Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie Kapitel 1: Vollkommener Wettbewerb, Marktgleichgewicht, Wohlfahrt und Monopol Lösungsskizze zu Aufgabe 1.1 a) Marktgleichgewicht: D ( p ) = S ( p ) ⇒ 1000 − 10 p = −50 + 25 p ⇒ 35 p = 1050 ⇔ p ∗ = 30 D( P = 30) = q ∗ = 1000 − 10 ⋅ 30 = 700 b) Die Preiselastizität der Nachfrage: ε q, p = ∂q / q ∂q p 30 = ⋅ ⇒ ε q , p = −10 ⋅ = −0.429 ∂p / p ∂p q 700 c) D( p = 25) = 750 , S ( p = 25) = 575 . Also existiert eine Überschussnachfrage von 750 − 575 = 175 Einheiten. Lösungsskizze zu Aufgabe 1.2 D1 (q1)= 60 – q1 => q1 = 60 – p1 D2 (q2)= 30 – q2 => q2 = 30 – p2 a) Preiselastizität der Nachfrage: ε q , p = ∂q / q ∂q p = ⋅ ∂p / p ∂p q für Markt 1: ε 1 = (−1) p −p = ; 60 − p 60 + p für Markt 2: ε 2 = (−1) p −p = ⇒ ε1 < ε 2 30 − p 30 + p b) Der Monopolist setzt in jedem Land: MR = MC; Land 1: MC = 4q R = (60 – q1) q1 = 60q1 – q1² ⇒ MR = 60 – 2 q1 MR = MC ⇒ Land 2: C (q) = 2q² 60 – 2q1 = 4q1 ⇒ q1 = 10 R = (30 – q2) q2 = 30q2 – q2² ⇒ MR = 30 – 2q2 MR = MC ⇒ 30 – 2q2 = 4q2 ⇒ q2 = 5 c) Preise in Land 1 und 2? Land 1: p1 (10) = 60 – 10 ⇒ p1 = 50 Land 2: p2 (5) = 30 – 5 ⇒ p2 = 25 d) Land 1 / Wohlfahrt im Monopol: CS = 0.5 · (60-50) · 10 = 50 ; PS = R – C = 10 · 50 – 200 = 300 ⇒ W = 50 + 300 = 350 Land 1 / Wohlfahrt im vollkommenen Wettbewerb: p = MC ⇒ 60 – q1 = 4q1 ⇒ q1 = 12 ⇒ p1 = 48 CS = 0,5 · (60 – 48) ·12 = 72 PS = 0.5 · 12 · 48 = 288 Mikroökonomie I – WS 2009/10 – Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben ⇒ W = CS + PS = 360 Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie Wohlfahrtsverlust in Land 1: DWL1 = 360 – 350 = 10 Land 2 / Wohlfahrt im Monopol: CS = 0.5 · (30-25) · 5 = 12,5 PS = 5 · 25 – 0,5 · 20 · 5= 75 ⇒ W = CS + PS = 87,5 Land 2 / Wohlfahrt im vollkommenen Wettbewerb: p = MC ⇒ 30 – q1 = 4q1 ⇒ q1 = 6 ⇒ p1 = 24 CS = 0.5 · (30 – 24) · 6 = 18 ; PS = 0,5 · 6 · 24 = 72 ⇒ W = CS + PS = 90 Wohlfahrtsverlust in Land 2: DWL2 = 90 – 87,5 = 2,5 Lösungsskizze zu Aufgabe 1.3 ! a) R(q ) = pq = (a − bq )q = aq − bq 2 ⇒ MR(q ) = a − 2bq = 0 ⇔ q = a / 2b b) π (q ) = pq − c(q ) = (a − bq )q − 0,5bq 2 = aq − bq 2 − 0,5bq 2 = aq − 1,5bq 2 ! c) ∂π (q ) / ∂q = a − 2bq − bq = 0 ⇔ q Mon = a / 3b ⇒ p Mon = a − b(a / 3b) = a − a / 3 = 2a / 3 ! d) p C = MC ⇔ p C = bq ⇔ q C = p C / b e) π (q ) = (1 − T )[(a − bq )q − 0,5bq 2 ] = (1 − T )[aq − bq 2 − 0,5bq 2 ] ! ∂π (q ) / ∂q = (1 − T )(a − 2bq − bq ) = = 0 ⇔ q Mon = a / 3b ⇒ Keine Wirkung der proportionalen Einkommensteuer auf das Maximierungsproblem des Monopolisten! f) Parameter eingesetzt ergibt sich für die Menge im vollkommenen Wettbewerb: qC = pC/b =12/3 = 4 Zu welchem Preis maximal die Wettbewerbsmenge (im Monopol) nachgefragt