Freie harmonische Schwingung

Freie harmonische Schwingung
s-t-Schaubild sinusförmig ; v-t-Schaubild cosinusförmig ; a-t-Schaubild -sinusförmig .
.
.
..
v(t) = s& s (t) ; a(t) = v& v (t) = &s& s (t) . T t unabh. von Amplitude -> f konst. .
Weiteres Beispiel :
w = 2 π f = (2 π)/T Winkelgeschw.
s(t)= s sin(wt); v(t)= s w cos(wt) (s w = v̂ (v^)); a(t)= - s w² sin(wt) (s w² = â).
m* a(t) = F ~ s(t) ; F = -Ds ; -Ds = -mw²s -> w² = D/m ( analog f & T ) .
für harm. Schwing.
Bes. Anfangsbed.: t=0s und : s = 0m ; v =+(v^) v̂ -> s(t) = s sin(wt)
Ss = 0m ; v = -(v^) v̂ -> s(t) = - s sin(wt)
Ss = + s ; v = 0 -> s(t) = s cos(wt)
Ss = - s ; v = 0 - > s(t) = - s cos(wt)
allg.: s(t) = s sin(wt + Nullpunktsphasenwinkel ) wt = Phasenwinkel
Elongation s : s(a) = δ * L
(δ im Bogenmaß)
Rückstellkraft F res = F1
= sin (δ) * G)
A sehr klein : sin δ = δ
Harm. Schwing.
-1-
Harm. Schwinger
Richtgröße D = (m* g)/L
∏ w² = D/m = g/L
(entsprechend f & T)
Über Ähnlichkeit :
F= -2D(1 – L/l)s ; l² =l 0² + s²
∏ für kl. s bleibt l fast konst.
F/s = -D 0 = -2D(1 – L/l)
EES bei harm. Schwing.
Elongationsenergie . NN der Lageenergie so wä hlen , dass in Gleichgewichtslage
(s=0) W Elong = 0 J . W Elong = ½ Ds² . Harm. Schwing. besitzt nur W Elong & W B .
1.) s= s ; v=0 : W Elong = ½ Ds ² .
2.) s= 0 ; v max. : W B = ½ m v̂ (v^)² ; (v^) v̂ = s w ; w² = D/m ; W B = ½ D s ² .
3.) s belieb. V bzw. t zugehörig : W B +W Elong = ½ mv² + ½ Ds² = ½ Ds ² .
Gesamtenergie : W = ½ Ds ² = ½ m v̂ (v^)² = ½ m w² s ² .
Erzwungene Schwingungen
Spule übt Kraft auf Magneten
an Feder aus mit :
F[err] err = (F^)(F^) sin(wt) .
Federschwerependel
schwingt mit vorgeg. f nach
Einschwingzeit .
Bei Resonanz- f Amplitude
max. Resonanz-f = Eigen-f
Resonanz (=f [0]0) :
f<<f[0] 0 : Schwinger &
F[err] err nahezu im
Gleichtakt . -> in Phase . f
zunehmend : Schwinger
hinkt nach .
Bei f ca. f0 : ¼ Periode (bzw. 90° ; T/4 ; π/2) Phasenversch.
s(t) = s sin(wt - π/2) . Für f >> f0 : Phasenversch. nähert sich π :
-2-
Mechanische Wellen
Alle Teilchen können schwingen & sind durch Kräfte gekoppelt : Schwing. pflanzt
sich von Teilchen zu Teilchen fort - > mechanische Welle .
Querwellen (Transversalwellen) : Teilchen schwing. orthogonal zu
Ausbreitungsrichtung . v mit der sie schwingen heißt Schnelle v . v mit der sich
Schwing. fortpflanzt heißt Ausbreitungs-v c . Teilchen bleiben an ihrem Platz .
Längswellen (Longitudinalwellen) : Teilchen schwingen in Ausbreitungsrichtung .
v bei Querstörungen (-wellen)
Wellenberg : t[1] 1 bei x[1] 1
,
t[2] 2 bei x[2] 2 . c ist
konst. :
c = (x [2 2] -- x
[1]1)/(t[2] 2 - t [1]1) .
Schnelle ändert sich
ständig .
Harm. Querwellen
Wird 1. 1. Teilchen mit f zu harm. Schwing. angeregt , so wandert Welle während T =
1/f um λ = c* T weiter . λ heißt Wellenlänge . : c = λ / T = λ*f . Teilchen führen erzw.
Schwing. aus . 1. Teilchen : sin-Schwing. , dann schwingt Teilchen an Stelle x um
? t = x/c genauso . Elongation : s(x;t) = s sin(w(t – x/c)) = s sin(w(t – x/(λ*f))) .
-3-
Reflexion von Wellen
Festes Ende : Wellenberg als Wellental reflektiert & umgekehrt . -> Phasensprung
von 180°.
Freies Ende : Wellenberg als Wellenberg reflektiert . -> kein Phasensprung .
Interferenz
2 Wellen am selben Ort : ungestörte Überlagerung : Elongationen & Schnellen
addieren sich , das heißt Interfe renz .
1.) Ausbreitung in gleicher Richtung , f gleich .
a) in Phase : s = s1 + s2 : konstruktive Interferenz .
b) Phasenwinkel 180° (gegenphasig) : s = s 1 - s2 : destruktive I.
c) 0 < Phi ϕ < 180° : s1 + s2 > s > | s1 - s2 | .
2.) Wellen begegnen sich , f gleich .
2 Wellen mit gleicher f & Amplitude: sie interferieren zu stehender Welle. (λ =c* T)
Alle Teilchen schwingen in Phase , Amplitude vom Ort abh. Wellengleichung :
s(x;t) = [2s sin((w* x)/c)]*sin(wt) . [ortsabh. Amplitude]*sin(wt) . Bei Reflex.
werden einfallende & reflektierte Welle zu einer stehenden Welle .
a) festes Ende : letztes Teilchen bleibt in Ruhe -> Bewegungsknoten . Im Abstand
(n* λ)/2 weitere Knoten . Zwischen 2 Knoten : Bewegungsbauch ( bei
((2n+1)* λ)/4 ) .
b) loses Ende : letztes Teilchen : Bewegungsbauch .
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Konstruktion der res. Welle bei der Reflex. am festen Ende
Bsp.: Geg. Welle mit λ = 20 cm , c = 0,3 m/s . Erreichen des festen Endes des
Wellenträgers bei t = 10 s . Konstruktion der Welle nach 11,2 s .
Konstruktion der res. Welle bei Reflex. am freien Ende
Bsp.: Geg. Welle mit λ = 20 cm , c = 0,3 m/s . Erreichen des freien Endes des
Wellenträgers bei t = 10 s . Konstruktion der Welle nach 11,2 s .
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Eigenschwingungen
Eingespanntes Gummiband ( feste Enden ) . Nur bei best. Anregungs-f ( Eigen-f ) :
stehende Wellen . Niedrigste Eigen-f : genau halbe Wellenlänge paßt auf Träger .
Wellenlänge : l = ½ k*λ k . Eigen-f : f k = k* f1 = c/λ .
f1 : Eigen-f zur Grundschwingung (/ 1. Harmonische)
f k : Eigen-f zur (k -1). Oberschwingung (/ k. Harmonische) .
Stehende Längswellen
Analog zu stehenden Querwellen ( selbe f & Amplitude ) .
Druckbäuche befinden sich an den Stellen , an denen Bewegungsknoten sind .
Abstand 2er Druckknoten ½ λ .
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Längswellen oder Longitudinalwellen
Elongationsrichtung : Ausbreitungsrichtung . Teilchen schwingen um ursprüngl. Lage
in x-Richtung . Sonst analog Querwellen . s = ? x (Auslenkung aus Ursprungslage).
Weiß : alte Lage , Schwarz : neue Lage , Pfeile : Entfernung von alter Lage :
Druckunterschiede wandern über Wellenträger . Teilchen schwingen nacheinander
mit f in Längsrichtung . Fortschreitende Längswellen : Unterdruck / Überdruck an
Stellen mit Elongation 0 ( bei max. Schnelle ) .
Bsp.: stehender Längswellen – Schallwellen
Korkmehl . best. f Ton bes. laut . : stehende Welle . 2 offene / geschlossene Enden :
l = ½ k*λ : Eigen-f . 1 offenes & 1 geschlossenes Ende : l = ¼ λ*(2k –1) .
2 offene Enden :
1 offenes & 1 geschlossenes Ende :
2 geschlossene Enden :
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Dopplereffekt
1.) bewegte Schallquelle , ruhender Beobachter .
v von Q kleiner Schallgeschwindigkeit c : v < c .
a) Spezialfall : v = 0 m/s :
b) v > 0 m/s :
b) λ = c/ f ; s = v *T = v/ f : Abstand zwischen 2 Wellenfronten verkürzt sich um s .
Beobachter vor Quelle / Beobachter hinter Quelle :
λ v h = λ -+ v/f = c/f -+ v/f = (c -+ v)/f ; f v h = c / λ v h = c/((c -+ v)/f) = c* f/(c -+ v)
oder f v h = f/((c -+ v)/c) = f/(1 -+ v/c) .
2.) Bewegter Beobachter , ruhende Quelle .
B z : Wellenfronten mit kleinerem zeitl.
Abstand (/ Periodendauer) oder Schall
breitet sich schneller aus : c+v .
T z = λ /c‘ = λ /(c+ v) = (c/f)/(c+ v)
= (1/f)*(c/(c+ v)) ,
f z = 1/T z = (c+ v)*f/c = (1+v/c)*f . Analog B w : f w = (c- v)*f/c = (1-v/c)*f .
Machscher Kegel – Überschallknall
D.h. v = c
bewegte Quelle :
-8-
Aus der Skizze entnimmt man :
sin a = λ /s = (c*T)/(v *T) = c/v .
Elektrostatik
Richtung der res. el. Kraft
veranschaulicht durch el. Feldlinien .
Raum , in dem el. Kraft meßbar ist :
el. Feld .
Elektrische Feldstärke
Geo. Überlegungen : sin f = s/L ; tan f = F el /G , da f <<10° : sin f ˜ tan f :
F el/G = s/L : F el = G* s/L . F el ~ q : F el/q = E heißt Feldstärke { 1 N/C } .
-9-
Elektrische Ladung
Erklärung für stärkeren Ausschlag in
b) : Beim Auseinanderziehen wird
gegen +Q & -Q gezogen : Arbeit
verrichtet : el. Energie : „die
Spannung des Systems hat
zugenommen“ : Freiwerden der
Energie wenn Strom fließt .
W A -> B ~ q ->U = W
AB /q
ist konst. & heißt Spannung zwischen A & B {1 J/C = 1V} .
Spezialfall : Homogenes Feld
F & E konst. W AB = F s *s = F el* d : U AB = W AB /q = F el * d/q = E* q* d/q = E*d : E =
U/d . 1.) Geladene Kugel zwischen C , d wird vergrößert : a) Quelle weg , Q bleibt
konst. : mit d nimmt U prop. zu : E konst. : Kugel bleibt gleich ausgelenkt : E = F el /q
konst. b) Quelle bleibt , U konst. : Kugelausschlag geht zurück : E = U/d & E = F el/q
konst. 2.) d konst. , U variiert : U nimmt ab : E = U/d nimmt ab Ausschlag geht zurück
.
Im radialen Feld einer Punktladung
Ι| entlang einer Feldlinie (Weg längs Kraft) , ΙΙ || beliebiger Weg . Arbeit entlang s mit
Mittelpunkt -Q : W = 0 J : Kreisbahn : F orthogonal s . Ι | F nicht konst . ΙΙ || zerlegt in
Strecken entlang Feldlinien & Kreisstücken : zu jeder Wegstrecke Strecken auf Ι | mit
gleichem Kraftverlauf (= E) : Überführungsarbeit wegunabh. Jedes elektrostatische
Feld aus Punktladungen zsmgesetzt : F = F res aus Punktladungen : Im
elektrostatischen Feld : U = W/q zwischen 2 Punkten ist eindeutig best. (hängt nicht
vom Weg ab). Wenn W 1 | > W 2 || Widerspruch zu EES : Auf Ι | hin , auf ΙΙ || zurück :
W = W 1 - W 2 : man würde Energie rausbekommen .
- 10 -
Potentiale im stromdurchflossenen Leiter
AB dünner Draht : gr. Widerstand R .Energie über Stöße an Draht abgeg. Je weiter
e-e?im Draht kommen , desto mehr W haben sie abgeg. Strom fließt : Potential (R)
im Leiter nimmt ab : Spannungsabfall : Wieviel W gibt 1 C Ladung auf dieser Strecke
an Draht ab . Spannungsabfall AX : U[AX] AX = f (X) = (AX)/(AB)*4V = 4V*R [AX]AX
/R[ges] ges :
U[AX] AX prop. zu R[AX] AX .
Flächendichte der Ladung
Mit A‘ wird ein Teil der Ladung Q = Q‘ abgehoben : s = Q‘/A‘
ist ortsunabh. im hom. Feld . Q‘~A‘ : s konst. d gleich :
Q‘~s ~U~E ; U gleich : Q‘~s~1/d~E : s~E : e[0] 0 = s/E konst.
& heißt el. Feldkonstante . e[0] 0 = 8,85*10(hoch –12)-12 C/(Vm).
Coulomb-Gesetz
Q verteilt sich gleichmäßig auf ihrer Oberfläche A .
Radius R vergrößern : Pendelausschlag konst. : E
an seinem Ort konst. : E im rad. Feld unabh. von
R , hängt nur von Abstand r zu Mittelpunkt ab .
Radiale Felder = Felder von Punktladungen (R=0).
Feld heißt Coulombfeld .
- 11 -
Berechnung der Feldstärke in radialen Feldern
Bei A‘ von x ist E (fast) homogen . :
s = Q‘/A‘ = Q/A = Q/(4π r²).
Für hom. Felder :
E = s/e[0] 0 = Q/(4π r² e [0]0)
r = Abstand 2er Punktladungen .
Coulomb-Gesetz
F = E*q = Q* q/(4π r² e [0]0 ) = k* Q* q/ r². Q = Punktladung , r = s.o. , q von Q ,
k=1/(4π e [0]0) = 9,0*10(hoch 9) N*m²/C².
