Induktive Statistik: Formeln, Aufgaben, Klausurtraining

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von der Lippe, Peter
Book
Induktive Statistik: Formeln, Aufgaben,
Klausurtraining
Suggested Citation: von der Lippe, Peter (2004) : Induktive Statistik: Formeln, Aufgaben,
Klausurtraining, ISBN 978-3-486-20009-6
This Version is available at:
http://hdl.handle.net/10419/44442
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Peter von der Lippe
Induktive Statistik
Formeln, Aufgaben, Klausurtraining
Ursprünglich verlegt bei Oldenbourg, hier
in überarbeiteter Form als download zur
Verfügung gestellt
Oldenbourg
2
Teil I
Formelsammlung
mit
Tabellenanhang
3
von der Lippe: Induktive Statistik
Inhalt von Teil I (Formelteil)
Kap.1:
Kap.2:
Kap.3:
Kap.4:
Kap.5:
Kap.6:
Kap.7:
Kap.8:
Kap.9:
Kap.10:
Einführung, Stichprobenraum
Kombinatorik
Ereignisalgebra, Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilung
Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Spezielle stetige Verteilungen
Grenzwertsätze, Stichprobenverteilung
Schätztheorie
Testtheorie
Stichprobentheorie
Tabellenanhang
4
4
13
24
36
51
63
73
87
100
109
Detailgliederung von Teil II (Aufgabenteil)
Kap.1:
Kap.2:
Kap.3:
Einführung, Stichprobenraum
Kombinatorik
Ereignisalgebra, Wahrscheinlichkeit
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Kap.4:
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilung
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Kap.5:
Tschebyscheffsche Ungleichung, Grenzwertsätze, stochastische Konvergenz
Stichprobenverteilungen
Schätztheorie
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
Kap.9:
lineare Verteilungen, Gleichverteilung (stetig)
Normalverteilung
Grenzwertsätze, Stichprobenverteilung
7.1.
7.2.
Kap.8:
Zweipunktverteilung
Geometrische Verteilung, Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
Poissonverteilung
Spezielle stetige Verteilungen
6.1.
6.2.
Kap.7:
Eindimensionale Zufallsvariable
Zweidimensionale Zufallsvariable
Linearkombination und -transformation
Erzeugende Funktionen
Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
Kap.6:
Mengenoperationen mit Ereignissen
Wahrscheinlichkeitsbegriff
Additionssätze
Multiplikationssätze, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit
Totale Wahrscheinlichkeit, Theorem von Bayes
Maximum-Likelihood-Methode
Punktschätzung
Intervallschätzung (Mittel- und Anteilswert)
Konfidenzintervallschätzung für die Differenz von zwei Mittel-bzw. Anteilswerten
Testtheorie
9.1.
9.2.
Test für Mittel- und Anteilswerte (Ein-Stichproben-Fall)
Signifikanztests für Mittel- und Anteilswertdifferenzen (zwei unabhängige Stichproben)
Kap.10: Stichprobentheorie
10.1.
10.2.
10.3.
Notwendiger Stichprobenumfang
Hochrechnung
Geschichtete Stichproben
4
Kapitel 1: Einführung
Wahrscheinlichkeitsaussagen beziehen sich auf Zufallsexperimente (ZE), und zwar (gerade
wegen der Zufälligkeit) nicht auf den Ausgang eines einzelnen ZE, sondern auf die
(zumindest gedanklich) unendliche Folge von Wiederholungen (Realisationen) des ZE unter
einem
- unveränderlichen
- exakt beschriebenen
Bedingungskomplex.
Def. 1.1: Zufallsexperiment (ZE)
Ein Zufallsexperiment liegt vor, wenn
1. es wohldefinierte Ereignisse als Ergebnis des ZE gibt
2. das ZE unter denselben Bedingungen unabhängig beliebig oft wiederholbar ist
3. das Ereignis (der Versuchsausgang) im Einzelfall
a) nicht voraussagbar ist
b) nicht willkürlich (systematisch) zu beeinflussen ist
4. es wohl aber bei einer Vielzahl von Wiederholungen des ZE gewisse Regelmäßigkeiten
gibt.
Def. 1.2: Stichprobenraum
a) Ein Stichprobenraum  ist die Menge aller möglichen, sich gegenseitig ausschließender
Elementarereignisse 1, 2, ..., n
  1,  2 , ....,  n  bzw. ,   
Im folgenden wird von endlichen Stichprobenräumen mit gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen (Laplace-Annahme) ausgegangen.
b) Es sind Elementarereignisse und zusammengesetzte Ereignisse (Def. 3.1) zu
unterscheiden.
Kapitel 2: Kombinatorik
1. Grundaufgaben der Kombinatorik
2. Binomialkoeffizienten und Multinomialkoeffizienten
3. Ergänzungen und Vertiefungen zum Auswahlproblem: Inklusion und Exklusion
4. Die Gamma- und die Beta-Funktion
5
7
11
13
Gegenstand der Kombinatorik sind enumerative Probleme, Fragen im Zusammenhang mit
endlichen Mengen. Es geht um die Anzahl der Arten, wie eine wohldefinierte Operation (z.B.
Auswahl oder Anordnung von Objekten) ausgeführt werden kann.
5
1. Grundaufgaben der Kombinatorik
Fragestellungen
1. Anordnung von n Elementen (Permutation) oder Auswahl von i  n Elementen (die Elemente seien a, b, c, ...)
2. Es ist zu unterscheiden:
a) mit Berücksichtigung der Anordnung (Variation): a,b und b,a sind verschieden
b) ohne Berücksichtigung der Anordnung (Kombination): a,b und b,a sind gleich
3. Wiederholungen. Dabei bedeutet:
a) ohne Wiederholung (oW): Elemente a, b und c treten nur einmal auf
b) mit Wiederholung (mW): Es kann auch a,a, a,b,b, b,b,b, ... auftreten
Diese Kriterien werden kombiniert zu sechs Grundaufgaben (vgl. Übers. 2.1).
Anwendungen in der Stichprobentheorie:
a) Die Anzahl der Stichproben beim Ziehen ohne Zurücklegen ist K. Dabei sind die K Stichproben gleich wahrscheinlich.
b) Die Anzahl verschiedener Stichproben mit Zurücklegen ist KW, davon sind aber nicht alle
gleich wahrscheinlich. Durch das Zurücklegen ist die Urne praktisch unendlich, so dass
auch i > n (i [sonst n] Umfang der Stichprobe; n [sonst N] Umfang der Grundgesamtheit).
Übersicht 2.1: Die sechs Grundaufgaben der Kombinatorik
a) Fallunterscheidungen
Aufgabenart
Anordnung von n Elementen
= Permutation
o.W.
m.W.
(1)
(2)
Auswahl von i Elementen
("zur Klasse i")
mit Berücksichtigung
der Anordnung
= Variation
ohne Berücksichtigung
der Anordnung
= Kombination
o.W.
m.W.
o.W.
m.W.
(3)
(4)
(5)
(6)
6
b) Formeln für die Anzahl
(2.1) Anzahl der Permutationen ohne
Wiederholung von n Elementen
(2.2) Anzahl der Permutationen mit
Wiederholung von n
Elementen, wobei das k-te
Element nk mal auftritt
P = n! = n . (n-1) . ... . 2 . 1
(2.3) Anzahl der Variationen ohne
Wiederholung (V) von n Elementen zur i-ten Klasse
(2.4) Anzahl der Variationen mit
Wiederholung (VW) zur i-ten
Klasse
(2.5) Anzahl der Kombinationen ohne
Wiederholung (K)
V
(2.6) Anzahl der Kombinationen mit
Wiederholung (KW)
PW 
n!
m
 nk !
m
mit  n k  n
k 1
k 1
 n
n!
 i!  
( n  i )!
 i
VW = ni
 n
n!
K  
 i  i ! ( n  i )!
 n  i  1
KW  

 i 
Bemerkungen:
zu (1): Stirlingsche Formel:
Für großes n gilt:
zu (3), (5) u. (6):
zu (4):
n!  n n
1
en
2n =

n n
e
2n =
2  n n+1/ 2 e-n .
 n
  ist der Binomialkoeffizient ("n über i") als Spezialfall des
 i
Multinomialkoeffizienten (Formel für PW ). Ist m = 2, n1 = i und n2 = n - i,
so ist
 n
n!
n!
n!


  .
 nk !
n1 ! n 2 !
i ! ( n  i )!
 i
Die Zweiteilung der Elemente kann z.B. bedeuten: n1 = i Elemente gelangen in die Auswahl n2 = n - i gelangen nicht in die Auswahl. Weitere
Bemerkungen zum Binomialkoeffizienten vgl. Abschnitt 2.
Hierbei kann jedes Element bis zu i-mal wiederholt werden (i kann auch größer
als n sein).
Zusammenhänge der Formeln untereinander:
PWP wenn für alle k = 1,...,m gilt nk = 1, folgt PW = P
VP
wenn i = n gilt (also keine Auswahl), folgt V = P (Permutation ohne Wiederholung als Spezialfall der Variation ohne Wiederholung)
7
PWK wenn n1 = i und n2 = n - i, folgt PW = K (siehe oben; vgl. auch Gl. 2.15)
VK da jedes Element auf i! Arten permutiert werden kann, gilt (2.3a): V = i! K
KKW
Herleitung der Kombinationen ohne Wiederholung aus dem Additionstheorem
für Binomialkoeffizienten (Satz 2.1). Im trivialen Fall i=1 (keine
Wiederholungen möglich) ist
 n
KW = K =   = n
 1
PWVW
Variationen mit Wiederholung als Summe aller möglichen Permutationen mit
Wiederholung (Satz 2.2)
2. Binomialkoeffizienten und Multinomialkoeffizienten
Def. 2.1: Binomialkoeffizient
Der Ausdruck
 n
n!
(2.5)
 
 i  ( n  i )!i !
mit n, i  IN , 0  i  n heißt Binomialkoeffizient.
Def. 2.2: Multinomialkoeffizient
Der Ausdruck
n
m


n!
n!

 =
=
(2.6)
,
nk  n

m


n1 !n 2 ! ... n m !
k 1
 n1 n 2  n m 
 nk !
k 1
heißt Multinomialkoeffizient (oder auch Polynomialkoeffizient genannt).
Eigenschaften des Binomialkoeffizienten und des Multinomialkoeffizienten
1. Name und Folgerung aus der Definition
a) Die Entwicklung des Binoms  a  b führt zu folgender Summe:
n
 n
b n  nab n 1  ...    a i b n 1  ... na n 1b  a n
 i
 n n 0
 n  n 1
 n
 n
 n
   a 0 b n    a 1 b n 1    a i b n i 
a b   a b
 n
 n  1
 i
 1
 0
Setzt man a=b=1, so folgt leicht der bekannte Zusammenhang über die Summe von Binomialkoeffizienten von Gleichung 2.9.
8
Entsprechend erscheint der Multinomialkoeffizient in der Expansion eines Multinoms, etwa
(m = 3)
n

 n1 n 2 n 3
 a  b  c n   
 a b c , mit n  n1  n 2  n 3 .
 n1 , n 2 , n 3   n1 n 2 n 3 
 n
 n  n
b) Nach Definition gilt       1 und    n .
 1
 0  n 
 n  n 
c) Symmetrie    
.
 i   n  i
2. Binomialkoeffizient als Summe und Produktsumme von Binomialkoeffizienten
 n  n   n  1
(2.7a)
 (Pascalsches Dreieck)
  
 
 i   i  1  i  1
(2.7b)
 i  n  1 

 
 m  1
i0  m 
nm  m

Folgerung:
 n n  i i  1  k
(2.7c)     

 i  k  0 i  1 
n  m   n
 m  n
(2.7d)  

   
 k 
i  0  k  i  i 
Satz 2.1 Additionstheorem für Binomialkoeffizienten
Aus Gleichung 2.7d folgt*:
(2.8)
 n  i  1 i 1  n   i  1
  



 i  k  0 i  k  k 
Aus dieser Formel folgt auch der Zusammenhang zwischen Kombinationen mit und ohne
Wiederholung:
 n  i  1  n i 1  n   i  1
.


     
 i   i  k 1 i  k  k 
Der zweite Summand gibt an, um wie viel sich die Anzahl der Kombinationen erhöht, durch
die Wiederholung von k = 1, 2, ... der i - k ausgewählten Elemente, um zur Zahl der Kombinationen mit Wiederholung zu gelangen.
*
Man erhält Gleichung 2.8 aus 2.7d, wenn man den Symbolen k, n, m und i in Gleichung 2.7c die Symbole i, i1, n und k zuordnet. Aus Gleichung 2.8 folgt übrigens auch Gleichung 2.9a.
9
Folgerung aus Gleichung 2.8:
(2.8a)
 n i 1  n   i  1  i  1

 .
    


 i  k 0  i  k   k 
Dieser Zusammenhang erklärt die Reproduktivität der Binomialverteilung. Aus einer Urne
von n Kugeln i auszuwählen läuft auf das gleiche hinaus, wie aus zwei Urnen mit n - (i - 1)
und i - 1 Kugeln so viele Kugeln herauszunehmen, dass es zusammen i Kugeln sind.
3. Summe von Binomialkoeffizienten
a) Variables i, also i = 0, 1, .... , n,
 n
i  n
(2.9)
    2 n und  (-1)    0
 i
i  i
i
(2.10)
 n
 i
   i  2 n 1 n
i
(2.9a)
(2.10a)
   i 2  2 n  2 n n  1
i
 n  n  i 
m n
 2  
 m
i  0  i   m  i
m
(2.11)
 
2
 2n
 n
    
 n
i  i
n
 n
 i
,m  n
b) Variables n (k läuft bis n), konstantes i
Summe der natürlichen Zahlen
n  k
 n  1 n n  1
(2.11a)
. Das folgt auch aus Gleichung 2.7b mit m = 1.

   
2
 2 
k 1 1
 k
k  2 2
n
(2.12a)
 n  1

 3 
   
 k
k  3 3
n
(2.13)
 n  1
 usw..
 4 
   
Die allgemeinen Zusammenhänge beschreiben die folgenden Formeln:
r  n  i
r  n  i
 n  r  1
 n  r  1

und
(2.13b)
(2.13a)


 
 


r 
 n 1 

i  0 n 
i0  i 
4. Multinomialkoeffizient als Produkt von Binomialkoeffizienten
(2.14)
 n  n 1 ..... n k 1 
 n   n  n1   n  n1  n 2 
n!

 ... 

   



n 1 ! n 2 ! ... n k !  n 1   n 2  
n3
nk



Spezialfall der Permutationen ohne Wiederholungen n1  n 2 ...  n k  1 :
(2.14a)
 n  n  1  n  2 1
 

 ....   n !
 1  1   1  1
10
 n  n  n  i

    
 i   i   n  i
Permutationen mit Wiederholungen kann man als wiederholte Kombinationen auffassen: Aus
n Elementen werden n1 ausgewählt, aus den verbleibenden Elementen wieder n2 usw.
Spezialfall Kombinationen:
5. Rekursionsformeln für Binomialkoeffizienten
(2.15)
 n n  i  1  n 
 


i
 i
 i  1
(2.15b)
 n n  n  1 n n  1  n  2

 usw..

  
 i  i  i  1 i i  1  i  2 
(2.15a)
 n
n  n  1


 
 i n  i  i 
Folgerung: Aus Gleichung 2.15 folgt, dass bei gegebenem ungeradzahligem n die
Binomialkoeffizienten von i = 0 bis i  ( n  1) / 2 ansteigen und von i  ( n  1) / 2 an bis i = n
abfallen (bei geradzahligem n ist das Maximum i  n / 2 ).
Aus Gleichung 2.15a und 2.15b folgt leicht der als Pascalsches Dreieck bekannte Zusammenhang der Gleichung 2.7a bzw. (gleichbedeutend):
 n  n  1  n  1
.
 
  
 i   i  1  i 
6. Binomialkoeffizienten mit negativen Elementen
Nach Definition gilt:
  n
i  n  i  1
(2.16)

    1 
 i 
 i 
und
(2.16a)
  n
n  i  i  1
.
    1 
 i 
 n  1
7. Summe von Multinomialkoeffizienten
Man kann Variationen mit Wiederholungen als Summe von Permutationen mit Wiederholungen auffassen wegen:
Satz 2.2: Additionstheorem für Multinomialkoeffizienten
(2.17)
i


ni   
,
a1 , a 2 ,...  a1 a 2 ... a n 
n
wobei summiert wird über alle n-Tupel a1, a2, ..., an mit  a k  i . Mit 2-Tupeln, also a1  j,
k 1
 n
a 2  n  j , ergibt sich     2 n , also Gl. 2.9 als Spezialfall.
j 0  j 
8. Rekursive Beziehungen zwischen Kombinationen mit Wiederholung
n
11
Satz 2.3: Additionstheorem für Kombinationen mit Wiederholung
Verabredet man K W ( n, i) für die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung zur Klasse i,
so gilt:
(2.18)
K w  n , i  K w  n, i  1  K w  n  1, i
Diese Rekursionsformel ist auch Ausgangspunkt für den Beweis von Gl. 2.6.
Ersetzt man in Gleichung 2.18 den Ausdruck K w  n  1, i durch K w  n  1, i  1 + K w  n  2, i,
hierbei wieder K W  n  2, i usw., so erhält man:
n
(2.19)
K w  n, i   K w  m, i  1 ,
m 1
was sich übrigens auch aus Gleichung 2.13a ergibt.
3. Ergänzungen und Vertiefungen zum Auswahlproblem:
Inklusion und Exklusion
a) Zum Permutationsbegriff
Def. 2.3: Zirkuläre Permutationen
Die Anzahl Pz der zirkulären Permutationen von n Elementen ist die Anzahl der Möglichkeiten, n Elemente im Kreis anzuordnen. Sie beträgt:
(2.20) Pz(n) = (n-1)!
Da wegen der kreisförmigen Anordnung der erste und der n-te Platz identisch sind, werden
faktisch nur n - 1 Elemente permutiert.
Def. 2.4: Fixpunktfreie Permutationen
Geht man von einer Sitzordnung von n  2 Stühlen und n Personen aus, so kann man nach
der Anzahl PF(n) der "neuen" Sitzordnungen fragen, bei denen keine Person auf ihrem alten
Platz bleibt. Sie beträgt:
n
j
1 1 1
n  1
1 

(2.21)


 n !
PF  n   n !      ... 
n ! 
j 0 j!
 2 ! 3! 4 !
wobei die Summe den Anfang der Potenzreihenentwicklung von e-1 darstellt. Man spricht
auch vom Rencontre Problem und nennt die Zahlen PF(n) auch Rencontre Zahlen, für die die
folgende Rekursionsformel gilt:
n
(2.21a) PF  n   nPF  n  1   1
12
b) Zum Auswahlproblem: Inklusion und Exklusion
Für ein Auswahlproblem aus n Elementen kann sich auch die Aufgabe stellen, dass die
Auswahl so getroffen werden sollte, dass bei p < n der n Elemente mit
- keinem der p Elemente (Exklusion)
- genau p Elementen (Inklusion)
kombiniert bzw. variiert wird.
Die hierzu relevanten Formeln sind in Übersicht 2.2 zusammengestellt. Die Exklusion von p
vorgeschriebenen Elementen läuft darauf hinaus, einfach p Elemente weniger für eine Auswahl zur
Verfügung zu stellen. Sie stellt also eine Reduktion der Auswahlgesamtheit dar. Inklusion bedeutet
ebenfalls, diese Elemente von einer Auswahl auszuschließen und statt i nur noch i - p Elemente frei zu
kombinieren bzw. zu variieren. Man reserviert einfach p Plätze in der Auswahlgesamtheit und in der
Auswahl selbst und fragt nach den Variations- und Kombinationsmöglichkeiten der übrigen Elemente.
Inklusion stellt also eine Reduktion der Auswahlgesamtheit und der Auswahl dar . Die Differenz
zwischen der allgemeinen Formel (etwa Gl. 2.5 bei Kombination ohne Wiederholungen) und der
entsprechenden Formel für die Exklusion von p Elementen
 n  n  p
  

 i   i  bzw. im Spezialfall p = 1:
 n  n  1  n  1
 
  

 i   i   i  1  Gleichung 2.7a
ist die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholungen mit mindestens einem bzw. genau einem (wenn
p=1) von p vorgeschriebenen Elementen (Inklusion von mindestens einem Element = keine Exklusion von
allen Elementen). Bei p=1 ist die allgemeine Formel für Kombinationen die Summe der Exklusions- und
Inklusionsformel (Übersicht 2.2).
Übersicht 2.2
Exklusion
Inklusion
Kombinationen ohne
Wiederholung
np
(2.22)  i 
np
(2.23)  i  p 
Kombinationen mit
Wiederholung
n  i  p  1
(2.24) 
i

n  i  p 1
(2.25)  i  p 
Variationen ohne
Wiederholung
np
(2.22) i !  i 
np
(2.23) i !  i  p 
Variationen mit
Wiederholung
(2.24)
 n  p i
(2.25)
 n  p  i  p 
* Nur wenn n > p und i > p, sonst keine allgemeine Formel möglich, da i nicht beschränkt ist.
4. Die Gamma- und die Beta-Funktion
Def. 2.5: Gammafunktion
Die Funktion

(2.30)
    x  1 e  x dx
0
heißt Gamma-Funktion.
0  , 0  x  
*
13
Folgerungen:
 1
 3 1
 5 3  3
    ,   
 ,     
 2
 2 2
 2 2  2
1  1,   2  1,  3  2  2  2!
 n    n  1   n  1   n  1 !
  n  z 
 n  z  1!  n
 
 n  1!
(z und n ganzzahlig)
Def. 2. 6: Betafunktion
Die Funktion
  1  1
 1
  x 1  x dx ,
     0
heißt Beta-Funktion.
B,  
,  > 0, 0  x  1
Bemerkungen zu Def. 2.5 und 2.6:
1. Die Gamma- und die Beta-Funktionen sollten nicht verwechselt werden mit der Gammaund Beta-Verteilung.
2. Man nennt die oben definierten Funktionen auch vollständige Gamma bzw. Beta-Funktion.
Die entsprechenden unvollständigen Funktionen haben eine feste Integrationsgrenze z (z <
 oder z  1).
3. Die beiden Funktionen treten in einigen Dichtefunktionen auf (2, t, F-Verteilung).
Kapitel 3: Ereignisse und ihre
Wahrscheinlichkeit
1.
2.
3.
4.
5.
Einführende Konzepte der Mengenlehre
Wahrscheinlichkeitsbegriff
Additionssätze
Multiplikationssätze, stochastische Unabhängigkeit
Totale Wahrscheinlichkeit, Bayessches Theorem
14
19
21
22
23
Das "Rechnen" mit Ereignissen, das Inhalt dieses Kapitels ist, wird oft auch als Ereignisalgebra bezeichnet. Der
Begriff wird jedoch auch spezieller benutzt (Def. 3.7). Es ist formal äquivalent dem Rechnen mit Mengen. Mit
Mengen können Mengensysteme gebildet und hierfür Mengenfunktionen definiert werden. Die Wahrscheinlichkeit ist eine solche Mengenfunktion.
14
1. Einführende Konzepte der Mengenlehre
1.1. Relationen zwischen und Operationen mit Ereignissen
Ein Ereignis kann als Menge dargestellt werden, so dass auf diese auch
Verknüpfungsoperationen für Mengen angewandt werden können. Durch Operationen mit
Elementarereignissen entstehen zusammengesetzte Ereignisse (vgl. Def. 3.1 und 3.2).
a)
Operationen
Der Stichprobenraum  bestehe aus den Mengen (Ereignissen) A, B und C, dargestellt im
Euler-Venn-Diagramm. Das Ergebnis einer Operation wird durch Schattierung angegeben. 
wird als Kasten dargestellt, die Mengen A, B, C sind Flächen in dem Kasten.
Vereinigung: A  B oder
AB
(auch Summe genannt)
A  B:   x| x  A  x  B 1
sprich: „A oder B“ (inklusives oder)
Durchschnitt: A  B oder AB
(auch Produkt oder Konjunktion)
A  B:   x| x  A  x  B
sprich: „sowohl A als auch B“
Differenz: A\B oder A - B
(auch relatives Komplement)
A \ B:   x| x  A  x  B
dagegen B \ A
auch zu definieren mit A \ B  A  B
1 Dies ist eine Definition. Fast alles, was im folgenden dargestellt wird, sind Definitionen. Nur einige besonders
hervorzuhebende Definitionen sind numeriert worden.
15
Mehr als zwei Ereignisse:
n
A
i
n
etwa n  3 : A 1  A 2  A 3
A
i 1
i
etwa n  3 : A 1  A 2  A 3
i 1
A1  A 2  A 3
A1  A 2  A 3
Auch die Übertragung auf überabzählbar unendlich viele Ereignisse ist möglich.
Eigenschaften der Operationen  (und )
1.
Kommutativität:
A  B  B  A 2)
2.
Assoziativität:
 A  B  C  A   B  C
3.
Distributivität:
A   B  C   A  B   A  C
4.
Adjunktivität:
A   A  B  A
5.
Idempotenz:
AA  A
Die Differenz \ ist nicht kommutativ und nicht assoziativ.
b)
Relationen
Teilereignis A  B
x A  x B
A  B  A, A  B  B
(auch Inklusion genannt)3
Eigenschaften der Relationen 
asymmetrisch:
antisymmetrisch:
transitiv:
reflexiv:
2
3
A B B A
A  B  B A  A  B
A  B  B D  A  D
wenn A=B, denn dann gilt A  A
Das Zeichen = bedeutet Gleichwertigkeit (Gleichheit), d.h. gleiche Elemente enthaltend, von Mengen bzw.
Ereignissen.
Gemeint sind echte Teilmengen im Sinne der Mathematik.
16
Komplementärereignis A
A:  x x  A
A = \A
A  A   und A  A  
(auch absolutes Komplement oder Gegenereignis genannt)
A  A  , A  A  , A  A
A    A, A    
A    , A    A
(de Morgansche Gesetze)
A  B  A  B und A  B  A  B
c)
Besondere Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
 sicheres Ereignis 
 unmögliches Ereignis 
 disjunkte Ereignisse
(oder elementfremd, unvereinbar,
nicht: unabhängig)
AB , A \ B A
Mit dem Alltagsverständnis der Wahrscheinlichkeit als einer Zahl P, die zwischen 0 und 1 liegen muß, lassen sich hieraus bereits folgende Aussagen gewinnen:
1.
2.
P  0
P  1 , daraus folgt P A   1  P A  , denn wegen A  A   soll gelten
P A   P A   P  1
17
3.
4.
Wenn A und B unvereinbar, dann gilt
P A  B  P A   P B und P A  B  P AB  0
Wenn A  B , dann
P A   P B und P A  B  P B , so dass auch gilt P B  A   P B  P A  ,
statt allgemein P B  A   P A  B  P A  .
d) Zusammengesetzte Ereignisse und Elementarereignisse
Definition 3.1:
Ein Ereignis A   heißt zusammengesetzt, wenn A dargestellt werden kann als
A  B  C ( mit B  A und C  A ) , andernfalls liegt ein Elementarereignis vor.
Äquivalente Definition:
Definition 3.2:
Das Ereignis A   ist genau dann Elementarereignis, wenn es kein Ereignis B  , B  A
gibt, das Teilereignis von A ist.  ist kein Elementarereignis. Folgerung: Je zwei
Elementarereignisse A1 und A 2 sind disjunkt.
1.2. Produktmenge, Mengenfunktion
Definition 3.3: Produktmenge, Kartesisches Produkt
Bei zwei Mengen 1 ,  2 sind beispielsweise  a1 , b1  oder  a 2 , b3  mit a i 1 und b j  2
jeweils ein geordnetes Paar (Tupel). Die Menge 1   2 aller geordneten Paare ist die
Produktmenge von 1 und  2 .
1   2   a, b a 1  b  2 
Allgemein: 1   2 ... n    i   x1 ,..., x n  x i  i  .
n
i 1
Im Falle von 1 ...   n   schreibt man auch  n . Eine Produktmenge (ihre Elemente) ist
mit einem Baumdiagramm darstellbar. Eine "Relation" ist eine Teilmenge der Produktmenge.
Definition 3.4: Mengenfunktion
Wird einer Menge A nach einer Zuordnungsvorschrift eine Zahl Q(A) zugeordnet, so spricht
man von einer Mengenfunktion.
1.3. Mengensysteme
Mengen, deren Elemente selbst wieder Mengen darstellen, nennt man Mengensysteme. Sie
werden häufig abgeleitet aus einer Menge  , die eine Klasseneinteilung ist.
18
Definition 3.5: Vollständige Zerlegung, Klasseneinteilung, Partition
Ein Stichprobenraum  wird in n nichtleere, paarweise disjunkte Mengen (Ereignisse C i )
zerlegt, wenn gilt:
n
1.
 C i   (Ausschöpfung)
2.
Ci  C j  
3.
Ci  
i 1
i, j  1,2,..., n ; i  j
für alle i  1,2,..., n (n kann auch unendlich sein).
Veranschaulichung einer Zerlegung
   C i i  1,2,..., n für n  4 (vgl. Abb.)
Ein solches vollständiges System von Ereignissen ist die Menge der Elementarereignisse
oder auch   A, A .
Folgerung
Ist A ein beliebiges Ereignis und C1 , C 2 ,..., C n  eine Zerlegung (vollständiges System), so
gilt:
(3.1)
n
A   A  C i 
i 1
(Darauf beruht der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, Gl. 3.14). Die Mengen (Ereignisse)
A  C1 , A  C 2 ,... sind disjunkt (unvereinbar).
Definition 3.6: Potenzmenge
Das Mengensystem P (  ) , dessen Mengen alle möglichen Teilmengen von  , einschließlich
 und  umfassen, heißt Potenzmenge (Ereignisfeld) von  .
Bei einem endlichen Stichprobenraum, etwa   a, b, c ist das Ereignisfeld
P (  )   , a, b, a, c, b, c, a, b, c,  .
n
Bei n Elementen von  besteht das Ereignisfeld aus 2 n    i  Elementen.


i0
n
Motivation
Es genügt nicht, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (Elementarereignisses) von , etwa von A,
B usw. zu definieren, sondern es muss für alle durch  und  zu bildenden, zusammengesetzten
Ereignisse, eine Wahrscheinlichkeit definiert sein. Ereignisfelder sind bezüglich Vereinigung,
Durchschnitt und Komplementbildung abgeschlossen.
Definition 3.7: Sigma-(-)Algebra
Eine Teilmenge M von P ( ) , zu der  gehört und mit einer Menge A auch deren Komplement A , die wegen der folgenden Festlegung Nr. 2 auch  enthält und die abgeschlossen
19
ist gegenüber der Vereinigung (Summe)  von n oder auch abzählbar unendlich vielen
Ereignissen Ai [Summe, daher ; M ist wegen Nr. 2 auch hinsichtlich  abgeschlossen]
(1)  M
(2) wenn A  M , dann auch A  M
n
(3)  A i  M
i 1
heißt -Algebra. Anders als P  muss M nicht einelementige Mengen enthalten.
Motivation
Die Potenzmenge kann sehr groß oder bei nicht endlichem  auch unendlich sein. Die Wahrscheinlichkeit ist eine auf ein Mengensystem definierte reellwertige Funktion, eine Mengenfunktion, deren
Definitionsbereich eine -Algebra ist. Sie gibt an, welche Mengen in ihm mindestens enthalten sein
müssen, um die Wahrscheinlichkeit definieren zu können?
Definition 3.8: Wahrscheinlichkeit
Sei M eine -Algebra. Eine auf M definierte Funktion P: M  IR heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn die folgenden (Kolmogroff'schen) Axiome erfüllt sind.
1)
P A   0
n
 n
2 ) P  A i    P A i 
 i 1  i 1
3)
P  1
Nichtnegativität für alle A  M
Volladditivität (-Additivität), wobei alle Folgen Ai
Zerlegungen von  seien also A i  A j  
Normierung  0  P  1 , sicheres Ereignis
Die Wahrscheinlichkeit ist ein normiertes, additives Maß auf eine -Algebra. Ist  endlich, so genügt
es, Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse zu definieren, alle anderen Wahrscheinlichkeiten
folgen daraus. Wegen Axiom 2 und 3 folgt aus Axiom 1 auch P(A)  1.
2. Wahrscheinlichkeitsbegriff
Die Axiome von Definition 3.8 legen die mathematischen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten
fest. Sie geben keine Auskunft darüber, wie man den numerischen Wert einer bestimmten
Wahrscheinlichkeit erhält und interpretiert (Berechnungsanweisung, Interpretationsproblem). Zu
Versuchen, diese Probleme im Wahrscheinlichkeitsbegriff zu lösen, vgl. Übersicht 3.1.
20
Übersicht 3.1
Wahrscheinlichkeitsbegriff
interpretierend
objektiv
(Ereignis-Wkt.)
subjektiv
axiomatisch
Kolmogoroff
Def. 3.8
(4)
a priorisch
(5)
a posteriorisch
(statistischer Wkt.-begriff)
(3)
klassisch
(Laplace)
geometrisch
(2)
(1)
(1) Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist die Häufigkeit nA des Eintretens von A (oder
A = Mächtigkeit der Menge A) dividiert durch die Anzahl n aller möglichen Fälle:
P A  
nA
A
Anzahl der günstigen Fälle


n
 Anzahl der gleichmöglichen Fäl le
(2) Geometrischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Auch anwendbar bei überabzählbar unendlichem Stichprobenraum .
(3) A posteriorisch (v. Mises)
Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit bei sehr vielen Beobachtungen
 n   .
(4) Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff
Maß für den Grad der Überzeugtheit von der Richtigkeit einer Aussage (logische
Wahrscheinlichkeit, Hypothesenwahrscheinlichkeit).
(5) Axiomatischer Begriff
Er ist z.B. insofern allgemeiner als 1, weil nicht eine endliche Menge  mit gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen vorausgesetzt wird. Begriff 1 ist als Spezialfall enthalten.
21
3.
Additionssätze
Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung. Im Falle unverträglicher Ereignisse
Vereinfachung (spezielle Additionssätze, Übersicht 3.2). Allgemein gilt:
P A1 ... A n    P A i 
i  1,2,..., n (Boolesche Ungleichung).
Übersicht 3.2: Additionssätze allgemein, darunter (*) speziell ( A i  A j =  ,  i, j)
Additionssätze
Zwei Ereignisse A, B
Drei Ereignisse A, B, C
(3.3)
(3.3*)
P A  B  P A   P B  P AB
P A  B  P A   P B
(3.4)
P A  B  C  P A   P B  P C
 P AB  P AC  P BC  P ABC
(3.4*)
(3.5)
Allgemeine Ereignisse
A1, A2,..., An
(3.5*)
P A  B  C  P A   P B  P C
Formel von Sylvester (siehe unten)
n  n
P  A i    P A i 
 i 1  i 1
Formel von Sylvester
(3.5)
n
n 
2
3
n 1
P  A i    1  P A i    1  P A i A j ... 1 P A1A 2 ... A n 
 i 1 
i 1
i j


Interpretation: Summanden
erster Summand:
 n
 P A i   Vorzeichen positiv, denn (-1)2=+1 bestehend aus    n
1 
Summanden
 n
 Vorzeichen negativ, denn (-1)3=-1 bestehend aus  
 2
Summanden A 1 A 2 , A 1 A 3 ,, A 1 A n , A 2 A 3 ,, A 2 A n usw.
 n
bestehend aus    1 Summanden
 n

zweiter Summand:  P A i A j
letzter Summand:

22
4. Multiplikationssätze, stochastische Unabhängigkeit
Definition 3.9: Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P A B
ist die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens des Ereignisses A unter der
Voraussetzung, dass Ereignis B eingetreten ist (muß nicht eine zeitliche Folge, "zuerst B,
dann A", sein).
(3.6)
P A B 
P A  B
P A  B
entsprechend P B A  
P A 
P B
Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gelten die gleichen Axiome und Sätze wie für unbedingte
Wahrscheinlichkeiten, z.B. P A  C B  P A B  P C B  P AC B (Additionssatz).
Generell gilt:
(3.13) P A B  P A B  1 oder P AB C  P AB C  1 usw ., aber nicht
 


P A B  P A B  1 oder P AB C  P AB C  1 .
Definition 3.10: Stochastische Unabhängigkeit
a) paarweise (pairwise) Unabhängigkeit von zwei Ereignissen A, B bedeutet:
(3.7)
P AB  P A  P B
oder gleichbedeutend
P A   P A B
(3.8)
und wegen der Symmetrie der Unabhängigkeit gilt dann auch P B  P B A  oder
(3.9)
 
 
P A B  P A B  P A  und P B A   P B A  P B
b) wechselseitige (mutual) Unabhängigkeit bei mehr als zwei, z.B. bei drei Ereignissen
bedeutet:
(3.10)
P ABC  P A  P B P C
Mit Gleichung 3.10 gilt auch paarweise Unabhängigkeit von A und B, A und C sowie B und
C, nicht aber umgekehrt. Wechselseitige Unabhängigkeit ist also eine strengere Forderung als
paarweise Unabhängigkeit.
Bemerkung zu Definition 3.10
Mehrdeutigkeit des Begriffs Unabhängigkeit in der Statistik:
unabhängige Züge (bei wiederholter Ziehung aus einer Urne mit Zurücklegen, Kap. 4, 5)
bei mehrdimensionaler Zufallsvariable (  Kap. 4)
unabhängige und abhängige (verbundende) Stichproben (  Kap. 9)
in der Regressionsanalyse: "unabhängige Variablen"
23
Multiplikationssätze
Gegenstand: Bestimmung der Wahrscheinlichkeit P(AB), P(ABC), usw. aus bedingten und
unbedingten Wahrscheinlichkeiten. Bei Unabhängigkeit jeweils Spezialfall des Multiplikationssatzes. Vgl. Übersicht 3.3.
Folgerungen, Verallgemeinerungen
Bedingte Wahrscheinlichkeit allgemeinerer Art: P A1... A m B1... B k  
P A1 ... B k 
.
P B1 ... B k 
Entsprechend läßt sich auch der Multiplikationssatz allgemeiner formulieren. Beispiel:
P A1A 2 B1B2 B3   P A1A 2 B1B2 B3  P B1 B2 B3  P B2 B3  P B3  .
Übersicht 3.3: Multiplikationssätze allgemein, darunter (*)
speziell (Ai, Aj paarweise unabhängig)
Multiplikationssätze
Zwei Ereignisse (3.11)
A, B
(3.11*)
n Ereignisse
A1,...,An
(3.12)
(3.12*)
P AB  P A  P B A   P B P A B
P AB  P A  P B
P A1... A n   P A1 A 2 ... A n   P A 2 A 3 ... A n 
 P A 3 A 4 ... A n ...P A n 1 A n  P A n 
n  n
P A1... A n   P  A i    P A i 
 i 1  i 1
5. Totale Wahrscheinlichkeit, Bayessches Theorem
1) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Es sei
 Ci i  1,..., n
eine vollständige Zerlegung von  mit sich gegenseitig
ausschließenden Ereignissen Ci mit P(Ci) > 0. Weiterhin sei A   . Dann gilt nach Gl. 3.1:
(3.14) P A    P C i   P A C i    P C i  A 
i
i
(3.14a) P AB   P C i   P AB C i 
i
2) Bayessches Theorem
(3.15)
P C i A  
P C i   P A C i 
 PC i   P A C i 
i

P A  C i 
P A 
24
Interpretation: Bedeutung für Schätz- und Testtheorie:
Alternativen, Hypothesen, Ursachen (für Beobachtungen)
C1, C2,...:


a priori Wahrscheinlichkeiten   P C i   1
P(C1), P(C2),...:
 i

PC 1 | A , PC 2 | A ,...
P A| C1 , P A|C 2 ,...


a posteriori Wahrscheinlichkeiten   P C i | A   1
 i

Likelihoods
Spezielle Fälle

P C i A   P C i  für alle i, wenn Likelihoods gleich sind

P C i A   0 oder P C i A   1 , d.h. bei extremen Werten für a priori-Wahrschein-

lichkeiten von 0 oder 1 nehmen auch die a posteriori Wahrscheinlichkeiten extreme
Werte an; entsprechend
extreme Werte für die Likelihoods von 0 oder 1: a posteriori-Wahrscheinlichkeiten sind
dann auch 0 oder 1, unabhängig von den a priori-Wahrscheinlichkeiten
alle a priori-Wahrscheinlichkeiten gleich P C1   P C 2  ...  P C n   1 / n (Prinzip des

mangelnden Grundes): dann gilt P C i A   P A C i   P A C i  .
Die totale Wahrscheinlichkeit P A  ist nach Gl. 3.14 ein gewogenes Mittel der Likelihoods.
Ist P A C i   P A  , dann ist P C i A   P C i  . Ist P A C i   P A  , dann ist P C i A   P C i  .
Beachte:
 PC | A  1 , aber  P A| C  muss nicht 1 sein.
i
i
i
i
Kapitel 4: Zufallsvariablen,
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1.
2.
3.
4.
5.
Eindimensionale Zufallsvariablen
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Momente von Funktionen von Zufallsvariablen
Erzeugende Funktionen
Intervalltransformationen
24
28
30
31
34
1. Eindimensionale Zufallsvariable
Def. 4.1: Zufallsvariable
a) diskrete Zufallsvariable
1. Sei  = 1,2,...,n der Stichprobenraum eines Zufallsexperiments mit den Ereignissen
1,2,...,n. Die Funktion X, welche jedem Element i   (i = 1,2,...,n) eine reelle Zahl
X(i) = xi zuordnet, heißt Zufallsvariable (ZV). Der Wertebereich von X ist die Menge
der reellen Zahlen IR . Die dem Ereignis i zugeordnete Wahrscheinlichkeit P(i) wird auf
25
X übertragen, in dem Sinne, dass für i = xi , i  1,..., n , P(i) = P(X = xi) gilt, und es ist
definiert:
(4.1)
f(xi) = P(X=xi) = P(i) = pi.
2. Die Tupel xi, f(xi) bei einer endlichen oder abzählbar unendlichen Folge von Werten
x1  x2  x3 ... xn mit
f  x  für x1 ,..., x n
(4.2)
f ( x)   i

sonst
0
ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion (oder: Zähldichte) der diskreten Zufallsvariable X.
3. Die Funktion
F( x )  P( X  x )   f ( u ) , bzw.
ux
j
j
i 1
i 1
F( x j )  P( X  x j )   f ( x i )   p i
heißt Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsvariable X.
b) stetige Zufallsvariable
1. Der Stichprobenraum ist überabzählbar unendlich. Definiert ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass X Werte in einem Intervall x  X  x + x annimmt mit
P(x  X  x + x) =
(4.3)
x  x
 f ( u ) du .
x
2. Die Funktion f(x) mit - < x < + oder a  x  b, heißt Dichtefunktion (stetige
Wahrscheinlichkeitsfunktion; man beachte aber: f(x) ist keine Wahrscheinlichkeit!).
3. Die Verteilungsfunktion F(x) der stetigen ZV X ist gegeben durch:
x
F( x )  P( X  x )   f ( u ) du
(4.4)
(   x   ) .

Der Zusammenhang zwischen der Dichtefunktion f(x) und der Verteilungsfunktion F(x)
der stetigen Zufallsvariablen X ist gegeben durch:
dF( x )
(4.5)
f ( x) 
(   x   ) .
dx
Übersicht 4.1: Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion und
Intervallwahrscheinlichkeiten
Art der Zu- Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion Intervallwahrscheinfallsvariable (gem. den Kolmogoroffschen Axiomen)
lichkeiten
diskrete ZV
(4.6a)
(4.6b)
0  f(x)  1,
 f ( x )  1 , bzw.  f ( x i )   p i  1
x
stetige ZV
(4.7a)
i
0  f(x) < , nicht aber f(x)  1

(4.7b)
i
 f ( x )dx  1.

(4.6c) P(a < X  b) =
= F(b) - F(a) =  f ( x i ) *
a xi  b
(4.7c) P(c < x  d) =
d
=  f ( x )dx  F( d )  F( c )  0
c
26
*) also beispielsweise: P(x1  x  x4) = p2 + p3 + p4 = F(x4) - F(x1).
Def. 4.2: Momente
1. Die folgende Funktion der Zufallsvariable X
E(X-a)r
ist das r-te (theoretische) Moment um a. Ist a = 0, so spricht man von Anfangsmomenten,
ist a = E(X) =  von zentralen Momenten. Zwischen Anfangsmomenten Ek = E(Xk) und
zentralen Momenten Mk = E(X-)k besteht die folgende Beziehung:
k  k
Mk =    E k  i (  )i , mit E1 = .
i  0 i 
2. Das erste Anfangsmoment E(X) = E1 =  heißt Erwartungswert und ist gegeben mit
n
(4.8)
 = E(X) =  x f(x) =  x i f ( x i ) , wenn X diskret ist, bzw. mit
i 1

(4.9)
 = E(X) =  x f ( x )dx wenn X stetig ist.

3. Das zweite zentrale Moment ist die theoretische Varianz.
(4.10)
V(X) = 2 = E X-E(X)2 = E(X-)2 = E(X2) - 2
Wie im einzelnen bei diskretem und stetigem X zu rechnen ist, vgl. Übers. 4.2.
4. Der Erwartungswert
(4.11)
E*(X,k) = EX(X-1) (X-2) ... (X-k+1)
E*(X,1) = E(X), E*(X,2) = E[X(X-1)] usw. , (k = 1, 2, 3, ...),
ist das k-te faktorielle Moment von X (um Null).
Übersicht 4.2: Gegenüberstellung der Terminologie
der Deskriptiven und Induktiven Statistik
1. diskrete Variable X
Induktive Statistik
1a)
Verteilungsbegriffe
Deskriptive Statistik
Wahrscheinlichkeitsverteilung
f(xi) = pi = P(X=xi)
Verteilungfunktion2)
 
j
F x j   f  x i   P X  x i 
1b)
Momente
Häufigkeitsverteilung1)
n
hi  i
n
Summenhäufigkeit
(kumulierte rel. Häufigkeit)
j
Hj =  h i
i 1
i 1
Erwartungswert E(X) =  =  x i f ( x i )
Mittelwert x   x i h i
Varianz (theoretische)
Varianz (empirische)
s 2   ( x i  x )2 h i
i
i
n
2
V( X )   2   ( x i   ) f ( x i )
i 1
i
1) relative Häufigkeit hi.
2) Die Verteilungsfunktion F(x) ist eine monoton nichtfallende, rechtsseitig stetige Treppenfunktion.
27
2. stetige Variable X (nur induktive Statistik)
2a)
Verteilungsbegriffe
DichtefunkdF( x )
f
(
x
)

tion
dx
2b)
Momente
Erwartungswert
  E ( X)   xf ( x)dx
Varianz
(theoretische)
V( X )     ( x   )2 f ( x )dx =   x 2 f ( x )dx   2
Verteilungsfunktion
x
F( x)   f ( u)du



2




Eigenschaften des Erwartungswerts
Der Erwartungswert E ist ein linearer Operator:
1. Erwartungswert einer Konstanten a: Ea = a.
2. Erwartungswert einer Lineartransformation: E(bX) = b E(X).
Bei Y = a + bX (Lineartransformation) gilt: E(Y) = a + b E(X).
3. Funktionen  der diskreten Zufallsvariable X:


E  c i  i ( X )   c i E   i ( X ) ,
i
i

wobei  (X) eine Funktion der diskreten Zufallsgröße X ist (entsprechende Formel bei stetiger Zufallsvariable).
Wichtiger Hinweis zu Übers. 4.2
Auf dem ersten Blick mag es die klare Analogie zur Deskriptiven Statistik geben, zumindest
im diskreten Fall.
Wahrscheinlichkeits-verteilung:
Häufigkeits-verteilung
X1
X2
...
Xm
X1
X2
...
Xm
p1
p2
...
pm
h1
h2
...
hm
Erwartungswert E(X) =  xipi
Mittelwert x =  xihi
so dass manche geneigt sind diese Begriffe praktisch gleich zu setzen und die Unterschiede
nicht zu erkennen. Es ist deshalb unbedingt zu beachten:
1. relative Häufigkeiten beziehen sich auf endlich viele Beobachtungen, Wahrscheinlichkeiten dagegen auf ein prinzipiell unendlich oft wiederholbares Zufallsexperiment;
2. das prägt auch den Unterschied zwischen dem Erwartungswert und dem Mittelwert. Der
Erwartungswert kann z.B. auch nicht endlich sein (nicht "existieren"), während der
Mittelwert einer (empirischen) Häufigkeitsverteilung immer endlich ist.
28
2. Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Def. 4.3: Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung
1. Die Funktion f(x,y) ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung (bei diskreten
Zufallsvariablen X,Y) bzw. gemeinsame Dichtefunktion (bei stetigen Zufallsvariablen
X,Y). Im diskreten Fall ist f (xi,yj) eine Wahrscheinlichkeit:
f (xi,yj) = P(X = xi und Y = yj), i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., k,
und die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:
(4.12)
f ( x i , y j ) für X = x i , Y = y j
f (x,y) = 
sonst
 0
2. Hieraus abgeleitet werden:
a) eine zweidimensionale Verteilungsfunktion F(x,y),
b) zwei eindimensionale Randverteilungen f1(x), f2(y),
c) eindimensionale bedingte Verteilungen(im diskreten Fall m bedingte Verteilungen f by
und k bedingte Verteilungen f bx .
3. Die Verteilungsfunktion ist definiert als
(4.13a)
F(x,y) = P(Xx, Yy) = 
vy
 f(u,v)
im diskreten Fall bzw.
ux
y x
(4.13b)
F(x,y) =   f(u,v) du dv
im stetigen Fall.
 
4. Randverteilungen f1, f2
(4.14a)
f1 ( x )   f ( x, y)  P( X  x )

bzw.


y
(4.14b)
f 2 ( y)   f ( x, y)  P(Y  y)
x
f1 (x) =  f ( x, y)dy ,
bzw.
f2 (y) =  f ( x, y)dx .

5. Bedingte Verteilungen fbx ,fby
f ( x, y)
(bedingte Verteilung der Variable X) ,
(4.15)
fbx(xy) =
f2 ( y)
f ( x, y)
(bedingte Verteilung der Variable Y) ,
(4.15b)
fby(yx) =
f1 ( x )
im diskreten Fall sind dies die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(X=xY=y) und
P(Y=yX=x).
Eigenschaften der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung
im diskreten Fall 1. 0  f(x,y)  1
2.   f ( x, y)  1
y x
im stetigen Fall
1.
0  f(x,y)
2.
 f(x,y) dx dy = 1
29
Def. 4.4: Momente und Produktmomente
1. Die Momente der Randverteilungen sind E(X), E(Y), V(X), V(Y) usw.. Es gilt z.B. bei
diskretem X
 
E X    xf1  x und V X    2X   x 2 f1  x  E X   E X 2   E X 
2
x
X
2
oder bei stetigem X

E(X) =  x f1(x) dx

V(X) =  x2 f1(x) dx - E(X)2
und


und die Momente von Y entsprechend.
2. Bedingte Erwartungswerte
(4.16a)
E Y X  x   yf b  y x 
y

(4.16b)
1
 yf ( x, y)
f1 ( x ) y
E Y X  x   yf b  y x dy 

und E X Y  y entsprechend.
im diskreten Fall bzw.
1 
 yf ( x, y)dy
f1 ( x ) 
im stetigen Fall
3. Produktmomente (Kovarianz)
Die (theoretische) Kovarianz C(X,Y) als zentrales Produktmoment ist definiert als
(4.17)
C( X, Y )   XY  E( X   X )(Y   Y )  E XY   X  Y
d.h. im diskreten Fall:
 XY    xy f(x,y) - xy
y x
bd
bzw. im stetigen Fall:
 XY    xy f(x,y) dx dy - xy
,
ac
wenn für den Definitionsbereich gilt: a  y  b und c  x  d.
4. Der (theoretische) Korrelationskoeffizient xy ist die auf den Wertebereich [-1,+1] nor xy
mierte (theoretische) Kovarianz xy::  xy 
 x y
Er ist das Produktmoment der standardisierten Zufallsvariablen X , Y mit:
Y  y
X  x
X* 
und Y * 
, also E X Y    XY
x
y


5. Stochastische Unabhängigkeit: X und Y sind unabhängig, wenn für f(x,y) gilt:
(4.18) f  x, y  f1  xf 2  y
und damit: f bx ( x y) 
f ( x, y)
 f1 ( x) , fby(yx) = f2 (y)
f 2 ( y)
Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X,Y sind stets auch unkorreliert (aber die
Umkehrung dieses Satzes ist nicht zulässig).
30
6. Verallgemeinerung für mehr als zwei Dimensionen
Es sei x' = X1 X2 ... Xm ein m-dimensionaler Zufallsvektor mit den Realisationen x1 x2 ...
xm. Die Parameter der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion (sofern sie existieren,
d.h. endlich sind) werden in der symmetrischen und positiv definiten Momentenmatrix M
(oder )
  12  12   1m 


(4.19)
 
M 
2 

 m1  m2   m 
zusammengefasst (Varianz-Kovarianz-Matrix der m Zufallsvariablen). Die Determinante
M dieser Matrix heißt "verallgemeinerte Varianz".Die Bedingung M = 0 ist
notwendig und hinreichend dafür, dass mit Wahrscheinlichkeit Eins unter den
Zufallsvariablen mindestens eine lineare Beziehung besteht (exakt erfüllt ist; also etwa Xi
= a + b Xj). Ist M  0, so gilt M  12   22 ...   2m , so dass die Determinante ihren
größten Wert dann hat, wenn alle Kovarianzen ij (und damit auch Korrelationen
ij verschwinden.). Es gilt also 0  M  12   22 ...   2m .
Entsprechend ist die Korrelationsmatrix:
12
 1

1
 21
R  .

 .
 m1  m 2
.
.
.
. 1m 
. 2 m 




1 
.
ebenfalls symmetrisch und positiv definit und es gilt 0  R  1.
Die Varianzen (Hauptdiagonale von M) und der Erwartungswertvektor ' = 1 2 ...
msind Parameter der Randverteilungen.
3. Momente von Funktionen von Zufallsvariablen
a) Lineare Funktionen von Zufallsvariablen
Def. 4.5: Linearkombinationen und -transformationen
Die Zufallsvariable
(4.20)
Y = a + bX, a,b: Konstante
ist eine Lineartransformation der
Zufallsvariablen X und
(4.21)
Z = b1X1 + b2X2 + ... + bnXn
(b1,b2,...,bn konstante "Gewichte")
ist eine (gewogene) Linearkombination der Zufallsvariablen X1,X2,..., Xn
Bemerkungen zu Def. 4.5:
1. ie Lineartransformation ist ein Spezialfall der Linearkombination, wenn in Y = aX0 + bX
die Zufallsvariable X0 degeneriert ist zu einer Einpunkt-Verteilung mit X0 = x0 = 1 und
p0 = 1.
2. Spezialfälle von Gl. 4.22 sind die ungewogene Linearkombination
31
Z  X1  X 2 ... X n , mit b1 = b2 = ... = bn = 1 oder
1
1
Z das arithmetische Mittel, mit b1 = b2 = ... = bn =
.
n
n
3. Für eine weitere Betrachtung ist entscheidend, ob die Zufallsvariablen X1, X2,...,Xn
paarweise stochastisch unabhängig sind oder nicht (Übers. 4.3, nächste Seite).
X
b) Produkte von Zufallsvariablen
Bei unabhängigen Zufallsvariablen (bei abhängigen sehr komplizierte Formeln) gilt:
(4.22)
E(X1X2...Xn) = E(X1) E(X2) ... E(Xn) .
4. Erzeugende Funktionen
Ist X eine ZV, dann ist eine Funktion von X etwa t X oder e tX , (t IR ) eine ZV mit einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung und einem Erwartungswert, der dann eine Funktion von t ist.
In diesem Abschnitt werden solche Funktionen betrachtet.
Def. 4.6: Erzeugende Funktion, Faltung
1. Eine erzeugende Funktion der Zufallsvariable X ist eine Funktion der reellen Zahl t, deren
Ableitungen bestimmte nützliche Eigenschaften haben. Es gibt verschiedene Arten von
erzeugenden Funktionen (vgl. Übers. 4.3). In Übersicht 4.3 werden einige erzeugende
Funktionen definiert. Darin ist f(n)(j) die n-te Ableitung der erzeugenden Funktion f nach t
an der Stelle t = j.
2. Unter der Faltung (convolution) von zwei unabhängigen Zufallsvariablen X und Y mit
den Wahrscheinlichkeitsverteilungen f1(x) und f2(y) versteht man eine Zufallsvariable Z,
für deren Wahrscheinlichkeitsverteilung f gilt:
Übersicht 4.3: Formeln für Linearkombinationen
a) Momente von Linear-kombinationen
Z = b1 X1 + b2 X2 + ... + bn Xn
1. Erwartungswert
E Z  b1E X1   b 2 E X 2 ... b n E X n 
2.Varianz
a) unabhängige Zufallsvariablen
 2Z  b12 12 ... b 2n  2n
b) keine Unabhängigkeit
 2z  b12 12  b 22  22 ... b 2n  2n
+ 2 b1b 2 12  b1b313 ... b n 1b n  n 1, n 
Spezialfall: Arithmetisches Mittel (ungewogen): X 
1. Erwartungswert
E X    X 
1 n
 E X i 
n i1
1
1
1
X1  X 2 ... X n
n
n
n
32
2
2
2
 1
 1
 1
V X    2X    V X1     V X 2 ...  V X n 
 n
 n
 n
2. Varianz
2
2
2
 1
 1
 1
+ 2  12  2   23 ...2   n 1,n
 n
 n
 n
Wenn E X i    und V X i    2i   2 für alle i=1,...,n, und die ZV'en unkorreliert sind ,
E X    X   und V X    2X 
2
n
b) Produktmoment eines Produkts von Linearkombinationen
Beispiel: Z1 = a1 X1 + a2 X2 und Z2 = b1 X1 + b2 X2 + b3 X3
C Z1 , Z 2   a 1 b 2 V X1   a 1 b 2 C X1 , X 2   a 1 b 3C X1 , X 3   a 2 b1C X1 , X 2 
 a 2 b 2 V X 2   a 2 b 3C X 2 , X 3 
c) Linear-transformation Y=a+bX
E Y  a  b  E X  a  b X und V Y   2Y  b 2 V X  b 2   2X
(4.23a)
f  z   P X  xP Y  z  x   P Y  yP X  z  y
x
im diskreten Fall
y
bzw.
(4.23b)
f  z   f1  xf 2  z  x   f 2  yf1  z  ydy
im stetigen Fall.
Man schreibt auch Z=X*Y, wenn Z eine Faltung darstellt.
Zu dem Konzept der erzeugenden Funktion führen wir drei für Kap. 5 bis 7 sehr bedeutsame
Sätze ohne Beweis an, aus denen Zusammenhänge zwischen Verteilungen und Grenzübergängen deutlich werden. Nicht für nur Beweise sondern auch für die Berechnung von
Momenten können erzeugende Funktionen von großem Nutzen sein.
Übersicht 4.4: Erzeugende Funktionen
Name
wahrscheinlichkeitserzeugende
Funktion Wx(t)
Definition
Wx(t) = E(tx) ,wenn t  1,
t  IR , x  IN
(X ist eine nichtnegative
ganzzahlige Zufallsvariable)
Bedeutung der Ableitungen*)
Wx k   0
1.
 pk
k!
2. Wx k  1  E *  X, k 
 E X X  1 ...  X  k  1 
(k-tes faktorielles Moment)
33
faktorielle
momenterzeugende
Funktion x(t)
momenterzeugende Funktion
Mx(t)
x(t) = Wx(1+t)= E[(1+t)x]
 xk   0  E*  X, k  
=  1  t  p x
x
E X X  1...  X  k  1
x0
(X ist eine nichtnegative
ganzzahlige Zufallsvariable)
das k-te faktorielle Moment**)
Mx(t) = E(etx)
im diskreten Fall
M x  t    e txi p i
im stetigen Fall
M x  t    e tx f  xdx
 
M xk   0  E X k
das k-te Anfangsmoment
(X ist eine beliebige reellwertige
Zufallsvariable, x  IR )
charakteristische
Funktion x(t)
 
 xk   0  i k E X k
x ( t )  E(e itx )
i 2  1, x  IR
 ist die Fouriertransformierte der Dichtefunktion f(x)
*) die nullte Ableitung von Wx an der Stelle 0 beträgt Wx(0) = p0, aber z.B. bei der momenterzeugenden Funktion Mx(0) = 1 (ebenso bei x(t) und x(t)).
**) Beispiel:  x  0  E X X  1  E*  X,2 .
Bemerkungen zu Def.4.6:
1. Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die nur ganze, positive Zahlen annehmen kann, also die
Wahrscheinlichkeitsverteilung mit
x
0
1
2
...
n
f(x)
p0
p1
p2
...
pn
gegeben, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion WX ( t ) wie folgt definiert:
Wx(t) = E(tx) = p0 + p1 t + p2 t2 + ... + pn tn =
(4.24)
n

px tx.
x0
Die Ableitungen nach t sind:
n
Wx' (t) = p1 + 2 t p2 + 3 t2 p3 + 4 t3 p4 + ...+ n  t n 1p n   xt x 1p x
x 1
n
Wx" ( t ) = 21 t0 p2 + 32 t1 p3 + 43 t2 p4 + ...  n ( n  1) t n  2 p n   x ( x  1) t x  2 p x usw.,
x2
so dass
'
X
W (0) = 1! p1 = p1 ,
(4.25)
Wx( k ) (0)
Wx" (0)
= 2! p2 bzw. allgemein:
= k! pk.
Ferner gilt
Wx' (1) = p1 + 2p2 + 3p3 + ... + n pn = E(X),
Wx" (1) = E(X2) - E(X) = EX(X-1) das zweite faktorielle Moment
(nach Def. 4.2 also E ( X,2)  Wx'' (1) , oder allgemein E ( X, k )  Wx( k ) (1) ).
34
2. Gegeben sei eine Zufallsvariable mit den vier Ausprägungen 0, 1, 2 und 3, deren Wahrscheinlichkeiten p0, p1, p2 und p3 sind. Dann ist die faktorielle momenterzeugende
Funktion
x (t) = p0 + (1+t)p1 + (1+t)2p2 + (1+t)3p3
= 1 + t p1 + 2t p2 + 3t p3 + t2 p2 + 3t2 p3 + t3 p3
und die ersten beiden Ableitungen nach t sind an der Stelle t = 0
 'x (0) = p1 + 2p2 + 3p3 = E(X) = E*(X,1), und  "x (0) = 2p2 + 6p3 = EX(X-1) = E*(X,2).
Entsprechend erhält man für die k-te Ableitung an der Stelle t = 0 das k-te faktorielle
Moment E*(X,k)=E[X(X-1)...(X-k+1)] mit der k-ten Ableitung von  x ( t )
(vgl. Übers. 4.3).
3. Ist X1 zweipunktverteilt (vgl. Kap. 5) mit der momenterzeugenden Funktion
Mx(t) = E(etx) = e0.t (1-) + e1t  = et + (1-)
und X2 identisch verteilt, dann ist die momenterzeugende Funktion der Summe X = X1 +
X2 der beiden unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen et + (1-)2, d.h. nach
Satz 4.1 das Produkt der momenterzeugenden Funktionen. Das ist aber die momenterz.
Funktion der Binomialverteilung mit n = 2.
Satz 4.1: Die erzeugende Funktion einer Faltung Z ist das Produkt der erzeugenden
Funktionen von X und Y.
So wie mit Satz 4.1 der Nutzen erzeugender Funktionen bei der Betrachtung von Summen unabhängig
identisch verteilter Zufallsvariablen (also für das Problem, ob eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
"reproduktiv" ist) offenbar wird, zeigt sich mit den folgenden Sätzen der Vorzug mit solchen
Funktionen Grenzverteilungen (Kap.7) zu untersuchen:
Satz 4.2: (Levy-Cramer; vgl. Bem.6 zu Def. 7.2)
Eine endliche Folge von Verteilungsfunktionen F1(x), F2(x), ... konvergiert genau dann gegen
die asymptotische Verteilung F(x) (Grenzverteilung), wenn die Folge der charakteristischen
Funktionen auf jedem endlichen Intervall t0  t  t1 gegen die charakteristische Funktion der
Grenzverteilung konvergiert.
Satz 4.3: Eine Folge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen f1(x),f2(x),... konvergiert genau
dann gegen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) (Grenzverteilung), wenn die Folge der
charakteristischen Funktionen auf jedem endlichen Intervall to  t  t1 gegen die charakteristische Funktion der Grenzverteilung konvergiert.
5. Verteilungen transformierter Variablen,
Intervalltransformationen
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Wahrscheinlichkeitsverteilung f*(z) einer gemäß einer
Funktion Z= g(X) transformierten Variable X findet und wie diese Verteilung zusammenhängt mit der
Verteilung von X. Das Problem tritt auch auf, wenn es gilt eine für das Intervall (den Definitionsbereich) a  x  b definierte Zufallsvariable X in eine für das Intervall [a*, b*] definierte
Zufallsvariable Z zu transformieren. Die Zusammenhänge werden schließlich auf den mehrdimensionalen Fall verallgemeinert.
35
a) ein- und mehrdimensionale diskrete Zufallsvariable
Gegeben sei die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
xi
x1
x2
...
xn
pi
p1
p2
...
pn
etwa X1 = 1, X2 = 2 usw., und gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der transformierten Variable Z, etwa Z = 3X2 + 4. Die Lösung ist einfach, weil dann nur jedem konkreten Wert xi ein zi gemäß dieser Transformation zuzuordnen ist und die Wahrscheinlichkeiten hiervon nicht berührt werden. Man erhält dann:
 p1 für z1  7
p für z  16 usw.
 2
2
f  z  


 0
sonst
Bei einer mehrdimensionalen diskreten Verteilung ist analog zu verfahren. Schwieriger ist
das Problem im Falle einer stetigen Zufallsvariable.
b) eindimensionale stetige Zufallsvariable
Satz 4.4: Sei f(x) die Dichtefunktion der stetigen Zufallsvariable X und Z = g(X) eine eineindeutige Transformation mit der Umkehrung X = h(Z) und der Ableitung
dx
 h  z , dann
dz
lautet die Dichtefunktion von Z:
(4.25)
f * (z)  f  h z  h'  z
In f(x) wird jetzt x gem. x = h(z) eingesetzt und diese Funktion mit der absolut genommenen
dx dh z

 h'  z multipliziert. Ist x im Intervall [a, b] definiert, so muss für z
Ableitung
dz
dz
gelten a*  z  b*. Wenn es gilt, das Intervall [a, b] in das Intervall [a*, b*] zu transformieren,
so lautet die Funktion g(x)
a * b  b*a b*  a *

X mit der Umkehrfunktion X  h Z
(4.26) Z 
ba
ba
ba
a * b  b *a
ba
ist.
(4.27) X   * *  * * Z, so dass h  z  *
b a
b a
b  a*
c) mehrdimensionale stetige Zufallsvariable
Die Verallgemeinerung von Satz 4.4 für zweidimensionale Verteilungen lautet:
Die Variablen (X, Y) haben die gemeinsame Dichte f(x, y) und es seien u = g1 (x, y) und
v = g2 (x, y) stetige monotone Transformationen mit den Umkehrungen x = h1 (u, v),
y = h2(u, v), dann gilt:
(4.28) f*(u, v) = f [ h1 (u, v), h2(u, v)]|J| ,
36
x x
v
wobei J die Jacobische Determinante (Funktionaldeterminante) J  u
y y und |J| deren
u v
Betrag ist. Man erkennt, dass die Betrachtung unter b ein Spezialfall ist und wie der Zusammenhang leicht zu verallgemeinern ist bei mehr als zwei Dimensionen.
Kapitel 5: Spezielle diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Übersicht und Einführung
Zweipunkt-Z(), Binomial- B(n,) und hypergeometr. Verteilung H(n,M,N)
Geometrische Verteilung GV() und negative Binomialverteilung NB(,r)
Poissonverteilung P()
Weitere Verteilungen eindimensionaler diskreter Zufallsvariablen
Polytome Versuche (mehrdimensionale diskrete Verteilungen)
36
38
44
46
50
50
1. Übersicht und Einführung
Def. 5.1: Bernoulli-Experiment, Urnenmodell
1. Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment. Der Versuchsausgang ist somit dichotom.
Man spricht (ohne Wertung) von "Erfolg" und "Misserfolg". Bei wiederholten Experimenten kann man unabhängige und abhängige Versuche unterscheiden.
2. Ein Urnenmodell besteht in der Spezifizierung der Zusammensetzung einer Urne und der
Art der Ziehung aus der Urne. Die Urne kann aus zwei oder m > 2 Arten von Kugeln
bestehen und es kann mehrmals mit oder ohne Zurückziehen gezogen werden.
Bemerkungen zu Def. 5.1:
1. Beim Bernoulli-Experiment besteht die Urne aus
- M schwarzen Kugeln ("Erfolg") und
- N-M weißen Kugeln ("Misserfolg"),
insgesamt also aus N Kugeln. Beim einmaligen Ziehen aus der Urne ist die "Erfolgswahrscheinlichkeit" gegeben durch   M / N und die "Misserfolgswahrscheinlichkeit"
mit 1    ( N  M ) / N . Üblich ist auch die Notation p =  für die Erfolgs- und q = 1 - 
für die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Bei n  2-maligem Ziehen aus der Urne ist zu
unterscheiden zwischen
 Ziehen mit Zurücklegen (ZmZ, unabhängige Versuche): durch das Zurücklegen wird
die Urne praktisch unendlich, so dass N nicht zu beachten ist,
 Ziehen ohne Zurücklegen (ZoZ, abhängige Versuche)
2. Eine andere Veranschaulichung wiederholter Zufallsversuche mit polytomen und speziell
dichotomen (Bernoulli-Experiment) Ausgang ist ein Baumdiagramm (Wahrscheinlichkeitsbaum).
37
3. Die Zufallsvariable (ZV) kann im Folgenden unterschiedlich definiert sein:
 der Anzahl X der Erfolge bei n Versuchen (X ist die ZV, n ist keine ZV)
 der Anteil p  X n der Erfolge bei n Versuchen (Relativierte Verteilungen, p ist eine
Lineartransformation von X)
 die Anzahl X der nicht erfolgreichen Versuche bis zum r-ten Mal (oder speziell r = 1 ten Mal)
ein Erfolg auftritt
 oder die Anzahl X* der Versuche.
Gerade hinsichtlich der letzten Betrachtung gibt es Unterschiede bei der Darstellung einer
Verteilung in den Lehrbüchern, weshalb (wenn nötig) "alternative Formulierung" der Zufallsvariable aufgeführt werden.
4. Eine Variante des Urnenmodells besteht im Ziehen aus k Urnen mit einem Anteil  i schwarzer
Kugeln. Das führt zur verallgemeinerten Binomialverteilung (von Poisson). Ein Modell, das ein
Hinzufügen von Kugeln nach Ziehung vorsieht, führt zur Polya-Verteilung, einer Verallgemeinerung von Binomial- und Hypergeometrischer Verteilung.
Eigenschaften der Verteilungen
(Die folgenden Bemerkungen gelten auch für stetige Verteilungen), Im Zusammenhang mit
Wahrscheinlichkeitsverteilungen interessieren i. d. R. die folgenden Eigenschaften einer Verteilung:
1. Parameter (die die Gestalt der Verteilung bestimmen) und die hierbei zulässigen Wertebereiche
2. Interpretation der Zufallsvariable X und deren zulässiger Wertebereich
3. Momente der Verteilung sowie Median, Modus etc.
4. Erzeugende Funktionen, die u. a. auch Aufschluß geben über die Ziffern 5 und 6
5. Reproduktivität (vgl. Def. 5.2)
6. Zusammenhänge mit anderen Verteilungen
- eine Verteilung V1 kann z.B. ein Spezialfall einer anderen allgemeineren Verteilung V2
sein (etwa bei einer bestimmten Parameterkonstellation von V2)
- Approximationsmöglichkeiten (vgl. Def. 5.3).
Def. 5.2: Reproduktivität
Sind die Zufallsvariablen X1 , X2 , ..., Xn verteilt nach einer bestimmten Verteilung V und ist
die Summe unabhängiger Zufallsvariablen X1 + X2 + ... + Xn ebenfalls nach V verteilt, so ist
die Verteilung V reproduktiv.
38
Übersicht 5.0: Urnenmodell von einigen1) Verteilungen
Zufallsexperiment mit n Wiederholungen
m = 2 Ausgängen (dichtotom) 2)
n=1
Zweipunktverteilung
n2
m > 2 Ausgängen (polytom)
n  2, ZmZ
Multinomialvert.
n  2, ZoZ
polyhpergeometr. Vert.
mit Zurücklegen (ZmZ)
X = Anzahl der Erfolge3)
ohne Zurücklegen (ZoZ)
X = Anzahl der Erfolge
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
Grenzverteilungen
(asymptot. Verteil.)
Poissonvert.
Normalverteilung (stetig)
1) wenn nichts anderesvermerkt ist: diskrete Verteilungen
2) Bernoulli-Experiment
3) Andere Fragestellungen: GV, NB
GV (geometr. Vert.): Wie groß ist bei unabhängigen Bernoulli-Experimenten die Wahrscheinlichkeit, dass nach X = 0, 1, 2, ... Mißerfolgen erstmals ein Erfolg auftritt? Die Zufallsvariable X
ist die Anzahl der Mißerfolge in einer Folge von Mißerfolgen bis zum ersten und i. d. R. einzigen
Erfolg. Die Anzahl der Versuche ist dann X + 1.
NB (negative Binomialvert.): f(x) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der r-te Erfolg gerade
im (x + r) ten Versuch eintritt. Offenbar ist GV der Spezialfall r = 1.
Def. 5.3: Approximation
Eine Folge von Verteilungen des gleichen Typs V1, V2, ..., Vn, die sich durch die für die Parameter angenommenen Zahlenwerte unterscheiden, kann gegen eine Grenzverteilung G konvergieren, so dass es möglich ist, Wahrscheinlichkeiten nach V in guter Näherung durch meist
leichter zu bestimmende Wahrscheinlichkeiten nach G zu approximieren.
2. Zweipunkt-, Binomial- und hypergeometrische Verteilung
a) Zweipunktverteilung [ Z()=B(1, ) ]
Bei einmaliger Durchführung eines Bernoulli-Experiments kann x = 0 (Mißerfolg) mit
Wahrscheinlichkeit 1 -  oder x = 1 (Erfolg) mit Wahrscheinlichkeit  auftreten. Man spricht
39
von einer Zweipunktverteilung, weil die Zufallsvariable zwei Werte, x1 und x2 annehmen
kann, in diesem speziellen Fall x1 = 0 und x2 = 1.
Es gilt E(X) = und V(X) = (1-)
Abb 5.1:
Bemerkenswert ist dass (wie Abb. 5.1 zeigt)
die Varianz  2  V( X ) im Betrag beschränkt ist. Sie beträgt
1
 0    1
V X  1    
4
und nimmt ihren maximalen Wert an der
Stelle   1 2 an.
Für die Momente der Z()-Verteilung erhält
man ganz allgemein:
0,25
V(X)
0,2
0,15
0,1
0,05

