08) Kapitel 8

14.02.2013
8. Dynamik der Drehbewegungen
8.1 Winkelgeschwindigkeit und –beschleunigung
Kinematik:
Whl. von Kap. 4.3:
Winkelgeschwindigkeit


Tangentialgeschwindigkeit
d 
 ez
dt
  
v  r
 
Für 0-Punkt im Kreismittelpunkt:   R
  
v  R
v R
Winkelbeschleunigung

d d 2 
 2  e

dt
dt

aus Betragsänderung
aus der Richtungsänderung
Tangentialbeschleunigung
Radialbeschleunigung



dv d   
aT 

r  r
dt
dt

r
 

aR    v
const.
= Zentripetalbeschleunigung
 
Sonderfall: 0-Punkt in Kreismittelpunkt:   R
aT  R    R 
d
dt
aR    v  R   2
8-1
14.02.2013
8.2 Drehmoment und Trägheitsmoment
Dynamik:
Ursache für Drehbewegung?
Beispiel:
Wirkungslinie = Verlängerung der Kraftachse
für



 F  F1  F2  0
keine Translation aber Rotation
keine Translation
Schwerpunkt bewegt sich nicht lateral
d.h. Beschreibung durch Kräfte alleine genügt nicht !
8.2.1 Massepunkt
l = Hebelarm  Wirkungslinie
l  R  sin 
Drehmoment M = Kraft  Hebelarm
M  F l

M  F  R  sin 


vgl. Vektorprodukt (2 Vektoren F und R mit eingeschlossenem Winkel )
8-2
14.02.2013
  
M  R F
M  R
F
sin



Rechte Hand Regel


mit FT  R
FT
d.h. radialer Anteil der Kraft hat keine Rotationswirkung, nur der tangentiale.
Wirkung:
Winkelbeschleunigung 
Translation mit m = const:
F  ma
Für Kreisbewegung:
FT  m  aT  m  R  
R (s.o.)
0-Punkt im Kreismitte
FT  R  m  R 2  
M  m  R 2 

 

M  m  R 2   I 
Vektoriell:
mit
vgl.
I  m  R2


F  ma
für Massepunkt
Trägheitsmoment [m2kg] (skalar)
für Translation m „träge Masse“
8.2.2 Verteilte Masse
Drehmoment:
  
M  R F
Trägheitsmoment: zerlegen in viele einzelne kleine Massepunkte dm und
dI  dm  r 2
Summation über alle Massepunkte dm
I   r 2 dm


M  I 
8-3
relativ zum Drehpunkt
 
mit M 
14.02.2013
Vergleich Dreh- und lineare Bewegung
Drehbewegung
Lineare Bewegung


F  ma


M  I 
Trägheit
Trägheitsmoment
̂
Massenträgheit
Widerstand gegen
eine Drehbewegung
Widerstand gegen
lineare Bewegung
I
̂
m
Drehmoment M
̂
Kraft F
Winkelbeschl. 
̂
lineare Beschleunigung a
Beispiel 1: Trägheitsmoment I für 4 Massepunkte (keine Ausdehnung).
4
4
i 1
i 1
I ges   r 2 dm   ri2  mi   I i
I ges  l 2  m1  l 2  m2  l 2  m3  l 2  m4
Vereinfachung: für m1  m2  m3  m4  m
Ergebnis: I ges  4l 2  m  je größer l umso mehr widersetzt es sich der Drehung
„
je größer m ...
8-4
14.02.2013
Änderung der Drehachse:
4
Ergebnis: I ges   I i  0m1  0 m2  2 l 2 m3  2 l 2 m4  8 l 2 m
i 1

Massepunkte, d.h. keine Ausdehnung
I hängt ab von Drehachse !
vgl. lineare Bewegung: m immer gleich
I steigt wenn Drehachse  Massenmittelpunkt = Schwerpunkt
Beispiel 2: Kreisring (keine radiale Ausdehnung)
Gesamte Masse im Kreisring (sehr dünn)
I Ring   r 2 dm  R 2  dm  R 2  mges
entspricht Massepunkt m im Abstand R vom Drehpunkt
Beispiel 3: Kreisscheibe
dm ist homogen verteilt auf dA  2  r  dr
dm 
m ges
A
R
I Scheibe   r 2 
0

