Phasenraum: Linie

Kapitel 1
Phasenraum: Linie
In Mechanik: verallgemeinerte Koordinaten qi , Lagrangesche Gl
∂L
d ∂L
=
.
dt ∂ q̇i
∂qi
Anfangswerte: qi (0), q̇i (0).
Allgemeines dynamisches System
ẋ1 = f1 (x1 , . . . , xn )
ẋ2 = f2 (x1 , . . . , xn )
...
ẋn = fn (x1 , . . . , xn )
Anfangswerte: xi (0). Dis Lösung kann man durch Trajektorien, die durch den n-dim.
Phasenraum mit Koordinaten x1 , x2 . . . , xn fliessen, darstellen.
Wir fangen mit einem 1-D System oder System der ersten Ordnung an:
ẋ = f (x) .
x(t) ist reell, f (x) ist reell und glatt. Keine explizite Zeitabhängigkeit: das System
f = f (x, t) ist schon ein System zweiter Ornung und wird später behandelt.
1.1
Geometrische Darstellung
Interpretation der DfGl als Vektorfluss. Die nichtlineare Gl
ẋ = sin x
5
ist eine der wenigen, die lösbar sind.
dt =
dx
sin x
=⇒
Anfangsbedingung: x(0) = x0
=⇒
1 + cos x0 sin x C = ln 1 + cos x +C
sin x t = − ln =⇒
0
(1 + cos x0 ) sin x sin x (1 + cos x) t = ln 0
Exact, aber schwer zu interpretieren. ZB Frage: qualitatives Verhalten für x0 = π/4?
Was passiert wenn t → ∞? Formel hilft nicht viel, geometrisch aber sehr einfach.
ẋ > 0 =⇒ Fluss nach rechts, ẋ < 0 =⇒ Fluss nach links. Gleichgewichte
(Fixpunkte), stabile (attractors, Senken) und instabile (repellers, Quellen).
6
1.2
Fixpunkte und deren Stabilität
Allgemein, Fixpunkte werden durch f (x∗ ) = 0 bestimmt. Phasenportrait. Fixpunkt
ist unstabil wenn kleine Störungen wachsen und stabil, wenn die abfallen.
Beispiel 1.1 Fixpunkte von ẋ = x2 − 1.
Lsg: x∗ = 1 instabil, x∗ = −1 stabil. Bemerkung: lokale vs. globale Stabilität. Hier:
x∗ = −1 ist nur lokal stabil.
Beispiel 1.2 Schaltkreis.
Kirchhoff ’sches Gesetz:
V0 = RI +
Q
C
V0 = RQ̇ +
Q
C
=⇒
Fixpunkt f (Q∗ ) = 0, Q∗ = CV0 ist (global) stabil.
7
Q̇ = f (Q) =
V0
Q
−
R
RC
Beispiel 1.3 Phasenportrait für ẋ = x − cos x. Ein Fixpunkt, instabil.
Beispiel 1.4 Populationsdynamik
Einfachstes Model: Ṅ = rN mit r > 0, exponentiales Wachstum. So kann es nicht
gehen =⇒ r soll von N abhängig sein, und zwar mit N abfallen. Logistische Gl:
Ṅ = rN (1 − N/K)
mit K = const (Kapazität der Population) (Verhulst, 1838). Die Gl. ist lösbar, aber
wir machen es geometrisch. Fixpunkte 0 (instabil) und K (stabil). Mit x = N/K,
0 ≤ x ≤ 1 schreiben wir die Gl. um:
ẋ = rx(1 − x)
8
1.3
Lineare Stabilitätsanalyze
Quantifizierung der Stabilität. Linearisierung. Sei x∗ ein Fixpunkt und η(t) = x(t) −
x∗ eine kleine Störung.
η̇ =
d
(x − x∗ ) = ẋ = f (x) = f (x∗ + η)
dt
Taylor-Reihe:
f (x∗ + η) = f (x∗ ) + ηf ′ (x∗ ) + O(η 2 )
Für Fixpunkt f (x∗ ) = 0
=⇒
η̇ = ηf ′ (x∗ ) + O(η 2 )
Wenn f ′ (x∗ ) 6= 0 dann η wachst (fällt ab) für positive (negative) f ′ (x∗ ). 1/f ′ (x∗ ) ist
die charakteristische Zeit.
Beispiel 1.5 ẋ = sin x
Fixpunkte x∗ = kπ. f ′ (x∗ ) = cos kπ, gerade k: instabil, ungerade k: stabil. Stimmt
mit der geometrischen Überlegung überein.
Beispiel 1.6 Logistische Gl.
Hier f (N ) = rN (1 − N/K) mit Fixpunkten N ∗ = 0 und N ∗ = K.
f ′ (N ) = r − 2rN/K
f ′ (0) = r
f ′ (K) = −r
=⇒
N ∗ = 0 ist instabil, N ∗ (K) ist stabil. Charakteristische Zeit 1/|f ′ (N ∗ )| = 1/r.
9
Beispiel 1.7 Fall f ′ (x∗ ) = 0
Was kann man über Stabilität eines Punktes sagen, falls f ′ (x∗ ) = 0 ist? Allgemein
nichts. Beispiele:
(a) ẋ = −x3
1.4
(b) ẋ = x3
(c) ẋ = x2
(d) ẋ = 0
Existenz und Eindeutigkeit
Anfangswertproblem:
ẋ = f (x)
x(0) = x0
Theorem: Sei f (x) und f ′ (x) stetig im Intervall und sei x0 ein Punkt im offenen
Intervall. Dann Anfangswertproblem hat eine Lösung im Intervall (−τ, τ ) um t = 0,
und diese Lsg ist eindeutig.
10
Beispiel 1.8 2 Lösungen
ẋ = x1/3
f ′ (0)
→∞
=⇒
x0 = 0
keine Eindeutigkeit. x(t) = 0 und (2t/3)3/2 sind Lsg.
Beispiel 1.9 Blow-up
Theorem besagt nicht, dass die Lsg immer existiert.
ẋ = 1 + x2
x0 = 0
dx
= dt =⇒ arctan x = t + C
1 + x2
Mit x0 = 0 =⇒ C = 0 =⇒ x(t) = tan(t).
Die Lsg existiert nur für −π/2 < t < π/2, weil x → ±∞ für t → ±π/2. Blow-up
Effekt.
Z
1.5
Z
Keine Schwingung in einer Dimension
Nur Fixpunkte, monotone Bewegung zum Fixpunkt. Keine gedämpfte oder ungedämpfte Schwingung.
1.6
Potential
Andere Darstellung: Teilchen im Potential; starke Dämpfung. Potential
dV
dx
dV
dV dx
=
dt
dx dt
dx
dV 2
dV
dV
= f (x) = −
=⇒
=−
≤0
dt
dx
dt
dx
Das Teilchen bewegt sich immer zum Minimum des Potentials.
f (x) = −
Beispiel 1.10 Doppelmuldepotential
1
1
V = − x + x4 + C
2
4
C ist unbedeutend, also C = 0. x = ±1: stabile Gleichgewichtlage; x = 0: instabile
Gleichgewichtlage. Das System ist bistabil.
ẋ = x − x3
=⇒
11
Kapitel 2
Bifurkationen
Abhängigkeit der Dynamik vom Parameter. Bifurkation: qualitative Änderung der
Dynamik. Entsprechende Parameterwerte: Bifurkationspunkte.
Beispiel 2.1 Beugung eines Balken.
2.1
Sattel-Knoten Bifurkation
Erzeugung und Vernichtung von Fixpunkten. Sei r ein Parameter und
ẋ = r + x2
√
Fixpunkte x = ± −r für r < 0. Bifurkationsdiagramm.
12
Beispiel 2.2 ẋ = r − x2
√
Fixpunkte x∗ = ± r. Lineare Stabilität: f ′ (x∗ ) = −2x∗
√
und x∗ = − r ist instabil.
=⇒
x∗ =
Beispiel 2.3 ẋ = r − x − e−x
Geometrische Betrachtung. Bifurkationspunkt aus der Bedingung:
e−x = r − x
=⇒
und
−e−x = −1
d
d −x
e =
(r − x)
dx
dx
=⇒
13
x=0
=⇒
=⇒
r=1
√
r ist stabil
2.1.1
Normalform
Die Bespiele ẋ = r±x2 sind typisch. Nah zur Bifurkation ist die Kurve ≈ parabolisch:
2 ∂f 1
∂f ∗ 2 ∂ f
+(r−r
)
+
+. . .
(x−x
)
ẋ = f (x, r) = f (x∗ , rc )+(x−x∗ )
c
∂x (x∗ ,rc )
∂r (x∗ ,rc ) 2
∂x2 (x∗ ,r )
c
Erste zwei Terme verschwinden (Fixpoint, Minimum):
ẋ = a(r − rc ) + b(x − x∗ )2 + . . .
∂f und b =
mit a =
∂r (x∗ ,rc )
ein Sonderfall).
2.2
1
2
∂ 2 f . Wir nehmen an, dass a, b 6= 0 (das währe
∂x2 (x∗ ,r )
c
Transkritische Bifurkation
Fixpunkt existiert immer, aber deren Stabilität kann geändert werden. Z.B., in der
logistischen Gl. ẋ = rx(1 − x) ist x = 0 immer die Lsg, kann aber stabil oder instabil
sein. Normalform
ẋ = rx − x2 ,
Fixpunkte
x∗ = 0 x∗ = r .
Beispiel 2.4 Gl. ẋ = x(1 − x2 ) − a(1 − e−bx )
Zu zeigen ist, dass die Gl. eine transkritische Bif. um x = 0 hat, wenn a, b bestimmte Bedingung erfüllen. Diese Bedingung bestimmt die Bifurkationskurve in der a, b
Ebene.
14
x = 0 ist ein Fixpunkt für alle a, b. Für kleine x
1
1
1 − e−bx = 1 − [1 − bx + b2 x2 + O(x3 )] = bx − b2 x2 + O(x3 )
2
2
1
ab2 2
ẋ = x − a(bx − b2 x2 ) + O(x3 ) = (1 − ab)x +
x + O(x3 )
2
2
Trkr. Bif. findet bei ab = 1 statt. Zweiter Fixpunkt ist die Lsg der Gl
1 − ab +
ab2
x≈0
2
=⇒
x∗ ≈
2(ab − 1)
ab2
Das stimmt nur für kleine x∗ , also when ab nah zu 1 ist.
Beispiel 2.5 Gl. ẋ = r ln x + x − 1
Zu zeigen ist, dass die Gl. eine transkritische Bif. um x = 1 hat.
15
x = 1 ist Fixpunkt für alle r. Neue (kleine) Variable: u = x − 1
1
1
u̇ = ẋ = r ln(1 + u) + u = r[u − u2 + O(u3 )] + u ≈ (r + 1)u − ru2 + O(u3 )
2
2
Trkr. Bif. findet bei rc = −1 statt.
Wir bringen die Gl. zur Normalform. Sei u = aν (a noch unbekannt).
ν̇ = (r + 1)ν −
ra 2
ν + O(ν 3 )
2
Wir wählen: a = 2/r, dann:
ν̇ = (r + 1)ν − ν 2 + O(ν 3 )
Mit R = r + 1 und X = ν = u/a = 21 r(x − 1) wir bekommen Ẋ ≈ RX − X 2 .
Bemerkung: man kann auch die Transformation zur Normalform exakt finden.
2.2.1
Schwelle der Lasergeneration
Einfaches Modell von H. Haken (1983). Optisches Pumpen (optische Anregung).
Übergang: Lampe → Laser.
Sei n(t) Anzahl von Photonen im Laserfeld und sei N (t) Anzahl von angeregten
Atomen. Stimulierte Emission ∼ nN .
ṅ = gain − loss = GnN − kn
Hier G, k sind positive Konstanten. Annahme: Ohne Laserstrahlung währe N = N0
wegen Pumpen. Wegen Radiation wird N kleiner:
N (t) = N0 − αn
16
wobei α > 0 die Rate der Emission bestimmt. Dann
ṅ = Gn(N0 − αn) − kn = (GN0 − k)n − (αG)n2
Die übliche 1D Gl, aber nur n > 0 eine physikalische Bedeutung hat.
Für N0 < k/G Fixpunkt n∗ = 0 ist stabil, d.h. keine stimulierte Emission.
Trnskr. Bif. findet um N0 = k/G statt. Für N0 > k/G gibt es ein stabiler Fixpunkt
n∗ = (GN0 − k)/αG > 0.
17
2.3
Pitchfork-Bifurkation (Gabelbifurkation)
Typisch in physikalischen Systemen mit Symmetrie. Zwei Typen. Bsp: Balken-Masse.
2.3.1
Superkritische Bifurkation
Normalform:
ẋ = rx − x3
Wichtig: diese Gl. ist invariant bezüglich Reflektion x → −x.
Ursprung ist stabil für r < 0. Für r = 0 immer noch stabil, aber die Störungen
√
