Aufgabenkomplex 2 mit Lösung

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
25. Oktober 2012
Höhere Mathematik I.1
Aufgabenkomplex 2: Umrechnung von Einheiten, Mengenlehre,
Ungleichungen, Komplexe Zahlen
Letzter Abgabetermin: 15. November 2012
(in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 41/615)
Bitte die Arbeiten deutlich mit „Höhere Mathematik I.1, Aufgabenkomplex 2“
kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll!
Elektronische Hilfsmittel dürfen nur bei Aufgabe 1 sowie zur zahlenmäßigen Berechnung
des Winkels bei Aufgabe 6 eingesetzt werden!
1. In den USA ist es üblich, das Papiergewicht in Pfund pro Ries (500 Bogen) vor dem Zuschnitt
in die Verkaufsform anzugeben, wobei für das dem A4-Format grob entsprechende Letterformat (8,5 × 11 Zoll) gängigerweise die Bögen in vier Teile geschnitten werden.
a) Rechnen Sie ein Papiergewicht von 20 lb in die in Europa übliche Einheit g/m2 um!
b) Wie stark ist ein Blatt solchen Papiers in Millimeter, wenn das Papier eine Dichte von 50
lb/cu ft (Pfund pro Kubikfuß, 1 ft = 12 in) hat?
2. Sei A = {(x, y)| x, y ∈ R, x ≤ 2−(y−1)2 } und B = {(x, y)| x, y ∈ R, (x−3)2 +(y−1)2 ≤ 1}.
Stellen Sie A, B, A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A grafisch dar!
3. Für welche reellen Zahlen x gilt
2|x|
≤1?
x+3
4. Sei z = x + iy und es gelte |z+1| ≥ 2|z−1|.
a) Beschreiben Sie den mit der Ungleichung ausgedrückten Sachverhalt verbal!
b) Geben Sie eine Ungleichung an, die den Zusammenhang zwischen dem Realteil x und dem
Imaginärteil y beschreibt!
Hinweis: Bringen Sie eine Seite der Ungleichung in die Form (x−a)2 +(y−b)2 !
c) Skizzieren Sie die Lösungsmenge der Ungleichung!
2 + 3i
5 + 2i
z+
= −50 + 19i löst!
2
1+i
p
p
√
√
6. Sei a eine negative reelle Zahl und z = a 2 + 2 + i a 2 − 2. Geben Sie die Polar- und
die exponentielle Darstellung von z an!
√
15
( 3 + i)
7. Berechnen Sie
!
(1 − i)22
5. Ermitteln Sie die komplexe Zahl z, die die Gleichung
Höhere Mathematik I.1 – Aufgabenkomplex 2 – 25. Oktober 2012
2
Aufgabenkomplex 2: Umrechnung von Einheiten, Mengenlehre,
Ungleichungen, Komplexe Zahlen
Letzter Abgabetermin: 15. November 2012
1. In den USA ist es üblich, das Papiergewicht in Pfund pro Ries (500 Bogen) vor dem Zuschnitt
in die Verkaufsform anzugeben, wobei für das dem A4-Format grob entsprechende Letterformat (8,5 × 11 Zoll) gängigerweise die Bögen in vier Teile geschnitten werden.
a) Rechnen Sie ein Papiergewicht von 20 lb in die in Europa übliche Einheit g/m2 um!
b) Wie stark ist ein Blatt solchen Papiers in Millimeter, wenn das Papier eine Dichte von 50
lb/cu ft (Pfund pro Kubikfuß, 1 ft = 12 in) hat?
Lösung:
a)
g
20 lb
20 · 453,59237 g
≈ 75,2 2
=
2
2
m
500 · 4 · 8,5 · 11 in
2000 · 93,5 (0,0254 m)
20
b)
lb
2
ft3
1
(12 in)3
1728
500 · 4 · 8,5 · 11 in2
=
=
=
in
2
2
lb
5 · 2000 · 93,5 in
1000 · 467,5 in
1000 · 467,5
50 3
ft
1728 · 0,0254
1728 · 0,0254
1728
0,0254 m =
1000 mm =
mm
=
1000 · 467,5
1000 · 467,5
467,5
≈ 0,094 mm
2. Sei A = {(x, y)| x, y ∈ R, x ≤ 2−(y−1)2 } und B = {(x, y)| x, y ∈ R, (x−3)2 +(y−1)2 ≤ 1}.
Stellen Sie A, B, A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A grafisch dar!