0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
 
0,7
0,8
0,9
1
 
E X    0  1     1     und E X 2  0 2  1     12     ,allgemein E X k   .
Dass alle Anfangsmomente den Wert  annehmen ergibt sich auch aus den Ableitungen der momenterzeugenden Funktion Mx(t). Die Verteilung ist linkssteil ( > 0), wenn x < 1/2 und rechtssteil ( < 0),
wenn   1 2 (also die Wahrscheinlichkeit des Erfolges größer ist als die des Misserfolges).
Übersicht 5.1: Zweipunktverteilung Z() = B(1,)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Verteilungsfunktion
1   für x1  0

f Z  x   
für x 2  1
 0
sonst

für
x0
 0

FZ  x  1   für 0  x  1
 1
für
x 1

Parameter
 (Erfolgswahrscheinlichkeit)
Zufallsvariable X
Anzahl der Erfolge bei n=1 Versuchen. Realisationen x1=0 und x2=1
Urnenmodell
Bernoulli-Experiment
Summe identisch X1  X 2  ...  X n B(n,)
verteilter
Zufallsvariablen
Momente
 
 
Erwartungswert   E X  E X 2 ...  E X n   , Varianz
 2  V( X )   1    , Schiefe   1  2  
andere Verteilungen
erzeugende
Funktionen
Bedeutung
(1  )
Z    B1,  
Wx ( t )   t  1    , M x ( t )  e t  1   , x ( t )  e it  1   
Modell für die Grundgesamtheit bei homograder Fragestellung
40
b) Binomialverteilung [ B(n, ) ]
Eine n-malige unabhängige Wiederholung bei konstantem  des Bernoulli-Experiments (n
mal ZmZ aus einer Urne) führt zur Binomialverteilung. Die Anzahl X der Erfolge kann Werte
zwischen 0 und n annehmen. Sind die unabhängigen Zufallsvariablen X1, ..., Xn identisch
zweipunktverteilt mit , so ist deren Summe X = X1 + ... + Xn binomialverteilt mit den
Parametern n und . Daraus folgt unter anderem auch E(X) =  E(Xi) =  = n. Die BVerteilung ist die Stichprobenverteilung für die Anzahl der Erfolge bei (ZmZ-) Stichproben
vom Umfang n aus einer Z()-verteilten Grundgesamtheit.
Der Begriff Binomialverteilung (oder: binomische Verteilung) nimmt Bezug darauf, dass die
Entwicklung (Expansion) des Binoms (q + p)n zu folgender Gleichung (binomischer Satz)
führt:
 n
 n
 n
 n
q  p n    p 0q n +   pq n-1 +... +   p xq n  x + ... +   p n q 0 ,
 0
 1
 x
 n
 n
worin das allgemeine Glied   p xq n  x die Wahrscheinlichkeitsfunktion der B-Verteilung
 x
mit p =  und q = 1 -  darstellt. Daraus folgt auch (da p + q = 1), dass die Summe der
 n
binomialen Wahrscheinlichkeiten  f B  x  1 ist. Es gibt   Möglichkeiten in einer
 x
Versuchsserie (n Versuche) x Erfolge und damit n - x Misserfolge zu erhalten. Jede dieser
nx
Möglichkeiten hat die Wahrscheinlichkeit  x 1   . Das erklärt die Formel für f(x).
1
Wie bei der Z-Verteilung ist die Schiefe  > 0 (linkssteil), wenn   , also  < 1-  . Auch
2
n
 

 1 Asymmetrie impliziert.
aus f B  x    1   n folgt, dass
1 
 x
Aus f B  x n ,    f B  n  x n , 1    folgt, dass x und n - x sowie  und 1- vertauscht werden
können. So genügt es, die Wahrscheinlichkeiten der B-Verteilung bei gegebenen n für
0    1 2 zu tabellieren (vgl. Tabelle im Anhang, Seite T-1).
f B  x  1
nx 


folgt, dass die
f B  x
x 1 1 
Wahrscheinlichkeiten der B-Verteilung so lange ansteigen (also v > 1), wie x kleiner ist als
  1     n  1   1 ist und dass sie fallen (v < 1), wenn x > (n + 1)  - 1. Die BVerteilung hat, falls (n + 1)  ganzzahlig ist, zwei Modalwerte, nämlich (n + 1)  - 1 und (n +
1) , anderenfalls ist der Modus [(n + 1) ] (Gaußklammer [ ]).
Aus der Rekursionsformel (vgl. Übers. 5.8)
v
Für die faktoriellen Momente gilt:
E*  X, k   n n  1 ...  n  k  1  k , also E*  X,1  E X  n und
E*  X,2  E X X  1  n n  1 2 .
Folglich erhält man für die Varianz:
 2  V X   n  1   .
41
c) Weitere Bemerkungen zur Binomialverteilung
1. Laplace-Verteilung, Spezialfall der Binomialverteilung für   1    1 2
(Der Begriff wird auch für eine stetige Verteilung benutzt.)
 n 1
1
1
f  x n    n ,   n ,

n.
2
2
 x 2
Veranschaulichung: Galtonisches Brett, römischer Brunnen.
2. Verallgemeinerte Binomialverteilung vB(n, p1, p2, .., pn)
Erfolgswahrscheinlichkeiten sind nicht konstant, sondern  i  p i und 1   i  q i (mit i =
1,...,n). Man erhält vB durch Expansion des Produkts
 p1  q1  p 2  q 2  ...  p n  q n  .
Erwartungswert:    p i    i statt n   , Varianz:  2   p i q i .
Binomialverteilung als Spezialfall, p1 = ... pn = .
3. Relativierte Binomialverteilung rB(n, )
Ist X binomialverteilt mit f B   x n,   , dann ist der Anteilswert p 
X
(eine Linearn
transformation von X) relativiert binomialverteilt mit dem Erwartungswert E(p) =  und
1  
 X 1
der Varianz V p  V   2  V X 
sowie der (in Kapitel 8 eine große Rolle
 n n
n
1  
(vgl. Abb. 5.2).
n
Die rB-Verteilung ist die Stichprobenverteilung für den Anteil der Erfolge (die B-Verteilung für die Anzahl der Erfolge) bei Stichproben mit Zurücklegen vom Umfang n.
spielenden) Standardabweichung  p 
Übers. 5.2 nächste Seite
d) Hypergeometrische Verteilung [ H(n, M, N) ]
1. Herleitung
Wird bei dem in Definition 5.1 beschriebenen Urnenmodell n mal ohne Zurücklegen gezogen, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von x Erfolgen nach dem klassischen
Wahrscheinlichkeitsbegriff.
f H  x 
 M
 
 x
Wegen Gl. 2.7d ist
 N  M
 nx 


, 0  x  min(n,M), 0  M  N.
 N
 
 n
42
Übersicht 5.2: Binomialverteilung B(n,) (Bernoulli-Verteilung)*)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
 n  x
nx
   1   
f B  x   x

0

Verteilungsfunktion
x  n
nv
FB  x      v 1   
v  0 v 
Parameter
Zufallsvar. X
n, 
Anzahl der Erfolge bei n Versuchen  0  x  n 
Urnenmodell
Reproduktivität
Bernoulli-Experiment, n-mal Ziehen mit Zurücklegen (ZmZ)
Bei konstantem  ist die Summe unabhängig binomialverteilter
Zufallsvariablen ebenfalls binomialverteilt
1  2
  E( X )  n  ,  2  V( X )  n  1    ,  
n1   
Momente
x  0, 1, ..., n
sonst
andere Verteilungen
relativierte Binomialverteilung
Normalverteilung und Poissonverteilung als Grenzverteilung
Betaverteilung 1.Art
erzeugende
Funktionen
Wx ( t )   t  1    , M x ( t )  e t  1   
Bedeutung
Stichprobenverteilung (homograde Theorie) z.B. Anzahl der
Ausschussstücke in der statistischen Qualitätskontrolle
n
n


n

, x ( t )  e it  1  

n
 M  N - M
 N
    , so daß  f H  x  1.
 n
 x  n-x 
  
x0
Bei einer Grundgesamtheit vom Umfang N sind
 N
   Stichproben vom Umfang n durch ZoZ und
 n
 Nn Stichproben durch ZmZ
 M  N - M 
möglich und gleichwahrscheinlich. Von den Stichproben o.Z. sind   
 von der Art,
 x  n-x 
dass sowohl x Erfolge als auch n - x Mißerfolge "gezogen worden sind" ("günstige Fälle").
Bei dieser Betrachtungsweise wird z.B. jede der M schwarzen Kugeln als eine andere Kugel
als die übrigen schwarzen Kugeln angesehen.
2. Finite multiplier (Endlichkeitskorrektur)
Die Varianz der H-Verteilung ist mit V X  n 1    (N - n) (N -1)  n 1   kleiner
(bei endlichem N) als die Varianz der B-Verteilung. Der Faktor ( N  n ) ( N  1)  1  n N
heißt Endlichkeitskorrektur und strebt mit N   gegen 1. Er ist eine Funktion des
Auswahlsatzes n/N und gilt als vernachlässigbar, wenn n/N < 0,05.
*)
Der Begriff wird auch gebraucht für die Zweipunktverteilung (bzw. dem speziellen Fall x1=0, x2=1 der ZVerteilung).
43
Bei Totalerhebung ist V(X) = 0 und wegen N = n gilt:
1 wenn x  M
f H  x  
0 sonst
was intuitiv verständlich ist.
3. Relativierte hypergeometrische Verteilung rH(n, M, N)
Ist die Anzahl X der Erfolge hypergeometrisch verteilt, dann ist der Anteil der Erfolge
p  X n relativiert hypergeometrisch verteilt mit dem Erwartungswert
 1  
Nn 1


V X  .
E(p) =  und der Varianz V p 
n
N 1 n2
Die rH-Verteilung ist die Stichprobenverteilung für den Anteil der Erfolge (die H-Verteilung für die Anzahl der Erfolge) bei Stichproben ohne Zurücklegen vom Umfang n
aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N.
Die Varianz von p nimmt mit wachsendem N ab und ist bei N = 1 gleich der Varianz von X
(der hypergeometrischen Verteilung) und bei n = N ist sie Null (vgl. Abb. 5.2).
Abb. 5.2: Varianzen der Binomialverteilung und der
Hypergeometrischen Verteilung in Abhängigkeit von n

Rechenbeispiel:
1
und N  6,
3
a) Binomialverteilung
0,88
3K
0,66
2K
0,44
2
 0,222  K .
9
b) Relativierte Binomialv. (anderer Maßstab)
V(X)
4K
1    
V(P)
K
0,8K
0,6K
0,4K
1K
0,22
0,2K
n
0
0
1
2
3
1
c) Hypergeometrische Verteilung
V(X)
n
0
4
4
5
6
V(P)
1,8K
K
n
0
1
3
d) Relativierte hypergeometrische Verteilung
K
0
2
2
3
N/2
4
5
6
N
n
0
0
1
2
3
4
5
6
44
Zahlenangaben zu Abb. c und d
n
V(X)
V(p)
0
0

1
2
K 1,6K < 2K
0,4 K < K/2
3
1,8K < 3K
0,2 K < K/3
4
1,6K < 4K
0,1 K < K/4
5
K < 5K
0,04 K < K/5
6
0 < 6K
0 < K/6
Bei der hypergeometrischen Verteilung ergeben sich also jeweils kleinere Varianzen als bei der
Binomialverteilung.
Übersicht 5.3: Hypergeometrische Verteilung H(n, M, N)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Symmetrie
 M  N  M
  

 x  nx 
f H  x 
 N
 
 n
für x  0, 1, ...
f  x n , M , N   f  x M , n , N  , die Parameter M und n sind vertauschbar
M

n, M, N mit 0  n  N und 0  M  N    

N
Zufallsvariable X X ist die Anzahl der Erfolge bei n mal Ziehen ohne Zurücklegen (ZoZ)
mit max 0, n   N  M   x  min  n , M 
Parameter
Urnenmodell
wie B(n, ) aber ZoZ statt ZmZ
Momente*)
 = E(X) = n   ,
andere Verteil.
Grenzübergang
Bedeutung
relativierte Hypergeometrische Verteilung
Mit N   bzw. n  N strebt HV gegen die. B(n, )-Verteilung
Stichprobenverteilung homograder Fall bei Ziehen ohne Zurücklegen
Nn
,
N 1
 N  k !
 N  2n 1  2 , E* ( X, k )  M !n ! 

N ! M  k !  n  k !
 N  2
 2  V( X )  n  1  
3. Geometrische Verteilung und negative Binomialverteilung
a) Wahrscheinlichkeiten für Versuchsfolgen
1. Folge von x Misserfolgen
Urnenmodell (analog: Roulette): die Wahrscheinlichkeit für eine erste schwarze Kugel
(Erfolg) nach x roten Kugeln (Misserfolg) bei konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit  (also
x
ZmZ) ist 1     f GV  x (Wahrscheinlichkeitsverteilung der geometr. Verteilung GV).
Bedeutung (Interpretation) von X: Wartezeit bis zum Eintritt des Erfolges.
*)Bei
übereinstimmenden n und p haben Binomial- und hypergeometrische Verteilung den gleichen Erwartungswert, die Varianzen unterscheiden sich um den Korrekturfaktor (finite multiplier, Endlichkeitskorrektur) (N-n)/(N-1), der für N  gegen 1 strebt.
45
2. Folge von x Misserfolgen und r Erfolgen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Serie von m-1 Versuchen r-1 Erfolge auftreten
 m  1 r 1 x
und x Mißerfolge (so dass m=x+r) ist: 
 p q , wenn p =  die konstante
 r 1
Erfolgswahrscheinlichkeit ist und q=1-. Sollte die Serie von m Versuchen abschließen
mit einem Erfolg (dem r-ten Erfolg) so ist die Wahrscheinlichkeit hierfür:
 m  1 r x
f NB  x  
gemäß der NB-Verteilung (= negative Binomialverteilung).
p q
 r 1
 x
Für r=1 erhält man wegen m=x+1 hierfür f NB  x    pq x  f GV ( x ) , die Wahrschein 0
lichkeitsfunktion der GV als Spezialfall.
b) alternative Formulierung für GV und NBV
Die Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolges nach x*  1 Mißerfolgen, also im x*-ten Versuch ist
x* 1
f x*  1   
(vgl. Übersicht 5.4a). X* ist die Anzahl der Versuche, X dagegen die Anzahl
GV
 
der Mißerfolge und es gilt X*=X+1 (Lineartransformation). Zählt man wie hier als Zufallsvariable die
Anzahl der Versuche, so besteht ein Zusammenhang zwischen der (so definierten) GV und der
Exponentialverteilung- und Poissonverteilung. Entsprechend ist X* in der alternativen Formulierung
der negativen Binomialverteilung (Übers. 5.5 a) definiert als Anzahl der Versuche bis zum r-ten Erfolg
ausschließlich (d.h. mit dem r-ten Erfolg im X*-ten Versuch).
Übersicht 5.4: Geometrische Verteilung GV()=NB(1,)
Wahrscheinlichkeitsfunktion p= , q=1-
f GV  x  1     pq x
Wahrscheinlichkeiten bilden eine geometrische Reihe
Verteilungsfunktion
FGV  x  1  1  
Parameter
Zufallsvariable X
(Misserfolge)
Urnenmodell
Summe ident. vert. ZVn
 = p (Erfolgswahrscheinlichkeit)
Anzahl der Misserfolge bis zum ersten Erfolg (X*=X+1=
Anzahl der Versuche), x  IN
wie B(n,); Bernoulli-Experiment beliebig oft wiederholt (ZmZ)
X1+ ...+Xr~NB(r,)
1    q ,  2  V( X )  1    q
  E( X ) 

p
2
p2
Momente
x
1  q 

q
andere Verteilungen
erzeugende Funktionen:
Bedeutung
,
x 1
 1  q x1
 q
E ( X, k )  k ! 
 p
k
*
Spezialfall von NB wenn r = 1. Für   0,1 ist X*  X  1 näherungsweise exponentialverteilt mit   

p
p

, M x (t) 

Wx ( t ) 

t
1  (1   )t 1  qt
1  (1   )e
1  qe t
p

x ( t ) 

it
1  (1   )e
1  qe it
Wartezeiten
46
Übersicht 5.4a: Geometrische Verteilung (alternative Formulierung) GV*()
 
 x   1  1  
Wahrscheinlichkeitsfunktion
f GV* x*  1  
Verteilungsfunktion
FGV *
Zufallsvariable X*=X+1
Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg
1    V X
1
 *  E( X * )  , V( X * ) 
 

2
Momente
x* 1
*
x*

p x*
q
q
 1 qx
*
Übersicht 5.5: Negative Binomialverteilung NB(,r) (Pascal-Verteilung)
Wahrscheinlichkeitsfkt.1)
(p=  , q = 1-)
Parameter
Zufallsvariable X2)
Urnenmodell
Reproduktivität
Momente
  r
 x  r  1 r x
x
f NB  x    p r  q  = 
 p q oder mit m  x  r
 x
 r 1 
 m  1 r m  r  m  1 r x
f NB  x  

p q
p q
 r 1
 r 1
 = p und r (r = 1, 2, ...)
Anzahl der Mißerfolge bei m=x+r Versuchen und r Erfolgen x  IN
wie B(n,)=B(n,p)
X1 ~ NB(r1,) und X2 ~ NB(r2,), dann (X1+X2) ~ NB(r1+r2,)
rq
rq
1  q  , E( X 2 )  rq 1  rq 
,  2  V( X )  2 ,  
  E( X ) 
p
p
rq
p2
andere Verteilungen
Spezialfall von GV wenn r = 1. Wenn r   , q 0 und rq/p =  geht
NB in Poissonverteilung P() über
erzeugende
Funktionen:
 p 
 p 



,
Wx ( t )  
M
(
t
)

x
t
1 q 
 1  qe it 
r
r


, x ( t )   p 
it
 1  qe 
r
1) Die erste Art, die Wahrscheinlichkeitsfunktion darzustellen erklärt den Namen "negative Binomialverteilung".
2) Wegen X ist auch M=X+r [mit der Realisation m] eine ZV.
Übersicht 5.5a: Negative Binomialverteilung (alternative Formulierung) NB*(r,)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
 x*  1 r x*  r
f NB* x*  
p q
 r 1 
Momente
E( X * ) 
 
r
 E X  r
p
V(X* )  V ( X )  rq / p
4. Poissonverteilung (P())
a) Eigenschaften und Bedeutung
Diskrete Verteilung (X=0, 1, 2, ...) für "seltene Ereignisse" (Erfolgswahrscheinlichkeit 
gering ). Gleiches Urnenmodell und gleiche Fragestellung wie B(n,). Nur ein Parameter ,
der zugleich  und 2 darstellt. Man gewinnt die P()-Verteilung als asymptotische
47
Verteilung einer Folge von Binomialverteilungen B1(n1, 1), B2(n2, 2), ... , wenn nj > nj-1
und j < j-1 und n j  j  n j1 j1    const.. Dass sich so viele empirische Häufigkeitsverteilungen in guter Näherung durch die P()-Verteilung darstellen lassen, ist mit dem
Poisson-Prozess zu erklären. Die Anzahl X der Erfolge ist naturgemäß diskret, die Wartezeit
zwischen den "Erfolgen" (z.B. den Ausfällen einer Maschine) kann diskret (Anzahl der
Einheitsintervalle) oder stetig gemessen werden. Ist X poissonverteilt, so ist die Wartezeit
geometrisch verteilt (GV*, Zeit diskret) bzw. exponentialverteilt (E(), Zeit stetig). Die
Poissonverteilung ist reproduktiv. Ferner gilt: Ist X ~ P() dann ist mit der Konstanten c cX
 P(c).
b) Herleitung
1) Als Grenzverteilung der Binomialverteilung:
Bei konstantem  = n geht die Binomialverteilung für n (und somit 0) in die
Poissonverteilung über.
2) Poisson-Prozess (zeitlich):
Die Häufigkeit des Eintretens von X Ereignissen in einem vorgegebenen Zeitintervall T ist
(angenähert) poissonverteilt mit  als mittlere Ereignishäufigkeit, wenn
 T in Intervalle der Länge t zerlegt wird und in jedem Intervall ein Versuch
stattfindet, wobei X = 0 oder X = 1 Erfolg möglich ist mit den Wahrscheinlichkeiten
P0  t   1  t und P1  t   t . Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Erfolges ist
proportional zur Länge t des Intervalls und nur von der Länge, nicht von der Lage des
Intervalls abhängig (Stationarität), und
 die Versuchsausgänge in den Intervallen unabhängig sind, d.h. die Wahrscheinlichkeit
für 0 Erfolge im Intervall t + t ist
P0  t  t   P0  t   P0  t  oder bei X = 1 Erfolg erhält man:
P1  t  t   P0  t   P1  t   P1  t   P0  t  usw.
Mit t0 erhält man Differentialgleichungen und für den allgemeinen Fall die
Gleichung
Px
 t   Px  t   Px 1  t deren Lösung
Px  t 
x
t  e  t


ist.
x!
Das ist aber beim Einheitsintervall t = 1 die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung. Im Poissonprozeß ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses proportional zur Länge des Zeitintervalls und  ist der Proportionalitätsfaktor.
3) Einfache Erklärung für fP(x=0):
Für x=0 Erfolge gilt, wenn das Einheitsintervall in n sich nicht überschneidende
Teilintervalle gleicher Länge 1/n aufgeteilt wird, wobei in jedem Intervall das Ereignis mit
der Wahrscheinlichkeit 1    1   n nicht eintritt, so tritt das Ereignis im ganzen
Zeitraum mit der Wahrscheinlichkeit 1   nicht auf.
n
Das Zahlenergebnis ist ähnlich f P  0  e  , weil lim 1   n   e   , wenn n hinreichend
n
n 
groß ist (Aufgabe 5.4.4 bis 6)
48
c) Zusammenhang mit der Exponentialverteilung
Ist die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten eines Erfolges in jedem Teilintervall 1  ,
so ist die Wahrscheinlichkeit des Nichtauftretens in xn Intervallen der Länge 1/n also in
einem Gesamtintervall der Länge x, unter den Voraussetzungen des Poissonprozesses:
1  / n  nx  P X  x nach der GV*. Wegen lim 1   / n  nx  e  x ist die Funktion
F x  1  P X  x  1  e
n 
 x
, was aber die Verteilungsfunktion der E()-Verteilung ist.
Übersicht 5.6: Poissonverteilung P()
x - 
e , x  IN
x!
Wahrscheinlichkeitsfunktion
f P  x 
Verteilungsfunktion
F x   f  v 
x
v0
Parameter
Urnenmodell
Reproduktivität
Momente
>0
wie B(n,) (Grenzverteilung von B(n,) bei n, 0 und
=n=const.)
Die Summe unabhängig poissonverteilter ZVn mit 1, 2, ..., k ist
wieder poissonvert. mit  = 1+2+...+k
1
0
 = E(X) =  , E*(X,k) = k , 2 = V(X) =  ,  =

erzeugende Funktionen Wx(t) = exp[(t-1)], Mx(t) = exp[(et-1)], x(t) = exp[(eit-1)]
Übersicht 5.7: Anpassung einer Verteilung an eine andere Verteilung (verschiedene, in der
Literatur erwähnte Faustregeln) Stochastische Konvergenz von Verteilungen
kann approximiert
wenn
werden mit der
Poissonvert. (P)
Binomialvert.
n, 0, n =  = const.;gute Approximation
(B)
bereits für n  100,   0,05 oder n  5, n  50,  <
0,1
Normalvert. (N)
n(1-)  9
n
hypergeom.
Binomialvert (B) N  2000,  0, 01 oder ,(1-) < 0,05
Vert.(H)
N
n
M
Poissonvert. (P)
 0, 1, N groß ,  
klein
N
N
Normalvert. (N)
n  4
Poissonvert. (P) Normalvert. (N)
9
Verteilung
49
Übersicht 5.8: Rekursionsformeln
X  X+1
X  X+1
a) Binomialverteilung
nx 
f  x  1 n,  
f  x n, 
x 1 1 
b) Poissonverteilung

f  x  1 
f  x 
x 1
c) Hypergeometrische Verteilung
X  X+1
f  x  1 n, M , N  
nx

x 1
M  M+1
f  x n, M  1, N  
 N  M  n  x M  1  f x n, M , N


 N  M  M  1  x
N  N+1
f  x n, M , N  1 
 N  1  M  N  1  n   f x n, M , N


 N  1  M  n  x N  1
X  X+1
d) geometrische Verteilung
f  x  1    1     f  x  q  f  x
X  X+1
Mx
 f  x n, M, N 
 N  n    M  x  1
e) negative Binomialverteilung
xr
f  x  1 
 q  f  x
x 1
Aus den Rekursionsformeln folgt, dass alle Verteilungen eingipflig sind (wenn man davon absieht,
dass zwei benachbarte Werte x und x+1 Modalwerte sein können), einige Verteilungen sind stets (die
GV) andere unter bestimmten Bedingungen (etwa NB: r  1) sofort (ab X=0) monoton fallend.
Übersicht 5.9: Weitere Zusammenhänge zwischen Verteilungen diskreter
eindimensionaler Zufallsvariablen
a) Größenbeziehung zwischen Erwartungswert und Varianz und Schiefe
Verteilung
geometr. (GV) u. negat. Binom. (NB).
es gilt
V(X) > E(X)
Poissonverteilung (P)
V(X) = E(X)
Zweipunkt (Z), Binomial (B), u. hypergeometrische Verteilung (H)
V(X) < E(X)
*)
Schiefe 
 > 0 immer linkssteil*)
1

 0 immer linkssteil

 > 0 wenn  < (1-)
 < 0 wenn  > (1-)
mit abnehmendem p= (zunehmendem q=1-) und zunehmendem .
50
b) Reproduktivität (das Zeichen  bedeutet: ist verteilt. Die Zusammenhänge gelten auch bei
der Summe von n>2 ZVn.
X1, X2 sind verteilt:
X1+X2
Z
X1 ~ Z(), X2 ~ Z()
~ B(2,)
B
X1 ~ B (n1, ), X2 ~ B (n2, )
~ B (n1+n2, )
H
X1 ~ H , X2 ~ H
GV
P
reproduktiv
nein
ja
nein
X1 ~ GV (), X2 ~ GV()
~ NB (r=2, )
X1 ~ P(1), X2 ~ P(2)
~ P(1+2)
nein
ja
c) Welche Werte kann die Zufallsvariable X annehmen?
Alle natürlichen Zahlen X=0, 1, ... bei GV, NB und P natürl. Zahlen bis zu einem
Maximalwert bei B und H.
5. Weitere Verteilungen eindimensionaler diskreter Zufallsvariablen
Die Polya-Verteilung PL(n,S,N,c) ist eine Verallgemeinerung der B- und H-Verteilung. Urnenmodell: S (oder M) schwarze Kugeln (Erfolg), R rote Kugeln, N = S + R. Nach Ziehung
einer Kugel werden c + 1 Kugeln des gleichen Typs (schwarz oder rot) hinzugelegt.
6. Polytome Versuche (mehrdimensionale diskrete
Verteilungen)
Urnenmodell: N Kugeln, davon M1 = schwarze, M2 = weiße, M3 = rote Kugeln ... usw., so
dass  M j  N ,  j  1, 2 , ..., k  und  j  M j / N . Wie man sieht liegt eine k-1-
dimensionale
Zufallsvariable
vor:
ist
die
P X1  x1 , X 2  x 2 , ..., X k  x k 
Wahrscheinlichkeit x1 schwarze und x2 weiße Kugeln usw. zu ziehen (k-1 Dimensionen, da
die k-te Dimension durch 1 + 2 + ... + k = 1 festliegt).
1) Multinomialverteilung (= Polynomialverteilung)
Ziehen mit Zurücklegen:
Wahrscheinlichkeit, bei n Zügen genau x1, x2, ..., xk Kugeln des Typs 1, 2, ..., k zu ziehen
(n = xi), dargestellt durch den Vektor x´= [x1....xk]

 x1 x 2
n!
x
f MV  x  
 1  2 ...  k k . Der Klammerausdruck ist der
 x1 !x 2 ! ... x k !
Multinomialkoeffizient.
Man erhält fMV(x) durch Expansion des Multinoms (1 + 2 + ... k)n .
51
2) Polyhypergeometrische Verteilung
Urnenmodell wie Multinomialverteilung, aber Ziehen ohne Zurücklegen
 M1  M 2 
Mk
  
 ... 

 x1   x 2 
 xk 
f  x 
.
 N
 
 n
3) Multiple Poissonverteilung
x 1 x 2 ... xkk
f  x  1 2
exp 1   2 ....  k 
x1 ! x 2 ! ... x k !
als Grenzverteilung der Multinomialverteilung


Kapitel 6: Spezielle stetige Verteilungen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Rechteckverteilung und andere lineare Verteilungen
Normalverteilung (univariat)
Exponentialverteilung
Funktionen von normalverteilten Zufallsvariablen (2, t, F)
Modelle für Einkommensverteilungen
Exponentialfamilie, Zusammenhänge zwischen stetigen Vert.
Bivariate Normalverteilung
51
52
54
55
60
61
61
1. Rechteckverteilung und andere lineare Verteilungen
a) Rechteckverteilung R(a, b) (stetige Gleichverteilung)
Eine Zufallsvariable X ist gleichmäßig (gleich-) verteilt über dem Intervall [a,b], wenn fR(x)
1
ist. Für die zentralen Momente gilt dann
in diesem Intervall konstant
ba
 b  a  k 1  a  b  k 1 
1
k
E  X   
  
  , so dass

 2  
 k  1 b  a  2 

 b  a  k 1

falls k gerade
k
E  X      2  k  1

falls k ungerade
0





Spezialfall: Rechteckverteilung im Intervall [0,1]
Dieser Spezialfall der Rechteckverteilung R(0,1), also a = 0, b = 1, ist aus folgendem Grunde
von besonderem Interesse: Bildet man eine Zufallsvariable Z, so dass z = F(x), so besitzt Z
eine R(0,1) Verteilung, denn 0  Z  1 wegen 0  F(x)  1 bei beliebiger stetiger Verteilung
dF 1  z
dx
*

1
.
von X und nach Gl. (4.26) gilt: f  z  f F  z
 f F 1  z
dz
dz




52
b) Abschnittsweise lineare Dichtefunktion; Beispiel: Dreiecksverteilung
 2a 2
 x für a  x  c

 m m
 2b 2
 x
für c  x  b
f  x  
k
k


0
sonst


f(x)
a
bei m = (b-a)(c-a) und k = (b-a)(b-c)
c
b
x
Übersicht 6.1: Rechteckverteilung R(a, b)
Wahrscheinlichkeitsfunktion (Dichte)
Verteilungsfunktion
Parameter
 1
 b  a für a  x  b

f R  x  
 0
sonst

 0
für
xa
x  a
FR  x  
für a  x  b
b  a
für
xb
 1
a, b  IR
b  a
ba
,  2  V( X )  
2
12
2
Momente
  E( X ) 
erzeugende Funktionen
M x (t) 
Bedeutung
Erzeugung von Zufallszahlen; eine Zufallsvariable Z=F(x)
wobei X beliebig stetig verteilt sein kann ist R[0,1]-verteilt
ibt
iat
e bt  e at
, x ( t )  e  e
ba
 b  ait
2. Normalverteilung
a) Allgemeine Normalverteilung N(, 2)
Die Dichtefunktion hat zwei Parameter  und 2
(6.1)
1  x 

 
 
1
f  x 
e 2
 2
2
-  < x <  
Sie ist symmetrisch um  = E(X), eingipflig (Modus: ) und hat zwei Wendepunkte bei x = 
- und x = +. Für die Verteilungsfunktion F(x) gilt:
x
 1  v   2
1
1
F x 
exp
  2     dv , F   2 und
 2 0


(6.2)
für jedes c: F( - c)=1-F( + c), so dass es ausreicht, sie für die Werte x  c zu tabellieren.
53
Reproduktivität (Additionstheorem)


Die Summe von stochastisch unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen N  i ,  2i ist


wiederum normalverteilt mit N  i ,  2i . Die Linearkombination b1x1+ ... + bnxn ist


N b i  i , b 2i  2i verteilt.
b) Standardnormalverteilung N(0,1)
Jede Zufallsvariable X mit endlichem Mittelwert E(X) =  und endlicher Varianz E(X - )2 =
X
in eine Zufallsgröße Z mit E(Z) = 0 und Var (Z) =
2 kann durch Transformation Z 

E(Z2) = 1 überführt werden.
Wichtige Signifikanzschranken und Wahrscheinlichkeiten
a) z-Werte für gegebene Wkt. 1 - 
b) Wkt. für gegebenes z
P=1- einseitig F(z) zweiseitig (z)
90%
95%
99%
99,9%
 1,6449
 1,9600
 2,5758
 3,2910
1,2816
1,6449
2,3263
3,0902
z
F(z)
(z)
0
1
2
3
0,5000
0,8413
0,9772
0,9987
0,0000
0,6827
0,9545
0,9973
Übersicht 6.2: Normalverteilung N(, 2)
 1  x   2
1
- < x < +
f N  x 
exp  
 



2
 2


X
wenn X ~ N(, 2) dann ist Z 
~ N(0, 1)

(Standardnormalverteilung). Die Verteilungsfunktion der
N(0,1)-Verteilung ist tabelliert (Tab. auf Seite T-2)
 (zugleich E(X)) und 2 (zugleich V(X));   IR ,  > 0
E(X) =  (zugl. Median, Modus), V(X) = 2 ,  = 0
Wahrscheinlichkeitsfunktion (Dichte)
Verteilungsfunktion
(Tabellierung)
Parameter
Momente
erzeugende Funktionen
1
1




M x ( t )  exp t   2 t 2  , x ( t )  exp it   2 t 2 




2
2
Bedeutung
Grenzverteilung (asymptotische Verteilung) der Summe (und
des Durchschnitts) von ZVn .
Dichtefunktion:
(6.3)
f  z 
z2

1
e 2
2
   z  
54
Verteilungsfunktion F(z) = P(Z  z) und symmetrische Intervallwahrscheinlichkeiten
  z  P  z  Z  z
 (z)
F (z)
0
-z
+z
2 F z  1
Es gilt F(-z) = 1- F(z) und   z  
1  2F z
0
+z
 z  0
 z  0
Die Tabelle  (z) ist streng genommen überflüssig. Sie kann aber eine Erleichterung der
konkreten Berechnung bieten.
Approximation einer diskreten Verteilung durch N(0,1)
1
1

Die Zufallsvariable X etwa x = 0, 1, 2, ... werden Intervalle  x  ; x   zugeordnet und für
2
2

2
a  X  b erhält man bei E(X) = , V(X) =  die folgenden z-Werte
1
1
a
b
2
2
und
za 
zb 


Momente
2
4
6
Aus der momenterzeugenden Funktion M  t  exp 1 t 2   1  t  t  t  ... folgt,
x
2 
2 ! 4  2 ! 8  3!
dass alle ungeraden Momente der Standardnormalverteilung verschwinden E(X) = E(X3) =
E(X5) = ... = 0 und für die geraden Momente gilt
E(Xk) = (k-1) E(Xk-2) also E(X2) = 1, E(X4) = 3, E(X6) = 53, E(X8) = 753 usw.
3. Exponentialverteilung E() und Verallgemeinerungen der
E()-Verteilung
Die Exponentialverteilung E() beschreibt Wartezeiten zwischen Signalen, Ausfällen von Maschinen
usw., die einem Poisson-Prozess folgen. Sie ist das stetige Analogon zur geometrischen Verteilung.
Die Summe von E() verteilten Zufallsvariablen ist Erlang-verteilt [EL(n, )]. Die Verteilungen E()
und EL(n,) kann man auch als Spezialfälle der Gamma-Verteilung betrachten (vgl. Übers. 6.4 und
6.10 für Zusammenhänge zwischen der Poissonverteilung und den Verteilungen GV und E einerseits
und NB und EL andererseits). Eine andere Verallgemeinerung der E()-Vert. ist die Weibull-Verteilung [W(n, )]. Bei bestimmten Annahmen über die Sterbewahrscheinlichkeit bzw. über die
Ausfallwahrscheinlichkeit a(t) eines Werkstücks erhält man für die Wahrscheinlichkeit F(t) bis t
auszufallen (und damit für die Abgangsordnung 1-F(t) einer Sterbetafel) entweder die E()-Vert. (a(t)
als Exponentialfunktion) oder die Weibull-Verteilung. Die W(n, )-Vert. sollte nicht verwechselt
werden mit der Weibull-Gamma-Verteilung (WG-Vert.). Ein Sonderfall der WG-Vert. ist die ParetoVerteilung.
55
Übersicht 6.3: Exponentialverteilung E()
Wahrscheinlichkeitsfunktion Dichte
Verteilungsfunktion
Parameter
Eigenschaften
Momente
e  x für x  0
f E  x  
sonst
 0
1  e  x
für x  0
F x   
sonst
 0
 mit  > 0
nicht reproduktiv  EL-Verteilung
r!
1
1
  E( X )  , E( X r )  r , Varianz  2  V( X )  2



ln
2
~
Schiefe  = 2, Median 

andere Verteilungen
Erlang-Verteilung EL: E() = EL(1,)¸
Spezialfall Gamma-Verteilung  = 1,   1 
Spezialfall der Weibull-Vert. E() = W (1,)
erzeugende
Funktionen
Bedeutung


, t   , x ( t ) 
  it
t
Wartezeiten, Lebensdauer, Abgangsordnung (Sterbetafel)
M x (t) 
Übersicht 6.4: Erlangverteilung EL(n,)
e

für x > 0
 n  1 !
Wahrscheinlichkeitsfunktion (Dichte)
f  x  x
Parameter
, n (mit n  IN und  > 0)
n
n
Erwartungswert E( X )  , Varianz V( X )  2


Verallgemeinerung der Exponentialverteilung
E() = EL(1, ), Spezialfall der Gammaverteilung
1

EL n,    G   n,   


Momente
andere Verteilungen
n 1 n
erzeugende
Funktionen x(t)
  
x ( t )  

   it 
Bedeutung
d.h. die Summe unabhängig identisch E() verteilter Variablen X1,
.., Xn ist EL verteilt
Wartezeiten, Bedienungstheorie
n
4. Funktionen von normalverteilten Zufallsvariablen
Eine lineare Transformation einer N(0, 1) verteilten ZV ist ebenfalls normalverteilt. Anders
verhält es sich bei nichtlinearen Funktionen einer [ZX] oder mehrerer [etwa Z12  Z22  X ]
56
standardnormalverteilter Zufallsvariablen1). Einiger solcher Funktionen spielen für die
Schätz- und Testtheorie eine große Rolle. Sie werden in diesem Abschnitt behandelt.
a) Die 2 -Verteilung
Sind n Zufallsvariablen Z1, Z2, ..., Zn unabhängig identisch standardnormalverteilt, so ist
die ZV X  Z12  Z 22  ...  Z 2n   Z 2i Chi-Quadrat-verteilt mit n "Freiheitsgraden"
(d.f. = degrees of freedom) X ~  2n .
Die 2-Verteilung ist stetig, nur für x > 0 definiert, für kleines n linkssteil und sie strebt mit
wachsendem n gegen die Normalverteilung mit  = n und 2 = 2n. Sie ist reproduktiv
(Theorem von Cochran): Sind Xi ~  2n i , dann ist Xi ~  2n (mit n =  ni i = 1, 2, .., m).
Anwendungen
1. Bei Stichproben aus normalverteilter Grundgesamtheit Xi ~ N(, 2) (i = 1, 2, ..., n) ist
2
1
2
 X  
  i    Z 2i  2   X i    ~  2n .


i 1
n
2. Wird  durch x ersetzt, s
i  1,
2, ..., n so gilt
2
 X  x
  i  ~  2n-1 .

3. Bei einfacher linearer Regression ist die geschätzte Störgröße u i  y i  y i , i = 1,...,n und
U ~ N(0, 2), so dass gilt, weil zwei Parameter ,  zu schätzen sind (Absolutglied  und
u 2
1
Steigung  der Regressionsgerade):  2  2  u 2 ~  2n  2 ;


und entsprechend bei multipler linearer Regression mit p-1 Regressoren X1, X2, ..., Xp-1
u 2
1
und einem Absolutglied (dummy regressor X0)  2  2  u 2 ~  2n  p ,


n
während für die wahren Residuen gilt

i 1
u 2i
~  2n
2

.
b) Die t-Verteilung
Wenn X ~ N(0, 1) und Y ~  2n wobei X und Y unabhängig sind, dann ist t  X / Y / n ~ tn
(t-verteilt mit n Freiheitsgraden).
Die t-Verteilung (Student-Verteilung) ist stetig, hat einen Parameter n (Anzahl der
Freiheitsgrade) und hat eine ähnliche Gestalt wie die Normalverteilung mit um so größerer
Streuung (wegen des Nenners Y / n ), je kleiner n ist. Mit n > 30, zumindest ab n  40 ist die
t-Verteilung durch N(0, 1) bereits gut approximierbar.
1)
Eine andere nichtlineare Transformation von z ist x = ez (also z = ln (x)). Vgl. Logarithmische
Normalverteilung. Oder: Wenn Z1 und Z2 normalverteilt sind N(0, 2), dann ist X = Z1/Z2 Cauchy-verteilt
C( ,0).
57
Anwendungen
X
~ N(0, 1) dann ist die "quasistandardisierte" Variable
1. Wenn Z 

n
X X
1
1
2
2
~ tn-1 mit s 2    x i  x  und  2 

Z* 
  x i  x .
s

n
n 1
n 1
n
2. Eine entsprechende "Quasistandardisierung" liegt bei der Schätzung eines Regressionsn
2
koeffizienten  durch   b vor (z.B. bei einfacher Regression) mit  2b   2 /   x i  x 
i 1
als Standardabweichung der Stichprobenverteilung (Kap. 7, 8) des Regressionskoeffizienten b (Steigung der Regressionsgeraden).
3. Sind x1 , x2 und s12 , s22 Mittelwerte und Varianzen von Stichproben des Umfangs n1 und n2
aus normalverteilten Grundgesamtheiten (mit identisch N(, 2)), dann ist
x1  x 2
t
(vgl. Gl. 9.16)
~ t n1  n 2  2
(6.4)
n 1s12  n 2 s 22  1
1
  
n1  n 2  2  n1 n 2 
c) Die F-Verteilung
Sind X ~  2m und Y ~  2n unabhängig verteilt, so ist die Zufallsvariable F   X / m  / Y / n 
F-verteilt mit m und n Freiheitsgraden.
Die F-Verteilung ist eine stetige Verteilung mit zwei Parametern m und n und sie ist wichtig
für den Test auf Gleichheit zweier Varianzen und zum Testen von Korrelations- und
Regressionskoeffizienten sowie für die Varianzanalyse.
Anwendungen
1. Sind die Zufallsvariablen X1 und X2 unabhängig normalverteilt N(i, 2) (i = 1, 2), so ist
der Quotient der Stichprobenvarianzen (mit den Mittelwerten x1 und x2 und den Stichprobenumfängen n1 = m + 1 und n2 = n + 1)
 12
n1s12 n 2  1

~ Fm,n
(mit s12  s22 ) .
 22 n 2 s22 n1 - 1
2. In einer linearen Regression mit p Regressoren (Absolutglied mitgezählt) wenn der Reb
gressionskoeffizient  durch b geschätzt wird, ist t 
~ tn-p (mit b als Standardb
abweichung der Stichprobenverteilung von b =  , in Abhängigkeit von 2, der wahren
Varianz der Störgröße), dann ist t 2 ~ Fp, n-p , wenn in b die Varianz 2 ersetzt ist durch
 2   u 2 / ( n  p ) (Varianzschätzer).
X
3. Ist X ~ F(m,n) dann ist Z 
~ B1 (, ) (Beta-Verteilung 1. Art) mit =m/2 und =n/2)
1  X
58
 
2
Übersicht 6.5: 2-Verteilung  n
x

1
m

1
2
 m
X
e
 2   m
f  x  

0


Wahrscheinlichkeitsfunktion
(Dichtefunktion)
x>0
für
x>0
für
x0
bei m = n/2 und  p, p > 0 die Gammafunktion (vgl. Kap.2)
n = Anzahl der Freiheitsgrade, n  IN
Parameter
E(X) =  = n
Momente
 
E Xk
V(X) = 2 = 2n

2 2
(linkssteil)
n
n 
 
   k  2  
 ; Modus: n - 2 wenn n > 2
 2k 
  n  
  

 2 
andere Verteilungen
Grenzübergang zu
N(n, 2n)
erzeugende Funktionen
Spezialfall: Gamma-Verteilung G(, ) = G  n , 2
2 
Bedeutung
Konfidenzintervall und Test von Varianzen, Regressions- und
Korrelationsanalyse, Anpassungs- und Unabhängigkeitstests
wenn X1, X2, ~  2ni dann  Xi ~  2n mit n =  ni
Reproduktivität
x ( t )  1  2it 

n
2
Übersicht 6.6: t-Verteilung (tn)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
(Dichtefunktion)
-  > x< + 
Parameter
Momente
f  x 
 n  1
 n 1


2  2

 2 
x 
 1  
n
 n

n   
 2
n = Anzahl der Freiheitsgrade, n  IN
E(X) = 0 (alle ungeraden Momente: 0) wenn n  2
n
wenn n  3 ;  = 0 (symmetrisch) , wenn n  4
V(X) =
n2
 
E Xk 
 2k  1 !!  n  2k  2 !!
 n - 2 !!
(gerade Anfangsmomente; 2k  n-1), Modus: n - 2 wenn n > 2
andere Verteilungen
Bedeutung
bei n = 1 Cauchy-Verteilung
mit n   Übergang zu N (0, 1)
Konfidenzintervalle und Tests bei Mittel- und Anteilswerten sowie bei
Regressionskoeffizienten
59
Übersicht 6.7: F-Verteilung F (m, n)
 m + n  m

  
 2   n
Wahrscheinlichkeitsfu
nktion
f  x 
(Dichtefunktion)
x>0
m
2
m
x2
m 
 m  n 
      1  x
 2   2 
n 
n
(wenn n > 2)
E(X) =
n2
Momente
V(X) =
2n 2  m  n  2
m n  2  n  4
2
1
 mn 
2
(wenn n > 4)

m
 n
   k    k
2
 2
 ; Modus n (m  2) wenn m  2
E Xk  
m(n  2)
m n
  
 2  2
n   dann F   2m
Vergleich von Varianzen, Linearitätstest bei Regressionsanalyse,
Varianz- und Kovarianzanalyse
 
Grenzübergänge
Bedeutung
Übersicht 6.8: Zusammenhänge zwischen 2, t und FVerteilung und Anwendungen der Verteilungen
a) Zusammenhänge
C (1,0)*)
tn
N (0, 1)
F
n
 2m
t2
t
m=1
n
F (1, n)
N (0, 1)
dann ist
F ~ Fm, n
t ~ tn
*)
F
mit den
Parametern
m=n=1
m=1
m = 1, n  
wenn
verteilt
Cauchy-Verteilung
b) Anwendung der Verteilungen bei Konfidenzintervallen und Tests
Substitution einer Varianz 2 durch die Stichprobenvarianz  2 bedeutet:
1.
2.
*)
**)
2
Anwendung: Test und
wenn die ZV mit 2 dann ist die ZV mit ̂
Konfidenzintervalle für
normalverteilt ist
t-verteilt
einen Parameter
C2-verteilt ist*)
F-verteilt
mehrere Parameter**)
Ist X ~  n dann ist X/n ~ C2 verteilt (modifizierte 2-Verteilung).
Anwendung von Nr. 2 auch: Konfidenzellipse bei linearer Regression. Die Verteilungen in Spalte 1
sind Spezialfälle der Verteilungen von Spalte 2:
2
wenn n   dann tn  N (0, 1); wenn n   dann Fm,n  C m
2
60
5. Modelle für Einkommensverteilungen
In diesem Abschnitt werden zwei Verteilungen für nichtnegative ZVn (also X > 0) dargestellt, die zwar formal
kaum in Beziehung zueinanderstehen, aber für Ökonomen (u.a. als Modelle für die Einkommensverteilung) von
Interesse sind.
a) Logarithmische Normalverteilung L(, 2)
Sie spielt für Ökonomen eine wichtige Rolle als Modell für die Einkommensverteilung. Ist
die Summe von Einflussgrößen asymptotisch normalverteilt, so gilt dies bei der L-Verteilung
für ein Produkt. Die L-Verteilung ist stets linkssteil und zwar um so mehr, je größer 2 ist. Ist
X (etwa das Einkommen) L(,2) verteilt, dann ist Ginis Dispersionsmaß die Fläche unter der
Standardnormalverteilung im Intervall    x     .

2
2 

b) Pareto-Verteilung
 a  b  a 1

für x  b  a  0,0  b  x (streng monoton fallend)
f  x   b  x 

sonst
0

a
a
ab 2
 b
F x  1    ,   E X  b
, V X  
 x
a 1
 a  2 a  1 2
1
~  b  0,5  a also 
~  b.
Median 
 
Übersicht 6.9: Logarithmische Normalverteilung L(, 2)
Wahrscheinlichkeits 1  ln x    2 
1
exp  
f L  x 
 
funktion, (Dichte)
2    

x
2


für x > 0
Parameter
  IR ,  > 0
(Zusammenhang mit wenn ln X = Y ~ N  ,  2 dann X ~ L  ,  2
y
y
x
x
N(, 2 )-verteilung
Reproduktivität


wenn X ~ L ,   und X ~ L 
X X ~ L    ,     und
X
~ L    ;    
X
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2

2
2 , 2

 dann
2
2
2
2
2
Momente
Bedeutung

2 
  E( X )  exp   
2


 
1


E X r  exp r  r 2  2 


2

 2  V( X )  exp 2   2 S  1 mit S  e  ,   S  1S  2
~ = exp(), Modus exp( - 2)
Median 
2
Einkommensverteilung, Disparitätsmessung, Lebensdauer, Festigkeit
61
6. Die Exponentialfamilie von Verteilungen und
Zusammenhänge zwischen stetigen Verteilungen
Eine umfangreiche Klasse von diskreten und stetigen Verteilungen,
(6.5)
f  x   A p x exp  B  q  x
die bei entsprechender Spezifizierung der Funktionen A, B, p, q
Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Spezialfälle enthält, heißt Exponentialfamilie.
wichtige
Spezialfälle (Beispiele)
a) diskret
Binomialverteilung
A  1  
n
,
 n
p x    ,
 x
  
B  ln 
 , q  x  x
 1    
ferner: Zweipunkt-, Poisson-, geometrische-, negative Binomialverteilung
b) stetig
Exponentialverteilung A   , p x  1,
B    , q  x  x
ferner: N (, 2), N (0, 1), Gamma-[G (, )], B1 -, B2 -,  2 -, Rayleigh- und Maxwell-Verteilung als Spezialfälle zur G-, B1 - und Cauchy-Verteilung [C (, )].
7. Bivariate Normalverteilung N2(, )
Der Zufallsvektor x'= [X1 X2] besitzt eine N2-Vert. wenn die Dichtefunktion lautet
(6.6)
1


f N 2 (x) =  2  2 


1
'
 1
exp   x   
 2
 1  x   
 12
mit ' = [1, 2] und  als Varianz-Kovarianzmatrix   

12
1
X  i
Variablen Z i  i
und der Korrelationsmatrix R  
i

(p = Korrelationskoeffizient) erhält man
(6.7)
f N 2 (z) =  2 
1
R

1
2
 1

exp   z ' R 1z
 2


12 
 . Mit standardisierten
2
2 

1
62
Übersicht 6.10: Zusammenhänge zwischen eindimensionalen stetigen Verteilungen
N(µ, 2)
bzw. N(0, 1) )



 2n
tn



G(, )
WG



F(m, n)
C(, µ)
E()



EL(n, )

B1(, )
W(n,)

B2(, )
R
Verteilungen
B1 (, )
B2
C (, )
E ()
EL (n, )
F (m, n)
G (, )
Beta Verteilung 1. Art
Beta Verteilung 2.Art
Cauchy Verteilung
Exponentialverteilung
Erlangverteilung
F-Verteilung
Gamma - Verteilung
N (, 2)
R
tn
W (n, )
WG
 2n
Normalverteilung
Rechteckverteilung (0  x  1)
t - Verteilung
Weibullverteilung
Weibull-Gamma-Verteilung
2-Verteilung
Übergänge bzw. Spezifizierung von Parameter und Transformationen (x  y)
1. n  
2. n = 1,  = 1,  = 0 also C (1, 0) = t1
3. n = 1, Y =  X ist X2 ~ 12
dann Y = X ~ N (0, 1)
X
4. ist X ~ F (m, n) dann Y =
~  2m n  
m
5. wenn t2 ~ F (1, n) dann t ~ tn
m
n
x n
6.   ,   , y 
2
2
1 x m
X ~ B1 (, ) dann Y ~ F (m, n)
8.
y
x
1 x
n
, 2
2
1
10.  = 1,  

11. n = 1
1
12.  = n,  

13. n = 1
14. Übergang Weibull-Gamma-Vert.; ein
7.  =  = 1
Spezialfall von WG ist die Pareto-Verteilung
Horizontale (parallel zur x1, x2- Ebene) Schnitte f(x) = const = c durch die Dichte sind
Ellipsen im x1 , x2- Koordinatensystem z12  2z1z 2  z 22 = c und im Grenzfall  = 0 Kreise.
9.

63
Für die Regressionslinien E(X2 | X1) in Abhängigkeit von X1 [und E(X1 |X2) von X2] erhält
man Geraden (die Regressionsgeraden)

E X 2 X1  x1    2   2  x1  1  und E X1 X 2  x 2  analog .
1
Die momenterzeugende Funktion von N2 ist
1


Mx  t1 , t 2   exp 1t1   2 t 2  12 t12  212 t1 t 2   22 t 22 
2




Wie die Gestalt von M(0, t2) und M(t1, 0) zeigt sind die Randverteilungen von N2 wieder
Normalverteilungen. Die Momente der Randverteilungen erhält man durch mehrmaliges
Differenzieren nach t1 bzw. nach t2. Das Produktmoment E(X1X2) erhält man mit der
 2 M  t1 , t 2 
an der Stelle t1 = t2 = 0.
Ableitung
 t1  t 2
Kapitel 7: Grenzwertsätze,
Stichprobenverteilung
1.
2.
3.
4.
5.
Stochastische Konvergenz und Konvergenz von Verteilungen
Stichproben und Schätzproblem, Stichprobenverteilung
Abschätzungen von Wahrscheinlichkeiten
Gesetze der großen Zahlen
Grenzwertsätze
63
66
68
69
70
1. Stochastische Konvergenz und Konvergenz von
Verteilungen
a) Konvergenzbegriffe und Grenzwertsätze
 Nichtstochastische Konzepte
1. Man sagt eine von n abhängige Zahlenfolge {z1, z2, ..., zn} konvergiere gegen einen
festen Wert c, wenn gilt: lim z n  c .
n 
2. Eine Folge von Funktionen {f1(x), f2(x), ..., fn(x)} mit dem gemeinsamen Definitionsbereich D (xD) konvergiert gegen eine Grenzfunktion f(x), wenn gilt
lim f n ( x )  f ( x ) . (Man unterscheidet gleichmäßige und punktweise Konvergenz).
n 
 Stochastische Konzepte
Diese Konzepte für nicht zufällige Größen bzw. Funktionen werden übertragen auf die
Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung zufälliger Größen. Die sog. Gesetze der
großen Zahl beziehen sich auf die stochastische Konvergenz (Def. 7.1), die man als Spezialfall der
Konvergenz von Verteilungen (Def. 7.2) auffassen kann (Konvergenz gegen eine Einpunktverteilung). Konvergenz im zweiten Sinne ist Gegenstand von Grenzwertsätzen. In lokalen Grenzwertsätzen wird die Grenzwertverteilung f(x) von diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw.
64
Dichtefunktion und in globalen Sätzen die Konvergenz von Verteilungsfunktionen nach F(x), der
Grenzwertverteilungsfunktion (asymptotische Verteilungsfunktion), untersucht.
b) Stochastische Konvergenz
Def. 7.1: Stochastische Konvergenz
Eine vom Parameter n abhängende Zufallsgröße Xn strebt für n   stochastisch gegen eine
Konstante c, wenn für jedes beliebige  > 0 gilt [man sagt auch: Xn konvergiert "mit (oder: "in
der") Wahrscheinlichkeit" gegen c]:
lim P  X n  c     1
(7.1)
n 
plim Xn = c (d.h. der "Wahrscheinlichkeitslimes"von Xn ist c).
oder:
Bemerkungen zu Def. 7.1:
1. Gl. 7.1 besagt:
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Xn in einer -Umgebung um c liegt strebt gegen 1,
nicht aber:
die Größe Xn strebt gegen den festen (nicht von n abhängigen) Wert c.
2. Man kann auch c = 0 setzen und erhält mit
(7.2)
lim P  X n    0
n 
die Aussage: Xn konvergiert stochastisch gegen Null.
Zwei Folgerungen:
1) Eine Folge {Xn} von Zufallsvariablen strebt gegen eine Grenz-Zufallsvariable X oder
Konstante c (Gl. 7.1), wenn die Folge {Xn - X} oder {Xn - c} stochastisch gegen Null
konvergiert.
2) Gl. 7.2 gilt dann und nur dann, wenn die Folge Fn(x) der Verteilungsfunktion von Xn im
gewöhnlichen Sinne gegen die Verteilungsfunktion der Einpunktverteilung
0 für x  0
Fx   
1 für x  0
in jeder Stetigkeitsstelle von F(x) (alle Werte x  0) konvergiert.
3. Eine stärkere Forderung als die stochastische Konvergenz (Konvergenz mit Wahrscheinlichkeit) ist
die Konvergenz im Mittel (vgl. Def. 7.4).
c) Konvergenz von Verteilungsfunktionen
Def. 7.2: Konvergenz von Verteilungsfunktionen
Die Folge der Verteilungsfunktionen Fn(x) einer Folge von Zufallsvariablen Xn heißt konvergent, wenn eine Verteilungsfunktion F(x), die Grenzverteilungsfunktion, existiert, so dass für
jede Stetigkeitsstelle von F(x) gilt:
(7.3)
lim Fn  x  F x
n 
65
Bemerkungen zu Def. 7.2: vgl. nächste Seite
Übersicht 7.1:
Grenzwertsätze und Gesetz der großen Zahlen
Übersicht zu Kapitel 7
Gesetz der großen Zahlen
Konvergenzbegriff
vgl. Definition
Bedeutung
vgl. Definition
Grundgesamtheit
Stichprobe
Kennzahlen einer
Stichprobe vom Umfang n
(schwaches) Gesetz
der großen Zahl(en)
Grenzwertsätze
(Aussagen über
Grenzverteilungen)
a) lokal
fn(x)  f(x)
b) global
Fn(x)  F(x)
*)
**)
stochastische Konvergenz
Def. 7.1
Punktschätzung, Konvergenz einer Schätzfunktion
Def. 7.4
Grenzwertsätze
Konvergenz von Verteilungen
Def. 7.2
(asymptotische)
Stichprobenverteilung
Def. 7.5
homograd
heterograd
Zweipunktverteilung
X diskret oder stetig; beliebig verE(Xi) = , V(Xi) = (1 - ) i teilt mit
E(Xi) = , V(Xi) = 2 i
X1, X2, ..., Xn also n unabhängige*) Zufallsvariablen aus identischen
Grundgesamtheiten; nach Ziehung der Stichprobe Realisationen
x1, x2, .., xn
X =  Xi Anzahl der Erfolge Y =  Xi Merkmalssumme
1
1
X  X i Mittelwert
P = X Anteil der Erfolge
n
n
Theorem von Bernoulli
Satz von Ljapunoff
plim(P) = 
plim( X ) = 
a) die Wahrscheinlichkeitsvert. a) asymptotische Verteilung von Y
von X (Binomialverteilung)
und X ist jeweils die Normalvert.
bzw. P (relat. Binomialvert.)
Y ~ N(n, n2)
strebt gegen die Normalvert.
 2 
~
X
N
 , 
(de Moivre-Laplace).
 n
b) das gilt auch für die Verb) als globaler Grenzwertsatz: Satz
teilungsfunktion F(z), F(p)
von Lindeberg-Lévy **)
Diese Annahme kann auch gelockert werden (Normalverteilung auch Grenzverteilung bei
abhängigen ZVn, vgl. Satz von Markoff).
Verallgemeinerung (nicht identische Verteilungen): Zentraler Grenzwertsatz von Ljapunoff
66
Bemerkungen zu Def. 7.2: vgl. nächste Seite
1. Es kann vorkommen, dass eine Folge von Verteilungsfunktionen gegen eine Funktion
konvergiert, die keine Verteilungsfunktion ist.
2. Man beachte, dass hier Konvergenz im üblichen (nichtstochastischen) Sinne (punktweise
Konvergenz einer Folge von Funktionen [s. o.]) gemeint ist, nicht stochastische Konvergenz.
3. Im allgemeinen folgt aus der Konvergenz von Verteilungsfunktionen Fn(x) nicht, dass
auch ein lokaler Grenzwertsatz gilt, d.h. die Wahrscheinlichkeits-, bzw. Dichtefunktionen
fn(x) konvergieren.
4. Konvergiert Fn(x) gegen F(x) und sind a, b (a < b) zwei beliebige Stetigkeitspunkte der
Grenzverteilung F(x) dann gilt
lim P  a  X n  b  F b  F a
(7.4)
n 
2. Stichproben und Schätzproblem, Stichprobenverteilung
Im Zusammenhang mit Stichproben (Def. 7.3) tritt das Problem auf, "Parameter" der (unbekannten)
Grundgesamtheit (GG) mit Hilfe von beobachteten Werten einer Stichprobe (genauer: einer Funktion
dieser Werte, der "Schätzfunktion", Def. 7.4) zu schätzen.
Def. 7.3: Stichprobe
1. Eine durch Zufallsauswahl genommene endliche Menge von Beobachtungswerten x1, x2, ..,
xn aus einer endlichen oder unendlichen Grundgesamtheit heißt Stichprobe. Die Zahl n ist
der Stichprobenumfang. Die Grundgesamtheit hat, wenn sie endlich ist, N Elemente (den
Umfang N).
2. Hat jedes Element einer endlichen Grundgesamtheit die gleiche a priori (vor Ziehung der
Stichprobe) bekannte von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe zu
gelangen, so spricht man von uneingeschränkter Zufallsauswahl.
3. Erfolgen die Ziehungen der n Einheiten im Rahmen einer uneingeschränkten (reinen) Zufallsauswahl unabhängig voneinander, so spricht man von einer einfachen Stichprobe.
Bei einer einfachen Stichprobe geht man davon aus, dass jeder Stichprobenwert xi (i = 1,2,...,) die
Realisation einer Zufallsvariable Xi ist, wobei alle Zufallsvariablen X1, X2, ... , Xn identisch verteilt
sind. In diesem Fall sind die ZVn auch unabhängig identisch verteilt (independently, identically
distributed i.i.d.), so dass die gemeinsame Verteilungsfunktion FG(x1, x2, ..., xn) als Produkt F1(x1)
F2(x2) ... Fn(xn) darstellbar ist.
Def. 7.4: Schätzwert, Schätzfunktion, Mean Square Error
1. Bestimmte kennzeichnende Größen, etwa das arithmetische Mittel, die Varianz, der Anteilswert einer Grundgesamtheit werden Parameter () genannt. Sie sind i.d.R. Funktionen
der Zufallsvariablen X1, X2, ... , XN (bei endlicher Grundgesamtheit).
2. Eine Funktion der Stichprobenwerte, wie  = g(X1, X2, ..., Xn), die vor Ziehung der
Stichprobe eine Zufallsvariable ist, heißt Schätzfunktion (engl. estimator oder statistic)
oder Stichprobenfunktion. Ein konkreter Funktionswert  = g(x1, x2, ... , xn) (nach
Ziehung der Stichprobe errechnet) heißt Schätzwert.  dient der Schätzung von .
3. Die Größe
67
(7.5)
MSE = E(  -)2
heißt mean square error oder mittlerer quadratischer Fehler.
Bemerkungen zu Def. 7.4:
1. Unter den Parametern und den hierzu korrespondierenden Schätzfunktionen spielen vor allem zwei lineare Funktionen eine besondere Rolle, nämlich:
a) bei einer metrisch skalierten Zufallsvariable 1 = , der Mittelwert (bei einer endlichen
Grundgesamtheit) bzw. der Erwartungswert (bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung)
und
b) bei dichotomen (zweipunktverteilten) Variablen 2 = , der Anteil der Erfolge (bei
endlicher Grundgesamtheit) bzw. die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges.
Man spricht im ersten Fall von heterograder, im zweiten von homograder Theorie (vgl.
Übers. 7.1).
2. Der MSE läßt sich wie folgt zerlegen (Varianzzerlegung):
(7.5a)
MSE = E  - E(  )2 +  E(  )-2 = V(  ) + B(  )2
3. Daraus folgt: Der MSE ist genau dann Null, wenn Varianz V(  ) und Bias B(  ) Null
sind. Die "Verzerrung" B(  ) ist Null, wenn E(  ) = , also  ein erwartungstreuer
(unverzerrter, biasfreier) Schätzer für  ist.
4. Da  als Stichprobenfunktion vom Umfang n der Stichprobe abhängig ist, kann man auch
 =  n schreiben. Mit
(7.6)
lim E   n - 2 = lim  - E(  n)2 = 0
n
n
ist die Konvergenz im Mittel (Konvergenz im quadratischen Mittel) der Zufallsvariable  n
gegen die ZV oder Konstante  definiert. Sie impliziert Konvergenz mit
Wahrscheinlichkeit (stochastische Konvergenz), aber nicht umgekehrt. Es ist üblich, die
Standardabweichung MSE als Stichprobenfehler zu bezeichnen (vgl. Abschn. 8.2).
Def. 7.5: Stichprobenverteilung
Die Verteilung

f 
der Zufallsvariable

als Schätzfunktion

für  heißt
Stichprobenverteilung von  .
Erklärung zu Def. 7.5:
 N
Aus einer endlichen GG des Umfangs N sind   verschiedene Stichproben des Umfangs n
 n
ohne Zurücklegen zu ziehen, die bei uneingeschränkter Zufallsauswahl alle gleich wahrscheinlich sind*). Jede dieser Stichproben liefert eine Häufigkeitsverteilung des Merkmals X
und z.B. ein arithmetisches Mittel x . Auch für die endliche, bzw. unendliche Grundgesamtheit gibt es eine Häufigkeits-, bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung von X mit dem Mittelwert
bzw. Erwartungswert .
*)
Bei Ziehen mit Zurücklegen gibt es Nn mögliche und damit gleichwahrscheinliche Stichproben, die aber
nicht alle verschieden (unterschiedliche Elemente enthaltend) sind.
68
 N
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung aller   Stichprobenmittelwerte x , die nicht notwendig
 n
alle verschiedene Werte annehmen müssen, ist die Stichprobenverteilung des arithmetischen
Mittels.
3. Abschätzungen von Wahrscheinlichkeiten
a) Ungleichung von Markoff
Bei nicht negativen Zufallsvariablen X mit einem endlichen Erwartungswert E(X) gilt für
jede positive reelle Zahl c
(7.7)
P(X  c) 
E ( X)
c
Daraus folgt mit X = Y-E(Y)2, der Standardabweichung y = x =  und c  ( t ) 2
2
1
2
2
P(Xc) = P{Y-E(Y)  (t ) }  2 2 = 2 , was äquivalent ist mit Gl.7.8.
t
t 
b) Tschebyscheffsche Ungleichung*)
X sei eine Zufallsgröße, c eine gegebene Konstante und  > 0. Dann ist:
(7.8)
P X-c   
1
E (X-c)2
2
wenn über die Verteilung f(x) nur bekannt ist, dass E(X) und die Varianz V(X) endlich sind.
Setzt man c = , dann ist E(X-c)2 = 2 und
2
(7.9)
P X-    2 . Wird schließlich  = t gesetzt, so erhält man

1
und für die Gegenwahrscheinlichkeit:
(7.9a) P X-  t  2
t
2
1
(7.10) P X- <   1 - 2 und (7.10a)
P X-  t 1 - 2
t