fallen langsam ab (nicht exponentiell). Für r > 0 zwei stabile Fixpunkte x∗ = ± r.
Bif. diagramm.
18
Beispiel 2.6 Gl. ẋ = −x + β tanh x
Diese Gl. findet man in der stat. Mech. (Modellen von Magnetismus) und in der
Theorie der neuronalen Netzen
tanh x =
2
ex − e−x
= 1 − 2x
x
−x
e +e
e +1
=⇒
→ ±1 für x → ±∞
Ableitung im Nullpunkt:
tanh x =
Steigung im Nullpinkt ist 1
sinh x
cosh x
=⇒
=⇒
d(tanh x)
1
=
dx
cosh2 x
Bifurkation für β = 1. Um Fixpunkte zu finden,
betrachten wir x∗ als unabh. Variable, dann β = x∗ / tanh x∗ . Bif.diagramm:
19
2.3.2
Subkritische Bifurkation
ẋ = rx + x3
√
Bif.diagramm: Nicht-triviale Fixpunkte x∗ = ± −r existieren nur für r < 0 und
sind instabil. Für r > 0 die Lsg → ±∞. In Realität wirken dann die höhere Terme.
Unter Bedingung der Symmetrie x → −x, schreiben wir:
ẋ = rx + x3 − x5
Bemerkungen:
1. Im Intervall rs < r < 0 gibt es 3 Lsg.
nur lokal stabil.
2. Hysteresis. Sprunge.
3. Sattel-Knoten Bif. um rs .
20
=⇒
Multistabilität. Fixpunkte sind
2.4
Überdämpfte Masse auf dem rotierenden Kreis
Sehr starke Reibung. Rotation um die vertikale Achse, Rotationsgeschw. ω.
mr φ̈ = −bφ̇ − mg sin φ + mrω 2 sin φ cos φ
Das ist die Gl. zweiter Ordnung, aber wenn die Reibung stark ist, dann wird diese
Gl. vereinfacht.
2.4.1
Dimensionslose Formulierung
Wenn alle Terme dimensionslos sind, dann ist es klar, welche klein sind (≪ 1). Wir
wollen auch die Anzahl von Parameters reduzieren. Man kann es unterschiedlich
machen, es ist nicht immer sofort klar, wie man das am besten macht. Neue Zeit:
τ=
t
T
wobei T eine frei wählbare Zeitskala ist. Dann
φ̇ =
dφ dτ
1 dφ
=
dτ dt
T dτ
und φ̈ =
1 d2 φ
T 2 dτ 2
Die Gl. wird jetzt:
b dφ
mr d2 φ
− mg sin φ + mrω 2 sin φ cos φ
=−
2
2
T dτ
T dτ
21
Dividieren durch mg
r
gT 2
b
d2 φ
=−
2
dτ
mgT
dφ
− sin φ +
dτ
rω 2
g
!
sin φ cos φ
Alle Koeff. sind jetzt dimensionslos. Wir wählen
T =
Dann:
r
r
=
gT 2
g
mg
b
b
mg
2
=ε
=⇒
b
=1
mgT
b2 ≫ m2 gr
=⇒
ε≪1
d2 φ
dφ
− sin φ + γ sin φ cos φ
=−
2
dτ
dτ
mit γ = rω 2 /g. Grenzfall ε → 0: wir bekommen 1D-system
ε
dφ
= f (φ) = sin φ(γ cos φ − 1)
dτ
2.4.2
Analyze des 1D-Systems
φ∗ = 0 und φ∗ = π sind immer Fixpunkte. Nichttriviale Fixpunkte:
φ∗ = ± arccos(g/rω 2 ) = ± arccos(1/γ)
existieren wenn γ > 1. Graphische Lösung der Gl.:
Superkritische Pitchfork-Bifurkation um γ = 1. Symmetrie-Brechung.
22
2.4.3
Diskussion: Schnelle und langsame Bewegung
Volles 2D System braucht 2 Anfangsbediengungen; reduziertes System aber nur eine.
Ist es ein Widerspruch?
Betrachten wir das volle 2D System εφ′′ = −φ′ + f (φ). Sei φ′ = dφ/dτ = Ω.
Dann die Gl ist εΩ′ = f (φ) − Ω, wir schreiben die als 2D System
φ′ = Ω
Ω′ = (f (φ) − Ω)/ε
Lösung:
Schnelle und langsame Bewegung. Kurve C : f (φ) − Ω = 0, oder φ′ = f (φ) (1D
Dynamik). Sei f (φ) − Ω ≈ O(1), dann Ω′ = O(1)/ε ≫ 1.
23
2.5
Imperfekte Bifurkationen und Katastrophen
Pitchfork-Bifurkation findet in Systemen mit Symmetrie statt. Was passiert wenn
die Symmetrie nicht perfekt ist?
ẋ = h + rx − x3
Hier h charakterisiert wie perfekt das System ist. Wir analysieren die Gl. graphisch.
Sattel-Knoten Bif. auftritt, wenn die Linie y = −h tangential zu y = rx − x3 ist.
Stelle des Maximums:
d
(rx − x3 ) = r − 3x2 = 0
dx
Funktion an dieser Stelle:
=⇒
rxmax − (xmax )3 =
xmax =
2r q
r/3
3
q
r/3
Für Minimum das gleiche mit Minus.
Also, die Sattel-Knoten Bif findet statt wenn h = ±hc (r) mit
2r q
r/3
hc =
3
D.h., die Gl hat 3 Fixpunkte für |h| < hc und 1 Punkt für |h| > hc .
Bifurkationslinien in r, h-Ebene, Stabilitätsdiagramm. Cusp-Point. Kodimension2 Bif.
Bif.diag. x∗ vs. r für h = const.
Bif.diag. x∗ vs. h für r = const.
Katastrophen.
24
25
26
Beispiel 2.7 Masse auf der schrägen Stange
Sei L0 die entspannte Länge der Feder.
Sei zuerst θ = 0 (perfekte Symmetrie), dann x = 0 ist immer ein Fixpunkt.
Wenn L0 < a ist, dann ist der Punkt stabil, sonst instabil. Dann gibt es auch zwei
symmetrische stabile FP. Wir erhöhen langsam θ. Sei die Masse ursprunglich links,
dann wenn θ gross genug ist, springt die runter.
2.6
Insekten-Population. Insektenpest
Ludwig et al 1978, 79 (J. Anim. Ecoll, J. Math. Biol.) East Kanada. Spruce budworm,
balsam fir tree. Pest: fast alle Bäume sterben in ca. 4 Jahren. Das Modell:
Ṅ = RN (1 − N/K) − p(N )
p(n) beschreibt wie viele Insekten von Vögel gefressen werden. Ludwig et al. haben
angenommen:
BN 2
p(N ) = 2
A + N2
Insekten: schnelle Änderung; Wald: langsame Änderung. Wir zeigen, dass bei langsamer Variation eines Parameters die Anzahl von Insekten sprunghaft grösser wird.
2.6.1
Einheitsfreie Formulierung
Wir dividieren durch B und setzen x = N/A. Dann
R
x2
A dx
= Ax(1 − Ax/K) −
B dt
B
1 + x2
27
Wir nehmen zuerst K = const (langsame Zeitskala). Umskalieren der Zeit: τ =
(τ ist einheitsfrei). Einheitsfreie Konstanten
r=
RA
B
k=
B
At
K
A
Dann
x2
dx
= rx(1 − x/k) −
dτ
1 + x2
Hier r und k sind einheitsfreie Wachstumrate und Kapazität.
2.6.2
Fixpointsanalyse
Einfach zu zeigen: x∗ = 0 ist immer instabil. Andere Fixpunkte:
r(1 − x/k) =
x
1 + x2
Rechte Seite ist parameterfrei - das war die Idee der Umschreibung der Gleichung.
Für kleine k gibt es nur eine Lsg. Für grössere k kann 1,2, oder 3 Lsg geben.
Sattel-Knotten Bif. Falls die Parameter sich ändern und Fixpunkt a verschwindet,
dann springt x zu c (Katastrophe). Hysteresis: sogar wenn die Parameter werden
rückwerts variiert, bleibt das System im Zustand c.
2.6.3
Bifurkationskurven
Parametrische Darstellung k(x), r(x), wobei x alle positive Werte annehmen kann.
Bedingung der Sat-Kn-Bif:
x
r(1 − x/k) =
1 + x2
28
und
x
d
d
[r(1 − x/k)] =
dx
dx 1 + x2
Das gibt:
−
r
1 − x2
=
k
(1 + x2 )2
Wir setzen r/k in die erste Gl ein:
r=
2x3
(1 + x2 )2
Jetzt ersetzen wir r in der Gl für r/k:
k=
2x3
x2 − 1
29
k soll > 0 sein,
Ebene.
=⇒
x > 1. Wir plotten jetzt k(x), r(x) für x > 1 in der (k, r)
30
Kapitel 3
Phasenraum: Kreis
Vorher: ẋ = f (x), Phasenraum war eine Gerade. Jetzt sei θ̇ = f (θ), mit 0 ≤ θ ≤ 2π.
Phasenraum: Kreis. Einfachstes Modell eines Oszillators.
Beispiel 3.1 θ̇ = sin(θ)
Fixpunkte θ ∗ = 0 (instabil) und θ ∗ = π (stabil). Wir haben früher ẋ = sin x, das
ist gleich, aber einfacher zu interpretieren.
Beispiel 3.2 θ̇ = θ
Warum kann man die Gl
θ̇ = θ
nicht als Vektorfluss längs einen Kreis betrachetn? Geschw. θ̇ nicht eindeutig definiert.
Vektorfluss längs einen Kreis soll eindeutig die Geschw. zu jedem Punkt des
Kreises zuordnen. Das bedeutet: f (θ + 2π) = f (θ).
31
Beispiel 3.3 Schwingung
Sei θ̇ = ω. Man kann θ als Phase interpretieren.
Beispiel 3.4 Schwebung
Zwei Joggers, A und B, Kreisstaduim. Umlaufperioden T1 < T2 . Starten gleichzeitig,
wann treffen sie wieder? Phasendifferenz φ = θ1 − θ2 , φ̇ = ω1 − ω2 .
2π
TS =
=
ω1 − ω2
1
1
−
T1 T2
Modell der Schwebung.
Beispiel 3.5 θ̇ = ω − a sin θ mit ω > 0, a > 0
Sattel-Kn-Bif um a = ω. Fixpunkte:
32
−1
sin θ ∗ = ω/a
q
f ′ (θ ∗ ) = −a cos θ ∗ = ∓ 1 − (ω/a)2
=⇒
Fixpunkt mit cos θ ∗ > 0 ist stabil.
Beispiel 3.6 Periode der Schwingung für a < ω.
2π
dθ
dt
dθ =
T = dt =
dθ
ω − a sin θ
0
0
Mit der Substitution u = tan θ/2, sin θ = 2 tan(θ/2)/(1 + tan2 (θ/2))
Z
Z
2π
Z
T =√
2π
− a2
ω2
Für a = 0, T = 2π/ω und T → ∞ wenn a → ω. Für a ≈ ω
√ !
p
√ √
π
1
2
√
∼ (ac − a)−1/2
ω 2 − a2 ≈ 2ω ω − a
=⇒
T ≈ √
ω
ω−a
mit ac = ω.
3.0.3.1
Allg. Skalierunggesetz
θ̇ ist parabolisch in der Nähe des Minimums. Dann haben wir Normalform der SatKn-Bif:
ẋ = r + x2
mit 0 < r ≪ 1.
(mit x =
√
Tbottleneck ≈
r tan θ und 1 +
tan2 θ
=
Z
∞
dx
π
=√
2
r+x
r
−∞
1/ cos2 θ).
33
Beispiel 3.7 Periode für θ = ω − a sin θ im Grenzfall a → ω
Wir schätzen Periode für θ = ω − a sin θ im Grenzfall a → ω mit der Hilfe von
Normalform. Engpass (Bottleneck) um θ = π/2. Sei φ = θ − π/2. Taylor-Reihe:
1
φ̇ = ω − a sin(φ + π/2) = ω − a cos φ = ω − a + aφ2 + . . .
2
Mit
x = (a/2)1/2 φ,
wir bekommen
Dann
r =ω−a
(2/a)1/2 ẋ ≈ r + x2
π
dx
= (2/a)1/2 √
2
r
−∞ r + x
Mit r = ω − a und 2/a = 2/ω (weil a → ω)
√ !
1
π 2
√
T ≈ √
ω
ω−a
T ≈ (2/a)1/2
Z
∞
Beispiel 3.8 Theta-Neuron
Erregbare Systeme, Aktionspotential.
θ̇ = 1 − cos θ + (1 + cos θ)I(t)
Sei I = const. Dann für I < 0, |I| < 1 gibt es zwei Fixpunkte. Für |θ| ≪ 1 und
|I| ≪ 1 wir bekommen
θ2
θ̇ ≈ 2I +
2
34
Sat.-Kn. Bif.
Beispiel 3.9 Überdämpftes Pendel