wird, kann mit Hilfe der inversen Nachfragefunktion ermitteln: p(qC = 4)= 24 – 12 = 12 Mikroökonomie I – WS 2009/10 – Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie Kapitel 2: Preisdiskriminierung im Monopol Lösungsskizze zu Aufgabe 2.1 D(p) = 225 – q MC(q) = 3q a) Einheitlicher Monopolpreis: Wohlfahrt im Monopol mit einheitlichem Monopolpreis: Optimalitätsbedingung des Monopolisten: MR = MC R = pq = (225 – q)q = 225q – q² ⇒ MR = 225 – 2q 225 – 2q = 3q ⇒ qM = 45 ⇒ pM = 180 CS = 0,5 · 45 · 45 = 1012,5 PS = pq – 3/2q² ⇒ PS = 180 · 45 – 3/2(45) 2 = 5062,5 Wohlfahrt im Monopol: PS + CS = 6075 Wohlfahrt beim vollkommenen Wettbewerb: Bedingung: p = MC ⇒ 3q = 225 – q ⇒ q* = 56,25 ⇒ p* = 168,75 CS = 0,5 · (56,25)2 = 1582 (gerundet) PS = pq – c(q) = 168,75 · 56,25 – 3/2(56,25)2 = 9492 – 4746 = 4746 (gerundet) W = CS + PS = 6328 Vergleich Wohlfahrt im Monopol und im Wettbewerb: Wohlfahrtsverlust: 6328 – 6075 = 253 b) Preisdiskriminierung 1. Grades: Der Monopolist verlangt von jedem Kunden den Preis, der der Zahlungsbereitschaft des jeweiligen Kunden entspricht. Dadurch schöpft er die gesamte Konsumentenrente ab. Der Monopolist setzt p = MC, d.h. der Markt ist effizient. Wohlfahrtsverlust bei perfekter Preisdiskriminierung = 0; CS = 0; PS = 6328 Lösungsskizze zu Aufgabe 2.2 Um die Gewinne aus Preisdiskriminierung 3. Grades zu maximieren, setzt der Monopolist in jedem Marktsegment MC = MR . Für den ersten Markt bedeutet das: 10 = 100 − 10Q1 ⇔ 10Q1 = 90 ⇔ Q1 = 9 Der Preis in diesem Segment ist dann: P1 = 100 − 5Q1 = 100 − 45 = 55 . Im zweiten Marktsegment folgt aus MC = MR : 10 = 50 − 8Q2 ⇔ 8Q2 = 40 ⇔ Q2 = 5 Der Preis in diesem Segment ist dann: P2 = 50 − 4Q 2 = 50 − 20 = 30 . Mikroökonomie I – WS 2009/10 – Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie Lösungsskizze zu Aufgabe 2.3 a) Wenn die Firma beide Produkte getrennt voneinander verkauft, dann sollte sie den Preis für das Produkt A 75 € setzen. Zu diesem Preis verkauft die Firma das Produkt A an die Konsumenten 2 und 3 und erlöst 150 €. Kosten betragen 20 €. Für Produkt B sollte die Firma 30 € verlangen, denn zu diesem Preis wollen Konsumenten 1 und 2 kaufen und die Firma macht einen Erlös von 60 €, Kosten der Firma belaufen sich auf 10 €. Der Gesamtgewinn der Firma beträgt dann 180 €. b) Wenn die Firma ein Güterbündel verkauft, dann sind bei der Gewinnmaximierung die Zahlungsbereitschaften der Konsumenten für das Bündel ausschlaggebend. betragen 90, 105, und 110 € für die jeweiligen Konsumenten. Diese Gegeben diese Zahlungsbereitschaften, maximiert die Firma ihren Gewinn, wenn sie den Preis für ein Bündel aus Produkt A und Produkt B gleich 90 € setzt. Zu diesem Preis sind