Man kann in der Klasse der Zufallsvariablen, deren Verteilung nicht bekannt ist und deren
Momente zweiter Ordnung existieren, keine bessere Abschätzung erzielen.
c) weitere Ungleichungen
1. Satz von Cantelli (einseitige Tschebyscheffsche Ungleichung)
1
(7.11)
P(X   + t) = P(x   - t) 
1 t2
2. Tschebyscheffsche Ungleichung bei zweidimensionaler Zufallsvariable
Gegeben sei die Zufallsvariable (X,Y) mit den Erwartungswerten x, y und den Standardabweichungen 1, 2 sowie dem Korrelationskoeffizienten , dann gilt
*)
oder Ungleichung von Bienaymé-Tschebyscheff .
69
(7.12)
P(X-x  tx oder Y-y  ty) 
1
t2
1  2
t2
.
4. Gesetze der großen Zahlen
Mehr aus historischen Gründen werden die Gesetze der großen Zahlen oft getrennt von den später
gefundenen Grenzwertsätzen (Grenzverteilungssätzen) behandelt, aus denen sie als Folgerungen
abgeleitet werden können. Das Gesetz der großen Zahl (oder "der großen Zahlen") in seinen
verschiedenen Varianten ist eine Aussage über das Konvergenzverhalten von Summen und
Durchschnitten.
a) Konvergenzverhalten von Summen
Erwartungswert und Varianz von (gewogenen) Summen und damit auch von Mittelwerten
lassen sich herleiten aus den Sätzen zur Lineartransformation von Zufallsvariablen. Mit E(Xi)
= i und V(Xi) =  2i (i = 1, ..., n) erhält man für den Erwartungswert der ungewogenen
Summe Y = X1 + X2 + ... + Xn
E(Y) = 1 + 2 + ... + n und für die Varianz V(Y) =  2i bei Unabhängigkeit der ZVn.
1
 i
Entsprechend gilt für das arithmetische Mittel X = X erhält man E X  =
und bei
n
n
  2i .
Unabhängigkeit V X  =
n2
Bei unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen Xi (also i =  und i =  für alle i = 1,
2, .., n) gilt dann:
2
(7.13) E( X ) =  und V( X ) =
n
Die entsprechenden Formeln für den homograden Fall sind hieraus als Spezialfall zu
entwickeln (Übers. 7.1).
b) Bernoullis Gesetz der großen Zahlen (homograde Theorie)
Die Zufallsvariablen seien identisch unabhängig zweipunktverteilt mit dem Erwartungswert 
und der Varianz (1-). Dann strebt bei n wiederholten unabhängigen Versuchen die relative
X
Häufigkeit P =
der Erfolge gegen die Wahrscheinlichkeit  wegen Gl. 7.10.:
n
1   
2
X

.
(7.14) P       1 
1


n 2
n 2
n

Man bezeichnet als schwaches*) Gesetz der großen Zahl (oder Theorem von Bernoulli) die
Folgerung
*)
Das starke Gesetz (Konvergenz mit Wahrscheinlichkeit 1, "fast sichere Konvergenz), ist
demgegenüber die Aussage
(7.16)
X


P  lim      1 .


n n

70
X

(7.15) lim P        1
n 
n

bzw. weil X n die relative Häufigkeit P ist: plim(P) =  .
Voraussetzungen:
1) Unabhängige Beobachtungen
2) aus identisch verteilten Grundgesamtheiten
3) mit endlichen Momenten  und  2 (in diesem Fall  =  und  2 = (1-)).
Gilt 1 nicht: Satz von Markoff.
Gilt 2 nicht: Satz von Poisson (unterschiedliche Erwartungswerte 1, ..., 2) dann ist
X 1
=  i (i = 1, ..., n).
plim
n
n
c) Satz von Ljapunoff (heterograde Theorie)
Sind X1, X2, ... , Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit i =  und  2i =  2 ,
dann gilt für den Mittelwert der Stichprobe (Stichprobenmittel)
1 n
2
gem. Gl. 7.13.
X n =  Xi
mit E( X ) =  , V( X ) =
n i 1
n
Aus der Tschebyscheffschen Ungleichung
2
(7.10*) P X n      1  2 folgt dann als Satz von Ljapunoff:
n




(7.17) lim P X n      1 , also also plim( X n )= .
n 
Gl. 7.15 kann man als Spezialfall von 7.17 auffassen. Hinsichtlich der drei Voraussetzungen gelten die
Bemerkungen unter b (Theorem von Bernoulli). Aus Gl. 7.17 folgt zwar, dass X stochastisch
konvergiert gegen , man weiß aber nicht bei welchem Stichprobenumfang n das Stichprobenmittel x
einen genügend guten Näherungswert für  darstellt. Hierfür liefert die Tschebyscheffsche
Ungleichung (Gl. 7.10*) eine großzügige Abschätzung und der Satz von Lindeberg-Lévy (Gl. 7.18)
eine wesentlich bessere Abschätzung. Das gilt entsprechend im homograden Fall (Gl. 7.14 und 7.18a).
5. Grenzwertsätze
Bei hinreichend großem n (als Faustregel n > 30) ist die asymptotische Verteilung der Schätzfunktion (vgl. Übersicht 7.1, 7.2, Abb. 7.1 bis 7.3)

im homograden Fall (Satz von de Moivre-Laplace)
X = Xi
P = Y/n
(Anzahl der Erfolge, i = 1, 2, .., n)
(Anteil der Erfolge)
 im heterograden Fall (Satz von Lindeberg-Lévy)
71
Y = Xi
X = Z/n
(Merkmalssumme)
(Stichprobenmittelwert)
jeweils eine Normalverteilung (unter den drei Voraussetzungen des Theorems von Bernoulli
und ZmZ) mit den in Übersicht 7.2 genannten Parametern. Mit der z-Transformation erhält
man entsprechend jeweils eine N(0,1)-verteilte ZV.
Die Normalverteiltheit der Summe Y (auch wenn die Xi nicht normalverteilt sind) läßt sich
leicht veranschaulichen am Beispiel der Augenzahl beim Würfeln (vgl. Abb. 7.1 bis 3).
Die Grundgesamtheit (Verteilung von X1, X2, ... usw. allgemein Xi): ist jetzt eine (diskrete)
Gleichverteilung vgl. Abb. 7.1. An der Verteilung der Augensumme und der durchschnittlichen
Augenzahl bei unterschiedlich vielen Würfen ist die asymptotische Normalverteilung schnell zu
erkennen (vgl.Abb. 7.2 und 7.3).
Abb. 7.1 bis 7.3: Veranschaulichung des Grenzwertsatzes von Lindeberg-Lévy
Abb. 7.1: Verteilung der Grundgesamtheit
Parameter
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
n =1 (Grundgesamtheit)
 = 3,5 2 = 2,167
1
2
3
4
5
6
Abb. 7.2: Augensumme bei n = 1, 2, ... mal Würfeln (Darstellung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Polgonzug) X =  Xi  N(n, n2)
0,18
n=1
n=2
0,16
0,14
n=3
n=4
0,12
n=5
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
16 17
18 19 20 21
22 23
24 25
26 27 28
29 30
72
Abb. 7.3: Mittlere Augenzahl X n beim n maligen Werfen eines Würfels.
(Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Balkendiagramme)
Durchschnittliche Augenzahl
beim zweimaligen Werfen eines
Würfels
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
n = 2 2 = 2,167/2
Dreiecksgestalt der Verteilung
(Simpson-Verteilung)
1
2
3
4
5
6
n = 4 2 = 2,167/4
n = 5 2 = 2,167/5
0,12
0,12
0,1
0,1
0,08
0,08
0,06
0,06
0,04
0,04
0,02
0,02
0
0
1
2
3
4
5
Grenzverteilung X n  N(,
6
1
2
3
4
5
6

)
n
2
Der Satz von Lindeberg-Lévy setzt unabhängig identische ZV'n voraus, d.h. für alle
i = 1, 2, .., n gilt, dass Xi (beliebig) verteilt ist mit Erwartungswert  und Varianz 2. Die ZVn
Xi müssen nicht normalverteilt sein (vgl. das Beispiel der Augensumme beim Werfen von n
Würfeln [vgl. Abb. 7.2 auf der vorangegangenen Seite]).
Sind die ZV'en normalverteilt, dann ist für jedes n (nicht erst für n  ) die Summe Y = Xi
bzw. das Mittel X normalverteilt, weil die Normalverteilung reproduktiv ist.
Übersicht 7.2: Grenzwertsätze
Problem
homograd (Anzahl X und AnteilP der "Erfolge")
Grenzwertsatz von
de Moivre-Laplace
Schätzfunktion 
Erwartungswert  
2
Varianz  
X = Xi
P = X/n
n
n(1-)

(1-)/n
N(0,1) verteilt ist*
Z
P
 (1   )
n
* Das ist die asymptotischeVerteilung (Grenzverteilung) nach dem entsprechenden Grenzwertsatz von...
73
noch Übers. 7.2
Problem
heterograd (Mittel- und Erwartungswerte)
Grenzwertsatz von
Lindeberg-Lévy
Schätzfunktion 
Erwartungswert  
2
Varianz  
Y = Xi
n
n2
X = X/n

2/n
N(0,1) verteilt ist

Z  X    
n

Verallgemeinerung ohne die Voraussetzung identischer Verteilungen: Zentraler
Grenzwertsatz (von Ljapunoff)
Unter sehr allgemeinen, praktisch immer erfüllten Bedingungen sind Summen und
Durchschnitte von unabhängigen ZVn für große n angenähert normalverteilt.
Bedeutung der Grenzwertsätze
Bei kleinem N und n kann man die exakte Stichprobenverteilung einer Schätzfunktion (wie X oder S2
usw.) durch Auflisten aller möglichen Stichproben gewinnen. Die Anzahl möglicher Stichproben ist
jedoch schnell enorm und die N Elemente der Grundgesamtheit sind i.d.R. nicht bekannt, so dass
dieser Weg in der Praxis nicht gangbar ist. Durch die Grenzwertsätze ist jedoch die Gestalt der
Stichprobenverteilung asymptotisch zumindest dann bekannt, wenn n hinreichend groß ist. Das
rechtfertigt insbesondere die Benutzung der Normalverteilung in Kap. 8 und 9.
Kapitel 8: Schätztheorie
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Einführung in die schließende Statistik (Induktive Statistik)
Punktschätzung
Intervallschätzung: Mittel- und Anteilswerte, eine Stichprobe
Intervallschätzung: andere Stichprobenfunktionen, eine Stichprobe
Intervallschätzung: Differenz von Mittel- und Anteilswerten, zwei Stichproben
Weitere Intervallschätzungsprobleme
73
77
82
83
85
87
Gegenstand der Induktiven Statistik sind Schlüsse von den mit einer Stichprobe gegebenen Daten auf
die der Stichprobe zugrundeliegende Grundgesamtheit. Deshalb ist einführend die Art des Schließens
und die Besonderheit der Stichprobe als Teilerhebung darzustellen. Vom praktischen Standpunkt
gesehen sind die Kapitel 8 ff. das eigentliche Ziel der Beschäftigung mit Statistik II, und die Kapitel 1
bis 7 haben demgegenüber einen einführenden, theoretisch fundierenden Charakter.
1. Einführung in die schließende (induktive) Statistik
a) Schlussweisen: Terminologie
Bei dem Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit kann man zwei Arten von
Schlussweisen unterscheiden: Schätzen und Testen (vgl. Übers. 8.1, Def. 8.1)
74
Übersicht 8.1:
Statistische Inferenz
Schätzverfahren  Kap. 8
Punktschätzung
Testverfahren  Kap. 9
Intervallschätzung
Terminologie zur Intervallschätzung
direkter Schluss
indirekter Schluss
Name des Schwankungs- a), Prognose- oder
Intervalls Toleranzintervall b)
Sicherheitswahrscheinlichkeit
1-
oder Prognosewahrscheinlichkeit

a)
b)
Konfidenz-, Vertrauens- oder
Mutungsintervall
Sicherheitswahrscheinl.t oder
Vertrauens- oder Konfidenzniveau
(oder -grad)
Irrtumswahrscheinlichkeit oder beim Testen: Signifikanzniveau
Der Begriff wird auch benutzt für ein Intervall auf der x-Achse (meist symmetrisch um ) der N(,  ) 2
Verteilung statt auf der x - Achse bei der Stichprobenverteilung von x , also der Verteilung N(,  /n).
Dieser Begriff wird auch anders gebraucht.
2
Def. 8.1: Statistische Inferenz
1. Der Schluss von der bekannten Stichprobe auf die Grundgesamtheit heißt indirekter
Schluss, Rück- oder Repräsentationsschluss. Der umgekehrte Schluss von der bekannten
oder hypothetisch angenommenen Grundgesamtheit auf eine zu ziehende Stichprobe heißt
direkter Schluss oder Inklusionsschluss.
2. Aufgabe einer Schätzung ist die (näherungsweise) Bestimmung von Parametern der
Grundgesamtheit oder der Verteilung der Variable(n) in der Grundgesamtheit. Die
Bestimmung eines einzelnen Schätzwertes (vgl. Def. 7.4) nennt man Punktschätzung. Die
Intervallschätzung liefert ein Intervall, in dem die zu schätzende Größe mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit 1 -  erwartet wird.
Das Konfidenzintervall (indirekter Schluss) für den unbekannten Parameter  kann
einseitig
(u   <  oder - <   o) oder zweiseitig u    o und dann meist symmetrisch
(o -  =  - u = e) sein. Die Unter- (u) und Obergrenze (o) heißen Konfidenz- oder Vertrauensgrenzen. Für den direkten Schluss gilt dies entsprechend hinsichtlich  u und  o .
3. Ein Verfahren mit dem über die Annahme oder Ablehnung einer Hypothese aufgrund der
Stichprobenverteilung einer Prüfgröße entschieden wird, heißt Testverfahren. Hypothesen
beziehen sich auf Parameter oder Verteilungen der Grundgesamtheit.
Hypothesen sind Annahmen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die dem Stichprobenbefund
zugrunde liegt. Man unterscheidet Parameter- und Verteilungshypothesen und danach Parameter-
75
und Anpassungstests. Beziehen sich die Hypothesen auf einen festgelegten Verteilungstyp, so
spricht man von parametrischen Tests.
Übersicht 8.2:
Grundgesamtheit a)
Stichprobe(n) b)
Parameter 
allgemeine Terminologie
Kennzahl (Schätzer) 
Beispiele
Mittelwert  (endl. GG) oder
1. Mittelwert (heterograd) Erwartungswert  = E(X))
x (Stichprobenmittelwert)
2. Anteilswert
(homograd)
 Zweipunktverteilung Z()
p (Anteil in der Stichprobe)
3. Varianz
 2 (bzw. homogr.  2 =(1-))
 2 oder s2
4. Mittelwertdifferenz
(heterograd)
 1   2 (Mittel- oder Erwartungswertdifferenz der GG)
x1  x2 (Mittelwerte der
Stichpr., Umfänge n1 und n 2 )
5. Korrelation
 (Korrel. zwischen X und Y)
r (Stichprobenkorrelation)
a) endliche (Umfang N) oder unendliche Grundgesamtheit
b) vor Ziehung einer Stichprobe einer Zufallsvariable (Schätzfunktion vgl. Def. 7.4)  = f(X1,X2,...,
Xn); nach Ziehung eine Realisation dieser Zufallsvariable (ein Funktionswert der
x2,..., xn) (entsprechend X und x usw.).
Stichprobenfunktion)  = f(x1,
Übersicht 8.3:
Grundgesamtheit, Stichprobe und Stichprobenverteilung
(Stichproben vom Umfang n mit Zurücklegen)
Grundgesamtheit
Stichprobenverteilung
eine konkrete Stichprobe
Häufigkeitsverteilung
a) heterograd
x
N Elemente, wenn GG endl.,
Mittelwert 
b) homograd

x
x
Normalverteilung nach Grenz- n Elemente; Mittelwert x = 
wertsätzen (Lindeberg-Lévy);
alle möglichen Stichproben
p

q
1- 
0
1
Zweipunktverteilung

x
p
x
0
1
relativierte Binomialverteilung
bei X = x Erfolgen ein Anteil
bzw. asymptotische
von  = p = x/n
Normalverteilung
76
Übersicht 8.4:
Zur Interpretation der Intervallschätzung
Schwankungsintervall
Intervall um
 (Beispiel: x )
Wahrscheinlichkeit P (  u     o) = 1 - 
Zufallsvariable (n) die Variable 
ist (sind)
feste Größen (nicht  u und  o (Unter- / Obergrenze
zufällig) ist (sind) als Funktionen u.a. von )
"Mit
Wahrscheinlichkeit
1-
1 -  (Sicherheitswahrscheinl.)
Konfidenzintervall
 (Beispiel )
P (u    o) = 1 - 
die Grenzen u und o des Intervalls
(abhängig von  ) a)
 "liegt" nicht zwischen u und o
sondern ist ein fester b) Wert
liegt der in der Stichpr. zu erwar- überdeckt das Intervall [u,o] den
tende Wert  zwisch.  u u.  o " wahren Parameter  "
Wahrscheinlichkeit der Überdeckungs
Wahrscheinlichkeit des

Enthaltenseins von  im Intervall des Parameters  durch das Intervall
a) Das Konfidenzintervall ist ein Paar von Zufallsvariablen (die Konfidenzgrenzen) und ein (aufgrund der
Stichprobenwerte) errechnetes konkretes Konfidenzintervall ist eine Realisation des Zufallsintervalls.
b) aber unbekannter
b) Stichprobenfehler und Stichprobenplan
Kennzeichnend für eine Stichprobe ist die Zufallsauswahl. Ihr ist es zu verdanken, dass die in Abschnitt a dargestellten Schlussweisen wahrscheinlichkeitstheoretisch fundiert sind. Im Mittelpunkt steht dabei die i.d.R. aus
Grenzwertsätzen hergeleitete Stichprobenverteilung.
Def. 8.2: Stichprobenfehler
Die Standardabweichung   der Stichprobenverteilung von  als Schätzer für  ist der
Stichprobenfehler (oder auch Standardfehler). Er ist in Verbindung mit dem von der
Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 -  abhängigen Multiplikator z ein Maß für die Genauigkeit
von Stichproben (vgl. Kap. 10) und bestimmt die Breite eines Konfidenz- oder
Schwankungsintervalls.
Def. 8.3: Stichprobenplan, einfache Stichprobe
a) Die Art der Entnahme von Elementen der Grundgesamtheit (GG) heißt Stichprobenplan.
b) Der einfachste, zunächst ausschließlich behandelte Stichprobenplan, ist die einfache (oder:
reine) Zufallsauswahl (Stichprobe) bei gleicher Auswahlwahrscheinlichkeit und unabhängiger Ziehung (vgl. Bem. 3)
Bemerkungen zu Def. 8.3:
1. Die Größe der Stichprobenfehler hängt u.a. vom Stichprobenplan ab. In den Kapiteln 8 und
9 wird allein die einfache Stichprobe behandelt. Im Kap. 10 werden auch Stichprobenpläne
bei Ausnutzung von Kenntnissen über die Beschaffenheit der GG behandelt (vgl. Übers.
8.5).
77
2. Beispiel der Abhängigkeit des Stichprobenfehlers  x des arithmetischen Mittels vom
Stichprobenplan. Er ist bei
a) uneingeschränkter Zufallsauswahl und
1. Ziehen ohne Zurücklegen von n < N Elementen aus einer Grundgesamtheit des
Umfangs N
(8.1)
x 
N  n 2
 , bzw.
N 1 n
2. Ziehen mit Zurücklegen oder
Nn
n
 1  1
N 1
N
(8.2)
x 

n
b) andere Stichprobenpläne:
1. Geschichtete Stichprobe vgl. Gl. 10.12f
2. Klumpenstichprobe vgl. Gl. 10.18 .
3. Die Ziehung eines Elements (einer Einheit) der GG stellt ein Zufallsexperiment dar. Die
Ziehung der Einheit i oder der Einheit j sind die Elementarereignisse. Sind diese
gleichwahrscheinlich (Laplace-Annahme), so spricht man von uneingeschränkter
Zufallsauswahl. Sind darüber hinaus die Ziehungen (Wiederholungen des
Zufallsexperiments) unabhängig, wie bei Ziehen mit Zurücklegen, so spricht man von
einfacher Zufallsauswahl. Die Stichprobenwerte x1, x2, ...xn sind dann Realisationen von
unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen X1,X2, ...,Xn .
2. Punktschätzung
a) Eigenschaften von Schätzfunktionen (Gütekriterien)
Die Schätzfunktion  bzw. ihre Stichprobenverteilung, die u.a. vom Stichprobenumfang n
abhängig ist, hat bestimmte Eigenschaften (vgl. Übers. 8.6).
1
So ist z.B. die Stichprobenfunktion   X   X i (i = 1,2,...,n) zur Schätzung des
n
2
Mittelwertes  nach dem zentralen Grenzwertsatz (asymptotisch) N(,
) verteilt (n > 30)
n
so dass z.B. auch der Erwartungswert E( X) = , also  durch x "erwartungstreu" geschätzt
wird.
78
Übersicht 8.5:
Einige einfache Stichprobenpläne
Zufallsauswahlverfahren (Stichprobe) bei endlicher Grundgesamtheit
Kennzeichen: a priori bekannte Auswahlwahrscheinlichkeit
einstufig
zweistufig (analog: mehrstufig)
Auswahleinheiten auf der ersten Stufe
Erhebungs- und Auswahleinheit identisch
K Schichten
(davon alle auswählen;
Auswahlsatz A =100%)
M Klumpen
(davon m < M zufällig
auswählen; A = m/M<100%)
jedes der N Elemente der GG
hat die gleiche Wahrscheinlichkeit ausgewählt zu werden
(gleiche AuswahlwahrscheinAuswahleinheit auf der zweiten Stufe
lichkeiten in Höhe des Aus(= Erhebungseinheit)
wahlsatzes A = n/N) und die
Ziehungen der Elemente
erfolgen unabhängig
nj Elemente der N j Elemente alle Elememte N1 ,...,N m
einfache Zufallsauswahl
der j-ten Schicht in der GG
der m Klumpen A=100%)
( j = 1,...,K)
(Vollerhebung auf der
n =  nj , N = N j
zweiten Stufe)
A = n/N < 100%
geschichtete Stichprobe
Klumpenstichprobe
Übersicht 8.6:
Einige Eigenschaften (Gütekriterien) von Stichprobenfunktionen
Gütekriterien
1. Nichtasymptotische Eigenschaften
2. Asymptotische Eigenschaften
bei jedem n, auch bei kleinen Stichproben
nur bei großem n (Stichprobenumfang
1.1
Erwartungstreue
2.1
asymptotische Erwartungstreue
1.2
Wirksamkeit (Effizienz)
2.2
Konsistenz
1.3
Suffizienz
2.3
asymptot. Normalverteiltheit
1.4
Invarianz (gegenüb. best. Transformat.)
2.4
asymptot. Effizienz
1. Nichtasymptotische Eigenschaften (bei jedem n)
1.1 Der Schätzer  ist erwartungstreu (biasfrei, unbiased, unverzerrt) für , falls E(  ) =
 auch bei kleinem n. Obgleich ein einzelner Schätzwert  für eine bestimmte
Stichprobe durchaus von  abweichen kann, weicht  "im Mittel" nicht von  ab. Die
Abweichung E(  ) -  heißt Bias. Wie oben gesagt, ist z.B. das arithmetische Mittel
79
erwartungstreu E( X ) = , nicht aber die Stichprobenvarianz S2 , denn E(S2 ) =
n 1 2
 ,
n
1
 ( x i  x )2 als Schätzer für  2 verwendet: E(  2 ) =  2 .
n 1
1.2 Wirksamkeit (Effizienz)
Bei zwei erwartungstreuen Schätzfunktionen g  und g * (einer Klasse von Schätzfunktionen) für  ist g * wirksamer, falls bei gleichem Stichprobenumfang n gilt V( g * ) =
E(  - )2 < V(g ) = E(  - )2 ; die wirksamste (oder "beste") Schätzfunktion ist die
weshalb man auch  2 

Minimum-Varianz-Schätzung (mit minimalem MSE [Def. 7.6]).
So ist z.B. das arithmetische Mittel der Stichprobe X ein besserer Schätzer als der ebenfalls
~
~
erwartungstreue Median X 0,5 der Stichprobe weil V( X 0,5 ) =
 2 

 V( X )  V( X ) .
2 n
2
2. asymptotische Eigenschaften (wenn n  )
2.1 asymptotische Erwartungstreue: lim E(  ) = 
n 
2
die Stichprobenvarianz S ist nicht erwartungstreu, wohl aber asymptotisch erwartungstreu,
1
 n  1

  lim 1    1 .
 n 

n
2.2 Konsistenz:  konvergiert stochastisch gegen , also lim P ( |  - |   ) = 1 bzw.
weil lim
n 
plim  =  , d.h. die Punktschätzung gehorcht dem Gesetz der großen Zahl.
Dem entspricht die intuitiv überzeugende Forderung, dass mit einer Vergrößerung des
Stichprobenumfangs auch eine zuverlässigere (weniger streuende) Schätzung zu erreichen ist.
Aus der Zerlegung des MSE (vgl. Def. 7.6)
(8.3)
E(  - )2 = [B(  )]2 +V(  )
mit B = E(  ) -  ,der Bias
und V(  ) = E [  - E(  )]2
folgt, dass Konsistenz, d.h. Verschwinden des MSE, also lim E(  - )2 = 0 nicht gelten kann,
wenn nicht wenigstens lim [B(  )]2 = 0 (asymptotische Erwartungstreue). Konsistenz setzt
somit zwar nicht Erwartungstreue voraus, impliziert aber asymptotische Erwartungstreue.
Eine konsistente Schätzfunktion ist stets auch mindestens asymptotisch
erwartungstreu. Die Umkehrung des Satzes gilt nicht.
Zur Herleitung der Konsistenz kann auch die Tschebyscheffsche Ungleichung herangezogen
werden.
2.3 Asymptotische Normalverteiltheit
Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist z.B. der Mittelwert x asymptotisch normalverteilt. Es
gibt aber auch Schätzfunktionen, bei denen selbst bei großem n die Stichprobenverteilung
nicht die Normalverteilung ist, etwa bei r als Schätzer für die Korrelation  in der
Grundgesamtheit wenn   0.
E( *   )2
2.4 Asymptotische Effizienz wenn lim
= 1 und  die beste Schätzfunktion
E(   )2
ist, heißt  * asymptotisch effektiv.
80
Man beachte, dass alle Kriterien (ähnlich wie das Konzept des Stichprobenfehlers) Eigenschaften der
Stichprobenverteilung, also die Gesamtheit aller möglichen Stichproben betreffen. Es gibt kein Kriterium um die Qualität einer Schätzfunktion bei einer einzelnen Stichprobe zu beurteilen. Es ist deshalb auch Unsinn, zu sagen, eine Stichprobe sei "repräsentativ" und die andere nicht (oder weniger)
b) Schätzmethoden
In Übersicht 8.7 sind die wichtigsten Verfahren zur Gewinnung eines Punktschätzers aufgeführt. Auf Bayes'sche Methoden soll hier nicht eingegangen werden.
Übersicht 8.7:
Schätzmethoden
Klassische Methoden
verteilungsfrei
1. Methode der Momente
Bayes'sche Methoden
verteilungsabhängig
3. Maximum Likelihood Methode
2. Methode der kleinsten
Quadrate
1. Methode der Momente
Bei der Momentenmethode werden Momente wie x , s2 ,... der empirischen Häufigkeitsverteilung der Stichprobe herangezogen als Schätzer für die unbekannten entsprechenden Momente ,  2 ,... der theoretischen Verteilung (als Modell für die Verteilung der Grundgesamtheit).
2. Methode der kleinsten Quadrate (KQ)
Bei Schätzung des Mittel- oder Erwartungswertes  der GG mit dem Kriterium der
kleinsten Quadrate wird ein Schätzwert  so bestimmt, dass die Summe der Quadrate der
d
(xi -  )2 = 0 folgt  = x , also Identität von KQAbweichungen minimal wird. Aus
d
und Momentenschätzer. Die KQ-Methode spielt v.a. in der Regressionsanalyse eine Rolle.
3. Maximum Likelihood Methode (ML-Methode)
Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Stichprobe x1, x2, ..., xn zu ziehen und damit einen
bestimmten Schätzwert etwa x = xi/n zu erhalten ist abhängig von Parametern 1, 2, ...
der Grundgesamtheit, deren Verteilung dem Typ nach (d.h. bis auf eine numerische
Spezifizierung der Parameter) als bekannt vorausgesetzt wird. Es liegt dann nahe diese
Parameter 1, 2, ... so zu bestimmen, dass diese Wahrscheinlichkeit maximal ist.
Die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit P(x1 ,x2 ,...,xn ) von der Gestalt f (..) der Verteilung der Grundgesamtheit und ihren Parametern wird ausgedrückt durch
P(x1 ,x2 ,...,xn ) = L(x1 ,x2 ,...,xn | 1 ,2 ,...,p ) = L(x | )
was sich bei unabhängigen (einfachen) Stichproben zu
(8.4)
L(x | ) = f(x1 | ) f(x2 | ) ... f(xn | )
vereinfacht. Diese Funktion heißt Likelihoodfunktion.
81
Der Schätzer  j ist eine Maximum-Likelihood-Schätzung von j (j = 1,2,...,p), wenn die LikelihoodFunktion Gl. 8.4 ein Maximum annimmt bzw. die logarithmierte Likelihood-Funktion (da die lnTransformation monoton ist, d.h. dass sich die Lage des Maximums nicht verändert). ML-Schätzer
 1, ...,  p sind diejenigen Werte für 1, .., p in
 ln f (x
1 ,  2 ,...,  p ) bei denen ln L maximal ist. Der Quotient
(8.6)
ln L =
(8.7)
L*
 = ' heißt Likelihood-Verhältnis (likelihood ratio).
L
i
c) Schätzfunktionen für Mittel- und Anteilswert und die Varianz
Im folgenden soll unterschieden werden zwischen homograder und heterograder Fragestellung. Dabei
interessiert u.a. die Punktschätzung des Mittel- bzw. Erwartungswerts  der Grundgesamtheit, bzw. im
Falle einer dichotomen (zweipunktverteilten) Grundgesamtheit der Anteilswert bzw. die
Erfolgswahrscheinlichkeit . In Übers. 8.8 sind die Schätzfunktionen (Stichprobenfunktionen) und
ihre Eigenschaften zusammengestellt. Die Funktion PQ ist als Schätzfunktion für (1 - ) ein MLSchätzer. Offenbar sind  2 und der entsprechende Wert n PQ/(n-1) keine Momentenschätzer: Die
Stichprobenvarianzen wären nämlich S 2 
1
2
  X i  X und im homograden Fall PQ. Das sind
n
Schätzer, die aber nicht erwartungstreu sind.
Übersicht 8.8:
Punktschätzung von Mittel- bzw. Anteilswert und Varianz
a) Mittel- bzw. Anteilswert , Stichprobe Ziehen mit Zurücklegen (ZmZ)
Schätzfunktion für
 bzw. 
Eigenschaften der
Schätzfunktion
heterograd
1
 = X = Xi
n
2
E( X) =  , V( X) =
n
2
X  N (,
)
n
homograd
X
(X = Xi)
n
 (1   )
E(P) =  , V(P) =
n
 (1   )
)
P  N (,
n
 = P =
b) Varianz
Schätzfunktion für
die Varianz
Eigenschaften der
Schätzfunktion
1
(Xi - X)2
n 1
2

E(  ) =  2 , plim  2 =  2
 2 =
n
P Q mit Q = 1 - P
n 1
Erwartungstreue, Konsistenz wie im
heterograden Fall *
c) Stichproben aus endlicher Grundgesamtheit ohne Zurücklegen (ZoZ);
Schätzfunktionen X und P wie unter a)
Varianz der
 (1   ) N  n
2 N  n 2
V(P) =
Schätzfunktion X V( X ) =
<
n
N 1
n N 1
n
bzw. P für  bzw. 
n 1
n
(1  ) , so dass die Schätzfunktion (Stichprobenfunktion)
PQ (statt
* E(PQ) =
n
n 1
PQ) erwartungstreu ist.
82
3. Intervallschätzung: Mittel- und Anteilswerte,
eine Stichprobe
In diesem Abschnitt werden Intervallschätzungen bei einer Stichprobe von bestimmten in der Regel normalverteilten Stichprobenfunktionen behandelt und zwar insbesondere von Mittelwerten. Zu weiteren Intervallschätzungsproblemen vgl. Abschn. 4 bis 6.
a) Allgemeine Formulierung
Die Stichprobenfunktion  für den Parameter  habe die Stichprobenverteilung N(,  2 )
[Normalverteilung als Stichprobenverteilung], dann gilt für ein (zweiseitiges) zentrales
Schwankungsintervall (direkter Schluss):
(8.8)
P( - z       + z   ) = 1 -  Schwankungsintervall
Hierbei ist   die Standardabweichung der Stichprobenverteilung: (Standardfehler der
Schätzung von  ) und z ist ein der Sicherheitswahrscheinlichkeit von 1 -  zugeordneter Abzissenwert der Standardnormalverteilung. Entsprechend erhält man für ein zweiseitiges
symmetrisches Konfidenzintervall
(8.9)
P(  - z       + z   ) = 1 -  Konfidenzintervall
Analog erhält man für ein einseitiges nur unten (zu ) oder nur oben (zo ) begrenztes Konfidenzintervall
P(  - zu     < ) = P( >  - zu   ) = 1 - 
oder
P(- <    + z   ) = P( <  + z   ) = 1 - 
o

o

Dies folgt aus   N (,  2 ), weshalb die
standardisierte Variable Z  N(0,1) also


  
(8.10) P z u 
 z o   1   .
 


Aus einer Umformung dieser beiden
Ungleichungen ergibt sich Gl. 8.8 und 8.9.
Zur Veranschaulichung nebenstehende
Abbildung:
Abb. 8.1
N(0,1)
1- 
zu

z
z
Im konkreten Fall von Mittel- und Anteilswerten ist der Stichprobenfehler mit einem Abfrageschema
(Übers. 8.9) festzustellen und anstelle von   die in Übers. 8.9 Teil b angegebene Größe einzusetzen.
Beispiel: Schwankungsintervall für x (heterograd)  bekannt, N sehr groß bzw. ZmZ (Fall 1 in Übers.
8.8), dann ist   =  x nach Gl. 8.2 in Gl. 8.8 einzusetzen und man erhält
P ( - zu


 x   + zo
)=1-.
n
n
83

die
n
unbekannte Größe  der Verteilung der Grundgesamtheit durch eine Stichprobenfunktion
(etwa  ) zu ersetzen und mit dem geschätzten Stichprobenfehler   zu rechnen. Damit ist
Häufig ist der Stichprobenfehler   aus Stichprobenwerten zu schätzen, etwa in  x =
i.d.R. verbunden, dass die Stichprobenverteilung keine Normalverteilung mehr ist.
b) Intervallschätzung von Mittel- und Anteilswerten
Auch in diesem Teil ist wie für die Punktschätzung (Übers. 8.8) zwischen unabhängigen
Stichproben aus unendlicher Grundgesamtheit bzw. bei Ziehen mit Zurücklegen (ZmZ) und
dem Ziehen ohne Zurücklegen (ZoZ) zu unterscheiden. Die dabei auftretende
Nn
n
n
 1  wird i.d.R. bei Auswahlsätzen
<
Endlichkeitskorrektur (finite multiplier)
N 1
N
N
Nn
 1 zu schmaleren Intervallen (besseren
0,05 vernachlässigt. Die Korrektur führt wegen
N 1
Abschätzungen).
Einzelheiten vgl. Übers. 8.9 (nächste Seite)
4. Intervallschätzung: andere Stichprobenfunktionen, eine
Stichprobe
Auf weitere Intervallschätzungsprobleme wird auch in Kap. 9 im Zusammenhang mit dem entsprechenden
Parameter-Test hingewiesen. Einige wichtige Schätzungen im Ein- und Zwei-Stichprobenfall sowie
Ergänzungen zur Betrachtung von Abschn. 3 werden bereits hier behandelt4.
a) Varianz
Die Stichprobenfunktion (Schätzfunktion)
2
( n  1) 2 nS 2
 xi  x 
 2  
(8.11)
 c
  
2

ist 2 verteilt mit n - 1 Freiheitsgraden (mit n Freiheitsgraden, wenn  bekannt wäre und nicht
durch x zu ersetzen wäre). Dem Intervall cu  c co entspricht eine
Sicherheitswahrscheinlichkeit von 1 -  und da cu < co ist, erhält man eine untere und eine
obere Grenze des Konfidenzintervalls
nS2
nS2
nS2
für  2 durch Umformung der Ungleichung cu  2  co zu
 2 
bzw.

co
cu
(8.11a)
( n  1) 2
( n  1) 2
 2 
co
cu
Das Konfidenzintervall ist nicht symmetrisch um S2 (bzw.  2 ) weil die 2-Verteilung nicht
symmetrisch ist, also c - cu  co - c .
4
Im folgenden werden nur einige ausgewählte Schätzfunktionen behandelt. Eine vertieftere Betrachtung sollte
z.B. auch den Median als Schätzfunktion umfassen.
84
Übersicht 8.9:
Abfrageschema für Intervallschätzungen von Mittelwerten
(heterograd) und Anteilswerten (homograd)
a) Fallunterscheidung
Grundgesamtheit:
Stichprobe:
Stichprobe
heterograd X  N(,  2 )
homograd X  Z() (Zweipunktvert. mit Varianz V(X)=(1 - )1/4)
Umfang n; Ergebnis heterograd x,  2 ; homograd p, q = 1-p, im
heterograden Fall ist Varianz der GG bekannt
direkter Schluss
heterograd
homograd
 = x
 = p
indirekter Schluss
heterograd
homograd
=
=
ZmZ
1
2
3
( 4) *)
ZoZ
5
6
7
( 8)
wenn Varianz der GG nicht bekannt, dann ist   durch   zu schätzen
indirekter Schluss
ZmZ
9
10
ZoZ
11
12
*) weniger relevante Fälle sind eingeklammert
b) Stichprobenfehler   , Fälle nach Teil a
Stichprobenverteilung *): Normalverteilung mit der folgenden Standardabweichung
1

n
5

Nn

N 1
n
 (1   ) N  n

n
N 1
2
 (1   )
n
6
3
wie 1
7
wie 5
4
wie 2
8
wie 6
geschätzter Stichprobenfehler   , Fälle nach Teil a (Stichprobenvert.: tn-1-Verteilung)
*)
9

n
11
10
pq
1

n 1 2 n 1
12
Nn


N
n
pq N  n

n 1 N
Abkürzungen: N = Normalverteilung, tm = t-Verteilung mit m Freiheitsgraden. Bei n > 30 kann von N(0,1)
ausgegangen werden.
85
b) Merkmalssummen und absolute Häufigkeiten
Bei endlicher Grundgesamtheit (Umfang N) ist im heterograden Fall die Merkmalssumme
(Gesamtmerkmalsbetrag) gegeben mit
N. in der Grundgesamtheit und
n x in der Stichprobe.
Entsprechend erhält man die Anzahl (absolute Häufigkeiten oder Bestand) im homograden
Fall aus dem Anteil mit
N in der Grundgesamtheit und
np in der Stichprobe.
Es handelt sich mithin um Lineartransformationen von x bzw. p.
Im Falle einer Punktschätzung spricht man auch von Hochrechnung5 (vgl. Kap. 10); das ist
der Schluss x    N. bzw. p    N. Für die Intervallschätzung dabei gilt:
Die Grenzen des Intervalls sind
 bei Schwankungsintervallen mit n
 bei Konfidenzintervallen mit N
zu multiplizieren.
5. Intervallschätzung: Differenz von Mittel- und
Anteilswerten, zwei unabhängige Stichproben
a) heterograder Fall
GG: X1  N(1,12 ) und X2  N(2, 22 ).
Stichproben vom Umfang n1 und n2 ergeben die Mittelwerte x 1 und x 2 . Die
Stichprobenfunktion  = x 1 - x 2 als Schätzer für  = 1 - 2 ist normalverteilt N(,   ),
wobei für den Fall mit Zurücklegen gilt:
2 2
(8.17)
 2  1  2
n1 n 2
Weitere Fallunterscheidung
X1 und X2 sind unabhängig verteilt mit 1
und 2 sowie 12 und  22 und zwar
1 und 2 sind
bekannt
unbekannt*)
*)
normalverteilt
Fall A
Fall B
nicht normalverteilt
Fall C
Fall D
und n1 > 30 und n2 > 30.
Fall A
1. ungleiche Varianzen:
 ist normalverteilt mit E(  ) =  und Varianz 12 /n1 +  22 /n2 . Folglich ist
5
Der Begriff ist an sich überflüssig und er exisitiert auch nicht in der englischen Fachliteratur, weil es sich im
Prinzip nur um eine Variante der Punktschätzung handelt.
86
  
(8.18)
z=
(8.19)
P  - z
12  22

n1 n 2
(
 N(0,1)
und das Konfidenzintervall lautet
12  22

  .  + z
n1 n 2
12  22

n1 n 2
)=1-
2. gleiche Varianzen (homogene Varianzen)
 1
1
Die Varianz der Stichprobenvert. von  vereinfacht sich zu  2   2    . Folglich ist
 n1 n 2 
  
 N(0,1) , so dass
(8.20)
z=
1
1


n1 n 2
(8.21)
P(  - z 
1 1
1 1

    + z 

n1 n 2
n1 n 2
)=1-
das gesuchte Konfidenzintervall ist.
Fall B
12 und  22 sind in Gl. 8.18 durch die Stichproben-Varianzschätzer  12 und  22 zu ersetzen
und bei homogenen Varianzen 12 =  22 =  2 (zu überprüfen mit F-Test) ist zu bestimmen
n  s2  n 2  s22
(n = n1 + n2) [pooled sample variance], so dass
(8.22)  2 = 1 1
n2
n 1n 2
  
  


 tn-2
(8.23) t =

n1  n 2
1
1


n1 n 2
bzw. die Größe t2 ist F-verteilt mit 1 und n - 2 Freiheitsgraden (t2  F1, n-2).
Fälle C und D: Die Aussagen über den Verteilungstyp der Stichprobenverteilung von z
bzw. t gelten nicht mehr bei kleinem n.
b) Homograder Fall
Die Stichprobenverteilung der Schätzfunktion  = P1 - P2 für  = 1 - 2 ist asymptotisch
normalverteilt (wenn nj j (1 - j)  9 bei j = 1,2) mit E(  ) =  und
(8.24)
 2 
1 (1  1 )  2 (1   2 )

n1
n2
wobei j durch pj (j = 1,2) geschätzt werden kann (dann t-Verteilung mit n - 2
Freiheitsgraden)
87
6. Weitere Intervallschätzungsprobleme
Für das Varianzverhältnis bei zwei unabhängigen Stichproben gilt
(8.25)
  22  22
 22 
P  z o 2  2  z u 2  = 1 - , wobei zu und zo das /2 und 1 - /2 Quantil
 1 
  1 1
(Fraktil) der Fn1 1,n 2 1 Verteilung sind. Äquivalent ist mit F =
 22
 12
 1
12 1 
(8.25a)
P  * F  2  * F = 1 - , wenn z*u (bzw. z*o ) das /2- (bzw. 1 - /2) Fraktil
 2 zo 
 zu
der Fn 2 1,n1 1 Verteilung ist.
Gl. 7.10a liefert eine Abschätzung für das Schwankungsintervall eines einzelnen Stichproben1
werts X mit P( - t < X <  + t)  1 - 2 . Entsprechend erhält man aus Gl. 7.10*
t
2

P{| X n - | < }  1 - 2 mit  = t das folgende Konfidenzintervall (Schwankungsintervall
n
und Intervalle für Anteilswerte analog)
1
(8.26)
P( X - t <  < X + t)  1 - 2 .
nt
Kapitel 9: Statistische Testverfahren
1.
2.
3.
4.
5.
Allgemeine Einführung
Ein-Stichproben-Test
Zwei-Stichproben-Test
Varianten des 2-Tests
Mehr als zwei Stichproben
87
92
92
97
99
Nach einer allgemein gehaltenen Einführung werden Ein- und Zwei-Stichprobentests für Mittel- (heterograd)
und Anteilswerte (homograd) sowie Varianzen behandelt. Die Abschnitte 4 und 5 behandeln auch bivariate
Daten mit zwei und mehr Stichproben.
1. Allgemeine Einführung
Def. 9.1: Hypothese, Test
a) Eine (statistische) Hypothese ist eine Annahme/Vermutung über die Verteilung der Grundgesamtheit. Als Modell für diese Verteilung dient i.d.R. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x | 1,.., p) mit den Parametern 1,..., p.
b) Ein (statistischer) Test (Hypothesentest) ist ein Verfahren, mit dem auf der Basis einer
Prüfgröße (Testgröße) T, die eine Stichprobenfunktion (vgl. Def. 7.4) ist, mit einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit  (Signifikanzniveau) über die Verwerfung (Ablehnung) oder Annahme (besser: Nichtverwerfung) einer Hypothese entschieden werden
kann. Grundlage der Entscheidung ist die bedingte (bei Geltung der Hypothese H0)
Stichprobenverteilung g(t | H0) der Prüfgröße T, deren Realisationen t genannt werden.
88
Bemerkungen zu Def. 9.1
1. Nach Art der Hypothese werden verschiedene Testarten unterschieden (Übers. 9.1)
2. Logik eines Tests:
Man tut so, als ob H0 richtig ist und prüft, ob dann der Stichprobenbefund noch "im
Rahmen der Wahrscheinlichkeit" (der mit Stichproben verbundenen Zufälligkeit) ist
oder so wenig wahrscheinlich (weniger wahrscheinlich als ) oder "überzufällig" (oder
"signifikant") ist, dass H0 abgelehnt werden sollte.
Man beachte, dass wegen der Abhängigkeit der Stichprobenverteilung g(t | H0) von n die Verwerfung, also ein "signifikantes Ergebnis", auch mit entsprechend vergrößertem Stichprobenumfang zu
erzielen ist.
3. Eine Testgröße T ist eine speziell für die Entscheidung geeignete Stichprobenfunktion und damit
eine ZV (meist eine standardisierte ZV, die direkt mit den Quantilen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung verglichen werden kann).
4. Die möglichst zu verwerfende Hypothese wird Nullhypothese H0 genannt (Begründung vgl. Gl.
9.2), eine ihr entgegenstehende Hypothese Alternativhypothese H1. Die Funktion g(t | H0) ist die
Stichprobenverteilung der Prüfstatistik T bei Geltung von H0.
5. Der Annahme (bzw. Ablehnung) von H0 äquivalent ist die Situation, dass der Wert (die Realisation) der Stichprobenfunktion  innerhalb (bzw. außerhalb) eines bei Geltung von H0 (also im
Sinne eines hypothetischen direkten Schlusses) konstruierten Schwankungsintervalls liegt.
Während jedoch  von der Maßeinheit von X abhängt, gilt für dies die spezielle Stichprobenfunktion T nicht.
Übersicht 9.1: Arten von statistischen Tests
1. nach der Art der Hypothese 1)
2)
Parametertests
Anpassungstests
Annahme über die
Verteilungsklasse
Intervall
konkreter Zahlenwert (z.B. H 0 : µ = µ0 ) (z.B. H 0 : µ  µ0 )
(zusammengesetzte
(einfache Hypothese:
Hypothese: SignifiAlternativtest)
kanztest 3))
(z.B. H 0: X ~ N( µ ,  ))
2
2. nach der Art und Anzahl der Stichproben
eine Stichprobe
(Ein-Stichproben-Test)
k = 2 Stichproben
unabhängige
4)
Stichproben (UT)
k > 2 Stichproben
abhängige
UT
(verbundene)
Stichproben (AT)4)
AT
89
noch Übers. 9.1
3. nach der Herleitung der Stichprobenverteilung
hierbei sind die Annahmen über die Verteilung der Grundgesamtheit
notwendig:
verteilungsgebundene Tests
= parametrische 5) Tests
weniger notwendig:
verteilungsfreie Tests
= nicht parametrische5) Tests
4. nach der Skaleneigenschaft der Untersuchungsmerkmale
metrische Skalen:
parametrische 5) Tests
nicht metrische Skalen :
nichtparametrische 5) Tests
1) In der Literatur werden auch Homogenitäts- (H) und Unabhängigkeitstests (U) unterschieden. Man kann H
(stammen mehrere Verteilungen aus der gleichen GG?) und U (statistische Unabhängigkeit?) auch als
spezielle Anpassungstests auffassen (Anpassung an Modelle der GG der folgenden Art: F1(x) = F2(x) = ... =
F(x) oder f(x,y) = f1(x) f2(y) [fi = Randverteilung]).
2) Auch goodness of fit Test.
3) Der Begriff wird auch im allgemeinen Sinne für alle Arten von Tests gebraucht oder auch im Gegensatz zu
"Gegenhypothesentests" .
4) Zur Unterscheidung zwischen abhängigen und unabhängigen Stichproben vgl. Def. 9.4.
5) Terminologie ist nicht einheitlich.
Def. 9.2: Kritischer Bereich, Entscheidungsregel
a) Mit der Vorgabe des Signifikanzniveaus  und der Stichprobenverteilung g(t | H0) ist eine
kritische Region (Ablehnungsbereich, Verwerfungsbereich) K gegeben mit
(9.1)
P(t  K | H0)   .
Das Komplement von K heißt Annahmebereich (oder Verträglichkeitsbereich, besser:
Nicht-Ablehnungsbereich). Das Intervall K ist je nach Art von H1 einseitig oder
zweiseitig eingeschränkt. Die Grenzen c1 und/oder c2 von K heißen kritische Werte.
b) Mit t als das dem vorgegebenen  entsprechende Quantil der Stichprobenverteilung und t
als dem mit den Stichprobenwerten errechneten Zahlenwert der Prüfgröße gilt als
Entscheidungsregel:
wenn t  K, dann H0 verwerfen,
wenn t  K (also im Annahmebereich), dann H0 annehmen.
c) Mit der Annahme von H0 ist nicht deren Richtigkeit bewiesen. Bei der Testentscheidung
können Fehler auftreten (vergl. Übers. 9.2).
90
Bemerkungen zu Def. 9.2
1. Der kritische Bereich K ist so konstruiert, dass die Realisation t der Prüfgröße T unter H0
mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens  in diesen Bereich fällt. "Höchstens" gilt,
weil bei einer diskreten Stichprobenverteilung g(t|H0), etwa der Binominalverteilung als
Stichprobenverteilung der Wert von genau  evtl. nicht eingehalten werden kann.
2. Ist die Alternativhypothese zu H0:  = 0
Abb. 9.1: Ein- und zweiseitiger Tests
H1:   0 (also  > 0 oder  < 0) so
zweiseitig
liegt ein zweiseitiger Test vor mit zwei
kritischen Bereichen t  c1  t  und
t  c2  t1  (Abb. 9.1)
2
2
H1:  < 0 einseitig "nach unten"
(linksseitig) t  c1  t 


c
c1
t
H1:  > 0 einseitig "nach oben"
(rechtsseitig) t  c 2  t 1 .
einseitig
einseitig
3. Der Wert von t hängt von der Gestalt der
Stichprobenverteilung g(t|H0) ab. Ist diese


die Standard-NV, so ist t = z. Sie kann
t
t
c
c

1
auch die t-,2, F- oder Binomialverteilung
sein. Dann ist t aus der entsprechenden Tabelle zu bestimmen.
4. Fehlerarten (vgl. Übers. 9.2, nächste Seite)
5. Zwei-Stichproben-Test
Zu prüfen ist i.d.R., bei zwei Stichproben, ob die beiden Stichproben x11, x12,...,x1n1 und
x21, x22,..., x 2 n2 aus der gleichen GG stammen. Im heterograden Fall ist die Frage, ob x 1 x 2  0 verträglich ist mit der Hypothese "kein Unterschied", also mit
(9.2)
H0: 1 - 2 =  = 0
oder
1 = 2
oder ob H0 zugunsten einer Alternativhypothese
(9.3)
H1: 1 - 2 = 1 zu verwerfen ist.
Annahme (Ablehnung) von H0 ist übrigens äquivalent der Überschneidung (Nichtüberschneidung)
von Schwankungsintervallen für X 1 und X 2 bzw. der Überdeckung (Nichtüberdeckung) des
Wertes 0 durch das Schwankungsintervall für X 1 - X 2.
Übersicht 9.2: Fehlerarten beim Hypothesentest
wirklicher Zustand (state of nature)
Testentscheidung
(action)
H0 ablehnen
H0 annehmen
H0 ist wahr
H0 ist falsch
Fehler 1. Art
P( t  K  | H 0 )  
kein Fehler
P(t  K | H1 )  1  
kein Fehler
P( t  K  | H 0 )  1  
Fehler 2. Art
P(t  K  | H1 )  
Fehler 1.Art: H0 wird verworfen, obwohl die Hypothese richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers ist höchstens .
91
Fehler 2.Art: H0 wird nicht verworfen, obgleich H0 falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit
dieses Fehlers kann nur bestimmt werden, wenn eine Alternativhypothese (H1) spezifiziert
ist (Gegenhypothesen- oder Alternativtest statt Signifikanztest).
In der Statistischen Entscheidungstheorie werden die Wahrscheinlichkeiten  und  aufgrund der Konsequenzen der entsprechenden Fehlentscheidungen festgelegt.
Def. 9.3: Macht, Gütefunktion
a) Die Wahrscheinlichkeit 1 -  mit der ein tatsächlich bestehender Unterschied 1 - 2 = 1
(oder z. B. bei Mittelwerten 1-2) auch erkannt wird, d.h. dass die richtige Hypothese H1
angenommen wird, heißt Macht (Trennschärfe, power, power efficiency, Güte) eines Tests.
b) Der Zahlenwert für die Wahrscheinlichkeit 1 -  ist abhängig vom konkreten Wert 1
(Ein-Stichproben-Problem)
H1:  = 1
bzw. von 1
(Zwei-Stichproben-Problem)
H1: 1 - 2 = 1
bei gegebenem  sowie n, bzw. n1 und n2 und evtl. von weiteren Grundgesamtheitsparametern.
Der Graph der Funktion
(9.4)
1 -  = fG(H1) = P(t  K | H0)
heißt Gütefunktion.
Für die gleiche Fragestellung (das gleiche Auswertungsproblem) und für die gleichen Daten
können verschiedene Tests geeignet sein. Es sollte dann der mächtigste Test angewandt werden.
Entscheidend für  und damit für 1 -  ist es, welchen Wert man für 1 annimmt, weil die
Stichprobenverteilung von T (bzw. Z) wenn H1 gilt g(t | H1), also die rechte Kurve in Abb.
9.2, von 1 (und anderen Parametern wie z.B. hier 12 ) abhängt (vgl. hierzu Abb. 9.2).
Abb. 9.2: Veranschaulichung von  und 
Beispiel: einseitiger Test über den Mittelwert  (eine Stichprobe)
H0:  = 0; H1:  = 1 > 0
Prüfgröße T ist N(0,1) - verteilt daher z statt t
92
2. Ein-Stichproben-Tests (Übers. 9.3)
Übers. 9.3 (nächste Seite) enthält die relevanten Informationen über die Prüfgrößen (jeweils T
genannt) und deren Stichprobenverteilung bei Geltung von H0 zur Durchführung von Tests
über
a) den Mittelwert  (heterograd)
b) den Anteilswert  (homograd)
c) die Varianz 2 (heterograd)
der GG aufgrund einer Stichprobe. In diesem Abschnitt werden ausschließlich univariate EinStichproben-Tests behandelt. Tests über Regressions- und Korrelationskoeffizienten
(bivariate Daten) können aus Platzgründen nicht behandelt werden. Ein bivariater Datensatz
(eine Stichprobe) liegt auch vor bei einem Test auf Unabhängigkeit (Abschn. 4).
3. Zwei-Stichproben-Tests (Übers. 9.4)
Def. 9.4: unabhängige Stichproben
a) Wird über die Zugehörigkeit eines Elements der Grundgesamtheit zur Stichprobe 1 oder 2
nach dem Zufallsprinzip entschieden, so liegen unabhängige Stichproben vor.
b) Zwei Stichproben gleichen Umfanges n1 = n2 heißen abhängig, wenn sie die gleichen Elemente enthalten oder strukturell gleich zusammengesetzt sind.
Bedeutung der Zwei-Stichprobenfragestellung
1. Für eindeutige Kausalaussagen (z.B. Wirksamkeit eines Medikaments) sind Kontrollgruppenexperimente nötig. Man kann z.B. durch Münzwurf entscheiden, ob eine Einheit in die Experimentgruppe E oder in die Kontrollgruppe K gelangt. E und K sollen sich allein dadurch unterscheiden,
dass z.B. die Einheiten von E das zu testende Medikament erhalten, diejenigen von K aber nicht.
Die Stichprobenumfänge n1 = nE und n2 = nK sind i.d.R. nicht gleich.
2. Abhängigkeit liegt vor, wenn je ein Element von Stichprobe 1 (E) und von Stichprobe 2 (K)
hinsichtlich der für das Experiment relevanten Eigenschaften gleich sind (matched pairs), bzw.
(schwächer) wenn die Verteilungen dieser Eigenschaften in E und K gleich sind. Individuelles
matching liegt z.B. bei "repeated observations" der gleichen Einheit vor.
Zwei-Stichprobenproblem: Stichprobenverteilung
Stammen die Zufallsvariablen X11, X12,..., X1n1 und X21, X22,..., X 2 n 2 aus Grundgesamtheiten
mit 1, 12 und 2,  22 , so ist die Varianz der Linearkombination
 1
1
X1i +  
 = X 1 - X 2 =
(i = 1,2,...,n1 und j = 1,2,...,n2) :
  X2 j

n1 i
 n2  j
2 2
(9.12) V(  ) = V( X 1) + V( X 2) = 1  2
n1 n 2
wenn zwei unabhängige Stichproben vorliegen. Bei zwei abhängigen Stichproben (n1 = n2 =
n) ist dagegen auch die Kovarianz C( X 1,X 2) zwischen X 1 und X 2 zu berücksichtigen.6 Es
gilt
(9.13) V(  ) = V( X 1) + V( X 2) - 2C( X 1, X 2) = 12   22 n - n  1 n  12

6

Das ist die Kovarianz der zweidimensionalen (gemeinsamen) Stichprobenverteilung von x 1 und x 2. Sie
beträgt
1  n
  E(X1X2) mit E(X1X2) = 12
n 2  2
93
Übers. 9.3: Prüfgrößen im Ein-Stichproben-Fall
a) Heterograd (Test über Mittelwert/Erwartungswert)
H0:  = 0 , Xi  N(0, 2) sonst n  100
Fallunterscheidung
 2 bekannt
ZmZ
ZoZ
ZmZ
ZoZ
1
2
3
4
Fall
1
2
3
 2 unbekannt
^ 2 zu schätzen)
(durch 
Stichprobenverteilung
von T
Prüfgröße T
X  0 X  0



n
X  0
(9.6)
 Nn
n N 1
(9.5)
(9.7)
X  0

n
N(0,1)
wie 1
tn-1 asymptot. N(0,1)
wenn n > 30
n
4
(9.8)
X  0

Nn
N
n
tn-1 asymptot. N(0,1)
wenn n > 50
b) Homograd (Test über Anteilswert/Wahrscheinlichkeit)
H0:  = 0 , Xi  Z (), Anteilswert P = X/n, X = Xi mit 0 ist auch die Varianz der zweipunktverteilten GG hypothetisch angenommen V(X) = 0(1 - 0)
Fallunterscheidung: nur Fälle 3 und 4 oben [2 hypothetisch angenommen]
Fall
ZmZ
Prüfgröße T
(9.9)
(3)
ZoZ
(4)
(9.10)
P  0
p  0

P
 0 (1   0 )
n
P  0
 0 (1   0 ) N  n

n
N 1
Stichprobenverteilung von T
asymptotisch N(0,1) wenn npq > 9;
sonst Binomialtest*)
tn-1  N(0,1)
sonst hypergeometrisch verteilt
*) Ist die Stichprobenverteilung die Binomialverteilung (diskret) so empfiehlt sich die Kontinuitätskorrektur.
Die errechneten Prüfgrößen sind dann t1/2 = (p - 0  ½n)/p wobei + gilt für den unteren (linken) und - für
den oberen (rechten) kritischen Bereich, also + für den Vergleich mit z/2 und - mit z1-/2p.
94
noch Übersicht 9.3:
c) Test über die Varianz
der GG H0: 2 =  20 , Xi  N(,2)
Prüfgröße T
(9.11) T =
( n  1) 2 ns 2
 2
 02
0
Verteilung
 2n 1 (Normalverteiltheit
sehr wichtig)
Durchführung der Zweistichproben-Tests
Übers. 9.4 enthält alle Informationen zur Durchführung der Tests auf Unterschiedlichkeit von
 Mittel- bzw. Erwartungswerten, beurteilt aufgrund von Mittelwertdifferenzen
(heterograd, Teil a der Übersicht)
 Anteilswerten bzw. Wahrscheinlichkeiten, beurteilt aufgrund der Differenz zwischen Anteilswerten der Stichproben (homograd, Teil b der Übersicht), und
 der Unterschiedlichkeit der Varianzen zweier unabhängiger Stichproben, beurteilt
aufgrund des Quotienten der beiden Varianzen (Teil c der Übersicht 9.4)
In Übers. 9.5 stellt die entsprechenden Tests bei zwei abhängigen Stichproben dar.
Bemerkung zu t-Test für Paardifferenzen im heterograden Fall (d.h. für abhängige
Stichproben; Übers. 9.5):
Für eine "verkürzte" Version (leichter rechenbar) ist die Verteilung der Prüfgröße
A   D 2i
 D i 2 tabelliert (A-Test). Da offensichtlich D = X 1 - X 2,, kann der Zähler von
T in Gl. 9.19 auch lauten ( X 1 - X 2) - (1 - 2), vorausgesetzt X1i  N(1, 12 und X2i  N(
2
2,  2 ). Bei unabhängigen Stichproben stellt T eine standardisierte Differenz zweier
Mittelwerte dar, bei abhängigen Stichproben ist T ein (mit  D ) standardisierter Mittelwert
von Differenzen.
95
Übersicht 9.4: Prüfgrößen im Zwei-Stichproben-Fall (zwei unabhängige Stichproben)
a) Heterograd (Test über Mittel- bzw. Erwartungswertdifferrenz) auch Sigma-DifferenzVerfahren genannt, große Stichproben
H0: 1 - 2 = 0, X1  N(1, 12 ) und X2  N(2,  22 ), Stichprobenwerte: x 1, x 2, n1, n2
Fallunterscheidung
 12 und  22
 12 und  22
der GG bekannt und
gleich
ungleich
1
unbekannt und
gleich
ungleich
3
4
2
Auf die Fälle ZoZ soll hier verzichtet werden. Ist H0: 1 - 2 =   0, so ist in den
 durch  -  zu ersetzen.
Formeln 
Fall
1
2
Prüfgröße T
homogene Varianzen 12 =  22 = 2
 = 1 - 2 = 0,  = X 1 - X 2
n 1n 2



(9.14) T =
 n1  n 2
1
1


n1 n 2

(9.15) T =
12  22

n1 n 2
12 =  22 aber unbekannt a)

bestimmen (pooled
n2
variance), dann analog Fall 1 b)
n 1n 2

(9.16)
T=
 n 1  n 2
zuerst  2 
3
4
n1s12
n 2s 22
12 und  22 ungleich und unbekannt





(9.17) T =
N
K1  K 2
 12  22

n1 n 2
Verteilung von T
N(0,1)
N(0,1)
tn-2 (n = n1+n2)
approximativ N(0,1),
wenn n1 > 30 und
n2 >30
angenähert t-verteilt
mit  Freiheitsgr.c),
bzw. N(0,1) wenn
n1 > 30 und n2 > 30
a) Damit ist durchaus  12   22 oder s12  s22 verträglich. Die Homogenität der Varianzen 12
=  22 wird mit dem F-Test (Gl. 9.19) getestet.
b) die Wurzel nimmt ihren maximalen Wert n / 2 an, wenn n1 = n2 ist.
c) Bestimmung der Anzahl  der Freiheitsgrade

N2
K 12
K 22

n1  1 n 2  1
Wenn  nicht ganzzahlig, nehme man die nächste ganze Zahl.
96
b) Homograd: zwei gleiche Anteilswerte/Wahrscheinlichkeiten
H0: 1 = 2, X1 und X2 identisch zweipunktverteilt mit 
Prüfgröße T
Zuerst bestimmen P =
(9.18)
T=
Verteilung
n1P1  n 2 P2
dann (P1 - P2 =  ), dann
n1  n 2
n (1 - )  9 dann
N(0,1)
Test ist identisch
mit 2-Test einer
Vierfeldertafel 
Gl. 9.21
P1  P2
 1
1
P(1  P )  
 n1 n 2 
 = P - P die Prüfgröße
Ist die Hypothese 1 - 2 =   0 zu testen, dann ist mit 
1 2
(9.18b)
T=
  
=  N(0,1)
P1Q1 P2 Q 2

n1
n2
(Qi=1-Pi, i=1,2).
c) Test über die Gleichheit zweier Varianzen
H0: 12 =  22 oder 12 /  22 = 1, Bedingung X1  N(1, 12 ) und X2  N(2,  22 )
Prüfgröße F
(9.19)
n 1S12
 2
n 1
F = 12  1 2
 2
n 2S 2
n2  1
Verteilung
mit  12   22
Fn1 1,n 2 1
Statt des Quotienten zweier Varianzen könnte man auch die Differenz zweier Standardabweichungen testen, wobei die Statistik S1 - S2 bei großen Stichproben normalverteilt ist
mit Erwartungswert 0 und Varianz S12 2n1  S22 2n 2 .
Übersicht 9.5: Tests bei zwei abhängigen (verbundenen) Stichproben
Hypothese
Prüfgröße
i = X1i - X2i oder Di = Xi - Yi (i = 1,2,...,n)
H0: 1 - 2 = 0
 2
D
(t-Test für Paar- (9.19)
T=
mit  2D  D und
differenzen)
 D
n
n1 = n2 = n
1
1
 2D 
 ( D i  D )2  s 2D   D i2  D 2
(heterograd)
n 1
n
H0: 1 = 2
vgl. McNemar - Test (Gl. 9.22)
(homograd)
 12   22 n  2
(9.20) T =
H0: 12 =  22
2 1  2 1  r122
r12 = Korrelation von x1i mit x2i in der Stichprobe


Verteilung
T  tn-1
T  tn-2
97
4. Varianten des 2-Tests
Die Prüfgröße 2 ist i.d.R. konstruiert aufgrund beobachteter absoluter Häufigkeiten ni (i =
1,2,...,r) bzw. bei einer zweidimensionalen Häufigkeitstabelle nij (j = 1,2,...,s) und
"theoretischer", d.h. bei Geltung von H0 zu erwartender absoluter Häufigkeiten in der Stichprobe ei bzw. eij.
(9.20)
2
r
( ni  ei ) 2
n 2i
 n
=
ei
i 1
i 1 e i
r
bzw. (9.20a)
2 =
r
s

( n ij  e ij ) 2
i 1 j 1
e ij
Die je nach Art des Tests unterschiedliche H0 wird verworfen, wenn der stets nicht-negative
nach Gl. 9.20 bzw. 9.20a errechnete Wert der Prüfgröße 2 größer ist als der  entsprechende
Wert der 2-Verteilung. Die theoretischen Häufigkeiten ei bzw. eij sollten für alle i = 1,2,...,r
und j = 1,2,...,s nicht kleiner als 5 sein.
Übersicht 9.6: Varianten des  2 Tests
a) Fragestellung und Daten
Stichproben
s2
eine (s = 1)
eine eindimensionale
ZV (Variable X)
eine zweidimensionale
Zufallsvariable
X und Y in GG stochastisch unabhängig
Anpassungstest (AT)
Unabhängigkeitstest (UT)
s eindimensionale Zufallsvariablen X1, ..., Xs
X1, ..., Xs haben in GG die
gleiche Verteilung
Homogenitätstest (HT)
b) Hypothesen und Prüfgrößen
Test
AT
UT
HT c)
Hypothese
ei bzw. eij in Gl. 9.20/9.20a
Verteilung
Verteilung von X in der GG hat wenn X diskret b)
2   2
ei = npi = n f0(xi)
eine durch H0 spezifizierte
 = r-p-1
Gestalt mit p Parametern
(die diskrete Variable kann auch Freiheitsgrade
nur nominalskaliert sein)
H0: f(x) = f0(x|1...p) a)
2
etwa f0(x|1,2) = N(, )
n i n j
H0: f(x,y) = fx(x) fy(y)
 2 mit
, Stichprobenkontineij =
n
fx(x) und fy(y) sind die Rand = (r-1)(s-1)
genztafel
bei Unabhängigkeit
verteilungen
H0: f1(x) = ...= fs(x) = f0(x)
s Stichproben aus homogenen
Grundgesamtheiten, j = 1,2,..,s
mit n.j = umfang der j-ten
Stichprobe
s
 nij
pi =
s
j1
r
  nij
j1 i 1
a) mit p aus der Stichprobe zu schätzenden Parametern.
 2 mit

n i.
; eij = njpi
n
 = (r-1)(s-1)
98
b) wenn anstelle von xi die i-te Klasse mit der Untergrenze xiu und der Obergrenze xio tritt (stetiger Fall), gilt:
pi = F0(xio) - F0(xiu). Für diesen Fall stehen jedoch bessere Tests zur Verfügung.
c) Wie an der Konstruktion der Prüfgröße erkennbar ist, sind UT und HT formal identische Tests. Die Forderung fj(x) = f0(x) für alle j = 1,2,...,s kann als Gleichheit der bedingten Verteilungen (und damit Unabhängigkeit) aufgefaßt werden.
Vierfeldertafel (UT/HT mit r = s = 2)
Häufigkeiten
Stichprobe* (Variable Y)
1
2
n11 = a
n12 = b
x = 1 (+)
x = 0 (-)
Summe
*) Zwei
n21 = c
n1
n22 = d
n2
unabhängige Stichproben bei HT, bzw. die zweite dichotome VariableY (mit Y = 1 und Y = 0) bei UT:
a
a 
ab

P
mit n  n1  n 2

a  c n1 
n
b
b
 PQ  a  b c  d
P2 

b  d n 2 
n
n
P1 
n  ad  bc /
Prüfgröße nach Gl. 9.18: T =
(9.21) 2 =
 a  b c  d  a  c b  d 
und beim 2-Test:
n( ad  bc) 2
= T2
( a  b)( c  d )( a  c)( b  d )
Wenn T  N(0,1), dann ist 2 = T2  12 . Der 2-Test ist also äquivalent dem t-Test (Gl.9.18).
Zwei abhängige Stichproben (Mc Nemar-Test)
typische vorher (1) - nachher (2) - Befragung der gleichen Personen n = a + b + c + d , n* = b + c.
Für den Test interessiert nur die reduzierte Zahl n* der Beobachtungen.
Stichprobe 1
x=1
Stichprobe 2
y=1
y=0
a
b
x=0
c
d
H0: P(x = 1, y = 0) = P(x = 0, y = 1) =  = 0,5. Die Prüfgröße ist dann
b  n*  
 ( c  n*   )
bc


 tn-1 [bzw. N(0,1)]
T=
bc
n*   (1   )
n*   (1   )
für den Test bei n* > 20 (bei n*  20 Binomialtest). Zusammenhang mit 2-(Ein-Stichproben)AT: Die zu erwartenden Häufigkeiten sind bei H0 jeweils ei = ½ n* = ½ (b + c)
Häufigkeiten
(9.22)
empirisch (ni)
b
c
theoretisch (ei)
½ n*
½ n*
( b  c) 2
  * ( 2 b  2c )  n 
; = T2  12 .
bc
n
2
1
2
2
*
99
Bei kleinem n sind in Gl. 9.21 und 9.22 auch Kontinuitäts (Stetigkeits)-Korrekturen üblich. Es
gilt dann im zweiseitigen Test:
2
(9.21a)
n

n ad  bc  

 b  c  1 2
2
2
2
 
.
und (9.22a)  
bc
(a  b)(c  d )(a  c)( b  d )
5. Mehr als zwei Stichproben
Die Verallgemeinerung des t-Tests für zwei unabhängige Stichproben im heterograden Fall bei
Varianzhomogenität (Gl. 9.16) für k > 2 Stichproben heißt auch Varianzanalyse (genauer: einfache
univariate Varianzanalyse [ANOVA]; "einfach" weil nach nur einem [evtl. nur nominalskalierten]
Merkmal k Klassen [k Stichproben] gebildet werden und "univariat" weil Mittelwerte und Streuungen
hinsichtlich nur einer Variable X betrachtet werden). Man kann die Varianzanalyse als
Homogenitätstest begreifen (in diesem Sinne: Verallgemeinerung des t-Tests) oder aber auch im Sinne
eines Unabhängigkeitstests, wenn die Daten statt k unabhängige Stichproben k Ausprägungen (oder
Klassen) eines (nicht notwendig mehr als nur nominalskalierten) Merkmals Y sind. Die
Varianzanalyse zeigt, ob eine Abhängigkeit der metrisch skalierten Variable X von der Variable Y
besteht.
Y (unab-
*)
X (abhängig)
hängig)
nominalskaliert N
metrisch skaliert M
N (nominal)
2-Test *)
Varianzanalyse
M (metrisch)
-
Regressionsanalyse
auf Unabhängigkeit (UT)
Übers. 9.7: Tests bei k  2 unabhängige Stichproben
Test (Hypothese)
Test auf Gleichheit von k
Mittelwerten
H0: 1 = 2 = ...= k = 
bei Normalverteiltheit
und Streuungsgleich
heit a)
12 =  22 = ... =  2k
F-Test, Varianzanalyse
(Prüfgröße ist (9.23))
Gleichheit von k Anteilswerten 1 = ... = k = 
auf Gleichheit von k
Varianzen (BartlettTest)
H0: 12 = ... =  2k = 2
H1:  2i  2 für best. i
Prüfgröße T
Verteilung
X i = Mittelwert der i-ten Stichprobe
i = 1,2,...,k X = ( X i ni)/n Gesamtmittelwert
k
erklärte SAQ b): SAQ E   n i  x i  x
2
i 1
  x
k
Residual SAQ: SAQ R
(9.23)
2
ni
i 1 j1
ij
 x
T  F1 ,2
mit 1 = k-1
2 = n-k
Freiheitsgraden
SAQ E
k 1
T = SAQ
R
nk
2-Homogenitätstest: gleiche Zweipunktverteilung  2k1
Z() bei k Stichproben

Mit  i2  i ( x ij  x i ) 2 n i  1 , j = 1,...ni und
T   2k1
2
2
   n i  1i (n  k ) , i = 1,...,k erhält man (924)
a) Varianzhomogenität; Kenntnis der Varianzen ist aber nicht erforderlich.
b) Summe der Abweichungsquadrate SAQE ist ein Maß der externen und SAQR der internen Streuung.
100
2
(9.24) T  
T=

 n i  1ln  i2

i
N
und N in (9.24) ist N  1 
1
1

nk
i 1
3(k  1)
n
i
Kapitel 10: Stichprobentheorie
1. Durchführung von Stichprobenerhebungen
2. Geschichtete Stichprobe
3. Klumpenstichprobe und zweistufige Auswahl
4. Weitere Stichprobenpläne
100
103
106
108
1. Durchführung von Stichprobenerhebungen
a) Techniken der Zufallsauswahl und Stichprobenpläne
Übersicht 10.1: Techniken der Zufallsauswahl
Verfahren
keinen Auswahlrahmen voraussetzende, an Merkmalen der Einheiten
orientierte Verfahren
auf Anordnung und
Numerierung des Auswahlrahmens fußende Verfahren
Zufallszahlen
systematische
Auswahl *)
Buchstabenverfahren
(Namensanfang)
Geburtstagsverfahren
*)Jede k-te Karteikarte nach der i-ten (Zufallsstart i). Der Abstand k (als Anzahl der Karteikarten oder als Breite
des Kartenstapels) wird durch den Auswahlsatz n/N definiert. Oder: Karteikarten deren fortlaufende Nummer
auf i lautet (Schlußziffernverfahren).
b) Notwendiger Stichprobenumfang
Der für eine Stichprobe von geforderter Genauigkeit und Sicherheit mindestens erforderliche
Stichprobenumfang n* ergibt sich aus einer Umformung der Formeln für das Konfidenzintervall. Die Größe n* hängt ab von:
101



Genauigkeit
Sicherheit
Homogenität der GG.
1. Genauigkeit ist definiert als absoluter Fehler e die halbe Länge des (symmetrischen
zweiseitigen) Schwankungsintervalls (direkter Schluss) gem. Übers. 8.8 also:

 im Fall 1 (heterograd):
e  z
und
n
1  
.
 im Fall 2 (homograd):
e  z
n
Auflösung dieser Gleichungen nach n liefert die in Übers. 10.2 zusammengestellten Formeln für den notwendigen Stichprobenumfang.
e
e
e
relativer Fehler: e*  , bzw.
, allgemein
, also e in Einheiten von  .



