Lösungen Test 3 (Geometrie)

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Mathematik und Naturwissenschaften
Lösungen Test 3 (Geometrie)
Modul: Mathematik
Datum: 2014/2015
Dozent: Roger Burkhardt
BWZ Mathematik 2014/2015
Bemerkungen: Zugelassen sind alle schriftlichen Unterlagen und ein einfacher Taschenrechner. Es können 42 Punkte erreicht werden, für 40 Punkte erhält man eine 6 und für
24 Punkte eine 4 (lineare Skala).
Zeit: 90 Minuten. VIEL ERFOLG!!
1. Aufgabe (3 / 3 / 3 / 3 Punkte)
(a) Bestimmen Sie den Winkel α (w bezeichnet eine Winkelhalbierende).
Lösung:
γ
δ
β
Da das grosse Dreieck gleichschenklig ist (2 Punkte auf einem Kreisbogen und
den dazugehörigen Mittelpunkt), gilt 44◦ + 2β = 180◦ und somit:
180◦ − 44◦
β=
= 68◦
2
Da w die Winkelhalbierende ist, ist der Winkel γ halb so gross wie β:
γ=
β
68◦
=
= 34◦
2
2
Das Dreieck ABD ist rechtwinklig und über die Winkelsumme δ + β + 90◦ =
180◦ folgt für δ:
δ = 180◦ − 90◦ − β = 90◦ − 68◦ = 22◦
Nun lässt sich der gesuchte Winkel α aus ser Beziehung β = γ+α+δ berechnen:
α = β − γ − δ = 68◦ − 34◦ − 22◦ = 12◦
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(b) Bestimmen Sie den Winkel α (die kleinen Kreise bezeichnen die Mittelpunkte
der Kreisbögen).
Lösung:
r
ϕ ϵ
γ
r
r
β δ
α β
r
In der Figur finden wir drei gleichschenklige Dreiecke und daher gilt:
16◦
180◦ − 2γ = 180◦ − 32◦ = 148◦
180◦ − δ = 180◦ − 148◦ = 32◦
180◦ − 2β = 180◦ − 64◦ = 116◦
180◦ − − γ = 180◦ − 116◦ − 16◦ = 48◦
180◦ − φ
180◦ − 48◦
α =
=
= 66◦
2
2
γ
δ
β
φ
=
=
=
=
=
(c) Bestimmen Sie den Winkel α.
Lösung:
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90o
δ
γ
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β
β
Das Dreieck BEF ist gleichschenklig und es gilt:
180◦ − 28◦
28◦ + 2β = 180◦ ⇒ β =
= 76◦
2
Das Dreieck ABC ist bei C rechtwinklig und somit folgt für den Winkel γ:
γ = 90◦ − β = 90◦ − 76◦ = 14◦
Im weiteren ist β ein Zentriwinkel und δ ein Peripheriewinkel zur Sehne BD
und es gilt daher:
76◦
β
= 38◦
δ= =
2
2
Nun gilt:
α = δ − γ = 38◦ − 14◦ = 24◦
(d) Bestimmen Sie den Winkel α.
Lösung:
β
γ
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Die Strecke AD ist eine Sehne im grossen Kreis. Der Winkel β (bei Punkt B)
ist ein Peripheriewinkel zu dieser Sehne und der rechte Winkel γ (bei Punkt
E) der entsprechende Zentriwinkel. Es gilt somit:
β=
γ
= 45◦
2
Die Strecke BC ist Winkelhalbierende für den Winkel β und über die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck ABC lässt sich nun der gesuchte Winkel
berechnen:
α+
β
45◦
β
= 90◦ ⇒ α = 90◦ − = 90◦ −
= 67.5◦
2
2
2
2. Aufgabe (4 / 4 / 4 Punkte)
(a) Berechnen Sie die fehlenden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit:
i. b = 12cm, c = 15cm
Lösung:
a=
√
c2
q
√
= (15cm)2 − (12cm)2 = 81cm2 = 9cm
−
b2
b2
q
√
√
= (4m)2 + (8m)2 = 80m2 = 4 5m = 8.94m
ii. a = 4m, b = 8m
Lösung:
c=
√
a2
+
(b) Aus einer quadratischen Blechplatte sollen zwei möglichst grosse Kreise mit
dem Radius d ausgeschnitten werden. Bestimmen Sie die Seitenlänge s der
Platte in Abhängigkeit der Kreisdurchmesser d.
√ Lösung: Aus der untenstehenden Skizze folgt s = 2 + 2 d
s
s
d
d
u
d
u
u= √
2d
2
s=2u+2d=2d+√ 2 d =(1+ √2)d
(c) Durch ein quadratisches Grundstück mit s = 50m soll diagonal von einer 12m
breiten Strasse unterteilt werden. Bestimmen Sie die Flächen und Seitenmasse
der beiden dreieckigen Grundstückteilen die dabei entstehen.
Lösung:
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s=50m
d
d
s
d
12m
u
d
u
Es gilt:
s
u2 + u2 = (12m)2 ⇒ u =
(12m)2
12m √
= √ = 26m = 8.49m
2
2
Nun gilt für die Kathetenlänge der rechtwinkligen Restdreiecke:
d = s − u = 50m − 8.49m = 41.51m
Die weiteren Grössen sind:
d2
= 861.74m2
F =
2
√
d2 + d2 = 58.71m
h =
3. Aufgabe (3 / 3 / 3 / 3 Punkte)
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel der folgenden (allgemeinen) Dreiecke:
(a) a = 24cm, α = 10◦ und β = 72◦
Lösung: (WWS-Problem)
Sinussatz
Winkelsumme
Sinussatz
b
a
a sin (β)
=
⇒ b=
= 131.45cm
sin (β)
sin (α)
sin (α)
: α + β + γ = 180◦ ⇒ γ = 180◦ − α − β = 98◦
c
a
a sin (γ)
:
=
⇒ c=
= 136.87cm
sin (γ)
sin (α)
sin (α)
:
(b) a = 49m, b = 23.5m und α = 75◦
Lösung: (SSW-Problem: a > b es gibt nur eine Lösung!)
sin (β)
sin (α)
b sin (α)
Sinussatz :
=
⇒ β = arcsin
= 27.60◦
b
a
a
Winkelsumme : α + β + γ = 180◦ ⇒ γ = 180◦ − α − β = 77.4◦
c
a
a sin (γ)
Sinussatz :
=
⇒ c=
= 49.51m
sin (γ)
sin (α)
sin (α)
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(c) b = 46.5cm, sb = 61.1cm (Seitenhalbierende b) und γ = 15◦
Lösung: Im Dreieck mit den Seiten sb , 2b und a (SSW-Problem, da sb > 2b gibt
es nur eine Lösung!) kann die Seite a berechnet werden:
!
b
sin
(γ)
sin (δ)
sin (γ)
⇒ δ = arcsin 2
= 5.65◦
Sinussatz :
=
b
sb
sb
2
Winkelsumme
Sinussatz
: δ + φ + γ = 180◦ ⇒ φ = 180◦ − δ − γ = 159.35◦
a
sb
sb sin (φ)
:
=
⇒ a=
= 83.26cm
sin (φ)
sin (γ)
sin (γ)
Im grossen Dreieck (SWS-Problem) können nun die restlichen Grössen berechnet werden:
p
Kosinussatz : c = a2 + b2 − 2ab cos (γ) = 40.19cm
2
b + c 2 − a2
Kosinussatz : α = arccos
= 147.57◦
2bc
◦
Winkelsumme : α + β + γ = 180 ⇒ β = 180◦ − α − γ = 17.43◦
(d) a = 35cm, c = 39cm und hb = 25cm (Höhe auf b)
Lösung: Die Höhe hb zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, mit
welchen die Abschnitte der Seite b berechnet werden können:
q
a2 − h2b = 24.49cm
ba =
q
bc =
c2 − h2b = 29.93cm
Die beiden berechneten Abschnitte können als Summe oder als Differenz zusammengesetzt werden (also gibt es zwei Lösungen!):
b1 = bc + ba = 54.43cm
b2 = bc − ba = 5.44cm
Nun kennen wir vom grossen Dreieck alle Seiten und können noch die fehlenden
Winkel bestimmen (SSS-Problem):
2
b 1 + c 2 − a2
= 39.87◦
Kosinussatz : α1 = arccos
2b1 c
2
b 2 + c 2 − a2
Kosinussatz : α2 = arccos
= 39.87◦
2b2 c
2
a + c2 − b21
Kosinussatz : β1 = arccos
= 94.55◦
2ac
2
a + c2 − b22
Kosinussatz : β2 = arccos
= 5.72◦
2ac
Winkelsumme : α + β + γ = 180◦ ⇒ γ1 = 180◦ − α1 − β1 = 45.58◦
Winkelsumme : α + β + γ = 180◦ ⇒ γ2 = 180◦ − α2 − β2 = 134.42◦
4. Aufgabe (6 / 6 Punkte)
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(a) Von einem dreieckigen Grundstück wird durch eine Strasse ein Streifen abgetrennt. Welche Seitenlängen hat das neue Grundstück?
Lösung: Der Winkel zwischen den Seiten a und b kann mittels Kosinussatz
berechnet werden:
!
(35m)2 + (54m)2 − (55m)2
= 72.83◦
γ = arccos
2 (35m) (54m)
Nun ergibt sich für die ursprüngliche Höhe hc :
F =
1
1
(35m) (54m) sin (72.83◦ )
(35m) (54m) sin (72.83◦ ) = hc (55m) ⇒ hc =
= 32.83m
2
2
(55m)
Nun kann mittels Strahlensatz das neue Dreieck berechnet werden:
28m
a
=
32.83m
54m
28m
b
=
32.83m
35m
28m
c
=
32.83m
55m
⇒
a = 46.05m
⇒
b = 29.85m
⇒
c = 46.91m
(b) Von der Plattform C eines Leuchtturms misst man die Höhe h = 60m. Um
die Entfernung zweier Segelschiffe A und B zu bestimmen misst man die Tiefenwinkel α = 15◦ und β = 12◦ . Der Sehwinkel γ sei 98◦ . Berechnen Sie die
Entfernung x der Schiffe.
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Lösung: Die Längen der Sichtlinien lassen sich mittels Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck berechnen:
h
= 288.6m
sin (β)
h
= 231.8m
CB = v =
sin (α)
CA = u =
Die gesuchte Distanz x erhält man nun mittels Kosinussatz im Dreieck ABC:
p
x = u2 + v 2 − 2uv cos (γ) = 394.5m
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