Coulombpotential
U [AB]AB =W[AB] AB /q : W AB [AB] = r[A]A ?r[B]B F(r) dr = Q q/(4π e [0]0)* rA [A]?rB [B] 1/ r² dr
=Q q/(4π e[0] 0 )*[-1/r] rA [A] rB [B] = Q q/(4π e [0]0 )*(1/r[A] A – -1/r[B] B)
NN 8 (r[B] B -> 8) : Coulombpotential von A mit r = r[A] A von Punktladung Q .
f (r) = U [A,8 ] = Q/(4π e[0] 0 r) : W~1/r : W>0J ; Qq>0 : Abstoßung ; W < 0J ; Qq < 0 :
Anziehung .
Die Kapazität
Hom. Feld : E=U/d ; s = Q/A = e[0] 0*E : Q = e[0] 0*E*A = e[0] 0 *U*A/d : Q~U : C = Q/U
heißt Kapazität {1 C/V = 1F } : C = e[0] 0*A/d . Isolator zwischen Platten :
Vergrößerung C um Dielektrizitätszahl e[r] r : C = e[0] 0*e[r] r * A/d .
- 12 -
Schaltung von Kondensatoren
Parallelschaltung :
Reihenschaltung :
Q[i] i = C[i] i* U ; i = 1,2,3
Ins. Quelle liefert Ladung :
Q = Q[1] 1 + Q[2] 2 + Q[3] 3
= C[1] 1*U + C[2] 2 *U + C[3] 3*U
= (C[1] 1 + C[2] 2 + C[3] 3)*U
Ersatzkapazität : C = Q/U
C ers = Q/U = C[1] 1 + C[2] 2 +C[3] 3
2+1/C[3] 3)
Wegen Influenz : jede Platte
gleiche Ladung : jeder C gleich
geladen : U[i] i = Q/C[i] i ; i = 1,2,3
(Spannungsabfall).
U = U[1] 1 + U[2] 2 + U[3] 3
Ersatzkapazität : C = Q/U :
C[ers] ers = (1/C[1] 1 +1/C[2]
(hoch –-1
).
Die Isolatoren im E-Feld
Erklärung e[r] r :
a) C von Quelle getrennt : Isolator einschieben : U zwischen Platten sinkt . Durch
felderzeugende Ladungen +Q & -Q Elektronenhüllen gegenüber Atomkernen
verschoben . An Platten zugewandten Seiten entsteht Ladungsüberschuß , heißt
Polarisationsladungen Q[p] p . Im Isolator entsteht „induziertes“ Gegenfeld :
ursprüngliches. E geschwächt : U= E*d zwischen Platten sinkt . ( F kleiner , W[überführ]
überführ kleiner).
b) b) Quelle angeschlossen : zusätzlicher Ladestrom fließt : neg. Ladungen von
Quelle zusätzlich von Q[p] p angezogen . Quelle kann bei gleichem U mehr
e-e?gegen gegenseitige Abstoßung auf neg. Platte transportieren . Analog
pos. Platte . C nimmt mit Dielektrikum zu .
- 13 -
Andere Betrachtungsweise :
Für Verschiebung von e-e?in Atomen ist W nötig :
a) von Quelle getrennt : Dielektrikum nimmt einen Teil der in E gespeicherten W auf :
Feldstärke & U zwischen Platten nimmt ab .
b) an Quelle angeschlossen : Quelle liefert mehr W , da Dielektrikum auch W
aufnimmt : mehr Ladung fließt auf Platten : C hat zugenommen : C = e[0] 0e[ rr]* A/d .
Bemerkung :
Manche Dielektrika haben Atome , die selbst el. Dipole sind : e[r] r bes. hoch : durch
Ausrichtung der Dipole großes Gegenfeld : Überführungsarbeit kleiner , C = Q/U wird
groß : man sagt Orientierungspolarisation . Ausrichtung der Dipole : entgegen
thermischer Teilchenbewegung : e[r] r temperaturabh.
Leiter im C :
Statt Dielektrikum Metallplatte (Dicke x) ohne Berühren : So viele Ladungen auf ihr
werden influenziert , bis Leiterinnere feldfrei . C steigt (nicht wegen e[r] r sondern weil
durch Platte quasi 2 Cs vorhanden : Plattenabstände d[1] 1 & d[2] 2 : d[1] 1 + d[2] 2 = d
–-x.
C[ers] ers = (1/C 1[1] + 1/C[2] 2)(hoch –-1) = (d[1] 1 /(e[0] 0*A) + d[2] 2/(e[0] 0*A)) -1 (hoch –1)
= e[0] 0*A/(d[1] 1 + d[2] 2 )
= e[0] 0*A/(d – - x) > e[0] 0*A/d .
Andere Betrachtungsweise :
e-e?in Leitern praktisch ohne Arbeitsaufwand verschiebbar : W um e-e? von 1er
Platte zur anderen zu transportieren mit Metallplatte geringer (wegen W[P,Q] P,Q =
E*s, s = PQ)
um W[x] x = E* x : Spannung U[A,B] A,B = W[A,B] A,B /q = (W[d] d – - W[x] x )/q = E*(d –
- x) nimmt ab .
Dielektrika teilweise eingeschoben
Parallelschaltung 2er Cs mit C 1 = e 0*A 1/d &
C 2 = e r e 0*A 2 /d :
C ers = C 1 + C 2 = e 0*(A 1 + e r* A 2)/d .
Reihenschaltung 2er Cs mit C 1 = e 0*A/d 1 &
C 2 = e r e 0*A/d 2 :
C ers = (1/C 1 + 1/C 2 ) -1= e 0 e r* A/(e r* d 1 + d 2 )
Parallelschaltung von C 1 mit der
Reihenschaltung C 2 & C 3 mit
C 1 = e 0*A 1/d ; C 2 = e r e 0*A 2 /d 2 ;
C 3 = e 0*A 2 /d 3 :
C ers = C 1 + (1/C 2 + 1/C 3 ) -1
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Feldenergie
El. W
el
eines geladenen C :
Um q bei der nahezu konst. U [1] von Platte 1 des C nach 2 zu schaffen ist
W1 [1] = U 1 [1]*q nötig . W ges [ges] ergibt sich als Fläche unter Q-U-Kurve :
W = ½ QU = ½ CU² = Q²/(2C) .
Wo ist diese Energie gespeichert
Platten von C (ohne Quelle) auseinanderziehen : Q & E konst. aber felderfüllte Raum
nimmt zu : W = ½ CU² = ½ e [0]0 e[ r r](E*d)² *A/d = ½ e[0] 0 e[r] r *A* d* E² : A*d =
Volumen zwischen den Platten : W = ½ e[0] 0 e [r]r *V*E² : W el [el] steckt in V .
Def.: Energiedichte : ?? [el] el = W [el]el /V = ½ e[0] 0 e r [r]*E² .
Laden eines Kondensators
C über R laden : Strom I(t) fließt , nach t ist Q(t) auf C : zwischen Platten herrscht
Spannung U [C]C (t) = Q(t)/C (Spannungsabfall an C) . Nach Halbwertzeit T[H] H ist Q
bzw. U entsprechend größer . Über Q(t)- bzw. U(t)-Schaubild Exponentialkurven :
U C[C] (t) = U [0]0 (1 – - ½ (hoch t/T H[H] )) ; Q C[C] (t) = U 0[0] *C*(1 – - ½ t/TH(hoch
t/T[H])) , für Ladestrom gilt :
.
I(t) = (Q )(t) = I [0]0 * ½ t/TH(hoch t/T[H]) .
Entladen : U C[C] (t) = U 0 [0]* ½ t/TH(hoch t/T[H])) ; Q C[C] (t) = U 0 [0]*C* ½ t/TH
(hoch t/T[H]) , für Entladestrom gilt :
& (Q.)(t) = -Q(t)*ln(2)/T[H]H .
I(t) = Q
Da I(t) = U(t)/R = -Q(t)*ln(2)/T[H]H ist T[H]H = -R* ln(2)*Q(t)/U(t) : T[H]H = ln(2)*R*C .
- 15 -
E-e?- Rotor
Neg. Ionen laufen nach innen : erfahren im Magnetfeld Kraftkomponente im
Uhrzeigersinn . Pos. Genauso laufen nur nach außen : Flüssigkeit rotiert im
Uhrzeigersinn . (für pos. Teilchen 3-Finger-Regel mit re. Hand möglich).
Magnetische Flussdichte
Stromdurchflossener Leiter (Länge s) orthogonal zu
Feldlinien des Magnetfeldes . Er erfährt
magnetische Kraft .
Def.: Steht stromdurchflossener gerader Leiter senkrecht zu Magnetfeldlinien &
erfährt mag. Kraft F so heißt B = F/(I*s) mag. Flussdichte (B Maß für Stärke des
Magnetfeldes (B-Feld)) {1 T = 1 N/(A*m) } . Richtung aus (li.) 3-Finger-Regel .
Größe der Lorentzkraft
Mit oben gilt : F = I*B*s ( F = Summe der Lorentzkräfte aller in s fließenden e-e?).
v = s/t , I = Q/t = N* e-e?/t : I = N*e*v/s : F = s*B*N*e*v/s = N*e*v*B ( für alle e-e?in s)
, Für 1 e-e? : F/N = F[L] L = e* v* B ( v senkrecht zu B-Feldlinien : F L [L] ⊥- v [s]s
bzw. ⊥- B .
Allg. F [L]L = q* v* B .
Geschwindigkeit der e-e? in stromdurchflossenen Leitern :
Bsp.: Silberdraht : ?[Ag] Ag = 10,3 g/cm³ , Atommasse : 108 u
I = N* v* e/s = N* v* e* A/V : 1 mol Ag wiegt 108 g / V = m/? [Ag] Ag = 10,5 cm³ /
enthält 6*10²³ Atome . Jedes Metallatom gibt ca. 1 e-e? als Leitungselektron an Metall
ab : 6*10²³ e-e?= N in 10,5 cm³ .
I = 1 A , Querschnittsfläche A = 1 mm² : v = I*V/(N* e* A) = 0,11 mm/s .
- 16 -
Halleffekt
F[el] el hält F[L] L das Kräftegleichgewicht (E-Feld durch e-e? VerschiebungVerschiebung) :
F[L] L = e* v* B = e* U[ H ]/h = F[el] el : U[H] H = h* v* B .
B-Feld bei Spulen
Durch Messung : B ~ I*n/l : µ[0] 0 = B/(I* n/l) = B* l /(I* n) = 1,257*10(hoch –-6) T* m/A
und heißt mag. Feldkonstante . Mit Permeabilitätszahl µ[r] r erhöht sich B :
µ[0] 0 = B/(µ [r]r *I* n/l) = B* l /(µ r[r] *I* n) = 1,257*10-6 (hoch –6) T* m/A . Nur für
schlanke Spulen :
l = 5*Durchmesser . Also B = µ [0]0 *µ [r]r *I* n/l .
Das Erdmagnetfeld
Spule mit Kompaß in O-W-Richtung , Spulenstrom so , dass Kompaß in
N-O-Richtung : B-Feld : B = 1,257*10-6 (hoch –6) T* m/A * 0,16 A * 34/0,28m
= 2,4*10-5(hoch –5) T ( falsch , da zu viel Eisen (- > Felder) in der Nähe).
Geladene Teilchen in Feldern
e-e?in Braunscher Röhre beschleunigt : EES : W[el] el = W[B] B : U*q = ½ mv² :
V v = v(2Ue/m) ( für U = 10 kV , m = m [0]0 *1/(v(1 - v²/c²))
m[0] 0 = Masse in Ruhe , für kleine v ist m = m[0] 0 .
Bewegte e-e? im (hom.) B-Feld
e-e?⊥- B : F[L] L . Da F[L] L ⊥- v : F[L] L =
F[z] z :
e* v* B = mv²/r = mw²r : e* B = m* v/r :
e* B* r = m* v : Impuls z.B.: von ß-Strahlung ;
e/m = v/(B* r) : Masse e-e? , mit v von oben :
e/m = 2U/(B² r²) = 1,76*10(hoch 11)11 C/kg ,
m[e] e = 9,1*10(hoch –31)-31 kg . Bem.:
v = e* B* r/m : v ~ r ; B konst. & B ~ 1/r ; v
konst.
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Versuchsvariante : e-e? schräg zu B einschießen , Einschußwinkel f .
v[s] s ⊥- B bewirkt F[L] L : realisiert F[z] z . v[p] p || B : keine F[L] L : in B Richtung
bewegen sich die e-e?gleichförmig mit v p [p] = cos f *v . Überlagerte
Kreisbewegung wegen v[s] s .
Schraubenlinie
Ganghöhe : h = v [p]p *T , Umlaufdauer : T , Radius Kreisbahn : r . Ansatz : F[L] L =
F[z] z . e* v [s]s * B = m v [s]s ²/r : r = m v [s]s /(e* B) = m* v* sin f /(e* B) ; T = 2π r/v s
[s]
= 2π m v s [s] /e* B* v[s] s = 2π m/(e* B) : unabh. von v , r , f . h =
cos f *v*2π m/(e* B) .
Geladene Teilchen in E-Feldern
Bewegte e-e? im Querfeld E ⊥- v :
Im Feld Parabelbahn , außerhalb
gleichfö rmig ( G spielt keine Rolle).
F[el] el beschl. e-e? in y-Richtung .
F [eell] realisiert F = m* a[y] y : E*
e=
U [y]y *e/d = m* a[y] y . x-Richtung
:
v[x] x = v(2U [x]x *e/m) = x/t ; y-Richtung : a[y] y = U [y]y *e/(d* m) , (für 0 = x = l) :
v[y y] = a [y]y *t = U [y]y *t *e/(d* m) , y = ½ a [y]y *t² = e* t² *U [y]y /(2d*m) = y(t) .
Bahnkurve : aus oben : t = x/(v(2U [x]x *e/m)) ;
y = (U [y]y *e/(2d*m))*(x²/(2U [x]x *e/m) = x² *U [y]y /(4d*U [x]x ) = y(x) (Parabelbahn) .
Ende des C Kondensators : x = l : y[1] 1 = l² U [y]y /(4d*U [x]x ) .
Geladene Teilchen in E- & B-Feldern
Felder so einstellen ,
dass : F[el] el = F[ LL] :
Sie heben sich auf :
F[res] res = 0 N :
Teilchen fliegen
gleichförmig :
Ansatz : F[L L] = F[el] el
q* v* B = e* v* B = E* q
= U [y]y *e/d :
v = U [y]y /(B* d) = E/B
- 18 -
Versuch : e-e?-Bahn nicht gerade : Fehler : Felder nicht ganz homogen .
Wird hinter Wienfilter B-Feld erzeugt , so wird dort nach Masse sortiert : man nennt
diese Anordnung Massenspektrograph .
Weiteres Bsp.: Thomson :
Punkt gibt an : Masse / v durch Ort des Punktes , Ladung durch Richtung (o , u , li , re).
Kreisbewegung in x-y-Ebene , Parabelbahn in y-z-Ebene .
Raumladung in Vakuumdioden
1) Stromkreis geöffnet , K wird
geheizt : e-e? aus Heizdraht
ausgedampft :e-e?-Wolke
entsteht : K wird pos. : e-e?Mangel : E-Feld zwischen K & ee?-Wolke : Gleichgewicht
zwischen e-e?, die zurück zu K
gelangen & ausgedampften e-e? :
Raumladung bleibt konst. (abh.
von Temp. bzw. Heizstrom).
2) Stromkreis geschlossen , A besitzt
3) zusätzlich weitere Quelle U[a] a im Kreis
.
dasselbe Potential wie K : 2 E-Felder
a) U[a] a bei A pos. : E[2] 2 vergrößert ,
E[1] 1
existieren : E[1] 1 zwischen K &
abgeschwächt : mehr e-e? zu A : I[a] a
steigt .
e-e?-Wolke ; E[2] 2 zwischen A &
U [a]a > best. Wert : I[a] a steigt nicht mehr
:
e-e?-Wolke . E[2] 2 bewirkt Strom I[a] a von alle freigedampften e-e? sofort abgesaugt :
A nach K .
Sättigungsstromstärke (Sättigungsbereich)
b) U[a] a bei A neg. : Stromstärke aus 2)
bis zu 0 A bei best. U[a] a (3V-10V : Temp.
/ Heizstromabh.) : schnellsten e-e?
erreichen A gerade nicht mehr : hatten
W[B] B = 3 eV :
Anlaufstrombereich .
- 19 -
Fotoeffekt
Licht kann ebenfalls Atome ionisieren , so
dass man einen Strom I[a] a (in Abh. von U
[a]a) erhalten, der wie bei der Diode ist .
Kennlinie:
Gasentladung
1.) Unselbständige Gasentladung :
Gasmoleküle el. neutral .
Gasgefüllte Fotozelle :
Cs-Fotozelle gefüllt mit Edelgas (Ne) & niedriger Druck : sonst wie Vakuumfotozelle
(s.o.) . Kennlinien vergleichen : unterhalb von 18 V : Raumladungs- &
Sättigungsbereich gleich ; U[a] a > 18 V : Stromstärke I[U[a]] U a steigt stark an –
Kennlinie :
Mehr Ladungsträger vorhanden . Unterhalb U[a] a = U[i] i = 18 V wegen Fotoeffekt ee?aus Cs- Schicht herausgelöst , im E-Feld beschleunigt & von Quelle abgesaugt .
Für U[a] a > U[i] i erhalten Foto- e-e? aus E-Feld zusätzlich W[B] B = e* U[a] a > 18 V .
W[ges] ges der schnellsten e-e?so groß , dass sie Ne-Atome ionisieren können :
Stoßionisation : pos. Ionen & zusätzliche freie e-e? : I[a] a nimmt zu .
U[a] a groß genug : zusätzlich freie e-e?können ebenfalls Ne-Atome ionisieren :
starke Stromverstärkung . Ionisierten Gasatome rekombinieren an K zu neutralen
Atomen .
W für Molekülionisation heißt Ionisationsenergie / Ionisierungsenergie : Ne-Atome :
W[i] i = 21 eV : schnellsten e-e? haben 3 eV (Fotoeffekt) : müssen noch weitere 18 eV
aus E-Feld aufnehmen .
Bemerkung :
Gas nicht stark verdünnt : freie e-e?schon nach kurzer Strecke gegen Atom stoßen :
noch nicht genügend W aus Feld aufgenommen : können Atome nicht ionisieren .
(mittlere) freie Weglänge ( Flugstrecke ohne Stoß gegen Molekül) der e-e? zu
Elektroskop mit Hochspannung gegen Erde
geladen : keine Ladung fließt ab : Luft trotz
hoher U Isolator . Flamme / radioaktives
Präparat in die Nähe : genau dann fließt Strom :
Luftmoleküle dadurch ionisiert : werden
elektrizitätsleitend . Elektrizitätsleitung hält so
lange an , wie von außen neue Ladungsträger
erzeugt werden können .
gering .
- 20 -
Selbstständige Gasentladung
Teil der Luft
abpumpen : Gas
fängt an zu
leuchten . A : rote
Säule mit
leuchtenden
Schichten : zieht
sich bei stärkerem
Abpumpen zurück.
K : bis zum Schluß (alle Luft draußen) violettes Leuchten ; anfangs von roter Säule
(bis diese verschwindet) durch Dunkelräume getrennt . Violettes Licht : Ionen , die
Moleküle ionisieren ; rotes Licht : e-e? , die Moleküle ionisieren : Ionen haben mehr W
durch größere Masse : Bei Ionisation wird e-e? des Atoms a uf höhere Schale
gehoben , beim zurückfallen wird W in Form von Licht frei : Ionen können e-e? um 2
Schalen höher heben : mehr W wird frei : violettes Leuchten = energiereicheres
Leuchten .
Elektromagnetische Induktion
Im Gleichgewichtsfall gilt für e-e?
im Metallstab : F[L] L = F el[el]
e* v [s]s *B = U* e/d
U[ind] ind = v [s]s *B* d .
Bei Spule : U[ind] ind um Anzahl der Wicklungen vergrößert .
Leiterschleife fällt in B-Feld
Leiterschleife wird im B-Feld gedreht
Wechselspannung :
Horizontale : gr. Spannung ;
Senkrechte : kl. – keine U :
U[ind] ind ~ F[L] L ~ v ~ sinf .
Horizontale leicht bewegen : gr.
Flächenänderung ; Senkrechte :
kaum Veränderung .
- 21 -
Weiterer Versuch :
Kabelschleife im B-Feld zsmgezogen : A s [s] (senkrecht
durchsetzte Fläche ; s.
.
Leiterschleife) ändert sich : U[ind] ind : U[ind] ind ~ A s [s] (= Änderung der felddurchsetzten
Fläche) .
Def.: F = B*A[s] s & heißt mag. Fluss ( durch Fläche A[s] s ) .
Induktionsgesetz ( 1. Formulierung)
Während ?t legt der Stab ?s =
v [s]s * ?t zurück : ? A[s] s ändert sich
:
? A[s] = d* ? s = d* v [s] *? t .
Damit ist U[ind] ind = B* d* v[s] s = B* d* ?s/?t = B*?A [s]s /?t . Da B konst. :
U[ind] ind = ?(B*A [s]s )/?t = ?F/?t . F ür belieb. v[s] s = lim(?s/?t) für ?t. -> 0s :
U[ind] ind = B* d*(lim(?s/?t) für ?t -> 0s) = lim(?F/?t) für ?t -> 0s = F .
Induktionsgesetz : Ändert. sich F durch Spule mit Windungszahl n , so wird wegen
F[L] L die U[ind] ind = n* F induziert .
Induktion durch Wirbelfelder ( 2. Formulierung)
Induktion ohne F [L] L : In gr. Spule liegt kl. Spule , so dass deren A[s] s ⊥- B (gr.
Spule) . Gr. Spule fließt gleichmäßig ansteigender I : B wird gleichmäßig (linear)
.
.
verändert .
1.) I &I >0 A/s: B& B >0 T/s :U[ind] ind
.
~ B& B
2.) I& =. 100 mA&konst.
.
: B [max] max
3.) Ikonst.
I <0 A/s:
B B <o =
T/s
:
U[ind]
0 :U[ind] ind
ind
.
~ B& B
.
Induktionsgesetz : U[ind] ind = n* F : Ändert sich F (wird nach Produktregel abgeleitet : F = A
[s]s *B ) durch Spule mit Windungszahl n , so wird U[ind] ind induziert unabh. davon , ob
sich A[s] s oder B ändert .
Wirbelfelder
Im Induktionsversuch : Schienen kurzschließen : I fließt wegen U[ind] ind .
freigesetzte /umgewandelte W :
W [el]el = UQ = U*I*t = U [ind]ind *I* t = B* v
[s] *d* I* t
W[mech] mech = F* s (Kraft gegen F [mag]mag) = I* B* d* s = I* B* d* t* v[s] s EES gilt !
- 22 -
Lenzsches Gesetz
U[ind] ind stets so gepolt , das der von ihr hervorgerufene Strom der Ursache von
U[ind] ind entgegen wirkt (Folge des EES) .
Lenzsches Gesetz bei Flussdichteänderung
Aluring um Eisenkern in Spule : kann
mittels S an Batterie angeschlossen
werden .
a) Einschaltvorgang
b) Ausschaltvorgang
.
a) Stromkreis geschlossen : I steigt kurzzeitig stark an : B& B >0 T/s ist sehr groß :
Aluring fliegt weg : In ihm wird U[ind] ind induziert : I in Ring : erzeugt B-Feld : ist
entgegengesetzt zu B-Feld in Eisenkern : Abstoßung : Induziertes B-Feld so
gerichtet , dass das anwachsende B -Feld der Spule geschwächt wird .
Erklärung : s.o.
.
b) Beim Ausschalten : I & B nehmen stark ab : B& B < 0 T/s ist sehr groß :
Aluring wird angezogen : In ihm wird U[ind] ind induziert : I in Ring : erzeugt B-Feld
: ist gleichgerichtet zu B-Feld in Eisenkern : Anziehung : U[ind] ind so gepolt , dass
I[ind] ind
B-Feld erzeugt , dass das abnehmende B-Feld aufrecht erhalten will .
Erklärung : s.o.
- 23 -
Flussänderung durch Änderung der Permeabilitätszahl µ[0] 0
Eisenstück in stromdurchflossener Spule : B nimmt zu , Stromstärke durch Spule
während des Einführens kleiner. Erklärung : Spule selbst ist auch Induktionsspule : In
ihr wird U so induziert , dass I[ind] ind der Zunahme von B entgegen wirkt : B-Feld der
Spule
allein wird kleiner : damit auch I : I = U/R = (U[0] 0 + U [ind]ind)/R = (U[0] 0 – n*
.
F )/R .
.
.
Beim Herausziehen ist F < 0 (da B B& < 0) : U[ind] ind pos. (bzgl. U [0]0) : I steigt ;
.
.
Beim Einführen ist F > 0 (da B& B > 0) : U[ind] ind neg. (bzgl. U [0]0) : I fällt .
Endgültige Formulierung des Induktionsgesetzes
.
U[ind] ind = – n*F ( n von Induktionsspule) .
Selbstinduktion
Hinkender Strom
Einschalten : Strom durch Spule steigt langsamer als der durch
R , obwohl ohmscher Widerstand der Spule R[S] S = R
(Endstromstärke ist gleich) . Erklärung : Lenz : U[ind] ind
verursacht Strom , der Stromanstieg entgegen wirkt ,diesen also
verkleinert.
Selbstinduktion
Einschalten : s. „Hinkender Strom“ :
asymptotischer Anstieg .
Ausschalten : Spule versucht I aufrecht zu
erhalten : I geht asymptotisch gegen 0 A .
Unterschied Induktion – Selbstinduktion :
Induktion : Spule induziert U[ind] ind in anderer Spule .,
Selbstinduktion : Spule induziert U[ind] ind in sich selbst .
- 24 -
Eigeninduktivität einer schlanken Spule
.
U[ind] ind = -n*F
.
.
F = B*A = µ[0] 0 µ [r]r *I* A* n/l : U[ind] ind = -n* µ[0] 0 µ [r]r * &I I *A* n/l = -L* &I I ; L = µ[0]
0 µ [r]r *n² *A/l .
.
Allg.: L = -U [ind]ind / &I I heißt Eigeninduktivität { 1 H = 1 T* m²/A } . Abweichungen
durch nicht ideal schlanke Spulen : nicht homogen .
Einschaltvorgang
.
.
Einschalten : I(t) = U(t)/R = (U[1] 1 + U [ind]ind)/R = (U[1] 1 – L* &I I (t))/R : &I I (t) = .
(R*I(t)-U [1]1)/L =(U 1[1] – - R*I(t))/L ; t[0] 0 =0s : &I I (0s) =(U[1] 1 – R*I(0s))/L =U [1]1
.
/L : |U [ind]ind | = L* &I I (0s)= U [1]1.
Im 1. Augenblick ist U[ind] ind = U[1] 1 .
Induktivität einer belieb. Spule
.
Gemäß L = U [1]1 / &I I (0s) läßt sich die Induktivität aus dem Schaubild des
.
Einschaltvorgangs (s.o.) bestimmen . &I I (0s) ist die Steigung der Kurve I(t) zum
Zeitpunkt t[0] 0 = 0s . Den ohmschen Widerstand erhält man aus der Asymptote der
.
I(8) , dort &I I (8)= 0 A/s. I(8) = U [1]1 /R : R = U [1]1 /I(8 ) .
Ausschaltvorgang
.
U[1] 1 = 0 V . : I(t) = U/R = (U[1] 1 + U [ind]ind)/R = -L* I& I /R
Energie des Magnetfeldes
S öffnen : I durch R wird angezeigt : bei geschl. Schalter kein I
durch R . I[ind] ind groß wenn Eisenkern in Spule , wenn nicht :
I[ind] ind klein . Berechnung der gespeicherten mag. W , die in
el. W umgewandelt wird (Spannung). Momentanleistung der
„Stromquelle : Spule“ :
.
P = U(t)*I(t) = U [ind]ind (t)*I(t) = -L* I& I (t)*I(t). Bei kl. Zeitraum dt wird dW = P(t)*dt
.
8
8
umgewandelt : W = 0? P(t) dt = 0? I(t)* &I I (t) dt [Substitution] = -L I ?0 I dI
= -L [½ I²] I[1] 1 0 = ½ L*I [1]1 ²
I[1] 1 = U [1]1 /R ist ursprüngl. Stromstärke vor Ausschalten .
- 25 -
[1]1
Wechselspannung / -strom
.
Rotierende Spule (s. Leiterschleife) in B-Feld : U[ind] ind = -n*F ; F(t) = B*A [s]s (t)
= B* A* cos(wt) = B* A* cos(a(t)) (a = wt heißt Phasenwinkel) :
U[ind] ind = (-)n* B* A* w*(-)sin(t) = n* B* A* w* sin(wt) = Û(U^) sin(wt) .
Zeigerdiagramm
Rotierender Zeiger :
Bei Projektion :
U(t)
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Versuch :
Wenn f der Wechselspannung U[~] ~ genügend hoch : Lämpchen leuchtet konst. hell
. Dafür Scheitelwert von (U^)Û [~]~ = 15 V nötig . Bei Gleichspannung benötigt gleich
hell leuchtendes Lämpchen Gleichspannung U[=] = = 10 V .
Def. : Der Effektivwert einer U[~] ~ gibt diejenige U[=] = an , die nötig ist , um beim
selben R die gleiche mittlere Leistung hervorzubringen : U[eff] eff , analog : I[eff] eff .
Effektivwerte sin-förmiger Wechselspannungen
Bei R = U/I : Momentanleistung : P(t) = U(t)*I(t) = U²(t)*1/R = I²(t)*R , mit
U(t) = Û sin(wt) : P(t) = Û ² sin ²(wt)*1/R = ½ (1 – cos(2wt))*Û ²/R .
Um Π zu erhalten : Π = ?W/?t : ?W = 0s ?t [1]1 P(t) dt
= (t[1] 1 –- (1/(2w)) sin(2wt [1]1))*Û ²/(2R) ;
?t = t[1] 1 –- 0s : Π = Û ²/(2R) – - Û ² sin(2wt [1]1) / (4w*R*t [1]1) ;
t[1] 1 -> 8 : Π = Û ²/(2R) = U²[eff] eff /R (s.o.) : U[eff] eff = Û / v2 .
- 26 -
Spule im Wechselstromkreis
Spule in U[~] ~ : Zeiger des Strommessers
pendelt dem der angelegten U um ¼
Periode (= 90° ; = π/2) hinterher . Spule :
U[ind] ind : der von ihr hervorgerufene Strom
der von U(t) verursachten Stromänderung
entgegenwirkt .
-> (resultierender) Strom I(t) hinkt der angelegten U hinterher .
Herleitung der Stromstärke im L-Kreis
.
I in Spule : I(t) =(U [1]1 (t)+ U [ind]ind (t))/R =(U [1]1 (t) – - L* I& I (t))/R : R*I(t)= U [1]1 (t)
.
.
.
– L* &I I (t) . Annahme : R = 0 ? : L* &I I (t) = U [1]1 (t) bzw. I &I (t) = U [1]1 (t)/L : I(t) =
.
?&I I (t)dt = ?U [1]1 (t)/L dt = Û/L ?sin(wt) dt = - cos (wt)*Û/(L* w) + c ( c = Gleich-/
Grundstrom) .
Erg.: I(t) ~ -cos(wt) = sin(wt - 90°) : I hinkt angelegtem U um 90° hinterher (bei R = 0 ? ) .
Bem.: c ist immer 0 A sobald R nicht exakt 0 ? .
Def.: induktiver Blindwiderstand X[L] L = Û/ (I^)î = Û/(Û/w* L) = w* L .
Blind- und Wirkwiderstand zugleich : L-R-Kreis
X[L] L & R in Reihe geschaltete Widerstände : I(t) ist überall gleich . Spannungsabfall
am R : U [R] R (t) = R*I(t) ; Spannungsabfall am X[L] L : U [L]L (t) = X [L]L*I(t) . U[R] R
ist in Phase mit I(t) ; U[L] L eilt I(t) um 90° voraus .
Zeigerdiagramm :
Beim Drehen : Û erreicht vor (I^)î Max. : hinterherhinken bedeutet : die
entsprechende Kurve liegt weiter re. (wenn U[R] R groß : U[L] L klein) .
Û ² = Û ²[L] L + Û ²[R] R = R²I² + (w* L)² I² : Û = (I^)î *v(R² + (w* L)²)
Gesamt- / Scheinwiderstand : Z = v(R² + X [L]L²)
f zwischen angelegtem U & I : tanf = Û [L]L /Û[R] R = X [L]L /R = w* L/R .
Ist U(t) = Û sin(wt) so fließt I(t) = (I^)î sin(wt – f ) .
- 27 -
Kondensator im Wechselstromkreis
Bei sin- förmigen U(t) der Quelle fließt
cos-förmiger I(t) mit derselben Frequenz .
Stromstärke im C-Kreis
Gesamtspannung : U(t) = U [1]1 (t) + U [C]C (t) = I(t)*R ; mit R = 0 ? & U [C]C (t) = Q(t)/C :
& Q.(t) = C*U[1].1 (t) ; mit U [1]1 (t) = Û sin(wt) :
Q(t)/C = U [1]1 (t) : I(t) = Q
I(t) = C*Û *w* cos(wt) . Def.: Kapazitive Widerstand X[C] C = Û/ I(^)î
= Û/(C*Û *w) = 1/(w* C) . Bem.1.: bei sin-förmigen U[~] ~ : I[eff] eff = (I^)î /v2 ,
analog U[eff] eff : X[C] C = U [eff]eff /I[eff] eff = 1/(w* C) . 2.: X[C] C ist Blindwiderstand :
keine W[el] el in innere W umgewandelt .
Der R-C-Kreis
Scheinwiderstand Z = v(R² + X [C]C ²) = Û [1]1 / (Iî^) ;
Tantan f = Û [C]C /Û[R] R = X [C]C /R = 1/(w* C* R) (f hier neg.) . Û C hinkt I(t) um
90° hinterher
Der R-C-L-Kreis
Z = Û/ Iî(^) = v(R² + (X[L] L – X [C]C)²) = v(R² + (w* L – 1/(w*C))².
Resonanz
Bei best. f[0] 0 (bzw. w [0]0) : I(t) wird max. : Resonanz(-f) :
Bedingungen(äquivalent zueinander : wenn 1 vorliegt , liegen auch die anderen vor) : I max. ; f = 0 ;
Z min. , d.h. Z = R ; Û[R] R = Û ; Û[L] L = Û C[L] ; Û[L] L & Û[C] C max. ;
X[L] L = X[C] C : w [0]0 *L = 1/(w 0[0] *C) : w[0] 0 = v(1/(L*C)) : f[0] 0 =
v(1/(L*C))*1/(2π) .
- 28 -
Leistung im Wechselstromkreis
X[L,C] L , C : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = (-) (I^)î cos(wt)
R : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = (I^)î sin(wt)
P(t) = U(t)*I(t) : Momentanleistung
a) R : P(t) = I²(t)*R = 0 W
b) X[C] C : P(t) = - (UÛ ^)sin(wt)* (I^)î cos(wt) : Laden : P(t) > 0 W ; Entladen : P(t) <
0 W : C liefert W an die Quelle : In 1 Periode ist Gesamtleistung = 0 W .
c) X[L] L : Analog zu b) (ohne - ; W[el] el wird W[mag] mag wird W[el] el ...) .
Def.: 1.) mittlere Leistung P? heißt Wirkleistung (W der Quelle pro Sekunde) .
2.) ohne R : P? = 0 W ; der dabei fließende Strom ist ein Blindstrom .
Wirkleistung bei einer Siebkette R-C-L-Glied
U(t) = (U^)Û sin(wt) = (U^)Û sin(a) ; I(t) = (I^)î sin(wt – - f ) = (I^)î sin(ß) ; P(t) = (U^)Û
* (I^)î sin(wt)sin(wt – - f ) (P(t) über Zeit integrieren liefert W)
Einschub : sin a *sin ß = ½ (cos(a – ß) – cos(a + ß))
Ferner gilt : (U^)Û * (I^)î = v(2) *U [eff]eff ) *v(2) *I [eff]eff ) = 2*U [eff]eff *I[eff] eff :
P(t) = 2*U [eff]eff *I [eff eff]*½(cos f – cos(2wt – f )) = U [eff]eff *I [eff]eff *cos f .
Coscos(2wt – f ) hebt sich über 1 Periode gemittelt auf , cos f heißt Leistungsfaktor .
Zeigerdiagramm :
P? = U[eff eff ] *I[eff] eff *cos f , mit cos f = U[R,eff] R , eff /U[eff] eff :
U[eff] eff *cos f = U[R,eff] R , eff = I[eff] eff *R : P? = I[eff] eff ² *R : Nur R
ist für die Wirkleistung verantwortlich .
Transformatoren
Unbelasteter Trafo:
Belasteter Trafo :
- 29 -
Der ideale Trafo
Def.: idealer Trafo : R der Primärspule (PS) = 0 ? , von PS erzeigte Fluss F
durchsetzt Sekundärspule (SS) vollständig (gut geschlossene Eisenkerne ) .
Der unbelastete Trafo
Primärseite :
Sekundärseite :
R[1] 1 = 0 ? : I[Prim] Prim = Blindstrom , U [1]1 Induktionsgesetz
:
Durch
Flussänderung
.
.
& I[Prim] Prim sind 90° phasenverschoben . F : wird in SS U 2[2] (t) = -n 2 [2] *F (t)
Verbraucht im Leerlauf keine W .
induziert . Da Trafo unbelastet : fließt
X[L] L sehr gr. : I[Prim] Prim sehr kl.
kein Strom im Sekundärkreis : Fluß F
Durch Selbstinduktion .:
wird nicht verändert .
U [ind]ind (t) = -n 1[1]*F (t) = - U 1 [1](t) .
Gleichsetzen der Flussänderung :
U 2[2] (t)/U 1[1](t) = -n [2]2 /n[1] 1 = - ü , für Effektivwerte : U 2 , eff [2,eff] /U[1,eff] 1, eff = n
[2]2 /n[1] 1 = ü
Der belastete Trafo
An SS Wirkwiderstand R legen : Wirkstrom I[2] 2 = U [2]2 /R : entnommenes P?
stammt von PS (EES) : dort zusätzlich zum Blindstrom I[Blind,1] 1, blind (mit F = 90°)
ein Wirkstrom I[1] 1 (mit F = 0°) : P? = I 2 , eff [2,eff] *U[2,eff] 2 , eff = I 1, eff[1,eff] *U[1,eff] 1,
eff :
I 2 , eff[2,eff] /I[1,eff] 1, eff = U 1, eff[1,eff] /U[2,eff] 2 , eff = n 1[1]/n[2] 2 = 1/ü .
Bem.: Wegen I[Blind,1] 1, blind ist I[1,ges] 1, ges > ü* I[2] 2 (Bei guten Trafos : I[Blind,1] 1, blind ˜ 0A , da
X[L] L gr.oß ; bei realen Trafos , wegen
R[Prim] Prim ? 0 ? , noch sehr kl. Wirkstrom in PS : verfälscht obere Gleichung)
.
Erg.: Spannungen : U [2,eff]2 , eff /U[1,eff] 1, eff = n [2]2 /n[1] 1 = ü (U[2] 2 richtet sich
nach U [1]1) ;
Wirkströme : I [2,eff]2 , eff /I[1,eff] 1, eff = n [1]1 /n[2] 2 = 1/ü (I[1] 1 richtet sich nach I
[2]2)
Anwendungen : n [2]2 <<n[1] 1 , sehr kl. R[Sek] Sek : sehr hoher I[2] 2 : Schweißtrafo ;
Nn [2]2 >>n 1[1] : U [2]2 >>U[1] 1 : Hochspannungstrafo ( U[2] 2 wegen auftretender Leistung
lebensgefährlich) .
Bei Eisenkernen aus einem Stück : Vergrößerung I[1] 1 : es treten Wirbelströme auf ,
die Energie aufnehmen : Trafokerne aus Eisenplättchen aufgebaut , die
gegeneinander isoliert sind .
Andere Erklärung : a) unbelasteter Trafo : U [1]1 (t) = (U^)Û [1]1 sin(wt) :
PS : I [1]1 (t) = (I^)î [1,blind]1, blind cos(wt) (Blindstrom) : verursacht Fluss :
SS : U [2]2 (t) = - (UÛ ^)2 [2]sin(wt) , I[2] 2 = 0 A .
b) belasteter Trafo : SS + R : SS : U 2[2] (t) = - (UÛ ^)2 [2]sin(wt) , I 2 , w [2,w](t) = -(I^)î
2 , w [2,w] sin(wt) (Wirkstrom) : zusätzlicher Fluss : U [1,ind]1, ind (t) = -(U^Û )ind
[ind]cos(wt) :
I 1, w [1,w] (t) = (I^)î 1, w [1,w] sin(wt) .
- 30 -
Zeigerdiagramm der PS :
I 1, prim[1,prim] besitzt f < 90° zur angelegten Spannung U[1]
1.
Wirkleistung : P?= (U^)Û 1 [1]* (I^)î [1]1 cos f
bzw. P? = (U^)Û [1]1 * (I^)î [1,w]1, w :
Wirkströme : (I^)î [2,w]2 , w /(I^) î [1,w] 1, w = (U^)Û [1]1 /(U^)Û
[2] = n [1] /n[2]
Transport elektrischer Energie
Überlandleitungen sind Hochspannungen :
Reihenschaltung von Lampe (R = 100 ?) & R = 1 k? (R der Leitungen) : An
Leitungen fällt daher Großteil (90%) der Spannung ab : 90% der el. W bzw. Leistung
in Leitungen verbraten : W / P , die an Lampe abfällt reicht nicht mehr um sie zum
Brennen zu bringen .
Energietransport mit Hochspannungs- Hochstromtrafos :
⇒ Lampe brennt
Erklärung : P[Lampe] Lampe = 0,16 W entnommen aus Trafos , über Leitungen
transportiert. Dort auf U = 120 V hochtransformiert : nur Stromstärke von I = P/U =
0,0013 A nötig .
Dieses I bewirkt , dass in Zuleitungen nur geringe Spannung abfällt :
P[Leitung] Leitung = R*I² = 0,0018 W wird in Leitungen verbraten , ca. 1% der Leistung
(s.o.).
Bem.: P = U*I = R*I² = U²/R , obige Daten einsetzen : P = 19,6 W falsch :
Schaltung besteht aus R und X[L] L der Trafos : R = U/I gilt nicht , ist vielmehr
Reihenschaltung : dort für Spannungsabfall an Widerständen : U = R*I .
Differentialgleichungen
Bsp.: Harmonische mechanische Schwingung
Lin. Kraftgesetz : F = -D*s (allg.: F[res] res = F = m*a)
.
.
..
Beschleunigung : a(t) = F(t)/m = -s(t)*D/m , mit a = v& v & v = s& s : a = &s& s :
s(t) = -s(t)*D/m = -k*s(t) , k = D/m (DGL einer Funktion) .
Lsg. der DGL :
.
..
Lsg.ansatz raten : s(t) = s sin(wt + f ) : s& s (t) = s* w* cos(wt + f ) : s (t) =
-s *w² sin(wt + f ) = -w² * s(t) ; Vergleich mit DGL : w = v k = v(D/m) : Für harm.
Schwinger mit Richtgröße D & Masse m gibt es also 8 -viele
Lsgfunktionen (s , f unbestimmt) : Bei konkreten Schwing. Anfangsbed. (s(0s) ;
v(0s)) bekannt können s & f bestimmt werden .
- 31 -
Bsp. ungedämpftes Pendel
Länge L = 1m , Zeitpunkt t[0] 0 = 0s ,
s(t [0]0) = 3 cm , Amplitude s = 5 cm .
1.) DGL aufstellen : F[res] res = F[1] 1 , da
F[2] 2 F[Seil] Seil das
Kräftegleichgewicht hält :
m* a = m*
..
g* sin(δ(t)) : &s& s (t) = g* sin(δ(t)) mit s(t)
= L*δ(t) : δ(t) = s(t)/L :
..
&s& s (t) = g* sin(s(t)/L) (Winkel im Bogenmaß) ;
..
δ <10° : sin δ ˜ δ : &s& s (t) ˜ s(t)*g/L .
2.) ..Lsgansatz raten : s(t) = s sin(wt + f )
&s& s (t) = -w² s sin(wt + f ) .
..
3.) Anfangsbed. : s&& s (t) = -w² *s(t) ; w = v(g/L) = 3,13 1/s , s = 5 cm ,
s(0s) = 3 cm : s(0s) = 3 cm = 5 cm*sin(3,13*0s + f [0]0 ) : sin(f [0]0 ) = 0,6 : f [0]0 =
36,9°
Lsgfunktion : s(t) = 5 cm * sin(3,13 Hz * t + 0,64) : Winkel im Bogenmaß , da 3,13 Hz auch im „Rad“ .
Elektromagnetische Schwingungen
Schalterstellung 1 : C wird geladen
Schalterstellung 2 : C entlädt sich über L
bzw. R[L] L .
Beob.: Es fließt periodischer Strom I zu
U (= U[C] C = U [L]L) Phasendifferenz
von 90°. Amplitude nimmt kontinuierlich
ab : gedämpfte elektromag. Schwingung
.
In diesem Schwingkreis wird W el[el] (t) = ½ CU²(t) in W mag[mag] (t) = ½ L*I²(t)
umgewandelt &
umgekehrt . I(t) & U(t) haben Phasenwinkel von 90°. In R wird Teil der W in innere
W umgewandelt : Schwingung gedämpft .
DGL der ungedämpften el.mag. Schwingung (R = 0 ? )
.
.
Selbstinduktionsspannung : U [L]L (t) = -L* I& I (t) = U [C]C (t) = Q(t)/C : -L* I& I (t) =
Q(t)/C
& Q.(t) : -L* Q
&& Q..(t) = Q(t)*1/C : Q
&& Q.. (t) = -Q(t)*1/(L*C) DGL .
mit I(t) = Q
Thomsonsche Schwingungsgleichung
T = 2π √(L*C) . Standard Anfangsbed.: t[0] 0 = 0s : C max. geladen :
Q [C]C (t [0]0) = (Q^) Q̂ , Q C[C] (t [0]0) = (Q^) Q̂ sin(wt[0] 0 + f [0]0) = (Q^) Q̂ : sin f [0]
= 1 : f [0] 0 = π/2 .
Erg.: Q(t) = (Q^) Q̂ cos(wt) = (Q^) Q̂ sin(wt + π/2)
Ladung auf C ;
U(t) = Q(t)/C = cos(wt)*(Q^) Q̂ /C = (U^)Û cos(wt) Spannung am C ;
& Q. (t) = -(Q^) Q̂ *w* sin (wt); (I^)î =(Q^) Q̂ *w = (UÛ ^)*C/v(L*C) = (UÛ
I(t) = Q
0
^)*v(C/L) .
- 32 -
Energiebetrachtung im ungedämpften Schwingkreis
Q(t)=(Q^) Q̂ sin(wt + f [0]0) ; U(t)= sin(wt + f [0]0)*(Q^) Q̂ /C ; I(t)=(Q^) Q̂ *w* cos(wt
+ f [0]0 ) (s.o.).
Gesamtenergie : W(t) = W[el] el + W[mag] mag = ½ CU²(t) + ½ L*I²(t)
= ½ C((Q^) Q̂ /C)² sin ²(wt + f [0]0) + ½ L(Q^) Q̂ ² w² cos ²(wt + f [0]0)
= ½ (Q^) Q̂ ²/(C)*sin ²(wt + f 0[0]) + ½ L(Q^) Q̂ ² 1/(L*C)*cos ²(wt + f [0]0)
= ½ (Q^) Q̂ ²/(C)*(sin ²( wt + f [0]0) + cos ²(wt + f [0]0)) = ½ (Q^) Q̂ ²/C = ½ C (UÛ^)² =
½ L (I^)î ² .
Der gedämpfte Schwingkreis
Um gedämpften Schwingkreis aufrechtzuerhalten muß zu geeigneten Zeitpunkten W
eingespeist werden .
Immer wenn am C U[C] C pos. wird Schalter
geschlossen & C mit ursprünglicher
Spannung voll aufgeladen .
1. Manuell
2. Transistor- / Meißnerschaltung
Funktion des Transistors :
Arbeitspunkt :
Schalter durch Transistor ersetzt (der
Schwingkreis geliefert : Schwingung ist ungedämpft .
Spannungsteiler dient zum Einstellen
des Arbeitspunktes des Transistors :
U[BE] BE = 0,6 V) : U[BE] BE wird die in
Rückkopplungsspule induzierte
Spannung U[1] 1 überlagert : Transistor
wird zwischen E & C leitend wenn
U[1] 1 > 0 V , schließt wenn U[1] 1 = 0 V
. Dadurch im richtigen Takt W in den
Schwingkreis geliefert : Schwingung ist
ungedämpft .
- 33 -
Erzwungene Schwingungen
Schwingkreis wird mittels
Frequenzgenerators induktiv
über Kopplungsspule zu
erzwungenen Schwingungen
angeregt .
Beob.: Resonanz tritt auf (analog zu mech. Schwing.) : Amplitude von (U^)Û [C]C ist
bei f[0] 0 max. Für Phasenwinkel zwischen anregender Schwing. (Spannung am
Frequenzgenerator) & erzw. Schwing. (U [C]C) gilt :
Für große Dämpfung (sehr
großer R) beobachtet man
Resonanz unterhalb von f
[0]0 .
Hochfrequente Schwingungen
Anwendungen
Hochfrequenzherd-Mikrowellenherd ; Hochfrequenz-Induktionsofen zum Schmelzen
von Metallen ; Radio ; Fernsehen , ... .
Nachweis hochfrequenter Schwingungen
1. Oszilloskop (bis zu wenigen MHz)
2. Frequenzzähler (ca. 1 MHz)
3. Mit einer durch ein Lämpchen kurzgeschlossenen Spule
4. Mit abstimmbarem Resonanzkreis (L , regelbarem C , Lämpchen) ; I in diesem
Kreis kann auch mit Diode & Strom-Messgerät nachgewiesen werden : bei
induktiver Kopplung führt dieser Schwingkreis erzw. Schwing. aus : Resonanz .
Erzeugung hochfrequenter Schwingungen
Höhere Eigen-f durch Verringerung der Induktivität & Kapazität : Windungszahl n
reduzieren & Kapazität durch Verkleinerung A & Vergrößerung d verringern .
Extremfall : gerades Drahtstück als Schwingkreis : Hertzscher Dipol ( mit eingebautem
Lämpchen & bei geeigneter Länge kann er auch als Resonanzkreis (s.o. 4.) verwendet werden) .
Hertzscher Dipol
Verschiedene Längen : in die Nähe eines Hochfrequenzgenerators mit induktiv
gekoppelten Hertzschen Dipol der Länge l : Bei best. Länge leuchtet das Lämpchen
am hellsten : Eigen-f Dipol & f Frequenzgenerator stimmen überein . Wenn
Lämpchen beim selben Dipol nicht in der Mitte , so leuchtet es schwächer .
Erkl.: e-e? im Draht durch U[ind] ind in der 1. ¼-Periode einer Schwing. zu einem
Drahtende hin beschl. C = Drahtenden geladen : anwachsendes E-Feld : wirkt
e-e?-Bewegung entgegen . Da kein hom. E-Feld : e-e? versch. stark abgebremst :
Enden bes. stark , Mitte wenig . Enden : I = 0 A , Mitte I max. : Bei auf Resonanz
eingestelltem Dipol I in Mitte bes. groß . Amplitude E an Enden max. , Mitte min.
Nachweis der el. Feldstärke längs eines Hertzschen Dipols
Durch Glimmlampe (Zünd -U liegt an) : leuchtet an den Enden am hellsten .
- 34 Nahfeld um einen Hertzschen Dipol
Im HD fließt Wechselstrom : erzeugt (Oersted) sich änderndes (starkes) B-Feld
(Ursache von I : el. Quellenfeld zwischen getrennten Ladungen) .
Ferner entsteht ein sich periodisch änderndes el. Feld : B- & E-Feld haben
Phasendifferenz von 90° .
E- B-Feld um einen Hertzschen Dipol während einer Periode
Herleitung der E-Feldstärke um einen Hertzschen Dipol
E ist max. , wenn Ladungen vollständig getrennt (I = 0 A)
Im Abstand r erzeugen die Ladungen +/- die
Komponenten E[1] 1 & E[2] 2 der Feldstärke E .
Hierbei gilt : |E[1] 1 | = |E[2] 2 | .
(Coulomb-Gesetz :) E[1] 1 ~ 1/r² ; (ähnl. ?e : ) E = E[1] 1*d/r :
E ~ 1/r³ , analog B ~ 1/r³ .
Messen : E ~ 1/r keinesfalls E ~ 1/r³ . Annahme , dass es sich um elektro-/
magnetostatischen Effekt handelt (Coulomb-Gesetz) reicht nicht zur Erklärung aus :
Elektrostatik erklärt das Nahfeld : Weiterer Effekt vorhanden , der das Fernfeld
beschreiben kann :
Elektromagnetische Wellen
Sender vor Metallplatte : hinter Platte kein Signal mehr messbar (Abschirmung).
Messen E -Feld zwischen Sender und Metallwand : Max. & Min. an festen Stellen :
Dort stehende Welle (Interferenz) . Bei Reflexion erfährt E Phasensprung von 180° ,
B wird ohne Phasensprung reflektiert : an Wand : E-Knoten („festes Ende“) &
B-Bauch („loses Ende“) . Fernfeld : E & B orthogonal aber in Phase & bilden
folgendes Dreibein :
Eigenfrequenzen beim Dipol
An Enden I = 0 A : B = 0 T : Knoten des B-Feldes , entsprechend E-Bauch : Dipol =
Wellenträger mit stehenden el.mag. Wellen , wenn er mit geeigneten Eigen-f f[k] k
angeregt wird . Bestimmung der Eigen-f : Bed.: d (Dipollänge) = k*λ k [k] /2 :
λ[k] k = 2d/k , k = 1;2;... : f[k] k = c/λ[k] k = c* k/(2d) .
- 35 -
Ausbreitungsgeschwindigkeit el.mag. Wellen
Annahme : Bei sich ausbreitenden Welle ist W[el] el = W[mag] mag :
El. Energiedichte :? [el el]= ½ e[0] 0 e [r]r *E² , mag. Energiedichte :? mag[mag] = ½
(1/(µ[0] 0 µ [r]r))* B².
Da (Induktionsgesetz) : E = B* v : ½ e[0] 0 e r [r]*B² v² = ½ (1/(µ[0] 0 µ [r]r))* B² :
v = 1/v(µ[0] 0 µ r [r]*e[0] 0 e [r]r) = Ausbreitungsgeschw. (des B-Feldes d.h.) der Welle .
Im Vakuum (Luft) : e[r] r = µ[r] r = 1 : c[0] 0 = 1/v(e 0 [0]*µ [0]0)
= 2,99*10(hoch 8)8 = Lichtgeschw.
In Materialien ist i. A. µ[r] r = 1 : Ausbreitungsgeschw. in Materialien :
c = c [0]0 /ve[r] r = c[0] 0 .
DGL für el.mag. Wellen
Maxwellgleichungen : B‘‘ = B?? *1/c² , analog E : Lsg.: B = (B^)sin(kx – wt + f ) ,
analog E : B & E sind im Fernfeld in Phase .
Dipol Eigenfrequenzen in Materie
Empfangsdipol in Materie : für optimalen Empfang , bei fester f : Länge des Dipols so
eingestellt werden , dass gilt : d = k*λ k[k] /2 = k* c/(2f) . In Materie verringert sich c ,
da f gleichbleibt verringert sich auch λ . Eigen-f : f[k] k = k* c/(2d) , k ? ∠ (ohne 0)
Doppelspalt
Spalten des Doppelspalts stellen Sender dar , gleiche f & in Phase schwingen
(kohärent) . Treffen 2 Wellen aus diesen Sendern am Empfänger an , so interferieren
sie . Sofern a>>d : Wellen-Strahlen parallel .
δ heißt Gangunterschied & ist = Differenz der Entfernungen von Spalt 1 zum
Empfänger und Spalt 2 zum Empfänger .
Konstruktive Interferenz (Max. am Empfänger) : muss δ = k*λ , k ? Z ; max. δ = d :
δ = d . Destruktive Interferenz (Min. a m Empfänger) : δ = λ (2k – 1)/2 , k ? Z (ohne
0).
Aus Skizze : sin a = δ/d ; tan a = x/a : Bsp.: 1. Max. : δ = λ : sin a[1] 1 = λ /d ;
tan a[1] 1 = x 1 [1]/a . Unterer Strahl braucht Vorsprung vor Oberem wenn beide in
Phase an E ankommen sollen (Max.) : bei gegenphasiger Schwingung ist Max.bed. =
Min. bed. (s.o.) ; bei anderem Phasenwinkel f : f (im Bogenmaß) = 2π*δ/λ ;
f ° = 360° *δ/λ ; Anteil an der Periodendauer T : t = T *δ/λ .
- 36 -
Welleneigenschaften mit Mikrowellen
Mikrowellen sind ebenfalls el.mag. Wellen mit Wellenlä ngen im cm-Bereich und f im
Gigahertz-Bereich .
I.
Strahlenförmige Mikrowellen (Sendecharakteristik)
Horn als Resonator : Mikrowellen als seitlich
begrenztes Bündel abgestrahlt : linear
ausbreitende el.mag. Welle (strahlenförmig).
Empfänger = Hochfrequenzdiode =
Hertzscher Dipol : steht vertikal : empfängt
im Sendebereich ein Signal ; horizontal :
Kein Empfang : E-Feld-Vektor der Welle
steht vertikal : ausgesandte Welle ist
polarisiert . E-Feld-Vektoren liegen in einer
Ebene : Polarisationsebene (der lin. Welle ).
2. Reflexion an einer Metallwand
a) Welle trifft senkrecht auf Metallplatte : Interferenz : stehende Welle : Abstand
zwischen 6 Knoten (= 5*λ /2) : 8 cm ( nicht von Wand aus messen) :
Wellenlänge = 3,2 cm : bei Sende-f von 9,35 GHz : c = λ *f = 3*108 (hoch 8) m/s .
b) Welle trifft unter Winkel a auf Platte : wird unter Winkel a reflektiert :
Reflexionsgesetz (Einfallswinkel = Reflexionswinkel ) gilt auch bei el.mag. Wellen .
3. Polarisationsebene (Welle auf Gitter)
Linear polarisierte Welle trifft (senkrecht) auf Metallgitter :
a) Gitterstäbe sind parallel zu E (= vertikal) : Empfänger registriert hinter Gitter kein
Signal mehr , vor Gitter aber steh. Welle .
b) Gitterstäbe senkrecht zu E : registriert weiterhin Signal .
c) Gitterstäbe um 0°< a < 90° gegenüber Polarisationsebene gedreht : entsprechend
schwächerer Empfang .
Erklärungen
Parallel zu E stehenden Gitterstäbe = Hertzsche Dipole : Eigen-f f[G] G << Sende-f
f[S] S da ihre Länge D erheblich größer als ausgestrahlte Wellenlä nge ist :
Oberschwingungen werden angeregt : Bed. D = k*λ /2 automatisch erfüllt : für hohe k
verteilt sich Fehler zwischen λ [Resonanz] Reson anz und λ auf viele Wellenlängen : λ (und damit f) liegt
immer noch im Resonanzbereich . Schwingungen zu denen Gitterstäbe angeregt wurden
sind um nahezu 180° gegenüber anregender Schwingung phasenverschoben ( vgl.
erzw. Schwing. ) . Welle[Gitter] Gitter in Empfängerrichtung löscht ursprüngliche Welle aus
, in Sendedipolrichtung Interferenz mit ursprünglicher Welle : steh. Welle .
Metallwand ist auf Gitter mit sehr nahen Stäben : Reflexion . An Wand E-Knoten und
B-Bauch , E macht Phasensprung von 180° , B ohne Phasensprung reflektiert ,
bilden immer folgendes Dreibein :
Steht Gitter verdreht : Abschwächung Empfang : Zerlegung der einfallenden Welle in
Komponente parallel (Reflexion) zu Gitterstäben und Komponente senkrecht
(Durchlass) dazu . Wenn Empfangsdiode ebenfalls gedreht wird (senkrecht zu
gedrehten Gitterstäben steht) : max. Signal .
- 37 -
4. Beugung am Spalt
Hinter Spalt Strahlung überall nachweisbar
(nicht nur in gerichteter Ausbreitungsrichtung) : Beugung am Spalt : Spalt verhält
sich wie Sender : strahlt rundum in die hinter
ihm liegende Halbebene .
Brechung
1.) Das Wellenbündel (idealisiert Strahl) wird beim
Übergang in Sand zum Lot hin gebrochen .
2.) Rückwärts eingestrahlt entsprechend vom Lot
weg .
Übergang : Luft – Sand
Wenn Strahl 1 auf den Sandbehälter trifft , breitet er
sich mit der Geschwindigkeit c = c[Sand] Sand
= c 0[0] /v e[r] r im Sand weiter aus . In der Zeit ?t, die
der 2. Strahl benötigt bis er die Strecke c [0]0 *?t
zurücklegt , legt Strahl 1 im Sand die Strecke c
Sand[Sand] *?t zurück . Geometrische Überlegungen :
sin ß = c [Sand Sand] *?t /x : ?t /x = sin ß/c[Sand] Sand ;
sin a = c [00]*?t /x : ?t /x = sin a/c[0] 0 :
sin a/sin ß = c 0 [0] /c[Sand] Sand = v e[r] r .
Def.: sin a/sin ß = c 0 [0] /c Medium[Medium] = n heißt Brechzahl des Mediums ,
Gleichung heißt Brechungsgesetz . Es gilt c [0]0 /c[Medium] Medium = v e[r] r = n .
Allg.: Beim Übergang von Medium 1 nach Medium 2 gilt :
sin a 1 [1]/sin ß[2] 2 = c 1 [1]/c[2] 2 = v(e r, 2[r,2] /e [r,1]r,1) = n 2 [2]/n[1] 1 .
Huygens’sches Prinzip
1. Punktförmiger Erreger
2. Geradliniger Erreger
Def.: Wellenbeschreibung mittels Wellenfronten oder gleichwertig mittels
Wellenstrahlen . Welle trifft auf Spalt : Hinter Spalt entsteht Elementarwelle : Spalt
verhält sich wie punktförmiger Wellenerreger .
Huygens : 1. Jeder Pkt einer Wellenfront kann als Ausgangspkt einer
Elementarwelle angesehen werden .
2. Jede Wellenfront ist die Einhüllende von Elementarwellen .
- 38 -
Anwendungen des Huygens’schen Prinzips
1. Wellenausbreitung
2. Beugung am Spalt
Der Spalt ist Ausgangspkt einer Elementarwelle , da es keine weiteren Ausgangspkte
gibt , ist diese gleichzeitig die (auch beobachtete) Wellenfront .
3. Reflexion
Trifft Wellenfront 1 auf die
reflektierende Wellenfront (PQ) , so
ist P Ausgangspkt einer
Elementarwelle . Erreicht Wellenfront
1 Q , so bildet die Einhüllende die
reflektierte Wellenfront 1‘. (Konstr.:
Tangente an k(P;λ) durch Q :Thales).
4. Brechung
Optik
Brechung bei Licht
Lichtstrahl trifft auf halbzylinderförmigen Plexiglaskörper . Beim Messen des
Einfallswinkels a und Ausfallwinkels ß zeigt sich : Brechungsgesetz gilt für Licht :
- 39 -
Lichtgeschwindigkeit
Aus Verschiebung des Oszi-Bildes
errechnet man die Zeit , die Licht für
Strecke ?s benötigt :
? t = 1*10(hoch -9)-9 s ; ? s = 0,3 m
c = ? s/? t = 3,0*10(hoch 8)8 m/s .
Ausbreitungsgeschwindigkeit in Medien
5 cm dicker Plexiglaskörper wird in den Lichtweg gebracht : in Plexiglas
Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner : Verschiebung des Oszi-Bildes : Licht braucht
länger : ˜ 10 mm = 52 ns / 600 = ?t = t[Glas] Glas - t[Luft] Luft = 8,7*10(hoch -11]-11 s
( Wobei t[Luft] Luft = Zeit die Licht für a = 5 cm in Luft benötigt und
t[Glas] Glas = Zeit die Licht für a in Glas benötigt) : ?t = t[Glas] Glas - t[Luft] Luft =
a/c[Glas] Glas - a/c[0] 0 :
c[Glas] Glas = c 0[0]*a/(a+ c[0] 0 ?t)
8
= 2,0*10(hoch 8) m/s : n[Glas] Glas = c [0]0 /c[Glas] Glas = 1,5 .
Wiederholung obigen Versuchs mit Wasser :
Daten : a = 1 m ; ? t = 6,6*10(hoch -7)-7 s/600 = 1,1*10(hoch -9)-9 s :
c[w] w = c 0[0] *a/(a+ c 0[0] ? t) = 2,3*10(hoch 8)8 m/s : n[w] w = c 0[0] /c[w] w = 1,3 .
Interferenz bei Licht
Beob.: An manchen Stellen auf dem
Schirm entstehen Maxima bzw. Minima
der Lichtintensität .
Bed. für Max. / Min. s. el.mag. Wellen:
Doppelspalt .
Wenn Abstand des Schirms a >> g ,
dann verlaufen Strahlen aus beiden
Spalten näherungsweise parallel
(Frauenhofersche Näherung). Für
diesen Fall gilt : siehe nächste Grafik .
Geo. Überlegungen : tan a = d/a ;
sin a = δ/g .
Bem.: Für kleine Winkel a (a = 10°)
gilt : sin a = tan a : δ/g = d/a .
Dann gilt : Abstand des k-ten Max.
von M (= Ort des 0-ten Max.) :
d[k] k = k* a* λ / g . (Max.bed.) .
Analog Min. (Für a > 10° : a
berechnen).
Abstand des k-ten Max. vom k+1-ten (benachbarte Max. , a klein) : ?d = d k +1[k+1] d[k] k = (k+1) λ* a / g – k* λ* a/g = λ* a(k+1-k)/g = λ* a/g . Anzahl der Max (! Keine
kleinen Winkel a) : δ = g ⇒ k* λ = g .
- 40 -
Dispersion
Die versch. Lichtfarben sind in Medien unterschiedlich schnell ⇒ Dispersion .
Bsp.: blaues Licht ist in Glas langsamer als rotes Licht und wird deshalb auch stärker
gebrochen .
Weißes Licht am Doppelspalt , Wellenlängen
Für Interferenz muss man
Beleuchtungsspalt als Lichtquelle
verwenden . Die von ihm
ausgehenden Elementarwellen
werden mittels Sammellinse auf
Doppelspalt gelenkt .
Beob.: Mehrere sich zum Teil überlappende Spektren . In der Mitte (0. Max.) weiß ,
im 1. Spektrum (1. Max.) von blau nach rot . Benutzt man Filter , so erkennt man die
entsprechenden Farben an den Stellen , an denen vorher diese Farben waren : Es
bilden sich „Zebrastreifen“ ⇒ Man sieht die aufeinander folgenden Max. : durch
dunkle Stellen unterteilt .
Wellenlänge von blauem Licht ist kleiner als von rotem .
Kohärenz
Interferenz hat etwas mit der Größe der Lichtquelle zu tun .
A liegt auf der optischen Achse , B liege so weit von A entfernt , dass die Spalte des
Doppelspalts gegenphasig senden (= Gangunterschied der Strahlen von B sei λ /2) :
s = ⊕Β . Folgerung : Die Max. von B liegen an den Min. von A und umgekehrt : keine
Interferenz sichtbar .
Strahlensatz
Ss/b = ½ ? d/a mit ? d = a *λ /g = Abstand benachbarter Maxima.
S s = ½ a* b* λ /a* g = λ* b/2g ˜ λ /2e sofern e klein ⇒ e ˜ sin e ˜ g/b : bis hier her
keine Interferenz sichtbar (Wahl s = ⊕Β ).
Damit Interferenz sichtbar ist muß Größe der Quelle l << s sein : Quelle muß kleiner
sein als ⊕Β aus obiger Gleichung .
⇒ Kohärenzbedingung : l* e << s* e = λ /2 bzw.: l* e << λ /2 .
- 41 -
Spezielle kohärente Lichtquelle : der Laser
Gleich angeregte Atome werden zur Emission von Licht verwendet . Lichtemission ist
nicht zufällig sondern durch Lichtwelle gleicher Frequenz (Wellenlänge) ausgelöst :
stimulierte Emission .
Dabei ist die vom Atom ausgesandte Welle (Sekundärwelle) mit der a uslösenden
Primärwelle in Phase : Verstärkung (Amplification) .
He- Ne- Laser : ständige Anregung von He- Atomen durch Gasentladung : regen
durch Stöße wieder Ne- Atome an : diese senden ihr Licht erst mit einiger
Verspätung aus : durch diese Zeitspanne Erzeugung einer großen Zahl angeregter
Ne- Atome : durch Stimulation : Aussendung ihrer Strahlung .
Eine vom Ne- Atom zufällig ausgesandte Welle , die senkrecht auf einen Spiegel
trifft , wird reflektiert : regt auf Weg durch Gasgemisch viele Ne- Atome zur
phasengleichen Lichtemission an : Verstärkung Lichtstrahl & Reflexion zwischen
Spiegeln . Wenn Spiegelabstand = Vielfaches der Wellenlänge : stehende Welle mit
sehr großer Amplitude :
Durch den teildurchlässigen Spiegel verläßt dabei intensives Licht einheitlicher
Wellenlänge und Richtung den Laser : ist daher = kohärente Lichtquelle : erzeugt :
schmale parallele Lichtbündel einer Frequenz .
Aufbau :
- 42 -
Optisches Gitter
Optisches Gitter = mehrere Spalte mit gleicher Breite & Abstand : mit Laserstrahl
beleuchtet : Interferenzmuster : absolute Maxima heller , weiter voneinander entfernt
& schärfer als beim Doppelspalt .
Bed.: für absolute Maxima (= alle Strahlen aus allen Gitterstäben interferieren
konstruktiv) : δ = k* λ .
Geo. Überlegungen : sin a = δ/g & tan a = d/a
Anzahl der absoluten Maxima beim Gitter :
max. möglicher Winkel a[k] k für absolutes
Max. ist 90° : sin a [k] k = k* λ /g = 1
k* λ = g ⇒ k = g/λ .
Eine einfache Bedingung für Minima gibt es
nicht .
Bem.: Der Spaltabstand g beim Gitter heißt auch Gitterkonstante . Jedes Atom/
Molekül hat spezifische Spektrallinien .
Messversuch : Hg- Dampf- Lampe (Quecksilber) :
Daten : Beim Gitter (fast) nie kleine Winkel a , Gitter besitzt 6000 Striche pro cm :
g = 1 cm/6000 = 1,67* 10(hoch -6)-6 m , a = 34,2 cm , Messtabelle : gemessen : Bsp.:
d[1] 1 - d[-1] -1 = 26,1 ± 0,2 ; d[1] 1 = 13,1 ± 0,1 ; aus tan a [1] 1 ⇒ a[1] 1 = 20,8° – 21,1°.
λ = sin a 1[1] *g (in nm) = 593 – 601 (Mittelwert : 597) ; Farbe :
orange ; angeg. λ auf Lampe = 578 . g neu berechnet : d[1] 1 -d[-1] -1 = 221 cm ± ½%
; a = 2,65 m ± ½% ( Fehler)
? g = 1,64* 10(hoch -6)-6 m + 2% zur Angabe von 1,67* 10(hoch -6)-6 m .
schräg auf ’s Gitter draufstrahlen : s. auch Buch S. 236 Nr.: 13 : g des ursprünglichen
Gitter ‘s wird kleiner , Spalte werden kleiner , Spalte senden leicht - stark
phasenverschobene Wellen aus (kommt auf Schrägstellung (f ) an wie stark).
Beugung am (Einzel-) Spalt
Laserstrahl erzeugt auf Schirm einen scharfen Fleck . Strahl durch Spalt
eingeschränkt : Fleck wird größer & von Dunkelstellen unterbrochen ? beleuchteter
Spalt ist in jedem Pkt Ausgangspunkt einer Elementarwelle ? können interferieren .
Interferenzmuster am Einzelspalt : konstruktive Interferenz aller (paralleler) Strahlen
nur für a = 0° : Interferenzmuster besitzt nur ein Hauptmaximum in der Mitte ? durch
2 Minima begrenzt .
Minima- Bedingung beim Spalt
Für Minima muss jeder Strahl Partner finden um destruktiv zu interferieren (unter a).
Minimum 1. Ordnung : Randstrahl 1 mit Strahl 1‘ destruktiv interferiert
(Gangunterschied : λ /2) ? jeder andere Strahl ( z.B.: 2 ; 3) findet Partner (2‘ ; 3‘) um
destruktiv zu interferieren : dann haben die beiden Randstrahlen den
Gangunterschied δ = λ . Für k-te Minima : Randstrahlen haben Gangunterschied
δ = k* λ ; k ? 9 \ {0} . k-tes Minimum tritt unter a [k] k auf :
sin a [k] k = δ/b = k* λ /b ; k ? 9 \ {0} . Anzahl der Minima : 1 = sin a[k] k = k* λ /b
⇒ k = b/λ . Zwischen 2 Minima ist ein (im allgemeinen lokales) Maximum .
- 43 -
Skizze zum Einzelspalt
Prinzip des schrägen Gitters
Geo. Überlegungen
tan a[0] 0 = d[0] 0 /a ⇒ d[0] 0 = tan a 0 [0] * a

tan (a[0] 0 + a [1]1) = d[1] 1 /a
d
⇒ d[1] 1 = tan (a[0] 0 + a [1]1)* a

Gangunterschied benachbarter Strahlen :
|
x[1] 1 + δ[2] 2 + x[2] 2
_
||
x[1 1 ] + δ[1] 1 + x[2] 2
⇒ δ = δ[2] 2 - δ[1] 1
δ[1] 1 = sin a[0] 0 * g ; δ[2] 2 = sin (a[0] 0 + a [1]1) *
g ;
Max. : δ = k* λ
dasselbe Prinzip
am schrägen (nicht
am Reflexions -)
Gitter :
- 44 -
Gitter bestehen aus Einzelspalten
Die Intensitätsverteilung des Gitters liegt im Interferenzmuster der Einzelspalte , aus
denen das Gitter besteht . Daher haben die Gittermaxima verschiedene Intensität (ist
durch die Intensität der Spalte begrenzt). Insbesondere können Gittermaxima
ausfallen , wenn sie unter einem Winkel a[k] k auftreten , unter dem die Einzelspalte
ein Minimum besitze n :
b < g ; Min. (Einzelspalt) , Max. (Gitter) ; sin ß[k] k = k* λ /b , sin a[k] k = k* λ /g :
Für a[k] k < ß[k] k gibt es Max. (Bsp.: a [2] 2 = ß[1] 1 : g = 2b) :
Wenn 1 bei P Min. hat , hat 2 bei P etwas Intensität : 1 & 2 kommen ja eigentlich
nicht in einem Punkt P an bzw. haben nicht am selben Punkt ein Min. sondern leicht
verschoben (um g) .
Dadurch sind Max. des Gitters , die eigentlich wegen s. o. ausfallen müßten evtl.
noch zu sehen . Da die Intensität der Max. wegen der Einzelspalte in höheren
Ordnungen stark abnimmt , sieht man evtl. Max. , die eigentlich da sein müßten ,
nicht mehr , da zwar Licht ankommt , aber nicht genug für unser Auge .
Polarisation
ℵ Polarisationsfolien ;
ℑ Licht ist i. A. nicht polarisiert ;
- 45 -
℘ Polarisation durch Streuung : gestreutes Licht ist polarisiert . Erklärung :
⊗ Polarisation durch Reflexion – das Brewstersche Gesetz :
Interferenz an dünnen Schichten
- 46 -
Interferenz an Kristallen
Mikrowellen werden an räumlich angeordneten Kunststoffscheiben reflektiert .
Versuch :
sin f = δ 1 [1]/d ⇒ δ[1] 1 = sin f *d , entsprechend δ[2] 2
Strahlen , die an benachbarten Ebenen reflektiert werden , haben Gangunterschied :
δ = δ[1] 1 + δ[2] 2 mit : δ = 2* sin f *d . Bei best. f interferieren Strahlen konstruktiv :
δ = k* λ ; Winkel heißen dann Glanzwinkel f [k] k .
⇒ Bragg-Bed. : k* λ /(2d) = sin f [k] k ; k = 1 ; 2 ; 3 ; ... .
Experimentelle Realisation bei Kristallen
Bei Kristallen : Abstände der Netzebene im Bereich von d ˜ 10(hoch -10)-10 m
⇒ um Bragg-Bed. zu erfüllen : Wellenlängen mit 10(hoch -12)-12 - 10(hoch -10)-10 m .
⇒ Röntgenröhren ? liefert kontinuierliches Spektrum von Wellen ; einzelne
Wellenlängen sind besonders intensiv . Diese bes. intensive Strahlung auf
Netzebene 100 von NaCl fallen lassen & f variieren . Gleichzeitig Zählrohr um 2f
drehen (Drehkristallmethode nach Bragg).
Wenn bei f Intensitätsmax. ⇒ hat man
unter Glanzwinkel f [k] k auf 100
eingestrahlt .
- 47 -
Debye - Scherrer – Kristallpulver - Verfahren
Feingeriebenes Kristallpulver : Bestrahlung mit monochromatischer
Röntgenstrahlung & Registrierung mit einem Film : Entstehung von konzentrischen
Kreisen auf dem Film :
In dem zsmgeklebten Pulver liegen immer etliche
Kristallstückchen so , dass eine der möglichen
Netzebenen unter einem zugehö rigen Glanzwinkel
getroffen wird , daher treten stets alle möglichen
Glanzwinkel auf .
Ist f ein Glanzwinkel , so wird räumlich so abgestrahlt , dass ein Kegel entsteht :
Auftreffpunkte bilden einen Kreis .
Röntgenstrahlen „suchen“ sich diejenigen Kriställchen , deren Ebenen unter
Glanzwinkeln zum Röntgenstrahl liegen (wobei 99% der Strahlung so durchgeht und
nur sehr wenig an den Kriställchen wirklich reflektiert wird). Aufgeklappter Film :
Fotoeffekt
Einige e? haben durch das Licht
soviel E nergie (W [B]B) bekommen
, dass sie bis zur A kommen ? A
wird neg. , K pos. ? von A nach K
fließen e ?, da I keinen R hat . Bei
Ersetzung I durch U ist R = 8
? e? können nicht von A nach K
fließen? irgendwann A so stark
neg. , dass keine e ? mehr
ankommen können .
? A und K = 2 Platten eines Kondensators : dessen U kann man messen .
Man hat aber kein Spannungsmeßgerät mit R = 8 ? Trick : Quelle anschließen ? A
zusätzlich neg. laden ? damit keine e? mehr ankommen , muß man entsprechende
Spannung anlegen (z.B.: 1 V) : es fließt kein I mehr . ? schnellste e ? erreichen A
gerade nicht mehr ? haben gerade nicht mehr 1eV Energie .
- 48 -
Lampe :
Helligkeit
Anzahl der e?e? ()
Farbe
W[B] B der e?e? ().
∑ kann eigentlich nicht sein , da el. mag. Wellen nur von der Amplitude
abhängen nicht von der Frequenz (∏ Farbe) .
Überprüfung
Farbe
U in V
Weiß
1,2
Violett
1,08
Blau
0,85
Grün
0,37
Gelb
0,14
Rot
0 (? kein Fotoeffekt)
⇒ W[B] B hängt von der Frequenz (? Farbe) ab ⇒ Licht ist keine el. mag. Welle
? besteht aus „Quanten“ (˜ „Energiebrocken“ unterschiedlicher Größe).
Ein einfach- kubischer Kristall läßt sich parallel zur d [100] 100 - Netzebene leichter
spalten als in jeder anderen Richtung , da bei dieser Netzebene der Abstand
benachbarter Netzebenen maximal ist .
I.
II.
Plancksches Wirkungsquantum & Lichtquanten
Wechselwirkung von Licht mit Materie
Streuung an Materie : e ?in den Atomen werden zu Schwingungen angeregt
(angeregte Atome) : senden dadurch selbst el. mag. Wellen aus .
Fotoeffekt : e?aus Atom herausgelöst ? Ionisation ? e? sind frei .
Der Fotoeffekt
Gemessener Strom zwischen A & K wird durch herausgelöste e? hervorgerufen :
erreichen aufgrund ihrer W[B] B noch A & fließen über Meßgerät zu K zurück (bei
geschlossener Lochblende ohne Filter).
Größere Lichtintensität (Lochblende öffnen) (Licht darf nur auf K treffen) : größeres I .
Gegenspannung zwischen K & A ? Bestimmung von W[B, max.] B , max (Anlaufen
gegen
E- Feld). Zum Bestimmen von W[max.] max variieren der Gegenspannung
bis I = 0 A : kein e? gelangt mehr zu A ? W[max.] max = q *U = e *U .
Lochblende öffnen (Vergrößerung der Lichtintensität) : kein I tritt auf ⇒ freigesetzte
e? erhalten nicht mehr Energie : max. Gegenspannung U (nicht aber I) & damit
W[max.] max der e? hängt nicht von Beleuchtungsintensität ab , sondern von der
Wellenlänge / Frequenz :
- 49 -
h- Bestimmung mit Vakuumfotozelle
Monochromatischer Lichtstrahl (Filter) fällt auf K : löst e aus : gelangen zu A :
verursachen I .
Gegenspannung U so anlegen , dass die schnellsten e gerade nicht mehr A
erreichen (I = 0 nA) ⇒ W[max.] max in Abh. der Lichtfrequenz : W[max.] max = e *U
(Einheit : 1 eV = 1,6 * 10(hoch -19)-19 J).
f- U- bzw. f- W- Schaubild ; Einstein- Gerade
Lichtfrequenz ist für W der Foto - e verantwortlich .
Geradengleichung : W[max.] max = h *f - W[a] a ; Steigung h heißt Planksche
Konstante (Plancksches Wirkungsquantum) : h = 4,14 *10(hoch -15)-15 eV s = 6,63
*10(hoch -34)-34 Js. f & Gegenspannung U bzw. W[max.] max sind nicht proportional
zueinander .
Schnittpunkt der Einstein- Gerade mit der f- Achse bestimmt die f , unterhalb derer
auch ohne Gegenspannung kein I auftritt : es werden keine e? herausgelöst : kein
Fotoeffekt . W[max.] max - Achsenabschnitt gibt Ablösearbeit (Ionisationsenergie) W[a]
a an.
Die W mit der eine el. mag. Welle mit Materie wechselwirkt ist also um so größer je
größer die f der Welle ist (? Widerspruch zur Elektrodynamik) .
Fotoeffekt tritt augenblicklich oder gar nicht auf . Es ist schwer vorstellbar , dass ein
e? (pkt.- förmiges Teilchen) von einer räumlich verteilten Welle aus dem Atom
herausgestoßen wird (e? besitzt nach der Wechselwirkung eine größeren Impuls
p = m *v).
Einstein : Licht enthält W nur als (Licht-)Quanten oder Photonen : W[Phot] Phot = h *f.
Beim Fotoeffekt löst ein Photon ein e?aus dem Metall & überträgt ihm dabei seine
W[Phot] Phot = h *f = W[a] a + W[max.] max . Es wird die ges. W eines Photons an ein e?
abgegeben : das Photon verschwindet damit (bzw. die Restenergie / der Restimpuls
des Photons verschwindet sobald es mit dem Atomkern zsmstößt (sehr langsame
Photonen)).
Röntgenstrahlung
Entstehung von Photonen (des sichtbaren Lichts)
Wenn ein Körper heiß ist : Stöße zwischen den Atomen : W von einem Atom aufs
andere übertragen : evtl. diese W nicht in W[B] B des gestoßenen Atoms
umgewandelt , sondern e? aus der Hülle erhält einen Teil dieser W :
Beschleunigung ? angeregtes Atom (? evtl. Ionisation). Solche e? geben die
zugeführte W wieder ab & senden dabei 1 (oder mehrere) Photonen aus , dessen W
der beim Stoß übertragenen W entspricht .
Röntgenstrahlung
Sehr stark beschleunigtes e? (W e
etliche k eV) trifft auf Metall (Anode) :
wird in der e ?- Hülle eines Atoms
abgebremst : gibt seine W in Form 1
oder mehrerer Photonen ab .
⇒ Röntgenbremsstrahlung
(Umkehrung des Fotoeffekts) .
Gibt e?seine W an ein einziges Photon ab , so besitzt dieses die max. mögliche
Energie (kleinste Wellenlänge). e? , die ihre W an mehrere Photonen abgeben ,
erzeugen Photonen geringerer W (größerer Wellenlänge). ? kontinuierliches
Spektrum der Röntgenröhre – die sog. Röntgenbremsstrahlung .