2. Sicherheit ist die Wahrscheinlichkeit 1 - , der ein bestimmter Wert z  zugeordnet ist.
Genauigkeit und Sicherheit sind konkurrierende Forderungen.
3. Homogenität der Grundgesamtheit 2 bzw.  (1 - ). Der Stichprobenfehler  x bzw.  p
ist direkt proportional zu  bzw.


 1  . Häufig ist die Varianz der GG nicht bekannt.
Mit *2 bzw. * 1 * soll angedeutet werden, dass diese Größen geschätzt sind. Eine
konservative Schätzung des notwendigen Stichprobenumfangs erhält man im homograden
Fall mit * 1  *  1 / 4 .


Übers. 10.2 enthält die Abschätzungen des bei gewünschter Sicherheit erforderlichen Stichprobenumfangs aufgrund der Formeln für die Intervallschätzung (Übers. 8.8) und damit
aufgrund der Grenzwertsätze.
Würde man demgegenüber den für die Intervallschätzung von  für eine Sicherheit von 1  
erforderlichen Stichprobenumfang bei einem absoluten Fehler in Höhe von e =  mit der
Tschebyscheffschen Ungleichung (Gl. 7. 10*) abschätzen, so erhielte man:
2
(10.1)

n  2 ,
e 
*
was natürlich erheblich größer ist als n* gem. Übers. 10.2 weil 1   z2 .
1-
0,9
0,95
0,99
z
1,6449
1,9600
3,2910
2
z
2,7057
3,8416
10,8307
1

10
20
100
1
: z2

3,696
5,206
9,233
Bei einer geforderten Sicherheit von 90% (99%) wäre der danach erforderliche Stichprobenumfang 3,7 - mal (9,2 - mal) so groß wie gem. Übers. 10.2.
102
Es gibt auch Formeln für den erforderlichen Stichprobenumfang um z.B.
 eine vorgegebene Genauigkeit in bestimmten Teilgesamtheiten (z.B. Bundesländern) zu
garantieren (das ist v.a. in der amtlichen Statistik ein wichtiges Kriterium),
 eine Varianz mit vorgegebener Genauigkeit und Sicherheit abschätzen zu können oder
 um im Zwei-Stichproben-Fall einen hypothetischen Unterschied (etwa 1 - 2 = ) mit
einer bestimmten Irrtumswahrscheinlichkeit in den Stichproben zu erkennen.
Übersicht 10.2: Notwendiger Stichprobenumfang bei einfacher Zufallsauswahla)
(Fallunterscheidung wie in Übers. 8.8)
ohne
Endlichkeitskorrektur
heterograd
homograd
Fall 1
Fall 2
z 2 *2 z 2 V 2
 *2
e2
e
(mit V    Variationskoeffizient)
n* 
n 
*
n *max

z 2 * 1  *
e
n* 
K
n* 
K
N
und mit entsprechender Formel
unter Verwendung von e*
a) Zur geschichteten Stichprobe vgl. Gl. 10.14

b) Wenn N - 1  N sonst, n *  NK e2  N  1  K


e 
*2

*
Fall 6 c)
mit K  z2 *2
e2 

z 2 1  *
z2
 2
4e
Fall 5 b)
mit
Endlichkeitskorrektur
2


K'
K'
e2 
N

mit K '  z 2  * 1   *

d)

c) Wenn N - 1  N sonst, n *  NK' e2  N  1  K'
d) Maximaler Wert n  
max
z
2
z2
4e 
N
.
2
c) Hochrechnung
In Kap. 8, Abschn. 4b wurde als Hochrechnung*) das Problem bezeichnet, von einem
Punktschätzer x   bzw. p   , also von einem Mittelwert bzw. Anteilswert auf eine
Merkmalssumme N oder eine Gesamthäufigkeit (einen Bestand) N zu schließen. Es ist
plausibel anzunehmen, dass im heterograden Fall gilt (und im homograden Fall
entsprechend):
x Nx

,
 N
dass also die Merkmalssumme evtl. im gleichen Maße über- oder unterschätzt wird wie der
Mittelwert. Man kann dann mit dem reziproken Auswahlsatz hochrechnen (freie Hochrechnung):
*)
In der "Alltagssprache", z.B. bei Fernsehsendungen am Wahlabend wird "Hochrechnung" im Sinne der
"Punktschätzung" gebraucht, nicht in den oben definierten Sinne einer "Rückvergrößerung" eines Bildes von
den kleineren Dimensionen einer Stichprobe auf die größeren Dimensionen der Grundgesamtheit.
103
N
 n x  N x
n
N
(10.2b)
N 
 n p  N p
n
( soll heißen: wird geschätzt mit)
Es gibt Fälle, in denen der Rückgriff auf andere Stichprobeninformationen (z.B. über andere
Merkmale y, z neben x) zu bessern Ergebnissen führt als die freie Hochrechnung. Man nennt
solche Verfahren auch gebundene Hochrechnung.
(10.2a)
N 
2. Geschichtete Stichprobe (stratified sample)
Notation
Aufteilung der Grundgesamtheit in K Schichten mit den Umfängen Nk mit
K
(10.3)
N  N1  N 2  ...  N k   N k
k 1
und Aufteilung der Stichprobe des Umfangs n auf K Stichproben
K
(10.4)
n  n1  n 2  ...  n K   n k .
k 1
Schichtenbildung aufgrund eines Schichtungsmerkmals oder einer Kombination von
Schichtungsmerkmalen.
Mittel- und Anteilswertschätzung
Bei Schätzfunktionen  für  , wie etwa P für  (homograder Fall) oder X für 
(heterograder Fall) gilt die Aggregationsformel
K N
k 
  
 k mit
(10.5)
N
k 1
(10.6)

 
K N
k
E  k
E   
k 1 N

K
N 
und (10.7) V     k 
k 1  N 
2
 
V  k ,
denn eine geschichtete Stichprobe bedeutet K unabhängige Stichproben aus K Schichten zu
ziehen. Je nach Art der Stichprobenfunktion  und der Stichprobenziehung erhält man
anstelle von Gl. 10.5 bis 10.7 spezielle Formeln. Etwa im heterograden Fall (Mittelwert):


Gl. (10.6): E 
ZmZ
E X   
ZoZ
wie ZmZ
Nk
E X k   
N
Gl. (10.7): V 
(10.8)
(10.9)
V X   
V X   
N 2k  2k
N2 nk
N 2k  2k N k  n k
N2 nk Nk  1
104
und im homograden Fall analoge Formeln mit  2k   k 1   k  *). Damit sind Intervallschätzungen und Tests (bezüglich  bzw. ) durchführbar.
Mit  2k anstelle von  2k in Gl. 10.9 lauten die K finite multipliers ( N k  n k ) N k .
Aus Gl. 10.9 folgt, dass der Standardfehler  x  V X  um so kleiner ist und damit die
Schätzung um so besser ist, je homogener die K Schichten (je kleiner die K Varianzen  2k )
sind.
Aufteilung (Allokation) der Stichprobe
a) Proportionale Aufteilung:
nk Nk

,
für alle k = 1, 2, ..., K
n
N
n1
n
n
1
Konsequenz:
 2  ...  k (gleiche Auswahlsätze) und x   n k x k .
N1 N 2
Nk
n
(10.10)
b) Nichtproportionale Aufteilung

Darunter eine Möglichkeit: optimale Aufteilung. (J. Neyman). Minimierung von V  , etwa
V X nach Gl. 10.8 unter der Nebenbedingung n   n k liefert:
(10.11)
nk
N k k

n  N k k
Man kann eine optimale Aufteilung auch so bestimmen, dass die Varianz unter Einhaltung
vorgegebener Kosten der Erhebung minimiert wird. Die Kosten müssen dabei linear abhängen
von ck einem (innerhalb der k-tenSchicht gleichen) konstanten Kostenbetrag je Einheit.
Sind alle k gleich ist wegen  N k  N die proportionale Aufteilung zugleich die optimale.
Gl. 10.10 und 10.11 eingesetzt in Gl. 10.8 ergibt:
(10.12)
V X opt
2
1 
1 
Nk
n   N kk  

 
 k    k 
 ,

n 
N
n 
n 
N  
2
was offenbar nicht größer ist als1)
(10.13)
V X  prop 
1
1
N
n
 k  2k 
 k  2k .
n
N
n
n
2
N k p kq k N k  n k
.
2 n 1
N
N
k
k
*)
Wird z.B. der Parameter  durch p geschätzt, so ist bei ZoZ V P  
1)
Gleichheit wenn alle K Standardabweichungen k gleich sind. Bei den behaupteten Größen-
  

vergleich liegt der gleiche Zusammenhang vor wie bei E X 2  E X 
2
105
Der Klammerausdruck in Gl. 10.12 (zweiter Teil, runde Klammer) kann als mittlere SchichtStandardabweichung  gedeutet werden, so dass gilt:
1 N
1
1 N
2
V X prop  V X opt   k   2   k  k     0 .
n
N n
n
N
Auf die entsprechenden Formeln im Fall ZoZ soll hier verzichtet werden. Eine andere i.d.R.
nicht proportionale Aufteilung von n in n*k n   n*k wäre die Aufteilung mit vorgegebener


(gewünschter) Genauigkeit e k in jeder Schicht (Gl. 10.14a).
Schichtungseffekt
Bekanntlich gilt bei einfacher Stichprobe (ZmZ)
2
 2X  V X e inf 
,
n
wobei für die Varianz 2 der Grundgesamtheit die Varianz wie folgt in externe und interne
Varianz
K N
K N
k
2  
 k  2   k  2k  Vext  Vint  nV Xe inf ach .
k 1 N
k 1 N
zu zerlegen ist. Im Falle einer geschichteten Stichprobe mit proportionaler Aufteilung gilt
demgegenüber wegen Gl. 10.13:
Nk 2
nV X  prop  
 k  Vint   2  Vext  Vint
N
Sobald eine externe Varianz auftritt (zwischen den Schichten große Unterschiede sind) ist
der Standardfehler der Schätzung bei Schichtung kleiner als bei einfacher Stichprobe. Der
Schichtungseffekt ist um so größer je homogener (je kleiner Vint ist) die Schichten sind.
Schichtung ist auch eine Möglichkeit zu verhindern, dass zufällig kein Element einer bestimmten Schicht in einer Stichprobe vertreten ist.
Notwendiger Stichprobenumfang
Für den absoluten Fehler e im heterograden Fall ZmZ und bei proportionaler Aufteilung gilt
nach Gl. 10.8 e2  z2V X  prop , was nach Gl. 10.13 und aufgelöst nach n den folgenden
Mindeststichprobenumfang n* ergibt:
(10.14)
n* 
z2
z2
Nk 2

V

k ,
int
2
2 
N
e
e
im Unterschied zur einfachen Stichprobe (Übers. 10.2):
z2
z2
n*  2   2  2 Vint  Vext 
e
e
Entsprechende Formeln erhält man im Fall ZoZ und bei optimaler Aufteilung.
106
Es ist auch eine i.d.R. nicht-proportionale Aufteilung der Stichprobe in der Weise möglich, dass für
jede Schicht eine vorgegebene Genauigkeit (gemessen am absoluten Fehler ek) eingehalten wird, was
bei:
(10.14a)
n *k 
z2 2
 k k gewährleistet ist.
e 2k
3. Klumpenstichprobe (cluster sample) und zweistufige
Auswahl
Notation, Stichprobenpläne
Aufteilung der GG in M Klumpen (cluster) mit den Umfängen Ni (i = 1, 2, ..., M) in der GG.
Von den M Klumpen werden m zufällig ausgewählt und jeweils mit
 allen ihren Einheiten (einstufiges Auswahlverfahren*) ) ausgezählt, also mit Nj Einheiten,
wenn der j-te Klumpen in die Auswahl gelangt (j = 1, 2, ..., m),
 einer Zufallsauswahl von n j Einheiten beim ausgewählten j-ten Klumpen (Auswahlsätze
(n j N j ) 100  100% ) untersucht (zweistufige Klumpenauswahl).
Ein Klumpen ist eine natürliche (vorgefundene) Ansammlung von Untersuchungseinheiten, die in sich
möglichst heterogen sein sollte (eine verkleinerte GG) und die Klumpen sollten untereinander möglichst homogen sein. Hinsichtlich Klumpen und Schichten werden also gegensätzliche Forderungen
aufgestellt. Der in der Praxis wichtigste und aus Kostengründen besonders beliebte spezielle Fall einer
Klumpenstichprobe ist die Flächenstichprobe (area sample) mit Regionen (z.B. Gemeinden) als
Klumpen.
Mittelwertschätzung bei einstufiger Klumpenauswahl und Ni = N
a) Punktschätzung X
 N j j  j  k X jk   j
(10.15)
x   


,
mN
m
Nj
(j = 1, 2, ..., m; Stichprobenumfang n = m N , i = 1,...,M und k = 1, 2, ..., Ni = N )
Wegen der Vollerhebung innerhalb eines Klumpens ist das Klumpenmittel j ohne Stichprobenfehler
zu schätzen (allerdings nur bei den Klumpen, die in die Auswahl gelangen, j = 1, 2, ..., m). Der
Schätzwert  beruht auf den m ausgewählten Klumpen im Unterschied zum wahren Mittelwert  der
endlichen GG

 N i i
 Ni
(j=1,2,...,m, i = 1, 2, ..., M und mit N   N i  M  N ).
b) Varianz von X
Die Varianz von X bei einer Auswahl von m aus M Klumpen (ZoZ) ist
 2b M  m
2
(10.16)
V X    x 
m M 1
2
mit  b = Varianz zwischen (between) den Klumpen. Nach Definition ist das
*)
Klumpenauswahl im engeren Sinne, in der Art, wie in Übers. 8.5. In Gegenüberstellung zur geschichteten
Stichprobe beschrieben; Auswahlsatz auf der zweiten Stufe 100%. Der Stichprobenumfang n liegt dann mit
der Anzahl m der ausgewählten Klumpen fest mit n =  Nj (j = 1, 2, ..., m).
107
 2b

1
1
1 M 1 N
2
2


  N i  i    




 i
   xik  

N
M
M i1  N k 1
2
2
2
 N



1
x   
  x ik  N 

2    ik
MN i  k

i 1  k 1

Diese Summe der quadrierten Summen lässt sich zerlegen in
2
 MN  N Größen  x ik    , die in ihrer Summe die N-fache ( MN -fache)
1

MN 2
M
 
Gesamtvarianz  2 der Variable X in der (endlichen) Grundgesamtheit ergeben und
 MN N 1 Glieder der Art  x ik    x il    mit k  l, und k, l  1,2,..., N i  N.
Das Mittel dieser Produkte
M  N N

1
     x ik    x il      kl   2
MN N  1 i1  k 1l1

(die Doppelsumme in den eckigen Klammern hat N N 1 Summanden) ist die durchschnittliche Kovarianz der Betrachtungen innerhalb der Klumpen und  heißt Intraklasskorrelationskoeffizient. Er ist ein Maß der Homogenität der Klumpen.
Offenbar ist MN 2  MN  MN N  1 , so dass gilt:
(10.17)
 2b 
 2 MN N  1 2  2
2
N
VBL .




(

)


1
1
N
N
N
MN 2


Der Faktor in den eckigen Klammern wird auch Varianzaufblähungsfaktor (VBL) genannt.
Ist (was die Regel ist) VBL  1, so ist die Klumpenstichprobe nicht so wirksam wie die
einfache Stichprobe, denn Gl. 10.17 eingesetzt in Gl. 10.16 liefert:
(10.18)
V X    2X 
m
2 M  m
2 
1   N  1 
1   VBL .
n M 1
n  M


(wegen n  mN ) im Vergleich zur Varianz der Stichprobenverteilung
(10.19)
m
 2 N  n  2 MN  mN  2 M  m
2 






1  
n N 1
n
MN  1
n M 1/ N n  M 
bei einfacher Zufallsauswahl*) .
Zweistufige (Klumpen-)Auswahl
Die Varianz V X  lässt sich zerlegen in eine von  2b und eine von  2w (Varianz innerhalb
[within] der Klumpen) abhängige Komponente. Anders als in Gl. 10.15 sind die Klumpenmittelwerte  i durch x j zu schätzen. Man erhält wieder mit N j  N als Punktschätzer für
*)
Wird in Gl. 10.18 und 10.19 jeweils  2 durch  2 geschätzt, so ist im Nenner der Endlichkeitskorrektur M (bzw. N) statt M-1 (bzw. N-1) zu schreiben.
108
 .: x   x j / m . Der Stichprobenumfang ist jetzt n   n j   N j  mN , weil auf der
zweiten Stufe ausgewählt wird n j / N j  1. Für die Varianz von x erhält man mit  2b und  2W
(10.20)
V X  
1
N2
 2 1 1  2 M
1 2 
2 1
 M     b   N i     W 
m M
m
 ni Ni 


4. Weitere Stichprobenpläne
Ungleiche Auswahlwahrscheinlichkeiten: PPS-Verfahren
Prinzip: Berücksichtigung der Größe (des Merkmalsbetrags x i ) der Einheiten (i = 1,2,...,N)
einer endlichen GG bei Auswahl und Hochrechnung (Auswahl mit der Wahrscheinlichkeit w i
proportional zur Größe x i der Einheit i [probability proportional to size PPS] statt mit
w i =1/N für alle i bei einfacher Stichprobe).
Die Schätzfunktion für  lautet mit w i gem. Gl. 10.22:
1 n xj
(10.21)
X 
( j  1,2,..., n )
n j1 Nw j
xi
x
(i=1,2...,N)
 i
 x i N
Sie erlaubt eine exakte "Schätzung" von  (sogar mit n=1) wenn w i  p i , also w i identisch ist
mit dem Anteil von x i am Gesamtmerkmalsbetrag  x i . Meist wird w i jedoch mit einem
anderen Merkmal Y (etwa Y: Fläche bei der Schätzung von X: Ernteertrag) geschätzt:
y
w i  i . Es gilt bei Stichproben ZmZ
(10.23)
 yi
(10.22)
wi 
 1 n X j   1  2 n N  xi


1  1 N x2
      p i 
 V( X )  V 
    2  i2 p i   2  .
n  N i1 w i

 n j1 Nw j   n  j1 i1  Nw i

2
(10.24)
 2x
Für w i  1 N erhält man die bekannten Ergebnisse für die einfache Stichprobe E X   
und V X    2 / n . V X  nach Gleichung 10.24 ist erwartungstreu zu schätzen mit:
2
 2x

1 n  xj
  
 x w j 1  ( n  1)w j . Die Differenz zwischen der Varianz der Stichpron j1  Nw j



benverteilung von X bei einfacher Stichprobe und bei PPS ist
x2  
1 N 
V    x 2i  2 i 2  p i 
n  i1 
N w i  
.
Mit w i  1 / N gibt es keinen Genauigkeitsgewinn ( V =0) und die Varianz V X  bei PPS ist
dann kleiner ( V > 0) als bei einfacher Stichprobe, wenn der Ausdruck in den eckigen
Klammern positiv ist. Das ist z.B. der Fall, wenn für w i Gl. 10.22 gilt, denn dann ist dieser
Ausdruck x 2    2 p i  x 2   2  0, wobei x 2 das zweite und  das erste Anfangsmoment
der endlichen GG ist.
Der Abschnitt über mehrphasige Stichproben ist hier gestrichen. Eine weitere, ausführlichere
Darstellung der Stichprobentheorie findet sich in http://www.von-der-lippe.org/downloads1.php
109
Tabelle 1: Binomialverteilung xB(n,); n-xB(n,1-)
n
x
1
0
1
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
 = 0,1
f(x)
F(x)
0,
9000 0,9000
1000 1,0000
8100 0,8100
1800 0,9900
0100 1,0000
7290 0,7290
2430 0,9720
0270 0,9990
0010 1,0000
6561 0,6561
2916 0,9477
0486 0,9963
0036 0,9999
0001 1,0000
5905 0,5905
3281 0,9185
0729 0,9914
0081 0,9995
0005 1,0000
0000 1,0000
5314 0,5314
3543 0,8857
0984 0,9841
0146 0,9987
0012 0,9999
0001 1,0000
0000 1,0000
4783 0,4783
3720 0,8503
1240 0,9743
0230 0,9973
0026 0,9998
0002 1,0000
0000 1,0000
0000 1,0000
4305 0,4305
3826 0,8131
1488 0,9619
0331 0,9950
0046 0,9996
0004 1,0000
0000 1,0000
0000 1,0000
0000 1,0000
 = 0,2
f(x)
F(x)
0,
8000 0,8000
2000 1,0000
6400 0,6400
3200 0,9600
0400 1,0000
5120 0,5120
3840 0,8960
0960 0,9920
0080 1,0000
4096 0,4096
4096 0,8192
1536 0,9728
0256 0,9984
0016 1,0000
3277 0,3277
4096 0,7373
2048 0,9421
0512 0,9933
0064 0,9997
0003 1,0000
2621 0,2621
3932 0,6554
2458 0,9011
0819 0,9830
0154 0,9984
0015 0,9999
0001 1,0000
2097 0,2097
3670 0,5767
2753 0,8520
1147 0,9667
0287 0,9953
0043 0,9996
0004 1,0000
0000 1,0000
1678 0,1678
3355 0,5033
2936 0,7969
1468 0,9437
0459 0,9896
0092 0,9988
0011 0,9999
0001 1,0000
0000 1,0000
 = 0,3
f(x)
F(x)
0,
7000 0,7000
3000 1,0000
4900 0,4900
4200 0,9100
0900 1,0000
3430 0,3430
4410 0,7840
1890 0,9730
0270 1,0000
2401 0,2401
4116 0,6517
2646 0,9163
0756 0,9919
0081 1,0000
1681 0,1681
3602 0,5282
3087 0,8369
1323 0,9692
0284 0,9976
0024 1,0000
1176 0,1176
3025 0,4202
3241 0,7443
1852 0,9295
0595 0,9891
0102 0,9993
0007 1,0000
0824 0,0824
2471 0,3294
3177 0,6471
2269 0,8740
0972 0,9712
0250 0,9962
0036 0,9998
0002 1,0000
0576 0,0576
1977 0,2553
2965 0,5518
2541 0,8059
1361 0,9420
0467 0,9887
0100 0,9987
0012 0,9999
0001 1,0000
 = 0,4
f(x)
F(x)
0,
6000 0,6000
4000 1,0000
3600 0,3600
4800 0,8400
1600 1,0000
2160 0,2160
4320 0,6480
2880 0,9360
0640 1,0000
1296 0,1296
3456 0,4752
3456 0,8208
1536 0,9744
0256 1,0000
0778 0,0778
2592 0,3370
3456 0,6826
2304 0,9130
0768 0,9898
0102 1,0000
0467 0,0467
1866 0,2333
3110 0,5443
2765 0,8208
1382 0,9590
0369 0,9959
0041 1,0000
0280 0,0280
1306 0,1586
2613 0,4199
2903 0,7102
1935 0,9037
0774 0,9812
0172 0,0984
0016 1,0000
0168 0,0168
0896 0,1064
2090 0,3154
2787 0,5941
2322 0,8263
1239 0,9502
0413 0,9915
0079 0,9993
0007 1,0000
 = 0,5
f(x)
F(x)
0,
5000 0,5000
5000 1,0000
2500 0,2500
5000 0,7500
2500 1,0000
1250 0,1250
3750 0,5000
3750 0,8750
1250 1,0000
0625 0,0625
2500 0,3125
3750 0,6875
2500 0,9375
0625 1,0000
0313 0,0313
1563 0,1875
3125 0,5000
3125 0,8125
1563 0,9688
0313 1,0000
0156 0,0156
0938 0,1094
2344 0,3438
3125 0,6563
2344 0,8906
0938 0,9844
0156 1,0000
0078 0,0078
0547 0,0625
1641 0,2266
2734 0,5000
2734 0,7734
1641 0,9375
0547 0,9922
0078 1,0000
0039 0,0039
0313 0,0352
1094 0,1445
2188 0,3633
2734 0,6367
2188 0,8555
1094 0,9648
0313 0,9961
0039 1,0000
110
Tabelle 2: Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und Verteilungsfunktion F(x)
der Poisson-Verteilung
x
0
1
2
3
4
5
x
0
1
2
3
4
5
6
7
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
=0.1
f(x)
F(x)
0.9048 0.9048
0.0905 0.9953
0.0045 0.9998
0.0002 1.0000
0.0000 1.0000
=0.2
f(x)
F(x)
0.8187 0.8187
0.1637 0.9825
0.0164 0.9989
0.0011 0.9999
0.0001 1.0000
=0.3
f(x)
F(x)
0.7408 0.7408
0.2222 0.9631
0.0333 0.9964
0.0033 0.9997
0.0003 1.0000
=0.4
f(x)
F(x)
0.6703 0.6703
0.2681 0.9384
0.0536 0.9921
0.0072 0.9992
0.0007 0.9999
0.0001 1.0000
=0.5
f(x)
F(x)
0.6065 0.6065
0.3033 0.9098
0.0758 0.9856
0.0126 0.9982
0.0016 0.9998
0.0002 1.0000
=0.6
f(x)
F(x)
0.5488 0.5488
0.3293 0.8781
0.0988 0.9767
0.0198 0.9966
0.0030 0.9996
0.0004 1.0000
=0.7
f(x)
F(x)
0.4966 0.4966
0.3476 0.8442
0.1217 0.9659
0.0284 0.9942
0.0050 0.9992
0.0007 0.9999
0.0001 1.0000
=0.8
f(x)
F(x)
0.4493 0.4493
0.3595 0.8088
0.1438 0.9526
0.0383 0.9909
0.0077 0.9986
0.0012 0.9998
0.0002 1.0000
=0.9
f(x)
F(x)
0.4066 0.4066
0.3659 0.7725
0.1647 0.9371
0.0494 0.9865
0.0111 0.9977
0.0020 0.9997
0.0003 1.0000
=1
f(x)
F(x)
0.3679 0.3679
0.3679 0.7358
0.1839 0.9197
0.0613 0.9810
0.0153 0.9963
0.0031 0.9994
0.0005 0.9999
0.0001 1.0000
=1.5
f(x)
F(x)
0.2231 0.2231
0.3347 0.5578
0.2510 0.8088
0.1255 0.9344
0.0471 0.9814
0.141 0.9955
0.0035 0.9991
0.0008 0.9998
0.0001 1.0000
=2
f(x)
F(x)
0.1353 0.1353
0.2707 0.4060
0.2707 0.6767
0.1804 0.8571
0.0902 0.9473
0.0361 0.9834
0.0120 0.9955
0.0034 0.9989
0.0009 0.9998
0.0002 1.0000
=3
f(x)
F(x)
0.0498 0.0498
0.1494 0.1991
0.2240 0.4232
0.2240 0.6472
0.1680 0.8153
0.1008 0.9161
0.0504 0.9665
0.0216 0.9881
0.0081 0.9962
0.0027 0.9989
0.0008 0.9997
0.0002 0.9999
0.0001 1.0000
=4
f(x)
F(x)
0.0183 0.0183
0.0733 0.0916
0.1465 0.2381
0.1954 0.4335
0.1954 0.6288
0.1563 0.7851
0.1042 0.8893
0.095 0.9489
0.0298 0.9786
0.0132 0.9919
0.0053 0.9972
0.0019 0.9991
0.0006 0.9997
0.0002 0.9999
0.0001 1.0000
=5
f(x)
F(x)
0.0067 0.0067
0.0337 0.0404
0.0842 0.1247
0.1404 0.2650
0.1755 0.4405
0.1755 0.6160
0.1462 0.7622
0.1044 0.8666
0.0653 0.9319
0.0363 0.9682
0.0181 0.9863
0.0082 0.9945
0.0034 0.9980
0.0013 0.9993
0.0005 0.9998
0.0002 0.9999
0.0000 1.0000
111
Tabelle 3: Standardnormalverteilung N(0,1)
Zur Erklärung der Funktionen F(z) und (z) vgl. Seite 6.:
Dichtefunktion
z
2
f ( z) 
1  z2
e
2
Verteilungsfunktion
z
2
u

1
2
F(z) 
e
du
2 
Symmetrische Intervallwahrscheinlichkeit
z
2
u

1
2
e
du
(z) 
2 z
0
0.3989
0.5000
0.0000
0.1
0.3970
0.5398
0.0797
0.2
0.3910
0.5793
0.1585
0.3
0.3814
0.6179
0.2358
0.4
0.3683
0.6554
0.3108
0.5
0.3521
0.6915
0.3829
0.6
0.3332
0.7257
0.4515
0.7
0.3122
0.7580
0.5161
0.8
0.2897
0.7881
0.5763
0.9
0.2661
0.8159
0.6319
1.0
0.2420
0.8413
0.6827
1.1
0.2178
0.8649
0.7287
1.2
0.1942
0.8849
0.7699
1.3
0.1714
0.9032
0.8064
1.4
0.1497
0.9192
0.8385
1.5
0.1295
0.9332
0.8664
1.6
0.1109
0.9452
0.8904
1.7
0.0940
0.9594
0.9109
1.8
0.0790
0.9641
0.9281
1.9
0.0656
0.9713
0.9426
2.0
0.0540
0.9772
0.9545
2.1
0.0440
0.9821
0.9643
2.2
0.0355
0.9861
0.9722
2.3
0.0283
0.9893
0.9786
2.4
0.0224
0.9918
0.9836
2.5
0.0175
0.9938
0.9876
2.6
0.0136
0.9953
0.9907
2.7
0.0104
0.9963
0.9931
2.8
0.0079
0.9974
0.9949
2.9
0.0060
0.9981
0.9963
3.0
0.0044
0.9987
0.9973
Wichtige Signifikanzschranken und Wahrscheinlichkeiten
a) z-Werte für gegebene Wkt. 1 - 
b) Wkt. für gegebenes z
P=1-
90%
95%
99%
99,9%
einseitig F(z)
1,2816
1,6449
2,3263
3,0902
zweiseitig (z)
 1,6449
 1,9600
 2,5758
 3,2910
z
0
1
2
3
F(z)
0,5000
0,8413
0,9772
0,9987
(z)
0,0000
0,6827
0,9545
0,9973
112
Tabelle 4: Die t-Verteilung (Student-Verteilung) für r Freiheitsgrade
linksseitige Konfidenzintervalle t r  t r ,p ( p  1   ) , Werte für t r ,p
p
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
80
100
200
500

.90
.95
.975
.99
.995
3.08
1.89
1.64
1.53
1.48
1.44
1.41
1.40
1.38
1.37
1.36
1.36
1.35
1.35
1.34
1.34
1.33
1.33
1.33
1.33
1.32
1.32
1.32
1.32
1.32
1.32
1.31
1.31
1.31
1.31
1.30
1.30
1.29
1.29
1.29
1.28
1.282
6.31
2.92
2.35
2.13
2.02
1.94
1.89
1.86
1.83
1.81
1.80
1.78
1.77
1.76
1.75
1.75
1.74
1.73
1.73
1.72
1.72
1.72
1.71
1.71
1.71
1.71
1.70
1.70
1.70
1.70
1.68
1.67
1.66
1.66
1.65
1.65
1.645
12.71
4.30
3.18
2.78
2.57
2.45
2.36
2.31
2.26
2.23
2.20
2.18
2.16
2.14
2.13
2.12
2.11
2.10
2.09
2.09
2.08
2.07
2.07
2.06
2.06
2.06
2.05
2.05
2.05
2.04
2.02
2.00
1.99
1.98
1.97
1.96
1.960
31.82
6.96
4.54
3.75
3.36
3.14
3.00
2.90
2.82
2.76
2.72
2.68
2.65
2.62
2.60
2.58
2.57
2.55
2.54
2.53
2.52
2.51
2.50
2.49
2.49
2.48
2.47
2.47
2.46
2.46
2.42
2.39
2.37
2.36
2.35
2.33
2.326
63.66
9.92
5.84
4.60
4.03
3.71
3.50
3.36
3.25
3.17
3.11
3.05
3.01
2.98
2.95
2.92
2.90
2.88
2.86
2.85
2.83
2.82
2.81
2.80
2.79
2.78
2.77
2.76
2.76
2.75
2.70
2.66
2.64
2.63
2.60
2.59
2.576
Ablesebeispiel für symmetrisches, zweiseitiges Intervall bei r = 5,
p  1    0. 9  t r ,p  2. 02 .
113
Tabelle 5: 2-Verteilung
p
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
0.005
0.01
.025
.05
.95
.975
.99
.995
.00
.01
.07
.21
.41
.68
.99
1.34
1.73
2.16
2.60
3.07
3.57
4.07
4.60
5.14
5.70
6.26
6.84
7.43
8.03
8.64
9.26
9.89
10.52
11.16
11.81
12.46
13.12
16.79
20.71
27.99
35.53
43.28
51.17
59.20
67.33
.00
.02
.11
.30
.55
.87
1.24
1.65
2.09
2.56
3.05
3.57
4.11
4.66
5.23
5.81
6.41
7.01
7.63
8.26
8.90
9.54
10.20
10.86
11.52
12.20
12.88
13.56
14.26
14.95
22.16
29.71
37.48
45.44
53.54
61.75
70.06
.00
.05
.22
.48
.83
1.24
1.69
2.18
2.70
3.25
3.82
4.40
5.01
5.63
6.26
6.91
7.56
8.23
8.91
9.59
10.28
10.98
11.69
12.40
13.12
13.84
14.57
15.31
16.05
16.79
24.43
32.36
40.48
48.76
57.15
65.65
74.22
.00
.10
.35
.71
1.15
1.64
2.17
2.73
3.33
3.94
4.57
5.23
5.89
6.57
7.26
7.96
8.67
9.39
10.12
10.85
11.59
12.34
13.09
13.85
14.61
15.38
16.15
16.93
17.71
18.49
26.51
34.76
43.19
51.74
60.39
69.13
77.93
3.84
5.99
7.81
9.49
11.07
12.59
14.07
15.51
16.92
18.31
19.68
21.03
22.36
23.68
25.00
26.30
27.59
28.87
30.14
31.41
32.67
33.92
35.17
36.42
37.65
38.89
40.11
41.34
42.56
43.77
55.76
67.50
79.08
90.53
101.88
113.15
124.34
5.02
7.38
9.35
11.14
12.83
14.45
16.01
17.53
19.02
20.48
21.92
23.34
24.74
26.12
27.49
28.85
30.19
31.53
32.85
34.17
35.48
36.78
38.08
39.36
40.65
41.92
43.19
44.46
45.72
46.98
59.34
71.42
83.30
95.02
106.63
118.14
129.56
6.63
9.21
11.34
13.28
15.09
16.81
18.48
20.09
21.67
23.21
24.73
26.22
27.69
29.14
30.58
32.00
33.41
34.81
36.19
37.57
38.93
40.29
41.64
42.98
44.31
45.64
46.96
48.28
49.59
50.89
63.69
76.15
88.38
100.43
112.33
124.12
135.81
7.88
10.60
12.84
14.86
16.75
18.55
20.28
21.96
23.59
25.19
26.76
28.30
29.82
31.32
32.80
34.27
35.72
37.16
38.58
40.00
41.40
42.80
44.18
45.56
46.93
48.29
49.64
50.99
52.34
53.67
66.77
79.49
91.95
104.22
116.32
128.30
140.17
114
Peter von der Lippe
Teil II Übungsaufgaben zur Induktiven Statistik
Lösungen ab S. 191
Gliederung von Teil II
Kap.1:
Kap.2:
Kap.3:
Kap.4:
Kap.5:
Kap.6:
Kap.7:
Kap.8:
Kap.9:
Kap.10:
Einführung, Stichprobenraum
Kombinatorik
Ereignisalgebra, Wahrscheinlichkeit
3.1. Mengenoperationen mit Ereignissen
3.2. Wahrscheinlichkeitsbegriff
3.3. Additionssätze
3.4. Multiplikationssätze, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit
3.5. Totale Wahrscheinlichkeit, Theorem von Bayes
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilung
4.1. Eindimensionale Zufallsvariable
4.2. Zweidimensionale Zufallsvariable
4.3. Linearkombination und -transformation
4.4. Erzeugende Funktionen
Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
5.1. Zweipunktverteilung
5.2. Geometrische Verteilung, Binomialverteilung
5.3. Hypergeometrische Verteilung
5.4. Poissonverteilung
Spezielle stetige Verteilungen
6.1. lineare Verteilungen, Gleichverteilung (stetig)
6.2. Normalverteilung
Grenzwertsätze, Stichprobenverteilung
7.1. Tschebyscheffsche Ungleichung, Grenzwertsätze, stochastische
Konvergenz
7.2. Stichprobenverteilungen
Schätztheorie
8.1. Maximum-Likelihood-Methode
8.2. Punktschätzung
8.3. Intervallschätzung (Mittel- und Anteilswert)
8.4. Konfidenzintervallschätzung für die Differenz von zwei Mittelbzw. Anteilswerten
Testtheorie
9.1. Test für Mittel- und Anteilswerte (Ein-Stichproben-Fall)
9.2. Signifikanztests für Mittel- und Anteilswertdifferenzen
(zwei unabhängige Stichproben)
Stichprobentheorie
10.1. Notwendiger Stichprobenumfang
10.2. Hochrechnung
10.3. Geschichtete Stichproben
115
Aufgaben zu Kapitel 1 und 2
Aufgabe 1.1
Drei Personen spielen zwei Runden eines Glücksspiels. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person A zweimal gewinnt?
Aufgabe 1.2
In der Mensa X kann man aus drei
Beilagen (A,B,C) zwei auswählen
(auch dieselbe Beilage zweimal).
Wie wahrscheinlich wählt man die
Kombination AA (wenn alle Beilagen als gleich gut oder gleich
schlecht empfunden werden)?
Aufgabe 2.1
Vier Freunde schreiben sich gegenseitig Weihnachtsgrüße ( Postkarten). Wieviele Postkarten muß
die Post befördern?
Aufgabe 2.2
In wievielen verschiedenen Reihenfolgen kann man 4 Flaschen
Pils, 3 Flaschen Alt, 2 Wodka und
1 Doppelkorn trinken?
Aufgabe 2.3
a)
Wieviele Möglichkeiten gibt
es beim Zahlenlotto 6 aus 49?
b)
Wieviele dieser Möglichkeiten enthalten die Zahl 17?
116
Aufgabe 2.4
Im Morsealphabet sind Buchstaben Kombinationen von Punkt und Strich. Wievielstellig müssen die Kombinationen sein, damit hierdurch 26 Buchstaben gebildet werden
Können?
Aufgabe 2.5
Die Condesa (Gräfin) Alma de
Rano aus Amphibien glaubte fest
an das Märchen vom Froschkönig
aus dem fernen Deutschland. In
den 20 Teichen, 8 Seen und 2
Flüssen von Amphibien lebten ...
Frösche (F), ... Spitzkrokodile (K)
und ... Fische (piscis P). Es war
das Lebenswerk des schrulligen
Statistikers Pedro de las Tablas,
diese Zahlen festzustellen.
a)
Eines Tages beschließt die
Gräfin, sich einer Stichprobe
von 5 Teichen, 3 Seen und
einem Fluß küssend zu nähern, um dort eben den
Frosch zu finden, der sich
beim Kuß in einen Prinzen
verwandelt.
117
Wieviele Stichproben aus den entsprechenden Gewässern Amphibiens sind dabei
möglich?
b)
Ein Untertan belehrte die
Gräfin, dass es weniger
wahrscheinlich sei, den besagten Frosch in einem Fluß
zu finden als in einem Teich
oder See. Am ehesten sei der
"Froschkönig" in den Teichen T1,T2 oder T3 zu erwarten, vielleicht auch in den
Seen S1 oder S2.
Alma entschließt sich, wieder 3 Seen und 5 Teiche
aufzusuchen, wobei jedoch
T1, T2, T3, S1 und S2 in jedem Fall in die Stichprobe
fallen sollen. Wieviel Möglichkeiten gibt es jetzt?
Aufgabe 2.6
Diplom-Kaufmann K aus E schickte
vor der Wende sieben mit viel Liebe
selbstgebastelte Geschenke an fünf
Verwandte in der DDR, um ihnen
drüben zu Weihnachten eine Freude
zu machen. In dem beigefügten Brief
war genau beschrieben, wie die 7 Geschenke auf die 5 Verwandten aufgeteilt werden sollten. Leider ging jedoch der Brief verloren, nachdem er
von den Geheimdiensten hüben und
drüben gelesen worden war.
a)
Angenommen, die 7 Geschenke seien durchaus sehr unterschiedlich, gleichwohl
ist aber aus der Art des Geschenks noch nicht erkennbar, wem (z.B. Onkel, Tante,
Vetter etc.) es gewidmet sein könnte. Wenn die Verwandten in der DDR alle
Möglichkeiten, die Geschenke aufzuteilen, ausprobieren wollten, hätten sie viel
zu tun! Wieviele Möglichkeiten gibt es?
118
b)
Diplom-Kaufmann K aus E ist aus ökonomischen Gründen bei seiner Bastelarbeit
zur preisgünstigeren Serienproduktion übergegangen und hatte sieben gleiche Geschenke gebastelt. Wieviele Möglichkeiten gibt es jetzt die Geschenke für die 5
Verwandten zu verteilen? Auch hier ist wieder der Fall zu berücksichtigen, dass
sich auf eine Person mehrere Geschenke, bis zu 7, kumulieren können.
Aufgabe 2.7
Auf einem Parkplatz stehen n Fahrzeuge in einer Reihe nebeneinander. Auf Platz i (mit
i  1, n) steht die Luxuskarosse von Direktor D. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass nach einigen Stunden bei völlig zufälligem Kommen und Gehen die Plätze unmittelbar neben D beide leer sind, wenn am Schluß noch r Fahrzeuge (r < n) auf dem Parkplatz verbleiben?
Aufgabe 2.8
Wieviele Möglichkeiten gibt es, fünf Personen
a)
in einer Reihe
b)
an einem runden Tisch anzuordnen?
Aufgabe 2.9
Fünf Personen wollen ein Taxi nehmen, das jedoch nur zwei Personen aufnehmen kann. Von den
5 Personen sind 2 Engländer und 3 Franzosen. Unter den Engländern spricht einer nur Englisch, der
andere auch Französisch. Von den Franzosen
spricht einer nur Französisch, die beiden anderen
auch Englisch.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a)
die beiden Passagiere der gleichen Nationalität sind
b)
die gleiche Sprache sprechen
c)
von verschiedener Nationalität sind und trotzdem die gleiche Sprache sprechen?
119
Aufgabe 2.10
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 beliebig ausgewählten Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben?
Aufgaben zu Kapitel 3
Aufgabe 3.1.1
Man untersuche, ob die folgenden Aussagen allgemeingültig sind oder nur unter bestimmten Bedingungen (welchen?) gelten (bitte ankreuzen bzw. Bedingungen angeben).
Aussage
1
wenn AB  AC,
dann B  C
2
wenn ABC=AB
dann B  C
3
(AB) - A = B
4
 - (A  C) =
AB
gilt stets
gilt nur, wenn ...
gilt nie
120
5
(A-B)  (A-C)
= A-BC
6
AB - AC = BC
7
AB - AC =
AB - ABC
8
A-B=B-A
Aufgabe 3.1.2
In den folgenden Venn-Diagrammen
sind die Ereignisse
a) F \ S
durch Schattierungen hervorzuheben!
_
b) F  S
_
c) F  S
_ _
d) F \ S
121
Aufgabe 3.1.3
Nach langjähriger intensiver Forschungstätigkeit gelangte ein namhafter Experte
der Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre
zur fundamentalen Erkenntnis, dass ein
Beitrieb ein System sei, welches mit seiner Umwelt in einen Leistungsaustausch
tritt.
Im Falle eines Straßenhändlers der
Schreibwarenbranche habe man es aber
mit einem Potential- und nicht einem
Permanenzbetrieb zu tun, da sich die
Umwelt in Gestalt von Kunden nur von
Zeit zu Zeit dem Einwirkungsbereich des
Systems nähere.
Hinzukommt, dass es einige Potentialbetriebe (Ereignis P) gäbe, die ohne Gewerbeschein betrieben werden (sog. Kryptobetriebe [Ereignis K]), während es andererseits auch Kryptobetriebe gäbe, die
keine Permanenzbetriebe seien.
Symbolisieren Sie im Venn-Diagramm die folgenden Ereignisse und beschreiben Sie
diese in Worten:
Ereignis
PK
PK
K
KP
KP
Venn-Diagramm
122
Aufgabe 3.2.1
Die Menge  werde durch vier Ereignisse A, B, C und D vollständig zerlegt. Für die
Wahrscheinlichkeiten gelte P(A)=1/3, P(B)=1/4, P(C)=0, P(D)=3/12, P(AB)=7/12,
P(AD)=1/2. Sind die Axiome von Kolmogoroff erfüllt?
Aufgabe 3.2.2
Karl Meier, statistisch vorgebildeter Angestellter einer Sterbekasse, hat folgende Berufskrankheit: beim Anblick eines PKW erkennt er blitzschnell, welche möglichen Todesfälle auftreten können und schreibt eine entsprechende Liste auf, die man als Statistiker ............ nennt.
Eines Tages sieht er in einem Auto Vater (V), Mutter (M), Schwiegermutter (S) und
Kind (K) sitzen. Wie lautet Meiers Liste?
Man zeige an einem Beispiel, dass für beliebige Teilmengen aus dieser Liste gilt, dass
Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und
Komplement selbst wieder Elemente dieser
Liste darstellen!
Aufgabe 3.2.3
In einem Straßencafé sitzen drei Männer und
machen sich Gedanken darüber ob die vorbeiziehende Passantin P eine "Klassefrau" sei
(Ereignis K). Kann man die Wahrscheinlichkeit P(K) bestimmen nach dem
a)
b)
c)
klassischen ...
statistischen ...
subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff?
Aufgabe 3.2.4
Kann man eine Wahrscheinlichkeit P über einen Stichprobenraum  dergestalt definieren, dass für zwei Elemente A und B von 
gilt:
a)
P(A) = 0,9,
P(B) = 0,05
und
P(A  B) = 0,3
b)
P(A) = 0,9,
1
2,
P(A) =
2
P(B) = 0,3
1
2,
P(B) =
2
und
P(A  B) = 0,05
c)
P(A  B) = 0,5 und P(A  B) = 2  1 2 ?
123
Aufgabe 3.2.5
Bekanntlich treten in Märchen Ereignisse auf,
die im Alltagsleben so gut wie nie auftreten,
z.B. die Verwandlung eines Frosches in einen
Prinzen (Ereignis V).
a)
Gleichwohl ist auch im Alltagsleben das
Ereignis V nicht im logisch-wissenschaftlichen Sinne unmöglich, wenngleich P(V) praktisch Null sein dürfte.
Ein Statistiker habe eine Millionen
Frosch-Küsse von Prinzessinnen beobachtet, aber trotzdem keinen Fall erlebt,
in dem sich ein Frosch in einen Prinzen
verwandelt hat. Er kann daraus folgern:
O
P(V) = 0
O
0  P(V)  1/1.000.000
O
er kann keine derartigen
Folgerungen ziehen
Angenommen, es sei P(V) = p
= 1/5.000.000. Wie groß ist
dann die exakte Wahrscheinlichkeit des obigen Stichprobenbefundes?
b)
c)
Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff liegt hier zugrunde?
O klassisch
O statistisch
O geometrisch
O .................
Die folgenden Ereignisse mögen eine vollständige Zerlegung  bilden:
G: Verwandlung in einen Grafen
K: Verwandlung in (leider nur) einen Diplom-Kaufmann
V: keine Verwandlung
Wie lautet das sichere Ereignis? Nennen Sie ein Beispiel für ein unmögliches Ereignis! Warum ist  , K, KG  keine -Algebra?
124
Aufgabe 3.3.1
Die Kunden eines Kaufhauses kaufen im 1.Stock (nicht: nur
im ersten Stock) mit einer Wahrscheinlichkeit von
P(A)=0,25, im 2.Stock mit P(B)=0,3 und sowohl im ersten
als auch im zweiten Stock mit P(AB)=0,05. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit P(AB), dass ein Kunde entweder
im ersten oder im zweiten Stock einkauft? Kann man aus
den Zahlen erkennen, dass das Kaufhaus noch mehr Stockwerke haben muß, z.B. einen dritten Stock oder einen Keller?
Aufgabe 3.3.2
Für die Ereignisse A, B, C aus einem Ereignissystem gilt
P(A) = 0,5
P(B) = 0,2
P(C) = 0,3
P(AB) = 0,6
P(AC) = 0,6
P(BC) = 0,1
P(ABC) = 0,02
Man berechne die Wahrscheinlichkeiten für:
P(BC) =
P(AC) =
P(AB) =
P(ABC) =
Aufgabe 3.4.1
Bei einem Kartenspiel mit 32 Karten darf ein Spieler zweimal ziehen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass er entweder im ersten oder im zweiten Zug einen Buben zieht
a)
bei Ziehen ohne Zurücklegen?
b)
bei Ziehen mit Zurücklegen?
(Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten, wenn es heißt: entweder im ersten oder im zweiten Zug oder in beiden Zügen?)
Aufgabe 3.4.2
Von einem dreimotorigen Fluggerät älterer Bauart ist anzunehmen, dass jeder Motor
während eines geplanten Fluges von 10 Stunden mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit von 0,9 ungestört laufen wird.
a)
b)
c)
Wie wahrscheinlich ist es, dass x=0, x=1, x=2 bzw. x=3 Motoren während des
Fluges ausfallen werden?
Es ist zu erwarten, dass im Durchschnitt ... Motoren ausfallen werden.
Geben Sie das zu dieser Aufgabe passende Urnenmodell an.
125
Aufgabe 3.4.3
Graf Sigismund von Rieselkalk sorgt sich um den Fortbestand seines uralten vornehmen
Geschlechts, denn erfahrungsgemäß setzt dies in einer Generation mindestens zwei
Söhne voraus. Auf wieviele Kinder sollten sich die Rieselkalks einrichten, um mit einer
Wahrscheinlichkeit von 11/16 (also 68,75%) mindestens zwei Söhne zu haben?
Aufgabe 3.4.4
Für die Firma X bemühen sich drei Vertreter
(A,B,C) unabhängig voneinander den Großkonzern G von den Vorzügen der Produkte
von X zu überzeugen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es A gelingt G vom Kauf zu überzeugen sei 1/8. Bei B sei diese Wahrscheinlichkeit 1/6 und bei C sei sie 1/5. Es bestehe
stochastische Unabhängigkeit.
Wie wahrscheinlich ist es, dass G
-
von keinem der drei Vertreter (sei es A,
B oder C) zum Kauf überredet wird?
-
von einem der drei Vertreter (sei es A, B
oder C) zum Kauf überredet wird?
Aufgabe 3.4.5
Auf einer einsamen Insel sitzt der schiffbrüchige Diplom-Kaufmann K aus E. Dank seiner vorzüglichen Statistikausbildung ist er in der Lage, die Wahrscheinlichkeit dafür zu
berechnen, dass er im Verlaufe des nächsten Jahres gerettet wird (Ereignis R), was jedoch voraussetzt, dass ein Schiff in Sichtweite vorbeifährt (S), was K an jedem Tag des
Jahres für gleich wahrscheinlich hält. Für die Ereignisse R und S gilt dann: R ist ...
[ ] abhängig von S
[ ] ein Teilereignis von S
[ ] unverträglich mit S
[ ] ein sicheres Ereignis
[ ] kein Zufallsereignis
[ ] P(R) < P(S)
[ ] P(RS) = P(R) P(S)
[ ] P(R) = P(RS)
126
Aufgabe 3.4.6
Der Chevalier de Méré, ein Freund Blaise Pascals, gewann ein Vermögen, indem er
darauf setzte, mit 4 Würfeln mindestens eine 6 zu erhalten. Méré hat intuitiv darauf vertraut, dass bei 4 Würfeln eine 6 zu erreichen sein müßte. Eine ähnlich hohe Gewinnchance vermutete er daraufhin in folgender Wette: eine Doppelsechs (Pasch) bei 24
Würfen mit zwei Würfeln. Er machte hiermit jedoch bankrott. Mit welchem Argument
hätten Sie dem Chevalier von seinem zweiten Spiel abgeraten?
Aufgabe 3.4.7
Der eifersüchtigen Hausfrau
H gelingt es trotz verfeinerter
Techniken der Befragung und
Beeinflussung ihres Ehemannes E nicht, sich Klarheit über
gewisse Vorgänge auf einer
Geschäftsreise des E zu verschaffen. Bei den allabendlichen Verhören schläft E mit
einer Wahrscheinlichkeit von
0,75 frühzeitig und stumm
ein, ohne dass es zu einem
klärenden Gespräch kommt.
Sofern E nicht einschläft, besteht auch nur eine geringe Wahrscheinlichkeit von 0,2 dafür, dass es zu einem Gespräch kommt. Wie wahrscheinlich ist es, dass E einem Verhör
seiner eifersüchtigen Gattin nicht ausweicht?
Aufgabe 3.4.8
Ein Zufallsexperiment besteht aus dem Werfen dreier idealer Würfel. Es wird behauptet, die Augensummen 9 und 10 erscheinen nicht gleich häufig, obwohl beide Summen
auf 6 Arten eintreten können (man spricht auch von Partitionen der Summe 9 bzw. 10):
"9"
"10"
= 1+2+6 = 1+3+5 = 1+4+4 = 2+2+5 = 2+3+4 = 3+3+3
= 1+3+6 = 1+4+5 = 2+2+6 = 2+4+4 = 2+3+5 = 3+3+4
Man erkläre den Sachverhalt!
Aufgabe 3.4.9
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer von zwei Würfeln die
Augenzahl 2 zeigt (Ereignis A), wenn zugleich die Summe der Augenzahlen beider
Würfel 6 ist (Ereignis B). Man zeige, dass A und B nicht stochastisch unabhängig sind.
127
Aufgabe 3.4.10
Wie groß ist die Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten
_
_
P(AB) + P(AB)
und
P(AB) + P(AB)
wenn
a)
b)
beide Ereignisse stochastisch unabhängig sind,
beide Ereignisse nicht stochastisch unabhängig sind ?
Aufgabe 3.4.11
Auf einen Regentag (R) folge mit P(SR) = 0,3 ein Sonnentag (S) und auf einen Sonnentag mit P(RS) = 0,25 ein Regentag.
a)
b)
Wie wahrscheinlich ist es, dass (heute sei ein Regentag und ein Tag ist stets entweder ein Sonnentag oder Regentag)
übermorgen wieder ein Regentag ist?
nach sieben Regentagen am achten Tag nach heute erstmals wieder die Sonne scheint? (Ansatz genügt)
ab morgen eine ganze Woche lang, insgesamt sieben Tage das gleiche Wetter herrscht?
Sind die Ereignisse R und S stochastisch unabhängig oder nicht? (Begründung erforderlich)
Aufgabe 3.4.12
Diplom-Kaufmann K aus E
hatte für die Gasfirma R in E,
bei welcher er beschäftigt ist,
20 Erdgaslieferanten im Nahen Osten zu besuchen.
Auf dem Weg zum Lieferanten L hat er sich leider in der
Wüste verirrt (vgl. Bild).
An jeder Verzweigung des Weges von W
(Standort) nach L (Ziel) setzt K Seinen Weg
ganz nach dem Prinzip des Zufalls fort. Er
kann an der Stelle C auch über B zurückkehren und sich so evtl. mehrmals im Kreis bewegen.
Wie wahrscheinlich ist es, dass K unter diesen Umständen nicht zu L gelangt?
128
Aufgabe 3.4.13
In einer entlegenen Ecke in den
Karpaten liegen die Höfe der
beiden
verfeindeten
Bauern
Andrzej und Boguslaw unmittelbar nebeneinander. Beide müssen
von Zeit zu Zeit eine bestimmte
Brücke überqueren und weil sie
spinnefeind sind, kann es passieren, dass es dabei zu tätlichen
Auseinandersetzungen (Ereignis
T) kommt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt, wenn sie sich
treffen, 0,8.
Die Wahrscheinlichkeit, dass A an einem beliebigen Tag die Brücke überquert, betrage
P(A) = 0,3. Die entsprechende Wahrscheinlichkeit sei bei Boguslaw P(B) = 0,2. Die Ereignisse A und B seien (schon wegen der durch die Feindschaft bedingte Kontaktarmut
zwischen A und B) unabhängig.
a)
Man trage ein Symbol für das gefragte zusammengesetzte Ereignis, sowie den
Zahlenwert für die Wahrscheinlichkeit in die Tabelle ein:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Wie wahrscheinlich ist es, dass
A die Brücke überquert, wenn auch
B sie überquert
A und B sich beim Überqueren der
Brücke begegnen
es zu einer tätlichen Auseinandersetzung kommt, wenn sie sich nicht
begegnen
wenigstens einer von beiden die
Brücke überquert
einer von beiden, aber nicht beide zusammen die Brücke überqueren
weder A noch B die Brücke überqueren
zwar Andrzej, aber nicht Boguslaw
die Brücke überquert
dass die beiden sich begegnen, es
aber
nicht zu einer tätlichen Auseinandersetzung kommt
dass es zu einer tätlichen Auseinandersetzung kommt
Symbol
Wahrsch.
129
b)
Wegen seiner überlegenen Körpergröße und -stärke besteht eine Wahrscheinlichkeit von P(S)=0,6, dass Boguslaw im Kampf gegen Andrzej siegt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der
Kampf zwischen beiden unentschieden
ausgeht, sei P(U) = 0,1 und die Wahrscheinlichkeit, dass Boguslaw verliert
sei P(V) = 0,3. Die drei Wahrscheinlichkeiten seien konstant.
Die drei Ereignisse bilden
[]
[]
[]
[]
einen Stichprobenraum
ein Ereignisfeld
eine  -Algebra
eine Zerlegung
Je zwei Ereignisse, etwa U und S sind
[ ] unabhängig
[ ] unverträglich
Vorgriff auf Kapitel 5
c)
d)
Wie wahrscheinlich ist es, dass Andrzej spätestens nach dem 5-ten Kampf erstmals Boguslaw besiegt? (Ansatz genügt)
Wie wahrscheinlich ist es, dass Andrzej von 10 Kämpfen nur höchstens zwei siegreich für sich entscheiden kann? (Ansatz genügt)
Aufgabe 3.4.14
Der Haushalt des arbeitslosen
Diplom-Kaufmanns K auf E
befindet sich wirtschaftlich in
einer sehr prekären Lage. Am
morgigen Tag könnten sich die
Ereignisse im guten wie im
schlechten Sinne dramatisch
zuspitzen. Es kann nämlich
sein, dass morgen
- der Gerichtsvollzieher erscheint (Ereignis A [Amtsperson]),
130
- es kann aber auch sein, dass die reiche Erbtante Beate (B) zu Besuch kommt, deren
Gunst K jedoch seinerzeit verspielt hatte, als er in der Statistik-Klausur durchfiel.
Es sei P(A) = 0,6, P(B) = 0,2 und
P(BA) = 0,3.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) A und B
b) einer von beiden (A oder B)
oder beide
c) einer von beiden, aber nicht
beide zusammen
d) keiner von beiden (weder A
noch B)
zu Besuch kommt?
Aufgabe 3.4.15
Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit komme es zu einem sogenannten "Streik" von
Studenten, d.h. zu einer kollektiven Verweigerung der Leistung (!) "Anhören einer Vorlesung".
a)
b)
Wie wahrscheinlich ist es bei der konstanten Streikwahrscheinlichkeit von p = 0,3
jedes Semester, d.h. stochastisch unabhängigen Streiks, dass Sie in den nächsten
sechs Semestern noch mindestens einen Streik miterleben werden? (Pro Semester
gibt es immer entweder 0 oder 1 Streik)
Wie wahrscheinlich ist es, dass die Studenten in den nächsten drei Semestern
noch wenigstens einen (höchstens zwei) Streiks erleben werden, wenn für drei
Streiks S1, S2, S3 gilt: P(S1) = 0,3 , P S 2 S1   0,4 , P ( S 2 S1 )  0,7 ,


P S 3 S1  S 2   0,8 , und P S3 S1  S 2  0,9 ?
c)
d)
Angenommen, bei dem Ereignis "Streik" (S) käme es mit großer Wahrscheinlichkeit P(AS) = 0,8 zu heftigen Auseinandersetzungen (A) mit einem als rechtsradikalem Psychopathen bekannten Professor. Es kann aber auch zu solchen Auseinandersetzungen kommen, ohne dass gestreikt wird, denn P(A S) = 0,4 . Es sei
weiter P(S) = 0,4. Man berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
P(AS) =
P(A) =
P(SA) =
P(A  A) =
P(A\S) =
Es gelte P(AS) = 0,3 , P(A) = 0,4 sowie P(S) = 0,6. Welche Ereignisse bilden
eine vollständige Zerlegung und welche Wahrscheinlichkeiten müssen für diese
Ereignisse gelten, damit die Kolomogoroffschen Axiome erfüllt sind?
Gegen welches der Kolmogoroffschen Axiome verstößt man, wenn man folgende
Wahrscheinlichkeiten annimmt:
P(AS) = 0,4,
P(A) = 0,3
sowie
P(S) = 0,6 ?
131
Aufgabe 3.4.16
Der im Außendienst (Versicherungen!) beschäftigte Diplom Kaufmann K aus E ist leider sehr eifersüchtig, da seine Gattin Kontakt mit
einem Nebenbuhler pflegt.
Die zu betrachtenden Ereignisse sind
wie folgt definiert: N = Nebenbuhler
zu Hause; K = Dipl.-Kfm. K zu Hause
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:
P(NK) = 0,01, P(N K ) = 0,85 und
P(K) = 0,6.
Wie wahrscheinlich ist es, dass N im Hause ist und wie wahrscheinlich ist es, dass K in
seinem Haus den Nebenbuhler N trifft?
Aufgabe 3.4.17
Man spiele mit zwei Würfeln und es seien drei Ereignisse wie folgt definiert
A1:
A2:
A3:
der erste Würfel zeigt eine ungerade Augenzahl,
der zweite Würfel zeigt eine ungerade Augenzahl,
die Summe der beiden Augenzahlen ist ungerade.
a)
Welche der drei Ereignisse sind paarweise unabhängig?
b)
Sind alle drei Ereignisse wechselseitig unabhängig?
Aufgabe 3.4.18
Unter den Aktienhändlern der Frankfurter Wertpapierbörse ergab eine Umfrage, dass
70% Abonnenten der FAZ sind (Ereignis F), während 20% das Handelsblatt nicht
abonnieren (Ereignis H ). 90% der Abonnenten der FAZ abonnieren darüber hinaus
auch das Handelsblatt.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1) ein zufällig ausgewählter Händler keine der beiden Zeitungen abonniert hat?
2) ein zufällig ausgewählter Händler beide Zeitungen täglich liest?
3) ein zufällig ausgewählter Händler nur eine der beiden Zeitungen abonniert?
b)
Sind die Ereignisse F und H unabhängig?
c)
10% der Handelsblatt-Leser und 5% der Nicht-Handelsblatt-Leser kaufen heimlich auch die Bildzeitung.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Aktienhändler
die Bildzeitung liest?
132
Aufgabe 3.5.1
a)
b)
Bei einer Klausur im Fach X gäbe es zwei Gruppen von Teilnehmern: Könner
(Gruppe I, Anteil: 40 vH) und Nichtkönner (Gruppe II, Anteil: 60 vH). Die Wahrscheinlichkeit die Klausur zu bestehen, sei bei der Gruppe I 0,9 und bei der Gruppe II 0,1.
Wie wahrscheinlich ist es ...
... die Klausur zu bestehen?
... unter denjenigen, die sie bestehen, einen Nichtkönner anzutreffen?
Führen Sie die gleiche Betrachtung für das Fach Y durch, in dem die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten die Klausur zu bestehen bei Gruppe I 0,6 und bei
Gruppe II 0,3 sein mögen und für das Fach Z, in dem die Wahrscheinlichkeiten in
beiden Gruppen gleich, nämlich 0,42 sind ?
Aufgabe 3.5.2
Bei der Tour de Trance, einer berühmten Radrennfahrt über 21 Etappen starten 180
Teilnehmer. Es ist im allgemeinen davon auszugehen, dass ein Zehntel der Rennfahrer
gedopt ist (Ereignis D). Die Wahrscheinlichkeit dafür dass ein gedopter Fahrer einen
Etappensieg herausfährt betrage P(SD)=0,3 und ohne Doping 0,1.
a)
b)
c)
Sind die Ereignisse S und D stochastisch voneinander unabhängig (Begründung!)?
Wie wahrscheinlich ist es, einen Etappensieg herauszufahren?
Teilnehmer T siegte überraschend bei der ersten Etappe. Wie wahrscheinlich ist
es, dass er gedopt war?
Aufgabe 3.5.3
Dem Student S steht als letzte Bewährungsprobe auf dem Weg zum Diplomkaufmann
noch die mündliche Prüfung im Fache .... bevor, die vor zwei Prüfern abgelegt werden
muß. In diesem Fach gibt es fünf Prüfer, wobei drei als milde und zwei als scharf bekannt sind. Die Wahrscheinlichkeit, das Examen zu bestehen (Ereignis B) hängt von der
Anzahl X der scharfen, bzw. von Y = 2-X, der Anzahl der milden Prüfer, ab. Es sei
P(Bx=0) = 0,9 , P(Bx=1) = 0,5 und P(Bx=2) = 0,3.
a)
b)
c)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird S seine Prüfung bestehen, wenn er sich die
zwei Prüfer frei auswählen kann?
Man zeige, dass S die Prüfung nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 besteht,
wenn er die Prüfer nicht frei auswählen kann, sondern diese durch Los bestimmt
werden (wobei dann P(x=0) = 0,3 und P(x=1) = 0,6).
Ein zufällig ausgewählter Student S hat das Examen bestanden. Wie wahrscheinlich ist es, dass er zu den Studenten gehört, die
- nur von milden (x=0)
- nur von scharfen (x=2)
Prüfern geprüft worden sind, wenn die Prüfer nach dem Zufallsprinzip (durch
Los) bestimmt worden sind?
133
Aufgabe 3.5.4
Wie groß ist in Aufg. 3. 4.3 die Wahrscheinlichkeit des Absturzes des Fluggeräts,
wenn die Wahrscheinlichkeit des Absturzes
beim Ausfallen von
0 Motoren 0,01
1 Motor 0,1,
2 Motoren 0,7
3 Motoren 1
beträgt.
Aufgabe 3.5.5
Bei einem längeren Flug kann es
schon einmal vorkommen, dass eine Crew einen Funkspruch überhört und sich so Ärger mit den Radarlotsen einhandelt oder dass andere Unregelmäßigkeiten eintreten
(Ereignis R). Kapitän K fliegt nicht
ungern mit dem Copiloten A. Es
kommt dann jedoch bei jedem
zweiten Flug zu einer Unregelmäßigkeit, so dass P(RA) = 0,5 ist,
während dies beim schweigsamen
Copiloten B nur bei jedem achten
Flug der Fall ist.
Wenn K bei fünf von neun Flügen
mit A und bei vier von neun Flügen
mit B zusammen im Cockpit sitzt,
wie groß ist dann P(R) und
P(AR)?
Aufgabe 3.5.6 (für Fortgeschrittene)
Ein Spieler S versucht beim Werfen einer Münze das richtige Ergebnis (Kopf oder
Zahl) vorherzusagen. Gelingt ihm dies, so erhält er 1 DM, andernfalls zahlt er 1 DM.
Natürlich kann das Spiel endlos sein. S spielt jedoch so lange, bis er entweder sein Anfangskapital K verspielt hat (Ruin) oder einen vorher vereinbarten Betrag B  K angesammelt hat.
Man zeige, dass die Wahrscheinlichkeit des Ruins hier genau 1- K/B beträgt.
134
Aufgaben zu Kapitel 4
Aufgabe 4.1.1
a)
Eine Münze kann auf Kopf K oder Wappen W fallen, so dass i = {K,W} der
Stichprobenraum beim i-ten Wurf ist. Man bilde das Produkt aus 1, 2 und 3
und definiere die Zufallsvariable X = Anzahl der Wappenwürfe. Welche Ausprägungen kann X annehmen? Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion für
X!
b)
Eine Münze sei auf einer Seite (Wappen) beschwert, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf das Wappen fällt (d.h. Wappen gezeigt wird) P(W)=1/3
ist. x = 0,1,2,3 sei die Anzahl der bei drei Würfen mit dieser Münze erzielten
"Wappen". Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X!
c)
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die beiden
Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Teil a) und b).
Aufgabe 4.1.2
Die stetige Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion.
1
 x für 0  x  2
f ( x)   2
 0
sonst
a)
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x) und den Erwartungswert E(X).
b)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(0,5  x  1,5)!
Aufgabe 4.1.3
Gegeben sei die stetige Funktion
135

f(x) = 

1
1
1
- 72 x2 + 12 x + 12
für 0  x  6
0
für sonstige
a)
Man zeige, dass f(x) eine Dichtefunktion sein kann!
b)
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit P(1  x  5)!
c)
Man bestimme den Erwartungswert und die Varianz von X!
Aufgabe 4.1.4
Der Geschäftsmann G sucht eine Anlage für einen größeren Geldbetrag. Dabei spielt er
mit dem Gedanken, sich an dem Unternehmen des dynamischen aber nicht sehr seriösen
Unternehmers U zu beteiligen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anlage bei U sicher ist,
sei P(S)=0,4 und die Wahrscheinlichkeit, dass sie rentabel ist, sei P(R)=0,8. Dabei seien
R und S stochastisch unabhängig.
Man berechne die Erwartungswerte der Nutzen, wenn die Werte des sich jeweils ergebenden Nutzens wie folgt lauten:
RS
_
RS
_
RS
__
RS
beteiligen
10
2
3
0
nicht beteiligen
0
6
4
20
Kann sich G für eine der beiden Strategien (beteiligen oder nicht beteiligen) aufgrund
des Erwartungswertes des Nutzens entscheiden?
Aufgabe 4.1.5 (Petersburger Spiel)
Bei einer Spielbank wird der Einsatz von Y verlangt. Man erhält eine Auszahlung A in
Höhe von 2m, wenn bei m Würfen mit einer (regulären) Münze m mal Wappen erscheint. Wie groß sollte der Einsatz Y sein, damit sich das Spiel lohnt, d.h. damit der
Gewinn X=A-Y nicht negativ wird?
Aufgabe 4.1.6
Auch entlegenden Ortes wird meist die warme
Küche gegenüber der kalten bevorzugt. Da jedoch die Stückzahl X der landesüblichen Speise zufallsbedingt stark schwankt und auf eine
frische Zubereitung viel Wert gelegt wird, ist
die richtige Dimensionierung der Kochtöpfe
ein Problem. Es gelte:
136
1 x
 
f ( x)   2 2 x
 0
für x  1,2,...
sonst
a) Zeigen Sie, dass f(x) eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist und E(X)=3 ist! Hinweis:
Für jedes 0 < q < 1 gilt mit x = 0, 1, 2,...
q
q (1+q)
 xqx = (1-q)2
und
 x2qx = (1-q)3
b) Wie ist dann Y=1+X verteilt?
Aufgabe 4.1.7
Man zeige, dass die Funktion
f(x) = x3 - 9x2 + 10,02x für 0  x  10 keine Dichtefunktion sein kann.
Aufgabe 4.1.8
Es gibt gewisse Situationen, bei
denen das Auftreten von Hunden unerwünscht ist und sogar
einer Amtsperson bei der
Wahrnehmung ihrer Dienstgeschäfte hinderlich sein kann.
Die Anzahl X der auftretenden
Hunde sei eine nichtnegative
ganzzahlige Zufallsvariable, für
die gelten möge
P(X=0) = 0,74
P(X=1) = 0,02
P(X=2) = 0,16
P(X=3) = 0,08
a)
Man bestimme
E(X)!
Es sei D das Ereignis, dass das
Dienstgeschäft
durchgeführt werden kann. Ferner
b)
1
gelte P(DX=x) = 2x für x = 0, 1, 2, 3.
Diese Wahrscheinlichkeiten P(DX) sind
[]
[]
[]
[]
eine geometrische Verteilung
in der Summe 1, oder sie sollten zumindest in der Summe 1 sein
sog. "Likelihoods"
totale Wahrscheinlichkeiten
137
[]
[]
bedingte Wahrscheinlichkeiten
a priori Wahrscheinlichkeiten
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Dienstgeschäft zur Ausführung
gelangt, also P(D)!
Aufgabe 4.1.9
Gegeben sei die Dichtefunktion
 4 x3
f(x) = 
 0
a)
b)
für 0  x  1
sonst
Warum ist f(x) eine Dichtefunktion? Welche Voraussetzungen sind zu erfüllen, damit f(x) eine Dichtefunktion
sein kann? Kann f(x) > 1 sein?
Man bestimme den Erwartungswert und die Varianz der
Zufallsvariablen X.
Aufgabe 4.1.10
Man zeige, dass die Funktion
1
f(x) = x(x+1)
für x = 1, 2, ... die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist und
dass E(X) nicht existiert.
Aufgabe 4.1.11
Man zeige, dass
 10

f(x) =  x 2
 0
a)
b)
für x > 10
sonst
eine Dichtefunktion ist;
keinen Erwartungswert besitzt.
Aufgabe 4.1.12
Die stark überdimensionierte Hausfrau H wünscht ihre Figur durch ein Schlankheitsmittel zu korrigieren. Für die tägliche Gewichtsabnahme um x Kilogramm existiert die folgende Dichtefunktion:
138
 7 1
 - x für 0  x  3
f(x) =  12 6