Konstantes Drehmoment Γ. Winkel θ zwischen vertikale Linie und Pendel. Newt.
35
Gesetz:
mL2 θ̈ + bθ̇ + mgL sin θ = Γ
Grenzfall: sehr starke Dämpfung: wir vernachlässigen den Trägheitsterm.
bθ̇ + mgL sin θ = Γ
Wir entdimensionalisieren die Gl:
b
Γ
− sin θ
θ̇ =
mgL
mgL
Sei
τ=
mgL
t
b
γ=
Γ
mgL
dann
θ ′ = γ − sin θ
mit θ ′ = dθ/dτ .
γ > 1 bedeutet, dass Drehmoment Γ > als Drehmoment der Schwerekraft: das
Pendel rotiert. Mit γ = 1 wir haben θ ∗ = π/2, und dann 2 Fixpunkte, wenn γ < 1.
3.1
Synchronisation
Z.B. Gluhwürme, . . . . Periodische Stimulation (Kraft) Θ̇ = Ω. Einfachstes Modell:
θ̇ = ω + A sin(Θ − θ)
36
mit < θ̇ >= ν. Phasendifferenz:
φ=Θ−θ
φ̇ = Θ̇ − θ̇ = Ω − ω − A sin φ
Mit
τ = At
µ=
Ω−ω
A
φ′ = dφ/dτ
wir bekommen die Adler-Gl.:
φ′ = µ − sin φ
Phase locking. Intervall der Synchronisation: |µ| < 1, ω − A ≤ Ω ≤ ω + A. Skizze
ν − Ω vs. ω. Phasendifferenz:
sin φ∗ =
Ω−ω
A
− π/2 ≤ φ∗ ≤ π/2
Für µ > 1:
2π
2π
dφ
2π
= p
TS = dt =
Ω − ω − A sin φ
(Ω − ω)2 − A2
0
0
√
p
Für Ω − (ω + A) = r ≪ 1 wir haben Ωs = (Ω − ω)2 − A2 ≈ 2Ar.
Z
Z
dt
dφ = dφ
Z
37
3.2
Josephson-Kontakte
Elektronische Elemente, Supraleitung, Hochfrequenz-Schwingungen ca. 1010 Hz. Dienen als Verstärker, Sensoren, etc.
Zwei Supraleiter und schwache Verbindung (Isolator oder Halbleiter oder Metal).
Supraleiter: Elektronen bilden Cooper-Paaren, die sind Bosonen. Niedrige Temperaturen: Grundzustand, nur eine Wellenfunktion reicht für die Beschreibung. Wellenfunktionen ψ1 eiφ1 und ψ2 eiφ2 .
Josephson-Effekt: Strom ohne angelegte Spannung wegen Tunneling von CooperPaaren. Wenn Gleichstrom 0 < I < Ic ist angelegt, dann gibt es keine Spannung
(Widerstand Null). Josephson Strom-Phase-Relation für φ = φ2 − φ1 :
I = Ic sin φ
Also, φ = const.
Für I > Ic stimmt Josephson Voltage-Phase-Relation
V =
h̄
φ̇
2e
Also Strom hat jetzt zwei Komponenten: Suprastrom und Normalstrom. Idee der
Herleitung: Wellenfkt kann man als koordinatenunabh betrachten. Dann
ih̄
∂Ψ1
= U1 Ψ 1
∂t
ih̄
∂Ψ2
= U 2Ψ2
∂t
(hier U1,2 = 2eV1,2 ist pot. Energie pro Cooper-Paar). Mit Ψ1,2 ∼ eiφ1,2
−φ̇1 = U1 /h̄
− φ̇2 = U2 /h̄
Dann
φ̇ = φ̇2 − φ̇1 = (U1 − U2 )/h̄ = 2eV /h̄
38
mit V = V1 − V2 .
Equivalente Schema: noch Kapazität und Widerstand. Kirchhoff-Gl:
C V̇ +
V
+ Ic sin φ = I
R
Mit Voltage-Phase-Relation:
h̄C
h̄
φ̈ +
φ̇ + Ic sin φ = I
2e
2eR
zu vergleichen mit
ml2 θ̈ + bθ̇ + mgL sin θ = Γ
Analogie:
Pendulum
Josephson-Kontakt
Winkel θ
Phasendifferenz φ
h̄
φ̇
Winkelgeschw. θ̇
Spannung 2e
Masse m
Kapazität C
Drehmoment Γ
Stromstarke I
Dämphung b
Leitfähigkeit 1/R
Max. Drehmoment mgL Kritische Stromstärke Ic
Wir dividieren mit Ic :
h̄C
h̄
φ̈ +
φ̇ + sin φ = I/Ic
2eIc
2eRIc
Dimesionslose Zeit:
τ=
h̄C
2eIc
2eIc R
h̄
2
2eIc R
t
h̄
φ′′ + φ′ + sin φ = I/Ic
39
McCumber-Parameter β = (2eIc R2 C)/h̄
βφ′′ + φ′ + sin φ = I/Ic
Praktisch 10−6 < β < 106 . Grenzfall β ≪ 1:
φ′ = I/Ic − sin φ
Wenn I < Ic , dann stabiler Fixpunkt. Wenn I > Ic , dann ist φ periodisch.
3.2.1
Strom-Spannung-Kennlinie
Wir suchen hV i als Funktion von I. Spannung hV i = (h̄/2e)hφ̇i.
hφ̇i = h
dφ
dτ dφ
2eIc R ′
i=h
i=
hφ i
dt
dt dτ
h̄
hV i = Ic Rhφ′ i
Zwei Fälle:
1. I ≤ Ic : Fixpunkt φ∗ = arcsin(I/Ic ), −π/2 ≤ φ∗ ≤ π/2. Dann φ′ = 0 und
hV i = 0.
2. I > Ic : periodische Lösung mit
(Zeit ist in Einheiten von τ .)
hφ′ i =
1
T
2π
T =p
(I/Ic )2 − 1
Z
T
0
dφ
1
dτ =
dτ
T
Dann
Z
2π
dφ =
0
2π
T
q
hV i = Ic R (I/Ic )2 − 1
Zusammenfassung:
hV i = 0
I ≤ Ic
q
hV i = Ic R (I/Ic )2 − 1
I > Ic
Ohmisches Verhalten V = IR für I ≫ Ic .
Dynamik ist viel mehr kompliziert wenn β nicht Null ist. Hysterese wegen Trägheit.
Mathematisch: Fixpunkt ko-existiert mit der periodischen Lösung (weiter).
40
41
Kapitel 4
Dynamik in zwei Dimensionen.
Lineare Systeme
4.1
Grundbegriffe und Beispiele
2D lineares System:
ẋ = ax + by
ẏ = cx + dy
mit Parameter a, b, c, d. Matrizen-Form ẋ = Ax mit
A=
a b
c d
!
x=
Beispiel 4.1 Harmonischer Oszillator
ẍ + ω 2 x = 0
oder
ẋ = y
ẏ = −ω 2 x
Phasenportraits: Ellipsen ω 2 x2 + y 2 = C.
42
x
y
!
Beispiel 4.2 System mit
A=
a 0
0 −1
!
ẋ = ax
ẏ = −y
Lösung
x(t) = x0 eat
y(t) = y0 e−t
Knoten, Stern, Linie of Fixpunkten, Sattel. Stabile und instabile Mannigfaltigkeit.
43
4.2
Stabilität: Definitionen
x∗ ist anziehend (= ist ein Attractor) wenn ∃ δ > 0 sodass für
|x(0) − x∗ | < δ
=⇒
lim x(t) = x∗
t→∞
Falls das für ∀ δ > 0 stimmt, dann auch global anziehend.
x∗ ist Lyapunov stabil wenn für ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 sodass für |x(0) − x∗ | < δ und
∀ t > 0 |x(t) − x∗ | < ε.
Wenn Fixpunkt ist anziehend und Lyapunov-stabil, dann nennen wir den asymptotisch stabil.
Fig. 5.1.5d: Lyapunov-stabil aber nicht anziehend: Neutrale Stabilität. Kann
auch umgekehr sein: Fixpunkt anziehend, aber nicht Lyapunov-stabil. Bsp.: θ̇ =
1 − cos θ (Fig. 5.1.6) Fig. 5.1.5e: Fixpunkt ist instabil.
4.3
Lineare Systeme: Klassifizierung
Lsg in der Form
x(t) = eλt v
44
Einsetzen in ẋ = Ax:
Av = λv
Eigenwertproblem. Charakteristische Gl
λ2 − τ λ + ∆ = 0
mit τ = a + d (Spur) und ∆ = ad − bc (Determinante). Vieta Theorem: τ = λ1 + λ2 ,
∆ = λ1 λ2 .
√
τ ± τ 2 − 4∆
λ1,2 =
2
Typisch λ1 6= λ2 , dann Eigenvektoren v1,2 sind linear unabh. und die allg Lsg ist
x(t) = c1 eλ1 t v1 + c2 eλ2 t v2
Beispiel 4.3 System ẋ = x + y, ẏ = 4x − 2y, Anfangsbed. x0 = 2, y0 = −3
Eigenwerte: λ1 = 2, λ2 = −3. Eigenvektoren: v1 = (1, 1) und v2 = (1, −4).
1
1
x(t) = c1
!
2t
e + c2
1
−4
!
e−3t
Anfangsbed.:
2 = c1 + c2
−3 = c1 − 4c2
Die Lsg ist c1 = 1, c2 = 1. Also,
x(t) = e2t + e−3t
y(t) = e2t − 4e−3t
Phasenportrait: Sattel (Fig. 5.2.2)
Beispiel 4.4 Phasenportrait für λ2 < λ1 < 0
Kurven kommen zum Fixpunkt tangential zur langsamen Eigenrichtung. (Fig. 5.2.3)
Beispiel 4.5 Komplexe Eigenwerte
Falls τ 2 − 4∆ < 0, dann
λ1,2 = α ± iω
√
2
mit α = τ /2 und ω = 0.5 4∆ − τ . Dann
x(t) = c1 eαt eiωt v1 + c2 eαt e−iωt v2
Falls α = 0: Zentrum (entspricht harm. Osz), neutrale Stabilität. Falls α < 0:
gedämpfte Schwingung, stabile Spirale. Falls α > 0: instabile Spirale.
45
4.3.1
Gleiche Eigenwerte
Sei λ1 = λ2 = λ. Zwei Fälle.
Unabh. Eigenvektoren. Dann jeder Vektor x0 ist Eigenvektor mit Eigenwert λ.
Wir schreiben x0 = c1 v1 + c2 v2 . Dann
Ax0 = A(c1 v1 + c2 v2 ) = c1 λv1 + c2 λv2 = λx0
Dann
λ 0
0 λ
A=
Lsg sind gerade Linien, Stern.
Ein Eigenvektor.
Knoten ist entartet.
46
!
4.3.2
Klassifizierung
Charakteristische Gl in der Form
(λ − λ1 )(λ − λ2 ) = λ2 − τ λ + ∆ = 0
Dann τ = λ1 + λ2 , ∆ = λ1 λ2 . Fälle:
47
1. ∆ < 0: Eigenwerte reell, untersch. Vorzeichen
=⇒
Sattel.
2. ∆ > 0:
(a) Eigenwerte reell, gleiche Vorzeichen
(b) Eigenwerte complex
=⇒
=⇒
Knoten.
Spiralen, Zentren
48
Kapitel 5
Phasen Ebene
5.1
Phasenportraits
Allgemeine Form:
ẋ = f (x)
2D-Systeme. Phasenebene. Jeder Punkt kann als Anfangsbedingung ausgewält werden =⇒ Ebene ist dicht mit Trajektorien. Analytische Lsg. ist fast immer nicht
möglich. Wir versuchen eine qualitative Beschreibung zu finden. Oder kann man das
numerisch machen.
Beispiel 5.1 2D System: Sehr viele Varianten.
1. Unterschiedl. Fixpunkte f (x∗ ) = 0.
49
2. Geschlossene Trajektorien, periodische Bewegung
3. Fixpunkte und geschl. Orbiten können stabil oder instabil sein.
5.1.1
Isoklinen (Nullklinen)
Isoklinen helfen Phasenportraits zu skizzieren. Definition (Steigung Null): Kurven,
wo ẋ = 0 oder ẏ = 0, also Fluss vertikal oder horizontal ist.
Beispiel 5.2 ẋ = x + e−y ,
Fixpunkt:
x + e−y = 0 ,
ẏ = −y
−y = 0
=⇒
x∗ = −1, y ∗ = 0
Stabilität: aus der zweiten Gl y = y0 e−t . Also, y → 0 und e−y → 1 mit t → ∞.
Dann für x haben wir
ẋ ≈ x + 1
Oder: Anfangsbedingung y = 0, dann ẋ = x + 1. Also, diese Richtung ist instabil.
Isokline ẏ = 0
=⇒
y = 0. Fluss nach rechts, wo ẋ = x + 1 > 0, also für
x > −1, und umgekehr. Zweite Isokline: Fluss nach unten, wo y > 0, und umgekehr.
5.2
5.2.1
Linearisierung
Linearisiertes System
Wir betrachten
ẋ = f (x, y)
ẏ = g(x, y)
50
Sei (x∗ , y ∗ ) Fixpunkt, d.h.
f (x∗ , y ∗ ) = 0
g(x∗ , y ∗ ) = 0
Kleine Abweichung:
u = x − x∗
v = y − y∗
u̇ = ẋ = f (x∗ + u, y ∗ + v) = f (x∗ , y ∗ ) + u
∂f
∂f
+v
+ O(u2 , v 2 , uv)
∂x
∂y
Die Ableitungen werden um (x∗ , y ∗ ) berechnet! Also,
Jacobi-Matrix
u̇ = u
∂f
∂f
+v
+ O(u2 , v 2 , uv)
∂x
∂y
v̇ = u
∂g
∂g
+v
+ O(u2 , v 2 , uv)
∂x
∂y




