Aufgabe B 2 Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2

Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2
1
2
Aufgabe B 2.1
Abiturprüfung Mathematik 2016
Baden-Württemberg
Allgemeinbildende Gymnasien
Wahlteil
Analytische Geometrie / Stochastik
Aufgabe B 2.1 und B 2.2 - Lösungen
[email protected]
Die Punkte 0 −6 0 , 6 0 0 , 0 6 0 und 0 0 5 sind die Eckpunkte
der Pyramide
. Der Punkt
ist der Mittelpunkt der Kante
und
ist der Mittelpunkt der Kante . Die Ebene verläuft durch ,
und .
a) Die Ebene schneidet die Pyramide in einer Schnittfläche.
Stellen Sie Pyramide und Schnittfläche in einem Koordinatensystem dar.
Berechnen Sie den Umfang der Schnittfläche.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von .
(Teilergebnis: : 5 + 12 = 30)
(4 VP)
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Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2
0 −6
60
06
00
Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2
3
4
b) Der Punkt liegt auf der Kante
und bildet mit
rechtwinkliges Dreieck.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes .
und
ein
Lösung a)
Schaubild für die Pyramide mit der Schnittfläche
(3 VP)
c) Der Punkt liegt in der
-Ebene und im Inneren der Pyramide
.
Er hat von der Grundfläche
, der Seitenfläche
und von den
gleichen Abstand.
Bestimmen Sie die Koordinaten von .
(3 VP)
5
… siehe Abbildung rechts.
Umfang der Schnittfläche
6
−6
6
Der Mittelpunkt
der Kante
ist
0 −3 2,5 .
Der Mittelpunkt
der Kante
Die Länge der Strecke
ist
ist damit |
0 3 2,5 .
|=
0
6
0
= 6.
0
0
0
5
0 −3 2,5
600
|
|=6
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5
0 −3 2,5
0 3 2,5
600
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6
Die Längen der Strecken
−6
Es gilt
= −3 =
2,5
Folglich ist auch
=
und
−6
sind aus Symmetriegründen gleich.
+ −3
+ 2,5
=
Koordinatengleichung der Ebene
6
6
3
=
= −3 erhält man
und
Aus den Richtungsvektoren
−2,5
−2,5
mit Hilfe des Vektorprodukts einen Normalenvektor für die Ebene .
51,25
51,25.
6
6
3
−3
3 ⋅ −2,5
−2,5 ⋅ −3
−15
−2,5
−2,5
=
×
= −2,5 ⋅ 6 − 6 ⋅ −2,5
0
6
6
6 ⋅ −3
−36
3
⋅
6
3
−3
−2,5
−2,5
Da es bei einem Normalenvektor nicht auf die Länge ankommt, teilen wir durch −3
5
und erhalten = 0 .
12
Der Umfang der Schnittfläche ist damit
+
+|
| = 2 ⋅ 51,25 + 6 ≈ 20,32
=
Ergebnis: Der Umfang der Schnittfläche beträgt etwa 20,32 LE.
5
0
12
600
=
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7
600
005
Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2
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Die Koordinatengleichung von
noch unbekannten .
Da der Punkt
6 0 0 in
lautet somit : 5
+ 12
=
mit einem
Bestimmung des Punktes !
liegt, setzen wir
in
ein und erhalten
5 ⋅ 6 + 12 ⋅ 0 = 30 =
Damit haben wir die Koordinatengleichung komplett.
Ergebnis: Die Koordinatengleichung für
Lösung b)
lautet : 5
+ 12
= 30.
Eine Gerade durch die Punkte und kann
beschrieben werden durch
6
−6
": # = $ + % ⋅
= 0 +%⋅ 0
0
5
5
6
−6
6
Ein Punkt auf " hat somit die Koordinaten (6 − 6%|0|5%).
Das Dreieck
ist in rechtwinklig, d.h. dass die Vektoren
senkrecht zueinander stehen und somit
⋅
= 0 gilt.
und
Daraus gewinnen wir eine Bestimmungsgleichung für % und erhalten damit .
(6 − 6%|0|5%)
0 −3 2,5
0 3 2,5
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Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2
61% − 97% + 33,25 = 0
6
−6
": # = 0 + % ⋅ 0
0
5
10
Mit
0
−6 + 6%
6 − 6%
−3
= −3 −
=
0
2,5
2,5
− 5%
5%
und
=
folgt
⋅
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung bestimmen
wir mit dem GTR.
Dazu geben Sie bei Y1 den Term 61 − 97 + 33,25 ein
und lassen sich den Graphen im -Auschnitt 0; 2 und
im ,-Ausschnitt −5; 5 zeichnen.
0
−6 + 6%
6 − 6%
3 −
3
=
0
2,5
2,5
− 5%
5%
= −6 + 6%
= 0,5
Mit 2ND CALC zero bestimmen Sie die beiden Nullstellen und erhalten
bzw. ≈ 1,09.