0
sonst
a) Man zeige, dass es sich bei f(x) in der Tat
um eine Dichtefunktion handelt.
b) Es gilt, richtige Aussagen anzukreuzen!
o Die Wahrscheinlichkeit, nur ein halbes Kilo
abzunehmen, beträgt f(0,5) = 6/12.
o Die Wahrscheinlichkeit, bis zu einem halben
Kilo an einem Tag abzunehmen, beträgt 7/12.
o Die Wahrscheinlichkeit, drei Kilo an einem
Tag abzunehmen, beträgt 1/12.
o Die obige Dichtefunktion ist eine Normalverteilung.
o Die obige Dichtefunktion ist eine Gleichverteilung.
o Die Größe f(x) darf im allgemeinen nicht über eins betragen.
o Die Größe f(x) ist im obigen Beispiel einer Dichtefunktion höchstens 7/12 und damit
kleiner als eins.
c) Man bestimme den Erwartungswert E(X) und die Varianz V(X).
d) Die Hausfrau H nehme an vier Tagen jeweils unabhängig voneinander die zufällige
Menge von X Kilogramm je Tag ab, also insgesamt X + X + X + X = Y Kilogramm.
Man bestimme Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable Y, also E(Y) und
V(Y)
Aufgabe 4.1.13
a)
Die Schlafdauer X (in Stunden) des K
sei wie folgt verteilt:
1

 - 1 + 6 x für 6  x < 8

1
f(x) =  1 - x für 8  x  12
 12
0
sonst


Diese Verteilung ist:
diskret
eindimensional
symmetrisch
stetig
zweidimensional
asymmetrisch
stückweise linear
dreidimensional
dreigipflig
139
b)
c)
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert E(X) = 26/3 = 8,667 beträgt (Ansatz genügt)!
Wie wahrscheinlich ist es, dass K mehr als zehn Stunden schläft?
(Vorgriff auf Kap. 6) Angenommen, X sei wie folgt verteilt:
1  x 7 

2 
2
 
1
f ( x) 
e 2
2 2
Wie wahrscheinlich ist es, dass K mehr als zehn Stunden schläft?
Aufgabe 4.1.14
Zeigen Sie, dass der folgende Satz:
„Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist gleich der Fläche zwischen der
Verteilungsfunktion und der Funktion F x   1 “
sowohl im stetigen als auch im diskreten Fall gilt (vgl. als Beispiel Abb. im diskreten
Fall), und zwar
a) anhand der Beispiele:
1)
2)
1
2

f x   
0


1
2 x

f x   
0


für x = 1,2
diskreter Fall
sonst
für 0  x  2
stetiger Fall
sonst
b) allgemein.
Aufgabe 4.2.1
Eine Urne beinhalte 4 schwarze und 2 weiße Kugeln und es sei
- beim ersten Zug: x=0 für eine schwarze Kugel, x=1 für eine weiße Kugel
- beim zweiten Zug: y=0 für eine schwarze Kugel, y=1 für eine weiße Kugel
Man bestimme die gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die bedingten Verteilungen und die Kovarianz, wenn aus dieser Urne zweimal gezogen wird, und zwar ...
a) ... mit Zurücklegen
b) ... ohne Zurücklegen.
140
Aufgabe 4.2.2
Die zwei Zufallsvariablen X und Y haben die folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
Y=0 (Raucher)
Y=1 (Nichtraucher)
X=0 (Lungenerkrankung)
0,11
0,02
X=1 (keine Lungenerkr.)
0,72
0,15
aus: "Smoking and Health", Wash. D.C., o.J., S.287
a)
Berechnen und interpretieren Sie die beiden
Randverteilungen und die bedingten Verteilungen sowie deren Erwartungswerte.
b)
Berechnen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten.
Aufgabe 4.2.3
Gegeben sei die gemeinsame Dichte

f(x,y) = 

21 2
1
x
+
8 y
4
0
für 0  x,y  1
für sonstige
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(0x0,5; 0y0,5) und die beiden Randverteilungen!
Aufgabe 4.2.4
Zwei Penner trinken täglich bestimmte
mehr oder weniger zufällig schwankende
Mengen x1 und x2 von Alkohol der Sorte
1 und 2 mit den (stetigen) Wahrscheinlichkeitsfunktionen f(x1) bzw. f(x2). Es
seien die Ereignisse
A:
a1  x1  b1
B:
a2  x2  b2
C:
c1  x1  d1
und a1 < c1 < b1 < d1.
Drücken Sie mit Hilfe der Dichtefunkti-
141
onen f1(x1), f2(x2) und f(x1 x2) folgende Größen aus: P(A), P(C), P(AC) sowie die Unabhängigkeit P(AB) = P(A) P(B).
Aufgabe4.2.5
Ein bestimmtes landwirtschaftliches Erzeugnis wird von einer Jury in drei Güteklassen
eingeteilt, und zwar sowohl bezüglich seines Gesamteindrucks X als auch bezüglich des
Gehalts Y an einer gewissen Substanz. Ein Erzeuger rechnet mit folgenden Wahrscheinlichkeiten, dass das von ihm eingereichte Produkt bezüglich der beiden Merkmale X
und Y in die einzelnen Güteklassen fällt:
x=1
x=2
x=3
y=1
0,05
0,05
0
y=2
0,05
0,15
0,15
y=3
0
0,1
0,45
a) Bestimmen Sie die Randverteilung von X und Y.
b) Sind der Gesamteindruck X und der Gehalt Y stochastisch unabhängig?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das eingereichte Produkt bzgl. des Gesamteindrucks X und des Gehalts Y in die Klasse 1 oder 2 fällt?
d) Der Erzeuger weiß bereits, das sein Produkt bezüglich der Substanz in die Klasse 1
gefallen ist. Mit welcher Klasse kann er unter diesem Wissen bezüglich des Gesamteindrucks rechnen?
Aufgabe 4.2.6
Der äußerst sensible Diplom-Kaufmann
K aus E gab seine hoffnungsvolle Managerkarriere auf und unternahm den Versuch, das Leben, sich selbst und die Heranbildung der menschlichen Kultur von
Grund auf neu zu erleben. Deshalb quartierte er sich zusammen mit seinem
Freund, dem Psychater P, in eine Höhle
ein. Er beobachtete ständig auf einer Skala von 0 bis 100% an sich, wie sich sein
Wohlbefinden X verändert. P meint für
die vorgenommene Zeit von Y  2 Jahre
„Aussteigerdasein“ gelte die Dichtfunktion
3 2
 x y
f  xy    2
 0
für 0  x  1 und 0  y  2
sonst
142
a)
b)
Man zeige, dass f  xy  in der Tat eine Dichtefunktion ist.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ks Wohlbefinden während des
ganzen ersten Jahres ständig über 50% liegt.
Sind die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig?
Aufgabe 4.3.1
Der Unternehmer U hat die Erfahrung gemacht, dass seine Einnahmen Z (in DM) sehr
abhängig sind von der Anzahl der am Betrieb vorbeiziehenden Passanten. Und zwar
möge
1 1
Z = 2 + 50 X
gelten, mit E(X)=100 und V(X)=900. Man bestimme E(Z) und V(Z).
Aufgabe 4.3.2
Gegeben sei die Zufallsvariable X mit E(X)=a und V(X)=2x=b2. Man berechne Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen
Z
Xa
.
b
Aufgabe 4.3.3
Gegeben sei die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung:
x\y
1
2
a)
b)
c)
0
0,1
0,2
1
0,2
0
2
0,3
0,2
Geben Sie die Randverteilungen sowie deren Erwartungswerte und Varianzen an
sowie die Kovarianz und die Korrelation!
Man bestimme für die Zufallsvariablen Z1 = X + Y und Z2 = X + 2Y die Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie Erwartungswert und Varianz!
Welche Zusammenhänge gelten zwischen den Erwartungswerten und Varianzen
von Z1 und Z2 einerseits und X und Y andererseits?
Aufgabe 4.3.4
Bekanntlich ist es bei der Brandbekämpfung vorteilhaft, wenn die Feuerwehr möglichst
früh am Brandort eintrifft. Dabei treten jedoch zwei Verzögerungen auf, die als Zufallsvariablen zu behandeln sind:
143
X1: Zeit zwischen Ausbruch des Brandes und Eingang der Brandmeldung
bei der Feuerwehr.
X2: Zeit zwischen Eingang der
Meldung und Eintreffen der Feuerwehr am Brandort.
Die Zeiten X1 und X2 seien unabhängig identisch verteilt mit E(X) =  =
E(X1) = E(X2) = 25 und V(X) = 2 =
V(X1) = V(X2) = 30.
Kreuzen Sie bitte an, wie man zutreffend die Varianz der Summe der beiden Zeiten berechnet: Z = X1 + X2.
Es gilt
die Varianz von Z ist also
Z=X+X
2z = 12 2x + 12 2x = 22x = 60
Z=2X
2z = 22 2x = 120
richtig
falsch
Begründen Sie ihre Aussage.
Aufgabe 4.3.5
X sei die Augenzahl des ersten (grünen) Würfels und
Y die Augenzahl des zweiten (gelben) Würfels. Man
definiere die Zufallsvariablen
Z1 = X - Y,
Z2 = X - Y,
Z3 = X + Y,
Z4 = X Y
und
bestimme
jeweils
die
Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert.
Aufgabe 4.4.1
Die folgenden Dichtefunktion hat keinen Parameter
 xe  x für 0  x  
f x   
sonst
 0
Man zeige, dass für diese Wahrscheinlichkeitsverteilung (es ist der Spezialfall  = 1 der
Exponentialverteilung) gilt
144
M x t   1  t 
2
und
E X k   k  1!
Aufgaben zu Kapitel 5
Aufgabe 5.1.1
Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der folgenden Zweipunktverteilung
 1 für x  2
 4
f(x) =  3 für x  4
4
 0 sonst

Aufgabe 5.1.2
Auf einer einsamen Insel sitzt der
Schiffbrüchige Diplom-Kaufmann
K aus E (vgl. Aufgabe 3.4.5). Er
wartet darauf, dass ein Schiff in
Sichtweite vorbeifährt (S), was K
an jedem Tag des Jahres für gleich
wahrscheinlich hält [P(S) = 1/365].
a)
Man bilde aus den Ereignissen S und S eine Zufallsvariable X und gebe an, wie X
verteilt ist!
b)
Man bestimme Erwartungswert und Varianz von X!
Aufgabe 5.1.3
Man bestimme x2 so, dass die folgende Zweipunktverteilung

f(x) = 

1
1-a
für x = x1 = 0
1
a
für x = x2
den Erwartungswert 1 hat. Man bestimme für diese Zweipunktverteilung dann auch die
Varianz von X.
Aufgabe 5.2.1
Wie wahrscheinlich ist es, ein Russisches Roulette (mit einem Trommelrevolver, der 6
Patronen faßt, aber nur mit einer geladen ist) mehr als 5 Runden zu überleben?
145
Aufgabe 5.2.2
Der dipsomane Angestellte D versucht total
betrunken sein Auto mit dem passenden
Schlüssel zu öffnen. Der Schlüsselbund
umfaßt zehn Schlüssel. Wieviele Fehlversuche wird D voraussichtlich unternehmen,
um in sein Auto zu gelangen?
Aufgabe 5.2.3
Trotz der wegen seines
Studiums bei der Verwaltungs- und Wirtschaftsakademie Essen nur spärlich bemessenen Freizeit
ist der Bankangestellte B
eifrig bemüht, sich körperlich zu ertüchtigen. Es
ist ihm dabei nicht unwichtig, Anklang bei der
Damenwelt zu finden.
Dabei tritt jedoch das
Problem auf, dass der spezifische Charme eines Buchhalters nicht alle Frauen zu überzeugen vermag. Es ist vielmehr so, dass nur bei jeder achten Frau Anzeichen zu verspüren sind, dass sie der Faszination des B etwas abgewinnen kann. Wie wahrscheinlich ist
es, dass B bei 5 Versuchen (mit Zurücklegen) bei keiner, einer bzw. höchstens zwei
Frauen Anklang findet? Welche Bedeutung hat die Formulierung "mit Zurücklegen" in
diesem Zusammenhang?
Aufgabe 5.2.4
Bei einer bestimmten Operation starben bisher erfahrungsgemäß 10% der Patienten
durch den Eingriff. In der berüchtigten Klinik X wurden im Mai und im Juni jeweils 5
Patienten operiert, wobei
- im Mai keiner
- im Juni nur einer
die Operation überlebte.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit war
mit solchen Vorkommnissen zu
rechnen? Der Staatsanwalt will Ermittlungen aufnehmen, wenn solche
146
Vorfälle nicht mehr "im Rahmen der Wahrscheinlichkeit" sind, also z.B. eine Wahrscheinlichkeit von 5% oder weniger haben. Soll er eine Ermittlung einleiten?
Aufgabe 5.2.5
Eine binomialverteilte Zufallsvariable X habe einen Erwartungswert von 2 und eine Varianz von 4/3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für x=2?
Aufgabe 5.2.6
Ein Hotel hat 100 Zimmer. Der Besitzer weiß aus Erfahrung, dass 20% der vorbestellten
Zimmer nicht belegt werden. Wie viele Bestellungen könnte er entgegennehmen, wenn
er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 keinen Gast abweisen möchte?
Aufgabe 5.2.7
Beim Teil Wirtschaftsstatistik der Klausur Statistik I werden 24 Multiple-Choice-Fragen
gestellt mit jeweils vier Antwortmöglichkeiten, von denen nur eine anzukreuzen ist.
Wie wahrscheinlich ist es, bis zu vier Punkten zu erhalten, wenn man nur rät?
Aufgabe 5.2.8
Übungsaufgabe zur "Statistischen Mechanik", mit der sich Studenten des PhysikDepartments der Technischen Universität München im Sommersemester 1982 beschäftigen mußten:
Entnommen aus der Fachschaftszeitung (Univ. Essen) "Krisenwirtschaft"
Zwei feindliche Großmächte besitzen jeweils N Raketen. Die Standorte der feindlichen
Raketen sind dem Gegner jeweils bekannt, so dass immer eine Rakete auf eine des
Gegners gerichtet ist. Die Trefferwahrscheinlichkeit einer Rakete ist .
a)
b)
c)
d)
Einer der Kontrahenten setzt in einem Erstschlag alle seine N Raketen ein. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit  (N, k, ), dass genau k Raketen des Feindes übrigbleiben (N = 1000; k = 200;  = 0,9)?
Wie wahrscheinlich ist es dann, dass mindestens eine Rakete übrigbleibt?
Wieviel Raketen bleiben im Mittel übrig?
Angenommen, der Angreifer besitzt 2 N Raketen, so dass zwei Raketen auf eine
des Gegners gerichtet sind. Wieviel Raketen bleiben dem angegriffenen Gegner
im Mittel dann noch?
Aufgabe 5.2.9
Ein Betrieb liefert Glühlampen in Kartons zu je 900 Stück. Es ist bekannt, dass der Betrieb im Mittel 10 % Ausschuß produziert. X sei die Anzahl der defekten Glühlampen in
einem Karton.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einem Karton zwischen 70
und 110 defekte Glühlampen befinden?
147
Aufgabe 5.2.10
Nach längerer Beobachtung stellte sich heraus, dass die Sekretärin E im Durchschnitt in
jeder Woche (fünf Arbeitstage) zwei Tage wegen Krankheit fehlte. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie an einem beliebigen Arbeitstag fehlt, ist mithin 0,4.
Wie wahrscheinlich ist es dann, dass sie
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
eine ganze Woche lang (fünf Tage) an ihrem Arbeitsplatz erscheint und erst dann
wieder krank wird?
höchstens zwei Wochen lang (10 Tage) an ihrem Arbeitsplatz erscheint und erst
dann wieder krank wird?
während einer ganzen Woche nur genau zwei Tage wegen Krankheit fehlt?
während ihres Urlaubs (20 Tage) überhaupt nicht krank wird (Ansatz genügt)?
an genau zwei aufeinanderfolgenden Tagen (also Montag/Dienstag, ..., Freitag/
Montag,...) fehlt und dann wieder am Arbeitsplatz erscheint?
an mindestens zwei aufeinanderfolgenden Tagen fehlt?
innerhalb von sechs Tagen (von Montag bis Montag) an genau zwei aufeinanderfolgenden Tagen fehlt?
Aufgabe 5.2.11
Ein Student hofft bei jedem Telefonklingeln, dass seine Freundin ihn
anruft. Aus Erfahrung weiß er, dass
die Chance jeweils 0,3 beträgt. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit
a)
kommen fünf von den nächsten zehn Anrufen von seiner
Freundin?
b)
sind höchstens vier von den
nächsten zehn Anrufen von
seiner Freundin?
c)
kommt in einer Folge von 10
Anrufen der Anruf der Freundin erst ganz am Schluß?
kommt der Anruf der Freundin frühestens als fünfter und spätestens als zehnter
Anruf?
d)
Aufgabe 5.2.12
(vgl. Aufgabe 3.4.13: Andrzej und Boguslaw; Aufgabe zur Multinomialverteilung)
Wegen seiner überlegenen Körpergröße und -stärke besteht eine Wahrscheinlichkeit
von P(S) = 0,6, dass Boguslaw im Kampf gegen Andrzej siegt. Die Wahrscheinlichkeit,
dass der Kampf zwischen beiden unentschieden ausgeht, sei P(U) = 0,1 und die Wahrscheinlichkeit, dass Boguslaw verliert, sei P(V) = 0,3. Die drei Wahrscheinlichkeiten
seien konstant. Wie wahrscheinlich ist es, dass Andrzej von zehn Kämpfen gegen Bo-
148
guslaw nur drei siegreich für sich entscheiden kann, zwei unentschieden ausgehen und
fünf für ihn verlorengehen?
Aufgabe 5.2.13
Was die Länge seines Schlafs betrifft, so ist Diplom-Kaufmann K aus E durchaus als
Normalbürger zu bezeichnen. Allerdings plagen ihn hin und wieder Alpträume (Ereignis A) mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit P(A)=0,2 je Stunde Schlaf.
a)
Wie wahrscheinlich ist es, dass K während eines acht-stündigen Schlafs bis
zu einen Alptraum erlebt?
b)
Wie wahrscheinlich ist es, dass er nach
sechs Stunden Schlaf, also in der siebten Stunde, erstmals einen Alptraum
hat (Ansatz genügt!)?
c)
Nach wievielen Stunden hat K normalerweise mit seinem ersten Alptraum zu
rechnen? Geben Sie auch die Varianz
der Wartezeit an!
Aufgabe 5.2.14
(Galtonsches Brett)
Gegeben sei ein Brett mit n Nagelreihen. In der ersten Reihe
ist ein, in der zweiten sind zwei und in der n-ten Nagelreihe
sind n Nägel befestigt. Darunter befinden sich ... Auffangbecken für die Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine
Kugel in das vom linken Rand des Brettes x+1 -te Becken
(x=0,1,...) fällt beträgt bei n Reihen allgemein ... .
Angenommen, man habe 3 Nagelreihen. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Kugel in das erste (x=0) und in das
zweite (x=1) Auffangbecken (von links) fällt? Wieviele
Wege führen über die Nägel, bei denen eine Kugel jeweils
nach links oder nach rechts ausweichen kann, in das erste, in
das zweite Auffangbecken?
149
Aufgabe 5.3.1
Der alternde Playboy Z ist in den letzten Jahren nur 10 Frauen begegnet, bei denen er
Anklang gefunden hat. Zwei von ihnen hat er geheiratet. Erfahrungsgemäß ist ihm nur
bei jeder fünften Frau ein zufriedenstellendes Zusammenleben mögich.
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass Z beidemale die "falsche" Frau geheiratet hat, wenn
er seine Partnerwahl mehr oder weniger dem Zufall überlassen hat?
b) Ist die Wahrscheinlichkeit halb so groß, wenn Z ceteris paribus 20 statt 10 Frauen
begegnet wäre? (vgl. das Lippische Theorem über den Nutzen der Monogamie).
Aufgabe 5.3.2
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Lotto 6 aus 49 jeweils eine, zwei,... richtige
Zahlen zu raten?
Aufgabe 5.3.3
An einem Schwimmwettbewerb nehmen 20 Schwimmer teil. Darunter sind 12 Auszubildende und 8 Schüler.
a)
b)
Wie wahrscheinlich ist es, dass die ersten drei Plätze nur von Auszubildenden
eingenommen werden?
Welches Ergebnis ist das Wahrscheinlichste: 1, 2 oder 3 Azubis unter den ersten
drei?
Aufgabe 5.3.4
Die Universität X habe eine Professur zu besetzen und dafür drei Kandidaten vorzuschlagen. Die für diese Stellenbesetzung eingerichtete Kommission von 4 im eigenständigen Denken geübten Herren gerät so sehr in Streit, dass sie sich bei ihrer Auswahl von
keinem erkennbaren Prinzip mehr leiten läßt.
150
a)
Zwei von den 15 Bewerbern
sind jedoch für die ausgeschriebene Stelle absolut ungeeignet. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass gerade sie in den Besetzungsvorschlag der Kommission mit
hineingelangen?
b)
Angenommen, es gäbe eine
eindeutige Rangordnung der
Bewerber B1 > B2 > ... > B15
(> i.S.v. besser). Wie wahrscheinlich ist es, dass die
Dreierliste dann aus den drei
schlechtesten Bewerbern in
der Reihenfolge B15, B14, B13
besteht?
Aufgabe 5.3.5
Eine Multiple-Choice-Klausur bestand aus Aufgaben mit N=5 Antwortmöglichkeiten,
wovon M=2 richtig und anzukreuzen waren, wofür es jeweils einen Punkt gab.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer solchen Aufgabe zu 0, 1 oder 2
Punkten zu gelangen, wenn ein Student lediglich rät?
b) Kann die Wahrscheinlichkeit, durch bloßes Raten die Klausur zu bestehen verringert werden, indem man bei gegebenem M die Anzahl der Antwortmöglichkeiten
N vergrößert?
c) Kann man die Anzahl der Antwortmöglichkeiten und die Anzahl der richtigen
Antworten so wählen, dass der Erwartungswert der richtig angekreuzten Antworten Null ist, d.h. dass der Student, der nur rät, im Mittel Null Punkte bekommen
wird (Begründung)?
d) Kann man die Anzahl der Antwortmöglichkeiten und die Anzahl der Antworten so
wählen (vorgeben), dass es wahrscheinlicher ist, durch Raten Null Punkte zu bekommen als einen Punkt zu erreichen?
e) Wie lautet die Bedingung für die Anzahl N der vorgegebenen Antworten und die
Anzahl M der richtigen Antworten (und damit auch für die Anzahl der anzukreuzenden Antworten)? Es sei natürlich unterstellt, dass genauso viele Antworten anzukreuzen sind, wie richtige Antworten vorgegeben sind.
Aufgabe 5.3.6
Einem Modell von Ernst Heuß ("Markttheorie", S.246f.) zufolge sei die Wahrscheinlichkeit des Auftretens "initiativer" Unternehmer 0,1 und das Auftreten "konservativer"
Unternehmer 0,9. Heuß überlegt sodann, wie wahrscheinlich es ist, auf dem Markt ein
Kartell vorzufinden, in welchem die Mehrheit der Unternehmer initiativ ist.
151
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Kartell von 4 Unternehmern die Mehrheit (2
oder mehr) initiativ sind, ist nach Heuß 0,0523. Dabei rechnet Heuß - ohne dies zu merken - nach dem Ansatz der Binomialverteilung.
a)
Wäre es sinnvoller, mit dem Ansatz der hypergeometrischen Verteilung zu rechnen? (Begründung!)
b)
Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit von 0,0523, wenn man annimmt, dass in
dem betreffenden Wirtschaftszweig
- nur 10
- nur 20
Unternehmer tätig sind und für eine Kartellbildung in Frage kämen?
c)
Wie groß müßte der Markt sein, wenn man mit der hypergeometrischen Verteilung zu ähnlichen Ergebnissen wie Heuß gelangen will (Wahrscheinlichkeit:
0,0523)?
Aufgabe 5.3.7
Diplom-Kaufmann K aus E ist ein begeisterter Angler. Ihm wird ein Fischteich zur Pacht angeboten und er möchte
gerne wissen, wieviele Fische in dem
Teich sind. Er kann natürlich nicht einfach den ganzen Teich leerfischen. Deshalb verfährt er, wie ihm ein Statistiker
geraten hatte:
Er fischt zunächst (zufällig) 20 Fische,
markiert diese mit wasserfester, umweltfreundlicher und für die Fische unschädlicher Farbe und wirft sie zurück in den
Teich. Nach ein paar Tagen (nachdem
sich die Fische gut durchmischt haben)
angelt er erneut 20 Fische, von denen x =
4 markiert waren.
a) Wie ist X verteilt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(x=4) = f(4), wenn sich im Teich 80 Fische befinden?
c) Angenommen, der Teich enthalte tatsächlich 80 Fische. Ist es unter diesen Voraussetzungen wahrscheinlicher oder weniger wahrscheinlich x = 5 statt x = 4
markierte Fische bei einem Fang von 20 Fischen zu "ziehen" (man zeige dies!)?
d) Es ist klar, dass es auch "Zufall" sein kann, dass Diplom-Kaufmann K aus E genau vier Fische gefischt hat, die markiert waren. Angenommen, der Teich enthalte
80 Fische und 20 seien markiert. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass K in einer
Stichprobe von n = 20 zwischen zwei und sechs markierte Fische vorfindet?
152
e) Wieviel Fische muß der Teich mindestens enthalten, damit das obige Stichprobenergebnis überhaupt möglich ist und wieviel wird er enthalten, wenn das Ergebnis das wahrscheinlichste ist (Maximum-Likelihood-Prinzip [ML])?
Aufgabe 5.3.8
a)
Nehmen Sie zu den folgenden Aussagen Stellung:
1.
Sehr viele Menschen sind geneigt, beim Lottospiel die Zahlenfolge 1, 2, 3, 4, 5, 6
oder 14, 15, 16, 17, 18, 19 für weniger wahrscheinlich zu halten als irgendeine
andere beliebige Zahlenkombination.
2.
Es gibt Leute, die glauben, dass es beim Lotto weniger wahrscheinlich ist, dass
eine 17 gezogen wird als etwa eine 23, wenn die 17 bereits 438mal, die 23 aber
erst 211mal gezogen wurde.
b)
Man beachte auch folgendes Problem: die Roulette-Kugel ist 10mal nacheinander
auf rot gefallen. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie beim 11ten Wurf
 auf rot
 auf schwarz fällt?
c)
Wie wahrscheinlich ist eine Serie von 10mal rot im Vergleich zu fünfmal rot und
fünfmal schwarz (etwa R, S, R, R, S, S, R, S, S, R)?
Aufgabe 5.4.1
Im Büro des wegen seiner
ebenso unkonventionellen
wie erfolglosen Arbeitsweise
bekannten Privatdetektivs D
wurde in den letzten 175 Tagen (25 Wochen) nur einmal
angerufen. Deshalb ist anzunehmen, dass die Anzahl x
der pro Woche eintreffenden
Anrufe poissonverteilt ist mit
 = 0,04.
Man berechne die Wahrscheinlichkeit für
a)
keinen
b)
einen
Anruf in einer Woche, und zwar nach dem Ansatz der Binomialverteilung und der Poissonverteilung.
153
Aufgabe 5.4.2
Die Krankheit Pankreasifibrose (P) tritt mit
einer Wahrscheinlichkeit von 0,025 vH auf.
Wie wahrscheinlich ist es dann, dass unter den
12000 Studenten einer Universität mehr als 5
Erkrankungen an P vorkommen?
Aufgabe 5.4.3
Während des zweiten Weltkrieges wurden auf Süd-London insgesamt 537 Bomben abgeworfen. Das Gebiet wurde in 576 homogene Flächen von jeweils ¼ qkm aufgeteilt.
Dabei ergab sich folgende Verteilung (zitiert nach W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, S. 161):
x
0
1
2
3
4
5 u. mehr
Anzahl der Gebiete mit x Bombenabwürfen
empirisch
theoretisch
229
211
93
35
7
1
Bestimmen Sie die Anzahl der (theoretisch) zu erwartenden Bombenabwürfe je Gebiet,
wenn x poissonverteilt ist mit  =537/576=0,9329 (es ist e-0,9329=0,39365)!
Aufgabe 5.4.4
Die Frühehe zwischen A und B wurde geschieden. Im Verlauf der folgenden n=40 Jahre
begegnen sich A und B jedoch häufiger wieder, wobei allerdings die Wahrscheinlichkeit evtl. wieder zu heiraten in jedem Jahr nur 1/200 beträgt. Wie groß ist dann (bei Unabhängigkeit) die Wahrscheinlichkeit, dass A und B
- nicht wieder heiraten (x=0)
- noch einmal heiraten (x=1)?
Aufgabe 5.4.5
Die Eheleute A und B haben sich scheiden lassen. Sie stellen jedoch fest, dass Sie weiterhin Sympathien für einander empfinden, die zudem durch mißliche andere Eindrücke
und die schönen Erinnerungen an die gemeinsame Zeit wieder langsam zunehmen. Infolgedessen nimmt die Wahrscheinlichkeit, es nicht noch einmal miteinander zu versuchen, ständig ab. Sie ist nach 5 Jahren nur noch e-5c = 0,9753 (c ist eine Konstante und
zwar 0,005) und nach 10 Jahren e-10c = 0,9512.
Wie wahrscheinlich ist es, dass A und B im Verlaufe von 40 Jahren nach ihrer Scheidung nicht noch einmal heiraten?
154
Aufgabe 5.4.6
Eine Urne enthält n-1 weiße und eine schwarze Kugel.
a) Wie wahrscheinlich ist es, bei n Zügen mit Zurücklegen genau n weiße Kugeln zu
ziehen?
b) Wie groß kann die unter a) gefragte Wahrscheinlichkeit bei großem n maximal
werden? Kann sie gegen 1 streben?
c) Wie wahrscheinlich ist es, bei n Zügen mit Zurücklegen n weiße Kugeln zu ziehen, wenn die Grundgesamtheit aus k schwarzen und n-k weißen Kugeln besteht?
Aufgabe 5.4.7
L. v. Bortkiewicz untersuchte in einem Zeitraum von 20 Jahren (1875-1894), wieviele
Soldaten in 14 Kavallerieregimentern der preußischen Armee durch Hufschlag (bzw.
den Folgen hiervon) gestorben sind. Nachdem 4 untypische Regimenter ausgeschlossen
wurden, ergaben sich folgende Daten für die verbliebenen 10 Regimenter:
n = 200 Beobachtungen (1020), ni = Anzahl der Fälle (bezogen auf 10 Regimenter, in denen xi Soldaten in einem Jahr gestorben sind)
xi
0
1
2
3
4
ni
109
65
22
3
1
0,61
Lassen sich die Daten durch eine Poissonverteilung mit  = 0,61 beschreiben?
Aufgabe 5.4.8
US-amerikanische Statistiker (L.F. Richardson und O. Wright in ihrem Buch Statistics
of Deadly Quarrels, zitiert nach H. Bartel, Statistik II, UTB Bd. 30, Stuttgart 1972,
S.50) haben herausgefunden, dass es in den 432 Jahren von 1500 bis 1931 auf der Welt
299 Kriege gab. Von den 432 Jahren gab es 223 Jahre, in denen kein Krieg ausbrach,
142 Jahre, in denen ein Krieg ausbrach, usw.
xi
0
1
2
3
4
>4

ni
223
142
48
15
4
0
432
xini
0
142
96
45
16
0
299
Der Mittelwert beträgt x = 299/432  0,7. Weisen die Daten auf eine Poissonverteilung
mit  = 0,7 hin ?
Aufgabe 5.4.9
Der polnische Statistiker W. Volk untersuchte die Neubesetzung von Richterstellen am
obersten Bundesgericht der USA über 168 Jahre. Insgesamt wurden 93 Richter (im Mittel also x = 93/168 = 0,5536 Richter pro Jahr) ernannt.
155
xi
ni
xini
0
100
0
1
50
50
2
14
28
3
3
9
4
5
6
0
0
1
0
0
6
7
0
0

168
93
Es gab 100 der 168 Jahre, in denen kein Richter ernannt wurde ....(Angaben zitiert nach A.
Luszniewicz, Statystyka ogólna (Allgemeine
Statistik), Warschau 1977, S.72 ff.)
Zeigen Sie, dass sich die gefundene Häufigkeitsverteilung gut durch eine Poissonverteilung mit  = 0,5535 anpassen läßt.
Aufgabe 5.4.10
Wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Flugzeug x = 2 Terroristen mit zwei
Bomben sitzen nur ein Zehntel der Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass x = 1 Terrorist mit
einer Bombe im Flugzeug sitzt, dann ist X poissonverteilt mit  = . . . . ?
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit für drei Terroristen?
156
Aufgaben zu Kapitel 6
Aufgabe 6.1.1
Ein Oberkellner möge eine größere Menge
Fleisch so in Scheiben zerteilen, dass das
Gewicht x (in Gramm) pro Scheibe im Bereich von 0 bis 2c Gramm symmetrisch
dreiecksverteilt ist um den Erwartungswert E(X) = c .
a)
Man bestimme die Dichtefunktion!
b)
Man bestimme das mittlere Gewicht
pro Scheibe c, wenn die Varianz 2
= 13,5 g2 sei!
c)
Wie wahrscheinlich ist es, dass der
Gast eine Scheibe mit mehr als 12
Gramm Gewicht erhält?
157
Aufgabe 6.2.1
Bei einem unbedingten Reflex, etwa
dem Patellarsehnen-Reflex, tritt im
Durchschnitt nach 0,04 Sekunden
eine Reaktion auf. Angenommen,
die Reaktionszeit sei normalverteilt
mit µ=0,04 und =0,6, wie wahrscheinlich ist es dann, dass eine Reaktion erst nach 1 Sekunde oder später auftritt?
Aufgabe 6.2.2
Der Student S war von den Olympischen Spielen in Atlanta derart begeistert, dass er unbedingt als 100m-Läufer nach Sydney fahren will. Daher hat er "Rauchen und Saufen" aufgegeben und verbringt seine
Tage auf der Aschenbahn. Seine Leistung X schätzt er wie folgt ein: normalverteilt mit
µ = 10,4 Sekunden und = 0,2 Sekunden!
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass S
a) zwischen 10,2 und 10,6 läuft?
b) nicht unter 10,8 läuft?
c) schneller als 10,1 läuft?
Aufgabe 6.2.3
Die Zufallsgröße X sei binomialverteilt mit n = 3 und  = 0,25. Berechnen Sie nach
dem Ansatz der Binomialverteilung und durch Approximation der Binomial- durch die
Normalverteilung
a)
b)
P(x2)!
P(1x2)!
Aufgabe 6.2.4
Der Intelligenzquotient sei normalverteilt mit Mittelwert 100 und zwar so, dass nur 5
vH über einen Intelligenzquotienten von über 140 verfügen. Wieviel Prozent haben einen Intelligenzquotienten unter 80 bzw. zwischen 90 und 110?
Aufgabe 6.2.5
Man bestimme die in Aufgabe 5.2.9 gesuchte Wahrscheinlichkeit durch Approximation
der Binomialverteilung durch die Normalverteilung.
158
Aufgabe 6.2.6
Es sei bekannt, dass der Verbrauch an Alkoholika im Durchschnitt 25 Liter pro Kopf und Jahr mit einer Standardabweichung von  = 10 Litern beträgt. Der Alkoholkonsum sei normalverteilt.
a) Wie wahrscheinlich ist es, eine Person vorzufinden, deren
Alkoholverbrauch über 45 Liter liegt?
b) (Vorgriff auf Kap. 7)
Wie wahrscheinlich wäre ein entsprechendes Ergebnis dann
höchstens, wenn nicht bekannt wäre, ob der Alkoholkonsum X normalverteilt ist, sondern über die Verteilung von
X nichts bekannt wäre?
Aufgabe 6.2.7
Der Tankinhalt eines PKW der Marke "Popel Turbo" betrage 45 Liter. Die Kilometerreichweite des Popel sei bei einem Durchschnittsverbrauch von 9 Litern pro 100 km
normalverteilt mit  = 20 km. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einer
Tankfüllung .
a)
mehr als 530 km weit fahren zu können;
b)
eine Reichweite zw. 484 und 516 km zu
erreichen.
Aufgabe 6.2.8 (vgl. Aufg. 5.2.6)
Erfahrungsgemäß erscheinen 2,5% aller Fluggäste, die Plätze reservieren,
nicht beim Abflug. Die Fluggesellschaft weiß das und verkauft deshalb
200 Tickets für 197 verfügbare Plätze.
Man berechne die Wahrscheinlichkeit,
dass alle Fluggäste Platz bekommen
a)
exakt
b)
mit Hilfe einer geeigneten Näherung (welche ist besser: Poissonverteilung oder Normalverteilung ?) !
159
Aufgabe 6.2.9
Ist X normalverteilt mit E(X)= und V(X)=2, so ist Z=(X-)/ bekanntlich standardnormalverteilt mit E(Z)=0 und V(Z)=1. Durch diesen Trick kann man es vermeiden, für
jedes  und  eine eigene Normalverteilungstabelle aufzustellen. Es reicht die Tabelle
für die Standardnormalverteilung. Warum kann man so nicht einfach auch bei anderen
Verteilungen verfahren, etwa bei der Poissonverteilung?
Aufgabe 6.2.10
Die Unterschiedlichkeit X1 - X2 der
Laufgeschwindigkeit in m/sec zweier Personengesamtheiten ist eine Zufallsvariable, die u.a. bei der Wahrung der öffentlichen Sicherheit und
Ordnung eine gewisse Rolle spielt.
Angenommen
X1  N (5, 16)
X2  N (6,  22 )
seien zwei unabhängige Zufallsvariablen. Wenn x1  x2 ist, ist offensichtlich nicht damit zu rechnen,
dass eine Person der verfolgenden
Gruppe 2 eine solche der ersten einholt, selbst dann nicht, wenn deren
Vorsprung gering ist (Ereignis R :
der Rechtsstaat kann sich nicht
durchsetzen).
a)
Wie ist X1 - X2 verteilt?
b)
Angenommen  22 = 20, wie groß ist dann P(R) ?
c)
Wie wirkt sich eine (gegenüber Teil b) Vergrößerung der Varianz auf P(R) aus?
d)
Entarteter Fall: angenommen:  22 = 0. Wie ist dann X1 - X2 verteilt? Ist R dann ein
sicheres Ereignis?
e)
Kann man generell sagen, dass P(R) < 0,5 wenn 2 < 1?
160
Aufgaben zu Kapitel 7
Aufgabe 7.1.1
Einer alten Volksweisheit zufolge regnet es im Gebiet
Y - wenn überhaupt - in der Regel 5 Tage lang.
Wie wahrscheinlich ist es höchstens, dass die Regendauer von dieser Volksweisheit um 2,4 Tage und mehr
abweicht? Dabei sei E(X - c)2 = 2,4.
Man verifiziere die Tschebyscheffsche Ungleichung,
indem man von folgender Verteilung der Regendauer
xi ausgeht:
xi
2
3
4
5
6
7
pi
0,1
0,1
0,1
0,3
0,2
0,2
Aufgabe 7.1.2
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer absolut genommenen Abweichung der Zufallsvariable X um ihren Mittelwert in Höhe von nicht weniger als 1,5 Standardabweichungen
a) nach der Tschebyscheffschen Ungleichung?
b) wenn X normalverteilt ist?
c) wenn X gleichverteilt ist im Intervall 0x1?
d) bei einer Zweipunktverteilung mit =1-=1/2?
Aufgabe 7.1.3
Kann man aus dem "Gesetz der Großen Zahlen" ableiten, dass der Anteil der Fehlentscheidungen eines Gremiums immer geringer wird, je mehr Personen in diesem Gremium sitzen? (Nach dem Motto: "Je mehr Köche, desto besser der Brei"?)
Aufgabe 7.1.4
a) Wie groß muß die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X, für die
E(X2) = 1 gilt, einen Wert annimmt, dessen Betrag nicht größer ist als  = 2, mindestens sein?
161
b) Wie wahrscheinlich wäre ein entsprechender Wertebereich für x, wenn X normalverteilt wäre mit dem Mittelwert 0?
Aufgabe 7.1.5
Astronomen mögen berechnet haben, dass die Verteilung der Sterne in einer Million
Kubiklichtjahren etwa folgende Werte aufweist
µx= x= 2/3,
wobei X die Masse der Sterne ist, berechnet als Vielfaches der Sonnenmasse.
a)
Für Raumfahrer in ferner Zukunft mag es von Interesse sein zu wissen, mit welcher mittleren Größe der Sterne sie bei einer Expedition zu rechnen haben. Eine
solche Expedition möge n=100 Sterne besuchen. Wie wahrscheinlich ist es dann,
dass man Sterne antrifft, die im Mittel eine Masse zwischen 2/3 und 4/3 Sonnenmassen haben?
_
Man schätze also P( 2/3  x  4/3 ) und zwar nach dem Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy und der Tschebyscheffschen Ungleichung.
b)
Mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit von =1/50=0,02 pro Jahr tritt eine Supernova auf. Allerdings hat man in den letzten 408 Jahren nur zwei Supernovae
beobachten können, so dass die relative Häufigkeit h=2/408=0,005 beträgt. Dieser
Sachverhalt steht im Widerspruch zu dem Gesetz der Großen Zahl:
1
2
3
4
5
6
ja, denn bei einem großen n (hier n=408) muß h   sein.
nein, denn das Gesetz besagt nur, dass die Abweichung h- immer kleiner
werden muß.
ja, denn je mehr Jahre ohne Supernova vergehen, desto größer wird die Abweichung h-, und das dürfte nach dem Gesetz der Großen Zahl nicht sein.
nein, denn das Gesetz der Großen Zahl ist hier überhaupt nicht anwendbar, weil
die Voraussetzungen nicht gegeben sind.
ja, denn die Wahrscheinlichkeit P(h-0,015) wird wegen 2=n(1-) immer
größer.
nein, denn die Wahrscheinlichkeit P(h-0,015) wird immer kleiner.
Aufgabe 7.1.6
Trotz neuerer praxisrelevanter wissenschaftlicher Erkenntnisse konnte Prinzessin Rana
von Esculenta (E) nicht umhin, an die Existenz eines Froschkönigs zu glauben. Sie war
jedoch gleichwohl rationalem Denken insofern aufgeschlossen, als sie bestrebt war, ihre
Kußaktivität so lange einzustellen, bis der Froschbestand in Esculenta ausreichend statistisch untersucht war. Sie beauftragte den Hofnarren H zu einer entsprechenden empirischen Untersuchung. Dabei ging H von einer Zufallsauswahl von n = 9 der unzähligen
Teiche von Esculenta aus und stellte eine mittlere Anzahl von x = 90 Fröschen je Teich
fest, mit
162
1
xi  x 2  225 ,

n 1
so dass ˆ  15 war.
ˆ 2 
a) 1. Über die Gestalt der Verteilung der Anzahl X der Frösche je Teich in der
Grundgesamtheit der Teiche von Esculenta kann H jedoch nichts aussagen, d.h.
es ist nicht bekannt, ob es z.B. gleich
viele Teiche mit einem unterdurchschnittlichen (weniger als 90) wie mit
einem überdurchschnittlichen Froschbestand (über 90) gibt. Kann man gleichwohl feststellen, wie wahrscheinlich es
mindestens ist, dass in einem Teich zwischen 45 und 135 Frösche sind, wenn µ
= 90 und 2 = 225 gilt?
2. Wie groß ist die genaue Wahrscheinlichkeit P(45  x  135), wenn X normalverteilt ist mit µ = 90 und  = 15?
b) 1. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit P(80  x  100) bei n =9?
2. Was kann man über die Wahrscheinlichkeit aussagen, wenn nicht berücksichtigt
wird, dass X normalverteilt ist?
Aufgabe 7.1.7
(das Alien-Problem)
Diplom-Kaufmann K aus E erlebte im Kino die Schreckensvision, dass sich ein in der
Nähe von Tau-Ceti gefundenes Kleintier im Raumschiff in ein menschenfressendes Ungeheuer verwandelte (Ereignis V).
a) Welche Voraussetzungen müßten hinsichtlich der Grundgesamtheit und der Stichprobenziehung erfüllt sein, um auf das Ereignis V das Gesetz der großen Zahl anwenden zu können? Wie groß müßte der Stichprobenumfang n sein, damit bei völlig
unbekanntem  = P(V) und der relativen Häufigkeit p = X/n nach der Tschebyscheffschen Ungleichung mit  = 0,01 folgendes gilt:
 (1   )
P p       1 
 0,95 .
n 2
Wie groß wäre n, wenn anzunehmen ist, dass  = 0,1 ist und die Wahrscheinlichkeit
auch wieder mindestens 95% sein soll?
163
b) Angenommen, das fragliche Ereignis V (Verwandlung) trete bei einem Raumflug auf
oder nicht auf, wobei die Wahrscheinlichkeit des Auftretens  = P(V) ziemlich gering sein mag. Wieviele Raumflüge in das entlegene Sonnensystem von Tau-Ceti
wären wohl nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% sagen zu
können, dass damit zu rechnen ist, dass z.B. zwischen 1% und 3% Raumfahrten von
einem solch schrecklichen Ereignis getrübt sein werden? Wenn man die Anzahl der
erforderlichen Raumflüge als Stichprobenumfang n begreift: Welche Möglichkeit
gibt es, abzuschätzen, wie groß n sein sollte, damit eine solche Aussage gemacht
werden kann (mit [mindestens] 95% Wahrscheinlichkeit liegt die relative Häufigkeit
im Bereich von   ).
Aufgabe 7.1.8
(die aristotelische Frauentheorie)
vgl. auch Aufgabe 9.2.4
Der griechische Philosoph Aristoteles (384-322 v.Chr.) lehrte, dass
eine Frau nur ein mißratener
Mann sei. Sie werde unter "widrigen Umständen", "bei feuchtem
Südwind" gezeugt. Der Statistiker
S begab sich in das feuchte
Sumpfgebiet des Amazonas zu
den Kopfjägern (wo sehr häufig
ein feuchter Südwind weht) um
die aristotelische Frauentheorie
empirisch zu überprüfen.
a)
Angenommen, es sei über
den Anteil der Mädchengeburten unter widrigen Witterungsumständen nichts bekannt. Wie kann man aber gleichwohl eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit
dafür abgeben, dass der Stichprobenanteil in einer Epsilon-Umgebung von ± 0,1
um den wahren Wert liegt, wenn der Stichprobenumfang n=100 ist?
b)
Das (schwache) Gesetz der großen Zahl besagt in Verbindung mit dem Beispiel
(Richtiges ankreuzen), dass:
1
2
3
4
5
die Frauentheorie von Aristoteles richtig ist
die Frauentheorie von Aristoteles um so richtiger wird, je größer der Stichprobenumfang ist
immer mehr Mädchen gezeugt werden, wenn immer häufiger ein feuchter
Südwind weht
die relative Häufigkeit der Mädchengeburten (in der Stichprobe) gegen die
wahre Wahrscheinlichkeit strebt
die relative Häufigkeit der Mädchengeburten von der wahren Wahrscheinlichkeit um höchstens den Wert von Epsilon abweicht
164
6
7
die relative Häufigkeit der Mädchengeburten mit größerem Stichprobenumfang immer näher an den Zahlenwert für die wahre Wahrscheinlichkeit herankommt
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die relative Häufigkeit der Mädchengeburten von der wahren Wahrscheinlichkeit um höchstens den Wert von Epsilon abweicht, gegen 1 strebt.
Aufgabe 7.1.9
Der Jurist J übernahm, obgleich
kein Fachmann, die Leitung der
öffentlichen Feuerwehr. Ihm fiel
auf, dass es seinen Mitarbeiten
leider in zwei von zehn Fällen
nicht gelang, den Mittelpunkt c
des Sprungtuchs so zu halten,
dass die Opfer eines Brandes an
der zufälligen Stelle X landeten,
die innerhalb einer "Umgebung" von c liegt [µ=c=
E(X)]. Weil er nicht weiß, ob
dies häufig oder selten ist, fragt
er einen Statistiker, wie dies vom
Standpunkt des Zufalls aus zu
würdigen sei.
a)
Der Statistiker denkt zunächst an die Tschebyscheffsche
Ungleichung, nimmt an, dass Y=X-c mit E(Y)=0 verteilt
sei, und dass dann aber y2 < 2 sein müsse. Warum?
b)
Sodann nimmt er y2 < 1/3 2 an und bestimmt P{Xc} mit der Tschebyscheffschen Ungleichung. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit?
c)
Wie lautet die Dichtefunktion f(x), wenn X symmetrisch
gleichverteilt ist um c mit y2 < 1/3 2 ?
Aufgabe 7.1.10
Für eine Folge von Zweipunktverteilungen gelte

fn(x) = 

2
1 1
n = 5 + (-1)n 8 - 4n2
für x=0 (Erfolg)
1 - n
für x=1 (Mißerfolg)
Existiert eine Grenzverteilung f(x) = lim fn(x), wenn ja: Wie lautet sie?
165
Aufgabe 7.1.11
a)
Man zeige, dass für eine nichtnegative Zufallsvariable X gilt:
E(X)
(Ungleichung von Markoff)
c
bei beliebiger reeller positiver Konstante c.
P(Xc) 
Man kann diesen Zusammenhang auch demonstrieren anhand der diskreten Verteilung
x
0
1
2
3
4
5
P(x)
0,3
0,2
0,2
0,15
0,1
0,05
mit E(X)=1,7 und c=3.
b)
Wie hängen die Ungleichung von Markoff und die Ungleichung von Tschebyscheff zusammen?
Aufgabe 7.1.12
a)
Eine Münze werde wiederholt geworfen und es soll berechnet werden, wie groß
die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die relative Häufigkeit (p=X/n) der Wappenwürfe zwischen 0,25 und 0,75 (einschließlich) liegt, wenn n = 2, 4, 8 mal geworfen wird (echte Münze:  = 0,5).
b)
Die analoge Betrachtung ist durchzuführen für n = 2, 3, 4, ... Würfe, wenn die
Münze nicht "echt" sein sollte ( = 0,6).
Aufgabe 7.2.1.
Eine Grundgesamtheit bestehe aus den_Elementen A=5, B=10, C=12, D=13. Man
bestimme die Stichprobenverteilung von x für Stichproben ohne Zurücklegen vom Umfang n=1, n=2, n=3 und n=4.
166
Aufgabe 7.2.2
In einer Grundgesamtheit sei die Variable X
zweipunktverteilt
für x  1
 

f ( x)  1 - 
für x  0
 0 sonst

Wie ist der Mittelwert X bei Stichproben
(mit bzw. ohne Zurücklegen) vom Umfang
n=2,3,... verteilt?
Aufgabe 7.2.3
Die Grundgesamtheit bestehe aus 5 Elementen mit den Merkmalswerten x=2, x=2, x=3,
x=4, x=1. Bestimmen Sie die Verteilung des Stichprobenmittels, wenn Stichproben ohne Zurücklegen vom Umfang n=2, n=3 und n=4 gezogen werden. Wie sind die Extremfälle n=1 und n=5 zu interpretieren?
Aufgabe 7.2.4.
Während seiner Ausbildung zum
Betriebswirt hat DiplomKaufmann K aus E stets die Praxisnähe vermißt. Deshalb wollte er
endlich einmal die Dinge selbst in
die Hand nehmen und durchschlagende Erfolge erzielen. Er begann
deshalb mit der Messerwerferei,
bei welcher er immerhin schon eine Trefferquote von konstant 10%
erreichte. Die Wahrscheinlichkeit,
ein Ziel zu treffen sei deshalb,
trotz beständigen Trainings, konstant P(T)=0,1.
a) Definieren Sie für die Problemstellung eine Zufallsvariable X
und geben Sie das passende Urnenmodell an. Wie ist X verteilt?
b) Wie lautet die Stichprobenverteilung der Anzahl X der Treffer bei n Versuchen
(Stichprobenumfang n)?
c) Bei einer sehr großen Anzahl n ist die Anzahl X asymptotisch ...?... verteilt. Der Anteilswert p= X/n ist ………..?........... verteilt.
d) Geben Sie eine Begründung für die unter c) dargestellten Zusammenhänge (Hinweise auf Lehrsätze und deren Hintergründe).
167
Aufgabe 7.2.5
Die Hausfrau H kann sich nicht
damit abfinden, ihre Wohnung mit
Ameisen (A), Schaben und Kakerlaken (K), Spinnen (S), Mäusen
(M), Wanzen (W) und Ratten (R)
teilen zu müssen. Sie versuchte
deshalb zunächst ihren Mitbewohnern mit Universal - Schädlingsbekämpfern (die n > 1 Ungezieferarten vernichten) zu Leibe zu rücken,
ging dann jedoch zu einer Strategie
des gezielten (artspezifischen)
Overkills über.
Angenommen, jede Schädlingsart habe in der Grundgesamtheit der Wohnung einen
gleichen Anteil von  = 1/6 an der Gesamtzahl der Schädlinge (Gleichverteilung). Ein
morgendlicher Durchgang durch die Wohnung sei als Stichprobe aufzufassen. Die
Hausfrau H findet dabei zehn Schädlinge, darunter sechs Spinnen. Geben Sie die Stichprobenverteilung für die Anzahl der Spinnen an!
a) Wie wahrscheinlich ist es, die beschriebene Stichprobe zu ziehen, wenn  = 1/6
ist?
b) Wie wahrscheinlich ist es, einen Anteil von mehr als 50% Spinnen in der Stichprobe (n=10) zu haben?
Aufgabe 7.2.6.
Diplom-Kaufmann K aus E ist leider sehr vergeßlich. Nur mit einer geringen Wahrscheinlichkeit  > 0 erinnert er sich an seine Telefonnummer. Mit einer Wahrscheinlichkeit 1- ist sie ihm dagegen beim Aufsuchen einer Telefonzelle gerade entfallen.
a) Man bestimme (ohne Zuhilfenahme der Formelsammlung) die Verteilung der Anzahl X der erinnerten Telefonnummern, wenn K genau n unabhängige Versuche macht (Stichprobe vom Umfang
n), zu telefonieren! (Herleitung)!
b) Wie lautet die Stichprobenverteilung des Anteils
P=X/n der richtig erinnerten Telefonnummern und
c) des Anteils der nicht erinnerten Telefonnummern?
Aufgabe 7.2.7
Die Grundgesamtheit sei zweipunktverteilt mit
P(x=1) = 1/2 und P(x=2) = 1/2. Wie lautet die Stichprobenverteilung
 des arithmetischen Mittels X
168
 des geometrischen Mittels XG
bei Stichproben vom Umfang n=2 und n=3 (Ziehen mit Zurücklegen)? Was fällt bei der
Betrachtung der Stichprobenverteilung von XG auf?
Aufgabe 7.2.8
In seinem neusten Wirkungskreis ist Diplom Kaufmann K aus E für die Verwaltung eines Betriebes verantwortlich, der zum medizinischen Bereich i.w.S. gehört.
Er hofft dabei seine Marketing- und
Logistik-Kenntnisse zur Geltung
bringen zu können, weil er u.a. auch
für die Auslastung der Bettenkapazität von 120 Plätzen zuständig ist, die
er durch gezielte PR-Arbeit zu steigern beabsichtigt. Die Anzahl X der
täglichen Aufnahmeanträge (die auch
größer als 120 sein kann) sei normalverteilt mit  und 2. Wie lautet die
Stichprobenverteilung des mittleren
Auslastungsgrades
y  1  xi / 120 bei Stichproben
n
vom Umfang n (Mittelwert über n
Tage, n>30)?
Aufgaben zu Kapitel 8
Aufgabe 8.1.1
Aus einer Urne mit N=4 Kugeln werde eine Stichprobe vom Umfang n=2 mit Zurücklegen gezogen. Die Urne enthält eine unbekannte Anzahl M von schwarzen und N-M von
weißen Kugeln. Eine Stichprobe ergab eine schwarze und eine weiße Kugel. Bei welchem Wert für M (also M=1,2,3 oder 4) ist es am wahrscheinlichsten, dass gerade ein
solches Stichprobenergebnis (also eine schwarze und eine weiße Kugel) entsteht? Man
differenziere die Likelihood-Funktion nach M und ermittle so den unbekannten Wert
M!
Aufgabe 8.1.2
Bei einer mündlichen Prüfung in Statistik im SS 1990 gab es bei n = 5 Prüfungen x = 1
Prozeß vor dem Verwaltungsgericht Gelsenkirchen (Ereignis G; die Prüfungen sind eine
Stichprobe für die gilt: N sehr groß).
Geben Sie die Werte der Likelihood-Funktion für verschiedene Werte von  = P(G) an.
169
P(G)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
LikelihoodFunktion
Interpretieren Sie Ihr Ergebnis, indem Sie auch die Likelihood-Funktion angeben!
Aufgabe 8.1.3
Eine Zufallsvariable habe die Ausprägungsmöglichkeiten „Erfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit  und „Mißerfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit 1   . In einer Versuchsreihe
von vier Versuchen wurde die Zahl der Mißerfolge vor dem ersten Erfolg gemessen:
Versuch
1
2
3
4
Mißerfolge
2
0
1
3
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, 2 und 3 Mißerfolge in Abhängigkeit
von  an.
Mißerfolge
0
1
2
3
Wahrscheinlichkeit
b) Geben Sie auf der Grundlage der oben angegebenen Stichprobe eine MaximumLikelihood-Schätzung für  ab.
Aufgabe 8.2.1
Die Zufallsvariablen X1,...,Xn seien unabhängig identisch verteilt mit E(Xi)=µ und gleichen Varianzen 2 (i=1,2,...,n). Bekanntlich liefert dann die Stichprobenfunktion
(Schätzfunktion)
ˆ1  1 / n  X 1  X 2  ...  X n   X
eine erwartungstreue und konsistente Schätzung für µ. Welche Eigenschaften haben
demgegenüber die Stichprobenfunktionen ̂ 2 und ̂ 3, wenn x1 der erste und xn der
letzte Wert in einer der Größe nach geordneten Reihe ist:
ˆ 2  ( X 1  X 2 ) / 2
ˆ 3  (2 X 1  0,5 X n ) / n ?
Zeigen Sie, ob ̂ 2 und/oder ̂3 erwartungstreu, konsistent und genauso oder weniger
effizient sind wie bzw. als ̂1 !
170
Aufgabe 8.2.2
Diplom-Kaufmann K aus E ist nach einigen
beruflichen Mißerfolgen voll auf der esoterischen Welle abgefahren. Seine Vorhersagen von Wasseradern mit der Wünschelrute
klappen jedoch nicht so ganz. Nur in X von
n Fällen liegt er richtig. Seine potentielle
Kundschaft ist durchaus geneigt, manchen
Mißgriff hinzunehmen, weil nunmal diese
äußerst sensiblen Dinge eine höhere geistige
Ebene der Beurteilung verlangen. Der Anteil
 der wahren Vorhersagen sollte jedoch bei
aller Liebe zu den feinstofflichen Schwingungen aus dem Überraum schon etwa 3/4 betragen, weil die Inanspruchnahme der Esoterik ja auch Geld kostet. Diplom-Kaufmann K aus E ist deshalb bestrebt, seine Trefferquote  durch Stichproben laufend zu überprüfen. Als geeigneter Schätzer von  betrachtet er aufgrund übersinnlicher Eingebung die Funktion
X 1
X
ˆ1 
und aufgrund seines früheren Studiums ˆ 2  .
n2
n
Die beiden Schätzfunktionen für  sind hinsichtlich der Gütekriterien (Erwartungstreue,
Effizienz, Konsistenz) möglichst ohne esoterische Hilfsmittel zu beurteilen. Ist ˆ1 effizienter als ˆ 2 ?
Aufgabe 8.2.3
Diplom-Kaufmann K aus E buchte eine besonders preisgünstige Mittelmeerkreuzfahrt.
Widrige Umstände und erlittene Unbill ließen in ihm jedoch den Entschluß reifen, solche Reisen hinfort nicht mehr zu unternehmen: Nach drei Tagen erreichte er als einer
der wenigen Überlebenden eine Staumauer des Hafens von Genua.
171
a)
Das Reisebüro legte in dem anschließenden Schadensersatzprozeß seine Unfallstatistik vor, nach welcher bei bisher insgesamt 50 Kreuzfahrten nur eine Havarie
(Ereignis H) zu beklagen war. Ist der Anteil pH = x/n = 1/50 eine erwartungstreue
Schätzung für den Anteil H in der
Grundgesamtheit und ist die Größe
pH 1  pH  eine erwartungstreue
Schätzung für die Varianz H(1-H)
der Grundgesamtheit?
b)
Das Reisbüro veranstaltet auch Safaris, bei denen ein Anteil pL von Reiseteilnehmern nach einer Begegnung
mit einem Leoparden nicht mehr
wiedergesehen wurde. Unter welchen
Voraussetzungen liefert die Differenz
pH-pL eine erwartungstreue Schätzung für H-L ?
Aufgabe 8.2.4
Zwei Ökonomen haben zwei verschiedene Schätzer ̂1 und ̂ 2 für die erwartete Höhe
des Einkommens von Mittelschichtfamilien in den USA vorgeschlagen:
̂1 =
1
1
1
X 1  ( X 2  X n 1 )  X n
6
3
6
̂ 2 =
1 n2
 Xi
n  2 i 1
Es wurde dabei angenommen, dass die Höhe der Einkommen unabhängig normalverteilt
sind mit E(Xi) =  und V(Xi) =  2 , für alle i = 1, ..., n.
Zeigen Sie, dass beide Schätzer erwartungstreu sind und vergleichen Sie die Schätzer
hinsichtlich ihrer Varianzen. Welcher Schätzer ist effizienter?
Aufgabe 8.3.1
Bei einer Stichprobe vom Umfang 100
a)
mit Zurücklegen
b)
ohne Zurücklegen
aus einer Grundgesamtheit von N=500 Stück befanden sich 30 Ausschußstücke.
Bestimmen Sie die symmetrischen 95%-Konfidenzintervalle für den Ausschußanteil in
der Grundgesamtheit!
172
Aufgabe 8.3.2
In einer Gemeinde mit 10.000 Erwerbstätigen wurden durch eine Stichprobe im Umfang n=100 _folgende Werte für die Verteilung der Wochenverdienste festgestellt:
^ = 50.
x = 400
und

a)
Bestimmen Sie ein 95% symmetrisches Konfidenzintervall für µ.
b)
Man bestimme das 99%-Konfidenzintervall
c)
Wie würde sich das 95%-Intervall verringern, wenn eine entsprechende Stichprobe in einer Gemeinde mit nur 2.000 Erwerbstätigen gezogen worden wäre?
Aufgabe 8.3.3
(als Testproblem vgl. Aufg. 9.1.4)
In einer Stichprobe von n=50 Geräten (aus einer Produktionsserie von N=500 Stück)
befanden sich 2 unbrauchbare Geräte. Im Kaufvertrag wurde verabredet, dass der Kunde berechtigt sei, die Abnahme der gesamten Serie zu verweigern, wenn bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5vH der Ausschußanteil der Grundgesamtheit 6vH oder
höher sein könne. Darf der Kunde die Serie ablehnen?
Welches Stichprobenergebnis wäre zu erwarten, wenn der Ausschußanteil in der
Grundgesamtheit nur 2vH wäre?
Aufgabe 8.3.4
In einer Schulklasse mit 25 Schülern unterzogen sich 9 durch Los bestimmte Schüler
einem Intelligenztest. Die Varianz des Intelligenzquotienten war dabei ̂ 2 = 81. Wie
breit ist das 95,45% -Konfidenzintervall?
Aufgabe 8.3.5
Bei 261 Patienten wurde untersucht, ob Akupunktur bei Dauerschmerzen hilft. Aus einer
Untersuchung in den USA ergab sich, dass
jeder dritte Patient (also 87) nach vier aufeinanderfolgenden Sitzungen nach eigenen
Angaben schmerzfrei ist. Die Wirkung hielt
jedoch nicht lange an, denn nach vier Wochen waren nur noch 5% schmerzfrei. Außerdem ist zu bedenken: ein Anteil von ca.
30% Linderung tritt auch schon bei Scheinmedikation ("Plazebos") auf.
Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall
für  mit p=0,3 und p=1/3. Deuten Sie das
Ergebnis.
173
Aufgabe 8.3.6
Eine bestimmte Operation O wurde im Krankenhaus A bereits nA=40 mal und im Krankenhaus B bereits nB=50 mal durchgeführt. Als Erfolg gilt in der Medizin, dass der Patient die Operation lebend übersteht und sich sein Gesundheitszustand verbessert hat.
Die Erfolgsquoten seien bei dieser schwierigen Operation leider mit pA=1/8 und pB=1/2
bedauerlich gering.
Man bestimme 95, 45% -Konfidenzintervalle für p A und pB aufgrund der beiden Stichproben (Ansatz genügt)! Was bedeutet es, wenn sich die Konfidenzintervalle überschneiden bzw. nicht überschneiden (so wie es oben der Fall ist)?
Aufgabe 8.3.7
(eine Zukunftsvision)
Einer Forderung der Gewerkschaften entsprechend wurden ab 2005
nur noch im Personalwesen akademisch vorgebildete Poliere eingestellt, damit das Herumschlagen mit
Dachlatten endlich ein Ende hat. Bei
den ersten 100 Betrieben mit akademischem Führungsstil beobachtete man zwar eine Abnahme
der Ar_
beitsproduktivität auf x = 450 (statt bisher µ = 500), dafür wuchs aber das Verständnis
für das Wesen des Personalwesens bei den Bauhilfsarbeitern ganz erheblich gegenüber
dem bisherigen Zustand
_ des autoritären nichtakademischen Führungsstils (vgl. Bild).
Man bestimme mit x = 450 und  = 50 ein symmetrisches Konfidenzintervall für µ
1    0,9545 .
Aufgabe 8.3.8
Bei einem Einstellungstest in der Industrie werde den Neuakademikern jeweils ein
Problem vorgelegt, für welches eine bestimmte Arbeitszeit X erforderlich ist, um es
sorgfältig zu lösen. Der Personalchef, der stets sehr intensiv mit Statistik befaßt sein
muß, möchte erst einmal das Konfidenzintervall für die durchschnittliche Bearbeitungszeit bestimmen, um bei den Bewerbern, die er ablehnt, gerecht verfahren zu können.
Gestern mögen sich vier Personen beworben haben und dabei folgende Bearbeitungszeiten (in Minuten) benötigt haben: 105, 95, 110 und 90 Minuten.
Man bestimme ein zweiseitiges 95%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Bearbeitungszeit!
174
Aufgabe 8.4.1
Ein gemeinnütziger Verein veranstaltete eine
außerordentlich spannende Vortragsreihe über
Statistik und eine entsprechende, aber an sich
weniger ergiebige Fortbildungsveranstaltung
über Buchhaltung. An beiden Lehrgängen
nahmen 200 (verschiedene) Manager teil, wobei sich jedoch bei der Buchhaltung ein Anteil
von 80% besonders interessiert zeigte, während
es bei der Statistik nur 20% waren. Könnte es
sein, dass der Unterschied nur zufällig 60%, in
der Grundgesamtheit dagegen nur 20% beträgt
(=5%)?
Aufgabe 8.4.2
Als es in früheren Zeiten noch nicht
üblich war, Rettungsflugzeuge für die
Rettung von Schiffsbrüchigen einzusetzen, kam es doch relativ häufig vor,
dass ein Schiffbrüchiger auf einer einsamen Insel dahinschmachtete. Einer
früheren Untersuchung (n1=35 Monate) zufolge wurde dieses traurige
_
Schicksal im Monatsdurchschnitt x1=8
Menschen zuteil (bei =5). In einer
neueren Untersuchung (nach Erfindung_ des Flugzeugs) fand man jedoch
nur x2=5,5 und =5. Der Stichprobenumfang der neueren Untersuchung war
erheblich größer: n2=1225.
a) Man bestimme die 95,45%-Konfidenzintervalle für  früher und jetzt (mit n1= 36
statt 35).
b) Es interessiert natürlich die Frage, ob durch den Einsatz von Rettungshubschraubern signifikant weniger Schiffsbrüchige auf einsamen Inseln verkommen müssen.
Man bestimme deshalb ein Konfidenzintervall (=4,55%) der Differenz der Mittelwerte (Hinweis: Man gehe von homogenen Varianzen und einer Normalverteilung aus!). Was bedeutet es, wenn das Konfidenzintervall auch den Wert 0 umfaßt?
Aufgabe 8.4.3
Man beantworte zur folgenden Meldung aus dem "SPIEGEL"
Italienische Erfolge bei der Brustkrebstherapie
Mit einer Kombination dreier verschiedener Krebsmedikamente (Cyclophosphamid, Methotrexat und Fluorouracil) hat der italienische Krebsspezialist Dr. Gianni Bonadonna die
Überlebenschance von 207 Patienten drastisch verbessert, bei denen trotz Brustkrebsoperation die Tumorzellen zum Teil schon in den Lymphknoten angesiedelt waren. Nur bei
175
zehn der gleich im Anschluß an die Operation behandelten Frauen kam es später wieder zu
einem Rückfall - von einer Kontrollgruppe mit 179 Frauen dagegen, bei denen die Chemotherapie nicht eingesetzt wurde, erkrankten 43 abermals. Auch nachdem die Medikamentenkombination abgesetzt worden war, erhöhte sich die Rückfallquote nicht. Bonadonnas
Arbeit, bei der ihm zehn Kollegen vom Mailänder Istituto Natzionale Tumori assistierten,
sei von "monumentaler Wichtigkeit", heißt es in einem Kommentar des als zurückhaltend
bekannten "New England Journal of Medicine", in dessen vorletzter Ausgabe die italienischen Befunde publiziert wurden. Womöglich könnte mit der Dreifach-Therapie das Leben
"Hunderttausender von Frauen gerettet" werden. Bisher hatten beispielsweise nur 45 von
100 Amerikanerinnen, bei denen Tumorzellen sich schon in den Lymphknoten eingenistet
hatten, die ersten fünf Jahre nach der Operation überlebt.
die Fragen:
Kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-=0,95 (zweiseitig) behauptet werden, dass
die Wahrscheinlichkeit des Rückfalls
a) bei beiden Heilmethoden gleich ist?
b) der neuen Methode um
ein Viertel gegenüber
der alten gesenkt werden kann?
Aufgabe 8.4.4
Die Europa Universität Viadrina in Frankfurt an der
Oder fühlt sich u.a. auch der
Tradition des berühmten polnischen Malers und Erfinders
Leonardo da Winczinski verpflichtet, der sich intensiv mit
der Möglichkeit des menschlichen Fluges beschäftigte. Es
wurden deshalb auch alternative und umweltfreundliche
Formen des Fliegens erforscht. Bei Methode 1 (vgl.
Bild) endeten von 200 Flugversuchen leider 80% bereits
auf deutscher Seite, während
es bei Methode 2, mit der
ebenfalls 200 Versuche unternommen wurden, immerhin
50 mal gelang, auf polnischem Gebiet zu landen. Ist der Unterschied zwischen den beiden Flugmethoden signifikant (=5%)?
176
Aufgaben zu Kapitel 9
Aufgabe 9.1.1
Die Post des Landes x plant eine Gebührenerhöhung für eine ihrer Dienstleistungen, die
bisher von 80 vH der Bevölkerung in Anspruch genommen wurde. Eine Stichprobe vom
Umfang n = 2500 ergab, dass bei der höheren Gebühr immerhin noch 78 vH der Bevölkerung diese Leistung nachfragen werden.
Die Post schließt daraus, dass sich die Nachfrager preisunelastisch verhalten und freut
sich auf die Mehreinnahmen durch die Gebührenerhöhung:
a) Formulieren Sie für dieses Beispiel die Nullhypothese Ho und die Alternativhypothese H1 !
Was bedeutet in diesem Fall der Fehler ? (Beschreiben Sie in eigenen Worten,
worin das Risiko, den Fehler 1. Art zu begehen, besteht!)
b) Sollte die Post ihren Überlegungen eine möglichst geringe Irrtumswahrscheinlichkeit  zugrunde legen und dadurch ein größeres ß in Kauf nehmen oder umgekehrt
ß klein halten und dabei ein größeres  in Kauf nehmen?
Aufgabe 9.1.2
Nachdem Diplom-Kaufmann K aus E einen
Schnellimbiß eröffnete, widerfuhr ihm
auch das Mißgeschick, einen Juristen (J) zu
Gast zu haben, der Tomatensuppe bestellte.
Der Vorfall endete damit, dass sich K vor
Gericht wegen versuchter Körperverletzung verantworten mußte. Dabei stellte
sich heraus, dass unter 25 Tomatensuppen
des K sogar 9 wegen einer Fliege für gewisse Gäste ungenießbar waren. Vor Gericht wurden zwei konkurrierende Hypothesen über die Wahrscheinlichkeit dieser
Ereignisse verfochten:
von K:
von J:
Ho:  = 0,1
H1:  = 0,5
a) Entscheiden Sie über H0 mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 1-=0,9772!
b) Bei welchem Wert von p beginnt der kritische Bereich?
c) Bestimmen Sie ein 95%-zweiseitiges Konfidenzintervall für .
177
Aufgabe 9.1.3
In den Wäldern des Fürstentums Sylvanien
kam es vor dem Jahre 1649 doch schon hin
und wieder zu unangenehmen Begegnungen.
Die mittlere Anzahl derartiger Unfälle war µ
= 500 pro Monat und die Standardabweichung war 50 Unfälle pro Monat. Prinz Wanfried von Sylvanien befahl deshalb einem
Hofnarren, eine Straßenverkehrsordnung mit
vielen schönen Paragraphen auszuarbeiten.
Sie trat 1649 in Kraft.
a) Nach Inkrafttreten der Straßenverkehrsordnung ermittelten die Statistiker fol-_
gende Daten für die Unfallhäufigkeit x =
450 und  = 50. Man bestimme das
symmetrische Konfidenzintervall bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von  =
0,0455! Die Angaben beruhen auf einer
Untersuchung von n=100 Monaten (mehr
als 8 Jahre)
b) Es interessiert natürlich, ob durch Wanfrieds Straßenverkehrsordnung nunmehr
signifikant weniger Unfälle (Monatsdurchschnitte) vorkommen, als früher.
Formulieren Sie die Null- und Alternativhypothese und führen Sie den Test durch!
( = 5vH)
c) Bei welchem Wert beginnt der kritische Bereich?
d) Erläutern Sie in kurzen Worten den Unterschied zwischen Schätzen und Testen.
Aufgabe 9.1.4
(als Schätzproblem vgl. Aufg. 8.3.3)
In einer Stichprobe von n = 50 Geräten (aus einer Produktionsserie von N = 500 Stück)
befanden sich zwei unbrauchbare Geräte. Im Kaufvertrag wurde ein Ausschußanteil der
Produktionsserie von 1% garantiert.
Darf der Kunde die Abnahme der Serie verweigern, weil der Ausschußanteil in der
Stichprobe 4% statt 1% beträgt?
Die Abnahmekontrolle soll mit einer Sicherheits-Wahrscheinlichkeit von 95% durchgeführt werden, d.h. mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit (einem Signifikanzniveau) von
5% (einseitiger Test), denn:
Ho:  = 0,01 (Hypothese des Verkäufers) und H1:  > 0,01 (Hypothese des Käufers).
178
Aufgabe 9.1.5
Durch das Geschick der Feuerwehrmänner darf man darauf vertrauen,
dass man mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit von 1- = 24/25 =
0,96 bei einem Sprung vom Sprungtuch auch sicher landet.
a) Angenommen, die etwas füllige
Frau F springe als dritte Person
und sei die zweite Person, die
beim Sprung verunglückt. Vor ihr
sei bereits der betuchte Dipl.Kfm. K aus E gesprungen und neben dem Sprungtuch gelandet, während Dipl.-Vw.
V aus M glücklich gelandet sei. Die Reihenfolge, in der K und V gesprungen sind,
sei nachträglich nicht mehr feststellbar.
Wie wahrscheinlich ist das beschriebene Ereignis? (Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit auf zwei Arten: durch Aufzeichnen des Wahrscheinlichkeitsbaums bzw.
durch Benutzung der passenden Wahrscheinlichkeitsverteilung).
b) Bei einem Einsatz galt es 20 Personen zu retten. Schreiben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) und die Verteilungsfunktion F(x) für die Anzahl der mißglückten Sprünge auf!
c) Die von Ihnen gewählte Verteilung hat ……. Parameter und ist
stetig
symmetrisch
linear
diskret
asymmetrisch
normal
eine Grenzverteilung
monoton fallend
zweigipflig
d) Bei der dienstlichen Beurteilung des Nachwuchsfeuerwehrmannes N entstanden dadurch gewisse Schwierigkeiten, dass der Vorgesetzte den Eindruck gewann, N habe
sich bei der geforderten "raschen Güterabwägung" signifikant häufiger zugunsten
von Frauen als von Männern entschieden.
179
Geht man bei einem Test von der Arbeitshypothese des Vorgesetzten aus, dass N
Frauen bei der Rettung bevorzugt, bedeuten - und ß-Fehler:
O
O
O
O
O
O
ß-Fehler: N gerät in den Verdacht, Frauen zu bevorzugen, obgleich er es nicht tut;
-Fehler: N gerät in den Verdacht, Frauen zu bevorzugen, obgleich er Männer
und Frauen gleich behandelt;
ß-Fehler: die Bevorzugung der Frauen von N wird nicht erkannt;
ß-Fehler: der Stichprobenbefund legt den Schluß nahe, N behandele Männer und
Frauen gleich, obgleich man von der Hypothese ausging, N bevorzuge Frauen.
die Ablehnung der Gleichbehandlungshypothese (-Fehler) bedeutet, dass N die
Frauen bevorzugt;
 ist die Wahrscheinlichkeit, die Gleichbehandlungshypothese abzulehnen, während ß die Wahrscheinlichkeit ist, diese Hypothese anzunehmen, so dass +ß=1
gilt.
Aufgabe 9.1.6
Im Jahr 2118 fand Albert Zweistein heraus, dass die Menge Aminohydronucleindiformaldehydtri-proteinascorbinsäure (kurz A) im Zellkern (gemessen in Nanogramm
[ng]) ein Maß zur Unterscheidung von
Subhominiden (weniger als 8 ng),
Hominiden (8 bis 10 ng; H = 9 und H = 4)
Superhominiden (über 10 ng)
sei. Eine Expedition zum Sonnensystem Tau-Ceti kam mit einer Stichprobe von zufällig
ausgewählten Extraterrestriern zurück. Es interessiert die Frage, ob diese entlegenen
Ortes vorgefundene Populationen von der Art der hienieden existierenden Hominiden
sein können. Messungen ergaben:
_
^
n
x

16
a)
b)
c)
d)
11
4
Man teste die Hypothese, dass der Tau-Ceti ein Hominid ist gegen die Alternativhypothese, dass er ein Superhominid ist (5%, einseitig, H1: c=12,6449, c=4.).
Bei welcher Menge beginnt der kritische Bereich?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ß?
ß ist die Wahrscheinlichkeit, ...
O
O
O
O
anzunehmen, der Tau-Ceti sei ein Superhominid, obwohl er es nicht ist.
anzunehmen, der Tau-Ceti sei kein Superhominid, obwohl er es doch ist.
einen Unterschied zwischen Hominiden und Superhominiden auch tatsächlich zu erkennen.
einen tatsächlich bestehenden Unterschied zwischen Hominiden und Superhominiden nicht zu erkennen.
180
Aufgabe 9.1.7
Die Versuchsserie für den neuen Fliegentöter "der totale
Spray" (TS) mußte wegen einer unerwarteten und gravierenden Wirkung nach n=4 (n=25) Versuchen abgebrochen
werden.
a) Es ist zu entscheiden, ob bei TS tatsächlich mit dieser
nicht tolerablen Wirkung zu rechnen ist (=0,01, einseitig), wenn hierfür aufgrund theoretischer Erwägungen
von Chemikern nur eine Wahrscheinlichkeit von 0,01
sprechen würde!
b) Aufgrund welchen Grenzwertsatzes darf man (zumindest asymptotisch) mit der Normalverteilung rechnen?
Wie ist X tatsächlich verteilt?
c) Man diskutiere für dieses Beispiel die inhaltliche Bedeutung des Fehlers erster bzw. zweiter Art.
Aufgabe 9.1.8
Ein pharmazeutisches Unternehmen überprüft die Wirksamkeit eines neuen Medikaments anhand des Anteils der "Geheilten". Das Medikament gilt als wirksam, wenn der
Anteil
n > a ist (n=neu, a=alt).
a) Warum prüft man die Nullhypothese H0: n =
a = 0 und nicht die Alternativhypothese H1:
n > a? Warum ist ein nichtsignifikantes Ergebnis keine Verifizierung der Nullhypothese?
Demonstrieren Sie Ihre Überlegungen an folgendem Beispiel: n=100, pn=0,15 und 0=0,1
bzw. 0=0,2.
b) Welche Interessen werden der Hersteller und
der Patient hinsichtlich  und ß vertreten?
181
Aufgabe 9.1.9
Die medizinischen Lehrmeinungen
des Chirurgen Prof. Dr. C sind mit
zunehmender Berufserfahrung immer
radikaler geworden. Zu seiner
Grundüberzeugung gehört mittlerweile die Lehre, dass jedes Organ,
das unbrauchbar ist, ersatzlos entfernt werden müsse. Dabei sind jedoch leider im letzten Monat bei 25
Operationen nicht weniger als neun
Patienten gestorben. Bei einer Untersuchung durch die Ärztekammer (A)
wurden über die Wahrscheinlichkeit
 solcher Vorfälle zwei konkurrierende Hypothesen verfochten
von C: H0:  = 0,1
von A: H1:  = 0,5.
a) Entscheiden Sie über H0 mit einer
Sicherheitswahrscheinlichkeit von
1- = 0,9772.
b) Bei welchem Wert von p beginnt
der kritische Bereich (1 -  =
0,9772)?
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit ß für den Fehler zweiter Art!
Aufgabe 9.1.10
"Statistische Testverfahren sollen ein Urteil ermöglichen, mit welcher Sicherheit oder Signifikanz die über die Ausgangsverteilung der erhobenen Merkmale und ihre Parameter aufgestellten Hypothesen bestätigt oder verworfen werden können".
(aus J. Zentes, Grundbegriffe des Marketing, S. 397)
Beantworten Sie ausgehend von diesen Erklärungen folgende Fragen:
a) Sind die Begriffe "Sicherheit" und "Signifikanz" synonym?
b) Was heißt "Ausgangsverteilung"? Worauf bezieht sich der Begriff "Parameter"?
c) Wird bei einem Test eine Sicherheit berechnet, mit der eine Hypothese verworfen
werden kann? Stellt die Größe 1- eine solche Größe dar? Kann es überhaupt eine
"Sicherheit" im Sinne der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses geben, mit der
man eine Hypothese bestätigen oder verwerfen kann?
d) Muß sich ein Test immer auf die Parameter einer Verteilung beziehen?
182
Aufgabe 9.1.11
In einem betriebswirtschaftlichen Lehrbuch stellt der Autor die Prüfbarkeit einer Hypothese über die Wahrscheinlichkeit, nach einer Vorstrafe rückfällig zu werden, wie folgt
dar:
Unserer Aussage über die Vorbestraften würden wir etwa die folgende Form geben: "95% aller Vorbestraften werden rückfällig, 5% dagegen nicht." Die Prüfbarkeit dieser Aussage wird
dadurch hergestellt, dass wir eine bestimmte Hypothese über das für die jeweiligen Fälle geltende Verteilungsgesetz aufstellen. Diese Hypothese könnte etwa das folgende Aussehen haben: In x% der Fälle gilt folgendes Verhältnis von rückfälligen zu nicht rückfälligen Vorbestraften:
3%
91 : 9
7%
92 : 8
80%
95 : 5
7%
98 : 2
3%
99 : 1
Stellen wir durch empirische Untersuchungen fest, dass beispielsweise in 90% der Fälle das
Verhältnis von Rückfälligen zu Nichtrückfälligen 92:8 lautet, so müssen wir sowohl unsere
Hypothese über das geltende Verteilungsgesetz, als auch unsere empirische Hypothese als
falsifiziert ansehen.
Offenbar will der Autor zeigen, ob und wie man eine Hypothese über eine Wahrscheinlichkeit (=0,95) falsifizieren kann. Beantworten Sie folgende Fragen zu seiner Betrachtung:
a) Was könnte "in 90% der Fälle" bedeuten? Könnte gemeint sein: bei 90% aller Stichproben (von welchem Umfang?) wurde eine relative Häufigkeit von (genau?) 0,92
beobachtet?
b) Woher kommt die Hypothese "über das für die jeweiligen Fälle geltende Verteilungsgesetz"? Warum folgt sie nicht aus der Hypothese =0,95?
c) In welcher Weise kann eine (oder mehrere [in 90% der Fälle], wobei sich fragt, wieviele) relative Häufigkeit(en) eine Hypothese über eine Wahrscheinlichkeit (0,95)
"falsifizieren"?
d) Inwiefern kann eine solche Beobachtung (aus wievielen Stichproben welchen Umfangs?) zugleich zwei Hypothesen (wenn es denn zwei sind) "falsifizieren"? Was bedeutet hier "empirische Hypothese"?
e) Gibt es bei Signifikanztests eine Hypothese über ein "Verteilungsgesetz"? Was wird
hier eigentlich verteilt?
f) Warum wird nicht gesagt, wieviele Stichproben welchen Umfangs gezogen werden?
Warum erscheint in der Betrachtung kein Signifikanzniveau?
Aufgabe 9.1.12
In einer empirischen Studie über Schulreife und Schulerfolg untersuchten K. Lühning
und R. Schmid (1978) Einflußgrößen von Schulreife, Schulnoten und Intelligenz. Eine
Stichprobe von n=18 Schülern ("Einheimische") einer niedersächsischen
Gemeinde mit
_
dem Einschulungsjahr 1970 ergab einen Mittelwert x=109 der IQ-Punkte mit einer
Standardabweichung =13,5.
183
Psychologen mögen herausgefunden haben, dass der IQ normalverteilt ist mit µ=100
und =15. Ist der Befund der empirischen Studie bezüglich des Mittelwerts mit dieser
Arbeitshypothese vereinbar?
Aufgabe 9.2.1
(Statistik als konkrete Lebenshilfe!)
Major v.X. (verarmter Adel) wünscht, sich
durch eine Heirat zu sanieren:
a) Zwei gleichlautende Anzeigen in den Zeitungen A und B ergeben nA=50 und nB=40
Zuschriften, die als unabhängige Stichproben mit Zurücklegen aufzufassen sind. Aus
den Zuschriften ging hervor, dass die Anteile A=1/2 und B=1/8 der heiratswilligen Damen begütert waren.
Unzufrieden mit dem Erfolg dieser Aktion
erwägt v.X. eine neue Anzeige, in der seine Vorzüge und Absichten etwas deutlicher hervorgehoben werden sollen.
Soll er seine neuerliche Aktion auf die Zeitung A konzentrieren? ( = 1%)
b) Zu welcher Entscheidung würde v.X. gelangen, wenn A=0,4 und B=0,25 gewe-sen
wären?
Aufgabe 9.2.2
Die Gemeinde G ist zu der richtigen Erkenntnis gelangt, dass man nicht durch korrupte
Wahlmänner unfähige Sheriffs wählen lassen sollte, und dass auch in allen Fragen des
Personalwesens ein Statistiker hilfreicher ist als ein Betriebswirt. Sie beauftragte deshalb einen Statistiker, um aus den beiden Bewerbern A und B für das Amt des Sheriffs
den besseren auszuwählen.
184
Da es bei diesem
Amt vor allem darauf ankommt, gut
schießen zu können,
andererseits aber
auch ein guter
Schuß ein Zufallstreffer sein kann,
unternahm der Statistiker mit den beiden Bewerbern einen Schießwettbewerb. Die Ergebnisse waren:
Ziel getroffen
nicht getroffen
Trefferanteil
Bewerber A
10
30
1/4
Bewerber B
20
30
2/5
a)
Offenbar scheint B der bessere Schütze zu sein. Man möchte aber auch wissen, ob
B signifikant besser schießt als A ( = 0,05).
b)
Erklären Sie mit eigenen Worten, was in diesem Fall der Fehler 2. Art ist, und ob
es besser ist  oder ß zu betrachten!
c)
Die Entscheidung für B, weil dessen Trefferquote mit 40% höher war, als die von
A, könnte ungerecht sein. Es könnte sogar sein, dass A besser ist, als B und dass
sogar gilt: A=0,4 und B=0,3.
Man berechne unter diesen Annahmen ein symmetrisches, zweiseitiges Schwankungsintervall (1- = 0,95) für die Differenz der Stichprobenanteilswerte.
Wie wäre es zu interpretieren, wenn das Intervall auch die Differenz 1/4 - 2/5 =
- 0,15 umfassen würde?
d)
Richtig oder falsch?
O
Ein Konfidenzintervall gibt mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit an,
in welchem Wertebereich ein Parameter der Grundgesamtheit liegt.
O
Ein Schwankungsintervall gibt mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
an, in welchem Wertebereich eine Kennzahl der Stichprobe liegen wird.
O
 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese falsch ist.
O
Der -Fehler bedeutet hier: B annehmen, obwohl A besser ist.
O
... zwischen A und B keinen Unterschied zu machen, obgleich doch einer
besteht.
O
... sich zwischen A und B nicht zu entscheiden, obgleich B besser ist als A.
O
... den Bewerber B anzunehmen, obgleich A genauso gut sein könnte, wie
B.
185
Aufgabe 9.2.3
Eine Untersuchung über die Gehirngröße (in cm3) von 9
Ponginae und 16 Australopithecinae möge bei einer Standardabweichung (in der Grundgesamtheit) von P = A = 9
folgende Mittelwerte ergeben haben
Ponginae : 450;
Australopithecinae : 600
(die Angaben entsprechen der Wirklichkeit). Ist der Unterschied in der Gehirngröße zwischen diesen beiden menschlichen Vorfahren signifikant (=5% einseitig)? Ist anzunehmen, dass bei gleichem n und  (also G = A = 9)
auch ein durchschnittlicher Gorilla (Gehirnvolumen 685
cm3) ein signifikant größeres Gehirnvolumen als ein
Australopithecus hat (=5% einseitig)?
Aufgabe 9.2.4
(Verifizierung der aristotelischen Frauentheorie von Aufg. 7.1.8)
Der etwas skurrile und altmodische Statistiker S steht als Aristoteles-Fan modernem Gedankengut nicht sehr aufgeschlossen gegenüber (und auch modernen Frauen, die nach seiner Erfahrung
mehrheitlich weder von der Statistik,
noch von Aristoteles begeistert sind).
Mit einem nicht ungefährlichen Besuch
von S im feuchten Sumpfgebiet des
Amazonas bei den Kopfjägern gelang es
ihm, die aristotelische Frauentheorie
eindrucksvoll empirisch zu überprüfen.
Seine Statistik der Zeugungsumstände,
die ihm fast den Kopf gekostet hätte, ergab die folgenden Daten:
Umstände
Anteil
"Mädchen"
Geburten
insgesamt (n)
widrig
pW = 0,75
32
nicht widrig
pN = 0,25
32
a) Man teste auf einen signifikanten Unterschied ( = 5%)
b) Gewöhnlich folgt man der modernen Auffassung, wonach die Wetterbedingungen
während der Zeugung für das Geschlecht der Leibesfrucht nicht relevant sind.
Gleichwohl sollte man sich fragen, wie groß  sein müßte, um Zweifel zu bekommen, ob Aristoteles nicht doch Recht hatte (=5%, einseitig):
186
Umstände
Mädchen-Geb.
Geb. insgesamt
widrig
16 + 
32
nicht widrig
16
32
c) Angenommen, die Anteile unterscheiden sich bloß um 2%, so dass gilt pN=0,5 und
pW=0,52. Wie groß müßten die beiden (gleich großen) Stichproben nN=nW=n sein,
um zu einer Annahme der Aristoteles-Hypothese zu neigen (signifikanter Unterschied; =5% einseitig)? Wieviel mehr Mädchengeburten unter widrigen Zeugungsumständen als unter nichtwidrigen wären dann nötig?
Aufgabe 9.2.5
Bekanntlich fördert schon seit unvordenklichen Zeiten Angst und Streß das Auftreten aggressiver Verhaltensweisen. Zwei
unabhängige Stichproben vom Umfang
n1=50 (Experimentgruppe) und n2=40
(Kontrollgruppe) wurden hinsichtlich der
Häufigkeit aggressiven Verhaltens untersucht, wobei die Gruppe 1 permanent einem Streß ausgesetzt war.
Die Anteile aggressiver Personen waren:
p1=1/2 und p2=1/8. Ist der Unterschied signifikant (=1%, einseitig)?
Aufgabe 9.2.6
Bekanntlich ist der Erfolg
fliegerischer Aktivitäten bei
Gewitter (G) in einem höheren Maße gefährdet, als bei
schönem Wetter (S). Ein aussagefähiger Indikator für den
Erfolg solcher Betätigungen
dürfte die Variable X sein,
die zum Ausdruck bringt, in
welchem Ausmaß die Anzahl
der Landungen von Luftfahrzeugen (LFZ) aller Art am
beabsichtigten Ort und in befriedigender Weise (so dass der Pilot nach der Landung das LFZ ohne fremde Hilfe verlassen kann) die Anzahl der Starts an einem Tag unterschreitet.
187
Eine Auswertung von nG=100 Gewitter- und nS=200 Schönwettertagen ergab xG  8
und xS  4 und es seien  2G  30 und  S2  12 die bekannten Varianzen.
a) Man überprüfe die Hypothese H0: G = S mit =0,0228 einseitig.
b) Die Daten scheinen dafür zu sprechen, dass Fliegen im Gewitter doppelt so gefährlich ist, wie bei schönem Wetter im Sinne der Hypothese H0: G = 2S = 2. Gilt dies
für beliebige Werte von  ?
Aufgabe 9.2.7
Um das technische Interesse von Jungen (M) und Mädchen (W) zu vergleichen, wurde
nM=30 Schüler und nW=20 Schülerinnen ein Test vorgelegt, bei dem maximal 12 Punkte
zu erreichen waren. Man erhielt folgende Stichprobenergebnisse:
_
_
xM = 4,13
xW = 2,9
s2M = 7,4
s2W = 9,3.
Weist das Ergebnis auf einen signifikanten Unterschied hin (=5%) hin (Hinweis: mit
homogenen Varianzen rechnen)?
Aufgaben zu Kapitel 10
Aufgabe 10.1.1
Der erotomane Bankangestellte B behauptet, dass sich
zwischen 80 und 90 Prozent
seiner Tanzpartnerinnen nach
dem Tanz noch zu einem
Tässchen Bouillon in seine
Wohnung einladen lassen,
und dass er sich dabei mit
90% sicher sein kann. Wie
groß muß n sein?
Aufgabe 10.1.2
In einer Gemeinde mit N=10.000 Erwerbstätigen wurden durch eine Stichprobe im Umfang n=100 folgende Werte für die Verteilung der Wochenverdienste festgestellt:
_
x = 400 DM
und
ˆ = 50 DM.
a) Bestimmen Sie ein 95% symmetrisches Konfidenzintervall für µ !
188
b) Würde sich das Konfidenzintervall verringern oder vergrößern, wenn eine entsprechende Stichprobe in einer Gemeinde mit N = 90.000 Erwerbstätigen gezogen worden wäre?
c) Angenommen N ist sehr groß (gegenüber n). Wie groß müßte der Stichprobenumfang n mindestens sein, um bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% eine
Stichprobenaussage mit einem absoluten Fehler von 20 DM (von 2 DM) erzielen zu
können?
Aufgabe 10.1.3
a) Bei einer Wahlumfrage (Stichprobe) möge die Schätzung des Anteils  der Wähler
der Partei xyz vom wahren Wert höchstens absolut um 1 vH abweichen mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90%. Wieviele Personen sind zu befragen?
b) Wieviele Personen müßte man befragen, wenn man mit gleicher Wahrscheinlichkeit
einen Fehler von höchstens einem halbem Prozent in Kauf nehmen will?
c) Wenn sich die "Parteienlandschaft" mehr und mehr zu zwei großen Parteien verdichtet (oder entsprechend auf einem Markt ein Duopol entsteht), werden dann Wahlprognosen (oder Marktforschungen) schwieriger oder leichter?
Aufgabe 10.1.4
Für viele Autoren gilt eine Stichproben dann als "repräsentativ", wenn sie "ein getreues
Abbild der Realität darstellt", "wenn die Merkmale und ihre Verteilung in der Stichprobe und der Grundgesamtheit übereinstimmen" ("Repräsentanz = Strukturidentität"). Die
Grundgesamtheit bestehe aus 5 Einheiten mit den Merkmalswerten x1=100, x2=150,
x3=850, x4=1200 und x5=1700 (=800).
a)
Eine der 10 möglichen Stichproben vom Umfang n=2 ergab x1=100, x2=150 (also
x  125). Kann man sagen, dass sie deshalb nicht repräsentativ ist?
b)
Welche der 10 Stichproben ist ein "getreues Abbild" im obigen Sinne?
c)
In dem hier und in Aufg. 9.1.10 zitierten Buch (S. 369, 398) heißt es ferner, ein
indirekter Schluß sei nur zulässig, wenn eine Stichprobe in diesem Sinne repräsentativ ist. Ist dies richtig?
Aufgabe 10.1.5
Wenn ein Phänomen wie etwa R (Reinkarnation) bislang noch nicht zweifelsfrei nachgewiesen werden konnte, ist dies bekanntlich noch kein Beweis dafür, dass es gar nicht
existiert. Es könnte ja sein, dass es nach vielen tausend untersuchten Fällen doch zum
ersten Mal auftritt. Es ist zwar klar, dass R nie beobachtet werden kann, auch nicht bei
einem noch so großen Stichprobenumfang n, wenn die Wahrscheinlichkeit  des Eintretens von R genau Null ist.
Aber es könnte doch sein, dass  nur sehr klein ist und R deshalb mit hoher Wahrscheinlichkeit auch bei großem n nie auftritt.
189
Wie groß sollte die Anzahl n der untersuchten Fälle ohne R sein, wenn Sie
a) von der Hypothese H0: 
= 0 = 0,01 ausgehen
und diese bereit sind auf
einem Signifikanzniveau
von  = 0,05 zugunsten
von H1:  < 0 zu verwerfen, wenn es mehr
als n Beobachtungen ohne R gibt?
b) von 0 = 0,001 und  =
0,01 ausgehen?
Aufgabe 10.2.1
Durch eine Stichprobe von
n=2.000 Fernsehteilnehmern
(Auswahlsatz 1/3.000) wurde festgestellt, dass sich leider nur 1% in die belehrende und
amüsante Vorlesung über das hochalpine Faustrecht mit praktischen Übungen von Prof.
Dr. jur. X eingeschaltet haben. Man bestimme das 90%-Konfidenzintervall und rechne
die Konfidenzgrenzen hoch.
Aufgabe 10.3.1
Die Merkmalswerte der N=6 Einheiten der Grundgesamtheit seien 1, 2, 7, 10, 16 und 40
(=13,21). Die ersten vier Einheiten bilden die Schicht 1 (1=3,67) und die beiden letzten die Schicht 2 (2=12). Man berechne
a) die Standardabweichung der Stichprobenverteilung des Mittelwertes bei einer ungeschichteten Stichprobe mit n=3!
b) Die Standardabweichung bei einer geschichteten Stichprobe mit proportionaler Aufteilung.
Aufgabe 10.3.2
Gegeben sei eine Grundgesamtheit von 900 Betrieben, die sich wie folgt in zwei
Schichten nach Maßgabe des Jahresumsatzes x (in 1.000 DM) aufteilen lassen.
Schicht k
Nk
k
k 2
1
800
200
900
2
100
1100
8100
190
Für die Grundgesamtheit gilt dann µ=300 und 2=81.700. Man möchte 10% der Unternehmen befragen. Die Stichprobenverteilung des Mittelwerts X hat jeweils den Erwartungswert von E(X)=300. Welche Varianz hat sie im Falle
a)
einer ungeschichteten Stichprobe (uneingeschränkte Zufallsauswahl)
b)
einer geschichteten Stichprobe und zwar
- bei proportionaler Aufteilung
- bei optimaler Aufteilung
Man interpretiere das Ergebnis!
Aufgabe 10.3.3
Seit Dipl.-Kfm. K aus E auf Busfahrer umgesattelt hat, interessiert er
sich nur noch für das Konfidenzintervall seiner durchschnittlichen
Trinkgeldeinnahmen bei Sonderfahrten.
Das Unternehmen, bei dem er arbeitet, veranstaltete N=1.000 Sonderfahrten: 80% Fahrten zu Fußballspielen (F) und 20% Wochenendausflüge
von Kleingärtnern (G). Die 20 Fahrten des K seien als geschichtete
Stichprobe aufzufassen:
nF=16,
_
xF=50,
2F=400
nG=4,
_
xG=70,
2G=900
Von besonderem Interesse ist es für K zu wissen, ob er signifikant mehr Trinkgeld von
den Kleingärtnern als von den Fußballfans zu erwarten hat (=0,05).
Wie ist bei den obigen Zahlenangaben eine geschichtete Stichprobe vom Umfang n=20
in nF und nG aufzuteilen, wenn die Aufteilung proportional (optimal) sein soll?
Aufgabe 10.3.4
Gegeben sei eine Grundgesamtheit mit den Schichten-Anteilen
_ f1=N1/N und f2=N2/N.
Zeigen Sie, dass die Varianz der Stichprobenverteilung von x im Falle der ungeschichteten Stichprobe
1
 x2  f1 f 2 1   2 2  V11  V12
n


191
lautet und im Falle der geschichteten Stichprobe
 2x 
f1V11 f2 V12

n1
n2
bei V11 = f1 21 und V12 = f2 22. Erklären Sie anhand dieser Herleitung den Schichtungseffekt. Kann kein Schichtungseffekt eintreten, wenn 1=2 ist?
Lösungen der Übungsaufgaben
Kapitel 1
1.1, 1.2
Die Stichprobenräume sind formal identisch mit 9 Elementen =AA, AB,
..., CC. Dann ist AA eines von 9 Elementen, Wahrscheinlichkeit: 1/9.
Kapitel 2
2.1
V = 12 (n = 4; i = 2)
2.2
PW = 12.600
 49 
a)
K =   = 13.983.816
6
2.3
2.4
2.5
vierstellig
 208 2 
a)
. .448
     1736
 5  3 1 
VW = 57 = 78.125
2.6
a)
2.7
 n  3  n  1

 

 r  1   r  1
2.8
a)
0,4
2.9
a)
P = 120
2.10
1 - 0,88305 = 0,11695
b)
b)
b)
b)
 48
K =   = 1.712.304
5
17  6
    816
 2  1
11
KW =   = 330
7
1 - 1/10 = 0,9
b)
c)
P = (n-1)! = 24
0,5
192
Kapitel 3
3.1.1
Aussage
gilt stets
gilt nur, wenn ...
gilt nie
1
wenn AB  AC,
dann B  C
zugleich gilt: BC = B
2
wenn ABC=AB
dann B  C
zugleich gilt: BC = B
3
(AB) - A = B
AB  
4
 - (A  C) =
AB
X
5
(A-B)  (A-C)
= A-BC
X
6
AB - AC = BC
7 AB
8
X
- AC =
AB - ABC
X
A-B=B-A
3.1.2, 3.1.3
A=B
Lösung hier zu platzaufwendig
3.2.1
nein, denn P(ABCD) = P() = 10/12 < 1 und P(AD) = 7/12 > 1/2
3.2.2
Ereignisfeld (Potenzmenge), (, V, M, S, ..., VM, VK, MK, ..., ) diese
Menge hat insgesamt 24=16 Elemente
3.2.3
subjektiv
3.2.4
a), b)
3.2.5
a)
c)
3.3.1
P(AB) = 0,25 + 0,3 - 0,05 = 0,5 < 1, daher muß es noch mehr Stockwerke
geben
3.3.2
P(BC)=0,4
3.4.1
a)
0,2258
b)
[Zusatzfrage: a) 0,2379, b) 0,2344]
3.4.2
auch
a)
nein
c)
ja
keine Folgerung, (1 - 1/5000000)1000000
b)
statistisch
=GK V ; unmöglich ist G V ; weil  nicht enthalten
P(AC)=0,2
P(AB)=0,1
P(ABC)=0,62
0,21875
P(x=0)=0,729, P(x=1)=0,243, P(x=2)=0,027, P(x=3)=0,001 siehe
Binomialverteilung;
193
b)
E(X) = 0,3
c)
10 Kugeln, davon 9 weiße u. 1 schwarze
(Erfolg, Motor fällt aus), dreimal Z.m.Z.
3.4.3
4
3.4.4
P ( A  B  C )  0, 5833
3.4.5
Teilereignis R  S, deshalb P(R) < P(S) und P(R) = P(RS)
4
24
5
 35 
zweites Spiel: 1    = 0,4914
erstes Spiel: 1    = 0,5177
6
 36 
3.4.6
von einem ... = 0,3458
3.4.7
0,05
3.4.8
die einzelnen Partitionen kommen bei 63=216 Versuchsausgängen unterschiedlich häufig vor, nämlich 3! = 6, 3!/2!1! = 3 und 1 mal, so daß
P(x=9)=25/216 und P(x=10)=27/216 gilt.
3.4.9
P(A)=11/36, P(B)=5/36, P(AB)=2/36  P(AB)=2/5
stochastisch abhängig wegen P(AB)  P(A).
3.4.10
erste Summe immer 1, zweite Summe bei Unabhängigkeit 2 P(A).
3.4.11
aa) 0,565 ab) 0,0247 ac) 0,1357 b) stoch. abhängig, weil P(SR)  P(SS)
3.4.12
14/15
3.4.13
a)
b)
c)
P(AB)=0,3, P(AB)=0,06, P(T AB)=0, P(AB)=0,44
P(A B ) + P( A B)=0,38, P(A  B)=0,56, P(A B )=0,24,
P( T AB)=0,2, P(T)=0,048
Stichprobenraum, Zerlegung, unverträglich
0,8824
d)
0,3828
3.4.14
a)
0,18
3.4.15
a)
c)
d)
0,8824
b)
0,979; 0,904
P(AS)=0,32, P(A)=0,56, P(SA)=0,571, P(A A )=1, P(A-S)=0,24
A-S, S, A  S mit Wahrsch. 0,1, 0,6 und 0,3
3.4.16
P(N) = 0,514, P(NK) = 0,51
3.4.17
Demonstrationsbeispiel: paarweise Unabhängigkeit impliziert nicht wechselseitige Unabhängigkeit.
3.4.18
a)
b)
0,62
c)
0,44
P(F) = 0,7, P( H ) = 0,2, P(HF) = 0,9
d)
0,38
194
F
F

H
0,63
0,17
0,8
H
0,07
0,13
0,2

0,7
0,3
1
1) P(H  F )  0,13
2) P(H  F )  0,63
3)
P( H  F )  H  F )  P ( H )  P ( F )  P( H  F )
 0,8  0,7  2  0,63  0,24
oder
3.5.1
a)
P(H  F )  P( F  H)  0,07  0,17  0,24
Nein, da z.B. P(H)  P(F) = 0,70,8 = 0,56  P(HF) =63
P(BH) = 0,1, P(B H ) = 0,05
P(B) = P(BH)  P(H) + P(B H )  P( H )
=0,1  0,8+0,05  0,2 = 0,08+0,01 = 0,09
0,42; 0,1429
b)
für y: 0,42, 0,4286, für Z: 0,42, 0,6
3.5.2
a)
nein, P(SD) > P(S D)
3.5.3
a)
b)
0,9
P(B)=0,6, wobei P(x=0)=0,3, P(x=1)=0,6 u. P(x=2)=0,1 mit der hypergeometrischen Verteilung zu bestimmen wären; totale Wahrsch.
P(x=0B)=0,45
P(x=2B)=0,05
b)
c)
c)
b) 0,12
c) 0,25
3.5.4
0,0515
3.5.5
1/3, 5/6
3.5.6
P(X) ist die Wahrsch. dafür, daß ein Spieler mit einem Restkapital von X
ruiniert wird. Aus P(0)=1 und P(B)=1 sowie P(X) = ½ [P(X+1)+P(X-1)]
X
 1
folgt:
P ( X)  1     X  1 
 B
B
Kapitel 4
4.1.1
a) 8 Möglichkeiten; P(x=0)=1/8, P(x=1)=3/8, P(x=2)=3/8, P(x=3)=1/8
b) P(x=0)=8/27, P(x=1)=4/9, P(x=2)=2/9, P(x=3)=1/27
c) für Teil a): E(X)=1,5, V(X)=0,75
für Teil b): E(X)=1, V(X)=2/3, =0,8165
195
4.1.2
a) F( x ) 
1 2
x
4
E ( X) 
4
3
b) P(0,5  x  1,5) = 0,5
b
4.1.3
a)
 f ( x)dx  1 und f(x)  0
b) P(1  x  5) = 41/54
a
c) E(X)=3, V(X)=2,4
4.1.4
Erwartungswert jeweils 4,8 (keine Entscheidung nach max. Erwartungswert
[Bernoulli-Kriterium] möglich).
4.1.5
unendlicher Erwartungswert  unendlich hoher Einsatz wird trotzdem nicht
gewagt; Paradoxon des Petersburger Spiels: Nutzen  Geldeinsatz .
4.1.6
Beweise einfach mit q=1/2. f(y) = (y-1)(1/2)y wenn y2 .
4.1.7
zwar gilt F(10) = 1, nicht jedoch f(x) > 0 für alle Werte von x.
4.1.8
E(X)=0,58, bedingte Wahrscheinlichkeit, Likelihood, P(D)=0,8 .
4.1.9
a) Fläche unter f(x) ist 1, f(x)0, f(x)>1 für x>0,63
b) E(X)=0,8, V(X)=0,0267
n
1
n
mit lim  n /  n  1   1 .
 x( x  1)  n  1
n 
x 1

1
1 1
1
  ...    1, wobei
unendlicher Erwartungswert: E ( X)  
2 3
x
x 1 x  1
die harmonische Reihe (1/x) nicht konvergiert .
4.1.10

F(10)=1
b) E ( X)  10 ln x 10
übliches Verfahren f(x)>0, F(3)=1
b) nur letzte Antwort richtig
E(X)=27/24=1,125, V(X)=0,6094
E(Y)=4,5; V(Y)=2,4375 .
4.1.11
4.1.12
a)
a)
c)
d)
4.1.13
a) eindim., stetig, asymmetr., stückweise linear (Dreiecksvert.)
b) P(x10)=1/6
c) Normalverteilung mit  = 7 und  = 2; P(x > 10) = 0,0668.
4.1.14
Lösung hier zu aufwendig
4.2.1
a)
X=0
X=1

Y=0
4/9
2/9
6/9
Y=1
2/9
1/9
3/9

6/9
3/9
1
P X  0 Y  0  P X  0 Y  1  2 3
P X  1 Y  0  P X  1 Y  1  1 3
196
P Y  0 X  0  P Y  0 X  1  2 3
P Y  1 X  0  P Y  1 X  1  1 3
E(X) = E(Y) = 1/3, E(XY) = 1/9, C(XY) = 0
b)
X=0
X=1

Y=0
2/3  3/5=2/5
1/3  4/5=4/15
2/3
Y=1
2/3  2/5=4/15
1/3  1/5=1/15
1/3

2/3
1/3
1
P X  0 Y  0  3 5 P X  0 Y  1  4 5
P X  1 Y  0  2 5 P X  1 Y  1  1 5
P Y  0 X  0  3 5 P Y  0 X  1  4 5
P Y  1 X  0  2 5 P Y  1 X  1  1 5
E(X) = E(Y) = 1/3; C(XY) = -0,0444
4.2.2
a)
Y=0
Y=1

X=0
0,11
0,02
0,13
X=1
0,72
0,15
0,87
0,83
0,17
1

E(X)=0,87, E(Y)=0,17
P X  0 Y  0  0,1325 P X  0 Y  1  0,1176
P Y  0 X  0  0,8462 P Y  0 X  1  0,8276
EX Y  0  0,8675 EX Y  1  0,8824
E Y X  0  0,1538 E Y X  1  0,1724
4.2.3
b)
C XY  0,15  0,87  0,17  0,0021
V(X)=0,1131; V(Y)=0,1411;  XY  0,0166
1
7
21
1
f1 ( x )  x 
f2 ( y )  y 2 
P(0x0,5; 0y0,5)=0,0703125.
4
8
8
8
d1
4.2.4
P(A)=F1(b1)-F1(a1), P(C) entsprechend, P(AC)=  f1 ( x 1 )dx 1 ,
a1
P AB 
b1 b 2
  f  x , x dx
1
2
2
d x1
a1 a 2
4.2.5
a)
y=1
y=2
y=3

x=1
0,05
0,05
0
0,1
x=2
0,05
0,15
0,1
0,3
197
x=3
0
0,15
0,45
0,6

0,1
0,35
0,55
1
b) Nein, da z.B.
f(y=1)-f(x=1) = 0,10,1 = 0,01  f(x=1; y=1) = 0,05
c) P (x2; y2) = 0,05+0,05+0,05+0,15 = 0,3
0,05
= 0,5
0,1
0,05
= 0,5
P(x=2 y=1) =
0,1
P(x=3 y=1) = 0
E(xy=1) = 1  0,5  2  0,5  1,5
2
2
2 1
2
1
3 2
 1 x 3 y  dy  1 y   1 y 2   1
x
ydxdy

0 0 2
0  2  0
0 2  4  0
d) P(x=1 y=1) =
4.2.6
a)
f 0,5  x  1;0  y  1 
1 1
3
2x
2
ydxdy  0,21875
0,5 0
2
b)
1
3
3
1
f  x   x 2 ydy  3x 2 ;
f  y   x 2 ydx  y
2
2
2
0
0
1
3
f  x f  y  3x 2  y  x 2 y  f xy
2
2
X und Y sind unabhängig
4.3.1
E(Z)=2,5
V(Z)=0,36
4.3.2
E(Z)=0
V(Z)=1, (Standardisierung!)
4.3.3
a) E(X)=1,4, E(Y)=1,2, V(X)=0,24, V(Y)=0,76, C(X,Y)=-0,08, Korrelation
=-0187
b) E(Z1)=2,6, V(Z1)=0,84, E(Z2)=3,8, V(Z2)=2,96
c) vgl. Sätze über Linearkombinationen
4.3.4
V(Z)=60; Antwort 120 ist falsch, weil X+X und 2X verschiedene ZVn sind.
4.3.5
E(Z1)=0
E(Z2)=1,94
E(Z3)=7
Kapitel 5
5.1.1
5.1.2
E(X)=3,5
V(X)=0,75
 1 / 365
für x  1 ( Ereignis S)
f ( x) 
364 / 365 für x  0 ( Ereignis S )
E(Z4)=12,25=3,52
198
Zweipunktvert., E(X)=1/365, V(X)=364/3652
5.1.3
x2=a, V(X)=a-1
5.2.1
1 - F(5) = 0,3349
5.2.2
geometrische Verteilung =1/10, E(X)=(9/10):(1/10)=9
5.2.3
keine: 0,5129, eine: 0,3664, höchstens zwei: 0,984
Z.m.Z.: konstante Erfolgswahrscheinlichkeit
5.2.4
"keiner": f(0)=0,00001
5.2.5
P(x=2) = 0,3292
5.2.6
116
5.2.7
P(x4) = 0,247
1000 800 200
a) P(x=800) = 
0,9 0,1
 800 
c) E(N-X)=N-E(X)=100
5.2.8
"einer": f(1)=0,00045
mit: n=6 und =1/3
b) 1 - P(x=N) = 1 - 0,91000
d) keine, denn 2>1
5.2.9
P(70  x  110) = P(-2,2  z  2,2) = 0,9722, Approximation der B.V. durch
die N.V.
5.2.10
fG(5)=0,0311 b) FG(10)=0,9964 c) fB(2)=0,3456
e) 0,096
fB(0)=0,620
P X  2  1  P X  1  1   1  0,4 2   0,16
0,1037
10 5 5
10
10
a)  0,3 0,7
b)  0,300,710 ... 0,34 0,7 6
5
0
4
9
c) 0,7 0,3 = 0,0121
d) FG(9)-FG(4)=0,1398
5.2.11
a)
d)
f)
g)
5.2.12
10 !
0,33 0,12 0,6 5  0,0529
3! 2 ! 5 !
5.2.13
a) 0,5033
5.2.14
b) 0,05243
c) E(X)=4, V(X)=20
n
 n 1
bei n Nägeln n+1 Becken,     , erstes Becken: 0,125=(1/2)3
 x  2 
zweites Becken: 0,375=3(1/2)3,
5.3.1
5.3.2
Wege: erstes 1Weg, zweites 3 Wege
fH(x=210,8,2) = 0,6222, aber fH(x=220,16,2) = 0,6316
nicht halb so groß, sondern größer; aber fH(x=220,16,4) = 0,3756
Lösung mit N=49, n=6, M=6 über die hypergeometrische Verteilung mit
x=1, 2, ...
199
5.3.3
a) fH(3) = 0,193
b) x=2
5.3.4
a) nur 0,0286
b) 1/(151413)
5.3.5
fH(1) = 0,6
fH(2) = 0,1
a) fH(0) = 0,3
b) ja, da P(x=0) bei steigendem N größer wird, während P(x>0) sinkt
c) nein, man kann nicht E(X)>0 vermeiden, wenn man nur die richtigen
Kreuze zählt und M>0 Antworten richtig und anzukreuzen sind.
d und e) ja, wenn (M+1)2 < N+2
5.3.6
a) ja, Binomialvert. ist unangemessen, da ein Unternehmen ja nicht mehrfach im Kartell vertreten sein kann.
b) N=10  fH(x  2)=0, N=20  fH(x  2)=0,0316
c) etwa N = 300 (dann aber Kartellbildung auf einem solchen Markt ziemlich unwahrscheinlich).
5.3.7
(Capture-Recapture-Problem)
a) hypergeometrisch, M=20, x=4, n=20, N gesucht
 20 60
  
 4 16 
b) f H (4) 
80
 
 20
c) Rekursionsformel! f(5) > f(4)
d) Antwort wie b) mit fH(2)+...+fH(6)
e) N mind. 36, ML-Schätzer für N: 99
5.3.8
a) beide Aussagen sind verbreitete Irrtümer
b,c) beide Serien sind gleichwahrscheinlich
Alle Aussagen/Fragen betreffen "the gamblers mistake".
a)
Binomial: 0,9608
Poisson: 0,9608
b)
Binomial: 0,0385
Poisson: 0,0384
5.4.1
5.4.2
1 - F(5) = 0,0839, P(=3)-verteilt
5.4.3
5.4.4
x
0
1
2
3
4
5+
nf(x)
227
211
98
31
7
2
nicht wieder (x=0):
wieder (x=1):
Binomialvert. (1-)n = (1-0,005)40=0,8183
Poissonvert.: e-n=e-0,2=0,8187
Binomialvert. 0,1645
Poissonvert.: 0,1637
200
5.4.5
gleicher Vorgang, bloß anders beschrieben: e 40  0,005  0, 8187 , denn
n
lim  1    e  n .
n 
 1
a) Pn  1  
 n
b) lim Pn  e 1  1 / e  0, 3679 (kontraintuitiv, man würde 1 vermuten!)
n
5.4.6
n
c) Pn  e  k (man würde vermuten, daß P auch von n abhängt)
5.4.7
ja, da nur geringe Abweichungen; Häufigkeiten: 108,8, 66,2, 20,2, 4,2, 0,6
5.4.8
empirische theoretische
absolute
relative
relative
Häufigkeiten
Häufigkeiten Häufigkeiten
hi
Poisson =0,7
n i
0,5162
0,4966
215
0,3287
0,3476
150
0,1111
0,1217
53
0,0347
0,0284
12
0,0093
0,0050
2
0
0,0008
0
5.4.9
5.4.10
xi
ni
hi
f(x)
n i
0
100
0,595
0,575
96,6
1
50
0,298
0,318
53,4
2
14
0,083
0,088
14,8
3
3
0,018
0,016
2,7
4
5
6
0
0
1
0
0
0,006
0,002
0,0002
0,000
7
0
0
-
 0,5
-
 = 0,2 , f(3) = 0,0011 .
Kapitel 6
6.1.1
 x / c2
a) f ( x)  
2
2 / c  x / c
für 0  x  c
für c < x  2c
symm. Dreiecksverteilung
201
b) 2=(1/6)c2, also c=9=E(X)
c) 2/9
6.2.1
6.2.2
z=1,6, F(z)=0,9452, gesuchte Wahrsch.: 1-0,9452=0,0548
a) 0,6827
b) 0,0228
c) 0,0668
6.2.3
Binomialvert.: P(x  2) = 0,9842, P(1  x  2) = 0,5624
Normalvert.: P(x  2) = 0,9594, P(1  x  2) = 0,3415
6.2.4
=100, =24,3175
P(x<80)=0,2119 (z=-0,82); P(90<x110)=P(-0,41<z0,41)=0,3108 .
6.2.5
vgl. 5.2.20
6.2.6
a) z=2  P(z2)=1-0,9772=0,0228;
1
. Hier wird allerdings nur nach der
22
rechten Seite des Intervalls gefragt, die Wahrscheinlichkeit beträgt also
höchstens 0,125.
b) Tschebyscheff: P x  25  2  10 
6.2.7
a) 0,0668
b) 0,5763
6.2.8
Voraussetzung dafür, daß alle Personen Platz bekommen ist, daß mindestens
drei Personen absagen.
exakt: X~B(200;0,025)
P(X3) = 1-P(X2) = 1-0,1214 = 0,8786
Poisson: X~PO(5)
P(X3) = 1-0,1247 = 0,8753
Normal:
P(X  3) = 1 - P(X  3) [stetig!] = 0,8159
 Poissonverteilung besser
6.2.9
Ist x  P(), so ist Z=(X-)/0,5 nicht auch poissonverteilt, schon gar nicht
mit E(Z)=z=0, denn eine Poissonverteilung mit =0 und E(Z)=0 existiert
nicht. Z müßte auch nicht notwendigerweise positiv und ganzzahlig sein,
was bei P()-Vert. vorausgesetzt ist.
6.2.10
a) =X1-X2 N (-1, 16+2)
b) x1-x2 muß < 0 sein, für   =0 ist z =
   1
 , also P(R) = F(z) =

6
0,56592
c) F(z) wird kleiner
d) X2 ist dann eine Konstante: X1 - X2 = X1 - 6 = X1* und X1* N(-1, 16)
weshalb P( X1*  0) = F(+¼) = 0,59871 < 1.
e) ja, egal wie groß die Varianzen sind.
202
Kapitel 7
7.1.1
P X  5  2  0,6
7.1.2
a) höchstens 4/9
7.1.3
Ges. der Gr. Zahl hier völlig unsinnig, da weder ZVn, noch Unabhängigkeit.
7.1.4
a) mindestens 3/4
7.1.5
a) P  0,5 (Rechte Hälfte des Schwankungsintervalls, z  10 , also 1   für
1
1
das ganze Intervall  100% . Gl. 7.10* mit   liefert  1 
 0,99
2
100
also halbes ‘Intervall mindestens 49,5%
b) kein Widerspruch , Antwort 6 (nicht 2) ist richtig.
7.1.6
b) 0,134
c) 0,134
d) 0
b) 0,9545
1
 0,8889 , 2: 0,9973,
9
2
b) 1: 0,9545, 2: 0,75 (gl. 7.10* mit   
3
a) 1: mindestens 1 
7.1.7
a) identische Zweipunktverteilungen, unabh. Versuche (Stichprobenentnahmen), n=50.000 (wenn =0,5) und 18.000 (wenn =0,1).
b) mit Tschebyscheff n=3920; gem. Kap.10: n=753 .
7.1.8
a) nach Tschebyscheff mindestens 75%; nach de Moivre Laplace 95,45%
b) nur letzte Antwort richtig
7.1.9
a) damit 2/2 nicht größer als 1 ist
1
für c-  x  c+
c) f ( x) 
2 
7.1.10
Es existiert keine Grenzverteilung, da n keinen Grenzwert hat, sondern nur
zwei Häufungspunkte (0,275 und 0,525).
7.1.11
siehe Vorlesung
7.1.12
7.2.1
b) 1/3
X

a) es folgt für P    0,25 =P bei einer echten Münze
n

n=2  P=0,5
n=4  P=0,875
n=8  P=0,9296
b) unechte Münze: 0,48, 0,72, 0,8448
(Bei Zwischenwerten [etwa n=6P=0,5872]zeigt sich, daß die Wahrsch.
anders als bei a) nicht monoton zunimmt).
Demonstrationsbeispiel für Vorlesung; Hinweis: E(X)=10= , V(X)=9,5
für alle n gilt: E( X )=
203
7.2.2
m.Z.: Binomialverteilung
7.2.3
In Analogie zu 7.2.1; Hinweis: E(X)=2,4
7.2.4
a) zweipunktverteilt =0,1 b), c) Binomialvert. (Anzahl) rel. Binomialvert. (Anteil)
c), d) asymptotisch normalverteilt nach dem Grenzwertsatz von de Moivre
Laplace XN(n, n(1-)), x/nN(, (1-)/n).
7.2.5
Stichprobenvert. ist B(10, 1/6)
a) 0,00217
b) über Bin.: 0,002438; über Norm.: 0,0026
7.2.6
a) B(n,)
b) X/n ist relativiert binomialverteilt mit E(P)= (daher Erwartungstreue);
Parameter n, .
c) gleicher Verteilungstyp, Parameter n, 1- .
7.2.7
Stichprobenvert. von x und xG mit Binomialvert. So ist z.B. bei n=2
xG
1
2
2
x
1
1,5
2
o.Z.: relativierte hypergeom. Vert.
P( xG )
1/4
1/2
1/4
V(X)=1,04
E X   1,5  ; V X   0,125
beachte:
E( X G )=1,4571 > G = 2
V( X G )=0,1268 > V( X )
entsprechende Zusammenhänge bei n=3.
Das geometrische Mittel der GG wird mit X G nicht erwartungstreu geschätzt!
7.2.8
yi = xi/120 Lineartransformation!
y N(/120, [1/120]2 2/n).
Kapitel 8
8.1.1
1
dL 1 1
  2 (ML-Schätzer) LiM(4  M) ,
  M ; also M
8
dM 2 4
kelihoods: für M=0 oder M=4  0, für M=1 oder M=3  3/8,
für M=2  1/2 (Max.) .
L (Mn,N,x) =
8.1.2

0
0,1
0,2
0,3
0,4
L()
0
0,328
0,4096
0,36
0,2592
L = 5  (1-)4, ML-Schätzer für  ist der Anteil x/n = 0,2 der Stichprobe.
204
8.1.3
a)
Mißerfolge
0
1
2
3
Wahrscheinlichkeiten

 (1-  )
(1-
)²
 ( 1-  )³
b)
L() =  (1-)²  (1-) (1-)³
= 4 (1-)6
dL
 4 3 (1-) - 4 6 (1-)5 = 0
d
2 (1-) - 3 = 0
2 - 2 - 3 = 0
5 = 2
  = 0,4
8.2.1
 1 ,  2 erwartungstreu;  1 konsistent; ab n>2 ist  1 effizienter als  2 .
8.2.2
 2 ist erwartungstreu und konsistent,  1 ist asymptotisch erwartungstreu
und konsistent. Die Varianz von  1 kann kleiner als die von  2 sein, deshalb ist aber  1 nicht effizienter, da Effizienz den Vergleich zwischen zwei
erwartungstreuen Schätzfunktionen verlangt.
8.2.3
a) p erwartungstreu für , aber pq nur asymptotisch erwartungstreu für
n 1
 (1   ) .
 (1-) wegen E ( p (1  p )) 
n
b) identisch zweipunktverteilte Grundgesamtheiten; unabhängige Stichproben vorausgesetzt (wichtig für V(pH-pL))
8.2.4
E(  1 ) =

1
1
1
   2    
6
3
6
 1 ist erwartungstreu
V(  1 ) =
E(

1 2 1
1
   2 2   2
36
9
36
2 2
10 2

=      2 
 36 9 
36
1
 n  2    
n2
 2 ist erwartungstreu
 2 ) =
2
1 
1
V(  2 ) = 
2
   n  2  2 
 n  2
n2
V(  1 ) =
10 2
1
2
  V(  2 ) =
36
n2
205

1
10
=
n  2 36
 n-2 = 3,6
 n = 5,6
Für n  6 ist  2 effizienter als  1 .
8.3.1
a) 0,2096    0,3904
b) 0,2193    0,3807
8.3.2
a) 390,249    409,750
c) 390,448    409,552
b) 387,186    412,814
8.3.3
Konfidenzint. 0    0,09205, ohne Endlichkeitskorrektur 0    0,0949.
Kunde kann nicht ablehnen. Schwankungsintervall: 0  p  0,0585 (ohne
Endl.-korr.: 0  p  0,0588)
8.3.4
11,088
8.3.5
Plazebos: 0,2443    0,3557
Akupunktur: 0,27603    0,39063
kein signifikanter Unterschied, da Überschneidung!
8.3.6
Zu den Zahlen vgl. Aufgabe 9.2.2 und 9.2.9; 0,01909  A  0,23091
0,35714  B  0,64286
signifikanter Unterschied, da keine Überschneidung!
8.3.7
vgl. Aufg. 9.1.3 a)
8.3.8
85,49    114,51 (t=3,18, dagegen wäre z=1,96)
8.4.1
0,5216    0,6784 : nein!
8.4.2
a) 19/3  1  29/3 (also 6,33  1  9,67) und 5,2143  2  5,7857
b) 2,5  12/7, also 0,7857  1-2  4,2143: signifikanter Unterschied!
8.4.3
a) nein, da das Konfidenzintervall 0,12306  1-2  0,26077 den Wert Null
nicht einschließt
b) ja, weil 0,25 im Intervall enthalten ist .
8.4.4
-0,0317    0,1317 , nein .
Kapitel 9
9.1.1
9.1.2
a) H0:  = 0,8 H1 :  < 0,8
-Fehler: auf Gebührenerhöhung verzichten, obwohl diese lukrativ gewesen wäre.
b) Frage nach der Bedeutung der Risiken (ß-Fehler: Nachfragerückgang
durch Gebührenerhöhung)
a) Ablehnung (z=4,33)
b) bei p=0,22
c) 0,158    0,562
206
9.1.3
a) 440  x  460
9.1.4
Die Annahme kann verweigert werden (z=2,2451)
9.1.5
a) 0,003072
b) B(20; 0,04) c) Bin.vert., 2 Param., diskret, asymm.
d) richtige Antworten sind 2 (H0: keine Bevorzugung).
9.1.6
a) H0 nicht ablehnen (z=-1,6449) b)
c) 4%
d)
9.1.7
a) für n=4: signifikant (z=4,8242) ; für n=25: nichtsignifikant (z=1,508)
Exakte Wahrsch. (für x1) bei n=4: 3,94%; bei n=25: 22,2%
(Binomialv.)
b) Satz von de Moivre - Laplace, bei kleinem n Binomialverteilung.
c) -Fehler: Spray wird fälschlicherweise für schädlich gehalten.
ß-Fehler: Spray wird fälschlicherweise für unschädlich gehalten.
9.1.8
a) H1:n>0,1 ist signifikant, H2:n0,2ist nicht signifikant.
b) für Pharma-Hersteller ist ß-Fehler gravierender: das bessere (evtl. höhere
Entwicklungskosten) Medikament kommt nicht an.
9.1.9
a), b) wie 9.1.2
9.1.10
a), c), d) nein
b) unsinnig, es gibt keine Signifikanz der Merkmale;
Ausgangsverteilung könnte Verteilung in der GG bedeuten.
9.1.11
9.1.12
Die zitierten Ausführungen sind auf der ganzen Linie verfehlt. Es gibt neben
der Hypothese =0,95 nicht noch ein Verteilungsgesetz. Wahrscheinlichkeit
und relative Häufigkeit werden nicht auseinandergehalten und natürlich
wird eine Annahme über  nicht durch p falsifiziert.
H 0 ablehnen (z=6)
9.2.1
a) auf A konzentrieren (z=3,75)
9.2.2
a) kein signifikanter Unterschied (vgl. Aufg. 9.2.2, Teil b).
b) beide gleich beurteilt, obwohl B besser ist; ß möglichst klein wählen.
c) -0,09795    0,29795; tatsächlich beobachtete Diff. liegt außerhalb;
läge sie innerhalb des Intervalls, ist pA<pB trotz A>B .
d) zweite und letzte Antwort ist richtig.
9.2.3
jeweils hochsignifikante Unterschiede (z=40 und z=22,6 ).
9.2.4
a) signifikanter Unterschied (z=4); keine Falsifikation der Theorie von A.
b) >6,4, also 7
c) nW=nN=3381, 68 Geburten
b) Ablehnung (z=-10) c) bei 490
kritischer Bereich ab x =14,3949
F, R, F (ist die Macht 1-ß), R
c) 0,26%
b) kein signifikanter Unterschied
(z=1,5).
207
9.2.5
vgl. Aufg. 9.2.2, z=3,75, z=2,3263, also signifikant.
9.2.6
kein signifikanter Unterschied (z=1,4615)
9.2.7
a) signifikant (z=6,67)
b) wenn 2,8    5,2.
Kapitel 10
10.1.1
n  138
10.1.2
a) 390,25    409,75
10.1.3
a) n6.765 b) n27.057 c) schwieriger, da größere Stichproben notwendig
10.1.4
Wird eine Stichprobe gezogen, so liegt es im Wesen der Zufälligkeit, daß diese sehr unterschiedlich und auch wie im Beispiel von der Grundgesamtheit völlig verschieden ausfallen
können. Die Betrachtung ist also völlig verfehlt. Man braucht kein Konzept der Repräsentativität einer einzelnen Stichprobe und man könnte diese auch nicht messen, weil die
Grundgesamtheit ja nicht bekannt ist. Statt dessen gibt es das Konzept des Fehlers. Der ist
aber eine Zufallsvariable und bezieht sich nicht auf eine, sondern auf alle Stichproben.
b) Intervall wird breiter c) n  24,01 (n  2401).
a) nein
b) keine
c) nein (sonst könnte man auch
von keiner der 10 Stichproben auf die GG schließen, man kann es aber von
allen; worin sollte dann auch noch ein "Schluß" bestehen, wenn die Stichprobe ein getreues Abbild ist?).
10.1.5
a) 268
b) 5.407 .
10.2.1
38.039  M  81.961 (M Hörer in der GG unter insges. N=6 Mio.).
10.3.1
a)  x =5,91
b)  x  18,9933 = 4,3581 .
10.3.2
a)  2x  907 , 8
b) prop.:  2x  18, 9
10.3.3
a) nein, z = -1,2649 .
b)
prop.: nF = 16, nG = 4 opt.: nF = 15, nG = 5 .
10.3.4
vgl. Vorlesung.
opt.:  2x  14,94 .
208
Teil III Klausurtraining
a) Aufgaben (29 Aufgaben)
Aufgabe 1
Der Kunstspringer K macht sich Sorgen, ob er mit seinem doppelten Auerbachsalto, den er demnächst bei der
Deutschen Meisterschaft vollführen will, gerecht beurteilt wird. Er fordert deshalb, daß die Kampfrichter in
Zukunft keine Punkte mehr vergeben sollten, sondern
eine Rangordnung aller Springer durch Paarvergleiche
(Vergleich jedes Springers mit jedem anderen Springer)
aufstellen sollten.
a)
b)
c)
d)
e)
Wieviele mögliche Rangordnungen kann man bei n
Springern aufstellen?
Wieviele Paarvergleiche sind hierzu erforderlich?
Bei wievielen möglichen Rangordnungen wäre
dann K jeweils auf
1. demselben Ranglatz
2. dem Platz 2 der Rangordnung?
Es mögen c  n statt n Teilnehmer zum Wettkampf
antreten und es sei für alle c  n Springer durch
Paarvergleiche eine Rangordnung aufzustellen.
Man zeige, daß dadurch die Anzahl der möglichen
Paarvergleiche um mehr als das c 2 -fache ansteigen
wird.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus n Springern
die ersten m (bei m < n - 3) so auszuwählen, daß
1. der Kunstspringer K nicht unter den ersten
m ist?
2. der Kunstspringer K und zwei weitere
Personen nicht unter den ersten m sind?
Aufgabe 2
In einem Dorf gäbe es 2000 Einwohner, darunter
800 Fernsprechteilnehmer mit Haushalten von
durchschnittlich 2 Personen, so daß insgesamt 1600
Einwohner telefonisch erreichbar sind (Fernsprechnutzer).
a) Reichen für die Gemeinde dreistellige Telefonnummern aus? Dabei ist zu beachten, daß die
Telefonnummern nicht mit 0 oder 00 beginnen
dürfen!
b) Diplom-Kaufmann K, der in dem Dorf lebt, leidet seit längerem unter einem irrationalen Verbraucherverhalten in bezug auf Alkoholika.
Eines abends ruft er total betrunken zehn zufällig
aus dem Telefonbuch (800 Teilnehmern)
herausgegriffene Nummern an.
209
Dabei ist zu befürchten, daß er seine Erbtante T an der Leitung hat, die ihn ohnehin schon
seit längerem wegen seiner Trinkfreudigkeit verachtet!
Wie wahrscheinlich ist das? (Modell des Ziehens ohne Zurücklegen!)
c) Wie wahrscheinlich ist es, daß K beim dreimaligen zufälligen Wählen dreistelliger Zahlen
(auch solcher, die mit 0 oder 00 beginnen)
1. keinen
2. genau einen
der folgenden Anschlüsse: 632, 633, 634 angewählt hat?
d) Wieviel Möglichkeiten gibt es, 10 aus 800 Telefonnummern auszuwählen, wenn dabei
evtl. die gleiche Nummer mehrmals gewählt werden darf? (Gemeint ist die Telefonnummer insgesamt, nicht die Ziffern, aus denen sie besteht!)
e) Wie groß ist die entsprechende Anzahl der Möglichkeiten (der Auswahl von 10 aus 800),
wenn der Fall des mehrmaligen Wählens derselben Telefonnummer ausgeschlossen werden soll?
f) Hätte man mit dem unter d) und e) beschriebenen Verfahren eine Zufallsauswahl getroffen,
die repräsentativ wäre für (Richtiges ankreuzen):
0
die gesamte Gemeinde (2000 Personen)?
0
die Fernsprechteilnehmer (800 Personen)?
0
die Fernsprechnutzer (1600 Personen)?
0
niemanden?
Begründen Sie, ob und inwiefern mit dem Auswahlverfahren gegen Prinzipien der Zufallsauswahl verstoßen wurde!
Aufgabe 3
In einem Unternehmen U gibt es 10 Führungskräfte, die sich auf drei Ebenen des Managements wie folgt verteilen:
obere Führungsebene
 
mittlere Führungsebene
  
untere Führungsebene
    
Von den 10 auf die Positionen verteilten Führungskräften seien drei Spitzenkräfte
(symbolisiert durch eine schwarze Kugel) und sieben normal befähigte Manager (weiße Kugeln).
a) Wieviel verschieden Möglichkeiten existieren, bei welchen jeweils 5 oder 10 Führungskräfte in die untere, 3 in die mittlere und 2 in die obere Führungsebene plaziert werden?
b) Wie wahrscheinlich ist es, daß sich die Hierarchie, wie die oben abgebildete des Unternehmens U rein zufällig ergibt?
c) Diplom-Kaufmann K aus E sei normal befähigt. Wie wahrscheinlich ist es, daß er in die
obere Führungsebene gelangt,
1. wenn die Hierarchie des Unternehmens U besteht
2. wenn die Besetzung der Führungspositionen, wie im Teil b der Aufgabe
angenommen, ganz dem Zufall überlassen bleibt?
210
d) Echte Führungsqualität gäbe es - so errechnete ein Experte des Personalwesens - nur bei
5% der Bewerber. Wieviel Bewerber müßte danach ein Unternehmen einladen, um mindestens mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% wenigstens einen unter den sich vorstellenden
Bewerbern zu haben, der über echte Führungsqualitäten verfügt?
Aufgabe 4
Das Staatsoberhaupt S habe bei der Ordensverleihung ein gewisses Proporzdenken der
Parteien zu beachten. Es sei P(A) =0,4 die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Würdenträger der A-Partei einen Orden erhält und entsprechend P(B) = 0,8 die Wahrscheinlichkeit,
daß ein Mitglied der B-Partei dekoriert wird.
Ferner sei P(AB) = 0,3. Bei der jährlichen
Ordensverleihung kann eine Partei nur einmal
bedacht werden.
a) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit
folgender zusammengesetzter Ereignisse:
Ereignis: Es erhält jeweils einen Orden
Wahrscheinlichkeit
A und B
wenigstens einer von beiden
einer von beiden (sei es A oder B), aber
nicht beide zusammen
weder A noch B
b) Es seien X und Y Zufallsvariablen, die eine Ordensverleihung oder -nichtverleihung an die
A- und B-Partei bezeichnen. Bestimmen Sie aufgrund der Aussage P(A) = 0,4 die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X!
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz  2X !
d) Man bestimme analog Teil b) dieser Aufgabe die gemeinsame Wahrscheinlichkeit f(x, y)
der Zufallsvariable (X, Y) und berechne die Kovarianz und Korrelation zwischen X und Y!
e) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl Z der verliehenen Orden an
und zeigen Sie, daß wegen Z = X + Y auch gilt E(Z) = E(X) + E(Y) sowie
 2Z   2X   2Y  2 XY ( mit  XY = Kovarianz zwischen X und Y)!
Aufgabe 5
Staranwalt St pflegt vor Gericht lebhafte Plädoyers zu halten (Ereignis P). Die Wahrscheinlichkeit, daß er dies auch im Fall des Angeklagten A tut, sei P(P) = 0,4.
211
a) Die Wahrscheinlichkeit, daß der Geschworene G den Angeklagten A für unschuldig hält
(Ereignis U) sei vor dem Plädoyer P U P   0,1 und danach P U P   0,5 .
Sind die Ereignisse U und P unabhängig? Begründung erforderlich!
b) Berechnen Sie P  U  P  und P  U  P  .
c) Dem Gericht stehen 60 Personen zur Verfügung, die als Geschworene tätig sein können.
Für den Prozeß hat der Rechtspfleger R genau 12 von ihnen zufällig auszuwählen. Wie
wahrscheinlich ist es dann, daß bei 20 Frauen und 40 Männern unter den auszuwählenden
Personen alle 12 Geschworenen Frauen sind?
d) Wie wahrscheinlich ist es, daß bei dieser Auswahl unter 20 Frauen und 40 Männern von
den 12 Geschworenen fünf Frauen sind?
e) Unter den 60 auszuwählenden Personen befindet sich auch Diplom-Kaufmann K aus E.
Wie wahrscheinlich ist es, daß der Rechtspfleger R gerade ihn als den zwölften der Geschworenen auswählt?
f) Der Staranwalt vertritt die Hypothese H0 : A ist unschuldig, tatsächlich ist aber A schuldig.
Gleichwohl gelingt es ihm, einen Freispruch zu erwirken. Das ist im Sinne der Statistik
(Richtiges ankreuzen)
O ein Fehler 1. Art
O ein Fehler 2. Art
O eine Irrtumswahrscheinlichkeit
O kein Fehler
g) Kann man aufgrund des Gesetzes der Großen Zahl schließen, daß ein Gericht um so eher
zur Wahrheit gelangt, je mehr Richter auf der Richterbank sitzen? Begründung erforderlich!
Aufgabe 6
Spät, aber dafür um so heftiger wurde Diplom-Kaufmann K aus E von der Leidenschaft
ergriffen, Pilze zu sammeln. Er betreibt sein neues Hobby derartig radikal aber zugleich
unwissend, daß er jeden Pilz mitnimmt, den er zufällig gerade findet und bei jeder
Pilzwanderung mindestens 10 Pilze sammelt, egal welche.
Die Anzahl x der Giftpilze sei poissonverteilt mit  = 0,8.
a) Wie wahrscheinlich ist es, daß mindestens 8 von 10 Pilzen, die K ergreift, eßbar (nicht
giftig) sind ?
b) Beim Verspeisen von x > 0 Giftpilzen kann es vorkommen, daß man stirbt (Ereignis A). Es
sei P(Ax=1) = 0,7, P(Ax=2) = 0,9 und P(Ax  3) = 1.
212
Wie wahrscheinlich ist es, daß Diplom-Kaufmann K aus E seine oben beschriebene irrationale Taktik überlebt?
c) Bei seiner letzten Pilzwanderung hat sich K erstaunlicherweise wieder nicht vergiftet
(keinen Giftpilz gefunden), aber insgesamt n = 40 Pilze gesammelt. Spricht dieses
Ergebnis gegen die Annahme, daß die Anzahl der Pilze poissonverteilt ist mit  = 0,8 ( =
5% zweiseitig)?
d) Man bestimme ein 90% zweiseitiges Konfidenzintervall aufgrund der Angaben unter c)
und rechne die Grenzen des Konfidenzintervalls hoch für eine Stichprobe vom Umfang n =
40!
e) Wie groß müßte der Stichprobenumfang mindestens sein, damit K mit einer Sicherheit von
95% den Erwartungswert E(X) mit einem absoluten Fehler von  0,05 bestimmen kann!
Aufgabe 7
Bei einer drahtlosen Telegraphieanlage älterer Bauart entstehen
Lautstärkewerte zwischen 80 und 120 Phon, die folglich noch
innerhalb zufällig schwankender Entfernungen X (in km) hörbar
sind. In einer Entfernung von 2 km vom Standort der Anlage
beginnt der Urwald, der bekanntlich die Ausbreitung des
Schalls behindert.
Die Variable X ist wie folgt verteilt:
für
0,2
0x2

