Klausurvorbereitung Nr.1 Semester 2 - L

Physik – Induktion, Selbstinduktion, Wechselstrom, mechanische Schwingung
Lösungen
1. Eine Spule mit der Induktivität L = 0,20 mH und ein Kondensator der Kapazität C = 30 µF
werden in Reihe an eine Wechselspannung mit Ueff = 25 V, 100 Hz gelegt. Die Spule habe
den ohmschen Widerstand R = 10 Ω.
a) Wie groß sind Ieff, die Teilspannungen UL und UC und die Phasenverschiebung φ zwischen
Stromstärke und Spannung?
b) Wie groß ist die Resonanzfrequenz?
c) Bestimmen Sie Imax.
d) Skizzieren Sie den Verlauf der Impedanz Z in Abhängigkeit von der Frequenz.
e) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Spannungen maßstäblich und prüfen Sie an ihm den
Winkel der Phasenverschiebung.
f) Bei t = 1/10 s steigt die Spannung gerade von Null zu positiven Werten an. Wie groß sind in
diesem Augenblick die Stromstärke und die Teilspannungen an den Widerständen X L und
XC?
Es gilt: I eff =
U eff
Z
und
√
(
1
Z = R + 2⋅π⋅f⋅L −
( 2⋅π⋅f⋅C )
2
2
)
.
1
sollten extra berechnet werden, da sie später
( 2⋅π⋅f⋅C )
noch gebraucht werden. Also ergibt sich mit f = 100 Hz und L = 0,2 · 10-3 H, bzw. C = 30 · 10-6 F:
Die Werte für
X L = 2⋅π⋅f⋅L und X C =
XL = 0,1257 Ω und XC = 53,0516 Ω
und mit R = 10 Ω:
Z = 53,86 Ω
Jetzt kann man die effektive Stromstärke berechnen:
U eff
25 V
I eff =
=
Z
53,86 Ω
I eff = 0,464 A
Da es eine Reihenschaltung ist, bleibt die Stromstärke durch alle Bauteile konstant. Mit U = Z I
folgt für die einzelnen Bauteile:
U L = Z⋅I eff
U C = Z⋅I eff
Z = XL + R
Z = XC
und
U C = 53,0516 Ω⋅0,464 A
U L = ( 0,1257 Ω + 10 Ω )⋅0,464 A
U C = 24,6 V
U L = 4,7 V
Für die Phasenverschiebung gilt: tan φ =
XL − XC
R
Damit ergibt sich für φ:
φ = tan−1
(
XL − XC
R
)
(
0,1257Ω − 53,0516Ω
10 Ω
φ = −79,3 °
= tan−1
)
Für die Teilaufgaben b) bis d) ist es ratsam, wenn man den Verlauf der Impedanz über der
Frequenz, also die Funktion Z(f) kennt. Denn, erstens soll in d) die Funktion skizziert werden,
zweitens wird in b) die Resonanzfrequenz gesucht, die die Position des Minimums der Funktion
Z(f) angibt und drittens ergibt sich aus Zmin der maximale Strom Imax, der in c) gesucht ist.
Die Skizze für die Funktion Z(f):
Mit dem GTR:
√
2
(
−3
Y 1 = Z ( f ) = 10 + 2⋅π⋅f⋅0,2⋅10 −
minimum Z(f)
2
1
(2⋅π⋅f⋅30⋅10−6 )
)
→
xmin = 2055,7
ymin = 10
Damit ergibt sich für die Resonanzfrequenz:
f0 = 2055,7 Hz
Die maximale Stromstärke erhält man durch: I max =
U max
Z min
U max = U eff⋅√ 2 = 25 V⋅√2 = 35,36 V
35,36 V
I max =
10 Ω
I max = 3,536 A
(Zmin ergibt sich auch durch die Tatsache, dass bei der Resonanzfrequenz gilt: Z = R !)
Das Zeigerdiagramm für die Spannungen sieht folgendermaßen aus:
Dafür muss die Spannung über der Spule UL aufgeteilt werden. UL wurde für die reale Spule
bestimmt. Für das Zeigerdiagramm wäre es einfacher, die Spannung über den ohmschen Anteil,
also UR und die Spannung über den induktiven Anteil, also UXL, einzeln zu bestimmen:
Es ergibt sich:
U R = R⋅Ieff = 10 Ω⋅0,464 A = 4,64 V
U XL = X L⋅Ieff = 0,1257 Ω⋅0,464 A = 0,06 V
Der allgemeine Ausdruch für die zeitabhängige Spannung lautet:
̂
U (t) = U⋅sin
(ω t )
Gefordert ist, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt der Spannungsverlauf seinen Nulldurchgang
von Minus nach Plus hat. Diesen Nulldurchgang hat der Verlauf alle 2π = 360°. Damit wiederholt
sich der Verlauf alle geradzahligen Vielfache von π, also 2π, 4π, 6π,...
Die anliegende Frequenz beträgt 100 Hz, multipliziert mit der angegebenen Zeit t = 0,1 s ergibt das
einen Faktor von 10, also geradzahlig. Damit verläuft die Spannung wie oben angegeben:
̂
U (t) = U⋅sin
( ωt )
U (t) = 25 V⋅sin ( 360⋅100⋅t ) (Angegeben im Gradmaß)
Für t = 0,1 erhält man: U(0,1) = 0.
Mit der Phasenverschiebung φ folgt für den zeitabhängigen Strom:
I(t ) = ̂I⋅sin ( ω t − φ )
I (t =0,1 s) = 3,536 A⋅sin ( 360⋅100⋅0,1 − (−79,3))
I (t=0,1 s) = 3,47 A
(
Für die Berechnungen: Es gilt sin 2⋅π⋅100⋅0,1 +
)
79,3
⋅π = sin ( 360⋅100⋅0,1 + 79,3 )
180
Für die Teilspannungen:
U L = Z⋅I
U C = Z⋅I
Z = XL + R
Z = XC
und
U C = 53,0516 Ω⋅3,47 A
U L = ( 0,1257Ω + 10 Ω )⋅3,47 A
U C = 184,09 V
U L = 35,14 V
Zur Verdeutlichung sollte man sich die beiden Verläufe vorher skizzieren:
Aus der Skizze kann man schon ersehen,
dass der Wert für die Stromstärke positiv
und nahe am Maximalwert sein muss.
Wichtig ist die eindeutige Festlegung, ob
man bei der Berechnung mit der Einheit
Grad oder im Bogenmaß nutzt.
2. Eine Spule wird an Netzspannung betrieben und dabei wird ein Strom von 2,5A gemessen.
Welche Induktivität hat diese Spule?
Netzspannung bedeutet eine effektive Spannung von 230 V bei einer Frequenz von 50 Hz.
Es gilt für die Berechnung: U = I · XL
Im vorliegenden Fall ergibt sich das folgende:
U = I⋅X L = I⋅2⋅π⋅f⋅L
U
230 V
L=
=
I⋅2⋅π⋅f
2,5 A⋅2⋅π⋅50 Hz
L = 0,293 H
3. Für den Einschaltvorgang eines Stromkreises mit einer Spule gilt die folgende
Differentialgleichung für die Spannung
R
Δ U Ind
R
− t
= − U Ind mit der Lösung U (t) = −U ⋅e L .
Ind
0
Δt
L
a) Zeigen Sie, dass die Lösung die Dgl. erfüllt.
b) Bei eine Speisespannung von U0 = 10 V und einem ohmschen Widerstand der Spule von
2,1 Ω wird nach 0,1 s eine Induktionsspannung von 5 V gemessen. Bestimmen Sie die
Induktivität der Spule.
c) Skizzieren Sie den Verlauf der Spannung in der Spule.
Die Dgl. hat auf der linken Seite die zeitliche Ableitung der Spannung und auf der rechten Seie die
Spannung selbst mit einem Faktor. Man muss die Lösungsfunktion zunächst mal ableiten und
entsprechend umformen:
−
U Ind (t) = −U 0⋅e
Δ U Ind (t )
Δt
= −U 0⋅e
R
− t
L
R
t
L
( )
⋅−
R
L
(
R
− t
Δ U Ind (t)
R
= − ⋅ − U 0⋅e L
Δt
L
Δ U Ind (t)
R
= − ⋅U Ind
Δt
L
)
Man benötigt die folgende Funktion:
−
U Ind (t ) = −U 0⋅e
Damit folgt:
R
t
L
mit den bekannten Größen U0 = 10 V, R = 2,1 Ω, UInd = 5 V und t = 0,1 s.
U Ind (t) = −U 0⋅e
−
5 V = −10 V⋅e
und die Umformungen:
−
R
t
L
2,1Ω
⋅0,1s
L
5 V =−10 V⋅e
−
0,5 = e
−
2,1 Ω
⋅0,1 s
L
2,1Ω
⋅0,1s
L
2,1 Ω
⋅0,1 s
L
2,1 Ω
L =−
⋅0,1 s
ln(0,5)
L = 0,303H
ln(0,5) = −
Anmerkung zu den Vorzeichen: Man kann keinen Logarithmus berechnen von einer negativen
Zahl! Das Minuszeichen in der Ausgangsgleichung vor dem U0 kommt von der Lenzschen Regel. Die
Größe der Spannung ist mit oder ohne Minus zu jedem Zeitpunkt gleich. Daher können wir es hier
weg lassen.
Das Minus im Exponenten können wir nicht weglassen, da es den Verlauf der Spannungmit der Zeit
beschreibt. Ohne Minus würde die Spannung immer weiter ansteigen (exponentielles Wachstum),
daher muss das Minus an dieser Stelle sein.
Der Spannungsverlauf ist in etwa der folgende:
4. Ein Körper schwingt harmonisch mit der Frequenz 0,8 Hz und der Amplitude s max = 10 cm.
a) Welche Geschwindigkeit hat er in der Gleichgewichtslage?
b) Bei welcher Elongation ist die Geschwindigkeit 0,25 m/s?
Die Geschwindigkeit lässt sich durch v (t) = ω⋅̂s⋅cos ( ω t ) berechnen. Da es hier aber um die
Geschwindigkeit in der Gleichgewichtslage geht, also die maximale Geschwindigkeit, wird der
Cosinus gleich 1 gesetzt und es ergibt sich für die maximale Geschwindigkeit:
v max = ω⋅̂s = 2 π f ̂s
v max = 2 π⋅0,8 s−1⋅0,1 m
m
v max = 0,5
s
Der Term v (t) = ω⋅̂s⋅cos ( ω t ) ergibt mit allen bekannten Größen die Zeit, zu der die
Geschwindigkeit den bestimmten Wert hat:
v (t ) = ω⋅̂s⋅cos (ω t )
v (t)
0,25
cos−1
cos−1
ω⋅̂s
2 π 0,8⋅0,1
t=
=
ω
2 π 0,8
t = 0,21 s
Mit dem Zeit-Elongations-Gesetz erhält man:
s (t ) = ŝ⋅sin ( ω t )
s(t) = 0,1 m⋅sin ( 2 π 0,8 Hz⋅0,21 s )
s (t) = 0,087m
( )
(
)
5. An eine Schraubenfeder (D = 100 N/m) wird ein Körper der Masse 800 g gehängt und 4 cm
aus seiner Gleichgewichtslage nach unter gezogen und losgelassen.
a) Mit welcher Frequenz schwingt der Körper?
b) Wie groß sind Geschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers 3 cm oberhalb der
Gleichgewichtslage? Welche Zeit braucht er vom unteren Umkehrpunkt bis zu dieser Stelle?
Für die Schwingungsfrequenz gilt:
f=
√
1
D
⋅
2π m
√
N
1
m
f= ⋅
2 π 0,8kg
f = 1,78 Hz
100
Mit den genannten Bedingungen zum Start der Schwingung muss man die Gleichung des Zeit
Elongations-Gesetzes anpassen. Denn die Gleichung sagt aus, dass zum Zeitpunkt t = 0 auch die
Auslenkung Null ist. Hier ist aber die Auslenkung maximal nach unten zum Zeitpunkt t = 0. Also,
statt s(t) = ̂s⋅sin(ω t) , gilt: s(t) = −̂s⋅cos(ω t)
Für die Geschwindigkeit gilt damit v (t) = ω⋅̂s⋅sin(ω t) und für die Beschleunigung
a (t ) = ω 2⋅ŝ⋅cos(ω t ) .
Es ist
s (t ) = −̂s⋅cos(ω t)
0,03 m = −0,04 m⋅cos(2 π⋅1,78 Hz⋅t)
0,03
cos−1
−0,04
t=
= 0,216 s
2 π⋅1,78 Hz
(
Mit dieser Zeit erhält man:
)
v (t) = ω⋅̂s⋅sin(ω t)
v (t) = 2 π⋅1,78 Hz⋅0,04 m⋅sin ( 2 π⋅1,78 Hz⋅0,216 s )
und
m
v (t) = 0,297
s
2
a(t ) = ω ⋅̂s⋅cos(ω t)
2
a (t) = ( 2 π⋅1,78 Hz ) ⋅0,04 m⋅cos ( 2 π⋅1,78 Hz⋅0,216 s )
m
a( t) = −3,74 2
s
Der Körper braucht t = 0,216 s bis zu dieser Stelle.