m ges
 dA 
2mges 1 4
 r
R2 4
R2 
mges
R
R
0
2
 2  r  dr
 2r  dr

mges
2

R2
Dichte = const.
2mges
R

2
R
 r dr
3

0
1
I Ring
2
8-5
14.02.2013
Versuch: Schiefe Ebene (Video # 13)
Ein Alu-Vollzylinder und ein Messing Hohlzylinder rollen eine schiefe Ebene herab. Nach
der Beschleunigung wird in der Ebene die Endgeschwindigkeit vS durch eine Lichtschranke
gemessen.
m = 1,24 kg für beide gleich
Innendurchmesser (für Hohlzyl.) Di = 0,064 m
Außendurchmesser: Da = 0,079 m
Was erwarten wir?
GN erzeugt die Reibungskraft = μGN. Für μ = 0 (keine Reibung) keine Drehung nur Rutschen.
M  Hebelarm  G p
M  I 


identisch für beide Zylinder
M
I
IVoll  I Hohl  Voll   Hohl  vVoll  v Hohl
Gemessene Laufzeit durch die Lichtschranke (Translationsgeschwindigkeit vS):
0,079m
m
 1,39
0,057s
s
tVoll = 0,057s 
vVoll 
tHohl = 0,063s 
v Hohl 
0,079m
m
 1,25
0,063s
s
q.e.d.
Eine weitere Berechnung des Trägheitsmomentes aus dem Meßergebnis ist an der Stelle nicht
möglich, da es sich hier lediglich um die Translationsgeschwindigkeit handelt und nicht um
die Rotationsgeschwindigkeit.
8-6
14.02.2013
Weitere Beispiele:
8.2.3 Steinersche Satz
Drehung um Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) und Drehung um andere dazu parallele Achse
I  I s  m ges  h 2
I s Trägheitsmoment um Schwerpunkt S
8-7
14.02.2013
Beispiel von oben:
m1  m2  m3  m4
Is  4l 2 m
um den Schwerpunkt (s.o.)
mit mges = 4 m und h = l
I  4 l 2m  4 m  l 2  8 l 2m
8.2.4 Trägheitsmomente flacher Körper
für Ausdehnung in z-Richtung << Ausdehnung in x-, y-Richtung (sehr dünn)
I z   r 2 dm   ( x 2  y 2 ) dm   x 2 dm   y 2 dm
mit I y   x 2 dm ;
und
I x   y 2 dm
Iz  Ix  I y
8-8
s.o.
14.02.2013
8.3 Rotationsenergie und -leistung
a) Arbeit:
dW  FT  ds
ds  R  d
dW  FT  R  d
 dW   M  d
vgl. lineare Bewegung: W   F  ds
b) Leistung:
P
dW
d
M
 M 
dt
dt
für M = const. vgl. lineare Bewegung: P  F  v
c) Kinetische Energie (verteilte Masse, ω = const.):
jeder Massepunkt dm hat die kin. Energie am
Ende der Beschleunigungsphase (ω = const.):
dWkin 
1
dm  v 2
2
Wkin   dWkin  
m
1
1
dm v 2   dm  r 2   2 
2
2
1
1
  2  r 2  dm  I   2
2 m
2
Wkin 
vgl. linear:
Wkin 
1
I  2
2
1
m  v2
2
m ̂ I
 ̂ v
8-9
14.02.2013
Auswertung Versuch:
Me-Hohlzylinder
Al-Vollzylinder
s D 0,079 m
m
 
 1,39
t
t
0,057 s
s
vs 
1 2 1
m2
mv s   1,24 kg  1,39 2 2
2
2
s
WT 
vs 
vTrans
WTrans
WT 
WT  1,19 J
D 0,079 m
m

 1,25
t
0,063 s
s
1
m2
 1,24 kg  1,252 2
2
s
WT  0,97 J
1
m  ra2  9,7  10  4 kg m 2 (siehe 8.2.2)
2


1
m  ra2  ri2  1,6  10  3 kg m 2
2
I
I

m
v
s  35,6 1
 s 
ra 0,039 m
s
m
v
s  32,1 1
 s 
ra 0,039 m
s
WRot
WR 
1 2 1
1
I   9,7  10  4 kg m 2  35,62 2
2
2
s
WR  0,61 J
WR 
Wkin, ges.
Wkin  WT  WR  1,19 J  0,61 J  1,8 J
Wkin  0,97 J  0,82 J  1,79 J
1,39
I
1,25
1
1
 1,6  10  3 kgm2  32,12 2
2
s
WR  0,82 J
Die in beiden Zylindern ursprünglich gespeicherte Energie ist die potentielle Energie.
W pot  mgh  1,24 kg  9,81
m
 0,15 m  1,82 J
g2
Ergebnis:
Die kinetischen Energien beider Zylinder sind gleich.
Es ist außerdem ersichtlich, daß W pot  Wkin .
Die Ursache dafür ist die Energie, die durch Reibung verloren geht ( 0,02 J)
W pot  Wkin  W
Für die kinetische Energie eines rollenden Körpers gilt (ohne Gleiten):
Wkin 
1
1
m  vS2  I S  2
2
2
mit
vS
Geschwindigkeit des Schwerpunktes
IS
Trägheitsmoment um den Schwerpunkt
8-10
14.02.2013
8.4 Drehimpuls L
Frage: Warum fällt ein stehender Radfahrer um, ein fahrender nicht ?
lineare Bewegung:


p  mv

dp 
F
dt


aus Analogie L  I  

dL 
M
dt
8.4.1 Kreisbewegung
Kreisbewegung, d.h. Ortsvektor R  auf Geschwindigkeit v
a) Massepunkt:
Definition Drehimpuls
L  pR
analog M  F  R
L  p  R  m  v  R  m (R )  R  m R2    I 


L  I 
vgl.
 
L ,
I ist Skalar


p  mv
2
2
 m   m kg   m kg  s 
L kg m   

  J  s
s   s   s2 

Einheit: Energie  Zeit = Wirkung
b) Ausgedehnte Masse:
Massepunkt dm: dL  dI    dm  r 2  
Summation über alle dm:

 
L   dm  r 2      r 2 dm für alle dm ist  = const.
I


L  I 
Die Geometrie und Masseverteilung steckt in I
8-11
14.02.2013
8.4.2 Beliebige Bewegung
Ortsvektor r nicht senkrecht auf v,  nicht const.
L  m  v  r  m  r  v  sin 
radiale Anteil vr liefert keinen Beitrag zum Drehimpuls
vgl. Vektorprodukt

 

  
L  m (r  v )  r  m  v  r  p
allgemeine Form.
Keine Kreisbahn, trotzdem Drehimpuls (z.B. Ellipse)!
Wichtig ist der Bezugspunkt
Großer Drehimpuls = große Wirkung. Vgl. linearer Impuls: Großer Impuls  große Wirkung.
Beispiel: Zweites Keplersches Gesetz (Kap. 8.6)
8.4.3 Drehimpulserhaltung
Drehimpuls
  
Lrp




dL dr   dp  dp

 pr
r
dt dt
dt
dt
Produktregel
  
= 0 da dr v p
Drehmoment
    dp
M  rF r
dt

 dL
 dp
M 
vgl. Translation F 
dt
dt
8-12
14.02.2013
kein äußeres Drehmoment


dL
 M  0  dt 

L  const
keine äußeren Kräfte


dp
 F  0  dt 

p  const
Drehimpulserhaltung
Impulserhaltung
Wenn das resultierende Drehmoment, das von außen auf ein System wirkt gleich Null
ist, dann ist der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant.
In Zentralkraftfelder ist der Drehimpuls bezogen auf das Kraftzentrum zeitlich
 
konstant, da r F oder M = 0 (für  = 0)
Beispiel:
Inelastischer Drehstoß
Inelastischer Stoß
Wkin bleibt nicht erhalten
vorher
nachher
vorher
nachher
Reibung +
Massenverdrängung
Reibung
2  0
v2  0
La  1  I1  e ( I1  I 2 )
pa  m1  v1  m1  m2  ve
 e  1 
I1
I1  I 2
ve  v1
m1
m1  m2
Versuch: Drehstuhl (Video #14 Teil 1 bis 0:28)
Armlänge r und Hantel m (Punktmasse). Masse Körper + Arm vernachlässigbar gg. Hantel
8-13
14.02.2013
L1  1  I1  1  2  m  r12
2 Punktmassen m
Anziehen der Arme r2  r1
L2 
2   2  m  r22
m
m
Änderung des Betrages von L
r
Drehimpulserhaltung:
L1  L2
da keine äußeren Drehmomente
2   2  m  r22  2  1  m  r12
 2  1 
r12
r22
für r2  r1
2  1
(im Quadrat doppeltes r  4-faches )
Versuch: Drehstuhl: mit Richtungsänderung von L (Video #14 Teil 2)

 dL
M 
dt

dL
für
 const
dt
auch bei Richtungsänderung !

