I. Bruchzahlen

Einleitung
Mathematikland, im Sommer 20…
Sehr geehrte Frau P.!
Vor einiger Zeit baten unsere Verwandten, die natürlichen Zahlen,
Sie um einen Besuch in ihrem Land.
Heute nun laden wir, die rationalen Zahlen, Sie zu uns ein.
(Zu Ihrer Information: Rationale Zahlen ist die offizielle Bezeichnung für alle Zahlen, die sich in Bruchzahlen verwandeln können.)
Auch wir wären nämlich froh, wenn Sie Ihren Schülern ein wenig
mehr über uns erzählen könnten als in den Mathematikbüchern steht.
Wir denken dabei besonders an die 6d, in der Sie uns ja gerade „behandeln“.
Falls Sie uns in beiden unserer Erscheinungsformen (als Brüche und
als Dezimalzahlen) erleben möchten, sollten Sie für Ihre Terminplanung Folgendes wissen: In Monaten mit 31 Tagen treten wir als
Brüche auf, in Monaten mit nur 30 Tagen als Dezimalzahlen.
Wir hoffen, Sie möglichst bald bei uns begrüßen zu können und wünschen Ihnen eine angenehme Reise!
Hochachtungsvoll!
Die rationalen Zahlen
Und was sie wohl im Februar machen? fragte ich mich nach dem
Lesen des Briefes. Aber so lange wollte ich nicht warten. Und ich
beschloss, in den Herbstferien zu fahren; vom 20. Oktober bis zum
10.November.
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11
I. Bruchzahlen
Kapitel 1: Das Aussehen der Bruchzahlen
- der Platz auf dem Zahlenstrahl
1.1 Ein erstes Kennenlernen
Der Zug hielt auf offener Strecke, 5 Minuten vor der geplanten Ankunft im Land der Bruchzahlen. Schwungvoll wurde die Abteiltür
geöffnet, drei Wesen stürmten herein - und ich sah zum ersten Mal
lebendige Bruchzahlen vor mir!
Ja, so hatte ich sie mir vorgestellt: Oben eine natürliche Zahl, unten
eine natürliche Zahl, in der Mitte ein Strich. Wie sie es wohl schaffen, die drei Teile stets zusammenzuhalten? fragte ich mich. - Doch
schon wurde ich in meinen Gedanken unterbrochen. „Gestatten,
Dreisiebtel", tönte es vom Gepäcknetz herunter. (Klettern können
sie also auch!) „Ich bin die Bruchzahl mit dem Zähler 3 und dem
Nenner 7. Und das sind meine Freunde Zweifünftel und Einsechstel.
Wir drei bilden das Empfangskomitee und heißen dich im Namen
aller positiven rationalen Zahlen in unserem Land herzlich willkommen! - Wir sind dir entgegengefahren, weil wir dich in aller
Ruhe begrüßen wollten; denn mit der Ruhe wird es bald vorbei sein!"
Bei diesen Worten fuhr der Zug in den Bahnhof ein. - Der Anblick,
der sich mir bot, ließ mich auf Anhieb verstehen, dass natürliche
Zahlen häufig einen Schock bekommen, wenn sie ins Land der
Bruchzahlen fahren, dass sie unter Platzangst und Atemnot leiden
und sich sehr schnell nach der Weite ihres Landes zurücksehnen,
nach ihrem so geräumigen Zahlenstrahl! - Und wir Menschen, dachte
ich, sollten eigentlich in keiner Situation von Enge sprechen. Wir
sind doch nur endlich viele.
Der Zug hielt. Ein wenig Angst vor dem Aussteigen hatte ich schon;
hoffentlich würde ich nicht gleich zerquetscht werden!
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Einsechstel schien Gedanken lesen zu können. „Keine Sorge", beruhigte er mich, „auch bei uns hat alles seine Ordnung (wir sind ‚wohlgeordnet‘, sagt man). Auch bei uns hat jeder seinen festen Platz auf
dem Zahlenstrahl. Unser 1. Minister braucht nur zu pfeifen, schon
stellen wir uns auf."
Gesagt, gepfiffen! In Windeseile hatte jeder seinen Platz gefunden.
Und ich wusste augenblicklich, welchen beiden Fragen ich als ersten
nachgehen würde:
(1) Wie findet eine Bruchzahl ihren Platz auf dem Zahlenstrahl?
(2) Wie kommt es, dass jeder Platz auf dem Zahlenstrahl von unendlich vielen Bruchzahlen beansprucht wird?
1.2 Die Bedeutung des Nenners
Als die Brüche mir zur Begrüßung vom Zahlenstrahl aus ihr Lieblingslied ‚Der Zähler und der Nenner‘ entgegen schmetterten, hatte
ich Gelegenheit, sie in Ruhe zu betrachten. Dabei fiel mir auf, dass
es sowohl blaue wie auch rote Bruchstriche gab. Ich meinte sogar,
das Prinzip der Farbgebung erkannt zu haben und fragte meinen Begleiter, den Bruch
1
: „Stimmt es, dass die Brüche mit einer 1 als
6
oberer Zahl einen blauen und alle anderen Brüche einen roten Bruchstrich haben?" – „Ja und nein."