 8
1
f  x  

x für
2x8
30
30


sonst
0
a) Man zeichne die Dichtefunktion f(x) und zeige, daß die
Funktion die Bedingungen einer Dichtefunktion erfüllt!
b) Man bestimme den Erwartungswert!
c) Man bestimme die Verteilungsfunktion F(x) und zeichne
diese!
d) Man zeige, daß die Varianz von X ungefähr 3,5 beträgt!
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man eine Botschaft noch mindestens 7 km vom
Standort der Anlage hören kann?
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man eine Botschaft mindestens 6 km weiter
hören kann als dies im Mittel zu erwarten ist, wenn
1. f(x) die obige Dichtefunktion ist?
2. die Dichtefunktion nicht bekannt ist?
g) Dies ist dann die
O exakte Wahrscheinlichkeit
O Mindestwahrscheinlichkeit
O Höchstwahrscheinlichkeit
(Der Wert, den die Wahrscheinlichkeit höchstens annimmt)
213
Aufgabe 8
(Wertpapiermischung, portfolio - selection)
Diplom-Kaufmann K aus E erwägt, sein Vermögen in drei Wertpapieren A, B, C anzulegen.
Er legt einen Anteil a in Papier A, b in B in c in C an (a + b + c = 1). Als Maß der Gewinnträchtigkeit einer Anlage gilt der zu erwartende Kurswert E(X) und als Maß des Risikos die
Standardabweichung  X .
Für die drei Kurse XA, XB, XC gelte:
E(XA) = 100 ;  2A  25
E(XB) = 180 ;  2B  4
E(XC) = 200 ;  C2  49 .
Die Kurse korrelieren wie folgt miteinander
rAB = - 1
rAC = + 1
rBC = - 0,1.
a) Man bestimme Erwartungswert und Varianz der Größe Z = aXA+ bXB + cXC, wenn Diplom-Kaufmann K aus E sein Vermögen
1
, b = 0)
2
1
2. zu je einem Drittel in den Papieren A, B und C investiert (also a = b = c = )!
3
1. zu gleichen Teilen in den Papieren A und C investiert (also a = c =
b) Im zweiten Fall ist E(Z) größer und  2z erheblich kleiner als im ersten Fall, d.h. diese
Wertpapieranlage (-mischung) ist sowohl ertragreicher als auch weniger riskant. Zeigen
Sie, warum dieses Ergebnis, das ja auch mit der Erfahrung (Vorteile der Risikostreuung!)
im Einklang ist, zustande kommt!
c) Angenommen, der Kurswert Z aller drei Papiere des K sei die Summe von drei Kursen X1,
X2, X3 mit gleichem Mittelwert und gleicher Varianz, die - wie oben angegeben - miteinander korreliert sind. Es sei Z = X1 + X2 + X3 normalverteilt mit  =150 und  2  81 .
Man bestimme ein symmetrisches Intervall für die Zufallsvariable Z um , in welchem
90% der zu beobachtenden Werte von Z liegen dürften!
d) Angenommen, Z sei das arithmetische Mittel aus vier Kursen X1, X2, X3, X4, die unabhängige, normalverteilteZufallsvariablen seien und jeweils die gleichen Parameter
besitzen mit
 1   2     150 und  12   22    2  81 .
Man bestimme ein symmetrisches Intervall für Z um , in welchem 90 % der zu beobachtenden Werte von Z liegen dürften!
e) In den Teilen c und d sind verschiedene Ansätze erforderlich. Es waren zu berechnen
(Richtiges ankreuzen)
214
im Teil
c
d
A ein Schwankungsintervall
(direkter Schluß)
B ein Konfidenzintervall
(indirekter Schluß)
C weder A noch B, sondern
eine andere Art von Intervall
Aufgabe 9
In einer Spielhölle schießt allabendlich auch DiplomKaufmann K aus E auf ein bewegliches Ziel, das er jeweils (bei jedem Schuß) mit einer Wahrscheinlichkeit von
nur 5 % trifft. Die einzelnen Schüsse seien unabhängig,
d.h. K verbessert sich nicht durch beständige Übung.
a) Wie wahrscheinlich ist es, daß K nach 10 Schüssen
zum ersten Mal das Ziel trifft?
b) Wie wahrscheinlich ist es, daß K zwischen einschließlich 5 und 10 Schüsse benötigt, um dann jeweils das
erste Mal das Ziel zu treffen?
c) Wie wahrscheinlich ist es, daß K spätestens im fünften
Versuch das dritte Mal trifft?
d) Gewöhnlich schießt K so lange bis er zum ersten Mal
trifft. Jeder Schuß kostet 50 Pfennig. Wieviel Geld
steckt K in den Spielautomaten?
e) Wie wahrscheinlich ist es, daß K bei 10 Schüssen
dreimal trifft?
f) Zeigen Sie, wie gut in diesem Fall die Approximation
an die Poissonverteilung ist!
Teile g) und h) sind sehr schwierig und für Klausuren
nicht geeignet:
g) (Ruinproblem)
K will so lange spielen, bis er entweder DM 20,- gewonnen oder aber sein Startkapital von DM 10,- verspielt hat (Ruin). Bei jedem Spiel gewinnt er entweder
50 Pfennig oder er verliert seinen Einsatz von 50
Pfennig mit den oben angegebenen Wahrscheinlichkeiten.
Wie wahrscheinlich ist der Ruin des Diplom-Kaufmann K aus E?
h) Wie würde sich seine Ruinwahrscheinlichkeit verringern, wenn er sich mit einem Zielbetrag von DM 12,- begnügen würde?
215
Aufgabe 10
Der Student S hat große Schwierigkeiten in der Statistikklausur zu erkennen, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung jeweils in der Aufgabe gemeint sein könnte. Nach seiner ersten
mißlungenen Klausur ist er zum Entschluß gekommen, in Zukunft einfach zu raten, welche
der acht ihm bekannten Verteilungen gemeint sein könnte.
a) In der zweiten Klausur wurde in 10 Fragen jeweils nach einer dieser acht Verteilungen gefragt. Wieviele Antwortmöglichkeiten gibt es für S?
b) Wie wahrscheinlich ist es, daß S genau 2 der 10 Fragen bei seiner schlichten Taktik zufällig richtig beantwortet?
c) Wie wahrscheinlich ist es, daß S erst bei der 5-ten der von ihm beantworteten Fragen richtig liegt?
d) Man kann das Verhalten von S als Ziehen einer Stichprobe vom Umfang n = 10 auffassen.
Geben Sie für die Grundgesamtheit und für die Stichprobenverteilung der Anzahl X der
richtig geratenen Verteilungen den Verteilungstyp, die Parameter und den Erwartungswert
an!
Hieraus ergibt sich, daß die Schätzung
 der Anzahl X

konsistent ist.
 des Anteilswertes X / n 
e) Nachdem S viermal geraten hat, geht er für die restlichen 6 Fragen dazu über, vorsichtshalber beim Nachbarn N abzuschreiben. Von N ist anzunehmen, daß er im Mittel viermal so
oft auf die richtige Verteilung kommt, wobei es jedoch unklar ist, wie ihm dies gelingt.
Wie groß ist jetzt für S (bezogen auf alle 10 Fragen) die Wahrscheinlichkeit einer richtigen
Antwort? (Totale Wahrscheinlichkeit!)
f) Warum ist es wichtig - wie oben geschehen - darauf hinzuweisen, daß es etwas undurchsichtig ist, wie N zu seinen Einfällen gelangt?
g) Sein Abschreiben von N wird der Professor, so glaubt S, kaum merken. Er nimmt an, daß
die Klausuren in zufälliger Reihenfolge gelesen werden. Dann sei bei 100 Klausuren die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Klausuren von N und S nacheinander gelesen werden,
nur 0,1 Promille. Ist diese Überlegung richtig?
Aufgabe 11
(small sample Problem aus Mittelamerika)
General G schätzt es, eine Attacke effektvoll vorzutragen. Das dazu erforderliche Musikercorps ist jedoch notorisch unpünktlich und hat bisher
bei vier Übungen folgende Verspätungen (in Minuten) militärischer
Operationen verschuldet:
40, 60, 50 und 90 Minuten.
a) Man bestimme ein zweiseitiges 95%-Konfidenzintervall für die
durchschnittliche Verspätung bei Benutzung der t-Verteilung und von
 = 20!
b) General G wartet bereits eineinhalb Stunden und fragt sich, ob er mit
seinem Wutausbruch noch einige Minuten warten sollte. Es ist deshalb zu klären, ob eine so lange Wartezeit noch in das Konfidenzintervall fällt!
c) Wie wahrscheinlich ist eine Wartezeit von 1 1/2 Stunden oder mehr,
wenn die Grundgesamtheit wie folgt verteilt ist
216
1

f (x )   70
 0
wenn 25  x  95 Min.
sonst
d) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable X, für die die Dichtefunktion gem. c) gilt!
e) Wie wahrscheinlich ist eine Abweichung vom Mittel um höchstens 30 Minuten, wenn von
der Grundgesamtheit nur bekannt ist, daß  = 20 ist?
f) Wegen eines Schusses auf den Klangkörper mußte der Musiker M sein Instrument 2 Stunden lang neu stimmen. Der General geht von der Hypothese aus, daß im Ernstfall die Verspätung größer ist als im Übungsfall, nämlich  1  100 bei  1   0  20 sowie n = 4. Die
Verspätungszeit X sei normalverteilt.
Wie wahrscheinlich ist eine durchschnittliche Verspätung von bis zu 2 Stunden bei Geltung von H1: 1 = 100? (Man rechne mit der Normalverteilung, nicht testen!)
g) Diese Wahrscheinlichkeit ist
O
O
O weder  noch 
Wenn der General vorsichtshalber davon ausgehen sollte, daß im Kriegsfall die
Verspätung größer ist und er Gefahr läuft, daß der Feind rasch seinen Standort wechselt,
dann sollte er für
O den Fehler 1. Art
O den Fehler 2. Art
eine möglichst geringe Wahrscheinlichkeit ins Auge fassen.
Aufgabe 12
a) Der Verfassungsschutz soll 6 verdächtige Personen beim Verlassen ihrer Wohnung observieren,
darunter auch den Diplom-Kaufmann K aus E.
Drei der zu beobachtenden Personen stellen in der
Tat ein Sicherheitsrisiko dar. Wie wahrscheinlich
ist es, daß der Verfassungsschutz mit den ersten
drei Observierungen auch genau den tatsächlich
gefährlichen Personen auf der Spur ist?
b) Der Verfassungsschutz hat mit seinen ersten drei
Observierungen nur zwei der drei verdächtigen
Personen gefunden. Wie wahrscheinlich ist es,
daß er mit seiner vierten Beobachtungsaktion
gerade der dritten verdächtigen Person auf der
Spur ist?
c) Nach einer Hausdurchsuchungsaktion werden 6 Personen im Verdacht des Links- bzw.
Rechtsextremismus dem Untersuchungsrichter vorgeführt. Es sei angenommen, daß dieser
wegen Arbeitsüberlastung zunächst nur n  6 Personen der Reihe nach zu einem Gespräch
in sein Zimmer bittet. Es stellte sich heraus, daß diese n Personen auch gerade diese n Personen waren, bei denen sich der Verdacht erhärten ließ.
Hätte der Richter die Auswahl nach dem Zufallsprinzip getroffen, so hätte er nur mit einer
Wahrscheinlichkeit von 5% damit rechnen können, auf Anhieb die wirklich Schuldigen
auszuwählen.
Wie groß ist die Anzahl n?
217
d) Wäre die Wahrscheinlichkeit

größer

kleiner

auch 5%
wenn man 12 statt 6 Personen dem Richter vorführen würde und die Anzahl n doppelt so
groß wäre?
Anmerkung für empörte Juristen: Die Überlegung der Juristen sind sicher äußerst komplex
aber auch nicht wahrscheinlichkeitstheoretisch zu fassen. Sie sind Variablen „sui generis“, die
selbstverständlich mehr Respekt verdienen als die Zufallsvariablen.
Aufgabe 13
Der Tierarzt T ist es trotz langer Berufserfahrung gewohnt, daß seine Tierliebe nicht angemessen erwidert
wird. Deshalb rechnet er damit, daß er gemäß der Poisson-Verteilung bei einer Diagnose X mal gebissen wird.
Im Mittel ist bei seinen ärztlichen Bemühungen pro Behandlung mit einem Biß zu rechnen.
a) Man gebe die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) für
die Anzahl der Bisse an!
b) Man bestimme (bzw. schlage in der Tabelle nach) die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß T
1. überhaupt nicht gebissen wird
2. genau einmal gebissen wird
3. mehr als zweimal gebissen wird!
c) Man bestimme die Standardabweichung  x .
d) Die Poissonverteilung hat das gleiche Urnenmodell
wie die
O Zweipunktverteilung
O Binomialverteilung
O Hypergeometrische Verteilung
O Normalverteilung
O ....................verteilung
e) Man gewinnt die Poissonverteilung aus der oben genannten Verteilung durch einen Grenzübergang unter folgenden Voraussetzungen:
f) Dieser Grenzübergang ist auch bekannt als
O Gesetz der großen Zahl
O stochastische Konvergenz
O Konvergenz von Verteilungen
O Grenzwertsatz von.....................
g) An einem Tage wurde der gut gelaunte T bei der Behandlung von 36 Tieren nur von 4
Tieren einmal und von 4 Tieren zweimal gebissen. Ist diese Beobachtung verträglich mit
der Hypothese, daß  = 1 ist, wenn X poissonverteilt ist? Oder ist anzunehmen, daß  kleiner als 1 ist? Es sei  = 0,01!
218
Aufgabe 14
Die Hausfrau H kaufte beim
Fleischer F zwei Leberwürste
und eine Teewurst. Alle Würste waren verdorben. Bei
ihrer Beschwerde fand sie
deshalb nicht den richtigen
Ton, weil ihr die nötigen
Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung fehlen.
Es gilt nun H zu zeigen, daß
das Ereignis, von dem sie betroffen war, nur eine Wahrscheinlichkeit
von
etwa
0,09% hatte, wenn die Angaben des F stimmen, daß
sowohl von seinen 40 Teewürsten nur 4 als auch von
seinen 100 Leberwürsten nur
10 vergammelt waren!
a) Wie groß ist unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das oben
dargestellte Ereignis eintritt?
b) Geben Sie unter den oben genannten Voraussetzungen die Stichprobenverteilung der Anzahl X der verdorbenen Leberwürste an, wenn man n = 10 Leberwürste ohne Zurücklegen
zieht!
c) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung!
d) Gegen welche Grenzverteilung strebt diese Stichprobenverteilung bei großem Stichprobenumfang n? (Parameter angeben!)
e)
Der unter d) gefragte Zusammenhang gilt nach dem (Richtiges ankreuzen)
O Gesetz der großen Zahl
O Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy
O lokalen Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace
O zentralen Grenzwertsatz von Ljapunoff.
f) Man stelle fest, ob die Angaben des Fleischers F zutreffend sein könnten, wenn bei einer
Stichprobe von 4 Leberwürsten nur eine verdorben war! (Irrtumswahrscheinlichkeit 5 %)
g) Aufgrund ihrer streitbaren Natur hat die Hausfrau H die Sympathie eines mit ihr seelenverwandten Juristen der Universität Essen gewonnen, was ihr zu einem langjährigen Prozeß wegen der drei gekauften Würste verhalf. In diesem Rechtsstreit wurde festgestellt,
daß zwischen brauchbaren, herabgesetzt brauchbaren (eine der gekauften Würste) und unbrauchbaren Würsten (die übrigen zwei der drei von H gekauften Würste) unterschieden
werden müsse. Eine Untersuchung ergab, daß von den 140 Würsten des Fleischers F acht
herabgesetzt brauchbar und nur sechs unbrauchbar waren. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit des die Hausfrau H ereilten Schicksals! (Ansatz genügt!)
Aufgabe 15
Student S ist ein begeisterter Star-Trek-Fan. Daher möchte er auch keine der (fast) täglich
ausgestrahlten Folgen der Serie verpassen. Weil er aber um 15.00 Uhr selten zu Hause ist,
programmiert er seinen Videorekorder. Dabei hat er aber mit dem Problem zu kämpfen, daß
der ausstrahlende Sender „Schrott 1“ in zwei von zehn Fällen vergißt, das VPS-Signal zu
senden (Ereignis V), so daß der Rekorder von S nicht anspringt. Desweiteren wohnt S etwas
219
ungünstig, so daß der Empfang je nach Wetterlage in 30% der Fälle stark gestört ist (Ereignis
S). Die Wahrscheinlichkeit, eine einwandfreie Aufnahme zu haben (Rekorder ist angesprungen und der Empfang ist einwandfrei), beziffert S daher nur auf 60%.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
1) der Videorekorder angesprungen ist, nachdem klar ist, daß der Empfang einwandfrei
ist?
2) der Empfang gestört ist oder der Videorekorder nicht angesprungen ist (aber nicht beides zusammen)?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
1) in drei von acht Fällen der Videorekorder nicht angesprungen ist?
2) an fünf aufeinanderfolgenden Tagen der Videorekorder am dritten Tag erstmalig angesprungen ist?
c) S weiß von früheren Ausstrahlungen her, daß ihm von 178 Folgen der Serie „Star-Trek:
Das nächste Jahrhundert“ 23 (also ca. 12,9%) überhaupt nicht gefallen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß ihm von 10 Folgen, die er mit einigen Freunden in einer großen
Star-Trek-Nacht sehen möchte, drei nicht gefallen?
d) Der Sender Schrott 1 sieht sich manchmal gezwungen Star-Trek zugunsten der Übertragung „wichtiger“ Sportereignisse ausfallen zu lassen. S hat das Gefühl, daß dies viel häufiger geschieht, wenn ihm eine Folge gefällt, als wenn eine Folge gesendet werden soll, die
er nicht mag. Er schätzt die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten wie folgt ein:


P A| G   0,1 , P A| G  0,05
mit:
Ereignis A: Star-Trek fällt aus
Ereignis G: Folge gefällt S
1) Hat S mit seinem Gefühl recht, d.h. sind die Ereignisse A und G wirklich abhängig?
2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Serie an einem Tag ausfällt?
e) Besonders störend auf den Genuß von Star-Trek wirken sich natürlich die ständigen Werbeunterbrechungen aus. Laut einer Aussage des Senders ist die Anzahl der gesendeten
Werbeminuten pro Folge normalverteilt mit µ = 15 und  2  4 . Bei einer Stichprobe vom
Umfang n = 25 Folgen ermittelt S eine durchschnittliche Werbedauer von 16 Minuten.
1) Kann aufgrund dieses Stichprobenergebnisses mit Hilfe eines statistischen Tests
1    0,95 der Eindruck von S bestätigt werden, der Sender bringe im Schnitt mehr
als 15 Minuten Werbung?
2) Beschreiben Sie mit eigenen Worten, was es in diesem Fall heißt, einen Fehler 1. oder
2. Art zu begehen.
Aufgabe 16
Dem Diplom-Kaufmann K aus E passierte in der Pizzeria P das Mißgeschick, eine Portion
Spaghetti zu bekommen, die aus neun Spaghetti bestand, die alle länger als 80 cm waren, was
ihm beim Essen erhebliche Schwierigkeiten bereitete.
Aus statistischen Erhebungen ist bekannt, daß die Spaghettilänge normalverteilt ist mit
dem Mittelwert (gemessen in Meter)   0,4 m und der Standardabweichung   0,4 m.
220
a) Wie wahrscheinlich
ist es
1. eine Spaghetti
2. neun Spaghetti
vorzufinden, deren
Länge 80 cm oder
mehr beträgt (neun
unabhängige Züge,
d.h. eine Stichprobe
vom Umfang n = 9)?
b) Man zeige, daß es
demgegenüber über
20000 mal so wahrscheinlich ist, neun
Spaghetti vorzufinden, deren Länge im Mittel 80 cm oder mehr beträgt!
c) Worin besteht der Unterschied der Fragestellung des Teils a) und des Teils b) dieser Aufgabe? Welche Fragestellung ist in der Stichprobentheorie üblich? Welche Fragestellung
betrifft das Mißgeschick des Diplom-Kaufmanns?
Aufgabe 17
Diplom-Kaufmann K aus E fühlt sich von seiner dominanten
Gattin dermaßen tyrannisiert, daß er sich als letzten Ausweg
ratsuchend an einen in seinem Fachbereich als Schurken bekannten Statistiker wendet. Er begehrt eine Einschätzung der
Erfolgsaussichten für sein Vorhaben, seinem unersprießlichen
Eheleben diskret ein Ende zu setzen.
Er hat einen Pralinenkasten mit sechs hochwertigen Pralinen
dergestalt präpariert, daß er einer der Pralinen ein tödliches
Gift beigemischt hat.
a) Gewöhnlich ergreift die Gattin des K abends vor dem
Schlafengehen zwei Pralinen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß die vergiftete
Praline nicht darunter ist?
b) Man bestimme Erwartungswert und Varianz der Anzahl X der bei zwei Zügen zu ziehenden vergifteten Pralinen!
c) Diplom- Kaufmann K aus E ist beunruhigt darüber, ob es wirklich ausreicht, wenn er nur
eine der sechs Pralinen vergiftet, um so seine Gattin auch wirklich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 90% am ersten Abend vergiften zu können. Das Gespräch mit dem Statistiker endet aber, wie so oft, mit einer konkreten Lebenshilfe. Was wird ihm der Statistiker
gesagt haben?
d) Ist es zulässig auch in diesem Fall mit der Normalverteilung zu rechnen und ist die Schätzung eines Anteilswertes in einer Stichprobe effizienter, wenn man die Endlichkeit der
Grundgesamtheit beachtet, als wenn man den Fall „mit Zurücklegen“ betrachtet?
221
Aufgabe 18
Im Scheichtum S geht man davon aus, daß ortsfremde Christen sich doppelt so oft in der Wüste verirren wie einheimische
Moslems, und man deutet das als Zeichen Allahs.
a) Letztes Jahr begaben sich 30 Christen und 100 Moslems
unabhängig als Einzelpersonen auf den Weg durch die
Wüste. Darunter haben sich 3 Christen und 5 Moslems
verirrt. Man bestimme ein 95% Konfidenzintervall (zweiseitig) für die Differenz der Anteilswerte der sich
verirrenden Personen!
b) Wie wahrscheinlich ist es nach der Poissonverteilung, daß
sich von 80 Moslems mehr als 10% in der Wüste verirren?
c) Wenn das Konfidenzintervall den Wert Null einschließt, so
bedeutet dies:

daß die Anteile in der Grundgesamtheit gleich sind.

daß der Glaube an den besonderen Schutz Allahs für
die Moslems falsch ist.

daß sich in diesem Jahr auch relativ mehr Moslems als
Christen in der Wüste verirren können.

daß sich durch Allahs Güte vielleicht sogar keiner verirrt.

daß sich in diesem Jahr ein gleicher Prozentsatz von Christen und Moslems
verirren könnte.

daß sich in diesem Jahr sowohl 10% der Christen als auch 10% der Moslems
verirren werden.
d) In ihrem Bemühen, Allahs Willen wissenschaftlich zu erforschen liegt den Statistikern des
Scheichtums viel daran, ihre oben genannte Hypothese, daß sich Christen doppelt so oft in
der Wüste verirren wie Moslems, statistisch abzusichern. Im Scheichtum leben 190 000
Moslems und 18 000 Christen. Der Scheich befiehlt, eine geschichtete Stichprobe von
n  104 Personen in die Wüste zu schicken. Wieviel Christen und wieviel Moslems sind
dabei, wenn die Stichprobe
1. proportional
2. optimal
aufgeteilt werden soll?
e) Angenommen es sei über den Anteil Christen, die sich verirren, nichts bekannt und der
Scheich wünsche den durchschnittlichen Anteil mit einer Sicherheit von 95% und einer
Genauigkeit von  2% (absoluter Fehler) zu erfahren. Wie groß müßte dann die aus den
Christen des Scheichtums zu ziehende (ungeschichtete) Stichprobe sein?
222
Aufgabe 19
Durch seine Tätigkeit für eine stark im Export engagierte Firma wurde Diplom-Kaufmann K aus E ein
weitgereister Mann, der sich insbesondere auch längere
Zeit in Indien aufhielt.
Seine Vorliebe für Filmvorführungen einer bestimmten
Art sowie seine pedantische Neigung zum Preisvergleich erlaubte es ihm folgende Daten zu sammeln:
(Preisangaben in DM bzw. in Rupien; eine Rupie entspricht etwa 50 Pfennig)
Land
Anzahl der
Filme
Mittelwert
Varianz
Indien
Deutschland
100
400
8R
5 DM
49 R²
4 (DM)²
Stellen Sie fest, ob ein Kinobesuch in Indien signifikant billiger ist als in der Bundesrepublik!
a) Ist einseitig oder zweiseitig zu testen? Wie lautet die Alternativhypothese?
b) Führen Sie den Test durch bei vergleichbarer Währungsangabe in DM (1 DM = 2 R). Man
wähle eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 10%; es ist davon auszugehen, daß die Varianz
der beiden Grundgesamtheiten gleich groß sind.
c) Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß (Richtiges ankreuzen)

die Nullhypothese falsch ist.

die Nullhypothese richtig ist.

man die Nullhypothese ablehnt

man einen Fehler 2. Art begeht, wenn man die Nullhypothese annimmt.

man einen Fehler 1. Art begeht, wenn man die Nullhypothese ablehnt.

das beobachtete Stichprobenergebnis eintritt bei Geltung der Alternativhypothese.

ein wesentlicher (signifikanter) Unterschied besteht.

das Stichprobenergebnis überzufällig (so unwahrscheinlich, daß es nicht mehr mit dem
Zufall zu erklären ist) ist.
223
Aufgabe 20
Aus einer Statistik des unorthodoxen Exorzisten E ergab sich folgende Verteilung der Anzahl
X der Teufel, von denen die 100 Bürger seiner Gemeinde Anno Domini 1612 befallen wurden:
X
Anzahl der Bürger
0
67
1
27
2
5
3
1
4 und mehr
0
a) Für Monsignore M gibt es nichts in der Natur, was nicht normalverteilt wäre. Prüfen Sie,
ob die Daten nicht eher durch eine Poissonverteilung als durch eine Normalverteilung angepaßt werden!
b) Warum wäre die Durchführung eines 2-Anpassungstests in diesem Fall wenig sinnvoll?
c) Diplom-Kaufmann K aus E zeigte schon während des Studiums durch seinen wirren Blick
während der Statistikvorlesungen erste Anzeichen von Besessenheit. Die Wahrscheinlichkeit, vom Teufel befallen zu werden (Ereignis T) sei P(T) = 0,4 in jedem Jahr und die
Teufel treten jeweils nur jährlich und unabhängig auf. Wie wahrscheinlich ist es dann, daß
K
1. genau im dritten Jahr nach Beendigung seines Studiums zum ersten Mal von einem
Teufel befallen wird?
2. höchstens drei Jahre nach Beendigung seines Studiums warten muß, um in diesem,
dem dritten Jahr, zum ersten Mal von einem Teufel befallen zu werden?
3. genau im dritten Jahr zum zweiten Mal von einem Teufel befallen wird?
d) Man bestimme Erwartungswert und Varianz der Wartezeit zwischen den Teufelsauftritten
(die Wartezeit wird bis einschließlich der Periode gerechnet, in der ein Teufel auftritt)!
e) Während seiner vier Jahre als Personalchef der Firma F bestand für K täglich mit einer
Wahrscheinlichkeit p > 0 die Gefahr, von einem als Bewerber getarnten Teufel befallen zu
werden. Bei 200 Arbeitstagen sei die Wahrscheinlichkeit 200p =  = 0,4. Man bestimme
die Wahrscheinlichkeit einer Wartezeit bis zum ersten Teufelsauftritt von höchstens
1. 300 Tagen nach der geometrischen Verteilung (GV)!
2. 1,5 Jahren nach der Exponentialverteilung (EV)!
f) Von wieviel Teufeln wird K im Laufe seiner vierjährigen Berufspraxis in der Industrie im
Durchschnitt befallen werden und wie wahrscheinlich ist es, daß es in dieser Zeit genau
zwei Teufel sind, wenn die oben genannten Bedingungen des Jahres 1612 gelten?
g) Als K einem Psychiater sein Problem vortrug, äußerste dieser Zweifel daran, ob die Statistik des Exorzisten E repräsentativ sei. Da aber seinerzeit die Inquisition der Auffassung
war, daß die Statistik ein besonders infames Teufelswerk sei, gelang es dem Exorzisten E
nicht, seine Beobachtungen auf eine breitere empirische Basis zu stellen. Man berechne
deshalb ein 90 %-zweiseitiges Konfidenzintervall für den Parameter der Poissonverteilung
mit den obigen Daten und bei bekannter Varianz von 0,4!
224
Aufgabe 21
Es kann nicht sein, daß ihr alle eure Weiber gleich liebt, wenn ihr es auch wolltet; nur
wendet euch nicht von einer Frau mit sichtbarer Abneigung ab, laßt sie hierüber lieber in
Ungewißheit; wenn ihr euch jedoch vertragt und sorgsam vermeidet, ihr Böses zu tun, so
ist Allah versöhnend und barmherzig
Sure 4, Vers 130
(Small sample Problem aus 1001 Nacht)
Scheich A hat drei Frauen B, C und D. Es erscheint ihm geboten, sich jeder Frau in gleichem
Maße zu widmen. Keine der Frauen kann seine Entscheidung beeinflussen, sich evtl. am
nächsten Tag, so Allah es will, von ihr abzuwenden. In den vergangenen 21 Tagen hat A sich
jedoch seiner Frau D nur an vier Tagen liebevoll zugewandt. D fühlt sich deshalb vernachlässigt.
a) Wie wahrscheinlich ist es, daß sich A von 21 Tagen nur an höchstens vier Tagen seiner
Frau D widmet, wenn er getreu dem Koran folgt? (Hinweis:   2)
b) Der Scheich verbrachte während der letzten drei Wochen die folgende Anzahl von Tagen
mit seinen drei Frauen
nB = 10,
c)
d)
e)
f)
nC = 7 und
nD = 4 Tage.
Wie wahrscheinlich wäre dies, wenn er sich jeder Frau gleichermaßen zuwenden würde?
Um wieviel wahrscheinlicher wäre es unter diesen Voraussetzungen, daß sich bei n = 21
Tagen A jeder Frau genau 7 Tage widmet?
Man gebe das zu b) und c) passende Urnenmodell an!
Der Scheich ist wiederholt mit seinen Frauen von Isfahan nach Mesched geflogen. Dabei
kam es gelegentlich vor, daß einmal oder gar zweimal eine der Frauen aus Eifersucht in
den fliegenden Teppich gebissen hat, was ein poissonverteiltes Ereignis ist.
Auf seinen letzten zwölf Flügen geschah dies
0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1 mal.
Man schätze den Erwartungswert  der Poissonverteilung mit der Maximum-LikelihoodMethode!
Treten die unter e) beschriebenen Ereignisse ein, so kann der fliegende Teppich etwas unvorteilhafte Flugeigenschaften entwickeln und abstürzen. Der Scheich befürchtet deshalb,
daß auf einem Flug eine seiner Frauen mehr als zweimal in den Teppich beißt. Wie wahrscheinlich ist das?
Aufgabe 22
Seine ausgedehnten Reisen zu Geschäftsfreunden in den
Nahen Osten haben Diplom-Kaufmann K aus E auch die
Welt der Schlangenbeschwörung und Verhaltensforschung näher gebracht. In seinem Forscherdrang begehrt
er zu wissen, ob die mitgebrachte Python reticulatus, an
der er zusammen mit seinem Sohn im heimischen Garten
vielfältige musikalische Darbietungen austestet, auf die
Vielseitigkeit seiner Tonkunst unterschiedlich oder
gleichförmig reagiert.
Für die Reaktionen der Schlange entwarf er ein 4-StufenSchema von 1 (Desinteresse) bis 4 (lebhafte Tanzbewegungen) und über seine letzten Versuche machte er folgende Aufzeichnungen:
225
Reaktionsstufe
Art der Musik
1
2
3
4
klassisch
alpenländisch
orientalisch
Protestsong
Punk Rock
17
11
7
12
3
8
19
9
2
2
7
12
14
4
13
8
8
20
2
22
a) Man bestimme die beiden Randverteilungen sowie die gemeinsame Verteilung bei Unabhängigkeit!
b) Man teste, ob die Randverteilung in bezug auf die Reaktion signifikant verschieden ist von
einer Gleichverteilung ( = 5 % bei diesem und den folgenden Tests)!
c) Prüfen Sie, ob Unabhängigkeit der beiden Variablen besteht!
d) Prüfen Sie, ob die Verteilungen hinsichtlich der Reaktion der Schlange für alpenländische
Musik und für Punk Rock gleich oder verschieden sind!
e) Angenommen, K habe eine Versuchsserie von 400 Darbietungen durchgeführt und auch
alle Häufigkeiten der obigen Tafel wären genau verdoppelt. Was würde sich damit an den
Tests von Teil b) bis d) der Aufgabe ändern?
f) Wie kann man testen, ob die Schlange Punk Rock mehr schätzt als orientalische Musik?
Aufgabe 23
Das Produktionsunternehmen P bezieht von einem Lieferanten Schrauben, deren
Durchmesser normalverteilt ist mit  = 1 cm und  = 0,01.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Durchmesser einer Schraube zwischen 0,99
und 1,01 cm beträgt?
b) Für die Produktion darf der Schraubendurchmesser eine bestimmte Größe nicht überschreiten. Der Qualitätskontrolleur zieht aus einer Lieferung eine Stichprobe von 36 Schrauben
und errechnet einen durchschnittlichen Durchmesser von x  1,003 . Kann er daraufhin die
Hypothese, die Schrauben seien im Schnitt dicker als 1 cm, bestätigen und somit die Lieferung ablehnen ( = 0,05)?
c) Berechnen Sie aufgrund der Angaben von Aufgabe b) ein 95%-Konfidenzintervall für den
durchschnittlichen Durchmesser der Schrauben.
d) In den Produktionshallen der Firma P ist es aus verschiedenen Gründen ziemlich warm.
Messungen haben ergeben, daß die Temperatur im Schnitt 30°C mit  2  12 beträgt. Berechnen Sie eine Mindestwahrscheinlichkeit dafür, daß die Temperatur zwischen 25 und
35°C liegt.
e) Berechnen Sie die entsprechende genaue Wahrscheinlichkeit, wenn man annimmt, daß die
Temperatur stetig gleichverteilt (rechteckverteilt) ist.
Aufgabe 24
Der alternde Playboy Z hat in den letzten Jahren bei 10 Frauen Anklang gefunden. Erfahrungsgemäß ist ihm jedoch nur bei einem Fünftel der Frauen eine harmonische Zweisamkeit
und befriedigende Persönlichkeitsentfaltung möglich (Ereignis R „richtige Frau“). Drei von
226
den Frauen hat er geheiratet (Ereignis H). Seine Partnerwahl sei so sehr von irrationalen, zufälligen Faktoren beeinflußt, daß kein sinnvolles Prinzip erkennbar ist.
a) Wie wahrscheinlich ist es, daß er dreimal die falsche Frau ( R ) geheiratet hat?
b) Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Frau, die er geheiratet hat, die falsche ist, sei bei dem
2
vom Pech verfolgten Z erschreckend hoch, nämlich P R| H  . Die Wahrscheinlichkeit
3
zu heiraten sei P (H) = 0,3.
Man bestimme die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung.
c) Auf einer Fete trifft Z 15 Frauen, die ihm alle recht gut gefallen, zwei von ihnen möchte er
noch zu einem Tässchen Bouillon nach Hause einladen. Es sei P (R) = 0,2. Man bestimme
die Stichprobenverteilung für die Anzahl der falschen Frauen! Wie heißt diese Verteilung?
falsche Frauen
0
1
2
Wahrscheinlichk
d) Angenommen es bestünde Unabhängigkeit der Ereignisse H und R. Der Playboy Z kann
zwei Arten von Fehlern machen:
1. er kann die richtige Frau nicht heiraten mit der Wahrscheinlichkeit P( H R)
2. er kann die falsche Frau heiraten mit der Wahrscheinlichkeit P(H R ).
Welchen Fehler begeht er mit der größeren Wahrscheinlichkeit?
e) Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, daß Z heiratet, sei nur 0,2. Kann er dadurch die
Wahrscheinlichkeit
 des ersten
 des Zweiten
 von beiden
 von keinem der beiden

der oben genannten
Fehler reduzieren?
Aufgabe 25
Der eifersüchtigen Hausfrau H gelingt es
trotz verfeinerter Techniken der Befragung
und Beeinflussung ihrer Ehemannes E nicht,
sich Klarheit über gewisse Vorgänge auf
einer Geschäftsreise des E zu verschaffen.
Bei den allabendlichen Verhören der letzten
40 Tage (Stichprobe: n = 40) schlief E an 30
Tagen frühzeitig und stumm ein (Ereignis
S).
Von den verbleibenden 10 Tagen kam es
nur an 2 Tagen zu einem Gespräch
(Ereignis G), das auch vieles offen ließ.
a) Man bestimme P(GS) und P(G S ), sowie die totale Wahrscheinlichkeit P(G)!
227
b) Bei wiederholten Befragungsversuchen sei P(G) konstant. Man bestimme die Stichprobenverteilung für die Anzahl X der Tage, an denen E gesprächsbereit ist bei einer Stichprobe
von n = 40 Tagen (Befragungsversuchen)!
c) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Stichprobenfunktion (Schätzfunktion)
X
und zeigen Sie, daß diese Stichprobenfunktion für die Schätzung von P(G) erwartungsn
treu und konsistent ist!
d) Die Hausfrau H geht von der Hypothese aus, daß E mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 6 vH gesprächsbereit ist. Um diese Hypothese zu testen, müßte sie
O einseitig testen,
O zweiseitig testen.
Formulieren Sie die Null- und die Alternativhypothese!
e) Der Hausfrau H ist sehr daran gelegen, die Gesprächsbereitschaft von E nicht zu unterschätzen (trotz der unter Teil d) genannten Vermutung). Sie wird folglich versuchen,
O den Fehler 1. Art
O den Fehler 2. Art
zu vermeiden. Dabei dürfte es ihr entgegenkommen, wenn
der Stichprobenumfang
die Wahrscheinlichkeit 
O groß
O groß
O klein
O klein
ist (bzw. gewählt wird).
Aufgabe 26
Der griechische Olymp ist mit der Zeit zu einem undynamischen, überalterten und kopflastigen Großbetrieb geworden. Die Nymphen Stultitia (Torheit) und Apaedia (Stumpfsinn,
Schutzgöttin der Statistiker) unternahmen deshalb eine Personalstatistik auf Stichprobenbasis
(Auswahlsatz 1 vH). Sie kamen zu folgendem Ergebnis:
Rang
Anzahl
Betriebszugehörigkeit in Jahren
Mittel
Varianz
Topmanagement: Götter
n1 = 30
300
144
Halbgötter, Nymphen und
übrige Belegschaft
n2 = 60
150
900
a) Man bestimme ein Konfidenzintervall für die gesamte Varianz der Dauer der Betriebszugehörigkeit (95 % - zweiseitig)!
b) Die beiden Stichproben mit den Umfängen n1 und n2 seien als unabhängige Stichproben
aufzufassen. Man prüfe, ob sich die beiden Varianzen signifikant unterscheiden (5% Irrtumswahrscheinlichkeit zweiseitig)!
c) Im streng hierarchisch organisierten Betrieb „Olymp“ herrscht, so vermutet Apaedia, vor
allem bei den höheren Rängen ein striktes Anciennitätsprinzip, insbesondere eine Tarifpolitik, die sich nicht an der Leistung sondern an der Dauer der Betriebszugehörigkeit orientiert.
Innerhalb der beiden Ränge korreliert der Bruttoverdienst mit der Dauer der Betriebszugehörigkeit wie folgt
Rang 1:
r1 = 0,9
228
Rang 2:
r2 = 0,7.
Man teste deshalb, ob sich die beiden Korrelationskoeffizienten signifikant unterscheiden
(5% Irrtumswahrscheinlichkeit zweiseitig!)
d) Könnte es sein, daß der Stichprobenkorrelationskoeffizient von r2 = 0,7 aus einer Grundgesamtheit stammt, in welcher die Korrelation  2  0 beträgt (10 % zweiseitig)?
Aufgabe 27
Dem Dipl. Ing. I aus E ist es nach langer Forschungsarbeit gelungen, ein Gerät zu konstruieren, das zwar
keine große Lebensdauer X (in Jahren) hat, dafür aber
eine gleichbleibend geringe Ausfallrate Y (in Prozent)
besitzt.
Versuchsreihen
haben
folgende
zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion ergeben:




f ( x, y)  



1
1  -4 x
 1
y e
 
 20 200 
für 0  x und 0  y  10
0 sonst.
a) Man bestimme die Randverteilungen f1(x) und f2(y) !
b) Man bestimme die mittlere Lebenserwartung E(X) und
die mittlere Ausfallrate E(Y) des Geräts.
c) Man bestimme die bedingte Verteilung f(yx) und die
bedingten Erwartungswerte E(Yx) für dieses Gerät!
d) Zeigen Sie, daß
1. die Variablen X und Y stochastisch unabhängig sind
2. die Funktion f(x, y) die Voraussetzungen einer Dichtefunktion erfüllt!
e) Für einige dubiose betriebswirtschaftliche Untersuchungen arbeitet Dipl. Kfm. K aus E mit
folgenden Kosten u, die von der Lebensdauer und Ausfallrate abhängen:
u = 7y +
1
x.
2
K weiß nicht, wie die Kosten u und die Lebensdauer x gemeinsam verteilt sind. Helfen Sie
ihm!
Aufgabe 28
a) Herr Dittmeyer verkauft in einer Fußgängerzone Apfelsinen und Orangensaft, der fast so
schmeckt wie frisch gepreßt. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Passant Apfelsinen kauft
(Ereignis A) beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Passant Saft kauft (Ereignis S),
beträgt 0,3. Desweiteren gilt PS| A   0,125 .
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein Passant zum Kauf beider Produkte
entschließt?
229
2) Berechnen Sie P(S|A). Was können Sie über die Abhängigkeit/Unabhängigkeit der Ereignisse A und S aussagen, wenn Sie diesen Wert mit PS| A  vergleichen?
b) Herr D möchte drei vorbeikommenden Kindern fünf (als absolut gleichwertig anzusehende) Apfelsinen schenken.
1) Wieviel Möglichkeiten gibt es, die fünf Apfelsinen aufzuteilen, wenn auch der Fall
eintreten kann, daß ein oder mehrere Kinder nichts bekommen?
2) Zeigen Sie, daß folgender Zusammenhang gilt (vgl. auch Formel (2.15a) in der Formelsammlung):
n  n  1
 n


 
 i n  i  i 
c) Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Apfelsine schlecht ist, beträgt 0,1.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Kunde, der zehn Apfelsinen gekauft hat,
keine Schlechte erwischt?
d) Herr D bezieht für seinen Saft Flaschen von einem namhaften Glashersteller. Dabei kann
es vorkommen, daß in den Lieferungen defekte Flaschen sind. Allerdings arbeitet der Glashersteller sehr ordentlich, so daß die Wahrscheinlichkeit, daß eine Flasche kaputt ist, nur
bei 0,01 liegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Lieferung von 500 Flaschen weniger als 10 Flaschen defekt sind?
e) Herr D verkauft die Apfelsinen in Netzen. Dabei bemüht er sich, die einzelnen Netze ungefähr gleich groß zu machen. Um den Preis pro Netz bestimmen zu können, möchte er gerne
ein 95%-Konfidenzintervall für das erwartete Gewicht berechnen. Wie groß muß seine
Stichprobe (n = Anzahl der Netze) mindestens sein, wenn der absolute Fehler des Konfidenzintervalls nicht mehr als 15 g betragen soll? Dabei soll mit einer Standardabweichung
von  = 50 g gerechnet werden.
f) Das Gewicht eines Apfelsinennetzes kann als annähernd normalverteilt betrachtet werden
mit µ = 1000 g und  = 50 g. Angenommen ein Kunde kauft drei Netze. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß er weniger als 2974 g Apfelsinen erhält?
Aufgabe 29
Zahllose Studenten haben sich zur Vorbereitung auf ihre gefürchtete Statistikklausur ein Buch
gekauft, das in einschlägigen Kreisen als Geheimtip gehandelt wird. In diesem Buch mögen
sechzig Aufgaben enthalten sein, mit denen man sich die ganze Statistik „hereinziehen“ kann.
Eine Stichprobe von n = 200 Studenten ergab jedoch, daß die meisten Studenten zwar alle
Aufgaben durchgelesen haben, sie aber leider nur geneigt waren, X Aufgaben ernsthaft durchzuarbeiten und nur befähigt waren Y < X Aufgaben erfolgreich zu lösen.
Man erhielt folgende Ergebnisse:
n  200 ,
x
2
i
x
i
 5500 ,
 195.000 ,
 y
y
i
 4000 ,
x y
i
i
 140.000
 y   30500 und rxy  0,8213 .
2
i
a) Man berechne die Stichproben-Regressionsgerade y  a  bx !
b) Man bestimme ein 95 % zweiseitiges Konfidenzintervall für die Varianz der Störgröße!
c) Man bestimme das 95 % zweiseitige Konfidenzintervall für  und  !
230
d) Zeigen Sie, daß auch die Korrelation signifikant ist (also die Nullhypothese  = 0 zu verwerfen ist);  = 5 % zweiseitig!
e) Der außerordentliche Erfolg dieses berühmt-berüchtigten Opus ist auch darauf zurückzuführen, wie aufgrund der Umfrage statistisch gesichert ist (  = 5% einseitig), daß Y zu
mehr als 60 % von X bestimmt ist, sich also die fleißige Lektüre dieses Buches bezahlt
macht, was ja leider nicht bei jedem Buch der Fall ist. Man zeige, daß diese Behauptung
richtig ist, sofern die - leider nur fiktiven - Umfrageergebnisse richtig sind!
Teil III Klausurtraining
b) Lösungen (der 29 Aufgaben)
Aufgabe 1
a) Anordnung (Permutation) von n Elementen ohne Wiederholung: also n! Möglichkeiten.
b) Auswahl von i  n Elemente aus n Elementen (hier: i = 2) ohne Berücksichtigung der Anordnung: Kombination ohne Wiederholungen
n!
n
 n 
  = 

2
n - 2 = 2!(n - 2)!
c) (1 und 2) Für die restlichen n-1 Springer gibt es stets, gleichgültig, auf welchem Platz K ist
(n - 1)! verschiedene Anordnungen (Permutationen).
d) Es ist zu zeigen, daß die Ungleichung
(*)
cn
 
2
> c2 gilt. Der Beweis folgt aus
n
 
2
1.
 cn
  =
 
 2
2.
cn(cn - 1)
2
=
n
c 2  n 2 - 

c
,
2
und
n
n2 n2 - n
n
c
  =
2 . Ferner gilt mit c > 1 stets n 2 - n
2
> 1 was zu (*) führt.
1. Auswahl von m (wobei m < n - 3) aus n - 1 Elementen (n minus Kunstspringer K) ohne
n - 1
Berücksichtigung der Anordnung:  m 
n - 3
Jetzt Auswahl aus n - 3 (n minus K und zwei weiteren Personen):  m 
Aufgabe 2
Es gibt insgesamt 1000 dreistellige Nummern (wobei auch die Nummer 000 mitgezählt
ist). 90 Nummern beginnen mit 0 (011 bis 099) und 10 Nummern beginnen mit 00 (000 bis
009). Insgesamt gibt es also 900 Möglichkeiten, die somit ausreichen.
Andere Betrachtungsmöglichkeit:
231
Verwendung der Ziffern 1, 2, ....., 9 (allgemein Z) ergibt 93 = 729 Möglichkeiten. Hinzu
kommen 2 . 92 = 162 Möglichkeiten für Nummern des Typs Z0Z oder ZZ0 sowie 9 Möglichkeiten für die Nummern Z00, also insgesamt 900 Möglichkeiten.
10
b) günstige Ereignisse : 10 mögliche Ereignisse : 800, somit 800 = 0,0125
Es ist auch möglich, den Ansatz mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung zu wählen,
wenn man davon ausgeht, daß er genau einmal seine Tante am Apparat hat und 9 mal jemand anderen.
1 . 799
   
10
1  9 
=
800
800
 
 10 
c1) Ansatz über die Binomialverteilung:
 3
 
 0
0
 1 
 1000 
3
3
 999  =  999  = 0,997
 1000 
 1000 
c2) Ansatz wie unter c1
 3
 
 1
2
1
 1   999  = 0,00299
 1000   1000 
d) Die Auswahl von 10 aus 800 Elementen ohne Berücksichtigung der Anordnung (da es auf
die Reihenfolge des Gezogenwerdens bei den 10 Nummern nicht ankommt) stellt Kombinationen mit Wiederholung dar:
n + i - 1
800 + 10 - 1
809



 =   = 3,1295 . 1022
10
 i  = 

 10 
e) Hier das gleiche Auswahlproblem wie unter d), nur ohne Wiederholung:
n
800
  =   = 2,7965 . 1022
i
 10 
f) Die Zufallsauswahl könnte nur repräsentativ für die Fernsprechteilnehmer sein und würde
als Stichprobe für die gesamte Gemeinde dem Prinzip der reinen (uneingeschränkten) Zufallsauswahl nicht entsprechen, da keine Chancengleichheit gegeben ist (nur Fernsprechteilnehmer haben eine Auswahlchance). Zum anderen wird gegen das Prinzip der Unabhängigkeit verstoßen, da man durch Auswahl eines Fernsprechteilnehmers stets auch zugleich andere Nutzer (dessen Apparates) mit auswählt. Hinzu kommt, daß „blindes Greifen“ in der Regel keine Zufälligkeit der Auswahl garantiert, insbesondere nicht bei einer so
großen Urne wie einem Telefonbuch. Die Zufälligkeit wird dagegen z.B. dann hergestellt,
wenn mit Zufallszahlen ausgewählt wird.
Aufgabe 3
a) Kombinationen ohne Wiederholung. Es gibt folgende Möglichkeiten für die untere Ebene
10
5
  = 252, mit den verbleibenden Personen für die mittlere Ebene   = 10 und
5
3
2
schließlich für die obere Ebene nur eine verbleibende Möglichkeit 2 = 1. Das Produkt
und damit die Anzahl der Möglichkeiten ist 2520.
232
 0  2
 7  3
 3  2
   
   
   
 5  0
 1  2
 0  2
 0,025
b)
.
.
 10
 5
 2
 
 
 
 5
 3
 2









untere Ebene mittlere Ebene obere Ebene
Das Modell ist „Ziehen ohne Zurücklegen“, weil für die sieben „Normal Befähigten“ und
die drei „Spitzenkräfte“ jeweils ein und nur ein Platz vergeben werden kann.
c) 1. Null, da in der oberen Führungsebene nur Spitzenkräfte zu finden sind.
1
2. 5 , hierfür gibt es drei Lösungswege:
Weg 1: zwei Positionen, 10 Bewerber, jede Besetzungsmöglichkeit gleichwahrscheinlich,
2
1
also 10 = 5 = 0,2
Weg 2: Für K bieten bloß folgende Besetzungsmöglichkeiten eine Chance:
Besetzungsmöglichkeit
B1:  oder 
Wahrscheinlichkeit
1
B2: 
3 7 7
 
10 9 15
7 6 7
 
10 9 15
Bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Führungskraft die Person K ist:
1
2
P(K | B1) = 7 und P(K | B2) = 7 .
Totale Wahrscheinlichkeit:
2
P(K) =
 P(K | Bi) P(Bi) =
i=1
1
= 0,2
5
Weg 3: über die polyhypergeometrische Verteilung bei Unterscheidung von drei
Qualitäten:

Führungsperson, Anzahl 3

normal Befähigter außer K, Anzahl 6

K, Anzahl 1
Man erhält:
 6
 
 0
1  3
 6 1  3
   
     
1  1
 1 1  0

 0,2.
10
10
 
 
 2
 2






Besetzung  
Besetzung  
233
d) Binomialverteilung mit unbekanntem n und x = 1, p = 0,05. Es gilt:
 n
0,95  P x  1  1  P x  0  1     0,05n  0,95n
 0
ln 0,05
also 0,95n = 0,05 und n = ln 0,95 = 58,404 also mindestens 59.
Aufgabe 4
a)
Ereignis
Wahrscheinlichkeit
(AB) = (AB)
P AB  P A| B  P B  0,24
(AB)
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,96
entweder ( AB) oder ( A B)
P(A B ) + P( A B)
= P(A) - P(AB) + P(B) - P(AB)
= 0,16 + 0,56 = 0,72
AB
1- P(AB) = 1 - 0,96 = 0,04
b) Zweipunktverteilung mit   0,4
 0,4 wenn x  1 also A

f(x) = 0,6 wenn x  0 also A
 0
sonst

c)
 2x = 0,4 . 0,6 = 0,24
E(X) = 0,4
d)
x=1
x=2

y=1
y=2
P(AB) = 0,24
P(A B ) = 0,16
P( A B) = 0,56
P( AB ) = 0,04
P(B) = 0,8
P( B ) = 0,2

P(A)
P( A ) = 0,6
1
= 0,4
Vgl. hierzu auch die im Teil a) bestimmten Wahrscheinlichkeiten.
Die Kovarianz beträgt
E(XY) - E(X) . E(Y) = 0,24 - 0,8  0,4 = -0,08
Für die Korrelation erhält man entsprechend
0,08
= - 0,40825
0,4  0,6  0,8  0,2
e)
z
0
f(z) 0,04
1
0,72
2
0,24
Hieraus errechnet sich leicht
E(Z) = 0,72 + 0,48 = 1,2
= E(X) + E(Y) = P(A) + P(B)
= 0,4 + 0,8
234
Für die Varianz von Z erhält man  2Z = E(Z²) - [E(Z)]² = 1,68 - 1,44 = 0,24 und weil für die
Varianz gilt  2X = P(A) . P( A ) = 0,4 . 0,6 = 0,24 und  2Y = P(B) . P( B ) = 0,8 . 0,2 = 0,16
und die Kovarianz - 0,08 beträgt, ist auch  2Z =  2X +  2Y +2  XY = 0,24 + 0,16 - 0,16 = 0,24
erfüllt.
Aufgabe 5
a) Nein, da P(U|P)  P(U P) folglich auch P(U|P)  P(U) und P(UP)  P(U) P(P)
b) P(UP) = P(UP) = P(U|P) P(P) = 0,5 . 0,4 = 0,2
P(UP) = P(U) + P(P) - P(UP) = 0,26 + 0,4 - 0,2 = 0,46
 20  40
  
 12  0 
 9  10 8
c)
 60
 
 12
 20  40
  
5   7 
 0,207
d)
 60
 
 12
e)
59 !(60  12)! 1

(59  11)! 60 ! 60
Es gibt 60 - 1 = 59 auswählende Personen außer K. Aus ihnen werden 11 genommen. Es
 59
gibt dann   Möglichkeiten der Auswahl und 11! Möglichkeiten sie anzuordnen, insge 11
59!
samt also
günstige Ereignisse (Variationen ohne Wiederholung), in denen K
(59  11)!
unter den ersten 11 nicht erscheint. Entsprechend ist die Anzahl der möglichen Ereignisse:
60!
(60  12)!
Andere Lösungswege:
1) Die Wahrscheinlichkeit, K und 11 andere auszuwählen ist:
 50  1
  
 11  1 12

P ( K) 
60
 60
 
 12
Wenn K mit der Wahrscheinlichkeit P(K) ausgewählt wurde, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er an 12. Stelle steht (Ereignis S):
P(S| K) 
11! 1

,
12 ! 12
235
da ja auch jede Stelle gleichwahrscheinlich ist.
Wie man sieht, ist P(K) . P(S|K) = P(SK) =
1
60
2) Wahrscheinlichkeit der Auswahl 11 anderer Personen außer K mal Wahrscheinlichkeit K
als 12. auszuwählen:
 59  58  57  49   1  1


 60 59 58
50  49 60
f) Fehler zweiter Art
g) Nein, da keine Unabhängigkeit der Auffassungen der Richter angenommen werden darf.
Aufgabe 6
a) Gleiche Wahrscheinlichkeit wie die, daß es höchstens zwei Giftpilze sind, also mit der
Verteilungsfunktion der Poissonverteilung F(2) = 0,9526.
Der hohe Wert von 95% besagt natürlich nicht, daß es sehr wahrscheinlich ist, sich zu
vergiften. Bekanntlich ist ja F(2) = f(0) + f(1) + f(2) und es ist f(0) = 0,4493, so daß ein
hohe ( 45%) Wahrscheinlichkeit besteht, keinen Giftpilz zu finden.
b) Gegenwahrscheinlichkeit zur totalen Wahrscheinlichkeit für A
P(A) = P(A|x = 0)P(x = 0) + P(A|x = 1) P(x = 1)+ P(A|x = 2) P(x = 2) + P(A|x  3)P(x  3)
= 0 . 0,4493 + 0,7 . 0,3595 + 0,9 . 0,1438 + 1 . 0,0474
= 0,42847
also die Überlebenswahrscheinlichkeit 1 - 0,42847 = 0,57153. Es ist klar, daß P(A|x = 0) =
0 ist.
c) H0 :  = 0,8,   0,8
z
x   0  0,8 0,8


 5,6569

0,8
0,8
n
40
40
also hochsignifikant!
d) x  z 
0,8

 0  1,6469 
 0  0,2326
n
40
(negativer Wert unsinnig) Hochrechnung: 0 bis 9,3 Giftpilze unter den vierzig
gesammelten Pilzen
236
1,96 2  0,8
e) n 
 1229,312
(0,05) 2
Aufgabe 7
a) Vgl. Abb. für die Gestalt
Dichtefunktion. Es muß gelten:
der
1. f ( x)  0 für 0  x  8
2
8
1 
 8
2. F(8)   0,2dx    x  x dx  1
 30
30 
0
2
2
8
8
1 2
b) E( X )   0,2 x dx    x 
x  dx
 20
30 
0
2

 0,1x 2
  0,133x
2
2
0
 0,011x 3

8
2
 2,8
c)
0

0,2 x
F( x )   8
1 2 2
x 
 x
60
30
 30
1
x0
0x2
2x8
x8
2
verhindert, daß die Funktion F(x) an der Stelle x = 2 eine
30
Unstetigkeit (Bruch) besitzt (vgl. Abb.).
Bemerkung: die Konstante -
2
8
, x dx   (0133
, x2  0011
, x3) dx  (28
, )2
d) Var (X) =    02
2
x
2
0

 0,067x
8
e)

7
  0,0889x
3 2
0
2
3
 0,0083x 4

8
2
 7,84  3,49
1 
1
 8
x dx 
 
 30 30 
60
f) 1) Null, da außerhalb des Wertebereichs 0  x  8
2) Nach der Tschebyscheff´schen Ungleichung:
 2 3,49
P(|X -  |   )  2 
 0,097
36

g) Eine Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit (sie wird bei bekannter Verteilung stets niedriger als 0,97% sein), so daß die letzte Antwort richtig ist.
237
Aufgabe 8
a) 1. E(Z) =
 2z =
1
1
 100   200  150
2
2
1
1
1
 25   49  2   1  5  7  36
4
4
4
1
2. E(Z) = 100  180  200  160
3
 2z 
1
1
1
1
70
2,8 125,2
 25   4   49  2  ( 1)  5  2 


 13,91
9
9
9
9
9
9
9




A und B (AB) (AC) (BC)
b) Die Risikostreuung bedeutet, daß die Kurswerte verschiedener Aktien negativ korrelieren
(so B mit A und mit C), dadurch verringert sich die Varianz der Summe der Kurse (also
des Kurswertes, des gesamten Portefeuilles). Das erste Portefeuille ist riskanter, da die
Wertpapierkurse A und C positiv korrelieren, also tendenziell gemeinsam steigen oder fallen (wegen rAC = + 1 sogar mit stets gleichen Wachstumsraten). Das zweite Portefeuille ist
1
1
auch ertragreicher, weil das Gewicht des niedrigsten Kurswertes (A) von auf sinkt.
2
3
c) Z ist normalverteilt mit dem gegebenen  und . Den Intervallgrenzen  1,6449 (wegen
90%) entspricht das Intervall [135,2  Z  164,8]
d) Das so (anders als im Teil c) definierte Z ist normalverteilt mit  = 150 und  =
9
 4,5 ;
4
folglich sind die Intervallgrenzen jetzt [142,6  Z  157,4]
e) Im Teil d) war ein Zentrales Schwankungsintervall (A) zu berechnen für das arithmetische
Mittel (gem. dem Grenzwertsatz von Lindeberg - Lévy, bzw. Wenn X1,...,X4 nicht normalverteilt sind, gem. dem zentralen Grenzwertsatz). Im Teil c) gilt jedoch Antwort C, da gar
kein Schluß im Sinne der Stichprobentheorie (von x auf  oder umgekehrt) vorliegt, sondern ein einer Intervallwahrscheinlichkeit von 90% entsprechender Wertbereich für die
Zufallsvariable bestimmt wurde.
Aufgabe 9
a) Geometrische Verteilung für   0,05 und x=10: f  x  0,05  0,9510
b) F(10) - F(4) = 1-0,9511-(1-0,955) = 0,205.
c) Fragestellung der negativen Binomialverteilung mit r = 3 und x + r = m = 3,4,5 da x  0
sein muß. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also:
 x + 2
3
x
 0,05 0,95  0,001158 .
2 
X=0
2
 
d) Der Geldbetrag ergibt sich aus dem Erwartungswert, der Anzahl Y der Versuche (nicht der
Mißerfolge), also
 = E(Y) =
1
 20 also DM 10,- .
0,05
238
 10
e) Laut Binomialverteilung   0,053 0,957  0,010475 .
3 
f) Für die Poissonverteilung ist  = n = 0,5 und bei x = 3 ist der Wert der Wahrscheinlich x 
keitsfunktion f(3|0,5) =
e  0,012636 .
x!
g) Startkapital x = 20 (man rechnet zweckmäßig in Einheiten von 50 Pfennig), Ziel z = 40. Es
sei p(x) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß K mit einem Kapital von x ruiniert wird. Es sei
A das Ereignis, daß er ruiniert wird und G bzw. G das Ereignis, daß er im ersten Spiel
gewinnt bzw. verliert. Dann ist die totale Wahrscheinlichkeit:
P(A)
P(A|G)P(G) + P(A|G)P(G)
 = 




p(x)
p(x+1)
p(x-1)
= 0,05p (x + 1) + 0,95 p(x - 1)
Man erhält eine Differenzengleichung zweiter Ordnung mit der charakteristischen
Gleichung:
-0,05 2 +  - 0,95 = 0 bzw.
2 - 20 + 19 = 0 mit 1/2 = 10  9
Die allgemeine Lösung ist dann:
(1) p(x) = c1 . 1 x + c2 . 19x
Die beiden Konstanten c1 und c2 findet man durch die Bedingung:
(2) p(0) = 1 Startkapital von Null ist bereits Ruin.
(3) p(z) = 0 Wenn das Ziel erreicht ist, kann kein Ruin mehr auftreten, da dann das Spiel
beendet wird.
Aus Gl. 2 folgt dann: 

1 = c1  c 2




und aus Gl. 3:

0 = c 1 + c 2 19 40 
c2 =
1
und c1 = 1 - c 2 .
1- 19 40
Setzt man dies in Gl. 1 ein, so erhält man für x = 20 die Ruinwahrscheinlichkeit:
p(20)  1 -
19 40  19 20
1
 1  20  1.
40
19  1
19
Der Ruin ist fast sicher. Die Ruinwahrscheinlichkeit hängt, wie man sieht von der Zielsumme z, vom Startkapital x, das beim Ruin verspielt wird und von der Gewinnwahrscheinlichkeit ab.
h) Gl. 3 ist entsprechend zu ändern. Man erhält dann mit z = 24
p(20)  1-
1
 0,99999233 ,
19 4
also auch hier wird ein fast sicherer Ruin wegen der geringen Gewinnwahrscheinlichkeit
von nur 5%.
239
Lösung zur Aufgabe 10
a) 810 , d.h. über eine Milliarde
1
(weil stets eine der acht Verteilungen auch tatsächlich
8
2
8
 10  1  7 
gemeint ist) und n = 10 unabhängige Versuche, also        0,2416 .
 2   8  8 
b) Trefferwahrscheinlichkeit
 7
c) Geometrische Verteilung  
 8
4
1
 0,0733 .
8
d)
Verteilung
Grundgesamtheit
Stichprobenverteilung
für X
Zweipunkt-
Binomial-
Parameter
E(X)
1
8
1
8
n  10
1

