Kumuliert

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Binomialverteilung
Eine Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der
Erfolge bei einem n-mal durchgeführten Bernoulli-Versuch. Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsversuch
mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Diese Ergebnisse bezeichnet man mit Erfolg oder Misserfolg. p ist
die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis Erfolg eintritt.
Die Binomialverteilung ist durch n und p vollständig festgelegt.
P(X=k) ist die Wahrscheinlichkeit von k Erfolgen.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X wird als Säulendiagramm (Histogramm) und in
einer Tabelle dargestellt. In der Tabelle werden auch die kumulierten Wahrscheinlichkeiten P(X<=k)
sowie P(X>=k) gezeigt. Klickt man auf eine Zelle der Tabelle, werden die entsprechenden Säulen des
Histogramms rot gezeichnet.
Es gibt verschiedene Optionen:
Kumuliert
Es wird die kumulierte Binomialverteilung angezeigt. Eine Färbung von Säulen durch Anklicken in der
Tabelle ist nicht möglich.
Näherung durch die Normalverteilung
Zusätzlich wird die Normalverteilung, die die Binomialverteilung am besten annähert, eingezeichnet.
Boxplot
Man kann zusätzlich auch das zugehörige Boxplot sichtbar machen.
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Binomialverteilung
Binomialeverdeling
K Binomialverteilung
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Normalverteilung
Eine Normalverteilung ist durch die Parameter μ (mu) - Mittelwert - und σ (sigma) - Standardabweichung
- festgelegt.
Eine Normalverteilung ist eine stetige, symmetrische Verteilung.
Die Normalverteilung mit μ = 0 und σ = 1 heißt Standard-Normalverteilung. Sie erscheint zunächst auf
dem Bildschirm. Man kann nun μ einen beliebigen Wert und σ einen beliebigen positiven Wert geben.
Dies geschieht entweder durch direkte Eingabe der Daten in die entsprechenden Felder oder durch
Ziehen des roten Punktes bez. eines der grünen Halbpunkte. Die Grafik, inklusive der x-Achse, wird ggfs. nach Anklicken der Auswahlbox Anpassen - entsprechend angepasst.
Die Grenzen zwischen blauem und gelbem Bereich können mit der Maus gezogen werden, um dann die
Wahrscheinlichkeit P(X<=Farbgrenze | μ; σ ) im blauen bez. gelben Kasten abzulesen. Auf diese Weise
ist es leicht möglich, Intervall-Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.
Man kann 3 der 4 Parameter: Grenze; Wahrscheinlichkeit P(X<=Farbgrenze | μ; σ ); μ; σ bestimmen.
Der vierte berechnet sich dann.
Es gibt folgende Optionen:
Anpassen
Um den geeignetsten Ausschnitt der Achsen auf dem Bildschirm darzustellen.
z-Achse
Eine zweite horizontale Achse standardisiert die gezeigte Verteilung auf die Normalverteilung mit μ = 0
und σ = 1.
{bml orig.bmp} führt zurück zur Ausgangssituation
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Normalverteilung
Normaleverdeling
K Normalverteilung
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Hypergeometrische Verteilung
Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Gesamtheit, die aus zwei Teilgesamtheiten besteht, führt zu einer
hypergeometrischen Verteilung.
Eine hypergeometrische Verteilung ist durch drei Parameter festgelegt:
- den Umfang N der Grundgesamtheit
- die Größe D einer Teilgesamtheit mit einer bestimmten Merkmalsausprägung (es gibt dann N-D
Elemente der Teilgesamtheit mit der anderen Merkmalsausprägung)
- die Stichprobengröße n.
P(X=k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobe k Elemente der Teilgesamtheit von der Größe D
enthält.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X wird als Säulendiagramm (Histogramm) und in
einer Tabelle dargestellt. In der Tabelle werden auch die kumulierten Wahrscheinlichkeiten P(X<=k)
sowie P(X>=k) gezeigt. Klickt man auf eine Zelle der Tabelle, werden die entsprechenden Säulen des
Histogramms rot gezeichnet.
Es gibt verschiedene Optionen:
Kumuliert
Es wird die kumulierte hypergeometrische Verteilung angezeigt. Eine Färbung von Säulen durch
Anklicken in der Tabelle ist nicht möglich.
Näherung durch die Normalverteilung
Zusätzlich wird die Normalverteilung, die die hypergeometrische Verteilung am besten annähert,
eingezeichnet.
Boxplot
Man kann zusätzlich auch das zugehörige Boxplot sichtbar machen.