1
tat geheimnisvoll. „Deine Be-
6
obachtung ist zwar richtig, aber der Grund für einen blauen Bruchstrich ist nicht der Zähler 1, sondern eine bestandene Prüfung! Willst
du Näheres wissen?" - Welche Frage!
Kurze Zeit später hatte ich folgendes erfahren: Bis vor 10 Jahren war
es immer wieder vorgekommen, dass Bruchzahlen ihren Platz auf
dem Zahlenstrahl nicht finden konnten; sie hatten die Regel dafür
vergessen. Bei etlichen Spielen war es deshalb zu schweren Unfällen
gekommen.
So wurde beschlossen, alle zwei Jahre eine Prüfung stattfinden zu
lassen, bei der die Zahlen die Fähigkeit nachweisen mussten, ihren
Zahlenstrahlplatz zu finden. Bei bestandener Prüfung sollte jeweils
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die Farbe des Bruchstriches verändert werden. Vor zwei Jahren hatte
es rote Bruchstriche gegeben, und in diesem Jahr gebe es blaue.
Die Brüche mit dem Zähler 1 (die sogenannten Stammbrüche), erfuhr ich weiter, legten jedes Mal als erste die Prüfung ab. Und das sei
in diesem Jahr heute Morgen gewesen. Alle hätten bestanden!
An dieser Stelle hatte
1
aus dem BUCH DER DEFINITIONEN
6
vorgelesen:
Definition 1:
Eine Zahl der Form
z
n
(z  N, n  N, n z 0) heißt
Bruchzahl oder Bruch. z heißt Zähler, n heißt Nenner.
Definition 2:
Ein Bruch mit dem Zähler 1 heißt Stammbruch.
Danach hatte
1
mir erklärt, wie Stammbrüche ihren Platz finden: „
1
n
6
teilt die Strecke des Zahlenstrahls, die zwischen 0 und 1 liegt, in n
gleichlange Teile. Der erste Teilstrich neben der 0 ist der gesuchte
Platz." Dazu zeigte er mir folgende Abbildung:
zwei gleich
lange Teile
1
0
1
2
|------------------------------|------------------------------|
drei gleich
lange Teile
1
0
1
3
|--------------------|--------------------|-------------------|
vier gleich
lange Teile
1
0
1
4
|---------------|---------------|---------------|---------------|
zwölf gleich
lange Teile
0
1
1
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|--- -|-- --|- ---|----|-- --|- ---|-- --|- ---|- ---|----|- ---|-- --|
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Ich machte die zutreffende Bemerkung, dass ein Stammbruch seinen
Platz umso näher bei der 0 hat, je größer sein Nenner ist. Aber
1
6
hörte nicht richtig zu, unterbrach mich und schilderte ausführlich ein
in jeden Bruchstrich eingebautes Gerät, den sogenannten Schrittlängeneinsteller „Eine Zahl, die z. B. Schritte der Länge
1
machen
7
möchte, muss einmal von 0 bis 1 gehen und dann auf dem Gerät die
Zahl 7 einstellen. Sie kann dann nur noch Schritte der Länge
1
ma-
7
chen, bis sie das Gerät abstellt beziehungsweise neu einstellt. - Und
mit sieben Schritten der Länge
1
landet sie genau auf der 1, wenn
7
sie von 0 aus losgeht. Genauso ist es bei vier Schritten der Länge
1
,
4
bei zwölf Schritten der Länge
1
, bei n Schritten der Länge
1
)."
n
12
„Übrigens", fuhr
1
ohne Pause fort, „wenn es darum geht, den Platz
6
auf dem Zahlenstrahl zu finden, stellt jede Bruchzahl ihren Nenner
ein. Das wirst du morgen bei der Prüfung sehen. - Für heute merke
dir eins: Der Nenner eines Bruches ist bei der Zahlenstrahlplatzsuche
zuständig für die Schrittlänge! - Und zum Schluss noch etwas sehr
Wichtiges: Im Nenner einer Bruchzahl darf nie eine 0 stehen!!
Wie sollte man denn je mit 0 Schritten der Länge
1
(die es ja auch
0
gar nicht gibt) von der 0 zu der 1 kommen können? Sag das auf jeden
Fall deinen Schülern! Und sag ihnen auch",
1
wurde ganz aufgeregt,
6
„dass eine 0 im Nenner nicht nur verboten, sondern darüber hinaus
auch höchst gefährlich ist. Sie bringt den Bruch zum Explodieren, es
gibt einen fürchterlichen Knall, und Zähler und Bruchstrich sind verschwunden!"