− 9 + 2,5 − 5%
=0
liegt, kann % = 1,09 keine Lösung
3
6
−6
sein. Wir setzen % = 0,5 in " ein und erhalten 0 + 0,5 ⋅ 0 = 0 .
2,5
0
5
Da
⟺ 36 − 72% + 36% − 9 + 6,25 − 25% + 25% = 0
nur für 0 ≤ % ≤ 1 auf der Kante
⟺ 33,25 − 97% + 61% = 0
Ergebnis: Der Punkt
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hat die Koordinaten (3|0|2,5).
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:5
/00
/=0
+ 12 = 30
12
Der Punkt
Lösung c)
Bestimmung des Punktes .
Der Punkt soll in der
-Ebene liegen,
d.h. die -Koordinate von ist 0.
Wir können somit / 0 0 mit noch
unbekannten / und 0 ansetzen.
6
−6
6
Das Dreieck
liegt in der
-Ebene, somit
ist der Abstand von zum Dreieck
nichts anderes als die
von , nämlich 0.
-Koordinate
Das Dreieck
liegt in der
-Ebene, somit ist der Abstand von
Dreieck
die -Koordinate von , nämlich /.
Diese beiden Abstände sollen gleich sein, also ist / = 0.
hat daher die Koordinaten
/0/ .
Wir bestimmen nun den Abstand des Punktes
5
von der Ebene .
Dazu wird die Ebenengleichung in die Hesse‘sche Normalenform überführt.
5
Mit = 0 folgt
= 5 + 12 = 169 = 13 folgt
12
HNF :
5
+ 12 − 30
=0
13
) hat damit zur Ebene
Ein beliebiger Punkt 4(
zum
4,
=
5
+ 12 − 30
13
den Abstand
17/ − 30 = 13/
/0/
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4,
=
5<= 7
13
<> 8 9
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Laut Aufgabenstellung soll der Abstand von zu derselbe sein wie zum
Dreieck
und wie zum Dreieck
… also /.
Folglich gilt
,
=/ ⟺
567
68 9
Fall 2, 17/ − 30 < 0:
In diesem Fall können wir die Betragsstriche erst weglassen, wenn wir den
Ausdruck zwischen den Betragsstrichen mit −1 malnehmen.
= / ⟺ 17/ − 30 = 13/
−17/ + 30 = 13/ ⟺ 30/ = 30 ⟺ / = 1
Um die Betragsgleichung aufzulösen müssen zwei Fälle unterschieden
werden.
Dies ist der einzig mögliche Wert für / für den der Punkt
Pyramide liegt.
Fall 1, 17/ − 30 ≥ 0:
innerhalb der
Hier können wir die Betragsstriche weglassen und erhalten
Ergebnis: Der Punkt
17/ − 30 = 13/ ⟺ 4/ = 30 ⟺ / = 7,5
hat die Koordinaten
101 .
Für diesen Wert von / liegt der Punkt Z aber außerhalb der Pyramide.
Diese „vermeintliche“ Lösung müssen wir daher streichen.
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Aufgabe B 2.2
Eine Tanzgruppe besteht aus 8 Anfängerpaaren und 4 Fortgeschrittenenpaaren. Aus der Erfahrung vergangener Jahre weiß man, dass Anfängerpaare
mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % bei den abendlichen Tanzstunden
anwesend sind, Fortgeschrittenenpaare mit einer Wahrscheinlichkeit von
75 %. Man geht davon aus, dass die Entscheidung von Tanzpaaren über die
Teilnahme an der Tanzstunde voneinander unabhängig sind.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend alle
Fortgeschrittenenpaare anwesend sind.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend
mindestens 6 Anfängerpaare und höchstens 3 Fortgeschrittenenpaare
anwesend sind.
Wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens
11 Paare anwesend sind?
(5 VP)
8 ⇒ 90%
4E ⇒ 75%
8 ⇒ 90%
4E ⇒ 75%
Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2
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Lösung
Bemerkung:
Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend alle Fortgeschrittenenpaare
anwesend sind.
Statt den komplizierten Weg mit „Zufallsvariable und Binomialverteilung“ zu
gehen, hätte man einfach 0,75F = 0,3164 berechnen können.
Das führt ebenfalls zu der gesuchten Wahrscheinlichkeit!
Die Zufallsvariable B stehe für die Anzahl der Fortgeschrittenen-Paare.
In der Aufgabe wird ja nach „allen“ Fortgeschrittenen-Paaren gefragt.
Da es sich um ein „Ja/Nein“-Experiment (anwesend oder nicht anwesend)
handelt ist B binomialverteilt.
Die Trefferwahrscheinlichkeit ist C = 75%, die Anzahl der Versuche ist = 4.
Das ist vergleichbar mit der Frage: Wie groß ist die WS, dass man bei
4maligem Würfel immer eine 6 würfelt. Nun, die WS ist
Mit dem GTR lässt sich dann 4(B = 4) bestimmen.
F
G
.
Allerdings ist die folgende Denkweise falsch!!!
Die WS, dass ein F-Paar kommt ist 0,75.
Die WS, dass zwei F-Paare kommen ist 0,75 .
Die WS, dass drei F-Paare kommen ist 0,75 .
Daher ist die WS, dass alle vier F-Paare kommen gleich 0,75F .
Nach Eingabe von binompdf(4,0.75,4) erhält man den
Wert 0,3164.
Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend alle
Fortgeschrittenenpaare anwesend sind beträgt etwa 32%.
Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2
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Die ersten drei Aussagen in dieser Liste sind falsch und nur die letzte ist
korrekt!
Um sich das zu verdeutlichen, vergleichen Sie das mit dem Würfelexperiment
„4maliges Würfeln“.
5
G
Die WS, dass eine 6 kommt ist eben nicht , sondern 4 ⋅ ⋅
G
Die WS, dass zwei 6en kommen ist nicht
Die WS, dass drei 6en kommen ist nicht
Die WS, dass vier 6en kommen ist 1 ⋅
G
G
G
F
G
, sondern 6 ⋅
, sondern 4 ⋅
⋅
5 9
G
=
F
G
.
G
G
.
⋅
⋅
5
G
5
G
.
.
Sie sehen also, erst am Ende der Kette „passt“ es wieder.
Falls Sie also aufgrund eines fehlerhaften Gedankenganges zum korrekten
Ergebnis gekommen sind, dann sollten Sie sich die Vorgehensweise nochmal
Schritt für Schritt verdeutlichen und den korrekten Gedankengang trainieren.
B: = 8, C = 0,9
H: = 4, C = 0,75
8 ⇒ 90%
4E ⇒ 75%
Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2
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Nun ist 4 B ≥ 6 ⋅ 4 H ≤ 3 = 1 − 4(B ≤ 5) ⋅ 4(H ≤ 3).
Wahrscheinlichkeit für mindestens 6 Anfängerpaare und höchstens
3 Fortgeschrittenenpaare
Den Ausdruck auf der rechten Seite können wir mit dem GTR bestimmen:
Die Zufallsvariable B stehe für die Anzahl der Anfängerpaare und die
Zufallsvariable H für die Anzahl der Fortgeschrittenenpaare.
(1-binomcdf(8,0.9,5))* binomcdf(4,0.75,3)
Dies liefert etwa den Wert 0,6576.
Es gibt insgesamt 8 A-Paare und ein Paar kann anwesend sein oder nicht.
Folglich ist B binomialverteilt mit C = 0,9 und = 8.
Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit dass an einem Abend mindestens
6 Anfängerpaare und höchstens 3 Fortgeschrittenenpaare kommen
beträgt etwa 66%.
Die WS für mindestens 6 anwesende A-Paare ist dann 4(B ≥ 6).
Es gibt insgesamt 4 F-Paare und ein Paar kann anwesend sein oder nicht.
Folglich ist H binomialverteilt mit C = 0,75 und = 4.
Die WS für höchstens 3 anwesende F-Paare ist dann 4(H ≤ 3).
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann 4 B ≥ 6 ⋅ 4(H ≤ 3).
B: = 8, C = 0,9
H: = 4, C = 0,75
8 ⇒ 90%
4E ⇒ 75%
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Wahlteil 2016 – Aufgabe B 2
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Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens II Paare
anwesend sind
Die Zufallsvariablen B bzw. H bezeichnen wieder die Anzahl der A-Paare bzw.
die Anzahl der F-Paare.
Die Forderung „mindestens 11 Paare“ bedeutet „genau 11 Paare oder genau
12 Paare“.
„Genau 11 Paare“ bekommen wir durch die Kombination B = 8 und H = 3
oder durch die Kombination B = 7 und H = 4. Andere Möglichkeiten gibt es
nicht.
„Genau 12 Paare“ bekommen wir nur mit der Kombination B = 8 und H = 4.
In die Formelsprache übersetzt erhält man
4 B =8 ⋅4 H =3 +4 B =7 ⋅4 H =4 +4 B =8 ⋅4 H =4
J(KLM6N
J66OL)
J(KLM6N
J66OL)
4 B =8 ⋅4 H =3 +4 B =7 ⋅4 H =4 +4 B =8 ⋅4 H =4
Im GTR gibt man zur Berechnung des obigen Ausdrucks folgendes ein:
binompdf(8,0.9,8)*binompdf(4,0.75,3) +
binompdf(8,0.9,7)*binompdf(4,0.75,4) +
binompdf(8,0.9,8)*binompdf(4,0.75,4)
Sie erhalten etwa den Wert 0,4389.
Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens 11
Paare anwesend sind liegt bei etwa 44%.