M ändert sich
8-14
14.02.2013
8.4.4 Hauptträgheitsachsen
  
v r

v

r
dL, M
L
Masse in x-y Ebene
Masse nicht in x-y Ebene
2 symmetrische Massen
Drehpunkt i.d. Beweg.-Ebene
nicht i.d. Beweg.-Ebene
nicht i.d. Beweg.-Ebene

 
L  m r  v 

 
L  m r  v 

 
L  m r  v 

L steht senkrecht auf


r und v (Kreuzprodukt)



L  m  r2   I 


L 

L steht senkrecht auf


r und v (Kreuzprodukt)
Vektoraddition von

 
Lges  L1  L2 für m1 und m2

L
 
L 

L ist konstant (Betrag und
Richtung):


dL
0M
dt

L ändert seine Richtung
mit Umlauf 

dL 
M
dt

L ist konstant (Betrag und
Richtung):


dL
0M
dt
Drehachse = Symmetrieoder Hauptträgheitsachse.
auch freie Achsen genannt


Richtung dL = Richtung M
Drehachse = Symmetrieoder Hauptträgheitsachse.
auch freie Achsen genannt
hier gilt:


L  I 

dL muß durch die fest fixier-
hier gilt:


L  I 
 
L 


für m1 = m2
 
L 
te Drehachse aufgenommen
L liegt in der Drehachse.
werden. Unwucht
L liegt in der Drehachse.
Um diese rotiert das System,
Um diese rotiert das System,
und muß nicht fixiert sein
und muß nicht fixiert sein
Beispiel:
Beispiel:
Rad mit Lager in O
Rad mit Unwucht, Lager in O Rad nach Auswuchten
Beispiel:
8-15
14.02.2013
Beispiel für Unwucht: Autoachse mit Drehpunkt = Lager
8.5 Kreiselbewegung
Kreisel: Jeder freie (Diskusscheibe) oder nur in einem Punkt (Kinderkreisel) festgehaltene rotierender Körper
1. Schräge Lage ohne Drehung



Drehmoment: M ext  r  m  g 
fällt um
2. Senkrechte Lage mit Drehung
um die Figurenachse:
S liegt in der Figurenachse 
Drehachse ist Haupträgheitsachse:

 

L  I   L 
M ext  0 :  Drehimpulserhaltung
3. Schräge Lage mit Drehung mit externem Mext  keine Drehimpulserhaltung:


dL
M ext 
dt
 
m  r  g 

1. Betrag: L wird nicht geändert:

 

L  I   , da   const und L  (siehe 2.)
 

2. Richtung: L wird geändert, wobei dL M ext 
Ablenkung nach hinten, d.h. Änderung des Drehimpulses in
Richtung des externen Drehmomentes.
8-16
14.02.2013
Verständnis nur über den vektoriellen Charakter des Drehmomentes.
Länge bleibt erhalten !
Draufsicht
v Drehgeschw. der Figurenachse
Versuch: Kleiner Kreisel (Video #15 Teil 1 bis 0:28)
Erklärung:


L  I 
Hauptträgheitsachse = Drehachse  L  I  








dL
M  dt  dL 
dL Richtung wie M
M  D  (m  g ) 
dt

Größe von dL ?
dL  L  d
d 
(siehe ds  r  d )
dL M  dt m  g  D  dt


I 
L
L
d m  g  D

p
dt
I 
für D  g
Präzessionsgeschwindigkeit p
Hohe Rotation  kleine Präzession
d.h. stabile Lage
Großes Trägheitsmoment  kleine Präzession
8-17
14.02.2013
Versuch: großer Luftkissenkreisel (Video #15 Teil 2)
Austariert mit Schwerpunkt im Drehpunkt. Ausüben von Drehmoment mit Finger
Wäre es ein Effekt der Reibung Finger - Stab würde die Richtungsänderung am Fingerende
stoppen und nicht um den Finger laufen
Weitere Beispiele:

Fahrrad-, Motorradfahrer (Freihandfahren um die Kurve)
1. Schwerpunktverlagerung nach rechts
2. Drehmoment M ~ dL
3. dL führt zur Drehung der  - Achse
4. Kurvenfahrt
Hohe Geschwindigkeit ( sehr groß)  d klein 
L – Achse =  – Achse stabil  keine Ablenkung

Diskuswerfen

Konstante Drehachse wg. L  const .
Die
Lage
bleibt
stabil,
dadurch
zusätzlicher Auftrieb.
Wenn externes M (z.B. Seitenwind) wird
p (Ablenkung) klein, wenn I,  groß
(Stabilisierung) s.o.