alle Konsumenten bereit, das Bündel zu kaufen. Die Firma erlöst 270 € und hat Kosten in Höhe von 15 €. Die Firma macht also einen Gewinn von 225 €, also 45 € mehr als im ersten Fall vom Aufgabenteil a). Mikroökonomie I – WS 2009/10 – Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie Kapitel 3: Allgemeine Gleichgewichtstheorie Lösungsskizze zu Aufgabe 3.1 a) X: 2 Tage: (5,9), (7,4), (13,2) Y: 3 Tage: (3,11), (6,6), (11,4) 3 Tage: (8,10), (10,7), (14,5) 5 Tage: (6,12), (9,9), (13,7) B Anfangsausstattung OY P UY3 UX3 9 UX2 UY5 4 2 P OX 5 7 13 B b) s. Definitionen in den Vorlesungsfolien c) X stimmt jedem Tausch zu, bei dem er sich nicht schlechter stellt: ⇒ X : ( 7, 4) Y : (9,9) 2 Tage 5 Tage Y stimmt jedem Tausch zu, bei dem er sich nicht schlechter stellt: ⇒ X : (10,7) Y : (6,6) 3 Tage 3 Tage Lösungsskizze zu Aufgabe 3.2 a) Anfangsausstattungen von S und T: Im Gleichgewicht gilt: − ∂U S / ∂x S p =− x ∂U S / ∂y S py MRS S = − wS = (6,3) und wT = (6,3) px = MRS T py Nebenbedingung: y S2 p = x ⇔ p y y S = 2 p x xS 2 xS yS py p x xS + p y yS = 6 p x + 3 p y ⇒ 6 p x + 3 p y − p x xS = 2 p x xS Mikroökonomie I – WS 2009/10 – Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie ⇒ xS = 2 + ⇒ 2( 6 p x + 3 p y − p y y S ) = p y y S − p ∂U T / ∂xT =− x ∂U T / ∂yT py px ⇒ 12 p x + 6 p y = 3 p y y S ⇒ yS = 4 px +2 py p x xT + p y yT = 6 p x + 3 p y Nebenbedingung: 2 xT yT p = x ⇔ 2 p y y T = p x xT 2 py xT py ⇒ 2(6 p x + 3 p y − p x xT ) = p x xT ⇒ 12 p x + 6 p y = 3 p x xT ⇒ xT = 4 + 2 py px ⇒ 2 p y yT = 6 p x + 3 p y − p y yT ⇒ yT = 2 px +1 py b) Preisrelation im GG: Im Gleichgewicht muss gelten: x S + xT = 12 ⇔ 2 + ⇒3 py px =6 py px +4+2 py px = 12 ⇒ py = 2 px ⇒6 ⇒ xS = 2 + 2 px p = 4 , ⇒ yS = 4 x + 2 = 4 , px 2 px ⇒ xT = 4 + 2 ⋅ 2 px = 8, px ⇒ yT = 2 Die nachgefragten Mengen sind also: y S + yT = 6 ⇔ 4 + px =3 py px p + 2 + 2 x +1 = 6 py py ⇒ py = 2 px px +1 = 2 2 px ( x S , y S ) = (4,4) ( xT , yT ) = (8,2) Lösungsskizze zu Aufgabe 3.3 a) Das allgemeine Gleichgewicht im vollkommenem Wettbewerb ist Pareto-effizient (gilt auch bei mehr als zwei Gütern/Konsumenten) d.h. ein Markt, auf dem jeder Teilnehmer versucht, seinen individuellen Nutzen zu maximieren, führt zu einem Pareto-effizienten Ergebnis. Voraussetzungen: „normale“ Indifferenzkurven, keine Externalitäten etc. b) Jede Pareto-effiziente Allokation ist ein Gleichgewicht in einem Markt mit vollkommenem Wettbewerb. Unter bestimmten Annahmen (z.B. „normale“ Indifferenzkurven etc.) kann jede Pareto-effiziente Allokation durch ein kompetitives Marktgleichgewicht erreicht werden. Implikation: Verteilungswirkung und Effizienz können separiert werden. Jede Pareto-effiziente Allokation (auch eine „gerechte“) kann erreicht werden, wenn die Ausstattung der Wirtschaftssubjekte (vorher) entsprechend umverteilt wird. Mikroökonomie I – WS 2009/10 – Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie Kapitel 4: Einführung in die Spieltheorie Lösungsskizze zu Aufgabe 4.1 Spieler A hat keine dominante Strategie! Spieler B hat eine dominante Strategie! (B1; egal ob Spieler A A1 oder A2 wählt ist es für Spieler B immer beste Antwort B1 zu wählen) Nash-Gleichgewicht: A1,B1 Lösungsskizze zu Aufgabe 4.2 a) Nash-Gleichgewicht: (Werbung, Werbung) b) Ja, die Firmen sollten sich mit einem bindenden Vertrag verpflichten, nicht zu werben, denn dies erhöht die Gewinne der beiden Anbieter im Vergleich zu der Situation im Nash-GG. Lösungsskizze zu Aufgabe 4.3 a) . A . 1 0 .0 0 0 P 1 5 .0 0 0 . N ic h t a n b ie te n P N ic h t N ic h t anannehm en nehm en annehm en . . (0 ;0 ) ( 2 0 0 0 ;2 0 0 0 ) annehm en . . (7 0 0 0 ;-3 0 0 0 ) . (0 ;0 ) ( 0 ;0 ) b) . M r. S E S B M r. C E S B . 1 0 0 ;1 0 0 F S . . F S E S B . 0 ;0 . 0 ;0 M r. C F S . 1 0 0 ;1 0 0 Mikroökonomie I – WS 2009/10 – Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie Lösungsskizze zu Aufgabe 4.4 D( p ) = max{0,12 − p} p = 12 – q für p ≤ 12 und q = q1 + q2 Kosten Einheiten 3 4 6 Firma 1 9 10 15 Firma 2 8 10 Nicht möglich Strategiekombination p = (12 – q) π1 π2 (3,3) 6 9 10 (3,4) 5 6 10 (4,3) 5 10 7 (4,4) 4 6 6 (6,3) 3 3 1 (6,4) 2 -3 -2 Das Spiel in Normalform: F2 q2 = 3 q2 = 4 q1 = 3 9, 10 6, 10 * q1 = 4 10, 7 * 6, 6 q1 = 6 3, 1 -3, -2 F1 → Nash-Gleichgewichte: (q1 = 4, q2 = 3) und (q1 = 3, q2 = 4) Lösungsskizze zu Aufgabe 4.5 Spieler 1 hat keine dominante Strategie! Spieler 2 hat eine dominante Strategie! (auf jede Entscheidung von Spieler 1 ist es „beste Antwort“ von Spieler 2 C zu wählen. Nash-Gleichgewichte: (M,C) Lösungsskizze zu Aufgabe 4.6 Tabelle 1 Spieler 1 T B Spieler 2 L 6, 3, 2 2, 3, 9 R 4, 8, 6 * 4, 2, 0 T B Spieler 2 L 8, 1, 1 9, 4, 9 * R 0, 0, 5 0, 0, 0 Tabelle2 Spieler 1 Nash-Gleichgewichte: (T, R, Tabelle 1) und (B, L, Tabelle 2) Lösung zu Aufgabe 4.7 Mikroökonomie I – WS 2009/10 – Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie . . . . . . . . . . KJ n KE n j j (1;0) (0;10) n KJ j (10²;0) n KE j (0;103) n KJ j (104;0) n KE j n KJ KE n j j (0;105) (106;0) n KJ j (0;107) (108;0) n KE n (0;0) j (0;109) Durch Rückwärtsinduktion kann man das Nash-Gleichgewicht bestimmen. Im Gleichgewicht wählt jeder Spieler bei jedem Entscheidungsknoten „j“. Daraus folgt, dass das Spiel bereits nach der ersten Entscheidung beendet ist. Der Auszahlungsvektor ist: (1, 0). Mikroökonomie I – WS 2009/10 – Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben