Steigung und Ableitung einer Funktion mit GeoGebra

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U n t e r r i c h t e n m it n eu e n Me d i e n
http://www.lehrer-online.de/url/ funktion-steigungableitung
Autor: Markus Hohenwarter
Steigung und Ableitung einer Funktion mit GeoGebra
Dynamische Arbeitsblätter, die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt
wurden, ermöglichen Schülerinnen und Schülern ein experimentelles Entdecken des Zusammenhanges zwischen erster Ableitung und Tangentensteigung (Jahrgangsstufe 11).
Der Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Tangentensteigung einer Funktion ist ein wesentlicher Punkt der Differentialrechnung, der beispielsweise für die Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten verwendet wird. Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit gibt
Schülerinnen und Schülern die Möglichkeiten, diesen Zusammenhang durch Experimentieren selbstständig zu entdecken. Grundlage dafür bilden drei dynamische Arbeitsblätter, die
mit der kostenfreien Unterrichtssoftware GeoGebra erstellt wurden.
Lernziele
Die Schülerinnen und Schüler sollen
§
erkennen, dass die Steigung der Tangente an eine Funktion sowohl negativ als auch
positiv sein kann.
§
wissen, dass am "tiefsten" und "höchsten Punkt" des Grafen die Steigung gleich Null ist.
§
erkennen, dass die Steigung der Tangenten einer Parabel, als Funktion abgetragen, eine
Gerade ergibt.
§
erkennen, dass die Steigung der Tangenten eines Polynoms dritten Grades, als Funktion
abgetragen, eine Parabel ergibt.
§
den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung einer Funktion erkennen.
Kurzinformation
Thema
Autor
Fach
Zielgruppe
Zeitraum
Technische Voraussetzungen
Software
Steigung und Ableitung einer Funktion
Markus Hohenwarter
Mathematik
Jahrgangsstufe 11
1-2 Stunden
idealerweise ein Rechner pro Schülerin/Schüler
Java (www.java.com, Version 1.4 oder höher, kostenfrei); GeoGebra (http://www.geogebra.at, kostenloser
Download aus dem Internet)
Didaktisch-methodischer Kommentar
Vorraussetzungen
Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits die erste Ableitung einfacher Polynome berechnen können. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die
mit jedem Internet Browser (zum Beispiel Internet Explorer, Netscape, Mozilla) betrachtet
werden können. Damit auch die dynamischen Konstruktionen funktionieren, muss Java 1.4
(oder höher) installiert sein.
© 2004, Schulen ans Netz e.V.
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Lehrer-Online
Einsatzstrategien
Der Zugang zur ersten Ableitung erfolgt häufig über die Steigung einer Sekante. Der entstehende Differenzenquotient wird schließlich durch Grenzwertbildung in den Differentialquotienten übergeführt und somit die Steigung der Tangente beziehungsweise die erste Ableitung gewonnen. Nach der Einführung einfacher Rechenregeln zur Bestimmung der Ableitung
geht dieser Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung für viele Schülerinnen und Schüler oft leider schnell wieder verloren. Mit den Arbeitsblättern dieser Unterrichtseinheit ist ein eigenständiges (Wieder-)Entdecken auf experimentellem Wege möglich.
Selbstverständlich können Sie als Lehrperson auch den umgekehrten Weg gehen: Sie führen zuerst die einfachen Rechenregeln für die Ableitung ein und lassen danach Ihre Schülerinnen und Schüler mithilfe der Arbeitsblätter den Zusammenhang zur Tangentensteigung
völlig selbstständig entdecken und begründen die Frage nach dem „Warum“ erst am Ende
mit dem Zugang über den Differenzenquotienten.
1. Arbeitsblatt
Durch Ziehen eines Punktes entlang einer Parabel entsteht grafisch die Spur ihrer Steigungsfunktion. Die Schülerinnen und Schüler sollen zunächst versuchen, Art und Funktionsgleichung dieser Steigungsfunktion anzugeben. Danach werden sie nach der ersten Ableitung gefragt, die dann auch mit GeoGebra zu zeichnen ist. Bei nochmaligem Ziehen des
Punktes wird der Zusammenhang zwischen Steigungsfunktion und erster Ableitung offensichtlich.
2. Arbeitsblatt
Auf dem Folgeblatt wird die gleiche Vorgehensweise nun auch auf eine Funktion dritten Grades angewandt. So können die Ergebnisse des ersten Beispiels überprüft und vertieft werden.
3. Arbeitsblatt
Das dritte Arbeitsblatt fasst Einerseits die Lösungen der ersten beiden Beispiele zusammen,
indem Steigung und Ableitung dynamisch veranschaulicht werden. Andererseits wird in zwei
weiteren Aufgaben nach dem Zusammenhang zwischen Extrempunkten und Steigung beziehungsweise erster Ableitung gefragt. Das Kriterium f'(x) = 0 kann so von Ihren Schülerinnen und Schülern selbstständig durch Experimentieren entdeckt werden.
Internetadressen
Dynamische Arbeitsblätter
§
Steigung und Ableitung einer Funktion mit GeoGebra (online)
http://www.lo-net.de/group/Material/funktion-steigungableitung/funktion_steigung_ableitung/funktion_steigung1.html
Die dynamischen Arbeitsblätter (Java 1.4 oder höher erforderlich, siehe Internetadressen) ermöglichen den Schülerinnen und Schülern ein experimentelles Entdecken des
Zusammenhanges zwischen erster Ableitung und Tangentensteigung.
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Steigung und Ableitung einer Funktion mit GeoGebra (Download)
http://www.geogebra.at/de/examples/funktion_steigung/funktion_steigung.zip
Von der GeoGebra-Homepage können Sie die dynamischen Arbeitsblätter kostenlos
herunterladen.
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Lehrer-Online
Software und Plugin
§
Dynamische Mathematik mit GeoGebra
http://www.lehrer-online.de/url/geogebra
"Dynamische Geometrie + Algebra = GeoGebra", dies ist die Formel der kostenfreien Unterrichtssoftware, die Geometrie und Algebra als gleichwertige Partner behandelt. Mit
diesem Werkzeug können Sie eigene dynamische Arbeitsblätter erstellen.
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GeoGebra-Homepage
http://www.geogebra.at
Hier können Sie die Software kostenlos herunterladen. Weitere Informationen zu den
"ersten Schritten mit GeoGebra" sowie Anregungen für den Einsatz im Unterricht stehen
zum Download bereit.
§
Java-Abspielumgebung
www.java.com
Damit die dynamischen Arbeitsblätter auf Ihrem Rechner funktionieren, muss Java 1.4
(oder höher) installiert sein.
Informationen zum Autor
Markus Hohenwarter (E-Mail: Markus.Hohenwarter@sbg.ac.at)
ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik
(http://www.sbg.ac.at/did/main_mathe.html), Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt
GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert.
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