Und ehe ich noch etwas fragen oder mich bedanken konnte, trippelte
15
1
davon; in Schritten der Länge
6
1
, mit einem nagelneuen blauen
6
Bruchstrich.
1.3 Die Bedeutung des Zählers
Als ich am nächsten Morgen zum Zahlenstrahl kam, standen auf der
rechten Seite schon unendlich viele Brüche mit einem leuchtend
blauen Bruchstrich; unendlich viele aber warteten noch ungeduldig
auf ihre Prüfung.
4
wurde aufgerufen. Er ging an den Platz der 0 und erklärte: „
9
dasselbe wie 4-mal
4
ist
9
1
, genauso wie 4 kg Erdbeereis dasselbe ist wie
9
4-mal 1 kg Erdbeereis. Mein Platz ist also von der 0 genau 4-mal so
weit entfernt wie der von
1
. Ich stelle also die SchrittHinge
9
4
ein,
9
mache von 0 aus 4 Schritte - und bin auf meinem Platz."
Glückwünsche. Und
1
Beifall,
bekam einen blauen Bruchstrich.
9
Als nächster wurde
27
geprüft. Er war so aufgeregt, dass er kaum zu
5
verstehen war. Sein Text lautete: ,,
27
ist dasselbe wie 27-mal
5
1
,
5
genau wie 27 kg Gummibärchen dasselbe ist wie 27-mal 1 kg
Gummibärchen. Mein Platz ist also von der 0 genau 27-mal so weit
entfernt wie der von
1
. Ich stelle also die Schrittlänge
5
1
ein, ma-
5
che von 0 aus 27 Schritte; und schon bin ich auf meinem Platz."
„Aha, ein fertig vorgegebener, auswendig gelernter Text", dachte ich
und hörte bei der Prüfung von
5
nicht mehr zu.
8
16
Stattdessen überlegte ich mir, wie eine für alle Brüche brauchbare
Anweisung lauten könnte. Vielleicht so:
Für je zwei natürliche Zahlen z und n (n z 0) gilt:
z-mal
1
z
ist dasselbe wie
n
, genauso wie z kg Äpfel dasselbe ist wie z-mal1 kg Äpfel.
n
Der Platz des Bruches
z
ist also von 0 genau z-mal so weit entfernt
n
wie der von
1
. Das heißt:
n
z
findet seinen Platz auf dem Zah-
n
lenstrahl, indem er von 0 aus genau z Schritte der Länge
1
zurück-
n
legt.
Merke: Der Nenner ist zuständig für die Schrittlänge,
der Zähler ist zuständig für die Anzahl der Schritte.
Übungen:
(1) Bestimme wie im Beispiel unten den Platz auf dem Zahlenstrahl
für folgende Brüche:
3
5
,
7
10
,
5
4
9
,
. Die Strecke von 0 bis 1 sollte
20
10 cm lang sein.
Beispiel
6
: 6 Schritte der Länge ein Fünftel führen zum Ziel:
5
6/5
0
1/5
1
(2) Welcher Bruch x gehört auf den vorgegebenen Platz?
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x
0
1
x
0
1
(3) Wie kann man einem Bruch ansehen, ob sein Platz vor oder hinter der 1 ist?
(4) Nenne 3 Brüche, deren Platz genau auf der 1 ist.
Die Lösungen findest du auf S. 208.
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1.4 Lied: Der Zähler und der Nenner
1) Der Zähler und der Nenner,
5)
Zum Kehrbruch so verwandelt,
warn beide plötzlich still.
Der Bruchstrich sprach: „So höret",
der Bruchstrich sprach: „So höret,
was ich euch sagen will,
was ich euch sagen will."
2) Der Zähler sprach: „Na wer wohl?
6)
„Du, Nenner, gibst der Bruchzahl
des Schrittes Länge an.
Du, Zähler, zählst die Schritte,
du, Zähler, zählst die Schritte,
was auch nicht jeder kann,
was auch nicht jeder kann."
7)
Der Zähler und der Nenner,
die sahen schließlich ein:
Bedeutend sind wir beide,
bedeutend sind wir beide,
das Streiten muss nicht sein,
das Streiten muss nicht sein.
die hatten einen Streit,
wer wohl von ihnen wäre,
wer wohl von ihnen wäre
von größrer Wichtigkeit,
von größrer Wichtigkeit.
Mir fällt nur einer ein!
Nur der, der obenauf ist,
nur der, der obenauf ist,
kann wirklich wichtig sein,
kann wirklich wichtig sein.“
3) Der Nenner sah das anders:
„Du irrst; und nicht zu knapp!
Denn ohne mich als Basis,
denn ohne mich als Basis
stürzt du samt Bruchstrich ab,
stürzt du samt Bruchstrich ab!"
4) Sie stritten immer weiter,
dem Bruchstrich ward's zu dumm.
Und ohne viel zu sagen,
und ohne viel zu sagen,
dreht er die beiden um,
dreht er die beiden um.
Melodie:
Der Kuckuck und der Esel
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