A=
Linearisiertes System
u̇
v̇
5.2.2
∂f
∂x
∂g
∂x
!
∂f
∂y
∂g
∂y
=A





u
v
(x∗ ,y ∗ )
!
Einfluss von nichtlinearen Glieder. Hyperbolische Fixpunkte
Gibt die Linearisierung die richtige Antwort? Ja, für Sattel, Knoten und Fokus
(Strudel). Nein, für Grenzfälle (Zentren, Sterne, entartete Knoten, nicht-isolierte
Fixpunkte).
Falls Re(λ1,2 ) 6= 0, dann Stabilitätseigenschaften werden bei Nichtlinearität nicht
beeinflusst. Die FP heissen hyperbolische FP. Hartman-Grobman-Theorem: Phasenportait des Systems und des linearisierten Systems sind lokal topologisch equivalent (Homömorphismus).
Grenzfälle (mindestens für ein Eigenwert Re(λ) = 0) verlangen weitere Analyse.
Strukturelle Stabilität: kleine Störung ändert Phasenportrait nicht.
51
Beispiel 5.3 Beispiel eines Grenzfalles
ẋ = −y + ax(x2 + y 2 )
ẏ = x + ay(x2 + y 2 )
a ist Parameter.
Lineare Analyse: Fixpunkt ist (0, 0)
siertes System ẋ = −y , ẏ = x. Jacobian:

A=
=⇒
0 −1
1
0
u=x,
v = y. Lineari-


Spur τ = 0, Determinante ∆ = 1 > 0, also Zentrum.
Nichtlineare Analyse: Polarkoordinaten x = r cos θ, y = r sin θ.
x2 + y 2 = r 2
=⇒
r ṙ = xẋ + y ẏ
r ṙ = x(−y + axr 2 ) + y(x + ayr 2 ) = ar 4
ṙ = ar 3
θ = arctan(y/x)
=⇒
Einsetzen ẋ, ẏ:
θ̇ = 1
Gl. sind lösbar: a = 0, Zentrum, a 6= 0, Spiralen.
52
θ̇ =
xẏ − y ẋ
r2
5.3
Lotka-Volterra Modell
Anzahl von Kaninchen x, von Schafen y. Wenn es keine Wechselwirkung zwischen
Populationen gäbe:
ẋ = rx x(1 − ax)
ẏ = ry y(1 − by)
Wegen Konkurrenz: Terme ∼ −xy. Wir nehmen an: Reproduktionsrate von Kann
ist höher, Konkurrenz beeinflusst die stärker.
ẋ = x(3 − x − 2y)
ẏ = y(2 − x − y)
Fixpunkte aus der Bedingung ẋ = ẏ = 0
=⇒ (0, 0), (0, 2), (3, 0), (1, 1).
Jacobian:


∂ ẋ ∂ ẋ


 ∂x ∂y 
3 − 2x − 2y
−2x
 


A=
=
 ∂ ẏ ∂ ẏ 
−y
2 − x − 2y
∂x ∂y
Wir klassifizieren FP:
1. (0, 0)

A=
3 0
0 2


Eigenwerte: λ1,2 = 3, 2: Knoten, instabil. Trajektorien um 0 tangential zum Eigenvektor für λ = 2, v = (0, 1) (allg: tangential zum langsamen Eigenvektor),
Fig. 6.4.1.
2. (0, 2)

A=
−1
0
−2 −2


Eigenwerte: λ1,2 = −1, −2: Knoten, stabil. Trajektorien tangential zum langsamen Eigenvektor für λ = −1, v = (1, −2), Fig. 6.4.2
3. (3, 0)

A=
53
−3 −6
0
−1


Eigenwerte: λ1,2 = −3, −1: Knoten, stabil.Trajektorien tangential zum Eigenvektor für λ = −1, v = (3, −1), Fig. 6.4.3
4. (1, 1)

Eigenwerte: λ1,2 = −1 ±
A=
−1 −2
−1 −1


√
2, τ = −2, ∆ = −1: Sattel, Fig. 6.4.4
Wir kombinieren letzte vier Bilder und berücksichtigen, dass Axen sind geradlinige Bahnen (weil ẋ = 0 wenn x = 0 und ẏ = 0 wenn y = 0). Wir bekommen Fig.
6.4.5. Es ist vernüftig zu annehmen, dass Phasenportrait so aussieht (Fig. 6.4.8).
Bestätigung durch die Komputersimulation: Wir sehen, dass entweder gibt es Schafe, oder Kann., aber nicht gleichzeitig.
Das Konkurrenzausschlussprinzip (Gause-Gesetz) ist ein Begriff der Theoretischen Biologie der in der Ökologie und Evolutionsbiologie Anwendung findet. Der
54
Begriff besagt, dass zwei Arten nicht gleichzeitig die identische ökologische Nische
besetzen können, ohne in eine Konkurrenz einzutreten, durch welche sich schliesslich
nur die konkurrenzstärkere behaupten kann.
Einzugsgebiete, Separatrissen.
5.4
Konservative Systeme
dV
dx
Totale Energie ist erhalten. Allg: das System ist konservativ wenn es eine reelle Fkt
E(x) gibt, die längs jede Trajektorie konstant ist und nicht konstant in jeder offenen
Menge ist (sonst kann man eine triviale Fkt E(x) = 0 nehmen, dann ist aber jedes
System konservativ).
mẍ = −
5.4.1
Eigenschaft
Konservatives System hat keine anziehende FP. Beweis: sei x∗ ein attraktiver FP.
Dann alle Punkte im Einzugsbereich sollen die gleiche Energie haben: Widerspruch.
Es kann nur Sattelpunkten und Zentren geben.
Beispiel 5.4 Doppelmuldepotenzial
Teilchen Masse m = 1 im Doppelmuldepotenzial V (x) = −x2 /2 + x4 /4, ẍ = x − x3
ẋ = y
55
ẏ = x − x3
Gleichgewichte: (0, 0), (±1, 0). Jacobian:

A=
0
1
1 − 3x2 0


FP (0, 0): ∆ = −1, Sattelpunkt.
FP (±1, 0): τ = 0, ∆ = 2, Zentren.
Warnung: wir haben schon gesehen, dass Nichtlinearität kann Zentrum in Fokus
umwandeln. Aber nicht im konservatives System! Hier sind die Bahnen geschlossene
Kurven (wegen Energieerhaltung):
E = T + V = y 2 /2 − x2 /2 + x4 /4
2 FP, periodische Bahnen und 2 besondere homoklinische Trajektorien. Hom. Tr.
ist nicht periodisch: die Zeit → ∞.
Das kann man auch als Theorem beweisen: sei x∗ ein isolierter FP eines konservativen Systems. Falls x∗ ein Extremum (lokal) der Energie-Fkt ist, dann sind alle
Trajektorien in der kleinen Umgebung geschlossene Kurven.
5.4.2
Reversibilität
Symmetrie t → −t, z.B. Film eines Pendels.
56
Beispiel 5.5 Reversibles System: mẍ = F (x)
ist unverändert unter Transformation t → −t.
ẋ = y
ẏ = F (x)/m
Die Gl bleiben unverändert unter Transformation t → −t, y → −y.
Trajektorie hat einen “Zwilling”.
5.5
=⇒
Pendel
θ̈ + g/l sin θ = 0
Frequenz ω =
p
g/L. Neue Zeit τ = ωt. Wir notieren dθ/dτ auch mit θ̇
θ̈ + sin θ = 0
θ̇ = ν
ν̇ = − sin θ
Hier ν ist dimensionslose Winkelgeschw.
FP: (0, 0) und (π, 0) (θ und θ + 2π sind equivalent). Jacobian:

FP (0, 0):
A=
0
1
− cos θ 0

A=
0
1
−1 0
57




Jede
τ = 0, ∆ = 1: Lineares Zentrum. Das System ist aber konservativ:
θ̇(θ̈ + sin θ) = 0
=⇒
θ̇ 2 /2 − cos θ = const
E(ν, θ) = ν 2 /2 − cos θ
Für kleine ν, θ
E ≈ 1/2(ν 2 + θ 2 ) − 1
=⇒
ν 2 + θ 2 ≈ 2(E + 1)
E hat lokales Minimum um 0, 0, deswegen auch nichtlineares Zentrum. Trajektorien
um Zentrum sind ≈ Kreise.
FP (π, 0):


