Aufgabenblatt 9

Prof. S. Krauter
Blatt 9
Zeichnen Sie die Figur bei a) genau und bei b) näherungsweise. Wählen Sie die
Länge von a selbst. Geben Sie die Eigenschaften der Figur an und bestimmen
Sie die Größe des Winkels α.
a)
=
1.
MODUL 2 – R – H. Geometrie SoSe 05.
b)
a
α
a
2.
a
a
=
α
α
Konstruieren Sie Dreiecke nach folgenden Angaben. Beachten Sie, dass es in
einzelnen Fällen mehrere Lösungen gibt. Überlegen Sie, wie die Anzahl der
Lösungen von der Größe der gegebenen Stücke abhängt (Lösbarkeit).
b) b = 6,5 cm; α = 64°; wα = 6 cm
a) a = 7 cm; β = 76°; ru = 4,5 cm
c) α = 52°; β = 32°; ri = ρ = 1,8 cm
d) b = 4 cm; c = 7 cm; hc = 3,5 cm
e) a = 6,5 cm; ha = 5,8 cm; ru = 4,5 cm f) c = 5,2 cm; sb = 7,2 cm; sc = 8,1 cm
g) α = 65°; γ = 90°; ru = 4 cm
h) α = 75°; γ = 60°; ru = 4 cm.
3. Sinussatz
a) Was haben alle Dreiecke mit Seitenlänge AB = c = 6 cm und Winkel γ = 75°
gemeinsam? Zeichnen Sie mehrere solcher Dreiecke über der Seite AB.
b) Zeigen Sie, dass gilt: Umkreisdurchmesser d = 2 * r = c : sin γ.
a
b
c
Wie folgt hieraus der Sinussatz für Dreiecke:
=
=
= 2 * r = d.
sin α sin β sin γ
Inwiefern ist der Sinussatz eine quantifizierte Verschärfung der Aussage:
“Im Dreieck gehört zur größeren Seite stets der größere Gegenwinkel.“
4.
Die Winkelsumme in Dreiecken beträgt stets 180° und zur eindeutigen
Konstruktion von Dreiecken benötigt man 3 Bestimmungsstücke.
Ermitteln Sie damit die Winkelsumme in beliebigen n-Ecken und ermitteln Sie die
Anzahl der Bestimmungsstücke, die für die Konstruktion eines beliebigen n-Ecks
benötigt werden.
5.
Konstruieren Sie allein mit Zirkel und Lineal (also ohne Benutzung eines
Winkelmessers!) ein regelmäßiges Sechs-, Acht- und Zwölfeck.
Berechnen Sie für jedes dieser Vielecke die Seitenlänge, den Umfang und den
Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Umkreisradius r.
6.
a) Konstruieren Sie zu einem Rechteck ein inhaltsgleiches Quadrat.
b) Konstruieren Sie zu einem Quadrat ein inhaltsgleiches Rechteck mit
vorgeschriebenem Umfang u. (Hinweis: Höhensatz verwenden).
c) Konstruieren Sie zu einem gegebenen Dreieck ein dazu inhalts- und
umfangsgleiches Rechteck (Hinweis: Gehen Sie wie in a) und in b) vor).
7.
Bearbeiten Sie folgende Aufgaben aus dem Skript:
Aufgaben 12 und 15 aus Kapitel 5.
Aufgaben 3, 7 und 8 aus Kapitel 6.
Sie finden die Lösungen im Skript.
8.
Ein halbregulärer Körper ist wie folgt aufgebaut (siehe nachstehendes Bild):
Ein Band von 8 kongruenten Quadraten ist in Form eines regelmäßigen
Achtecks gebogen. Ein zweites und drittes derartiges Band verlaufen jeweils in
zum ersten Achteck senkrechten Ebenen und haben mit dem ersten Band
jeweils zwei Quadrate gemeinsam. Die Zwischenräume sind mit gleichseitigen
Dreiecken ausgefüllt.
Berechnen Sie die Oberflächengröße und den Rauminhalt dieses Körpers in
Abhängigkeit von der Seitenlänge a der begrenzenden Vielecke.
Hinweis: Zerlegen Sie den Körper geeignet in leicht zu berechnende Teilkörper.
Bauen Sie sich ggf. ein Modell.
Zusatz: Dieser Körper heißt kleines Rhombenkuboktaeder. Informieren Sie sich
auch über den Pseudo-Rhombenkuboktaeder.