Pfeil (Federn), Zug beim Gewehr
8-18
14.02.2013

Kreiselkompass:
 
1) Schnell drehendes Rad: L  LE


2) Erde dreht sich weiter  dL  M
3) Achse des Rades dreht sich solange, bis
 
L LE . Die Drehachse des Rades zeigt jetzt
genau zum geographischen Nordpol parallel
zur Erdachse. Mit einer weiteren Drehung der

Erde bleibt dL  0 .
8.6 Keplerschen Gesetze
ca. 300 a.c.
Ptolemäus:
Aristoteles
und
140 p.c.
Geozentrisches Weltbild. Über
1400 Jahre gültig.
1543 Kopernikus: Heliozentrisches Weltbild
veröffentlicht in „de revolutionibus“ gewidmet
Papst Paul III
8-19
14.02.2013
- Verbot durch die Kirche – Der Mensch und damit die Erde stehen im Mittelpunkt.
- Der bekannteste Anhänger war Galileo Galilei. Inquisitionsprozeß  Widerruf 1633
-
Erst 1993 wurden die Vorwürfe gegen G.G. offiziell von der Kirche zurückgenommen
-
Ende 16. Jhr. Tycho Brahe genaue Beobachtungen
-
Auswertung von Kepler (1571-1630): 3 empirische Gesetze: noch keine Ahnung von
Gravitation, reine Beobachtung. Kinematik, d.h. Beschreibung der Bewegung, keine
Dynamik = Ursache der Bewegung noch unbekannt (Newton 1687).
1. Keplersche Gesetz
Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen mit der Sonne in einem Brennpunkt
a ist die große Halbachse oder mittlere Entfernung Planet – Sonne.
Für Erde: a = 149,6  106 km = 1 AE (astronomische Einheit)
2. Keplersche Gesetz
Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
8-20
14.02.2013
Beweis:
Behauptung:
dA
 const
dt
  
Fläche Parallelogramm = 2  dA  r  ds
 1  

1 
dA   ( r  v  dt ) 
(r m
 v dt )

2
2m
p
  
mit L  r  p
 1 
dA 
L dt
2m



dA L

dt 2m

System Sonne-Planet: kein äußeres Drehmoment  L  const

mit L  const 

dA  const
Drehimpulserhaltung
für gleiche Zeitintervalle dt
3. Keplersche Gesetz
T 2  a3
T (Umlaufdauer um die Sonne)2  (großen Halbhachse a)3
Beweis:
Näherung: Kreisbahn (Radius r  a)  Zentripetalbeschleunigung durch Gravitationskraft:
aZ 
v2
a
m m
v2
FZ  m P 
  P 2 S
a
a
m
v2    S
a
m P Planet;
8-21
mS Sonne;
a Halbachse
14.02.2013
ges.: Zusammenhang v = f(T)
weiter gilt:
2 a
T
2 2
m
4 a
  S
2
a
T
v
T2 
4 2 3
a
 mS
Umlaufzeit T
q.e.d.
Planetendaten:
große Halbachse
Umlaufzeiten
Massen
a Mill.km
a AE
T d / y
Merkur
57.87
0.387
87.97d
3.281023
0.055
Venus
108.14
0.723
224.7d
4.831024
0.808
Erde
149.5
1
365.26d
5.981024
1
Mars
227.8
1.523
686.98d
6.371023
0.107
Jupiter
777.8
5.2
11.86y
1.91027
317.7
Saturn
1426.1
9.55
29.46y
5.571026
94.82
Uranus
2867.8
19.2
84.02y
8.81025
14.72
Neptun
4493.6
30.1
164.79y
1.031026
17.22
(Pluto)
5899
39.6
247.7y
5.41024
0.903
Zusammenfassung Rotation
  
Lrp
  
v  r
 

aR    v

 
M  RF
 

aT    r
8-22
Masse kg m/mErde
14.02.2013
8.7 Vergleich Translation - Rotation
lineare Bewegung
Verschiebung
x
Geschwindigkeit
v
Beschleunigung
Drehbewegung
Drehwinkel

dx
Winkelgeschwindigkeit   d  
 x
dt
dt
dv
d ²x
d
d ²
a
 v 
 x Winkelbeschleunigung  
  
 
dt
dt ²
dt
dt ²
Gleichungen für
den Fall konst.
Beschleunigung
v  v0  at
1
x  x0  v0t  at ²
2
Gleichungen für den
  0  at
Fall konstanter
1
Winkelbeschleunigung    0  0t  t ²
2
Masse
m
Trägheitsmoment
I
Impuls
p  mv
Drehimpuls
L  I
Kraft
F
Drehmoment
M
kinetische
Energie
Wkin 
kinetische Energie
Wkin 
Leistung
P  M
2. Newtonsches
Axiom
M
Leistung
2. Newtonsches
Axiom
1
mv ²
2
P  Fv
F
dp
 ma
dt
8-23
1
I ²
2
dL
 I 
dt