0 1

A=
1 0
λ2 − 1 = 0, λ1,2 = ±1. Sattel. Eigenvektoren v1 = (1, −1) und v2 = (1, 1). Libration
und Rotation. Sattel: umgekipptes Pendel.
58
5.5.1
Zylindrischer Phasenraum
Jetzt Rotation entspricht einer geschlossenen Trajektorie. U -Zylinder.
5.5.2
Dämpfung
θ̈ + bθ̇ + sin θ = 0
Zentrum wird Fokus. Mit Bilder kann man die Dynamik völlig verstehen, analytisch
aber sehr schwer. Auf U-Zylinder geht die Trajektorie runter:
d
dE
=
(1/2θ̇ 2 − cos θ) = θ̇(θ̈ + sin θ) = −bθ̇ 2 ≤ 0
dτ
dτ
59
60
61
5.6
Index-Theorie
Linearisierung gibt nur lokale Information. Globale liefert die Index-Theorie. Idee
ist änlich zur Elektrostatik (Gaussian Oberfläche). Da untersuchen wir das Feld auf
der Oberfläche und bekommen den Wert der Ladung ihnen.
5.6.1
Index einer geschlossenen Kurve
Sei ẋ = f (x) Vektorfluss in der Ebene (glatt). Wir betrachten eine geschlossene orientierte Kurve C (nicht unbedingt eine Trajektorie!!). C geht nicht durch FP; ist
einfache Kurve (ohne Schneidung mit sich selbst). Wir definieren Winkel an jedem
Punkt der Kurve
φ = arctan(ẏ/ẋ)
Wir gehen links herum. φ ändert sich kontinuierlich, weil das Feld glatt ist. Änderung
von φ nach eine Rundgang [φ]C = 2πn. Index:
IC = [φ]C /2π
Beispiel 5.6 Bsp: Hier IC = +1.
Beispiel 5.7 Bsp: Hier IC = −1.
Beispiel 5.8 Bsp: Hier IC = 0
ẋ = x2 y
C ist Einheitskreis x2 + y 2 = 1.
ẏ = x2 − y 2
[φ]C = −π + 2π − π = 0
62
5.6.2
Eigenschaften
1. C → C ′ so, dass wir gehen nicht durch ein FP. Dann Ic = IC ′ . Beweis: Stetige
Fkt die nur ganzzahlig ist, muss konstant sein.
2. Keine FP drinnen: IC = 0. Beweis: wir machen C kleiner und kleiner, dann
sind alle Vektoren fast gleich.
3. Sei C eine Trajektorie des Systems, dann IC = 1, weil Vektors immer tangential
sind.
63
5.6.3
Index eines FP
Index eines FP ist gleich Index einer Kurve um den FP.
Bsp: Index stabilen Knoten, instabilen Knoten, und Sattelpunktes. Für Knoten I = 1
(hat mit der Stabilität nichts zu tun). Für Sattelpunkt, I = −1 (cf. Abb 6.8.4).
Theorem: C hat n isolierte FP drinnen. Dann
IC =
Beweis (Idee):
X
Ik
Theorem: Sei C eine geschlossene Trajektorie, die hat Index +1. Dann drinnen
P
FP mit Ik = 1
Schlussfolgerung: jede geschlossene Trajektorie geht um mindestens ein FP herum. (Wenn es nur ein FP gibt, dann kann der nicht Sattelpunkt sein!).
Beispiel 5.9 Kanninchen-Schafen Modell
ẋ = x(3 − x − 2y)
ẏ = y(2 − x − y)
64
Wir zeigen, dass periodische Lsg nicht möglich sind. Wir wissen, dass hier 4 FP
gibt (2 mal stab Knoten, instab Knoten und SP). C1 und C2 sind nicht möglich,
weil I 6= +1. C3 ist nicht möglich, weil (i) physikalisch x > 0 und (ii) C3 y-Achse
schneidet (es gibt Trajektorie längs diese Achse).
65
Kapitel 6
Grenzzyklen
Grenzzyklus ist eine isolierte geschlossene Trajektorie. Isolierte bedeutet, dass benahbarte Trajektorien nicht geschlossen sind; die sind spiralförmig. Zyklen sind
1. stabil (attraktive)
2. instabil (repeller)
3. halb-stabil
Selbst-erregte Systeme, Beispiele.
Gibt nicht in linearen Systemen, falls x(t) eine Lsg ist, dann cx(t) ist es auch.
Beispiel 6.1 Stuart-Landau System
Polarkoordinaten.
ṙ = r(1 − r 2 )
θ̇ = 1
mit r ≥ 0. Für r haben wir 1D Gl, FP r ∗ = 0 (instabil) und r ∗ = 1 (stabil).
θ = t + θ0
=⇒
x(t) = r(t) cos(t + θ0 ) → x(t) = cos(t + θ0 )
6.0.4
Van der Pol Gl
ẍ − µ(1 − x2 )ẋ + x = 0
Kirchhoff Gl:
di(u)
dI
L + RI + u = M
dt
dt
66
1
u=
C
Z
Idt
Kennlinie des Verstärkers:
i(u) = g0 u − g1 u3
g0,1 > 0
C u̇ = I einsetzen:
LC ü + RC u̇ + u = M
d(g0 u − g1 u3 )
= M g0 u̇ − 3M g1 u2 u̇
dt
67
Mit ω02 = 1/(LC)
LC ü + (RC − M g0 + 3M g1 u2 )u̇ + u = 0
ü − ω02 (M g0 − RC − 3M g1 u2 )u̇ + ω02 u = 0
Mit
ω02 (M g0 − RC) = β
√
Sei x = u α, τ = ω0 t, dann
3M g1 u2
=α
M g0 − RC
ü − β(1 − αu2 )u̇ + ω02 u = 0
ω2
ü = √0 x′′
α
1 dx dτ
ω0
u̇ = √
= √ x′
α dτ dt
α
βω
ω2
ω2
√0 x′′ − √ 0 (1 − x2 )x′ + √0 x = 0
α
α
α
Mit µ = β/ω0
ẍ − µ(1 − x2 )ẋ + x = 0
Wann gibt es die selbst-erregte Schw? Wit linearisieren die Gl: Ursprung ist instabil
falls µ > 0.
Subkrit. Bif:
ẍ − (µ + λx2 − x4 )ẋ + x = 0
6.1
Wenn es keine Grenzzyklen gibt
Wie kann man sagen, das es keine GZ gibt? Eine Mögligkeit: Index-Theorie.
6.1.1
Gradient-Systeme
Angenommen wir können das System als
ẋ = −∇V
schreiben. Hier Potentialfkt V (x) ist stetige eindeutige Fkt.
Theorem: Gradient-Systeme haben keine periodische Lsg.
Beweis: Wur nehmen an, dass eine geschlossene Tr. gibt. Dann nach eine Rotation
soll ∆V = 0 sein. Aber:
∆V =
Z
0
T
dV
dt =
dt
Z
0
T
∂V
∂V
(
ẋ +
ẏ)dt =
∂x
∂y
68
Z
0
T
(∇V · ẋ)dt = −
Z
0
T
|ẋ|2 dt < 0
(oder = 0 wenn ẋ ≡ 0 (d.h. FP)). Widerspruch beweist das Theorem. Das Problem
ist dass 2D Systeme sind selten Gradient-Sys. (1D Systeme sind immer so, deswegen
gibt da keine Schwingungen!)
Beispiel 6.2 ẋ = sin y ,
ẏ = x cos y
V = −x sin y
=⇒
ẋ = −
∂V
∂x
ẏ = −
∂V
∂y
=⇒
Keine Zyklen.
Beispiel 6.3 Nichtlineare Dämpfung
ẍ + ẋ3 + x = 0
Zu beweisen: keine periodische Lsg. Annahme: es gibt periodische Lsg x(t+T ) = x(t).
Energie-Fkt
E = 1/2(x2 + ẋ2 )
E(t) = E(t + T )
Aber
∆E =
Z
=⇒
∆E = 0
T
Ėdt
0
3
4
Ė = ẋ(x + ẍ) = ẋ(−ẋ ) = −ẋ ≤ 0
Widerspruch
6.1.2
=⇒
=⇒
∆E = −
Z
0
T
ẋ4 dt ≤ 0
keine periodische Lsg.
Lyapunov-Fkt
Sogar für nicht-mechanische Systeme kann man manchmal eine Energie-artige Fkt
finden, die entlang Tr abfällt.
Sei
ẋ = f (x)
mit FP x∗ . Angenommen, wir finden Lyapunov-Fkt: stetige reelle Fkt V (x) mit
Eigenschaften:
1. V (x) > 0 für alle x 6= x∗ und V (x∗ ) = 0 (eine positiv definite Fkt)
2. V̇ < 0 für alle x 6= x∗
69
Dann x → x∗ mit t → ∞ (asympt. stabil), keine geschlossenen Tr. Leider, gibt es
keine systematischen Methoden, wie man diese Fkt findet. Heufig hilft xn + aẋm .
Lokale Minima der Lyapunov-Fkt.
ẏ = −x − y 3
Beispiel 6.4 ẋ = −x + 4y ,
Wir nehmen
V (x, y) = x2 + ay 2
mit Parameter a.
V̇ = 2xẋ + 2ay ẏ = 2x(−x + 4y) + 2ay(−x − y 3 ) = −2x2 + (8 − 2a)xy − 2ay 4
Sei a = 4, dann
V = x2 + 4y 2 > 0
für alle (x, y) 6= (0, 0)
6.1.3
=⇒
V̇ = −2x2 − 8y 4 < 0
V ist Lyap-Fkt, keine geschl Tr.
Dulac’sches Kriterium
Sei
ẋ = f (x)
stetiges differenzierbares Feld im einfach zusammenhängenden Bereich R. Wenn es
eine reelle stetige differenzierbare Fkt g(x) gibt, sodass ∇(gẋ) hat ein Vorzeichen
(Plus oder Minus) im R, dann gibt es keine geschlossene Trajektorie im R.
Beweis: wir nehmen an, dass so eine Trajektorie C gibt. Green’sches Theorem
besagt:
Z Z
I
A
∇(gẋ)dA =
70
C
gẋ · ndl
Zirkulation ist Null, weil Normal senkrecht zur Trajektorie ist. Aber linke Seite
ist nicht Null, weil ∇(gẋ) entweder positiv oder negativ ist, also Widerspruch.
Genauso wie mit der Lyapunov-Fkt, gibt es keine Methoden die g-Fkt zu finden.
Heufig hilft g = 1, xa1yb , eax , eay .
Beispiel 6.5 ẋ = y, ẏ = −x − y + x2 + y 2
Wir zeigen, dass das System keine geschl. Tr hat. Sei g = e−2x . Dann ∇(gẋ) =
−2e−2x y + e−2x (−1 + 2y) = −e−2x < 0.