Lösung:
A: alle Punkte links von und auf der Parabel x = 2−(y−1)2 ,
B: alle Punkte innerhalb und auf dem Kreis mit Radius 1 um den Punkt (3, 1)
y
y
y
1
1
1
1
2
3
x
1
A
2
3
x
1
y
1
2
A∪B
3
x
x
y
1
1
3
A ∩ B = {(2, 1)}
B
y
2
1
1
2
3
A\B = A\{(2, 1)}
x
1
2
3
B\A = B\{(2, 1)}
x
Höhere Mathematik I.1 – Aufgabenkomplex 2 – 25. Oktober 2012
3. Für welche reellen Zahlen x gilt
3
2|x|
≤1?
x+3
Lösung:
−2x
≤ 1 ⇒ −2x ≥ x + 3 ⇒ x ≤ −1,
x+3
x = −3
: nicht definiert,
−2x
−3 < x < 0 :
≤ 1 ⇒ −2x ≤ x + 3 ⇒ x ≥ −1,
x+3
2x
0≤x
:
≤ 1 ⇒ 2x ≤ x + 3 ⇒ x ≤ 3,
x+3
x < −3
:
Beitrag zur Lösung: x < −3
Beitrag zur Lösung: Ø
Beitrag zur Lösung: −1 ≤ x < 0
Beitrag zur Lösung: 0 ≤ x ≤ 3
Lösung: x < −3 ∨ −1 ≤ x ≤ 3, d.h. x ∈ (−∞, −3) ∪ [−1, 3]
4. Sei z = x + iy und es gelte |z+1| ≥ 2|z−1|.
a) Beschreiben Sie den mit der Ungleichung ausgedrückten Sachverhalt verbal!
b) Geben Sie eine Ungleichung an, die den Zusammenhang zwischen dem Realteil x und dem
Imaginärteil y beschreibt!
Hinweis: Bringen Sie eine Seite der Ungleichung in die Form (x−a)2 +(y−b)2 !
c) Skizzieren Sie die Lösungsmenge der Ungleichung!
Lösung:
a) Mit der Ungleichung wird die Menge aller Punkte der komplexen Zahlenebene beschrieben,
die vom Punkt −1 mindestens doppeltqso weit entfernt sind
q wie vom Punkt 1.
b) |(x+1) + i y| ≥ 2|(x−1) + i y| ⇐⇒
⇐⇒
(x+1)2 + y2 ≥ 2
(x−1)2 + y2
2
2
2
2
(x+1) + y ≥ 4 (x−1) + y
⇐⇒ x2 + 2x + 1 + y2 ≥ 4x2 − 8x + 4 + 4y2
10
5 2 25
2
2
2
2
0 ≥ 3x − 10x + 3y + 3 ⇐⇒ 0 ≥ x − x + y + 1 ⇐⇒ 0 ≥ x−
− + y2 + 1
3
3
9
2
2
5
16
4
Somit ist die gegebene Ungleichung äquivalent zu x−
+ y2 ≤
=
.
3
9
3
c) Die Ungleichung beschreibt in der x–y–Ebene die Kreisfläche mit Radius 34 um den Punkt ( 35 , 0), in der komplexen
1
Zahlenebene ist das die Kreisfläche mit Radius 43 um dem
Punkt 35 . Auf dem Rand der Kreisfläche liegen insbesondere
1
5
1
3
–1
3
3
die Punkte z = 13 und z = 3, für die der in a) beschriebene
Sachverhalt offensichtlich erfüllt ist.
5. Ermitteln Sie die komplexe Zahl z, die die Gleichung
2 + 3i
5 + 2i
z+
= −50 + 19i löst!
2
1+i
Lösung:
2+3i
(5+2i)(1−i)
1
1
z = −50+19i−
= −50+19i− (7−3i) = (−107+41i),
2
(1+i)(1−i)
2
2
(2+3i)z = −107+41i, z =
(−107+41i)(2−3i) 1
= (−91+403i) = −7+31i
(2+3i)(2−3i)
13
Höhere Mathematik I.1 – Aufgabenkomplex 2 – 25. Oktober 2012
4
p
p
√
√
6. Sei a eine negative reelle Zahl und z = a 2 + 2 + i a 2 − 2. Geben Sie die Polar- und
die exponentielle Darstellung von z an!
Lösung:
qp
p √
p √
p √
√ 2 p √ 2
√
z = a 2+ 2+i a 2− 2, |z| = |a|
2+ 2 + 2− 2 = |a| 2+ 2+2− 2 = −2a
p √
p √
p √ p √
√
a 2− 2
2− 2 ( 2− 2 )( 2− 2 ) 2− 2 √
tan ϕ = p √ = p √ = p √ p √ = √
= 2−1 ≈ 0,41421356,
4−2
a 2+ 2
2+ 2 ( 2+ 2 )( 2− 2 )
√
9π
ϕ = arctan( 2−1) + 180◦ = 22,5◦ + 180◦ = 202,5◦ =
(da III. Quadrant)
8
9π
z = −2a (cos 202,5◦ + i sin 202,5◦) = −2a ei 8
7. Berechnen Sie
√
15
( 3 + i)
(1 − i)22
!
Lösung:
π
√
√
√
1
π
π
| 3 + i| = 3+1 = 2, ϕ = arctan √ = (da I. Quadrant), 3 + i = 2 cos +i sin
6
6
3 6
√
π
π
1 − i = 2 cos − +i sin −
4
4
!15
π
π
5π
5π
15
2
cos
+i
sin
√
+ i sin
2
cos
15
6
6
( 3 + i)
2
2
=
!22 =
22
11π
11π
π (1 − i)
11
√ π
+i sin −
2 cos −
2 cos − +i sin −
2
2
4
4
= 24 (cos 8π +i sin 8π ) = 16