- 50 -
Photonenimpuls & Comptoneffekt
Einschub : Wechselwirkung von Licht mit Materie
Ergebnisse aus der Relativitätstheorie
1.) Die Lichtgeschwindigkeit ist die obere Grenze für Körper & Signale
2.) Jeder Masse (Trägheit) m ist Energie zugeordnet & umgekehrt , gemäß W = mc².
⇒ Ein Photon der Energie (Frequenz) W (f) besitzt die Trägheit :
m = W[Photon] Phot / c² = h *f / c² (relativistische Photonenmasse – nicht
Ruhemasse
(m[0] 0 = 0)). W = h* f – W A (= Ionisationsenergie)
3.) Für den Impuls eines Photons gilt dann nach 2.) :
p[Photon] Phot = m[Photon] Phot *c = W[Photon] Phot / c = h *f / c = h / λ .
f[grenz] grenz = W / h ; W = n* W[Phot] Phot = n* h* f ; S = Bestrahlungsstärke = W / (A*
t) (Einheit :
W / m²) ; Energie der vom Quant ausgelösten Fotoelektronen :
n[e] e * (W[Phot] Phot – W [a]a) (n[e] e = Anzahl der Fotoelektronen).
Stöße von Quanten mit freien Elektronen
Photon trifft auf einzelnes , ruhendes e? & wechselwirkt mit ihm (Stoß) : Ruhemasse
des e?ändert sich nicht : Photon führt (schiefen) elastischen Stoß aus : W & Impuls
(p) wird auf e? übertragen : IES & EES gelten (Mechanik) : Zustand (W & p der
Partner) des Stoßpartners nach Stoß ist eindeutig bestimmt .
Nach Stoß muss e? W[B] B & p
besitzen
⇒ neues Photon muss existieren :
mit geänderter Ausbreitungsrichtung
& Wellenlänge λ‘ : damit IES & EES
gelten .
Bemerkung
Relativistische Rechnung : für Wellenlängenänderung ? λ in Abh. von ß
(Streuungswinkel des Photons) muss gelten :
? λ = λ‘ - λ = (1 - cos ß)* h /(m[e] e * c). !! gilt nur für ß ? 0° bzw. ? λ ? 0 m bzw. f ‘ ? 0
Hz. ⇒ Stoß ist stets schief : sonst wäre es möglich , dass ein Quant seine ges. W &
seinen ges. p an ein e? abgibt : bei relativistischer Rechnung des IES & EES nicht
möglich . Wenn e? die ges. W des Photons aufnimmt , wäre sein p nicht so groß , wie
der des Photons vor dem Stoß : Es müsste einen Quant ohne W aber mit p geben :
Widerspruch zu oben .
- 51 -
Bestätigungsversuch
Auf Bleiplatte fällt Gammastrahlung eines Kobalt- 60
Präparats . Zählrohr mißt Intensität der Strahlung , die
⊥ zur ursprünglichen Ausbreitungsrichtung ist .
Untersuchung von W & damit λ : Plexiglasscheibe in
den Strahlengang stellen & die Zahl Z der Impulse
messen (während 10 min) :
a) ohne Plexiglas :
Z[a] a = 700
b) Plexiglas vor Präparat : Z[b] b = 700
c) Plexiglas vor Zählrohr : Z[c] c = 550
Bei a) & b) ist Z gleich : Strahlung kann Plexiglas ungehindert durchdringen . Da Z
bei c) kleiner , kann es nicht mehr dieselbe Strahlung sein wie die ausgesandte
Gammastrahlung . Diese Strahlung kann Plexiglas nicht so gut durchdringen : ist
energieärmer : λ‘ > λ .
Materiewellen – de Broglie
De- Broglie- Wellenlänge
Wenn ein Körper der Masse m den Impuls p = m* v hat , hat er die Wellenlänge
λ = h /p (da p = h /λ).
Interferenz- & Beugung von Materiewellen
Da h sehr klein , muss p auch sehr klein sein , damit λ nicht zu klein wird für
geeignete Interferenzversuche : Wir nehmen e ?: m[e] e = 9,1* 10(hoch - 31)-31 kg .
Beob.: 2 Kreise .
Erhöht man die Beschleunigungsspannung
U[a] a , so verkleinern sich die Radien .
Bild entspricht einer Debye - ScherrerAufnahme . Unterschreitet U[a] a einen
gewissen Wert , so treten keine
Interferenzkreise auf (da λ > g ; λ muss aber <
g sein , damit Interferenz auftritt).
Bild entspricht einer Debye - Scherrer- Aufnahme mit Röntgenstrahlen .
Bestätigungsversuch für De- Broglie- Wellenlänge :
W[B] B = U [aa]* e = ½ m v² ⇒ v = √(2 U a [a]* e / m)
⇒ p = m* v = √(2 U a[a]* e* m) ⇒ λ = h / p = h / √(2 U a[a]* e* m)
Da Debye- Scherrer : sin ϕ[n] n = sin α n [n]/2 = n* λ /(2d)
Da kleine Winkel : r/a = tan α n[n] ≈ sin α n[n] = sin (2ϕ n [n]) ≈ 2 sin ϕ n [n] = 2 sin α
[n]/2
⇒ r/a = n* λ /d .
- 52 -
n
(Einschub :
A
B
Wie A nur statt Elektronen jetzt mit Kohlenstoff- 60- Atomen : es entsteht die selbe
Auftreffwahrscheinlichkeit ⇒ Elektronen & Atome sind Quantenobjekte .
C
Bei Versuch A ein Loch zumachen : Es entsteht das Interferenzmuster eines
Einzelspaltes ⇒ Elektron „weiß“ ob 2 oder 1 Spalt offen ist .
D
Bei Versuch A einen Spalt (A) mit einem Laser („Auge“) beobachten (um
herauszufinden wo die Teilchen durchfliegen (Spalt A oder B)) : Elektronen beider
Spalte verhalten sich klassisch :
⇒ keine Interferenz .
→ Laser „schießt“ mit Quanten →
Wechselwirkung mit Elektron →
Quant verschwindet (→ kann man
feststellen)
⇒ Das Elektron durch Spalt B
„weiß“ ob Spalt A beobachtet wird
→ verhält sich dann ebenfalls
klassisch → wie die Elektronen
durch Spalt A (obwohl es bei B
keine Wechselwirkung gibt).
E
Wie Versuch D nur mit halbem Auge zusehen (nur jedes 2. Elektron wird beobachtet)
⇒ Es entsteht eine Mischung aus A (Interferenz) & D (klassisch) .
Voraussetzung :
Keine Strahlung (keine Höhenstrahlung , Licht , etc. → würde auf Elektron wie Laser wirken ;
Ausschalten schwarzer Strahler : auf 0 Kelvin kühlen).
Vakuum (keine Wechselwirkung mit anderen Teilchen möglich).
-
- 53 -
Unbestimmtheitsrelationen
Ort der durchfliegenden Photonen
wird im Mittel auf die Spaltbreite b
begrenzt :
? ξ ˜ b (mittlere
Ortsunbestimmtheit).
Vor dem Spalt ist diese 8.
Durch die „Richtungsänderung“
erfahren die Photonen eine
Impulsänderung in x- Richtung
(vorher : Impuls #p = #p[y] y in
Ausbreitungsrichtung (p[x] x = 0) ;
jetzt : Impuls auch quer zur
Ausbreitungsrichtung (p [x]x )).
Annahme : die Photonen werden im Mittel bis zum 1. Minimum abgelenkt :
Abschätzung der mittleren Impulsänderung ? p[x] x .
Winkel unter dem das 1. Min auftritt : sin (a[1] 1) = λ /b ≈ λ /? ξ
Zwar wird der Impulsvektor #p geändert , aber sein Betrag nicht : p = p‘ = h/λ
Geo. Überlegungen : sin (α [1]1) = ? p [x] x /p‘ = ? p[x] x /p
Gleichsetzen : ? p[x] x /p ˜ λ /? ξ ⇒ ? ξ * ? p [x] x ˜ p* λ = h . ? Heisenbergsche
Unschärferelation .
Für die Unbestimmtheit von Ort & Impuls von Quantenobjekten in
Ausbreitungsrichtung gilt : ? ξ * ? p[x] x ˜ h ( ? p[x] x ˜ h /? ξ ? je kleiner ? ξ , d. h. je genauer
der Ort bestimmt ist , desto größer ist der mittlere Impuls , d. h. desto größer ist die Impulsabweichung
(und damit die Abweichung der Wellenlänge) nach oben bzw. unten)
Weitere Unschärferelationen :
? y * ? p [y] y ˜ h ; ? W * ? t ˜ h
;
h* ? f * ? t ˜ h ⇒ ? f * ? t ˜ 1 .
W von Photonen
Beispiel : Elektronen im H- Atom
Mittlere Ortsunbestimmtheit : ? ξ = L (= Atomdurchmesser) ;
Impuls in x- Richtung des e? schwankt zwischen + p[x] x & - p[x] x
⇒ Impulsunbestimmtheit : ? p[x] x = 2 p[x] x = 2 m [x] x .
Unbestimmtheitsrelation : ? ξ *? p x [x] = h = L* 2 m  x [x] ⇒  x [x] = h / (2 L m) .
Mittlere kinetische Energie in x- Richtung : W kin , x [kin ; x] = ½ m  x [x]² = h² /(8 L² m).
Mittlere kinetische Energie für alle Richtungen : W kin [kin] = 3 h² /(8 L² m) = W L[L]
Lokalisationsenergie ↵ ¬
- 54 -
Der lineare Potentialtopf
Ein e?ist in einem linearen Bereich .
Es kann Potentialwand nicht
überwinden , da es nicht genügend
Energie hat (es bräuchte eine 8 hohe
Energie) :
Nur der Bereich 0 < x < L ist für es
erreichbar .
Klassisch : Jede W[kin] kin für das e? möglich (∏ kontinuierliche Energieverteilung).
e?ist Quantenobjekt : sollen sie nicht strahlen , muss man sie als stehende Welle
beschreiben (∏ ? - Funktion).
Jede mögliche Wellenfunktion (deren λ vom Impuls p [x] x bzw. ihrer W[kin] kin
abhängt) muss die Nebenbedingung ?(0) = ?(L) = 0 erfüllen (∏
Aufenthaltswahrscheinlichkeit = 0)
⇒ stehende Welle hat an den Enden Knoten .
Für λ dieser Welle gilt wegen : n* λ[n] n / 2 = L ⇒ λ[n] n = 2 L /n ; n ∈ ∠ .
Für den Impuls / W[kin] kin des e? gilt : p[n] n = h / λ[n] n = h* n /(2 L)
⇒ W[kin] kin = p [n]n ² / (2 m) = h² *n² / (8 m L²) .
Im Potentialtopf sind die möglichen
Energien n²- Vielfache von W[1] 1 .
W[1] 1 ist die Lokalisationsenergie .
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Potentialtopf
|? |² ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
n=1:
n=2:
- 55 -
n=3:
Atomphysik
Wie kann man Spektren von Atomen berechnen ?
Bohrsches Atommodel
e? umkreisen Kern wie Planeten die Sonne . Dabei müßten sie strahlen
(∏ Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung) ⇒ e? müßte Energie verlieren
⇒ müßte in den Kern stürzen è Atom wäre zerstört .
Für das Wasserstoffatom
Um Spektrum erklären zu können , fordert Bohr (3 Bohrschen Postulate) :
1.
e? dürfen nur auf best. Bahnen um Kern kreisen ∏ Energiequantelung .
2.
e? dürfen auf ihren Bahnen nicht strahlen .
3.
Wenn e? von einer weiter außen liegenden Bahn auf eine innere Bahn springen,
wird die dabei frei werdende Energie als Photon der Energie ?W = h* f
abgestrahlt (Coulombpotential des Kerns) .
Warum gehorchen e? diesen Postulaten
Schrödingers Erklärungsversuch – die Wellenmechanik
e?im Atom = stehende Welle (de Broglie) à muss auf den Bahnradius passen (1.
Postulat) .
Als stehende Welle strahlt e? keine Energie ab (2. Postulat) .
Die Schrödingergleichung (?) ist eine DGL , deren Lsgen Wellenfunktionen sind .
Argumentation (kausal- deterministisch) : e ?= Welle ∏ Probleme werden erst durch
die Umdeutung der Wellenfunktion (|?²|) gelöst , diese gibt die räumliche
Wahrscheinlichkeit des e? im Atom an (Kopenhagener Deutung) à entspricht den
Orbitalen in der Chemie .
Franck- Hertz- Versuch
An K werden e? ausgedampft , durch
UA beschleunigt & treffen dann auf
die Auffangelektrode .
IA wird in Abh. von UA gemessen.
U gegen zwischen A &
Auffangelektrode ist so gewählt, dass
für UA = 0 V IA = 0 A .
- 56 -
Beob.:
•
Bei UA < 4,9 V steigt IA kontinuierlich in Abh. von UA .
•
Bei UA = 4,9 V sinkt er & steigt dann wieder für UA > 4,9 V.
•
Dies wiederholt sich jeweils bei UA = k* 4,9 V , wobei IA jedoch nicht mehr auf
0 A sinkt , sondern stetig steigt .
Erklärung : Ab 4,9 V reicht die W B der e? aus um Hg- Atome anzuregen . Daher
gelangen weniger e? zur Auffangelektrode ∏ IA sinkt .
Danach steigt IA wieder bis zu 2* 4,9 V à die e? können jetzt 2 mal HgAtome anregen , ... (k- mal).
IA sinkt nicht auf 0 A : Dass die e?auf ihrem Weg zur Auffangelektrode
2 bzw. k Hg- Atome ionisieren wird für steigende k beliebig
unwahrscheinlicher.
IA steigt kontinuierlich : W B - W anregen = W B* ∏ je größer W B* , desto
größer v* der e? à es kommen in der gleichen Zeit bei W B*,2 mehr e ?
an wie bei W B*,1 ⇒ IA steigt .
Bem. (/Beob. ?) : Die Hg- Atome strahlen die zugeführte Energie W = 4,9 eV als
Quanten wieder ab .
f = W /h = 1,185* 1015 Hz ⇒ λ = c / f = 253 nm ∏ ultraviolettes Licht
- 57 -