6.2
Poincaré-Bendixson-Theorem
Jetzt wollen wir finden, wenn periodische Lsg gibt.
Angenommen:
1. R ist geschlossene beschränkte Untermenge der Ebene
2. ẋ = f (x) ist stetig differenzierbar auf einer offenen Menge, die R einhält
3. keine FP in R.
4. Es gibt eine Trajektorie C die bleibt in R für t → ∞. Dann entweder ist C
eine geschl Tr, oder sie bewegt sich spiralförmig zur einen geschl Tr. Also, es
existiert eine geschl. Tr. in R.
“Trapping region”
In 3D stimmt das Theorem nicht: die Trajektorie kann unendlich lang im begrenzten Bereich wandern, ohne zu FP oder zu GZ zu kommen: Chaos.
71
Beispiel 6.6 ṙ = r(1 − r 2 ) + µr cos θ
θ̇ = 1
Wir wissen schon, dass für µ = 0 gibt es GZ mit r = 1. Wir zeigen jetzt, dass GZ
auch gibt, wenn µ klein genug ist.
Wir suchen nach einen ringförmigen Bereich 0 < rmin ≤ r ≤ rmax mit ṙ < 0 für
r = rmax und ṙ > 0 für r = rmin . Weil θ̇ > 0
=⇒
keine FP
=⇒
“trapping region”.
Wir suchen rmin : dann soll
ṙ = r(1 − r 2 ) + µr cos θ > 0
sein. Mit cos θ ≥ −1
1 − r2 − µ > 0
=⇒
mit µ < 1. Genauso
p
rmin <
p
1−µ
rmax > 1 + µ
√
√
Also, GZ existiert und ist 1 − µ < r < 1 + µ. Eigentlich, existiert auch für µ > 1.
72
6.2.1
Bsp.: Glykolyse
Die Glykolyse (aus dem Griechischen glykys = süß und lysis = auflösen) ist der
schrittweise Abbau von Monosacchariden (Einfachzuckern) wie der D-Glucose (Traubenzucker), von der sich auch ihr Name ableitet. Sie ist ein zentraler Prozess zur
Energiegewinnung in den Zellen.
Sel’kov-Modell (1968)
ẋ = −x + ay + x2 y
ẏ = b − ay − x2 y
Hier x und y sind Konzentrationen und a, b > 0 sind Parameter. (x: adenosine
diphosphate, ADP; y: fructose-phosphate).
Nullklinen: ẋ = 0
=⇒
y = x/(a+x2 ), ẏ = 0
=⇒
y = b/(a+x2 ).
Über Nullklinen ẋ > 0 und ẏ < 0.
“Trapping region”: auf vertikalen Linien ist es klar. Linie mit der Steigung −1:
wir betrachten ẋ, ẏ für grosse x. Dann
ẋ ≈ x2 y
ẏ ≈ −x2 y
=⇒
ẏ/ẋ = dy/dx ≈ −1
Wir zeigen, dass dy/dx < −1. Wir berechnen
ẋ + ẏ = b − x = ẋ − (−ẏ)
73
Also, −ẏ > ẋ, wenn x > b =⇒ dy/dx < −1.
Aber es gibt ein FP. Wir sollen jetzt zeigen, dass unter bestimmten Bedingungen,
FP ein repeller ist. FP:
x∗ = b
y ∗ = b/(a + b2 )
Jacobian:
−1 + 2xy
a + x2
−2xy
−(a + x2 )
A=
!
Um FP:
∆ = a + b2 > 0
b4 + (2a − 1)b2 + (a + a2 )
τ =−
a + b2
FP ist instabil für τ > 0. Bedingung τ = 0:
√
b2 = 1/2(1 − 2a ± 1 − 8a)
6.3
Liénard Systeme
Liénard Gl:
ẍ + f (x)ẋ + g(x) = 0
74
Liénard Theorem: angenommen, f (x) und g(x) erfüllen die volgenden Bedingungen:
1. f (x) und g(x) stetige differinzierbare Fkt.
2. g(x) ist ungerade Fkt, g(−x) = −g(x).
3. g(x) > 0 für x > 0
75
4. f (x) ist gerade Fkt, f (−x) = f (x).
5. Ungerade Fkt F (x) = 0x f (u)du hat die Nullstelle um x = a > 0, ist negativ
für 0 < x < a, positiv und wachsend, F ′ (x) ≥ 0, für x > a, und F (x) → ∞ für
x → ∞.
R
Dann hat das System einen stabilen GZ.
Qualitative ist das einfach zu verstehen: Kraft g(x) wirkt gegen Auslenkung.
Bedingungen für f (x): Dämpfung ist negativ für kleine |x| und positiv für grosse |x|.
Beispiel 6.7 Van der Pol Gl.
f (x) = µ(x2 − 1) und g(x) = x erfüllen 1-4.
F (x) = µ(x3 /3 − x) =
5 ist erüllt mit a =
6.4
√
µx 2
(x − 3)
3
3.
Relaxationschwingung (Kippschwingung)
Bsp: stick-slip, Neuronen, etc. Die Fragestellung ist jetzt: falls GZ gibt, was kann
man über Periode und Form der Schwingung sagen? Wir betrachten van der Pol Gl.
für µ >> 1 und schreiben die um:
ẍ + µ(x2 − 1)ẋ + x = 0
d
d
(ẋ + µ(x3 /3 − x)) + x = (ẋ + µF (x)) + x = ẇ + x = 0
dt
dt
mit w = ẋ + µF (x). Wir haben
ẋ = w − µF (x)
ẇ = −x
Mit y = w/µ
ẋ = µ(y − F (x))
ẏ = −x/µ
Schnelle und langsame Bewegungen.
Angenommen y − F (x) ∼ O(1), dann |ẋ| ∼ O(µ) ≫ 1 und |ẏ| ∼ O(µ−1 ) ≪ 1.
Über Nullkline: y−F (x) > 0, dann ẋ > 0. Wenn Trajektorie kommt nah zur Nullkline
y − F (x) ∼ O(µ−2 ), dann ẋ ∼ O(µ−1 ), ẏ ∼ O(µ−1 ). Dann kreuzt die Trajektorie
die Nullkline von oben nach unten, geht langsam längs Nullkline und springt nach
links.
76
Zwei Zeitskalen: langsame Bewegung ∆t ∼ O(µ), Sprunge ∆t ∼ O(µ−1 ).
Wir schätzen die Periode für µ ≫ 1. Wir vernachlässigen die Zeit der Sprung.
T ≈2
Z
tB
dt
tA
Für langsame Bewegung y ≈ F (x) und
dy
dx
dx
≈ F ′ (x)
= (x2 − 1)
dt
dt
dt
Aus der Gl: ẏ = −x/µ, also
dx
x
=−
dt
µ(x2 − 1)
µ(x2 − 1)
dx
x
Man kann aus der Nullkline-Gl finden, dass xA = 2, xB = 1.
dt ≈ −
T ≈2
Z
1
2
"
x2
−µ 2
(x − 1)dx = 2µ
− ln x
x
2
77
#2
1
= µ[3 − 2 ln 2]
Kapitel 7
Schwache Nichtlinearität.
Mittelungsmethode
Unseres Ziel ist die Gl in der Form
ẍ + ω02 x = f (x, ẋ) + F (t)
annähernd zu lösen, für kleine Kraft und Nichtlinearität.
7.1
Resonanz
Linearer Osz mit äusserer Kraft:
ẍ + ω02 x = F (t)
Substitution:
A iω0 t A∗ −iω0 t
e
+
e
2
2
Es ist noch nicht eindeutig, weil Im(A(t)) beliebig ist. Wir berechnen:
x(t) = Re[A(t)eiω0 t ] =
ẋ =
und setzen
Ȧ iω0 t iω0 A iω0 t Ȧ∗ −iω0 t iω0 A∗ −iω0 t
e
+
e
+
e
−
e
2
2
2
2
Ȧ iω0 t Ȧ∗ −iω0 t
e
+
e
=0
2
2
78
Dann
iω0 A iω0 t iω0 A∗ −iω0 t
e
−
e
2
2
Jetzt haben wir eine eindeutige Substitution (x, ẋ) → (A, A∗ )
Wir berechnen
ẋ =
ẍ =
iω0 Ȧ iω0 t ω02 A iω0 t iω0 Ȧ∗ −iω0 t ω02 A∗ −iω0 t
e
−
e
−
e
−
e
2
2
2
2
Wir bekommen 2 Gl
ẍ + ω02 x =
iω0 Ȧ iω0 t iω0 Ȧ∗ −iω0 t
e
−
e
= F (t)
2
2
Ȧ iω0 t Ȧ∗ −iω0 t
e
+
e
=0
2
2
Auflösen nach Ȧ:
Ȧ =
F (t)e−iω0 t
iω0
=⇒
A=
Z
t
0
F (τ )e−iω0 τ
dτ
iω0
Mit x(t) = Re[A(t)eiω0 t ]
x(t) =
Z
0
7.2
t
F (τ )
sin(ω0 (t − τ ))dτ
ω0
Resonanz im System mit Reibung
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x = ε cos ωt
Hier ω0 ≈ ω, γ ≪ ω0 , ε klein. Wir suchen die Lsg., die Frequenz der Kraft hat,
deswegen schreiben wir die Gl um:
ẍ + ω 2 x = (ω 2 − ω02 )x − 2γ ẋ + ε cos ωt
Substitution:
x(t) =
A iωt A∗ −iωt
e +
e
2
2
ẋ =
79
iωA iωt iωA∗ −iωt
e −
e
2
2
Die Lsg.:
Ȧ =
e−iωt 2
[(ω − ω02 )x − 2γ ẋ + ε cos ωt]
iω
e−iωt
A∗ −iωt
iωA iωt iωA∗ −iωt
ε
A
Ȧ =
e
) − 2γ(
e −
e
) + (eiωt + e−iωt )
(ω 2 − ω02 )( eiωt +
iω
2
2
2
2
2
Bis jetzt ist alles exakt. Jetzt machen wir eine Annäherung. Die Glieder auf der
rechten Seite sind alle klein (s. Bedingungen oben) ⇒ A ist langsam. Es gibt Glieder
∼ e−2iωt ,
die beschreiben kleine Schw mit der Frequenz 2ω. Es gibt auch langsame Glider
∼ e0
Wir lassen nur langsame Glieder., d.h. wir mitteln die Gl. Dann für alle Glieder wir
rechnen
Z
1 T
f (t)dt
hf (t)i =
T 0
A ist langsam, wird bei Integration als Konstante betrachtet. Wir bekommen:
Ȧ =
ω 2 − ω02 A
ε
− γA +
iω
2
2iω
Mit ω 2 − ω02 = (ω − ω0 )(ω + ω0 ) ≈ 2ω∆ω
Ȧ = −i∆ωA − γA +
ε
2iω
Wir betrachten die Terme separat.
1. −γA gibt Dämpfung, A = A0 e−γt . Langsame Änderung: A0 − A0 e−γT ≪ A0 ,
1 − e−γT ≪ 1, γ ≪ ω
2. i∆ωA gibt die Eigenlsg., A = A0 e−i∆ωt . Unsere Lsg ist
x = Re(Aeiωt ) = Re(A0 e−i∆ωt eiωt ) = Re(A0 eiω0 t )
3.
ε
2iω
gibt lin. Wachstum
ε
t
2iω
Soll langsam sein: |∆A|P eriode | ≪ |A0 —, ωε2 ≪ |A0 |
A = A0 +
80
ε
Stationäre Lsg der Gl. Ȧ = −i∆ωA − γA + 2iω
