Vorlesung 21

Einige schulgeometrische Aussagen
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung)
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦).
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
(|u + v |)2 =
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | .
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis)
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦).
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt:
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
v
u+v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
u
u-v
v
u+v
u+v
v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
u
u-v
v
u+v
u+v
v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Beweis.
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
u
u-v
v
u+v
u+v
v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Beweis.
|u + v |2 + |u − v |2
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
u
u-v
v
u+v
u+v
v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Beweis.
|u + v |2 + |u − v |2 = (u + v , u + v ) + (u − v , u − v )
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
u
u-v
v
u+v
u+v
v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Beweis.
|u + v |2 + |u − v |2 = (u + v , u + v ) + (u − v , u − v ) = (u, u) + 2(u, v ) +
(v , v ) +
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
u
u-v
v
u+v
u+v
v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Beweis.
|u + v |2 + |u − v |2 = (u + v , u + v ) + (u − v , u − v ) = (u, u) + 2(u, v ) +
(v , v ) + (u, u) − 2(u, v ) + (v , v )
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
u
u-v
v
u+v
u+v
v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Beweis.
|u + v |2 + |u − v |2 = (u + v , u + v ) + (u − v , u − v ) = (u, u) + 2(u, v ) +
(v , v ) + (u, u) − 2(u, v ) + (v , v ) = 2 (u, u) + (v , v )
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
u
u-v
v
u+v
u+v
v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Beweis.
|u + v |2 + |u − v |2 = (u + v , u + v ) + (u − v , u − v ) = (u, u) + 2(u, v ) +
(v , v ) + (u, u) − 2(u, v ) + (v , v ) = 2 (u, u) + (v , v ) = 2(|u|2 + |v |2 ).
Einige schulgeometrische Aussagen
Korollar (Dreiecksungleichung) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf
(V , +, ◦). Dann für jede u, v ∈ V gilt: |u + v | ≤ |u| + |v |.
u
u
u-v
v
u+v
u+v
v
Beweis:
Wie im Beweis Lem. 30
(|u + v |)2 = (u + v , u + v )
=
|u|2 + 2(u, v ) + |v |2
2
2
2
(|u| + |v |) = |u| + 2|u||v | + |v | . Da nach Lemma 29 (u, v ) ≤ |u||v |,
ist (|u + v |)2 ≤ (|u| + |v |)2 und deswegen |u + v | ≤ |u| + |v |.
Lemma 30 (Parallelogrammgleichung=Aufgabe 3 Serie 7
Analysis) Sei ( , ) ein Skalarprodukt auf (V , +, ◦). Dann für jede
u, v ∈ V gilt: |u + v |2 + |u − v |2 = 2(|u|2 + |v |2 ).
Beweis.
|u + v |2 + |u − v |2 = (u + v , u + v ) + (u − v , u − v ) = (u, u) + 2(u, v ) +
(v , v ) + (u, u) − 2(u, v ) + (v , v ) = 2 (u, u) + (v , v ) = 2(|u|2 + |v |2 ).
Cosinussatz
Cosinussatz
Cosinussatz
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Beweis:
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Beweis: ~a + ~b
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Beweis: ~a + ~b = ~c ,
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Beweis: ~a + ~b = ~c , also ~a = ~c − ~b.
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Beweis: ~a + ~b = ~c , also ~a = ~c − ~b.
Dann ist |~a|2 =
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Beweis: ~a + ~b = ~c , also ~a = ~c − ~b.
Dann ist |~a|2 = (~a,~a) = (~c − ~b, ~c − ~b)
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Beweis: ~a + ~b = ~c , also ~a = ~c − ~b.
Dann ist |~a|2 = (~a,~a) = (~c − ~b, ~c − ~b) = (~c , ~c ) − 2(~b, ~c ) + (~b, ~b)
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Beweis: ~a + ~b = ~c , also ~a = ~c − ~b.
Dann ist |~a|2 = (~a,~a) = (~c − ~b, ~c − ~b) = (~c , ~c ) − 2(~b, ~c ) + (~b, ~b) =
|~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Cosinussatz
Cosinussatz In Dreieck auf dem Bild
c
a
alpha
b
Ist |~a|2 = |~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Beweis: ~a + ~b = ~c , also ~a = ~c − ~b.
Dann ist |~a|2 = (~a,~a) = (~c − ~b, ~c − ~b) = (~c , ~c ) − 2(~b, ~c ) + (~b, ~b) =
|~b|2 + |~c |2 − 2|~b||~c | cos(alpha).
Noch ein Bsp.
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
Ist der Winkel alpha gerade.
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
Ist der Winkel alpha gerade.
Beweis. Betrachte die Vektoren ~a, ~b wie auf dem Bild.
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
b
a
a
Ist der Winkel alpha gerade.
Beweis. Betrachte die Vektoren ~a, ~b wie auf dem Bild.
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
b
a
a
Ist der Winkel alpha gerade.
Beweis. Betrachte die Vektoren ~a, ~b wie auf dem Bild. Wir müssen
zeigen, dass (~a + ~b,~a − ~b) = 0.
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
b
a
a
Ist der Winkel alpha gerade.
Beweis. Betrachte die Vektoren ~a, ~b wie auf dem Bild. Wir müssen
zeigen, dass (~a + ~b,~a − ~b) = 0. Wegen Linearität und Symmetrie,
ist
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
b
a
a
Ist der Winkel alpha gerade.
Beweis. Betrachte die Vektoren ~a, ~b wie auf dem Bild. Wir müssen
zeigen, dass (~a + ~b,~a − ~b) = 0. Wegen Linearität und Symmetrie,
ist
(~a + ~b,~a − ~b) =
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
b
a
a
Ist der Winkel alpha gerade.
Beweis. Betrachte die Vektoren ~a, ~b wie auf dem Bild. Wir müssen
zeigen, dass (~a + ~b,~a − ~b) = 0. Wegen Linearität und Symmetrie,
ist
(~a + ~b,~a − ~b) = (~a,~a) − ~(a, ~b) + (~b,~a) − (~b, ~b) =
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
b
a
a
Ist der Winkel alpha gerade.
Beweis. Betrachte die Vektoren ~a, ~b wie auf dem Bild. Wir müssen
zeigen, dass (~a + ~b,~a − ~b) = 0. Wegen Linearität und Symmetrie,
ist
(~a + ~b,~a − ~b) = (~a,~a) − ~(a, ~b) + (~b,~a) − (~b, ~b) = (~a,~a) − (~b, ~b) =
Noch ein Bsp.
Z.Z. Im Dreieck auf dem Bild
alpha
b
a
a
Ist der Winkel alpha gerade.
Beweis. Betrachte die Vektoren ~a, ~b wie auf dem Bild. Wir müssen
zeigen, dass (~a + ~b,~a − ~b) = 0. Wegen Linearität und Symmetrie,
ist
(~a + ~b,~a − ~b) = (~a,~a) − ~(a, ~b) + (~b,~a) − (~b, ~b) = (~a,~a) − (~b, ~b) =
|a|2 − |b|2 = 0.