8
n =

5
4
Die Variable X (0  x  n ) ist binomialverteilt mit der Varianz n(1-), der
X
Stichprobenanteilswert
 p (0  p  1) ist (relativiert-) binomialverteilt mit der Varianz
n
2
(1  )
 1
. Diese Varianz strebt mit n   gegen Null. Folglich ist die
  n (1- ) 
 n
n
X
Schätzfunktion p =
für  eine konsistente Schätzfunktion.
n
e) Sei A das Ereignis, die Verteilung richtig zu raten, ferner S der Student und N der
Nachbar, so gilt
P(A|N) = 4P(A|S) = 4 
P(A) =
1 1
 und die totale Wahrscheinlichkeit ist
8 2
1 4 1 6
    0,35 .
8 10 2 10
f) Weil sonst A kein Zufallsereignis wäre.
1 1
 . Das ist die Wahrscheinlichkeit
100 99
dafür, daß zunächst die Klausur von S und dann die Klausur von N nachgesehen wird. Das
ist jedoch nicht die gesuchte Wahrscheinlichkeit, denn es ist für das gestellte Problem
irrelevant, ob
g) Zu den 0,1 o/oo gelangt man durch den Ansatz
1. die Reihenfolge SN oder NS lautet
2. ob das Tupel SN bzw. NS als erste und zweite oder als i-te und (i+1)-te Klausur (1
i  99) nachgesehen wird.
240
2  99  98!
2

 2 o/o statt 0,1o/oo.
100 !
100
Man beachte, daß es bei jeder der 99 Möglichkeiten für die Folge SN (auf den Plätzen 1
und 2, 2 und 3, ... , 99 und 100) jeweils 98! Reihenfolgen für die übrigen Klausuren gibt!
Die Wahrscheinlichkeit, daß zwei Klausuren nacheinander durchgesehen werden, wenn n
Klausuren gut durchmischt sind, ist mithin stets 2/n. Das sind z.B. bei 20 Klausuren 10%
bei 40 Klausuren noch 5% usw.
Berücksichtigt man dies, so ist die Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 11:
a) Das Intervall bei tn-1; 0,95 = 3,18 und n = 4 sowie x =
1
(40....90) = 60 ist [28,2   
4
91,8].
b) Gem. Teil a) ist 90 Min. noch im t-verteilten (3 Freiheitsgrade) Konfidenzintervall enthalten.
c) Es liegt eine Gleichverteilung (Rechteckverteilung) für das Intervall 25  x  95 vor. Die
95
5
gesuchte Wahrscheinlichkeit ist:  f  x dx 
 0,07143
70
90
70 2
 408,33 ( = 20,21)
d) E(X) = 60,  
12
e) Tschebyscheff´sche Ungleichung mit t  30 ,  = 20 (vgl. oben Teil a) also t = 1,5. Liefert
1
5
P  1 - 2   0,5555 .
1,5
9
f) Gefragt nach x , nicht x bei einer Stichprobe vom Umfang n = 4 aus einer gem. H1 normalverteilten Grundgesamtheit, also
x - 1 120  100
z=

 2 folglich F(2) = 0,9722
10
1 n
2
x
g) Weder  noch , weil die Intervallwahrscheinlichkeit nicht bis zu einer Grenze x c eines
„kritischen Bereichs“, sondern bis zu einem willkürlich gewähltem x = 120 bestimmt
wurde. Andernfalls wäre es . Der General sollte für diese  (Wahrscheinlichkeit eines
Fehlers 2. Art) einen niedrigeren Wert wählen.
Aufgabe 12
a)
 3  3
   
 3  0
1

 0,05 mit der hypergeometrischen Verteilung.
20
 6
 
 3
Andere Lösungsmöglichkeiten über Kombinatorik:
Aus 6 Elementen 3 ohne Wiederholung anordnen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
(Kombination ohne Wiederholung) ergibt:
241
 6
   20 Möglichkeiten, da jede gleichwahrscheinlich, ist die gesuchte Wahrscheinlich 3
1
.
keit
20
Noch zu observieren N = 6 - 3 = 3, darunter noch Verdächtige M = 3 - 2 = 1
 1  2
   
 1  0 1
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
 .
3
 3
 
 1
Andere Lösungsmöglichkeiten: drei Personen werden observiert (Anzahl der möglichen
1
Fälle), einer davon ist verdächtig (günstiger Fall), also ist die Wahrscheinlichkeit .
3
b) M = n = x unbekannt. N = 6. Folglich gilt:
 M
 
x 
 N - M
 N - M


 1 
 0  11
n - x 
1

 0,05 

also n = 3
20
 6
 6
 N
 
 
 
 n
 n
n 
 6
denn    20 .
 3
c) Jetzt M = n = x = 6 und N = 12, somit
1
 0,00108  0,05 , die zweite Antwort ist also
 12
 
6 
richtig.
Aufgabe 13
1x 1
1
a) f(x|   1)  e 
x!
x! e
b)
c)
Fall
Wahrscheinlichkeit
1) x = 0
0,3679
2) x = 1
0,3679
3) x > 2
0,0803 = 1 - F(2)
 = 2    1
d) Binomialverteilung.
e) n  ,   0, n  =  = const.
f) Konvergenz von Verteilung.
g) Da n = 36 ist, dürfte für die Stichprobenverteilung von x bei poissonverteilter
Grundgesamtheit die übliche Approximation der Normalverteilung bereits hinreichend gut
242
sein. Die Fragestellung entspricht dem Test der Hypothese H0 :  =  = 1 bei 0 = 1
(poissonverteilt), z = 2,3262. Testgröße folglich:
1
1
4 + 24 1
3
 4 da ja x =

36
3
1
36
und n = 36
Da 4 > z ist H0 abzulehnen. Einseitiger Test, da H1 :  <  = 1.
1
 X i poisn
sonverteilt. Im Beispiel dieser Aufgabe ist bei Geltung der Nullhypothese
 X i poissonverteilt mit     i  36 . Die exakte Wahrscheinlichkeit für 12 oder weniAnmerkung: Da die Poissonverteilung reproduktiv ist, ist auch
X
i
und
12
36 x  36
e .
ger Bisse wäre dann: 
x0 x!
Aufgabe 14
a)
Leberwürste
N = 100
Teewürste
N = 40
M = 10
M=4
n=2
n=1
x=2
x=1
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
 10  90
   
2  0 
 100


2 

 36
 
0 
45  4

 0,000909 .
4950  40
 40
 
1 
 4
 
1 
  0,1 für x = 1 (verdorben)

b) Grundgesamtheit ist zweipunktverteilt f(x) = 1 -  = 0,9 für x = 0 (unverdorben)
0
sonst

Stichprobenverteilung für n = 10 ohne Zurücklegen ist die hypergeometrische Verteilung
 10  90 

 
 x   10  x
, x = 0,1,...,10 .
f(x) =
 100


 10 
Exkurs:
Zu konkreten Berechnungen empfiehlt es sich wegen des mit f(x) verbundenen Rechenaufwandes (man verwende, zumindest zur Kontrolle, Rekursionsformeln) diese Verteilung
Nn
durch die Normalverteilung mit   n und  2  n1  
also mit   1 und
N 1
243
90
 0,8182 , d.h.  = 0,9045 zu approximieren. Man erhält folgende
99
Wahrscheinlichkeiten:
 2  10  0,1  0,9 
exakt: f(x)
approximiert mit Normalverteilung (ohne Kontinuitätskorrektur)
0 1
 F( 11
, )
0,9045
x=0
0,3305
z
x=1
0,4080
z  0  F(0)  F( 11
,)
0,3679
x=2
0,2015
z  11
,
0,3649
x>2
0,0600
0,1351
0,1351
n
 0,1 noch ziemlich schlecht. Das zeigt sich
N
auch daran, daß die Schiefe der hypergeometrischen Verteilung bei diesem Parameter N,
M und n
N  2n 1  2 M 
80  0,8
N



 0,722
90
M M Nn
98 0,9
 N  2  n 1  
99
N
N  N 1
Die Approximation ist bei N = 100 und
erheblich von der Symmetrie ( = 0) der Normalverteilung abweicht.1
c) Vgl. Exkurs:
 = 1, 2 = 0,8182
d) Normalverteilung mit den Parametern von Teil c (vgl. Exkurs).
e) Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace
f) Test der Hypothese H0 :  = 0,1 bei p 
1
und n = 4, N = 100, z = 1,6449. Testgröße
4
1
 0,1
4
 1,0155  z  also H0 annehmen!
folglich
0,1  0,9 100  4

4
100  1
Einseitiger Test, da Arbeitshypothese der Hausfrau H1 :  > 0,1!
g) Anwendung der polyhypergeometrischen Verteilung x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0
 6  8  126
  

 2  1  0 
 0,000268 also noch kleiner als im Teil a).
 140
 
3 
Aufgabe 15
a) 1.
P(V ) = 0,2 ; P(S) = 0,3
P(V  S)  0,6
1
Die Schiefe der entsprechenden Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,1 wäre + 0,84.
244
P(V  S) 
2.
P( V  S) 0,6

 0,8571
P(S)
0,7
P(V  S) - P(V  S)
= P(V) + P(S) - 2P(V  S)
=0,2 + 0,3 - 2  0,1 = 0,3
b) 1.
X ~ B 8;0,2
P(x = 3) = 0,1468
2.
X ~ G 0,8
P(x = 2) =0,80,2² = 0,032
c) X ~ H10;23;178
P( x  3) 
d) 1)
 23
 
 3
 178  23


 10  3 
 178
 
 10 
Ja, da P(A|G)  P(A G)
2) P(A) = P(AG)  P(G) + P(A G )  P(G ) = 0,1  0,871 + 0,05  0,129 = 0,09355
e) 1) H0:  = 15
T=
vs.
H1:   15
x   16  15

 2,5
2

n
z   1,6449
5

H0 ablehnen
2) Fehler 1. Art: S glaubt fälschlich, daß der Sender mehr als 15 Minuten Werbung bringt.
Fehler 2. Art: S glaubt, der Sender bringe wirklich nur 15 Minuten Werbung, obgleich
es mehr sind
Aufgabe 16
a) 1. Z 
0,8  0,4
 1 ; gesuchte Wahrscheinlichkeit für x  0,8 ist
0,4
1 - F(Z) = 1- 0,8413 = 0,1587
2. (0,1587)9 = 0,639 . 10-8
b) Zu achten ist auf die Formulierung „im Mittel“. Während unter a nach der Verteilung von
X gefragt ist, ist jetzt die Verteilung von X zu betrachten. Es gilt:
Wenn X  N ( = 0,4, 2 = 0,16), dann X 
 X ~ N ,
n

 

n
245
also ist Z 
X
~ N (0,1)

n
0,8  0,4
 3 und die gesuchte Wahrscheinlichkeit für x  0,8 ist
0,4
9
1 - F(3) = 1- 0,9987 = 0,0013 , das ist ca. 20359 mal soviel wie im Teil a). Diese Relation
überrascht nicht, da bei a) Verlangt war, daß alle Spaghettilängen X1, X2, ... ,X9 über 80
cm sind, im Teil b) nur, daß das Mittel X  0,8 ist, was ja bedeutet, daß einige Spaghetti
unter 80 cm lang sein können, wenn andere über 80cm lang sind, daß aber keinesfalls alle
Spaghetti über 80 cm lang sein können.
Mithin ist Z 
c) Fragestellung von Teil b): nach X , relevant für Stichprobentheorie
Fragestellung von Teil a): nach X, betrifft den einleitenden Text („alle länger als 80cm“).
Aufgabe 17
 1  5
  
 0  2 2

a)
3
 6
 
 2
oder:
A = erster Zug keine vergiftete Praline
B = zweiter Zug keine vergiftete Praline
5 4 2
P( AB)  P( A )  P(B| A )   
6 5 3
b) E ( X)  2 
1 1
1 5 4 2
 ;  2x  2      0,222
6 3
6 6 5 9
c) Grundgesamtheit ist zweipunktverteilt
1

für x = 1 (Vergiftung)
  6
f ( x) 
1    5 für x = 0 (keine Vergiftung).

6
Die (Ober)- Grenze des 90%-einseitigen Schwankungsintervalls für den Stichprobenanteil
p bei Stichproben vom Umfang n = 2 aus dieser Grundgesamtheit sollte  0,5 sein, da nur
dann der Tod eintritt. Sie beträgt bei z = 1,2816
  z
1 1 5
 
2 6 6
6-2 1
  1,2816  0,2357  0,4687.
6 -1 6
Die Annäherung an die Normalverteilung ist jedoch bei n = 2 sehr schlecht. Die exakten
Wahrscheinlichkeiten nach der hypergeometrischen Verteilung sind (vgl. Teil a)
für x = 1
für x = 0
vergiftete Praline, also
p = 0,5 genau 1/3
p=0
2/3.
246
Rechnet man mit zwei vergifteten Pralinen bei 6 Pralinen so ist
1
15 
 Summe: 0,6 < 0,9.
8
für x = 1 also p = 0,5 Wahrsch.
15 
für x = 2 also p = 1
Wahrsch.
1
nach der
2
hypergeometrischen Verteilung 0,8. Rechnet man mit einem 90% Schwankungsintervall
wie oben, so ist die Obergrenze 0,9053!!
Erst bei M=3 vergifteten Pralinen ist die Wahrscheinlichkeit für p 
Der Statistiker wird ihm sagen, daß mindestens drei, besser aber vier Pralinen vergiftet
werden sollten. Mit der Approximation der Normalverteilung an die hypergeometrische
Verteilung werden jedoch die Wahrscheinlichkeiten für p  0,5 stark überschätzt, wie die
folgende Tabelle zeigt:
1
von vergifteten Pralinen bei n = 2 in der
2
Stichprobe bei unterschiedlicher Anzahl M der vergifteten Pralinen
Wahrscheinlichkeit für einen Anteil p 
M
Hypergeometrische
Verteilung

Normalverteilung (ohne
Kontinuitätskorrektur)

Wahrscheinlichkeit
1
1
3
1
6
0,2357
1 - F (-0,707) = 0,7611
2
0,6
2
6
0,2981
1 - F (-1,118) = 0,8686
3
0,8
0,5
0,3162
1 - F (-1,581) = 0,9441
4
14
=0,9333
15
0,6667
0,2981
1 - F (-2,236) = 0,9875
5
1
0,8333
0,2357
1 - F (-3,535) = 0,9998
6
1
1
0
1
d) Ist die Grundgesamtheit zweipunktverteilt, so ist die Stichprobenverteilung bei
Stichproben ohne Zurücklegen für X bzw. p die hypergeometrische Verteilung mit den
Parametern
E( X )  n
 2x = n(1 -  )
E ( p)  
 2p 
N-n
N -1
(1   ) N  n
n
N 1
Bei großem n (meist n  30) ist diese Verteilung mit der Normalverteilung zu
approximieren (bei entsprechendem  und ). Diese Approximationsbedingungen sind hier
nicht erfüllt, wie obige Berechnungen zeigen (n ist ja nur 2 !!).
247
Im Fall „mit Zurücklegen“ ist die Stichprobenverteilung für p die Binomialverteilung mit
(1  )
der Varianz
, was größer ist als im Falle der hypergeometrischen Verteilung, da
n
Nn
 1 ist.
der Korrekturfaktor 0 
N 1
Aufgabe 18
a) Konfidenzintervall für  = 1 - 2 bei p1 - p2 = 0,1 - 0,05 = 0,05, n1 = 30 und n2 = 100. Die
Intervallgrenzen sind dann (bei z = 1,96; mit t-Verteilung  1,98).
0,05  1,96 0,003475 also - 0,066    0,166
b)  = 80 . 0,05 = 4, 1 - F(8) = 1 - 0,9786 = 0,0214
c) Die erste Antwortmöglichkeit ist nicht notwendig richtig (sie kann richtig sein). Denn man
kann auch (wie oben geschehen) mit der Annahme 1 = 0,1 und 2 = 0,05 also explizit 1 
2 ein Konfidenzintervall bestimmen, das  = 0 umschließt. Aus obigem Ergebnis folgt
also nicht, daß  = 0 sein muß, wohl aber, daß  = 0 sein kann. Mit  = 0 ist nicht verbunden 1 = 2 = 0 und auch nicht 1 = 2 = 0,1 sonder nur 1 = 2 , so daß auch die Antworten 4 und 6 falsch sind. Es gilt also
F, F, R, F, R, F.
d) 1. Proportionale Aufteilung n 1 
18000
190000
 104  9 und n 2 
 104  95 .
208000
208000
2. Optimale Aufteilung (n = n1 + n2) N1 = 190000 und N2 = 18000
nk
Nkk

mit  2k   k (1   k ) und k = 1,2; also
n
 Nkk
k
n1 = 11,89  12 Christen und n2 = 92,1  92 Moslems.
e) n  1 
1,962  0,25
1,962  0,25
bei
K
=
liefert n  2120.
18000
(0,02) 2  K
Aufgabe 19
a) Subskript 1 : Indien, 2 : Deutschland, einseitiger Test, da H1 : 1 < 2.
Zwei - Stichproben - Test der Hypothese H0 :  = 1 - 2 = 0
b) Testgröße z (alles nach Umrechnung in DM)
  x1  x 2  4  5  1 DM
1
 49  12,25 DM 2  2 2825
4
 5,67,   2,38
  
498
2
2

n 2  400, s 2  4 DM

n 1  100, s12 
z
 1 40000
= - 3,755 also hochsignifikant (größer als 1,2816 = z).
2,38 500
248
Der Kinobesuch ist in Indien signifikant billiger als in der Bundesrepublik.
c) Zehn Antwortmöglichkeiten, gezählt von oben an. Richtig sind die Antworten
5: bei Geltung von H0 tritt z  1,2816 höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%
auf; da bei z  1,2816 H0 verworfen würde, begeht man einen Fehler 1. Art (da ja H0
gilt) höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von  = 0,1
10: da ja die für z = -3,755 entsprechende Wahrscheinlichkeit viel kleiner ist als 10%
Ob die Nullhypothese richtig oder falsch ist und mit welcher (subjektiven) Wahrscheinlichkeit man sie annimmt oder verwirft, berührt den Test nicht. Folglich sind die Antworten 1 bis 4, 7 und 8 definitiv falsch. Gelten lassen könnte man auch Antwort 6 mit dem Zusatz, daß die Irrtumswahrscheinlichkeit eine Obergrenze für diese exakte (sog. Probit)
Wahrscheinlichkeit darstellt. Entsprechendes gilt für Antwort 9.
Aufgabe 20
a) Da x  0,4 und s2 = 0,4 wird eine Poissonverteilung mit  = E(X) =  2x = 0,4 und eine
Normalverteilung mit    2  0,4 angenommen. Man erhält für n = 100 danach folgende
(theoretische, d.h. bei Geltung der betreffenden Verteilung) zu erwartenden Häufigkeiten
x
Poissonverteilung
Normalverteilung
empirisch
0
67,03  67
F(0,16) 100
= 56,36
67
1
26,81  27
[ F(1,74) - F(0,16) ] . 100 = 39,55
27
2
5,36  5
[ F(3,32) - F(1,74) ] . 100 = 4,04
5
3
0,72  1
1
4 und mehr
0,08  0
0
Da die Normalverteilung stetig ist, empfiehlt es sich als Klassengrenze
1 3
, ,...
2 2
(Kontinuitätskorrektur) einzuführen. Dann entspricht z = 0,158; z = 1,739; usw.
b) Die empirische Häufigkeitsverteilung entspricht augenscheinlich gut einer Poissonverteilung (mit  = 0,4) d.h. die 2 - Testgröße ist Null. Sie entspricht offensichtlich
weniger der entsprechenden Normalverteilung. Gleichwohl ist ein 2 - Anpassungstest
wenig sinnvoll, da theoretische Häufigkeiten auftreten, die weit kleiner als 5 sind. Durch
Zusammenfassung von Klassen (etwa „2 und mehr“) würden jedoch Freiheitsgrade
verlorengehen.
c) 1. Geometrische Verteilung mit x = 2, also y = 3, also 0,4 . 0,62 = 0,144
2. 1 - 0,63 = 0,784
3. Negative Binomialverteilung mit r = 2 und p = 0,4; man erhält für m = 3 die Wahr 2
scheinlichkeit     1    0,192
1 
d) E(Y) 
1
1
1 

 2,5 und  2y  2  3,75
 0,4

249
0,4 

e) 1. 1   1 

 200 
300
2. 1  e 0,41,5
 0,45152
= 0,45119.
Die Ähnlichkeit der beiden Ergebnisse war zu erwarten, da die EV das stetige Analogon
zur GV ist.
f) Da in einem Intervall von einem Jahr die Anzahl X der Teufel poissonverteilt ist mit  =
0,4 ist für das Intervall von t = 4 Jahren X poissonverteilt mit  . t = 1,6.
Dann gilt
E( X)  1,6 Teufel
1,6 2 1,6
f ( 2) 
e
 0,2584
2!

0,4 
  0,9 ; Grenzen des Intervalls 0,296   =   0,504
g) P 0,4  1,6449
100 

Aufgabe 21
 21  1  2 
a) Exakte Wahrscheinlichkeit        
 3  3 
x0  x 
x
4
21 x
 0,121156 ,
1
1 2
2
 7 und  2  21    4 ergibt
3
3 3
3
sich z = -1,39 also F(z) = 0,823, eine um fast 4% geringere Wahrscheinlichkeit.
angenähert durch die Normalverteilung mit   21 
b) Multinomialverfahren (Polynomialverteilung)
10
7
4
21!  1  1   1
         0,01127  P(10, 7, 4)
10!7 ! 4!  3  3  3
c) Es ist
P(7, 7, 7)
21!
21!

:
 3,4286 , so daß P(7, 7, 7) = 0,038151 ist.
P(10, 7, 4) 7! 7! 7! 10!7! 4!
d) 21 mal Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit jeweils gleich vielen schwarzen (B),
weißen (C ) und roten (D) Kugeln.
e) Die Likelihood-Funktion lautet
L

 4 
0   1  

2

e ... e  e 12   1  1  1   1  1  1   1  1  1    e 12   
0!
1!
1!
2!
1!

 2
Folglich ist lnL = -12 + 4 ln - ln 2
und aus
d ln L
4
4 1
 12   0 folgt  
  x für den Maximum-Likelihood-Schätzer
d

12 3
von .
f) Gemäß Poissonverteilung mit  =
1
ist die Wahrscheinlichkeit 1 - F(2) = 0,00482.
3
250
Aufgabe 22
Die Aufgabe behandelt verschiedene Varianten des 2 - Tests, nämlich den Anpassungs-, Unabhängigkeits- und Homogenitätstest.2)
a) Randverteilung {n.j} der Reaktionsstufen n . j   n ij wobei n ij die vorgegebenen empirii
schen Häufigkeiten sind.
Stufe
1
2
3
4
Häufigkeit
50
40
50
60
Randverteilungen {n.j} der Musikarten n i.   n ij , n =  n i.
j
i
Musik
klass.
alpen.
orient.
Protest
Punk
Häufigkeit
40
50
50
20
40
gemeinsame Verteilung {Uij} bei Unabhängigkeit U ij 
1
2
3
4

10
8
10
12
40
alpen.
12,5
10
12,5
15
50
orient.
12,5
10
12,5
15
50
Protest
5
4
5
6
20
Punk
10
8
10
12
40
50
40
50
60
200
i\j
klassisch

n i. n . j
n
Man beachte, daß die theoretischen Häufigkeiten z.T. kleiner als 10 sind, in einem Fall
nämlich U42 sogar kleiner als 5, was die Anwendbarkeit des 2-Tests beeinträchtigt.
b) Bei Gleichverteilung wären folgende Häufigkeiten zu erwarten 50, 50, 50 und 50. Man
berechnet dann die
0 2 10 2 0 2 10 2
Prüfgröße P: P 



 4,
50 50 50 50
die 2 verteilt ist mit 4 - 1 = 3 Freiheitsgraden. Für 5% zweiseitig (nur die zweiseitige Fragestellung ist angesichts der Konstruktion von P sinnvoll) zeigt die Tabelle der 2-Verteilung die Werte 0,22 und 9,35, mithin ist, da 0,22 < P < 9,35 die empirische Verteilung der
Reaktion nicht signifikant verschieden von einer Gleichverteilung.
Für alle 20 Felder muß die quadrierte Differenz der empirischen Häufigkeiten Nij von den
theoretischen Häufigkeiten Uij durch Uij dividiert werden und die Summe gebildet werden.
Das Prüfmaß P ist also
2
) Vgl. hierzu F. Vogel, Beschreibende und schließende Statistik: Formeln, Definitionen, Erläuterungen,
Stichwörter und Tabellen, München, Wien 1979, S. 146 ff.
251
P
n
ij
i, j
 U ij

2

U ij
17  10 2
10
...
 22  12 2
12
 55,367
Bei 3 . 4 = 12 Freiheitsgraden erhält man folgende 2-Werte der Tabelle: 4,40 und 23,34. Die
Hypothese der Unabhängigkeit ist also zu verwerfen.
d) Bei Geltung der Nullhypothese (Gleichheit aller fünf Verteilungen) müßten die relativen
Häufigkeiten für jede der fünf Zeilen sein
Reaktion
relative
Häufigkeit
1
2
3
4
11  3
 0,155
90
21
 0,233
90
25
 0,277
90
30
 0,333
90
Man erhielte dann folgende Tafel der absoluten Häufigkeiten:
1
2
3
4

alpenl.
7 ,7
11, 6
13,8
16,6
50
Punk-Rock
6, 2
9, 3
11, 1
13, 3
40
14
21
25
30
90

Die Prüfgröße P wird wieder entsprechend Teil c) der Aufgabe gebildet
P
7,7  11 2
7,8
...
13, 3  22 2
13,3
 24,06 ,
was bei 4 - 1 = 3 Freiheitsgraden signifikant ist (vgl. Teil b) der Aufgabe). Die Schlange
reagiert auf Punk-Rock offenbar anders als auf alpenländische Musik.
e) Wie leicht zu sehen ist, führt eine Verdoppelung aller empirischen Häufigkeiten nij zu
einer Verdoppelung der Prüfgröße. Für Teil a) erhielte man also P = 8, was auf dem 10%-,
nicht aber auf dem 5%-Niveau Signifikanz bedeuten würde.
f) Wir fassen, (wie schon in den vorangegangenen Teilen) die beobachteten Reaktionen auf k
= 2 bzw. k = 5 Musikarten als k unabhängige Stichproben auf (die Präferenzen der
Schlange werden nicht von der vorangegangenen Darbietung beeinflußt). Die Reaktionsstufen sind als Nominal- oder Ordinalskalenwerte zu interpretieren, weshalb ein parametrischer Test wenig aussagefähig wäre3). Die für die Daten und Fragestellung relevanten
Tests (z.B. der Mann Whitney U-Test) setzen voraus, daß man für die beiden samples
(insgesamt 90 Beobachtungen) durchgängig Rangzahlen vergeben kann, d.h. eine lineare
Rangstatistik4) konstruiert, was hier schwer durchführbar ist, weil Bindungen (gleiche
Skalenwerte) nicht nur innerhalb einer Stichprobe, sondern auch zwischen den beiden
3
)Der t-Test führt allerdings mit der Prüfgröße
2,94  3,35
 1,9743  1,66  t 0,95;88 zu einem
0,04313
signifikanten Ergebnis (Punk-Rock wird bevorzugt).
4
) Zu diesem Begriff und den geeigneten Tests (Mann Whitney, v. d. Waerden, Wilcoxon usw.) vgl. H. Büning
und G. Trenkler, Nichtparametrische statitische Methoden, Berlin, New York 1978, S 157 ff. Bei Bindungen
zwischen den beiden Stichproben könnte man alle möglichen kombinierten geordneten Stichproben untersuchen
(wie z.B. in Fishers Permutationstest), was jedoch enorm aufwendig wäre.
252
Stichproben auftreten. Ein einfacher nichtparametrischer Test für die gestellte Frage wäre
der Mediantest, der jedoch bei diesen Daten, wenn man auf eine Interpolation des
Zentralwertes verzichtet, Unterschiede kaum aufdecken kann. Wie man sieht, gibt es nicht
für jede Art von Fragestellung und Daten einen befriedigenden statistischen Test.
Aufgabe 23
a) P0,99  x  1,01
0,99  1
 1
Z1 
0,01
1,01  1
1
Z2 
0,01
 P( 1  Z  1)  0,6827
b) H 0 :  1 vs. H 1 :  1
x   1,003  1
T
 1,8

 / n 0,001 / 6
z = 1,6449
 H0 ablehnen

 

c) P x  z 
   x  z
  1 

n
n
0,01
0,01
P1,003  1,96
   1,003  1,96
  0,95

6
6 
0,99973    1,0062
12
d) P 25  x  35  P30  5  x  30  5  1 
 0,52 oder
25
1
12
 0,52
P 25  x  35  1 
2  1
25
 5 


 12 
1
e) f  x 
axb
ba
 b  a
1. E( x) 
 30
2
 b  a 2
2. V( x) 
 12
12
Aus 1: b = 60 - a
 60  a  a  2
 12  a  24
In 2 eingesetzt:
12
 b = 60 - 24 = 36
1
1
 f (x) 

24  x  36
36  24 12
1
 1

für 24  x  36

 f  x   36  24 12

sonst
0
35
f)
35
1
35 25
1
25 12 dx = 12 x 25  12  12  0,83
253
Aufgabe 24
 8  2
   
 3  0 42
a)

 0,4667
90
10
 
3 
b)
H
H

R
0,1
0,1
0,2
R
0,2
0,6
0,8

0,3
0,7
1,0
Aus P( R| H ) 
2
1
fo lg t P(R| H) = also P(HR) = 0,1. Ferner ist bekannt (Teil a), daß P(R)
3
3
= 0,2 ist.
c) Da die Grundgesamtheit zweipunktverteilt ist mit P(R) = 0,2, P( R )  0,8 und ohne
Zurücklegen gezogen wird, ist die Stichprobenverteilung der hypergeometrischen
Verteilung
falsche Frauen
0
 12  3
  
 0   2
3 2
 
 0,02857
15 14
 15
 
2 
Wahrscheinlichkeit
1
0,34286
2
0,62857
d) Bei Unabhängigkeit ergibt sich
H
H
R
0,06
0,14
R
0,24
0,56
0,24
P( HR ) 0,14

 0,7 und P(H| R ) 
 0,3
0,2
P( R )
0,8
Der Fehler erster Art (H0: die richtige Frau) ist also wahrscheinlicher.
dann ist P( H| R ) 
e) P(H) = 0,2 statt bisher 0,3. Dann ergibt sich wieder bei Unabhängigkeit da P( R) = 0,2 =
const. stets für
P( H| R )  P( H )  0,8 und für P(H|R) = P(H) = 0,2
somit vergrößert (verringert) sich für Z die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster
(zweiter) Art, indem er seltener heiratet (P(H) sinkt). Er kann unmöglich beide Fehler
reduzieren. Es gilt also F, R, F, F.
254
Aufgabe 25
a) P(G|S) = 0, P(G| S ) = 0,2. Die totale Wahrscheinlichkeit ist also
P(G) = P(G|S) . P(S) + P(G| S )  P( S ) = 0 + 0,2 . 0,25 = 0,05
 40  1   19 
b)       
 x   20   40 
x
40  x
1   
X
 X
c) E(X) = n also E  =  = P(G) (Erwartungstreue) und V   
also
 n
 n
n2
X
Konsistenz, da lim V   0 .
n
 n
d) Es ist einseitig zu testen; H0 : P(G) =  = 0,06 und H1 :  < 0,06.
e) Es gilt, den Fehler 1. Art zu vermeiden und deshalb führen kleine Stichproben mit kleinen Irrtumswahrscheinlichkeiten  (und damit großem Annahmebereich) seltener zur
Ablehnung von H0 obgleich H0 richtig ist (also zum Fehler erster Art). Der Annahmebereich wird mit abnehmenden  und n größer, so daß der Eindruck entsteht, es gäbe keinen
„wesentlichen“ (signifikanten) Unterschied zur Nullhypothese. Die bewußte Wahl eines
niedrigen n, um Nichtsignifikanz zu erzielen, wäre natürlich eine Verfälschung des Urteils.
Die Aufgabe soll vor einem unreflektierten Umgehen mit dem Begriff „signifikant“ (ohne
den Zusammenhang mit n zu bedenken) warnen.
Aufgabe 26
a) Die Gesamtvarianz s2 errechnet sich wie folgt aus den Varianzen s2i innerhalb der einzelnen Schichten (Gesamtmittel ist 200)
2
2
1
2
1
s 2   s 2i h i    x i  x  h i  144   900   (300  200) 2   (150  200) 2   5648
3
3
3
3
i
i
2
Es ist die  -Verteilung bei n - 1=89 Freiheitsgraden zu betrachten. Für 90 Freiheitsgrade
erhält man c1 =  20, 025 = 65,65 und c2 =  20, 975 = 118,14.
Die Intervallgrenzen sind dann
89  5648
89  5648
 7656,85 und
 4254,88 .
65,65
118,14
Dem entsprechenden Standardabweichungen von etwa 65 bis 87 Jahren, während sie
innerhalb der beiden Gruppen nur 12 bzw. 30 betragen. Die interne Varianz ist also klein
im Verhältnis zur externen Varianz (zwischen den Gruppen).
b) Die Prüfgröße
s
2
2
 s12  .
Man erhält: F 
n 2 s 22 / ( n 2  1)
 F ist F-verteilt mit n2 - 1 und n1 - 1 Freiheitsgraden
n 1s12 / ( n 1  1)
915,25
 6,14
148,97
255
Der F-Wert der Tabelle ist jedoch 1,96. Folglich wird die Hypothese (H0) der Homogenität
der Varianzen  12   22  verworfen.
c) Test des Unterschieds von Korrelation bei zwei unabhängigen Stichproben. Die standardnormalverteilte Prüfgröße ist
r1*  r2*
1
1+ r
wobei r *  ln
(Fisher’sche Transformation)
2
 r*
1- r
z
1
1

. Mit den Zahlen der Aufgabe erhält man
n1  3 n 2  3
und  2r * 
z
1,472  0,867
 2,5855
0,234
während die Signifikanzschranke z = 1,96 ist. Die Korrelationen unterscheiden sich also
signifikant.
d) Ein- Stichprobentest der Nullhypothese H0 :  = 0. Da n2 > 50 kann die standardnormalverteilte Prüfgröße
z  r2 n 2  1  5,377  z 
betrachtet werden. Somit ist die Hypothese zu verwerfen.
Aufgabe 27
10
10
1
1  - 41 x
1 2
1 1x
- x  1
 1
a) f1 ( x)    
y e dy = e 4  y 
y  = e 4 Exponentialverteilung
 20 200 
400  0
4
 20
0

f 2 ( y)  
0
 1  1 y e
 20 200 
1
 x
4
1
1 
dx =  
y
 20 200 

 - 14 x 
1 1
y Dreiecksverteilung
-4e  = 
5
50

0

 1 1x 
b) E( X)   x e 4  dx = 4 Jahre
4

0
10
E ( Y) 

0
c) f y ( y| x) 
1 
1
 y  y 2  dy = 3,33%
5
50 
f ( x, y) 1 1
  y,
5 50
f1 ( x)
d.h. die bedingte Verteilung der Ausfallrate ist gleich der unbedingten, die Zufallsvariablen
X und Y sind demnach stochastisch unabhängig.
10
10
0
0
E(Y| x)   yf y ( y| x) dy =

 1 y  1 y 2  dy = E(Y) = 0,033 = 3,33%
5
50 
d) 1. Vgl. Teil c) der Aufgabe. Außerdem ist leicht zu zeigen, daß gilt f ( x, y)  f1 ( x)  f 2 ( x)
256
 10
2.

0
0

1
1 
1 1x
- x
 1
y - e 4 dy  dy =  e 4 dx = 1 .
 
 20 200 
4
0
e) Gesucht ist eine Transformation der Dichte f(x,y) in die Dichte g(u,v), mit den neuen
(transformierten) Zufallsvariablen
u
1
x  ty und v = x
2
Aus diesem Gleichungssystem folgt
xv
y
1
1
u v.
7
14
x
u
Die Jacobinische Funktionsdeterminante ist J 
y
u
x
v
y
v
=
0
1
1
1
7 14
= -
1
7
und die transformierte Dichte lautet
1
1 1
1   - 41 v  1 
1  u
v
1
 -4 v
g( u , v)   
 1 e
 u  v  e  -  
 
 7  140  70 140 
4 
 20 200  7
Aufgabe 28
a) 1) P (A) = 0,2 ; P (S) = 0,3
P (AS) = P (S) - P ( A  S) = P (S) - P (S  A )  P( A ) = 0,3 - 0,125  0,8 = 0,2
2) P (SA) =
P(A  S)
0,2
=
1
P( A )
0,2
abhängig, da P(SA)  P(S A )
b) 1) n = 3 ; i = 5
 3  5  1  7
Kw = 
     21
 5   5
2)
 n
n
n!
 n  1 !


  
n  i i ! n  1  i  ! i ! n  i  !  i 
c) X ~ B10;0,1
10
P (x = 0) =    0,10  0,910  0,3487
 0
d) n   = 500  0,01 = 5
X ~ P5
P (x  10) = P (x  9) = 0,9682
257
e) n 
z ² ² 1,96²  50²

 42,68
e²
15²

mind. 43 Netze
f) Y = X + X + X ~ N3000, 7500
P (y  2974)
Z
2974  3000
 0,3
7500
=P (Z  -0,3) = 1 - P (Z  0,3) = 1 - 0,6179 = 0,3821
Falsch wäre: y  3X ~ N3000; 22500 ; 3X ist eine andere ZV als X  X  X
Aufgabe 29
a) Normalgleichungen
5500
 200
5500 195000

( X 'X )
a 
b
 

a = 1,142857
4000 
140000 also b  0,685714


b) Ein erwartungstreuer Schätzer für die gesuchte Varianz  ist 
2
 u 2 aus r 2  1 
Man erhält
 u
  y  y
2
 u

n2
2
2
2
und r = 0,8213 also ist
.
 u
2
 9926,7 und
 2  50,13 .
Mit den Prozentpunkten a (für 0,975) und b (für 0,025) der 2-Verteilung bei n - 2 = 198
Freiheitsgraden erhält man das Konfidenzintervall
  u 2
P
 2 
a

 u

  0,95 .
b 
2
Die Grenzen a und b werden in den meisten Lehrbüchern nur bis zu r = 100
Freiheitsgraden mitgeteilt. Für r > 100 erhält man mit der Umrechnungsformel
 *
1
2

2r  1  z 

2
bei z   1,96
die Grenzen a = 238,38 und b = 160,47. Das führt zum Konfidenzintervall
41,6   2  61,9 . Die Grenzen a und b erhält man auch indem man davon ausgeht, daß die
u 2

2
 -verteilte Variable z 
asymptopisch N198,2  198 verteilt ist, einer Überlegung,
2
auf der die Formel (*) beruht.
z  198
zu z1 = b = 159 und z2 = a = 237 und damit zum Konfidenz396
intervall 41,9   2  62,4 .
Dann führt  1,96 
258
c) Zu diesem Zweck ist zu bilden
 0,315134
,
 1145942
1
 2  X' X  

 0,315134 0,011459 
Man erhält dann bei t = 1,97 (t-Verteilung mit ca. 200 Freiheitsgraden) folgende
Konfidenzintervalle
für :
a  t 1145942
,
 - 0,9660    3,2517
für :
b  t 0,011459 
0,4748    0,8966
Man beachte, daß insbesondere b gegen  = 0 gesichert ist. Folglich wird auch r signifikant
von Null verschieden sein.
Da der Stichprobenumfang hinreichend groß ist, kann man davon ausgehen, daß die
Prüfgröße z  r n  1  0,8213 199  11,586 standardnormalverteilt ist. Das Ergebnis
besagt, daß r hochsignifikant ist (z = 1,96). F-Test:
r2
1  r  /  n  2
2
~ F1,n-2  410,358 (Tabellenwert F1,  5,02 bei
1
  2,5%)
2
d) In diesem Fall ist die Fisher’sche Transformation durchzuführen:
r* 
1 1  r 1 1,8213
.
ln
 ln
 11608
,
2 1  r 2 0,1787
Entsprechend erhält man für  2  0,6 den Wert   0,7746 und  *  1,0317 .
Dann ist die standardnormalverteilte Prüfgröße
r
*
  *  n  3  1,8117  1,6449 .
259
Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen
Hauptklausur WS 95/96
Aufgabe 1:
a) Revolverheld R sitzt im Saloon und pokert. Die Wahrscheinlichkeit, daß er dabei einen
seiner Mitspieler beim Falschspiel erwischt (Ereignis F), beziffert er auf 0,1. Die Wahrscheinlichkeit, daß es daraufhin zu einem Duell kommt (Ereignis D), beträgt 0,8. Da es
außer Falschspiel noch weitere Gründe für ein Duell geben kann, gilt allgemein P(D) =
0,5.
i)
Nach welchem Wahrscheinlichkeitsbegriff wurde P(F) bestimmt?
ii) Zeigen Sie, daß die Ereignisse D und F nicht unabhängig sind.
(1 Punkt)
(2 Punkte)
iii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß genau eines der Ereignisse (D oder F) eintritt?
(2 Punkte)
iv) Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm für das Ereignis D  F .
(1 Punkt)
b) Zur Auswahl stehen zwei verschiedene Kartenspiele. Wird mit Kartenspiel A gepokert,
dessen Karten von R gezinkt wurden, beträgt seine Gewinnchance (Gewinn = Ereignis G)
0,7. Bei Spiel B, dessen Karten nicht gezinkt sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen für R nur 0,2. Das Spiel wird vor Beginn der Pokerpartie mit Hilfe einer (fairen)
Münze ausgelost.
i)
Wie groß ist die Chance für R zu gewinnen, wenn er noch nicht weiß, mit welchem
Kartenspiel gespielt wird?
(3 Punkte)
ii) Angenommen R hat gewonnen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß mit
Kartenspiel B gespielt wurde?
(3 Punkte)
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß R alle vier Asse auf der Hand hält, wenn mit einem Spiel aus 32 Karten gespielt wird und jeder fünf Karten bekommt?
(Hinweis für alle Pokerfans: Es wurden noch keine Karten getauscht!!!)
(3 Punkte)
d) Zu Beginn des Spiels wurde auf ein faires Spiel angestoßen. Aus wie viel Personen besteht
die Pokerrunde, wenn jeder mit jedem einmal angestoßen hat und die Gläser so 15 mal
geklirrt haben?
(4 Punkte)
Aufgabe 2:
a) Gegeben sei die folgende Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable X:
1

f (x)   6
 0
i)
für - 1  x  5
sonst
Welche Eigenschaften muss eine Funktion erfüllen, wenn sie eine Dichtefunktion sein
soll (nicht nachweisen, nur aufzählen!)?
(1 Punkt)
ii) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
(4 Punkte)
iii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß X im Intervall [0;3] liegt?
(2 Punkte)
260
iv) Wie lautet die Verteilungsfunktion von X?
(2 Punkte)
b) Ein mit kontaktfreudigen Kindern gesegneter Vater betrachtet mit Sorge die Entwicklung
der Telefonrechnungen. Der Vater behauptet, daß die erwartete monatliche Telefonrechnung höher als 80 DM ist.
Um seine Vermutung zu überprüfen zieht er eine Stichprobe von 8 Telefonrechnungen der
letzten Jahre. Die Telefonrechnungen lauten:
50
70
80
100
90
120
75
115
Die Varianz der Grundgesamtheit schätzt er mittels:
 2 
i)
1 n
1  n 2
2
2
(
)
X
X


  X i  nX  .

i

n  1 i 1
n  1  i 1
Überprüfen Sie die Hypothese des Vaters durch einen Test zum Niveau   0.05 . Zu
welcher Entscheidung kommen Sie?
(5 Punkte)
ii) Wie hoch ist der „kritische Mittelwert“ der Stichprobe, d.h. bis zu welcher Höhe von
X kann er die Nullhypothese nicht ablehnen?
(3 Punkte)
iii) Berechnen Sie den Fehler 2. Art unter der Alternativhypothese H 1 :   100.
Erläutern Sie, was es hier bedeutet, einen Fehler 2. Art zu begehen.
(5 Punkte)
Aufgabe 3:
a) Gegeben sei folgende zweidimensionale Funktion:
c(x  y  xy)
f (x, y)  
0
i)
0  x  1 ; 0  y  1.
sonst
Zeigen Sie, daß die Konstante c den Wert 0.8 annehmen muss, damit f(x,y) eine
Dichtefunktion ist.
(3 Punkte)
ii) Berechnen Sie die Randverteilungen für X und Y.
(2 Punkte)
iii) Bestimmen Sie die Kovarianz zwischen X und Y.
(5 Punkte)
b) Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit µ = 2 und 2 = 25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß X sich im Intervall [3; 8] realisiert?
(3 Punkte)
c) Die Zufallsvariablen X 1 ,..., X n seien unabhängig identisch verteilt mit E( X i )   und
V( X i )   2 . Sind die folgenden Schätzfunktionen für  erwartungstreu und konsistent?
(6 Punkte)
i)
 1 
1 n
500
Xi 

n i 1
n
ii)
 2 
n2 n
 Xi
n 2 i 1
261
Nachklausur WS 96/97
Aufgabe 1
a) Die Tennisprofis B und S haben sich vertraglich verpflichtet für ihr Land im Davis-Cup zu
spielen. Leider muss der geplagte Präsident des Tennisverbandes feststellen, daß die
beiden es mit ihrer Verpflichtung nicht so genau nehmen, so daß er die
Wahrscheinlichkeit, daß B tatsächlich spielt (Ereignis B) mit 0,6 und die
Wahrscheinlichkeit, daß S spielt, mit 0,7 beziffert. Da sich die beiden nicht besonders gut
verstehen, ist die Wahrscheinlichkeit, daß beide spielen nur 0,5.
i)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß S spielt, wenn klar ist, daß B nicht antritt?
(3 Punkte)
ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß genau einer der beiden (aber nicht beide zusammen) spielen?
(2 Punkte)
b) Der Präsident des Tennisverbandes glaubt, daß die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg seiner Mannschaft (Ereignis V) bei 0,7 liegt, wenn S mitspielt, aber nur bei 0,4, wenn S nicht
mitspielt.
i)
Zeigen Sie, daß die Ereignisse V und S abhängig sind.
ii) Wie groß ist P(V)?
(1 Punkt)
(2 Punkte)
c) B frühstückt am liebsten Brötchen mit einer bestimmten Nuß-Nougat-Creme. Leider ißt er
an 30% aller Tage zuviel davon, so daß er nachher nicht mehr ordentlich Tennis spielen
kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er an einem Davis-Cup-Wochenende (3
Tage) höchstens einmal zuviel frühstückt?
(2 Punkte)
d) Die bei einem Frühstück zu sich genommene Kalorienmenge beschreibt B als normalverteilt mit   500 und  2  625 .
i)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß B an einem Morgen zwischen 450 und 550
Kalorien zu sich nimmt?
(2 Punkte)
ii) Angenommen B könnte keine Angaben über die Verteilung der Kalorienmenge machen, sondern wüsste nur, daß   500 und  2  625 ist. Was könnte er dann über die
Wahrscheinlichkeit aussagen, zwischen 450 und 550 Kalorien zu sich zu nehmen?
(3 Punkte)
e) B verfügt eine Kollektion von 10 Tennisschlägern. Davon wurden ihm 8 Schläger von seinem Sponsor geschenkt. Die anderen beiden hat er von seiner Frau zum Geburtstag bekommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß unter den 5 Schlägern, die er mit zum
Tennisplatz nimmt (und die er zufällig ausgewählt hat), die beiden Schläger von seiner
Frau sind?
(3 Punkte)
f) Angenommen die Geschwindigkeit des Aufschlags des S sei normalverteilt mit
  200 km / h und  2  100 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß S bei 10 Aufschlägen, die er macht, eine durchschnittliche Geschwindigkeit von über 205,06 km/h erreicht?
(3 Punkte)
262
Aufgabe 2:
a) Student S erscheint die Behauptung seiner Freundin völlig unglaubwürdig, er würde im
Monat durchschnittlich mehr als 80 DM für Kinogänge ausgeben.
Um diese Vermutung zu überprüfen zieht er eine Stichprobe von 8 Monaten Die Ausgaben
waren:
50.00
60.00
80.00
100.00
100.00
120.00
90.00
120.00
Die Varianz der Grundgesamtheit schätzt er mittels:
 2 
i)
1 n
1 n 2
2
2
(
)
X
X


  X i  nX  .

i

n i 1
n  i 1
Überprüfen Sie die Hypothese der Freundin durch einen Test zum Niveau   0,05 .
Zu welcher Entscheidung kommen Sie?
(5 Punkte)
ii) Wie hoch ist der „kritische Mittelwert“ der Stichprobe, d.h. bis zu welcher Höhe von
X kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden?
(3 Punkte)
iii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art unter der Alternativhypothese H 1 :   90.
Erläutern Sie, was es hier bedeutet, einen Fehler 2. Art zu begehen.
(5 Punkte)
b) Gegeben sei die folgende zweidimensionale Dichtefunktion:
0,8( x  y  xy) 0  x  1 ; 0  y  1.
f (x, y)  
sonst
0
i)
Bestimmen Sie die Randverteilungen von X und Y.
(2 Punkte)
ii) Bestimmen Sie die Kovarianz zwischen X und Y.
Welche Aussage können Sie über die Abhängigkeit/Unabhängigkeit von X und Y machen?
(5 Punkte)
Aufgabe 3:
a) Eine Gesellschaft von 6 Personen muss für eine Flussüberfahrt auf zwei Boote aufgeteilt
werden, die je drei Personen fassen. Auf wie viel Arten kann die Gesellschaft auf die zwei
Boote aufgeteilt werden, wenn das Ehepaar Meier die Überfahrt nur auf beide Boote verteilt antreten will?
Hinweis: Wichtig ist nur in welchem Boot eine Person sitzt, also nicht auf welchem Platz
im Boot diese Person sitzt.
(4 Punkte)
b) Bei einer Wahlumfrage soll der Anteil  der Wähler der Partei A ermittelt werden.
i) Dabei soll der Schätzwert vom wahren Wert  um höchstens absolut 0,02 abweichen. Wie
groß muß der Umfang einer Stichprobe von Wählern mindestens sein, wenn man eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 0,95 fordert?
(3 Punkte)
263
ii) Die Wahlumfrage ergibt für eine Stichprobe von n=101 Wählern einen Anteil p=0.4 für die
Partei A. Bestimmen Sie ein 95%-iges Konfidenzintervall für den Anteil  in der Grundgesamtheit.
(4 Punkte)
c) Die mittleren Ausgaben  der Bundesbürger für Urlaubszwecke sollen durch eine Stichprobe (Ziehen mit Zurücklegen) vom Umfang 3000 ermittelt werden. Die Bevölkerung
wird in zwei Schichten zerlegt, wobei die erste Schicht die besser verdienenden Personen
enthalte. Die zweite Schicht sei doppelt so groß wie die erste Schicht.
Die Schichten seien bezüglich der Ausgaben für Urlaubszwecke homogen, d.h. es gilt
 12   22 
1 2
 .
10
Dabei ist  12 die Varianz in der ersten Schicht,  22 die Varianz in der zweiten Schicht und
 2 die Varianz der Grundgesamtheit.
Hinweis: Beachten Sie, daß N1 und N2 unbekannt sind!
i) Wie groß sind die Stichprobenumfänge in den einzelnen Schichten bei optimaler Aufteilung der Schichten?
(4 Punkte)
ii) Vergleichen Sie die Varianzen des Schätzers x bei einfacher Zufallsauswahl und bei der
optimalen Schichtung.
(4 Punkte)
Hauptklausur WS 97/98
Aufgabe 1:
Herr Dittmeyer verkauft in einer Fußgängerzone Apfelsinen und Orangensaft, der fast so
schmeckt wie frisch gepresst. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Passant Apfelsinen kauft
(Ereignis A) beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Passant Saft kauft (Ereignis S), beträgt 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, daß genau eines der beiden Produkte gekauft wird (aber
eben nicht beide zusammen!) beträgt 0,3.
a) Stellen Sie das folgende Ereignis in einem Venn-Diagramm graphisch dar:
 A  S   A \ S
(2 Punkte)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
i)
ein Passant beide Produkte kauft?
(2 Punkte)
ii) ein Passant Apfelsinen kauft, wenn er sich bereits gegen den Kauf von Saft entschieden hat?
(2 Punkte)
iii) sich von 8 Passanten 3 zum Kauf von Apfelsinen entscheiden?
(2 Punkte)
c) Zur Förderung seines Verkaufs veranstaltet Herr D. ein kleines Glücksspiel. In einen zugedeckten Behälter legt er weiße und schwarze Kugeln. Ein Passant darf solange ziehen (mit
Zurücklegen), bis er das erste Mal eine schwarze Kugel erwischt. Für jede vorher
gezogene weiße Kugel gewinnt er eine Apfelsine. Es ist klar, daß die Zufallsvariable X =
Misserfolge (= weiße Kugeln) vor dem ersten Erfolg (= schwarze Kugel) einer
geometrischen Verteilung gehorcht.
i)
Geben Sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für die Erfolgswahrscheinlichkeit 
auf der Grundlage der folgenden Stichprobe an:
264
Passant
A
B
C
D
weiße Kugeln
2
0
1
3
(4 Punkte)
ii) Berechnen Sie für diese Verteilung den Erwartungswert und die Varianz.
(4 Punkte)
iii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, frühestens beim zweiten und spätestens beim
vierten Zug erstmals eine schwarze Kugel zu erwischen?
(2 Punkte)
Aufgabe 2:
a) In einer Flasche Orangensaft ist im Schnitt 1 Liter Saft. Die Varianz betrage 0,0025. Wie
groß ist die Mindestwahrscheinlichkeit, beim Kauf einer Flasche zwischen 0,9 und 1,1 Litern Saft zu bekommen?
(3 Punkte)
b) Angenommen, die Abfüllmenge sei normalverteilt mit   1 und  2  0,0025 . Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit beim Kauf eines Kastens Saft (= 6 Flaschen) mindestens 6,122
Liter zu bekommen?
c) Kunde K errechnet ein Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Inhalt der Flaschen.
Eine Stichprobe von 16 Flaschen ergab x  1,01 . Welche Standardabweichung  hat K
aus der Stichprobe gewonnen, wenn das Konfidenzintervall wie folgt aussah
P0,9727    1,0473  0,95 ?
(4 Punkte)
d) Die Verbraucherzentrale V glaubt, daß die Flaschen im Schnitt weniger als 1 Liter Saft
enthalten und möchte dies mit Hilfe eines statistischen Tests nachweisen. Eine Stichprobe
vom Umfang n  36 ergab eine Varianz für die Füllmenge von 0,0049.
i)
Stellen Sie die Hypothesen (Null- und Alternativhypothese) auf.
(1 Punkt)
ii) Wo liegt der „kritische Mittelwert“, d.h. bis zu welchem x kann V die Nullhypothese
nicht ablehnen, wenn mit   0,05 getestet werden soll?
(3 Punkte)
e) Der Statistiker S betrachtet eine Stichprobe von n Flaschen. Die Zufallsvariable X i sei der
Inhalt der i-ten Flasche mit i  1,2,..., n . Alle X i seien identisch unabhängig verteilt mit
E X i    und V X i    2 . Für den durchschnittlichen Flascheninhalt  schlägt S die
folgenden Schätzfunktionen vor:
i)  1 
1 n
 Xi
n i 1
ii)  2  X 1
Sind  1 und  2 erwartungstreu und konsistent? Welchen der beiden Schätzer würden Sie
vorziehen?
(5 Punkte)
265
Aufgabe 3:
a) Gegeben sei die folgende Funktion:
10  7 x 2  x 2 y 1  y  4 y 1  y für 0  x, y  1
 
 

f  x, y  18 6
3

sonst
0
Könnte es sich dabei um eine zweidimensionale Dichtefunktion handeln?
(3 Punkte)
b) Diplom-Kaufmann K aus E betritt mit 4 anderen Patienten zeitgleich eine Zahnarztpraxis.
Die Arzthelferin hält es in diesem Fall für fair die Reihenfolge, in der die fünf Personen
behandelt werden, auszulosen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß K nicht als Erster
in das Behandlungszimmer gerufen wird?
(4 Punkte)
c) Xi seien Zufallsvariablen, für die gilt:
E X 1   5 , E X 2   10 , E X 3   8 ,


V X 1   3 , V X 2   4 , V X 3   6 , C X i , X j  1 für alle i  j
Die Zufallsvariable Z sei als folgende Linearkombination gebildet:
Z  X1  X 2  X 3 .
Berechnen Sie E Z  und V Z  .
(4 Punkte)
d) Die Kunden einer Krankenkasse bestehen zu 20% aus Kindern (Schicht 1), zu 50% aus
Menschen im arbeitsfähigen Alter (Schicht 2) und zu 30% aus Rentnern (Schicht 3). Aus
einer Stichprobe im Umfang n = 400 sollen die mittleren jährlichen Ausgaben für Medikamente µ geschätzt werden. Es gelte:  12  25 ,  22  100 und  32  81 .
Berechnen Sie den Stichprobenumfang bei proportionaler und optimaler Aufteilung sowie
(8 Punkte)
jeweils die Varianz der Schätzfunktion   x .
e) Wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einem Flugzeug x = 2 Terroristen mit zwei
Bomben sitzen, nur ein Zehntel der Wahrscheinlichkeit dafür ist, daß x = 1 Terrorist mit
einer Bombe im Flugzeug ist, dann ist X poissonverteilt mit   ?
(3 Punkte)
266
Lösungen
Hauptklausur WS 95/96
Aufgabe 1:
a)
P F   0,1 , P D| F   0,8 ; P D  0,5
i) Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff
ii) P D  P D| F 
iii) P D  F   P D  F   P D  P F   2 P D  F 
 P D  P F   2 P D| F  P F   0,5  0,1  2  0,8  0,1  0,44
iv)
b)
i)
ii)
c)
d)
P G| A   0,7 ; P G| B  0,2
P G   P G| A  P A   P G| B P B  0,7  0,5  0,2  0,5  0,45
P G| B P B 0,2  0,5
P B| G 

 0, 2
P G 
0,45
X ~ H5;4;32
 4  32  4

  
 4  5  4 
1  28

 0,00014
P x  4  
201.376
 32
 
 5
 n
n!
 15
K    
 2 2 ! n  2 !
n n  1  n 2  n  30
2
 n  1   30  0,25

2
1
n   5,5  n  6
2
Aufgabe 2:
a)
i)
0  f  x   und

 f  x dx  1

ii)
E x  
V x  
5
1
1 2
1 6xdx  12 x
5
5

1
25 1

2
12 12
1 2
1 3
2
1 6 x dx  2  18 x
5
4
1
125 1
 43
18 18
267
3
iii)
3
1
1
3 1
0 6 dx  6 x 0  6  2
x
1
1
iv) F x    du 
6
6
1
 0
 1
1
F x    x 
6
6
 1
b)
x  87,5 ;  2 
i)
H 0 :  80
x

1
1
1
x
6
6
x  1
1  x  5
x5
3900
7
H 1 :   80
vs.
Fall 3:
x
87,5  80

 0,8987
 n
3900 7 8
z=1,89
Die Hypothese kann nicht abgelehnt werden.
x  80
3900
 1,89
 80  95,77
56
3900 56
T
ii)
iii)


95,77  100
P x  95,77| H 1   P z 
| H1 
3900 56


 P z  0,5| H 1   1  P z  0,5| H 1   1  0,6915  0,3085
Einen Fehler 2. Art zu begehen bedeutet hier, die H0-Hypothese als richtig anzunehmen
obwohl sie falsch ist, d.h. anzunehmen, die durchschnittliche Telefonrechnung läge unter
80 DM, obwohl sie in Wahrheit über 80 DM liegt.
Aufgabe 3:
a)
1
1 1
i)
1
1
c 2 
c
c
c 2
0 0 cx  cy  cxydxdy  0  2 x  cxy  2 x y 0 dy  0 2  cy  2 ydy
1
c
c
c
c c c
  y  y 2  y 2      1,25c  1
2
4 0 2 2 4
2
 c  0,8
1
ii)

f  x   0,8x  0,8y  0,8xydy  0,8xy  0,4 y 2  0,4 xy 2

1
0
0
 0,8x  0,4  0,4x  0,4  1,2 x
f  y  0,4  1,2 y
1 1
iii)
C xy    0,8x 2 y  0,8xy 2  0,8x 2 y 2 dxdy   x  y
0 0
1
E x   0,4x  1,2 x 2 dx  0,2 x 2  0,4x 3
0
1
0
 0,2  0,4  0,6  E y
268
1
1
0,8
0,8 3 2 
x y dy  0,6  0,6
   x 3 y  0,4 x 2 y 2 
3
3

0
0
1

0
0,8
0,8 2
y  0,4 y 2 
y dy  0,36
3
3
1
b)
 0,8 y 2  0,4 y 3  0,8 y 3   0,36  0,8  0,4  0,8  0,36  0,004
 0
 6
6
3
9
3
9
X ~ N 2;25
P 3  x  8
32
 0,2
z1 
5
82
 1,2
z2 
5
 P 0,2  z  1,2  P z  1,2  P z  0,2  0,8849  0,5793  0,3056
c)
i)
1
500  1
500 1
500
500
 n 

E 1   E  X i 
   E X i  
n
n  n
n
n
n
n
  1 ist nicht erwartungstreu, aber
lim E 1      1 ist asymptotisch erwartungstreu
n 
1
500 
1
1
2
V 1   V  X i 
  2  V X i   2 n 2 
n
n  n
n
n
lim V 1   0   1 ist konsistent.
n 
ii)
n2
n2
n2
n2
E 2   E 2  X i   2  E X i   2 n 

 n

n
n
n
  2 ist nicht erwartungstreu, aber
lim E 2      2 ist asymptotisch erwartungstreu
n 
 n  2
 n  2
 n  2 2
n2
n 2 
V X i  
V 2   V 2  X i  


4
4
 n

n3
n
n
lim V 2   0   2 ist konsistent.
2
n 
Nachklausur WS 96/97
Aufgabe 1:
a) P B  0,6; P S  0,7; P B  S  0,5


i) P S| B 
P S  B 
P B 
P S  B  P S  P S  B  0,7  0,5  0,2

0,2
 0,5
0,4
2
2
269
ii) P S  B  P S  B
 P S  P B  2 P S  B  0,7  0,6  2  0,5  0,3


b) P V| S  0,7; P V| S  0,4
i) Wären V und S unabhängig, müsste gelten:
P V| S  PV| S 
Da dies nicht zutrifft, sind die Ereignisse abhängig.
ii) P V   P V| S P S  PV| S P S   0,7  0,7  0,4  0,3  0,61
c) X = B frühstückt zuviel; X ~ B 3; 0,3
P X  1  0,7840 lt. Tabelle
d) X = Kalorienmenge; X ~ N500; 625
i)
P  450  X  550 
Z1 
450  500
 2
25
Z2 
550  500
2
25
 P 2  Z  2  0,9545 lt. Tabelle
ii) P  450  X  550   P 500  2  25  X  500  2  25  1  1 2  0,75
2
e) X = Schläger von seiner Frau; X ~ H5; 2; 10
 2 10  2
  

 2  5  2  1  56
P X  2  

 0,2
252
10
 
 5

2

 10
f) X = Aufschlaggeschwindigkeit; X ~ N 200; 100  X ~ N 200;


n
P X  205,06  1  P X  205,06
Z
205,06  200
 1,6
10
 1  P Z  1,6  1  0,9452  0,0548
Aufgabe 2:
 
a) X  90; 
2
1
50 2  60 2  80 2  2  100 2  2  120 2  90 2  8  90 2   575

8
270
i) H0:
  80 vs.
T
H1:
  80
X   90  80

 11795
,
 n
575 8
z = 1,89
 Wegen T < z kann H0 nicht abgelehnt werden.
ii)
T
X  80
 1,89
575 8
X  1,89  575 8  80  96,02
iii)
PT  1,89|  90


96,02  90
 P X  96,02|   90  P Z 
|  = 90  P Z  0,7|   90  0,7580
575 8


Einen Fehler 2. Art zu begehen bedeutet hier, die H0-Hypothese als richtig anzunehmen
obwohl sie falsch ist, d.h. anzunehmen, die durchschnittlichen Kinoausgaben lägen unter
80 DM, obwohl sie in Wahrheit über 80 DM liegen.
b)
f  x, y  0,8x  0,8y  0,8xy
i)
f  y   0,8x  0,8y  0,8xydx
1
0

 0,4 x 2  0,8xy  0,4 x 2 y

1
0
 0,4  0,8y  0,4 y  1,2 y  0,4
Entsprechend für X: f  x  1,2 x  0,4
ii)
C x, y  Exy  E x E y
1
E x   1,2 x 2  0,4 xdx  0,4 x 3  0,2 x 2
1
0
 0,4  0,2  0,6
0
E y  0,6
1 1
Exy    0,8x 2 y  0,8xy 2  0,8x 2 y 2 dxdy
0 0
1
1
0,8 3 0,8 2 3 
  0,4 x 2 y 2 
xy 
x y  dx
3
3
0
0 
1
  0,4 x 2 
0
0,8
0,8 2
x
x dx
3
3
1
0,4 3 0,8 2 0,8 3 
0,4 0,8 0,8
 


 0,35
x 
x 
x  
6
9
3
6
9
 3
0
C x, y  0,35  0,6  0,6  0,004
271
X und Y sind nicht unabhängig, da Cx, y  0 .
Aufgabe 3:
a) Es gibt zwei Möglichkeiten die Meiers aufzuteilen: Meier 1 in Boot 1 und Meier 2 in
Boot 2 bzw. Meier 1 in Boot 2 und Meier 2 in Boot 1. Damit gibt es im ersten Boot noch
zwei freie Plätze und es sind noch vier Personen übrig:
 4
4!
24

6
 Kombination ohne Wiederholung: K    
 2 2 ! 4  2 ! 4
Das zweite Boot ergibt sich von selbst. Damit gibt es insgesamt 2  6  12 Möglichkeiten.
b)
i)
Da keine Angaben über  * gemacht wurden: Annahme des ungünstigsten Falles, also
*  0,5
n* 
ii)
z 2  * 1   * 1,96 2  0,5  0,5

 2401
e2
0,02 2

pq
pq 
P p  z
  pz
  1 
n 1
n  1


0,4  0,6
0,4  0,6 
P 0,4  1,96
   0,4  1,96
  0,95
100
100 

 KI   0,304; 0,496
c)
i)
nk
Nkk

n
 Nkk
n1  n
N 1 1
 3000
N 1 1  N 2  2
 1 2
N1 
 
 10 
 1 2
 1 2
N1 
   2  N1 
 
 10 
 10 
1
 3000   1000
3
n 2  2000
2
ii) Bei einfacher Zufallsauswahl: V X  
n
Bei optimaler Schichtung:
V X  opt 

1  Nk

k 



n
N
2
N
1  N1
 1  2  2 


n N
N
2
 3000
 1 2
N1 
 
 10 
 1 2
3  N1 
 
 10 
272
N
1N
1
  1
 2
n  N 10
N
1 

10 
2
2


2
1  1  N1  N 2  
 

 
n  10 
N  
10  n

,
da
N

N

N
1
1
2


V X  opt  V X 
Hauptklausur WS 97/98
Aufgabe 1:
a)
b)
i)
ii)
P A   0,2 ; P S  0,3 ; P A  S  P A  S  0,3
P A   P S  2 P A  S  0,3
1
1
P A  S   P A   P S  0,3   0,2  0,3  0,3  0,1
2
2
P A  S  P A   P A  S 0,2  0,1
P A| S  


 0,1429
0,7
P S 
P S 
iii) X ~ B 8;0,2
P x  3  0,1468
lt. Tabelle
c) X ~ G 
x
i) f  x  1  
2
3
6
L   1       1   1.    4 1    max
dL
6
5
 4  3 1    6  4 1    0
d
21    3  0
2  5  0
5  2
  0,4
1   0,6
ii) E x 

 1,5

0,4
1   0,6
V x   2 
 3,75
0,16

iii) P1  x  3  P x  3  P x  0  1  0,6 4  1  0,6  1  0,6 4  1  0,6  0,7296
273
Aufgabe 2:
a)
P 0,9  x  11
,   P1  2  0,05  x  1  2  0,05  1 
b)
X i ~ N1;0,0025 ; Y   X i ~ N6;0,015
1
 0,75
22
6
i 1
P y  6,122  1  P y  6,122
6,122  6
z
1
0,015
 1  P z  1  1  0,8413  0,1587
c) Fall 9
Linke Grenze des Konfidenzintervalls:

xz
 0,9727
n
n
4
 
 x  0,9727 
1,01  0,9727  0,07
2,13
z
d)
i)
H 0 :  1
vs.
H1 :   1
x
x 1
ii) T 

 1,6449
 n 0,07 6
0,07
x  1,6449
 1  0,9808
6
1
1
1
e)
E 1   E  X i    E X i   n  
n
 n
n
  1 ist erwartungstreu
2
1
1
1
V 1   V  X i   2  V X i   2 n 2 
n
 n
n
n

lim V 1   0   1 ist konsistent
n 
E 2   E X 1   
V 2   V X 1    2
  2 ist erwartungstreu
lim V 2    2   2 ist nicht konsistent
n 
Der Schätzer  1 ist vorzuziehen, da er nicht nur erwartungstreu ist (wie  2 auch)
sondern auch konsistent.
Aufgabe 3:
1 1
10 7
4
4
a)    x 2  x 2 y  x 2 y 2  y  y 2 dxdy
18 6
3
3
0 0
1
1
10
7
1
1
4
4
   x  x 3  x 3 y  x 3 y 2  xy  xy 2  dy
18
18
3
3
3
3
0
0 
1
10 7 1
1
4
4
  y  y 2  y  y 2 dy
18 18 3
3
3
3
0

1
1
 y  y 2 dy
6
0

274
1
1
1
1
  y  y 2  y 3 
2
3 0
6
1 1 1
    0 1
 f x, y kann keine Dichtefunktion sein
6 2 3
b) Ereignis E: K wird als Erster aufgerufen
P E   1  P E 
c)
Mögliche Ereignisse: P  5!  120
Ungünstige Ereignisse  E  : P=4!=24
24
P E   1 
 1  0,2  0,8
120
E Z   E X 1  X 2  X 3   E X 1   E X 2   E X 3   5  10  8  7
V Z   V  X 1  X 2  X 3 
 V X 1   V X 2   V X 3   2C X 1 , X 2   2C X 1 , X 3   2C X 2 , X 3 
d)
e)
 3  4  6  2  2  2  11
N 1  0,2  N ; N 2  0,5  N ; N 3  0,3  N
Proportionale Aufteilung
n 1  0,2  400  80
n 2  0,5  400  200
n 3  0,3  400  120
n
1
1
1
V x  prop   k  2k 
 79,3  0,19825
0,2  25  0,5  100  0,3  81 
n
n
400
400
Optimale Aufteilung
 N k  k  0,2  N  5  0,5  N  10  0,3  N  9  8,7  N
0,2  N  5 400
n 1  400

 46
8,7  N
8,7
5
0,5  N  10
n 2  400
 400 
 230
8,7  N
8,7
0,3  N  9
2,7
n 3  400
 400 
 124
8,7  N
8,7
2
1  Nk 
1
1
2
V x  opt   
k  
 75,69  0,1892
0,2  5  0,5  10  0,3  9 


n  N
400
400
1      2  
e
 e 
 2
10  1
1 
    0,2
10 2