
Newton-Reibung FR =
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1
cW ρ A v 2 ,
2
cW Widerstandskoeffizient
ρ Dichte des Fluids
A Körperquerschnitt
v Körpergeschwindigkeit
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Kinetik des Massenpunktes
Grundgesetze der Dynamik 14/14
Wichtige Kraftgesetze der Mechanik (Forts.)
Seilreibung
µ0
S1
α
S2
Haftung ist gewährleistet, wenn die Seilkraft S2 innerhalb der
folgenden Grenzen liegt:
S1 e−µ0 α ≤ S2 ≤ S1 eµ0 α
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Kinetik des Massenpunktes
Arbeit, Energie und Leistung 1/8
Mechanische Arbeit
Arbeit
Energie, die durch eine Kraft längs eines Weges auf einen Körper
übertragen wird:
Zr2
W = F T dr
r1
Sonderfall:
konstante Kraft entlang einer geraden Strecke
W = F T ∆r
Reaktionskräfte verrichten keine Arbeit!
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Kinetik des Massenpunktes
Arbeit, Energie und Leistung 2/8
Mechanische Arbeit (Forts.)
Verschiebungsarbeit
Arbeit, die von einer Kraft F ′ = −F gegen eine Kraft F ohne
Beschleunigung des Körpers verrichtet wird
Reibungsarbeit
W ′ = FR ∆s ,
FR Reibungskraft
∆s zurückgelegte Strecke
Hubarbeit
W ′ = mg h ,
mg Gewichtskraft
h
Verformungsarbeit W ′ =
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Höhenunterschied
k
(ℓ − ℓ0 )2 , k Federkonstante
2
ℓ0 ungespannte Federlänge
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Kinetik des Massenpunktes
Arbeit, Energie und Leistung 3/8
Mechanische Arbeit (Forts.)
Konservative Kraft
Kraft, die eine vom Weg unabhängige Arbeit verrichtet, so dass
aufgewandte Arbeit durch die Umkehrung des Weges vollständig
wiedergewonnen werden kann
Beispiele: Federkraft, Gewichtskraft
Dissipative Kraft
Kraft, die eine vom Weg abhängige Arbeit verrichtet, so dass
aufgewandte Arbeit durch die Umkehrung des Weges nicht wiedergewonnen werden kann
Beispiele: Reibungskraft, Dämpferkraft
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Kinetik des Massenpunktes
Arbeit, Energie und Leistung 4/8
Mechanische Arbeit (Forts.)
Beschleunigungsarbeit
Arbeit, die eine Kraft F verrichtet, wenn sie einen Körper der
Masse m von v0 auf v1 beschleunigt:
m 2
W =
v1 − v02
2
Energie
Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu verrichten
Arbeit
→ Vorgang (Heben, Verformen, Beschleunigen)
Energie
→ Zustand gespeicherter Arbeit
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Kinetik des Massenpunktes
Arbeit, Energie und Leistung 5/8
Energieformen der Mechanik
Kinetische Energie
Energie, die ein Körper aufgrund seiner Bewegung besitzt
(Bewegungsenergie):
1
T = mv 2
2
Potentielle Energie
Energie, die ein Körper aufgrund seiner Lage in einem konservativen
Z
Kraftfeld besitzt:
U = − F T dr + const
Lageenergie eines um h angehobenen Körpers
U = mg h
Verformungsenergie einer um ∆ℓ gespannten Feder
1
U = k ∆ℓ2
2
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Kinetik des Massenpunktes
Arbeit, Energie und Leistung 6/8
Mechanische Leistung
Leistung
Zeitliche Änderung der Arbeit: P =
Leistung einer Kraft F :
dW
dt
P = F Tv
Wirkungsgrad
Verhältnis von abgegebener Leistung (Nutzleistung) zu zugeführter
Leistung:
Pab
η=
Pzu
Idealer Prozess:
ηideal = 1
Realer Prozess:
ηreal < 1
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Kinetik des Massenpunktes
Arbeit, Energie und Leistung 7/8
Erhaltungssätze
Arbeitssatz
Die Arbeit, die Kräfte zwischen zwei Bahnpunkten verrichten,
entspricht der Änderung der kinetischen Energie:
W01 = T1 − T0
Gültigkeit: beliebige Systeme
Energiesatz
Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist konstant,
d. h. die Gesamtenergie eines Körpers ist an zwei beliebigen
Bahnpunkten stets dieselbe:
U0 + T0 = U1 + T1 = const
Gültigkeit: abgeschlossene (konservative) Systeme
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Kinetik des Massenpunktes
Arbeit, Energie und Leistung 8/8
Erhaltungssätze (Forts.)
Verallgemeinerter Energiesatz
Die Differenz der mechanischen Energie eines Körpers an zwei
verschiedenen Bahnpunkten entspricht der Arbeit der nichtkonservativen (dissipativen) Kräfte:
U0 + T0 + Wd01 = U1 + T1
Gültigkeit: beliebige Systeme
Leistungssatz
Die Leistung einer einwirkenden Kraft entspricht der zeitlichen
Änderung der kinetischen Energie:
dT
P =
dt
Gültigkeit: beliebige Systeme
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