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Hypergeometrische Verteilung
Hypergeometrischeverdeling
K Hypergeometrische Verteilung
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Poisson-Verteilung
Eine Poisson-Verteilung wird durch einen Parameter festgelegt. Je nach Sachsituation oder Konvention
wird dieser Parameter anders bezeichnet: Lambda, μ, Intensität, Dichte usw.
Mit der Poisson-Verteilung erhält man z.B. - unter bestimmten Modellannahmen - die
Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anzahl k an Ereignissen während einer festgelegten
Zeitspanne eintritt.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X wird als Säulendiagramm (Histogramm) und in
einer Tabelle dargestellt. In der Tabelle werden auch die kumulierten Wahrscheinlichkeiten P(X<=k)
sowie P(X>=k) gezeigt. Klickt man auf eine Zelle der Tabelle, werden die entsprechenden Säulen des
Histogramms rot gezeichnet.
Es gibt verschiedene Optionen:
Kumuliert
Es wird die kumulierte Binomialverteilung angezeigt. Eine Färbung von Säulen durch Anklicken in der
Tabelle ist nicht möglich.
Näherung durch die Normalverteilung
Zusätzlich wird die Normalverteilung, die die Poissonverteilung am besten annähert, eingezeichnet.
Boxplot
Man kann zusätzlich auch das zugehörige Boxplot sichtbar machen.
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Poisson-Verteilung
Poissonverdeling
K Poisson-Verteilung
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Vergleich von Verteilungen
Mit diesem Programmteil ist es möglich verschiedene Verteilungen zu vergleichen. Man vergleicht die
Graphen bzw. Histogramme oder die Werte der kumulierten Verteilung bis zu einem festgelegten Wert.
Folgende Verteilungen können dargestellt werden:
-Binomialverteilung
-Normalverteilung
-Hypergeometrische Verteilung
-Geometrische Verteilung
-Exponentialverteilung
-Chi-quadrat-Verteilung
Es gibt einige Optionen und Buttons:
Wahl der Verteilungen
Hier wird die darzustellende Verteilung gewählt und die zugehörigen Parameter werden eingegeben.
Gefülltes Rechteck
Wenn angeklickt, werden die Rechtecke des betreffenden Histogramms mit der gewählten Farbe gefüllt.
Plot
Die ausgewählte Verteilung wird gezeichnet und in die Liste hinzugefügt.
Achsen
Skalierung der Achsen und Angabe des gezeigten Ausschnitts.
Löschen
Löscht eine ausgewählte Verteilung aus der Liste.
Liste
Für die Liste gibt man den x-Wert und die Genauigkeit der kumulierten Wahrscheinlichkeit an.
{bml openen.bmp} Öffnen
Öffnet ein Datenfile, das eine Verteilung enthält. Das File hat die Endung .dst
{bml opslaan.bmp} Speichern
Speichert ein File, das eine Verteilung enthält. Das File erhält die Endung .dst
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Vergleich von Verteilungen
Grafiekenvanverdelingen
K Vergleich von Verteilungen
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Beispiel zum Zentralen Grenzwertsatz
Der Zentrale Grenzwertsatz wird am Beispiel der Augensumme beim mehrfachen Würfeln
veranschaulicht.
Eine festgelegte Anzahl an Würfen eines Würfels wird durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Summe oder des Mittelwerts der Augenzahlen wird berechnet. Die Verteilung nähert sich mit
wachsender Anzahl an Würfen immer mehr der Normalverteilungskurve an. Dies ist unabhängig davon,
wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Ergebnisse eines Wurfes aussieht.
Es gibt einige Optionen und Buttons:
Anzahl Würfe
Anzahl der durchgeführten Würfe
Wahrsch. 1/6
Die Ergebnisse “1 Punkt”, “2 Punkte”,…, “6 Punkte” sind gleich wahrscheinlich.
Schief links; Schief rechts
Ein Würfel, dessen Ergebnisse mit sehr unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten eintreffen. Die Vorgabe
kann abgeändert werden. Einzige Bedingung ist, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.
Summe
Die Summe der Augenzahlen wird auf der horizontalen Achse aufgetragen.
Mittelwert
Der Mittelwert der Augenzahlen wird auf der horizontalen Achse aufgetragen.
Normalverteilung
Die beste Näherung durch eine Normalverteilung wird gezeigt.
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Zentraler Grenzwertsatz
CentraleLimietstelling
K Zentraler Grenzwertsatz
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