(wir setzen Ȧ = 0):
ε
ε
p
A=
|A| =
2
2iω(γ + i∆ω)
2ω γ + ∆ω 2
√
ε
bei ∆ω = 0. Breite 2γ: Maximum/ 2.
Resonanzkurve: Maximum 2ωγ
Hauptidee: immer die Gl in der Form
e−iωt
G(t)
iω
zu schreiben, wo G(t) klein ist, und dann mitteln.
Ȧ =
7.3
Bsp: Pendel, nichtlineare Schwingung
ẍ + ω02 sin x = 0
Kleine Schwingung. Mit sin x ≈ x − x3 /6
ẍ + ω02 x =
Komplexe Gl:
Ȧ =
Wir setzen ein:
x3 =
ω02 3
x
6
e−iω0 t ω02 3
x
iω0 6
A iω0 t A∗ −iω0 t
e
+
e
2
2
3
i
1 h 3 i3ω0 t
A e
+ 3A2 A∗ eiω0 t + 3AA∗2 e−iω0 t + A∗3 e−i3ω0 t
8
Nur langsame Terme:
ω2 3
ω0
Ȧ = 0 A2 A∗ = −i |A|2 A
6iω0 8
16
x3 =
Sei A = Reiφ , Ȧ = Ṙeiφ + iφ̇Reiφ , dann
Ṙeiφ + iφ̇Reiφ = −i
Stationäre Lsg.: Ṙ = 0
=⇒
φ̇ = −
ω0 3 iφ
R e
16
R = R0 .
ω0 2
R
16 0
=⇒
φ = φ0 −
ω0 2
R t
16 0
x = Re(Aeiω0 t ) = Re(R0 eiφ eiω0 t ) = R0 cos(ω0 (1 − R02 /16)t + φ0 )
Neue Frequenz ω = ω0 (1 − R02 /16).
81
7.4
Resonanz im Duffing-Oszillator
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x − αx3 = ε cos ωt
ẍ + ω 2 x = (ω 2 − ω02 )x − 2γ ẋ + αx3 + ε cos ωt
Wir haben schon alle Terme. Bei x3 :
αx3 =
i
α h 3 i3ωt
A e
+ 3A2 A∗ eiωt + 3AA∗2 e−iωt + A∗3 e−i3ωt
8
h
3α
3α
e−iωt
α(·)i =
|A|2 A = −i |A|2 A
iω
8iω
8ω
Also,
Ȧ = −i∆ωA − γA − i
ε
3α 2
|A| A − i
8ω
2ω
Mit neuer Notation
Mit A = Reiφ
Ȧ = −i∆ωA − γA − ia|A|2 A − ie
Ṙ + iφ̇R = −i∆ωR − γR − iaR3 − e sin φ − ie cos φ
Ṙ = −γR − e sin φ
Rφ̇ = −∆ωR − aR3 − e cos φ
Stat. Lsg:
e2 = γ 2 R2 + (∆ω + aR2 )2 R2
Verknüpfung zwischen ∆ω und R:
e2
− γ 2 = (∆ω + aR2 )2
R2
∆ω = −aR2 ±
s
e2
− γ2
R2
Also, R2 ≤ e2 /γ 2 . Skelettkurve (Maximum der Res. Kurve):
R2 = −∆ω/a
Höhe des Maximums e2 /γ 2 . Hysterese, Katastrophen.
82
Allgemein
Ṙ = −γnl (R)R − e sin φ
Rφ̇ = ∆ωnl (R)R − e cos φ
Resonanzkurve:
e2
2
2
= γnl
(R) + ∆ωnl
(R)
R2
ε2
e2
=
R2 = 2
2 (R)
2 (R) + ∆ω 2 (R))]
γnl (R) + ∆ωnl
4ω 2 [γnl
nl
Entspricht genau den linearen Fall.
Multistabilität für e > ec .
d2 (∆ω)
=0
d(R2 )2
d(∆ω)
=0
d(R2 )
Stabilität der Resonanzkurve. Wir setzen R → R + δR, φ → φ + δφ in
Ṙ = −γR − e sin φ
φ̇ = −∆ω − aR2 − e cos φ/R
und üeberprüfen Stabilität des Punktes δR = 0, δφ = 0. Charakt. Gl.:
−γ − λ
φ
−2aR + e cos
R2
83
−e cos φ
e sin φ
R −λ
=0
λ2 + λ(γ −
e sin φ
e2 cos2 φ
e sin φ
)−γ
− 2aRe cos φ +
=0
R
R
R2
Stationare Lsg:
− e cos φ = ∆ωR + aR3
−e sin φ = γR
λ2 + 2λγ + γ 2 + 2aR(∆ωR + aR3 ) + (∆ω + aR2 )2 = 0
Aber, wir haben oben
e2 = γ 2 R2 + (∆ω + aR2 )2 R2
λ2 + 2λγ +
λ1,2 = −γ ±
λ1,2 = −γ ±
e2
+ 2aR2 (∆ω + aR2 ) = 0
R2
s
q
γ2 −
e2
− 2aR2 (∆ω + aR2 )
R2
−(∆ω + aR2 )2 − 2aR2 (∆ω + aR2 )
λ1,2 = −γ ±
q
−(∆ω + aR2 )(∆ω + 3aR2 )
∆ω > −aR2 , ∆ω < −3aR2 : komplexe λ, stabiler Fokus.
−3aR2 < ∆ω < −aR2 : λ2 < 0
=⇒ entweder stabiler Knoten, oder Sattel.
Änderung der Stabilität wenn λ1 = 0 =⇒
(∆ω + aR2 )(∆ω + 3aR2 ) = −γ 2
Das ist genau die Bedingung
d(∆ω)
=0
d(R2 )
Zeigen wir das. Sei R2 = X. Dann
∆ω = −aX ±
s
e2
− γ2
X
−e2 /X 2
d(∆ω)
= −a ± p 2
=0
dX
2 e /X − γ 2
2X 2
e2
=a
e2 /X − γ 2
p
=⇒
2aR2 (∆ω + aR2 ) =
84
q
2aR2 e2 /R2 − γ 2 =
e2
R2
e2
R2
Einsetzen in
λ = −γ ±
s
γ2 −
e2
− 2aR2 (∆ω + aR2 )
R2
dann haben wir λ1 = 0
7.5
Van der Pol - Oszillator
ẍ + ω 2 x = µ(1 − x2 )ẋ = µẋ − µx2 ẋ
Substitution:
x(t) =
A iωt A∗ −iωt
e +
e
2
2
ẋ =
iωA iωt iωA∗ −iωt
e −
e
2
2
e−iωt
e−iωt
e−iωt 2
µ(1 − x2 )ẋ = µ
ẋ − µ
x ẋ
iω
iω
iω
Wir berechnen die Terme separat. Term µẋ: wir vergleichen mit 2γ ẋ. Dann bekommen wir µ2 A. Weiter:
Ȧ =
x2 ẋ =
1 2 2iωt
[A e
+ 2AA∗ + A∗2 e−2iωt ](iωAeiωt − iωA∗ e−iωt )
8
Uns interessieren nur die Terme ∼ eiωt . Das sind
iω 2 ∗ iωt
A A e
4
und
iω
− A2 A∗ eiωt
8
Dann bleibt nur:
Ȧ =
µ
e−iωt iω 2 ∗ iωt iω 2 ∗ iωt
A+µ
(− A A e + A A e )
2
iω
4
8
µ|A|2 A
µ
A−
2
8
µ 3
µ
Ṙ = R − R
2
8
φ̇ = 0
Ȧ =
St. Lsg: R = 2, φ = φ0 . Radiale Richtung Stabil, andere neutral Stabil.
|A| = 2
x = 2 cos(ωt + φ0 )
85
7.5.1
Getriebener van der Pol Oszillator
ẍ + ω 2 x = µ(1 − x2 )ẋ + ε cos νt
ẍ + ν 2 x = (ν 2 − ω 2 )x + µẋ − µx2 ẋ + ε cos νt
Sei ∆ω = ν − ω. Wir haben alle Terme schon:
Ȧ = −i∆ωA +
Mit e =
ε
2ω ,
µ
µ|A|2 A
ε
A−
−i
2
8
2ω
A = Reiφ :
Ṙeiφ + iφ̇Reiφ = −i∆ωReiφ +
Ṙ =
µ iφ µR3 iφ
Re −
e − ie
2
8
R2
µ
R(1 −
) − e sin φ
2
4
Rφ̇ = −∆ωR − e cos φ
Sei ε ≪ 1, dann R ≈ 2 und wir bekommen
φ̇ = −∆ω −
e
cos φ
2
Falls | 2e | > |∆ω|, FP: φ = const. Dann
x = Re(Aeiνt ) = Re(Rei(νt+const) )
Schwingung mit der Frequenz der Kraft, Synchronisation. Diskussion: Resonanz vs.
Synchronization.
7.6
Parametrische Resonanz
Externe Kraft ∼ x, z.B.:
ẍ + ω02 x = ε cos ωt · x
Das ist periodische Variation der Frequenz. Mathieu Gl.
Mittelungsmethode: x = Re(Aeiω0 t )
Ȧ =
e−iω0 t ε iωt
(e + e−iωt )(Aeiω0 t + A∗ e−iω0 t )
iω0 4
86
Ȧ =
ε
(eiωt + e−iωt )(A + A∗ e−2iω0 t )
4iω0
ε
(Aeiωt + Ae−iωt + A∗ ei(ω−2ω0 )t + A∗ e−i(2ω0 +ω)t )
4iω0
Bei Mittelung ist nur ein Term nichttrivial. Sei ω = 2ω0 , dann
ε
Ȧ =
A∗
4iω0
Ȧ =
ε
4iω0 (X
− iY ), oder
ε
ε
Ẋ = −
Y
Ẏ = −
X
4ω0
4ω0
Sei A = X + iY , dann Ȧ =
Gl. für die Eigenwerte:
−λ
− 4ωε
− 4ωε 0
−λ
0
Sattel: A ∼
7.6.1
eλ+ t .
x=
Re(Aeiω0 t )
=⇒
λ=±
ε
4ω0
∼ eλ+ t cos ω0 t, Fokus. Parametrische Instabilität.
Quantitative Beschreibung
Harmonischer Osz:
ẍ + ω 2 x = 0
=⇒
ẋmax = ωxmax
Mit ẋ multiplizieren, integrieren, Phasenportrait:
x2
ẋ2
+ ω2
= const
2
2
Ellipse, Halbachsen:
a
xmax
1
=
=
b
ẋmax
ω
Parametrische Anregung (ω = 1)
ẍ + x = f (t)x
Statt Sinus-Fkt nehmen wir Rechteck-Fkt f (t)
ẍ + (1 + f (t))x = 0
Frequenz: 1 ± ∆, umschaltung 4 mal pro Periode.
Frequenz 1 + ∆ =⇒ a < b und umgekehr.
Vergleich mit Resonanz. Sei es keine reibung, erzwungene Schwingung: Amplitude wird unendlich gross nur wenn genau ν = ω. Hier: gibt es eine “Zunge”, lineare
Reibung macht die Amplitude nicht begrenzt. Erzw. Schw.: lineares Wachstum, hier
explonenziell.
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7.6.2
Parametrische Resonanz im Duffing-Oszillator
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x − αx3 = ε cos 2ωt · x
mit ω ≈ ω0
ẍ + ω 2 x = (ω 2 − ω02 )x − 2γ ẋ + αx3 + ε cos 2ωt · x
Ȧ =
e−iωt
[ε cos 2ωt · x + . . .]
iω
Also, mit ∆ω = ω − ω0 :
Ȧ =
3α
ε ∗
A − i∆ωA − γA − i |A|2 A
4iω
8ω
Ȧ = −ieA∗ − i∆ωA − γA − ia|A|2 A
Mit A = X + iY , X 2 + Y 2 = R2 :
Ẋ = [−e + ∆ω + aR2 ]Y − γX
Ẏ
= [−e − ∆ω − aR2 ]X − γY
Gleichgewicht:
γX = [−e + ∆ω + aR2 ]Y
γY
= [−e − ∆ω − aR2 ]X
γ 2 = [−e + ∆ω + aR2 ][−e − (∆ω + aR2 )]
γ 2 = e2 − (∆ω + aR2 )2
q
∆ω + aR2 = ± e2 − γ 2
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aR2 = −∆ω ±
q
e2 − γ 2
Schwelle: Anregung soll stärker als Dämpfung sein.
Gleichgewicht (0, 0), Stabilität:
Ẋ = [−e + ∆ω]Y − γX
Ẏ
= [−e − ∆ω]X − γY
λ+γ
A=
e + ∆ω
(λ + γ)2 = e2 − ∆ω 2
=⇒
e − ∆ω
λ+γ
=0
p
λ = −γ ±
e2 − ∆ω 2
Falls |∆ω| > e: Fokus, stabil
Sonst, falls e2 − ∆ω 2 < γ 2 : Knoten, stabil., sonst Sattel. Stab. Grenze: e2 − ∆ω 2 =
γ 2 =⇒ λ+ = 0. γ = 0 =⇒ e = ±∆ω
Bif: 2 Pitchfork-Bifs.
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